Kvatummechaika A Jegyzet Katz Sádor el adása alapjá Vaó Lilla, Tajkov Zoltá ovidad@gmail.com 5. jauár 4. Tartalomjegyzék. Törtéeti áttekités 3.. H mérsékleti sugárzás............................ 3.. Atomok szíképe............................... 5. Hullámmechaika 6.. A Schrödiger-egyelet levezetése..................... 6.. Várható értékek................................ 8 3. A Schrödiger-egyelet 3.. Egydimeziós eset............................... 3... Szabad részecske........................... 3... Határozatlasági reláció....................... 3..3. Mozgás poteciálba......................... 3..4. Harmoikus oszcillátor........................ 3..5. Oszcillátoralgebra........................... 5 3.. 3 dimeziós Schrödiger egyelet...................... 6 3... Cetrális poteciál.......................... 6 3... A hidrogéatom............................ 3..3. Két test probléma........................... 4 4. Axiomatikus kvatummechaika 5 4.. I. axióma................................... 6 4... Dirac jelölés.............................. 7 4.. II. Axióma................................... 7 4.3. Várható értékek................................ 9 4.3.. Függvéyek.............................. 9 4.3.. Határozatlasági reláció....................... 9 4.4. Operátorok spúrja.............................. 3 4.5. Diád...................................... 3 4.6. S r ség operátor............................... 3
4.6.. Neuma-etrópia.......................... 3 4.7. Szimmetriák.................................. 3 4.7.. Wiger-tétel.............................. 33 4.7.. Folytoos szimmetriák........................ 34 4.7.3. Térbeli eltolás............................. 35 4.7.4. Id beli eltolás............................. 36 4.7.5. Forgatási szimmetria, a Spi..................... 38 4.7.6. Ĵ és Ĵ3 spektruma.......................... 4 4.7.7. Véges dimeziós irreducibilis ábrázolások.............. 43 4.7.8. Impulzusmometumok összeadása.................. 45 4.8. Azoos részecskék............................... 5 4.8.. Kicserél dési kölcsöhatás...................... 5 4.8.. Tükrözések.............................. 55 5. Közelít módszerek 56 5.. Id függetle perturbációszámítás...................... 56 5... Degeerált eset............................ 59 5.. Hidrogé atom omfelhasadása....................... 6 5... Zeema-eektus............................ 6 5... Stark-eektus............................. 63 5.3. Variációs módszer............................... 67 5.3.. Harmoikus Oszcillátor........................ 67 5.3.. Hélium atom alapállapota...................... 69 5.3.3. Hidrogémolekula io......................... 7 5.4. Wetzel-Kramers-Brilloui közelítés..................... 73 5.4.. Alagút eektus............................ 75 5.4.. Alfa-bomlás.............................. 75 5.4.3. Illesztés a fordulási potokál.................... 76 5.5. Id függ perturbációszámítás........................ 78 5.5.. Mookróm hatás........................... 79 5.5.. Hidrogé atom féybe........................ 8 5.5.3. Véletleszer perturbáció...................... 83 5.5.4. Spotá emisszió........................... 85 6. Kaoikus formalizmus és pályaitegrál 85 6.. Kaoikus kvatálás............................. 86 6.. Feyma-féle pályaitegrál.......................... 88 7. Szórásszámítás 9 7.. D-s szórás.................................. 9 7... Szórás véges poteciálgödörbe................... 9 7.. 3D-s szórás.................................. 9 7... Parciális hullámaalízis........................ 94 7... Bor-közelítés............................. 99
8. Összefoódott állapotok 8.. Bell-egyel tleségek............................. 8.. Kvatum-számítógépek............................ 3. Törtéeti áttekités A 9. század végé voltak még megoldatla problémák a zika éháy területé. Ezekb l a problémákból tte ki magát Eistei speciális relativitáselmélete, illetve a kvatummechaika. Mik is voltak ezek a problémák?.. H mérsékleti sugárzás Valamilye T h mérséklet testtel egyesúlyba lév sugárzásak vizsgálták az eergias r ségét, ez volt a problémás dolog. Tekitsük egy L oldalhosszúságú kockát (dobozt, amit felmelegítettük T h mérséklet re. A kérdés a következ : milye eergias r ség alakul ki a dobozo belül? Keressük tehát a ρ(ν, T függvéyt. Amely a ν frekvecia körüli dν frekveciaitervallumba es kisugárzott eergiaáramot adja. Erre voatkozóa voltak kísérletek, melyek a számolással em egyeztek. Hogya számolták? Legye tehát egy L 3 doboz, bee az elektromágeses sugárzással. Meg kell oldai a Maxwell-egyeleteket periodikus határfeltételek mellett. A potos számolást em végezzük el, ezt már el z elektrodiamika kurzusoko megtették, csupá a modaivaló szempotjából fotos lépéseket eleveítjük fel. Az E elektromos tér és a B mágeses idukcióvektor oszcilláli fog, azaz: A periodikus határfeltételek miatt q kvatált lesz: E, B e iqx e iωt (.. q = π L (.. ahol = (,, 3 egész számok. Ezzel már a frekveciát is fel tudjuk íri: λ = π q ν = c λ = cq π = c L (..3 Most meg kell modai a módusok számát egy adott ν és ν + dν között. Ehhez le kell számoli, hogy háy ilye síkhullámot tudok felíri, legye ez N(νdν. Ez pot egy dν gömbhéj, eek a térfogata: 4π d: eyi rácspot va és d között. Ehhez még érkezik egy kettes faktor a lehetséges polarizációk miatt: Most már csak egy ν összefüggés kell: N(νdν = 4 π d. (..4 = L c ν, d = L c 3 dν (..5
. ábra. A RayleighJeas-törvéy és a tapasztalat N(νdν = 8π ( 3 L ν dν (..6 c Eyi módus va. Megézzük, hogy egy ilye módusra meyi eergia jut, majd azt ezzel felszorozzuk. Ehhez haszáljuk az ekvipartíció tételét: A teljes eergias r ség ν és ν + dν között: ρ(ν, T dν = 8πk BT ν dν c 3 Ē(T = k B T (..7 = 8π k BT c 3 ν dν (..8 Ezt evezzük RayleighJeas törvéyek. A kísérletekkel összevetve azt látjuk, hogy ez kis ν frekveciák eseté igaz lesz. De ha ν-vel egyre messzebb megyük, akkor az eltérés ige agy lesz. S t a modell lehetetlet jósol: ha az eergias r séget felösszegezzük az összes módusra, akkor az divergáli fog. Ezt evezik ultraibolya katasztrófáak. Ez yilvá em azt jeleti, hogy valóba ez a helyzet, haem csak jelzi számukra, hogy az elmélet valahol hibás. Megoldáskét próbáltak olya függvéyt találi, amely a kísérletekkel jó egyezést mutat(. ábra. Plack mideféle elméleti megfotolások élkül egyszer e illesztett egy függvéyt a kísérleti eredméyekre, beépített egy expoeciális levágást, az illesztéshez egyetle paramétert kellett bel ie, ezt h-val jelölte, ez a Plack-álladó, melyek értéke h = 6.63 34 Js. Az általa kapott görbe egyelete: ρ(ν, T dν = 8πh c 3 ν 3 dν e hν k B T (..9 Ha hν k B, akkor sorfejtéssel visszakapjuk a klasszikus elektrodiamika RayleighJeastörvéyét. T Nem sokkal kés bb született meg a hipotézis, amelyb l ezt az eredméyt származtati tudta. A következ t tételezte fel: a sugárzási tér olya oszcillátorokkal va egyesúlyba, melyekek az eergiája kvatált: E = hν. Plack tehát em a sugárzás kvatáltságát tételezte fel, az Eistei volt. 4
Ebb l Loretz vezette le a Plack-törvéyt a következ képpe: feltette azt a kérdést, hogy hol rotjuk el a számolást? A válasz az, hogy az ekvipartícióál: Ē k B T. Hol lehet ezt láti? Aak a valószí sége, hogy egy tartályba lév T h mérséklet gáz eergiája E és E + de között va e βe, ahol β k B. Ezt persze még ormáli kell: T p(e de = e βe de e βe de Ē(T = E e βe de e βe de = β = k BT (.. Itt feltételeztük, hogy az eergia folytoos. Ha ezzel szembe kvatált eergiát tételezük fel: E p(e i = e βe i e βe Ē(T = = (.. e βe e βe = Most felhaszáljuk Plack hipotézisét, miszerit E = hν. Így egy geometriai sort kapuk, amit fel tuduk összegezi: = e βhν = = e ; hν e βhν = βhν = hν e βhν ( e βhν (.. Az eergia várható értéke eek a kett ek a háyadosa:.. Atomok szíképe Ē(T = hν e βhν (..3 Rutherford kísérlete bizoyította, hogy létezik atommag, amely az atom közpoti egysége. Ez tartalmazza tömegéek agy részét. A mag körül helyezkedek el a köyebb, egatív töltés elektrook. Rutherford azt feltételezte, hogy az elektrook körpályáko kerigeek mag Coulomb-terébe. A mérések szerit azoba gázok spektruma éles voalakból áll, vagyis a megvalósuló körpályák sugara em tetsz leges, csak bizoyos, diszkrét értékeket vehet fel. A Rutherford-modell agy hátráya, hogy az így elképzelt atom em lehete stabil. A körpályá mozgó elektrook gyorsuló töltések, vagyis sugározak. Az elektrodiamika törvéyei szerit az elektrookak bele kellee zuhaiuk a magba, ezt pedig em tapasztaljuk. Ezt az elletmodást Bohr oldotta fel. Úgy godolta, hogy az elektrook em kerighetek akármilye pályá, em lehet akármekkora az eergiájuk, haem kvatáltak és csak akkor sugározak, ha egyik pályáról a másikra "ugraak", miközbe megfelel agyságú eergiájú fotot yelek el vagy sugározak ki. Ezzel már meg lehet magyarázi a hidrogészer atomok szíképét. De mi volt a leírás alapja? Bohr ötlete yomá: a h Plack-álladó impulzusmometum dimeziójú, akkor kézefekv, hogy legye az kvatált: mvr =, (.. 5
ahol pozitív egész és = h. Az e töltés elektrot a Ze magtöltés atommag Coulombtere tartja r sugarú körpályá: π mv = Ze r r, (.. ahol e = e 4πɛ. Az elektro eergiájára így az E = mv Ze r = mz e 4 ev Z 3.6 (..3 c kifejezés adódik. Egy (E > E atomi átmeethez tartozó foto frekveciája: ν = E ( h = mz e 4. (..4 Sommerfeld ezt bármely zárt redszerre általáosította. Ha egy N szabadsági fokú, id be periodikus mozgás leírható H(q a, p a Hamilto-függvéyel, akkor a kvatálási feltételek: p a dq a = a h, a =... N, (..5 ahol a mozgás egy periodusára kell itegráli. Például körpálya eseté, ahol p = L és q = φ: π L dφ = h = πl = h, vagyis L =. (..6. Hullámmechaika.. A Schrödiger-egyelet levezetése A féyek kett s természete va: a Maxwell-egyeletek hullámmegoldásakét jö ki, de Eistei kvatum hipotézisébe részecske, amit számos kísérlet agy potossággal igazolt. De Broglie-ak támadt egy ötlete: ha a hullámak vélt féy részecskekét is tud viselkedi, akkor vizsgáljuk meg a féyt mit hullámot, és ezt alkalmazzuk részecskékre. A fotora teljesül az E = ω összefüggés. Eze kívül: E = ω p = k (.. Ha ezt elfogadjuk, akkor a Bohr-feltétel azt jeleti, hogy amíg az elektro körbekerig a mag körül, közbe éppe egész számyit hullámzik: πr = λ = π k = π p = h mv. (.. Visszakaptuk az mvr = Bohr-feltételt. Ez persze egy agyo aiv elképzelés. 6
Mideesetre, ha Ψ(x, t síkhullám, azaz Ψ(x, t e i(kx ωt, akkor ki kell elégíteie a következ diereciálegyeleteket: i Ψ = EΨ t (..3 i Ψ = pψ (..4 Az id függés triviálisa leválasztható: Ψ(x, t = ψ(x e iωt = ψ(x e i E t. Az eergia és az impulzus között va egy reláció: E = p. Ez felírható diereciálegyelet m formájába: i Ψ t = Ψ (..5 m Ha leválasztottuk az id függést: i ψ = Eψ (..6 m Ezt persze lehet általáosítai. Ha adott egy V (x poteciál: Ψ(x, t t ψ(x + V (xψ(x = Eψ(x Id függetle Schrödiger-egyelet (..7 m = Ψ(x, t + V (xψ(x, t Id függ Schrödiger-egyelet (..8 m Az el z godolatmeetet köy általáosítai több részecskére. De mi az a Ψ? Eredetileg úgy godolták, hogy Ψ(x, t egy kiterjedt részecskét ír le, ezért azt várták, hogy Ψ(x, t mit egy itezitás megmutatja, hogy hol tartózkodik a részecske. Bohr erre rácáfolt: kiszámolgatott mideféle szórási problémát és az jött ki eki, hogy a szórás utá a részecske úgy midefelé va. Kísérletileg azoba em ez jött ki. Aztá jött Bor, aki szerit a Ψ(x, t em a részecske meyisége, haem megtalálásáak valószí sége. Potosabba megfogalmazva dp = Ψ(x, t d 3 x aak a valószí sége, hogy a részecskét az x körüli d 3 x dobozba találjuk. Kétféle elképzelés volt: a Az egyik szerit ez egyszer e em a teljes kép. Ez csak egy statisztikus leírás, de ha megtaláljuk az alapvet bb elméletet, akkor em valószí ségeket foguk kapi. Egyszer e azért vaak valószí ségek, mert em vettük gyelembe midet. Ez a rejtett paraméterek esete. b A másik felfogás szerit a világ em determiisztikus, csak valószí ségeket kaphatuk. Sok id eltelt az els vita óta és úgy éz, hogy a b lesz az igaz. A valószí ség em úgy érted, hogy egymás utá sokszor elvégezve a mérést kapok egy gyakoriságot, haem azoosa preparált részecskék viselkedése egyszer e em determiisztikus. De va-e egyáltalá értelme a valószí ségi értelmezések? Ehhez szükséges egyfajta ormálás. Elvárjuk a részecskét l, hogy ha midehol keressük, akkor találjuk is meg: Ψ(x, t d 3 x = (..9 A Schrödiger egyelet lieáris, vagyis ha Ψ(x, t megoldás, akkor λψ(x, t is megoldás. Vagyis, ha sikerül találi olya Ψ-t, amely megoldja az egyeletet és Ψ(x, t d 3 x = 7
N <, akkor N Ψ(x, t is megoldás, és eek már az itegrálja lesz. De Ψ változhat id be is. Megmarad-e a valószí ség? i t ( Ψ Ψ(x, t d 3 x = i t Ψ + Ψ t Ψ d 3 x = Kihaszáljuk a Schrödiger-egyeletet: {( ( } = d 3 x m Ψ Ψ m Ψ Ψ = m d 3 x { (Ψ Ψ Ψ Ψ }. Parciális itegráluk, kihaszáljuk, hogy Ψ a végtelebe lecseg: d x (Ψ Ψ Ψ Ψ = (.. m Összehasolítás utá látszik, hogy: t Ψ(x, t + j(x, t = (.. ahol j = i m (Ψ Ψ Ψ Ψ. Ez egy kotiuitási egyelet... Várható értékek A hely várható értéke: x = x Ψ(x, t d 3 x. (.. Az impulzus várható értéke: p = i Ψ Ψ d 3 x. (.. Klasszikusa p = mv = m dx m d dt x = m d dt = i dt. x Ψ(x, t d 3 x = m ( Ψ x t Ψ + Ψ t Ψ d 3 x (..3 x (Ψ Ψ Ψ Ψ d 3 x (..4 Parciális itegráluk m d dt x k = i x k l (Ψ l Ψ Ψ l Ψ d 3 x (..5 x k l (Ψ l Ψ Ψ l Ψ = l (x k Ψ l Ψ Ψ l Ψ δ kl (Ψ l Ψ Ψ l Ψ (..6 i (Ψ k Ψ Ψ k Ψ d 3 x = i Ψ k Ψ d 3 x = p k (..7 8
Tehát: m d x = p (..8 dt Ezek alapjá már mideféle zikai meyiséget fel tuduk építei. Általáos meyiség legye az A(x, p, mely szorzásokat és gradieseket tartalmazó operátor. Eek az operátorak a várható értéke: A = Ψ AΨ d 3 x (..9 Mivel a Schrödiger egyelet lieáris, így ha találok Ψ, Ψ megoldást, akkor ezekek a lieáris kombiációja is megoldás lesz. A lehetséges Ψ-k tere a égyzetes itegrálható függvéyek Hilbert-tere az L függvéytér, ami eleget tesz a következ tulajdoságokak: (Ψ + Ψ (x = Ψ (x + Ψ (x λψ(x = (λψ(x Ψ Ψ := Ψ (xψ (x d 3 x Ezeke a függvéyeke lehet operátorokat értelmezi a következ módo: Â : Ψ ÂΨ lieáris leképzelés akkor, ha (λ Â + λ Â Ψ = λ (ÂΨ + λ (ÂΨ Operátorokat lehet összeszorozi is, ez ayit jelet, hogy sorredbe hattatjuk ket egymás utá. Általába ez em lesz kommutatív, vagyis ÂÂ ÂÂ. Eek a jellemzésére haszáljuk a kommutátort: [Â, Â] = ÂÂ ÂÂ (.. Mide operátorhoz redelhet egy Â, ami deíció szerit: ÂΨ Ψ = Ψ Â Ψ. (.. Ezt evezzük az adott operátor adjugáltjáak. Ha egy operátor megegyezik az adjugáltjával, akkor azt öadjugáltak, más szóval hermitikusak evezzük. Lássuk be, hogy a ˆp = i impulzus operátor öadjugált! Ψ ˆp Ψ = ˆpΨ Ψ = (ˆpΨ Ψ d 3 x = ( i Ψ Ψ d 3 x (.. = i Ψ Ψ d 3 x = i Ψ Ψ d 3 x = Ψ ( i Ψ d 3 x = Ψ ˆpΨ (..3 Hasoló képpe be lehet láti azt is, hogy a koordiáta kompoessel vett szorzás operátora öadjugált. 9
Klasszikus zikába értelmeztük a Hamilto-függvéyt, mely poteciálba mozgó részecskére H = p + V (x. Az el z ekhez hasolóa értelmezzük a Hamilto-operátort: m Ĥ = ˆp m + ˆV (x (..4 Eddig t le volt xálva, most ézzük meg hogya változik Ψ, ha az id is változik. A Schrödiger-egyelet formálisa felírva: Ψ(x, t i t = ĤΨ(x, t (..5 Ha em tuduk semmit modai Ψ-r l, akkor is köyedé leválaszthatjuk az id fügést. Legye Ψ(x, t = ψ(x f(t. i df(t f(t dt i f(t df(t dt i ψ(x f(t = f(tĥψ(x (..6 = = kost(= E (..7 ψ(xĥψ(x = E f(t = kost e i Et (..8 A Ĥψ = Eψ egy sajátérték egyelet, a redszer lehetséges eergiaértékei a sajátértékek. 3. A Schrödiger-egyelet 3.. Egydimeziós eset A (..5 egyeletet egy dimezióba vizsgáljuk: Ψ(x, t i = Ψ(x, t + V (xψ(x, t. t m x (3.. Természetese midig gyelembe kell vei a ormálási feltételt: d 3 x Ψ(x, t =. Id függetle esetbe: 3... Szabad részecske d ψ(x + V (xψ(x = Eψ(x. (3.. m dx Tekitsük egy m tömeg szabad részecskét! Ekkor V (x =, azaz me ahol k = Id függ esetbe m ψ (x = Eψ(x ψ(x = Ae ikx + Be ikx, (3..3, vagyis E = k m. Ψ(x, t = Ae i(kx E t + Be i(kx+ E t. (3..4
Ez egy síkhullám, v sebességgel halad. Mi ezzel a baj? De Broglie szerit k = m v. Mi em ezt kaptuk. S t a síkhullám em is ormálható. Eek az az üzeete, hogy részecske jól meghatározott eergiával és impulzussal em létezhet. Ayira azért em rossz a helyzet, az e ±ikx függvéyek kiválóa alkalmazhatóak bázisak Ψ-k teré. Hogy kellee ezt iterpretáli? Az A e ±ikx egy A itezitású részecskeyaláb. A ormálási probléma kiküszöbölhet. Tudjuk, hogy ez a síkhullám megoldás. Mivel a Schrödiger egyelet lieáris, így ezek lieáris kombiációja is megoldás. Azt meg viszot már tudjuk ormáli: Ψ(x, t = π m = p dk φ(k e i ( kx k m t. (3..5 t = eseté: Ψ(x, = π dk φ(k e ikx. (3..6 Ez egy Fourier-traszformált, eek iverze megadja φ(k-t: φ(k = π dx Ψ(x, e ikx. (3..7 Ez már tetsz leges Ψ(x, t-re ormálható. φ(k-kból el állítható a megoldás: Ψ(x, t = π dk φ(k e i(kx ωt. (3..8 Vezessük be a v f = ω fázissebességet és a v k cs = dω csoportsebességet. Jele esetbe dk ω = k, ahoa v m f = k és v m cs = k. Mide módus sebessége más és más, ezért a m hullámcsomag szétfolyik. 3... Határozatlasági reláció σx =< x >=< (x < x > >=< x > < x >< x > + < x > =< x > < x > (3..9 σp =< p > < p > (3.. Síkhullámra úgy kell godoli, hogy meghatározott p impulzussal redelkezik, de σ p =!. Ekkor σ x egy rosszul deiált dolog. 3..3. Mozgás poteciálba Most V (x megoldásokat keresük dimezióba. Milye esetek lehetségesek? El fordulhat olya eset, hogy az eergia kisebb, mit a poteciál értéke (l.??. Az ábrá látható állapotot evezzük kötött állapotba. Ellekez esetbe szórásállapotak evezzük.
Állítás: Tegyük fel, hogy V (x ± =. Ekkor, ha E > az a szórásállapot, ha E < az a kötött állapot. Példakét vizsgáljuk kötött állapotokat dimeziós dobozba zárt részecske esetére. Ezt a??. ábrá látható poteciál deiálja: { ha < x < L V (x = egyébkét Ha V folytoos, akkor Ψ és Ψ folytoos a határo. Ha V -ek ugrása va, akkor Ψ is ugrai fog. Abba az esetbe, ha V végtele, akkor Ψ ugrik és Ψ lesz folytoos. Jele esetbe ezek szerit a határfeltétel: Ψ( = Ψ(L =. Ψ x k = me = m (V EΨ. Eek az egyeletek a megoldása: Ψ(x = Ae ikx + Be ikx, ahol. Illesztjük a határfeltételekhez: Ψ( = A + B = Ψ(x = C si kx Ψ(L = C si kl = kl = π ahol =,, 3... me L = π E = π (3.. ml Ez lesz a kvatálási feltétel. Az = esetet azért zártuk ki, mert abba az esetbe a hullámfüggvéy em lett vola ormálható. Már csak C értékét kell bel i, ehhez kell a ormálási feltétel: L ( π C si L x = C L (3.. C = a eiφ (3..3 Az együtthatóba megjeleik egy tetsz leges egységyi fázis, ezt egyek választjuk. A végeredméyük tehát: ( π Ψ(x = a si L x (3..4 3..4. Harmoikus oszcillátor A harmoikus oszcillátort a poteciáljával deiáljuk: V (x = mω x (3..5 Aalitikusa fogjuk megoldai a problémát. Tekitsük a Schrödiger egyeletet: Ψ m x + mω x Ψ = EΨ (3..6 Gyakori eljárással foguk éli: vezessük be egy dimeziótla változót, hogy e kellje a faktorokat magukkal hurcoli. Legye tehát ξ = mωx. Ezzel írjuk fel a Schrödiger egyeletet: d Ψ dξ = (ξ kψ (3..7
ahol k = E ω. Vizsgáljuk egy limeszt, amikor is ξ agy: ξ. Úgy is godolhatuk rá, hogy ξ >> k. Ekkor a Schrödiger egyelet a következ képe alakul: Ψ ξ = ξ Ψ (3..8 3..8 egy Oszcillátor egyelet, eek ismerjük a megoldásait: Ψ(ξ = Ae ξ + Be ξ (3..9 Fizikai megfotolásokból B =, külöbe a valószí ség-s r ségfüggvéy em lee ormálható. Azt trükköt fogjuk alkalmazi, hogy leválasztjuk az aszimptotikus megoldást az egyeletr l: Ψ(ξ = h(ξe ξ. Ekkor: dψ dξ = dh ξ dξ e hξe ξ = e ξ Visszaírjuk ezt a 3..7 egyeletbe: ( dh dξ hξ (3.. ( d Ψ d dξ = h dξ h dh dξ ξ + hξ e ξ (3.. A megoldást keressük hatváysor alakjába! d h dξ dh ξ + (k h = (3.. dξ h(ξ = a + a ξ + a ξ +... = a j ξ j (3..3 j= dh dξ = ja j ξ j (3..4 j= d h dξ = j(j a j ξ j (3..5 j= Kellei fog még a ξ dh = dξ j= ja jξ j, illetve vegyük észre, hogy 3..5 átidexelhet, mivel j = és j = eseté is lesz. d h dξ = (j + (j + a j+ ξ j (3..6 Ha midezt visszaírjuk 3.. egyeletbe és kiemelük ξ j : j= ξ j [(j + (j + a j+ ja j + (k a j ] = (3..7 j= 3
Eek igazak kell leie mide ξ-re, ami csak akkor lehet, hogyha a zárójelbe szerepl együtthatók ullák. Így kapuk egy rekurzív összefüggést: a j+ = ja j (k a j (j + (j + = j (k (j + (j + a j (3..8 Botsuk ezt a hatváysor alakot páros, illetve páratla részekre! h ps = a + a ξ + a 4 ξ 4 +... (3..9 h ptl = a + a 3 ξ 3 + a 5 ξ 5 +... (3..3 Most vizsgáljuk meg, hogy is viselkedik a rekurzió agy j-kre! a j+ j a j a j c ( j! (3..3 h ps j=k h ptl Ami agy baj, mert ha ezt visszaírjuk: c ( j! ξ j j=k+ k c ξk k! ce ξ (3..3 c ( j! ξ j ce ξ (3..33 h(ξ = h ps + h ptl ce ξ (3..34 Ψ(ξ = h(ξe ξ e ξ (3..35 ami pedig em ormálható. Egyetle kiút va: a ξ hatváysora em véges. Létezik olya j, melyre a j =, a j+ =... Azaz j + k (j + (j + Ebb l következik, hogy k = +. k = E ω k = + = valamely j = eseté (3..36 } ( E = ω + És ez a kvatálási feltételük. Az -t l eltekitve Plack ugyaezt tételezte fel. Még a hullámfüggvéy ics meg! Nézzük meg éháy esetet: =, a az összes többi tag ulla! Ψ (ξ = a e ξ, E = ω (3..37 =, a k, a az összes többi tag ulla! Ψ (ξ = a ξe ξ, E = 3 ω (3..38 4
=, a = a Ψ (ξ = a ( ξ e ξ, E = 5 ω (3..39 Látszik, hogy a páros és páratla függvéyek ortogoálisak. Az a a tetsz legesre ormálható, mi ξ -re ormáluk. Az így ormált hullámfüggvéyük a következ alakú: ahol H az úgyevezett Hermite-poliomok. 3..5. Oszcillátoralgebra ω Ψ (x = 4 π! H (ξe ξ (3..4 Jele fejezett l kezdve az operátorokat akkor jelöljük a szokásos ˆ. jellel, ha ez em egyértelm! Írjuk fel az egy dimeziós harmoikus oszcillátor Schrödiger egyeletét: m [ ( i x + (mωx ] Ψ(x = EΨ(x (3..4 A zárójelbe két meyisége égyzetösszege szerepel, jó lee ezt faktorizáli a szokásos u + v = (u iv(u + iv módo. Azoba u és v most em számok, haem operátorok, így ez em m ködik, mivel uv vu. Eek elleére vezessük be két új operátort: a + -t és a -t a következ képpe: â ± = m ( i â + â f(x = m ( i x ± imωx = (ˆp ± imωˆx (3..4 m x imωx ( i x + imωx f(x = (3..43 = m x + mω x + ω (3..44 Hasoló módo: â â + = m x + mω x ω (3..45 Vagyis: â â + â + â = [â, â + ] = ω (3..46 Ha ezzel a két operátorral írjuk fel a Schrödiger egyeletet: ( â + â + ω Ψ(x = EΨ(x (3..47 Vegyük észre, hogyha Ψ megoldás E eergiával, akkor ezekkel az operátorokkal tuduk új megoldásokat csiáli, például a + Ψ is megoldás, E + ω eergiával, ugyais: ( â + â + ω a + Ψ(x = a + a a + Ψ + ω a +Ψ = (3..48 = a + ( E + ω Ψ + ω a +Ψ = (E + ωa + Ψ (3..49 5
Hasolóképe belátható, hogy ha Ψ megoldás E eergiával, akkor a Ψ is megoldás, E ω eergiával. Tegyük fel, hogy létezik darab megoldás. Ebb l azoba probléma lesz, mert látszólag a -szal léptetve, el bb utóbb az eergia egatív lesz. De, ha Ψ ormálható, akkor a + Ψ is. Az a Ψ em biztos, hogy ormálható, de az itegrál attól még lehet véges (. Tehát kell leie egy olya, Ψ alapállapoti hullámfüggvéyek, melyre a Ψ =! â = ( m i x imωx Ψ (x = (3..5 d dx Ψ = mω xψ (3..5 lψ (x = mω x + lc (3..5 Ψ (x = Ce mω x el z jelöléssel Ψ (x = Ce ξ (3..53 Ez tehát az alapállapoti függvéy, ézzük meg, hogy mekkora eergia tartozik hozzá! Mivel az eredméyt abból a feltételb l kaptuk, hogy tovább már em tudjuk csökketei az eergiát: ( â + â + ω Ψ(x = ω Ψ(x E = ω (3..54 Va egy alapállapoti hullámfüggvéy és a + -szal tudjuk "feljebb lépteti". De kiadake ezek mide megoldást? Ha lee közbe más eergiaérték is, akkor oa már megit le tudák juti ullába. Így tehát megtaláltuk az összes megoldást: Ψ (x = A a +... a }{{ + Ψ } (x = A â +Ψ (x (3..55 db Megmutatható, hogy â + éppe a Hermite-poliomokat adja. 3.. 3 dimeziós Schrödiger egyelet A Schrödiger-egyelet három dimeziós, id függetle alakja: Ψ(x + V (xψ(x = EΨ(x (3.. m Az egyelet megoldása szerecsés esetbe törtéhet a változók szétválasztásáak módszerével, például dobozba zárt részecske eseté: Ψ(x, y, z = X(xY (yz(z. 3... Cetrális poteciál Ez azt jeleti, hogy V (x csak x agyságtól függ:v (x = V (r. A Schrödiger-egyelet egy sajátértékegyelet, a Ĥ sajátértékegyelete. Ha egy operátor és a Hamilto-operátor kommutál, akkor meg lehet úgy választai Ψ-ket, hogy midkét operátorak közös sajátfüggvéy-redszere legye. Ez általába egy m köd stratégia. Érdemes tehát olya operátort keresi, ami kommutál a Hamilto-operátorral. 6
Impulzusmometum klasszikus értelmezése: L = x p, L i = i,l ε ilmx l p m. Ezek alapjá, szokásos módo bevezetjük az impulzusmometum-operátort: ˆL = ˆx ˆp = x ( i (3.. L i = i kl x x k (3..3 Állítás: az impulzusmometum-operátor mide kompoese kommutál a Hamiltooperátorral: [ˆLi, ˆx j ] = ε ijk x k i (3..4 [ˆLi, ˆp j ] = ε ijk x k i (3..5 Mide koordiátákból és impulzusokból kikevert operátor kommutációs relációja is ugyailye. [ˆL i, ˆv j ] = ε ijkˆv k i (3..6 Ez speciálisa magára az impulzusmometum-operátorra is igaz: Vektor égyzetére: [ˆL i, ˆL j ] = ε ijk ˆLk i (3..7 [ˆL i, ˆv j ] = [ˆL i, ˆv jˆv j ] = L i v j v j v j v j L i = L i v j v j v j L i v j + v j L i v j v j v j L i (3..8 [ˆL i, ˆv j ]ˆv j + ˆv j [ˆL i, ˆv j ] = i ε ijk v k v j + i ε ijk v j v k = (3..9 Ebb l már következik, hogy [L i, ] =, [L i, x ] =. Tehát találtuk egy olya operátort, ami kommutál a Hamilto-operátorral. Ez gyakorlatilag a gömbszimmetria következméye. Összefoglalva: [ˆLi, ˆL ] = (3.. [ˆLi Ĥ], = (3.. [ˆL, Ĥ] = (3.. Jelöljük ki egy tegelyt, legye az a z és ilyekor az ˆL z, ˆL és Ĥ kommutál egymással. Most az a következ cél, hogy megtaláljuk azokat a Ψ-ket, amelyek mid a háromak sajátfüggvéyei. Mivel gömbszimmetrikus a probléma, érdemes áttéri gömbi polár-koordiátaredszerre: x = r si θ si φ θ [ : π] (3..3 x = r si θ cos φ φ [ : π] (3..4 x 3 = r cos θ r [ : [ (3..5 7
Ezekkel felírva: ( ˆL = i ˆL = i ˆL 3 = i φ ˆL = [ si θ + ctgθ cos φ φ si φ θ ( cos φ + ctgθ si φ θ φ θ ( si θ + θ si θ ] φ (3..6 (3..7 (3..8 (3..9 Érdemes észrevei, hogy az impulzusmometum-operátor és égyzete em tartalmazza a sugarat. L i és L hermitikus operátorok. Idézzük fel a operátor alakját gömbi polár-koordiátaredszerbe: r,θ,φ = r r ( r r + r [ si θ θ ( si θ θ + ] si θ φ (3.. r,θ,φ = ( r L (3.. r r r r Ezt írjuk vissza a Schrödiger-egyeletbe: ( r Ψ + L Ψ + V (rψ = EΨ (3.. m r r r mr Ha sikerüle Ψ-t megválasztai úgy, hogy ˆL sajátvektora legye, akkor ˆL Ψ csak egy kostas lesz, r marad változó. Keressük meg ˆL sajátfüggvéyeit. Tegyük fel, hogy V (r em agyo sziguláris r = -ba (ezt kés bb tisztázzuk. Ψ(r ijk C ijk x j x i x k 3 (3..3 Tegyük fel, hogy a legalacsoyabb red ebbe a sorba l. Tehát i + j + k l. Például l = Ψ(x = cost (3..4 l = Ψ(x = ax + bx + cx 3 (3..5 stb. (3..6 Ugyaez sugárral felírva: Ψ(r r l Y (θφ. Írjuk vissza tippet a Schrödiger-egyeletbe! L Ψ = ( r Ψ + mr [E V (r] Ψ (3..7 r r Hogy viselkedik ez r eseté? 8
A második tag mr [E V (r], ha V(r em ayira sziguláris. L Ψ(r = ( r r l Y = r r r r lr l+ Y = (l+lr l Y = (l+lψ (3..8 Kicsi r köryéké ezt adja, de akkor mide esetbe ezt adja. Ebb l következik, hogy L sajátértéke csak l(l + lehet. Legye a Ψ a Ĥ-ak és ˆL -ek is sajátfüggvéye, ekkor a sajátérték csak l(l + lehet. De milye l-lek fogják ezt biztosítai? ˆL Ψ = l(l + (3..9 Mivel ˆL csak a szögekre hat, így teljese midegy, hogy mi az r függés. Vezessük be egy általáos r-t l függ függvéyt és írjuk fel a hullámfüggvéyt a következ alakba: Ψ(r, θ, φ = R(rY (θ, φ (3..3 ˆL Y (θ, φ = l(l + (3..3 Y legye ˆL 3 -ak is sajátfüggvéye, valamilye m sajátértékkel! ˆL 3 hatását kokréta is kiírva: ˆL 3 Y = my (3..3 i Y = my (3..33 φ Mivel Y függ θ-tól és φ-t l is, de a 3..33-ba szerepl deriválás csak φ-re hat, válasszuk le a φ függést és legye: Y = e imφ P (θ (3..34 Mivel Y l-be periodikus, m muszáj, hogy egész legye. Írjuk be a Schrödiger-egyeletbe: Y egy az egybe kiesik, ugyais: Így: d m dr ˆL Ψ = R(rl(l + Y (3..35 ( r dr + l(l + R + V (rr = ER (3..36 dr mr Hajtsuk végre egy változócserét, legye U(r = rr(r. Ezzel az egyelet: [ ] d U m dr + l(l + + V (r U = EU (3..37 mr Ez olya, mit egy egy dimeziós egyelet, éháy apró eltérést l eltekitve: V V eff = V (r + l(l+ mr r [, [ 3 Va egy plusz határfeltétel r eseté: U(r r l+ 9
Normálás is ad ekük plusz feltételeket: Ψ d 3 x = (3..38 Ugyaez polárkoordiátákba kifejezve: r drdω R(rY (θ, φ = r dr R(r dω Y (θ, φ } {{ } Ez véges lesz (3..39 Ie a ormálhatóság feltétele: r dr R(r legye véges, vagyis dr U(r legye véges. De mik ezek a Y -ok? Tudjuk, hogy két számtól függeek, l-t l és m-t l. Foglaljuk össze mit tuduk róluk: ˆL Y lm (θ, φ = (l + ly lm (θ, φ ˆL 3 Y lm (θ, φ = my lm (θ, φ (r l Y lm = (3..4 Másrészr l r l Y lm l-ed fokú poliom x i -be, ami ayi tesz, hogy: r l Y lm = c,c,c 3 x c x c x c 3 3 λ i úgy, hogy c + c + c 3 = l. Térjük át új változókra, legye: x ± = x ± ix. r l Y lm továbbra is l-ed fokú poliom x ± és x 3 függvéyébe: r l Y lm = x ν x ν + + x c 3 3 (3..4 ν +,ν,c 3 Az egész midjárt érthet bb, ha polárkoordiátákba írjuk fel: x ± = r si θe ±iφ (3..4 Ezért: x 3 = r cos θ (3..43 ˆL 3 x + = x + (3..44 Ie: ˆL 3 (r l Yl m ˆL 3 (x ν x ν + + x c 3 ˆL 3 x = x (3..45 3 = (ν + ν }{{} m (x ν x ν + + x c 3 3 (3..46 m = ν + ν (3..47 Ez megszorítja, hogy m csak l és l között lehet. Ha ezek utá megmodom l-et és m- et az rögzítei fogja Y függvéyeket? Vagy esetleg va még egy csomó másik paraméter, amit l függhet? Eek vizsgálatához xáljuk le l-et! ν + l + féle lehet ν l ν + + féle lehet összese (l + (l + lehet ség (3..48 már egyértelm c 3
-vel csökketi a poliom fokát! Azaz már csak (l l lehet ség va, de ezt már lerögzíti. A függetle elemek száma (l + (l + l(l. Tehát a függetle Y -ok száma: l +. Pot eyiféleképpe lehet m-et megválasztai. Köye sejthet, hogyha m-et is lerögzítem, akkor már megadtam egyértelm e az Y -t. Kostruáljuk meg a függvéyeket! Yl m (θ, φ = Pl m (θe ±mφ (3..49 Pl m (cos θ - asszociált Legedre-poliomok. Ezeket a következ diereciálegyelet megoldásakét deiáljuk: si θ ( d si θ dp + m dθ dθ si P = (l + lp (3..5 θ Kostruáljuk meg az els éháy Y gömbfüggvéyt: l = ν + = ν = c 3 = m = Y = cost = 4π l = m =,, 3 Y = cos θ Y 3 4π = si θ Y 8π = 3 8π si θe iφ (3..5 Y lm függvéyek ortoormált bázist alkozak a csak szögekt l függ függvéyek teré. dωy lm (θ, φy l m (θ, φ = δ ll δ mm Ha x i -t lecseréljük x i -re, akkor Y lm ( l Y lm. l-t l függ a paritásuk. 3... A hidrogéatom A hidrogé atom problémát szokásosa a poteciál deiálja. Egy darab - mozdulatla - +Z e töltés mag Coulumb-poteciáljába mozog egy elektro. Ezzel együtt a Schrödiger-egyelet: d U(r + ( Ze m dr r Jöhet a szokásos k = me d U(r dr + Változócsere: ρ = k r. ( d U(r + α dρ ρ. ( mze r + + l(l + ρ V (r = Ze r (3..5 + l(l + U(r = EU(r (3..53 mr l(l + U(r = k U(r (3..54 r U(r = U(r α = mze k (3..55 Határfeltételeik közé tartozik, hogy U(r-ek úgy kell viselkedie, hogy U(r r l+.
Vizsgáljuk meg a 3..55 egyeletetr határesetbe: Ezt viszoylag egyszer e megoldhatjuk: d U(ρ dρ = U(ρ U = U (3..56 U = Ae ρ + Be ρ (3..57 B-ek ulláak kell leie, külöbe a hullámfüggvéyük em lesz ormálható, szóval U e ρ. Érdemes ezt a két, aszimptotikus megoldást leválasztai. A maradék legye egy F (ρ függvéy! U(ρ = F (ρρ l+ e ρ (3..58 U (ρ = F (ρρ l+ e ρ + (l + F (ρρ l e ρ ρf (ρρ l+ e ρ (3..59 [( ( ] U (ρ = ρ l+ e ρ (l + l(l + (l + + + F (ρ + + F (ρ + F (ρ ρ ρ ρ (3..6 Ezt visszaírva a Schrödiger-egyeletbe ρ l+, e ρl+ és l(l + kiesik (ezért csiáltuk. ( d F dρ l + df ρ dρ + α l F = (3..6 ρ Keressük a megoldást sor alakba: F (ρ = a i ρ i (3..6 i= ( a j [j(j ρ j l + jρ j + α l ] ρ j = (3..63 ρ ρ j= [ a j j(j ρ j + (l + jρ j jρ j + α l ] ρ j = (3..64 ρ j= Ez em agyo ad rekurzív formulát a j -re, de mivel az els két tag amúgy is ulla, ezért idítsuk oa: j j + : = ρ j+ [a j+ ((j + j + (l + (j + + a j (α l j] = (3..65 j Eek igazak kell leie mide ρ-ra, így: Ie megva a rekurziók: a j+ ((j + j + (l + (j + = a j (l + j α (3..66 (l + j + α a j+ = a j (j + (j + l + (3..67
Ezt még vizsgáli kell agy j-kre: Azaz: Tegyük fel, hogy a j mide j-re a j+ j a j (3..68 F (ρ = C a j+ j cost j! (3..69 j (ρ j j! ρj = C = C e ρ j! (3..7 j Megit az a probléma, hogyha ezt az eredméyt visszaírjuk U(ρ = F (ρe ρ ρ l+, ami viszot e ρ. Ezt pedig már kiulláztuk, mert em ormálható t le a hullámfüggvéy. Mivel lehet ezt az elletmodást feloldai? Egyszer e em lehet j akármekkora, valahol végeszakad. Legye eek a szakadásak a helye. j (l + j + α = }{{} valamely j-re (3..7 Ebb l az következik, hogy α =, ahol =,, 3... Ezt evezzük f kvatumszámak. = mze k k = mze = a a = me Bohr-sugár (3..7 E = m k = q mz e 4 (3..73 = l + j +, l +. Fix -re l értékei -tól -ig mehetek. Adott l-hez ez m = l,..., +l, azaz l + lehet ség. Adott -hez pedig ezt kell kiösszegezi, vagyis lehet ség. Azaz E csak -t l függ és -szerese degeerált. Példák a jelölésekre: = l =, m =, s (3..74 = = 3 l =, m =, s l =, m =,,, p l =, m =, 3s l =, m =,,, 3p l =, m =,,,,, 3d (3..75 (3..76 Mide állapot 3 db kvatumszámmal jellemezhet : f kvatumszám ( mellékkvatumszám (l 3
mágeses kvatumszám (m F (ρ egy véges poliom, eve Leguere-poliomok. Most már midet tuduk, a hidrogé atom hullámfüggvéye: Ψ(r, θ, φ = F (ρe ρ ρ l+ Y m l (θ, φ (3..77 A hidrogé atom a valóságba természetese em ilye. Több hibát is elkövettük a számolás sorá, ezek közül az egyik az, hogy a közpoti magot állóak, rögzítettek tekitettük. Ez sem volt egy rossz közelítés, a következ lépés az, hogy a magot is belevesszük a mozgásba. 3..3. Két test probléma Egy darab proto és egy darab elektro, melyek között V (r e, r p r e r p poteciál hat. A Hamilto-operátor: Ĥ = ˆp e + ˆp p + V (r e r p (3..78 m e m p Ψ(r e, r p, t. Az iterpretáció ugyaaz: Ψ d 3 x = dp ez aak a valószí sége, hogy az elektro az r e és r e + dr e között va és a proto az r p és r p + dr p között va. ˆp e = i re ˆp p = i rp p ei = i x ei (3..79 p pi = i x pi (3..8 (3..8 A Schrödiger-egyelet: ] [ re + rp Ψ + V (r e r p Ψ = EΨ (3..8 m Klasszikus zikai meggodolásokat követük. Vezessük be a redukált tömeget, illetve a tömegközéppot helyét, mit új koordiátát. µ = m em p m e + p (3..83 r = r p r e (3..84 R = m er e = m p r p (3..85 m e + m p ( ˆpe ˆp = µ ˆp p (3..86 m e m p ˆP = ˆp e ˆp r (3..87 ˆp = i r (3..88 ˆP = i R (3..89 (3..9 4
Ezzel felírva a Hamilto-operátort: Ĥ = eµ r (m e + m p R + V (r (3..9 Keressük a megoldást a következ alakba: Ψ(r, R = Ψ(r Ψ(R (3..9 µ Ψ Ψ (m e + m p Ψ Ψ + V Ψ Ψ = EΨ Ψ (3..93 Ψ Ψ + V = E (3..94 µ Ψ (m e + m p Ψ Ψ + V E = µ Ψ Midkét oldalak külö-külö kostasak kell leie: E T KP! Ψ (3..95 (m e + m p Ψ µ Ψ + V Ψ = (E E T KP Ψ = εψ (3..96 (m e + m p Ψ = E T KP Ψ (3..97 egyelet egy sima szabad részecske mozgása. Eek a megoldása síkhullám: Ψ (R = e i PR E T KP = p (m e + m p (3..98 egyelet egy cetrális poteciálos Schrödiger-egyelet: Tehát a redszer teljes eergája: ε µ (3..99 E = E T KP + ε = Z e 4 µ + p (m e + m p (3.. 4. Axiomatikus kvatummechaika Eddig egy hullámfüggvéyt kerestük, amiek az abszolútérték-égyzete bírt zikai tartalommal: az adta a térbeli eloszlást. Most valami általáosabb leírás utá yomozuk. A következ tárgyalás agy része Diractól és Neumatól származik. 5
4.. I. axióma A zikai állapotokat egy H Hilbert-tér elemei írják le. Mide zikai redszerhez redelhet egy komplex Hilbert-tér és mide zikai állapot egy vektor ebbe a térbe. H egy vektor tér, azaz: Ψ, Ψ H α + β H Ψ + = Ψ Értelmes bee egy skaláris szorzás: Ψ Ψ (Ψ, Ψ C Amely második tagjába lieáris: (Ψ, αψ + βψ 3 = α(ψ, Ψ + β(ψ, Ψ 3 (4.. (αψ + βψ, Ψ 3 = α (Ψ, Ψ 3 + β (Ψ, Ψ 3 (4.. Ψ, Ψ akkor függetle egymástól, ha mide lieárkombiációjuk, amely em triviális az em ulla. Speciálisa, ha Ψ i -k ortogoálisak, vagyis (Ψ i, Ψ j =, ha i j, akkor ezek függetleek. Ez visszefele em feltétleül igaz, de lehet ortogoalizáli. Egy Ψ, Ψ, Ψ 3,..., Ψ redszer teljes, ha Ψ H felírható ezek lieárkombiációjakét. Ha egy ilye Ψ i redszer ortogoális és teljes, akkor az egy bázis a H-e. A bázisba lév vektorok száma adja meg, hogy a Hilbert-tér háy dimeziós. Ha dimezió szám véges, akkor a bázis egyértelm. Ha végtele dimeziós a Hilbert-tér, akkor a teljességet úgy értelmezzük, hogy létezik Φ i bázis úgy, hogy mide Ψ H kifejthet : lim N Válasszuk egy ilye Φ i bázist. Mik leszek az együtthatók? N α i Φ i = Ψ (4..3 i= Ψ = N α i Φ i (4..4 i= (Φ j, Ψ = N i= Ha Ψ = i α iφ i és Ψ = i α iφ i, akkor α i (Φ i, Φ j }{{} = α j (Φ j, Φ j (4..5 δ ij α j = (Φ j, Ψ (Φ j, Φ j (4..6 (Ψ, Ψ = (α i Ψ i, α j Ψ j = ij α i α j (Ψ j, Ψ i = i (Φ i, Ψ (Φ i, Ψ (Φ i, Φ i (4..7 Ez segít a skalárszorzatak iterpretációt adi: 6
Φ i teljes ortogoális bázis azt azoosítjuk egy mérés utái lehetséges kimeetellel. Egy Ψ állapotba lév redszer eseté aak a valószí sége, hogy a mérés utá Φ i állapotba kerül a redszer: P (Ψ Φ i = (Φ i, Ψ (Ψ, Ψ(Φ i Φ i (4..8 i P (Ψ Φ i = (Ψ, Ψ i (Φ i, Ψ (Φ i, Φ i = (4..9 Vegyük észre, hogy a valószí ség em függ attól, ha a kifejezéseket átormálom. Ψ és αψ ugyaazt a zikai állapotokat írják le. Ezért célszer mide vektort egyre ormáli. Ekkor (Ψ, Ψ = (Φ i, Φ i =. P (Ψ Φ i = (Φ i, Ψ (4.. De egy egységyi abszolútérték komplex számmal még szorozható. Ezt a halmazt, hogy {Ψ Ψ = e iφ Ψ, (Ψ, Ψ = } sugárak evezzük a Hilbert-tére. Ezzel az els axiómát átfogalmazhatjuk. Mide zikai redszerhez redelhet egy Hilbert-tér és mide zikai állapot egy sugár, eze a Hilbert-tére. 4... Dirac jelölés Állapotok: Ψ, skalárszorzat: (Ψ, Ψ = Ψ Ψ. Sok esetbe Ψ-t jellemzi egyértelm e egy-egy szám. Ilyekor az állapotokat a számokkal jelöljük, például Ψ = l, m,. Vaak olya esetek, mikor egy mérés kimeetele folytoos lehet, például a koordiáta. Ilyekor: Φ i Φ α. Ekkor a ormálás: (Φ α, Φ α = δ(α α. Kifejtés: Ψ = dαβ α Φ α β α = (Ψ, Ψ = dαβαβ α (4.. Valószí ség: Például a helymérés lehetséges kimeetele: Φ x H: ez a szokásos hullámfüggvéy. 4.. II. Axióma dp (Ψ Φ α = (Φ α, Ψ dα (4.. Ψ(x = (Φ x, Ψ (4..3 Hogya tudjuk magát a zikai meyiséget ábrázoli? Mide zikai meyiség hermitikus operátorral reprezetálható. Az operátorokba már beleértjük, hogy lieárisak. Az operátorok olya leképezések: hogy  : H H Szorzás:  ˆBΨ = Â( ˆBΨ (4.. 7
Skalárral való szorzás: Összeadás: Adjugáltja: (αâψ = α(âψ (4.. ( + ˆBΨ = ÂΨ + ˆBΨ (4..3 (Ψ, ÂΨ = (Â+ Ψ, Ψ (4..4 (Â+ + =  (4..5 ( ˆB + = Â+ ˆB+ (4..6 Egy operátor öadjugált, ha Â+ =  Mátrixelemek: Legye Φ i egy ortoormált bázis A ij = (Φ i, ÂΦ j (4..7 Ie már látható, hogy a mátrixszorzás szokásos szabályai érvéyesek. Persze a mátrixelemek függek a bázis megválasztásától. Egy Ψ állapot akkor hordozza a meyiségek egy határozott a állapotát, ha ÂΨ = aψ, vagyis Ψ sajátfüggvéy a a sajátérték. Mivel  hermitikus, sajátértékei valósak, sajátfüggvéyei ortogoálisak. De legalábbis ortogoalizálható degeeráció eseté. Mátrix yelve: Ψ j = (Φ j, Ψ (4..8 (ÂΨ i = j A ij Ψ j = j A ij (Φ j, Ψ = a(φ j, Ψ (4..9 Illetve: dξa ξ ξ(φ ξ, Ψ = a(φ ξ, Ψ (4.. Illetve folytoos esetbe:  sajátvektorai ÂΨ i = a i Ψ i (Ψ i, Ψ j = δ ij (4.. ÂΨ ξ = a ξ Ψ ξ (Ψ ξ, Ψ ξ = δ(ξ ξ (4.. Legye Ψ H tetsz leges állapot és  egy zikai meyiség, a i sajátértékekkel. Aak a valószí sége, hogy egy mérés utá a redszer Φ i állapotba kerül: Vagyis a i mérés valószí sége: (Φ i, Ψ. P (Ψ Φ i = (Φ i, Ψ (4..3 8
4.3. Várható értékek <  > Ψ= i a i P (Ψ Φ i = i a i (Φ i, Ψ = i a i (Φ i, Ψ (Φ i, Ψ = (Ψ, ÂΨ Dirac-féle jelölésbe: Ψ Â Ψ <  > Ψ= (4.3. (4.3. 4.3.. Függvéyek Aalitikus f függvéyekre: Általáos Ψ-re: ÂΦ = aφ Â Φ = a Φ (4.3.3 Ψ = f(âφ = f(aφ (4.3.4 c Φ ÂΦ = a Φ (4.3.5 Deíció szerit: f(âψ = c Φ (4.3.6 Általába: < f(â > f(<  > (4.3.7 melyre a legtipikusabb példa: <  > <  > 4.3.. Határozatlasági reláció Egy H Hiblert-tére igaz a Cauchy-Schwartz-egyel tleség, mely szerit mide Ψ, Ψ H vektorra igaz, hogy: (Ψ, Ψ (Ψ, Ψ(Ψ, Ψ (4.3.8 Ha ekem va egy  mérhet meyiségem, akkor értelmes aak a szórása: Ψ Â = < ( <  > Ψ > Ψ (4.3.9 Ez akkor igaz, ha Ψ =. Kett tetsz leges operátorra alkalmazzuk (4.3.8 egyel tleséget! Ψ Â Ψ ˆB ( ˆB]Ψ Ψ, [Â, (4.3. Ha a két operátor egymással kommutál, akkor va közös sajátvektor-redszerük, tehát tud a két szórás egyszerre ulla lei. Egyébkét a két meyiség em mérhet egyszerre. Nagyo híres példa: legye  = ˆx és ˆB = ˆp: [ˆx, ˆp] = i I Ψˆx Ψˆp (4.3. 9
4.4. Operátorok spúrja Legye Φ i egy ortoormált bázis. Ekkor: Sp = (Φ i, ÂΦ i = i i Φ i Â Φ i (4.4. Eek az értéke bázisfüggetle. Tulajdoságai: Sp(α + β ˆB = αspâ + βsp ˆB SpÂ+ = (Sp Sp(ÂÂÂ3... ez permutációfüggetle Ha a sajátértéke a i Sp = i a i Nem mide operátorak va spúrja, például: SpI = Eek végtele dimeziós Hilbert-tereke ics értelme. Azoba, ha d véges, akkor: 4.5. Diád Állapotokból is tuduk operátorokat felépítei: d = d (4.4. i Sp[ˆx, ˆp] = Spˆxˆp Spˆpˆx = (4.4.3 [ΨΦ + ] Eek a hatását a következ képe kell értelmezi: Két diád szorzata is diád lesz: Dirac jelölésével Ψ Φ (4.5. [ΨΦ + ]χ = Ψ(Φ, χ (4.5. szm {}}{{}}{ Ψ Ψ Ψ 3 Ψ 4 = Ψ Ψ 3 Ψ Ψ 4 (4.5.3 Leggyakrabba a két vektor egyel egymással. Ilyekor: Φ Φ = [ΦΦ] (Φ, Φ = (4.5.4 did ( Φ Φ = Φ Φ (4.5.5 ez egy projektor, ami ayit tesz, hogy mide tetsz leges állapotot Φ-re vetít. Tehát akármilye Ψ állapotra a hatása: Φ Φ Ψ = Φ Ψ Φ (4.5.6 3
Ha Φ i -k teljes ortoormált redszert alkotak, akkor: Φ i Φ i Ψ = c i Φ i = Ψ (4.5.7 i i Amib l következik, hogy Φ i Φ i =. Hasolóa, ha Φ i  sajátvektor-redszere: = i a i c i Φ i = i ÂΦ i = a i Φ i c i Â Φ i =  i a i Φ i Φ i Ψ = (4.5.8 i c i Φ i = ÂΨ (4.5.9 Ebb l kiszedhetjük egy operátor projektorfelbotását:  = i a i Φ i Φ i (4.5. Ezzel felírható egy tetsz leges függvéy hatása az operátorra: f(â = i f(a i Φ i Φ i (4.5. 4.6. S r ség operátor A kvatummechaika csak statisztikus eredméyt tud szolgáltati bizoyos esetekbe, például, ha em ismerjük a redszer állapotát (sokrészecske redszerekbe tipikusa ez a helyzet. Csak ayit tuduk, hogy mik a lehetséges állapotai, Ψ állapotba va p valószí séggel. Az ilye állapotokat evezzük kevert állapotokak. Ekkor lehet deiáli egy operátort (Neuma: ˆρ = p Ψ Ψ p = (4.6. ρ mide mérésekkel kimérhet iformációt tartalmaz a redszerr l. Aak a valószí sége, hogy a mérés utá Φ i állapota kerül a redszer: P (ρ Φ i = p Φ i Ψ = p Φ i Ψ Ψ Φ i = Φ ˆρ Φ (4.6. Ha Φ i éppe valamilye  zikai meyiségek sajátredszere a i sajátértékekkel: <  > ρ= a i p Φ i Ψ = a i p Ψ Φ i Φ i Ψ = p Φ i Ψ Ψ ÂΦ i = i, i, i, = i Φ i (4.6.3 p Ψ Ψ Â Φ i = Spˆρ (4.6.4 (4.6.5 3
ˆρ sokféleképpe el állítható, így visszafelé ezt em tudom megcsiáli. ˆρ egy hermitikus operátor, azaz va eki ortogoális redszere. Legye Φ i az a redszer. Azaz: ˆρΦ i = ρ i Φ i ˆρ = ρ Φ i Φ i (4.6.6 P (ˆρ Φ i = Φ i ˆρ Φ i (4.6.7 Ha ilyet tud egy operátor, akkor az egy pozitív szemideit operátor, azaz az összes sajátértéke pozitív. P (ˆρ Φ i = = Spˆρ (4.6.8 i Hogy éz ki ρ, ha ismerem a redszer potos állapotait? Tiszta állapotok: Ψ: ˆρ = Ψ Ψ eek va egy valószí sége, az összes többi ulla. Mik a sajátértékek? Diagoalizálható! Ha olya bázist választok, ahol, ahol Ψ a bázisvektor, akkor a s r ségoperátor els eleme egy a többi mid ulla! 4.6.. Neuma-etrópia A tiszta állapotoktól való "távolságot" méri: Tiszta állapotokra ez valóba zérus. 4.7. Szimmetriák S[ρ] = k B Sp(ρlρ = k B ρ i lρ i (4.6.9 A kvatummechaika második posztulátuma azt modja ki, hogy mérhet zikai meyiségek csak hermitikus operátorok lehetek. Hoa szerezzük ilye operátorokat? Kétféleképpe lehet eljári. Az egyik út, ha vesszük a klasszikus mechaika redszereit és megkeressük azok kvatumos megfelel jét. Érezhet, hogy em ez a természetese eljárás. Azt várjuk, hogy a kvatummechaika közelítésekét kapjuk meg a klasszikus mechaikát és e fordítva. Ett l eltekitve ez gyakra haszált mód és agyo hatékoy. Egy másik lehet ség, ha szimmetria elveket haszáluk és ez a fejezet err l a módszerr l fog szóli. A szimmetriák alapja a szimmetria elv: a zika törvéyei em függek a meggyel t l. A legtipikusabb példa: a beredezés eltolása, elforgatása em befolyásolja a mérés eredméyét. Ilye szimmetriatraszformációk: térbeli/id beli eltolás térbeli elforgatás térbeli/id beli tükrözés i 3
A traszformáció utá a mérés eredméye azoos lesz. Ez em azt leeti, hogy a redszert leíró Ψ állapot e változa meg, hiszem Ψ-t em lehet méri, csak a várható értékeket, a mátrixelemeket. Tehát megegedhetjük, hogy Ψ Ψ és Φ i Φ i legye. Csak azt várjuk el, hogy Φ i Ψ = Φ i Ψ = P (Ψ Φ i (4.7. Ez legegyszer bbe úgy teljesülhet, ha a skalárszorzat em változik meg. Legye tehát a traszformációk az Û operátor. Ž azt tudja, hogy Ψ = ÛΨ (4.7. Φ = ÛΦ (4.7.3 azzal a feltétellel, hogy: (ÛΦ, ÛΨ = (Φ, Ψ (4.7.4 ( Φ, Û +, Ψ = (Φ, Ψ (4.7.5 (4.7.6 A feltétel persze csak abba az esetbe teljesülhet, ha Û uitér operátor, azaz Û + = Û. Fotos tulajdosága még a szimmetriákak, hogy ivertálhatóak és va egy olya traszformáció, ami egész egyszer e em csiál semmit. Ez az egységoperátor. Ezek alapjá a szimmetriákhoz tartozó operátorok csoportot alkotak. Ez vajo a legáltaláosabb dolog, amit csiálhatuk? A zikai állapotok em vektorok, haem sugarak. Tehát a skalárszorzat-megmaradás em igazá értelmes. A skalárszorzat agyságáak kell megmaradia! 4.7.. Wiger-tétel Csak két lehet ség va a szimmetriák ábrázolására: Û uitér Û atiuitér Ha Û atiuitér, az azt jeleti, hogy: Û (αψ + βψ = α ÛΨ + β ÛΨ (4.7.7 (ÛΦ, ÛΨ = (Φ, Ψ (4.7.8 Az adjugáltság is mást jelet: ( (ÛΦ, Ψ = Φ, Ψ Û + (4.7.9 Tipikusa ábrázolásokál az els valósul meg, másodikra legjobb példa az id tükrözés. 33
4.7.. Folytoos szimmetriák Eze belül is azokkal foglalkozuk, amelyek az egységgel folytoos összeköttetettségbe vaak. Ilyeek a forgatások és az eltolások. Ha folytoos, akkor közel va az egyhez, liearizálható köryéké. Azaz: Û ε = Î + iε ˆT + O(ε (4.7. A kicsiség itt úgy jeleik meg, hogy ε <<. Az uicitás feltétele: ( = Û ε + Ûε = (Î iε ˆT (Î + iε ˆT = Î + iε ˆT + ˆT + O(ε (4.7. Ez persze csak úgy lehetséges, ha ˆT ˆT + =, azaz ˆT hermitikus, ami tipikusa zikai meyiség. Ebb l azt a következtetést vojuk le, hogy mide folytoos szimmetriához létezik egy zikai meyiség. Ie már megtudjuk csiáli a traszformációt agy paraméterértékekre is. Legye θ a traszformáció paramétere, modjuk például egy szögparaméter. Ekkor ε = θ/n, azaz N-szer egymás utá hattatva Ûε-t az Û(θ-t adja: Û(θ = Ûε Ûε Ûε... }{{ Ûε lim } N N-szer egymás utá ( Î + i θ ˆT N N iθ ˆT = e (lásd 4.3. szakasz (4.7. ˆT a szimmetria geerátora. A traszformáció utá a zikai meyiségek várható értéke megváltozhat. Legye a zikai meyiségük  (Ψ, ÂΨ = (ÛΨ, ÂÛΨ = ( Ψ, Û + ÂUΨ ˆ = (Ψ, Û ÂÛΨ (4.7.3 Vagyis a traszformáció olya, mitha em csiáltam vola semmit, csak egyszer e Û ÂÛ-t mérém Ψ-. Az ilye típusú traszformációk em változtatják meg az adott operátor algebrai tulajdoságait. (Û ÂÛ (Û ˆBÛ = Û Â ˆBÛ és Û ÂÛ + Û ˆBÛ = (Â Û + ˆB Û (4.7.4 Û ÂÛ sajátértékei ugyaazok, csak a sajátvektorok változak: ÂΨ = aψ /balról szorzuk Û (4.7.5 (Û ÂÛ Û Ψ = aû Ψ (4.7.6 Mi lesz Û ÂÛ, ha Û kicsi? Û ÂÛ (Î = iε ˆT  (Î + iε ˆT [ ]   iε ˆT,  [ ] =  iε ˆT,  + O(ε (4.7.7 (4.7.8 Ha ˆT és  kommutál, akkor  em változik meg a traszformáció sorá. Eek az egyik speciális esete, ha  is egy geerátor. 34
4.7.3. Térbeli eltolás A részecskék redszerét tudom jellemezi valamilye x helyvektorokkal. Ezeket a helyvektorokat eltoljuk valamilye a vektorral. x x + a. Ehhez az el z ek alapjá fog tartozi egy Û(a. Mivel a helyvektor zikai meyiség, a következ képpe kell változia: Û (aˆxû(a = ˆx + a Î (4.7.9 Legye a kicsi: Û Î i aˆp + O(a (4.7. ˆp-t evezzük impulzusak! dimezioális okokból lett belekeverve. (Î + i aˆp ˆx (Î i aˆp = ˆx + aî (4.7. [ ] ˆp ˆx + ia, ˆx = ˆx + a (4.7. [ˆp i, ˆx i ] = i δ ij (4.7.3 ˆp mide koordiátával ugyaúgy kommutál, legye ˆP az összimpulzus: ˆP = ˆp (4.7.4 [ˆx i, ˆp mj ] = m (4.7.5 [ˆx i, ˆp mj ] = i δ m δ ij (4.7.6 Az eltolások kommutálak egymással: [Û(a, Û(b] = (4.7.7 Ebb l következik: [ ˆPi, ˆP ] j = (4.7.8 azaz létezik közös sajátvektorredszer. Û(a = e i ˆPa/. Legye Φ x az x-hez tartozó koordiáta sajátállapota. Ekkor: Û(xΦ = Φ x (4.7.9 illetve: Û( xφ x = Φ x+ x (4.7.3 ( i p x ˆ Φ x = Φ x+ x (4.7.3 i ˆp x = Φ x+ x Φ x (4.7.3 35
ˆp i = i x i Φ x (4.7.33 Mitha hiáyoza egy el jel, de persze ez em a hullámfüggvéy. A hullámfüggvéy: Ψ(x = (Φ x, Ψ (4.7.34 ( ˆp i Ψ(x = i Φ x, Ψ = i (Φ x, Ψ = i Ψ(x i x i x i x i (4.7.35 Az eltolási szimmetria ábrázolása tehát: i ˆPa/ Û(a = e (4.7.36 Φ x = Û(aΦ = e i ˆPa/ Φ (4.7.37 Legyeek az impulzus sajátállapotok Ψ p! (Ψ p, Φ x = (Ψ p, e i ˆPa/ Φ = (e i ˆPa/ Ψ p, Φ (4.7.38 Ha Ψ p -ket megfelel e ormáljuk, a faktor elt ik! (Ψ p, Φ = (4.7.39 (π 3/ Miért jó ez a ormálás? (Ψ p, Φ x = e i ˆPa/ (π 3/ (4.7.4 Ψ p (x = e+i ˆPa/ Ez egy síkhullám, mivel az impulzus a sajátértéke. Így: 4.7.4. Id beli eltolás (Ψ p, Ψ p = (π 3/ (4.7.4 d 3 x e i(ˆp ˆp a/ (π 3/ = δ (3 (ˆp ˆp (4.7.4 Eddig em volt szó az axiomatikus kvatummechaika tárgyalásába az id fejl désr l. Ha va egy Ψ H állapotom, az függhet az id t l. Az id eltolás eek a szimmetriája lesz! Az el z ek alapjá, ez azt jeleti, hogy létezik egy Û(τ traszformáció, ami azt tudja, hogy: Û(τΨ(t = Ψ(t + τ (4.7.43 Megit felhaszáljuk azt a közelítést, hogy ha τ kicsi, akkor: Û(τ Î i Ĥ + O(τ (4.7.44 36
Általáosságba pedig eltolás valamilye τ-ra: Û(τ = e i τĥ (4.7.45 Ĥ az id eltolás geerátora: a Hamilto-operátor. Legye kezdetbe t =, ekkor τ id elteltével az állapot: Û uitér, azaz skalárszorzat-tartó! Ψ(t = e i τĥψ( = Û(tΨ( (4.7.46 (Ψ(t, Φ(t = (Ψ(, Φ( (4.7.47 Ebb l következik, hogy a ormálás is megmarad, tehát a valószí ségi értelmezés értelmes. Kicsit ézegetve az (4.7.46 egyeletet: i Ψ t = ĤΨ (4.7.48 Ez pedig em más mit az id függetle Schrödiger-egyelet általáos alakja. Koordiátareprezetációba ez egy hullámfüggvéyt fog adi. Eddig feltételeztük, hogy csak az állapotokak va id fejl dése, az operátorokak em. Ez volt a Schrödiger-kép. Lehet ezt azoba másképpe is csiáli. Abból kiidulva, hogy maguk a hullámfüggvéyek em mérhet ek, csak a mátrixelemek: (Ψ, ÂΦ Ψ, Φ id fejl dése "áttehet " A-ra (4.7.49 (Ψ, ÂΦ t = (Ψ(t, ÂΦ(t = (ÛΨ, ÂÛΦ = (4.7.5 ( = (Ψ(, Û + ÂÛΦ( = (Ψ, Û } {{ ÂÛ } Φ = Ψ, ÂH(tΦ (4.7.5  H (t Ez a Heiseberg-kép: az állapotok id függetle, az operátorok változak. Ha  = Ĥ Ĥ(t = Û ÛĤ = Ĥ, mivel Ĥ ömagával kommutál. Tehát a Hamilto operátor mid a két képbe ugyaaz! Mi törtéik, ha egy picit megváltoztatjuk az id t? (  H (t + t = Û ( tû (tâû(tû( t = Î + i Ĥ t Â(t (Î i Ĥ t = (4.7.5 = ÂH(t + i ] [Ĥ, t  + O( t (4.7.53 dâh(t = i [Ĥ, Â] dt Ez a Schrödiger-egyelet Heiseberg-képbe. 37 (4.7.54
Ha  kommutál a Hamilto-operátorral, akkor  H =, azaz ÂH megmaradó meyiség. Az ilye megmaradó meyiségek általába szimmetriákból származak, valamilye szimmetria geerátorai. Ha Û egy szimmetria ábrázolása, akkor ha az id eltolással felcserélhet, Ψ-ek és ÛΨ-ek ugyaaz az id fejl dése. Mivel ez igaz mide Ψ-re: ÛΨ(t = e i tĥûψ( (4.7.55 Û e i tĥ = e i tĥû (4.7.56 Û akármilye szimmetria lehet, ha uitér és lieáris kommutál a Hamilto-operátorral. Olya Û-t, amely ati-uitér módo ábrázola egy szimmetriát em foguk találi, ugyais: Û e i tĥû = Î + i tû ĤÛ + ( i! t Û Ĥ Û +... (4.7.57 Û ĤÛ = Ĥ (4.7.58 Ez azt jeleteé, hogy mide E eergiához tartoza egy E eergiájú állapot. Egyetle kiút va, ha t-ek is megfordítjuk az el jelét. Nem mide szimmetria ad megmaradó meyiséget, csak amelyik a Hamilto-operátorral felcserél. 4.7.5. Forgatási szimmetria, a Spi Cetrális poteciál eseté jól kijö az atomok spektruma, azoba a multiplicitás már em, tipikusa kétszer ayi va, mit amit számoluk a Schrödiger-egyeletb l. Nátrium eseté egy elektro csücsül a küls héjo. Žt jól lehet íri a maradék elektrook által "lefojtott" protook cetrális poteciáljába. Mivel az eergia a mágeses kvatumszámtól em függ, l + kellee, hogy legye a degeeráció mértéke. Spektroszkópiába általába mide eergia helyett kett volt, alig elkülöülve. Pauliba merült fel el ször az a godolat, hogy talá va még egy kvatumszám. Els két ezt úgy képzelték mit egyfajta bels impulzusmometumot (S. Ha S téyleg impulzusmometum, akkor az olya, mit a pálya-impulzusmometum, vagyis adott S-hez tartozik s + degeeráció, azaz s =, miközbe L eddig csak egész lehetett. Va más probléma is ezzel a forgó gömb képpel. Ugyais a gömb felületi sebessége muszáj, hogy kisebb legye a féysebességél, ebb l azoba az következik, hogy r cm lehet. Másrészr l viszot a kép jól magyarázta a felhasadást. Ezzel már a klasszikus mechaika em tudott mit kezdei. Eek a vizsgálatához már hozzá kell yúli a forgatásszimmetriákhoz. Ezek olya traszformációk, amelyek megtartják a skalárszorzatot és Î-vel folytoos kapcsolatba vaak. x i j R ij x j = x i (4.7.59 38