Még egyszer a Cayley-Klein modellről

Átírás

1 Még egyszer a Cayley-Klein modellről (Apróságok II.) Az [1]-ben, a 3. pontban részletesen ismertettem a hiperbolikus sík Cayley-Klein-féle modelljét. Az ott leírtakat most több vonatkozásban is helyesbítem, illetve kiegészítem. Hivatkozott írásomban tévesen állítottam (ld. 4. oldal legfölső bekezdését), hogy a sugarú C-K-modellben a belső körlap (végpontok nélküli) húrjai közül csak az O középponton átmenő átmérők a hiperbolikus sík egyenesei. Ezzel szemben az igazság az, hogy a C-K-modellben az összes (végpontok nélküli) húr egyben hiperbolikus egyenes is. A hiperbolikus sík euklideszi síkban/térben megalkotott modelljei közül e modellben tehát a görbült hiperbolikus sík egyenesei egyúttal euklideszi egyenesek szakaszai is. (A Poincaré-féle körmodell hiperbolikus egyenesei viszont euklideszi értelemben már valóban nem egyenes szakaszok: azok ugyanis olyan körök ívei, amelyek a hiperbolikus síkot modellező belső körlap határoló körívét merőlegesen metszik. E merőlegesen metsző köröknek is természetesen csak a belső körlapba eső ívei számítanak a P-modell hiperbolikus egyeneseinek azaz metszéspontjaik például már nem tartoznak a síkhoz; így annak hiperbolikus egyeneseihez sem.) Azt is tévesen állítottam (szintén a hivatkozott írás 4. oldalának legfölső bekezdésében), hogy a C-K-modell hiperbolikus egyenesei feleltethetők meg a fizikai téridő sebességreprezentációbeli inerciarendszereinek. Ezzel szemben az igazság az, hogy a belső körlap mint hiperbolikus sík pontjai feleltethetők meg kölcsönösen egyértelmű ráképezéssel azaz bijekcióval az ebben a síkban fekvő sebességvektorokkal jellemezhető inerciarendszereknek; pontosabban ezek nyújtási transzformáció előtti előképének. (A sebességvektorok a lokális éterhez képest nyugvó, tehát lokálisan abszolút K 0 vonatkoztatási rendszerben értendők.) Ezen nincs is mit csodálkozni, hiszen a Bolyai-féle hiperbolikus geometria ugyanúgy méri a szöget, mint az euklideszi geometria: mindkettő a Riemann-féle szögmértéket használja. A körlap O középpontja nem más, mint maga a lokális K 0! A C-K-modell talán legnagyobb előnye abban rejlik, hogy úgy alkotható meg a szemléletünkhöz legközelebb álló euklideszi térben/síkban, hogy e beágyazáshoz nincs szükség 1 számmal magasabb dimenziójú euklideszi térre. Magyarán a C-Kmodell szerinti hiperbolikus sík vagyis 2-dimenziós hiperbolikus tér megalkotásához elegendő az euklideszi sík vagyis a 2-dimenziós euklideszi tér. (Ez például már nincs így a szintén Poincaréhoz köthető másik hiperbolikus síkmodell, a Poincaré-féle félgömb-modell esetében: ott a hiperbolikus sík megalkotásához bizony már 3-dimenziós euklideszi térre van szükségünk!) Ebből pedig a téridő-fizika számára az a roppant értékes következmény származik, hogy az emberi szemlélet számára még felfogható/ kézzelfogható /természetes 3-dimenziós euklideszi térben megalkotható a C-K-modell háromdimenziós változata, azaz a 3-dimenziós 1

2 hiperbolikus tér! (Ami pedig korábbi tanulmányaink szerint lásd sebességreprezentáció éppen elegendő a négydimenziós fizikai téridő teljes körű tanulmányozásához.) Ehhez nem kell mást tenni, mint a 2-dimenziós C-K-modellt körbeforgatni bármelyik átmérője körül: az így nyert ( sugarú) gömbhéja nélküli golyó lesz a 3-dimenziós euklideszi térben megalkotott 3-dimenziós hiperbolikus tér Cayley-Klein-féle modellje. Gömbünk belső pontjai egy-egy olyan K v inerciarendszernek felelnek meg, amelyek K 0 -beli v sebességének iránya éppen a gömb O középpontjától a megfeleltetett d v pontba húzott 3-dimenziós vektor irányával azonos. (A sugarú gömb belső pontjai alkotta 3-dimenziós hiperbolikus tér hiperbolikus síkjait a gömböt átszelő euklideszi síkoknak a gömb belsejébe eső részei alkotják.) Iménti megjegyzésünkből már az is ( hiperbolikus ) egyenesen következik, hogy az Einstein-féle speciális relativitáselmélet miért tarthatatlan és menthetetlen tévtan. Abban ugyanis a C-K-modell egy c 0 c ( k v áll. minden v <c esetén, s így k Do k Dv 1) 1 sugarú gömb, amelynek viszont éppen most láttuk a gömbhéja már nem tartozik a C-K-modellbe. Magyarán Einstein, matematikailag abszurd módon, olyan modellt épít föl, amelybe beleérti az egyébként bele nem érthető, azaz a modelltől idegen, értelmezhetetlen pontosabban a végtelen távoli pont szerepét betöltő gömbhéjat is. (Ugyanis az elmélet szerint egyetemes állandó skalárként értelmezendő fénysebesség éppen a nemlétező gömbhéjnak felelne meg. Ha viszont nem tekintjük sebességnek a fény sebességét holott mind iránya, mind nagysága van, akkor óhatatlanul Einstein fából vaskarikájához jutunk: egy fizikailag létező, iránnyal és nagysággal rendelkező mennyiséget négyesskalárnak definiálunk. Nekem ez már kicsit sok az agyafúrt csűrés csavarásból ) Einstein elméletének másik tartópillére is megdől föntiek tükrében: őszerinte ugyanis nincs éter ami azzal az állítással egyenértékű egyébiránt, hogy minden (valamely inerciarendszerben gyorsulásmentes) mozgás egyenértékű, s így nincsenek abszolút mozgások, sem abszolút sebességek. A C-K-modellben ez viszont azt jelentené, hogy a határoló pontjaitól megfosztott körlapnak/gömbgolyónak nincsen kitüntetett pontja. Hát dehogyis nincs: az O középpont, amely éppen a lokálisan abszolút (mert a lokális éterhez képest nyugvó) K 0 vonatkoztatási rendszert reprezentálja! Következésképpen éternek is léteznie kell. Végezetül most rátérek (az [1]-beli jelölésektől némileg eltérő írásmódban) a mind [1]-ben, mind [2] elején kifejtett, illetve említett azon kétarcúságra (sőt: hamarosan kiderül, hogy többarcúságról van szó!), miszerint valamely d hiperbolikus szakasznak a δ euklideszi mértéke hol δ th d, hol pedig bonyolultabb alakú attól függően, hogy a d hiperbolikus szakaszt a C-K-modell valamely átmérőjén vesszük fel, avagy azt egy, az O középponttól 0.<.m hiperbolikus távolságra lévő igazi 1 A k Dv <1 megengedett v-re feltételezéssel pedig már a gömb felületén is túlra/kívülre helyeznénk a fény sebességét. (A vákuumbeli fény terjedése amúgy csak a k Dv 1 minden megengedett v-re föltevéssel lehet izotróp bármely inerciarendszerben.) 2

3 húron. Ez utóbbinál (d valamely valódi tartóhúron van) három alapeset különböztethető meg: 1. A d szakasz mindkét végpontja az O-ból a szakaszt tartó húrra bocsátott merőlegesnek a húrral alkotott metszéspontjától a húrnak egyazon oldalára esik (természetesen d mindkét végpontja a metszésponttól nullánál nagyobb hiperbolikus távolságban). Ekkor a d hiperbolikus szakasz euklideszi mértékének kifejezése nagyon bonyolult most meg sem próbáljuk megadni. (Talán majd egy következő dolgozatban megkíséreljük..) 2. E második eset annyiban tér el az iménti 1. esettől, hogy a d hiperbolikus szakasz egyik végpontja egybeesik az O-ból a húrra bocsátott merőleges és a húr metszéspontjával. E speciális esetben a d hiperbolikus távolság euklideszi mértéke (ld. még [1], 3. pont): δ th d ch m, amelynek a k th kifejezés mivel ch(x) 1 x- re már csak egy felső korlátja. Itt m az O középpontból a húrra bocsátott merőleges szakasz hiperbolikus mértéke; melynek µ euklideszi mértéke amúgy: µ k th. 3. A harmadik esetben pedig a d hiperbolikus szakasz végpontjai a metszésponttól a tartóhúr ellentétes oldalaira esnek. Ekkor a d hiperbolikus távolság euklideszi mértéke szintén rendkívül bonyolult formula; ugyanakkor különbözik az 1. esetbeli kifejezéstől is. E többarcúságnak megint csak megvan az egyértelmű és fontos fizikai jelentése/ megfelelője! Ennek föltárásához tekintsük az 1. Ábrát. A d w és d v pontok amelyek korábbi fejtegetéseink szerint a K w és K v vonatkoztatási rendszereknek (pontosabban azok nyújtás előtti előképeinek ) felelnek meg a lokálisan abszolút K 0 -t reprezentáló O középponttól, euklideszi értelemben δ k th és δ k th távolságra vannak. Ebből pedig az következik tekintettel arra, hogy az O középpontból induló d v hiperbolikus vektorok mindig valamely átmérőn fekszenek, hogy a lokálisan abszolút K 0 alaprendszerből mért valamennyi v sebesség értéke, irányától függetlenül, mindig az őt reprezentáló d v hiperbolikus szakasz euklideszi mértékével egyenlő: v δ k th. Nem így a K v -ből mért d u* esetében: u k th δ δ m, ahol m*>0 a d u* tartóegyenesének hiperbolikus távolsága az O középponttól. Ha viszont w és v egy egyenesbe esik azaz ha az általuk bezárt γ szög nulla akkor m* is nullává válik. Magyarán arról van szó, hogy akkor egyenlő két, egyenként a lokálisan abszolút K 0 -ból mért sebesség (pl. w és v) különbségképzésével kapott valamely u* sebesség az őt reprezentáló d u* hiperbolikus vektor euklideszi hosszával, ha w és v egyazon tartóegyenesen fekszenek (azaz ha egyező vagy ellentétes irányú sebességek). Ha w és v a 3-dimenziós térben egymással 3

4 γ 0 (és persze γ 180 o ) szöget zárnak be, akkor az így adódó δ sebességérték már nem egyenlő a d u* hiperbolikus távolság euklideszi mértékével: X Y r= d w O K 0 γ d v K v K w d u* 1. Ábra A * azért szerepel u jelölésében, mert a Dobó-Topa modell szerint a tényleges u számításához még egy valódi nyújtásra is szükség van (azaz kilépünk a görbületi paraméterű hiperbolikus térből, és u*-hoz hozzárendeljük egy k v > görbületi paraméterrel jellemezhető negatívan kevésbé görbült másik tér u vektorát): u u u. *** A továbbiakban bemutatjuk a hiperbolikus térbeli reprezentációban rejlő hihetetlen erőt és szépséget. Ehhez az 1. Ábra d u* sebesség-reprezentánsát a hiperbolikus koszinusztétel segítségével fejezzük ki (d w, d v és γ függvényében): (1) γ. Szükségünk lesz még a hiperbolikus függvények közti, alábbi nevezetes összefüggésre is: (2) chx Végezetül teremtsük meg a kapcsolatot a sebességreprezentációs hiperbolikus tér pontjai és a fizikai világ kapcsolódó sebességei között azaz alkalmazzuk Dobó alapformuláját: (3) w k th, v k th, u k th Mivel 4

5 (4) ch x sh x 1 ezért (5) shx ch x 1 2miatt 1 thx thx Ezek után alkalmazzuk (1)-re a (2) és (5) összefüggéseket: (6) th th cosγ A (6) egyenletet átmeneti technikai/könnyítési okokból érdemes átírni az alábbi tömör alakba: Azaz (7) (8) A γ cosγ γ Most írjuk ismét ki az ideiglenes jelöléseket (A-t, B-t és C-t): (9) 1 th Ezt ismét átírhatjuk (3) alkalmazásával: γ (10) 1 Emeljünk négyzetre: (11) 1 Fejezzük ki (11)-ből u* 2 -et: γ γ 5

6 (12) u k 1 γ k γ γ k γ γ γ γ γ γ γ Végezetül vonjunk négyzetgyököt: γ k γ γ γ γ k γ γ γ (13) u w 2 2wvcosγv 2 w2 v 2 2 k sin2 γ 0 1 wv 2 cosγ Ebből a valóságos u a szokásos térnyújtással adódik: (14) u u γ γ γ Ez pontosan megegyezik a [4]-ben kapott (4) alatti formulával és ennek így is kell lenni! (A bonyolult levezetés miatt írtuk le az alkalmazott lépéseket részletesebben!) Ha most γ=0 választással élünk azaz w és v egyazon irányba mutatnak (így egyúttal ugyanazon tartóegyenesen is fekszenek) K 0 -ból nézvést, akkor speciálisan (15) u wv 1 wv 2 wv 1 wv 2 γ 0 ha a szokásos 0<v<w konvencionális föltevésekkel élünk. Azaz visszakaptuk a jól ismert Dobó-Topa-féle sebességkülönbségi formulát! Mindebből talán az is következik, hogy u (vagy u*) esetében is a klasszikus Dobó-féle (16) u k th sebességformula a helyes noha ekkor e képlet nem a d u* hiperbolikus távolság euklideszi mértékét adja. Vajon ha u kiszámításakor kivételesen a 2. alatti speciális esetet (3. old.) föltételezve a d u* euklideszi mértékét használtuk volna; azaz ha a 6

7 (17) u k összefüggéssel éltünk volna, akkor is visszajuthatnánk a (15)-beli, korábban már helyesnek megismert, speciális (γ=0) összefüggéshez? Lássuk! A (17) alkalmazásával a (10) egyenletre ez adódna: (18) 1 mu γ amiből a (13) módosult alakja az alábbi lenne: (19) ch u Ez a formula a γ=0 speciális esetre a w 2 2wvcosγv 2 w2 v 2 k 2 sin2 γ 0 1 wv 2 cosγ (20) ch u γ ch u 1 u γ γ 0 összefüggésre vezetne, amely képlet viszont megegyezik a (15) alatti képlettel! Ezek szerint e nagyon leszűkített, speciális úton nem dönthető el, hogy nem egyazon tartóegyenesre eső w és v sebességek (vagyis amikor az általuk bezárt γ szög: 0 γ 180 o ) különbségének képzésekor adódó u (vagy u*) nagyságának meghatározásakor u*-nak a (17) alatti euklideszi mértékét, avagy e mérték u k th felső korlátját kell-e alkalmazni. *** A majd csak egy következő döntően Dobónak a jelen dolgozat kapcsán tett észrevételeire építő tanulmányban közlendők szerint (majdani 2. pont ) a Bolyai féle S-rendszerben és a C-K modellben a párhuzamossági távolság (d) és a párhuzamossági szög (β) közötti matematikai összefüggés azonos, csak a távolság mértéke eltérő. Erre való tekintettel a C-K modellbe ágyazva, röviden vázoljuk Dobó ragyogó levezetését, amelyet Bolyai János talán legfontosabb formulájából kiindulva épített fel. E formula szerint a k görbületi paraméterű hiperbolikus tér alapegyenletének négyzete: Mivel ezért (21) ctg β e (22) ctg β β β, 7

8 (23) e β β. Most a (23) egyenletből kifejezzük cosβ-t: (24) cosβ th. A (24) jobb oldala viszont (a Dobó-formula szerint): (25) th. A (21)-nek a (24)-re való átírása kellett ahhoz, hogy Dobó a (25) alatti összefüggést felismerje! Végeredményben az alábbi alakban is megadható a Dobó-Topa-féle téridőmodell alapösszefüggése: (26) β. Ezzel a képlettel azonban nem lehet praktikusan számolni. *** Joggal vethető fel, hogy a Topa-féle háromosztatú modell amelyet Dobó egyébként kezdettől fogva erősen vitat nem tűnik összeegyeztethetőnek az 1. Ábra képével, sem az abból kiinduló, a hiperbolikus koszinusztételen alapuló (és imént bemutatott) levezetéssel. A hármasgeometriájú modellben ugyanis (a lokálisan abszolút K 0 -ban értelmezve a v sebességeket): (27) k c k c k ami nyilvánvalóan csak a (28) 0 v c v értékekre értelmezhető (úgy, hogy k v mindig létezzen, és k v >0 sőt: k v fönnálljon.) Ugyanakkor [3]-ban arra az eredményre jutottam elméleti úton, hogy (29) k 2 R (Ezt az értéket Dobó nem tekinti elfogadhatónak!) Ez azt jelenti az 1. Ábra, azaz a Cayley- Klein hiperbolikus modell nyelvén amelyben a végtelen távoli pont (a sugarú kör kerülete / gömb felülete) a Topa-féle háromosztatú modell lokálisan abszolút (és R 0 =c 0 R Do sugárral jellemezhető) K elliptikus alaprendszerének felel meg, hogy a C-K modell körének/gömbjének sugara: (30) k c k 2c 8

9 Vagyis a C-K modell 1. Ábrabeli körének/gömbjének sugarát éppen felezi a lokális éterhez képest mért és ilyen értelemben valóban egyetemes fizikai állandónak tekinthető c 0 fénysebességgel mint sugárral az O középpontból megrajzolt koncentrikus kör/gömb 2. A (28) értelmében a v ennek belsejébe kell essen ahhoz, hogy a hiperbolikus koszinusztételt a bemutatott módon alkalmazhassuk u* kiszámításához! Tömören és még világosabban fogalmazva: Látszólag legalábbis, a Topa-féle háromosztatú modell teljesen önkényesen az 1. Ábra szerinti C-K modell (kerületétől megfosztott) sugarú körlapjából / (felületétől megfosztott) gömbjéből csak a felezett (=c 0 ) sugarú részt pontosabban annak is csak belső pontjait hagyja meg; legalábbis olyankor, amikor sebességkülönbségek képzésekor a kisebbik (konvencionálisan v-vel jelzett) sebességértéket tekinti. (Azért, hogy K v még értelmezhető legyen; összhangban (27)-tel és (28)-cal.) Márpedig az 1. Ábrán, jól láthatóan, még a v-nek megfeleltethető d v is túllóg ezen a képzeletbeli és önkényes, c 0 sugarú belső körön/gömbön. Akkor most hogyan is van ez..? A háromosztatú modell által felhasznált matematikai C-K modellben a sugarú körlap/gömb minden belső pontjára felírható az (1) alatti hiperbolikus koszinusztétel, míg magában a fizikai jelentésű hármasgeometriájú elméletben csak a v <c 0 valódi részhalmazon értelmezhető a sebességkülönbség..??! Vagyis a Topa-féle hármasmodellben a fénysebesség igaz: itt a lokális éterhez képesti abszolút fénysebességről van szó; s ez nagy különbség! ugyanolyan beilleszthetetlen lenne (mert a hiperbolikus struktúra alkalmazhatóságán kívül esne) magába a matematikai alapmodellbe, mint Einstein speciális relativitáselméletében? Áthidaltunk egy hiányosságot, s közben generáltunk egy hasonló újabbat? Csöbörből vödörbe? A paradoxon feloldása a következő: Az 1. Ábra szerinti u* számítását nem korlátozza a v <c 0 önkényes megkötés vagyis a hiperbolikus koszinusztétel a C-K modell alapjául szolgáló körlap/ gömbgolyó teljes belső tartományán alkalmazható továbbra is, minden külön önkényes megkötés nélkül. Csakhogy ezzel még nem u-t, hanem csak a közbülső/ előkép u*-t határozhatjuk meg. A tényleges u előállításhoz még egy további lépésre is szükség van: mégpedig az (31) u u u nyújtásra; amely művelet valójában egy kölcsönösen egyértelmű (injektív) transzformáció a kiindulási ( görbületi paraméterű) hiperbolikus terünkből (ez tartozik a lokálisan abszolút K 0 -hoz) az érkezési (k v görbületi paraméterű) hiperbolikus terünkbe (ez tartozik K v -hez). És csak ez a második lépés/művelet, ez a két különböző hiperbolikus tér közötti transzformáció az, amit valóban korlátoz a (28) alatti megkötés! (Aminek viszont már vajmi kevés közvetlen köze van a C-K modell belső viszonyaihoz.) *** 2 Annak részletes bemutatása, hogy mindez ellentmondásmentesen azaz a (3) szerinti sebesség-definícióval tökéletesen összhangban megtehető a C-K modellben, a Hivatkozások után csatolt MELLÉKLET-ben található. 9

10 További félreértések merülhetnek föl az 1. Ábra alapján azzal kapcsolatosan is, hogy abban a háromszög szögeinek összege továbbra is 180 o -nak tűnik holott, tudvalevőleg, a hiperbolikus terek háromszögeinek összege mindig kisebb 180 o -nál. Megnyugtatásul: A látszat ellenére az 1. Ábra szerinti háromszögnek is kisebb a belső szögösszege 180 o -nál ám ennek részletes magyarázata, kiegészítve Dobónak a jelen dolgozathoz fűzött további mélyenszántó észrevételeivel, már egy következő dolgozatra marad. (Annyit azért már most, elöljáróban elárulok, hogy megmutatható, miszerint a C-K modellben az euklideszi geometria szerint egybevágó szögtartományok közül a C-K modell O középpontjával egybeeső csúcsú szögtartomány a legnagyobb; egyben egyenlő az euklideszi geometria szerinti értékével. Ebből aztán már rögtön adódik, hogy az 1. Ábra háromszögének belső szögösszege kisebb π-nél.) *** Fentiek fényében bátran kijelenthető, hogy Einstein téridőelmélete (speciális relativitáselmélete) éppen úgy és olyan mértékben fogyatékos a fizikában, mint az általa lényegében bár leginkább ösztönösen alapmodellként használt Lobacsevszkij-féle hiperbolikus geometria fogyatékos a Dobó-Topa-féle téridőelmélet sziklaszilárd talapzatául szolgáló Bolyai-féle k görbületi paraméterű hiperbolikus geometriához képest a matematikában. Budapest, március 15., kedd Topa Zsolt fizikus, szakközgazdász Hivatkozások [1] Topa Zsolt: Apróságok (Kézirat, Budapest, július 17.) [2] Topa Zsolt: A Michelson-Morley kísérlet gyökeres átértékelése (Kézirat, Budapest, április 23.) [3] Topa Zsolt: Első kísérlet k Do számértékének elméleti meghatározására (Kézirat, Budapest, október 3.) [4] Dobó Andor: A Dobó-Topa-féle formulákról (Kézirat, Budapest, június 23.) MELLÉKLET Most pedig ellenőrizzük, hogy a c 0 = /2 sugarú koncentrikus kör/gömb kerülete/héja valóban az [1]-ben (a 3. pontban) leírt d hiperbolikus távolságdefiníció szerint is éppen a c 0 sebességnek felel meg a lokálisan abszolút K 0 -ban már ha Dobó szokásos sebességformuláját használjuk. Nos lássuk: 10

11 ö "é" k 2? k th d k kiírva a hiperbolikus d távolság "kettősviszonyos" deinícióját k 2 ln 3c 1c 2c th 2c th 1 2 ln3 2c thln 3 k 2c e e e e 2c 3 e 3 e 2c c c 2 4 éáó ééé Azaz valóban teljesül jogos elvárásunk a Cayley-Klein-féle hiperbolikus tér-modell ezúttal is meggyőző ellentmondás-mentességet, csodálatos belső harmóniát mutat! 11