Nmer módere 5. Köönége derencálegenlete nmer megoldáa Kedet é peremérté eladato A Eler-móder A Eler-móder avítáa Rnge-Ktta-módere Lneár tölépée módere Peremérté eladato máodrendű derencálegenletere
Kedet érté eladato A edet eltétel aol adott étváltoó üggvén mel elégít a Lpct-eltételt. Példa oldat ígítáa. Legen eg V térogatú tartál valamlen víen oldott anaggal pl. óval. Kedün el olamatoan egenleteen tta vet tölten a tartála elül é ag a ó vet all ganlen ütemen távon. A tartálan nlván egre íga le a óoldat. A íglá olamatát aor a alá derencálegenlet íra le Q c t c t V aol c t a t dőpllanatan érvéne óoncentrácó a tartálan é Q a oáolá oama dőegég alatt a tartála eáramló ví mennége térogata. Kedet eltétel c c aol c a edet a t dőpllanatan érvéne óoncentrácó.
Peremérté eladato peremeltétele aol adott áromváltoó üggvén mel elégít a Lpct-eltételt. Peremeltételént a derváltértée előírató a perempontoan vag a érté é a dervált adott lneár omnácóa. Példa eletromo áram veetően. Tentün eg véon oú de nem eltétlen mndenütt ganolan vatagágú é/vag anageloláú eletromo veetédaraot. Kapcoln áramorrát a veeté ét végpontára. A eletromo eültég eloláát a veeté oa mentén eor a alá derencálegenlet íra le U aol U a eletromo potencál a veeté pontáan a relatív veetőépeég gantt. A peremeltétele pl U U U U aol U U a potencál a veeté ét végpontáan.
4 Kedet érté eladato megoldá elve Hano egédeöö Talor-ormla egváltoó üggvénere!...!!! Talor-ormla étváltoó üggvénere!...!...!!!
5 Sámítá rác... N aol a lépéö. Cél a megoldá értéene öelítée a rácpontoan.. A derválta öelítée vége derencáal Előrendű dervált Előrelépő éma ~ Háa O mert a Talor-ormláól O Valépő éma ~ Háa O mert a Talor-ormláól O Centrál éma ~ Háa O mert a Talor-ormláól O é aonlóan O
6 Máodrendű dervált Centrál éma ~ Háa O mert a Talor-ormláól 6 4 O 6 4 O Öeadva a ét egenlőéget a állítá adód.. A derencálegenlet ntegráláával d é a o oldal ntegrált eg öelítő ntegrálormlával eletteítü. Példa trapéormla alalmaáa
Nmer módere 5. Köönége derencálegenlete nmer megoldáa Kedet é peremérté eladato A Eler-móder A Eler-móder avítáa Rnge-Ktta-módere Lneár tölépée módere Peremérté eladato máodrendű derencálegenletere 7
8 A Eler-móder Modelleladat A edet eltétel Sámítá rác evdtán lépéöű N.... A megoldá derváltát a rácpontoan előrendű vége derencáal öelítü. Eplct éma előrelépő éma análata... N Implct éma valépő éma análata... N
Kontenca taltá onvergenca A loál atago g... N Eg móder p-edrenden onten a g O p -től üggetlenül. A gloál atago e... N Eg móder p-edrenden onvergen a e O -től üggetlenül. p At mond og eg móder tal a a gloál a a loál ával ecülető elülről e... C e g N Ha eg móder p-edrenden onten é tal aor p-edrenden onvergen. A Eler-móder előrenden onvergen. 9
Nmer módere 5. Köönége derencálegenlete nmer megoldáa Kedet é peremérté eladato A Eler-móder A Eler-móder avítáa Rnge-Ktta-módere Lneár tölépée módere Peremérté eladato máodrendű derencálegenletere
A Eler-móder avítáa A eredet derencálegenletet átír a öveteő alaa d Trapéormla Hanálva a F a F a d F a ntegrálöelítő ormlát Máépp elírva * * A móder máodrenden onten.
Érntőormla Hanálva a a F a d F a ntegrálöelítő ormlát / Máépp elírva / / / A móder máodrenden onten.
A amptot taltá örölődée Tentü a A modelleladatot A melne aonoan megoldáa amptotan tal tetőlege A megoldára teleül og lm mvel e Legen mot rögített é vgál og a öelítő megoldára mor teleül. Eplct Eler-móder A A amptot taltá nem mnden mellett örölőd eltétele taltá mert A A A... A Íg aor teleül mnden mellett a A aa A. A amptot taltá teát aor örölőd a. A
Implct Eler-móder A A amptot taltá mnden potív mellett örölőd eltétel nélül taltá mert A matt A A... A Íg mnden potív mellett teleül. 4
A potvtá megőrée Tentü a A modelleladatot A melne mnden potív edet eltétele tartoó megoldáa A mndenütt potív mert e. Legen mot rögített é vgál og a öelítő megoldára mor teleül a. Eplct Eler-móder A A potvtá nem őrőd meg mnden mellett mert A A A... A Íg aor teleül mnden mellett a A. A potvtá teát aor őrőd meg a A. 5
Implct Eler-móder A A potvtá mnden potív mellett megőrőd mert A matt A A... A Íg mnden potív mellett teleül. 6
Nmer módere 5. Köönége derencálegenlete nmer megoldáa Kedet é peremérté eladato A Eler-móder A Eler-móder avítáa Rnge-Ktta-módere Lneár tölépée módere Peremérté eladato máodrendű derencálegenletere 7
8 Rnge-Ktta-módere......... c c c a a a Eg-eg onrét módert ellemő paramétere c c c a a a......... ; ; ;... 4 4 4 A paramétere úg válatandó meg og a épleta taga a c ámo p O nagágrendűe legene aol p adott ám a móder rende.
9 Specál Rnge-Ktta-módere Előrendű Rnge-Ktta-móder megege a Eler-móderrel. Máodrendű Rnge-Ktta-módere a érntő- ll. a trapéormlával avított Eler-módere. Eg armadrendű Rnge-Ktta-móder 4 6 Eg negedrendű Rnge-Ktta-móder 6 4 4
Rnge-Ktta-módere rende Adott paraméter mellett a elérető legmagaa rend 89 567 4 p
Nmer módere 5. Köönége derencálegenlete nmer megoldáa Kedet é peremérté eladato A Eler-móder A Eler-móder avítáa Rnge-Ktta-módere Lneár tölépée módere Peremérté eladato máodrendű derencálegenletere
Lneár tölépée módere A lneár -lépée módere általáno alaa... N a edet eltételől adott;... megatároáa teleen ülönálló móderrel ell og történé pl. eg Rnge-Ktta-móder egítégével. E a ndló elárá eladata. Eg-eg onrét módert ellemő paramétere...... aol meleel denál a móderre ellemő polnomoat
Kontenca A paramétere úg válatandó meg og a épleta taga aa a g ámo p O nagágrendűe legene aol p adott ám a móder rende. A móder rende legalá p a a öveteő eltétele valamele teleül a... p C C C C aol C C!! C!! p p p p p C!! aontano a / raconál törtüggvén a = el örül a omple váltoó logartmüggvént p +-edrenden öelít aa log p O.
Staltá é onvergenca A móder tal a a polnom elégít a görtérmot aa a mnden göéne aolút értée legele é mnden aolút értéű göe ca egere gö. Eor amennen a móder rende p a móder p-edrenden onvergen. Ha a polnom elégít a görtérmot aor a elérető legmagaa rend p a páro ll. p a páratlan. Dalqt tétele 4
5 Adam-típú lneár -lépée módere Eplct -adrendű módere Adam-Baort-módere 5 6 4 9 7 59 55 4
6 Adam-típú lneár -lépée módere Implct -edrendű módere Adam-Molton-módere 8 5 5 9 9 4
Nmer módere 5. Köönége derencálegenlete nmer megoldáa Kedet é peremérté eladato A Eler-móder A Eler-móder avítáa Rnge-Ktta-módere Lneár tölépée módere Peremérté eladato máodrendű derencálegenletere 7
8 Peremérté eladato máodrendű derencálegenletere Modelleladat Legen mndenütt potív q mndenütt nemnegatív adott üggvén a q Sámítá rác... N aol a lépéö N /. A máodrendű tag öelítée centrál émával történ ~ N adotta; a tö eg lneár egenletrender megoldáával apató... N q A egenletrender mátra -átló őt a mndeg q potív aor dagonálan domnán íg a megoldá gadaágoan elvégeető ON műveletgénnel.