umrus módszr. Apvtő ogm és összüggés Hog mérü zt hog g üggvé g vg cs? P. C[ ] - z [ ] trvumo otoos üggvé tré g : m C mmum-orm vg C-orm Eg más htőség: : d -orm Eg hrmd htőség: L és még számt más htőség s v : d L -orm
Mdéépp: és potos or tsü h g g háromszög-gőtség Hog mérü zt hog ét üggvé öz v gmáshoz vg távo? Az és g üggvé távoság: g Mt értsü z tt hog g üggvésorozt ovrgá g üggvéhz? h.
Hog mérü zt hog g vtor szám--s g vg cs? P. R - rdztt vós szám--s tré g m : m mmum-orm Eg más htőség: : összg-orm Eg hrmd htőség: : udsz orm és még számt más htőség s v 3
Mdéépp: és potos or tsü h háromszög-gőtség Hog mérü zt hog ét vtor szám--s öz v gmáshoz vg távo? Az és vtoro távoság: Mt értsü z tt hog g vtorsorozt ovrgá g vtorhoz? h. 4
Vtortr Az X mürs hmzt vós vtortér vzzü h X m özt értmztt g összdás R és X m özt pdg g sárr vó szorzás úg hog vtortér-ómá tsü: Ttszőgs z X R sté: z összdás ommuttív; z z z összdás sszoctív; étz X- g zérusvtor mr tsü md X -r; z összdás vrtáhtó zz árm X vtorhoz v o más X vtor hog összgü zérusvtor:. Az X X részhmz tér h X mg s vtortér z X- művtr ézv. 5
6 Pédá vtortérr: A vós számo R hmz mg s vtortér özöségs összdásr és szorzásr ézv. A omp számo C hmz mg s vtortér omp összdásr és vós számm vó szorzásr ézv. A vós számpáro hmz vtortér omposét művtr ézv: A vós számhármso hmz vtortér omposét művtr ézv: A vós szám--s hmz vtortér omposét művtr ézv: Az -s mátro hmz vtortér omposét művtr ézv: R : : d c d c 3 R : : c c w c v u w v u c R... :...... :...... m m M ] [ ]: [ ] [ ]: [ ] [
Pédá vtortérr: Lg A ttszőgs hmz. Az összs A- értmztt : A R számértéű üggvé hmz vtortrt ot üggvé összdásár és számm vó szorzásár ézv: g : g : Lg [] g végs zárt trvum. Az összs []- értmztt otoos üggvé C[ ] hmz vtortrt ot üggvé összdásár és számm vó szorzásár ézv. Ez vtortér tr z []- értmztt üggvé vtortré. Lg [] g végs zárt trvum. Az összs []- értmztt -szor otoos drcáhtó üggvé C [ ] hmz vtortrt ot üggvé összdásár és számm vó szorzásár ézv. Ez vtortér tr C[ ] vtortér és h m > or C m [ ] tr [ ] -. C 7
ormát tr Az X vtortrt ormát tér vzzü h X- értmzv v g. -v öt vós értéű üggvé orm övtző tudoságo orm-ómá: potos or tsü h = ; ; háromszög-gőtség. Pédá: R- g : ; z íg dát. üggvé tsít orm-ómát. C- g z : z ; z íg dát. üggvé tsít orm-ómát. A háromszög-gőtség gomtr háromszög-gőtség zo övtzmé. 8
Pédá végs dmzós tér: R - g m: m... ; z íg dát. m üggvé tsít ormómát mmum-orm. A háromszög-gőtség: m m m m m m Eg más htőség: : összg-orm. Most háromszög-gőtség: Eg hrmd htőség: : udsz orm. A háromszög-gőtség: ho hszátu Cuch-gőtségt. 9
Pédá végt dmzós tér: C [ ] - g : m ; z íg dát. üggvé tsít ormómát mmum-orm vg C-orm. Eg más htőség: : d. Ez s égít orm-ómát L -orm. Eg hrmd htőség: g : d L -orm. Itt háromszög-gőtség: g d g d ho hszátu Cuch-Schwrz-gőtségt. g g d g d [ ] - g : m ; z íg dát. üggvé tsít C orm-ómát. C C
Bch-tr Lg X ormát tér. Azt modu hog z X vtorsorozt orátos h z számsorozt orátos zz C tsü ms C számr; ovrgs éspdg z X vtorhoz trt h z számsorozt zérussorozt zz ; Cuch-sorozt h árm számhoz v o üszöd hog m tsü md m dr. Ttszőgs X ormát tér: md ovrgs sorozt orátos s és md ovrgs sorozt Cuch-sorozt s Az X ormát trt ts vg Bch-tér vzzü h X- md Cuch-sorozt ovrgs. Pédá Bch-trr: Md végs dmzós ormát tér Bch-tér s. A [ ] tér Bch-tér C-ormáv d m Bch-tér z L -ormáv. C
Eudsz tr Hrt-tr Az X vtortrt udsz tér vzzü h X- értmzv v g.. -v öt étvátozós vós vg omp értéű üggvé sárs szorzt övtző tudoságo: és potos or tsü h = z z z Md X udsz tér gútt ormát tér s z : ormáv sárs szorzt át duát orm továá md X sté érvés z Cuch-gőtség. Az X udsz tér Hrt-tér h ts s sárs szorzt át duát orm szrt. Md végs dmzós udsz tér Hrt-tér.
A Cuch-gőtség zoítás: Egszrűség dvéért tgü hog tér vós. Aor md Ttszőgs X R mtt zért: -r: Spcás : / mtt: ho. És hé -t írv: s gz. A háromszög-gőtség gzoás sárs szorzt át duát ormá: 3
Pédá: Az R tér Hrt-tér z A C tér Hrt-tér z sárs szorztt. sárs szorztt. Az tér Hrt-tér z : sárs szorztt. Rr cost cost Rr s t s T Rr cos T t Gomtr szméttés: : : R Rövd: cos ho z és vtoro át zárt szög. 4
Pédá udsz trr: Az R tér Hrt-tér z : sárs szorztt. Az z át duát orm z udsz orm. A Cuch-gőtség orét tt:. Sm mmum-orm sm z összg-orm m duáhtó sárs szorztt. A C[ ] tér udsz tér z g : g d sárs szorztt L -sárs szorzt d m ts zz m Hrt-tér. Az L tér vszot Hrt-tér. A Cuch-gőtség orét most: Cuch-Schwrz-gőtség g d d g d Sm mmum-orm sm z L-orm m duáhtó sárs szorztt. 5
Lárs oprátoro Lg X Y vtortr. Az A : X Y épzést árs épzés vg árs oprátor vzzü h A A A és A A tsü md X vtor és sté. A számértéű árs épzést gr árs ucoáo vzzü. Pédá: A: R R A : ho R ttszőgs osts. Aor A árs épzés. D : C [ ] C[ ] D :. drcáás oprátor. Aor D árs épzés. Lg I : C[ ] R I : d. Aor I árs ucoá. Lg I g -t trtmzó végs zárt trvum és árs épzés. Drc-é -ucoá : C[ I] R :. Aor Lg AM. Az R R A épzés g árs épzés R - ömgár. Ezt épzést h m ooz érértést ugcs A-v öü. 6
Korátosság és otoosság Lg X Y ormát tr A: X Y g árs oprátor. Az A: X Y árs oprátor orátos h v o K szám hog A K tsü md X sté. K-t z A oprátor g orátá vzzü. Eg A: X Y árs oprátor potos or orátos h otoos. Eor A gs ső orátát A oprátorormáá vzzü A. A sup{ A : X } Rövd thát: h z A: X Y árs épzés otoos orátos or A A és A gs tudoságú szám. A oprátororm ügg z X és Y tr ormátó! H A: X Y és B : Y Z otoos or BA szorztoprátor s z és BA B A 7
Pédá orátos otoos árs oprátoror: Az I : X X üggtü. dtus oprátor otoos ormá mdg z X tér ormáátó A zérusoprátor otoos ormá mdg z X tér ormáátó üggtü. H X Y végs dmzós or md A: X Y árs oprátor otoos s. A drcáás szrt. D : C [ ] C[ ] D : oprátor otoos tr ormá A Drc-ucoá I-orm szrt otoos d z L -orm szrt m z. C 8
Mátro és végs dmzós árs épzés Lg AM m és ttsü z R m R A épzést. Íg R R árs épzést dátu mt ugcs A-v öü. Íg md mátr gértmű mgtttü g árs épzést és vszot. Ugor mg s vtortér íg töé mátrormát s értmzhtü: Mátrormá m m oprátorormá: Összg-orm: m Frous-orm: A : M m A : Ez ormá m duáhtó vtorormáv z gségmátr ormá m 9
Vtororm át duát mátrormá oprátorormá: m H R - és R - grát mmum-orm dott or z oprátororm z szoút érté vtt sorösszg mmum sor-orm: A m m m m m m m m A m m m m m A m H R - és R - grát z összg-orm dott or z oprátororm z szoút érté vtt oszopösszg mmum oszop-orm: m m H R - és R - grát z udsz orm dott or z oprátororm átá m á ő mátrm gszrű üggvéét. Spcás h A ödugát poztív dt or z oprátororm mmás sátérté gz. m m A m A m A m m
Trgoomtrus Fourr-soro L - Ttszőgs L üggvé őáíthtó z L -ormá ovrgs cos s trgoomtrus Fourr-sorr ho z gütthtó z á módo számíthtó: d cosd s d.
Komp pocás üggvé Ttszőgs z z C-r : z z z z...!!! 3! 3 pocás sor A pocás sor md z C sté szoút ovrgs. Spcás h z vós or összg gz özöségs pú pocás üggvé httsítés értéév. Eur-ormu: Md t t R sté: cost s t. Fhszáv u. szusz- és oszuszüggvé smrt Tor-sort: pu hog: 4 6 t t t t t t cost... s t t...! 4! 6! 3! 5! 7! 3 t t t t t t t t t...!! 3! 4! 5!!! 3! A vós és épzts részt szétvásztv z áítás már dód. 3 4 4 5 5 3 5 3 7 4 5 t t 4! 5!...
A dszrét Fourr-trszormácó DFT H... C g végs sorozt dszrét Fourr-trszormát: ˆ :... Kpcsot Fourr-soro: Lg g [ ] trvumo értmztt otoos üggvé és ö :. Aor z összg z g Rm-összg. I hszáv z Eur-ormuát: d tgrá ˆ d cos d s d ho trgoomtrus Fourr-gütthtó. Művtgé: O és z tú g! 3
4 A dszrét vrz Fourr-trszormácó DFT Md végs sorozt gértmű rostruáhtó DFT smrté éspdg:... ˆ : dszrét vrz Fourr-trszormácó DFT Ttszőgs... -r u.: ˆ r r r r r r r r z ho r z :. H most r = or z = zért z. H r üööz -tó or z s üööz -tő és ső szumm g végs gomtr sor összg: z z z z z r ho z áítás már övtz.
5 A gors Fourr-trszormácó FFT Jö F C C : DFT árs! oprátorát:... : F Lg páros: : és F zésé vásszu szét páros és párt dű tgot. Lg őször cs... : F
6 A gors Fourr-trszormácó FFT Jö F C C : DFT árs! oprátorát:... : F Lg páros: : és F zésé vásszu szét páros és párt dű tgot. Az ú dr... hsoó: F Mdét st mdét ood szumm mg s g-g dszrét Fourr-trszormát d cs or vtoro. Az árás rurzív módo otthtó h -htvá.
A gors Fourr-trszormácó FFT rurzív gortmus : / :... : 3... Rurzív híváso g ˆ : F ˆ : F F F : : ˆ ˆ ˆ ˆ...... ho = sté F : tt már gmű vtor. Művtgé: O og és z so o mt O! Az gortmus trszthtő z vrz dszrét Fourr-trszormát számításár s. 7
Kétdmzós dszrét Fourr-trszormácó Az ˆ mátr: M mátr dszrét Fourr-trszormát övtző M r s ˆ r s r s Jö F z D dszrét Fourr-trszormátt or: ˆ s r r s Fr. r s r A D dszrét Fourr-trszormát számításá gortmus thát: r Az mátr md sorá hé íru sor D DFT-ét. Az íg rt mátr md oszopá hé íru z oszop D DFT- ét. Az íg pott mátr z rdt mátr D dszrét Fourr-trszormát. Az D dszrét Fourr-trszormát z FFT-gortmuss számíthtó. A ts 4 művtgé íg O og O htt! 8