El sz Csahóczi Erzsébet Csatár Katalin Kovács Csongorné Morvai Éva Széplaki Györgyné Szeredi Éva TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 8. évfolyam I. kötetéhez TEX 04. június. 0:48 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-0)
El sz Kovács Csongorné a Tankönyvesek Országos Szövetségétől 008-ban elnyerte az Érdemes tankönyvíró kitüntető címet Alkotószerkesztő CSATÁR KATALIN Felelős szerkesztő BALASSA ÉVA Illusztrálta KATONA KATA és SZALÓKI DEZSŐ Fotó FABÓ KATALIN AP 0808 ISBN 978-96-464-748-5 A kiadó a kiadói jogot fenntartja. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható. c Csahóczi Erzsébet, Csatár Katalin, Kovács Csongorné, Morvai Éva, Széplaki Györgyné, Szeredi Éva, 009 Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft. 9500 Celldömölk, Széchenyi u. 8. Tel.: 95/55-000; fax: 95/55-04 E-mail: apaczaikiado@apaczai.hu Internet: www.apaczai.hu Felelős kiadó: Esztergályos Jenő ügyvezető igazgató Nyomdai előkészítés: Könyv Művek Bt. Terjedelem: 0,9 A/5 ív Tömeg: 66 g TEX 04. június. 0:48 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-0)
El sz ELŐSZÓ Ne vágd el azt, amit kibogozhatsz (Joubert XIX. századi filozófus) Kedves Kollégák! Matematikatankönyv-sorozatunk minden kötetét Joubert szellemében írtuk. Azt szeretnénk, hogy a tanulók gondolkodva tanulással, problémamegoldással jussanak el a valódi teljesítőképes tudáshoz, és az ehhez vezető úton ne adják fel a küzdelmet. Mi, szerzők több mint 0 éve tanítjuk ezt a korosztályt (is), és azt tapasztaltuk, hogy a játékos módszerek alkalmazásával, a valóság adta feladatok elemzésével nagyobb élmény a megoldás útjának felfedezése, hatékonyabb az ismeretátadás. Nagy hangsúlyt fektetünk a matematikai fogalmak pontos kialakítására, a szövegértelmezésre. A mindennapi életből vett szöveges feladatok, a tankönyv egyéb szöveges részei (pl.: a matematikatörténeti leírások) ehhez kívánnak segítséget nyújtani. A tankönyv szerkezete Minden fejezet órás kis egységekből áll, amelyeket feladatanyag követ. Itt a legfontosabb feladattípusokból írunk néhányat. A kevesebb gondolkodást igénylő feladatokból legalább kettő van, amelyekből az egyiket házi feladatnak adhatjuk. A feladatsor végén kicsit nehezebb feladatok következnek, amelyek a gyorsabban haladó, jobb képességű osztályok számára alkalmasak, illetve vegyes összetételű osztályoknál a differenciálást segítik. A fejtörőket a legügyesebb gyerekeknek ajánljuk. Ezt a feladatsort bővíti a könyv végén található feladatgyűjtemény. A feladatgyűjtemény szerkezete A feladatgyűjtemény felépítése, címei pontosan követik a tankönyvét, feladatait nem kell nem is lehet végig feldolgozni. Sokaknak nem lesz szüksége a legegyszerűbb gyakorló feladatokra, másoknak pedig a nehezebb, összetettebb feladatokat nem kell megoldaniuk. A kézikönyv szerkezete A kézikönyvben órabeosztás, didaktikai útmutató található és a tankönyv, valamint a feladatgyűjtemény feladatainak megoldásai remélve, hogy ezzel időt takarítunk meg az órákra való felkészüléskor. A tankönyv fejezeteit Tájékozódó felmérők zárják (megoldásuk a kézikönyvben). Amennyiben könyvünkkel kapcsolatban bármilyen észrevétele van, kérjük, azt juttassa el az Apáczai Kiadónak. TEX 04. június. 0:48 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-0)
El sz Kiegészítő segédletek A tankönyvcsaládhoz készült tanterv letölthető a kiadó honlapjáról: www.apaczai.hu. A Matematika felmérőfüzet 8. évfolyam (AP 080840) című kiadvány minden témához röpdolgozatokat (A és B csoport), valamint értékelő felmérőket tartalmaz (A és B csoport a kétféle óraszámban tanulók részére). Az egyes fejezeteket TSZAM (továbbhaladáshoz szükséges alapismeretek mérése) előzi meg. Minden felmérő megoldása és pontozási útmutatója megtalálható a tanári példányban. Eredményes munkát kívánunk: a Szerzők 4 TEX 04. június. 0:48 (4. lap/4. old.) Matematika 8. (K8-0)
Kerettanterv KERETTANTERV 007. BEVEZETŐ A matematika kerettanterv az Oktatási és Kulturális Minisztérium által kiadott hivatalos Nemzeti alaptanterv (NAT) 007. alapelvei szerint készült. A kerettanterv a hagyományosan igényes oktatáson kívül nagy hangsúlyt fektet az alapozó szakasz ( 6. évfolyam) keretén belül az 5 6. évfolyamon a nem szakrendszerű oktatás keretében a felzárkóztatásra, amely hozzájárul az esélyegyenlőtlenség csökkentéséhez. Továbbá a kerettanterv lehetőséget biztosít a tehetséggondozásra is mind a négy évfolyamon. Így jobban biztosítható a tanulók egyéni képességeinek fejlesztése. Ezért olyan iskolák számára ajánlott, amelyek az oktatás minőségét és hatékonyságát fontosnak tartják. Az óraszámok az Oktatási Törvényben meghatározott lehetséges számokhoz igazodnak. Évfolyam 5. 6. 7. 8. Heti óraszám 4 Éves óraszám 48 Célok és feladatok Az általános iskola 5 8. évfolyamán a matematikaoktatás megismerteti a tanulókat az őket körülvevő világ konkrét mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozza a korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségüket, és az életkoruknak megfelelő szinten biztosítja a többi tantárgy tanulásához szükséges matematikai ismereteket és eszközöket. Alapvető célunk a gondolkodás képességének folyamatos fejlesztése és a kompetenciák kialakítása. Az általános iskola 5 8. évfolyama egységes rendszert alkot, de igazodva a gyermeki gondolkodás fejlődéséhez, az életkori sajátosságokhoz két, pedagógiailag elkülöníthető periódusra tagolódik. Az alapozó szakasz utolsó két évében a tanulók gondolkodása erősen kötődik az érzékelés útján szerzett tapasztalatokhoz, ezért itt az integratív-képi gondolkodás fejlesztése a cél. A 7 8. évfolyamon elkezdődik az elvont fogalmi és elemző gondolkodás kialakítása is. Ez a tanterv a NAT 007-ben megfogalmazott fejlesztési célokhoz és a kijelölt legfőbb kompetenciaterületekhez kapcsolódó tananyagrendszert tartalmazza a fejlesztésközpontúságot szem előtt tartva. A fejlesztő munkát a matematikai tevékenységek rendszerébe kell beépíteni. Ezért alapvető fontosságú, hogy az alapozó szakaszban a tevékenységek részletesen legyenek kifejtve, így például a mérések, a fogalomalkotást előkészítő játékok, az alapszerkesztések és a geometriai transzformációk tulajdonságainak megtapasztalása. Ezeket kiegészítik a tananyag feldolgozásában megjelenő munkaformák: a pár-, illetve csoportmunka, valamint a projektfeladatok. Természetesen az önálló feladatmegoldást, a differenciált munkaformát továbbra is alkalmazzuk. A tevékenységek tárházába tartozik az eszközök használata, különös tekintettel az elektronikus eszközökre, azon belül az oktatási célú weblapokra az interneten. Fejlesztendő a tanulók kommunikációs képessége, saját gondolataik szabatos megfogalmazása szóban és írásban; mások gondolatainak megértése, a vitákban érvek és ellenérvek logikus használata. 5 TEX 04. június. 0:48 (5. lap/5. old.) Matematika 8. (K8-0)
Kerettanterv Az általános iskola felső tagozatán egyre nagyobb szerepet kap az elemző gondolkodás fejlesztése, a problémamegoldások mellett a felvetett kérdések igazságának vagy hamisságának eldöntése, a döntések igazolása. A tanulók legnagyobb része ebben a korban jut el a konkrét gondolkodástól az absztrahálásig. Ezért a legfontosabb cél a konstruktív gondolkodás kialakítása, amelyet a tanulók életkorának megfelelően manipulatív tevékenységek elvégeztetésével, az összefüggések önálló felfedeztetésével érhetünk el. Az önellenőrzéssel növeljük a tanulók önbizalmát, a változatos módszerekkel, a korosztálynak megfelelő játékos formákkal, kis lépéseken keresztül, természetes módon hangoljuk őket a matematika tudományának befogadására. Fontos, hogy a valóságban előforduló problémákra a tanulók meg tudják találni a megfelelő matematikai modellt, azokat helyesen tudják alkalmazni. Ezért nagy hangsúlyt kell fektetni a szövegértő, elemző olvasásra. Ugyanakkor azt is el kell érni, hogy a matematikában tanult ismereteket a tanulók alkalmazni tudják más műveltségi területeken is. Fokozatosan kell kialakítani a matematika szaknyelvének pontos használatát és jelölésrendszerének alkalmazását. Az általános iskolai matematikaoktatás alapvető célja, hogy a megszerzett tudás az élet minden területén, a gyakorlati problémák megoldásában is alkalmazható legyen. A fejlesztési célok és kompetenciák megjelenésének formái a matematika műveltségterületen. Tájékozódás Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban. Megismerés Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata. Ismeretek alkalmazása 4. Problémakezelés és -megoldás 5. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás 6. Akarati, érzelmi, önfejlesztő képességek és együttéléssel kapcsolatos értékek Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás 7. A matematika épülésének elvei 6 TEX 04. június. 0:48 (6. lap/6. old.) Matematika 8. (K8-0)
Kerettanterv Az általános iskola 5 8. évfolyamán a matematika műveltségterület feladata A matematikai kulcskompetenciák folyamatos fejlesztése: számlálás, számolás mennyiségi következtetés, valószínűségi következtetés becslés, mérés problémamegoldás, metakogníció rendszerezés, kombinativitás deduktív és induktív következtetés A tanulók értelmi képességeinek logikai készségek, problémamegoldó, helyzetfelismerő képességek folyamatos fejlesztése A tanulók képzelőerejének, ötletességének fejlesztése A tanulók önellenőrzésének fejlesztése A gyors és helyes döntés képességének kialakítása A problémák egyértelmű és egzakt megfogalmazása, megoldása A tervszerű és célirányos feladatmegoldási készség fejlesztése A kreatív gondolkodás fejlesztése A világról alkotott egyre pontosabb kép kialakítása A tanult ismeretek alkotó alkalmazása más tudományokban, a mindennapi életben A helyes tanulási szokások, attitűdök kialakítása A tanulók a számítások, mérések előtt becsléseket végezzenek, a feladatmegoldások helyességét ellenőrizzék, a feladatok megoldása előtt megoldási tervet készítsenek, a geometriai szerkesztések elkészítése előtt vázlatrajzot készítsenek, a szöveges feladatok megoldásánál a szöveget pontosan értelmezzék, és a választ, valamint az ellenőrzést szabatosan írják le! A tanulók gondolataikat pontosan, életkoruknak megfelelően a szaknyelv használatával tudják elmondani, a számolási készség kialakulása után használják a zsebszámológépet, szakirodalomból, internetről, egyéb ismerethordozókból önállóan is gyarapítsák tudásukat, tájékozódjanak a korosztálynak megfelelő újságok, folyóiratok és szaklapok körében, ismerjék a tananyaghoz kapcsolódó matematikatörténeti érdekességeket! A négy év során tudatosan kell fejleszteni a tanulók lényegkiemelő képességét, analizáló és diszkussziós készségét, átfogó, nagyobb összefüggések felfedezésére is képes gondolkodását. Erre irányul a matematikaoktatásban a sokféle logikai feladat, a felfedeztető tanítás, az ismétlés, a rendszerezés, a szövegelemzés, a megoldások vizsgálata, a matematikai tartalmú játékok, és a tanár egyéniségétől, igényeitől függő, változatos módszertani megoldás. Kiemelt cél a matematikai kompetenciák megszerzése, amelyeket új módszerek bevezetésével lehet elősegíteni. Ilyenek például a csoport-, illetve a projektmunkák. A közösen, csoportban (vagy párban) végzett munka 7 TEX 04. június. 0:48 (7. lap/7. old.) Matematika 8. (K8-0)
Kerettanterv során ki kell alakítani a tanulók közötti együttműködést, a helyes munkamegosztást, az egyéni és a közösségi felelősségvállalást. A közös eredmény érdekében előtérbe kerül egymás személyének tiszteletben tartása, a szolidaritás, a tolerancia, a segítőkészség. Ebben a szocializációs folyamatban könnyebben fejleszthetők a tanulók egyéni képességei, könnyebben kialakul az intenzív érdeklődés és a kíváncsiság, ami elősegíti a hatékonyabb tanulást. A matematikai kompetencia: az alapműveletek és arányképzés alkalmazásának képessége a mindennapok problémáinak megoldása érdekében, a fejben és papíron végzett számítások során. A hangsúly a folyamaton és a tevékenységen, valamint a tudáson van. A matematikai kompetencia felöleli eltérő fokban a matematikai gondolkodásmód alkalmazásának képességét és az erre irányuló hajlamot (logikus és térbeli gondolkodás), valamint az ilyen jellegű megjelenítést (képletek, modellek, szerkezetek, grafikonok, táblázatok). A matematikai kompetenciához szükséges tudás magában foglalja a számok, a mértékek és szerkezetek, az alapműveletek, alapvető matematikai fogalmak, koncepciók és azon kérdések megértését, amelyekre a matematika válasszal szolgálhat. Az egyénnek rendelkeznie kell azzal a készséggel, hogy alkalmazni tudja az alapvető matematikai elveket és folyamatokat a mindennapok során, otthon és a munkahelyen, valamint hogy követni és értékelni tudja az érvek láncolatát. Képesnek kell lennie arra, hogy matematikai úton indokoljon, megértse a matematikai bizonyítást és a matematika nyelvén kommunikáljon, valamint hogy megfelelő segédeszközöket is alkalmazzon. A matematika terén a pozitív hozzáállás az igazság tiszteletén és azon a törekvésen alapszik, hogy a dolgok okát és azok érvényességét keressük. (Kulcskompetenciák az élethosszig tartó tanuláshoz Európai referenciakeret anyagából) 8 TEX 04. június. 0:48 (8. lap/8. old.) Matematika 8. (K8-0)
Kerettanterv 8. ÉVFOLYAM Éves óraszám: Heti óraszám: A szabadon hagyott órák száma: 6, amely felhasználható a középiskolára való felkészítésre Témakör Témakör feldolgozására javasolt óraszám Gondolkodási módszerek Folyamatosan fejlesztendő Számtan, algebra 9 = 8 + Összefüggések, függvények, sorozatok 8 Geometria, mérés 8 = + + Valószínűség, statisztika 0. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Fejlesztési célok Tananyag Ajánlott tevékenységformák Módszertani javaslatok A továbbhaladás feltételei A matematika tanulásához szükséges nyelvi-logikai szerkezetek fokozatos megismerése. Állítások tagadásának megfogalmazása, A ha..., akkor, csak akkor...,ha ; helyes használata. A köznyelv és a matematikai nyelv tudatos megkülönböztetése. Mások gondolatainak megértésére törekvés (példák és ellenpéldák keresése, kérdések megfogalmazása érvek ellenérvek mentén.) Mások gondolataival való vitába szállás és a kulturált vitatkozás elsajátítása. Saját gondolatok kifejezése, rögzítése matematikai szöveg írása, értelmezése, jegyzet készítése. Állítások megfogalmazása és a megfogalmazott állítások cáfolata. Csoportmunkában elvégzett feladatmegoldások ismertetése az osztály előtt. Kiselőadások megtartása. A matematikai jelölések tudatos alkalmazása. Az egyes témakörökben konkretizálódnak. 9 TEX 04. június. 0:48 (9. lap/9. old.) Matematika 8. (K8-0)
Kerettanterv Fejlesztési célok Tananyag Ajánlott tevékenységformák Módszertani javaslatok A továbbhaladás feltételei Szövegelemzés, értelmezés, lefordítás a matematika nyelvére. Az önellenőrzés igényének fejlesztése. Szöveges feladatok értelmezése, megoldási terv készítése, megoldása és a szöveg alapján történő ellenőrzése. Könyvtár és informatikai eszközök használata. Szöveges feladatok megoldása. Rendszerszemlélet fejlesztése. A tanult ismeretek közötti összefüggések felismerése, azok értő alkalmazása. A geometriai transzformációk között fennálló kapcsolatok. Skatulyaelv. Különböző sorrendben elvégzett többféle transzformáció eredményének elemzése pármunkában. A halmazműveletek alkalmazása két halmazra a matematika különféle területein. Kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása változatos módszerekkel. Fadiagram készítése. Különböző szövegek kiolvasási lehetőségeinek összeszámlálása különböző módszerekkel csoportmunkában. Sorbarendezés, kiválasztás néhány elem esetén.. SZÁMTAN, ALGEBRA Fejlesztési célok Tananyag Ajánlott tevékenységformák Módszertani javaslatok A továbbhaladás feltételei Eljárásokra, módszerekre való emlékezés: a tanult algoritmusok felidézése, használata, analógiák alapján való műveletvégzések. Induktív, deduktív gondolkodás fejlesztése. Műveleti azonosságok rendszerező áttekintése. Algebrai egész kifejezések, képletek átalakításai (nevezetes azonosságok). Szorzattá alakítás kiemeléssel egyszerű esetekben. Algebrai egész kifejezések szorzása, osztása. A hatványozás azonosságainak előkészítése. Az egyszerű azonosságok felfedezése számolási feladatok és geometriai ábrák segítségével. Eszköz: memóriajáték, párkeresés, dominók. Feladatlapok önálló kitöltése, ellenőrzés páros munkával. Egyszerű algebrai egész kifejezések (képletek) átalakítása, helyettesítési értékek kiszámítása. 0 TEX 04. június. 0:48 (0. lap/0. old.) Matematika 8. (K8-0)
Kerettanterv Fejlesztési célok Tananyag Ajánlott tevékenységformák Módszertani javaslatok A továbbhaladás feltételei Gondolatmenet kiépítése: megoldási terv szöveges feladathoz. Megértett probléma részletproblémákra bontása modell nélkül vagy modell segítségével; a részletproblémák sorrendbe állítása, tervkészítés. Az eltervezett megoldás lépéseinek végrehajtása; a részeredmények értelmezése, a végeredmény vonatkoztatása az eredeti problémára, válaszadás diszkusszió nélkül, illetve diszkusszióval. Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek algebrai és grafikus megoldása. Alaphalmaz, megoldáshalmaz. Szövegértelmezés, lefordítás a matematika nyelvére. Különféle szöveges feladatok megoldása. Változatos szövegű és témájú, a gyakorlati életből merített szöveges feladatok feldolgozása csoportmunkában. A feladatok megoldásának ismertetése az osztály előtt az előadókészség fejlesztése érdekében. Egyszerű szöveges feladatok megoldása következtetéssel, egyenlettel és a megoldás szöveg szerinti ellenőrzése. A zsebszámológép használata. A becslés képességének fejlesztése és gyakoroltatása. A racionális szám fogalma: véges, végtelen tizedes törtek. Példák nem racionális számra: végtelen, nem szakaszos tizedes törtek. A négyzetgyök fogalma. Feladatlapok becslésre, pontos számításra. Zsebszámológéppel való számolás gyakorlása. Az alapműveleteket helyes sorrendben elvégzi a racionális számkörben. A rendszerezőképesség fejlesztése. A természetes, az egész és a racionális számok halmazának kapcsolata. Kitekintés a racionális számkörből. Műveletekkel megadott számok csoportosítása, elhelyezése Venndiagramon, pármunkában. A számok többféle alakjának tudatosítása számdominóval. A racionális számok tulajdonságait ismeri, velük való számolási készsége megvan. TEX 04. június. 0:48 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-0)
Kerettanterv. ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Fejlesztési célok Tananyag Ajánlott tevékenységformák Módszertani javaslatok A továbbhaladás feltételei Célirányos, akaratlagos figyelem fejlesztése. Tudatos megfigyelés adott tulajdonságok szerint, és a tulajdonságok közötti kapcsolatteremtés képességének fejlesztése. Lineáris függvények: elsőfokú és konstans függvények, az egyenes arányosság és grafikonjaik. Az x x, x x és az x x függvények tulajdonságai és grafikonjainak ábrázolása. Egyismeretlenes egyenletek grafikus megoldása. Egy adott összefüggésben az összetartozó elemek értéktáblázatának elkészítése. A számpároknak megfelelő pontok ábrázolása a koordinátarendszerben. Poszterek készítése különböző függvénykapcsolatok grafikonjairól, projektmunkában. Számítógépes programok alkalmazása a függvényábrázolásnál. Az x ax + b függvény grafikonját ábrázolja konkrét racionális együtthatók esetén. Együttváltozó mennyiségek összetartozó adatpárjainak lejegyzése, sorozatok alkotása, értelmezése matematikai modell keresése változások leírására. A szabályosság felismerése. Sorozatok vizsgálata, mértani sorozat. Adatok, elemek, számok sorba rendezése. A mértani sorozat képzési szabályának felfedezése, szöveges feladatok értelmezése és megoldása. Számtani, mértani és egyéb sorozatok szétválogatása csoportmunkában. Sorozatokat folytat adott szabály szerint. TEX 04. június. 0:48 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-0)
Kerettanterv 4. GEOMETRIA Fejlesztési célok Tananyag Ajánlott tevékenységformák Módszertani javaslatok A továbbhaladás feltételei Állítások, kérdések megfogalmazása képről, helyzetről. Saját gondolatok megfogalmazása; elképzelések, definíciók és tételek alkotása, kimondása, leírása. Pitagorasz-tétel. Háromszögek nevezetes vonalai és körei. A háromszög körülírt köre, beírt köre. Sokszögekre vonatkozó ismeretek. Kör és részei (ív, húr, átmérő, körcikk, körszelet, körgyűrű). A kör érintője és szelő egyenesei. A Pitagorasz-tétel felfedezése tapasztalati úton csoportmunkában. Érvelés, cáfolás, bizonyítási módszerekkel való ismerkedés. Korábbi ismeretek új helyzetekben való alkalmazása a háromszögek és négyszögek esetén. Számolási feladatok megoldása, ellenőrzés párban. A Pitagorasztételt felhasználja számítási feladatokban. Négyszögeket, sokszögeket csoportosít. A hozzárendelés fogalmának elmélyítése. Geometriai transzformációkban megfigyelt megmaradó és változó tulajdonságok tudatosítása. A transzformációs szemlélet továbbfejlesztése. Diszkusszió. A lehetőségek számbavétele. A feltételekkel való összevetés során annak tudatosítása, hogy miben és hogyan befolyásolják a feltételek a végeredményt. A vektor fogalma, két vektor összege és különbsége. Eltolás síkban. Párhuzamos szárú szögek. A tanult egybevágósági transzformációk rendszerezése. Középpontos hasonlóság és tulajdonságai. Adott alakzat eltolt képének megszerkesztése. Transzformációk végrehajtása a sík mozgatásával. Másolópapírral való rajzolás. Hasonlóság alkalmazása a környezetünkben. Gyűjtőmunka csoportokban. Önállóan elvégzett szerkesztési feladatok, és azok diszkussziójának megvitatása osztály előtt. Tud adott alakzatot eltolni adott vektorral. A kicsinyítést és nagyítást felismeri a valóság tárgyain és alkalmazza más tantárgyakban. A térszemlélet fejlesztése. A térfogat és a felszín fogalmának elmélyítése. Algebrai műveletek alkalmazása geometriai feladatokban. Zsebszámológép használata. Együttműködés, önállóság fejlesztése. A forgáskúp, a gúla, a gömb. A tanult testek rendszerezése. Számításos geometriai feladatok a geometria különböző területeiről. Testek építése. A síkba kiteríthető testek hálójának elkészítése. Testek különböző nézeteinek lerajzolása, a nézetekből a test kitalálása csoportmunkában Activity-játék a testek tulajdonságairól. Geometriai feladatok (kerület, terület, felszín, térfogat számítás) megoldása páros munkában. A hasábokat, hengereket, gúlákat, kúpokat felismeri. Háromszög és négyszög alapú egyenes hasábok felszínét és térfogatát ki tudja számítani. TEX 04. június. 0:48 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-0)
Kerettanterv 5. VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA Fejlesztési célok Tananyag Ajánlott tevékenységformák Módszertani javaslatok A továbbhaladás feltételei Önálló eljárások keresése, megoldási kísérletek, tippelések szabad végzése, összevetése a kapott információkkal, valósággal. Valószínűségi szemlélet fejlesztése. Valószínűségi kísérletek megfigyelése, lejegyzése. Biztos, lehetetlen események. A valószínűség előzetes becslése, szemléletes fogalma. Különféle valószínűségi kísérletek elvégzése csoportmunkában. A relatív gyakoriságot kiszámítja. Táblázatok készítése. Megfigyelésben, számlálásban, kísérletben gyűjtött adatpárok, rendezése, kapcsolatok vizsgálata. A statisztikai szemlélet fejlesztése. Adatsokaságok elemzése. Középértékek: átlag, medián, módusz fogalma. Diagramok fajtái. Adatok gyűjtése, azok értékelése csoportmunkában. Poszterek készítése és azok bemutatása az osztály előtt. Grafikonok és diagramok készítése önállóan adott adatsokaság alapján. Hétköznapi életből (újságokból, internetről) vett grafikonok elemző olvasása. A leggyakoribb és a középső adatot meghatározza konkrét adathalmazban. Tud grafikonokat készíteni, olvasni egyszerű esetekben. 4 TEX 04. június. 0:48 (4. lap/4. old.) Matematika 8. (K8-0)
Kerettanterv AJÁNLOTT SZEMPONTOK A TANULÓI TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSÉHEZ A matematikában az értékelésnek különösen fontos szerepe van. A diagnosztizáló felmérők segítségével felmérhető, hogy a tanulók eljutottak-e arra a szintre, ahonnan tanulmányaikat tovább folytathatják. A mérés elvégzése után célszerű az adott anyagrészben a továbbiakban differenciáltan foglalkozni a tanulókkal. Az ellenőrzés, értékelés típusa függ az értékelni kívánt anyagrész tartalmától és nagyságától. Kisebb anyagrészek lezárásakor célszerű röpdolgozatot íratni, amelyet nem kell feltétlenül osztályozni. Visszacsatolást adhat a tanárnak és a diákoknak egyaránt a hiányosságok meglétéről, azok pótlása folyamatosan végezhető, vagy egy másik anyagrész tanítása után a nehéznek tűnő anyagrésszel való foglalkozást pihentetve később lehet rá visszatérni. A jelentősebb fejezetek lezárásakor témazáró felmérő íratása javasolt. Az egyes feladatok megoldását pontozással kell értékelni, ügyelve a helyes részeredmények pozitív értékelésére is. Az osztályzatot egyértelműen, a gyerekek, a szülők számára is érthető százalékos eredmények határozzák meg. A felmérő a továbbhaladáshoz szükséges ismereteket kérje számon! Célszerű külön foglalkozni azokkal a tanulókkal, akiknek a középiskolai felvételét a matematika írásbeli dolgozat határozza meg. Korábbi évek felvételi feladatsorai közül minél többet oldjanak meg a tanulók, nem feltétlenül értékelés céljából, hanem hiányosságaik kiderítése és azok pótlása miatt. Ennél a korosztálynál a szóbeli feleltetés nem jellemző matematikából. A tanulók kommunikációs képességét folyamatosan kell fejleszteni, részben a csoportmunkák folyamán a társakkal való viták kapcsán, részben a frontális óravezetésnél. A tanulók verbális megnyilvánulásait korrigáljuk, ha szükséges; dicsérjük őket, ha megérdemlik; de ne feleltessünk! Szóbeli megnyilvánulás a projektmunkák bemutatása, amely a tanári gyakorlatnak megfelelően értékelhető: jó pont, képecske, kisötös vagy hagyományos osztályzat. Itt fontos, hogy a csoport minden tagja ugyanazt az osztályzatot kapja. 5 TEX 04. június. 0:48 (5. lap/5. old.) Matematika 8. (K8-0)
Gondolkodjunk egy tt! Tk.: 4. oldal GONDOLKODJUNK EGYÜTT!. óra: Logikai feladatok. óra: Halmazokkal kapcsolatos feladatok (logikai szita). óra: Skatulyaelv 4. óra: Hányféleképpen? (kombinatorika) 5. óra: Játékok, híres fejtörők Mire építünk? Az ilyen típusú feladatok többnyire már előfordultak a hét év során különböző témakörök anyagába beépítve vagy önálló anyagként (kombinatorika, halmazok). Meddig jutunk el? A mintapéldákban felvetett problémák megoldásához a már tanult módszereket átismételjük, ahol szükséges, ott új módszereket mutatunk. Ennek a résznek az anyagát nem kérjük számon. A feladatanyag öt óra alatt nem dolgozható fel. A gazdag választékból tanulóink képességeihez mérten válogathatunk. A témakör feldolgozására a csoportos munkaformát ajánljuk. Logikai feladatok Tk.: 4 5. oldalon 9. feladatok. óra Az óra célja: A gyerekek rávezetése arra, hogy a feladatok egy részének megoldásához a kulcsot az egymásnak ellentmondó állítások megtalálása, és az azokból adódó következtetések levonása adja. Feladatok. Julinak, Marinak, Norbinak és Ferinek is van egy-egy állatkája: egy cica, egy kutya, egy aranyhal és egy kanári. Mari állata szőrös, Ferié pedig négylábú. Norbi madarat tart. Juli és Mari nem tart cicát. Az alábbi állítások közül melyik nem igaz? a) Ferié a kutya. b) Norbié a kanári. c) Julié az aranyhal. d) Feriéacica. e) Marié a kutya. A cica és a kutya is szőrös és négylábú. Ezért a két állat Marié és Ferié. A cicának fiú a gazdája, ez csak Ferié lehet, így a kutya Marié. Norbié a kanári, ezért az aranyhal csak Julié lehet. Az a) állítás hamis. 6 TEX 04. június. 8:57 (. lap/6. old.) Matematika 8. (K8-)
Gondolkodjunk egy tt! Tk.: 4 5. oldal. Négy testvér közül az egyik az esti párnacsatában eltörte a nagymama kedvenc padlóvázáját. Édesanyjuk megkérdezte tőlük, ki törte el. A fiúk ezeket a válaszokat adták: ANDRÁS: Nem én voltam. BÉLA: Énsem. DANI: Ervin törte össze. ERVIN: Béla volt. Kiderült, hogy az egyikük füllentett, a többiek igazat mondtak. Ki törte el a vázát? (Nemzetközi Kenguru verseny, 7 8. osztály) Béla és Ervin állítása egymásnak ellentmondó, így közülük az egyik nem mondott igazat. Dani állítása alapján Ervin törte el a vázát, és csak ő füllentett.. Feri, Gyula, Jancsi és Karcsi meglátogatták egy barátjukat. A négy fiú családi neve valamilyen sorrendben: Kiss, Nagy, Szabó és Molnár. Elsőnek Molnár érkezett, másodiknak Jancsi, ezután Kiss és végül Gyula. Mindenki hozott egy ajándékot: Molnár bűvös kockát, Feri golyóstollat, Gyula csokit, Szabó pedig könyvet. Mi a négy fiú teljes neve? (Imrecze Zoltánné, Reiman István, Urbán János: Fejtörő feladatok felsősöknek) Készítsünk táblázatot! A táblázatban a jel azt jelenti, hogy a sorához és oszlopához tartozó nevek nem tartoznak össze. Kiss Nagy Szabó Molnár Feri Gyula + Jancsi Karcsi + A táblázatból kiderül, hogy Molnár csak Karcsi lehet, Nagy csak Gyula. A táblázatból most kihúzzuk a Karcsit, és Nagy oszlopából a Ferit és a Jancsit. Az üresen maradó helyekből következtethetünk arra, hogy Kiss Feri és Szabó Jancsi a másik két fiú teljes neve. 4. Öt gyerek a következőt állítja egymásról: András: A fiútestvérem teniszezik. Bea: Pontosan két fiútestvérem van. Csaba: Nincs fiútestvérem. Dóra: A fiútestvérem hegedül. Erik: A leánytestvérem szereti a matematikát. Ki lehet Csaba testvére, ha mindenki igazat mond? (Zrínyi Ilona Matematikaverseny 994, 8. osztályosok versenye, megyei döntő) Csabának állítása szerint nincs fiútestvére, ezért csak Bea és Dóra jöhet szóba. Beának két fiútestvére van, ami azt jelentené, hogy Csabának mégiscsak van fiútestvére. Így a fentiek közül csak Dóra lehet a testvére. 5. Négy embert gyanúsítanak rablással. Tudjuk, hogy négyük közül az egyik rabló, három pedig ártatlan. Ezt vallják: A: C nem rabló. B: C vagy D rabló. C: D ártatlan. D: A vagy B rabló. Azt is tudjuk, hogy az ártatlanok mind igazat mondanak. Melyikük a rabló? B a rabló, mert csak így teljesül, hogy három állítás igaz, egy hamis. 7 TEX 04. június. 8:57 (. lap/7. old.) Matematika 8. (K8-)
Gondolkodjunk egy tt! Tk.: 5. oldal 6. Nóra és Sári ikertestvérek, külsejük alapján nem tudják őket megkülönböztetni. Az a különös szokásuk, hogy egyikük minden hétfőn, kedden és szerdán, a másikuk pedig minden csütörtökön, pénteken és szombaton hazudik, s a hét többi napján igazat mond. Egyik nap egyikük ezt állította: szombaton hazudok, vasárnap hazudok. Másikuk ezt állította: holnap hazudni fogok. Melyik nap állították ezt? Szerdán állíthatták ezt és máskor nem. Aki szombaton hazudik és vasárnap igazat mond, ugyanazon a napon nem mondhatja, hogy minkét napon hazudik. Ő ezért azt mondja, hogy holnap hazudni fogok. Ezt csak szerdán és szombaton mondhatja. Aki hétfőn, kedden és szerdán hazudik, az mondhatja csak azt, hogy szombaton és vasárnap is hazudik, de azt csak hazudós napján mondhatja. Így a szerda az egyetlen olyan nap, amikor ezt állíthatták. 7. Tizenöt fős társaság ül egy kerek asztalnál, és mindenki azt állítja, hogy H I H mindkét szomszédja hazudós. Azt is tudjuk, hogy a hazudósok mindig H H hazudnak, az igazmondók mindig igazat mondanak. A társaság minden tagja tudja mindkét szomszédjáról, hogy igazmondó vagy hazudós. I H I H Legalább hány igazmondó ül az asztal körül? H Két igazmondó, illetve három hazudós nem kerülhet egymás mellé. Legalább öt igazmondó ül az asztalnál. I H H H I 8. Seholsincs-szigeten kétféle ember él: igazmondók, akik mindig igazat mondanak, és hazudósak, akik mindig hazudnak. Egy alkalommal meglátogattam ezt a szigetet. A tengerparton álldogált két szigetlakó: Alfa és Béta. Te igazmondó vagy? kérdeztem Alfát. Alfa válaszát sajnos nem értettem az erős tengerzúgás miatt. Megkérdeztem Bétát, hogy mit válaszolt Alfa. Ő így válaszolt: Alfa azt mondta, hogy ő hazudós. Mi lehet Alfa, illetve Béta? A Te igazmondó vagy? kérdésre csak igen lehet a válasz. Ezért Béta hazudós. Alfáról nem lehet eldönteni, hogy milyen. 9. Egy teremben a falra izzólámpát szereltek. Kapcsolójuk a termen kívüli folyosón van, de nem tudjuk, hogy melyik kapcsoló melyik lámpához tartozik. A terembe csak egyszer léphetünk be, de mielőtt bemegyünk, a kapcsolókat tetszés szerint kapcsolgathatjuk. Miután belépünk, meg kell állapítani, hogy melyik kapcsoló melyik izzóhoz tartozik. Hogyan csináljuk? Az első két kapcsolót felkapcsoljuk, rövidebb várakozás után az elsőt lekapcsoljuk. Ezután bemegyünk a terembe. A világító izzóhoz a második, a nem világító izzók közül a hideghez a harmadik, a meleghez az első kapcsoló tartozik. Halmazokkal kapcsolatos feladatok Tk.: 7 8. oldalon. feladatok. óra Az óra célja: A 7. osztályban tanított módszereket ismételjük át, és három halmazra is alkalmazzuk az eljárást. A feladatok a százalékszámítás és számelmélet alapfogalmainak ismétlését is szolgálják. 8 TEX 04. június. 8:57 (. lap/8. old.) Matematika 8. (K8-)
Gondolkodjunk egy tt! Tk.: 7 8. oldal Feladatok. Kanada kétnyelvű ország. Az emberek 85%-a beszél angolul, 75%-a pedig franciául. Az emberek hány %-a beszéli mindkét hivatalos nyelvet, ha legalább az egyiket minden lakos beszéli? Ha összeadjuk az angolul és a franciául beszélők százalékos arányát, 60%-ot kapunk. Ez azzal magyarázható, hogy az emberek 60%-át kétszer számoltuk. Ezért a lakosok 60%-a beszéli mindkét hivatalos nyelvet.. Egy osztályban 40 tanuló van. 4 tanuló kézilabdázik, 6 kosárlabdázik. Minden tanuló legalább az egyik sportágat űzi. Az osztály hány százalékát teszik ki azok a tanulók, akik csak kézilabdáznak? Ha a kézilabdázók és a kosarasok létszámát összeadjuk, akkor 0-zel nagyobb számot kapunk, mint az osztály létszáma. Ennek oka, hogy kétszer számoltuk azokat, akik mindkét sportágat űzik. Csak kézilabdázik 4 0 = = 4 fő, ők a tanulók 0%-át teszik ki.. Az iskolának foci- és kosárlabdacsapata van. Az egyik osztályban 7 fiú jár az iskolai focimeccsekre, 0 jár a kosárlabdameccsekre, mind a két sportág meccseit látogatja, de 4 fiú egyáltalán nem jár meccsekre. Hány fiú jár az osztályba? 8 fiú jár az osztályba. F 4 f 7 4 k 4. Egy nyolcadikos osztály 5 tanulója közül 0 lány van, és olyan gyerek, aki tud keringőzni. Az osztályba járó fiúk közül 7 tud keringőzni. Hány olyan lány van, aki tud keringőzni? Hány fiú nem tud keringőzni? O 5 L 5 8 K 7 Halmazábra segítségével oldjuk meg a feladatot. 5 lány tud keringőzni. 8 fiú nem tud keringőzni. 5. Egy versenyen az iskola tanulóinak 0%-a indult. Az indulók két feladatot kaptak. Az elsőt a versenyzők 60%-a, a másodikat 65%-a oldotta meg. Minden induló legalább egy feladatot megoldott. Csak a másodikat 80-an oldották meg. Hányan járnak az iskolába? (Varga Tamás Matematika Verseny, 7. osztály) Mindkét feladatot a versenyzők 5%-a oldotta meg. A versenyzők 40%-a 80 fő. Az összes versenyző 00 fő. Az iskola tanulóinak 00 gyerek a 0%-a. Az iskolába 000 gyerek jár. 6. Hány olyan kétjegyű szám van, amelyben az egyik számjegy nagyobb, mint a másik? Csak azok a számok nem jók, amelyekben megegyeznek a számjegyek. A 90 kétjegyű számból levonva a 9 olyat, amelyben megegyeznek a jegyek, 8-et kapunk. 8 olyan szám van, amelyben az egyik jegy nagyobb, mint a másik. Ez a feladat készíti elő a 0. feladatot. 9 TEX 04. június. 8:57 (4. lap/9. old.) Matematika 8. (K8-)
Gondolkodjunk egy tt! Tk.: 8. oldal 7. A 40-nél nagyobb, de 60-nál kisebb számok közül hány olyan van, amelyik -mal vagy 4-gyel osztható? Kilenc: 4, 44, 45, 48, 5, 5, 54, 57, 56. 8. Hány olyan kétjegyű szám van, amely a) osztható -mal és 4-gyel, b) osztható -mal vagy 4-gyel, c) nem osztható sem -mal, sem 4-gyel? A 90 kétjegyűből 0 osztható -mal, osztható 4-gyel, 8 osztható 0 5 x 5 99 -vel (-mal és 4-gyel is). a) Nyolc szám osztható -vel:, 4, 6, 48, 60, 7, 84, 96. b) 0 + 8 = 44 szám osztható -mal vagy 4-gyel. c) 90 44 = 46 szám nem osztható sem -mal, sem 4-gyel. Halmazábrával így oldhatjuk meg a feladatot: A: {-mal osztható számok} B: {4-gyel osztható számok} A 0 8= 8 90 44 = 46 8=4 9. Hány olyan pozitív egész van, amely 000-nél kisebb és sem 5-tel, sem 7-tel nem osztható? B 5 x 5 999 A 7 8 4 686 B Az 000-nél kisebb pozitív egészek száma 999. Ezek közül (999 : 5 =) 99 osztható 5-tel, (999 : 7 =) 4 osztható 7-tel, (999 : 5 =) 8 osztható 5-tel (vagyis 7-tel és 5-tel). (999 99 4 + 8 =) 686 szám nem osztható sem 5-tel, sem 7-tel. Halmazábrával így oldhatjuk meg a feladatot: A : {5-tel osztható számok} B : {7-tel osztható számok} 0. Egy verseny után Pista örömmel újságolta barátainak, hogy megoldotta a feladatokat. Az egyik feladat így szólt: Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben van -as számjegy? Pista megoldása: A -as számjegy lehet bármelyik helyen. Ha az első helyen van:, a másik két helyre 0 0 számjegy kerülhet, tehát ilyen számból 0 0 = 00 van. Ha a második vagy a harmadik helyen van a -as számjegy: vagy, akkor az első helyre 0 nem kerülhet, ezért 9 0 = 80 ilyen szám van. Tehát az összes megoldás: 00 + 80 = 80. Sajnos Pista erre a megoldásra nem kapott pontot. Magyarázd meg, hol hibázott, és add meg a helyes választ! Pista így bizonyos számokat többször is megkapott, például a -at háromszor kapta meg, a 0-at kétszer stb. Célszerű az ilyen esetekben azokat a számokat megszámlálni, amelyekben nincsen -as számjegy, ezek száma (8 9 9 =) 648. Ezek számát levonva a 900 háromjegyűből, 5-t kapunk. 5 olyan háromjegyű szám van, amelyben nem szerepel a -as számjegy. 0 TEX 04. június. 8:57 (5. lap/0. old.) Matematika 8. (K8-)
Gondolkodjunk egy tt! Tk.: 8. és 9. oldal. Hány olyan legfeljebb jegyű pozitív egész szám van, amely nem osztható sem -vel, sem -mal, sem 5-tel? 66 olyan egész szám van 999-ig, amely nem osztható sem -vel, sem -mal, sem 5-tel. 999 legfeljebb háromjegyű szám van, ebből: -vel osztható: 499 szám, -mal osztható: szám, 5-tel osztható: 99 szám, 6-tal osztható: 66 szám, 5-tel osztható: 66 szám, 0-zel osztható: 99 szám, 0-cal osztható: szám. -vel osztható 67 5 x 5 999 66 5-tel osztható -mal osztható. Egy versenyen két feladatot kellett megoldani. Hatan voltak, akik mindkét feladatot megoldották, és hatan, akik az egyiket sem tudták megcsinálni. A legalább egy feladatot megoldók 75%-a oldotta meg az elsőt, 50%-a a másodikat. Hányan vettek részt a versenyen, és hányan voltak, akik az első feladatot megoldották, de a másodikat nem? Harmincan vettek részt a versenyen, tizenketten oldották meg csak az első feladatot. 4 66 V Ha a legalább egy feladatot megoldók számát tekintjük 00%-nak, 6 akkor a legalább egy feladatot megoldók 5%-át adja a mindkét M feladatot megoldó 6 fő. Ebből a legalább egy feladatot megoldók E számára 4-et kapunk. Ha ehhez hozzáadjuk azok számát, akik 6 6 egy feladatot sem oldottak meg, megkapjuk az összes versenyző számát, azaz 0-at. A legfeljebb l feladatot megoldók számából levonva a második feladatot megoldók számát, -t kapunk a csak az első feladatot megoldók számára.. óra Skatulyaelv Tk.: 9 0. oldalon. feladatok Az óra célja: A 7. osztályban elindított gondolkodási módok elmélyítése. A feladatok között egyszerűbb számelméleti bizonyítások is szerepelnek. Feladatok. A 4 fős osztályunkban az a szokás, hogy a hónap elején felköszöntjük az összes olyan gyereket, aki abban a hónapban született. a) Biztosan lesz-e olyan hónap, amikor legalább gyereket köszöntünk fel? Igen. Tizenkét gyereknek lehet különböző hónapban a születésnapja, a tizenharmadik már az előzőek egyikével megegyező hónapban született. TEX 04. június. 8:57 (6. lap/. old.) Matematika 8. (K8-)
Gondolkodjunk egy tt! Tk.: 9 0. oldal b) Lehet-e olyan hónap, hogy nincs kit felköszönteni? Igen, hiszen még az is előfordulhat, hogy mind a 4 gyerek ugyanabban a hónapban született.. Egy zacskóban 0 zselés és 0 mogyorós drazsé van, szemre egyformáknak látszanak. Hány darabot kell kivennie Áronnak, hogy biztosan legyen köztük egy mogyorós és egy zselés is? -et. Kiveheti az egyik fajtából mind a 0-et, a tizenegyedik drazsé már csak a másik fajta lehet.. Egy borosgazda pincéjében palack édes, 9 palack félédes és 5 palack száraz tokaji bor van. A feleség, aki nem tud különbséget tenni a palackok között, hányat vigyen fel a vendégeknek, ha azok azt szeretnék, hogy biztosan legyen köztük a) édes, b) három palack édes, c) mindegyik fajtából legalább egy palack, d) az összes száraz, e) édes és félédes, f) valamelyik fajtából három palack? a) 9 félédes + 5 száraz + édes = 5 palack b) 9 félédes + 5 száraz + édes = 7 palack c) édes + 9 félédes + száraz = palack d) Az összeset, hiszen kiválaszthatja az édeseket, illetve a félédeseket és csak azután a szárazakat. e) 9 palack. Kiválaszthat 5 palack száraz és palack édes palackot. A 9. palack biztosan félédes bor lesz. f) 7 palack. Mindegyikből kiválaszt -t, a hetedik már csak olyan lehet, amilyenből már volt kettő. 4. Egy fedett kosárban 0 barna, 5 szürke és 0 fehér galamb van. Egyesével engedjük ki őket. Legalább hány galambnak kell kirepülnie, hogy biztosan legyen köztük a) barna vagy fehér, 5 szürke + barna vagy fehér = 6 galamb b) barna és fehér, 5 szürke + 0 fehér + barna = 6 galamb c) legalább egyforma színű? szürke + fehér + 0 barna + szürke vagy fehér = galamb 5. Egy meglehetősen rendetlen műlovarnő az öltözőszekrényének fiókjában tartja kesztyűit igen nagy összevisszaságban: pár sárgát, pár kéket és pár pirosat. Előadás előtt kialszik a villany az öltözőjében. Legalább hány darab kesztyűt kell találomra kivennie ahhoz, hogy biztosan legyen köztük egy pár ugyanolyan színű, ha a jobbos és balos kesztyű nem egyforma? Tízet. Legrosszabb esetben kiveszi minden színből, mondjuk a balkezeseket, ebből 9 van, a 0. kesztyű már csak a 9 kesztyű valamelyikének a jobbos párja lehet. 6. Egy tálon meggyes, lekváros és túrós bukta illatozik. Legkevesebb 6-ot kell venni ahhoz, hogy biztosan legyen köztük meggyes. Legkevesebb 7-et kell kivenni ahhoz, hogy biztosan legyen köztük lekváros, és 8-at, hogy biztosan legyen köztük túrós. Hány bukta van a tálon? Kilenc bukta van a tálon. A lekváros és túrós buktából 5 van, meggyesből és túrósból 6, meggyesből és lekvárosból 7. (lekváros + túrós) + (meggyes + túrós) + (meggyes + lekváros) = 5 + 6 + 7 = 8. Mindenfajta buktát kétszer számoltunk, ezért 9 bukta van a tálon. 7. Felírtunk a táblára hét különböző négyzetszámot. Igaz-e, hogy van közöttük két olyan, amelyik ugyanolyan számjegyre végződik? Igaz. A négyzetszámok utolsó jegye csak 0,, 4, 5, 6 és 9 lehet. Így a hét szám között lesz kettő, amelyik ugyanarra a számjegyre végződik. 8. Igaz-e, hogy hét négyzetszám között mindig van kettő olyan, melyek különbsége osztható 0-zel? Igaz. A négyzetszámok utolsó jegye csak 0,, 4, 5, 6 és 9 lehet. Így a hét szám között lesz kettő, amelyik ugyanarra a számjegyre végződik, ezek különbsége pedig nullára. TEX 04. június. 8:57 (7. lap/. old.) Matematika 8. (K8-)
Gondolkodjunk egy tt! Tk.: 0. oldal 9. Bizonyítsuk be, hogy a) egész szám között mindig van kettő, melyek összege osztható -vel, egész szám között biztosan van vagy két páratlan, vagy két páros szám, melyek összege páros. b) 5 egész szám között mindig van három, melyek összege osztható -mal, -mal osztva a számok 0, vagy maradékot adhatnak. Két eset lehetséges: ha az öt szám között háromnak ugyanaz a maradéka, akkor ezek összege osztható -mal, ha nincs ilyen három szám, akkor az öt közül kiválasztható három olyan, melyek maradéka különböző, ezek összege osztható -mal. c) 7 egész szám között mindig van négy, melyek összege osztható 4-gyel! Három szám közül biztosan kiválasztható kettő olyan, melyek összege osztható -vel. A maradék öt közül is biztosan van két ilyen. Végül az így megmaradó három közül is kiválasztható két ilyen szám. Az így kapott három összeg páros, ezért mindegyik fele egész. Így ismét három egész számot kapunk, melyek közül kiválasztható kettő úgy, hogy azok összege is páros legyen. Ennek az összegnek a fele egész szám, amely megegyezik a hét számból kiválasztott négy összegének a negyedével. Mivel ez egész, ezért a négy szám összege osztható 4-gyel. 0. Legfeljebb hány számot lehet kiválasztani az,,,..., 5 számok közül úgy, hogy semelyik kettőnek az összege ne legyen osztható -mal? Tízet. Két -mal osztható szám nem lehet a számok között. Egy maradékú és egy maradékú sem. Az összes maradékút beválogathatjuk, és ezekhez még egy nulla maradékút. Vagy az összes maradékút és ezekhez még egy nulla maradékút. Az első esetben 0, a második esetben 9 számot választhatunk ki.. Igaz-e, ha az,,,..., 00 számokból kiválasztunk találomra 7 számot, akkor biztosan lesz ezek között kettő olyan, melyek nem relatív prímek? Igaz. 00-ig 5 prím van. Legjobb esetben a 5 prímet húzzuk ki és melléjük még az -et. Az -hez semmit sem választhatunk a többi számból. A 7 szám, amit kiválasztunk, már biztosan összetett szám, ezért valamelyik már szereplő két prím szorzata. Hányféleképpen? Tk.: 4 6. oldalon 4. feladatok 4. óra Az óra célja: Az eddig tanult módszerek, eljárások ismétlése, elmélyítése. A feladatok egy részében (például a. és a. feladat) egyszerű sorba állítások számát kell meghatározni. Jó lenne addig eljutni, hogy a gyerekek az összes eset felsorolása nélkül is meg tudják oldani az ilyen típusú feladatokat. Ehhez azt kell felismerniük, hogy például 5 fiú 5-ször annyi sorrendben állhat fel a sortánchoz, mint négy. Az n! képletet nem szükséges bevezetni, a permutáció elnevezést nem kell használnunk. A feladatok másik részében ciklikus permutációk számát kell meghatározni. Itt arra kell rávezetni a gyerekeket, hogy például 5 elem ciklikus permutációinak a száma megegyezik az 5 elemből képzett permutációk számának ötödrészével. Azaz 5 elem egyféle ciklikus permutációjából éppen 5 sima permutáció képezhető. TEX 04. június. 8:57 (8. lap/. old.) Matematika 8. (K8-)
Gondolkodjunk egy tt! Tk.: 4. oldal Például ebből az 45 egyféle ciklikus permutációból éppen öt sima permutáció képezhető: Hangsúlyozzuk, hogy két ciklikus permutációt akkor tekintünk különbözőnek, ha van legalább egy olyan elem, amelynek a két permutációban vagy a bal, vagy a jobb oldali szomszédja különböző! 45 45 45 45 54 5 4 Feladatok. A mi iskolánkban belső használatra ilyen telefonkészülékeket gyártottak. Hány különböző legfeljebb négyjegyű telefonszám hívható, ha a) a számjegyek nem ismétlődhetnek, 4+4 +4 +4 =64 b) a számjegyek ismétlődhetnek? 4+4 +4 +4 4 = 40. a) Hányféle gyöngysor fűzhető ezekből a gyöngyökből? 6! = 70 b) Hányféle lesz a gyöngysorok száma, ha körbefuthatnak a szálon a gyöngyszemek? 5! = 0 A lerajzolt esetek nem tükrözik pontosan a valóságot, mert a rajzokat nem tudjuk átfordítani, legfeljebb csak akkor, ha celofánpapírra vagy fóliára rajzoljuk. A valóságos gyöngysorok igazából nem különböztethetők meg azoktól, amelyeket átfordításukkal (tükrözéssel) kapunk. Ezért kell osztani az esetek számát -vel. A valósághű eredmény 60, illetve 60. (Célszerű az órán nagy fagyöngyöket felfűzni, és azon megmutatni az átfordítással kapott megegyező gyöngysorokat.). Milyen autórendszámból lehet több Magyarországon? Az olyanból, amelynek mind a három számjegye különböző, vagy az olyanból, amelynek számjegyei között vannak egyenlők is? Az olyan rendszámokból van több, amelyeknek mind a három számjegye különböző. A 000 rendszámot is megengedve 000 rendszám van. Ebből olyan rendszám, amelyeknek jegyei mind különböznek, 0 9 8 = 70, ami a lehetségesnek több mint a felét teszi ki. 4. Gyermekkorunkban azt játszottuk, hogy a Szép az icipici női cipő, női cipő. Benne takarosan lépked a nő, a nő együgyű szövegű dalocskát énekeltük ugyanolyan magánhangzókkal. Például csupa ú-val: Szúp uz ucupucu núu cupú... A C P szó hiányzó magánhangzói helyére a magyar abc magánhangzóit beírva, hány különböző szót kapunk? Ezek közül hány lesz értelmes? Mivel a magyar ábécében 4 magánhangzó van, ezért összesen 4 = 96 szó képezhető, ezek közül három értelmes: cápa, cipó, cipő. 4 TEX 04. június. 8:57 (9. lap/4. old.) Matematika 8. (K8-)
Gondolkodjunk egy tt! Tk.: 4 5. oldal 5. Ismert magyar költők híres sorait adtuk meg magánhangzók, illetve mássalhangzók nélkül. Melyik esetben könnyebb kitalálni a verssorokat? (A kettős mássalhangzókat is egy -tel jelöljük.) a) T LPR M GY R, H H Z Talpra magyar, hí a haza (Petőfi: Nemzeti dal) b) T Z S N S T L NY R N P S G R Tüzesen süt le a nyári nap sugára (Petőfi: János vitéz) c) Ú A É I O Á, E I E A A A Zúg az éji bogár, nekimegy a falnak (Arany: Családi kör) d) É Í A A Ö E A E I I Á O Még nyílnak a völgyben a kerti virágok (Petőfi: Szeptember végén) A magánhangzók nélküli szövegeket általában könnyebb megfejteni. 6. A nyári hegymászótáborban húsz fiú vett részt. A tábor végén mindenki címet cserélt a többiekkel. Az állomáson mindenki kézfogással búcsúzott el a többiektől. Összesen hány címet írtak le a fiúk? Összesen hányszor fogtak kezet? Mindenki 9 címet írt le, összesen 0 9 = 80 címet írtak le a fiúk. Mindenki 9 társával fogott kezet, de csak 0 9 = 90-szer fogtak kezet, mert itt egy kézfogásnak számít az, ha például András kezet fog Bélával, illetve Béla kezet fog Andrással. 7. Az iskolánk kosárlabdacsapatának leányai a meccsek végén pacsit adnak egymásnak. Hány játékos vett részt a mi iskolánkból azon a mérkőzésen, ahol 05 pacsi csattant? Tizenöt játékos vett részt. Jelöljük a játékosok számát j-vel! Mindenki -gyel kevesebb pacsit ad, mint amennyi játékostársa van, és ezt még el kell osztani -vel, azaz j(j ) : = 05. Ebből j(j ) = 0. Melyik az a két egymást követő szám, amelynek szorzata 0? A 0-et kéttényezős szorzatokra bontva megkapjuk, hogy ez a két szám a 5 és a 4; j = 5. Behelyettesítve a kapott számot a szövegbe, azt jónak találjuk. 8. Egy szabályos hatszög egyik csúcsát pirosra, a többit kék színűre színeztük. A hatszög csúcsaiból hármat kiválasztva háromszögeket kaptunk. Melyik fajta háromszögből van több: amelyiknek van piros csúcsa, vagy amelyiknek nincs? Rajzot is készíthetünk és megállapíthatjuk, hogy ugyanannyi van a kétfajta háromszögből. Úgy is ugyanerre az eredményre jutunk, ha észrevesszük, hogy minden piros csúcsú háromszög kiválasztásánál kimarad egy olyan háromszög, amelynek minden csúcsa kék. 9. Az ötödikesek olyan lottóval játszottak, amelyben az,,, 4, 5 számokból két számra kell tippelni. a) Hány szelvényt kell ahhoz kitölteniük, hogy biztosan legyen telitalálatuk (azaz találatuk) ezen a lottón? Tízet. (5 4:=0) b) Hány szelvény kitöltése esetén lesz biztosan találatuk? Három. (Például:, ;, 4; 5, bármi) 0. Régen az autóbuszjegyeket úgy érvényesítették az utasok, hogy egy készülékbe belehelyezték, és az néhány számot kilyukasztott a jegyen. a) Egy ilyen autóbuszjegyen hányféleképpen lehet lyukat lyukasztani? 6 lyukasztás lehetséges. Az első lyuk 9 helyen lehet, a másodikat már azon a helyen nem lyukaszthatjuk, ahol az elsőt lyukasztottuk, ezért minden előző lyukasztáshoz még 8 lehetőség tartozik. De például az (, 9) és a (9, ) esetek között nem teszünk különbséget, ezért az összes esetek száma: (9 8) : = 6. b) Egy ilyen autóbuszjegyen vagy 7 lyuk lyukasztásával lehet többféle lyukasztást elérni? Ugyanannyi lyukasztást lehet elérni mindkét esetben. Kilencből két lyukat lyukasztani ugyanannyiféleképpen lehet, mint kilencből két lyukat nem lyukasztani, azaz hetet kilyukasztani. 5 TEX 04. június. 8:57 (0. lap/5. old.) Matematika 8. (K8-)