27.B 27.B. Alapfogalmak, logikai függvények és leírásmódjaik



Hasonló dokumentumok
2. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK MEGADÁSI MÓDSZEREI. A tananyag célja: a többváltozós logikai függvények megadási módszereinek gyakorlása.

Alapkapuk és alkalmazásaik

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Előadó: Dr. Oniga István DIGITÁLIS TECHNIKA 3

Elektronikai műszerész Elektronikai műszerész

Lineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1

Alapkapuk és alkalmazásaik

Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai

Megoldás Digitális technika I. (vimia102) 2. gyakorlat: Boole algebra, logikai függvények, kombinációs hálózatok alapjai

Logikai áramkörök, Boole algebra

Logikai áramkörök, Boole algebra

Kutatói pályára felkészítı modul

1. EGY- ÉS KÉTVÁLTOZÓS LOGIKAI ELEMEK KAPCSOLÁSTECHNIKÁJA ÉS JELÖLŐRENDSZERE

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

Kvantum párhuzamosság Deutsch algoritmus Deutsch-Jozsa algoritmus

30.B 30.B. Szekvenciális hálózatok (aszinkron és szinkron hálózatok)

MUNKAANYAG. Mészáros Miklós. Logikai algebra alapjai, logikai függvények I. A követelménymodul megnevezése:

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.

Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Zalotay Péter Digitális technika I

Táblázatkezelés. Táblázatkezelés célja. Alapfogalmak. Táblázatkezelık szolgáltatásai. Alapfogalmak. Alapfogalmak

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.

6. LOGIKAI ÁRAMKÖRÖK

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

1. elıadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínőségszámítás helye a tudományok között. Cél

Hobbi Elektronika. A digitális elektronika alapjai: További logikai műveletek

A matematikai statisztika elemei

Logikai hálózatok. Dr. Bede Zsuzsanna St. I. em. 104.

1. A matematikai logika alapfogalmai. 2. A matematikai logika műveletei

1. hét: A Boole - algebra. Steiner Henriette Egészségügyi mérnök

Zalotay Péter Digitális technika

Analóg és digitális mennyiségek

Logikai áramkörök. Informatika alapjai-5 Logikai áramkörök 1/6

Irányítástechnika alapvetı célja

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Komplex számok (el adásvázlat, február 12.) Maróti Miklós

Máté: Számítógép architektúrák

6. LOGIKAI ÁRAMKÖRÖK

Lineáris kódok. sorvektor. W q az n dimenziós s altere. 3. tétel. t tel. Legyen K [n,k,d] kód k d (k 1). Ekkor d(k)=w(k)

A + B = B + A, A + ( B + C ) = ( A + B ) + C.

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

Témakörök. Alapkoncepciók. Alapfogalmak. Egyed-kapcsolat modell. Alapfogalmak. Egyed-kapcsolat diagram

3. Magyarország legmagasabb hegycsúcsa az Istállós-kő.

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

V. Deriválható függvények

Gépészmérnöki és Informatikai Kar Automatizálási és Kommunikáció- Technológiai Tanszék

Eseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

1. gyakorlat - Végtelen sorok

ÁGAZATI SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA VILLAMOSIPAR ÉS ELEKTRONIKA ISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MINTAFELADATOKHOZ

Közlekedés gépjárművek elektronikája, diagnosztikája. Digitális alapok, digitális alapáramkörök

2019/02/11 10:01 1/10 Logika

Digitális Rendszerek (BSc)

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

Logika és informatikai alkalmazásai

Microsoft Excel. Táblázatkezelés. Dr. Dienes Beatrix

DIGITÁLIS TECHNIKA I 6. ELİADÁS SZÁMRENDSZEREK BEVEZETİ ÁTTEKINTÉS. Római számok és rendszerük. Helyérték

Példák 2. Teljes eseményrendszer. Tulajdonságok. Példák diszkrét valószínőségi változókra

Eseményalgebra, kombinatorika

Statisztikai függvények

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

1. tétel. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

MUNKAANYAG. Bellák György László. Mechatronikai elemek. A követelménymodul megnevezése: Mechatronikai elemek gyártása, üzemeltetése, karbantartása

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

A figurális számokról (IV.)

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

MUNKAANYAG. Tordai György. Kombinációs logikai hálózatok I. A követelménymodul megnevezése: Elektronikai áramkörök tervezése, dokumentálása

29.B 29.B. Kombinációs logikai hálózatok

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

194 Műveletek II. MŰVELETEK A művelet fogalma

MUNKAANYAG. Tordai György. Kombinációs logikai hálózatok II. A követelménymodul megnevezése: Elektronikai áramkörök tervezése, dokumentálása

ÁGAZATI SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZLEKEDÉSAUTOMATIKAI ISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MINTAFELADATOKHOZ

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z

Logika és informatikai alkalmazásai

Digitális Technika I. (VEMIVI1112D)

Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk

Zalotay Péter DIGITÁLIS TECHNIKA

1. Az adott kifejezést egyszerűsítse és rajzolja le a lehető legkevesebb elemmel, a legegyszerűbben.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából

Mátrixok február Feladat: Legyen A = ( ( B =

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

DIGITÁLIS TECHNIKA I 1. ELİADÁS A DIGITÁLIS TECHNIKA TANTÁRGY CÉLKITŐZÉSEI ÁLTALÁNOS BEVEZETÉS AZ 1. FÉLÉV TEMATIKAI VÁZLATA ÉS ISMERETANYAGA (2)

Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok

DIGITÁLIS TECHNIKA feladatgyűjtemény

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

INFORMATIKA ALAPJAI-II

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.

Szabályozó szelepek (PN 6) VL 2 2-utú szelep, karima VL 3 3-járatú szelep, karima

Átírás:

7.B 7.B 7.B Digitális alapáramkörök Logikai alapfogalmak Mutassa be a logikai függvéyek leírási módjait: a szövegeset, az igazság táblázatosat, a logikai vázlatosat és az algebrai alakkal törtéı leírást! Értelmezze az egy-, a két- és a többváltozós logikai függvéyeket! Ismertesse a logikai (Boole) algebra alaptörvéyeit és alaptételeit! Hasolítsa össze a miterm- és a maxterm táblák felépítéséek elvét! Alapfogalmak, logikai függvéyek és leírásmódjaik A függvéykapcsolatok jelölése A függvéykapcsolatokat logikai szimbólumokkal jelöljük: A az ÉS kapcsolat jele a + a VAGY kapcsolat jele A függvéykapcsolatok száma Mivel a bemeeti és a kimeeti változók is kétértékőek, ezért a függetle változók számától () függ a képezhetı függvéykapcsolatok száma: K=. A logikai függvéyek csoportosítása A logikai függvéyeket csoportosíthatjuk: a logikai változók idıbei függése szerit, a logikai változók száma szerit. A változók idıbei változása szerit: Idıfüggetle logikai függvéyek: Az idıfüggetle logikai függvéyek közös jellemzıje, hogy a függı (kimeeti) változó értéke csak a függetle (bemeeti) változó értékétıl függ. Az ilye típusú függvéyeket valósítják meg a kombiációs logikai hálózatok. Jelölésük általáos alakba: F = f(x,x,x 3,...X ). Idıfüggı logikai függvéyek: Az idıfüggı logikai függvéyek jellemzıje, hogy a függı változó aktuális értékét emcsak a függetle változók adott idıpotba felvett értéke, haem más idıpillaatba felvett értékei is meghatározzák. Ez azt jeleti, hogy az eseméyek sorredje is befolyásolja a kimeet állapotát. Az ilye típusú függvéyeket megvalósító hálózatokat evezzük szekveciális hálózatokak. A függetle változók száma szerit: Egyváltozós logikai függvéyeka kimeeti eseméyük egyetle bemeeti változótól függ, a gyakorlatba ritká fordulak elı. Kétváltozós logikai függvéyeka kimeeti eseméyük két függetle bemeeti változó értékétıl függ. Többváltozós logikai függvéyek A kimeeti eseméyük számú függetle bemeeti változó értékétıl függ, a gyakorlatba ezekkel találkozuk a leggyakrabba. A logikai függvéyek grafikus megadása Veitch-tábla A függı változók értékeit egy cellákból álló diagramba ábrázoljuk: a függetle változókat a diagram kerete meté jelöljük. Azokba a sorokba és oszlopokba, ahol jelölés (súlyozás) va, a függetle változó igaz értékő. A változó igeleges vagy emleges értékét - mivel a bekövetkezés valószíősége 50% - egyelı területrésszel ábrázoljuk. Síkbeli Veitch-táblá 4, térbeli 6 változó ábrázolható szemléletese. Az ábrá egy kétváltozós tábla látható, melybe szemléltetésül a cellákak megfelelı változók állapotait is jelöltük. A Veitch-tábla a logikai kapcsolatok meghatározására is alkalmas.

7.B 7.B Karaugh-tábla A függı változók értékeit egy cellákból álló diagramba ábrázoljuk: a függetle változók értékvariációit a diagram kerete meté jelöljük. Az ábrá egy kétváltozós tábla látható, melybe szemléltetésül a cellákak megfelelı változók állapotait is jelöltük. Állapotdiagram Az idıfüggı logikai függvéyek leírására alkalmas. A változók aktuális értékeit körökbe jelezzük, a köröket összekötı iráyított voalak a változás iráyát jelölik. Veitch-tábla Karaugh-tábla Állapotdiagram A logikai függvéyek megadása Szöveges megadási mód A függetle változók összes kombiációját, a logikai kapcsolatot, valamit a függı változó értékét szavakkal fogalmazzuk meg. Táblázatos leírásmód A függetle változók összes értékvariációit és a függvéykapcsolat hatására létrejövı függı változók értékeit egy sorba írjuk egy függıleges voallal elválasztva. Olya értéktáblázat, amely tartalmazza a függvéy értékét mide lehetséges esetbe. Igazságtáblázatak evezzük, mert a feltételek és az eseméyek közötti logikai igazságokat rögzíti. Logikai vázlat A függvéykapcsolatot az ıt megvalósító szabváyos áramköri szimbólumokkal ábrázoljuk. Algebrai alak A függetle változókat a függvéykapcsolatra jellemzı mőveleti szimbólumokkal (ÉS, VAGY, ) kapcsoljuk össze. Például: F 3 = A B+C+A C+B Grafikus megadási mód A grafikus megadási módok: a változók megadása törtéhet grafikusa is. Táblázatos leírásmód Logikai vázlat Egy-, két- és többváltozós logikai függvéyek Az egyváltozós logikai függvéyek Akkor beszélük egyváltozós logikai függvéyrıl, ha a kimeeti eseméy egyetle bemeeti változótól függ. A következı táblázatba látható, hogy az A bemeeti (függetle) változó értékétıl függıe az F kimeeti (függı) változó milye értékeket vehet fel. Ezt a táblázatot evezzük igazságtáblázatak, mert a függetle változók összes lehetséges kombiációja eseté tartalmazza a függvéy által meghatározott kimeeti eseméyt. A logikai függvéyek jelölésébe a felsı idex a bemeeti változók számát, az alsó idex a függvéy sorszámát adja meg. Ezt a decimális sorszámot a függvéy értékeibıl alkotott biáris számból kapjuk meg. Egy függetle változó eseté a külöbözı logikai függvéyek száma: K = = = = 4 Az egyváltozós függvéyek közül a egációt és az ismétlı függvéyt alkalmazzuk a leggyakrabba. A logikai függvéyek bemutatására haszáljuk fel a Ve-diagramot és az idıdiagramot is. A Ve-diagramok a logikai változókhoz egy-egy síkba leképzett pothalmazt redelek, amely egy tetszıleges síkidommal határolt területet jelet. Az ábrázolás szabálya, hogy a függvéy logikai értékeiél a megfelelı területet jelöljük (pl. voalkázással). Hátráyuk, hogy legfeljebb három változóig haszálhatóak. A logikai eseméyek idıdiagramo is bemutathatók. Eél a módszerél a kétértékő eseméyeket (a bemeeteket és a

7.B 7.B kimeeteket is) az idı függvéyébe ábrázoljuk, így az eseméyek idıbeli lefolyása is követhetı. Elıye, hogy az idıdiagramo tetszıleges számú változót ábrázolhatuk. Egyváltozós soha függvéy 0 Egyváltozós logikai függvéyek igazságtáblázata F 0 =. F - Soha függvéy: a függı változó értéke a függetle változó mide értékéél 0. Jelölése: 0 Egyváltozós egáció (tagadás) függvéy F - Negáció (tagadás) függvéy: a függı változó értéke midig a függetle változó elletétes (egált) értékét veszi fel. A egációt a tagadáso kívül evezik még jelfordításak és iverzióak is. A egációt az algebrai alakba a betőjel fölé húzott vízszites voallal jelöljük: F = A. Egyváltozós ismétlı függvéy F - Ismétlı függvéy: a függı változó értéke midig a függetle változó értékét veszi fel. Jelölése: F=A. Egyváltozós midig függvéy F - Midig függvéy: a függı változó értéke a függetle változó mide értékétıl függetleül midig. Jelölése: F =. Egyváltozós logikai függvéyek Ve-diagramja Egyváltozós logikai függvéyek idıdiagramja A kétváltozós logikai függvéyek Akkor beszélük kétváltozós logikai függvéyrıl, ha a kimeeti eseméy két bemeeti változótól függ. A következı táblázatba látható, hogy az A és a B bemeeti (függetle) változók értékétıl függıe az F kimeeti (függı) változó milye értékeket vehet fel. Két függetle változó eseté a külöbözı logikai függvéyek száma: 4 K = = = = 6. Az alábbi ábráko a leggyakrabba alkalmazott kétváltozós függvéyek Ve-diagramját és idıdiagramját láthatjuk. Figyeljük meg a függvéyek vizsgálatakor, hogya lehet ezeket elkészítei! Kétváltozós logikai függvéyek idıdiagramja Kétváltozós logikai függvéyek igazságtáblázata Kétváltozós logikai függvéyek Ve-diagramja A kétváltozós logikai függvéyek igazságtáblázatáak vizsgálata Feladat Készítsük el az összes kétváltozós függvéy Ve-diagramját és idıdiagramját! 3

7.B 7.B A kétváltozós logikai függvéyek igazságtáblázatáak vizsgálata közbe két érdekes dolgot is észrevehetük: A táblázat tartalmazza az egyváltozós függvéyeket is F 0, F3, F5, F0, F, F5 Ha a VAGY függvéy F 7 és a VAGY NEM (NOR) függvéy F 8 közé egy képzeletbeli szimmetriavoalat húzuk, akkor a voaltól azoos távolságra levı függvéyek egymás egáltjai. A többváltozós logikai függvéyek A gyakorlati feladatok megoldása sorá a legtöbbször többváltozós logikai függvéyekkel találkozhatuk. A képezhetı kapcsolási függvéyek száma a függetle változók számával expoeciális aráyba, tehát rohamosa övekszik. Például: ha a függetle változók száma 3, akkor a külöbözı logikai függvéyek száma: 3 8 K = = = = 56 ha a függetle változók száma 4, akkor a külöbözı logikai függvéyek száma: 4 6 K = = = = 65536 Azért sem célszerő a kettıél több bemeeti változót tartalmazó függvéyeket egyekét tárgyali, mert mide többváltozós logikai függvéy kétváltozós függvéyekbıl felépíthetı. Ativalecia függvéy F 6 Ativalecia (KIZÁRÓ VAGY) függvéy: a függvéy értéke akkor, ha vagy csak A, vagy csak a B értéke, vagyis amikor a bemeeti változók elletétes értékőek. További elevezései: kizáró VAGY, exclusive OR. Jelölése: F6 = A B + A B. Duál tétel, duál függvéy Duál tétel: Ha a logikai ÉS mőveletet VAGY mővelettel, valamit a 0-t -gyel (vagy az -et 0-val) helyettesítjük, az eredeti függvéy duálfüggvéyét kapjuk meg. Ekvivalecia függvéy F 9 Ekvivalecia függvéy: a függı változó értéke akkor, ha a függetle változók logikai értéke megegyezik. További elevezései: koicidecia, exclusive NOR. Jelölése: F9 = A B + A B. ÉS függvéy F ÉS függvéy: a függı változó értéke akkor és csakis akkor, ha midkét függetle változó értéke egyidejőleg. További elevezései: AND mővelet, kojukció, logikai szorzás. Jelölése: F = A B. ÉS NEM függvéy F 4 ÉS NEM (NAND) függvéy: a függı változó értéke akkor és csakis akkor 0, ha midkét függetle változó értéke egyidejőleg. A NAND illetve az ÉS kapcsolat egymás egáltjai. Jelölése: F4 = A B. Implikáció függvéyek F Implikáció függvéy: az implikáció mőveletéél a változók sorredje em cserélhetı fel, mert a függvéy értéke csak akkor 0, ha az elıtag 0, és az utótag. Jelölése: F = A + B. F 3 Iverz implikáció függvéy: az iverz implikáció mőveletéél a változók sorredje em cserélhetı fel, mert a függvéy értéke csak akkor 0, ha az elıtag, és az utótag 0. Jelölése: F = A + B. Ihibitáló függvéyek F Ihibitáló függvéy: az ihibíció (tiltás) mőveletéél a változók sorredje em cserélhetı fel, mert a függvéy értéke akkor és csakis akkor, ha az elıtag logikai értéke egyedül, ömagába. Jelölése: F = A B. 4

7.B 7.B F 4 Iverz ihibitáló függvéy: az ivert ihibíció (tiltás) mőveletéél a változók sorredje em cserélhetı fel, mert a függvéy értéke akkor és csakis akkor, ha az utótag logikai értéke egyedül, ömagába. Jelölése: F4 = A B. Ismétlés függvéy F 5 Ismétlı függvéy: a függı változó értéke midig az adott függetle változó értékét veszi fel. Jelölése: F 5 = B. Kétváltozós ismétlı függvéy F 3 Kétváltozós ismétlı függvéy: a függı változó értéke midig az adott függetle változó értékét veszi fel. Jelölése: F = A 3. Kétváltozós midig függvéy F 5 Kétváltozós midig függvéy: a függı változó értéke a függetle változók mide értékétıl függetleül midig. Jelölése: F 5 =. Kétváltozós egáció függvéyek F 0 Kétváltozós egáció függvéy: a függı változó értéke midig az adott függetle változó elletétes értékét veszi fel. Jelölése: F = B 0. F Kétváltozós egáció függvéy: a függı változó értéke midig az adott függetle változó elletétes értékét veszi fel. Jelölése: F = A. Kétváltozós soha függvéy F0 Kétváltozós soha függvéy: a függı változó értéke a függetle változók mide értékéél 0. Jelölése: F 0 = 0. VAGY függvéy F 7 VAGY függvéy: a függvéy értéke egyetle esetbe 0, ha valameyi bemeeti változó értéke egyidejőleg 0. Úgy is fogalmazhatuk, hogy a függı változó akkor értékő, ha bármelyik függetle változó egyekét vagy együttese értékő. További elevezései: OR mővelet, diszjukció, logikai összeadás. Jelölése: F 7 = A + B. VAGY NEM függvéy F 8 VAGY NEM (NOR) függvéy: a függı változó értéke akkor és csakis akkor, ha midkét függetle változó értéke egyidejőleg 0. A NOR illetve a VAGY kapcsolat egymás egáltjai. Jelölése: F 8 = A + B. A logikai algebra szabályai Az egyszerőbb alakra hozás Egy logikai elve mőködı vezérlı beredezés ára a beépített elemek számával aráyosa övekszik, ezért törekedük kell a megvalósítadó logikai függvéy legegyszerőbb alakjáak létrehozására. Kommutatív szabály (felcserélhetıség) Az azoos logikai kapcsolatba levı változók sorredje tetszıleges. A+B = B+A A B = B A A szabály alól természetese az ihibíció és az implikáció mőveletei kivételek. Asszociatív szabály (társíthatóság) Az azoos logikai mőveletek eredméye em függ a mőveletvégzés sorredjétıl. A+B+C = C+B+A = B+C+A A B C = B C A = A C B 5

7.B 7.B Disztributív szabály (szétválaszthatóság) A+ B C = (A+ B) (A+ C) A (B+ C) = A B+ A C A redudacia Ugyais egy adott gyakorlati problémát, ha közvetleül algebrai alakba megadott logikai függvéy formájába íruk le, szite elkerülhetetle a redudacia (túlhatározottság). A logikai algebra (Boole-algebra) olya azoosságokat illetve szabályokat fogalmazott meg az algebrai formába megadott logikai függvéyek eseté, amelyekkel ezek a függvéyek egyszerőbb alakra hozhatók. A logikai algebra alaptételei A meyiségek kétértékőek A = 0, ha A em. A =, ha A em 0. Negáció = 0 Kettıs tagadás = Meyiséggel végzett mőveletek szabályai VAGY kapcsolat 0+0 = 0 0+ = +0 = + = ÉS kapcsolat 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 = Egy változóval végzett mőveletek szabályai A = A A 0 = 0 A+0 = A A 0 = A A+ = A A = A A+A = A A A = 0 A + A = Két változóval végzett mőveletek szabályai A (B+ A) = A Az alaptételek bizoyítása Az egy változóval végzett mőveletek szabályaiak bizoyítása az egy és kétváltozós logikai függvéyek igazságtáblázata alapjá öállóa elvégezhetı. Nézzük meg, hogya kell bebizoyítai a szabályok és a többi alaptétel segítségével az összefüggést! A B+ A = A A disztributív szabály alapjá A B+ A = A B+ A A. Felhaszálva, hogy A A = A A (B+ A)=A B+ A A = A B+ A Most a disztributív szabályt megfordítva alkalmazzuk, emellett tudjuk, hogy B+ = és A = A A B+ A = A (B+) = A = A Vagyis teljesül az összefüggés A (B+ A)= A. De Morga-téte A + B = A B A B = A + B A De Morga-tétel bizoyítása Készítsük olya igazságtáblázatot, amelybe jelöljük a függetle változókat, és ezek összes lehetséges kombiációjáál határozzuk meg a De Morga-tételbe szereplı összes függvéy értékét! 6

7.B 7.B A De Morga-tétel bizoyítása A táblázatból látható, hogy A B = A + B és A B = A + B, így bebizoyítottuk, a De Morga-tételt. Alapvetı fogalmak és jelölésük A logikai függvéyek szabályos alakjáak ismeretéhez a következı alapvetı fogalmakat és jelölésüket kell megismeri: Term Miterm Maxterm A miterm jelölése: m i, ahol m a mitermet jeleti, a függetle változók száma és i a miterm sorszáma, vagyis idexszáma. A maxterm jelölése: M i, ahol M a maxtermet jeleti, a függetle változók száma és i a maxterm sorszáma, vagyis idexszáma. Diszjuktív szabályos alak Diszjuktív szabályos alak olya logikai függvéy, amely mitermek VAGY kapcsolatából áll. Diszjuktív szabályos alak megadási módjai Például: F 4 4 4 4 4 = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D F = m 4 5 + m4 + m8 + m Kojuktív szabályos alak Kojuktív szabályos alak olya logikai függvéy, amely maxtermek ÉS kapcsolatából áll. Kojuktív szabályos alak megadási módjai Például: F 4 4 4 4 = A + B + C + D A + B + C + D A + B + C + D F = M 4 5 M 6 M 3 ( ) ( ) ( ) Logikai függvéyek hátráya Az algebrai alakba megadott logikai függvéyek hátráya, egy függvéyt több egymással ekvivales módo is felírhatuk. Ezt a hátráyt azért kell kiküszöböli, hogy két egyforma feladatot midig felismerjük, e kellje többször is egyszerősítei és megoldai. Term: a függetle változók azo csoportja, amelyeket azoos logikai kapcsolatra jellemzı szimbólummal kapcsoluk. A Karaugh-táblák típusai Egyváltozós Karaugh-tábla: Egy függetle változóak (pl. A) két lehetséges állapota lehet ( ), tehát ebbe az esetbe a tábla két darab cellát tartalmaz. A cella kotúrjai mellett feltütetjük a függetle változó logikai értékét, a cella sarká pedig a változó betőjelét. Az ábrá a cellákba beírtuk az általuk képviselt termeket is. Kétváltozós Karaugh-tábla: Két függetle változóak (pl. A, B) égy lehetséges állapota lehet ( ), tehát ebbe az esetbe a tábla égy darab cellát tartalmaz. Az ábrá a cellákba beírtuk az általuk képviselt termeket is. Háromváltozós Karaugh-tábla: Három függetle változóak (pl. A, B, C) yolc lehetséges állapota lehet ( 3 ), tehát ebbe az esetbe a tábla yolc darab cellát tartalmaz. Négyváltozós Karaugh-tábla: Négy függetle változóak (pl. A, B, C, D) 6 lehetséges állapota lehet ( 4 ), tehát ebbe az esetbe a tábla 6 darab cellát tartalmaz. 7

7.B 7.B Egyváltozós tábla Egy függetle változóak (pl. A) két lehetséges állapota lehet ( ), tehát ebbe az esetbe a tábla két darab cellát tartalmaz. A cella kotúrjai mellett feltütetjük a függetle változó logikai értékét, a cella sarká pedig a változó betőjelét. Az ábrá a cellákba beírtuk az általuk képviselt termeket is. Kétváltozós tábla Két függetle változóak (pl. A, B) égy lehetséges állapota lehet ( ), tehát ebbe az esetbe a tábla égy darab cellát tartalmaz. Az ábrá a cellákba beírtuk az általuk képviselt termeket is. Egyváltozós Karaugh-tábla Kétváltozós Karaugh-tábla Háromváltozós Karaugh-tábla Négyváltozós Karaugh-tábla Háromváltozós tábla Három függetle változóak (pl. A, B, C) yolc lehetséges állapota lehet ( 3 ), tehát ebbe az esetbe a tábla yolc darab cellát tartalmaz. Négyváltozós tábla Négy függetle változóak (pl. A, B, C, D) 6 lehetséges állapota lehet ( 4 ), tehát ebbe az esetbe a tábla 6 darab cellát tartalmaz. Miterm táblák Bár a gyakorlatba em haszálják, de egyszerősége miatt elıször ismerkedjük meg az egyváltozós, ezért két darab cellát tartalmazó táblával. Az egyetle változó (jelöljük A-val) a két lehetséges állapot (0, ) valamelyikébe lehet. A cellákba található decimális szám a term sorszáma, a függıleges voal az A változó logikai (igaz) értékét jelzi, vagyis A =. A = 0 és Egyváltozós miterm-tábla Kétváltozós miterm-tábla Háromváltozós miterm-tábla Négyváltozós miterm-tábla Maxterm táblák A maxterm táblákat úgy tuduk felrajzoli, ha követjük a mitermbıl maxtermbe való átírás szabályait. Képezzük a változók egáltját, és a cellák miterm sorszámait kiegészítjük: átsorszámozzuk a cellákat az im = im összefüggés alapjá. Az ábrá az egy-, két-, három- és égyváltozós maxterm-tábla látható. Egyváltozós maxterm-tábla Kétváltozós maxterm-tábla Háromváltozós maxterm-tábla Négyváltozós maxterm-tábla Veitch-táblák A logikai függvéyek kétféle szabályos alakjáak megfelelıe Veitch kétféle táblát vezetett be. A miterm táblát a diszjuktív szabályos függvéyek számára és a maxterm táblát a kojuktív szabályos függvéyek számára. A függetle változók logikai értékeit a tábla kotúrja meté húzott voallal tütetjük fel, és a cellákba beírjuk az ábrázolt term sorszámát. 8