STRUCTURI ALGEBRICE: GRUPURI REGULI DE CALCUL Prof Hecser Eikő-Kriszti, Colegiul Nțiol Uire, Târgu Mureș, jud Mureș Î cls XII- oţiue de lege de copoziţie, proprietăţile cestor, oţiue de grup su de ltă structură lgerică se îţelege uşor L prezetre regulilor de clcul îtr-u grup pute spue u îtâpiă greutăţi, chir di cotră: elevilor li se pre că este o lecţie lă cu câtev teoree evidete cre se cuosc dej Cofuzi pre di cuz otţiei ue: î prope tote ulele culegerile utilizte l clsă, grupul este ott petru uşur scriereultiplictiv, stfel elevii se gâdesc l îulţire gtelizeză iportţ cestor proprietăţi/teoree Î oetul î cre pr proleele/plicţiile, elevii relizeză că ceste eerciţii u sut deloc uşore dor după i ulte prolee ordte î clsă u ei câtev idei de rezolvre Depriderile, tehicile se foreză pri eerciţiu, cest fiid otivul petru cre les spre prezetre câtev seee prolee Prole 1 Fie ( G, u grup, G stfel îcât Arătţi că: Rezolvre: Z, Z Se v utiliz etod iducţiei tetice petru N 0 0 Petru 0 ve e e 1 1 su petru 1:, evidet devărte Presupuâd propoziţi devărtă petru k, dică k k, pute răt petru k î felul urător: ( ( k k k k k Dcă 0 N, deci Ne ză pe cele deostrte terior folosi î cotiure etod iducţiei tetice petru N Petru 0 ve presupue că propoziţi este devărtă petru k, dică k k k k k 0 0 e e, devărt Dcă k k, tuci, cee ce îseă că s- dovedit propoziţi devărtă petru k Dcă 0 N, deci ( (
Prole Fie ( G, u grup, G stfel îcât, Arătţi că: dcă, tuci e dcă, tuci e c dcă Rezolvre: (, tuci e Z Di ipoteză ve:, (, de ude e log (, de ude e ( e e ( ee e e d ( ( e e Z Prole Fie ( G, u grup,, c G stfel îcât, c, c Arătţi că: dcă c, tuci e dcă c, tuci c dcă c, tuci, N p 5 p6 d dcă c e, tuci e Rezolvre: Di ipoteză ve: 8 7 ( c c ( e, log c 7 e 7 De seee c ( 7 c e 6 ( c ( ( c c 78 77 7 c ( ( ( e p p p d c e, deci ( ( e, de ude e e p 7 7 7 p 6 5 p 65 p Prole Fie ( G, u grup, G stfel îcât e Arătţi că: e Rezolvre: e e e tuci e Prole 5 Fie ( G, u grup î cre e,, G Arătţi că grupul este couttiv
Rezolvre: Dcă î dou relţie di ipoteză lege, tuci oţie ( ( ( ( ee ee deci oricre r fi eleetele, G Prole 6 Fie ( G, u grup cu propriette e ( (,, G Arătţi că grupul este couttiv Rezolvre: e ( ( ( ( ( De seee e ( ( ( ( deci oricre r fi eleetele, G Prole 7 Fie ( G, u grup î cre,, G Arătţi că grupul este eli Rezolvre: Dcă î relţi di ipoteză luă, tuci oţie ( e ( Î cest rezultt lege i îtâi 6 ( e e ( e e, după cee vo ve e petru orice G Cotiure cestei rezolvări este o proleă sie stătătore ie cuoscută: ( e ee,, G Prole 8 Fie ( G, u grup, G stfel îcât 5 e Arătţi că: Rezolvre: Petru pri ceriţă: 6 5 e Î czul celei de- dou relţii pori di copue cu di stâg, stfel c să ve Ureză c cestă relţie să fie copusă di drept cu petru oţie, cee ce treui deostrt Prole 9 Fie ( G, u grup, G stfel îcât 6 e Arătţi că: e
Rezolvre: Porid di dou relţie di ipoteză pute scrie urătorul r de iplicţii: 6 6 e A dou ceriţă este lă, ue e Prole 10 Fie ( G, u grup, G stfel îcât 6 e Arătţi că Rezolvre: Dcă e, tuci Porid di dou relţie di ipoteză pute oţie urătorul rezultt: tuci 6 e ( (, deci e e Mi ve dor u sigur ps de făcut: e Prole 11 Fie ( G, u grup Dcă, G verifică relţiile e, tuci rătţi că: 1, N 6 e Rezolvre: Se v utiliz etod iducţiei tetice Îtr-devăr, petru 1 este chir ipotez, ir dcă presupue firţi vlilă petru pute scrie ( k k ( k, tuci este vlilă petru k, deorece ( Dcă î relţi dovedită terior luă, oţie, cee ce îcheie deostrţi 9 folosid iră ipotez pute cotiu 9 ( ( utilizt, relţii ce rezultă di e Aşdr 9 9 Tot pri iducţie se pote răt că (deostrţie siplă, forte seăătore cu precedet iducţie Vo îchei rezolvre legâd î cestă relţie ţiâd se î erul drept de dou ipoteză proleei Deci oţie succesiv 7 ( 7 6, dică e
Prole 1 Arătţi că dcă îtr-u grup fiit i ult de juătte di eleetele grupului coută cu tote eleetele di grup, tuci grupul este eli Rezolvre: Deorece se v utiliz teore lui Lgrge, reiti cestă teoreă: Ordiul oricărui sugrup l uui grup fiit divide ordiul grupului Notă grupul di euţ cu ( G, să cosideră ulţie eleetelor cre coută cu orice eleet di grup H { G, G} Se pote răt uşor că ( H, este u grup 1 couttiv ( H, ( G, Cofor ipotezei H G G H, dr cofor teoreei lui Lgrge N : G H, cee ce îseă că G H H, dică Evidet u pote fi ltcev decât 1 Deci: eli G 1 H H, dică G H st dovedeşte că ( G, este grup Prole 1 Fie ( G, u grup couttiv fiit cu eleetul eutru e Dcă e, petru i ult de juătte di eleetele grupului, tuci Rezolvre: e, petru orice G Notă cu H ulţie celor eleete petru cre se verifică eglitte di ipoteză: H { G e} deostră că ( H, ( G, Cofor teoreei de crcterizre suulţiilor verifică urătorele: 1 H, deorece e H Dcă, H, tuci pute scrie iplicţiile:, H e ( ( ( ee e H Deci îtr-devăr ( H, ( G, Dcă otă ordiul grupului G cu ordiul sugrupului H cu k tuci di ipoteză rezultă că k, dică k Cofor teoreei lui Lgrge: juge l cocluzi că p 1, dică k tuci H G ipoteză se verifică petru tote eleetele di G k p N : pk Aseăător cu prole precedetă, cee ce îseă că eglitte di Prole 1 Arătţi că dcă îtr-u grup ( G, ve petru u uit îtreg (, (, (, G, tuci grupul este couttiv
Rezolvre: Cofor relţiilor di ipoteză, petru orice două eleete, G, ve ( (, şdr, de ude oţie Acestă eglitte rtă că coută cu tuci coută cu orice putere îtregă lui (Prole 1 Alog 1 ( (, dică, 1 de ude se oţie 1, dică coută cu tuci coută cu orice putere îtregă lui Deorece uerele sut prie ître ele, eistă k, l îtregi stfel c k l( tuci: kl( ( k ( l ( k ( l ( k ( l kl( Relţi fiid devărtă petru orice, G, rezultă că grupul este couttiv Prole 15 Fie ( G, u grup î cre re loc iplicţi z z Deostrţi că: e, G e Grupul este eli Rezolvre: Fie G cu e Fiâd u eleet G, vo ve î od evidet e tuci pe z iplicţiei di ipoteză, rezultă e Aşdr e e, su echivlet e e Fie, G ritrre Se pote răt că ( (, deorece pute scrie succesiv Di eglitte ( (, folosid iplicţi di ipoteză, rezultă, deci grupul este eli Biliogrfie: 1 M Burte, G Burte: Mtetică petru cls XII-, progr M1, Culegere de eerciţii prolee, Editur Criis Educţiol, 008 C Năstăsescu, M Ţe, G Adrei, I Otărăşu: Prolee de structuri lgerice, Editur Acdeiei Repulicii Sociliste Roâi, 1988 Adrás Sz, Cspó H, Lukács A: Mtetik XII osztál száár, Editur Státus, 00 Io D Io, AP Ghioc, NI Nediţă: Mul de lgeră petru cls XII-, Editur Didctică Pedgogică,199 5 Frks M: Alger tköv XII Osztálosok száár, Editur Erdéli Tkövtács, 1998