SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHANIKA - REZGÉSTAN ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK Eméet édése és váaso eyetem aapépésben (BS épésben) éstvevı ménöhaató sámáa (0) Matemata aapo A eméet édése öött seepehetne oyan eyseő sámpédá s, ameye a ompex sámoa vaó mőveeteet é sámon! - ompex sám feíása exponenás aaban: Adott: ompex sám Feadat: a x teneye beát ϕ = sö és a = absoút étééne mehatáoása, vaamnt a = e exponenás aaú a feíása - ompex sámo soása: Adott: és ompex sámo naysáa és x teneye beát söe Feadat: = soat mehatáoása - ompex sámo ostása: Adott: és ompex sámo naysáa és x teneye beát söe Feadat: = hányados mehatáoása - ompex sám efoatása: Adott: ompex sám o Feadat: 90 -a a óamutató jáásáva eentétes ányban efoatott = ompex sám mehatáoása () Adja me a anya pont defníóját! defníó: Oyan test, ameyne méete ehanyaohatóa a moás eíása sempontjábó defníó: Oyan test, ameyne moása (heyete) eyeten pontjána moásáva (heyetéve) eyétemően meadható () Adja me a meev test defníóját! Oyan test, ameyben bámey ét pont távosáa áandó (a ponto távosáa teheés/eı hatásáa sem váto me) (3) Adja me a sád test defníóját! Oyan test, amey aavátoása épes (a sád test pontjana távosáa teheés/eı hatásáa mevátohat) (4) Adja me a ontnuum defníóját! Oyan sád test, ameyne tömeeosása és mehana vseedése foytonos füvényee eíható
(5) Adja me a úd defníóját! Oyan test, ameyne ey méete ényeesen nayobb, mnt a más ettı (A Statában meev, a Sádsátanban sád udaat vsátun) (6) Adja me a eımoás defníóját! Reımoásná a vsát tömepont/test vaamey eyensúy (nyuam) heyet öeében feépı, sabáyosan, eentétes ányoban beöveteı téésee moo (7) Adja me a téés defníóját! A eyensúy (nyuam) heyettı mét, a t dıtı füı, y= y( t) eıjees saás oodnáta) A téés ehet emoduás, vay söefoduás s (8) Defnája a peodus eést! A téése meadott T dısaonént (dıntevaumonént) sabáyosan, peodusan vátona: y( t) = y( t+ T ) (9) Defnája a hamonus eést! Oyan eés, ameyné a téése y= y( t) dıben efoyása sn, vay os füvényee, vay ee ombnáóva íható e P y( t) = Asnω t, y( t) = Aosω t ; y( t) = Asn( ω t+ ε ), vay y( t) = Aos( ω t+ ε ) (0) Defnája a eésdıt (peódus dıt) és adja me a SI météeyséét! A eésdı a téése smétıdés deje Jee T, SI météeysée seundum: [s] () Defnája a fevenát és adja me a SI météeyséét! A fevena a peodus moás dıeysé aatt smétıdéséne sáma Jee ν, SI météeysée = [ H] s () Defnája a öfevenát és adja me a SI météeyséét! A öfevena a fevena π -seese: ω= πν, SI météeysée ad s (3) Adja me a átaános oodnáta defníóját! A átaános oodnátá ao a saás paamétee (oodnátá), ameye a endse moását (heyetét) eyétemően mehatáoá a dı füvényében A átaános = t oodnáta emoduás, vay söefoduás s ehet Jee: ( ) (4) Defnája a átaános oodnátasebesséet és átaános oodnátayosuást! Átaános oodnátasebessé a átaános oodnáta dı sent esı devátja: d ɺ = ɺ ( t) = dt Átaános oodnátayosuás a átaános oodnáta dı sent másod devátja: d ɺɺ = ɺɺ ( t) = ɺ dt (5) Defnája a sabadsáfoot! Aona a eymástó füeten átaános oodnátána a sáma, ameye a endse moását (heyetét) eyétemően mehatáoá
(6) Adja me a F vssatéítı eı étemeését és tuajdonsáat! Késítsen mayaáó ábát! A vssatéítı eı étemeése: F = y a uóáandó (aányossá tényeı) Tuajdonsáa: - A F vssatéítı eı mnd a eyensúy heyet feé mutat - A vssatéítı eı ánya eentétes a téésse - A vssatéítı eı naysáa aányos a téésse m y F F m uó 0 y ( t) < 0 y( t) > 0 (7) Defnája a s eés foamát! - A eése amptúdója a vsát seeet méetehe épest s, - A eés amptúdója a uó aatesta neás saasán beü maad, - A eés soán feépı söefoduáso és a emoduáso öött neás apsoat á fenn (8) Defnája a U uópotenát! y U = W = F y= - W a vssatéítı eı munája, - F a vssatéítı eı, - y a téés, - a uóáandó (9) Hoyan sámatatható a F vssatéítı eı a U uópotenábó? A vssatéítı eı a uópotenábó neatív adens épésse sámatatható: du d y y F = = = dy dy (0) Foamaa me a ey sabadsáfoú endsehe tatoó uamas eemee vonatoó tétet! A ey anya pontho, ey meev testhe apsoódó uamas eeme mnd modeehetı (heyettesíthetı) eyeten uóva () Adja me a húott-nyomott (ontudnás) uó uóáandóját! Késítsen mayaáó ábát! F σ x λ= ε x = = F = E AE AE F x () Adja me emeuó uóáandóját! Késítsen mayaáó ábát! y F y x y b a 3 3 3 ab y = F I 3I E = 3I E = 3
(3) Adja me savaása énybevett uó (teney, sıteney) toós uóáandóját! Késítsen mayaáó ábát! y M M x M ψ = ϑ = = a toós uóáandó: M I pg I pg Kö eestmetsete: I p γ = I G 4 D π =, öyőő eestmetset esetén: 3 p I p 4 4 ( D d ) π = 3 (4) Defnája a foyadéfé típusú sapító eıt és adja me a sapítóeı efontosabb tuajdonsáát! F = v = yɺ, d aho sapítás tényeı v d a duattyú eatív sebessée a henehe épest Tuajdonsá: A sapító eı tejesítménye mnd neatív (5 )Hoyan íható fe átaánosan a ejestı eı / ejestı nyomaté hamonus ejestés esetén? F = F sn( ) 0 ωt+ ε, vay F os( ) = F 0 ωt+ ε, M = M sn( ) 0 ωt+ ε, vay M os( ) = M 0 ωt+ ε F, M a ejestı eı/nyomaté amptúdója, 0 0 ω a ejestés öfevenája, météeysé: [ ad/s ] ε a ejestés fássöe (6) Íja fe a Laane-fée másodfajú moáseyenetet és adja me a eyenetben seepı mennysée jeentését! d E E A moáseyenet: Q dt = ɺ t a dı, d a dffeenáás jee, a paás dffeenáás jee, E a neta enea, ɺ a átaános oodnáta sebessé, a átaános oodnáta, Q a átaános eı: eysény oodnáta sebesséhe tatoó tejesítmény (7) Adja me a átaános eı sámításána módját meev test esetén! n m Q= F β+ M j b = j= n a eıendsehe tatoó onentát eı sáma, m a eıendsehe tatoó onentát nyomatéo sáma, v β = ɺ - a F eı támadáspontjána a eysény oodnáta sebesséhe tatoó sebessée, ω b = - a meev testne a eysény oodnáta sebesséhe tatoó sösebessée ɺ 4
(8) Adja me a Q átaános vssatéítı eı mehatáoásána módját! du Q = d = U a uópotená, a átaános oodnáta és a átaános oodnáta váastásho tatoó eduát uóáandó (9) Adja me a Q átaános sapító eı mehatáoásána módját! Q = F β F v a sapító eı, β = ɺ, és v a sapító eı támadáspontjána sebessée (30) Adja me a Q átaános ejestı eı mehatáoásána módját! Q = F β + M b F a ejestı eı és M a ejestı nyomaté, v β = ɺ, és v a ejestı eı támadáspontjána sebessée, b ω = ɺ, és ω anna a testne a sösebessée, ameye a ejestı nyomaté hat (3) Ismetesse eıendsee ostáyoását! Sabad eıendsee (sabad eése) Q = 0 a) Sabad, sapítatan eıendsee (sabad, sapítatan eése) Q = 0 és Q = 0 b) Sabad, sapított eıendsee (sabad, sapított eése) Q = 0 és Q 0 Gejestett eıendsee (ejestett eése) Q 0 a) Gejestett, sapítatan eıendsee (ejestett, sapítatan eése) Q 0 és Q = 0 b) Gejestett, sapított eıendsee (ejestett, sapított eése) Q 0 és Q 0 (3) Íja e a útejestés étemeését! Útejestésı ao beséün, ha a ejestés nem eıve/nyomatéa tötén, hanem a eıendse adott pontját (pontjat) eıít módon, dıben peodusan moatju, vay a eıendse adott meev testét (testet) eıít módon, dıben peodusan foatju (33) Rajoja e ey sabadsáfoú eıendse eduát mehana modejét és smetesse a ábán átható mennysée jeentését! Q = Q ( t) m = ( t) m a eıendse eduát tömee, a eıendse eduát uóáandója, 5
a eıendse eduát sapítás tényeıje, a eıendse moását eíó átaános oodnáta, Q ( t) = Q sn( ωt+ ε ) a átaános ejestı eı 0 (34) Adja me a ompex vátoóa vonatoó moáseyenetet, vaamnt a ompex vátoó és a átaános oodnáta apsoatát ey sabadsáfoú eıendse esetében! mɺɺ + ɺ + = P t = x+, P = P 0e ω a átaános ompex ejestı eı és ω a ejestés öfevenája (35) Adja me ey sabadsáfoú eıendse moáseyeneténe homoén meodását ompex aaban és íja e a meodásban seepı mennysée jeentését! βt ν t ( t) = ( a+ b) e e h a és b a h( t) -e meadott edet fetétebı sámítható áadó, β = a endse sapítását jeemı mennysé, m ν = α β a sapított, sabad endse saját öfevenája és α = a sapítatan, sabad endse saját öfevenája m (36) Adja me ey sabadsáfoú eıendse moáseyeneténe patuás meodását ompex aaban és íja e a meodásban seepı mennysée jeentését! P0 ωt p( t) = e ωz P = Q e ε a ejestı eı ompex amptúdója, 0 0 ω a ejestés öfevenája, Z = + ωm a eıendse ompex eenáása ω (37) Íja fe sapítatan, sabad endse moáseyeneténe meodását és edet fetéteebı hatáoa me a meodásban seepı áandóat! λt α t A moáseyenet átaános meodása: ( t) = Ae = ( a+ b) e A átaános meodásban seepı áandó mehatáoása: ( t) = ( a+ b) e α t α t, ɺ ( t) = α ( a+ b) e = α ( t) Kedet fetétee: [ ] ( t 0) y Im ( t 0) b = = 0 = 0 = = = b y0 =, v0 ɺ ( t= 0) = ɺ 0 = v0 = Im [ ɺ ( t= 0) ] =αa a= α (38) Íja fe sapítatott, sabad endse moáseyeneténe meodását és edet fetéteebı hatáoa me a meodásban seepı áandóat ha ν vaós mennysé! Ha ν vaós mennysé, ao eése aauna : 6
( β+ ν ) t βt ν t βt ν t ( t) = Ae = Ae e = ( a+ b) e e ompex ν sösebessée amptúdó foó eyséveto ( ) t A ompex sebesséveto: ( t) ( a b)( β ν ) e β + ɺ = + + ν Kedet fetétee: ( t= 0) = 0 = y0 = Im [ ( t= 0) ] = b b= y0, v0 ɺ ( t= 0) = ɺ 0 = v0 = Im [ ɺ ( t= 0) ] = bβ+ aν a = β 0 ν + ν (39) Adja me a oatmus deementum étemeését, fa tatamát és a étemeésben seepı mennysée jeentését! β π Étemeés: n n e ν β Λ= == = π ν ét, eymást övetı enayobb téés,, β = a endse sapítását jeemı mennysé, m ν = α β a sapított, sabad endse saját öfevenája és α = a sapítatan, sabad endse saját öfevenája m Fa tataom: a eıendse sapításáa jeemı mennysé (40) Defnája ejestett eıendse áandósut eéset, íja fe a áandósut eésee vonatoó meodást és adja me a benne seepı mennysée jeentését! Áandósut eés: a eımoásna a a ése, am a sabad eése esenése (ehaása) után memaad A ejestett, sapított eıendse dffeená eyeneténe átaános meodása: βt ν t P0 ωt ( t) = h ( t) + p ( t) = Ae e + e ωz dıben esenı eés és áandósut eés és P = Q e ε a ejestı eı ompex amptúdója, 0 0 ω a ejestés öfevenája, Z = + ωm a eıendse ompex eenáása ω (4) Adja me a eés aauásána fetéteét sabad, sapított eıendse esetében! Ha α > β, ao aau eés Ha α = β, ao apeodus eés aauhat (eyeten eıjevátás ehetsées) Ha α > β, nem aau eés (4) Adja me a eonana foamát! A eonana mehana jeensé, mey ejestett eésené ép fe oyano, ha a ejestés ω öfevenája és a enıendse sabadeésene (α, etve ν ) 7
öfevenája öe van eymásho Csapítás néü (deaát) endsee esetén a eésamptudó ω α = eonanában véteen nay s ehet (43) Íja fe ey sabadsáfoú eıendse eonana öbeseeéne eyenetét, adja me a össefüésben seepı mennysée jeentését és váoja a eonana öbeseeet! max A eonana öbe (eonana füvény): = st β ( ξ ) + 4 α ξ max a maxmás téés, = Q a átaános ejestı eı Q 0 amptúdójána hatásáa beöveteı téés, st 0 ω ξ = új vátoó, α ω - a ejestés öfevenája, α - a sapítatan, sabad endse öfevenája, β = a endse sapítását jeemı mennysé m max st β = 0 β növeedés ω ξ = α (44) Mét veséyes a eonana jeensée és hoyan eühetı e? A sapítatan ( β = 0) esetben ξ = -né, aa a ω= α -ná véteen nay emoduáso épne fe a eıendse (a seeet) tönemey! A vaósáos seeeteben mnd van sebb, vay nayobb météő sapítás, eét véteen nay téése nem fona feépn Vsont feéphetne oyan nay téése, ameye a endse tönemeneteéhe veetne A eonana jeensé a eıendse ehanoásáva eühetı e: - Mevátotatju a ejestés ω öfevenáját - Mevátotatju a eıendse α = sajátfevenáját m (45) Mt semétet a vetoába? A vetoába a t=0 dıpanatban a áandósut eést jeemı ompex mennyséeet semétet: - a ompex ejestı eı P0 = Q 0e ε ompex amptúdóját, - a eıendse Z = + ωm ω - a ompex téést, ompex eenáását, 8
- a ɺ ompex sebesséet és - a ɺɺ ompex yosuást (46) Mt hatáo me a fásésés söe és hoyan ehet sámítan? A ompex téés ϕ söet és a ompex ejestı eıhö épest ωm π ω Ksámítása: ϕ = + ψ tψ = (47) Hoyan váto a dıben a ompex ejestı eı, a ompex téés, a ompex sebessé és a ompex yosuás A ompex ejestı eı, a ompex téés, a ompex sebessé és a ompex yosuás eymásho meeven öítve, a óamutató jáásáva eentétesen foo ω sösebessée (48) Hoyan hatáoható me áandósut eés esetén a maxmás téés és a maxmás sebessé? A maxmás téés: max P 0 = = ω Z ω Q 0 + ωm ω, A maxmás sebessé: v max = ɺ max =ω max (49) Hoyan hatáoható me áandósut eés esetén a maxmás yosuás, a uóban feépı maxmás eı és a sapításban feépı maxmás eı? A maxmás yosuás: a = ɺɺ =ω A uóban feépı maxmás eı: max max max F max max = A sapításban feépı maxmás eı: F max = ɺ max = ω max (50) Mt étün eésseteés aatt? Oyan onstuó aaítása, ameyné a peodus ejestés hatásáa feépı eése amptúdója ey eıít été aatt maad (5) Mo beséün atív eésseteésı? Amo a ép etette eésetı seetnén mevéden (meímén) a önyeetet (5) Mo beséün passív eésseteésı? Amo a épet, beendeést seetnén mevéden a önyeetbı sámaó eésetı 9
(53) Adja me a több sabadsáfoú dsét eıendse defníóját! A dsét eıendse meev testebı, tömepontobó és a eeet össeapsoó uóbó áó endse, amey tatamahat sapító eemeet és ejestéseet s (54) Íja fe a Laane-fée másodfajú moáseyenet-endsene at a aaját, amey több sabadsáfoú eıendseee aamaható! A moáseyenet-endse: t a dı, d a dffeenáás jee, a paás dffeenáás jee, n a eıendse sabadsáfoa, E a endse neta eneája, d E E = Q, (=,,, n) dt ɺ ɺ a -ed átaános oodnáta sebessé, a -ed átaános oodnáta, Q a átaános oodnátáho tatoó átaános eı (55) Adja me a ontudnás eıendse defníóját! A eıendse tömee ey eyenes mentén hossányú eéseet véene (56) Íja fe mátx aaban ontudnás eıendsee moáseyenetét és adja me a eyenetben seepı mennysée jeentését! M ɺɺ + K = f ( t) M a endse tömemátxa, K a endse uó (meevsé) mátxa, T n [ ] = a endse moását eíó át oodnátáat tatamaó osopmátx, f ( t ) a ejestéseet tatamaó osopmátx (57) Hoyan modeeü teneye hajító eéset? Modeeés: - a teneye tömeét ehanyaoju a foaseeet tömeéhe épest, - a teneyeet uamas eemént eejü, - a foaseeeet tömepontoa, vay meev tásáa modeeü (58) Íja fe mátx aaban teneye sabad hajító eésene moáseyenetét és adja me a eyenetben seepı mennysée jeentését! D M ɺɺ + E = 0 D a teney Maxwe-fée hatásmátxa, M a endse tömemátxa, E a eysé mátx, 0
T n = [ ] a endse moását eíó át oodnátáat tatamaó osopmátx (59) Aaítsa át teneye hajító eésene mátx moáseyenetét a ontudnás eıendseené apott aaa! Knduás: D M ɺɺ + E = 0 Átaaítás: D D M ɺɺ + D E = 0, M ɺɺ + K = 0 E D K (60) Íja fe n sabadsáfoú dsét eıendse aatestus eyenetét! Me hasnáható a aatestus eyenet? Kaatestus eyenet: α = det K M 0 A aatestus eyenet a eıendse α, (=,, n) sajátfevenáa néve n-ed foú aeba eyenet A aatestus eyenetbı a eıendse sajátfevená hatáoható me (6) Íja fe a Duneey fomuát és adja me a benne seepı bető jeentését! Myen eıendseee évényes a fomua? α mn m, m, m + ( + ) m + + ( + + + ) m 0 0 0 n n n m n a n sabadsáfoú ötött ontudnás eıendse tömee, a tömee öött evı uó uóáandó 0,, n n A fomua ötött ontudnás eıendseee évényes (6) M sámítható a Duneey fomuáva? - A Duneey fomuáva a ötött ontudnás eıendse esebb sajátfevenájána öeítı étée hatáoható me - A Duneey fomua a esebb sajátfevenána mnd ey asó öeítését adja me (63) Adja me a ontnuum eése defníóját! Kontnuum eés: foytonos tömeeosású uamas teste eése (64) Hány sajátfevenája van foytonos tömeeosású uamas testebı áó eıendseene? Kontnuum endseene so saját öfevenája van