1. Általános bevezetés a biológiai folyamatok matematikai modellezéséről. Vezérfonalak, általános elvek, modellalkotás, számítógépes adaptáció és tesztelés Prof. Szűcs Ervin jegyzete alapján (http://web.axelero.hu/eszucs7/szucs.htm) Előszó Mindennapi és minden irányú (különösen tudományos) gondolkodásunk tudatosan vagy ösztönösen modellekre épül. Az egyes szaktudományok is lényegében az objektív világ meghatározott szempontok szerinti modelljei. Aki nem érti a modellezett-modell viszonyát, az könnyen elfeledkezhet arról, hogy ez nem csak hasonlóságot, hanem különbözőséget is jelent. Fontos szerepe van a tanulás folyamatában is a hasonlóságnak, s erre a felsőoktatásban tanulóknak is különös figyelmet kell fordítaniuk. Ne feledjük Szent-Györgyi Albert szavait: A diák csak akkor tud megérteni egy új fogalmat, egy új jelenséget, ha hasonlítani tudja valamilyen általa már ismert fogalomhoz, jelenséghez és azt is megérti, hogy az új miben különbözik a már ismert régi -től. Ezt az utat követi a műszaki, a természet- és a társadalomtudományok kutatója is. A már ismerttel való megegyezésből indul ki a vizsgálat és a már ismerttől való eltérés felismerése, az ellentmondás feloldására törekvés váltja ki az új ismeretet (fölfedezést, találmányt). A világ tudományos megismerésének forrása végső soron a tapasztalat. De csak a tapasztalat nem elegendő arra, hogy a jelenségeket megismerjük, céljaink érdekében tudatosan fel is tudjuk használni. [ A tudomány kísérlet arra, hogy a kaotikus, sokfajta érzéki tapasztalatot valamilyen egységes gondolatrendszerrel összefüggésbe hozza. Albert Einstein] A végtelen sok tulajdonsággal rendelkező egyedi események általános, tömör jellemzését az ún. matematikai modell adja. A matematikai modellen a folyamat belső törvényszerűségeit tükröző összefüggéseket értjük, az adott jelenségre vonatkozó egyértelműségi feltételekkel együtt. Összetett jelenségek, folyamatok esetén igen gyakran nem lehet egzakt matematikai megoldásra jutnunk. Szükség van arra, hogy méréssel határozzuk meg a folyamat jellemzői 1
közötti összefüggéseket. Ilyenkor válik nélkülözhetetlenné a hasonlósági módszer. A hasonlósági módszer A folyamatjellemzők nagy száma miatt szinte végtelen sok változat mérése látszik szükségesnek. Minden egyes rendszer látszólag különbözik a többitől, és így mindegyiket külön kellene mérni. Sok esetben lehetőség sincs közvetlen mérésekre. A hasonlósági módszer választ ad: Milyen jellemzőket kell mérni? A mérési eredményeket milyen formában kell feldolgozni, hogy azok más rendszereknél is felhasználhatók legyenek? Hogyan lehet laboratóriumi vagy félüzemi mérésekből következtetni az adott üzemi viszonyokra? A hasonlóság fogalmának és alkalmazásának egzakt tárgyalása a kísérleti módszerek tökéletesítéséhez is hozzásegít, de ezen túlmenően interdiszciplináris jellege is van. A rendszerek hasonlóságának szemlélete, a közös (általános érvényű) tulajdonságok felismerése megkönnyíti a tanulást, tanítást, tájékozódást és egyben a különféle szakterületek közötti kommunikációt is. A modell fogalma A tudomány nem próbál magyarázni, alig is próbál interpretálni, a tudomány főként modelleket állít fel. Neumann János Mit értünk modellen? a latin modus, modulus szó mértéket, módot, módozatot jelent A mindennapi életben azonban ennél jóval szélesebb körű az értelmezése. A modell szóval jelölik például azt a rendszert, amely egy másik rendszerben (a 2
modellezettben) végbemenő jelenséghez hasonló jelenséget valósít meg; 1. egyes termékek mintáit (ruhamodell, gépmodell); 2. közlekedési eszközök kicsinyített másolatát (pl. Matchbox); 3. épületek geometriailag hű kisebbítését, makett; 4. az olyan szemléltető eszközöket, amelyek valamely nagyon nagy (vagy nagyon kicsiny) objektum oktatási bemutatására szolgálnak (pl. a hidrogénatom modellje, vagy a planetárium). Értelmezésünk szerint a modell mindig csak valamihez viszonyítva modell, és ebbe a viszonyításba nemcsak a szempontok (mi szerint?), hanem a hierarchia szint (milyen mélységig?) is beleértendő. Mi is akkor a modell? minden modell információt adó rendszer [De: nem minden információt adó rendszer modell!] A modell tehát rendszer: célja az emberi megismerési folyamat elősegítése, újabb ismeretek szerzése; egymással kölcsönhatásban lévő részekből (a modell elemeiből) összeálló (összeállított) szerves egész; meghatározott környezetével (az ún. modellezettel) hasonlósági összefüggésben van, nélküle nem is értelmezhető. A hasonlóság szerepe az emberi gondolkodásban A hasonlóság fogalma az emberi gondolkodásban rendkívül fontos helyet foglal el. Szigorúan véve a világ minden jelensége (minden rendszere) különbözik egymástól, nem lehet 3
két azonosat találni közöttük. De ugyanaz a rendszer sem azonos önmagával, ha két különböző időpontban vizsgáljuk. Ebből arra a következtetésre lehetne jutni, hogy a végtelen sok, egymástól különböző jelenség megismerése lehetetlen. Valójában ez is lenne a helyzet, ha az ember csak arra törekedne, hogy egy-egy jelenséget teljességében írjon le. Az emberi gondolkodás alapja azonban az általánosítás, az absztrakció. Az ember a világ megfigyelése során igyekszik felismerni az egyes jelenségek közös tulajdonságait. Még erősebb az absztrakció a fogalmak megalkotása során, a fogalomalkotás nem más, mint halmazba rendezés. A fogalom egyben a halmaz elemeinek közös tulajdonságát is jelenti. Hasonlóság Halmazba rendezni kétféleképpen lehet: 1. felsorolni az adott halmazba tartozó elemeket, vagy 2. rögzíteni azokat a kritériumokat, amelyek alapján bármiről eldönthető, hogy a halmazba tartozik vagy sem. Különféle dolgoknak (jelenségeknek) lehetnek közös tulajdonságaik és eszerint egy halmazba tartoznak. Különféle dolgok (jelenségek) lehetnek egymáshoz hasonlók. Ebből következik, hogy értelmetlen dolog általában hasonlóságról beszélni, mindig hozzá kell tenni: milyen szempont (ill. milyen tulajdonságok) szerinti hasonlóságról van szó. Nem mindig szükséges (általában nem is lehetséges) a modellezés során a vizsgált halmaz elemeinek valamennyi tulajdonságát figyelembe venni. A súlyosabb tévedések elkerülése érdekében ezért mindig rögzíteni kell azt az állapotteret, amelyre a hasonlóságot értelmezzük. Analógia 4
Az analógiának az emberi gondolkodásban mindig is kitüntetett szerepe volt. A klasszikus fizika megalkotói számos példát mutattak erre. Csak vázlatosan: Kepler szinte vallomásszerűen kinyilvánítja, hogy különösen szeretem a hasonlóságot, a természet titkainak legfőbb tanítóját.[ Igaz, egyes analógiái ma már mosolyt fakasztanak, mint pl. az, hogy a bolygók saját mozgásra képesek, mint az élőlények, tehát lelkük van.] Descartes az élőlényeket is mechanikai (gép) analógiával magyarázza (pl. az idegek kötelek, amelyek harangot szólaltatnak meg). Mai szemmel naivnak tűnő hasonlatai pozitív szerepet is játszottak, gondoljunk csak a szem és a távcső analógiájára, a biológiai minta alapján készített technikai eszközre. Newton vizsgálatait arra az axiómájára alapozza, hogy a természet hasonló jelenségeinek hasonló okai vannak. Korának optikája két egymással akkor ellentétes analógiára, a fény és a testek, illetve a fény és a hang hasonlatosságára épült. Gyakran használták a folyadékáramlás szemléletességét. Ennek analógiájára magyarázta Ohm az elektromos áramot, Fourier a hőáramot. A különféle fluidumok elmélete hosszú időn keresztül uralta a természettudományokat. Maxwell már tudatában volt a folyadékáram és az elektromos áram különbözőségének és előbbit csak az utóbbi szemléltetésére használta. Egyértelműen kijelentette, hogy fizikai analógián két tudományterület törvényei közötti olyan részleges (!!!) hasonlóságot értek, amelynek alapján az egyik a másiknak illusztrációja lesz. Az utóbbi évszázad során a természettudomány minden területén alapelvvé vált az analógiák kutatása, a különféle jelenségek közös törvényeinek kutatása. Egységes elmélettel magyarázhatók (ma már) a különféle rezgések, legyen az elektromágneses hullám, valamely gép vagy hang rezgése. A statisztikus fizika módszerei egyaránt alkalmazhatók különféle (nagy elemszámú) rendszerek leírására. Néhány éve a fizikai analógiák a biológiai evolúció modellezésében is segítenek. A korábban különbözőnek tekintett energetikai kölcsönhatások Lars Onsager nyomán az energodinamika egységes módszerével tárgyalhatók. Folytathatnánk tovább a példák egész sorával, a kvantumfizika eredményeivel, a térelmélet 5
egységesítésével. De ilyen analógiás irányzatoknak kell tekintenünk a különféle interdiszciplináris törekvéseket is (pl. a kibernetikát vagy az ún. rendszerelméletet). A tudomány nemcsak felhasználja az analógiákat, hanem foglalkozik a jelenségek hasonlósági feltételének megfogalmazásával is. A XX. században a jelenségek hasonlóságával foglalkozó tudomány két irányban fejlődött tovább: egyenletanalízis: a jelenségek matematikai leírása, dimenzióanalízis: az adott jelenséget jellemző változók dimenziójának analízisére épült. Az egyenletanalízis irányzata vezetett el a hasonlósági módszer mai értelmezéséhez. A hasonlósági reláció A modell és a modellezett közötti kapcsolat hasonlósági reláció. Az előbbiek szerint a modell és a modellezett mindig csak valamilyen meghatározott szempontból hasonló, más szempontok szerint viszont különböző. Így a modell mindig csak részleges lehet. Az ún. teljes modell (olyan, ami minden szempontból hasonló) csak egy van: maga a modellezett. A minden szempontból hasonlóság ugyanis azonosságot jelent. Ezért kell a hasonlósághoz mindig hozzátenni, hogy azt mely tulajdonságokra vonatkoztatjuk és ezzel - implicite - azt is megjelölni, hogy mely tulajdonságokban van különbözőség. Ellenkező esetben könnyen a káros analógia hibájába eshetünk. Ennek nagyon leegyszerűsített, de szemléletes bemutatására tekintsük a 4 betűs (értelmes) magyar szavak halmazát. Értelmezzünk ezen a halmazon egy relációt, amely azokat a szavakat köti össze, melyek legfeljebb csak egy betűben különböznek egymástól. Ez a reláció reflexív és szimmetrikus. Tekinthető-e ez (az előbbiek során felsorolt követelményeknek eleget tevő) hasonlósági relációnak? Például: a HOLD - HORD - MORD - MARD - MARS szavak közötti láncban a szomszéd párok között fennáll az előbbi reláció. De: ez a reláció 6
nyilvánvalóan nem tranzitív, s így a lánc elején álló HOLD és a végén lévő MARS szavak már egy betűjükben sem egyeznek meg. Lehet-e hasonlóságnak tekinteni azt a relációt, amelynek páronkénti alkalmazásával eljutunk a teljes különbözőségig? A hasonlósági reláció esetében ilyen lánc-torzulásnak nem szabad előfordulnia. Ezért pontosabban kell fogalmaznunk: nem elegendő megjelölni, hogy legfeljebb csak egy betűben különbözik, hiszen így nem rögzítettük a betű helyét. Az egyes szavakat ugyanis az jellemzi, hogy melyik helyen milyen betű áll. A különböző helyek különböző jellemzőket jelentenek. A négybetűs szavaknak négy jellemzőjük van, úgy tekinthetők, mint négy tulajdonsággal rendelkező elemek. A tulajdonság: hányadik betű a szóban. A tulajdonság értéke: melyik betű (ezen a helyen!). A hasonlósági feltétel csak úgy fogalmazható meg, ha megmondjuk, hogy mely hely(ek)en álló betű(k)ben különbözhet két szó. Így az előbbi feltételt így kell megfogalmazni: hasonlónak nevezünk két szót, ha (például) csak az első betűjében különbözik. Ilyen értelmezésben a HOLT - FOLT -VOLT - BOLT szavak egymáshoz hasonlóak. Könnyen belátható, hogy az így definiált reláció már tranzitív is, tehát ekvivalencia reláció. Az ekvivalencia reláció A hasonlósági relációnak tehát ki kell elégítenie az ekvivalencia reláció követelményeit. Ellenkező esetben eljuthatunk odáig, hogy a modellezett modelljének a modellje már nem modellje a modellezettnek! Ez a káros analógia gyökere. A hasonlósági szempontokat tehát egy adott feladat (modellezés) esetén előre rögzíteni kell. De hogy melyek ezek a szempontok, az mindig a feladat jellegétől, vagyis attól függ, hogy a modellnek miben kell hasonlónak lennie a modellezetthez. 7
A hasonlósági szempontok főbb típusai: 1. szerkezeti (vagy strukturális) 2. működési (vagy funkcionális) és 3. formai (vagy geometriai, tágabb értelemben: topológiai) hasonlóság. Tudatában kell lennünk annak, hogy ugyanazon rendszerhez a struktúra vagy a geometria vagy a funkció szerint más-más rendszerek hasonlóak: a strukturális, a funkcionális és a geometriai hasonlóság halmazai egymásnak nem részhalmazai. Lehet két rendszer geometriailag hasonló (pl. egy gépkocsi és annak makettje), anélkül, hogy funkcionálisan hasonlók legyenek. Lehet két rendszer funkcionálisan hasonló (pl. egy hőcserélő és annak villamos modellje), anélkül, hogy geometriailag hasonlók legyenek. A modellek csoportosítása A modellépítés még a nagyon egzakt tudományok területén is magas fokú kreatív tevékenységnek számít, művészetnek, nem pedig kész eredményeket felhasználó folyamatnak (Quade) A modellek csoportosításának kiterjedt irodalma van. Még ha csak a technikai rendszerek modelljeit akarnánk felsorolni, akkor is megoldhatatlan feladatra vállalkoznánk. Gondoljunk csak arra: hányféle technikai rendszer van. A fontosabb anyagi modellek A geometriai modell az eredeti formáját, térbeli elhelyezkedését tükrözi. Az ilyen jellegű geometriai modelleket helyesebb makettnek nevezni. A geometriai modellt is felhasználják a műszaki életben, elsősorban a tervezésben. Bonyolult elrendezésű építmények, gyárak vagy gépcsoportok térbeli elhelyezkedését előbb geometriai modellen készítik el. Az ilyen modellezést térbeli tervezésnek is nevezik. A fizikai modell az eredetivel megegyező fizikai természetű jelenséget megvalósító rendszer. Már többször utaltunk arra, hogy az eredeti és a modell hasonlóságának feltétele, hogy 8
matematikai leírásuk (dimenzió nélküli matematikai modelljük) megegyezzen. Az eredetinek azonban nem minden vonatkozása, tulajdonsága fejezhető ki - jelenlegi ismereteink szerint - matematikai formában. Ha nem tudjuk a modellezettben végbemenő folyamatok minden (az adott szempontok szerint) lényeges összefüggését egzakt matematikai formában megfogalmazni, akkor csak az eredeti folyamatot szabad a modellben is megválasztani. A természetes modell a természetben már meglevő objektum, amelyet különleges változtatás nélkül felhasználnak más objektumok tulajdonságainak meghatározásához. Természetes modellnek tarthatjuk a természetben végbemenő folyamatok és jelenségek adatainak általánosítását (a hasonlósági módszer segítségével, a megfelelő kritériumok alapján). De a természeti jelenségek egyszerű megfigyelése is modellezésnek tekinthető, ha a tapasztalatokat felhasználjuk akár természeti, akár technikai folyamatok előrejelzésére. Valamilyen tárgy azzal válik modellé, hogy az ember funkciót ad neki. (Az ember egyes biológiai funkcióinak vizsgálatakor gyakran állatok a modellek.) A gondolati (eszmei) modellek Az emberi logika termékei. Módszerüket, formájukat illetően szubjektívek, de tartalmukat nézve objektívek. Nélkülözhetetlen elemei a megismerés folyamatának. Kétféle eszmei modellfajtát különböztetünk meg. A fogalmi modell a közvetlen, érzéki tapasztalatok feldolgozása az absztrakt gondolkodás segítségével. Feladata a kísérletek, tapasztalatok értelmezése, a hipotézisek ellenőrzése, illetve újabb hipotézisek alkotása. Jelentős eszköze a gondolati kísérlet. Ennek során ismert természettörvények felhasználásával megalkotott fogalmi modellünket gondolatban meghatározott körülmények közé helyezzük és végigvezetjük várható viselkedését. Ilyen gondolati kísérletnek kell megelőznie minden tényleges kísérletet, ha el akarjuk kerülni, hogy durva hibákat kövessünk el. 2. A jelképes modellek is az empíria (vagy a kísérlet) adatait illetve feladatait fogalmazzák meg, 9
de valamilyen jelrendszerben. A mérési eredmények rendszerint táblázat, grafikus ábrázolás vagy szám- (jel-) rendszer formájában adottak. Ezek közvetlenül a tudományos feldolgozás, általánosítás céljára alkalmatlanok. Van egy kínai közmondás: Egy kép felér 10000 szóval. Az előbbi kínai közmondást átalakítva: Egy egyenlet felér 10000 képpel. Jelrendszerek 1 képmás, 2 geometriai, 3 metafora szimbolikus, 4 ikon, 5 szöveg, 6 jelkép index, 7 lenyomat, 8 művészi A társadalom nem lehet meg jelrendszerek nélkül. A verbális jelkészlettel szemben a matematikai jelekkel való leírás - amikor az egyáltalában lehetséges - egyértelmű és ellentmondásmentes. A rendszerek hasonlóságának definíciójából következik, hogy a rendszerek modelljeit is célszerű a matematikai modellek szerint csoportosítani. A matematikai modell alakja szerinti csoportosítás elvonatkoztat a konkrét jelenségtől, de éppen ez segíti elő, hogy egy-egy feladat megoldásához a legkülönfélébb jelenségek tanulmányozásából szerzett ismereteket felhasználhassuk. 10
Számítógépes modellek Külön említjük a modellek körében a számítógépeket. Felhasználásuk modellezési feladatokra a mikroelektronika és a számítástudomány fejlődésének köszönhetően egyre szélesebb körökben terjed. A számítógép széles körű - így modellként való - felhasználását az teszi lehetővé, hogy algoritmikus gép: vele bármilyen algoritmizálható feladat megoldható amennyiben ismerjük egy folyamat menetének algoritmusát, abból (elvben) megalkotható a számítógépes program, amelynek futtatásával az univerzális számítógép az adott folyamat modelljévé válik. A számítógépes modellezést szokás (számítógépes) szimulációnak is nevezni. Számítógépes szimuláció numerikus, amelynek során a modellezett kvantitatív jellemzőit, illetve azok változását határozhatjuk meg. Ez lehet a mérési, megfigyelési, statisztikai adatok feldolgozása (értékelése), a matematikai modellből kialakított számítási modell megoldása vagy - a kísérletekkel összekapcsolva - a mérési folyamat irányítása; ikonikus, amelynek során a modellezett rendszer formájára, szerkezeti kapcsolataira kapunk vizuálisan megfigyelhető információkat. Speciális terület az ipari formatervezés, de ide sorolható az új konstrukciók formájának és szerkezetének kialakítása, illetve előzetes ellenőrzése; verbális, amellyel a modellezett rendszer szavakban kifejezhető kapcsolatait tárjuk fel; akusztikai, amellyel bizonyos hanghatásokat ellenőrizhetjük illetve változtathatjuk. Ilyen lehetőségeket is felhasznál a művészet, pl. elektronikus zene komponálására, régi hangfelvételek feljavítására, de fontos eszköz a zajvédelmi berendezések kialakítása, termek akusztikai tervezése során; a művész eszközként használja a számítógépet, képi vagy zenei alkotások létrehozására, s így itt 11
már szigorúan véve nem algoritmikus, hanem intuitív folyamatról van szó. Fontos szerepe van a számítógépes szimulációknak a nem minden lépésükben algoritmizálható problémák (ilyenek pl. a különféle társadalmi jelenségek) vizsgálatában. A gép-ember kapcsolat interaktívitása lehetővé teszi, hogy a nem algoritmizálható csomópontokban az emberi közbeavatkozástól függően folytassa tovább a gép az algoritmust. Így a döntést igénylő lépéseket az ember teszi meg, és a szimuláció során előre ellenőrizheti döntésének várható következményeit, (szükség esetén) más döntési variációk hatását is vizsgálhatja. Ne feledjük azonban, hogy a legfejlettebb számítógép csak segíti és nem helyettesíti az embert. A kvantitatív modell is csak a rendszer tulajdonságainak egy részéről tájékoztathat. Ezért a számítógépes modellezés is legfeljebb csak döntés-előkészítő lehet. Szakértői rendszerek, a heurisztikus modell Az utóbbi időkben egyre jelentősebb szerepe van a döntés-előkészítésben a számítógépnek. A mesterséges intelligencia (rövidítve AI, az angol Artificial Intelligence névből) kutatások eredményei alapján hozták létre az ún. szakértői (expert) rendszereket). Ezek a rendszerek az emberi döntéshozó folyamatot szimulálják (modellezik) számítógépen. interaktív kommunikáció a rendszer részei: 1. adatbázis (adatbank) - adatok (tényeket, összefüggéseket), - ha-->akkor szabályok (heurisztikus következtetéseket) 2. következtetőmű - a kiindulási adatokból a szabályok összekapcsolásával valamilyen (a témára vonatkozó) következtetésre jut A problémamegoldás módszere: keresés, de a deduktív rendszerekkel szemben nem pusztán formállogikai következtetésekkel, hanem ún. heurisztikus vezérléssel: 12
- a beépített szabályok révén a legvalószínűbb megoldások irányában keres, - a következtetésekben tapasztalati tényeket is figyelembe vesz és minden következtetést az ember számára elfogadható formában magyaráz meg. Amennyiben a fölhasználó a választ nem fogadja el, további kérdéseket tehet fel. A szakértői rendszer a tapasztalatokra épül (nem helyettesíti, hanem kiegészíti az emberi okoskodást). Szakértői rendszerek, orvosi A szakértői rendszerek között az egyik legelterjedtebb az orvosi. Ebben az adatbank a betegségek tüneteit (mérhető jellemzőket, pl. vérnyomás, testhőmérséklet, pulzus és szubjektív - a beteg által érzett - érzéseket) tartalmazza, valamint ezen tünetek összefüggéseit. A következtetőmű abban segít, hogy bizonyos tünetcsoportok alapján a lehetséges diagnózisokat az orvos megtalálja. Mint minden szakértői rendszer, az orvosi is mindig több választ (itt: diagnózis változatot) ad meg; ezek közül kell a probléma megoldónak (itt: az orvosnak) kiválasztania a szerinte megfelelőt. Ezek után a lehetséges terápia változatokra is javaslatot ad a rendszer. A modellezés módszere Velünk született tulajdonságunk, hogy a dolgok kutatását ismertebbekből kiindulva folytassuk a kevésbé ismertek irányába. (Dante) Feladat és probléma Az alkotó emberi tevékenység feladata az állapotváltoztatás, amelynek során egy rendszert valamely meglévő (az igényeknek nem megfelelő) kezdeti állapotból egy (célszerűbb) végállapotba kell eljuttatni. Azon lépések egymás utáni sorozata, amely a kezdeti és a végállapotot összeköti: a megoldás útja. A kezdeti állapotban mindig valamilyen feszültség van a meglévő lehetőségek és az igények között. A végállapotnak ezt a feszültséget kell feloldania. 13
Megoldási út - általában - több is lehetséges, többféle módon lehet a kezdeti állapotból a célállapotba eljutni. Kétféle típust különböztetünk meg: Feladat, ha ismert a meglévő állapot, annak ellentmondásai, az igények és a lehetőségek közötti feszültség, (általában) a célállapot és (algoritmizált) a teljes megoldási út. Probléma, ha nincs (teljes) ismeretünk a meglévő helyzetről és/vagy a megoldás útjáról és/vagy a célállapotról. A problémamegoldás folyamata A körfolyamat azt is jelenti, hogy minden megoldott probléma egyben - előbb-utóbb - egy új probléma forrása is. A megoldás útja A megoldás útja olyan gráffal szemléltethető, amelynek csúcsai események (a megoldás közbenső eredményei, döntési pontok), élei pedig tevékenységek (a megoldás útjának egyes szakaszai). Minden feladat- vagy problémamegoldás a helyzetelemzéssel kezdődik. 14
Ennek során fel kell tárni a vizsgált rendszer jellemzőit, a meglévő állapot kritikus elemeit (az igények és a lehetőségek ellentmondásait, a feltételeket, a kötöttségeket stb.). Figyelmet kell fordítani egyes kvalitatív jellemzőkre is. A rendszerelemzés eredményeként létre kell hoznunk a vizsgált rendszer modelljét. A modellnek tükröznie kell nemcsak a vizsgált rendszer szerkezetét, folyamatait, hanem a meglévő állapot okozta feszültségeket is, amelyeket a megoldásnak fel kell oldania. Megoldási módszerek Analitikus módszer A feladatmegoldás legkevésbé költséges módja. Alkalmazásának feltétele mindössze az, hogy ismerjük a rendszer matematikai modelljét, és létezzen ennek zárt formában előállított megoldása az adott egyértelműségi feltételek mellett. Ezek szerint magától értetődőnek látszik, hogy az analitikus megoldást tekintsük az optimális módszernek. A legtöbb rendszer azonban annyira bonyolult, hogy a felírt matematikai modell közvetlenül nem integrálható, vagy csak olyan egyszerűsítésekkel, amelyek - miatt megfelelő kísérleti tapasztalatok nélkül - a megoldást már nem tekinthetjük megbízhatónak. Csak az előzetes matematikai elemzés adhat támpontot ahhoz, hogy (a kísérleti megoldás során) milyen empirikus függvénytípust keressünk a függő és független változók közötti kapcsolatra. Összefoglalva az analitikus megoldás legfontosabb lépései: a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, a matematikai modell megalkotása, a matematikai modell transzformációja (ill. egyszerűsítése) megoldásra alkalmas formára, a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása, a megoldás ellenőrzése. 15
Numerikus módszer Ezek olyan eljárások, amelyek során a rendszer matematikai modelljét numerikus számításokkal oldjuk meg. A módszer lényege, hogy a differenciálást vagy az integrálást algebrai összefüggésekkel helyettesítjük, és az ezekkel végzett műveletek eredményeképpen kapjuk a megoldást. A numerikus megoldás megbízhatósága természetesen függ a matematikai modell megbízhatóságától. Minél kisebb intervallumokkal dolgozunk, annál több függvényértékkel számolunk, és ezzel csökkenthetjük a diszkretizálásból eredő hibát. Ugyanakkor azonban növeljük a számítások mennyiségét, amivel megnő a számítások ideje és költsége is. Numerikus módszereket hosszú idő óta alkalmaz a tudomány és a gyakorlat, de elterjedésüket a kielégítő pontossághoz szükséges számítási műveletek nagy száma sokáig akadályozta. Gondoljuk meg, hogy egy viszonylag durva, pl. 100 100-as felosztású négyzetrács esetében 10000 lineáris egyenletet kell szimultán megoldani. Lényeges változást csak a számítógépek elterjedése hozott, különösen azóta, amióta a RAM a személyi számítógépeknél megabyte, a professzionális számítógépeknél gigabyte nagyságrendű, és másodpercenként több millió műveletet képesek elvégezni. A számítógép természetesen nem gondolkodik, és nem mér helyettünk, csak az algoritmizálható tevékenységben nyújthat segítséget. A legtöbb feladat megoldásánál a kísérletekre mindig szükség lesz, ezért a számítógéptechnika sohasem válhat a feladatmegoldások egyetlen eszközévé. Összefoglalva a numerikus megoldás legfontosabb lépései: a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, a matematikai modell megalkotása, a matematikai modell átalakítása numerikus megoldásra alkalmas formára (diszkretizálás), a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, a blokkséma összeállítása, a számítási modell megoldását adó program megírása, és annak futtatása, 16
a megoldás ellenőrzése. Kísérleti megoldás Ezek olyan eljárások, amelyek során mérésekkel kapunk információt a rendszer viselkedéséről. Ne feledjük azonban, hogy a mérés önmagában még nem kísérlet. (A kísérlet - mindig! - előzetes elméleti megfontolás után kialakított elgondolás, hipotézis mérésekkel való ellenőrzése.) A kísérlet feladata lehet: a rendszer viselkedésének vizsgálata, (DIREKT) a rendszer válaszfüggvényének ill. az ún. kimeneti egyenletének (INDUKTÍV) a rendszer-működés optimális tartományának (INDIREKT) értékének meghatározása A kísérlet is megoldási módszer. Feladata: a rendszer bemenő jellemzői, állapota és kimenő jellemzői közötti kapcsolat, vagy e kapcsolat egyes paramétereinek meghatározása. Ilyen értelemben funkciója megegyezik az analitikus és a numerikus módszerek funkciójával. Van azonban egy lényeges sajátossága: Az analitikus és a numerikus megoldások eredménye pontszerű: a független változó meghatározott értékeihez a függő változó meghatározott értékeit egyértelműen rendeli hozzá. Ezzel szemben a kísérleti megoldás eredménye (a kísérletek során elkerülhetetlenül bekövetkező hibák, a sztochasztikus hatások miatt) foltszerű: a független változó meghatározott értékeihez a független változó valamilyen sávját rendeli. Ezt szem előtt kell tartani mind a kísérletek előkészítése, mind a mérési adatok értékelése során. A kísérleti tevékenység főbb területei megfigyelés, kutatás-fejlesztés, rutinvizsgálatok és bemutatás-szemléltetés. 17
Az egyszerű megfigyelésnél az ember a tőle függetlenül végbemenő folyamatokat regisztrálja. (Szigorúan véve ez nem is tekinthető kísérletnek.) A kutatás-fejlesztés során előzetesen elemezni kell a lehetséges hatásokat, össze kell gyűjteni korábbi kísérletek tapasztalatait, a témára vonatkozó irodalmi adatokat és - mindenek előtt - a vizsgált folyamatra vonatkozó újabb tudományos ismereteket. Ezek alapján kell (a kísérlet megkezdése előtt!) hipotézist alkotni, amelyet a kísérletekkel kell ellenőrizni. A kísérlet persze nem igazolja az elméleti megfontolásokat, csak azt, hogy e megfontolások nem hamisak. A kutatásban különösen fontos az intuíció, az analógiák felismerése, a megszokott sémáktól való eltérés bátorsága, amelynek azonban széles körű és mélyreható tudományos ismeretekre kell támaszkodnia. Ellenkező esetben a tudatlanság bátorsága értelmetlen, sőt veszélyes kísérletezgetésekhez vezethet. Bármilyen típusú legyen a kísérlet, annak megkezdése előtt a lehető legpontosabban meg kell fogalmazni a feladatot. Az előkészítéshez nem elegendő az intuíció, a nagy gyakorlati tapasztalatokon alapuló szubjektív ítélet, az ún. műszaki érzék. Előre tudnunk kell, hogy mely jellemzőket hányszor kell mérnünk. A kísérletek lehetővé teszik, hogy meghatározzuk a bemenő és a kimenő jellemzők közötti függvénykapcsolatot olyan esetben is, amikor a matematikai modell matematikai módszerrel nem oldható meg. A hasonlósági módszeren alapuló modellkísérlet információt ad olyan rendszerekről is, amelyek közvetlen mérése igen nehéz vagy éppen lehetetlen. Összefoglalva a kísérleti megoldás legfontosabb lépései: a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, a matematikai modell megalkotása, a matematikai modell hasonlósági transzformációja, a kísérleti objektum megfelelő kiválasztása és a kísérleti eredmények (későbbi) általános felhasználhatósága érdekében, a kísérleti program (a kísérletterv) összeállítása, a kísérletek lefolytatása és 18
értékelése alapján a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása, a megoldás ellenőrzése. Összetett módszerek A megoldási módszerek előbbi hármas csoportosítása a valóságban nem diszjunkt területeket jelöl. Ezeket a módszereket általában együtt kell alkalmazni. A kísérlek során minden esetben a mérési adatokból számításokkal határozzuk meg az empirikus összefüggéseket. Az aktív kísérleti terveknél számítógép segítségével értékelhetjük a közbeeső mérési eredményeket és határozhatjuk meg a következő beállítások értékeit. Az empirikus függvény típusának kiválasztására az analitikus módszerekkel kapott összefüggések adnak támpontot. Fordítva is igaz: az analitikus (és a numerikus) megoldás esetében is szükség van olyan kísérleti adatokra, amelyek például a vezetési tényező értékére adnak felvilágosítást. Összességében tehát a három módszer együttesen jelenti a megoldás lehetséges útját, és legfeljebb csak arról beszélhetünk, hogy egyik vagy másik módszernek egy adott megoldás esetében kiemelkedő szerepe van. A modellezés célja A modellezés nyomai fellelhetők már az ókorban is. Amennyire a régészeti leletekből meg tudjuk ítélni, a kezdeti modellek elsősorban szemléltetési vagy kultikus célokat szolgáltak. Ilyennek tekinthetjük a barlangrajzokat, egyes használati eszközök (pl. szekerek) kicsinyített mását, sírokban talált szobrokat stb. Az újkori történelemben tulajdonképpen Galileitől számíthatjuk az elméletileg is megalapozott modellezés kialakulását. Azonban mindaddig, amíg a hasonlósági módszert matematikailag szabatos formában nem dolgozták ki, az összetett, bonyolult feladatok megoldására a modellezést nem lehetett használni. A hasonlósági módszer alapján kialakított modellezés lehetővé teszi nemcsak a méretarányok 19
változtatását, de az eredetitől eltérő munkaközeg felhasználását, sőt egyik jelenségcsoport helyettesítését egy másikkal. A modellezés - az előbbiek szerint - valamely jelenség helyettesítése egy másikkal az eredeti jelenség tanulmányozása vagy bemutatása céljából. Valamely folyamatot akkor ismerünk, ha előre meg tudjuk mondani, hogy az egyértelműségi feltételek különböző értékei mellett milyen lesz a fizikai változók eloszlása a rendszeren belül, illetve a rendszer reakciója. A modellezés fejlődése Kezdetben a modell csak szemléltető funkciót látott el, gyakran helyettesítette vagy kiegészítette a tervrajzokat. Statikus modellek. A következő szakasz, amikor a modellt meglevő berendezések hiányosságainak kijavítására használják. Ezek már dinamikus modellek. A kutatótól inkább a hasonlósági módszer bizonyítását, a modell használhatóságának igazolását várják, és nem annyira kutatási segédeszköznek, mint inkább tudományos játék -nak tekintik a modellezést. A harmadik, fejlettebb szakasz, amikor a modellezés előnyét egyértelműen elismerik. Megkezdődik a modellezés ipari felhasználása új, még meg nem lévő rendszerek előzetes ellenőrzésére. Napjainkban a modellezés már szerves részét képezi nemcsak az ipari termelésnek, hanem a gazdaságirányításnak is. A tervező a modell segítségével dolgozza ki és tökéletesíti a rendszert és annak egyes részeit. A kutatás során az egyes hipotéziseket kísérleti úton először a modellen ellenőrzik. Az egyes termelési vagy társadalmi előírások változtatásának hatását először modellen próbálják ki. Az orvostudományban széleskörűen használják az állatkísérleteket, mind a biológiai mechanizmusok, mind a gyógyszerek hatásainak előzetes modellezésére. A számítógép nyújtotta lehetőségek felhasználásával döntési modelleken vizsgálják egyes megoldási változatok várható hatását. 20
Modelltechnika A modelltechnika azon eszközök és eljárások összessége, amelyek segítségével egy rendszert egy hozzá hasonló rendszerrel helyettesítünk, és annak vizsgálatából következtetünk az eredetiben végbemenő folyamatokra. A modelltechnikára is érvényes a technika négy alapelve: A célorientáltság magától értetődő, hiszen céltalan modell nem létezhet. A modell használatának célja valamely feladat (vagy probléma) megoldása. A tervszerűség érvényesül a modell kialakításában, a modellkísérletek előkészítésében és végrehajtásában. A gazdaságosság elve kétféleképpen is összefügg a modelltechnikával: az új technikai rendszerek előzetes modellezése mind a kivitel, mind az üzemeltetés várható nehézségeit és ezen keresztül költségeit csökkentheti. Ez a modellezés eredményével elérhető gazdaságosság a modellezés folyamatának gazdaságossága viszont olyan eszközök és eljárások megválasztását jelenti, amelyek a modellezés költségeit csökkentik. A szervezés természetesen itt is hozzá tartozik a munka előkészítéséhez és elvégzéséhez. A modelltechnikában még a tervezés fázisát is megelőzik egyes szervezési feladatok. Már a tervezési szakaszban gondolnunk kell arra, hogy a kísérletek során kapott mérési adatokat milyen módon fogjuk feldolgozni. Modelljellemzők megválasztásának szabadsága A matematikai modell már egyben a felhasználható modelltípusokra is felvilágosítást ad. Ezek köréből kell kiválasztani a kísérleti objektumot. Hogy éppen milyen berendezést választunk, az többek között függ a felhasználható anyagi eszközöktől és időtől, a meglevő (ill. beszerezhető) laboratóriumi felszereléstől stb. Ezek összessége dönti el, hogy milyen berendezést lehet és szükséges felhasználni, illetve, hogy milyenek legyenek e berendezés fő méretei. 21
Mindenekelőtt azt kell meghatározni, hogy hány dimenziós modell szükséges a kísérletek lefolytatásához. Egyes esetekben még térbeli feladatok is leképezhetők egy- vagy kétdimenziós modellre. Ezután a hasonlósági kritériumok számértékeinek megvalósításához szükséges feltételeket kell megvizsgálni. A kritériumok bizonyos szabadságot engednek meg a modelljellemzők megválasztásában. 22
2. A transzmembrán ionáramokat leíró matematikai modellek Bevezetés 1952-ben forradalmi áttörés következett be a sejtélettan területén. Hodgkin és Huxley ugyanis ekkor publikálta a tintahal óriás axonján végzett elektrofiziológiai méréseit, azok matematikai értelmezését, valamint a méréseket lehetővé tevő rendszer leírását. Az általuk megalkotott "csatorna-elmélet" hosszú évekre meghatározta az élettani kutatásokat és szemléletmódot. Sokan támadták, sokan ellenezték, de elvitathatatlan érdeme, hogy ez volt az első modell, amely a sejtmembránokon lezajló elektromos jelenségeket megbízhatóan leírta. A modell kiállta az idők próbáját. Napjainkban is felhasználják a voltage-clamp technikával készült mérések kiértékelésére. Oktatják, hisz a matematikai egyenletekhez rendelt aktivált-inaktiváltzárt csatornák egy szemléletes és a hallgatók számára "kézzelfogható" leírást biztosítanak. Azonban, mint minden modellnek, a Hodgkin és Huxley teóriának is vannak korlátai, amelyek közül sokat már a kezdeti időkben megpróbáltak kiküszöbölni. A modell hiányosságai az 1970-es években egyre jobban kiütköztek. Ebben az időszakban egy új kísérletes eljárás kezdett fokozatosan előretörni, amelyet patch-clamp módszernek neveztek el. Ennek a módszernek azután egyre több típusa alakult ki (inside-out patch, outside-out patch, whole-cell clamp). Az új technikával kapott mérési eredményeket azonban már nem lehetett a klasszikus teóriával magyarázni. Szükségessé vált egy új modell kialakítása, amelyet Markov modellnek neveztek el. Ebben szerencsésen ötvöződik a Hodgkin-Huxley csatorna elmélet az új kísérletes eredményekkel. A Markov illesztés segítségével lehetővé vált a patch-clamp-es mérési eredmények magyarázata. Azonban a folyamat itt nem állt meg. Napjainkban is újabb és újabb matematikai leírások látnak napvilágot, amelyek közül az egyik legérdekesebb a fraktál modell. A napjainkban kiteljesedő fraktál analízis az egyik lehetőség a jövőben a membrán elektrofiziológiai folyamatainak leírására. Ebben a munkában az elmúlt negyven év alatt a sejtek elektrofiziológiájának kutatásában végbement változás főbb lépéseit, a kísérleti rendszereket, a matematikai modelleket, illetve a számítógépes kiértékelést elősegítő programokat szeretném bemutatni. 23
A VOLTAGE-CLAMP TECHNIKA Hodgkin, Huxley és Katz dolgozta ki azt a technikát, amellyel a sejtmembrán potenciálját egy adott szinten lehet tartani, rögzíteni. Ezt feszültség rögzítésnek (voltage-clamp) nevezték el. A klasszikus voltage clamp (un. "axial wire") rendszer sematikus rajza az első ábrán látható. Két elektródot (a és c) vezetünk be a sejt belsejébe a sejt hossztengelyével párhuzamosan. Az a és a b elektród közötti potenciálkülönbség mint membránpotenciál (E m ) mérhető. A komparátor áramkör a mért membránpotenciált (E m ) összehasonlítja a kísérleti feltételektől függően meghatározott referenciajellel (E r ). Ha különbség van az E m és az E r között, akkor a komparátor úgy vezérli az áramgenerátort, hogy a c elektródon át bejutó áram az E m és E r közötti különbséget nullára csökkentse. A bejuttatott áram a d elektródon elvezetve az árammérő erősítővel mérhető (I m ). ìgy a mérőrendszer egy olyan negatív visszacsatolású szabályozási rendszert alkot, amelyben a homogén eloszlású membránpotenciált kívülről generált vezérlő jel szabja meg, és a kialakuló membránáram mérésére alkalmas. Az említett berendezés segítségével egy adott sejt (pl. axon, váz- vagy szívizomsejt) meghatározott szakaszán néhány mikroszekundum időtartamon belül a kívánt értékre lehet beállítani a membránpotenciált, és mérni lehet a hirtelen kiváltott membránpotenciál-változás hatását a membrán vezetőképességére. Egy akciós potenciál alatt a membrán vezetőképessége az idő és a membránpotenciál függvényében változik. Amikor azonban stabilizáljuk a feszültséget, akkor csak az idő függvényében változik a vezetőképesség, mégpedig a rögzített potenciál értékére jellemzően. A megváltozott vezetőképesség ionáramot eredményez (I m ), ami pontosan mérhető. Axon esetén az összes ionáram az alábbi képlettel írható le: I m =G Na *(E m -E Na )+G K *(E m -E K ) /1/ ahol:i m - transzmembrán ionáram G Na - a membrán nátriumra vonatkoztatott aktuális konduktanciája, G K - E m - a membrán káliumra vonatkoztatott aktuális konduktanciája, az aktuális membránpotenciál, E Na - a nátrium ekvilibrium potenciálja, E K - a kálium ekvilibrium potenciálja. 24
Mivel E m -et állandó értéken tartjuk, az E Na és a E K pedig állandók, ezért az I m mért értéke csak a G Na és a G K változását tükrözi. Ezáltal megfelelő körülmények között a G Na és G K időbeli változásai kiszámíthatók. A későbbiek folyamán a voltage clamp mérőrendszernek több változatát is kifejlesztették pl. két mikroelektródás voltage clamp rendszer, vaseline gap), amelyek elősegítették a sejt elektromos tulajdonságainak további megismerését. Ezen rendszerek ismertetése azonban meghaladná ezen pályamunka kereteit. A PATCH-CLAMP TECHNIKA Tudjuk, hogy a transzmembrán áram nem más, mint az ioncsatornák sokaságán átfolyó elemi ionáramok összege. Az 1970-es évek végére megnőtt az igény egy olyan mérőrendszer kifejlesztésére, amely lehetővé teszi az elemi ionáramok megmérését is. Ez lett a patch-clamp technika. Maga a módszer alapjában véve egyszerű. Egy vékony, megfelelő alakú üvegpipetta hegyét szorosan a sejthártyához illesztjük, s ezzel a pipetta hegybe fogott kicsiny sejthártyarészletet ioncsatornáival együtt elválasztjuk a sejthártya többi részétől. Az izolált ioncsatornákat ezután már mindenféle kémiai vagy elektromos behatásnak vethetjük alá, és a megfigyelt változásokból kikövetkeztethetjük sajátságaikat. A parányi elkülönített sejthártyadarabot akár a sejt felszinéből izolálva is vizsgálhatjuk (patch-clamp módszer), sőt a citoplazma összetételének megváltoztatása, illetve a nyugalmi membránpotenciál szabályozása végett óvatosan "ablakot" is nyithatunk az élő sejten (whole-cell módszer). Ezen módszerek segítségével módunkban áll megvizsgálni, hogy miként befolyásolják az ioncsatornák a membránfeszültséget és a sejtek belső folyamatait, például a szekréciós működést és az izomsejtek összehúzódását. Az enzimekkel megtisztított sejtfelszínhez foltpipettát nyomunk, majd a pipettán keresztül óvatosan szívóerőt fejtünk ki. Ezzel a sejthártya egy foltját és a rajta lévő ioncsatornákat gigaohmnyi nagyságrendű ellenállással szigeteljük el. Most már nyomon követhetjük, hogy a pipettán keresztül alkalmazott különféle ingerek hatására miként változik meg a csapdába ejtett ioncsatornák működése. Az elkülönített sejthártyarészlet kiszakításával a csatornák citoplazma felé nyíló szájadékát is feltárhatjuk. Ha a gigaohmos nagyságrendű ellenállást a sejthártyadarab 25
felszakítása után is meg tudjuk tartani, akkor a pipettán keresztül a sejt citoplazmájának összetételét is megváltoztathatjuk. A MATEMATIKAI MODELLEK A HODGKIN-HUXLEY-FÉLE MODELL A feszültség- és időfüggő konduktív elemek kinetikai sajátosságait Hodgkin és Huxley tanulmányozta részletesen 1952-ben. Az általuk megalapozott ionteóriát és az úgynevezett Hodgkin-Huxley egyenleteket azóta is a membránokon lezajló elektrofiziológiai jelenségek klasszikus példájának tekintik. A Hodgkin-Huxley teória szerint a sejt ingerületi folyamatai során létrejövő membránpotenciál változást a diffúzibilis ionok által szállított töltések hozzák létre: I i =C*dV/dt /2/ ahol: I i C m -az ionos áramsűrűség komponens, -a membrán felületegységre vonatkoztatott kapacitása, V -a nyugalmi membránpotenciáltól való eltérés, t -az idő. Az ionok által szállított membránáram az alábbi komponensekre osztható: I i =I Na +I K +I x /3/ ahol: I Na I K I x -nátrium ionáram, -kálium ionáram, -egyéb ionok árama. Az egyes ionáramok pillanatnyi nagyságát és irányát az adott ion elektrokémiai potenciálgradiense, valamint a sejtmembrán ezen ionra vonatkoztatott vezetőképessége, konduktanciája határozza meg. Tekintettel arra, hogy a sejtek ingerületi folyamatait kísérő ionkoncentráció-változások, mind az intra-, mind az extracelluláris térben elhanyagolhatók, az elektrokémiai potenciál változása a transzmembrán potenciál módosulásával jellemezhető. Az 26
ionok áramlási irányát meghatározó konkrét hajtóerők a pillanatnyi membránpotenciál és az egyes ionokra -egy feltételezett Donnan-rendszerből- számítható Nernst-potenciálok különbségei. Az ionáramok nagyságát -mint említettem- a sejtmembrán specifikus áteresztő képessége szabályozza, amely az ionra vonatkoztatott konduktanciával, vezetőképességgel jellemezhető. A konduktancia a membrán ioncsatornáinak számától, továbbá a nyitott és zárt csatornák arányától függ. Az eddigiek alapján: I x =G x *[V m -E x ] /4/ ahol: I x G x V m E x -az adott ionáram nagysága, -az adott ionra vonatkoztatott aktuális konduktancia, -a pillanatnyi membránpotenciál, -az adott ion ekvilibriumpotenciálja. Mivel a G x nagysága a membránpotenciál és az idő függvényében változhat: I x =G x max *p*[v m -E x ] /5/ ahol: G x max -a membránszakasz maximális konduktanciája, amikor valamennyi konduktív csatorna megnyílik, p -egy feszültség- és időfüggő változó. Ez a változó megadja, hogy a konduktív elemek mekkora hányada van nyitva az adott időpillanatban, tehát hogy egy konduktív elem nyitott állapotának mekkora a valószínűsége. A p értéke 0 és 1 között változhat. Az elmélet feltételezi, hogy a membrán konduktanciája az elemi csatornák konduktanciáinak összege. Az elemi csatornák minden vagy semmi alapon nyílnak meg. Ezáltal egy adott nagyságú konduktancia az éppen nyitva levő csatornák számától függ. A p változó a Hodgkin-Huxley nómenklatúrában kálium esetén n 4, nátrium esetén pedig m 3 *h jelölést kap. A membránon átfolyó kálium áram nagyságát az alábbi formula adja meg: I K =G K max *n 4 *(V-E K ) /6/ Az aktiváció folyamata elsőrendű differenciálegyenlettel írható le. Ez a differenciálegyenlet minden sejttípuson más és más értékeket tartalmaz, de az alapváz mindenhol azonos. A továbbiakban csak az eredeti óriás axonra leírt egyenleteket mutatom be. 27
dn/dt= α n *(1-n)-ß n *n /7/ ahol: α n és ß n - a kálium csatorna nyitott és zárt állapota közötti átmenet sebességi állandói, melyek -a Hodgkin-Huxley modellben és a Markov modellben- csak membránpotenciál függőek, dimenziójuk: 1/idő. Nyugalmi membránpotenciálon az aktivált állapotban lévő kálium csatornák aránya az előző egyenlet alapján: N n = α n /(α n +ß n ) /8/ A membránpotenciál változásakor α n és ß n pillanatszerűen az új feszültségértékeknek megfelelő értéket vesz fel, aminek eredményeként az aktiválódott kálium csatornák száma módosul. Hodgkin és Huxley kísérleteikből a sebességi állandók feszültségfüggésére az alábbi empirikus formulákat állították fel: α n = 0.01*(V+10)/(exp(V+10)/10)-1) /9/ ß n = 0.125*exp(V/80) /10/ A hatodik egyenletben a 4. hatványkitevő alkalmazására azért van szükség, hogy a lassan növekvő kálium konduktancia leírható legyen. Ez azt jelenti, hogy depolarizáció hatására egy csatorna csak akkor nyílik meg, ha 4 töltött részecske mozdul el egyszerre, illetve ha 4, sorban elhelyezett kapu nyílik meg. Az n tehát egy ilyen kapu megnyílásának a valószínűségét adja meg. Csatorna modellben gondolkodva a 4-es kitevő azt mutatja, hogy a csatorna 4 zárt állapoton keresztül jut el a nyitott állapotba. A nátrium áram leírása már valamivel bonyolultabb, mert inaktiváció is történik: I Na =G Na max *m 3 *h*(v-e Na ) /11/ ahol: m 3 - az aktivációs, h az inaktivációs paraméter. A kálium csatorna működésénél tárgyaltakhoz hasonlóan az az elképzelés született, miszerint a nátrium csatorna megnyílásához egyszerre három alegységnek kell aktivált állapotba kerülni anélkül, hogy hozzájuk egy negyedik -inaktiváló alegység- kapcsolódna. Az aktivált és inaktivált nátrium csatornák arányának pillanatnyi változását ugyancsak elsőrendű differenciálegyenletekkel jellemezhetjük: 28
dm/dt= α m *(1-m)-ß m *m /12/ dh/dt= α h *(1-h)-ß h *h /13/ Az egyes α és ß értékek -hasonlóan a káliumkonduktanciánál tárgyalt sebességi állandókhoz- csak feszültségfüggőek. Ezt az összefüggést Hodgkin és Huxley mérései szerint az alábbi -szintén empírikus- képletek írják le: α m =0.1*(V+25)/(exp((V+25)/10)-1) /14/ ß m =4*exp(V/18) /15/ α h =0.07*exp(V/20) /16/ ß h =1/(exp((V+30)/10)+1) /17/ A nátrium csatorna megnyílása és záródása kapukkal értelmezhető a legegyszerűbben. Egy csatorna akkor van nyitva, ha mind az m 3, mind a h kapu nyitva van és akkor zárul, ha a két kapu közül bármelyik bezárul. Nyugalomban az m 3 kapu zárva, a h kapu nyitva van. Depolarizáció esetén az m 3 kapu kinyílik, s így lehetővé válik a csatornán keresztül a nátrium ionok átáramlása. A 3. hatványkitevő azt jelenti, hogy 3 m kapunak kell nyitott állapotban lennie ahhoz, hogy a csatorna megnyíljon, és így az m egy kapu nyitott helyzetének valószínűségét mutatja. A depolarizáció azonban a h kapukat bezárja, ekkor jön létre az inaktiváció, és az áram eredeti intenzitása csökken. Repolarizáció esetén a h kapu megnyílik (ha V m kisebb, mint - 40mV), az m pedig bezárul. Meghatározható az m 3, h és n 4 időbeli változása egy adott membránpotenciál értéknél. A kapuk nyitásának és záródásának valószínűsége időben folytonos függvény szerint változik. Leggyorsabban a nátrium aktiváció (m 3 ) megy végbe, a h és n 4 paraméterek lassabban változnak. Depolarizáció után a nátrium csatornák gyorsan megnyílnak, de csak átmenetileg, mivel a h kapu lassan bezárul, és megindul az inaktiváció. A káliumáram lassú kialakulását az n 4 kapu lassú megnyílása magyarázza. Ezen kapuk megnyílásának és bezáródásának valószínűségét és sebességét a membránpotenciál szabályozza. Nagyobb depolarizáció növeli az m 3 és n 4 kapuk megnyílásának valószínüségét, valamint csökkenti a h kapuk hasonló paramétereit. 29
Hangsúlyozni kell, hogy a Hodgkin-Huxley egyenletek az ionáramok fenomenológiai, formális leírását jelentik. A csatornák különböző kapui ilyen formában csak a matematikai modell szemléltetését szolgálják. A teória két alapvető eleme ma is helytálló. Az egyik az ioncsatornák függetlenségének elve, mely szerint a nátrium-, és a kálium ionok külön-külön csatornán lépnek át a membránon, a másik pedig a nátrium csatornák szeparált aktivációs és inaktivációs rendszere. Erre utalnak a farmakológiai vizsgálatok eredményei is, melyek szerint a két csatorna külön-külön gátolható. A tetrodotoxin (TTX) a nátrium csatornák szelektív gátlószere, amely meggátolja a nátrium csatorna megnyílását anélkül, hogy egyéb membrántulajdonságokat érintene. Hasonlóképpen a tetraetilammonium (TEA) a kálium csatornák megnyílását akadályozza meg. A pronáz a membrán intracelluláris oldalán alkalmazva megszünteti a nátrium csatornák inaktivációját anélkül, hogy a nátrium aktivációt vagy a kálium csatorna sajátságait befolyásolná. A MARKOV MODELL A patch-clamp technika kifejlesztése és eredményei maguk után vonták a sejtmembránok elektrofiziológiai történéseit leíró matematikai modellek átalakítását, fejlesztését. Ezen új modellek közül az első a Markov modell volt. A modell kiindulási alapja az, hogy a különféle ionok (Na, K, Ca) keresztül tudnak haladni a sejtmembránban található specifikus csatornákon. A csatornákat alkotó fehérjék konfigurációiknak állandó megváltoztatásával fluktuálnak a diszkrét nyitott és zárt állapotok között. A patch-clamp technika lehetőséget biztosít -egyedi áramok esetén- a nyitott és zárt állapotok időtartamának megmérésére. Ezáltal meghatározhatóvá válik egy adott időpontban a vizsgált csatorna- fehérje konfigurációja, valamint a spontán szerkezetváltozások kinetikájának időbeli vizsgálata. A Markov modell kiindulását tekintve nagyon hasonlít a reakciókinetika alapegyenleteihez, ezért először ezeket vizsgáljuk meg. Ha van egy A anyag, amely egy B anyaggá alakulhat át illetve vissza, akkor az oda- és visszaalakulásokhoz egy-egy sebességi állandó rendelhető: 30