KOMPETENCIAALAPÚ EJKLMLNLO!"#$%&'()*#)'(%ġ+,-'.%/*,0.%."12 MATEMATIKA.,#3(451'#$"/#,67,489$":.;.,'(/;/*. II. kötet MATEMATIKA 9. II. kötet!"#$%#&'(#$) ") *"+,*"+-$"-) -.*,/,+,$) 0+"10.") *,22,++) ") 1-0$3$) 43#5 132$310.0#"$) 6,72,.8+9.9/,) -.) #"4&)!)4&,2*,+) 63/1:+;) <02+38"+3.) +9*05 7=) 6,2"1"+"->) ") 6,2"1"+3$?38) $"@A.32B1B).8:#,.) -22C.8+/0A-B$) 6,2$,2+-$) ") +"#C2B$) 9/1,$2Ę19.9+>) 9.) $,22Ę)!"#$%&'$()* +&,$)+) D-8+3.:+"#"$) "83$) *,43210.0?38;)E)'02+38"+3.>)9/1,$,.>)-1Ę#$9#+)70+9$3.)6,2"1"+3$)*,45 3210.")$%8D,#)'"2"*,##&-)-./')-"!01#12'$34#156/1#*.80*3.)$9@,.5.949#,$)6,72Ę19.,)D-8+3.:+?"+B; E) +"#C2B$).3$) %#,22,#Ę/89./,) "2$"2*".) @9210'"2) +"202$38?"+#"$>),8,#$:'(2)2,?,+Ę.94)'"#)")1-66,/,#A-020./")-.>)*-',2)")+"#"#&"4D"#)9.) 6,2"1"+3$D"#),4&"/0#+),4&9/+,2*Ħ,#),2$(2%#(2#,$)")+3'0DD?"2"10.?38).8($.94,.>)-22,+',)"8)"##02)*"4"."DD).8-#+Ħ)-.*,/,+,$;)F-#1,*,22,++) $%#&'(#$D,#)*"+,*"+-$"+%/+9#,+-)$-,49.8:+9.,$>)9/1,$,..94,$)-.)?,5 2&,+)$"@+"$; E)$%+,+)+"#$%#&'-)/9.8,).80*3.)6,2"1"+3+)+"/+"2*"8>),*,22,++)A."+2"5 $38-$)?3880),4&)71/383#9:Ħ;#1!<2:)-.>):4&)")+"#C2B$#"$),4&9D)*"+,5 *"+-$"-)6,2"1"++0/)*,4'0.0/20.").8($.94+,2,#; E)1,!)#:A-B$"+)9.)+9+,2,$,+)")$3/3.8+02&)#&,2',8,+9#,$)*,46,2,2Ę,#>) *"+,*"+-$"-)@/,A-8-+0.."2>)$-,*,2+)D,+Ħ.8,19..,2)+"20270$)*,4)")+"#C5 2B$;)E8)9/1,$2Ę1ĘDD)1-0$3$)9.)"8),*,2+).8-#+Ħ)9/,++.94-/,)$9.8(2Ę$)$,15 '99/+)")#<#1/1-*+$,"2:=#&)3$)-.)*,4+"202?"+B$)")+"#$%#&'D,#; E)$322940$)6,2$9.8(29.9+)!(8),15#32$*-<,$->2:%).,4:+-;)G8)")+"#0/-).,4912,+) #,*A."$) ") $3*@,+,#A-""2"@=) 3$+"+0.) 29#&,49+>) ") +"#$%#&') 9.) ") 6,2"1"+4&Ħ7+,*9#&) 6,2"1"+"-#"$) *,43210.0+) +"/+"2*"88">)?"#,*) %+2,+,$,+)"1)")$(2%#D%8Ę)+"#C20..8,/',89.-)*B13$)"2$"2*"80.0/">)'"5 2"*-#+)")1-0$3$)9/+9$,29.9/,)-.;)E)$98-$%#&'D,#)*,4+"202?"+B)"8)E@05 A8"-)H-"1B)"$$/,1-+02+)*"+,*"+-$"5+"#+,/',)9.)"8)"??38)A."+2"$38B)+"#5 *,#,+7"'".2"+)-.; E)+"#$%#&')")2,4.892,.,DD)9/+,2,*D,#),2Ę.,4:+-)")$3*@,+,#A-",2'Ħ) 3$+"+0.+I)")6,2"1"+3$).3$/9+Ħ.949',2>)*0.)+"#+0/4&"$?38)$"@A.32B105.0'"2),//,)*-#1,#)2,?,+Ę.94,+)*,4"1;
Kombinatorika Ebben a témakörben bizonyos dolgok lehetséges sorrendjeiről vagyazazokbóltörténő kiválasztás lehetőségeinek számáról lesz szó. Például az betűkből (sok más értelmetlen szó mellett) megalkothatjuk a és az szót, vagy az t, sőt mégegymondatotiskaphatunk: Akésőbbiekben megválaszoljuk azt a kérdést, hogy az betűkből hány(nemfeltétlenülértelmes) négybetűs szórakhatóössze. Az a játék, melynek során szavak bizonyos betűinek felcserélésével új szavakat (úgynevezett anagrammákat) kapunk, sokak fantáziáját megmozgatta. AfranciaBlaisePascal(1623 1662)többekközött matematikával, teológiával foglalkozott, mocsarakat csapoltatott le, Párizsban megszervezte a tömegközlekedés elődjét. A nyomás mértékegységét róla nevezték el. Nem csak saját néven írt, használta a Louis de Montalte, az Amos Dettonville, sőt asalomonde Tultie nevet is. Ezek anagrammák, hiszen akkoriban nem tettek különbséget az és között. (Forrás: Jacques Attali: Európa Kiadó, 2003) Készíts anagrammákat: asajátnevedből, matematikatanárod nevéből, egy, a táblára felírt kifejezésből! Az interneten érdekes anagrammakészítő programokat találhatsz. 1. példa Péter azt a feladatot kapta, hogy sorolja fel összes részhalmazát. Ezt a megoldást adta:,,,,,,,.jó-eamegoldása? 3 TEX 2010. április 6. (1. lap/3. old.) Matematika 9. (07K)
Igen. Kétségkívül maimumpontot kapna, ha ezt dolgozatban írná le. Mégis elmondanánk neki, hogy nehéz volt ellenőrizni, hogy nincs-e ismétlődés, vagy nem hagyott-e ki néhány lehetőséget. a összevisszának tűnik. Ha növekvő (vagy csökkenő) elemszámszerintsoroltavolnafelarészhalmazokat,akkorsokkaláttekinthetőbb lenne a megoldás. Általában fontos, hogy valamiféle szabályszerűség, rend, rendezőelv legyen amegoldásunkban. (Természetesen sokféle rendezőelv elképzelhető, és a lehet.) szó jelentése is vita tárgya Nézzünk meg néhány olyan feladatot, amelyet a középiskolai felvételik során adtak adiákoknak! 2. példa Öt, egymás melletti ágyás közül kettőbe salátát, háromba paprikát kell ültetnünk úgy, hogy két szomszédos ágyásba nem kerülhet saláta. Ez például egy jó sorrend: Összesen hány lehetőségünk van? Soroljuk fel ezeket! Mi legyen a rendezőelv a lehetőségek összegyűjtése során? Lehet például az, hogy legyenek a salátás ágyások annyira balra, amennyire csak lehetséges. Így a lehetőségek: Afenti feltételeknek hatféle sorrend felel meg. 3. példa L O G I O G I K G I K A L O G I K A Másodszor a L O G I K A Az ábráról többféle módon leolvasható a szó. Rajzoljuk le az összes lehetőséget, ha csak jobbra és lefelé léphetünk! Egyfajta rendezőelv, hogy menjünk jobbra egészen addig, ameddig csak lehet, és amint csak lehet. Így az első út az ábrán látható lesz. után lefelé megyünk, de utána egyből jobbra: És így tovább: L O G I K A 4 TEX 2010. április 6. (2. lap/4. old.) Matematika 9. (07K)
Most az után megyünk lefelé, de utána addig jobbra, amíg lehet: L O G I K L O G I L O G A K A I K A Az utak, ha az első lépésben lefelé megyünk, de utána addig jobbra, amíg lehet: L O G I K A L O G I K A L O G I Majd ha az elején háromszor lefelé lépünk: K A Persze másféle rendezőelv alapján is összegyűjthetjük az összes lehetőséget; a fontos, hogy ne kapkodjunk ide-oda. Megjegyzés: A2.és3.példanagyonhasonlóegymáshoz. L O G I K A Ha a 3. példánál jelentené a jobbra lépést, azt, hogy lefelé, akkor ötbetűs szavakat kellene létrehozni két és három betűből. Minden szónak pontosan egy sorrend felelne meg. Így elég lenne a megfelelő szavakat összegyűjteni. A lehetőségek: Vagyis 10 lehetőség van. A2.példánálcsak6sorrendvolt,bárottisötbetűs szavakat kellettalkotnikét és három betűből. Viszont bizonyos sorrendek ( ) tiltva voltak, tehát 10 közül 4 nem volt megengedett. 4. példa Egy faipari üzemben szabályos háromszög alakú mozaikparkettát gyártanak. Egy mozaiklap négy egyforma, szabályos háromszög alakú falapból áll össze. A kis lapok bükkfából ( ), illetve tölgyfából ( )készülnek.mindegyikmozaiklapkétfélefábólkészül. Tervezzük meg az összes különböző összeállítású mozaikparkettát! Az egymással fedésbe hozható összeállításokat nem tekintjük különbözőnek. Nézzük meg, hány kis lap készült bükkből! A lehetőségek: egy, kettő vagy három darab. Egy bükk: ezt a háromszög valamelyik csúcsához vagy a háromszög köze- Két bükk: pére tehetjük. 5 TEX 2010. április 6. (3. lap/5. old.) Matematika 9. (07K)
Három bükk: ekkor egy tölgy van, vagyis tulajdonképpen az csak a két fa nevét kell felcserélnünk. Összesen tehát hat lehetőség van. részhez jutottunk, Feladatok 1. Hányféleképpen olvasható le a az ábráról? J Ó K 2. Hányféleképpen olvasható le a az ábráról, ha kétszer Ó K E egymás után nem léphetünk jobbra? K E D 3. Hányféleképpen olvasható le a az ábráról, ha kétszer E D V egymás után nem léphetünk lefelé? 4. Próbálkozz olyan megoldással a 4. példánál, amikor a rendezőelv az, hogy tölgy vagy bükk van-e középen! 5. Leírtuk egymás mellé a 100-nál nem nagyobb pozitív páros egész számokat: 2468101214 9698100. Hány darab számjegyet írtunk le? Hány darab 4-es számjegyet írtunk le? Mi balról a 49. számjegy? 6. Három barátoddal (Péterrel, Ágival és Zolival) le szeretnétek ülni egy kör alakú asztalhoz, amely körül 4 rögzített szék van. Hányféleképpen tehetitek ezt meg, ha te mindenképpen Péterrel szemben szeretnél lenni, és fontos, hogy ki melyik székre ül? Válaszodat indokold! Gyakran bombáznak ilyen mondatokkal: hogy mihez kell viszonyítanunk. és így tovább. Sokszor nehéz rájönni, Amostkövetkező példákban nem kell számolnunk, csak azt kell eldöntenünk, hogy melyik esetben van több lehetőség. 1. példa országban 10 szám közül kettőt kellbeikszelnialottón. országban 10 szám közül nyolcat kell -nal megjelölni. Melyik esetben van több (egymástól eltérő) kitöltési lehetőség? és országbeli kitöltések párba állíthatók. Például annak a szelvénynek, amelyen a4-estésa7-estikszeltékbe,apárjaazlenne,amelyena4-esés7-eskivételével mindet megipszilonozták. Így a lehetséges kitöltések száma egyenlő. 6 TEX 2010. április 6. (4. lap/6. old.) Matematika 9. (07K)
2. példa országban 90 szám közül ötöt kell megjelölni -vel, országban 100 szám közül ötöt kell bejelölni -val a lottón. Hol van több kitöltési lehetőség? Nézzünk egy kitöltött -beli szelvényt! A rajta lévő számokat egy -beli szelvényen is bejelölhetjük. Minden -beli szelvénynek van tehát -beli párja, így -ban legalább annyiféle kitöltés van, mint -ben. Viszont vannak olyan -beli szelvények, amelyek így pár nélkül maradnak, ilyen például, amelyen a 10, 20, 30, 40, 91 számokat jelölték meg. Vagyis több kitöltési lehetőség van -ban, mint -ben. 3. példa Négy-négy kártyánk van, s rajtuk az alábbi betűk: 1.,,, ; 2.,,,. Melyik esetben képezhető (az összes kártya felhasználásával) több négybetűs betűkombináció? (Természetesen nem kell értelmes szót kapnunk.) Párosítsuk egymással a kártyákat:,,,. Akárhogyan rakunk ki egy kék szót, ahhoz biztosan két barna szó tartozik. Például a -hez társítható a és a is. Ezért az 1. esetben van több lehetőség. Az is kiderült, hogy kétszer annyi, mint a 2. esetben. 4. példa Az ábrán látható számozású jegyet két szám bejelölésével érvényesítik. 1 2 Nézzük az összes egymástól különböző, érvényesjegyet! 3 4 Képezzük az összes kétjegyű számot az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből úgy, hogy a két számjegy különböző legyen! 5 6 Melyik esetben van több lehetőség? Vegyünk egy érvényes jegyet! Ehhez társíthatjuk a 36-ot és a 63-at is. Hasonló a helyzet a többi jegy esetén is. Tehát a esetben van több lehetőség, épp kétszer annyi, mint az esetben. 5. példa Az,,,, jelekből mikorképezhető több négybetűs szó(jelsorozat): ha egy betűt egyszóbanlegfeljebbegyszerhasználhatunkfel,vagy ha egy betűt egyszóbantöbbszörisfelhasználhatunk? 3 6 7 TEX 2010. április 6. (5. lap/7. old.) Matematika 9. (07K)
Az -beli szavak mindegyikét -ben is leírhatjuk, ellenben esetben vannak olyan szavak (például az ), amelyeket -ban nem írhatunk le. Tehát esetben képezhető több szó. Feladatok 8 Párban vagy háromfős csoportokbantöltsétekkiakövetkező totót! Totó Az alábbi lehetőségek közül válassz! 1: esetben van több lehetőség. 2: esetben van több lehetőség. X: Egyenlő alehetőségek száma. 1. Az betűkből képezhető, legfeljebbnégybetűs szavakszáma, amelyekben nincs betűismétlődés. A betűkből képezhető négybetűs szavakszáma,amelyekben nincs betűismétlődés. 2. Egy 30 elemű halmaz 7 elemű részhalmazainak száma. Egy 30 elemű halmaz 23 elemű részhalmazainak száma. 3. 1 2 3 4 5 kételemű részhalmazainak száma. Az 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből képezhető olyan kétjegyű számok száma, amelyekben a számjegyek különbözők. 4. 1 2 3 4 5 kételemű részhalmazainak száma. Az 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből képezhető olyan kétjegyű számok száma, amelyekben a számjegyek különbözők, és növekvő sorrendben követik egymást. 5. 1 2 3 4 5 háromelemű részhalmazainak száma. Az 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből képezhető olyan háromjegyű számok száma, amelyekben minden számjegy különböző. 6. 1 2 3 4 5 háromelemű részhalmazainak száma. Az 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből képezhető olyan háromjegyű számok száma, amelyekben minden számjegy különböző,ésnövekvő sorrendben követik egymást. 7. 5focimeccsreazösszeslehetségestippszáma(1,2,Xlehetatippminden esetben). 5teniszmérkőzésre az összes lehetséges tipp száma (1 vagy 2 lehet a tipp, döntetlen nem fordulhat elő). TEX 2010. április 6. (6. lap/8. old.) Matematika 9. (07K)
8. Aszabályoshatszögcsúcsaiáltalmeghatározottegyenesekszáma. 1 2 3 4 5 6 kételemű részhalmazainak száma. 9. Aszabályoshatszögcsúcsaiáltalmeghatározottháromszögekszáma. 1 2 3 4 5 6 háromelemű részhalmazainak száma. 10. Az 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből képezhető négyjegyű számok száma, ha egy jegyet többször is felhasználhatunk. A0,6,7,8,9számjegyekből képezhető négyjegyű számok száma, ha egy jegyet többször is felhasználhatunk. 11. Az 1, 2, 3, 3, 3 kártyákból készíthető ötjegyű számok száma. Az 1, 2, 3, 3, 4 kártyákból készíthető ötjegyű számok száma. 12. Az 1, 2, 3, 3, 3, 4 kártyákból készíthető hatjegyű számok száma. Az 1, 2, 3, 3, 4, 4 kártyákból készíthető hatjegyű számok száma. 13. Egy jegyet két szám bejelölésével érvényesítenek. A jegy így 1 2 3 néz ki: 4 5 6 Egy jegyet négy szám bejelölésével érvényesítenek. A jegy 1 2 3 így néz ki: 4 5 6 +1. Egy jegyet legfeljebb három (de legalább egy) szám bejelö- 1 2 3 lésével érvényesítenek. A jegy így néz ki: 4 5 6 Egy jegyet legalább három szám bejelölésével érvényesíte- 1 2 3 nek. A jegy így néz ki: 4 5 6 Ebben a fejezetben már nemcsak összehasonlítjuk a különböző esetek számát, hanem konkrétan ki is akarjuk számolni, hogy hány lehetőségünk van. 1. példa Egy versenyen 71 csapat vesz részt. Párba állítják őket, és minden meccs győztese akövetkező fordulóba jut. Döntetlen nem lehetséges. Ha egy csapatnak nincs ellenfele, automatikusan továbbjut. Hány mérkőzést játszanak le a bajnok megszületéséig? 9 TEX 2010. április 6. (7. lap/9. old.) Matematika 9. (07K)
Jelölhetjük valahogy a csapatokat, a meccseket és a továbbjutókat, például így: jelöljön egy csapatot, a bekarikázás egy köztük lévő meccset! Ez az eljárás nagyon hosszadalmas, ezért próbálkozzunk azzal, hogy kevesebb csapat esetét vizsgálva megkísérelünk felfedezni valamilyen törvényszerűséget a csapatok és a meccsek száma között! Hány meccset játszanának le 1; 2; 3; 4; 5 csapat esetén? 1. 2. 3. 4. Csapatok száma 1 2 3 4 5 69. 70. 71. Meccsek száma 0 1 2 3 4 Kísérletünk során azt a sejtést fogalmazhatjuk meg, hogy csapat 1meccset játszik összesen. Vajon igaz-e ez? Hogyan lehetne bizonyítani? Minden egyes meccsen 1 csapat esik ki, csapat közül 1 marad a végén, és ( 1) kiesik, tehát ( 1) meccset játszanak le. Az eredeti problémára a válasz: 71 csapat 70 meccset játszik. Bizonyos feladatok megoldhatók az alábbi stratégiával: kísérletezés, asejtés(ek)megfogalmazása, asejtés(ek)bizonyítása. 2. példa Legalább hány metszéspontja van 10 egyenesnek a síkon? Legfeljebb hány metszéspontja van 10 egyenesnek a síkon? (Kísérletezzünk 2, 3, 4, 5 egyenessel!) Mivel lehetséges, hogy mind a 10 egyenes párhuzamos, elképzelhető, hogynincs metszéspontjuk. Vagyis: minimálisan nulla metszéspontja lehet 10 egyenesnek a síkban. 10 TEX 2010. április 6. (8. lap/10. old.) Matematika 9. (07K)
Rajzoljuk le egymás után az egyeneseket! Maimális számú metszéspontot úgy kapunk, ha az új egyenes egyik korábbival sem párhuzamos, és egyik korábbi metszésponton se megy át. Ekkor az összes addigi egyenest metszi. Egyenesek száma 2 3 4 5 Metszéspontok száma 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 Minden lépésben behúzhatunk úgy egy egyenest, hogy az összes addigi egyenest messe az addigiaktól különböző pontokban. (Vagyis az -edik egyenes 1egyenest metszhet, így 1újabbmetszéspontjönlétre.) Így 10 egyenes esetén a metszéspontok száma: 1 + 2 + 3 + +8+9=45. Feladatok 1. 3 8-as tábla csokit 1 1-es kis darabokra törünk szét. Minden töréskor csak egy darab csokit foghatunk akezünkbe. Hány törésre van szükség? Kísérletezz kisebb csokival! Próbálj meg általánosítani -s méretű csokira! 2. Egy légitársaság 10 nagyváros mindegyikét összeköti bármely másikkal (vagyis bármelyikből bármelyikbeeljuthatunk,bár elképzelhető, hogy esetleg többször is át kell szállnunk). Alégitársaságminimumhányjáratot üzemeltet? A légitársaság maimum hány járatot üzemeltet? (Ebben az esetben közvetlen oda-vissza kapcsolat van bármely két város között. Mindegyik járatot egyszer vegyük figyelembe!) 3. Hány átlója van egy szabályos 17 szögnek? Próbálj lépésről lépésrehaladni, vizsgálj meg előbb egyszerűbb eseteket! 4. Egy társaságban csak férfiak vannak. Mindenki mindenkivel kezet fog. Az emberek egyesével érkeznek. Hány kézfogás történik, ha összesen 17-en vannak? 11 TEX 2010. április 6. (9. lap/11. old.) Matematika 9. (07K)
5. Van-e kapcsolat a 3. és 4. feladat között? Ha igen, akkor mi? Módosíthatóe(csupánegy-kétszóbeillesztésével)a3.feladatúgy,hogy gyakorlatilag a4.feladatotkapjuk?mitjelentitta gyakorlatilag szó? 6. Egy társaságban csak nők vannak.mindenkimindenkinek Jónapot! -otköszön. Hány köszönés hangzik el, ha 17-en vannak? Amostkövetkező feladat nagyon fontos a kombinatorika témakörben, ezért érdemes kicsit elidőzni nála. A megoldás ötletét sok másik feladatnál is fel tudjuk majd használni. 1. példa Egy térképrészletet láthatunk: -ból -be akarunk eljutni úgy, hogy sosem térünk vissza egy korábbi városba. Két útvonalat különbözőnek tekintünk, ha legalább egy útszakaszuk eltérő. Hánykülönböző útvonalat választhatunk? Először is rajzoljuk át a térképet, ezzel amegoldásokszámanyilvánváltozatlan marad: Ahogy már korábban is tettük: egyszerűsítsük le a feladatot! Hány út visz -ból -be? Négy. Hány út visz -ből -be? Kettő. Tehát bármely utat választottuk is -ból -be, most megkétszereződik a lehetőségeink száma, így 4 2útvezet -ból -be. Továbblépve -ból -be 4 2 3=24útvezet. Hány út visz -ból -be? 4 2 3 1 2=48. Megjegyzés: Legyünk óvatosak! Ha ezen a térképen nézzük az -ból -be vezető utakat úgy, hogy mindig közelítünk a cél felé, az előző séma nem használható. (Nem mindegy már az sem, hogy merre indulunk el.) Vajon most hány út van? (A fejezetben találkozunk még ilyen példákkal.) 12 TEX 2010. április 6. (10. lap/12. old.) Matematika 9. (07K)
2. példa Hányféleképpen olvasható le a szó az ábráról, ha T A V A S Z csak jobbra és lefelé haladhatunk? A V A S Z V A S Z A S Z S Z Z 1. megoldás Fogalmazzuk át utakra a példát! Ugyanannyiszor olvasható ki a utunk van -től -ig. Ezt a rajzot kaphatjuk (J = jobbra, L = lefelé), hiszen minden esetben 2 lehetőség közül kell választanunk, és 5-ször kell döntenünk. Alehetőségek száma: 2 5. szó, ahány 2. megoldás Másképp is rápillanthatunk a feladatra. Mintha elágazásokat látnánk. Mivel 5 elágazás van, és minden elágazásnál megduplázódik a lehetőségek száma, 32 eset van. 3. példa Egy focimeccsen a hazai csapat 4 : 3-ra nyert. Hányféle lehetett a félidő eredménye? Ahazaicsapatafélidőig 0 vagy 1 vagy 2 vagy 3 vagy 4 gólt rúgott, a vendég 0-t vagy 1-et vagy 2-t vagy 3-at. Ahazaicsapatgóljaiafélidőig: 0 1 2 3 4 HAZAI Tehát 5 4=20-félelehetettazeredményfélidőben. A vendég góljai a félidőig: 0 1 2 3 VENDÉG 13 TEX 2010. április 6. (11. lap/13. old.) Matematika 9. (07K)
4. példa Feldobunk egy szabályos dobókockát kétszer, háromszor, majd a számokat egymás mellé írjuk. A: Hányféle számot kaphatunk? B: Hány párosat? C: Hány 5-tel oszthatót? Hány feladatot tűzött ki ez a példa? Összesen 6 + 1 = 7 feladatot kell megoldanunk (ebből azutolsómárkészenisvan), hiszen az és az A, B és C kérdés bármelyikével párosítható. A: 6 6=36lehetőség van. B: Hatféle Hatféle 6 3=18párosszámotkaphatunk. C: Ide hatféle kerülhet Ide a 2, 4 vagy 6 kerülhet csak 6 1=6ötteloszthatószámotkaphatunk. A: Ide hatféle kerülhet Ide csak az 5 kerülhet B: C: 5. példa 6 6 6 6 6 3 6 6 1 6 6 6=216 6 6 3=108 6 6 1=36 Feldobunk egy szabályos dobókockát négyszer, és a dobott számokat egymás mellé írva egy négyjegyű számot kapunk. Hány olyan számot kaphatunk, amelynek számjegyei között szerepel a 6-os? 1. megoldás 1, 2, 3 vagy 4 darab 6-os lehet a számban. lehet: 14 TEX 2010. április 6. (12. lap/14. old.) Matematika 9. (07K)
az első, a második, a harmadik, a negyedik helyen. 6 6 6 6 6 ötféle ötféle ötféle Mindegyik esetben a másik három számjegy ötféle lehet, ezért 5 5 5=125ilyenszámlesz.1 5 5 5=125négyjegyű számot írhatunk le, ha az első helyen van a 6-os. Hasonlóan gondolkodhatunk, ha a 2., a 3., illetve a 4. helyen szerepel a 6-os, ezért 4 125 = 500 olyan szám van, amelyben pontosan egy 6-os található. így lehet: 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Alehetőségek száma mindegyik esetben 5 5=25,azaz6 25 = 150 olyan szám van, amelyben pontosan két 6-os található. 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Mindegyiknél 5 eset van, ilyen számból 4 5=20létezik. csupán egyféle eset lehetséges. Így az összes lehetőség: 4 125 + 6 25 + 4 5 + 1 = 671. 2. megoldás Azok a számok a rosszak nekünk, amelyekben nincs 6-os. Ha az összes képezhető szám darabszámából levonjuk arosszakszámát,megkapjukajókszámát. Összes eset a rosszak száma = a jók száma. Rosszak ÖSSZES Jók Az összes szám, amely szóba jöhet: 6 6 6 6-féle lehet. (Olyan útról van szó, amely négyszer ágazik el, és mindig 6-felé.) A rosszak száma:5 5 5 5, hiszen minden dobás 5-féle lehet (6-os kivételével bármi). Így a legalább egy 6-ost tartalmazó számok száma: 6 4 5 4 =1296 625 = 671. Számodra melyik megoldás volt egyszerűbb? 6. példa Egy biciklibajnok azon töpreng, hogy a nyolcjegyű számok hány %-a tartalmaz 8-ast. Segítsünk neki! A megoldás előtt tippeljük meg a számot! 15 TEX 2010. április 6. (13. lap/15. old.) Matematika 9. (07K)
Összesen 9 10 7 darab nyolcjegyű szám van, mert az első helyen, a 0 kivételével, bármilyen számjegy állhat (vagyis 9 számjegy), a többi helyen már a 0 is (tehát tízféle számjegy). Olyan számból, amelyben nincs benne a 8-as, és nyolcjegyű, 8 9 7 darab van, mert az első jegy nem lehet 8-as és 0 sem, a többi csak 8-as nem lehet. Van benne 8-as, és nyolcjegyű: 9 10 7 8 9 7 darab. Mivel: 9 107 8 9 7 ( 8 9 7 ) ( ) 8 9 10 7 = 1 9 10 7 = 1 9 0 97 =05748, ezért a nyolcjegyű számok 57 48%-a tartalmaz 8-as számjegyet. Feladatok 1. Hányféleképpen olvasható le az ábráról S az szó? S I S Z S Á S S I Z Á O Á Z I S 2. Hány olyan rövid ( )éshosszú( )jelből S Á S álló morzejelsorozat van, amely: Z 5jelhosszúságú; S I S legfeljebb 5 jel hosszúságú? S 3. Kutatómunka: Nézz utána az interneten vagy leikonban! Mikor alakult ki a morzejelrendszer? Hol alkalmazták? Más-más nyelveken eltérő-e? 4. Hányféle eredmény lehetett a félidőben a 4 : 3 végeredményű meccsen, ha tudjuk, hogy a második félidőben csak egy gól esett? És ha három? 5. Feldobunk egy dobókockát háromszor, ötször. A kapott számokat egymás mellé írva egy-egy (háromjegyű, illetveötjegyű) számotkapunk. Hány A: 5-tel osztható, B: páros, C: 4-gyel osztható szám jöhet ki? 6. Ahatjegyű számok hány %-a tartalmaz: 9-es számjegyet, 8-as vagy 9-es számjegyet? 16 TEX 2010. április 6. (14. lap/16. old.) Matematika 9. (07K)
7. Hány olyan hatjegyű szám van, amelyben csak páratlan számjegyek szerepelnek? Hány olyan hatjegyű szám van, amelyben csak páros számjegyek szerepelnek? Hasonlítsd össze a két feladat eredményét! 8. Hány olyan tízjegyű szám van, amelynek minden jegye különböző? 9. Feldobtunk egy dobókockát hétszer, a kapott számokat egymás után írva egy hétjegyű számot kaptunk. Hányféle lehet ez a szám? Hányféle lehet, ha az utolsó dobás 2-es volt? Hányféle lehet, ha az utolsó dobás 2-es volt, és a kapott szám osztható 4-gyel? 10. Projektfeladat: Alkossatok 4-5 főscsoportokat!válasszatokegytémátazalábbi hat közül! Gyűjtsetek erről anyagotazinternetenésakönyvtárban!tartsatok 5-7 perces kiselőadást a munkátokról az osztályban, vagy készítsetek tablót, amelyet kitehettek a falra! A zárójelben segítséget találtok, de más irányban is elindulhattok. 1. A számítógépek és a 2-es számrendszer ( 10-féle ember létezik: akik ismerik a bináris számokat, és akik nem. ) 2. Kódok, bármerre nézünk (Számzárak, vonalkódok, gyártási számok, adószámok stb.) 3. A genetikai kód a DNS (Fehérjék, húszféle aminosav kódolása négyféle nitrogénvegyülettel. Miért 3 hosszúságú a kód? Mikor fedezték fel a DNS-t?) 4. Kódok, jelek a zenében (Bach műveinek BWV jelzései, Mozart műveinek jegyzékszámai, hanghosszúság, tempók, hangerő, kottákstb.) 5. A rendszám, a telefonszám (Miért nem rövidebbek? Miért nem hosszabbak? Hány számból áll az országhívó szám, és vajon miért? Más országokban milyen a rendszám?) 6. Kalligráfia (Mi a kalligráfia? Milyen jeleket használ az arab, héber, hindi, japán, kínai, orosz, örmény, tibeti stb. írásbeliség? Hány jelet használnak?) 17 TEX 2010. április 6. (15. lap/17. old.) Matematika 9. (07K)
Tartalom TK. FGY. KOMBINATORIKA 3 250 Rendezett és rendezetlen összeszámlálás 3 250 Több vagy kevesebb? 6 250 Összeszámlálás az egyszerűbbtől abonyolultabbfelé 9 252 Melyik utat válasszam? 12 252 Sorrendek száma 18 254 Sorrendek száma ismétlődő elemek esetén 22 255 Alottó kiválasztás,haakiválasztottszámok sorrendje nem fontos 25 255 Lépésről lépésre 30 256 Tudáspróba 33 SZÁMELMÉLET 35 257 Oszthatóság 35 257 Oszthatósági szabályok 41 260 Prímszámok és összetett számok 45 262 Alegnagyobbközösosztóésalegkisebbközöstöbbszörös 56 264 Számrendszerek 61 265 Tudáspróba 68 KOORDINÁTA-RENDSZER, FÜGGVÉNYEK 70 267 Rendezett számpárok a koordináta-rendszer 70 267 Hozzárendelések, függvények 77 271 Lineáris függvények 85 272 Lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása 95 274 Egyenes arányosság 99 276 Függvények abszolút értéke 102 278 Az függvény függvénytranszformációja 106 279 Másodfokú függvények 115 282 Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek grafikus megoldása 122 284 Tudáspróba 125 319 TEX 2009. december 30. (1. lap/319. old.) Matematika 9. (TARTALOM)
TK. FGY. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK 127 285 Nyitott mondatok 127 285 Abszolút értékes egyenletek, egyenlőtlenségek 138 289 Törtes egyenletek, egyenlőtlenségek 149 291 Egyenletrendszerek 157 293 Szöveges feladatok 166 296 Tudáspróba 173 HÁROMSZÖGEK, NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK, AKÖRÉSRÉSZEI 174 300 Aháromszögekszögeiésoldalai 174 300 Négyszögek, sokszögek 181 301 Aháromszögeknevezetespontjai,vonalai,körei 190 303 APitagorasz-tételésmegfordítása 202 305 Akörésrészei 209 306 Tudáspróba 218 STATISZTIKA 220 308 Adatok, táblázatok, grafikonok, gyakoriság 220 308 Relatív gyakoriság 226 311 Középértékek 229 312 Aszóródásmérőszámai 236 314 Érdekes feladatok 243 315 Tudáspróba 246 FELADATGYŰJTEMÉNY 249 NÉV- ÉS TÁRGYMUTATÓ 317 320 TEX 2009. december 30. (2. lap/320. old.) Matematika 9. (TARTALOM)
KOMPETENCIAALAPÚ EJKLMLNLO!"#$%&'()*#)'(%ġ+,-'.%/*,0.%."12 MATEMATIKA.,#3(451'#$"/#,67,489$":.;.,'(/;/*. II. kötet MATEMATIKA 9. II. kötet!"#$%#&'(#$) ") *"+,*"+-$"-) -.*,/,+,$) 0+"10.") *,22,++) ") 1-0$3$) 43#5 132$310.0#"$) 6,72,.8+9.9/,) -.) #"4&)!)4&,2*,+) 63/1:+;) <02+38"+3.) +9*05 7=) 6,2"1"+"->) ") 6,2"1"+3$?38) $"@A.32B1B).8:#,.) -22C.8+/0A-B$) 6,2$,2+-$) ") +"#C2B$) 9/1,$2Ę19.9+>) 9.) $,22Ę)!"#$%&'$()* +&,$)+) D-8+3.:+"#"$) "83$) *,43210.0?38;)E)'02+38"+3.>)9/1,$,.>)-1Ę#$9#+)70+9$3.)6,2"1"+3$)*,45 3210.")$%8D,#)'"2"*,##&-)-./')-"!01#12'$34#156/1#*.80*3.)$9@,.5.949#,$)6,72Ę19.,)D-8+3.:+?"+B; E) +"#C2B$).3$) %#,22,#Ę/89./,) "2$"2*".) @9210'"2) +"202$38?"+#"$>),8,#$:'(2)2,?,+Ę.94)'"#)")1-66,/,#A-020./")-.>)*-',2)")+"#"#&"4D"#)9.) 6,2"1"+3$D"#),4&"/0#+),4&9/+,2*Ħ,#),2$(2%#(2#,$)")+3'0DD?"2"10.?38).8($.94,.>)-22,+',)"8)"##02)*"4"."DD).8-#+Ħ)-.*,/,+,$;)F-#1,*,22,++) $%#&'(#$D,#)*"+,*"+-$"+%/+9#,+-)$-,49.8:+9.,$>)9/1,$,..94,$)-.)?,5 2&,+)$"@+"$; E)$%+,+)+"#$%#&'-)/9.8,).80*3.)6,2"1"+3+)+"/+"2*"8>),*,22,++)A."+2"5 $38-$)?3880),4&)71/383#9:Ħ;#1!<2:)-.>):4&)")+"#C2B$#"$),4&9D)*"+,5 *"+-$"-)6,2"1"++0/)*,4'0.0/20.").8($.94+,2,#; E)1,!)#:A-B$"+)9.)+9+,2,$,+)")$3/3.8+02&)#&,2',8,+9#,$)*,46,2,2Ę,#>) *"+,*"+-$"-)@/,A-8-+0.."2>)$-,*,2+)D,+Ħ.8,19..,2)+"20270$)*,4)")+"#C5 2B$;)E8)9/1,$2Ę1ĘDD)1-0$3$)9.)"8),*,2+).8-#+Ħ)9/,++.94-/,)$9.8(2Ę$)$,15 '99/+)")#<#1/1-*+$,"2:=#&)3$)-.)*,4+"202?"+B$)")+"#$%#&'D,#; E)$322940$)6,2$9.8(29.9+)!(8),15#32$*-<,$->2:%).,4:+-;)G8)")+"#0/-).,4912,+) #,*A."$) ") $3*@,+,#A-""2"@=) 3$+"+0.) 29#&,49+>) ") +"#$%#&') 9.) ") 6,2"1"+4&Ħ7+,*9#&) 6,2"1"+"-#"$) *,43210.0+) +"/+"2*"88">)?"#,*) %+2,+,$,+)"1)")$(2%#D%8Ę)+"#C20..8,/',89.-)*B13$)"2$"2*"80.0/">)'"5 2"*-#+)")1-0$3$)9/+9$,29.9/,)-.;)E)$98-$%#&'D,#)*,4+"202?"+B)"8)E@05 A8"-)H-"1B)"$$/,1-+02+)*"+,*"+-$"5+"#+,/',)9.)"8)"??38)A."+2"$38B)+"#5 *,#,+7"'".2"+)-.; E)+"#$%#&')")2,4.892,.,DD)9/+,2,*D,#),2Ę.,4:+-)")$3*@,+,#A-",2'Ħ) 3$+"+0.+I)")6,2"1"+3$).3$/9+Ħ.949',2>)*0.)+"#+0/4&"$?38)$"@A.32B105.0'"2),//,)*-#1,#)2,?,+Ę.94,+)*,4"1;