JEGYZİKÖNYV Készült a 31. Országos Hajós György Matematika Verseny Versenybizottságának üléseirıl. 2009. március 27. Jelen vannak: A Versenybizottság elnöke: Prof Dr. Obádovics J. Gyula Tagok: Dr. Csató Sándor, fıiskolai docens Mérnöki Kar Dr Klincsik Mihály, fıiskolai tanár Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Mőszaki Kar Dr. Molnár-Sáska Katalin, fıiskolai docens Szent István Egyetem Ybl Miklós Építéstudományi Kar Dr. Tóth Zoltán, fıiskolai tanár Károly Róbert Fıiskola Dr. Zoller Vilmos, fıiskolai tanár Rejtı Sándor Könnyőipari és Környezetmérnöki Kar A versenybizottság megvitatta a versenybizottság tagjai által ajánlott feladatokat, kiválasztotta a versenyen kitőzésre kerülı öt feladatot, elfogadta azok sorrendjét és a pontszámokat (1. sz. melléklet) 2009. március 28. A versenyzık a megnyitó után a véletlenszerően kisorsolt ülésrend szerint helyet foglaltak és 10:-kor megkezdték a kitőzött feladatok megoldását. A versenyzık 13:-kor beadták a kidolgozott feladatokat. A versenybizottság a kijelölt segítıkkel együtt 1:00-kor megkezdte az értékelı munkát. A dolgozatok értékelése 19:00-kor befejezıdött. A bizottság megállapította, hogy a verseny szabályszerően zajlott, és a ben leírt sorrendet állapította meg az egyéni és a csapatversenyben. A versenybizottság a legszebb megoldás díjjal jutalmazta: Sarbak Mártont a Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Mőszaki Kar hallgatóját. 2009. március 29. A 2009. évi 31. Országos Hajós György Matematika Verseny végeredményét a Versenybizottság elnöke kihirdette. Gyöngyös, 2009. március 29. Dr. Csató Sándor Dr. Obádovics J. Gyula Dr. Klincsik Mihály elnök Dr. Molnár-Sáska Katalin Dr. Tóh Zoltán Dr. Zoller Vilmos
A 31. Hajós György Országos Matematikaverseny feladatai 1. sz. melléklet 1. Felezzük meg a [0,1] intervallumot, és jelölje f 1 a felezı pontot! A megfelezett intervallum baloldali részének felezı pontját jelölje f 2! Ezután a legutóbb megfelezett intervallum jobboldali részének felezı pontját jelölje f 3! Ilyen módon, váltakozva folytatjuk a felezést. Határozzuk meg a felezı pontok f 1, f2, f3, K végtelen sorozatának határértékét! 20 pont 2 2. Legyen x 1 és x 2 az x + px+ 1 másodfokú polinom, x3 és x4 pedig az x + qx+ 1 másodfokú polinom két-két valós gyöke! Írjuk fel az ( x 1 x3) ( x2 x3) ( x1+ x4) ( x2+ x4) szorzatot p és q függvényeként! 20 pont n 3. Tekintsük az f ( x) = x+ a és g( x) = x a függvényeket! Bizonyítsuk be, hogy minden n 2 természetes szám esetén van olyan a valós szám, hogy a két függvény grafikonja olyan pontban érinti egymást, amelyben a közös érintı az y= x egyenes! 20 pont 4. Az r valós paraméter milyen értékei esetén van az f ( x) = x ln x függvénynek inflexiós pontja? Milyen r értékek esetén esik az inflexiós pont az x-tengelyre? 20 pont. Mekkora a derékszögő háromszög c hosszúságú átfogójához tartozó sc súlyvonal hossza? Jelölje sa az a hosszúságú, s b pedig a b hosszúságú befogóhoz tartozó súlyvonal hosszát! Határozzuk meg az s a+ sb sc hányados maximális értékét! 20 pont n r 2 Gyöngyös, 2009. március 28. Jó munkát kíván a Versenybizottság: Dr. Csató Sándor Dr. Obádovics J. Gyula Dr. Klincsik Mihály Dr. Molnár-S. Katalin Dr. Tóth Zoltán Dr. Zoller Vilmos
Egyéni verseny eredménye: Helyezés Intézmény Név Pontszám 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 Neumann János Informatikai Kar Székelyhidi Tamás 98 Kandó Kálmán Villamosmérnök Kar Magyar Ákos 87 Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Lévai Balázs 76 Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Mőszaki Kar Malkó Tibor 68 Pénzügyi és Számviteli Fıiskolai Kar Dobos József 62 Kandó Kálmán Villamosmérnök Kar Szmolik Gusztáv Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Mőszaki Kar Sarbak Márton 4 Debreceni Egyetem AMTC, Mőszaki Kar Bene Zsuzsanna 2 Neumann János Informatikai Kar Elsı András 2 Neumann János Informatikai Kar Tamás Gábor Zoltán 48 Neumann János Informatikai Kar Dancsecs Balázs Ferenc 4 12 Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Klie Gábor 42 13 Mezıgazdasági Kar Mayer Péter 41 14 Dunaújvárosi Fıiskola Bodó Péter 40 Szent István Egyetem 1 Ybl Miklós Építéstudományi Kar Cebei Márk 39 16 Rejtı Sándor Könnyőipari Kar Hegyesi Irma 38 17 Kaposvári Egyetem Horváth Kornélia 37 18 Miskolci Egyetem Forgács Attila 36
Egyéni verseny eredménye: 19 Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Lukács Judit 3 20 Kaposvári Egyetem Balogh Eszter 34 Szent István Egyetem 21 Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Debreceni Gergı 32 22 Miskolci Egyetem Perera Manuel György 32 23 Kaposvári Egyetem Horváth Márk 31 24 Miskolci Egyetem Piller Imre 31 2 26 27 Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem Bolyai János Katonai Mőszaki Kar Enyedi Balázs 29 Kereskedelmi, Vendéglátóipari és Idegenforgalmi Fıiskolai Kar Kırösi Soma 29 Pénzügyi és Számviteli Fıiskolai Kar Kupai Szandra 29 28 Külkereskedelmi Fıiskolai Kar Somogyi Nóra 29 29 Kereskedelmi, Vendéglátóipari és Idegenforgalmi Fıiskolai Kar Nagy Emese 28 30 Szolnoki Fıiskola Oláh Dóra 26 31 32 33 34 3 Kandó Kálmán Villamosmérnök Kar Pongrácz Péter 26 Külkereskedelmi Fıiskolai Kar Antal Zsófia 2 Külkereskedelmi Fıiskolai Kar Kocsis Zsolt 24 Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem Bolyai János Katonai Mőszaki Kar Bencsik Gábor 22 Rejtı Sándor Könnyőipari Kar Benyovszky Luca 22 Debreceni Egyetem 36 AMTC, Mőszaki Kar Drimba János 21 37 Szolnoki Fıiskola Hódi Péter 21 Kecskeméti Fıiskola 38 Gépipari és Automatizálási Mőszaki Fıiskolai Kar Berki Zsolt 20
Egyéni verseny eredménye: Kecskeméti Fıiskola 39 Gépipari és Automatizálási Mőszaki Fıiskolai Kar Kiss Péter 20 Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem 40 Bolyai János Katonai Mőszaki Kar Balogh Adrián 19 41 Szolnoki Fıiskola Farsang Rita 18 42 Mérnöki Kar Talpai Mária 18 43 Károly Róbert Fıiskola Vágó János 18 44 4 Mérnöki Kar Bakos Bettina 17 Rejtı Sándor Könnyőipari Kar Balla Andrea 17 46 Mérnöki Kar Ivó Péter 17 47 Dunaújvárosi Fıiskola László Viktor 17 Szent István Egyetem 48 Ybl Miklós Építéstudományi Kar Horváth Gábor Kálmán 16 49 0 Regionális Oktatási és Innovációs Központ Horváth Miklós 16 Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Mőszaki Kar Krizsán Roland 16 1 Regionális Oktatási és Innovációs Központ Magyaródi Zsolt 16 2 Károly Róbert Fıiskola Tadics Evelin 1 Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem 3 Bolyai János Katonai Mőszaki Kar ifj. Komjáti Zoltán 14 Pécsi Tudományegyetem 4 Pollack Mihály Mőszaki Kar Ludván Zsófia 14 Dunaújvárosi Fıiskola Hetyei Csaba 13 6 Dunaújvárosi Fıiskola Kiss Balázs 13 7 Mérnöki Kar Pongrácz Zsolt 13 8 Pénzügyi és Számviteli Fıiskolai Kar Szőcs Gábor 13
Egyéni verseny eredménye: 9 Külkereskedelmi Fıiskolai Kar Balogh Andrea 12 60 Károly Róbert Fıiskola Kiss Zsuzsanna 12 61 Kaposvári Egyetem Sipos Károly 12 Szent István Egyetem 62 Ybl Miklós Építéstudományi Kar Balogh Béla 11 63 Kecskeméti FıiskolaGépipari és Automatizálási Mőszaki Fıiskolai Kar Hájas József 11 64 6 66 Debreceni Egyetem AMTC, Mőszaki Kar Hüse Erika 9 Kandó Kálmán Villamosmérnök Kar Soós Attila 9 Regionális Oktatási és Innovációs Központ Bıcs Gergı 7 67 Regionális Oktatási és Innovációs Központ László Róbert 7 68 Kereskedelmi, Vendéglátóipari és Idegenforgalmi Fıiskolai Kar Fehér Gáspár Orbán 6 69 Károly Róbert Fıiskola Kis Dóra 6 Kecskeméti Fıiskola 70 Gépipari és Automatizálási Mőszaki Fıiskolai Kar Tenki Szabolcs 4 71 72 Mezıgazdasági Kar Varga Ákos 2 Mezıgazdasági Kar Zrena Péter 2
Csapatverseny eredménye: Ssz helyezés2 Intézmény Név Pontszám Csapatpontszám 1 Neumann János Informatikai Kar Székelyhidi Tamás 98 1 Neumann János Informatikai Kar Elsı András 2 1 1 Neumann János Informatikai Kar Tamás Gábor Zoltán 48 198 1 Neumann János Informatikai Kar Dancsecs Balázs Ferenc 4 2 Kandó Kálmán Villamosmérnök Kar Magyar Ákos 87 2 2 Kandó Kálmán Villamosmérnök Kar Szmolik Gusztáv 2 Kandó Kálmán Villamosmérnök Kar Pongrácz Péter 26 168 2 Kandó Kálmán Villamosmérnök Kar Soós Attila 9 3 4 3 3 3 Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Lévai Balázs 76 Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Klie Gábor 42 Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Lukács Judit 3 Bánki Donát Gépész és 3 Biztonságtechnikai Mérnöki Kar x 4 Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Mőszaki Kar Malkó Tibor 68 4 Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Mőszaki Kar Sarbak Márton 4 4 Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Mőszaki Kar Krizsán Roland 16 4 Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Mőszaki Kar Ludván Zsófia 14 Pénzügyi és Számviteli Fıiskolai Kar Dobos József 62 Pénzügyi és Számviteli Fıiskolai Kar Kupai Szandra 29 Pénzügyi és Számviteli Fıiskolai Kar Szőcs Gábor 13 Pénzügyi és Számviteli Fıiskolai Kar x 13 138 104
Csapatverseny eredménye: 6 7 8 9 10 11 6 Kaposvári Egyetem Horváth Kornélia 37 6 Kaposvári Egyetem Balogh Eszter 34 6 Kaposvári Egyetem Horváth Márk 31 6 Kaposvári Egyetem Sipos Károly 12 7 Miskolci Egyetem Forgács Attila 36 7 Miskolci Egyetem Perera Manuel György 32 7 Miskolci Egyetem Piller Imre 31 7 Miskolci Egyetem x 8 Debreceni Egyetem AMTC, Mőszaki Kar Bene Zsuzsanna 2 8 Debreceni Egyetem AMTC, Mőszaki Kar Drimba János 21 8 Debreceni Egyetem AMTC, Mőszaki Kar Hüse Erika 9 8 Debreceni Egyetem AMTC, Mőszaki Kar x 9 Külkereskedelmi Fıiskolai Kar Somogyi Nóra 29 9 Külkereskedelmi Fıiskolai Kar Antal Zsófia 2 9 Külkereskedelmi Fıiskolai Kar Kocsis Zsolt 24 9 Külkereskedelmi Fıiskolai Kar Balogh Andrea 12 10 Rejtı Sándor Könnyőipari Kar Hegyesi Irma 38 10 Rejtı Sándor Könnyőipari Kar Benyovszky Luca 22 10 Rejtı Sándor Könnyőipari Kar Balla Andrea 17 10 Rejtı Sándor Könnyőipari Kar x 11 Dunaújvárosi Fıiskola Bodó Péter 40 11 Dunaújvárosi Fıiskola László Viktor 17 11 Dunaújvárosi Fıiskola Hetyei Csaba 13 11 Dunaújvárosi Fıiskola Kiss Balázs 13 102 99 82 78 77 70
Csapatverseny eredménye: 12 13 14 1 16 12 12 12 Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem Bolyai János Katonai Mőszaki Kar Enyedi Balázs 29 Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem Bolyai János Katonai Mőszaki Kar Bencsik Gábor 22 Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem Bolyai János Katonai Mőszaki Kar Balogh Adrián 19 Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem Bolyai János Katonai 12 Mőszaki Kar ifj. Komjáti Zoltán 14 13 Szent István Egyetem Ybl Miklós Építéstudományi Kar Cebei Márk 39 13 Szent István Egyetem Ybl Miklós Építéstudományi Kar Horváth Gábor Kálmán 16 13 Szent István Egyetem Ybl Miklós Építéstudományi Kar Balogh Béla 11 13 Szent István Egyetem Ybl Miklós Építéstudományi Kar x 14 Szolnoki Fıiskola Oláh Dóra 26 14 Szolnoki Fıiskola Hódi Péter 21 14 Szolnoki Fıiskola Farsang Rita 18 14 Szolnoki Fıiskola x 1 1 1 Kereskedelmi, Vendéglátóipari és Idegenforgalmi Fıiskolai Kar Kırösi Soma 29 Kereskedelmi, Vendéglátóipari és Idegenforgalmi Fıiskolai Kar Nagy Emese 28 Kereskedelmi, Vendéglátóipari és Idegenforgalmi Fıiskolai Kar Fehér Gáspár Orbán 6 Kereskedelmi, Vendéglátóipari és 1 Idegenforgalmi Fıiskolai Kar x 16 Mérnöki Kar Talpai Mária 18 16 Mérnöki Kar Bakos Bettina 17 16 Mérnöki Kar Ivó Péter 17 16 Mérnöki Kar Pongrácz Zsolt 13 70 66 6 63 2
Csapatverseny eredménye: 17 18 19 20 21 17 17 17 Kecskeméti Fıiskola Gépipari és Automatizálási Mőszaki Fıiskolai Kar Berki Zsolt 20 Kecskeméti Fıiskola Gépipari és Automatizálási Mőszaki Fıiskolai Kar Kiss Péter 20 Kecskeméti Fıiskola Gépipari és Automatizálási Mőszaki Fıiskolai Kar Hájas József 11 Kecskeméti Fıiskola Gépipari és Automatizálási Mőszaki Fıiskolai 17 Kar Tenki Szabolcs 4 18 Károly Róbert Fıiskola Vágó János 18 18 Károly Róbert Fıiskola Tadics Evelin 1 18 Károly Róbert Fıiskola Kiss Zsuzsanna 12 18 Károly Róbert Fıiskola Kis Dóra 6 19 Mezıgazdasági Kar Mayer Péter 41 19 Mezıgazdasági Kar Varga Ákos 2 19 Mezıgazdasági Kar Zrena Péter 2 19 Mezıgazdasági Kar x 20 20 20 Regionális Oktatási és Innovációs Központ Horváth Miklós 16 Regionális Oktatási és Innovációs Központ Magyaródi Zsolt 16 Regionális Oktatási és Innovációs Központ Bıcs Gergı 7 Regionális Oktatási és Innovációs 20 Központ László Róbert 7 21 Szent István Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Debreceni Gergı 32 21 Szent István Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar x 21 Szent István Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar x 21 Szent István Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar x 1 4 4 39 32