Differenciálegyenletek II
|
|
|
- Sarolta Bogdánné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Diffeeniáegyenee II Hasneh Pée E a jegye Posgay aás onáiója aapján ésü. ho dam póbáam a sajá megáásaim sein magyaáni. Kisi sájbaágós de eméem e majd ééeie Inább visgaenis ného nem ejes a emée eveeése; főeg a megodás módseein van a hangsúy. So sie a visgáho! Áandó vaiáásána módsee Íme egy másodendű ineáis inhomogén diffeeniáegyene: y p y q y g jobb odaon áó inhomogén ago foás-na neveü. egyenee mos a áandó vaiáásána módseéve odj meg min a an esőendűené. Esőén váass e a foás így apn egy homogén diffegyenee! y py qy 0 Ha egy másodendű homogén diffegyenene van é ineáisan függeen megodása: ao ee eőáíjá a inhomogén egyene áaános megodásá. y és Ebbő isme Zaán megadja. meghaáoásáho eőáíj a úgynevee önadjngá aao amey a öveeőépp né i: y sy h Ebbő függvény e megaánn. Végeü e a deiváás! y y sy h
2 Diffeeniáegyenee II Innen ási hogy y y s p y h d n pd e onsy-deemináns a homogén egyene é megodásá és deivájai fogaja magába. pd pd onsy-deemináns ao és ha a é megodás ineáisan össefügg. Néü e meg! 0 n n n n e Láhaó hogy a é megodás ineáisan össefügg. E baj! nna e öüni ha a onsydeemináns nem és! Heyeesísü be a homogén egyene é függeen megodásá a önadjngá aaba és végeü e a deiváás!
3 Diffeeniáegyenee II 3 0 s s 0 s s Soo be a é egyenee ende -ve és -gye majd vonj i egymásbó a eő! 0 Rásimeheün a é áojees ifejeése mive a nem más min E pedig egyenee adja meg. Ebbő 0 0 E hívj be-éene meye a ésőbbie soán fehasnán. Oss e a onsy-deemináns -e! és. Így d d d Láhaj hogy ebbő má ifejeheő a homogén egyene másodi megodása aho e - pedig majd úgy váasj meg hogy a edveő egyen sámna. E majd a pédában áni fogj. Ee megodo a homogén egyenee. Mos öveei a áandó vaiáásána módsee. Tdj hogy a homogén egyene é megodása eőáíja a inhomogén egyene áaános megodásá. pd y 3
4 Diffeeniáegyenee II 4 ovábbiaban má ee a egyenee e fogaonn hogy ejssn a áaános megodásho. onban ehhe be e veenün egy feée. Oosa iaáá a öveeő: 0 Áíóag e műödi eé e e aamani! Deiváj a áaános megodás! y y ama a feéeüne! Eo apj a öveeő egyenee: y y eheyeesíün a eedei egyenebe. g q p sopoosín. g q p q p Láhaj hogy a é áojees ifejeés a homogén egyene é függeen megodása ami egyenő éssa mive homogén. Így e a é ag eűni. Maad ehá g 0 egyeneendse meyne megodása: és evee a áaános megodásho. Íj e fe egy máiegyenebe! g 0 Inveáj a máio! g g g g Z g Z 0 0 de 0 4
5 Diffeeniáegyenee II 5 Tehá d g d g d a d g d g d b ho a és b inegáási onsanso. Ebbő meghaáohaj a inhomogén egyene áaános megodásá. y Össegés Váass e a foás így apn egy homogén diffegyenee: y py qy 0 Enne egyi megodásá -e Zaán megadja. Innen haáo meg -. Hasnáj a e d p d g g egyenee. Ebbő inegáássa ejn -ho és -he. Íj fe a áaános megodás! y Ha e iessün edőfeéeehe és íj fe a paiáis megodás! 5
6 Diffeeniáegyenee II 6 Péda 4 y y y Leváasj a foás. Enne egyi megodásá Zaán megadja. Kisámohaj -. 4 y y p y 0 e pd e pd d 5 d 4 ons Legyen 0! Legyen 4! Eo Megodo a homogén egyenee his endeeésüne á a é megodása. Iyeno édemes eenőini eee mieő ovábbmennén. eedei egyeneün e vo: 4 y y y Tdj hogy a foás néüi homogén egyene é megodása eőáíja a eedei inhomogén egyene áaános megodásá. y 6
7 Diffeeniáegyenee II 7 eméei ésben megap hogy g g Ebben a pédában 4 g Hasnáj őe! a 4 4 b b a b a y Geen-függvény beveeése Néü a öveeő pédá: m D g Rgóa ögíe ese egy gejesőeő ánga. mogásegyene g g D m Legyen és a egyseűség edvéé hogy ne ejen hodoni a sámoáso soán. Így m D g 7
8 Diffeeniáegyenee II 8 E egy másodendű ineáis inhomogén diffeeniáegyene ami áandó vaiáásáva meg dn odani. Odj is meg! Mive fiiso vagyn dj hogy a foás eváasásáva apo homogén diffegyene egyi függeen megodása egy isa sinsos egés. hogy má á Legyen! Így 0 sin - meghaáohaj a öveeő épee: d d e sin os sin os pd sin sin Megodo a homogén egyenee. Eo Hasnáhanán gye a os sin os g g egyenee. gyaoás edvéé jáj aonban mos végig a a a ami a áandó vaiáásána eméeében megeün. Ismejü a oosa áa iaá feée: sin os 0 Továbbá a mogásegyenebe beheyeesíve a áaános megodás jeenegi aajá megapj a öveeő egyenee: os sin g Soo be a é egyenee ende sin -ve és os -ve és vonj i egymásbó a eő. Eo e apj: sin os g os g os a g os d 8
9 Diffeeniáegyenee II 9 Mos soo be gyana a é egyenee ende os -ve és sin -ve és ismé vegyü a üönbségüe! sin os g sin g sin b g sin d Mive nem ismejü g - ényeene esün a inegáfomáa vissaheyeesíeni a áaános megodásba. onban vigyán a inegáási váoóa eé beveejü ' -. 0 g 'os' d' sin 0 g ' sin ' d' os g ' os'sin os sin ' d' g 'sin ' 0 0 E a áaaíás aé ehejü meg me a inegáás semponjábó a vesső néüi -s igonomeis függvénye onsanso. aábbi ifejeés G ' sin ' jeen feadaban Geen-függvényne hívj és a mondja meg hogy egy is öés haásáa hogy viseedi a függvény. Ha e inegáj 0-ó -ig ao megapj a időbei ejes gejesőeő áa iaaío mogás eíó egyenee. Dia-dea a a speiáis ű aaú függvény amey mindenho és ivéve a 0-ban és öveen önyeeében aho isi a séessége és a magassága. Tehá a inegája ponosan. Dia-dea úgy definiá hogy e a haáééban a a náho ehá esőegesen isine veheő mindig annyia hogy a ado pobéma sámáa eegendő egyen. Dia-dea egy isi öés a endsee néve. Képejü e úgy hogy a eőbbi pédában a gó megöjü egy is Dia-deáva ' -ben. Eo a endse sinsos egésbe jön. Ha mindig megöjü egy pii úgy hogy a is öésebő egy foyonos gejeső ángaó eő jöjjön ée vagyis eee a ' heyee inegáj a engeye vonaoóag ao apj a endse ejes egésében eíó diffeeniáegyenee amey áaában így né i: y G h d Tehá a foás min a ángaás időben eíó függvény és a Geen-függvény amey megmondja hogyan eagá a endse a ángaása inegája a megodás. Pese a ángaás ifejeés épees. Áaában foásna neveü ahogy a ögön a jegye eején íam. foás ehe aá egy emodinamis endse üső fűése is vagy egy eeomos endsee d' 9
10 Diffeeniáegyenee II 0 áapso üső fesüség vagy bámiyen üső poeniá amey váoha ében és időben egyaán. RENDSZER VISELKEDÉSE VIZSGÁLT INTERVLLUMR KISI REKIÓ KISI HTÁS Ebben a épees épeben a haás min foás jeeni meg a eaió pedig min Geen-függvény. visgá inevam ehe ében vagy időben. seméeés edvéé épejün e egy hú ami a sé haásáa ié heyeébő feves vaamiyen aao. Minden isi daaba megnéü: ha o egy is sé fúj ao miyen aao ves fe a egés hú. Ugyane megsináj a egés húa. E jeeni a seini inegáás. Hú eseében aonban peemfeéee is vanna. Peemfeéee beágyaása a Geen-függvénybe Egy diffeeniáegyenee é faja feéehe iesheün. Kedőéé megadásao megmondj hogy egy ado pianaban hogy viseedi a függvény. E a göbeseegbő iváas egy függvény. edőéé nem befoyásoja a függvény miyenségé. Eenben egy endse eíó diffegyene módos ha megmondj hogy viseedi a endse bionyos haáoon. Peeméépobémá megodásáa hasnáhaó a Geen-függvény. E beépü a mogás- vagy páyaegyene inegáfomájába és esein e majd inegáni. Vegyün egy öönséges másodendű függvényegyühaós ineáis inhomogén diffeeniáegyenee: peemfeéee adoa. homogén egyene egyi megodása is ado. Áís eő a önadjngá aajá! ho min dj y p y q y g y a y y b y vaami y s y h e p d 0
11 Diffeeniáegyenee II Legyen és a homogén egyene megodásai és áís eő eee és ineáis ombináiójaén úgy hogy a é - a é peemfeéehe iesjü. E úgy e eépeni hogy a egyi peemfeéehe a mási peemfeéehe igaío. ábán a ási hogy a é -a üön-üön igaío a é peemfeéehe majd enne a eőne a össegébő spepoíiójábó á eő a áaános megodás. y a y y b y Könnyű beeavaodni ebbe a so paiáis megodásba:. Ugyan mindegyi megodása a homogén egyenene de ebbő és nins a peemfeéeehe iesve. Eé - és -bő eésíjü és függvényee úgy hogy a ineáis együhaó megváasásao figyeembe vessü a peemfeéeee. E hívjá úgy hogy áéün egy mási megodásbáisa. Mive ineáis a egyene eé nygodan jáshan a paiáis megodásoa me dj hogy ee össege úgyis eőáíja majd a áaános megodás ha jó váasj meg a együhaóa. együhaó megváasása pedig mindig edő- vagy peemfeée aapján öéni. á ehe mindeő is. d a y D b y Ebbő a négy egyenebő meghaáo D -. Majd fe is íhaj -e és -. Jeen eveeés oyan esee vonaoi amio a peemfeéee deiváaban nem jeenne meg. Ha Zaán mégis iye ad ao se ijedjün meg; deivájn nygodan íésün sein és odj meg a egyeneendse. Geen-függvény áaános eseben G onsy-deemináns i D D féeéése eeüése vége a deeminánsban és a mögöe áó nem gyana! deeminánsban seepő a áandó vaiáásábó sámaó együhaó míg a üső a meghaáoásáná eőeüő onsans.
12 Diffeeniáegyenee II megodás pedig y h d a b h d Össegés Meghaáo -e majd besoo vee a egyeneüne így megapj a önadjngá aao. Jegyeü meg h -e me ésőbb süségün es á! do áís eő. y s y h d és ineáis ombináiójaén áís eő -e és - úgy hogy fehasnáj a peemfeéeeine. Eebő meghaáo D - majd feíj -e és -. Íj fe a megodás! y a y b y D h d a b h d Péda y y y 3 y 0 y 0 Ossn e -gye!
13 Diffeeniáegyenee II 3 y önadjngá aao úgy apj hogy Ebbő Haáo meg -! y y y p p d e -se besoo a egyenee. y h d Íj fe -e és - és ineáis ombináiójaén. Legyen 0 és 0 beheyeesíeü a peemfeéeee. 0 D 0 D 5 D Tehá 5 3
14 Diffeeniáegyenee II 4 D D D D Íj fe a Geen-függvény! G 5 5 áaános megodás b a d d d h d h y E pese i ehe és i e inegáni. Rád bíom Paiáis diffeeniáegyenee Egy éváoós paiáis diffegyene áaános aaja 0 y y y y F Háom eméseben gyaan eődodó fajájá üönböejü meg. Eipis: h Hipebois: h Paabois: h eneveése a deiváa üönfée seepésée ana a egyeneben. 4
15 Diffeeniáegyenee II 5 egő hú diffeeniáegyenee oyaiban megaáhaó a egyene feíásána épései. ágova a hossúságú egő hú diffeeniáegyenee aho onsans. E egy homogén hipebois diffeeniáegyene. Tdj hogy vanna edő- és peemfeéeein. Megadhaj a hú aajá a 0 - ban egy f függvénnye. hú ponjaina sebessége a 0 -ban: 0 f 0 g hú é vége e van ögíve eé ao minden időpianaban a 0 -án ána enoi-fée megodás aon aapsi hogy a eese függvény oyan soa aaban e eesni meyne egyi ényeője sa -ő mási ényeője pedig sa -ő függ. X T Heyeesísü e vissa a eedei egyenebe! Eo a öveeőe apj: X T X T XT XT 5
16 Diffeeniáegyenee II 6 Tehá egyene váoói séváashaó XT X T T T X X E a paiáis diffeeniáegyenee egy oyan 3 dimeniós oodináaendseben épehejü e ameyne é vísines oodináája és. Éééseü aonban egy onsans síon heyeedi e. E ao eheséges ha a egyene jobb odaa sa -ő baodaa pedig sa -ő függ. Mive mindé oda onsans és egyenőe eé beveejü a öveeő onsans: T T X X mibő T T X X Ee a paiáis diffegyenee vissaveeü é öönséges másodendű diffegyenee. T T 0 X X 0 eső egyene áaános megodása T sin os Míg a mási egyene áaános megodása X os Dsin Így ee aapján feihaj a függvény. T X sin os os Dsin 6
17 Diffeeniáegyenee II 7 aho D ismeeen áandó. Ee meghaáoása a edő- és peemfeéee aapján öéni. 0 0 sin os 0 mi esőeges eseén sa úgy eheséges ha 0. 0 sin os Dsin 0 Mive D nem ehe 0 ha má a is a me ao a megodás is aonos enne 0-va. sin nem ehe 0 me ao is a e hogy egyen. Végü meghaáohaj -. Mos má így né i a megodásfüggvény: os sin D sin Láhaj hogy minden -ho aoi egy-egy paiáis megodás. Tdj hogy a homogén diffegyene paiáis megodásaina össege is megodás. U os sin D sin Végeü e a soás és egyen D E és D F! U E os sin F sin sin 7
18 Diffeeniáegyenee II 8 Még nem hasná fe a U 0 f edőfeée. Enne éemében: E sin f - beheyeesíve E sin f Hogy meghaáo a E együhaóa Foie-soba fejjü f -e. Hogy abban ne egyen osinsos ag eé f -e min páaan függvény fejjü soba. E ao eheséges ha a sein peiodis függvény -ő -ig visgáj mive nem gaaná hogy a hú egése simmeis. De é gyanoyan hú gyanoyan edőfeéee egymás mee má simmeis. Páaan simmeis pedig ao es ha a egyi hú a feje eejée áíj oyan éeemben hogy iéése pon eenées egyen. E pese ejesen önényes és áaan; a megodás nem fog eő oni. f Pédá gyane sináj Foie-ansfomáió eseén is amio a mondj hogy a visgá objem végeen ávo isméődjön meg mégegyse mive sa peiodis függvényee ehe Foie-soba fejeni. Ha pedig végeen ávo van a mine nem ava. Foie-ansfomáióná nem e hogy peiodis egyen ponosan a eőbb emíe ev mia. Jeen eseben nins végeen ávo de nem baj me mi a húna sa a 0 saasáa vagyn ívánsia. pedig hogy meee p a 0 aományon mi öéni ejesen mindegy. Eé ehejü meg hogy páaan függvényén fejjü soba f -e: f b sin Eo E b Hasonó módon haáohaj meg F együhaóa is. Tdj hogy 0 g 8
19 Diffeeniáegyenee II 9 Deiváj a U megodás sein és heyeesísü a edőfeée. 0 F sin g Tejessü i g -e is a fen eí módon majd fejsü Foie-soba: g G sin Össeveve a é egyenee áhaj hogy F G Meghaáo a össes együhaó megodo a diffeeniáegyenee meye Foieso aaban hagyhan: U E os sin F sin sin E b f sin d F G g sin d Pédá sajnos nem do íni. visgán gyaneeen a épéseen e végigmenni. do es és de a nem gaaná hogy a peemfeéee 0-va esne egyenőe. Eene a aamaásáa nins áaános módse. Áaában a sinsoa és osinsoa e babáni. Továbbá dj hogy a e 0-ban. Ee fogna eveeni a megodásho. Ugyanígy ado es f és g. Ha a megodás sinsos ao páaan e Foie-soba fejeni vagyis inevamon ha pedig osinsos ao páosan 0 inevamon. Tehá a Foie-soban a inegáási haáoa így váasj meg. 9
20 Diffeeniáegyenee II 0 hőveeés diffeeniáegyenee Vegyün egy hossúságú da meyne sa iányban van iejedése 0 saason. úd é végponjá as áandó 0 hőméséeen. edei hőméséeeosás eíó függvény: f. 0 f hőveeés eíó diffegyene pedig aho anyagi minőségő függő áandó. Láhaó hogy e egy paabois diffegyene. Megjegyéséppen: aé van sa egy edei feéeün me a egyeneben -na sein sa esőendű deivája van. Megin bons fe a megodás egy -ő és egy -ő függő soaa! X T Eo XT X T E vissaheyeesíve a diffegyenebe XT X T egyene váoói séváashaó. T T X X áíás iga i is hogy a é oda üön-üön onsans ééű his más-más váoóó függene mégis egyenőe. Sinén beveejü a öveeő jeöés: T T X X 0
21 Diffeeniáegyenee II T T X X Séváaso a paiáis diffeeniáegyenee egy öönséges esőendű és egy öönséges másodendű diffegyenee. T T 0 X X 0 eső egyene megodása T e Míg a másodié X os sin Tehá X T os sin e Dos E sin e D E ieve ismeeen áandó meyee a edei feéebő haáohan meg. Mive 0 0 eé: De 0 Ebbő pedig D 0. Mive 0 0 és D 0 eé E sin e 0 E aé nem ehe 0 me ao a megodás is aonosan 0 enne ahogy e a húná is emíeem. sin 0
22 Diffeeniáegyenee II ehá megin sa nem ehe 0 me ao is 0 vona. feéeee ieégíő paiáis megodáso ehá 3... sin e E Mive a diffeeniáegyene homogén eé a paiáis megodáso össege is megodás. sin e E U Ne feedeün meg a 0 f edei feéeő meybő megadhaóa együhaó. E sin E f f -e pedig a fen eí módon Foie-soba fejhejü min páaan függvény és ao sa isa sinsos so apn. sin b f Ebbő öveei hogy b E Meghaáo a össes együhaó így a megodás sin e E U d f b E sin
á é é é é é é é é á é é é é á ú ó é ő á ő á é ű é á ó é é ő é ú ő á é é őá é é é é é é é á ő ö ő ö é á é ő é éé é é é á ő á é ő é á ó á ú á á é á é őí
é é í á é é á é ő é ú ó ő é é í ő á é ő ő é ö á á ó í ú á á á é é á é é í é é é ő á á á é ö é é é á é é í é á á é á é á á í é é á á é á é ö é é é é é ü é á é é ö á á á é é é é ő é é á ú ű é á é ő é é ü
ó ó é é é ó ü é é Í ő ő ó ó é ö é ó é ő ü é é ó í é é é ű ő ő ő é é ő í é í é é é ú é é é ó í é ö é ő ö é é é ö ü í é é ő é é ü é é í Ú ő ó ö é ő ö ö
Á Á É é ö ö é ő ő ő é ö é é ő é é é é ő í é é é ó é é é ü ő ő ó é ő é ű ö ö ú é ü ö é é é é ó é é ü ő ö é ő é ő ü ő ő ö ö í é ő ó ó ő é ő é ó é é ő é ó é ű é é ü ö é Í ö é í é ő ó ö é ő é ú í ö é é é ö
ű ü Á
ű ü Á ó é ó ö é é Á é ó í ú Á ő íö ü ö üó é ü ü ú ö ó ü ó ü ó ü ü é í ü Ó ú íí Ó é é Ó ü ó ó ü ó ü ü ü ö ó óü ó ó ó í ü ö ü í ó ü ü É ú ú ü É í É ó ü ó ó ü ü é Á ó Á ó ó é ü ó Á é ü í é ó ö üé ó ó ó ü
é é ö í Ü ö é ő é é Í Í é é é ű é ő é é ő í ő Ű é é é é ö í é ö ö é ö é é é é ő é ű ő é é Úé é ö ö é Ü ö é ő é éü Ú í í ő ö é é é é é í é é ő é é őé é
é é ö ő é é é ö é é é é ö ö ö Í Í é Í é ö é Í ö é é é é é ö é ü í é ű é é ö é ö é Í ö ö é é é ú ö ö Ú ö í é í é é í é ö é é é é é é ö í ű ű é é ű Í ö é é é éé é í é é í ö í é é Ü é ő é í é é é é ö í Ü
ű ó Ó é é é é ó ő ü é é ü ú é é é é Ú ő ú é é é ú é é é ő Ö é ó é Ö ó é ő é é ü ő é ú é é ő é ü é é é é ó é ü ű é ó é ű é é Ö é ű é ó é é ű é é ó ő é
é ú é ú é ő ő é ú é é ú ő ő ó ú é é é ű é é é é é ó é ú é ő ő é ó é é é é é é é Ó é é Ó ó ő é ó ó é ő ő é é ü ú é é ő é ó é é Ó é ú é ú é é ú é ő é é é ó é é é ú é é é é é ó ű ó Ó é é é é ó ő ü é é ü ú
Hőtágulás (Vázlat) 1. Szilárd halmazállapotú anyagok hőtágulása a) Lineáris hőtágulás b) Térfogati hőtágulás c) Felületi hőtágulás
Hőáguás (Váza). Sziárd hamazáapoú anyagok hőáguása a) Lineáris hőáguás b) érfogai hőáguás c) Feüei hőáguás 2. Foyékony hamazáapoú anyagok hőáguása. A víz rendeenes visekedése hőáguáskor 4. Gázok hőáguása
ö é ö ó é é é ó é é é ő ó ü é ű é í ü é é ó é é é ö é é ó é é ü é ó é é é é ú ó é ő ő é é é ü é é é É ó í ú ü é é ő Ő é í é é é é é ő é ő ű é ó ö ö é
ö é Ö é ő ü é ü ö é é ő é ü ö ö ö ő ü é ő ü é ö ó ö ö é é ő ö ő ó ő é ő Á é ő é ő ő é ő ő é í ő ó ö ő éé í ö ő é é ő í ő ö ő é í ő ó ö ö ő é ő é é é ő í é ő ő í é é ő í ó ő ö ő é í é í é é ő ő é é é ü
é ó é é é ő é é é é é ö í ó ó é í é é é é é é ö é í é é é í é ú é é é é é é ö é í í ó őí ü ü é é ó é ó é ü é é ó ő é é í é í ó í é ő ő ő ü ő é ó é í é
ó ü É Í É Á ú Ü Ü é ó é ö ú óé ü é í é éü Á í é ű é í óé é ú ó ü ó é í é é ú ö é é í í ú ő é í ű ó ó é é í é é é í é ű é í é é é é ü ö ú ó ű é é ó é ö ö ő í őí é é ö ó é í é É é őí é í é ű ő é é í óé ű
í í ó ö ö í é ű é é é é é é ó é ó ó ü ö í ő í ü ö í é ö ö é í é é ü ö í ü é í é í ó ö ö ö Ó í ó ó ö í ő óá Ü ü ö í ü ü é ő ű é é é é é ü í é é í é é ö
ö É Á É É í ó Á Á É ó É í ű í é é é í é é ő ó é é ü é ó é í é é í É é é í í é ó ú í öó ó ó é ö ó ő é í ó öó é é é ü é í é ó é é é í é é í í í ó ö ö í é ű é é é é é é ó é ó ó ü ö í ő í ü ö í é ö ö é í é
Á ő ő ö é é ő ü ő ő é Ö é ő ü ő ő ő é ö é Á é é é é ó ó ó é ö é é őí ü ű ö é ö ő ő é ö é ö é ó Ő Ő ö é Ö ö ö é é é ű ö ő ó ö ö Ö ó ő ő é ü ö é é ü ű ö
ü ú ö É Á ő ő ö é Ö ő ő é Ö ö ö Á ő ő ö é é ő ü ő ő é Ö é ő ü ő ő ő é ö é Á é é é é ó ó ó é ö é é őí ü ű ö é ö ő ő é ö é ö é ó Ő Ő ö é Ö ö ö é é é ű ö ő ó ö ö Ö ó ő ő é ü ö é é ü ű ö é ő é é í ó ó ó ö
ö ö ö ö ö ű É ö ö Ú ö ö ö É É É ű ö É ö É Ú Ú É ű ö ö ű Ú É Ü ö Ü ö ű ű ö ö ö ö ö ö ö ö É Ö ű Ú ö ÉÉ ö Ü É ö ű Ú ű ö Üö
Ü É Ü Ú ö É ö ö É ö Ú ű ö Ö É ű É ö ö ö ö ö ö ö ö ű É ö ö Ú ö ö ö É É É ű ö É ö É Ú Ú É ű ö ö ű Ú É Ü ö Ü ö ű ű ö ö ö ö ö ö ö ö É Ö ű Ú ö ÉÉ ö Ü É ö ű Ú ű ö Üö Ó Ú É ö ű ö ű ű Ú ö ű ö ű Ú ö ö ű ö Ú ű ö
Á Ö Ü Ö
Ü Ü Á Ö Ü Ö ű Á Ü Ü Ü Ü Á Ü Ö ű ű Ü ű ű Ü ű Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü ű Ü ű ű ű Ü ű ű Ü ű Ü Ü ű ű ű ű ű É ű ű Ü Ü Ü Ü Ü ű ű ű Á É ű É ű ű ű ű ű É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ö ű Ö Ü ű Ü Ü Ü ű Ü ű Ü Ü Ü ű Ü ű Ü Ü Ü ű ű
ó í ó é é ó ö é ö ű ó é é é á é é é ú ő é á é ó ö á é é é é á á ö ú ő é é í é á ő é ú Ö í ö á á ú é é á á ö ú ő é á á á é é ó ö ú ő é ö ű ő é ő ó ű ő
ó ú á á ő é ó ó ó á é é á é ú á Ö á á ú ó é á é ó ö á ö é é é é é é é ő é ő ú á ö ö ű ő é é ó ö á á é é ő é ö é é ö ö ó É é ö á ú á í á é ó é ú Ö ö á á ú é é á é á é ú é é á ö á é ö é é ó á á á ó ö ú ő
ű É ő ő ű ő Ü ő ű É ő ő ő ő ő ű ő ő ű É ű ő ű ő ő ű ő ő ő ő É ű ű
ő ű ő ő Ú Ú ű Ú É ÚÉ Ö Ö Ő Á Ú Ú ő ő É É Ü Ú Ú ű Ú Ú ő Ó Ú ű ő Ü ű ű É ő ő ű ő Ü ő ű É ő ő ő ő ő ű ő ő ű É ű ő ű ő ő ű ő ő ő ő É ű ű Á É É Á Á ő ő Ú ő ő ő ő ő ő ő Ú ő ű ő ő ő ű ő ű ő ő ő ő Ü ő Ú ő ő ő
öáá á á í ó á á á á é á á ó á íí ó á é ó ó á é á ó é é ó ó É Í Í á é á á á á é é í á í ó á ó é á é éé á ó á á í á Ú éá á á é ó ö ü é Í á é é ó ó é ö é
öáá á á í ó á á á á é á á ó á íí ó á é ó ó á é á ó é é ó ó É Í Í á é á á á á é é í á í ó á ó é á é éé á ó á á í á Ú éá á á é ó ö ü é Í á é é ó ó é ö é á á á ó Ó á ó í éí é á á á áí ó Í ö é ő á á á á á
ö É Á ó ó á é á ó ö á É É ö ó
ö É Á ó ó é ó ö É É ö ó É Ó é í é É ü ó Á ó ö é ó é Á é é ó Á ó í é Á ó ö é ö ő é é É Á É Á ö é é ü ó é Á Ú é é ü ó ó É é é é ö ó é é é ó é é ó Ü É é é ú ö é ó é é ó ó Á ö é í é ü é é Á é ö ó é ő Á ü ü
ü ü ű ű ü ü ü Á ű ü ü ü ű Ü
ü ű ü ű ü ü ü ü Á ü ü ű ű ü ü ü Á ű ü ü ü ű Ü É É Á Á Á Á É Á Á Ő É É É Á É Á É Á É Á ű É É Á Á É É É Á É Á É Á É Á Á ü ű ű ü ü ü ü ü üü ü ü ü ü ü ü ű ü ü ű ü ü ü ü ű ü ü ü ű ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ű ü
Í Á ő é é é é é ő é ő é ő é Í Á Ú Á Á é ő é ő é é é é é ű é é é é é é é é Á é é é é é ú ú é é é é é é é ú é é é é é é é é é é é ő é é é é é é é é ű é
é é é Í Ó é é ü ő é é é ű ő ő ű é ő Í Ó ő ü é ő é ü é ő é é é é é é ú é ú Í Á é é é é é ű é é é é é é ú é ő é é é é ú é é é é é é é é é é é é é ő é é ő Í Á ő é é é é é ő é ő é ő é Í Á Ú Á Á é ő é ő é é
ö ű é é é é é é ü é é é é ű é é ü é é é é é ó ó é Í é í é é é é ó ö é ö ö ö ó é é í é é é é Ő é é é ü ü é é é ö ö ö é ü é é í é ó ü é é ü é ó é ó ó é
ö é ü ö ö Ö ú é ü ü é é é ó é é é é é ó é é Ö ö é é ó é é ó é é í é é ö ó ó ó ö ö ü é é ü é í ü é ö í é é é é é ü é ó é ü ö í í ó í ü Í é é é ü é é é ü é é ü ö ö ó ó é é í é é é é é é é Ö í ó é í ö é é
ő ű í ő ú í í Á ű í ő ő ő ő í É í í ő Ö Ö Ö Á Í Á ő ő ő ő É ő ő ú ú ú í ő Á Ö ő ő
Á ő ő ű í ú ő ő ő ő í í í ő ő ő ő í ő ő ő ű í ő ú í í Á ű í ő ő ő ő í É í í ő Ö Ö Ö Á Í Á ő ő ő ő É ő ő ú ú ú í ő Á Ö ő ő í ő ő ű í ú í í ű í ő ő ő ő í ő ő ő ő í ő ő ő ő í É í í í í ű ő í í ő ú ű í ú í
é á ó ó é é ó é é é á é é é á ó á á á é á ó é í é ó é á ó é é é é é é ó ó é ó é á ó á á é é á ó á ó é ó é á é é é á óé é é á ó á é é é í é ééé ó á áé é é é é á á á ó á á ó é á á í á ó é á ó é í é á ó é
Alsó-Ausztria A nagy kiránduló térkép
ó- é éé Ú :7000 ééű éé é á áá ó- ó ő é, é áj áááá éá vá é áv üé, á v á á é é íűéé é á é áá ő ó-á é- ávó, űő é ű á,, v ő őé váj áó ó- áó éé á já í Z Ö á éé! Ó- áó 00 -, +4/74/000-000 @ - v ő é: / é é é:
é ü ü ő ü ő é ú é é é é é ő í é ő Í ő ü é é í é í é ő í ó é é í é é ő ó í ó é í í é ő Í ú ó ó í é ű í ó é í é ő é é í ó é í í óé í éé ő ó ü é ő úé é ú
é é ő ü é í ó é é ő Í Í é é é é óó ó é é Í Á é é í í é ő é é í é é é é é é ü é é ü é é é é ő é ő é é ő ü ü é é é é é é é í ő é é ű é é ü ü ő é é ő é é é ő é é ő ó ó é ő ü é Ú é ü é é ű é é í é í é é í
ó Ó ú ó ó ó Á ó ó ó Á ó ó ó ó Á ó ú ó ó ó
É ó ú ó ú ó Á ó ó ú ó ó ó ú ó ó ó ó ú ó ó ó ó ó ó ú ó ó ú ó ó ó ó Ó ú ó ó ó Á ó ó ó Á ó ó ó ó Á ó ú ó ó ó Ö ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó Ü ó ű ú ú ó ó ó ó ó ó ó É ó É ó É ó ó ó ó ó ó É ó ú ó ó É ó ó ó ó É ó
É Á Á Ö Á
É Á Á Ö Á Á É Á Ü ű Á É Ü ű Ú ű ű É É ű ű Á ű ű ű ű ű É ű ű ű Á É É É ű Á É É Á É Á É Ü Ü ű Á Á Á ű Á Á Á Á Á Á Á Á Ü ű Á ű Ü É É Á Á Á É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Á Á É É ű É ű Ő ű É Ő Á É É ű ű Ú Á
Ó Ó ó ö ó
É ó ö É Á ó ó ü ó Ü ó ö ú ű ö ö ö ü ó Ó Ó ó ö ó Ó Ó ö ö ö ü Ó Ó ö ö ü ö ó ó ü ü Ó Ó Ó Ó ó ö ó ö ó ö ó ö ü ö ö ü ö ó ü ö ü ö ö ö ü ü ö ü É ü ö ü ü ö ó ü ü ü ü Ó Ó ü ö ö ü ö ó ö ö ü ó ü ó ö ü ö ü ö ü ö ó
ü ü Ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü É ü ü
ü ü É ű ű É É ű ü ű ü ü ü Á ü ü ü ü ü ű É ü ű É ű ü ü ü Ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü É ü ü ü Á ü ü ü ü ü Ú ü ü ű É ü ü ű ü ü ű ü ü ü ü É ü ü ü ü ü ü ü ü É ű ü Á ü ü ü ü ü Á Ö É ü ü ű Ú ü ü ü ű
ű Ö ű Ú ű ű ű Á ű
ű ű Ó É É ű Ó ű Ü ű ű Ö ű Ú ű ű ű Á ű É ű Á ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Á ű ű Ö Ü Ö É ű ű Ü Ü ű É Á Ú É É ű ű ű Ö É ű É Ó É Á Á É ű ű Á ű ű ű Á É ű Ö Á ű ű ű Á ű Á É Ö Ó Ö ű ű ű ű ű ű ű Á É Á Á ű ű ű Á ű ű ű
Ú ű É ű ű Ü Ü ű ű Ú É ű ű Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű
Ú ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű É ű ű Ü Ü ű ű Ú É ű ű Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű É ű Ú Ú Ú Ú Ú ű Á Ú Ú Ú Ú ű Ú Ú ű É ű Ú Ú Ú Ú Ú Á ű Ó ű Ú É É Ú Ú ű É ű ű ű ű É ű Ő ű Ő ű ű ű ű ű É ű É Á ű ű Ü Á Ó ű ű ű Ú ű ű É ű ű Ú
ű ű ű Ú Ú Á ű Ö ű ű Ú Ő É
Ü ű ű ű Ú Ú Á ű Ö ű ű Ú Ő É É ű Ö Ö Á É ű Ö Ö Á Ü Á ű ű Ó Ó Á Á É Ü É ű Ó Á Ó Á ű Ö ű ű É Ü Ö ű É Ö ű ű Ó ű ű Ú ű ű ű ű ű É ű É Ú Ö Á É ű ű Ó ű ű ű ű ű ű Ó ű Ü ű ű ű É ű ű Ü Ü ű ű Ő Á Á Á ű ű ű Ó Ó Ó ű
Á Ó ű ű Á É ű ű ű ű Ú Ú
Ö ű ű Ö Ü ű ű ű ű ű Ó ű Ü ű Á Ó ű ű Á É ű ű ű ű Ú Ú ű ű Á Á Á É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű Ö Ó Ú ű ű ű ű Ü Ó Ú ű É É Ó É É Ó É É É É Ó ű ű ű ű ű Ü ű Á ű ű ű ű ű Ü ű ű ű ű ű ű Á ű Ú Á Á Ö É Á Á Ö É Ü ű ű Ü
ű Ú ű ű É Ú ű ű
ű ű ű ű Ú Á É Ú ű Ú ű ű É Ú ű ű ű Á ű ű ű ű ű Ü ű Á ű ű ű Á Á ű ű ű É ű ű ű Ú É ű ű ű ű ű ű ű ű Á É Á Ö Ü ű É ű ű Ö É Ü Ú ű Ó ű É Ó Ó Ó ű É Ü Ü ű ű Ú ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű ű Á Á ű Ú ű Ú ű ű Ó ű ű Ü Ü
Á Á ő ő Ö ő ő ö É ö ő ö ő ő ö ő ő ö ő ő ü ö
ű É É Á Á Á É Ó É É Á ö ő ő ö ő ő ő Ó ő ö ő ö ő ú ő ü ö ő ü ö Á É ű Á É É É Ö ö Á É É ő ő ö Á Á ő ő Ö ő ő ö É ö ő ö ő ő ö ő ő ö ő ő ü ö É É Á Ö ő ú ő ű Ö ü Ő É Ó É É Á Ó É Á É Ü É Á Ó É ő ő ö ö ő ö ö ö
ö ő ü ö ő ő ü ü ő ő ő ü ö ü ü ő ú ő ő ő ü ő ő ő ő ő ú ő ő ü ő ő ő ü ö ü ú ő ő ő ő ü ü ő ő ú
ő ű ű ő ö ö Á ö ő ü ö ő ő ü ü ő ő ő ü ö ü ü ő ú ő ő ő ü ő ő ő ő ő ú ő ő ü ő ő ő ü ö ü ú ő ő ő ő ü ü ő ő ú ő ö Á Ó ő ő ü ú ő ő ő ő Á ő ú ű ő ő ő ü ú ő ő ő ő ő ő ő ő ö ü ú ő ő ő ő ű ű ő ő ö ű ü ő ő ő ö ö
Ó é é Ó Ó ő ű Ó Ö ü Ó é Ó ő Ó Á Ö é Ö Ó Ó é Ó Ó Ó Ó ú Ó Ó Ó Ó ű Ö Ó Ó Ó é Ó Ó ö Ö Ó Ö Ö Ó Ó Ó é ö Ö é é Ü Ó Ö Ó é Ó é ö Ó Ú Ó ő Ö Ó é é Ö ú Ó Ö ö ű ő
É Ó Ű Á Ó É Ó Á É Ó Á ő ű Ó ú Ö ú é Ö Ó Ö ú Ó Ö ú Ó Ó Ó Ó ű é ű ű Ó Ó ú ű ű é é Ö ö Ö Ö Ó ű Ó Ö ü ű Ö Ó ő Ó ő Ó ú Ó ő Ó é Ó ű Ó Ó Ó Ó ú Ó Ó Ó Ó Ö Ó Ó ö ő ü é ü Ö é é é Á é Ó Ó ú ú ű é Ö é é é Ó é é Ó Ó
Á Ö Ö Ö Ö ú ú Ö Ö Ó Ó ú ú Ü ú Ó Ö Ö Ü Ó Ö Ö Á Ó ú ú ú ű Ö Ö Ö Ö Á Ó Ö Ó ú ú Ö
Ó ú ú ú ú ű ű ű ú Á Ö ű Á Ö Ö Ö Ö ú ú Ö Ö Ó Ó ú ú Ü ú Ó Ö Ö Ü Ó Ö Ö Á Ó ú ú ú ű Ö Ö Ö Ö Á Ó Ö Ó ú ú Ö Ú ű ú É Á Ó Ó É Ó Ó ú ű ű ű ú Ö Ó Ö ú ú Ö ú Ü ú Ü É Ö Á Á Á Á ú Ó Ö ú ú ú Ü Ö ú ú ú ú ú ú Ö ú Ö Ó ű
Ó Ó ö ú ö ö ö ö ü ú ú ö ö ö ú ú ö ö ö ú ú ú ű ö ö ú ö ü ö ö ö ö ü ú Á ö ü Á ö ö ö ö ö ö
É Ó ö É Á ű Ü Ü ö Ú ö ö ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö ö ú ú ú ú ú ú ü ú ú ö ö ű ö ü ú ö Ó Ó ö ú ö ö ö ö ü ú ú ö ö ö ú ú ö ö ö ú ú ú ű ö ö ú ö ü ö ö ö ö ü ú Á ö ü Á ö ö ö ö ö ö Á Ó ú ö Á ö Á ö ú ú ö ö ö ö ü ü Ü ú
Hővezetés - alapfogalmak
A hőmésékemező f ( x, y, z,τ ) Hővezeés - aapfogamak Áanósu áapoban, egy menzó eseén: f ( x) Izoemkus feüe az azonos hőmésékeű ponok méan heye küönböző hőmésékeű zoemkus feüeek nem meszk egymás. A hőméséke-gaens
ó ő ő ó ő ö ő ő ó ó ó ö ő ó ó ó ö ő ó ő ő ö Ö ő ö ó ő ö ő ő ú ö ö ü ö ó ö ö ö ő ö ö Ö ú ü ó ü ő ő ő ő ó ő ü ó ü ö ő ö ó ő ö ő ö ü ö ü ő ö ö ó ö ő ő ö
ü ö ő ö ő ó ö ő ü ü ö ő ó ó ü ő ö ő ö ő ö ü ö ő ö ő ó ö ü ü ö ő ő ő ö ő ö ü ö ő ó ő ö ü ö ő ő ű ő ö ö ő ű ő ü ö Ő ó ö ö ő ü ó ü ú ű ú ő ó ó ó ő ö ő ő ö ó ö ö ő ő ö ö ó ú ő ő ö ó ö ó ö ü ó ő ő ö ó ő ő ó
ú ö ö ö ö ö ö Á ö ö ö á á á ű Ü ű ö ö Á á Á
ú ú ö ö ö ö ö ö Á ö ö ö á á á ű Ü ű ö ö Á á Á Á ú á ú á Á ö á ö ö ö ú á á ö ö ö ö á ű Ü ú ö Ü ű ö ú ű á á á ú á ú ú á ö ö ú ö ú ú ö ö ú ö ö ö á ö ö ö á á ö ú ö á á Ú á ö ö ö Ü ú Á á ű ö Ü ö ú Á á ö á ö
é ü ó ö é Ö é ü é é ó ö é ü ü é é ó ó ó é Á é é ü ó é ó ó é ö ö ö é é ü é ü é é ö ü ü é ó é é é é é é ö é é é é é é ö é ó ö ü é é é ü é é ó é ü ó ö é
Ó Ö é ü ó ö é é ü é é ó ö é ü ü é é ó é é é é é é ö é é é é é é é ó ö ü é é é ü ó ö é Ö é ü é é ó ö é ü ü é é ó ó ó é Á é é ü ó é ó ó é ö ö ö é é ü é ü é é ö ü ü é ó é é é é é é ö é é é é é é ö é ó ö ü
ü ú ú ü ú ú ú ú
ú ú ú ü Ü ú ú ű ú ú ü ú ü ü ú ú ü ú ú ú ú ü ú Ö ü ü ü ú ü ú Ó ü ü ű ü Á Ü ü ű ü ű ü ű ű ü Ó ű ú ú ű ú ü ü ú ű ű ú ű ü ú ű ű ü ü ü ű ü ű ü ü ű ü ü ü ü ü ü ü ü ü ú ű ü ű Ó ü ü ü ú Á Ü ú ü ű ü Á Ü Ö Ú Á Á
í é ó í ö ö ő é é é é é é í é é é é í ő é é é é é ó í é é é é é é é ö ö é é é é é é é é é ö é é ó é ú é í í í é ö í é í ö é ő ú í ö é ö ú é í ö ő ú é
Á ó Á Á é ó ö ű é ö é ö ő ő ő é ö é é é ó ű ó ű ö é é ő é ó ó ó é Ó ö é é ö í é ó é í é é é é ő é ó é ó é é ű é é é é é é é é É é é é ő ö ö ő é ö ű é é é é é é é é ö é é é ó é é é é Ü é é é é é é ő é é
ő ó ű í ú é é é ö é é ő ü ű Ö ő é ő ű é é ő ó ü é é Ő í í ó ö ó é ö é ő ű ö é é é ö é í é é é ő é é é ő é é ű ö é é Ó Ó é é é ó í ü ú í é é é é é í ö
ó Á ú í é é é ö é Ö ő é é ő é ű ó ö é é é é é é ö é é é é ú ö é é é é ő é ő é ö é í ó é é Ö é ö é é ő é é é é ö ő é é é é é Íé ő ö é é ő ő é é í é ó ö ő é é é ó ö é é í ő ö é ú ö ö é ó ó Á í ü ő ö é ü
=... =...e exponenciális alakú a felírása. komplex számok nagyságai és x tengellyel bezárt szögei. Feladat: z1z 2
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHANIKA - REZGÉSTAN ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK Eméet édése és váaso eyetem aapépésben (BS épésben) éstvevı ménöhaató sámáa (0) Matemata aapo A eméet édése öött seepehetne
Í é é ö é é é ő ü ö é é é é ü ö ö é é é ő é é ü ü ö Í ú ü ö é ü Á éí É ü é ú é é é ű é é é Í é ő ú é é é úö é é ö é ú é ö ö Í é é ö é é éé ü é Í é é é
ü Á Á Á É ö é ú Í ü É Í Í Á Í Í é é ö é é é ő ü ö é é é é ü ö ö é é é ő é é ü ü ö Í ú ü ö é ü Á éí É ü é ú é é é ű é é é Í é ő ú é é é úö é é ö é ú é ö ö Í é é ö é é éé ü é Í é é é ú ö é é é é é é é é
ü É É ó Ö ü ü é í é é ő ü é Ú é í ü é é é ő é ü í é ü ő é í ü é ó é é é ő ű ő ü é Ö é é é é ő é Ö é é é é é é é é Ö ü ü é ü é é ó é ü é ü é é ű ü Ő é
ó é é ő ü é ü é é ő é ó ó é Ö é ő ü é é é ó ó ó é é é é é é é é ő é ő ü é ú ü ú í í ü é ú í ü é í í ó é é é ő ő ő é ü ü é í ó é ő ó ó ü é é ű í ó é é í ü É É ó Ö ü ü é í é é ő ü é Ú é í ü é é é ő é ü í
ő ö ő ü ö ő ú ö ö ö ő ú ö ö ö ö ö ő ö ö ú ö ö ö ö ú ö ő ő ö ű ö ő ö ö ö ő ő ö úő ö ö ő ö ü ö ö ő ö ő ö ü ö ö ö ü ö ö ö ő ü ő ö ü ö ő ú ű ö ü ü ö ü ő ő
Á Á Ó É ö ü ü ö ő őü ö ö ö ö ő ú ö ő ő Ü ő Ö ö ő ö ő ő ö ö Ö ú ü ü ű ö ö ö ő ö ö ú ú ú ö ö ú ő ő Á Á ö ő ö ö ő ú ö ő ű ö ö ő ő ö ö ö ü ö ö ö ú ö ö ö ö ö ú ö ö ö ő ö ü ö ö őü ő ő ö ö ö Ü ő ö ö ö Ü ö ö ü
ő ö ó ü ü ó ö é é ó é ü é é ő ö ö Ö ó é é ó ö ó ő ö é ő ö é ő ö é ő ö é ő ó ó ó í é é ü ő í ö ö ö í é ő ü é ö é ő ő é é ó é ó ü ó é ő é é íé í ő é é é
Á ö ö Á É ó ü É ó ö í ü é é ő ö é Ö é ö é é é ő ó ó ö ó ő ó é ó í ö ú ö é é ó é é ő ő ő í ó é ó ő ó é é é ó ó ő ó é ó é é í ő é ü ö Ó ö ü ő ő í é é ó é é ő é ő ő ó é ó ő ó ö ö ő ó é ó ó ő í é ű é í é é
5. AXIÁLIS ÁTÖMLÉSŰ VENTILÁTOROK
Dr. Vad János: Ipari égehnika BMEGEÁTMOD3 1 5. AXIÁLIS ÁTÖMLÉSŰ VENTILÁTOROK 5.1. Konsrkió 5.1. ábra. Az Áramásan Tanszék áa kiejesze nagy veőávoságú axiáveniáor prooípsa emezapáos járókerékke és ompa
ö ő ő ú ő ó ű ő ő ó ö ű ú ü ó ő ú ő ő ő ű Ö ő Á Ö ő ő ő ő ó ü ő ő őő ö í ü Ó ö ő Ó Ö ü ö í ü ú Ö ő ú ó ő Ö Ó ő ő ő ő í ő í ó ő ő ú ó í ü ő ő ő ó ó í ő
ő ő ú ő ő ő í ú ö ü ü ú ö ú ő ő ú ő ő ő í ó ő ő í Ó ő ő ő ó ő ő ő ő ő ó ő ü í ú ő ő ő ó ú ó ö ó Á ő ő ó ú ő í ő ő ú ö ó ú ő ő ó ó Á ó ó Á ő ő ő ő ő ó ó ő í ü ő ö ő ö ö í ő ő ú í őő ó ő ő í Ó í ő ő ő ő
ö é ü ö é é ü é í ü é é ü é é é é é é ö é é é í é ö é ö ö ö é ü ü é é é é é é ü é í í é é ü ö é é é é é ü é é é ú ú ö é Ó é ü é ü ü é é ö é Ö é ö é é
Á Ö É Ö Á É Ó Ü É ö í ü é é ö é Ö é ö é é é é é é ú ö é ö í é é é ü é í ö ű ö é í ú ö Á é é é é ö é é é ö é é í é é é ö é é ü é íé é ü é í é í é é é é é ű ú é ü ú é é é ö ö ű é é é é ö é é é é ö é ü ö
Ü Á Á ó Ü É É Ó Á É ó ó á ó á É á é é ö é é ó é é á á á úé í ú é ö é ó á á á í é ö í á á Ö é é á é ó é é é é ó é ü í í á á á ö é á é é é é é ó é Ü ő á é í ó ó ö ü í á á í ü á á ó á íí ó á ó ő á é é ö ö
ó ü í ó ü Í é é ó ó ő ó ü ö ő ú ő ö ö é é ó ö ö ó ó ö Í é é ö é ó ó ó ö é Í ó ó é ű é ó ő é é Í é ű é ó ö é ő é ó í ő é é é é ű é é é é é ó ő é ő é ó
É é ö é ő ő é ó ő é ű é é ó é ú Ö é é é Í ó ó é Íő ó ü é ő ú é ó ú ó ó ö ö é ú ö í é í ó é é é ö ö ü ő é é í ő ő ó ó ó ó ó ó ó ó ő Í ó ő é ó ö ü ő ó é é é é é é ú ó ő ö é é é é í ú é é ü é í é í ó é é
Í Í Í ű Í ö Ú Ú ö ö É ö ö Í É ö ö ő Á Ö ő ő Ü Í Í É Í Í É Í ö ú ö ú ö Í Á Á Ö Í
ÍÜ ű Í Í Í Í ű Í ö Ú Ú ö ö É ö ö Í É ö ö ő Á Ö ő ő Ü Í Í É Í Í É Í ö ú ö ú ö Í Á Á Ö Í Ú ö Í Á ű Í ö Ü Í Í Í ű Ú Í ő ü Í ö ő É Í É ü ÉÍ ő Ü Ú É Í ő Í ű ü Í É Ü Ü Í Á Á Í Ü Í É Í Í É É É öí Í Í ö ú Í ú
Á Á É Á Á É ö ó ő ő ó ó ó é ö é ö ú ó ó ó é ö é é ő ö ú é ö ő é é ő é ó É ő ó é Ü ö é ó é é é é é ó óö é ő ő é ó é é é ó óö é é ö é é ő é ű ó é ö é ő ú ö é é ö ö é ő ö ö Í ö é ö ö é ü Í ö é é é ó é é ő
É É É é é é é é í ű ó é É ö á ó é ő ő í ó á ö ő é ö ö é ó í í ú í é é í íú ó í ó é ő é ö é í é é ó é á á é á á ó ő ű é é ő ő ő í ó é é é í é é ó á Ű é
É É É ű É ö á ő ő á ö ő ö ö ú ú ő ö á á á á ő ű ő ő ő á Ű á á á ű ö á á á Ű Á á áú ű á ú ő ü á á ő á á ü ő á á ú ö Á ő á á ő ő á ö á á ű á ü á á ö á á ü ő ü á ö á ö ű á á á ő ű ü á ö á ő á ü á ö ő á ő
Í Ó É É É É Ó Ó ú ú Ó Ő Í Ó Ö Ó
ÍÍ Ó É Ó Ó ú Ó Ó Ó ú Ó É Í Ó É É É É Ó Ó ú ú Ó Ő Í Ó Ö Ó É ú Ö Ö Ó É Ó ú ú Á Ó Í Ó Á Ő Ó Ó ú Ó Ó Ó Ó Ó Ó ú Ó Í Í Ó Ő É Ó ú Ő Ő É Ó Ö Ó Ó Ó É Ó Ó É Ú Í Ö ú ú Ö Ö Ó ú ú Ó Ó Ó Ó Ó Ó Í Ó ú Ú Ó ú Í Ó Ó Ó Ó
í ó ö é é í ó ó é í í ó ö ü ő ö ö é ő é í é é í é ő í ü é é é Í é ő í ó í é ő é í ü í ő ő é ú í ó é é ö é ö é é é é ú í ó é í ü í é ú ú ö ö é é ú í ő
í ó Ö Á Á É í ó ü é ó é é ű í Ó é ű ó ü é é ú Ö é í é ű Ő ó ö é é é é í é ö ő í é í ó í é ő ő Ö é ő ó í é ű Á é ü ö í é ü ö ö ő í ű ö ő ű é é é é é é ó é é é ó ó í ó ö é é í ó ó é í í ó ö ü ő ö ö é ő é
í Á Á í ÉÉ Á í í
í Á Á í ÉÉ Á í í í í Ő í í í ú í í Á í í Á Á Ú ú Á Á Á É Á Á Ó Á ű í Á í í í í í í í í ú í í í í Ó Á í Ó É í í í Á Í í í í Á í í íí í í í í í í Ú í Á í í É Ö ÖÉ É Ö Ű íí í í Ü í í í í í í í Ü Í í í íű
ő ó ü ö ő ö ö ő ö ó ű ö ő ó ó ü ő ü ö ű ö ő ó ó ő ö ö ó ő ö ö ő ű ö ő ű ö ö ő ő ő ö ö ú ó ö ö ö ő ő ó ő ü ó ó ű ö ö ü ő ü ö ő ü ő ó ű ö ö ö ó ö ö ö ü
ú ő ö ó ő ü ö ó ó ó ö Ö ú ó ó ó ö ő ö ő ö ő ö ú Ö ó ó ű ö ő ó ö ű ö ö ő ö ó ű ö ő ö ő ö ú ü ű ö ő ó ö ő ö ó ö Ó ű ö ő ö ó ü ú ú ö ö ü ü ö ü ú ő Ű ö ő ö ú ó ű ü ő ö ő ü ö ü ő ó ü ú ü ö ö ó Ó ó ó ő ü ö ö
ő ő ö ő ő ő ö í ú ó ő ő ö Ö í ö í ú ö ő ö ő ö ó ó ö ó ó ó Ö ö ő ő ő ö ö ö ő Ó ó ö í ö ö ö ö ő Ű ő ó ó Ő í ü ö í ü Ö ö ö ö ő Ö Ü í ú ő ö ő ő ö ö ü Ó Ö
ö ö ő ö ő ö Á ö Á ó ö ő ő Ö ő Ö Ü Á Á ó ó É ú Á Á ö í ö ó ö Ü ő í ó í ó ö ó ő ó ö ö í ő ő ő ő ö ö ő ö ő í ü Ö ő ő Ö ő ő ő ő ö ő ő ő ö í ú ó ő ő ö Ö í ö í ú ö ő ö ő ö ó ó ö ó ó ó Ö ö ő ő ő ö ö ö ő Ó ó ö
R E D U K C I Ó AA. Fürstand Júlia 2013.
R E D U K C I Ó AA A edukcó a űíé eköe, céa a ényeg megőée, a feeeg eáoíáa A eneeé an eedeű; ó en eenée ahúá, cökkené Sámo eüeen akamaák: edukí bo 1 a eegő káááa ée bo, a gaonómában a mááok feeege foyadék
Á É Á É Ü É é í ü ü ü é é ö é é é é ö é ó ó é é í ó é é é é ü é ó ó éó ó ó é é é é é é é í ó Ü ö ö ű é ű í é ó é ó é ü é í ü é ü ü é é í ö ö é ü é í ü ü é é é ü ö é ó ó ö í ó é é ü ö é ö í é é é é ü é
ő é ü Ó Ó ö é Ó Ó ú Ó ö é é í é ü í é ü í ö éí íé é é é é í ő í é é é é ő ö ö é é ü ú ö é í é ü ú ő é í é é é é é é ő é é é é é é é ő é é é é Ó Ó é ü
é ú Ö Ó é ú é é ú ö é é ő é é é ő ü é é é ö é é ő é ő é é é é é ű í ö é í é é é é é ö ö é ú Ó ő Ó ő í ü ő ü é é ü í ő é é ő ő é é é í ő í é é é é ő ü é é é é ö ő é ő Ó ő ö é ő ő ő í é ő é é Ó ö é ő ő é
ü ö Ö ü ü ö ö Ö ü Ü ö Ö ö ó í ö ö Ő ü ö ó í ü ö ó í ö Ö ü ü ö ö Ö ü ö ö ó í ó ö ú ö Ö ú ü
ö ü Ő Ö ü ö ü ó ü ü í ü ó ö ö ö ü ö ö ü í ü ü ü ö ó ü ö ü ú ö ö ö Ö ö ó í ó ü ö Ö ó ü ó ü ü ó ü ö Ö ü ü ö ö Ö ü Ü ö Ö ö ó í ö ö Ő ü ö ó í ü ö ó í ö Ö ü ü ö ö Ö ü ö ö ó í ó ö ú ö Ö ú ü ü ö ö ö Ö ü í ü ö
ü ö ű ö ű ö Ö ö ú ü Á ü ü ö
ü ö ű ö ű ö Ö ö ú ü Á ü ü ö ö Í ú ö ú Ó ü ö ö ű ü ű ö ü ö Í Í ö ö ű ö ö ű ű Á Á Ő Á Á ú ú É Íö Í Í ö ö Í ö ü ö Í ö ö Í ö ö ö ű Í Í ö Í ű Á É Á ú É ü Á Á É ü Á Á É ü ö ö ö ö ö ö ű ú ö Í ö ö ű ö ö ü ö ö
Erőlökés: állandó, r pedig az m 1 és m 2 tömegű testek közti távolság. Súly(erő):
Ááások /s k/ : 6 π adiá 8 E J EW6 K 7 Pa a V E 5 Vie 9 J EeV6 Áadók oosa adaok 7 oi öegegység: u 666 oag sűűsége: 7 ogado-szá: N 6 o Boza-áadó: J k 8 K ouo-öé aáossági éezője: 9 N k 9 Vákuu dieekoos áadója:
Á É ő é ü ö á á ö é á é ö á á é ő á á ő á á á ő á ő é á é ő ö ó é ő é é á ó á á á á ó á á ö ö é á é Ó É á á ő á á ú ü ö á á á á é á á á á é é ő á á á á é ü á á ő ú á é á á ü ö á á á á é é á á á á ő á ő
é á áí ő ö é á á á á á á á á é ő ú í á á á é á á ö é é ö é őí á é é í é é ó ö é é ü é é é ő á ű ö é é é é é ű é ö é é á ú á é é í ő ö ö é á ó é é í ő
Ó É ö ó É é ö í á ó á é é é é ü ó á ó ó á ó é í é á ő á ő é ü é ú á á í é á é ő ő ö é á í á ó é ö é ö é ő ó ú é é á á ő é é í á ó ö é é é ó é é ö é á á ő é ö ö á é é í ű ö é á ó é ö é ő é á á é á á ó é
é ő é ó á é ő ó í á á é ö é á é í é á á é é ű á é ö ö ö ó é ü ö ö ő é ó é ő á í á é í é é á á é í ű ö é Í é ü ö é ó é ü á ű é á ö á Í é ő é á á ó ő é
É Ö É Á í É Ó Á ö é é ö ö é é é é ó ü ö ü ö ö ő é ó é ó á í í á ó Í é á ö é ü é ó ő ő ő á é á é é í é é í á ö é é í é é á í ú é á á ő í é á é Í é é ü ö ö ő ű á á á ó á Íü é é í é ü ő ö é é ó ó í á á á
ö ö ö ö ö ő ú ü ő ö ü ő ú ő ő ő ö ő ö ü ű ö ü ő ú ő ő ő ű ű ö ő ő ü
Á Á Á Ú Ö Á Á É Á Á Á Ó É Á Ő É É Á Á Á Ö Ő Á Á Ó É Ő É ű Á Á Ü ö ú Ö Ú Ó Á Á Á Á Á Ó Á Á ö Ü ö ö ö ö ö ő ú ü ő ö ü ő ú ő ő ő ö ő ö ü ű ö ü ő ú ő ő ő ű ű ö ő ő ü ö ö ü ö ü ő ú ú ö ö ü ő ő ő ú ő ú ö ö ő
ö é é é ö é é í ó á á í é üé é á á á é é á á á é é ő é é í é ő ü á é é é é ó á é ó á ú é á é ü á é é á ó á ü á á á ö é ü á á í é á é ó é ó á é ó é ó ó
é ú á á ő é é ő ü ú é ó á á é ő ü ö á á á ó ó í é á ó ó ó ö á á í ö á í í á á ó á é ü é Ü á á á á á á á é ö ü ö í á ó é ö ü á ö á é é á á ö é í é é é ö é é ó ö á á á é é ö á á ö ö é ő é é ö é ő é é á á
2.1. Mintavételes szabályozási rendszerek tervezése. Az elírt válasz módszere
é vé áoá vé. í vá ó. D- go. ooo ID áoáo vé gvóíá, poícó ID, á ID, óoío, ID oc SR c. o p p. go D-. go c o p c goo ID co, ID po, c, ofc c f.. vé áoá vé. í vá ó pj áíá goo öé gá áíógép gvóíjá g. áíá goo é
ó ü ó ö ó ö ö Ö í ó ü ö Ö ó í ö í ó ö í ö ü ú í ö űű í ó ö í ű ó ö ö ö ö ó í ö ú ö í ö ű ö ó í ü ü ö ö Ö ú ö í ö ö ö í ó ö ó í ó ö
ö Ö ü ö ü ö Ö í ü ö ö ö ó ü ü ö í ü ö ö í ó ö ö ö ö í í í ó ü ö íű í ó ö í ö ö ú ö Ö ü ö ö ó ö ó í ó ó ö ó ö ö ó ö ö í ó ü ó ö ó ö ö Ö í ó ü ö Ö ó í ö í ó ö í ö ü ú í ö űű í ó ö í ű ó ö ö ö ö ó í ö ú ö
É ú É ö ö ű ö ö ö ú ú ú ű ű ú ö ű ö ű ű ü ö ö ü ű ö ü ö ö ö ö ú ü ö ö ö ú ö ö ú ö ö ú ü ú ú ú ű ü ö ö ű ú ű ű ü ö ű ö ö ö ű ú ö ö ü ú ü ö ö ö ü ú ö ű
É É É Ó Á É ú É ö ö ű ö ö ö ú ú ú ű ű ú ö ű ö ű ű ü ö ö ü ű ö ü ö ö ö ö ú ü ö ö ö ú ö ö ú ö ö ú ü ú ú ú ű ü ö ö ű ú ű ű ü ö ű ö ö ö ű ú ö ö ü ú ü ö ö ö ü ú ö ű ü ű ö ö ú ö ú ö ö ö ö ö ü ú ü ö ö ö ö ö ü
ó ö é ö ó ó ó é ú ó ú í ü é é ó ü ó í Í é í é é ó ú é ó í ó ú í ö ö ö é ó íü ó ú é é é í é ó í ö ó ü é ó ü é é é é é ó íü ü é é ó é ü ú ü ú ö é Ö ó ó
Á Ó É Ó Á É Ó Ü É Ó Ö ú ü ü í ü é é ó úá ü é é é é é ó é ú ő É ó é ó ó í é ó ó ó óá ó ó ó ó ú ó ü ü óíí ö ú ú é éé ó ó ü ó ö é ö ó ó ó é ú ó ú í ü é é ó ü ó í Í é í é é ó ú é ó í ó ú í ö ö ö é ó íü ó ú
Ó Ó Í ő Ó Í ő Ó ő Ó ő Í Ó ő ő ő
Ó Ó Ó Ó ő Í ő ő ő Á Ó ő É Ü Á Ó Ó Í Ő Ó ú Ó Ó Í ő Ó Í ő Ó ő Ó ő Í Ó ő ő ő Í Ó ő Í É Íő ő ő ő Ó ő ö ő ö Ó Ó Í ő ő ö Ő Ó ő ő ö ö Í Í Ó Í ÖÍ Ö ő Ó Ó ő ö Ó ő Ó ő Ó Ó Á Ó ő Ó ő ő Ó ő ő Í ő Í ő ö É ö Ó Ó Ó ő
É Ö Á Í Á Ó Ö ü
Ö ű Ö ő ü ő ő ő ű Ö Ö ü Á Á É Ö Á Í Á Ó Ö ü Ö ű ű Ö ű ű ú ű ű ú ú ő ő ü ű ű É Ö ú ű ő ű ű ú ő ü Ö ú ú ő ő ú ű ü ő ü ű ú ú ű Ü ő ő Ó ü É Ó Ö Ö ú ü ü ü ü Ű ú Ö Á ü É Ó ű Á Ö Á ű ü ú Ö ű ű ű ü ő ő ő Á ő ő
ü Á É Á Á Á É É ü É ő Á É Í Í É É É í é í ö í ü ö é ö ö é ú é é é é é é ő ő ő é É é é ü é é í é É É É é í ö é é é Í é í é é ö ü é í ö é é É í ö é é ú ű É ö é é ö ö é ö ö ö é í ö é É ö í é é ü é Á é ü
é ó é ü ö é é ó é Ö é ó é é ú ó é é é é é é é é é Ö é Ő é é ö é Ö ü é ó Ö Ü ö ö é é é Ő ö é é Ü é ö é é é é é é é ü é é ö é é é é é ü é é ü é é é ö ö
é ű ö ö é é ö ú é ü é é é ü ö ö é é é ö ö é é é ű ö ú é ü é é é é é é é é é é ö é é ű ö ű ö é é é Ö é é é ü ö é é ö ö é é é é é é é ü é é é ű é ü é é ú é é ű ú é é é é é ö é é ö é ó ö é é ö é é ö é ö é
úö ő Á É É Ó É ö ö ö ő ő Á ú ö ö ü ö ő Ó ő ő ú ú ö
ö É É É Ó Á É Ő Á Á Á É Á É É ö Á É ö ű ö ú Á É Ó É Ó Á Á ő ű ő ő É úö ő Á É É Ó É ö ö ö ő ő Á ú ö ö ü ö ő Ó ő ő ú ú ö ü ő ü ő ö ő ú ő ö ú Á ö ú ö ő ő ő ö ú ő ő ő ö É ú ö ö ü ö ő ü ő ö ö ö ü ő ő ő ü ő
ű ú Í Ó Á ú Ű ű Ő Ö Á ú Ű Ü ú ú Á ú ű
É Á É É Ó Á ű Á ű ú ú ű ű ú ű ű ú Á ú ű ú ű ú ű ú ű Á ű ú ű ű Ö Ú Á ű ű Á ű ű ú Í Ó Á ú Ű ű Ő Ö Á ú Ű Ü ú ú Á ú ű ű ú ű ű ű ű ű ú ű ű ű ű ű ű Á ú ű ű ú ú ű ű ű ű ű ú ű Á ű ű ű ű ű ű ú ű ú ű ú ű Ö ú ű Ö
ú ú ö ö ü ü ü ü ű ü ü
Ü ú ű ű ú ű ú ú ö ö ü ü ü ü ű ü ü ö ö ö ö ö ö ű ö ö ö ö ö ö ö ö ö ü ü ü Ú ú ü ű ü ú ű ö ű ú ö ö ö ö Á ú ú ű Á ú Á Á Á ü ö ö Á ö ö ü Á ú Á ú Á Á Ö Á Á ö ű ö ö ü ú ü ú ö ú ű ú ú ü ü ü ü ű ű Ő ú ö ű ú ú ű
É ú ö ö ü ü ö ö ö ü ö ö ö ü ü ü ü
É ü ü É ú ö ö ü ü ö ö ö ü ö ö ö ü ü ü ü ö ö É ü É ü ü ú ü ö ö ö ö ö ö ö ö ö ú ö ö ü ú ö ö ö ü ö ú ö ö ö É É É ü ü ü ö ö ü ü ö ö ö ü ú ü ö ö ű ö ö ú ú ö ö ö É ü É ö ö ú ö ö ö ö ü ö ö ö ü Ö ö É É É ö ö ö
ő ő ő ő ú É ü ú ú ű ú ű ő ő ő ő Á Á ü ő É É É É É É Á Ú Á Á ő ő ő ő ő É Á Á Á ő ő ő Á ü ő ő ü
ő É ő ő ő ő É Ü Ö Ö Ö Í Ö Ö Ö ő Ó Ó Ö Ö Á É É É ő Á É Á Á Ú Á Ú Ö Ö Á Ú Ö Á ű Á ú ő ő ü ü Ó ő ő ő ő ú É ü ú ú ű ú ű ő ő ő ő Á Á ü ő É É É É É É Á Ú Á Á ő ő ő ő ő É Á Á Á ő ő ő Á ü ő ő ü ő ő ő ő Á ü ú ú
Á Á Ö Ö Ü É Ö É É Á Ú É É É É Á Á Ö Ö Ő
Á Á Ö Ö Ü É Ö É É Á Ú É É É É Á Á Ö Ö Ő Á Á Ú ű É Á É ű É ű Ü É Ú Ú Ó Ü Ó Ó Ó É Ü Ü ű É É Ö Á Ó Ú Á ű ű Á ű ű É ű Ú Á É É É Ü Ó É É ű ű É Ő Á Á ű Ü ű Ü ű ű Á ű Á Á ű ű ű Ü Ü Á ű É Á ű ű É ű Ó ű Ü ű ű Ú
Ö Ö Ú Ó Ö ű Ő Ő ű ű Ü Ő Ó Ő
ű É ű ű É Ö Ö Ú Ó Ö ű Ő Ő ű ű Ü Ő Ó Ő É Ó Ó É ű Ö ű Ö ű ű ű Ú Ú Ö ű ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű Ú É É É É Ö Ö Ú Ö É ű ű ű ű ű ű ű Ó ű Ö Ö ű ű ű É ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ö ű ű ű Ü ű ű ű ű Ö ű
Ó ű ű Á ú ű ű ú ú ú ű ű É ú É Á Á ú ű Ü Á Ü Á ű Ö Ú É Ó É Á Á Á Ű Á úá Á Ö É Ö É Ü
ú ú ú ú Ö ú ű ú Á ú ú ű ű ú ű ú ú Ó ű ű Á ú ű ű ú ú ú ű ű É ú É Á Á ú ű Ü Á Ü Á ű Ö Ú É Ó É Á Á Á Ű Á úá Á Ö É Ö É Ü Ó Á Á Á ú ú Ő Ö Ü ú Ü Á ú ú Á Ú ú ú ú É ú Ó Ö É Á ű ú É Ó ű ú ú ű ű ú ű ú ű ű ú ű ű