Konfdenca-ntervallumok 1./ Egy 100 elemű mntából 9%-os bztonság nten kéített konfdenca ntervallum: 177,;179,18. Határozza meg a mnta átlagát és órását, feltételezve, hogy az egé sokaság normáls elolású valóínűség változó! (Megoldás: =,01; =178,19, =)./ Tengelyek hosa normáls elolású valóínűség változó σ=0,34 cm órással. Egy 40 darabos mntában a tengely hosának átlaga 0,4 cm. Határozza meg 99%-os nten a konfdenca ntervallumot! (Megoldás: =,76;. :0,10< <0,38) 3./ Lécek hosa normáls elolású valóínűség változó σ=0, m órással. 0 lécet megvzsgálva a hosuk átlaga 6 m. Az átlag mlyen környezetébe esk a léc hosa 0,9 valóínűséggel? (Megoldás: =1,96;. :,91< <6,088) 4./ Határozza meg az alább adatok alapján a 9%-os konfdenca ntervallumot! Súly 61-63 64-66 67-69 70-7 73-7 76-78 79-81 Gyakorság 3 1 1 9 4 (Megoldás: =0; =,10; =70,; =4,301;. :63,3< <71,74)./ Egy kollégum dákjanak tömegadata a következők: Tömeg(kg) Dákok áma 60-6 63-6 18 66-68 4 69-71 7 7-74 8 Határozza meg a dákok tömegének 9%-os konfdenca-ntervallumát! (Megoldás: =100; =1,98; =67,4; =,9349;. :66,87< <68,03) 6./ Kekcsomagok tömege normáls elolású valóínűség változó σ=33 g órással. 10 elemű véletlenerűen válatott mnta esetén a tömegek (g-ban mérve): 397,3; 399,6; 401,0; 39,9; 396,8; 400,0; 397,6; 39,1; 400,8; 400,6. Határozza meg 9%-os gnfkanten a konfdenca-ntervallumot! (Megoldás: =10; =1,96; =387,87;. :367,4< <408,3) 7./ Gördülőcsapágy élettartamát vzsgálva - amely az előzetes nformácók alapján jól közelíthető normáls elolással - a következő mérés eredményeket kaptuk:
élettartam 1- -3 3-4 4- -6 6-7 7-8 8-9 9-10 ( 10 fordulat ) gyakorság 1 7 10 7 3 1 9% valóínűséggel határozza meg a várható értékre vonatkozó konfdencantervallumot! (Megoldás: =41; =,01; =,73; =1,808;. :,00< <6,144) 8./ Egy cég dolgozó munkába járásra fordított dejét percekben tartalmazza az alább táblázat: utazás dő (perc) dolgozók áma 0-0 0-40 40-60 60-80 80-100 100-10 10-140 6 9 1 30 19 10 8 Határozza meg az utazás dőre vonatkozó 9%-os konfdenca-ntervallumot! (Megoldás: =97; =1,99; =7,474; =31,6;. :66,16< <78,79)
Egymntás t-próba 1./ Lécek hosa 4 m várható értékű normáls elolású valóínűség változó. 100 db lécet kválatva a hosuk átlaga 3,9 m, korrgált órása 0,1 m. Feltehető-e 9%-os gnfkanten, hogy a fűrégép előírásosan működk? (Megoldás: =,01; =3,33 > a gép nem működk megfelelően)./ Ékíj élettartama egy 0 elemű mnta alapján normáls elolású valóínűség változó 114 óra mntaátlaggal és 143 korrgált órással. Elfogadhatjuk-e a gyártónak azt az állítását, hogy az ékíjak élettartama 100 óra. Döntsünk 9%-os gnfkanten! (Megoldás: =,093; =1,7 < elfogadható) 3./ Léc hosa normáls elolású valóínűség változó 6 m várható értékkel. 60 lécet kválatva a hosuk átlaga,9 m, korrgált órásuk 0,1 m. Megfelelnek-e a lécek hosa az előírásos 6 m-nek? Döntsünk 9%-os gnfkanten! (Megoldás: =,000; =,8 > nem felelnek meg) 4./ Tengely átmérőjéről feltesük normáls elolású valóínűség változó. A mérés adatok a következők mm-ben: 14,9; 1,0; 1,0; 1,1; 1,1; 1,1; 1,; 1,; 1,; 1,; 1,3; 1,3; 1,4; 1,4; 1, Megfelelnek-e a tengelyek, ha az előírás 1,3 mm? Döntsünk 9%-os gnfkanten! (Megoldás: =,14; =1,; =0,177 ; =,8 > nem felelnek meg)
Egymntás u-próba 1./ Egy gép által gyártott rudak hosa normáls elolású 40 cm várható értékkel és 1cm órással. A gép javítása után egy 100 elemű mnta átlaga 43 cm. Feltehető-e, hogy a gép ugyanolyan jól működk, mnt régen, ha a órás nem változott? (Megoldás: =1,96; =, > nem működk ugyanúgy)./ Lécek hosa normáls elolású valóínűség változó. 4 m várható értékkel és 0,3m órással. 0 db lécet kválatva a hosuk átlaga 3,9 m. Feltehető-e 9%-os gnfkanten, hogy a fűrégép előírásosan működk? (Megoldás: =1,96; =1,178 < előíráserűen működk) 3./ Jól felkéült tanulók dolgozata pontámának átlaga 70, órása 6. Egy 36 fős otály dolgozatanak átlagpontáma 68,. Normáls elolást feltételezve döntse el 9%- os bztonság nten, hogy a dákok rendesen kéültek-e fel a dolgozatra? (Megoldás: =1,96; =1, < rendesen felkéültek)
Kétmntás F- és t-próba 1./ Az első 100 fős gyerekcsoport átlagsúlya 7,3 kg, a másodk 144 fős csoporté 6,81kg. Mndkét normáls elolás órása 3.48. Döntse el, hogy a két csoport átlagának eltérése véletlen-e? (Megoldás: =100; =7,3; =3,48 =144; =6,81; =3,48 =1,97; =1,89 < é é á.)./ Az első fős munkacsoport 4,11 perces átlaggal és1.8-os órással oldotta meg a feladatot. A másodk 4 fős munkacsoport 3,3 perces átlaggal és1,17-es órással oldotta meg a feladatot. 9%-os gnfkanten döntsük el, hogy a két csoport órásnégyzete teknthető-e egyformának? (Megoldás: =; =4,11; =1,8 =4; =3,6; =1,3 =1,96; =1,878 < 9% ó í ű é = ) =,01; =1,098 < é é á.) 3./ Két mnta adata az alábbak: A mnta 1,110 1,4 0,949 0,3 0,331 0,74 B mnta 0,39 0,4 0,61 0,479 0,38 0,317 0,184 0,7 0,1 0,99 Döntse el 9%-os gnfkanten, hogy a két csoport órásnégyzete teknthető-e egyformának? (Megoldás: =6; =0,81; =0,34 =10; =0,3864; =0,1474 =3,; =,48 > 9% ó í ű é )
χ ó 1./ Az alább táblázat azt mutatja, melyk napokon hány dolgozó hányzott a gyárból: Nap HÉTFŐ KEDD SZERDA CSÜTÖRTÖK PÉNTEK Hányzók áma 11 87 87 91 114 A χ próba alkalmazásával döntse el 9%-os bztonság nten, hogy egyenletesen olk-e el a hányzás a hét napja között? (Megoldás: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 100 87 100 87 100 91 100 114 100 χ = = 10, 6 100 χ e ( 4, 9% ) = 9, 49 Mvel χ > χe, ezért 9%-os bztonság nten a hányzás nem egyenletesen olk el a hét napja között../ Egy gyártás folyamat során hosúságú mntákat venek, és azokban a selejtek ámát fgyelk. Egy héten át 00 mntát vettek, és mnden mntában feljegyezték a selejtek ámát. Az eredményt a következő táblázat tartalmazza: selejt áma a 0 1 3 4 mntában gyakorság 170 180 10 0 8 a./ Számítsa k a mntánként selejtgyakorságot olyan bnomáls elolást feltételezve, melynek várható értéke és elemáma a megfgyelésekkel egyezk. b./ A χ elolás segítségével állapítsa meg, hogy a megfgyelt elolás teknthető-e bnomáls elolásnak? (Megoldás: x f 0 0 170 0, 088 0, 791 = 0, 31 0 p n p 1 4 1 1 180 0, 088 0, 791 = 0, 4091 1 3 10 0, 088 0, 791 = 0, 19 3 3 0 0, 088 0, 791 = 0, 07 3 1 4 4 8 0, 088 0, 791 = 0, 007 4 0 0, 088 0, 791 = 0, 0004 0 108 8 4 0
= f n = 00 x = 1, 044. A feltételezett bnomáls elolásban a válatott mnta elemáma n =. Tudjuk 1, 044 továbbá, hogy m = x = n p amből p = = 0, 088 Mvel nem teljesül az n p 10 feltétel, ezért csoportokat öse kell vonn. Ösevonás után a táblázat f n p 170 1 180 0 10 108 30 3 ( 170 1) ( 180 0) ( 10 108) ( 30 3) χ = =, 99 1 0 108 3 χ e ( 3, 9% ) = 7, 81 Mvel χ <, ezért 9%-os bztonság nten bnomáls elolású. χ e 3./ Teknthető-e abályosnak az a dobókocka, amelyet n = 100-or feldobva, az egyes ámok gyakorságára az alább eredményeket kaptuk? Dobott ám 1-es -es 3-as 4-es -ös 6-os gyakorság 19 10 190 04 0 196 Döntsön 9%-os bztonság nten! χ (Megoldás: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 19 00 10 00 190 00 04 00 0 00 196 00 = = 00 χ = 1 41, ( ) χ e, 9% = 11, 1 Mvel χ < χ, ezért 9%-os bztonság nten a dobókocka abályos. e 4./ Egy kockát egymás után -ör feldobtak, s a dobott 6-osok ámát lejegyezték Ezt a kísérletet 00-or megsmételve a következő táblázatot kapták: ( x a 6-osok ámát jelent az dobásból, f az előfordulás gyakorságot a 00 kísérletből). x 0 1 3 4 f 66 8 40 10 0 Állíthatjuk-e a kísérlet alapján, hogy a kocka cnkelt? Megoldás: ( χ ( 66 80, 38) ( 8 96, 46) ( 40 48, ) ( 1 14, 79) = 80, 38 96, 46 χ = 6, 67 ; χ ( ) = 48, 14, 79 e 3; 9 % 7, 81 Mvel χ <, ezért 9%-os bztonság nten a kocka abályos.) χ e
Lneárs korrelácó és regresó 1./ Számítsa k az alább táblázatban megadott x és y változók között lneárs korrelácós együtthatót! Amennyben feltételezhető lneárs korrelácó, írjuk fel a regresós egyenes egyenletét! x 1 3 4 6 8 9 11 14 y 1 4 4 7 8 9 (Megoldás: =8; =7; =; =4; =6; =364 =0,977; 1 á á á ó ó : =0,64 0,.)./ Állapítsa meg a következő ösetartozó mérés adatok közt korrelácó erősségét, és amennyben feltételezhető a két változó között lneárs kapcsolt, adja meg a regresós egyenes egyenletét! x 1,1 1,9,4,9 3,6 3,9 4,3,1,6 6, y 6,8 9, 9,7 10,6 11, 1,8 13,1 14,8 1,9 16,6 Határozza meg x értékét, ha y értéke! (Megoldás: =6; =100,133; =99,833; =6018,; =160; =36067,4 =0,98; 1 á á á ó ó : =7,44 14,16; h =, =,87.) 3./ Egy üzemben csöveket gyártanak és vágnak 100 cm-es darabokra. Az egy nap alatt elkéült áruból 6 elemű mntát vettünk, és a mntadarabok hosát és súlyát vzsgáltuk. A kapott adatokat a következő táblázat tartalmazza: Hosúság ( cm ) x 101,3 103,7 98,6 99,9 97, 100,0 Súly ( cn ) y 609 66 86 94 79 60 Határozza meg a korrelácós együtthatót! Ez alapján döntse el, hogy feltételezhető-e lneárs korrelácó a két változó között! Ha gen, írja fel a regresós egyenes egyenletét! (Megoldás: =10; =3,7; =1,1; =161,46; =1,44; =494,07 =0,99; 1 á á á ó ó : =1,888,11;