Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK RÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. a Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből úgy, hogy egy számjegyet csak egyszer használhatunk fel, tehát minden számjegynek szerepelnie kell egy adott lehetőségben? ( pont b Ezek között hány olyan szerepel, amikor a -es és a 8-as nincsenek egymás mellett? (7 pont a Egy szám akkor osztható 5-tel, ha 0-ra vagy 5-re végződik. I. eset: 0-ra végződik. 0 kkor ez a többi 9 helyen egy ismétléses permutáció a maradék számjegyekből: i 9! 880 9;, 0 0 lehetőség.!! II. eset: 5-re végződik. 8 5 Ekkor 0-val nem kezdődhet a szám, hanem a maradék 8 szám valamelyikével, ami 8-féle lehetőség. többi helyen pedig 8-féle elem állhat (a 0-át is beleszámítva. i 8! 00 8 8;, 8 8 880 lehetőség.!! két esetet összeadva 00 + 880 570 db szám készíthető, amely 5-tel osztható. ( pont b Először számoljuk ki, hogy hány olyan eset van, amikor egymás mellett szerepelnek, tehát: ( 8 vagy ( 8, így valójában egy kétjegyű számról beszélünk. i 8! 00 I. eset: ha 0-ra végződik 8;, 70lehetőség.!! ( pont II. eset: ha 5-re végződik (és nem áll 0 az első helyen. i 7! 500 7 7;, 7 5880 lehetőség.!! ( pont Tehát 70 + 5880 00 esetben áll egymás mellett a -es és a 8-as, így 570 00 50 db szám esetén nem állnak egymás mellett. ( pont Összesen: pont
Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. Legyen adott a koordinátasíkon a következő három pont: ( ; ; B( 5; és C( ;0. djon meg egy olyan pontot koordinátái segítségével, amelyre teljesül, hogy a + B 0 (5 pont b + B + C 0 ( pont c Milyen nevezetes pontjai a három pont által meghatározott háromszögnek az a és b pontban kapott pontok? ( pont a felezőpont definíciója alapján: ( ; y ( 5 ; y + B ( ; y ( 0;0 B 0 y 0 ( pont y keresett pont: ( ; b súlypont definíciója alapján: ( ; y ( 5 ; y ( ; y + B + C ( ; y ( 0;0 B C 0 0 y 0 y ( pont ; + B + 5 ; ; tehát az B felezőpontja. ( pont + B + C + 5 + + 0 ; ( ; tehát az BC háromszög súlypontja. ( pont Összesen: pont keresett pont: ( c (
Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a 0 + + 8 0 (9 pont b 0 + + + 8 0 ( pont a 0 + + 8 0 ( 5 ( + ( 7( + 0 I. és V. eset, ha < vagy 7 0 + + 8 0 8 0 ellentmondásra jutottunk. ( pont II. és IV. eset, ha < vagy 5 < 7 0 + 8 0 9 0 8 0 megoldva :, ± 85, ÉT;, ÉT ( pont III. eset, ha < 5 + + 0 + 8 0 8 0 ellentmondásra jutottunk. ( pont megoldás tehát, az eseteket összegezve: b 0 + + + 8 0 85 + 85 ; Mivel két abszolútérték összege csak akkor 0, ha mindkettő 0, ezért vizsgáljuk a zérushelyeket, amelyek a következők: 5 7 és megállapíthatjuk, hogy a két abszolútérték nem lesz egyszerre 0 Tehát nincs olyan valós, amely kielégíti az egyenletet. Összesen: pont z egész számok halmazán tekintsük a következő tulajdonságú halmazokat: { a - mal osztható egész számok } { a - gyel oszthatóegész számok} { a- gyel oszthatóegész számok}. Hány olyan egész szám található 895 és 0 között, amely a megadott halmazok közül a pontosan egynek eleme; ( pont b pontosan kettőnek eleme; ( pont c mindháromnak eleme; ( pont d egyiknek sem eleme? (5 pont
Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. Felírható pontosan 7 db 895 és 0 közé eső számtani sorozat, melyeknek differenciái rendre: ; ; ; ( ; ( ; ( ; (. Tehát ezek alapján kiszámolhatóak az elemszámok. Fontos, hogy a 895 és a 0 nem esnek bele a vizsgált halmazokba! esetén: 00 897 + ( n n 7 7 esetén: 008 89 + ( n n 79 79 esetén: 00 90 + ( n n 0 0 esetén: 900 + ( n n 9 9 00 esetén: 9 + ( n n 980 980 9 + n n 5 980 9 + n n 9 esetén: ( 5 esetén: ( 9 a + + + 7 + 79 + 0 8 50 + 7 77 ( pont 77 db egész szám szerepel a 895 és a 0 között, amelyre egy tulajdonság igaz. b + + 9 + + 5 7 ( pont db egész szám szerepel a 895 és a 0 között, amelyre két tulajdonság igaz. c fenti számításokból adódik, hogy 9 db egész szám szerepel a 895 és a 0 között, amelyre három tulajdonság igaz. ( pont d Szita formula alapján számolva: + + + 7 + 79 + 0 9 5 + 9 0 0 darab egész szám van a 895 és a 0 között, amely rendelkezik valamelyik fenti tulajdonsággal. 0 895 7 db szám van a két szám között. 0 50 Tehát 50 db szám van a 895 és a 0 között, amelyre egyik tulajdonság sem igaz. Megjegyzés: Ezeket Venn-diagrammal is meg lehet adni az elemszámok kiszámítása után, de a külső elemszámra itt is mindenképpen alkalmazni kell a szita-formulát. z a, b, c feladatrészekre a válaszok pedig egyszerű összeadással kijönnek. a 55 + 70 + 5 77 b 8 + + c 9 pontszám természetesen ezen módszer alkalmazása esetén is jár. Összesen: pont Maimális elérhető pontszám: 5 pont
Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. 5 Hat lány az alábbi mennyiségű órát tölti a konditeremben hetente: nna Klaudia, Saci Kata, Dóri Judit Tudjuk még azt is, hogy a harmonikus átlag:,8. a Számítsa ki, hogy Saci mennyi időt tölt az edzőteremben egy héten! ( pont b Mekkora a szórás és a medián? z eredményt két tizedesjegyre kerekítve adja meg! ( pont c Ábrázolja hisztogramon a lányok konditerem-látogatási szokásait! ( pont d Mennyivel változik a számtani átlag, ha Saci háromszor annyi időt tölt edzéssel, mint eddig? ( pont a harmonikus átlag kiszámítási módja az értékek behelyettesítésével:,8 + + + + +,, Rendezve: + + + + +,5,5,, 0,8 Saci 0,8 órát tölt az edzőteremben egy héten. 5 ( pont b y, 9 ezt felhasználva a szórás: (,9 + (,,9 + ( 0,8,9 + (,,9 + (,9 + (,9 medián jelen esetben a két középső elem átlaga: 7 5 0 Konditerem- látogatások. 0.8. nna Klaudia Saci Kata Dóri Judit,75 ( pont, +,7 ( pont c ( pont d +, +, +, + + z új átlag:, 7 ( pont kettő közötti különbség pedig:,7, 9 0,7 Összesen: pont
Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. a Ábrázolja koordináta-rendszerben az alábbi függvényeket! f : y 0 + 0 g : y + 0 ( pont b Számítsa ki a két függvény által közbezárt területet! ( pont c Mekkora lesz annak az alakzatnak a térfogata, melyet az g függvény és az tengely által közbezárt terület tengely körüli forgatásával kapunk? Forgástest térfogatát a f ( képlet segítségével kapjuk meg. ( pont a ( pont b konkáv parabola egyenletéből a másikat kivonva megkapjuk azt a függvényt melyet -- ig integrálva a keresett területet kapjuk eredményül. [ + 5 7 ] + 50 ( + 0 88 + 0 7 ( pont c f ( 7 5 0 képletbe behelyettesítve és a Newton-Leibnitz formulát alkalmazva: 5 58 + 80 + 7 08 5 ( pont Összesen: pont
Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. 7 z alábbi telek sarkaiban J és K pont. köztük lévő legrövidebb út méter. kert középpontosan szimemtrikus a JK felezőpontjára. kert szélessége szintén méter, oldalai egész számú méterek. K-nál, -os szögben van a telek sarka. a Mekkora a telek kerülete és területe? (8 pont b KH, IL, JM, és NO oldalak derékszögű háromszög alakú területek átfogói. Ezekbe és az ismeretlen négy pont által bezárt területbe kék virágokat ültetünk. Mennyi pénzt kell költeniük, ha a kimaradt területekre fehér virágokat akarnak ültetni és egy zsák mag 5 Ft-ba kerül és m - re elég? (5 pont c Milyen magas lesz a kerítés, amivel a telket szeretnénk körbekeríteni, ha m alapanyag van hozzá? ( pont a Behúzva a - hosszúság és szélesség jelölő segédvonalat keletkezik db egybevágó derékszögű háromszög. Melynek szögei 5, illetve,87 -osak. sinusokat kiszámolva 5 -öt és -öt kapunk, amelyből, és 5 a háromszög oldalai. 5 Mivel a kert szélessége méter, így értéke minimum és maimum. Ábra elkészítése: ( pont z F F így 8 5. z OKJ háromszögre felírva a ithagorasz-tételt kijön, hogy OJ méter és F F méter. Így már ki tudjuk számítani a területet, amely: T ( + ( 5 + + 5 m ( pont kerület pedig: 5 + m ( pont + 5 78m b keresett területek összege: ( ( 78 5 990 Tehát 9 90 Ft kell a területekre. c + + ( 5 ( pont ( pont,5 m magas lesz a kerítés. ( pont Összesen: pont 7
Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. 8 Egy csúcsán álló négyzet alapú gúlába színültig víznek látszó folyadékot öntünk. gúla R alapjának köré írható körének sugara R. gúlába beledobunk egy sugarú fémgolyót. a víz mekkora része szorul ki, ha a magasság M R? (5 pont b Ha a gúla oldaléle 0 méter, az alapjának oldala méter, akkor milyen hosszú lesz az azonos térfogatú kúp alkotója? ( pont c Mekkora a gúla, és mekkora a kúp felszíne? (5 pont R R m a gúla térfogata:, a golyóé: m R gúla: R R ; golyó: 8 Tehát a víz -e folyik ki. ( pont ( pont b hol m az oldallap magassága: m 0 99 ( pont hol m a gúla magassága: m ( 99 98 ( pont 98 r 98 Vgúla Vkúp r r a + 98 a 98 + ( pont 99 c gúla + ( 99 +,79 ( pont kúp r + r r + m + 99 + 9, ( pont Összesen: pont 8
Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. 9 Niki néni és Levi bácsi takarítanak. Három féle tisztítószerük van. Egy 5%-os, egy 7%- os és egy %-os töménységű. hígításhoz vizet használunk. a Mennyi vízzel kell hígítanunk őket külön-külön, ha %-os oldatot szeretnénk? (5 pont b Niki néni és Levi bácsi úgy döntenek, hogy felhasználják a tisztítószereket. Niki néni dolgozik három órát, majd Levi bácsi egyet. Mennyit dolgozzanak együtt, ha különkülön, illetve 8 óra alatt végeznek? ( pont c Levi bácsi nagyon elfáradt ezért segítsen neki megoldani a kisfia házi feladatát! Ha egy kétjegyű számot elosztunk számjegyei összegével hányadosul -et, maradékul 9- et kapunk. Ha viszont e számot számjegyeinek szorzatával osztjuk el, akkor hányadosul -et, maradékul 5-öt kapunk. Melyik ez a szám? (5 pont 0, 0,7 0,5 víz kell 0,5 + 0 0, 0, 0, 0,5 0,8 víz kell 0, + 0 0, 0, 0, nem lehet erősebbre hígítani (5 pont a I. 0,7 + 0 ( 0, 0, 8 b II. ( 7 III. ( Niki Levi + 8 óra alatt óra alatt 8 + 5 maradék 9 munkát együtt csinálják meg. ( pont ( pont Egy óra alatt 7 munkát csinálnak meg együtt, tehát a munka 9 részét óra 7, perc alatt végzik el. c ( + y + 9 0 + y ( pont y + 5 0 + y y y 0 5 0 5 y ( pont 0 5 0 5 + + 9 0 + Rendezve: 5 + 5 0 ;, 5, de mivel csak egész szám lehet megoldás, ezért:, y 9. keresett szám a 9. ( pont próbaérettségi során szerezhető maimális pontszám: 5 Összesen: pont Maimális elérhető pontszám: 9