Bene Gyula Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék 7 Budapest, Pázmány Péter sétány /A 6. Előadás 6.. smétlés Példák a konform leképezések alkalmazására: áramlás sarok/él körül, áramlás szárnyprofil körül. sukovszkij tétele: bármilyen keresztmetszetű hengerre ható felhajtóerő Fy Àv 0 À Thomson tétele: az áramlással együtt sodródó görbére vett cirkuláció ideális, barotróp folyadékban, konzervatív tömegerő esetén időben állandó. Örvényes áramlás alapfogalmai: örvényvektor, örvényvonal, örvénycső, örvényfluxus 6.2. Örvénytételek Az örvénycsőbe zárt örvényfluxus adott időpontban a cső mentén állandó (általánosan érvényes, nem ideális folyadékra is): divê 0 divê d V df df df palást Ê {z } 2 Ê À Ê 0 K Ê df állandó a cső mentén Az örvénycső lehet zárt. Ha nem zárt, akkor csak a folyadék határán végződhet. A cirkuláció megmaradásából származó örvénytételek (ideális és barotróp folyadék konzervatív térfogati erő esetén) Az örvénycsőbe zárt örvényfluxus időben sem változik. Örvényfonál: olyan vékony cső, hogy benne Ê állandó. Az örvényfonalat bárhol és bármely időpontban a Ô ÊdF örvényesség (örvényfluxus) jellemzi. deális folyadékban minden örvényfonal örvényessége megadandó mint külső paraméter. deális folyadékban örvények nem keletkeznek és nem szűnnek meg. Ha t 0 időpontban egy folyadéktartományban nincsenek örvények, akkor ott Ê 0. Mivel À ekkor tetszőleges görbére eltűnik, a megmaradás miatt később is eltűnik, ezért később is fenn kell állnia, hogy Ê 0. Örvénycsövet alkotó folyadékrészek később is örvénycsövet alkotnak. Bizonyítás: vegyünk fel tetszőleges zárt redukálható görbét az örvénycső palástján. Az erre vett cirkuláció nulla. Későbbi időpontban a folyadékkal együttmozgó görbére a cirkuláció Thomson tétele szerint továbbra is nulla lesz. M ivel ez bármely és tetszőlegesen kicsi görbére is igaz, az örvényvektornak a korábbi örvénycső sodródásával létrejött cső palástján a palásttal párhuzamosnak kell lennie, azaz ez a cső is örvénycső. / 5 20-0-3 :30
Pl.: pipafüst-karika Füstkarikák. Füstkarikák 2. 6.3. Örvények keletkezése ideális folyadékban A cirkuláció nem marad meg, ha a folyadék nem barotróp (azaz baroklin: kezdetben nincs egyensúly) a tömegerő nem konzervatív baroklin folyadék (de konzervatív tömegerő) dà Ezúttal nem igaz, hogy (p), amiből következne, hogy a p állandó(izobár) és a állandó (izosztér) felületek egybeesnek. Most tehát ezek a felületek metszik egymást. Pl. B C D A dà ABCD À Ó ( p A B C D {z } {z } {z } {z } 2 À 2 p2àp 2 p2àp Általában B grad Âgrad p 2 dà C À : baroklin vektor. grad p d s " À Stokes-tétel À Ó rot grad p df grad Ó Â grad p df grad  grad p df BdF 2 Alkalmazások Nyugalomban levő légkörben nagy kiterjedésű felmelegedés lokálisan! nincs termodinamikai egyensúly, s állandó! baroklin. Áramlás indul meg, ami általában örvényes lesz. Egyenlítői erősebb felmelegedés! passzát (északi féltekén) - antipasszát 2 / 5 20-0-3 :30
Óceán és szárazföld különböző mértékű felmelegedése télen és nyáron: monszun (évszakonként változó) Szárazföld és víz különböző mértékű felmelegedése ill. lehűlése nappal és éjjel Egyenlítői ciklonok: helyi felmelegedés (anticiklon: helyi lehűlés) Tengeri áramlás a sókoncentráció-különbség hatására növekszik a sótartalommal: alul áramlik a sósabb víz, felül a kevésbé sós Áramlás Gibraltárnál: a Földközi-tenger sósabb, mint az Atlanti-óceán Áramlás a Boszporusznál: a Földközi-tenger sósabb, mint a Fekete-tenger 3 / 5 20-0-3 :30
Nemkonzervatív erő (ugyanakkor barotróp folyadék) A legtipikusabb eset: Coriolis-erő Áramlás forgó koordináta-rendszerben Az Euler-egyenlet: dv Ê 2 2 À grad V À 0R grad p Àgrad À2 (Ê 0  v) {z 2 } {z } centrifugális gyorsulás Coriolis-gyorsulás Bernoulli-egyenlet: A cirkuláció egyenlete: v 2 Ó vgrad V À Ê 20 R 2 w 0 2 2 dà À 2 (Ê 0  v) ds Szemléletes jelentése: Legyen C jobbkéz-körüljárású. Ekkor (Ê 0  v) d s Ê 0 C mivel v?  d s? a v  ds vektornak az Ê 0-lal párhuzamos komponense. jv?  d s? j a paralelogramma területe C (v  d s) Ê 0 (v?  d s? ) C? 4 / 5 20-0-3 :30
H t t j (v? Â d s? )j a területváltozás C és C között egységnyi idő alatt.?? dæ (Ê 0 Â v) d s Ê 0 ; ahol Æ a C? által körbezárt terület. Passzát: A C görbe az egyenlítő irányába mozog, dæ < 0, így À C növekszik ) erősödő áramlás keletről. (Antipasszát ugyanígy) Ciklon: az alsó légtömegek a mag felé áramlanak, dæ < 0, így À C növekszik: balra csavarodó áramvonalak. Ez összhangban van azzal, hogy a 2v Â! Coriolis-erő az északi féltekén jobbra, a déli féltekén balra térít el. Általános esetben mindkét oka megvan a cirkuláció megváltozásának. dà À 2 (Ê 0 Â v) d s BdF Gyula Bene 2008-02-4 5 / 5 20-0-3 :30