STRUCTURI ALGEBRICE: GRUPURI REGULI DE CALCUL

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Í é é ö é é é ő ü ö é é é é ü ö ö é é é ő é é ü ü ö Í ú ü ö é ü Á éí É ü é ú é é é ű é é é Í é ő ú é é é úö é é ö é ú é ö ö Í é é ö é é éé ü é Í é é é


é é ö í Ü ö é ő é é Í Í é é é ű é ő é é ő í ő Ű é é é é ö í é ö ö é ö é é é é ő é ű ő é é Úé é ö ö é Ü ö é ő é éü Ú í í ő ö é é é é é í é é ő é é őé é

Í Í Í ű Í ö Ú Ú ö ö É ö ö Í É ö ö ő Á Ö ő ő Ü Í Í É Í Í É Í ö ú ö ú ö Í Á Á Ö Í



ö é ü ö é é ü é í ü é é ü é é é é é é ö é é é í é ö é ö ö ö é ü ü é é é é é é ü é í í é é ü ö é é é é é ü é é é ú ú ö é Ó é ü é ü ü é é ö é Ö é ö é é


Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Braşov, 2 aprilie CLASA a VIII-a


é ő é ó á é ő ó í á á é ö é á é í é á á é é ű á é ö ö ö ó é ü ö ö ő é ó é ő á í á é í é é á á é í ű ö é Í é ü ö é ó é ü á ű é á ö á Í é ő é á á ó ő é

é ö é é ö ő ü é é é ő ü ű ú é ö é ó é ö é é é ó í é ö í é ü é ó í ú í í ö é Ö é ü ö é é é ü ó ó é ü é é é ó é é ü é ó ó é ü é ü ü é í ö ö ó í ú í ó ú

É Í É ő é Á Á É É Í É Á Á í í Á Á Í ú í í Í é é É ííé ö é Í é é Í ő é

í í ó ö ö í é ű é é é é é é ó é ó ó ü ö í ő í ü ö í é ö ö é í é é ü ö í ü é í é í ó ö ö ö Ó í ó ó ö í ő óá Ü ü ö í ü ü é ő ű é é é é é ü í é é í é é ö



ő ö ó ü ü ó ö é é ó é ü é é ő ö ö Ö ó é é ó ö ó ő ö é ő ö é ő ö é ő ö é ő ó ó ó í é é ü ő í ö ö ö í é ő ü é ö é ő ő é é ó é ó ü ó é ő é é íé í ő é é é




ü É ü ü ü ú ü Ú







í ó ö é é í ó ó é í í ó ö ü ő ö ö é ő é í é é í é ő í ü é é é Í é ő í ó í é ő é í ü í ő ő é ú í ó é é ö é ö é é é é ú í ó é í ü í é ú ú ö ö é é ú í ő


é ü ü ő ü ő é ú é é é é é ő í é ő Í ő ü é é í é í é ő í ó é é í é é ő ó í ó é í í é ő Í ú ó ó í é ű í ó é í é ő é é í ó é í í óé í éé ő ó ü é ő úé é ú


Ó É É Ó Á Á É É Á É ő é á é é ö é ú á ú áí í á Í á Íó ü Í í é ú í á é é ú á á á é é á ő é é ű á á í é é ü é é é ó í á á ó é é ő é ú á é ö é ó á á á í





ü ű í ú ű í É í Ö í ü Ö É í í Ö í É ú ú Ú í





á é é é é é é é é á é é é é á ú ó é ő á ő á é ű é á ó é é ő é ú ő á é é őá é é é é é é é á ő ö ő ö é á é ő é éé é é é á ő á é ő é á ó á ú á á é á é őí

ö é é é ö é é í ó á á í é üé é á á á é é á á á é é ő é é í é ő ü á é é é é ó á é ó á ú é á é ü á é é á ó á ü á á á ö é ü á á í é á é ó é ó á é ó é ó ó




í í ü ó ó ő ó ö ő ú ü ú ú ó ö ö ó ö ő ó ü ó í ö ő ú ó í í ü ü ú ü ő í ü ő ú ő ü ű ó í ö ö í ó ő ú ü ó É ó í ü ó ó í ü ó í ó ü ó ú ö ü ö ú ó ö öí ő ü í


ľ ü ľ ń ű ö ő ó öľ í ő ő ó ö ť ö ľ ő ĺő ľ ő Ż ęľ ľ ľí í ü ľ ő ő í ő ü ő ĺ í ő ú Ä Í ü ą ó ĺ ľ ę ľ ó ĺ ö ő ó ó ó í Í ő ĺő í ő ó ő ĺ ő ą ú Í ő ö ľ ő ő ĺ

é é é í ű é é ú ü é é ú é é ü é ő é ú é é ő ő é é é é ő é í ő í ő í ü é é é é ú í í é ő é é é ü é é é é é ú é é ü é é é ü í í í é é é é é é é é ő é é



ę ę í ő ý ö ź Í ő É í ü Á ő í ü ö í í ę ü ľ í ö ö í ľü ő Ĺ ö ö ő ü ľ ö ö í ő ö ő ö ö í ľ ő ő ü ú í í í Í ľ ľ ęí ď ő ü ü í ő ź ö ü Í í ú ö í ö ő ő ö ű

é í í é ő ü ő é é é é ó ü é ó í é é í íí ó ű ő ó ő ó ő é ó í í é í Í ő í é ő é ó ó é í ó é í é ü é Í é é ó í í é é í é í ó ő é íí é é í é í í é ő ó é

é ü ö ü é í ó


ö ő ő ő ö í ü Á ű ü í Ü í ű Á ö Ö ű ú ü ú í ö ö í í É É Ü ö ö ö ö ö í ü ö ö ö ö ü í ö í ü ö ö í ü


ö ö ę ü ö ö ö ź ű ö ö ü ö ö ź ö ü ö ú ö Đ źú ű ö ö ö Ĺ Á ę ö ö ö ü ö ö ü ö ű ö ö ű Ö ö ű ö ź ű ú ö Á ö ö Á ü ö Ĺ ź ö ö ö ť ö ź ö ű ö ö ű ö








ó ö é ö ó ó ó é ú ó ú í ü é é ó ü ó í Í é í é é ó ú é ó í ó ú í ö ö ö é ó íü ó ú é é é í é ó í ö ó ü é ó ü é é é é é ó íü ü é é ó é ü ú ü ú ö é Ö ó ó













ő ő ű í ó ú í ű í ó ő ő ő ő í í Á í ü ó É í í ő ő í ó ő ő ő ő ő ú ú ú í ő Á Ö ő ő ó

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ľ ú ő ö ü ö ľü ő ľ ő ö ü ú ö ľ í ü ú í ö ľĺ ő ű ľ ö ü ľü ę đí ą ó ő ő ü ú í ľ í í ý đ ę öľ ü í ú í ó í ő ó í ő ő ö ö ú í í ö ö ľü ú í í ľ ľ Ü Ü í í ľ


Debreceni Egyetem elektronikus Archívum példánya. Szerzői jogvédelem alatt.


ó ó é é é ó ü é é Í ő ő ó ó é ö é ó é ő ü é é ó í é é é ű ő ő ő é é ő í é í é é é ú é é é ó í é ö é ő ö é é é ö ü í é é ő é é ü é é í Ú ő ó ö é ő ö ö

ö Ö ő Í ó ő ö ú ó ó ő ü ü ü ö ü Ö ö ö ö ö ü ű ö ü ó ö ö ő ő ó ó ő ú ü Á


ó ü Á Ú ü í Ó ó ö Ú ö ü Ó Ó ő Íó í ő ú ő í ó ö Ö ö ö í ó ó Í ü ő ó ó Ó Ó Ó í Ó Í Ú Ó Ó í í í Ó ő Ö ü Ó Ö ű Ö ű ö ü Ó ő ü Ö í Ö Í ó Ó ó ö ü ü ö ó Ö Ó Ó

ű ü Á

ó ó ó ö ü ő ö ó ú ő ó ö ó ó ő ü ő ó ő ü ö ő ő ó ó ő ó ö ö ú ó ő ö ó ő ő ó É ó ő ü ö ú ű ü ő ő ú ó ö ú ó ó ó ó ő ó ö ú Á ő ő ő Á ó ó ü É ö ú

ó ü í ó ü Í é é ó ó ő ó ü ö ő ú ő ö ö é é ó ö ö ó ó ö Í é é ö é ó ó ó ö é Í ó ó é ű é ó ő é é Í é ű é ó ö é ő é ó í ő é é é é ű é é é é é ó ő é ő é ó

ö É Á ó ó á é á ó ö á É É ö ó


í é ó í ö ö ő é é é é é é í é é é é í ő é é é é é ó í é é é é é é é ö ö é é é é é é é é é ö é é ó é ú é í í í é ö í é í ö é ő ú í ö é ö ú é í ö ő ú é

MESEBÁL 3.A hõs kisegér Huszti Zoltán

Átírás:

STRUCTURI ALGEBRICE: GRUPURI REGULI DE CALCUL Prof Hecser Eikő-Kriszti, Colegiul Nțiol Uire, Târgu Mureș, jud Mureș Î cls XII- oţiue de lege de copoziţie, proprietăţile cestor, oţiue de grup su de ltă structură lgerică se îţelege uşor L prezetre regulilor de clcul îtr-u grup pute spue u îtâpiă greutăţi, chir di cotră: elevilor li se pre că este o lecţie lă cu câtev teoree evidete cre se cuosc dej Cofuzi pre di cuz otţiei ue: î prope tote ulele culegerile utilizte l clsă, grupul este ott petru uşur scriereultiplictiv, stfel elevii se gâdesc l îulţire gtelizeză iportţ cestor proprietăţi/teoree Î oetul î cre pr proleele/plicţiile, elevii relizeză că ceste eerciţii u sut deloc uşore dor după i ulte prolee ordte î clsă u ei câtev idei de rezolvre Depriderile, tehicile se foreză pri eerciţiu, cest fiid otivul petru cre les spre prezetre câtev seee prolee Prole 1 Fie ( G, u grup, G stfel îcât Arătţi că: Rezolvre: Z, Z Se v utiliz etod iducţiei tetice petru N 0 0 Petru 0 ve e e 1 1 su petru 1:, evidet devărte Presupuâd propoziţi devărtă petru k, dică k k, pute răt petru k î felul urător: ( ( k k k k k Dcă 0 N, deci Ne ză pe cele deostrte terior folosi î cotiure etod iducţiei tetice petru N Petru 0 ve presupue că propoziţi este devărtă petru k, dică k k k k k 0 0 e e, devărt Dcă k k, tuci, cee ce îseă că s- dovedit propoziţi devărtă petru k Dcă 0 N, deci ( (

Prole Fie ( G, u grup, G stfel îcât, Arătţi că: dcă, tuci e dcă, tuci e c dcă Rezolvre: (, tuci e Z Di ipoteză ve:, (, de ude e log (, de ude e ( e e ( ee e e d ( ( e e Z Prole Fie ( G, u grup,, c G stfel îcât, c, c Arătţi că: dcă c, tuci e dcă c, tuci c dcă c, tuci, N p 5 p6 d dcă c e, tuci e Rezolvre: Di ipoteză ve: 8 7 ( c c ( e, log c 7 e 7 De seee c ( 7 c e 6 ( c ( ( c c 78 77 7 c ( ( ( e p p p d c e, deci ( ( e, de ude e e p 7 7 7 p 6 5 p 65 p Prole Fie ( G, u grup, G stfel îcât e Arătţi că: e Rezolvre: e e e tuci e Prole 5 Fie ( G, u grup î cre e,, G Arătţi că grupul este couttiv

Rezolvre: Dcă î dou relţie di ipoteză lege, tuci oţie ( ( ( ( ee ee deci oricre r fi eleetele, G Prole 6 Fie ( G, u grup cu propriette e ( (,, G Arătţi că grupul este couttiv Rezolvre: e ( ( ( ( ( De seee e ( ( ( ( deci oricre r fi eleetele, G Prole 7 Fie ( G, u grup î cre,, G Arătţi că grupul este eli Rezolvre: Dcă î relţi di ipoteză luă, tuci oţie ( e ( Î cest rezultt lege i îtâi 6 ( e e ( e e, după cee vo ve e petru orice G Cotiure cestei rezolvări este o proleă sie stătătore ie cuoscută: ( e ee,, G Prole 8 Fie ( G, u grup, G stfel îcât 5 e Arătţi că: Rezolvre: Petru pri ceriţă: 6 5 e Î czul celei de- dou relţii pori di copue cu di stâg, stfel c să ve Ureză c cestă relţie să fie copusă di drept cu petru oţie, cee ce treui deostrt Prole 9 Fie ( G, u grup, G stfel îcât 6 e Arătţi că: e

Rezolvre: Porid di dou relţie di ipoteză pute scrie urătorul r de iplicţii: 6 6 e A dou ceriţă este lă, ue e Prole 10 Fie ( G, u grup, G stfel îcât 6 e Arătţi că Rezolvre: Dcă e, tuci Porid di dou relţie di ipoteză pute oţie urătorul rezultt: tuci 6 e ( (, deci e e Mi ve dor u sigur ps de făcut: e Prole 11 Fie ( G, u grup Dcă, G verifică relţiile e, tuci rătţi că: 1, N 6 e Rezolvre: Se v utiliz etod iducţiei tetice Îtr-devăr, petru 1 este chir ipotez, ir dcă presupue firţi vlilă petru pute scrie ( k k ( k, tuci este vlilă petru k, deorece ( Dcă î relţi dovedită terior luă, oţie, cee ce îcheie deostrţi 9 folosid iră ipotez pute cotiu 9 ( ( utilizt, relţii ce rezultă di e Aşdr 9 9 Tot pri iducţie se pote răt că (deostrţie siplă, forte seăătore cu precedet iducţie Vo îchei rezolvre legâd î cestă relţie ţiâd se î erul drept de dou ipoteză proleei Deci oţie succesiv 7 ( 7 6, dică e

Prole 1 Arătţi că dcă îtr-u grup fiit i ult de juătte di eleetele grupului coută cu tote eleetele di grup, tuci grupul este eli Rezolvre: Deorece se v utiliz teore lui Lgrge, reiti cestă teoreă: Ordiul oricărui sugrup l uui grup fiit divide ordiul grupului Notă grupul di euţ cu ( G, să cosideră ulţie eleetelor cre coută cu orice eleet di grup H { G, G} Se pote răt uşor că ( H, este u grup 1 couttiv ( H, ( G, Cofor ipotezei H G G H, dr cofor teoreei lui Lgrge N : G H, cee ce îseă că G H H, dică Evidet u pote fi ltcev decât 1 Deci: eli G 1 H H, dică G H st dovedeşte că ( G, este grup Prole 1 Fie ( G, u grup couttiv fiit cu eleetul eutru e Dcă e, petru i ult de juătte di eleetele grupului, tuci Rezolvre: e, petru orice G Notă cu H ulţie celor eleete petru cre se verifică eglitte di ipoteză: H { G e} deostră că ( H, ( G, Cofor teoreei de crcterizre suulţiilor verifică urătorele: 1 H, deorece e H Dcă, H, tuci pute scrie iplicţiile:, H e ( ( ( ee e H Deci îtr-devăr ( H, ( G, Dcă otă ordiul grupului G cu ordiul sugrupului H cu k tuci di ipoteză rezultă că k, dică k Cofor teoreei lui Lgrge: juge l cocluzi că p 1, dică k tuci H G ipoteză se verifică petru tote eleetele di G k p N : pk Aseăător cu prole precedetă, cee ce îseă că eglitte di Prole 1 Arătţi că dcă îtr-u grup ( G, ve petru u uit îtreg (, (, (, G, tuci grupul este couttiv

Rezolvre: Cofor relţiilor di ipoteză, petru orice două eleete, G, ve ( (, şdr, de ude oţie Acestă eglitte rtă că coută cu tuci coută cu orice putere îtregă lui (Prole 1 Alog 1 ( (, dică, 1 de ude se oţie 1, dică coută cu tuci coută cu orice putere îtregă lui Deorece uerele sut prie ître ele, eistă k, l îtregi stfel c k l( tuci: kl( ( k ( l ( k ( l ( k ( l kl( Relţi fiid devărtă petru orice, G, rezultă că grupul este couttiv Prole 15 Fie ( G, u grup î cre re loc iplicţi z z Deostrţi că: e, G e Grupul este eli Rezolvre: Fie G cu e Fiâd u eleet G, vo ve î od evidet e tuci pe z iplicţiei di ipoteză, rezultă e Aşdr e e, su echivlet e e Fie, G ritrre Se pote răt că ( (, deorece pute scrie succesiv Di eglitte ( (, folosid iplicţi di ipoteză, rezultă, deci grupul este eli Biliogrfie: 1 M Burte, G Burte: Mtetică petru cls XII-, progr M1, Culegere de eerciţii prolee, Editur Criis Educţiol, 008 C Năstăsescu, M Ţe, G Adrei, I Otărăşu: Prolee de structuri lgerice, Editur Acdeiei Repulicii Sociliste Roâi, 1988 Adrás Sz, Cspó H, Lukács A: Mtetik XII osztál száár, Editur Státus, 00 Io D Io, AP Ghioc, NI Nediţă: Mul de lgeră petru cls XII-, Editur Didctică Pedgogică,199 5 Frks M: Alger tköv XII Osztálosok száár, Editur Erdéli Tkövtács, 1998