JÁRATTERVEZÉS
Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat:
Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött a ϑ dőszak alatt bármkor megtörtéhet, áratkapactás álladó: C 0, útvoal választható, várakozás felrakásál ll. lerakásál cs t v =0, árműpark homogé, rakodás dő álladó: t R =álladó. Kdulás adatok a áratkezeléshez: ayagáram mátrx L L M Q = q M : obektumok q az -edk állomásból -edk állomásba ϑ dő alatt elszállítadó egységrakomáy,
útmátrx: L L L = M M l : obektumok l az -edk állomásból -edk obektumba a legrövdebb úthossz. Járatkapactás: C 0 egy árat által elszállítadó meység.
Járattervezés célfüggvéye: Tp ( ) = t( p) + t( p) + t( p) + t( p) = M! h ü w R ahol: T( p ) a ϑ dő alatt elvégzedő szállítás feladatok összes dőszükséglete, amelyek kompoese: t ( ) h p a haszos áratdők összege, t ( ) ü p az üresárat dők összege, t ( ) w p a rakodóhelyeke fellépő rakodás dők összege, t ( ) R p p a rakodóhelye a rakodás dők összege, a rakodóhelyek felkereséséek sorredére képzett változat ele. A haszos és üresárat dők: t t h ü = = Modell változatok az R mátrx alakulásától függek. L v L v h ü
a) Üresáratok élkül megvalósítható áratok. Feltétel: Klépő áratok száma: L L M R = r M r Beléptető áratok száma: 2. Feltétel: s = Iteger! {, 2L} {, 2L } f = r s = = = r = f {, 2 } L {, 2 } L {,2 } L Ha a feltételek telesülek, akkor a áratok Euler gráfot alkotak
Járatokból képzett Euler gráf tuladosága: csúcsok a rakodóhelyek, r =2 élek a áratok vagys ha -ből -be pl.: 3 árat, a -ből az -be 2 árat fut, akkor a gráfba csúcsból a csúcsba 3 él, a csúcsból az csúcsba 2 él fut, ha élek meté képezzük a áratokat vagys mde éle egyszer és csaks egyszer haladuk át a gráfo maradhata mde állomásba az előírtak szert árhatuk el. A célfüggvéy általáos alaka: Tp ( ) = t( p) + t( p) + t( p) + t( p) = M! h ü w R A fetek alapá tehát az üres árat elkerülhető. Lü( p ) = 0 Mvel L h (p)=álladó vagy em függ a sorredtől, továbbá t R (p)=álladó, t w =0, így T( p) = álladó Vagys a T(p) összdő em függvéye a áratváltozatak. Több féle áratváltozat vezet üresárat élkül megoldáshoz. (Lásd. példa) r =3
b. Üresárat úthossz mmalzálással megoldadó targocás áratok s r = Iteger! f Θ 0 ahol Θ azo rakodóhelyek halmaza, ahol a befutó és kfutó áratok száma eltérő. befutó üresárat kfutó üresárat s >f -él h = s -f d = 0 s =f -él h = 0 d = 0 s <f -él h = 0 d = f -s Az üresáratok száma: m = d = h = álladó = = Célfüggvéy általáos alaka: Tp ( ) = t( p) + t( p) + t( p) + t( p) = M! h ü w R mvel Th( p) = álladó, Tr( p) = álladó, Tw = 0 T( p) T ( p) = M! amely vsszavezethető: ü Lü ( p) Tü( p) = Lü( p) = M! v vagys az üresárat úthossz mmalzálását kell elvégez.
Mmáls üresárat úthossz: Lü k m ' ( p) = l x = M! = = ' l a redukált útmátrx, töröl kell az eredet l ' útmátrx azo sorát, ahová cs befutó üresárat, ll. azo oszlopot, ahoa cs kfutó üresárat. Keressük: x mátrxot, ahol x az -edk állomásból a -edk rakodóhelyre meő üresáratok száma. Feltételek: x =Iteger! k = m = x = h ( =... m) x = d ( =... k) A redukált útmátrx képzése: l = 0 ha h = 0 vagy d = 0 l ' ' ellekező esetbe = l ha h > 0 vagy d > 0 Az optmalzálás a leárs programozás egy specáls feladatára a szállítás feladatra vezethető vsza, amely az u. magyar módszerrel megoldható. (Lásd 2. példa)
c. Köráratok tervezése (gyűtő- és elosztóárat) R mátrx degeerálódk: a) elosztóárat: oszlopvektor r r M = r M r b) gyűtőárat: sorvektor rt r r r Egy árattal megoldható: = L L r = r ; r = r 0 0 = = p árattal oldható meg: Szükséges áratszám: r = r > ; r = r > 0 0 = = p Eter r 0 +
T( p) = th( p) + tü( p) + tw( p) + tr( p) tw( p) = 0 tü ( p) = 0 t ( p) = álladó R L K körút hossza T( p) = th( p) = M! LK ( p) T( p) = = M! v L ( p) = M! k Célfüggvéy: L ( p) = x = M! K = = l Feltétel: x = = x x 0 = =
Egy árattal megoldható gyűtő vagy elosztó áratok: START Képezzük az útmátrx oszlopösszeget Vesszük a legagyobb oszlopösszegeket adó 3 rakodóhelyet ge A Az oszlopösszegek csökkeése sorredébe körutat képezük és meghatározzuk a körút hosszát Va-e még bevoadó rakodóhely? em B Kíratás STOP
(Lásd 3. példa)
. Példa: Bemeő adatok: 0 20 40 40 40 0 20 20 Q = 40 20 0 0 20 40 0 0 0 30 40 80 30 0 30 60 L = 40 30 0 40 80 60 40 0 C 0 = 20 t, v = 80 km/óra, t r = 0, 25óra, ϑ = 6 óra, ϕ = 0,9 Üresárat élkül megoldhatóság elleőrzése: 0 2 2 5 2 0 R 4 T = ; sor- és oszlopösszegek vektora: s =, f = 2 0 0 3 [ 5 4 3 3], 2 0 0 3 Mvel telesül mdkét feltétel, így a feladat megoldható üresárat-élkül árattervvel. Képezzük a áratokból Euler-gráfot: Célfüggvéy értékéek kszámítása: rl = = 730 th ( p) = = = 9,25óra, v 80 t ( ) 0 Ü p = óra, t ( ) 0 W p = óra, t ( p) = r t = 3,75óra, R r = = ( ) ( ) ( ) ( ) T( p) = t p + t p + t p + t p = 2,875 óra H Ü W R T( p) 2,875 K = k ( + ) = k ( + ) = k 0 0 0 0 ϑϕ 4,4 Eter Eter Feladat megoldásáak geerálása (egy lehetséges áratterv, mmáls árműszám): Egy lehetséges üresárat élkül megoldás: 2 4 4 2 3 2 4 2 3 3 A áratterv végrehatásához szükséges mmáls szállítóármű-szám: T( p) 2,875 Z = + = + = 6*0,9 ϑϕ Eter Eter
2. Példa: Bemeő adatok: 0 40 60 20 0 0 0 40 60 80 Q = 0 80 0 20 40 40 40 40 0 20 0 20 40 00 0 0 5 2 7 25 4 0 6 8 3 L = 0 5 0 2 8 5 6 5 0 6 2 8 0 5 0 C 0 = 20 t, v = 80 km/óra, t r = 0, 25óra, ϑ = 6 óra, ϕ = 0,9 Az üresáratok számáak meghatározása Képezzük az R mátrxot és sor- és oszlopvektorat. 0 2 3 0 6 0 0 2 3 4 9 R = 0 4 0 2 ; s = 7 2 2 2 0 7 0 2 5 0 8 Meghatározzuk a be- és a kfutó üresáratok vektorát: 0 0 T d = 2 és h = [ 4,0,0,0,] 3 0 Képezhető a szükséges üresáratok száma: m= d = 2+ 3= h = 4+ = 5 = = T, [ 2,9,9,0] f =, Mmáls üresárat össz úthosszat bztosító relácókét üresárat számok optmalzálása T A d ll. h vektorok ullát tartalmazó soraak ll. oszlopaak megfelelő sorokat és oszlopokat törölük az L mátrxból és így megkapuk a redukált útmátrxot: P P Az üresáratok relácókét értékelése a egyeletek adódak: 5 P3 0 8 L ' = P 4 5 6 T d és h vektorok kelégítésére a következő + x = 2 3 35 + x = 3 4 45 + x = 4 3 4 x35 + x45 = A fet egyeletredszerek em függetleek egymástól ezért két megoldás adódk: x x x
. változat 2. változat 5 5 3 2 0 3 x ' = 4 2 x '' = 4 3 0 Az. változatál az üresárat úthossz a (6) szert: L' ü = 2 0 + 0 8 + 2 5 + 0 = 36km A 2. változatál az üresárat úthossz: L" ü = 0 + 8 + 5 5 + 0 6 = 33km " ' Mvel L < L, ezért a 2. változat ada az optmáls megoldást. ü ü Az optmáls áratterv egy változataak meghatározása A 2. változat szert optmáls üresárat elosztást fgyelembe véve előállítuk a korrgált áratszám mátrxot, amelyre fe áll, hogy ' r3 = r3 + x3 = 0+ = * r35 = r35 + x35 = 2+ = 3 * r4 = r4 + x4 = 2+ 3= 5 * r45 = r45 + x45 = + 0= A mátrx tovább eleme változatlaok. * * * * * Vagys r = r kvéve az r3, r35, r4 és r45 elemeket. Így előállítható a korrgált áratszám mátrx: 0 2 3 0 6 0 0 2 3 4 9 T* R = 4 0 3 s* = 9 f = [ 6,9,9,0,8] 5 2 2 0 0 0 2 5 0 8 * Látható, hogy s T* = f ha =, { ;2;...;5} vagys a árattervezés vsszavezethető egy Euler-gráfra: A kapcsolódó Euler gráf
A áratterv egy lehetséges változata 4 4 5 4 5 2 5 2 4 5 2 4 5 2 4 5 3 5 3 5 3 4 3 4 2 3 2 3 2 3 3 4 2 4 2 3 A áratterv végrehatásához szükséges mmáls szállító árműszám: 353km + 0 + 2 42 0,25h t km H ( p) + tü ( p) + tr( p) 80 h Z = + = = [, 765] + = 2 db Eter ϑϕ 6h 0,9 Eter Eter 3. Példa Bemeő adatok Ayagáram vektor q T 2 3 4 5 6 t = 0, 4,, 7, 4, 3 6óra 0 2 4 3 t q = 476óra 54 6 A mmáls úthosszak mátrxa P P P P P P 2 3 4 5 6 P 0 0 4 26 5 8 P 2 0 0 0 8 23 6 P 3 4 0 0 2 3 6 L = P 4 26 8 2 0 7 8 P 5 5 23 3 7 0 7 P6 8 6 6 8 7 0 0 km Tovább adatok: C v = 20t v = 80 km/ ó tr = 0,05 + 0,25γ ϑ = 6óra Elleőrzzük, hogy a ktűzött feladatot körárattal megoldható-e ezért képezzük a áratszám vektorokat.
és kszámítuk 2 3 4 5 6 γ = 0, 0,2, 0,05, 0,35, 0,2, 0,5 γ = γ = 0,95 < 0 = 0 0,2 T 0,05 γ = 0,35 0,2 0,5 A feladat körárattal megoldható. Képezzük az útmátrx oszlopösszegét: P P2 P3 P4 P5 P6 s = [ 73, 77, 55, 9, 75, 55] Az oszlopösszegek S = P ; P ; P ; P; P ; P csökkeő sorredébe az állomások: R ( 4 2 5 3 6) övekvő sorredébe az állomások: S = ( P ; P ; P; P ; P ; P ) R2 6 3 5 2 4 Keressük meg az optmáls köráratot először az útmátrx oszlopösszegéek csökkeő, mad másodszor övekvő sorredek. A. Útmátrx csökkeő oszlopösszegéek sorredéből kduló körárat meghatározása Válasszuk k a legagyobb három útmátrx oszlopösszegű állomást és határozzuk meg a köztük lévő utakat az I. mátrxból: (Az úthosszak 0-zel szorozva km-be értük) P4 P2 P5 P4 LK = 8 + 23 + 7 = 58 Válasszuk meg, hogy a sorredbe következő állomás az előzőekbe megállapított áratba a legksebb útkövetelméy mellett hová lleszthető be. P a P 4 P 2 L = / 26 + 0 8 = 8 P b P 2 P 5 L = /0 + 5 / 23 = 2 P c P 5 P 4 L = /5 + 26 / 7 = 24
Mvel a b. változat útövekméye a legksebb, így a P üzem a P 2 és P 5 üzemek közé lleszthető be legkedvezőbbe. Vagys a bővített árat: P4 P2 P P5 P4 LK 2 = 8 + 0 + 5 + 7+ = 60 A fet elvek szert vouk be a sorredbe következő üzemet a P 3 -t és vzsgáluk meg a lehetséges varácókat: P 3 a 2 P 4 P 2 L = /2 + 0 / 8 = 4 P 3 b 2 P 2 P L = /2 + 0 / 8 = 4 P 3 c 2 P P 5 L = /4 + 3/ 5 = 2 P 3 P d 4 2 L = /3+ 2 / 7 = 8 A legksebb útövekméy a P 4 és P 2 üzemek közé lleszthető be a P 3. A bővítet árat: P4 P3 P2 P P5 P4 LK 3 = 2 + 0 + 0 + 5 + 7+ = 64 Végül ézzük meg a P 6 üzem áratba kapcsolását. A áratba való kapcsolás lehetséges változata: P 6 a 3 P 4 P 3 L = /8 + 6 / 2 = 2 P 6 b 3 P 3 P 2 L = / 6 + 6 / 0 = 2 P 6 c 3 P 2 P L = /6 + 8 / 0 = 4 P 6 d 3 P P 5 L = /8+ 7/ 5= 0
Tovább varácó /P 4 -P 5 közé kapcsolás/ vzsgálat fölösleges, mert d, varácótól em lehet kedvezőbb. Az optmáls körárat: P4 P3 P2 P P6 P5 P 4 Az optmáls körárat hossza: LK = ( 2 + 0 + 0 + 8 + 7 + 7) 0 = 640km A körárat az duló pot felírva: P P6 P5 P4 P3 P2 P B. Útmátrx övekvő oszlopösszegéek sorredéből kduló körárat meghatározása Válasszuk k a legksebb három útmátrx oszlopösszegű állomást és határozzuk meg a köztük lévő utakat az L mátrxból. P6 P3 P P 6 Határozzuk meg a körút hosszát az útmátrx felhaszálásából: LK = ( 6 + 4 + 8) 0 = 280km Keressük meg a soro következő P 5 állomás helyet: P 5 a P 6 P 3 L = /7+ 3/ 6= 4 P 5 b P 6 P L = /3+ 5 / 4 = 4 P 5 c P P 6 L = /5+ 7/ 8= 4 Mvel md 3 változat azoos az első változatot választuk: P P P P P 6 5 3 6 LK2 = KK+ 40 = 420km Keressük a soro következő P 2 állomás helyét P 2 a 2 P 6 P 5 L = /6 + 23/ 7 = 32 P 2 b 2 P 5 P 3 L = /23+ 0/ 3= 20
P 2 c 2 P 3 P L = /0 + 0 / 4 = 6 P 2 d 2 P P 6 L = /0 + 6 / 8 = 8 A P 2 -t a P 3 -P közé helyezzük, mert ez esetbe legksebb a körúthossz övekméy. A bővített körút felépítése: P6 P5 P3 P2 P P 6 amely úthossza LK3 = ( LK2 + 60) = 420 + 60 = 680km Az utolsó P 4 állomás helyét keressük: P 4 a 3 P 6 P 5 L = /8 + 7 / 7 = 28 P 4 b 3 P 5 P 3 L = /7 + 2 / 3 = 6 P 4 c 3 P 3 P 2 L = /2 + 8 / 0 = 20 P 4 d 4 P 2 P L = /8 + 26 / 0 = 34 P 4 e 4 P P 6 L = / 26 + 8 / 8 = 36 A legksebb útövekméyt P 5 -P 3 között P 4 elhelyezés ada. A teles körút felépítése P P6 P5 P4 P3 P2 P A teles körút úthossza: LK4 = ( LK3 + 60) = 640km