MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI- ÉS INFORMATIKAI KAR

Átírás

1 MIKOCI EGYEEM GÉPÉZMÉRÖKI- É IFORMAIKAI KAR Csúsva-gördülő felüleárok ermo-elasodrodnamks kenéselméle vsgálaa -verós végeselem módserrel P.D. ÉREKEZÉ Késíee: áva abols okleveles géésmérnök ÁYI IÁ GÉPÉZEI UDOMÁYOK DOKORI IKOA GÉPEK É ZERKEZEEK EREZÉE ÉMAERÜE ERMÉKFEJEZÉ és EREZÉ ÉMACOPOR DOKORI IKOA EZEŐ: Dr. sa Mklós A MŰZAKI UDOMÁYOK DOKORA ÉMAEZEŐ Dr. abó J. Feren a műsak dományok kanddás ÁR-ÉMAEZEŐ: Dr. oa György a műsak dományok kanddása Mskol

2 aralomegyék aralomegyék aralomegyék... (.) émaveeő aánlása... 4 (.) Beveeés... 5 (3.) Irodalm áeknés... 7 (4.) A dolgoa feléíése... 6 (5.) A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele... 7 (5.) Alaegyenleek... 8 (5..) Mogásegyenle... 8 (5..) Energaegyenle:... 3 (5.) Álalánosío Reynolds felada on vagy folserű érnkeés eseén... 3 (5..) A érnkeés óna aárán a eremfeléelek kaváó (5...) Jelenleg asnálaos megoldások a kaváó keelésére (5...) Büneő kaváó (5..) A résmére a felüleen megosló erelés és a őmérsékle aására bekövekeő elmodlások fgyelembevéelével (5..3) erelés és knemaka eremfeléel... 5 (5..4) A kenőanyag modell kválasása... 5 (5.3) ermodnamka felada (5.3.) Peremfeléelek: (5.3.) A kaváó fgyelembevéele (5.3.3) A érnkeő esek őmérséklee a felüleükön megosló őforrás aására... 6 (6.) A alaegyenleek negrál alaka (6.) aráós módserek (6.) A varáós elv kválasása (6.3) A meők aroxmáóa és a geomera lekéése (6.3.) A vsgál aromány lekéése... 7 (6.3..) A elem geomeráának egendre alaú aroxmáóa... 7 (6.3..) Konakaromány és a résmére lekéése (6.3.) A smerelen meők aroxmáóa (6.4) A alaegyenleek... 8 (6.4.) A Reynolds-egyenle gyenge negrál alaka... 8 (6.4.) A ermodnamka-egyenle gyenge negrál alaka... 8 (6.4.3) A résmére deformáóának megaároása aroxmáóval (6.4.3.) A nyomáseloslásból sármaó dskreál köelíő elmodlásmeő sámíása a félvégelen érkén modellee es eseén (6.4.4) A érnkeő esekben és a kenőanyagban kalakló őmérséklemeő saolása (7.) A egyenlerendser nmerks megoldása... 9

3 (7.) A megoldás során felasnál dskreál egyenleek... 9 (7.) A dskreál Reynolds egyenle lnearálása... 9 (7.3) A ermodnamka felada keelése (7.4) Mnafeladaok (7.4.) égelen sélességű drodnamks sík sklófelüleár... (7.4.) égelen sélességű drodnamks sík sklófelüleár ado erelés melle... (7.4.3) Kaváós óna megaároása büneőaraméeres elven... 3 (7.4.4) Elasodrodnamka felada megoldása... 6 (7.4.5) ermo-elasodrodnamka robléma vsgálaa... 9 (8.) Ú dományos eredmények össefoglalása; asnosíás és ovábbfelesés leeőségek... 4 (8.) ések... 4 (8.) A eredmények asnosíása ovábbfelesés leeőségek... 6 (8.3) Kösönenylváníás... 6 (9.) mmary... 8 (.) A érekeés émáában megelen dományos blkáók... (.) Felasnál rodalom

4 émaveeő aánlása (.) émaveeő aánlása áva abols: Csúsva gördülő felüleárok ermo- elasodrodnamks kenéselméle vsgálaa -verós végeselem módserrel ímű PD érekeésée A különböő géelemek serkee egységek a működésük érnkeésük során gyakran a erelés elvselése köben a relaív elmodlás súsás érnkeés álal kévsel aásoka génybevéeleke s kényelenek elvseln. Megelenk a súrlódás mellyel együ növeksk a károsodások koás kaogás a őmérsékle aásaval együ edg a berágódás vesélye s. Eér nagyon fonos a súsva gördülő esek köö érnkeések valamn a köük elenlévő kenőanyagok vselkedésének mnél résleesebb vsgálaa. A lyen vsgálaok eredménye soksor kövelen gadaság asonnal s árnak (l. géárművek eseén a súrlódás sökkenése nemsak a károsodások vesélyének sökkenésé anem elenős üemanyag- megakaríás s eredménye). A felüleek köö kenőanyag vselkedésének aásanak fgyelembe véele a eredménye ogy már vsonylag egyserűbb eseekben sem élserű ké egyserű módserekkel köelíen a vsgálaoko anem elenős sámíásenka (ardver és sofver) kaaások sükségesek amelyek megfelelő alkalmaása a sükséges modellek megalkoása és megoldása magas snű felkésülsége gényel. áva abols mndeek brokában nagy lelkesedéssel elsánsággal és karással végee mnkáá a súsva gördülő esek ermo- elasodrodnamks kenéselméle vsgálaa során. Mnkáa és elér eredménye elenősek és egyedülállónak s mondaók a rbológa erüleén mvel a érekeésben bemao vsgála- íso a rodalomban felleleő kaások nkább a véges dfferena- módser vagy a véges sávok módseré alkalmaák nem a végeselem- módser. Külön érdekesség a - verós végeselemek alkalmaása eeke a vsgálaoko. A érekeés a ermo- elasodrodnamks roblémák - verós végeselem- módseren alaló olyan leeséges módá maa be melynél a nyomás- és őmérsékle- eloslás köelíése esőleges foksámú olnommal öréne és a kenőflmnek a kaváó ma megsűnése modelleeő a konak- aromány fnom felosása nélkül s. áva abols evékenységéről és eredményeről besámol dokorands- fórmokon lleve aa és külföld konferenákon aol eredménye blkála s. Eel elege e a ály Isván Géése dományok Dokor Iskola blkáós köveelményenek. A érekeés gondos mnká ükrö megfogalmaása éreő feléíése vlágos ábrá a mondanvaló ól aláámasák. A érekeés ése a PD ím elnyerésée sükséges kívánalmaka messemenően kelégík. Mskol. úns 7. Dr. abó Feren János egyeem doens PD a műsak domány kanddása 4

5 Beveeés (.) Beveeés A meanks egységeke aralmaó berendeések működése során mnden eseben felleleő különböő serkee egységek köö meanka kölsönaás/nformáóável. Ao ogy a kölsönaás/nformáóável megvalóslasson a serkee egységeknek egymáso kell kasolódnk egymással érnkenük kell. E a érnkeés/kasolódás mndg kénysereken keresül valósl meg. A kényserek olyan kasolao elenenek melyek a serkee egységek egymásól függelen sabad mogásá bonyos fokg gáolák aa sökkenk aok mogásának sabadságfoká. Másrés a kényserek bonyos függelen mogásformáka megengednek leeővé esnek a serkee egységek egymáso vsonyío mogásában egyes sabadságfokoka megagynak. Így a serkee egységek érnkeése során gyakora előfordl relaív elmodlás elfordlás vagy máské megfogalmava súsanak gördülenek egymáson. Ha ké es érnkek és egymáson súsk vagy gördül a érnkeő felüleek és a érnkeő esek ksebb vagy nagyobb érfogaa meanka és őerelésnek vannak kéve a aoka erővel sorík egymáso. Megelenk a súrlódás mely akadályoa a mogás és eel együ növeksk a károsodás a koás és a kaogás leeősége s. A ogy a súrlódás és a koás klsseree ásanak a berendeések megbíaó működésében és élearamában nagyon amar felsmerék. éány ese kvéelével (űsolás fékeés) a berendeések működés araméerenek avíása vége erőfesíéseke kell enn mnd a súrlódás mnd a koás sökkenésére. Ennek érdekében éldál súrlódás és koássökkenő anyago kenőanyago kell a érnkeő felüleek köé an. A kenőanyag még naankban s a legöbb eseben folyadék (ví egyes olaok) vagy bonyos sírok. A érnkeés roblémáka elősör Her árgyala meankalag 88-ben [4] [5]. Aon roblémáknak a elméle alaa amelyeknél a érnkeő felüleek köö kenőanyagflm alálaó. P. Perov [6] B. ower [7] és O. Reynolds [8] a XIX. sáad végén vége mnkáa ada meg. Mnkák forradalmasíoa a kenéselméle dományá. A ma Reynolds egyenlekén smer aráls dfferenálegyenle felállíása saágyak ömíések fogaskerekek büykös meanmsok komlex vsgálaára ereme leeősége. 5

6 Beveeés A később kaások során a kaók rámaak arra ogy a géelemek súsva-gördülő kasolaa során a működés araméerek nagymérékben függnek a érnkeés során kalakló őmérsékle-eloslásól s mvel a kenőanyag ellemő elenősen válonak a őmérsékle függvényében. Gördülősaágyak fogaskerekek büykös meanmsok működésének elemése kmaa ogy eeknél sem a érnkeő felüleek konaknyomás okoa felüle deformáóa sem a kenőanyag ellemőnek nyomásól való függése nem elanyagolaó. Mndeeke fgyelembe véve Dowson [4] megalkoa a álalánosío Reynolds egyenlee mely a ermo-elasodrodnamks (EHD vagy EH) kenéselméle alaa. A Reynolds egyenlee aonban néány egyserű eseől eleknve nem lee ár alakban megoldan nem s sólva annak álalánosío alakáról. Így sükségessé válak a nmerks módserekre éülő megoldások. Eek köül naankban a legeleredebb a Hoer és Hamrok [6] álal kfelese "Fas aroa seme" és a "Mlgrd-mllevel" [] elárás melye bre ael és Bosma kööl. Mndké elárás a álalános Reynolds egyenle dfferena módseren alaló megoldására ámaskodk. Ennek kövekeében a megoldáso gen sűrűn fel kell osan a érnkeés aromány. Haékony megoldás módserek án kava öbb kaó s a varáós módserekre éülő végeselem-módser felé fordl. Ebben a rányban aonban nem kövekee be áüő sker. A varáós módser előnye nem makoak meg a dfferena módserrel semben. Ennek egyk fő oka ogy a feléelee érnkeés arományok álalában egyseresen össefüggő sabályos églala alakú erüleek. A másk fő ok a ogy a varáós módser megenged gyan a kerese meők másodnál magasabb fokú olnomokkal való köelíésé s e mégsem asnálák ermo-elasodrodnamks roblémák megoldására mvel a érnkeés aromány végé a kenőflm kaváó aására való megsűnése elöl k és ennek fgyelembevéelé mndedág sak fnom felosásnál dák megenn. A ké fő ok melle még sámos neéség árálaa a ermo-elasodrodnamks roblémák végeselem-módserre éülő aékony megoldásá. Érekeésemben a ermo-elasodrodnamks roblémák végeselemmódseren alaló megoldásának egy olyan leeséges módá fogom beman amkor a nyomás- és őmérsékle-eloslás köelíése esőleges foksámú olnomokkal öréne és a kenőflm kaváó aására való megsűnése a feléelee konakaromány fnom felosása nélkül modelleeő. 6

7 Irodalm áeknés (3.) Irodalm áeknés A súrlódás és koás elenségé már a kora kőkorsakban s smerék ső alkalmaák a űgyúáso lleve a lykak fúrásáo asnálaos eskööknél. Eeknél a eskööknél a saágyserű rések öbbnyre fából agansból sonból késülek. A kedeleges saágy kalakíásoknál később rébevonao asnálak. A Jerónál felár.e. körül dőkből sármaó sekerek kerekenél eseenkén bmen alkalmaak kedeleges kenőanyagkén. A súrlódás örvényserűségenek vsgálaa aonban 59-g várao magára amkor eonardo da n [5] írásban össefoglala a súrlódás faáka és a súrlódás ellenállás a es súlyának negyedében állaíoa meg. 699-ben Amonons [] végee el a első ervserű kísérlesoroao a örvényserűségek megállaíása érdekében. Eler 748-ban =/P alakban állaíoa meg a súrlódás ényeő éréké [79] aol P a erelőerő vagy erelőnyomás míg a súrlódóerő vagy felüle súrlódás súsaófesülség. enger András 758-ban kmaa ogy a nygvó és a mogásbel súrlódás ényeő különbök egymásól [79]. Colomb 779-ben [] nagy falagos erelés arományokra s keresve megsméele Amonons kísérleé és kmaa ogy súrlódás ellenállás nagy sórása a súrlódó felüleek fka állaoával van kasolaban. Hrn [3] 854-ben köée mnkáában különböő kenőanyagoknál (álla növény ásvány olaok ví levegő) mére a súrlódás nyomaéko a sebesség és a erelés függvényében. Felsmere a különbsége a sára súrlódás "froemen mméda" amely köve a Colomb örvény [] és a folyadéksúrlódás (froemen méda) köö am arányos a sebességgel. Felsmere ovábbá ogy bonyos körülmények köö a levegő s kűnő kenőanyag lee. Mndemelle Hrn seree a kenéselméle felődésére néve vaaó mvel Hrn sak ermodnamka semonból vége kísérleeke aér ogy felára a össefüggés a meanka mnkabefekeés és a őfelődés köö [4]. Mn már korábban s emlíeem a esek érnkeésekor a felüleek védelme és a obb működés araméerek elérése lleve a esek egymáson könnyebben való elmodíásának érdekében már gen régen alkalmanak kenőanyagoka melyek köük a első valósínűleg a ví vol. Aonban a érnkeő felüleek kö a kenőanyagokban leásódó folyamaok megérése egésen a 8-as évek végég várao magára. Ekkor néány éven belül egymásól függelenül 3 dós a oros 7

8 Irodalm áeknés. P. Perov [] a br B. ower [7] és a snén br O. Reynolds [8] sakío a addg rányaal mely a esek kenőanyag elenléében örénő érnkeésé s a slárd esek meanka kölsönaásakén róbála leírn. Eelye felsmerék ogy a eseke folyadék flm válasa el így a kenés elenség leírásának a folyadékok dnamkáán kell alalna. 3 éven belül ( ) kdolgoák mnd a elméle mnd a kísérle alaoka. Perov felsmere ogy a folyadékkenésnél nem a folyadék sűrűsége anem annak vskoása a mérvadó és ogy a súrlódás nem a slárd felüleek egymáso érésének a kövekeménye anem a folyadékflmben felléő súsaófesülségé. Perov aonban sak a súrlódás vsgála a saágyak ereleőségével nem foglalkoo. ower snén a súrlódásra konenrálva kede el kaása de kísérlee során felsmere ogy a saágyakban folyadéksállíás van a folyadék elválasa a felüleeke és a folyadék nagy nyomásnak van kéve. Perov és ower kísérleekre alaoák megállaíásaka. A elméle áere őlük elesen függelenül Reynolds állíoa fel 884-ben amelye 886. febrár -én e köé a Royal oey. A ekkor kööl kkben alálaó a ma Reynolds egyenle néven smer aráls dfferenálegyenle és a leveeése asnál köelíések melyek ma s a rbológa sámíások alaá kék. A kövekeő fonos léés 89-ben A. Kngsbrynek [] a a felsmerése vol ogy a felüleek kö rés kölő anyag nemsak folyadék anem gá almaállaoú s lee. A. Kngsbry 897-ben mán megsmere Reynolds blkáóá köéee saá eredménye a drodnamka kenéselméle keresésé össenyomaó kenőanyagokra. A kenőanyagban leásódó elenségek elméle áerének felárása ellenére ovábbra s elenős sere o a saágyellemők kísérle úon való megaároásának. Een a éren mndenké meg kell emlíen rbek 9-ben blkál mnkáá [79]. Ebben engeres sklófelüleű olakenésű sklósaágyak súrlódás ényeőé aároa meg kísérle úon a falagos saágyerelés és a fordlasám függvényében. A elméle eredmények gyakorla asnálaóságá egésen 94-g elenősen árálaa a ogy a aráls dfferenálegyenlee a legegyserűbb geomerák kvéelével nem dák megoldan. Ekkor ommerfeld [] íres kkében kööle a kenőflm nyomásfüggvényének ár alakú negrálásá végelen séles saágyakra. ommerfeld megoldásá a - arományra íra fel aonban 8

9 Irodalm áeknés felíva a fgyelme arra ogy a így elanyagol kaváó elenősen befolyásolaa a megoldás. Mndaonálal Ramond és Boyd 958-ban [33] ommerfeld - arományra ve megoldásá ovábbra s asnálaónak íélék meg a olyan eseekben amkor nagy a külső nyomás sen lyenkor a folyadékflmben ébredő nyomás nem esk a kenőanyag saráós/ elíe gő/ kaváós nyomásaár alá. ommerfeld feléeleésé a eremfeléelek faá köé sorolák és ma ommerfeld féle eremfeléelkén ark nylván. ommerfelde Mell kövee 95-ben [] véges sélességű sík felüleár elméle kdolgoásával és a nyomáseloslás köelíő Bessel függvényekre éülő sámíás módserének kdolgoásával. A sars vagy ámasósaágyak vsgálaakor aonban nem alkalmaaó végelen séles modell. Rayleg 98-ban [3] blkál elsőkén valós geomeráú véges sélességű sars saágyakra vonakoó sámíás eredményeke öbbek köö ereleőség adaoka. ord Raylegnek a rbológa erüleén vége mnkáa aér s emlíésre méló mer 97-ben ő vol a ak felíva a fgyelme a drosaks elven működő saágyak megvalósíásának leeőségére [4]. A e köveő években a kaások ké fő rányban aladak ovább melyeke a elesség kedvéér meg kell emlíen annak ellenére ogy nnsenek kövelenül kasolaban elen érekeés émáával. A egyk rány eles kévselőe odola vol ak 95-ben blkál kkében [6] sakío a korább elkéeléssel mely a saágya merev megámasáskén keele. Eelye avaslaa sern a megámasásoka rgókkén kell modellen mely nagymérékben oáárla a forgórések dnamka vselkedésének megérésée és krks ellemőnek megaároásáo. A forgórések dnamkáának kaása erén később Pesel 954-ben [7] nd 965-ben [49] és Allare 98-ban [93] ér el elenős eredményeke de mvel een kaáso nem kasolódk sorosan e a erüle így résleesebben nem kerülnek smereésre. A kaások másk fő saása a saágyak sablás/nsablás roblémának megérése érdekében e léések volak. Een a erüleen a első elenős eredményeke ewkrk [7] ee köé gyansak 95-ben. A ké vlágáború kö dősakban Herber W. wf vége elenős kaásoka [8] [9]. Ő vol a ak felíra a Reynolds egyenle dnamks erelésre s érvényes alaká melynek a megoldásával Hang 946-ban [] ond 957-ben [3] és ernl 96 [4] vége úörőmnká. wf kaása során ovábbá arra a kövekeeésre o ogy a a kenőflm a kaváó ma sűnk meg akkor a 9

10 Irodalm áeknés kléésnél mnd = mnd grad()=. W. eber a konnás feléelből kndlva gyanerre a kövekeeésre o így e a kléés eremfeléel wf-eber eremfeléelnek neveék el [65]. Később Cameron és Wood s kmaa ogy e a eremfeléel megfelel a mnmáls oenáls energára örekvés és a maxmáls eervselés elvének [55] ovábbá Crsoerson bemaa ogy a saágysúrlódás s e eremfeléel melle a mnmáls [55]. Annak ellenére ogy a wf-eber feléel nem kées kman a sbkaváós nyomás sak besml a kaváós aárra mégs a ó keeleősége ma a nmerks sámíások során a ma nag a legséleskörűbben asnál kléés feléel és nagyon ó egyeés ma a kísérleekkel. Mndaonálal Cole és Hges [9] 956-ban kísérle úon kmaa ogy a olaflm sak sávokra esk sé és nem sűnk meg elesen. Később Folberg 96 és 965 köö blkál kaása ([39] [46] [48]) során arra a kövekeeésre o ogy a kaváós ónában a folyadék úlnyomórés a Cole és Hges álal kmao keskeny sávokban alálaó míg a felüleeke aad kenőanyag elanyagolaóan kevés. A nyomás állandó és a kenőanyaggő elíeség nyomásával egyenlő a sávok kö ere kölő gő alasony vskoásának és a kenőanyag sávok geomeráának kösöneően. Coyne-Elrod 97-ben [64] [65] a aylor 964-es [47] a kenőanyagok kaváóá árgyaló művében defnál felüle fesülség araméer segíségével köéee a sbkaváós nyomás megaároásáo sükséges flm-kaváós aárfelülere vonakoó eremfeléel melye avage 977-ben [89] onosío. Aonban a sbkaváós nyomás megaároása a eseek úlnyomó öbbségénél sükségelen. A elenségek vsgálaáo álalában elegendőnek bonyl a wf- eber kléés eremfeléel. A wf-eber eremfeléel alkalmaása sem bonyl egyserűnek. oa a kléésnél ó köelíés ad de a kléés elyére vonakoólag nem nyú ámas. Ennek kövekeében nem lee kelöln a robléma vsgálaának kedeekor a vsgálandó aromány eá a felada megoldása során ké leeőség köül lee válasan. A egyk ogy a kede aromány módosík folyamaosan a kléés eremfeléelnek megfelelően. A másk leeőség a elensége leíró egyenleek keresése a kaváós arományra. Bár késégelen ogy a első megoldás mnden semonból a legkívánaosabb de a nmerks megoldás módserek asnáló sámára gen nagy neésége oko a a vsgál aromány váloa a elárás során különöské kasol rendserek eseén. Így nem megleő ogy a kaók nkább a megoldan kíván

11 Irodalm áeknés egyenlee kívánák módosían alkalmaaóvá enn a kaváós arományban s aa a wf-eber eremfeléel mnden olyan onban fennállon aol kaváó lé fel. E a él a kenőanyag áramlásának kaváós arományon belül Coee áramláskén (állandó nyomáseloslás melle sak geomerafüggő áramlás) való modelleésével eléreő aonban bosían kell a konnás s. Amennyben a kenőanyag mogásá Coee áramláskén modelleük de a résmére nem állandó a rés kölöségének kell megfelelően válon ogy a konnás éel ne sérülön sen e modell eseében a felüleek köö lneárs a sebességeloslás. A konnás bosíaó a Jakobsson-Floberg-Olsson modellkén smer elárással melye Floberg és Jakobsson mao be elsőkén 957-ben [3] mad Olsson felesee ovább dnamks erelésű saágyakra 965-ben [53] blkál mnkáában. Modellükben a felüle fesülség sereé elanyagolva egyserűen ké résre osoák a konakaromány kenés és kaváós ónára mad feléeleék ogy a kaváós óna egy ado résé kenőanyag míg a másk résé gánemű anyag / kenőanyag gő öl k. A ké fás rés men arányá a kölés araméerrel ellemeék eá végső soron egy olyan omogén áramló köege éeleek fel amnek sűrűsége megegyee a folyadék és gá fások rés men álagsűrűségével. A előbbekre alaoo kaváós algorms Elrod és Adams 975 [8] Elrod 98 [94] blkála elsőkén mad ayaragavan és Ke módosíoa lleve álalánosíoa 989 és 99 köö köée kksoroaában [8] [9] [3] [4] [5] [33]. A ma már Elrod féle kaváós algormskén smer módser Brewe 986 [] mad Woods és Brewe 989 [] alkalmaa skeresen dnamks erelés eseekre. A Elrod féle algorms nagy áránya aonban a ogy nem keel a eráós léések köö a kaváós ndex váloásá am eseenkén elenős oslláó okoa. Payvar és alan 99-ben [4] köée mnkákban skeresen kküsöbölék a megoldás során elenkeő nmerks roblémá. A álalk avasol megoldás gyan a ömíések elemésée kedék kfelesen de könnyen adaálaó más eseekben s. A elárás előnye ogy séválasa a konakaromány fele nyomás és a kaváós ónán belül sűrűség sámíásá. análaos módon e a algorms még nem ered el naankban. A előbb ké elárásra elmondaó ogy nem foglakok a kaváós aáron aló fásáalaklás saáosságaval nem válasa külön a ké fás nem keel a sbkaváós nyomás. A sbkaváós elenségek vsgálaára Raosell és d Agosno -ben [73] mao be egy a Coyne és Elrod [64]

12 Irodalm áeknés [65] álal bemaonál könnyebben alkalmaaó senalks modell mellyel skeresen dák smláln Folberg mérés eredménye. A kaváó keelésére kalakl módserek köül a eddg megemlíeekre mnd elmondaó ogy a elárás kdolgoásánál a aráls dfferenálegyenleek véges dfferena elvre alaoo megoldás módserenek floófáába gyekeek belellesen a avasol algorms. Eér a más megoldás elveke köveünk akkor úra kell gondoln a kaváós algormsoka s a alkalmaandó megoldás elv floófáába kell aoka beelyen. A végeselem-módserrel örénő sámíásoko Goenka 984-ben [] blkál elősör olyan algorms amely lleskedk a módser saáosságao. Hasonlóan Goenka elárásáo aboff és Booker 985-ben [3] snén skeresen keele a kaváó a végeselemes megoldás során. Mndké mnka aonban a kaváó kvásaks elenségkén vsgála. A kaváó ranens körülmények kö saáossága Jones 983-ban [98] megelen mnkáára alaova Kmar és Booker 99-ben [34] [35] elemee skeresen. A eddgekben smeree mnkák során a kaók arra örekedek ogy a kaváó elenségé mnél onosabban megelenísék a sámíásakban. Kevesebbe örődek vson a sámíások aékonyságával lleve aal ogy bonyos aékony nmerks megoldás módserek adaálaóságának sabnak gáa. Een kaások sak olyan megoldás módsereke ámoganak amelyeknél a onosság növelése és a konvergena-vsgála a vsgál aromány egyre fnomabb felosásával éreő el (mllevel-mlgrd [9] []). A naankban előreörő módserek melyek leeővé esk a onosság növelésé és a konvergena sámíás anélkül ogy a aromány felosásá lényegesen fnomíanánk a smerelen meők magasabb fokú aroxmáóá alkalmaák mely lényegesen kevésbé növel a smerelenek sámá mn a áló fnomíása [37]. E módserek alkalmaásának a feléele aonban a ogy vagy keeln dk a kaváó a osás elemen belül vagy a felosás kell úgy módosían ogy a kaváós aár a osás elemenek aárára essék. Késégelen ogy egakabb megoldáso nk a a felosás módosík [64] [66] aonban e elenős neéségeke oko növel a smerelenek sámá és sükségessé es a adaok felosások kö ransformáóá am nformáóvesesége eredményee. A feladaok öbbségében aonban megelégedeünk a kaváó kevésbé gényes keelésével gyans a álagos nyomásérékek melle nemsak a sbkaváós nyomás anyagolaó el anem a kaváós eremfeléelek

13 Irodalm áeknés elesülésé s elég sak a felada semonából élserűen megválaso baaáron belül megköveeln. Eekben a eseekben a kaváós modelleésre kválóan alkalmas a konakmeankában séles körben alkalmao büneő araméeres megoldás melye W 986-ban [3] avasol elősör kenéselméle roblémáko mad 996-ban Pad [59] és ler ales és Ryrof 996 [6] alkalmao skeresen drodnamka kenésállaook modelleése során. Jelenős áránya a büneő araméeres enkának ogy gyan a nyomás ól kében ara de a konnás sérül a kaváós aáron am ermodnamka modelleés során roblémá elen így e módser ermo-drodnamka roblémák modelleésére ebben a formáában nem alkalmas. A eddgekben smeree kaások főkén a drodnamka kenéselméle roblémakörére konenrálódak. A megoldásoka főkén ks és köees saks vagy dnamks erelésű drodnamks lleve drosaks sklósaágyak rbológa elemésée késíeék. Így a megoldások némelyke gyan fgyelembe vee a skló felüleek deformáóá de nem sámolak a felüleek őmérsékle aására bekövekeő alakváloásával és a anyagállandóka s konsansnak veék eér sak a roblémák sűk körére alkalmaaóak. Aonban már 96-ban Marn [4] sámíásaból kderül ogy a felüleek deformáóának lleve a vskoás nyomás- és őmérséklefüggésének fgyelmen kívül agyásával rreálsan ks kenőflmvasagság adódna nagy konaknyomások eseén. Marn nem smere még fel akkor a ermo-elasodrodnamks kenés állaoo anem úgy véle ogy es-es érnkeés lé fel. Pedg a vskoás nyomás- és őmérséklefüggésére vonakoó első össefüggés 893-ból Barsól [9] sármak melye 963-ban Roelands [45] önö ú alakba de a kísérle eredményekkel a legobb egyeés a módosío WF formla ada melye 99-ben Wolff [38] alkalmao elősör ermo-elasodrodnamks robléma megoldásáo. Eek mndegykére ga ogy a vskoás a nyomás és a őmérsékle nemlneárs függvénye. A fordla 949-ben kövekee be amkor Grbn és nogaroda [4] felsmerék ogy a súsva gördülő géelemek mn éldál a fogaskerekek saágyak büykös meanmsok olyan nagy erelésnek sebességnek és súsásnak vannak kéve ogy lyen körülmények köö a nagy konaknyomás melle am akár öbb sá MPa s lee elenős őfelődés s fellé így nem lee fgyelmen kívül agyn a anyagellemők nyomásól és őmérsékleől való függésé és a felüleek deformáóá. ámíásakban fgyelembe veék a felüleek 3

14 Irodalm áeknés deformáóá és a vskoás növekedésé a nyomás függvényében és a így kao eredmények ó egyeés maak a kísérleekkel. Grbn kööl elsőkén olyan össefüggés a mnmáls kenőflm vasagságra néve melyben Marn megoldásával [4] ellenében nemsak a felüleek sebessége és a erelés sereel anem a érnkeő felüleekre vonakoó anyagellemő (G) s. Grbn kmaa ogy a EHD flmvasagság nagyságrenddel kevésbé érékeny a erelés váloására mna a felüleeke merevnek éelenénk fel. Cameron [55] kmaa ogy a Grbn álal leír saáosság ól egyek Erel 939-es [] eredményevel. A Grbn-Erel össefüggéskén smer egyenle még naankban s ól asnálaó a flmvasagság megaároására vonalérnkeés eseén. A össefüggés a későbbekben Dowson és Hggnson [38] mad Dowson [58] fnomíoa. nén Dowson és Hggnson [88] volak aok akk onserű érnkeés eseére s megadák a mnmáls flmvasagságo köelíő kélee melye később öbbekkel együ Cenden [6] onosío. Grbn amarosan kövee Persev 95-ben [5]. Ő vol a ak elősör ee köé a elasodrodnamks flm ellegees alaká és a nyomáseloslás. A felüleek deformáóának sámíásáo a félvégelen éren lévő megosló erelés aására kalakló deformáó- és fesülségmegoslás sámíására Bossnesq Cerr ove mosenko és Gooder álal kfelese analks megoldás asnálák és asnálák gyakora ma s melynek réslees össefoglalásá Jonson 985-ben [7] kado könyvében köl. A felüle deformáóka és a vskoás nyomásfüggésé fgyelembe vevő elasodrodnamka kaások melle egyelőre még függelen kaás ránykén főkén a sklósaágyaásokra konenrálan Coe (949) [3] és Carnes Oserle és abel (95) [6] mnkában megelenek a első drodnamka-ermodnamka kasol vsgálaok. Ugyan a Coe féle adabaks modellben a őmérsékle állandó a rés menén és a modell elanyagola a felüleeken keresül őveeés mégs meg kell különböen a agyományos oermks modellekől. Een a elven öbbekkel együ ernl 96-ben [4] blkála a egyk első olyan elasodrodnamks sámíás melyben fgyelembe veék a őfelődés. Egésen addg míg Dowson és Hdson (963) [44] a elsők köö felsmere a őveeés a flm vasagság menén a Coe modell vol a megaároóa a kaásoknak. Dowson és Mar (967) [56] MCallon (97) [68] és Ea és Rode (97) [7] mnkáa során alakl k a a egységes née msern a flmvasagság men 4

15 Irodalm áeknés őveeés és a relaív mogás rányába eső ősállíás a am megaároa a kenőflm őmérsékle-eloslásá. Eálal a ellks dfferenálegyenle könnyen megoldaó arabolkssá válk am egésen addg asnálaó míg elenős vssaáramlás nem lé fel a résben mely roblémára ganam és er 979-ben [9] lleve később Bonoman Fllon és Frêne 986-ban [9] íva fel a fgyelme. A kora kaásokban a felüleeke vagy állandó őmérsékleűnek vagy ökéleesen ősgeelőnek modelleék a ado roblémáól (Reynolds sám) függően. Aonban a elasodrodnamka roblémák eseében a érnkeés aromány méree oly ksny ogy mellee a esek végelen nagynak ekneőek. Eekben a eseekben a felüleek őmérséklee ól sámíaó Carslav és Jager [36] álal már 959-ban megelenee félvégelen éren mogó őforrás aására kalakló őmérsékle-eloslásra vonakoó össefüggés alaán. Aonban a konakóna őmérsékleének e úon való sámíása nem ves fgyelembe a érnkeő esek őleadásá a őbevel arományán kívül ovábbá vonal men érnkeés eseén nem alkalmaaó a álló felüle őmérsékleének sámíására. A környeeel való ősere aásá a félvégelen éren mogó őforrás ma kalakló őmérsékle-eloslására era adano és Kono 985- ben [5] blkála kmava a környee és a es kö őáadás ényeő aásá. Oboa Fa és F [8] sakíva a esek félvégelen érkén való modelleésével 986-ban fogaskerék fogak sméel mogó őforrás okoa őmérsékleváloásá sámíoa k analks úon melynek során a foga églaeskén modelleék. Aonban analks úon ovábbra sem vál sámíaóvá a álló felüle őmérsékle-eloslása vonal men érnkeés eseén. Eek sámíására ovábbra s sak nmerks módser alkalmaaó vagy ökéleesen ősgeelőnek feléeleeő a felüle. Mvel Reynolds a vskoás állandónak vee egyenleének leveeésekor a folyadékflm vasagságának menén sükségessé vál egy álalánosabb alakú egyenle felírása a ermo-elasodrodnamks roblémáko (EHD). 96-ben Dowson [4] és Hggnson megalkoa a álalánosío Reynolds egyenlee ben Ceng és ernl [5] köée egy nmerks megoldás fgyelembe véve a őmérsékle váloásá és a felüleek deformáó de a vskoás éréké a flmvasagság menén állandónak veék. Később Ceng fnomíoa a megoldás [5] [67] aal ogy fgyelembe vee a vskoás váloásá a flmvasagság menén. Ceng és ernl arra a kövekeeésre o ogy a résmére men 5

16 Irodalm áeknés őmérsékleváloás fgyelembevéele sem a nyomáseloslásra sem a flmvasagságra nns elenős aással elenős kaása van aonban a súrlódás ellenállásra. A Km és adeg lleve Wolff másokkal együ 99-ben [39] [43] blkál kaása bebonyíoák ogy a őmérsékle váloása elenős aással lee a flmvasagságra és een keresül a eervselő kéességre s. A ermoelasodrodnamks kenés állao eddgekben bemao vsgálaa kfeeeen a vékony kenőflmre és a nagy konaknyomásra vonakoak. Aonban sámos olyan ese léek amkor a előbb emlíe körülmények nem állnak fenn mégs fgyelembe kell venn a felüle deformáó és/vagy a őfelődés ovábbá a esek modelleésére on vagy vonalserű érnkeéseknél asnál félvégelen éren alaló köelíés a konakóna méree ma nem asnálaó. Ebbe a körbe aronak éldál a íüleek melyeke anner 966-ban [54] és Dowson 967-ben [57] vsgál elsőkén fgyelembe véve a sklófelüleek deformáóá; vagy a gékos gmabronsok víen fásának a elensége mely elemésében Browne Wker és Rode 975-ben [8] asnála fel elsőkén a elasodrodnamka elveke. A agyományos sklósaágyaásoknál s a felüleek deformáóa növel a kenőflmvasagságo és sökken a maxmáls nyomás melyre Carl 964-ben [5] blkál kísérlee ívák fel a fgyelme mad e később 97-ben kööl kkükben Benamn és Casell veék elősör fgyelembe a sámíások során. Rode és O 975-ben [78] végee el elősör a véges sélességű súskák komle ermo-elasodrodnamks vsgálaá melye a 99-es években öbbek köö Mwollen és Glenke [7] Boole Board Fllon Frêne [57] [58] és Monmossea [63] kao neníven. A EHD kenéselméle kaások egy másk elenős ránya a nem-newon kenőanyagok rbológáának megérésre öreksk. Mvel a kasolódás gen rövd alg egy mllsekndm a kenőanyag gyakora nem da a newon folyadék saáossága alaán köven a váloásoka. A Debora sám mely a relaxáós dő és a elenség lealás deének ányadosa segíségével Hlogol (975 [8]) és Borgn (979 [9]) kaásanak eredményekén kelöleővé vál a ogy ado eseben mlyen modell kell alkalman. A s vlágossá vál ogy a eseek öbbségében ól asnálaóak a lneárs vagy nemlneárs vskoás modellek így a álalánosío Reynolds modell alkalmas a EHD elenségek öbbségének a leírására. A álalánosío nem-newon Reynolds egyenlee a Bo-ad és Bere [] mnkáá köveve Wolff és Kbo [56] alkoa meg aonban 6

17 Irodalm áeknés Dowsonól [4] elérően fgyelmen kívül agyák a sűrűség résmen váloásá. A ermodnamka és nem-newon roblémakörök együes vsgálaában Conry [95] Wang és Zang [6] [3] és adeg [3] Hsao és Hamrok [4] érék el a első eredményeke. Mvel a érekeése sorosan nem kasolódnak nem smereem őke de a éma résleesen megalálaó er 998-ban kado könyvében [65] mely a fenebb emlíe mnkákkal együ kváló áeknés ad a émában. A Reynolds egyenle felállíása aogy a előbbekből kűnk sámos komlex robléma megoldása elő nyo a de a s bebonyosodo ogy a aráls dfferenálegyenle sak a legegyserűbb eseekben oldaó meg analksan a eseek öbbségében valamlyen nmerks elárásra van sükség. Een a éren a modern sámíógéek megelenése ndíoa meg a felődés mely alkalmaásával elsőkén Pnks vége sámíásoka 956-ban [8]. Een a erüleen Pnks köveve Ramond és Boyd 958-ban [34] Hays snén 958-ban [35] Gross 96-ben [43] és Casell és Prv 968-ban [59] ér el elenős eredményeke melyeknek kösöneően mnd a folyadék mnd a levegőkenésű sklósaágyak sne mnden ísára sülee nmerks sámíás. A sámíógées smláók és a komlexebb roblémák vsgálaa aonban arra s rámaak ogy elenős neéségeke oko a mmár erősen nemlneárs egyenle megoldása. A nmerks roblémák melyek már a felüle deformáók fgyelembevéelével bekövekeek elenősen nőek a vskoás nyomásól és őmérsékleől való függése ma. ükség vol eá olyan nmerks módserek felé fordln amelyek kéesek keeln a lyen ellegű roblémáka. Elene a kaások a véges dfferena módser asnálaára konenrálódak. A első olyan nmerks sámíásoka melyek során a Reynolds egyenlee és a felüleek deformáóá egy folyamaos drek-eráós elárással aároák meg Persev veeésével 95-ben végeék el. A megoldás során a a egyserű a köveék ogy a Reynolds egyenle megoldásával megaároák egy ado résgeomera melle a nyomás mad a nyomásból ksámíoák a deformáó. A megoldás aonban gen lassan konvergál elenős oslláók elenkeek így Dowson és Hggnson 959-ben [37] megkísérele a nver módser alkalmaásá. Elárásk alagondolaa a vol ogy egy ado kndló nyomáselosláso megaároák a sükséges résalako a Reynolds egyenle felasnálásával mad a kao résalako keresék meg a kíván deformáó léreoó nyomás. Ugyan a 7

18 Irodalm áeknés elárás konvergens és gen ól alkalmaaó nagy erelések eseén mégsem váloa be eles egésében a oá fűö reményeke mvel a felüle deformáóból vssasámol nyomáseloslás onos megaároása neékes a deformáó nyomásváloásra vonakoó vsonylag alasony érékenysége lleve neékes aomaálaósága ma. A sámíógéek megelenésével a érdeklődés úra a drek-eráós módser felé fordl mely alkalmaásával Hamrok és Dowson 976-ban [86] skeres sámíás eredményeke kööl. Ugyanakkor ebben a eseben a roblémá a vskoás nyomásra való gen nagy érékenysége elenee am elenősen megnövele a sámíás dő. Hoer és Hamrok 986-ban [] fas aroa seme néven ee köé a álalános Reynolds egyenle ewon-rason módserre éülő megoldás módseré mely aékonyan brkóo meg a erősen nemlneárs egyenlerendser megoldásával. E a módser asnála ee és Hamrok 99-ben [8] ermoelasodrodnamka sámíásoko bár ők nem állíoák elő a össes sükséges dervála. A első eles ewon-rason módserre éülő megoldás Hsao és Hamrok 99-ben [4] blkála. A ewon-rason módser áránya ogy a előállíandó Jaob márx el márx mely előállíásáo és a egyenlerendser megoldásáo nagysámú nmerks művelee kell végen lleve nagy áérkaaás gényel. E a árány gyan a sámíógéek felődésével kevésbé érékeleő aonban ovábbra s gáa annak ogy a kenéselméle sámíásoka komlex serkee analísek résekén végeük el. A áérkaaások és a eráós sám sökkenésére a ewon-rason módser melle a eremérék feladaok megoldására a 7-es években Brand [9] álal bemao mlgrdmllevel módser s alkalmas melye bre ael és Bosma ben [5] alkalmao skeresen elasodrodnamka robléma megoldására. Mvel a módser a Gass-edel relaxáós algorms asnála a megoldás keresésére sakúgy mn a korábban elered drek-eráós módserek gen gyorsan néserű le. enner-ael [44] [45] valamn Hs-ee [5] [53] a 99-es évek első felében kmaák ogy a mlgrd-mllevel módserrel a robléma sámíásgényessége lényegesen sökkeneő a agyományos Gass-edel relaxáós algorms asnáló drek megoldás módsereke kées. A mlgrdmllevel megoldás aékonysága növeleő a drek- és a ewon-rason eráó kombnálásával. Cang Conry és Csano 989-ben [] köée mnkáában egy gen aékony módser mao be melynek során a Reynolds 8

19 Irodalm áeknés egyenle megoldására asnálák sak ewon-rason módser aol aonban a Jaob márxnak sak a rdagonáls résé veék fgyelembe a résmére sámíására edg a agyományos drek módser asnálák. E óbb módser ovábbfelesésével Dowson és Wang 994-ben [5] maa be a Effeve Inflene ewon módser (EI) mely alkalmaásával aok a elemek sereelnek a Jaob márxban amelyek érdem aással vannak a eredményre. ermo-elasodrodnamks roblémának bre és ársanak [] mlgrdmllevel módserre éülő megoldásá 99-ben adeg és [6] blkála a elsők köö mad ben Km és adeg [39] [46] felesee ovább konrol érfogaelárás alkalmava a őmérsékle sámíására. ee és Hs [48] [5] ben a lokáls ewon-rason lnearáó asnála skeresen a nyomás és a őmérsékle együes megoldásáo. análaosan eeknél a módsereknél s megalálaók a véges dfferena módser asnálaából adódó árányok mn éldál a nagysámú onok sükségessége a neé aomaálaóság mnd a konakóna felosása mnd a robléma nmerks megoldása ekneében. A sámíás aomaálaóságára leeséges megoldásnak lásk a véges érfogaok módserének alkalmaása amre aonban sak elvéve akad róbálkoás a kenéselméle árgykörében de a elesség kedvéér meg kell emlíen Argr és Frene -ben [7] és W és Bogy -ben [7] blkál megoldásá. Ennek magyaráaa a ogy a véges érfogaok módsere gyan megerem a megoldás aomaálaóságának és sofverbe mlemenálásának leeőségé amre alálnk s éldá [75] aonban a kenéselméle roblémá leeőség sern a valós serkee kasol rendserekén kellene megoldan. Erre a véges érfoga módser a ermodnamka oldalról leeősége erem gyanakkor a serkee analís erén ellemően a végeselemmódser lleve a eremelem-módser a elered. Peremelem-módser alkalmaására sem alálnk aonban sámoevő blkáó. A óbb években gyan Xe Gen és m [6] lleve Onsa Basr aan Mega Amed és adqe [69] skeresen asnála a eremelem-módser vonal men érnkeés kenéselméle roblémáának megoldására de a módser keresésére on vagy folserű érnkeés eseében lleve a ermodnamka felada keelésének megoldására még nem sülee kísérle amnek valósínűleg a eremelemmódser maemaka áerének össeesége a oka. Erre a felevésre a enged kövekeen ogy a eremelem-módser egyéb olyan erüleeken való 9

20 Irodalm áeknés eleredése aol erős nem lnearásokkal kell megbrkón asonló okok ma vára magára. erméseesen e nem elen a ogy a későbbekben sem álla be fordla een a éren. aankban vaaalan a végeselem-módser érnyerése a serkee és kasol rendserek analíse erén. éserűségé annak kösöne ogy a. sáad eleén kdolgoo varáós elveke (Rayleg R monsenko Bbnov- Galorkn sb. [68]) melyekkel a dfferena módserrel ellenében a séleken gond nélkül fgyelembe lee venn a eremfeléeleke főleg Coran [] és rner [3] mnkáának kösöneően skeresen alkalmaak elméleleg esőlegesen bonyoll geomeráú aromány eseén s. E eremee meg a leeőségé a 96-as évekől kedődően a legkülönböőbb feladaok megoldására kées álalános és seáls végeselem rogramrendserek kfelődésének amvel a módser a mérnök analísek álalánosan elfogado nmerks módserévé vál. A rbológsok a 6-as években fordlak a végeselem-módser felé. A elsők köül a vakoások sámossága ma elsősorban Redd kell megemlíen ak 969-ben [6] oldo meg végeselem-módserrel egy egyserű rbológa roblémá amkor egy egyenleesen sűkülő végelen séles résben aároa meg a nyomáseloslás. Redd nem a Reynolds egyenlee anem a aver-okes egyenlee oldoa meg így a résvasagság menén s öbb eleme kelle felvenne. Redd C-val köösen 97-ben [66] skeresen alkalmaa a végeselem-módser össenyomaó kenőanyagokra s. Reddvel egy dőben Fno [6] Argyrs és arf [63] Wada Hayas és Mga [69] [7] valamn Allan [7] s bemao végeselem módserre éülő megoldás de a Reynolds egyenle varáós módserre éülő megoldásá elsőkén Booker és Hebner [73] 97-ben kööle résleesen. Wada Hayas és Mga össeasonlíás vége a végeselem és a véges dfferena módser onossága köö és úgy alála ogy gyanolyan álósűrűségnél a végeselem-módser onosabb megoldás ad. Aonban mndenké meg kell a s egyenünk ogy sak een a alaon nem döneő el ogy melyk asnálaó obban. A 7-es években sámos kkben mn éldál Hays [66] (dssson) Rode és MAllser [75] [77] vagy Allare olas és Gner [87] blkáó foglalkooak a végeselem módser onosságával aékonyságával és úgy alálák ogy a végeselem-módser eseén nagy elenőséggel bír a áló orenálsága lleve a somóonok ndexelése. Míg a előbb a megoldás onosságára addg a óbb a megoldandó algebra

21 Irodalm áeknés egyenlerendser sávsélességére a így a megoldás deé befolyásola. E felsmerések mára már rválsak és a sámíógéek felődésével veseek fonosságkból de akkorban elenőséggel bírak. Mndaonálal rámaak a végeselem-módser néány olyan alkalmaásbel neéségére am a későbbekben árálaa a módser eleredésé e erüleen egésen a ma nag. A eddgekben smeree megoldások során a Reynolds egyenle gyengenegrál alaká úgy fogaák fel mn egy kvadraks fnkonál első varáóá. Aonban nemlneárs eseekben gyakora nem alálaó lyen fnkonál. Elasodrodnamka ermo-elasodrodnamka vsgálaoknál eá más varáós elvre vol sükség a algebra egyenlerendser előállíásáo. A 7-es években aylor és O Callaan [74] valamn Rode és O [83] kööle a Reynolds egyenle Rayleg-R módserre éülő megoldásá. Mndké megoldás ól bonyíoa a végeselem-módser asnálaóságá elasodrodnamka roblémák eseén noa sak egyserű drek eráós elárás asnálak a megoldás keresésére klsba foglalva a nyomás és a résmére váloás sámíásá lleve a kor sámíásenka megköösége ma sak kevés elemre osoák fel a konakaromány és nem keelék a kaváós eremfeléel. A megoldás keresésére Rode és O [83] a Reynolds egyenle növekményes alaká asnála kegésíve a a lneárs eráós módserrel IM (erelés lésőnkén növelése) mely aékonynak bonyl. A őmérsékle aásoka fgyelembe vevő első végeselemes kenéselméle sámíások Hebneről sármanak [85]. A álalánosío Reynolds és a energa egyenle kasol megoldásá aonban Crner és aylor 98-ben [97] maa be vonal érnkeés eseére. A e köveő években a végeselem-módser asnálaára főkén a sklósaágyak EHD-EHD vsgálaa erén láank éldáka mvel a félvégelen érkén nem modelleeő serkee egységek deformáóának fgyelembevéelére e a módser nkáls leeősége ereme. és Booker 983-ban [99] mad aboff és Booker 985- ben [3] bemao mnkáában skeresen alkalmaa a végeselem módser ranens elasodrodnamka vsgálaoko fgyelembe véve a kaváós eremfeléel. Gen 985-ben köée kkében [4] végeselem módserre éülő EHD sámíása során mnd őmérsékleváloásból mnd a drodnamka nyomásból együesen sármaó deformáóka sámíásba vee mad 988-ban [7] megelen mnkáában megeleníee a őmérsékle résmen váloásá s. Een a erüleen később Frend és e 993-ban [47] főkén a salealás

22 Irodalm áeknés fgyelembevéelével ér el úabb eredményeke. Aonban eek a vsgálaok olyan eseekre vonakonak amkor a nyomásérékek nem olyan nagyok ogy érdem aással legyenek a vskoás érékére eá főkén olyan sklósaágyak elemésére alkalmasak aol nem anyagolaó el a felüleek deformáóa és ebből kövekeően soksor a Reynolds egyenle blneárs formáá alkalmaák. agy konaknyomás eseén a elasodrodnamka roblémá sak naankban a sámíásenka kööségek sökkenésével kedék úra végeselem módserrel elemen. Hsao Bordon Hamrok és r 998-ban [64] [66] oldo meg ellks érnkeés EHD roblémá nem-newon kenőanyag eseén végeselemmódserrel. Míg Drany Garía és áqe -ben [76] e köé asonló végeselem módserre éülő megoldás. A ké megoldás kö különbség főkén a megoldó algormsban és a kaváó keelésében makok meg. Hsao és ársa ewon-rason Drany és ársa drek eráós módser asnálak a egyenlerendser megoldásáo. Hsao és ársa a végeselem áló gaíoák a kaváós eremfeléele míg Drany és ársa a Elrod-Adams kaváós modell asnálák. Aonban egyk megoldásban sem veék fgyelembe a őmérsékle váloásá. A nagy konaknyomás során a ermo-elasodrodnamka robléma végeselem-modellé sak vonal érnkeés eseére alálk meg Pgallo [6] lleve Pad [59] álal 996-ban köée kkekben vson a asnál büneőaraméeres kaváós algorms módosíás nélkül nem felel meg a ömegmegmaradás örvényének. Pad mnkáának a különlegessége a ogy felíva a fgyelme a álalánosan asnál Rayleg-R varáós módseről elérő Perov-Galerkn módser alkalmaásának előnyere a energa egyenle oslláóának elkerülése érdekében. Pgallo [6] a nemlneárs egyenle megoldásáo a Effeve Inflene ewon módser (EI) asnála mvel a nagysámú smerelenek ma a ewon-rason módser során előállíandó Jaob márx elíesége elenősen megnövele volna a megoldás dőgényé. Eel annak ellenére elenős dőmegakaríás ér el ogy lényegesen öbb eráós léés kelle végreaana. A sámíás dő sökkenésére Arena Doallo orño és áqe -ben [74] egy másk leeséges módser aralel algorms alkalmao skeresen a megoldás keresése során. Aonban a eddg emlíe végeselemes megoldások sne kvéel nélkül lneárs vagy kvadraks aroxmáóra éülnek így fnom áló kell alkalman. A végeselem módser gyanakkor megenged a nemlneárs aroxmáós

23 Irodalm áeknés függvények asnálaá s köveelménykén sak a saba meg ogy a elemen belül folyonosan derválaónak kell lenne a aáron a C folyonosság állon fenn elesülön a elesség elve és leeőleg ó oronormálsággal rendelkeen [68]. E a leeősége kasnálva Ergaods Irons és Zenkew 968-ban [6] a agrange olnomoka alkalmaa kvadraks oaramerks elemenek feléíésée. agrange olnomok segíségével elméleleg leeséges másodfokúnál magasabb foksámú köelíő függvényeke s asnáln. Aonban a oaramerks elemeknél nem élserű másod vagy armadfokúnál magasabb foksámú eleme alkalman mvel a geomera aroxmáóo elegendő álalában a másodfokú köelíés erarks elemek edg nem éíeőek fel agrange olnomok segíségével ovábbá a alasonyabb foksámú köelíése aroó eredmények nem asnálaóak fel ransformáó nélkül a magasabb foksámúo. Ugyanakkor a olyan eleme kívánnk feléíen amelyekkel a kao eredmények kövelenül felasnálaóak a magasabb fokú köelíéseke mn kndló állao akkor abó Babska és Ka avaslaa [96] alaán egendre olnomoka élserű felasnáln a elemek feléíésée. A így kao erarks elemsalád úllé a oaramerks elemfelfogáson és elesen függelenné es a koordnáa rendser ransformáóá a smerelen meők köelíéséől. Mvel a sámíás során a magasabb foksámú megoldáso asnál köelíő függvények aralmaák a alasonyabb fokúo aróóaka a foksám emelésével kao eredménysoroa kválóan alkalmas mnd ba- mnd konvergena-aár beslésre [37]. Kenéselméle vonakoásban eddg egyedül gyen e köé agrange és erarks de nem egendre ísú olnómks aroxmáóra vegyesen éülő megoldás 99-ben [9]. gyen sak egyserű sűkülő rés és lésős sar eseén aároa meg a nyomáseloslás és a felüleeke ökéleesen merevnek eknee. Eredményeből aonban láaó ogy a álósűrűség nagyságrendekkel ksebb lee. Példál a a nyomás köelíésére 5-öd 6-od fokú olnomks köelíés asnálnk egyenleesen sűkülő résnél egyelen elem felvéele elégséges. gyen később össenyomaó kenőanyagokra s alkalmaa a - verós végeselem módser [49] [67]. oa a agrange ísú elemek megfelelőek a aromány geomeráának leírására egendre ísú erarks elemek s alkalmaaóak. Különösen kívánaos e akkor a a 3

24 Irodalm áeknés elasodrodnamka roblémáknál a résmére deformáóának sámíásá s erarks elemekre éülő -verós végeselem módserrel kívánk elvégen. Ennek ellenére sán a egendre féle erarks elemsalád alkalmaására a kenéselméle roblémák megoldása során sak een érekeés alaá kéeő kaás előrealadásá bemaó blkáósoroaban alálank éldá {}-{5}. Pon vagy vonalserű érnkeés roblémák eseén a ermoelasodrodnamka sámíások során a felüle deformáó a megosló erelés félvégelen éren okoo deformáóa alaán sámíák. égeselem módserre éülő megoldásnál leeővé válk a felüle deformáó és őmérsékle nmerks megaároása olyan eseekben s amkor a slárd es félvégelen érkén való modelleése nem megengedeő. A -verós elméle leeővé es ogy ekkor se kellen fnom áló alkalman a felüle deformáó sámíásáo. A előbb fokooan ga a kenőanyag őmérsékle-eloslásának megaároásánál. A analks kéleek gyan gyakran ó köelíés adnak a felüleeken keresül örénő ősállíásra abban a eseben a a felüleek elenős sebességgel moognak. Aonban olyan eseekben amkor valamelyk felüle ks sebességgel moog vagy áll vagy sak dnamks erelés van és a felüleek nem moognak a analks össefüggések nem asnálaóak. A -verós végeselem-módser eekben a eseekben s kées megbíaó eredmény adn. Mvel -verós végeselemmódsernél nem oaramerks elemeke alkalmank a geomera lekéés függvénye nem sükségserűen egyenek meg a smerelen meő megaároásáo asnál alakfüggvényekkel. A assoaív geomera lekéése felasnálak a konakesek elméle felüleenek aramerks egyenlee így a geomera lekéés nem köelíő anem a elméle geomerának megfelelő. A fen leírakból láaó ogy a -verós végeselem-módser kváló leeőségeke nyú aok sámára akk nmerks módser kívánnak felasnáln a mérnök kaások során megaároandó smerelen meők ksámíására. A módser előnye már sámos CAA rogramrendser gyeksk kasnáln (resscek ProMeanka I-Deas Ansys) aonban a elasodrodnamka ermo-elasodrodnamka roblémá aok köé a feladaok köé sorolak aol még a adaáó nem örén meg noa a leeőségek adoak. 4

25 Irodalm áeknés HD Osborne Reynolds (886) FEM Coran (943) EHD Dowson & Hggnson (96) s srre analyss by FEM rner (956) EHD Ceng & ernl (965) FEM for lbraon Redd & C (97) -verson FEM Zenkew (97) Fas aroa me. for EHD Hoer & Hamrok (986) egende fnons for -FEM Babska & abo (979) m. solv me. for EHD adeg (99) -FEM for HD roblems gyen (99) -FEM for EHD Frend and e (993) -FEM for EHD? 3.. ábra ermo-elasodrodnamka feladaok megoldásának felődése A fen öréne áeknésből így adódk (3.. ábra) a ermoelasodrodnamks roblémák végeselem-módseren alaló megoldásának egy olyan leeséges móda mely aonos a érekeés élkűésével. A 3.. ábrán a HD-drodnamka EHD- elasodrodnamka EHD- ermo-elasoodrodnamka FEM- végeselem módser (fne elemen meod) -FEM -FEM a ll. veróú végeselem módser rövdíése. 5

26 A dolgoa feléíése (4.) A dolgoa feléíése Aogy már a beveeőben s emlíeem a dolgoa alaveő éla a ermoelasodrodnamks roblémák végeselem-módseren alaló megoldásának egy olyan leeséges módának bemaása aol a nyomás- és őmérsékle-eloslás köelíése esőleges foksámú olnomokkal öréne és a kenőflm kaváó aására való megsűnése a feléelee konak-aromány fnom felosása nélkül modelleeő. Annak érdekében ogy a él megvalósíaó legyen a kövekeő lééseken kell véggaladn: A felada álalános megfogalmaása A elasodrodnamka alaegyenleek és eremfeléelek bemaása Álalánosío Reynolds egyenle Félvégelen és véges esek nyomás aására bekövekeő deformáóa A ermodnamka alaegyenleek és eremfeléelek bemaása Kenőanyag energamérlege Mogó félvégelen és véges eseken megosló őforrás aására kalakló őmérsékle-eloslás és deformáóa Kenőanyag modell kválasása égeselem modell bemaása aráós elv kválasása A kválaso varáós elvnek megfelelő gyenge negrál alakú megoldásokra vonakoó egyenleek leveeése A aroxmáós függvénysoor és a geomera lekéés smereése Peremfeléelek bemaása A kenéselméle a slárdságan és a őan modellek kasolása Kaváós eremfeléel smereése A kaváó megeleníésének móda A módser végeselem modellen belül megeleníése sükséges váloaások megéele A ellenőrő sámíások bemaása egyserű drodnamka esere A smeree módserre vonakoó ellenőrő sámíások bemaása merks megoldás algorms smereése Ellenőrő sámíások bemaása A eredmények és a ések össefoglalása 6

27 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele (5.) A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele. es. felüle ( ) y Konak óna (A ). felüle ( ) x. es Konak óna aára ( ) 5.. ábra Érnkeő esek A 5.. ábra maa a folyadéksúrlódás állaoában lévő folserűen érnkeő felüleárok álalánosío eseé. A esek egymáso vsonyío relaív elmodlásának kövekeében a esek kö rés kenőanyag öl k mely mogásának aására drodnamka nyomás alakl k. A kenőanyag mogásá a felüleek egymáso vsonyío relaív mogásának aására a kenőanyagban felléő súsaófesülség vála k. A érnkeő esek knemaka állaoa és egy ado résgeomera melle a érnkeő felüleeken felléő nyomásmegoslás kées egyensúly aran a felüleeke össesoríó erővel megakadályova a es-es kasolao. Ado eseben a felüleeke erelő nyomáseloslás lleve a kenőanyagban felléő súsaófesülségek aására kéődő ődssáó okoa lokáls vagy globáls őmérséklenövekedés akkorává vála ogy a felüleek fgyelmen kívül nem agyaó deformáóá okoaa ovábbá kaa a kenőanyag anyagellemőre. áaó eá ogy amennyben ermoelasodrodnamka kenés vsonyok kö kívánk modellen a érnkeés során 7

28 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele kalakló körülményeke egyserre kasolan kell megoldannk drodnamka ermodnamka és slárdságan roblémá melyek már önmagkban s de a különböő konnmok anyagellemőnek állaofüggése ma s erősen nemlneárs rendser alkonak. Aonban a árom fő erüle alaegyenlee eknve ól elkülöníeőek egymásól. A kenéselméle konakfeladao a ellegéből adódóan álalánosságban olyan görbevonalú koordnáa rendser élserű asnáln mely engelye a érnkeés köéfelüleének normálsa. Aonban on vagy folserű érnkeés eseén a érnkeés köéfelülee olyan síknak ekneő melynek normálsa áramos a össesoríó erő aásvonalával. Ennek kövekeében a vsgálao és a elenség leírásáo olyan deréksögű koordnáa rendser asnálaa a legkéenfekvőbb melynek engelye egybeesk a erő aásvonalával. (5.) Alaegyenleek A alábbakban leveeések nélkül össefoglalk a ovább vsgálao sükséges fogalmaka egyenleeke. A vekorok és enorok köö skalárs sorás a késeres skalárs sorás a dadks sorás elöl. (5..) Konnás és Mogásegyenle A sűrűségű v w egyenle [55]: d d vagy mvel a maeráls dervál d() () d q m sebességvekorú konnmra a konnás (5...) () (5...) (5...3) aol q m a ömegáram:. (5...4) q m 8

29 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele A folyadék álalános mogásegyenlee f érfoga erőrendser nenása eseén: d σ f (5...5) d mely a ömegmegmaradás örvénye (5...3)-(5...) ma a kövekeő alako öl: d σ f lleve σ f (5...6) d aol a fesülség enor felbonaó a kövekeőkéen: σ σ I (5...7) aol a fesülség deváor enor míg a nyomás I egységenor. A nvaránsából 3 σ I nyomás érelmeése sern a fesülség enor első skalárs σ I 3 sármaaaó:. (5...8) A kenőanyagok eseében a alakváloás sebesség D és a deváor enor kö soros kasola áll fenn mely álalában a kövekeő alakban íraó le [65]: D F Aσ eq eq σ (5...9) aol F( eq ) egy ado kenőanyagmodellre ellemő függvény A=/G vagy a a kenőanyag össenyomaósága elanyagolaó míg eq súsaófesülség mely érelmeés sern: a egyenérékű σσ. (5...) eq A alakváloás sebesség enor érelmeés sern: D. (5...) A (5...9) egyleben serelő F( eq ) függvények különböő kenőanyagmodell ísokra éldál [65] alaán a kövekeők leenek: ln F eq eq ewon E eq F eq Eyrng sn E eq F eq vskolasks F eq eq F eq egyserű vskolasks eq eq eq (5...) rlar 9

30 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele melyben E a Eyrng-súsaófesülség míg a aár-súsaófesülség. A a nyomás lneárs függvényének ekneő és l aár-súsaófesülség nllon érékével és anyag araméerekkel felíraó mn. (5...3) l (5..) Energaegyenle: A kövekeő egyenle a energa megmaradásá fee k vagys a eles energa dőegység ala megváloása egyenlő a dőegységre vonakoao külső erelés mnkáával és környee őserével: d v d Ξ ρ aol a kenőanyag belső súrlódásából sármaó dssáó: (5...) Ξ σd (5...) - a őmérsékle v a állandó érfogara vonakoao faő. Amennyben a konnm v állandó érfogara vonakoao faő a őmérsékleől függelenül állandónak eknük: v d d Ξ ρ össenyomaalan folyadékra ( ) v Ξ ρ (5...3). (5...4) (5.) Álalánosío Reynolds felada on vagy folserű érnkeés eseén A br O. Reynolds [8] 886-ban köée megoldásával elére ogy ado résgeomeránál (ado (xy)) a érbel sebességmeő és nyomáseloslás elye kenéselméle feladaok megoldásáo elegendő egy résvasagság menén ve álagnyomás megaáron ( (xy) ) mely alkalmas a résben lealó áramlásan elenség leírására. 96-ben Dowson [4] és Hggnson megalkoa newon kenőanyagokra a álalánosío Reynolds egyenlee melyben fgyelembe veék a résmen őmérséklekülönbség okoa vskoás- és sűrűségváloás. A álalánosío nem-newon Reynolds egyenlee a Bo-ad és Bere [] 3

31 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele mnkáá köveve Wolff és Kbo [56] alkoa meg aonban Dowsonól [4] elérően fgyelmen kívül agyák a sűrűség eseleges résmen váloásá. Ao vson ogy a kdolgoásra kerülő módser a leeő legsélesebb körben legyen alkalmaaó a ermo-elasodrodnamka feladaok megoldása során elengedeelen a álalánosío Reynolds egyenle olyan alakban örénő felírása mely a sokványos kenőanyagmodellek mndegykére érvényes és a leeő legkevesebb elanyagolás aralmaa. Egyes eseekben a résben lealó áramlás rblenssé vála. Amennyben e megörénk a dőben kvá állandó ellemőkre (l. Ā) a rblena ma egy gyors erodks ngadoás (l. A) seronálódk q q ` q (5..) m m m aol ` ` ` ` ` (5..) q m ` (5..3) ` (5..4) σ σ `σ. (5..5) Álalában a rblenából sármaó ngadoás megaároása nem sak a dőbel álagol érékek a fonosak így a folyadék álalános Reynolds féle mogásegyenleé alkalmaak a áramlás leírására: dq m d`q m qm σ f `q m ` (5..6) d d vagy máské σ f ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` (5..7) aol =állandó eseén érelmeés sern ` ` (5..8) a Reynolds féle lásólagos rblens fesülségenor mely úabb 6 smerelen aralma melyek megaároásáo nem áll rendelkeésre úabb egyenle és a lamnárs áramlással ellenében a árlékos fesülségenor és a alakváloás sebességenor kasolaa nem smer sak emrks-félemrks oések léenek. Eek köül elsők köö emlíeő Bossenesq álal beveee és a 3

32 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele kenéselméleben gyakora asnál örvény vskoás megaároására solgáló Prandl lleve Kármán ódor keveredés úossra alaló oése. A Kármánféle kédmenós asonlóság oés áromdmenós esere Cbere bor eresee k [7]. Míg Prandl oése a áramlás aároló falakól ávol nem alkalmaaó addg Kármán modelle a kísérleekkel ó egyeés ma ebben a arományban s. A kenéselméleben aonban Kármán oése nem ered el a ks résvasagság ma. A kenéselméle sámíásoko Prandl oése melle sámos egyéb modell s kfeleseek melyek réslees smereése megalálaó er 998-ban kado könyvében [65]. A rblená fgyelembe vevő sámíások kmaák ogy bonyos kenés állaookban elenős elérések makonak a eredményekben aokól aol a sámíásoka lamnárs áramlás feléeleésével végeék el. A elasodrodnamka kenés körülmények köö aonban a áramlás lamnársnak ekneő mvel a résmére gen ks alg ár m. Így a rblená elanyagolva a dőben álagol agok ekneők a folyadék mogásának leírására solgáló ellemőnek melyek megkülönböeő elölésé a ovábbakban el lee agyn. Ennek kövekeében a dőben álagol mennységekre a mogásegyenlee a kövekeő formában alkalmaak σ f (5..9) melyben a és a agok ellemk a áramló köeg neráá σ a belső megosló erőrendser míg f a külső megosló erőaás. A ag sak akkor válk sámoevővé a a felüleek gyors ks amlúdóú regés végenek. A a konvekív nera ag melynek fgyelembe véele sak nagy Reynolds sámú áramlás eseén sükséges [65] mely eseünkben nem áll fenn. Ennek kövekeében elasodrodnamka kenéselméle roblémák vsgálaa során álalánosan elfogado a eeelenség erőrendser elanyagolása. A graváós vagy más érbel erőrendser aása sak akkor érvényesüle a gen ks a konaknyomás így a elasodrodnamka vsgálaok során ennek a résnek a fgyelembevéele sem sükséges. Aa a (5..9) mogásegyenle 3

33 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele elasodrodnamka kenéselméle körülmények köö a kövekeő egyensúly kfeeő alakra egyserűsödk: σ (5..) am (5...7) fgyelembevéelével: σ (5..) alako nyer aol a nyomás a fesülség deváor enor. A Reynolds féle dmenóanalísre alaoo köelíések alaán Wolff és Kbo [56] sern a konak feladaok geomera vsonyara ekneel a (5..) egyenle 5.. ábra koordnáa rendseré alal véve a kövekeő alako öl: x x y x y σ ; ;. (5..) y x y ovábbá a áramlás vsonyok ma σ és σ és eér a első skalárs I x nvaráns elűnéséből aa σ -ra való ekneel kövekek ogy σ így a fesülség deváor enor: x σ y. (5..3) x y Mvel a nyomás alg válok a résvasagság menén Dowson [4] alaán felíraó x y x y A x y. (5..4) és köö a negrálálagá véve menén kak ogy A (5..5) x y d d d. (5..6) Így x y x y. (5..7) Eek alaán (5..) alaán kak éldál ogy x y x y x. (5..8) y y 33

34 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele A felada geomera vsonyaból eredően feléeleeő ogy a résmen dervál nagyságrendekkel nagyobb a másk ké rányba ve derválnál eér felíraó ogy x x y y ( érelmeése alaán állandó a résvasagság menén). (5..9) Mvel sak a résmenén álagol nyomás keressük a elölésmód egyserűsíése vége a ovábbakban elye kerül alkalmaásra. A (5...9) egyenle érelmében a fesülség deváor enor eleme eá: x y eq F F eq d A d v eq y A d eq d x. (5..) Célserűségből veessük be a kövekeő elölésformá: valamn így v x σ σ e. y ; w x így y Een elölések segíségével (5..9) ma eq dσ A (5..) F eq d lleve σ F eq A d eq dσ. (5..) A 5.. ábra álal bemao eremfeléelek a felüleeken: : v w w. : v w w. 34

35 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele 35 Ennek segíségével a résvasagság menén előbb egyser mad késer negrálva a (5..) egyenlee felíraó ogy: d dσ A F K F F F eq eq (5..3) eq qe e eq e eq d d dσ A d F F K d F F F d F (5..4) aol y x eq eq eq eq d d Ad d d Ad d d dσ A K d F F d F F. (5..5) Inegrálk a (5...3) konnás egyenlee sern: m m m m m m m m m q q q q d q q q q d q d d q d d q (5..6) aol: w w q q q q q w q q m m m m m m. (5..7) A soranegrálás sabály felasnálva: m K K G G F F K G F d d d q q 3 3. (5..8)

36 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele 36 Mvel d d (5..9) (5..4) és (5..3) felasnálásával kak ogy: K F F K F d 3 (5..3) lleve: K G F K G G d 3 (5..3) aol: ; ; ; e e e e e e e e e e d d d d A K d d d A K d G d d F G d d F F F d F G d F F F F F d F F. (5..3) Így a álalánosío Reynolds egyenle a kövekeő formában fog előálln: 3 3 w w K K G G F F K G F d (5..33) mely a sokásos mérevsonyokból adódó Reynolds álal beveee lleve a rblens és a nera agokon kívül egyéb elanyagolásoka nem aralma. A Dowson féle vskoás-sűrűség függvények módosío F G (5..5) (5..3) alaka egyarán érvényesek newon és (5...9)-nak megfelelő nem-newon kenőanyag eseén fgyelembe véve mnd a vskoás mnd a sűrűség és annak derválának résmen váloásá. Így a sűrűség és annak derválának résmen váloásá s fgyelembe vevő eddg legálalánosabb alaknak ekneő.

37 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele A felüleek sebességének résvasagság rányú össeevőe eseén a sokásos felbonás alkalmava: W x ) w ( (5..34) w y W x ) ( (5..35) y a (5..33) a kövekeő alakban áll elő: d F G K F G G K K W W F 3 eessük be a alább függvényeke: Φ F G 3 K F G 3 G3 K K Ψ F. (5..36) Ω W W d. (5..37) Így (5..36) a álalánosío Reynolds egyenle: R r... Ψ Φ Ω (5..38) eq lleve a résvasagság men ömegáram q Ψ Φ. (5..39) A megoldás keresése során a (5..38) váloónak olyan éréké keressük melyre a maradványfüggvény éréke. A egyenle váloó nem függelenek egymásól anem aoka különböő egyenleek mn l. a vskoás nyomás és őmérsékle függésé leíró vagy a (5..)-(5...) egyenle kasola össe. Ugyanakkor a eseek elenős résénél a váloók kö össefüggéseke nem lee exl alakban felírn. Ennek kövekeében a nmerks megoldás során a váloóknak kedőéréke kell adn mad a feladao egy kválaso váloóra (álalában -re) néve meg kell oldan míg a öbb váloó ( eq ) rögíve marad. E köveően a kválaso váloó ú érékée kell megaáron a öbb váloó éréké melyek a kövekeő eráós léés ú kndló érékekén fognak sereeln. Így a. eráós léésben a Reynolds egyenle maradványéréke a kövekeő les: R Ψ Φ Ω. (5..4) 37

38 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele A megoldás meneének semléleésé solgála a 5.. ábra. A eráós léések során a rögíe - melle -re néve megoldo (5..4) sern R( - ) maradványfüggvények kedveő eseben egyre obban egybeesnek mad a (5..38) sern R() függvénnyel konvergálva eel a * egak megoldáso. Aonban e nem mnden eseben áll fenn. Ilyenkor a eseleges oslláó megsüneésére és a nmerks megoldás konvergenáának sablálására megoldás elene a - léések kö grások sllaíása (l. + = +(-) - ; =..) R R( - - ) R() R( - ) - * 5.. ábra Megoldás álalános meneének semléleése (5..) A érnkeés óna aárán a eremfeléelek kaváó = a av (xy) q (xy) q n =q a 5.3. ábra A konak óna aára és a kaváós erem A kenés roblémák leírása során egyserre alálkonk oeksan feléelee eremen megado eremfeléelekkel lleve a énylegesen kalakló kenés óna aárá alkoó sabaderemre vonakoó megköésekkel. 38

39 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele A oeksan feléelee eremen egyrés a nyomásmeőre felíraó elsődleges: xy (5...) a Γ másrés a eremen ááramló kenőanyag mennységé megadó másodlagos eremfeléelek alálaók q Γ n q q xy Γ. (5...) Γ n a q aol a a külső nyomás q a a eremen ááramló kenőanyag mennysége. Aonban a oeksan feléelee eremű kenés aromány a eseek elenős résében nem egyek meg a énylegesen folyonos kenőanyaggal kölö arománnyal. A ényleges kenés aromány eremének ( av ) elye előre nem smer vson a rá vonakoó ellemők alaán megaároaó. Abban a eseben a a kenőflm kaváó aására sűnk meg és eleknünk a sbkaváós nyomásól akkor a elsődleges és másodlagos eremfeléel melle elesülne kell a kaváós arományokban és annak aáran a wf-eber [65] álal beveee kaváós eremfeléelnek melye a rodalomban wf-eber eremfeléelnek sokás neven: xy Γ. (5...3) q aol a kaváós vagy saráós nyomás. Míg a elsődleges és másodlagos ermfeléel (5...)-(5...) eesíése nem elen különösebb neésége addg a kaváós eremfeléel (5...3) sámos roblémá oko. A megoldás során a neéség elsősorban abban áll ogy a kaváóval megsűnő kenőflm aára nem smerek. Ennek kövekeében a kndláskén feléelee aromány aára nem egyenek meg a kenőflm valós aáraval ( ábra). Így a korábban omogén fású folyonos kenőflmre felír össefüggések nem alkalmaaóak a feléelee álal aárol aromány egésén. (5...) Jelenleg asnálaos megoldások a kaváó keelésére Mn aogy a (3.) feeeben smereésre kerül a wf-eber eremfeléel kelégíése vagy a aromány aáranak váloaásával vagy a kenőflmre felír össefüggések érvényességének kaváós arományra való keresésével éreő el. Ugyan a első leeőségre s alálaó megoldás [64] [66] a alkalmaás 39

40 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele neésége ma a másodk a köveő Elrod-Adams féle algormskén smer megoldás ered el [94]. E megoldás a kaváós ndexen és a kölés araméeren keresül ól modelleeővé es a kaváós aromány mköben a kaváós aáron és a arományban nem sérül a ömegmegmaradás. A ól smer elárás során feléelek ogy a nyomás felíraó mn a sűrűség függvénye éldál [94] alaán: θ gβθ (5...) aol =/ a kölés araméer mely a ado elyre ellemő sűrűség és a folyonos kenőanyag sűrűségének arányá fee k a kenőanyag rgalmasság ényeőe g edg a kaváós ndex mely g ; θ. (5...) g ; θ Így a erede (5..38) alaegyenle a kövekeőkéen alakl R θg... Ψ θ gβ θ Φ θ Ω θ. (5...3) E A kaváós ndex ellege ma a megoldás mnden eseben eráóval éreő sak el mely során a. léésben süleendő megoldás a -. léésben megaároo g elosláson alal. Így a. eráós léésben a Elrod-Adams kaváós módser sern módosío Reynolds egyenle maradványéréke a kövekeő les: R E θ θ Ψθ g βφθ θ Ωθ. (5...4) A 5.4. ábra egy ado xy onban érékele a Elrod-Adams féle kaváós algorms aásá. Elrod-Adams féle kaváós algorms ovább neeí e a amúgy s gen érékeny eráós folyamao aal ogy drasksan megváloaa a R függvény ellegé a kéérékű kaváós ndex léések köö eseleges -érékválásával mn aogy a a ábrán s láaó. éeleük fel ogy a R E ben serelő - -ról dk ogy nagyobb mn így g - = melle (folyonos kenőflm) oldk meg a (5...4) egyenlee melynek eredményekén - < megoldás kank ame g - - = arok. Ennek aására a R E görbe drasksan elér aól a görbéől amelye váloalan g melle kanánk. Könnyen előfordla ogy a megoldás nagyobb les mn így g smé -re vál. 4

41 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele R R( - - ) R() R( - ) R R E( - - g - =) R E() R E( - g - =) - * - - g - = * g = 5.4. ábra Elrod-Adams féle kaváós algorms aása a megoldásra A Elrod-Adam féle algorms nagy áránya ogy egyrés a egyenlerendser rossl kondonálá válk a araméer gen nagy éréke ma másrés mereven keel a eráós léések köö a kaváós ndex váloásá (g= vagy - (5...) sern) am eseenkén elenős oslláó okoa. Payvar és alan 99-ben [4] köée mnkáában skeresen kküsöböle a araméer érékéből adódó nmerks roblémá. Elárásk előnye ogy séválasa a konakaromány fele nyomás és a kaváós ónán belül sűrűség sámíásá eálal elenősen avía a sámíás sablásá. Ugyanakkor e megoldás során s a kaváós ndex sak dskré éréke vee fel () am magában re a oslláó vesélyé ovábbá a végeselem módser alkalmaása eseén fnom áló feléelé es sükségessé mvel egy elemen belül a nmerks negrálás megbíaó elvégeeősége ma a g -nek nem lee sakadása. A eddg smeree megoldásokra ellemő ogy elsősorban véges dfferena módserre éülő megoldásokba éíeő algormsoka köölnek. Kfeeeen végeselem módsere kfelese megoldás Kmar és Booker 99- ben [34] [35] e köé. A megoldás snén séválasa a nyomás és a sűrűség sámíásá. E aonban nem egy a frakáó keelő kaváós ndexen keresül oldoák meg anem a elemek ónánkén soorosíásával. A különböő ónák fele edg különböő meőke aáronak meg. Így l. a kenés ónában a nyomás a smerelen meő míg a sűrűség ado a kaváós arományban vson a sűrűsége aároák meg ado nyomás melle. ( ); (5...5) 4

42 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele aol a folyonos kenőanyag míg a nyomáson ve kenőanyag sűrűség ( ). A a kenőanyag kaváós vagy saráós vagy elíe gő nyomása. Mvel a folyadék kées elvseln gen ksmérékű úó fesülsége a benne lévő nyomás lee kevesebb mn. Ha < akkor sbkaváós nyomásról besélünk. Coyne-Elrod 97-ben a aylor 964-es a kenőanyagok kaváóá árgyaló művében defnál felüle fesülség araméer segíségével köéee a sbkaváós nyomás megaároásáo sükséges flm-kaváós aárfelülere vonakoó eremfeléel melye avage 977-ben [89] onosío. Aonban a sbkaváós nyomás megaároása a eseek úlnyomó öbbségénél sükségelen ovábbá nllának ekneő. ekneük úgy s ogy a (5..38) sern Reynolds egyenle érvényes a eles arományra. A modellükben fgyelembe vesk Floberg [48] kísérle valamn Cole és Hges [9] elméle eredménye melyben kmaák ogy a kaváós ónában a kenőanyag a rés sakasosan kölő sávokban áramlk. Ennek alaán Kmar és Booker a sűrűség és a vskoás kasolaára néve a kövekeőke alkalmaa (5.5 ábra):. (5...6) Aonban a Kmar és Booker modell snén fnom áló alkalmaásá es sükségessé mvel nem gyana a smerelen meő kell megaáron a egés arományra anem ol a nyomás ol a sűrűsége aól függően ogy é melyk ónába esk a elem. ρ η η η C ρ ρ ρ 5.5. ábra Kmar és Booker modellben a sűrűség és a vskoás kasolaa [34] A feladaok öbbségében aonban megelégedeünk a kaváó kevésbé gényes a wf-eber féle eremfeléel sak köelíő keelésével gyans a 4

43 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele álagos nyomásérékek melle nemsak a sbkaváós nyomás anyagolaó el anem a nyomás kaváós ónán belül állandóságá s elegendő egy ado felada eseén előír baaáron belül elesíen. Eekben a eseekben a kaváó modelleésre kválóan alkalmas a konakmeankában séles körben alkalmao büneő araméeres megoldás melye W 986-ban [3] avasol elősör kenéselméle roblémáko mad 996-ban Pad [59] és ler ales és Ryrof [6] alkalmao skeresen drodnamka kenésállaook modelleése során. A elárás lényege ogy a (5..38) Reynolds egyenlee oáadnk egy W büneőago melyben W W (5...7) aol egy elegendően nagy sám. Így (5..38) a kövekeőkéen alakl R γ Ψ Φ Ω W W γ W. (5...8) áaó ogy a korábban smeree kaváós ndex alkalmaására éülő algormsokkal ellenében nyomás éréke kell megaáron a eles arományra. W a gyakorla eseekből kndlva eleve feléelee ogy a kaváós nyomás. A büneőaraméeres enkával a kaváós ónában a nyomás a Elrod-Adams algormssal ellenében nem aonosan egyenlő -val anem sak mérékének függvényében köelí a. Aonban a W büneő agnak sak akkor nns sakadása a kaváós aáron a a kaváós nyomás - nak eknük (5.6. ábra). A sakadás kküsöböleő a a erede büneőag elye W (- ) büneőago alkalmank. W W = 5.6. ábra W féle büneőag a nyomás függvényében 43

44 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele Így a esőleges kaváós nyomás melle a bemao módosíással kegésíe W-féle büneőaggal rendelkeő Reynolds egyenle a (5...9) alakban íraó fel. R W γ Ψ Φ W Ω γ W. (5...9) A megoldás erméseesen ebben a eseben s eráóra éül. A megoldás menee a korábbako asonlóan s semléleeő semaksan. A megoldás - meneé a 5.7. ábra érékele. A büneő ag aására a R W görbe megválok meredekebb les és a koordnáa engely kaváós nyomáséréke köel mes el. R γ ( ) Ψ W Ω W Φ γ ( ) W. (5...) R( - - ) R() R( - ) R W ( - γ - =) R W( - - γ - =) R W () - - γ - = γ = * - * 5.7. ábra W féle kaváós algorms aása a megoldásra ámíás aasalaok arra engednek kövekeen ogy a büneő araméeres enkák eseén a büneőaraméer ( W ) sakadása neésége okoa a nmerks megoldó algormsok sámára. A büneő araméernek aonban nem kell sükségserűen sakadással rendelkene a aárfelüle köelében mn aogy a a (5...7) össefüggés maa. Akár folyonosan s váloa a éréke egy legalább C folyonos leeőleg sgorúan monoon f () függvény sern egy ámene arományon belül lleve a araméer s módosla a eráós léések során úgy ogy a legalább C folyonosság fennállon a ámene aromány aáran s. A f () függvény megválasásával folyonos egyser (lneárs ámeneel) vagy öbbsör (l. sn(x) ellegű ámeneel) folyonosan derválaó büneőaraméer-függvény s kaank (5.8. ábra). 44

45 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele W ()C () C 5.8. ábra Folyonos és folyonosan derválaó büneőaraméer ε γ() f γ() C f γ ε ε (5...) ε Ekkor a büneőaraméeres megoldások ó nmerks sablással rendelkenek ovábbá a büneés sgoríásával ( növelésével) a megoldás egyre obban meg köelíen a wf-eber eremfeléel (5...3). Amennyben a f () ámene függvény alkalmaása egy már meglévő modellbe neeen mlemenálaó más úon s keeleő a büneőaraméer eráós léések köö váloása. A kaváós ndexsel ellenében a büneőaraméer nem sak ké érék köö váloa így maxmálaó egy ado xy onban a léésenkén váloása éldál a (5...) sern aol * l. a (5...7) sern megaároo büneőaraméer míg n (n) a büneőaraméer mnmm és maxmm éréke kö lésők sáma. áaó ogy a ado vsgála onban /n érékkel nő a büneőaraméer egésen addg míg el nem ér a mnmm vagy maxmm éréké. γ γ sgnm(γ γ (5...) Büneő kaváó ) mn γ γ. (5...) n Jelenős áránya a W féle büneő araméeres enkának ogy gyan a nyomás ól kében ara de a konnás sérül a kaváós aáron am a áramló kenőanyag ermodnamka modelleése során roblémá elen így e a módser ermo-drodnamka roblémák modelleésére ebben a formáában nem alkalmas. 45

46 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele Áeknve aon ellemőke melyek a (5..38) Reynolds egyenleben sereelnek megállaíak ogy a sűrűség és eel együ a vskoás éréke válok a kaváós aáron a kenőanyag felsakadása ma. együk fel ogy a sűrűség és a vskoás kö kasola Kmar és Booker [34] alaán (5...6) sern alakl. Ugyanakkor a sűrűség sak köelíőleg köve a (5...5) egyenleben váol vselkedés úgy ogy a a nyomás a kaváós nyomás alá esk a sűrűség a nyomás függvényében meredeken sökken. A Kmar és Booker modelle kées elérés maa a 5.9 ábra. A sűrűség a nyomásfüggésének meredeksége kfeeeük egy büneő függvény segíségével. A sűrűség annál meredekebben esk a nyomás sökkenésével mnél nagyobb a büneés méréke. ρ ρ ρ C C 5.9. ábra Kmar és Booker modellben büneőaraméeres köelíése A előbb váol krérmoka megvalósíak a a kövekeő formában alkalmak a büneés a sűrűségre néve: *: (5...) aol () büneőfüggvény a korábban smeree (5...7) vagy (5...) sern aároaó meg. Így egy elesen ú büneőaraméeres modell kank a kaváó keelésére melyben a büneőfüggvény araméerének növelésével egyre obban meg dk köelíen a sűrűség-nyomás kasolaának Kmar és Booker féle leírásá. Ugyanakkor ésre kell vennünk ogy mvel a sűrűség a kaváós ónában s a nyomás függvénye (5...) a egés arományon nyomásmeő kell megaáronnk. 46

47 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele A serelő * mmár nem sak a kenés óna anem a eles aromány egy ado onára érvényes sűrűsége elöl mely aralmaa a kaváós ónában a réskölöség méréké s.. (5...) Össeveve a kölés araméer fen formában való kfeeésé a nyomás és a sűrűség Elrod-Adams féle (5...) kasolaával formalag g=/() adódk melyből megállaíaó ogy amennyben a kaváós ónában a büneőaraméer ar a végelene onosan a Elrod-Adams megoldás kak meg aárérékkén. A vskoás ekneében megarva Kmar és Booker-féle leírás a (5...) és a (5...6) kéle kövekeében a vskoás: *:. (5...3) Ugyan a kaváós nyomás függ a őmérsékleől aonban a résmére men maxmáls őmérséklee kell sak fgyelembe venn sen a kaváó megelenésének a a ono kell eknenünk aol a keresmese menén valaol fellé a kaváó és ennek kövekeében megsakad a folyonos kenőflm. A vsgál arományon a résmen őmérséklemaxmm ( max(xy)=max (xy)) sak x és y függvénye így ( max) snén sak x és y-nak függvénye -nek vson nem eá ennek kövekeében () sem függvénye -nek (amennyben e - eknük a rés men egységvekornak). A (5...) és (5...3) alkalmaásával mvel () nem függvénye -nek a (5..38) álalánosío Reynolds egyenleben serelő agok a kövekeőkéen módoslnak a (5...) sern folyadékmodell alkalmak: Ψ Ψ (5...4) Ω θ Ω ln θ ρd. (5...5) eessük be a kövekeő elölés: Ω γ Ω ln θ ρd. (5...6) A leírás egyserűsíése vége a () elölés elye a kövekeőkben sak - írok a büneőfüggvény elölésére. 47

48 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele Eek alaán a ú a kaváós ónára s érvényes Reynolds egyenle a kövekeő: Ψ Φ θω θ. (5...7) γ A büneőfüggvény segíségével a Reynolds egyenlee asonlóan felíraó a ömegáram a eles vsgál arományra érvényes formában: q θψ Φ. (5...8) Ellenében a korábban bemao W-féle megoldással ebben a eseben a büneőaraméer aása beéül a sűrűségen és a vskoáson keresül a ömegáramba s (5...8) így eálal nem sérül a konnás. eá a avasol modell alkalmaaó a őan vsgálaoko s. A kaváós ndexre éülő megoldásokban a kenés ónára ellemő Poselle ísú és a kaváós ónában oeksan feléelee Coee ísú (lneárs sebességrofl nns nyomásváloás) áramlásra vonakoó egyenleeke olvasák eggyé a kaváós ndexen keresül (5...3). Eel ellenében (5...7) sern ebben a eseben a erede egyenle anyag araméerenek () kaváós ónára való keresésén keresül ( (5...) (5...3) ) válk keeleővé a kaváó. Míg a kaváós ndex sak vagy lee addg a büneőfüggvény esőleges éréke felvee leeővé éve eel a nmerks megoldó algormsok aékonyságának növelésé és a oslláó vesélyének sökkenésé. A érékének eráós léések kö váloaásával (kede gyenge büneéssel ndíva a megoldás) lleve a büneőaraméer léésenkén váloásának korláoásával befolyásolaó a kaváós eremfeléel elesülése sablálaó a eráós megoldások konvergenáa. E különösen előnyös aokban a eseekben amkor a sámíás kedőéréke messe vannak a megoldásól. (5..) A résmére a felüleen megosló erelés és a őmérsékle aására bekövekeő elmodlások fgyelembevéelével A elasodrodnamka roblémák vsgálaa során kemelen fonos kérdés a felüle deformáók (normáls rányú elmodlások) megaároása. A roblémakör ellegéből adódóan mnden eseben felüleen megosló erőrendser okoa deformáó vagy egy ado deformáóo aroó megosló erőrendser 48

49 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele kell megaáronnk aól függően ogy drek vagy nver megoldás enká válasnk. A résmére mndaonálal a felüleek erelelen geomeráából és a kndló mnmáls ávolságkból ( g ) a merevesserű mogáskból ( rgd ) ovábbá a - edk felüleen megosló erőrendser és a őmérséklekülönbség ( ) okoa deformáókból adódk. Így a -dk es ávolsága egy elméle köéfelülee vsonyíva:. (5...) g rgd Ennek alaán a ké es kö rés a alább alakban sámolaó: g rgd g rgd g. (5...) rgd rgd g ; g ; rgd 5.. ábra Felüleek elmodlása Abban a eseben a a felüleek merevesserű elmodlása megengede és a konak erelőerő ado akkor a egyk felülere redkálva elegendő e sámían. Ao ogy mndké felülere külön-külön sámíaó legyen ovább smereek sükségesek a érnkeésbe léő esek egyéb kööségeről. A ermo-elasodrodnamka felada elen árgyalása semonából a deformáók megaároásának móda nem köon kérdés. Elegendő feléelenünk ogy a résmére váloása ( (xy); (xy)) sakadásmenes a érnkeés arományon belül ovábbá kölsönösen egyérelmű függvénye a nyomás és őmérsékle-eloslásnak és érvényes a (5...) össefüggés. A ( (xy); (xy)) függvények megaároása egyarán öréne nmerks és 49

50 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele analks módserrel. A elen roblémakör megoldása semonából éeleük fel ogy léenek a kövekeő egyenleek: ( x y) ( x y) (5...3) ( x y) ( x y). (5...4) s Elasodrodnamka feladaoknál gyakor ogy a érnkeés a érnkeő esek méreee kées on- vagy vonalserűnek ekneő. Fordío semsögből néve a konakónáo kées a esek végelen nagynak ekneők. A vsgál eseekben a lokáls alakváloás semonából kvásaks erelés feléeleünk. A ennek aására bekövekeő deformáó radonálsan gyakora a félvégelen éren kalakló deformáóval sokás köelíen mely megosló erelés eseén [7] sern on- vagy folserű erelésre: x y xˆ yˆ x y míg vonalserű erelésre: E A ( xˆ yˆ ) ( xˆ yˆ) xˆ x yˆ y da( xˆ yˆ) (5...5) ˆ ( ˆ) ln ˆ x x x x x x ds( xˆ). (5...6) E s ( xˆ) Amennyben mndké érnkeő es félvégelennek ekneő és lneársan rgalmas akkor a ké felüle együes deformáóa kövelenül s megaároaó mely vonalserű érnkeésre a kövekeő: ˆ ˆ x x x ( xˆ) ln x x ds( xˆ) (5...7) E s( xˆ) aol E a redkál rgalmasság modls E E E. (5...8) Hasonlókéen felíraó a őaás ma a félvégelen éren bekövekeő deformáó s [7]. Aonban öbbek köö Rode és O [84] lleve és adeg [3] bemaa ogy aokban a eseekben amkor a geomera vsonyok olyanok ogy a érnkeő felüleek félvégelennek ekneők a nyomás okoa felüle deformáó melle a őmérsékleváloás aására bekövekeő deformáó gyakorlalag elanyagolaó. A olyan eseekben edg aol ks nyomás melle s elenős a súsásból sármaó őermelődés és a ebből sármaó deformáó a geomera vsonyok nem esk leeővé ogy a 5

51 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele érnkeő eseke félvégelennek eknsük. Ebből adódóan a őmérsékle aására bekövekeő deformáó sámíása álalában nem analks úon felállío egyenleek anem éldál nmerks elárások segíségével előállío n. aásmárxokkal öréne. A ermo-elasodrodnamka felada elen árgyalása semonából gyanakkor sak modelleés réslekérdés a deformáók megaároásának móda. Elegendő feléelenünk ogy a résmére váloása ( (xy); (xy)) sakadásmenes a érnkeés arományon belül ovábbá kölsönösen egyérelmű függvénye a nyomás és őmérsékle-eloslásnak és érvényes a seroíó elve aa érvényes a (5...) össefüggés. Amennyben a ermo-elasodrodnamka feladao nver elárással kívánk megoldan nem egy smer nyomás és őmérsékle-eloslás és a merev esserű elmodlás alaán aárok meg a résméree anem fordíva a résmére alaán kellene ksámían a előbbeke. Aonban sak eek egykének megaároására asnálak fel a (5...) össefüggés mely sne kárólag a nyomáseloslás lee amennyben léek a függvénynek nverfüggvénye. (5..3) erelés és knemaka eremfeléel A legöbb eseben a érnkeő eseknek nem egy ado onának elmodlása anem a eseke össesoríó (F w ) erő vagy vonalnyomás (f w ) lleve annak dőbel lefása smer. Ha elanyagolaónak eknük a nera erőke akkor a kenőanyagban kalakló nyomásnak eel kell egyensúly arana. eá: folserű érnkeés eseén: F w da (5..3.) A vonalérnkeésnél f w dx. (5..3.) s Ao ogy e feléel kelégíeő legyen a érnkeő esek merevesserű mogásá ( rgd ) ovább váloókén kell keeln. Ugyanakkor a érnkeő felüleek merevesserű elmodlására néve ovább knemaka eremfeléelre s sükség van sen a ké felülenek egy-egy lyen ellegű sabadságfoka ( rgd rgd ) van míg a erelés feléelből sak egy egyenleel rendelkeünk. Így a egyk felülere 5

52 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele ovább knemaka eremfeléel megadása sükséges vagy elő kell írn a merevesserű elmodlás méréké (l. a sokásos módon rgd =-ra válasva) vagy rgalmas ámaskén kell keeln (l. rgd = da). Amennyben nns erelés feléel akkor mndké felülere vonakoóan knemaka eremfeléellel kell rendelkenünk. Abban a eseben amkor a nera erők nem elanyagolaóak akkor a (5..3.) vagy (5..3.) egyenle elye a érnkeő esekre vonakoó mogásegyenleeke kell megoldan megaárova esek llanany sebességé s. (5..4) A kenőanyag modell kválasása A vskoás nyomás- és őmérséklefüggésére vonakoó első össefüggés 893-ból Barsól [9] sármak melye 963-ban Roelands [45] önö ú alakba. ermo-elasodrodnamka sámíások során sne kvéel nélkül eeke asnálák noa a kísérle eredményekkel a legobb egyeés a módosío WF formla ada melye 99-ben Wolff [38] alkalmao elősör ermoelasodrodnamks robléma megoldásáo. Eek mndegykére ga ogy a vskoás a nyomás és a őmérsékle nemlneárs függvénye. A nmerks megoldás során a fen formlák mndegyke ól alkalmaaó sen folyonosak és derválaóak mnd a nyomás mnd a őmérsékle sern. A módosío WF formla előnye gyanakkor ogy a kéleben serelő konsansok fka ellemőkre éülnek ovábbá a első keőől elérően a módosío WF sern vskoás-nyomás függvénynek van maxmma am sablabbá ee a nmerks sámíás. Eér e élserű asnáln. A módosío WF formlával a vskoás logarmks alakban a kövekeőkéen íraó fel: lg η lgη WF s C C B ln B A ln A aol: s : vskoás egy referena vagy üvegesedés őmérsékleen s : referena őmérsékle amosferks nyomáson A : referena őmérsékle állandó B : a folyadék őáglás együaónak állandó C : WF konsansok amosferks nyomáson s (5..4.) 5

53 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele Akár a bemao akár a radonáls Barsól [9] vagy Roelandsól [45] sármaó egyenlee asnálk nem asnálank dmenó nélkül nyomás és őmérsékle érékeke. Ema a rbológában álalánosan megsoko dmenólan mennységek alkalmaása a ermo-elasodrodnamka sámíásoknál a geomera és knemaka ellemők leírására korláoódk [65]. Aonban annak gen ks a valósínűsége ogy ké különböő konakfeladanál gyana a nyomás- és őmérsékle-eloslás kak a dmenó nélkül érben. Így egy ado EHD sámíás mndg egy ado valós és egyed geomera és knemaka ellemőkkel rendelkeő feladao arok eér a dmenólan ellemőke nem veeük be a leírás során. A különböő váloaok össeveésée sükséges ellemők mn éldál a súrlódás sám a felada megoldása án egyserűen előállíaók. (5.3) ermodnamka felada A elasodrodnamka nyomáseloslás megaároásáo asonlóan a őmérséklemeő megaároása során s egyserre kell foglalkon a kenőanyagban és a érnkeő esekben lleve aok környeeében lealó folyamaokkal. A érnkeő esekben lealó folyamaokkal résleeben nem foglalkonk aal a feléeleéssel élünk ogy a esekben kalakló őmérséklemeő analksan vagy nmerksan megaároaó a esre vonakoó elsődleges őmérsékle és másodlagos őáadás eremfeléelek alaán. A kenőanyagra vonakoó ermodnamka felada modelleésée a (5...) egyenle kövekeő alaka solgál eseünkben alaegyenlekén: d v d (5.3.) A felada ellegéből adódóan. a Reynolds egyenle leveeésénél felleleő egyserűsíéseke asonlóan [65] sern a kövekeő egyserűsíés alkalmaak:. (5.3.) 53

54 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele 54 Aonban e nem elen lényegesen könnyebbsége a megoldás során sen a őmérsékle sern váloásá nem dk kküsöböln. A őmérsékle meő sámíásánál meg kell aáron a őmérsékle résmen váloásá s asak nem alkalmak a a megköelíés mely a keresmese menén arabolks őmérsékle eloslás feléele. E óbb eseben elegendő egy a résmen koordnááól ( ) függelen ellemő őmérsékle-eloslás (köé vagy álagőmérsékle) megaároása a smerek vagy más egyenleek álal megaárooak a érnkeő felüleek őmérséklee. Mn a későbbekben láaó les ennek alkalmaaósága vson korláoo. A elasodrodnamka kenés körülmények köö aogy a már korábban s kfeésre kerül a áramlás lamnársnak ekneő mvel a résmére gen ks alg ár m. Így a rblená elanyagolva a dőben álagol agok ekneők a folyadék mogásának leírására solgáló ellemőknek. A (5..3) ma a kenőanyagban a dssáó: y w v τ x w τ Ξ y x. (5.3.3) ekneel arra ogy a és v meő résmen dervála óval nagyobbak mn a w meő érnkeés síkbel dervála a dssáó elanyagolaó bával [4] a kövekeő: σ v τ τ Ξ y x (5.3.4) aol (5..) és (5..3) sern: d d A F K F F F e e (5.3.5) d d A F eq eq. (5.3.6) ewon folyadékokra a fesülség deváor enor a kövekeő alakra egyserűsödk:. (5.3.7) Így a dssáó newon folyadékokra a kövekeő alakban íraó fel: η v η Ξ. (5.3.8)

55 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele (5.3.) Peremfeléelek: A nyomásra vonakoó eremfeléelől elérően a őmérsékle meőre vonakoólag eremfeléeleke kell megadn mnd a érnkeő felüleeken ( ) mnd a olaflm eles keresmeseére a konakóna aárán (A ). A és felüleek felbonaók ké-ké résre ( Q ) egyrés előíraó a őmérséklemeőre vonakoó elsődleges másrés másodlagos a felüleeken ááramló ő megadó eremfeléel: x y s x y ( x y) (5.3..) n q Q n λ λ n xy n qq xy (xy) Q (5.3..) n aol s (xy) a felüle őmérséklee míg q Q a Q felüleen ááramló ő melyek vagy előre defnálak vagy a kasol (kenőanyag konakes) őan felada megoldása során kerülnek megaároásra. sa súsás eseén a egyk felüleel együ moog a konakaromány vagy máské fogalmava e a felüle áll a konakarományo vsonyíva. Ekkor a legöbb eseben elanyagolaó a konakónáo kées álló felüleen keresül lealó ősere mvel a a konakónáo kées mogó es felüleén öbb nagyságrenddel nenívebb. Ilyenkor a konakarománnyal együ mogó felülere alkalmaaó a Rode és O [78] álal avasol adabaks eremfeléel s: n n s s. (5.3..3) Ennek a felülenek a adabaks modelleése elenős könnyebbsége elen éldál végelen félérnek ekne esek kvásaonér vonalérnkeése eseén mvel a konakarománnyal együ mogó es őmérsékle-eloslása analksan nem vagy sak gen össeeen aároaó meg a kede ranens sakason úl. Míg a dományerüle felődése során a érnkeő és felüleekre álalánosan elfogado eremfeléel alakl k (5.3..) és a (5.3..3) addg a kenőflm be és kléő keresmeseén (A ) elérő eremfeléelekkel alálkoank. Gyakorlalag mnden rodalomban felleleő megoldásnál alálnk elérő elemeke. Ugyanakkor Hebner 974-ben [76] már kmaa ogy a kenőflm keresmeseén alkalmao eremfeléel elenős kaással van a sámío őmérsékleeloslásra. 55

56 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele Konak óna aárfelülee (A ). es. felüle ( ). felüle ( ) y. es x Konak óna (A ) Konak óna aára ( ) 5.. ábra A ermodnamka felada aára A legegyserűbb ese a amkor a A felüle beléő résén a őmérsékle ado. Eleknve aokól a modellekől aol a keresmese menén a őmérséklee állandónak eknk a eseek elenős soorában elősereeel alkalmaák a a megköelíés mely a keresmese menén arabolks őmérsékle eloslás feléele [3] [38] [54]. Ekkor a őmérsékle rofl leírásáo a felüle őmérsékleek megaároása melle elegendő egy ellemő őmérsékle érék álalában a résmen álagőmérsékle (5.3..4) ksámíása a őan felada megoldása során. m ( x y) ( x y ) d. (5.3..4) Így elegendő -n előírn a álag őmérséklere vonakoó eremfeléeleke: Beléésnél: m xy n (xy) Γ aol n a beléő kenőanyag őmérséklee. Kléésnél: m nγ (xy) Γ (5.3..5). (5.3..6) 56

57 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele E megköelíés mndaddg ól alkalmaaó míg nem lé fel a beléésnél vssaáramlás (bakflow / reverse flow) [65] a kenőflm vasagsága menén mvel een eseekben egyrés elfogadaó a arabolks résmen őmérsékle-eloslás feléeleő köelíés másrés elválasaó a beléés a kléésől. Megarva a feléelee arabolks őmérsékle rofl a vssaáramlás okoa őan eremfeléel robléma keelésére Wang Csano és Conry [3] [4] kdolgoo gyan megoldás bár ebben a eseben a résmen őmérséklerofl arabolks köelíése nem ekneő érvényesnek [65] így a beléésnél nem elegendő sak m -re néve eremfeléel megadn anem ovább megfonolások sükségesek. ovábbá a beléő keresmeseen feléelee n éréke s neeen adaó meg. Egyes eseekben mkor a felüleek klksan lének kasolaba a - a felüleek álal kerngee (Q re re és Q re re ) és a környeeből bekerülő (Q ) kenőanyagok mennységének és őmérsékleének arányában aároák meg [36] feléeleve ogy a kenőanyag őan ellemeő állandónak ekneők. mx Q re re Qre re Q Q re Q re Q. (5.3..7) Ha fgyelembe vessük a őmérsékle résmen váloásá mx nem alkalmaaó kövelenül a m -re vonakoó eremfeléelkén mvel elérő a érelmeésük. mx alkalmaása eseén a kövekeő feléel írak fel a beléő őmérséklere: mx x y Qre x y Q x y x y qm x y d ( x y). (5.3..8) Amennyben [3] sern arabolks őmérsékle-eloslás éeleünk fel akkor (5.3..4) és (5.3..8) segíségével m megaároaó. E a módser kválóan alkalmaaó sklósaágyak elemésée amkor a kenőanyag (5.3..7) sern keveredése kövelenül a konakónába örénő beléés elő alk le ( -n 5.. ábra) így a érnkeésbe léő felüleek őmérséklee függelennek ekneő a környeeből a A -n keresül érkeő kenőanyagéól. Más a elye vson a a kenőanyago a felüleek kvá végelen ávolról sállíák a érnkeés elyére. Ekkor gyans a környeeből érkeő és a sállíó esek felüleen (később felüleek) lévő kenőanyag vegyülése a konakónáól ávol alakl k és mre a felüle a sállío kenőanyaggal a konakónáo ér a felüleen keresül már rég lealk a ősere így a konakónáo köelíő kenőanyag őmérséklee ó köelíéssel a felüle őmérsékleével egyenlő. ovábbá a felüleekre aad kenőanyag 57

58 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele sebessége a konakónán kívül megegyek a sállíó felüle sebességével. A bemaásra kerül korább modellekben alkalmao drek őmérsékle feléel a beléésnél nem íraó elő mvel a kenőflm sélén a érnkeő eseken lévő kenőanyag keveredése és őserée folyán alakl k a konakónába léő kenőanyag résmen őmérsékleeloslása. A beléő őmérsékle rofl semmkéen nem íraó elő önkényesen (l. beléő kenőanyag őmérsékle) mvel a beléő kenőanyag őmérséklee a és felüleeken megegyek a esek felüle őmérsékleével ovábbá a felüleek kö őmérsékle eloslásá a felüleeken besállío köelíőleg felüle őmérsékleű kenőanyagflmek keveredése és a érnkeés síkra merőleges őserée ada. A beléő őmérsékle rofl megaároásáo eá a keveredés óna (5.. ábra) őan és áramlásan modelleése lenne sükséges vson még a felüleek álal sállío kenőanyagflmek vasagsága sem aároaó meg nagy bonsággal így lyen sámíások gyakorla kveleeősége gen valósínűlen. Ugyanakkor nns vagy elanyagolaó a dssáó így ebben a sakasban a (5.3.) egyenleben [65] sern alkalmao egyserűsíések megeeők. Alkalmaaó köelíésnek ekneő a ogy a felüleeken sállío kenőanyagflm őmérsékleének felüle síkával áramos dervála elanyagolaóan ksk ovábbá ogy a kenőanyag sabad levegővel érnkeő felülee ó köelíéssel adabaksnak ekneő (5.. ábra). Így a keveredés ónában s ellemően a őmérsékle résmen dervála les a megaároó. Aa a beléés környeeében a felülere merőleges őveeés melle a áramlás rányába eső őveeés ekneel a méreekre elanyagolaó még akkor s a e a konakarományon belül nem essük meg. Eek alaán amennyben eleknünk a konakaromány sélén alálaó keveredés Reynolds egyenleel amúgy sem leíraó gyakora rblens és vssaáramlásól sem menes ónáának modelleéséől elasodrodnamka eseekben (on fol vagy vonalserű érnkeés) mnd a beléésnél mnd a kléésnél a kenőanyag eles A (5.. ábra) keresmeseén adabaks eremfeléel alkalmaank mely érvényes vssaáramlás eseén s. ( x y ) n ; r( x y ) A. (5.3..9) 58

59 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele n x Kenés óna Keveredés óna 5.. ábra Hőmérsékle eremfeléel a beléésnél Ee asonló eremfeléel a korább sámíások során s megelen [65] mvel egyéb megbíaó és gyakorlaban alkalmaaó eremfeléel nem skerül felállían a vssaáramlás a sállío kenőanyagflm vasagságának és eel együ a konakaromány kedeének a megaároása okoa roblémák ma. Ugyanakkor ennek elyességé nem vsgálák sem nem ndokolák olo a fenek alaán beláaó ogy on vagy folserű érnkeésnél a A keresmese adabaks modelle elen a legmegbíaóbb eremfeléel így eekre a eseekre álalánosan avasolom a alkalmaásá. (5.3.) A kaváó fgyelembevéele A kaváós ónában a kenőanyag a felüleeke aadva és sávokra esve áramlk. Eér a ermodnamka egyenle során s fgyelembe kell venn a réskölöség méréké. Így (5...) és (5...3)-e asonlóan feléeleve ogy a drodnamka felada során elesül a (5...3) feléel a (5.3.3)-(5.3.8) sern dssáó elanyagolaó bával: Ξ *: θξ θξ(η ) (5.3..) 59

60 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele 6 mvel a sebesség résmen dervála és ebben a rányban a fesülség a kölés araméer fgyelembevéelével a kövekeő alakban raó fel fgyelembe véve ogy a konakarományban a kölés araméer éréke lleve a kaváós ónában a nyomás váloása elanyagolaóan ks: d d A F K F F F d d A F K F F F e e e e (5.3..) F K F F F K F F (5.3..3) eá θξ θσ σ Ξ. (5.3..4) A őveeés ényeő és a vskoáso asonlóan feeeő k a érfoga kölés ényeővel : *: (5.3..5) a falagos őkaaás gyanakkor annak falagos vola ma nem válok v v v *: (5.3..6) Eek alaán a őveeés dfferenálegyenlee (5...) a kövekeőkéen módosl: v ρ Ξ θλ θρ d d (5.3..7) Amennyben a konnm őan ellemő állandónak eknük: v ρ Ξ θ θρ λ d d (5.3..8) Mvel a ömegmegmaradás örvénye sern: d d (5.3..9) aol * a (5...) sern érelmee.

61 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele 6 A (5.3..8) őveeés egyenleben serelő dv() ag a kövekeőkéen íraó fel ekneel a (5...)-ra: d d. (5.3..) Ennek alaán: v ρ Ξ θλ θρ θ θ θ ρ ρ ρ d d (5.3..) vagy máské kfeve a sbsanáls dervála: v v ρ Ξ θλ θρ θ θ θ ρ ρ ρ. (5.3..) Ao ogy a végeselem modellben smmerks márxoka kaassnk sorok á a egyenlee -vel: v v. (5.3..3) A fen egyenle néány alaeseben a kövekeők sern egyserűsíeő. Amennyben a kenőanyag sűrűség állandó ( =áll d /d=) akkor a kövekeő ag:. (5.3..4) aoner érnkeés eseén a érnkeés aromány dőben állandósl:. (5.3..5) aoner érnkeéskor állandó kenőanyag sűrűség melle:. (5.3..6)

62 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele ssaérve a erede (5.3..3) egyenlere a = köelíőleg állandónak ekneő a kaváós ónában. A kenés aromány fele vson a kölés araméer éréke =. Így a kenés ónában: (5.3..7) míg a kaváós ónában. (5.3..8) együk ésre ogy sak a kenés ónában váloa aol = gyanakkor sak a kaváós ónában váloa aol vson ó köelíéssel =. Eek alaán a kölés araméer segíségével leveee ú őveeés egyenle a alább: v v. (5.3..9) Állandó sűrűség és őan ellemők melle a kövekeő egyserűsíe dfferenálegyenlee kak: v. (5.3..) (5.3.3) A érnkeő esek őmérséklee a felüleükön megosló őforrás aására Mn aogy a a (5.3.) feeeben láaó a érnkeő esek és aok felüleenek őmérsékleének megaároása kemelkedően fonos felada a ermodnamka robléma megoldása során. Mn aogy a a (5.3..) eremfeléelből s lásk a konakarományban a felüleeke aad kenőanyag őmérséklee megegyek a felüle őmérsékleével ovábbá a felüleeken keresül (5.3.3.) sern ő erel a eseke. 6

63 A EHD kenéselméle elenség leírásának alaegyenlee és eremfeléele 63 s f s f s e n A y x y x y x q y x y x q ; ;. (5.3.3.) A felüle deformáó megaároásáo asonlóan ermoelasodrodnamka roblémák őan résének sámíásánál s gyakora alkalmaaó a érnkeő esek félvégelen eskén való modelleése. Amennyben e megeeő a esek őmérsékle-eloslásának megaároásáo alkalmaaók a [36] sern végelen féléren ([36]-ban végelen éren) mogó őforrás eseére kdolgoo össefüggések. ˆ ) ˆ ( ) ˆ ( ˆ ˆ) ( ˆ y x A R U r s s s s s y x da R e y x q y x s s s (5.3.3.) s s s U y y x x r y y x x R ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) míg vonalserű erelésre: ˆ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ ( ˆ) x s s x x U s s s s s x ds x x U K e x q x s s. ( ) aol K másodfaú nllad-rendű módosío Bessel függvény. Amennyben a fen köelíés nem engedeő meg alkalmaaó a végeselemes gyakorlaban ól smer alserkee megköelíés mely eseben a érnkeő esek őan roblémáá a kenéselméle felada alserkeeekén keelük. Kevésbé aékony de elvégeeő a serkeere és a konakarományra vonakoó őmérsékle meő együes megaároása s a a alserkee modelle sükséges aásmárx előállíása nem vagy sak neeen megoldaó.

64 A alaegyenleek negrál alaka (6.) A alaegyenleek negrál alaka (6.) aráós módserek Mn aogy a már emlíésre kerül a dfferenálegyenle vagy egyenlerendser varáós elvekre éülő megoldása során a erede egyenlee vagy egyenlerendser a vele aonos súlyoo negrál alakba alakíák á. A alaegyenleek varáós módserrel dfferenálegyenleről negrál alakra való áalakíásának köveeősége érdekében eknsük á a lééseke a kövekeő egyserű eremérék feladaon annak úlo résleeése nélkül: d d a q(x) x. (6..) dx dx A eremfeléelek legyenek a kövekeők: ()= d a dx x Q. (6..) A megoldás élserűen válaso aroxmáló függvények ( ) és smerelen állandók ( ) lneárs kombnáóakén keresk ( ). A állandóka úgy aároák meg ogy a így előálló kelégíse a erede egyenle negrál alaká. A megoldás a ado aroxmáló függvények ( ) melle a smerelen állandók ( ) olyan almaán keressük mely a leeő legobban kelégí a (6..) egyenlee. R d dx a q( x) d q( x) A dx. (6..3) Rendeük a dfferenál egyenlee ml alakba sorok be egy esőleges "w" n. súlyfüggvénnyel mad negrálk a () aromány fele d d w a q dx dx dx. (6..4) o Amennyben a kndló dfferenálegyenle vagy egyenlerendser másodrangú előállíaó a gyenge negrál alak s. Jelen eseben e a feléel fenn áll. Alkalmak a első agra a Green-Gass negrál áalakíás sabály: d d dw d d w a wqdx a wqdx wa dx dx dx dx dx. (6..5) o 64

65 A alaegyenleek negrál alaka A így kao másodk agnak a eseek úlnyomó résében van fka elenése. Ha éldál a mosan kndló dfferenálegyenlee egydmenós őveeés feladanak eknük akkor a másodk ag a végeken ááramló őmennysége elen. Aa: d Q a. (6..6) dx Ennek felasnálásával kak a kövekeő egyenlee: dw d d dw d a wqdx wa a wqdx ( wq) ( ) dx dx dx. (6..7) dx dx wq A varáós elméle sern aol a kerese meőre néve drek (elsődleges) eremfeléel ado o a súlyfüggvény éréke. Eseünkben w()= mvel () ado. A aromány másk végén ermésees eremfeléel ado: d d Q( ) a nx a Q. (6..8) dx dx x x Eeke beelyeesíve a dfferenálegyenle gyenge negrál alakába (6..7) kak a a egyenlee mely egyarán aralmaa a kndló egyenlee és a eremfeléeleke: dw d a wqdx w( ) Q. (6..9) dx dx A gyenge negrál alako mnden olyan eseben elő lee állían amkor a kndló dfferenálegyenle vagy egyenlerendser másod- vagy magasabb rangú még akkor s a nemlneárs. E a módser egyes források Rayleg és R módserkén s emlík noa Rayleg és R egy konkré robléma varáós megoldásával foglakoo. Mvel a kerese meő ekkor s alakban keressük és súlyfüggvénynek a aroxmáós függvényeke válask w= a a (6..7) gyenge negrál alakba való beelyeesíése án kak ogy: d d a q dx Q ( ) dx dx.. n;.. n. (6..) 65

66 A alaegyenleek negrál alaka E a egyenle -re néve lneárs algebra egyenle melyben smmerks márxokkal alálkoank aralmaa a eremfeléeleke ovábbá a kerese meő folyonosságára néve kevésbé sgorú köveelményeke kell kelégíenünk. Bonyos eseben nem állík fel a gyenge negrál alako sak a súlyoo negrál alako asnálk. A súlyfüggvény bármlyen esőlegesen válaso lneársan függelen függvényalma lee. Mvel a súlyoo negrál alak nem aralmaa a eremfeléeleke így a aroxmáós függvényeke úgy kell megválasan ogy aok kelégísék mnd a drek mnd a ermésees eremfeléel. A módser nagyfokú rgalmassága előnyös lee bonyos nemlneárs roblémák megoldásánál. Álalánosságban elmondaó gyanakkor ogy a súlyoo maradék módsere sgorúbb köveelményeke ámas a köelíő meő folyonosságával semben. A varáós módsereke vagy a végeselem-módsere gyan nem felélenül sükséges de eseenkén a gyenge negrál alak felbonaó ké résre. A egykben mnd a súlyfüggvény (w) mnd a kerese meő () sereel (B(w)) a máskban sak a súlyfüggvény (l(w)). Eseünkben e megeeő: B dw d dx dx w a dx l w wqdx w( ) Q. (6..)-(6..) Ha a súlyfüggvény a kerese meő első varáóának eknük aa w= akkor a egyenle egy másk formában s felíraó: l B. (6..3) Amennyben l(w) lneárs B(w) blneárs és smmerks a gyenge-negrál alak úgy s felfogaó mn a kövekeő kvadraks fnkonál első varáóa: B l. (6..4) Aonban lyen fnkonál előállíása melynek első varáóa a varáós formá ada vssa nem mndg leeséges. A különböő varáós elvek mn éldál a Rayleg-R Galorkn és a banégyeek módsere a negrál alak (gyenge-negrál súlyoo maradék) a súlyfüggvény és a aroxmáós függvény megválasásában különbönek. 66

67 A alaegyenleek negrál alaka (6.) A varáós elv kválasása A varáós elvek köül a Reynolds egyenle een elvekre éülő megoldása során alálkoank a előbb emlíe blneárs formával a gyenge negrál vagy más néven Rayleg-R módserrel a Perov-Galorkn [59] lleve a Bbnov- Galorkn módserrel []. A rodalomban vson nem skerül felleln olyan megoldás melyben vagy a banégyeek módsere vagy akár a kollokáós módser sereelne. A gyenge negrál alakra éülő megoldások kökedvelsége éreő sen drodnamka feladaok megoldása során előnyös ogy kevésbé sgorú köveelményeke sab meg a folyonosságra néve így l. a nyomásra néve sak első fokú derválaka aralma. A alkalmao módserek köül a blneárs forma sak drodnamka feladaok megoldására alkalmas. Ekkor léek olyan fnkonál melynek mnmma a megoldás. E Reynolds egyenle végeselem módserrel való kora megoldása során s már gyakora asnál módser. Een elárás mndaddg asnálaó míg legalább a eráós klsokon állandó a résmére és a vskoás. A Reynolds egyenle gyenge negrál alaka elasodrodnamka eseben s előállíaó. Mvel a megoldás során a blneárs forma eseén sem a kövelen mnmmkereső elárásoka asnálák anem a első derválak elűnésé vsgálák a megoldandó egyenlerendser asonló. anos ennek kövekeében soksor olyankor s fnkonálról besélnek és ennek mnmmá keresk amkor a blneárs módon nem íraó fel. A elasodrodnamka feladaok megoldása során sne kvéel nélkül a gyenge negrálokra éülő varáós elv kerül alkalmaásra vson sok eseben Galorkn módserkén kerül emlíésre noa a gyenge negrál alak felállíása nem serves rése semelyk Galorkn módsernek sem. A megsokoól elérő megoldással alálkoank mnd Allare és ársa [] mnd Pad [59] mnkáában aol a Bbnov-Galorkn lleve a Perov-Galorkn varáós elv kerül felasnálásra a gyenge negrál alak nélkül. Pad [59] mnkáának a különlegessége a ogy felíva a fgyelme a reamlne-uwnd/perov-galorkn módser alkalmaásának előnyere a energa egyenle oslláóának elkerülése érdekében. Aonban króbálsága ma mnd a kenéselméle mnd a -verós végeselem módser erüleén ovábbá a kedveő aasalaok ma elen megoldás során s a gyenge negrál alako asnálk mad. 67

68 A alaegyenleek negrál alaka (6.3) A meők aroxmáóa és a geomera lekéése Aogy a korábban kfeeük a varáóelmélere éülő megoldások során a smerelen meőke élserűen vállaso aroxmáló függvények ( ) és smerelen állandók ( ) lneárs kombnáóakén keresk ( ). A araméereke úgy aároák meg ogy kelégíse a erede egyenle negrál alaká. A végeselemes gyakorlao köveve a alakfüggvények oslovekorá -nel fogk elöln. A aroxmáós függvénykén öbb függvénysoor s alkalmaaó. Aonban álalában a vsgál aromány eles egése fele meők köelíésée egyk sem nyú kelégíő megoldás. Coran [] és rner [3] volak aok akk elsőkén alkalmaák a aromány résekre elemekre bonásá és a meők elemenkén aroxmáóá (egy aroxmáló függvény sak a egés aromány egy megaároo rése fölö működk aon kívül éréke ves fel) leeővé éve eel össee geomeráú és erelésű esek modelleésé. A elemek fele aroxmáló függvények kedeben lneársak volak mad később Ergaods Irons és Zenkew 968-ban [6] a agrange olnomoka alkalmaa kvadraks elemenek feléíésée. A agrange olnomok áránya vson ogy a magasabb fokú aroxmáók nem éülnek erarksan a alasonyabbakra. Erre megoldáskén abó Babska és Ka avasola [96] a egendre olnomoka asnálaá a elemek fele köelíés feléíésée megeremve eel a -verós végeselem módser alaa. A aroxmáó feléíésének alaos résleeése megalálaó abó és Babska [37] lleve Páel [68] könyvében így a nem smereem. Kenéselméle vonakoásban eddg egyedül gyen e köé agrange és erarks de nem egendre ísú olnomks aroxmáóra vegyesen éülő megoldás 99-ben [9]. gyen sak egyserű sűkülő rés és lésős sar eseén aároa meg a nyomáseloslás és a felüleeke ökéleesen merevnek eknee. Eredményeből aonban láaó ogy a álósűrűség nagyságrendekkel ksebb lee. Példál a a nyomás köelíésére 5-öd 6-od fokú olnomks köelíés alkalmank egyenleesen sűkülő résnél egyelen elem felvéele elégséges. oa a agrange ísú elemek megfelelőek a aromány geomeráának leírására egendre ísú erarks elemek s alkalmaaóak. Különösen kívánaos e akkor a a elasodrodnamka roblémáknál a résmérenek a felüleek deformáóából sármaó váloásának 68

69 A alaegyenleek negrál alaka sámíásá s erarks elemekre éülő -verós végeselem módserrel kívánk elvégen. Így ebben a érekeésben a smerelen meők és a geomera egyarán egendre ísú erarks olnomok segíségével kerül leírásra. A -verós végeselem módser leeőségevel élve a különböő meők aroxmáóa függelen les egymásól. A egendre ísú elemek eseén a alakfüggvényeke a kövekeők sern lee soorosían: Csomóon függvények melyek a aromány felosó áló egy somóonában éréke vesnek fel a öbbben edg - a arományon edg lneársan válonak:. A élfüggvények melyek maxmmka egy ado élen érk el míg a öbbn érékük ~. Felüle vagy oldal függvények melyek a éleken és a somóonokban nem vesnek éréke. s ˆ. Illeve a érfoga belső bborékfüggvények melyek sak a elem belseében vesnek fel éréke Eekből feléíve a aroxmáós függvények vekorá kak ogy 3D elemre: ~ ˆ. (6.3.) D lleve é elemre: ~ ˆ. (6.3.) Míg rúd elemre: ~. (6.3.3) A erarks elemfeléíésből kövekeően a magasabb fokú köelíés aralmaa a alasonyabba eles egésében így a aroxmáó foksámának növelése egy úabb magasabb fokú ag beoaalával megoldaó a korábbak megarása melle mndenfaa ransformáó nélkül. Akkor a egy elemnek nnsenek belső függvénye serendy elemekről besélünk. 69

70 A alaegyenleek negrál alaka (6.3.) A vsgál aromány lekéése A varáós módsereknél a dfferenál egyenleek negrál alakával dolgonk mely során érelemserűen negráln kell bonyos mennységeke a vsgál aromány fele. E a negrálás legöbbsör nmerksan Gass negrálás segíségével végeük el. A végeselem módser alkalmaásáo a negrálás aromány egy ado elemísra ellemő alakaokra kell felosan mad a nmerks negrálás sámára konform ransformáó segíségével egységesíe alakra kell lekéen: 6.. ábra aromány felosása P 4 P 8 P 3 y P 4 P 8 P 3 P 9 P - P 9 - P P P P 5 P 6 P 7 P 7 P P P P 6 5 x 6.. ábra Elem lekéése okványos leírás módo köveve a konakaromány: X x( ) X (6.3..) x Y x y( ) Y. (6.3..) y y A ermodnamka felada ma sükségünk van a koordnáa lekéésére s: k Z k ( ) Z. (6.3..3) k 7

71 A alaegyenleek negrál alaka (6.3..) A elem geomeráának egendre alaú aroxmáóa Ao ogy a ado aromány egy esőleges geomeráú elemé le dk kéen sükség van a elem aároló felüleenek és eel együ a élgörbének lekéésére. Egy oldal és a ee aroó élek lekéeésére öbb ú leeséges. Eek Páel [68] sern:. A oldal sarok valamn él és oldal köbülső somóonok segíségével agrange féle aroxmáóval köelíük. E a ú vsonylag egyserűen áraó és a másodfokú köelíéseknél álalánosan elerednek s mondaó. Ugyanakkor a elárás sámos áránnyal rendelkek: em erarks A köbülső somóonok nem elöleők k esőleges elyen gyans a agrange lekéés könnyen snglárs vagy nonkonform eleme veee (oldalnegyedelő onban megado somóon roblémáa) -EM eseén kéfaa aroxmáós függvénnyel kell dolgonnk. Amennyben rendelkeésre áll a oldalfelüle aramerks egyenlee akkor eek felasnálásával s leíraó a geomera aonban ekkor s kéfaa aroxmáóval kellene dolgon. 3. Ha a oldalfelüle egyenlee vagy ona a (xy) koordnáa rendserben van megadva akkor a egendre-féle aroxmáó a köelíe és köelíő oldalfelüle kö ávolságvekorra vonakoó legksebb négyeek módserével s lleseő a ado geomera nformáóko. A módser késégelen előnye ogy sak sán egendre-féle függvényekkel kell dolgon. Ugyanakkor neésége elen a ké felüle kö ávolság megaároása. A mérnök felüleek áeknésével a aasalak ogy aok sne kvéel nélkül köelíeőek úgynevee serendy elemekkel melyek eseén nem alkalmank oldalakon belül bborékfüggvényeke sak a éleke adó érgörbéke kell köelíen. A folserű konakaromány eseében e snén elegendő. A érgörbék koordnáának egyenlee előállíaók a ívoss függvényében: x x( s) x y y( s) y ( s) x( s) y( s) s.. l. (6.3...) ( s) 7

72 A alaegyenleek negrál alaka Annak érdekében ogy a Gass onok mnél egyenleesebben elyekedenek el legyen a ado élen a lekéése asnál sabad váloó (l. a ) és a ívoss kö kasola lneárs. Ekkor: s l... (6.3...) Ennek segíségével éldál a ado görbe és a aroxmáó x koordnááa kö különbség: d x ~ ~ x( l) x x( l) ( ) X. ( ) Melyből a oldal köbülső X araméerek a legksebb négyeek módserével megaároaó sakúgy mn a Y és a Z araméerek. A ívoss és a kö kasola nem sak lneárs lee. A kasola alkalmas megválasásával előállíaók snglárs és félvégelen elemek s. A fen elárás akkor s áraó a a oldalgörbének sak a köbülső ona a smerek. Ekkor a ívoss a görbé leíró onokon keresül veee egyenes lánolaal köelíeük. P n P (=-) P - ( - ) P ( ) P n (=) P - s - P - s P (x y ) n s s 6.3. ábra Görbe vonal onanak lekéése E alaán a -dk ono aroó érék a kövekeők alaán sámíaó:. ( ) n s s 7

73 A alaegyenleek negrál alaka Melynek segíségével a -dk onól való elérés x-ben: d x ~ ~ x x xn ( ) X. ( ) A geomera araméerek érelemserűen ebben a eseben s legksebb négyeek segíségével megaároaók vagy neroláó eseén a előálló egyenlerendser megoldaó. A lekéés aékonyságának és onosságának bemaására egy 5 egység sgarú 9 -os körkk 4 oná adom meg kéfélekéen melynek súsából ányk egy 5x5 egység oldalú deréksögű áromsög. A álalam avasol geomera lekééssel kao elemeke a 6.4 ábra maa. P 4 (;5) P 3 (3;4) P (4;3) P 3 (-3;4) P 3 (;5) P (3;4) P (4;3) P (5;) 6.4. ábra Ponokkal leír negyed körkk ú geomera lekéésével kao elemek Ugyane a lekéés megvalósíaó armadfokú agrange neroláóra éülő elemekkel mely a 6.5 ábrán láaó. P 4 (;5) P 3 (3;4) P (4;3) P 3 (-3;4) P 3 (;5) P (3;4) P (4;3) P (5;) 6.5. ábra Hagyományos agrange geomera lekéésével kao elemek 73

74 A alaegyenleek negrál alaka Egyérelműen megállaíaó ogy míg a agyományos agrange neroláó eseén a elem alaká elenősen befolyásola a oldalonok elelyekedése addg a avasol lekéésnél a elem alakára ennek nns elenős befolyása. A elem alaka melle a lekéés akkor ó a annak erede élá aa a elem fele negrálaóságo a leeő legonosabban bosían da. A negrálás a kövekeő sokásos áalakíással (6.6 ábra) végeük el aol J a Jakob márx: f ( x y) dxdy f ( x( ) y( )) J dd. ( ) f ( x( ) y( )) J ábra Inegrands a lekéés köveően A negrálás onosságának vsgálaáo válassk a f(xy)= függvény aa a elem erüleé aárok meg. A körkk erüleé analksan s meg dk aáron: 5 5 A körkk ( ) A nmerks negrálás mnd a négy lekéés eseén elvégeve és össeasonlíva a analks megoldással a kövekeő eredmény kak: ekéés Hagyományos agrange Ú egendre Ponok a) b) a) b) erüle Hba (%)

75 A alaegyenleek negrál alaka A erülesámíások eredménye össeasonlíva s láaó ogy míg a agyományos agrange neroláónál a ba erősen függ a onok elelyeéséől addg a ú egendre függvényekre alaló lekéésnél a ba nemsak ogy ó köelíéssel aonos de egy nagyságrenddel ksebb s. Bár gyakorla asna mérsékle de a ú lekééssel megeeő nemsak egy körkk de egés kör lekéése s 6-7% onossággal (6.7 ábra). P (;5) P (-3;4) P (4;3) P 3 (-5;) P (5;) P 4 (;-5) P 3 (-4;3) P 4 (3;-4) 6.7. ábra eles kör lekéése különböő oldalkosás eseén A így leír geomera köelíés egyserűen elvégeeő sak egendre függvényekre ámaskodk. A oldal menén bárol sabadon megadaók köbenső onok nem kell örekedn a köbensőonok egyenlees elosására ovábbá a agrange neroláóra éülő megoldáso kées sokkal onosabb eredmények éreők el. Akár a 6.8 ábrán láaó sabad formáú elemek s lekéeeők ábra Ponokkal megado sabadformáú elem a ú lekééssel 75

76 A alaegyenleek negrál alaka (6.3..) Konakaromány és a résmére lekéése éeleük fel ogy a A konak köéfelüle felosásá a A normálsával veíük rá a ké es konakfelüleére. A ké konakfelüle köö n résre osk a rés de nem felélenül egyenköűen. e x 6.9. ábra Rés felosása elemekre A elemek rés men éle oldala áramosak a koordnáaengellyel így a konakfelülee köö globáls koordnáarendser e és a eleme köö koordnáarendser e egységvekora egy rányba esnek. Ennek kövekeében a x és y koordnáák nem függvénye a -nak ovábbá lekéésée lneárs alakfüggvények elegendőek: X x( ) X (6.3..3) x Y x y( ) Y. (6.3..4) y y A ermodnamka felada ma sükségünk van a koordnáa lekéésére s: k Z k ( ) Z. (6.3..5) Mvel -ban lneárs: k. (6.3..6) 76

77 A alaegyenleek negrál alaka 77 A felada megoldás semonából élserű a kede geomerá s a kövekeő alakban alakfüggvényeken keresül köelíen: H g g g g g H. (6.3..7) Míg a deformáóka s aralmaó geomera: H H. (6.3..8) Érelemserűen vonalérnkeésre a fen köelíések a kövekeőkéen alaklnak: X x x x X ) ( (6.3..9) Y k k k Z ) ( (6.3..) H g g g g g H (6.3..) H H. (6.3..) Mvel a résméree n résre osk élserű a és meőknél gyana a aroxmáó asnáln. eessünk be a résmen dmenólan koordnáá a kövekeők sern: e e lleve e e. (6.3..3) x = = n- = =- = n = 6.. ábra Résvasagság felosásának defnálása

78 A alaegyenleek negrál alaka 78 Ennek segíségével: (6.3..4) H H. (6.3..5) Így a -dk sorban lévő elemekre: H H H H Z. (6.3..6) Mely rendeése án kak ogy H H H H H H H H Z. (6.3..7) eá a -dk sorban lévő elemre a Z araméer a kövekeőkéen sámíaó a osáskö és a résmére araméerenek smereében: H H H H Z. (6.3..8) Mvel a koordnáa lekéése -nek és -nek lneárs függvénye valamn a x és y nem függvénye se -nek se -nek ovábbá /<</ és / <</ így a résvasagság men negrálok a kövekeő alakban aároaóak meg: n n n d f d f d f d f ) ( ) ( ) ( ) ( H H (6.3..9) A A érnkeés aromány fele negrálások ( ) sern a rés men negrálásokól függelenül elvégeeőek a - síkra lekée aromány fele.

79 A alaegyenleek negrál alaka (6.3.) A smerelen meők aroxmáóa A varáós elvek felasnálásakor elsődleges felada ogy megaárok ogy mely egyenleből melyk meő kívánk megaáron annak varáóa álal. Jelen eseben 6 smerelen meő; a nyomás a őmérsékle és a felüle nyomás és őmérséklekülönbség okoa (=) elmodlások valamn a es rgg (=) mereves serű elmodlásának megaároására öreksünk. A smerelen nyomás alakváloás és őmérsékle meő alakfüggvények és állandók lneárs kombnáóakén keressük mely folserű érnkeésnél: P P (6.3..) H H (6.3..) H H (6.3..3) (6.3..4) míg vonalserű érnkeés eseén: P P (6.3..5) H H (6.3..6) H H (6.3..7). (6.3..8) A merev esserű ( rgd ()) elmodláso nem sükséges alakfüggvény sen a egy ese köö ellemő. A geomera és a elmodlások leírásánál nem felélenül sükséges de élserű gyana a alakfüggvény ís asnáln mer (5...) sern a alakváloo félrés:. (6.3..9) g rgd A erarks elemfeléíés ma nem oko gondo a a geomera és a alakváloások aroxmáóának foksáma nem egyek meg. Ebben a eseben a legmagasabb és legelesebb alakfüggvényalma kell venn mely aralmaa a geomera és a alakváloások aroxmáóánál felasnál alakfüggvények mndegyké. E a ovábbakban egyserűen -val elölük és mnd a geomera és mnd a alakváloások aroxmáóá elöl. Ennek alakára könnyedén ransformálaók a geomera és a alakváloás araméerek s sen a felada 79

80 A alaegyenleek negrál alaka sak anny ogy a ado aroxmáónál nem asnál alakfüggvény araméeré -ra kell felvenn. A fen (6.3..9) egyenle így a kövekeő formában s felíraó: Hg H H H g (6.3..) rgd H H H H H H H H g H H H g rgd H g g g rgd rgd. (6.3..) (6.4) A alaegyenleek A felsorol meők és smerelenek megaároására 8 egyenle áll rendelkeésünkre. Eek a alábbak:. A érnkeés geomeráára lleve alakváloására vonakoóan (5...3)(5...4) egyenleek: ( x y) ( x y) (6.4.) ( x y) ( x y). (6.4.) s. A erelés és knemaka előírások leenek éldál a kövekeők sern: F w da F w : össesoríó erő (6.4.3) A rgd. (6.4.4) 3. A büneőfüggvény s aralmaó (5...7) álalános Reynolds egyenle: Ψ Φ θω θ. (6.4.5) γ 4. A kenőanyag őan leírására solgáló (5.3..9) egyenle: v v (6.4.6) mely állandó sűrűség és őan ( v és a ) ellemők melle a alább alako nyer: θρv θ θ ρ λ θ θξ. (6.4.7) 8

81 A alaegyenleek negrál alaka A varáós módser semonából meg kell megaáron ogy melyk alaegyenleben melyk meő varáóa sereel. Mvel a álalánosan elered megoldásokban a slárd esekre vonakoó meanka egyenleekből a elmodlás- míg a őan egyenleekből a őmérséklemeő varáóával állíák elő a megoldáso sükséges egyenlerendser a Reynolds-egyenle megoldásában a nyomásmeő varáóának kell sereelne ao ogy a megfelelő sámú algebra egyenlee kak a dskeráó án. (6.4.) A Reynolds-egyenle gyenge negrál alaka Amn smerees a negrál alak felírásának első lésőe a ado dfferenálegyenle elen eseben a (6.4.5) egyenle súlyoo negrál alakának a felírása melye a (6.4.5) egyenlee obbról soron kell egy w R mad a vsgál aromány fele negráln kell. w θψ Φ θω A R da (6.4..) gyenge negrál alaka így a kövekeő les w Φ θψ w θω da w Φ θψ dγ A R Γ R γ γ R (6.4..) (6.4..) mely (5...8) alaán w w da w q n d (6.4..3) A R lleve (5...) sern A w w da w q n d R R R R R (6.4..4) Amennyben a w R = ovábbá felasnálva a (6.3..) ala köelíő össefüggéseke akkor a (6.4..4) elye a alább dskreál egyenlee kak A n dap ΨdA Ωγ da q d eessük be a kövekeő elölés: A (6.4..5) A B. (6.4..6) Így a dskreál Reynolds egyenle a alább alako nyer A B A A γ n B dap B ΨdA Ω da q d. (6.4..7) 8

82 A alaegyenleek negrál alaka 8 (6.4.) A ermodnamka-egyenle gyenge negrál alaka A Reynolds egyenleée asonlóan a (6.4.6) ermodnamka egyenlenek s felíraó a gyenge negrál alaka egy wq súlyfüggvény segíségével: n da w d w Ξ w Q Q v v Q (6.4..) mely (5.3..) alaán n da q w d w Ξ w Q Q Q v v Q (6.4..) lleve da q w d w Ξ w n Q Q v v Q Q (6.4..3) amennyben a w Q = ovábbá vekorból a végeselemes elöléssel vekor elenk meg n v v v v da q d d Ξ d d d d d Q. (6.4..4) eessük be a kövekeő elölés: B. (6.4..5) Így a dskreál őan egyenle n v v v v da q d d Ξ d d d d d Q B B B. (6.4..6)

83 A alaegyenleek negrál alaka mely állandó sűrűség és őan ellemők melle: v B d B d q n Q v d Ξ da B d d. (6.4..7) (6.4.3) A résmére deformáóának megaároása aroxmáóval A felüleen működő megosló erelés aására bekövekeő elmodlások sámíása mára már rnfelada a nmerks módserek körében így a ee sükséges egyenleeke nem s résleeem. Jelen roblémakör semonából elegendő a elfogadk ogy a (6.4.) és a (6.4.) egyenleek (6.3..) és (6.3..3) köelíések beveeése án a kövekeő alakú algebra egyenlerendserkén állnak elő a feléeleük ogy a elmodlás kvá saks: A nyomásból sármaó elmodláso oárendel végeselemes egyensúly egyenle: K H f (6.4.3.) míg a őmérsékle-eloslásból sármaó elmodlásra vonakoóan áll H K. (6.4.3.) f Más oldalról a nyomáso ll. a őerelése aroó redkál somóon erelés vekor: f C PP ( ) f C. ( ) Ekkor a nyomásból és a őmérsékle-eloslásból sármaó elmodlásokra vonakoólag felíraók a aásmárxok s: H K C P D P ( ) H K C D ( ) Illeve a ké es vonakoásában H K CP DP ( ) H K C D. ( ) 83

84 A alaegyenleek negrál alaka (6.4.3.) A nyomáseloslásból sármaó dskreál köelíő elmodlásmeő sámíása a félvégelen érkén modellee es eseén Mn aogy a már korábban emlíésre kerül elasodrodnamka feladaoknál gyakor ogy a érnkeés a érnkeő esek méreee kées on- vagy vonalserűnek ekneő. A ennek aására bekövekeő deformáó megosló erelés eseén [7] sern on- vagy folserű erelésre a (5...5) sern analks össefüggéssel lee megaáron. A össefüggés késégelenül alkalmas a deformáó sámíására és a elasodrodnamka sámíásoknál egyedralkodó. Így gyan a nyomáseloslás függvényében les smerees a felüle elmodlása aonban a egyenleenkben öbb elyen s sereel a résmére eér kívánaos ogy egy eráós klson belül sak egyser kellen elvégen a deformáó sámíásá és a deformál alak végg rendelkeésünkre állon. A résmére megaároásá leeőleg olyan formában kell elvégen ogy a megegyeen aal am a slárd es végeselemes megoldása során kanánk. Így sükség sern (l. nomogén felüle ladonságok eseén) a analks megoldás felválaó nmerks elárásokkal. Mvel a kndló résmére és a elmodlás köelíő függvények megegyenek a araméerek össeadaók és együ keeleők. Ennek okán élserű a résmére deformáóá s -verós aroxmáóval (6.3..6) sern köelíen melye a legksebb négyeek módserével lleseünk l. a (5...5) analks függvénye a kövekeők sern: él : mn H da. ( ) A Mnmmfeléel ma: A H H da H da A. ( ) Folserű érnkeésre felír (5...5) elmodlás a meő dskreáóával: dap 4 E ( ) A xˆ x yˆ y negrál révén sámíaó. Így ( ) a ( ) fgyelembevéelével A dah 4 P dada E. ( ) A A xˆ x yˆ y 84

85 A alaegyenleek negrál alaka Össeasonlíva a előbb egyenlee a (6.4.3.) egyenleel eseünkben a merevség márx: K da ( ) A míg a erelés vekor ( )-ra s ekneel: f 4E A A xˆ x yˆ y dadap C P. ( ) agys megaárok a ( )-ben serelő K és C márxoka így ebben a eseben s felíraó a H araméerere vonakoó D aásmárx. A elárás elenős előnye ogy a kenéselméle sámíások során már sak a ( ) egyenlee kell asnálnnk melyben a D aásmárx mnd nmerks mnd a előbb smeree analks úon megaároaó a megoldás ovább menee váloalan marad. Hasonlókéen felíraó a őaás ma a félvégelen éren bekövekeő deformáó eseére s a aásmárx. Aonban mn aogy a már korábban emlíeük amkor a geomera vsonyok olyanok ogy a érnkeő felüleek félvégelennek ekneők a nyomás okoa felüle deformáó melle a őmérsékleváloás aására bekövekeő deformáó gyakorlalag elanyagolaó. A olyan eseekben edg aol ks nyomás melle s elenős a súsásból sármaó őermelődés és a ebből sármaó deformáó a geomera vsonyok nem esk leeővé ogy a érnkeő eseke félvégelennek eknsük. Ebből adódóan a őmérsékle aására bekövekeő deformáó sámíása álalában nem analks úon felállío egyenleek anem éldál nmerks elárások segíségével előállío aásmárxokkal öréne. (6.4.4) A érnkeő esekben és a kenőanyagban kalakló őmérséklemeő saolása A ermodnamka felada eseén nem sak a kenőanyago anem a érnkeő eseke s vsgáln kell a a (5.3..) és (5.3..) sern eremfeléelek nem előre defnálak anem a kasol (kenőanyag konakes) őan felada megoldása során kerülnek megaároásra. A saolásra ké leeséges ú áll rendelkeésre. A egyk megoldásnál a agyományos alserkeeekre vonakoó enká asnálk megarva a aáron mnd a kenőanyagra mnd a konakesre vonakoó egyenleeke. E a ú könnyen 85

86 A alaegyenleek negrál alaka áraó a a konakesekre s a energaegyenle gyenge negrálára alaló varáós megoldás asnálk. A másk leeséges ú sern a eremen a konakesre vonakoó egyenlee eknük érvényesnek míg a kenőanyagra vonakoó dfferenálegyenle egyenle varáóá sak a kenőanyagon belül kéeük. E óbb leeőség főkén akkor előnyös a a konakes őmérsékleére vonakoólag analks megoldás kívánnk alkalman. ermo-elasodrodnamka roblémák őan résének sámíásánál s gyakora alkalmaaó a érnkeő esek félvégelen eskén való modelleése mely éldál folserű érnkeésre (5.3.3.) sern a felüle onokra vonakoólag: s aol r s s e ˆ da( xˆ y) r A( xˆ yˆ) s s s x y q ( xˆ yˆ) r U r x x yˆ y ; U s s s s s (6.4.4.) ˆ. (6.4.4.) a felüle őmérséklee a felüleű es ávol onának őmérséklee a sűrűsége a faőe a őmérsékleveeés ényeő a felüleen a őflxs q q s s x y aol: fs x y fs fs x y x y x y ; x y ; x y A ; n e s ( ) ( ) fgyelembe véve a kaváó (5.3..5) sern: fs x y ; x y. ( ) s A feneke asonlóan a felüle őmérséklee vonalserű erelésre: U s q s ( xˆ) s ( ˆ s x e K ds x) ( ) s ( ˆ) s x s s s xˆ x U xˆ x aol K másodfaú nllad-rendű módosío Bessel függvény. A (6.3..4) sern a kenőanyagban a őmérsékle-eloslás köelíése:. ( ) 86

87 A alaegyenleek negrál alaka együk ésre ogy a felüleeken a elemenek sak a felüle somóon él és oldal alakfüggvénye vesnek fel éréke. Így árom soorra osak a alakfüggvényeke és felüle és a kenőanyag belseében működő alakfüggvényekre:. ( ) Ennek megfelelően a s asonlókéen soorosíaó:. ( ) eessük be a kövekeő elölés:. (6.4.4.) Míg a belső alakfüggvények éréke vesnek fel a érnkeés felüleeken addg aok dervála gyan nem les egyenlő -val. Eek alaán a ( ) a kövekeőkéen íraó fel a -dk felülere = melle. q s s s. (6.4.4.) Eek án a (6.4.4.) ala felüle őmérsékle (6.4.4.)-re való ekneel: s x y A( xˆ yˆ ) s A( xˆ yˆ ) s s s s e s s r U r s eessük be a alább elölés: Λ s s s s e r U s r s s r r s s s s e r U s r s da( xˆ yˆ) s r da( xˆ yˆ). (6.4.4.). ( ) mely érelemserűen vonalérnkeésre ( ) fgyelembevéelével: Λ s s s s e U s xˆ x s U K xˆ x. ( ) s s Kövessük a a legksebb négyeekre alaló köelíő módser am a elmodlás sámíásánál s eünk: él : mn da. ( ) s A 87

88 A alaegyenleek negrál alaka 88 Keressük ( ) mnmmá mn: A s s A s da da. ( ) Így ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( da y x da Λ y x da Λ y x da Λ s y x A y x A A y x A ( ) Ennek rendeésével kak ogy: ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( s A y x A A y x A y x A A y x A y x A da y x da Λ da y x da Λ y x da Λ da y x da Λ y x da Λ ( ) egyen: A y x A y x A da y x da Λ y x da Λ ) ˆ ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) ( ˆ ˆ) ˆ ( K ( ) ovábbá A y x A y x A da y x da Λ y x da Λ ) ˆ ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) ( ˆ ˆ) ˆ ( K (6.4.4.) míg A y x A da y x da Λ ˆ ) ˆ ( ˆ) ( ˆ f. (6.4.4.) Eek alaán felíraó a felüleeken a őan eremfeléelből sármaó egyenle: s f K K (6.4.4.)

89 A alaegyenleek negrál alaka 89 agys: s f K K. ( ) Eeke a egyenleeke a (6.4..6) ala őan egyenleel együ eráóval vagy áramosan kell megoldan aal a módosíással ogy o w Q = mvel a eremen ado a (6.4.4.) álal kfeee feléel. Ha sak a elű konakfelüleen áll fenn a fen (6.4.4.) eremfeléel akkor w Q =. Abban a eseben a egy eráós klsban oldk meg a (6.4..6) (6.4.4.) egyenleeke a megoldandó egyenlerendserek smmerksak maradnak. A (6.4..6) egyenleből ekkor annak megfelelően ogy mndké konakfelüleen vagy sak a egyken áll a fen eremfeléel modell sak a vagy míg a (6.4.4.) egyenleből a s araméereke sámík. Ha a áramos megoldás módo válasva egy léésben mndké egyenlee meg kívánk oldan akkor a őan egyenleünk: n v v v v da q d d Ξ d d d d d Q B B B. ( ) agy a a felüleen adabaks eremfeléel alkalmank: n v v v v da q d d Ξ d d d d d Q B B B.( ) A kao egyenleeke vsgálva megállaíaó ogy aok nem smmerksak így a megoldása öbb erőforrás vson sak egy léés gényel. A felüle deformáókól elérően a felülere vonakoó őmérsékleeloslás nem éíeő be aásmárxon keresül a folyadék ermodnamka egyenleébe anem drek eremfeléelkén elenk meg és vagy eráóval vagy egy léésben saol feladakén kerül megaároásra.

90 A egyenlerendser nmerks megoldása 9 (7.) A egyenlerendser nmerks megoldása A felada megoldása során alaveően a radonáls megoldás algormsok kerülnek előérbe. Mnden bonnyal keleneő ogy a olyan aékony elárások mn a kökedvel mlgrd-mllevel algorms ebben a eseben s aékony esköe leene a nmerks megoldásnak aonban ennek mlemenálása nélkül s bemaaó a korábban smeree eredmények alkalmaaósága a ermoelasodrodnamks kenésállao modelleése erüleén. (7.) A megoldás során felasnál dskreál egyenleek A előő feeeben előállíásra kerülek aon egyenleek melyek egy véges elem módserre éülő megoldás során felasnálandók. Eek eá a kövekeők: A dskreál Reynolds egyenle egyenlerendser (6.4..7): dγ q da Ω da da Φ Γ n A γ A A Ψ B P B B. (7..) A résmére dskreál alaka (6.3..): rgd g Δ H H H. (7..) A nyomásból sármaó elmodlás araméerere vonakoó össefüggés ( ): P D P C K H. (7..3) A őmérsékle-eloslásból sármaó elmodlás ( ): D C K H. (7..4) A dskreál őan egyenle ( ): n v v v v da q d d Ξ d d d d d Q B B B. (7..5) A felüleeken a őan eremfeléelből sármaó egyenle ( ): f K K (7..6) f K K. (7..7)

91 A egyenlerendser nmerks megoldása 9 agy a a felüleen adabaks eremfeléel alkalmank akkor ( ): n v v v v da q d d Ξ d d d d d Q B B B. (7..8) erméseesen a fen egyenleek egy sorosan kasol rendser kéenek gyanakkor a őan és a konakfeladanak külön s keeleőnek kell lenne. Mvel a árom meő még a áéelesen s de egyserre elen van mndegyk egyenleben elvleg egy meő megaároására bármelyk egyenle alkalmas lee. Ugyanakkor a őveeés dfferenálegyenleé felasnáln a nyomáseloslás vagy a alakváloás megaároására megleeősen erőlee lenne. Eek alaán a alakváloásra vonakoó lleve a álalános Reynolds egyenle áll rendelkeésre a nyomáseloslás és a résmére megaároására. A elasodrodnamka felada megoldására ké eraív ú kínálkok. A drek únak nevee meodka sern a alakváloás egyenle solgál a résmére míg a nyomás megaároására a Reynolds egyenle. A másk leeőség a úgynevee nver módser melynek alagondolaa a ogy egy ado kndló nyomáselosláso kerül megaároásra a sükséges résalak a Reynolds egyenle felasnálásával mad a kao résalako kell megkeresn a sükséges nyomáseloslás. A nmerks módserek eleredésével gyan a drek elárás késégelenül veeő seree kao különösen a felüle deformáóból vssasámol nyomáseloslás onos megaároásának neékessége lleve a deformáó nyomásváloásra vonakoó vsonylag alasony érékenysége ma. A előbbek melle elkéeleő olyan megoldás s melynek során a alakváloás és a kenés roblémá kasol feladakén oldk meg melyre leeősége erem a résmére korábban smeree módon nyomásfüggésének aásmárxsal való előállíása.

92 A egyenlerendser nmerks megoldása (7.) A dskreál Reynolds egyenle lnearálása A vsgál árgykörben a megoldás neéségé különösen a Reynolds egyenle erősen nemlneárs ladonsága okoa. A erősen nemlneárs egyenleek megoldása a eseek úlnyomó öbbségében a ewon vagy gradens módserre alalnak. Ebből adódóan a (7..) egyenlee lnearáln kell ogy a nyomáseloslás és a oá aroó résalak megaároaó legyen. eknsük a (7..) mn: R A ΦB B dap A n B ΨdA Ω da q dγ. (7..) A γ Ha áeknük a kndló egyenleeke akkor megállaíak ogy R R P r.... (7..) eq A megoldás keresése során a (7..) váloónak olyan éréké keressük melyre a R maradványfüggvény éréke. A egyenle váloó nem függelenek egymásól anem aoka különböő egyenleek mn l. a anyagegyenle kasola össe. Ugyanakkor a eseek elenős résénél a váloók kö össefüggéseke nem lee exl alakban felírn. Ennek kövekeében a nmerks megoldás során a váloóknak kedőéréke kell adn mad a feladao egy kválaso váloóra (eseünkben P) néve meg kell oldan míg a öbb váloó ( eq ) rögíve marad. E köveően a kválaso váloó ú érékée (a ú P- e) kell megaáron a öbb váloó éréké melyek a kövekeő eráós léés ú kndló érékekén fognak sereeln. Így a. eráós léésben a Reynolds egyenle maradványéréke a kövekeő les: R R P r... eq. (7..3) A megoldás meneének semléleésé solgála a 7.. ábra. A eráós léések során a --dk léésben - P * -nél rögíe egyéb váloók melle (7..3) sern maradványfüggvények kedveő eseben egyre obban egybeesnek mad a (7..) sern függvénnyel melynek P * megoldása konvergál a P * egak megoldáso. Aonban e nem mnden eseben áll fenn. Ilyenkor a eseleges oslláó megsüneésére és a nmerks megoldás konvergenáának sablálására megoldás elene a - léések kö grások sllaíása (l. P*= P*+(-) - P*; =..). 9

93 A egyenlerendser nmerks megoldása 93 P R(P - P * ) - P * R(P - P * ) R(P) P * P * 7.. ábra Megoldás álalános meneének semléleése A Reynolds egyenle váloónak áeknése során megállaíak ogy a sűrűség a vskoás a kölés ényeő és a lneársan rgalmas anyagmodell melle a felüleek deformáóból sármaó résmére eseén a nyomással és a őmérsékleel való kasola exl alakban felíraó így a P-re ve lnearálás során eek dervála s fgyelembe dk venn mely nagymérékben gyorsíaa a megoldás és áramosan kerül megaároásra a nyomáseloslás és a ee aroó résmére.... ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( r eq P P P P P R R. (7..4) A előbb formalms egyserűsíve: R P P P P R P R )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( (. (7..5) Ennek lnearál formáa egy esőleges P=P onban: )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( Ο P R D R R R P R R P P P P R P P P (7..6) vagy ömörebben Ο P R D R R R P R R R P P P. (7..7)

94 A egyenlerendser nmerks megoldása Een egyenle P megoldásnak soroaával köelíük a R= maradvány P* megoldásá a kövekeő sern: P P P. (7..8) agy a a megoldás osllál P P P [..]. (7..9) Mvel a EHD feladaok eseén a kndló egyenlerendser öbbsörösen nemlneárs gen neé olyan kndló állaoo aláln mely eseén elkerüleő a megoldás oslláóa. Eér egy élserűen megválaso sllaíásra van sükségünk amelyk a leggyorsabb konvergená eredménye. Ennek megaároására vson sak álalános megfonolások állnak rendelkeésre melyek ado feladao való megfelelőssége nem bosío. Eér a sllaíás omáls méréké úgy érdemes megaáron ogy a a maradvány érékének a leeő legnagyobb mérékű sökkenésé eredményee. erméseesen e sak egy elárással lee bosían. A sllaíás omáls érékének megaároásáo a maradvány négye mnmmá keresem. A sllaíás megaároásakor P és P vekorok állandóak így a R(P +P ) maradványvekor egyváloós függvény melye ovábbakban R()-val elölök. Annak érdekében ogy ne legyen sükség a mnmmkeresés során a derválak dőgényes megaároására a maradvány éréké másodfokú aroxmáóval köelíem a kövekeő módon: egyen R a = -o aroó maradvány. Kedő érékkén legyen =6 melye aroó maradvány R A érék megaároásánál rendelkeésre áll ké onban ( = és onban) a maradvány R és R éréke és erméseesen aok (R ) = R R és (R ) = R R négyeössege. alamn a kndló onban a maradvány dervála s smerük így a (R()) maradványnégye függvény meredeksége s smer melye elölük m -mel. A előbb adaokkal (R()) másodfokú köelíése alaán: m R R m (7..) d R m R d (7..) PP 94

95 A egyenlerendser nmerks megoldása Amennyben a m éréke valamlyen oknál fogva nem állna rendelkeésre a [.. ] arományon a kövekeő súlyoo álaggal a kövekeőkéen s felveeő : R R R R R R R R. (7..) R () R m R 7.. ábra Maradványnégye első köelíése Ee a sllaíáso aroó maradvány érék legyen R. Így árom -R érékár leeősége ad a R() maradványérék R ()=RR négyeének másodfokú köelíésée mely melle ovábbra s rendelkeésre áll a kndló onban a (R()) maradványnégye függvény meredeksége. A arabolks köelíése aonban a egyk ada felesleges. Magasabb fokú köelíésnek vson öbbsörös sélsőéréke lee eér k kell válasan a a árom adao am a köelíése felasnálnk. Abban a eseben a = ± fennáll aol egy megválaso elegendően ks baaár a a omáls lééssllaíásnak ekneő. Abban a eseben a < és (R ) <(R ) fennáll a 3 éréké a [;(R ) ] és [ ;(R ) ] onok valamn a [;(R ) ] onbel m érék alaán aárok meg. essük e mndaddg míg < - és (R ) <(R ) nem elesül (7.3 ábra). 95

96 A egyenlerendser nmerks megoldása R () R m R R ábra Első mnmmkeresés lééssorral kao árom on egyen ekkor = - (R ) =(R - ) és = (R ) =(R ). A fen elárás során mndenkéen előáll egy olyan [;(R ) ] [ ;(R ) ] [ ;(R ) ] onármas aol (R ) és (R ) érékek köül legalább egy ksebb mn (R ). E köveően a soron kövekeő éréké már ké élserűen megválaso a korább onok köül a ké legksebb [ k ;(R k ) ][ l ;(R l) ] és a [ - ;(R -) ] onra fekee alakú másodfokú neroláóval előállío arabola mnmmelye vagy engellyel ve mesésona ada ( ábra). R () R k R l R - k l ábra Három onon keresül a maradványnégye köelíésének. esee 96

97 A egyenlerendser nmerks megoldása R () R k R l R - k l ábra Három onon keresül a maradványnégye köelíésének. esee R () R k R l R - k l ábra Három onon keresül a maradványnégye köelíésének 3. esee Beláaó ogy a rendelkeésre álló onalmaból e árom egymás melle on a neroláó k l és - sorrendéől függelenül 3 különböő esee elöl k melyeke a 7.4. ábra 7.5. ábra és 7.6. ábra ma. A a esee amkor a 3 on egy egyenesbe esk a 7.6. ábra álal mao esebe sorolk. eáls ese a (R k ) =(R l) =(R -). Ekkor legyen =( - + k )/. A 7.4. ábra és 7.5. ábra álal mao eseekben mkor a d d a 3 éréké a másodfokú neroláós görbe mnmmona elöl k. Ha 7.6. ábra álal mao ese áll fenn vagy a árom on egy egyenesbe esk aa d d a éréké a görbe engellyel ve mesésona 97

98 A egyenlerendser nmerks megoldása ada aol. Mvel a görbének ké mesésona van a les a amelyk nagyobb mn és köelebb áll a - -e. A 7.5. ábra és a 7.6. ábra álal mao eseben a megaároo kívül esk a árom on álal felve arományon. Ekkor előfordla ogy a aromány aára és a ú érék köé esk egy korábban felve m érék aol smer a (R m ) éréke. Ebben a eseben a megaároo elye a = m vesünk aogy a a 7.6. ábra s maa. R () R m R k R l R - k l - m 7.7. ábra Három onon keresül a maradványnégye köelíésének 4. esee A fen elárással vsonylag gyorsan megalálaó a érék am melle a megoldás felé veeő omáls léés eeő. Mvel a léés ránya köö a éréké nem kell nagy onossággal megaáron %-os onosság elegendő a kíván aás elérésée. (7.3) A ermodnamka felada keelése A dskreál őan egyenle (7..5) megoldása során lényegesen egyserűbb a s köveeünk. A egyenle saáossága ogy a megoldására legnkább a sebességmeő van kaással am vson a nyomás és a őmérsékle függvénye. A sebességmeőnek bosíana kell a állandó érfogaáramlás. erméseesen a (7..5) egyenleben s megalálaók a nyomás és őmérséklefüggő váloók amelyek még nkább nemlneárssá esk a egyenlerendser. Ugyanakkor a sebességmeő megaároásáo sükséges nyomáseloslás erősen függ a őmérsékle érékeny anyag araméerekől. Így a 98

99 A egyenlerendser nmerks megoldása 99 egyenlee rögíe nyomáseloslás és ee aroó résmére melle lee megoldan. Amennyben a ado klsban rögíük a anyag araméereke lneárs egyenlerendser kank kée amnek a lnearáóa sükségelen. A (7..5) és (7..6) egyenleeke áramosan megoldva a eredmény egy léésben sámíaó a alább egyenleek megoldásával: n v v v v da q d d Ξ d d d d d Q B B B. (7.3.) agy a a felüleen adabaks eremfeléel alkalmank: n v v v v da q d d d d d d d Q B B B. (7.3.) A oslláó elkerülése érekében korláoaó a egy léésben megengedeő maxmáls váloás a alábbak sern:.. / / / a a. (7.3.3) A így megaároo őmérsékle-eloslás edg megerem a alaá a kövekeő nyomás és résmére sámíás kls bemenő adaanak. éréké aasalaok alaán 56 körül élserű felvenn. (7.4) Mnafeladaok A dolgoaban a korábban bemao eredmények elyességé gaolandó egyserű mnafeladaok megoldásá maom be. Eeken keresül láaó a olnomáls aroxmáó előnye a kaváós algorms aékonysága a kasol feladaok megoldaósága a bemao elárással. A megoldo feladaok: - egyserű drodnamka felada állandó résmére melle - egyserű drodnamka felada állandó ereléssel - drodnamka feladaok a kaváós algorms bemaására

100 A egyenlerendser nmerks megoldása - elasodrodnamka felada állandó őmérsékle melle - ermodnamka feladaok sa gördülés és súsás valamn súsvagördülés eseén különböő sebességek melle. A feladaok során vsgálom a őfelada résmen aroxmáóának aásá a eredményekre. (7.4.) égelen sélességű drodnamks sík sklófelüleár A kdolgoo elárás elyes és aékony működésének bemaásá a kenéselméleben előfordló egyk legegyserűbb eseel a végelen sélességű drodnamks sík sklófelüleár során kalakló nyomáseloslás megaároásával kedem melyre a rendelkeésre álló analks megoldás ó leeősége erem a eredmények ellenőrésére. A rendelkeésre álló analks megoldás [79] sern: 6 Ul l. (7.4..) x x l x l A felada válaá maa a 7.8. ábra. A k- és beléésnél a nyomás MPa. egyen a ké felüle sebessége: U 5m s; x x A rés geomera ellemő: m ; 5 ; l 5mm. A kenőanyag vskoása: 5 Pa s. [m] l x [mm] U 7.8. ábra. mnafelada: ík sklófelüleár

101 A egyenlerendser nmerks megoldása A feladao a rés menén egy elem felvéelével oldoam meg a köelíés foksámának folyamaos növelésével. A eredményeke és a analks megoldás a 7.9. ábra maa. analks másodfokú armadfokú 4-ed fokú 5-öd fokú (MPa) (m) x (mm) 7.9. ábra Analks és -verós köelíéssel kao nyomáseloslás A eredményekből láaó ogy ööd fokú köelíés eseén már egy elem felvéele melle s nagyon ó köelíéssel megoldaó a felada. Mvel a k- és beléésnél a nyomás smer így a 5-öd fokú köelíése a nyomásaroxmáó 4 állandóá kelle megaáron am óval kevesebb annál mn am lneárs köelíésnél alkalman kelle volna. (7.4.) égelen sélességű drodnamks sík sklófelüleár ado erelés melle A előő feladaban a felüleek ado ávolságra elyekedek el egymásól. Aonban álalában nem a felüleek ávolsága anem a erelése smer. eá vonalérnkeésnél elesülne kell a alább egyensúly egyenlenek s f dx. (7.4..) w s A nyomáseloslás analks megoldásából végelen sélességű drodnamks sík sklófelüleár eseén [79] sern megaároaó a ébredő vonalerelés éréke: 6 ln f w Ul. (7.4..) Ennek segíségével a előő eseben a vonalerelés f w =59834 M/m.

102 A egyenlerendser nmerks megoldása A egyensúly feléel kelégíésének vsgálaáo előírom ogy váloalan geomera és knemaka feléelek melle legyen a vonalerelés f w = M/m Ao ogy e feléel kelégíeő legyen a érnkeő esek merevesserű mogásá ( rgd ) ovább váloókén kell keeln. A ké felülenek lyen ellegű sabadságfoka ( rgd rgd ) van. okásos módon rgd =-ra válasva rgd ovább váloókén elenk meg. A sámíás eredményé a 7.. ábra maa. kndló analks ú rés analíks erede kndló rés kalakl ú rés 5-öd fokú (MPa) (m) x (mm) 7.. ábra Egyensúly feléel kelégíésével kao résmére és nyomáseloslás áaó ogy a megoldás során a. felüle felfelé modl el. A elmodlás éréke rgd =-85474µm. A kalakl résben nmerksan 5-öd fokú olnommal köelíe nyomáseloslás negrálásával kao vonalnyomás f w_nm =M/m. A kalakl résre analksan megaároo nyomáseloslás negrálásával kao nyomáseloslás f w_analks =7748M/m. áaó ogy a megoldás során olyan köelíő nyomáseloslás adódk mely nagyon onosan kelégí a egyensúly feléel. Ugyanakkor a kalakl résre vonakoó analks és nmerksan köelíe nyomáseloslás negrál érelemben s nagyon ól egyek. A ké megoldás negrál érékének elérése.7% am gen ksny.

103 A egyenlerendser nmerks megoldása (7.4.3) Kaváós óna megaároása büneőaraméeres elven A kaváós algorms vsgálaáo ayaragavan D. és Ke. G. [9] álal bemao egyserű feladao válasoam. A álalk vsgál felada kellő résleességgel blkál és egyserűsége ellenére kválóan alkalmas a kaváós algorms eselésée. A első felada egy egyserű arabolks sar. A felada araméer: - sar ossa: l=76 mm - mnmáls résmére: =54 µm - maxmáls résmére: =58 µm - súsás sebesség:u=457 m/s - skoás: =39 Pas A felada megoldásáo a 7.. ábra álal mao felosás asnálam a köelíés 8-ad fokú egendre függvénysooral végeem el. (m) x (mm) 7.. ábra Résfelosás arabolks sar eseén A megoldás során a büneőaraméer éréké -ról ndlva árom léésben növelem. A megoldás során előáll réskölés ényeő és a érfogaáramo a 7.3. ábra aralmaa. áaó ogy a ömegáram a résben állandó marad a kaváós ónán belül s. Ksmérékű oslláó elenkek a kléése köel elemeken amennyben a büneőaraméer éréke elegendően nagyra nő aonban eek méréke nem vesélyee a később felasnálás. A így kao nyomáseloslás görbéke ayaragavan D. és Ke. G. [9] álal bemao megoldással veeem össe melye a 7.. ábra ma. A ábrából láaó ogy a büneőaraméer növelésével a rodalomban megalálaó eredményekkel aonos megoldás kaam. 3

104 A egyenlerendser nmerks megoldása 7.. ábra Parabolks sar eseén a nyomáseloslás különböő büneőaraméerek melle és a ayaragavan féle megoldás [9] q kg m s büneőaraméer =9-5 büneőaraméer =9-5 büneőaraméer =9-5 büneőaraméer =9-5 büneőaraméer =9-5 büneőaraméer =9-5 x [mm] x [mm] 7.3. ábra Réskölés és rés men érfogaáram különböő büneőaraméerek melle 4

105 A egyenlerendser nmerks megoldása A ayaragavan D. és Ke. G. [9] álal köée kk nemsak egyseres anem késeres arabolks sska eseé s elem. A robléma válaá és a alkalmao felosás a 7.4. ábra maa. A felada araméere megegyenek a előbb feladaal. (m) x (mm) 7.4. ábra Résfelosás késeres arabolks sska eseén A felada erede kkben kööl megoldása melle Co. [77] mnkáában egy úabb fnomío megoldás s megalálaó. A sámíásom eredményenek a korább megoldásokkal való össeasonlíásá maa a 7.5. ábra. Jól láaó ogy a büneőaraméeres kaváós algormsra éíe megoldás ól köve Co. [77] 4-ben blkál eredménye úgy ogy mndösse 8 -verós elem kerül alkalmaásra ábra Késeres arabolks sska eseén a sámío nyomáseloslás és rodalm megoldások [9] [77] 5

106 A egyenlerendser nmerks megoldása (7.4.4) Elasodrodnamka felada megoldása A dolgoaban bemao megoldás módser kfeeeen elasodrodnamka feladaok megoldására feleseem k. Mán a előőekben bemao éldák gaolák a megoldás alkalmasságá drodnamka feladaok megoldására beleérve a kaváó modelleésé s a kövekeő éldában a Hamrok B. J. és Jaobson Bo O. álal 984-ben blkál kkben [] bemao roblémán keresül gaolom a kfelese elárás alkalmasságá. A felada araméere: Dmenó nélkül sebesség: U= - Dmenó nélkül erelés araméer: W=45-5 Dmenó nélkül anyag araméer: G=5 Dmenó nélkül mnmáls résmére: H mn =97-6 onalnyomás: f w =5 /m A alkalmao vskoás modell a Bars féle modell: = e oa a fen araméerek dmenó nélkül formában sereelnek a felada mégs nagyon ól beaárol konkré esee ma be sen E redkál rgalmasság modls smereében a araméerek dmenó vssaállíaóak. Mvel EHD kenésállao legnkább övöö és őkeel aél felüleárok eseén áll fenn így ó köelíéssel a redkál rgalmasság modls: E =98 GPa. A rés ossmenén 5 elemre osoam fel. A aroxmáó foksámá a. ábláa maa. A rés elemekre való felosásá semléle a 7.6. ábra.. ábláa Elem sáma yomás aroxmáó foka A nyomáseloslás megoldásá a 7.7. ábra maa a rodalomban kööl eredményekkel együ. Össeasonlíva megállaíaó ogy a eredmények ó egyeés manak különösen a Hoer. G. és Hamrok B. J. [] 986-ban kööl eredményével. Míg a rodalomban alálaó megoldásban 3 somóon váloó asnálak fel a megoldáso addg a elen eseben mndössesen 94 váloó kerül felasnálásra. 6

107 A egyenlerendser nmerks megoldása 7.6. ábra A kndló és a kalakló résmére 7.7. ábra A megoldás során és a rodalomban [] kööl kalakló nyomáseloslás 7

108 A egyenlerendser nmerks megoldása A megoldás során a kdolgoo omalál léésköű ewon-rason kerül alkalmaásra. A algorms aékonyságának semléleésére ké kragado léésben láaó a banégye alaklása a omáls lééskö megaároása során a 7.8. és 7.9. ábrán. A sámíás eleén a algorms megakadályoa a eráó elsállásá míg a későbbekben aékonyan gyorsía a megoldás meneé ábra R - érékek léésenkén megoldás kedeén 7.9. ábra R - érékek léésenkén a megoldás később fásában 8

109 A egyenlerendser nmerks megoldása (7.4.5) ermo-elasodrodnamka robléma vsgálaa A elasodrodnamka felada megoldása án a kövekeő léés a őfelődés aásának fgyelembevéele. A robléma -verós végeselemes módserrel örénő megoldásá a Wolff R. onaka. Kbo A. és Maso K. álal 99-ben [43] blkál kkben alálaó éldákon keresül maom be mvel Wolff és ársa a Hoer. G. és Hamrok B. J. [] kööl elasodrodnamka feladao veék alal melyre a előbb bemao felada eseén gaol a feléíe megoldás módser alkalmaaósága. A felada araméere: Redkál érnkeés sgár : r red =75 m Dmenó nélkül sebesség: U= - Her féle nyomás: =4 MPa Érnkeő esek ellemő: Rgalmasság modlsa: E= GPa Posson sám: µ=3 űrűség: =785 kg/m 3 Hőveeés ényeő: s =5 W/(mK) Faő: v =46 J/(kgK) Kenőanyag ellemő: Kenőanyag ísa: Parafn ola P-5 Beléő kenőanyag őmérséklee: 33 K Beléő kenőanyag vskoása: =539 - Pas Beléő kenőanyag sűrűsége: =864 kg/m 3 A kenőanyag nyomás és őmérséklefüggése: Hőáglás ényeő: =65-4 K - Hőveeés ényeő: = W/(mK) Faő: = J/(kgK) A kenőanyag vskoásának nyomás és őmérsékle függésé leíró módosío WF formla (5..4.) ényeő a. ábláa maa.. 9

110 A egyenlerendser nmerks megoldása. ábláa WF ényeő A A GPa GPa C C C - B B C C C A előő feladao asonlóan a rés ossmenén gyansak 5 elemre osoam fel míg vasagság menén mndösse egy eleme veem fel a őmérsékle sámíásáo. A aroxmáók foksámá a 3. ábláa maa. 3. ábláa Elem sáma yomás aroxmáó foka Hőmérsékle 4x4 4x4 4x4 4x4 4x4 4x4 4x4 4x4 4x4 4x4 4x4 4x4 4x4 4x4 4x4 aroxmáó foka Elősör a sa gördülés állaoára vonakoóan végeem el a sámíásoka a (7.) feeeben bemao módon. A elasodrodnamka feladao a omalál ewon-rason elárással míg a ermodnamka roblémá a sllaío drek algormssal oldoam meg eraív úon. A kao nyomáseloslás a 7.. ábra míg a kalakl résmére és őmérsékle eloslás a 7.. ábra maa. A sa gördülés feladaa án a súsás arány legyen: x x 9. x x (7.4.5.) Ekkor sokkal nagyobb a őfelődés így a résmen őmérsékle-eloslás modelleésének móda elenősen befolyásola a eredményeke mely Wolff és serőársa álal blkál eredményeken ól láaó. A megoldásomban a résmen őmérsékle-eloslás eles mérékben fgyelembevéelre kerül a álal ogy negyedfokú köelíés alkalmaam. A nyomáseloslás sámíás eredményé a 7.. ábra maa. A sa gördülése kées váloás egyérelműen megmakok bár a Wolff és ársa álal résmen váloó őmérsékle melle sámío nyomáselosláso kées ksebb aás láaó. A ado nyomáseloslás a 7.3. ábra álal mao résalak és őmérsékle-eloslás melle alakl k melyen ól láaó a nyomássús köelében kalakló aároo őmérsékleemelkedés mely a felső lassabban mogó felüle felé olódk el.

111 A egyenlerendser nmerks megoldása 7.. ábra yomáseloslás sa gördülés eseén [ C] [µm] x [mm] 7.. ábra Hőmérsékleeloslás sa gördülés eseén

112 A egyenlerendser nmerks megoldása 7.. ábra yomáseloslás 9-es súsás arány melle [ C] [µm] x [mm] 7.3. ábra Hőmérsékleeloslás 9-es súsás arány melle