. A Lple-trnszformált. A Lple-trnszformált.. Vlós változós komplex értékű függvények, komplex improprius integrálok Jelölje R vlós számok és C komplex számok hlmzát. Legyen (z n egy komplex számokból álló sorozt. Azt mondjuk, hogy (z n komplex sorozt konvergens, és htárértéke z C, h bármely ε pozitív számhoz létezik olyn N = N(ε küszöbszám, hogy z n z < ε, h n N. A jelölés z = lim n z n. Úgy is foglmzhtunk, hogy (z n sorozt htárértéke z, h z n z vlós számokból álló sorozt -hoz trt, h n. Láthtó, hogy komplex soroztok htárétrékének definíiój szó szerint megegyezik vlós esetben hsznált definíióvl, sk vlós bszolút érték helyett komplex bszolút érték szerepel definíióbn. A komplex bszolút érték lgebri tuljdonsági megegyeznek vlós bszolút érték tuljdonságivl, ezért vlós esetre ismert htárértékre vontkozó állítások (pl. összeg sorozt htárértéke htárértékek összege, stb. és bizonyításik szó szerint átvihetők komplex esetre, így ezeket itt nem részletezzük. Megjegyezzük, hogy sk monotonitást hsználó tuljdonságoknk (mint például vlós soroztokr vontkozó rendőr elv nins komplex megfelelője, hiszen komplex számokr nem definiálhtó rendezési reláió. A következő eredmény is visszvezeti komplex soroztok htárértékének számítását vlós soroztok htárértékének számításár. Jelölje szokás szerint i komplex képzetes egységet, zz i 2 =... Tétel. Legyen (z n egy komplex sorozt, x n ill. y n vlós ill. képzetes része z n -nek, zz z n = x n + iy n, és hsonlón z = x + iy. Ekkor kkor és sk kkor, h lim z n = z n lim x n = x és lim y n = y. n n Bizonyítás: Tegyük fel először, hogy lim n z n = z htárérték létezik. Ekkor z x n x (x n x 2 + (y n y 2 = z n z egyenlőtlenségből következik, hogy lim n x n = x. Ugynígy mutthtó meg lim n y n = y reláió is. Fordítv, h feltesszük, hogy lim n x n = x és lim n y n = y htárértékek léteznek, kkor htárérték tuljdonsági szerint zz (z n sorozt konvergál z-hez. z n z = (x n x 2 + (y n y 2, h n, Legyen g : [, b] C dott komplex értékű függvény. Jelölje u = Re g, ill. v = Im g g függvény vlós, ill. képzetes részét, zz g(t = u(t + iv(t. A komplex értékű g függvény htárértékét ugynúgy definiáljuk, mint vlós esetben: g függvény htárértéke t pontbn z L komplex szám, h bármely ε pozitív számhoz létezik olyn δ = δ(ε >, hogy g(t L < ε, h < t t < δ. Ugynúgy, mint vlós esetben, soroztokkl is megfoglmzhtjuk definíiót: lim t t g(t = L, h minden olyn (t n vlós soroztr, melyre t n t minden n re és lim n t n = t, teljesül, hogy lim n g(t n = L. A soroztokr vontkozó esethez hsonlón kpjuk következő eredményt.
2 Győri István, Hrtung Feren: MA4f és MA66 elődásjegyzet, 26/27.2. Tétel. Legyen g(t = u(t + iv(t, L = p + iq. Ekkor htárérték kkor és sk kkor létezik, h htárértékek léteznek. lim g(t = L t t lim u(t = p és lim v(t = q t t t t Komplex értékű függvény deriváltját is vlós esetnek megfelelően definiáljuk: Azt mondjuk, hogy g differeniálhtó t pontbn, h g(t + h g(t lim h h htárérték létezik, és ekkor htárértéket g függvény t pontbeli differeniálhánydosánk hívjuk, és g (t -ll jelöljük. Az.2. Tételből következik rögtön z lábbi állítás..3. Tétel. A g(t = u(t + iv(t komplex értékű függvény kkor és sk kkor differeniálhtó t pontbn, h z u és v függvények differeniálhtók t-ben, és ekkor g (t = u (t + iv (t. A g függvény korlátos [, b]-n, h g(t = (u(t 2 + (v(t 2 vlós függvény korlátos [, b]-n. Nyilván g kkor és sk kkor korlátos, h z u és v függvények korlátosk. Legyen P = { = t < t < < t n = b} z [, b] intervllum egy beosztás, jelölje P = mx{t k+ t k : k =,,..., n } beosztás finomságát, legyen ξ = (ξ,..., ξ n egy közbülső pontok rendszere, zz ξ k [t k, t k+ ]. A g : [, b] C függvény Riemnn-féle közelítő összegén z n S(g, P, ξ = g(ξ k (t k+ t k k= komplex számot értjük. A g komplex értékű függvényt z [, b] intervllumon Riemnn-integrálhtónk nevezünk, h létezik olyn I komplex szám, hogy bármely ε pozitív számhoz létezik olyn δ = δ(ε >, hogy S(g, P, ξ I < ε minden olyn P beosztásr, melyre P < δ és minden beosztáshoz trtozó ξ közbülső pontrendszerre. Nyilvánvlón kpjuk, hogy S(g, P, ξ = = = n g(ξ k (t k+ t k k= n (u(ξ k + iv(ξ k (t k+ t k k= n k= n u(ξ k (t k+ t k + i = S(u, P, ξ + is(v, P, ξ, miből könnyen ellenőrizhető z lábbi eredmény. k= v(ξ k (t k+ t k
. A Lple-trnszformált 3.4. Tétel. A g(t = u(t + iv(t komplex értékű függvény kkor és sk kkor Riemnnintegrálhtó z [, b] intervllumon, h z u és v függvények Riemnn-integrálhtók [, b]-n, és ekkor g(t dt = u(t dt + i v(t dt. H g Riemnn-integrálhtó [, b]-n, kkor g korlátos is, mivel z u és v vlós függvények integrálhtóságából (vlós függvényekre ismert eredmény szerint következik zok korlátosság. Azt mondjuk, hogy g bszolút Riemnn-integrálhtó [, b]-n, h g vlós függvény Riemnnintegrálhtó [, b]-n..5. Tétel. H g : [, b] C függvény Riemnn-integrálhtó [, b]-n, kkor g bszolút Riemnn-integrálhtó [, b]-n, továbbá g(t dt g(t dt. Bizonyítás: A feltétel szerint g Riemnn-integrálhtó, így u = Re g és v = Im g is z. Vlós függvényekre ismert eredmény szerint ebből következik, hogy g = u 2 + v 2 függvény is Riemnn-integrálhtó, zz g bszolút Riemnn-integrálhtó. H z egyenlőtlenség bl oldl, kkor készen vgyunk, hiszen jobb oldlon álló Riemnn-integrálbn z integrndus nemnegtív, így Riemnn-integrál sem lehet negtív. Amennyiben bl oldl pozitív, jelölje Ekkor z = g(t dt C, g(t dt = z = z = g(t dt = és mivel kiindulási érték egy vlós szám, ezért = z z C. Re(g(t dt + i Im(g(t dt, Ez zt jelenti, hogy g(t dt = Re(g(t dt = g(t dt = Im(g(t dt =. Re(g(t dt Re(g(t dt g(t dt = g(t dt..6. Definíió. Azt mondjuk, hogy g : [, b] C függvény szkszonként folytonos [, b]-n, h legfeljebb véges számú szkdási helye vn [, b]-n, és minden szkdási helyén jobb és bl oldli htárértékei léteznek és végesek. Vlós függvényekre ismert tuljdonságból következik rögtön:.7. Tétel. H g : [, b] C függvény szkszonként folytonos, kkor Riemnn-integrálhtó (és így bszolút Riemnn-integrálhtó is [, b]-n.
4 Győri István, Hrtung Feren: MA4f és MA66 elődásjegyzet, 26/27.8. Megjegyzés. Világos, hogy egy komplex értékű függvény kkor és sk kkor szkszonként folytonos [, b]-n, h vlós része és képzetes része áltl definiált függvények szkszonként folytonosk [, b]-n. Legyen I = (, d] ( < d < vgy I = [, d ( < < d vgy I = (,, és legyen h : I C. H h függvény z értelmezési trtományánk bármely korlátos zárt részintervllumán Riemnn-integrálhtó, kkor zt mondjuk, hogy h lokálisn Riemnnintegrálhtó I-n. Legyen h : (, d] C, < d < (vgy h : [, d C, < < d. Azt mondjuk, hogy h függvénynek létezik z improprius integrálj (, d] (illetve [, d intervllumon, h következő htárértékek léteznek és végesek: d h(t dt def = lim + d h(t dt ( d h(t dt def = lim b d h(t dt. Azt mondjuk, hogy h függvény bszolút improprius integrálhtó (, d] (illetve [, d intervllumon, h d d ( d h(t dt = lim h(t dt < h(t dt = lim h(t dt <. + b d.9. Tétel. H h : (, d] C, < d < (vgy h : [, d C, < < d függvény lokálisn Riemnn-integrálhtó és bszolút improprius integrálhtó (, d] n (illetve [, d n, kkor z improprius integrálj szintén létezik ugynezen z intervllumon, és d d h(t dt h(t dt <. Bizonyítás: Az improprius integrál létezése következik Cuhy-féle konvergeni kritériumból, z.5. Tételből, vlmint z bszolút improprius integrál létezéséből. A fenti egyenlőtlenség pedig htárátmenettel kphtó z.5. Tételből. A részletek kidolgozását z olvsór bízzuk. A Lple-trnszformáió bevezetéséhez és nnk tnulmányozásához szükségünk lesz következő két foglomr:.. Definíió. Azt mondjuk, hogy z f : [, C függvény szkszonként folytonos [, -n, h bármely [, A] véges intervllumon szkszonként folytonos... Definíió. Azt mondjuk, hogy z f : [, C függvény exponeniálisn korlátos [, intervllumon, h vn olyn M > és α R, hogy f(t Me αt, t..2. Megjegyzés. H h: (, d C, ( < d (, d intervllumon szkszonként folytonos függvény, kkor h függvény (, d-n vett improprius integrálj ltt d h(t dt def = h(t dt + d b h(t dt összefüggéssel definiált értéket értjük, feltéve, hogy z h(t dt és d b h(t dt improprius integrálok léteznek vlmely rögzített b (, d-re. Világos, hogy h improprius integrálhtóság és improprius integráljánk értéke nem függ b (, d érték válsztásától. A műszki lklmzásokbn fontos következő tétel:
. A Lple-trnszformált 5.3. Tétel. H z f : [, C függvény szkszonként folytonos és exponeniálisn korlátos [, -en, kkor létezik olyn s R, hogy [, C, t e st f(t függvény bszolút improprius integrálhtó [, -en minden olyn rögzített komplex s C esetén, melyre Re s > s, zz e st f(t dt <, Re s > s. Bizonyítás: Legyen s C rögzített komplex szám. Ekkor e st f(t = e (Re st e i(im st f(t = e (Re st f(t, t, mivel e i(im st = os(im st i sin(im st =. A feltételeink szerint f exponeniálisn korlátos [, -en, mi zt jelenti, hogy f(t Me s t, t bizonyos M > és s R állndókkl. Így e st f(t Me (s Re st, t. Legyen A > tetszőlegesen rögzített vlós szám. Ekkor z A e st f(t dt integrál létezik, mivel z integrndus szkszonként folytonos. H Re s > s kkor A e st f(t dt A A + esetén. Ez zt jelenti, hogy z Me (s Re st dt = M s Re s ( e (s Re sa M Re s s <, e st f(t dt = lim A + A e st f(t dt htárérték létezik és véges minden olyn s C esetén, melyre Re s > s..2. A Lple-trnszformált és fontosbb tuljdonsági.4. Definíió. Azt mondjuk, hogy z f : [, C függvény Lple-trnszformáltj létezik z s C helyen, h z e st f(t dt integrál létezik. Azt z F C C függényt pedig, melyet z F (s = e st f(t dt (. összefüggés definiált olyn s C-re, melyre z integrál létezik, z f függvény Lple-trnszformáltjánk nevezzük. Az f függvényt szokás z L{f} Lple-trnszformált generátorfüggvényének hívni.
6 Győri István, Hrtung Feren: MA4f és MA66 elődásjegyzet, 26/27 Az f függvény Lple-trnszformáltját szkirodlombn z L{f}(s, L[f](s, L{f(t}(s, L[f(t](s, L{f( }(s, L[f( ](s vgy z áltlunk már hsznált F (s szimbólumokkl jelölik. Legyen Λ zoknk [, -n értelmezett vlós vgy komplex értékű függvényeknek hlmz, melyek szkszonként folytonosk és exponeniálisn korlátosk [, -en, továbbá folytonosk -bn. Az.3. Tételből következik, hogy minden Λ függvényosztályhoz trtozó függvénynek létezik Lple-trnszformáltj..5. Tétel (Egiszteni tétel. H f Λ, hol f exponeniális korlátj f(t Me s t, kkor f Lple-trnszformáltj létezik z {s C: Re s > s } komplex félsíkon. A legkisebb olyn s R számot, melyre z f függvény Lple-trnszformáltj létezik z {s C : Re s > s } komplex félsíkon, Lple-trnszformált konvergeni bszisszájánk nevezzük. A Lple-trnszformáiót úgy is felfoghtjuk, mint egy leképezést: bármely f Λ függvényhez hozzárendelhetjük z L{f} = F (C C Lple-trnszformált függvényt, mely értelmezve vn minden olyn s C-re, melyre Re s elegendően ngy. A következő tétel muttj, hogy ez leképezés lineáris következő értelemben:.6. Tétel (lineritás. H f : [, C és g : [, C két olyn függvény, melynek létezik Lple-trnszformáltj z s C helyen, kkor tetszőleges, b C konstnsok esetén z f + bg függvény Lple-trnszformáltj is létezik z s helyen és L{f + bg}(s = L{f}(s + bl{g}(s. Bizonyítás: Feltételünk szerint egyránt létezik. Így L{f}(s = e st f(tdt + b kívánt összefüggés teljesül. e st f(tdt és L{g}(s = e st g(tdt = e st g(t dt e st (f(t + bg(t dt,.7. Péld. Számítsuk ki z f(t, (t. függvény Lple-trnszformáltját! Ekkor f Λ, ugynis f(t e t, t, és így L{f}(s = L{}(s = h Re s >. e st dt = A lim A + e st dt = lim A + ( e sa = s s,.8. Péld. Számítsuk ki z f(t = e zt, (t, z C függvény Lple-trnszformáltját! Ekkor f Λ, ugynis f(t e (Re zt, t, és így L{f}(s = L { e zt} (s = h Re s > Re z, zz Re(s z >. e st e zt dt = e (s zt dt = s z,
. A Lple-trnszformált 7.9. Péld. Legyen β R rögzített, és számítsuk ki t os βt és t sin βt függvények Lple-trnszformáltját! Az Euler-formul szerint e iβt = os βt + i sin βt és e iβt = os βt i sin βt, és ezek segítségével os és sin függvények os βt = eiβt + e iβt 2 és sin βt = eiβt e iβt 2i lkb írhtók át tetszőleges t-re. Így { L {os βt} (s = L 2 eiβt + } 2 e iβt (s = 2 s iβ + 2 s + iβ = h Re s >. Hsonlón megmutthtó, hogy s (s iβ (s + iβ = s s 2 + β 2, L {sin βt} = β s 2 + β 2, Re s >. Az lklmzásokbn fontosk Lple-trnszformált lábbi tuljdonsági..2. Tétel (Csillpítási tétel. Legyen f Λ, F = L{f}, z C. Ekkor [, t e zt f (t C függvény is Λ osztályb trtozik, és L{e zt f(t} (s = F (s + z, minden olyn esetben, mikor Re s elég ngy. Bizonyítás: Mivel f : [, C eleme Λ hlmznk, ezért f és vele együtt [, t e zt f(t függvény is szkszonként folytonos [, -en (itt felhsználtuk, hogy z exponeniális függvény folytonos [, -en. Továbbá feltételünk szerint vnnk olyn M >, α R konstnsok, hogy f(t Me αt, t, és így e zt f(t e ( Re zt Me αt = Me (α Re zt, t. Tehát [, t e zt f(t függvény szintén eleme Λ függvényosztálynk, és így L{e zt f(t}(s = létezik, h Re s > α Re z. Másrészt e st e zt f(t dt L{e zt f(t}(s = minden olyn esetben, mikor Re s > α Re z. e (s+zt f(t dt = L{f}(s + z
8 Győri István, Hrtung Feren: MA4f és MA66 elődásjegyzet, 26/27.2. Péld. A sillpítási tételt lklmzv kpjuk z L{e αt sin βt}(s = β (s α 2 + β 2, L{eαt os βt}(s = s α (s α 2 + β 2 zonosságokt. A következő tétel egy dott függvény és differeniálhánydosánk Lple-trnszformáltj között mutt meg összefüggést..22. Tétel. Legyen f : [, C olyn függvény, mely differeniálhtó, és deriváltjávl együtt Λ függvényosztályb trtozik. Ekkor L{f }(s = sl{f}(s f(, minden s C -re, mely vlós része elegendően ngy. Bizonyítás: Mivel f, f Λ ezért ezeknek függvényeknek létezik Lple-trnszformáltjuk minden olyn s C-re, melyre Re s elegendően ngy. Másrészt f Λ -ból következik, hogy vlmely M > és α R állndókkl, és így f(t Me αt, t, e sa f(a Me (Re s αa, h A + és Re s > α. Legyen s C tetszőlegesen rögzített úgy, hogy Re s > α és e st f (t dt létezik. Tetszőleges A > esetén priális integrálás szbály szerint A e st f (t dt = e sa f(a f( + miből A + htárátmenettel kpjuk A se st f(t dt, összefüggést. Ezzel tételt bizonyítottuk. e st f (t dt = f( + s e st f(t dt Az.22. Tétel következményeként könnyen beláthtók következő állítások..23. Következmény. H f : [, C, és f, f, f,..., f (n Λ, kkor L{f }(s = s 2 L{f}(s sf( f (, h Re s elég ngy, illetve tetszőleges pozitív egész n-re L{f (n }(s = s n L{f}(s s n f( s n 2 f ( f (n (, h Re s elég ngy.
. A Lple-trnszformált 9 Bizonyítás: Az előző tétel lpján L { f } (s = sl {f} (s f(. Másrészt L { f } (s = L { (f } (s = sl { f } (s f ( = s(sl {f} (s f( f ( = s 2 L {f} (s sf( f (. A második állítás teljes indukióvl igzolhtó. Eddig mindig rról z esetről beszéltünk, mikor egy időtrtománybn ismert (zon kívül - nk definiált függvény Lple-trnszformáltját kerestük. Az lklmzásokbn zonbn sokszor vn szükségünk fordított feldt megoldásár: Adott egy F C C komplex függvény, mely minden olyn s C -re definiálv vn melyre Re s elegendően ngy. Keresünk egy olyn f : [, C függvényt, melyre L{f}(s = F (s teljesül minden olyn s-re, melyre Re s elegendően ngy. H tlálunk egy ilyen f függvényt, kkor zt z F függvény inverz Lple-trnszformáltjánk nevezzük, és L {F }- fel jelöljük. Kérdés persze, hogy z inverz Lple-trnszformáió egyértelműen definiált-e, zz lehet-e z f-től különböző g függvényt tlálni úgy, hogy L{f}(s = L{g}(s = F (s teljesüljön minden olyn s-re, mely vlós része elegendően ngy. H például f és g definíiój sk véges sok pontbn különbözik, kkor Riemnn-integráljuk zonos lesz, és ezért L{f} = L{g}, zz ekkor z inverz művelet nem egyértelműen definiált. A következő tétel értelmében (melyet nem bizonyítunk h z L{f} = F egyenletnek dott F -re vn folytonos f megoldás, kkor z egyértelmű. Ekkor z L {F } jelölésen ennek z egyenletnek folytonos megoldását értjük..24. Tétel (Uniitás tétel. H f : [, C és g : [, C két olyn folytonos függvény melyek elemei Λ függvényosztálynk, és Lple-trnszformáltjikr teljesül L{f}(s = L{g}(s minden s C-re, melyre Re s elegendően ngy, kkor f(t = g(t, t. A Lple-trnszformált lineritásából rögtön következik:.25. Tétel. Az inverz Lple-trnszformáió lineáris, zz h F = L{f}, G = L{g},, b C, kkor L {F + bg} = L {F } + bl {G}. Bizonyítás: L{L {F } + bl {G}} = L{f + bg} = L{f} + bl{g} = F + bg..26. Péld. Számítsuk ki z F (s = 9 2s s 2 + s 6
Győri István, Hrtung Feren: MA4f és MA66 elődásjegyzet, 26/27 függvény inverz Lple-trnszformáltját! Priális törtekre bontv kpjuk F (s = 9 2s s 2 + s 6 = 3 s 2 5 s + 3, ezért z inverz Lple-trnszformált lineritását lklmzv { } { } L {F }(t = 3L (t 5L (t = 3e 2t 5e 3t. s 2 s + 3.27. Péld. Számítsuk ki z 3s F (s = s 2 + 4s + 3 függvény inverz Lple-trnszformáltját! A tört nevezője most nem lkíthtó szorzttá, így teljes négyzetté lkítássl kezdjük: F (s = 3s s 2 + 4s + 3 = 3s 3(s + 2 7 (s + 2 2 = + 9 (s + 2 2 + 9 = 3 s + 2 (s + 2 2 + 9 7 3 3 (s + 2 2 + 9 ezért z inverz Lple-trnszformált lineritását, sillpítási tételt és os és sin függvényekre vontkozó zonosságokt lklmzv { } L {F }(t = 3L s + 2 (s + 2 2 + 3 2 (t 73 { } 3 L (s + 2 2 + 3 2 (t = 3e 2t os 3t 7 3 e 2t sin 3t. A Lple-tnszformált fontos lklmzását teszi lehetővé következő tétel, melyet itt nem bizonyítunk..28. Tétel. Legyen x : [, R olyn függvény, mely [, -en n-szer differeniálhtó (n N, és eleget tesz z x (n (t + n x (n (t +... + x (t = g (t, t, (.2 differeniálegyenletnek, hol,..., n dott konstnsok és g : [, R függvény Λ függvényosztály eleme. Továbbá x kielégíti z x( = u, x ( = u,..., x (n ( = u n (.3 kezdeti feltételeket dott u,..., u n R értékekkel. Ekkor z x függvény folytonos és exponeniálisn korlátos [, -en, és így eleme Λ-nk, továbbá x, x,..., x (n Λ is teljesül. Az (.2-(.3 lkú, ú.n. kezdeti érték feldtok megoldhtók Lple-trnszformált segítségével. A módszert következő példán muttjuk be..29. Péld. Tekinstük z kezdeti érték feldtot. x 4x =, x( =, x ( =
. A Lple-trnszformált Vegyük z egyenlet mindkét oldlánk Lple-trnszformáltját: L{x } 4L{x} =. Hsználv z X(s = L{x}(s jelölést vlmint második derivált Lple-trnszformáltjár vontkozó zonosságot, kpjuk s 2 X(s sx( x ( 4X(s =. A kezdeti értékeket hsználv zz (s 2 4X(s = s, X(s = s s 2 4. Inverz Lple-trnszformáltt számolv megkpjuk kezdeti érték feldt megoldását { } { s x(t = L {X(s}(t = L s 2 = L 4 2 s 2 + } = 2 s + 2 2 e2t + 2 e 2t..3. A Lple-trnszformált további tuljdonsági.3. Lemm. H z f : [, C függvény Λ osztályb trtozik, kkor tetszőleges pozitív k-r [, t t k f(t függvény is Λ osztályb trtozik, és Lple-trnszformáltj létezik minden olyn s C-re, melyre Re s elegendően ngy. Bizonyítás: Mivel f Λ osztályb trtozik, ezért f [, -en szkszonként folytonos, és vn olyn α R, M >, hogy f(t Me αt, t. Másrészt [, t t k függvény folytonos, továbbá t k M e εt, t, hol ε > vlmely rögzített vlós szám és { M = sup e εt t k} <. t (M <, ugynis z exponeniális függvény gyorsbbn nő mint htványfüggvény. Így zz t k f(t M e εt Me αt, t, t k f(t M 2 e α 2t, t, hol M 2 = M M és α 2 = α + ε. Másrészt [, t t k függvény folytonos, és így [, t t k f(t függvénynek sk ott lehet szkdás, hol f-nek vn. Ez zt jelenti, hogy [, t t k f(t függvény is szkszonként folytonos [, -n. Ezzel lemm bizonyítás teljes.
2 Győri István, Hrtung Feren: MA4f és MA66 elődásjegyzet, 26/27.3. Tétel. H z f : [, C függvény Λ osztályb trtozik, kkor vn olyn s R, hogy z F (s = e st f(t dt, s (s, függvény z s változój szerint kárhányszor differeniálhtó (s, -en, és tetszőleges k pozitív egész számr F (k (s = ( k e st t k f(t dt, s (s,. Bizonyítás: Elsőnek megmuttjuk, hogy F (s = e st tf(t dt, után pedig teljes indukióvl hldunk tovább. Mivel f Λ, így vn olyn M > és α R, hogy f(t Me αt, (t. Legyen s > α tetszőlegesen rögzített. Ekkor z.3. Lemm bizonyításából következik, hogy L{tf(t} és L{f} is létezik minden Re s > s -r. Rögzítsünk egy ilyen s-t, és tekintsük következő differenihánydost: F (s + h F (s h = e (s+ht f(t dt e st f(t dt = h e ht e st tf(t dt, ht h -r. Másrészt e ht ( ht n + ht = + ht n! = ( ht n n! n= n=2 = ( ht 2 ( ht n 2 (n 2! (n 2! n! ( h t2 e + h t, t, n=2 ugynis (n 2! n! = (n 2!, n 2. (n 2!(n n Így F (s + h F (s h + e st tf(t dt e ht ht + tf(t e st dt h t 2 e h t f(t e st dt. Legyen h < s α. Ekkor Re s > h + α, és priális integrálássl kiszámíthtó, hogy és ezért F (s + h F (s + h t 2 e (Re s h αt dt = te st f(t dt h h M 2 (Re s h α 3 <, t 2 f(t e st e h t dt t 2 e (Re s h αt dt, h h.
. A Lple-trnszformált 3 Tehát z F függvény differeniálhtó s szerint bármely s (s, -re, továbbá Legyen F (s = G(s = e st tf(t dt, e st tf(t dt, s (s,. s (s,. Mivel ez egy Λ függvényosztályb trtozó g(t = tf(t függvény Lple-trnszformáltj, G z s változój szerint differeniálhtó és G (s = e st t 2 f(t dt, s (s,. Másrészt F (s = G (s = e st t 2 f(t dt, s (s,. Ebből z előző lépést megismételve, teljes indukióvl kpjuk z állítást. Megjegyezzük, hogy z előbbi tétel bizonyítás szó szerint megismételhető rr z esetre is, mikor F -et vlmint deriváltjit is komplex függvényként tekintjük. (Komplex függvények differeniálásávl mjd??. Fejezetben fogllkozunk. Ezért kpjuk következő eredményt:.32. Következmény. Legyen f Λ, s konvergeni bszisszáj z F = L{f} Lpletrnszformáltnk. Ekkor F (k (s = ( k L{t k f(t}(s, Re s > s. Az előző eredmény lklmzásként kpjuk következő fontos összefüggést:.33. Tétel. Tetszőleges k nemnegtív egészre { L t k} (s = k!, sk+ Re s >. (.4 Bizonyítás: Az (.4 összefüggés k = -r igz, ugynis korábbn megmutttuk, hogy L{}(s =, Re s >, s Legyen F = L{}, és lklmzzuk z.32. Követketményt, melynek értelmében ( ( k L{t k }(s = F k (s = dk ds k = ( k k!, Re s >. s sk+ miből következik (.4. Bizonyítás nélkül tekintsük Lple-trnszformált néhány egyéb tuljdonságát..34. Tétel (Hsonlósági tétel. Legyen f Λ, α. Ekkor L{f(αt}(s = ( s α L{f}, α minden s C-re, melyre Re s elegendően ngy.
4 Győri István, Hrtung Feren: MA4f és MA66 elődásjegyzet, 26/27.35. Tétel. Legyen f Λ. Ekkor { } L f(u du (s = s L{f}(s, minden s C-re, melyre Re s elegendően ngy..36. Tétel. Legyen z f : [, R függvény szkszonként folytonos és p-periodikus. Ekkor L{f}(s = minden s C-re, melyre Re s >. e ps p e st f(t dt..37. Tétel (Kezdeti- és végérték tétel. Legyen f, f Λ. ( Legyen s R. Ekkor lim sl{f}(s = f(. s (b Tegyük fel, hogy L{f}(s értelmezve vn Re s > -r. Ekkor feltéve, hogy htárértékek léteznek. lim sl{f}(s = lim f(t, s t.4. Az egységugrás függvény és négyszögjel Lple-trnszformáltj Az lklmzásokbn fontos szerepet játszik z úgynevezett Heviside-függvény vgy egységugrás függvény, melyet [, -re H (t = {, t <,, t képlettel definiálunk. Világos, hogy H függvény szkszonként folytonos és exponeniálisn korlátos [, -en. Így L {H } (s létezik h Re s > és, továbbá L {H } (s = = lim A + e st H (t dt = A e st dt = Tehát kpjuk következő állítást..38. Tétel. Legyen. Ekkor e st dt + lim A + s e st dt ( e sa e s = s L {H } (s = e s, Re s >. s ( e s, Re s >.
. A Lple-trnszformált 5 Megjegyezzük, hogy h H definíiójábn t = pontbn másképp definiáljuk függvény értékét, pl. úgy, hogy blról folytonos legyen, Lple-trnszformáltjánk z értéke nem változik. Adott egy f : [, C függvény és > konstns, kkor definiáljuk g (t def = {, t <, f(t, t függvényt. Ez nem más, mint z f függvény eltoltj jobbr egységgel, úgy, hogy negtív t-re konstns -vl terjesztjük ki z f függvény definíióját. A Heviside függvény segítségével g függvény g (t = H (tf(t, t lkbn is felírhtó, feltéve, hogy f értelmezését (tetszőleges módon kiterjesztjük [, ] intervllumr is..39. Tétel (Eltolási tétel. H f Λ,, kkor L{H (tf(t }(s = e s L{f}(s, h Re s elegendően ngy. Bizonyítás: Az világos, hogy g Λ, így L{g } létezik, és e st g (t dt = h Re s elegendően ngy. e st f(t dt = e s(u+ f(u du = e s e su f(u du, Legyen, b. Az egységnyi négyszögjel ltt olyn függvényt értünk, mely egy dott [, b] intervllumon kívül null és z intervllumon z értéke. Képletben kifejezve: {, t < f(t =,, t < b b t Itt jobbról folytonos függvényként definiáltuk z egységnyi négyszögjel függvényt, de bárhogy is definiáljuk szkdási pontokbn függvény értékét, ugynz lesz Lple-trnszformáltj. Világos, hogy f(t = H (t H b (t, így L{f} = L{H } L{H b } = s e s s e sb = e s e sb. s.4. Péld. Tekintsük z kezdeti érték feldtot, hol x 2x 3x = f(t, x( =, x ( = f(t = {, t <, t 2,, t < 4, 4 t. A Lple-trnszformált módszer lklmzásához számítsuk ki először z f függvény Lpletrnszformáltját. Ehhez először fejezzük ki f-et Heviside-függvényt hsználv: f(t = (H (t H 4 (t(t 2.
6 Győri István, Hrtung Feren: MA4f és MA66 elődásjegyzet, 26/27 Az eltolási tétel hsználtához lkítsuk át függvény képletét megfelelő módon: ( ( f(t = H (t(t 2 H 4 (t(t 2 = H (t (t 2 +2(t H 4 (t (t 4 2 +8(t 4+5. Ekkor sillpítási tétel szerint { ( } { ( } L{f}(s = L H (t (t 2 + 2(t L H 4 (t (t 4 2 + 8(t 4 + 5 ( 2 = e s s 3 + 2 ( 2 s 2 e 4s s 3 + 8 s 2 + 5. s Így z egyenlet mindkét oldlánk Lple-trnszformáltját véve ( 2 s 2 X(s sx( x ( 2sX(s + 2x( 3X(s = e s s 3 + 2 ( 2 s 2 e 4s s 3 + 8 s 2 + 5, s zz és így X(s = (s 2 s 2s + 2 2s 3X(s = s 2 + e s 3 e 4s 5s2 + 8s + 2 s 3, s 2 (s + (s 3 + 2s + 2 e s s 3 (s + (s 3 e 4s 5s2 + 8s + 2 s 3 (s + (s 3. Már sk inverz Lple-trnszformáltt kell számolni! Jelölje x (t, x 2 (t, x 3 (t külön-külön tgok inverze Lple-trnszformáltjit. { } { x (t = L s 2 3 (t = L (s + (s 3 4 s + + } (t = 3 4 s 3 4 e t + 4 e3t. A második tghoz először tekintsük: { } { L 2s + 2 2 s 3 (t = L (s + (s 3 27 s 3 2 3 s 3 2 9 s 2 2 } (t = 2 27 s 27 e3t 3 t2 2 9 t 2 27. Az eltolási tétel szerint Hsonlón, x 2 (t = H (t { 5s L 2 } { + 8s + 2 9 s 3 (t = L (s + (s 3 4 ( 2 27 e3(t 3 (t 2 2 2 (t. 9 27 s + + 6 8 s 3 2 3 s 3 2 9 = 9 4 e t + 6 8 e3t 3 t2 2 9 t 27, s 2 27 ezért z eltolási tétel szerint ( 9 x 3 (t = H 4 (t 4 e (t 4 + 6 8 e3(t 4 3 (t 42 2 (t 4. 9 27 } (t s A feldt megoldás ezután x(t = x (t + x 2 (t + x 3 (t.
. A Lple-trnszformált 7.5. A Dir-delt függvény és Lple-trnszformáltj Számos lklmzásbn fellépnek impulzív jelenségek, például pillntnyi erőhtás egy mehniki modellben, vgy pillntnyi feszültségváltozás egy elektromos ármkörben. Ilyen impulzív htás modellezésére gykrn hsználják z ú.n. Dir-delt függvényt vgy más néven Dirimpulzus függvényt, melynek szokásos jele δ(t. Tegyük fel például, hogy egy mehniki modellben egy kis ideig konstns erő ht, melynek z impulzus, zz z integrálj z dott időintervllumon egységnyi ngyságú. Tegyük fel, hogy ez z időintervllum z origór nézve szimmetrikus, legyen ez [ h, h] (h >, zz z erő képlete és így teljes impulzus δ h (t = { 2h δ h (t dt =, h t h,, t > h, h h δ h (t dt =. Ahogy h sökken, z egységnyi impulzussl rendelkező erőhtás egyre inkább kis környezetére korlátozódik, de egyre ngyobb lesz. Nyilván teljesül, hogy lim h + δ h (t dt = lim h + h h δ h (t dt =. Természetes z idelizált impulzív erőhtást δ h htárértékeként definiálni, hogy h h +, zz legyen δ δ h függvény pontonkénti htárértéke, h h +. Ekkor {, t =, δ(t =, t. (.5 Másrészt elvárjuk zt is, hogy Dir-delt függvénynek is egységnyi impulzus legyen z egész számegyenesen, zz z δ(t dt = (.6 zonosság teljesüljön. Természetesen vlós függvény nem veheti fel értéket, és h egy pont kivételével zonosn null, kkor integrálj is kell legyen, zz egy hgyományos függvény nem teljesítheti z (.5 és (.6 zonosságokt. H (.6 teljesül, kkor ez zt jelenti, hogy lim h + δ h (t dt = lim δ h(t dt h + is teljesülne, mi tudjuk, hogy pontonkénti konvergeni esetében áltlábn nem teljesül. Dir-delt függvénytől viszont zt is megköveteljük, hogy lim h + f(tδ h (t dt = lim f(tδ h(t dt h + teljesüljön minden f folytonos függvényre is. Ekkor z integrálokr vontkozó középérték tétel szerint minden h-r létezik olyn ξ h [ h, h], hogy h f(tδ(t dt = lim f(tδ h (t dt = lim f(t dt = lim h + h + 2h f(ξ h. h h + De ξ h, így f folytonosság mitt f(tδ(t dt = f(. (.7 A
8 Győri István, Hrtung Feren: MA4f és MA66 elődásjegyzet, 26/27 A Dir-delt függvényen tehát egy olyn δ függvényt értünk, mely rendelkezik z (.5, (.6 és (.7 tuljdonságokkl. Megmutthtó mélyebb mtemtiki eszközöket hsználv, hogy vn olyn, ú.n. áltlánosított függvény vgy más szóvl disztribúió, mely rendelkezik ezekkel tuljdonságokkl. Ennek preíz tárgylás zonbn messze meghldj ennek jegyzetnek kereteit. Az lklmzásokbn áltlábn Dir-delt függvény eltoltji szerepelnek. Legyen >, és tekintsük δ(t függvényt. Ez pontr konentrálódó Dir-impulzus függvény, melyre teljesül, hogy minden f folytonos függvény esetén. z (.8 formulát lklmzv: L{δ(t }(s = f(tδ(t dt = f( (.8 Ennek Lple-trnszformáltj is rögtön megkphtó e st δ(t dt = e st δ(t dt = e s..4. Péld. Tekintsük z x + 2x + 4x = δ(t, x( =, x ( = kezdeti érték feldtot. Lple-trnszformálv z egyenletet kpjuk, hogy zz kezdeti feltételeket hsználv és így s 2 X(s sx( x ( + 2sX(s 2x( + 4X(s = e s, (s 2 + 2s + 4X(s = e s, X(s = e s (s + 2 2. Számítsuk ki először sillpítási tételt hsználv { } L (s + 2 2 (t = te 2t. Ezért z eltolási tétel szerint x(t = H (t(t e 2(t = {, t <, (t e 2(t, t..6. Konvolúiós integrál és nnk Lple-trnszformáltj Egy szbályozási rendszer áltlános esetben inputból (bemenet, jele I, és outputból (kimenet, jele O, és egy, kettőt összekötő átvitelből áll. Az I(t input és z O(t output közötti összefüggés megdhtó például következő konvolúiós integrálll: O(t = I(ug(t u du, t,
. A Lple-trnszformált 9 hol g : [, R függvény z ú.n. súlyfüggvény..42. Definíió. Két tetszőleges f, g : [, C függvényre, melyek lokálisn Riemnnintegrálhtók, z (f g(t = f(t ug(u du, t integrál létezik. Ezt z integrált z f és g függvények konvolúiójánk nevezzük. Ezzel foglomml élve tehát zt mondhtjuk, hogy z előző szbályozási rendszerben kimenetet rendszerre jellemző súlyfüggvény és z input függvény konvolúiój dj meg. Ez szbály igz minden lineáris szbályozó kör esetére. A konvolúió definíiójából könnyen igzolhtók z lábbi tuljdonságok:.43. Állítás. Legyen f, g, h : [, C függvények lokálisn integrálhtók. A definíió lpján z f és g konvolúiój értelmezve vn [, -en, és következők teljesülnek: (i konvolúió kommuttív, zz f g = g f, f, g-re, (ii konvolúió sszoitív, zz (f g h = f (g h, f, g, h-r, (iii konvolúió disztributív z összedásr nézve, zz (f +g h = f h+g h, f, g, h-r, (iv f O =, f-re, hol O(t z zonosn függvény..44. Lemm. H f, g Λ, kkor f g Λ. Bizonyítás: Mivel f, g Λ ezért f(t M e α t és g(t M 2 e α 2t, t, bizonyos M, M 2 >, α, α 2 R konstnsokkl, hol z áltlánosság megszorítás nélkül zt is feltehetjük, hogy α 2 > α. Ekkor t -r teljesül (f g(t = f(t ug(udu f(t u g(u du M e α (t u M 2 e α 2u du = M M 2 e α t e (α 2 α u du = M M 2 e α t e(α 2 α t α 2 α = M M 2 α 2 α ( e α 2 t e α t M M 2 α 2 α e α 2t. Megmutthtó, hogy f g is szkszonként folytonos lesz, ezért f g Λ..45. Tétel (Konvolúiós tétel. Tetszőleges f, g Λ függvényekre L {f g} (s = L {f} (s L {g} (s, h Re s elegendően ngy.
2 Győri István, Hrtung Feren: MA4f és MA66 elődásjegyzet, 26/27 Bizonyítás: Az.3. és z.44. Lemmák lpján L {f g} (s létezik, h Re s elegendően ngy. Továbbá z integrálás sorrendjét felserélve kettős integrálbn kpjuk T lim T + e st ( f(t ug(udu dt = lim T T + T ( e st f(t ug(udu dt ( T = lim e st f(t ug(udt du T + u ( = e st f(t udt g(udu u ( = e s(v+u f(vdv g(udu ( = e sv f(vdv e su g(udu = e sv f(vdv e su g(udu, zz tétel állítás teljesül..7. Alklmzások.46. Péld. Adott b, ω R. Keressük zt z x : [, R kétszer differeniálhtó függvényt, melyre következő teljesül: és x (t + x(t = b sin ωt, t, x( =, x ( =. Az.28. Tétel lpján x, x, x Λ, ezért z egyenlet két oldlánk Lple-trnszformáltját véve (elegendő ngy Re s-re, és Lple-trnszformált tuljdonságit lklmzv kpjuk így L{x }(s + L{x}(s = L{b sin ωt}(s, s 2 X(s sx( x ω ( + X(s = b s 2 + ω 2, hol megint X(s = L{x}(s. Hsználv z x ( = és x ( = megdott értékeket kpjuk, hogy ω X(s = b s 2 + s 2 + ω 2 + s s 2 +, és így z.45. Tétel szerint x(t = b sin(t u sin ωu du + os t, t. Tegyük fel először, hogy ω ±. Ekkor z integrált sin(t u sin ωu = 2 ( os(t u ωu os(t u + ωu
. A Lple-trnszformált 2 zonosságot felhsználv számítjuk ki következőképpen: H ω =, kkor x(t = b ( os(t ( + ωu os(t ( ωu du + os t 2 ( [sin(t = b ] ( + ωu u=t [ ] sin(t ( ωu u=t + + os t 2 ω u= + ω u= = b ( sin ωt + sin t sin ωt sin t + + os t 2 + ω + ω b = (sin t ω sin ωt + os t, t, ω ±. ω2 x(t = b 2 ( os(t 2u os t du + os t = b (sin t + t os t + os t, t. 2 H ω =, kkor b sin( t = b sin t, így ez visszvezethető z előző esetre..47. Péld. Soros RLC ármkör H egy váltkozóármú ármforráshoz sorosn egy R ohmos ellenállást, egy L induktivitású tekerset és egy C kpitású kondenzátort kpsolunk, kkor z ú.n. soros RLC ármkört kpjuk: L R E(t C Tegyük fel, hogy R, L, C konstns értékek. Jelölje t időpontbn E(t z ármforrás áltl z ármkörbe jutttott külső feszültséget, I(t z ármkörben folyó ármerősséget, Q(t kondenzátor töltését. Ekkor tekers két vége között L di dt önindukiós feszültség, kondenzátoron pedig Q/C feszültség lép fel, ezért Kirhoff második törvénye lpján E(t = L di dt + Q C + RI. Ebből z I = dq dt = Q összefüggést lklmzv kpjuk, hogy Az egyenlethez rendelt kezdeti értékek: LQ + RQ + Q = E(t. (.9 C Q( = Q, Q ( = I( = I. (. H E(t differeniálhtó, kkor z egyenlet mindkét oldlát deriválv kpjuk z ármerősségre vontkozó egyenletet: LI + RI + C I = E (t.
22 Győri István, Hrtung Feren: MA4f és MA66 elődásjegyzet, 26/27 Ekkor I (-t z (.9 egyenlet segítségével fejezhetjük ki: I( = I, I ( = ( E(t RI L C Q. Oldjuk meg z (.9-(. kezdeti érték feldtot. Lple-trnszformáltját véve kpjuk Az (.9 egyenlet mindkét oldlánk Ebből kpjuk hol és így Ls 2 L{Q}(s LsQ( LQ ( + RsL{Q}(s RQ( + L{Q}(s = L{E}(s. C L{Q}(s = Φ(s + Ψ(s, Φ(s = (Ls + RQ + LI Ls 2 + Rs +, Ψ(s = C Q(t = φ(t + ψ(t, L{E}(s Ls 2 + Rs +, C hol L{φ(t}(s = Φ(s és L{ψ(t}(s = Ψ(s. Vegyük észre, hogy φ(t z feldt megoldás, és ψ(t pedig z feldt megoldás. Ly + Ry + C y =, y( = Q, y ( = I Ly + Ry + C y = E(t, y( =, y ( = Most tekintsük z (.9-(. feldt speiális eseteit.. eset: Tegyük fel, hogy ármkörben levő elemek ellenállás -nk tekinthető (ú.n. LC kör, zz R =, és nins külső feszültség rendszeren (E(t =, zz feltöltjük egy teleppel kondenzátort, mjd telepet lekpsoljuk z ármkörből: L C Számítsuk ki z (.9-(. kezdeti érték feldt megoldását. Ahogy zt már láttuk, L{Q}(s = Φ(s = L(sQ + I Ls 2 +. C Vezessük be z ω = LC jelölést. Ezt jelölést hsználv kpjuk s L{Q}(s = Q s 2 + ω 2 + I ω ω s 2 + ω 2,
. A Lple-trnszformált 23 és ezért Q(t = φ(t = Q os ω t + I ω sin ω t. Ekkor tehát rendszer egy ω frekveniájú szbdrezgést végez. sjátfrekveniájánk nevezzük. (Az ω számot rendszer 2. eset: Tegyük fel, hogy R =, Q =, I =, és E(t = E os ωt külső feszültség ht rendszerre, hol ω ω, E R. Ekkor és ezért Q(t = ψ(t = E Lω = E 2Lω = E 2Lω = = L{Q}(s = Ψ(s = E ω s Lω s 2 + ω 2 s 2 + ω 2, sin(ω (t u os ωu du ( sin(ω (t u + ωu + sin(ω (t u ωu du ( os ωt os ω t + os ωt os ω t ω ω ω + ω E L(ω 2 ω2 (os ωt os ω t 2E L(ω 2 ω2 sin (ω ωt 2 sin (ω + ωt. 2 H ω ω kisi, kkor ω + ω > ω ω, és így megoldás utóbbi képletét úgy is tekinthetjük, hogy z egy gyorsn oszilláló függvény, sin (ω +ωt 2, melynek z mplitúdój, 2E L(ω 2 ω2 sin (ω ωt 2 lssn oszillál. Ezt jelenséget lebegésnek hívják, mely tehát kkor figyelhető meg, h külső erő frekveniáj közel megegyezik rendszer sjátfrekveniájávl. Egy ilyen megoldás grfikonj láthtó következő ábrán. 4 2 2 4 6 8 2 4 t 2 4 L = 2, C = /8, E =, ω = 2, ω = 2..
24 Győri István, Hrtung Feren: MA4f és MA66 elődásjegyzet, 26/27 3. eset: Tegyük fel, hogy R =, Q =, I =, és E(t = E os ω t, zz rendszer sjátfrekveniájávl megegyező frekveniájú külső erő ht rezgőkörre. Ekkor és ezért Q(t = ψ(t = E Lω = E 2Lω L{Q}(s = Ψ(s = E Lω ω s 2 + ω 2 = E 2Lω t sin ω t. sin(ω (t u os ω u du s s 2 + ω 2, ( sin(ω (t u + ω u + sin(ω (t u ω u du Ebben z esetben tehát egy olyn oszilláló megoldást kptunk, melynek mplitúdój trt végtelenbe, h t. Ezt jelenséget rezonniánk hívják. 8 6 4 2 2 t 4 6 8 L =, C = /25, E =, ω = 5. 4. eset: Tegyük fel, hogy R =, Q R, I R, és E(t = E os ωt külső feszültség ht rendszerre, hol ω ω, E R. Ekkor megoldás z. és 2. esetben kiszámított két függvény összege lesz: Q(t = Q os ω t + I E sin ω t + ω L(ω 2 ω2 (os ωt os ω t. A következő péld zt illusztrálj, hogy Lple-trnszformáió módszere lklmzhtó konstns együtthtós lineáris differeniálegyenlet-rendszerek megoldásár is..48. Péld. Oldjuk meg z x = 3x 2y + e t, x( = 2, y = x + 6y e t, y( =
. A Lple-trnszformált 25 rendszert! Vegyük mindkét egyenlet mindkét oldlánk Lple-trnszformáltját, és hsználjuk z X = L{x} és Y = L{y} jelöléseket: A kezdeti feltételeket hsználv Az egyenletrendszert megoldv kpjuk sx(s x( = 3X(s 2Y (s + s sy (s y( = X(s + 6Y (s s. (s 3X(s + 2Y (s = 2 + s X(s + (s 6Y (s = s. X(s = 2s 2 s + 6 (s 4(s 5(s s 2 5s + Y (s = (s 4(s 5(s, és így priális törtekre bontv { x(t = L 2s 2 } { s + 6 = L (s 4(s 5(s 4 = 4 et + 2e 4t + 4 e5t { y(t = L s 2 } 5s + (s 4(s 5(s = 4 et e 4t 4 e5t. s + 2 s 4 + } 4 s 5 { = L 4 s s 4 } 4 s 5