Foglmk VIII. Szélsőéték számítás Az elem úton meghtáozhtó függvények jellemző: () ételmezés ttomány és étékkészlet megdás (b) zéushelyek (hol y ) és y tengelypontok (hol ) meghtáozás (c) folytonosság vzsgált (szkdás helyek) (d) ptás vzsgált (páos vs. pátln) (e) egyéb elem jellemzők (pl. peodctás) Egyváltozós függvények szélsőéték helyet (stconáus pontjt) meg lehet keesn z első devált vzsgáltávl (ez szélsőéték létezésének szükséges feltétele), dy dy függvénynek szélsőétéke vn, mennyben (), vgy (b) nem létezk. Annk d d megállpítás, hogy függvény szélsőétéke mnmum, mmum, vgy nfleós ponttl vn dolgunk, tovább meggondolásokt gényel. Az első devált teszt zt mondj, hogy z dott helyen függvénynek lokáls mmum vn, mennyben ponttól bl dy / d >, míg ponttól jobb dy / d <, míg szélsőéték lokáls mnmum, mennyben ponttól bl dy / d <, míg ponttól jobb dy / d >. A szélsőéték jellegét másodk devált teszt segítségével s meghtáozhtjuk: () y és y < lokáls mmum, (b) y és y > lokáls mnmum, és (c) y és y z nfleós pont létezésének szükséges, de nem elegendő feltétele, elegendő feltétel, h y vgy y előjelet vált pont könyezetében. A legtöbb eljáás lokál szélsőétékek keesésée d lehetőséget, globáls mnmum vgy mmum megkeesése specáls feldt lehet. Mntfeldtok Jellemezzük z 8 f ( ) függvényt. ( 4)( )( + ) R, +, + 4 ; 4 megszüntethető Megoldás: Ételmezés ttomány: { } szkdás, hszen át lehet tén g ( ) függvény vzsgáltá, mely egy pont 9 ( 4) kvételével megegyezk z eedet f függvénnyel, így és + nem megszüntethető szkdások, másutt függvény folytonos; zéushely: ; g() függvény páos, hszen g ( ) g( ). Gykoló feldtok Keesse meg z f (, + y + 4y + 1 függvény szélsőéték helyet (stconáus pontjt) és jellemezze zokt. 8
VIII.1 Szélsőéték számítás mellékfeltétellel Foglmk Gykn előfoduló feldt fzkábn és fzk kémábn, hogy dott függvény szélsőétékét úgy kell meghtáoznunk, hogy egyben vlmlyen feltételt (megszoítást) s k kell elégítenünk. Ekko feltételes szélsőéték keesésől beszélünk. Feltételes szélsőéték-keesés esetén eltejedt Lgnge-multplkáto hsznált. Ekko függvényt kegészítjük feltétel nullá edukált lkjávl ( h(, λ ) f ( ) + λφ( ) ), hol λ z ún. Lgnge-multplkáto, és ennek z új függvénynek keessük változó szent szélsőétéket. Temészetesen szélsőéték-keesés feldtát többváltozós függvények esetén s vége kell tudnunk hjtn, ekko feltételek z első pcáls deváltk vontkoznk. Legyen dott z f (, kétváltozós függvény és z legyen folytonosn teljesen dffeencálhtó (elsőendű pcálsok léteznek és folytonosk). A szélsőéték létezésének szükséges feltétele z elsőendű pcáls deváltk eltűnése, z így számztthtó egyenletendszeből kell keesett (, y ) szélsőétéket kszámítn. A lehetséges szélsőéték helyeket stconáus pontoknk nevezzük. Mntfeldtok A henge lkú, 1 dm téfogtú testek közül melyk legksebb felszínű? Megoldás: A henge felszíne: F(, m) T + P π + π m, hol z lp sug és m henge mgsság. Tegyük egyváltozóssá ezt függvényt feltétel segítségével: V T m π m és V 1 lpján m 1/ π. Így tehát mnmlzálndó függvény F ~ ( ) ~ π + /. A szélsőéték keesést szokásos módon végezve F 4π ~ 4 ~ és F 4π +, mből dódk, hogy F 4 π 1, tehát és így π,54 dm. A másodk devált teszt lpján kpott lokáls szélsőéték mnmum, mgsság 1,84 cm, zz Fmn 5,54 dm. Mk zon legngyobb pleleppedon dmenzó és téfogt, mely egy sugú félgömbbe belefé? Megoldás: A tégl téfogt: V (, y, z) ()( z 4yz, félgömb egyenlete + y + z z y. A téfogt ott legngyobb, hol z U y z y ( y ) függvénynek mmum vn. A szokásos módon végezve szélsőéték-keesést U y 4 y 4 y és y U 4 y 4 y y, zz mnthogy tváls y nem megfelelő 8
megoldás nekünk, így z egyenletendsze megoldás y és 4 lpján tégltest mmáls téfogt V m. z. Ennek 84
Gykoló feldtok Melyek z f (, + y + 4y + 1 + y 1 mellékfeltétel mellett keessük mnmumot? függvény szélsőétéke, mennyben z Htáozz meg z lább függvény szélsőétékhelyet: (, ( ) + ( y + ) f. Htáozz meg z lább függvény szélsőétékhelyet: f (, y y + y. Htáozz meg z f (, + y y + 4 y + 5 függvény szélsőétékhelyet, és állpíts meg zok mnőségét (mnmum vgy mmum). Htáozz meg z f (, + y + y függvény szélsőétékhelyet, és állpíts meg zok mnőségét (mnmum vgy mmum). Oldj meg z előző oldlon félgömbbe ít pleleppedon téfogtá vontkozó mntfeldtot Lgnge-multplkátoos szélsőéték-keesés segítségével. Utópábn vn egy feneketlen tenge. Ebből emelkedk k egy szget, melynek lkjá z f (, 1 y függvény lleszkedk. Hol vn szget teteje? Bzonyíts be, hogy szgetnek tényleg teteje vn és nem lj! Cége poftját szeetné mmlzáln! Pc elemzők szent z Ön áltl gyátott A és B temék és y mennységétől P poft P(, ( + ) ( y 4) + y egyenlet szent függ. Mennyt gyátson cége z A, lletve B temékből? Tündéváosbn jáv látjuk, hogy ngy bj: vegyésznek felbéelt mnók kudcb fulldt kísélete soán felobbnt tündésöüzem egyk gépe. Skeült újt építen, de nem tudják beállítn, hogy mlyen koncentácóbn dgolják z összetevőket mmáls ktemeléshez. Mt mondn nekk, h K ktemelés z és y összetevők függvényében K (, ( + ) ( y + ) + y? Keessük meg z ellpszs zon pontjt melyek z ellpszs középpontjától legmesszebb vnnk. Képletbe fogllv: keessük z f (, + y távolságnégyzet mmumát (m ugynott vn mnt távolság mmum), zon mellékfeltétel y mellett, hogy z ellpszsen vgyunk, zz + 1. b Tekntsük + y + 4z 1 ellpszs felszínét. Hol legngyobb/legksebb tt z f (, y, z) 8yz függvény étéke? Vezessük le Snellus-Desctes tövényt mellékfeltételes függvény szélsőéték keesés segítségével. A függvény, mnek mnmumát keessük, z z dő m ltt fénysugá eljut z egyk közeg dott pontjából másk közeg dott pontjáb. 85
VIII. A legksebb négyzetes polnom közelítés A XIX. százd elején elsőként Guss, lletve Legende fejlesztett k olyn p() polnom közelítést, mely mnmlzálj vlmlyen ételemben egy pontsotól vló eltéés négyzetösszegét. A fzk kémábn leggykbbn z egyenes llesztésével tlálkozunk, ez s egy szélsőéték-keesés feldt. Legyen dott egy + 1 elemű {, y } méés dtso, s ee póbáljunk egy két pméteel endelkező, p ( ) M + B lkú polnomot (egyenest) lleszten. A mnmlzálndó függvényünk ( pontoktól vló eltéés (hb) négyzetösszege) következő: S. Keessük B és M pméteek szent szélsőétéket (mnmumot): ( y M S B S M 1 B ) ( y M B) ( + 1) B + ( ) M ( y M B) ( ) B + ( ) Legyen s +1, s 1, s, t y és t 1 y ( jelölések mgsbb fokú (nemlneás) polnomok llesztésénél segítenek különösen, de ee most tt nem téünk k külön). Szoozzuk meg z első egyenletet s 1 -gyel, másodkt s -vel, mjd vonjuk k őket egymásból, ennek lpján má meg tudjuk htáozn két smeetlen st s1t1 pmétet. Az eedmény B-e: B, zz méés dtok smeetében z ss s1 egyenes tengelymetszete egyszeűen meghtáozhtó. M y y 86