Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria



Hasonló dokumentumok
2. Koordináta-transzformációk

Máté: Számítógépes grafika alapjai

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.

STATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév)

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

A tér lineáris leképezései síkra

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN

MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

az eredő átmegy a közös ponton.

A tér lineáris leképezései síkra

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása

Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.

Az összetett hajlítás képleteiről

1. Lineáris transzformáció

ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL. Oktatási segédlet

Függvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim

Héj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok

A szilárdságtan 2D feladatainak az feladatok értelmezése

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait.

Elektromágneses hullámok

Matematika szintfelmérő szeptember

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Mechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31

Kvadratikus alakok gyakorlás.

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola

1. Lineáris leképezések

Statika gyakorló teszt I.

A fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként

3. Szerkezeti elemek méretezése

VIII.4. PONT A RÁCSPONTOK? A feladatsor jellemzői

Robottechnika II. 1. Bevezetés, ismétlés. Ballagi Áron Automatizálási Tanszék

PROJEKTIV GEOMETRIA JEGYZET. Geometria Tanszék

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erő, a nyomaték és erőrendszerek jellemzőit.

Transzformációk síkon, térben

A ferde hajlítás alapképleteiről

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

Számítógépes grafika

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!

Acélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint

Fizika A2E, 1. feladatsor

1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei

Koordináta-geometria alapozó feladatok

2. Koordináta-transzformációk

σ = = (y', z' ) = EI (z') y'

Geometria 1 normál szint

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (

3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra

Geometria 1 normál szint

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

Műszaki Mechanika I. A legfontosabb statikai fogalmak a gépészmérnöki kar mérnök menedzser hallgatói részére (2008/2009 őszi félév)

Bevezetés a projektív geometriába Matematika BSc, 2013.








Affin transzformációk az euklideszi síkon

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

Felkészítő feladatok a 2. zárthelyire

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

Y 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete.

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

PROJEKTÍV GEOMETRIAI PÉLDATÁR

Közgazdaságtan - 3. elıadás

Analitikus Geometria és Többváltozós Függvénytan

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. A következıkben áttekintjük a fontosabb leképezési eljárásokat és azok alapvetı tulajdonságait.

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Feladatok Oktatási segédanyag

1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

Többváltozós függvények Riemann integrálja

Acélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint

1.1. Halmazelméleti alapfogalmak

XXVII. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Nagyvárad, február I. forduló - 9. osztály

10. elıadás: Vállalati kínálat, iparági kínálat Piaci ár. A versenyzı vállalat kínálati döntése. A vállalat korlátai

Dr. Égert János Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN


Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és


= és a kínálati függvény pedig p = 60

Ferde kúp ellipszis metszete

Kocka perspektivikus ábrázolása. Bevezetés

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

Mechanika II. Szilárdságtan

Kiegészítések Kurusa Árpád és Szemők Árpád A számítógépes ábrázoló geometria alapjai c. könyvéhez

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

Geometriai példatár 3.

Valasek Gábor Informatikai Kar. 2016/2017. tavaszi félév

Tartalom. Nevezetes affin transzformációk. Valasek Gábor 2016/2017. tavaszi félév

A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát.

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

A statika és dinamika alapjai 11,0

Átírás:

Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk. A paralel aonometria abból a gondolatból indult ki, hog a affin tér affin leképeését 4 általános heletű pont és aok képei meghatároák, eért a affin teret a a. képsíkon úg jelenítettük meg, hog 4 általános heletű térbeli pontnak a képsík 4 általános heletű pontját kijelöltük. Eek a pontok a origó és a koordinátatengelek egségpontjainak képei. (O, E, E, E ) eek után a tengelek iránában ostóvison segítségével a mérés lehetővé válik. A általánosítás alapgondolata a lehetne, hog a projektív tér projektív leképeését 5 általános heletű pont és aok képei meghatároák, tehát a képsíkon 5 általános heletű pont kijelölése jelentené a leképeés megadását. E aonban nem működik, mert ha kijelölnénk a O, V, V, V és E (egségpont) képét a képsíkon, akkor a tengelek mentén még nem tudnánk mérni projektív módon, aa kettősvisonnal. Eért a általánosítás útja a lehet, hog olan adathalmaal képeük a teret a síkra, hog a tengelek mentén projektív esköökkel mérhessünk. Ehhe a tengelenként három-három pontot kell figelni. Főtéralakat: Eg térbeli deréksögű koordinátarendsert adunk meg, ahol a tengeleken a origó és egségponton kívül a távoli pontot is kitüntetjük. Ekkor bármel pont megfelelő koordinátája kettősvisonnal mérhető fel a tengelre. { O, E, E, E, V, V, V } Főképalakat: A előbbi hét pont képét illeskedéstartó módon kijelöljük a képsíkon, pl. O, E, V kollineáris ponthármas legen. A tengelek végtelen távoli pontjának képét nem kell a végtelenben válastanunk! A baloldali ábrán a egségkocka képe látható.

Kruppa I. tétele (alaptétel) 1910 A aonometrikus leképeés projektív általánosításában fellépő tengelkerest mindig tekinthető eg megfelelően elheleett ortonormált báis centrálprojekciója projektív megfelelőjeként. Másként fogalmava: Eg térbeli objektum képe ebben a általánosított leképeésben mindig projektív a térbeli alakat valamel meghatároott centrálprojekciójáho. Bionítás: Eg tetsőlegesen megadott tengelkerest esetén alkalmaunk eg olan projektív leképeést, ahol a tengelkerest képe eléggé speciális les. At írjuk elő, hog a és egmásra merőleges legen, V és V végtelen távoli, és a E és E pontok a origótól egenlő távolságra legenek! E E E E megadja a leképeést, a, E és V serkesthető. V V V V Mostmár csak at kell belátni, hog a kapott új tengelkerest eg térbeli koordinátarendser centrális projekciója. A térbeli koordinátarendser és tengelének válassuk a képsíkba rajoltakat, a tengel a képsíkra merőlegesen állítható be! A térbeli E pontot a E -gal össekötő egenes illeskedik a vetítési centrumra, uganíg a V V össekötő egenese is. A vetítés centruma a előbbi két egenes metséspontja.

Ekkor a centrális projekció főpontja a V, a distanciát megkapjuk, ha a tengel vetítősíkját a képsíkba forgatjuk. F. Hohenberg nevete el a a. leképeés projektív általánosítását centrálaonometriának, míg a eredetit paralelaonometriának. Kruppa I. tételét lehet általánosítani: Tétel: Ha a iránpontok nem esnek eg egenesre, akkor a térbeli objektum ca. képe affin a objektum eg meghatároott centrálprojekciójáho. Ennél tovább, aa hasonlóságig nem lehet élesíteni!! Termésetesen a ca. tengelkerest megadható úg, hog centrális projekciót adjon, pl. ha a perspektívát (gakorlati perspektívát) tekintjük. Keressünk olan feltételeket, amikor a ca. ábra mikor les centrális projekció! Ésrevételek: A EEE és VVV csúcsaikra néve perspektívek oldalaikra néve is aok, a perspektivitás tengele: h. Határouk meg a h harmonikus pólusát a VVV -re. E a súlpont általánosítása, aa (VV1) = 1 és (VV34) = 1. A követkeő elempárok eg korrelációt határonak meg: V VV V VV nég általános heletű pont V VV H h és a megfelelő nég általános heletű egenes.

Kruppa II. tétele: Eg előre megadott ca. tengelkerest eg térbeli koordinátarendser (ortonormált báis) centrálrpojekciója pontosan akkor, ha a fenti korreláció veetőkúpselete euklidesi értelemben vett elsőfajú képetes kör. 1 Tekintsük a gakorlati perspektíva tengelkerestjét. Jellemői: V, V végesben van, és a VV, V végtelen távoli. Keressünk feltételt arra, hog e a tengelkerest mikor les eg térbeli koordinátarendser centrális projekciója. Tétel (Stiefel; 1947, 1971) Annak sükséges és elegendő feltétele, hog a gakorlati perspektíva tengelkerestje eg térbeli ortonormált báis centrális projekciója legen a, hog Bi: ahol e táv. = OE táv., f EV f h j ( e) ( g) ( i) + =, = táv., g= OE táv., h = EV táv., i= OE táv., j= VV Tekintsük eg i oldalú kocka centrális projekcióját! Jelöljük a e, f, g, h, i, j sakasokat, és legen a + b = j. a = és b (C)V = (C)V ; ekkor 1 A elsőfajú képetes kör homogén koordinátákban: + + = 0, jellemő tulajdonsága, 1 3 hog minden polárháromsöge valós. Eg ilen polárháromsög a VVV. A tételben sereplő képetes kör valós repreentánsa éppen a distanciakör les.

A O(E )E és V(C)E hasonlóak f = a. e i A O(E )E és V(C)E hasonlóak h = b. g i f h a + b j Négetre emelés és össegés után: + = = e g i i tételben adott feltétel. Most néük fordítva: f h j Teljesül a ( e) ( g) ( i), aa teljesül a + =, akkor a kell belátni, hog a tengelkerest centrális projekcióból sármaik. Tekintsük a gakorlati perspektíva tengelkerestjét! A síkon a O, E, E pontok eg egségni oldalú néget csúcsai, melnek a negedik csúcsa a EV és EV egenesek metséspontja. Legen e a E pont. A rajunkon a OEEE eg általános négsög, eért megadható olan centrális kollineáció, amelben a képe néget les. A semkötes oldalak V, V metséspontjait össekötő egenes les a kollineáció ellentengele (ennek a képe a végtelen távoli egenes). A kollineáció tengele eel párhuamos, most haladjon át a O ponton. A centrumot úg kell kijelölni, hog bitosítsuk a oldalak és a átlók merőlegességét is, aa a VV és UW sakasok fölé írt Thalés körök metséspontja. Meghatárouk a képnégetet, ahol a képét s jelöli, Termésetesen r=s. Jelölje: a = CV és b = CV. A vonalkáott háromsögek hasonlóságából a f f = a = r r e e OE sakas képét r, a OE

A pontoott háromsögek hasonlóságából: b h = s g A CVV deréksögű: Eekből követkeik: f h j = a + b = r + s e g r A feltétellel össevetve a és a + b = j h b = s g, i -tel ostva: j r f s h = +. i i e i g s menniségek 1-gel egenlők s=r=i. i i Ekkor keressük meg a báist és a vetítési rendsert. A kollineáció centrumából állítsunk merőlegest a ellentengelre, e les a C 1 főpont, és CC 1 távolság a distancia. A tengelek síkja merőleges a rajunk síkjára és áthalad a kollineáció tengelén, a OE, OE sakasok a raj síkja mögött vannak, a tengel a rajunk síkjában van, és merőleges a kollineáció tengelére. Tétel (Sabó J. H. Stachel H. Vogel): Jelölje a iránpontok VVV háromsögének sögeit rendre: α, β, γ, továbbá a tengeleken lévő sakasok legenek: e= OE, f = EV, g= OE, h = EV, i= OE, j= EV. A megadott tengelkerest pontosan akkor centrálprojekciója eg térbeli ortonormált báisnak, ha e g i : : = tan α : tan β : tanγ. f h j