d ELTE II. Fzkus, 005/006 I. éév KISÉRLETI FIZIKA Hıtan. (XII. Botzman statsztka, trmodnamka vaószínőség A ázstér p y dp y. dp p N db atom van, s az atomokat a hyükk (r, r + dr és az mpuzusukka (p, p + dp mzzük 6 N dmnzós ázstérbn: gy ca (.,..N - gy mkroáapot. Ehytt "csak " 6 dmnzós térbn íruk a rndszrt (r, r + dr (p, p + dp A makroáapotot a 6 dmnzós ázstér cában ıorduó részcskszám oszássa {n,... n,...n.} mzzük:.... n n... n Ezn (makroáapothoz tartozó mkroáapotok száma: N! W (smétéss kombnácó, aho n!...n!..n! n N
A W- trmodnamka vaószínőség (nm gyr normát! Mndn kongurácó (mkroáapot mgvaósuásának séy gynı! Mv két üggtn rndszr ntrópáa addtív és két üggtn rndszr mkroáapotanak száma a részrndszr mkroáapotanak a szorzata (mutpkatív, amnt a vaószínőségknk nn k: S + S S( W + S( W S( W W S k B nw a Egynsúyban a gnagyobb trmodnamka vaószínőségő áapot vaósu mg. b A II. ıtét (az ntrópa növkdés nm szgorúan gaz, hanm csak nagyon vaószínő. Irrvrzbtás vaószínőtnség rnd rndztnség (A mkrovág rvrzbs.
Gáz gynsúy: gvaószínőbb oszás W 0 C o -os víz és 40 C o -os víz kvrdéskor: S 6 J/K (k k Botzmann.8 0 - J/K S k n (W vég /W kzd. W kzd. W vég 4 0 M akroáapot Strng: N! ( N/ N S / k N(n N - - S / k N n N - W N! ( S / k n n (N! - n!...n!..n! p n /N öéss, aho S - kn p n p n n (N! N (nn- n n n n (n n n ( p N!!...n!..n! n!
Egynsúyban (S mamás: S ( p a 0 p Méktét: p Lagrang mutpkátor: ds k N { ( + n p dp + α d p } + n p + α 0 p á. /gynts, homogén oszás/ S ( p b 0 p ds k N { ( + n Méktétk: p dp + α d p + β d p } β + n p + α + β 0 p / Z Z S - k N { p n p } - k N { p ( β - nz } S k N { n Z + kn β ē } kn n Z + k β E ( S / E V,N /T k β / T β / (k T p /Z ; Z p N p -β E (Z áapotösszg 4
S kn n Z + E/T F E - TS - N n Z ē E/N Foytonos stbn (kasszkus zka az áapotösszg: Z ( p,r ( / Z / τ d p d r (τ- gy /6 Dm/ ázsca térogata Idás gázra: (p, r o + (p + p y + p z / (m + p + p o Z y z m /τ d r dpdpydpz p o Z /τ V p ( m dp o ( F / V T - p - N / V /τ V ( mπ 5
Ekvpartcó tét (p, r pot. + (p + p y + p z /(m A baromtrkus magasság ormua és Maw -Botzmann sbsségoszás: p pot. dr pot. dr p + p y m p + p + p z y m dp + p z dp y dp dp z dp y dp z < E> /N ē < > / Z p α ; < > α d... d α α d...d 6
7 d.. d α α..d d α α d / ( / d α α α < > / * α ; < > * * d d / ( / ( 6 6 [ ] * * * * d d d / ( 6 6 6 Nm mndg: Z r d p d / ( p,r ( τ, mrt az nrga nm mndg oytonos!
P.: Lgyn az. köcsönhatás dszkrét nrgáú, a több (- oytonos : 0 + * és ' + * aho * α Ekkor: < > < * > + * * 0 * 0 * 0 0 0 + + 0 +, ha - 0 >>, akkor < > < * > + 0 (- + hımérsékt üggtn -vaód ahı -III. ıtét -szabadság okok bagyása 8
Enrga ngadozás: Ingadozás nségk (Szórások < > ( - p p p p uv' u' v v ( ' u u ( < > < > - < > ( ( ( ' / β ( / T u v β ; β Idás gázra : < > / < > T T c C ahı /N < > ( / 9
A Átaában az nrga ngadozás: ratív szórás: ' a gy atomra ' : az átag ( nm ó mzı. nagy a ratív szórás (80 % b N atomos gázra ' N : 0 kcs a ratív szórás N az átag ( ó mzı (hımérsékt c Fázsátaakuáskor : c, az nrga uktuá (kété nrgaáapot van, rusztrácó B Hımérsékt ngadozás: T T N C Sőrőség (n N/V ngadozás: n n n n ; rás gázra 0 9. 4 n n (T kr -n, krtkus opaszcnca 0
Brown mozgás A hy ngadozása: "Eppur s muov", avagy a részg tngrész probámáa. L Boyongás probéma:(kétdmnzóban m r F(t - 6πηR r R N R N- + L R N R N- + R N L + L <R N> N L α t A. Enstn (α? (Stoks vszkoztás tag m r r F r - 6πηR r r / r / ( r ( r r r r + r m [ (½r - ( r ] F r - 6πηR (½ r / < > / m [ < ½r > - < r > ] <F r > - 6πηR < ½r > 0 és < r > ξ kvpartcó t. korráatan öés ξ - 6/m + 6πηR ξ 0
< r > ξ /(πηr t + C 6πηR t m α /(πηr / 0, ha t / Mőszr mutatók rzgés: (< ½Θω > / - hőtés, a vákuum nm sgít. A dnamkus vátozatanság A tngrész a kocsmátó ( távoodott, a ség attó r távoságban k krss, d a távoság várható érték < r > 0! Nwton tı Mrdk oyó Kanyargós oyó r r a á.; s t r v á.; s t r v á.; s t / Kasszkus mchanka Súródó áramás Brown mozgás (h 0 nncs súródás rrvrzbs trodnamka v gh (r üggtn; v h/r (F s v v a potncáküönbségtı ügg; v a hosszgységr utó potncá küönbségtı ügg (a gradnsétı ügg.
A Botmann- áandó mghatározása (Huhn Andrásné Egydmnzós boyongás A mokua csak gy gyns mntén mozoghat, mndn gys toódás hosszúsága gységny, és ½ vaószínőségg mozduhat akár poztív, akár ngatív rányba. Az orgóbó knduó mokua N épés után a: N, -(N-,.., 0, +,., N-, N pontok vaamykébn sz. (Bármyk mozduás-sorozat vaószínőség gyaránt (/ N. Ezt k mgszorozn a épéssorozatok számáva. Annak a vaószínőség, hogy a mokua N épés után az m koordnátáú pontban sz: N! w( m, N ( N m! ( N m! + Nagy N stén, és a Strng ormua hasznáásáva: / m w( m, N p πn N Lgyn L gy épés hossza, és gyn m L. Ekkor annak a vaószínőség, hogy N épés után a pont az (, + ntrvaumban sz (tév, hogy >>L : w(, N w( m, N L és így N
w(, N π N L / p N Tgyük, hogy az gységny dı aatt bkövtkzı épésk száma ν, akkor annak a vaószínőség, hogy a mokua t dı múva az (, + ntrvaumban sz: / w(,t p 4πDt 4Dt L. és a σ NL, aho D ν L a dúzós áandó, öés bvztésév a w( az smrt p normáoszás. πσ σ A szórás és a dúzós áandó kapcsoata: D σ Brown részcsk t dı aatt mozduás-négyzténk várható érték: t w(,t d / 4Dt 4π Dt d Dt. 4
w( σ σ d Nyván: w(,t d 0. A boyongás kapcsoata a mokuák dúzóáva: t w(,t a dúzó drncágynténk mgodása (s. w D w 5
0.8 w( 0.6 t/5 0.4 t/ 0. t 0.0-6 -4-0 4 6 A dúzós gyüttható kszámítása: Ksért rdményk: n(,t k ks n 0 4πDt n t D / 4Dt k m.8 0 J /.. (.8 + 0.5 0 J / K (πηr t T n K (Fck II. törvény 6