Definice V( P) P = { p, p,..., p n } nad množinou bodů 1 2 v rovině představuje rozklad množiny P na n uzavřených či otevřených oblastí V( p) = { V( p1), V( p2),..., V( p n )} takových, že každý bod q V( p i ) je blíže k bodu p i než k jakémukoliv bodu p j P V( p i ) q V( p i ) V( p j ) uzavřená oblast se nazývá Voronoiova buňka (polygon) pro libovolný bod a libovolnou buňku platí dqp (, ) dqp (, ) i j
p i ukázka Voronoiva diagramu libovolný bod oblasti má za nejbližšího souseda ze vstupní množiny bod q p i q ( ) V p i
Platí Všechny body oblasti mají stejného nejbližšího souseda i j V( p i ) - polorovina ohraničená osou úsečky obsahující i j bod p i p p oblast příslušející bodu = průnik polorovin p i V( pi) = i jh( pi, pj)
p 4 ukázka Voronoiva diagramu p 7 Voronoiův vrchol p 6 Voronoiova buňka p 5 Voronoiova hrana p 9 p 8 0
Ukázky ů pro n = 2,3,4 n = 2 1 2 V( p1 ) 2 1 V( p2)
Ukázky ů pro n = 2,3,4 n = 3 H ( p1, p3) V( p ) = 1 H( p, p ) 1 2 1 3 1 2
Ukázky ů pro n = 2,3,4 n = 3 V( p ) = 1 H( p, p ) 1 2 1 3
Ukázky ů pro n = 2,3,4 n = 3 V( p1 ) V( p2)
Ukázky ů pro n = 2,3,4 n = 3 V( p1 ) V( p2) V( p3)
Ukázky ů pro n = 2,3,4 n = 4 p 4
Ukázky ů pro n = 2,3,4 n = 4 V( p ) = 1 H( p, p ) 1 2 1 3 1 4 p 4 1 2 1 3 1 4
Ukázky ů pro n = 2,3,4 n = 4 V( p ) = 1 H( p, p ) 1 2 1 3 H ( p, p ) 1 4 p 4
Ukázky ů pro n = 2,3,4 n = 4 2 4 2 3 p 4 2 1
Ukázky ů pro n = 2,3,4 n = 4 V( p1 ) V( p2) p 4
Ukázky ů pro n = 2,3,4 n = 4 p 4
Ukázky ů pro n = 2,3,4 n = 4 3 4 3 2 p 4 3 1
Ukázky ů pro n = 2,3,4 n = 4 V( p1 ) V( p2) p 4 V( p3)
Ukázky ů pro n = 2,3,4 n = 4 4 3 4 2 p 4 4 1
Ukázky ů pro n = 2,3,4 n = 4 V( p1 ) V( p2) p 4 V( p4) V( p3)
Ukázky ů pro pravidelně rozložené body
Ukázky ů pro pravidelně rozložené body
Vlastnosti VD je planární graf každý vrchol Voronoiova diagramu pro má stupeň alespoň 3; právě 3, když na každé kružnici sestrojené z bodů vstupní množiny leží právě 3 body pokud bod leží na hranici konvexního obalu, potom je oblast otevřená každá oblast bod q p i V( p i ) V( p i ) je konvexní je nejbližším bodem, jestliže p p, i j n 3 p i q V( p i ) každá hrana je sdílena právě dvěma sousedními i j buňkami
Vlastnosti VD q kqr (, ) P kqr (, ) bod je vrcholem Voronoiovy oblasti, pokud existuje kružnice procházející třemi nebo více body pi, pj, pk vstupní množiny a neobsahuje žádný další bod z kružnici označujeme jako největší prázdnou kružnici ze všech prázdných kružnic se středem v bodě p * nechť bod i představuje ortografický průmět bodu i na povrch paraboloidu daného rovnicí α i 2 2 x + y = z rovina je tečnou rovinou k paraboloidu v bodě α, α * l ij průsečnicí i jje přímka, jejíž ortografický průmět do roviny tvoří Voronoiovu hranu P q * p i p
Vlastnosti VD vztah mezi počtem vrcholů v Voronoiova diagramu a počtem hran e, n je počet bodů vstupní množiny e 3n 9 v 2n 5 rozšiřitelné do vyšších dimenzí ve 3D jsou buňky konvexní mnohostěny duálním grafem k Voronoiovu diagramu je Delaunay triangulace
Vlastnosti VD dualita VD a DT p i body tvoří současně vrcholy Delaunay triangulace p, p V( p i ) V( p j ) t body i j tvoří hranu v Delaunay triangulaci právě když, a sdílejí společnou Voronoiovu hranu středy kružnic opsaných trojúhelníkům v Delaunay triangulaci představují vrcholy Voronoiova diagramu
Vlastnosti VD vztah mezi VD a DT vrchol VD t p j vrchol DT p i Tomáš Bayer, Voronoi diagram
Algoritmy konstrukce VD podle definice pomocí průniku polorovin naivní algoritmus, náročné rozděl a panuj rekurzivní vytvoření VD rozdělení vstupní množiny, tvorba VD proces slučování zametací technika duální graf k triangulaci dynamická konstrukce
Nejčastější oblasti použití Voronoiových diagramů poštovní problém nalezení všech sousedů klasifikace dat kartografická generalizace analýzy shluku poštovní problém optimalizace spádových oblastí vzhledem k centru (či naopak), uplatnění při návrhu polohy nemocnic, průmyslových zón, supermarketů, stanic MHD, kin poloha volena zpravidla do centra Voronoiovy buňky ze všech míst regionu zhruba stejná vzdálenost ze znalosti spádové oblasti lze určit, jaké množství obyvatel bude službu využívat
poštovní problém nutné zahrnout omezující podmínky efektivní chování člověka člověk bude využívat pouze ta centra, ke kterým má blíže než k jiným (snaha o minimalizaci nákladů) lineární růst nákladů pokud náklady nerostou lineárně je nutné zavést jinou metriku stejná kvalita kvalita produktu je ve všech centrech stejná nalezení všech sousedů bodu p sousedé bodu jsou takové body, jejichž s V( p) hranu využití v dopravních analýzách, při interpolaci p p i ( ) V p i sdílejí
p p 4