Szimbolikus hálózatanalízis I. folyamatos idejű hálózatok KUNSÁGI LÁSZLÓ DR. CSÉFALVAY KLÁRA BME Elméleti Villamosságtan Tanszék ÖSSZEFOGLALÁS A cikk új módszert mutat be, folyamatos idejű, koncentrált paraméterű, lineáris, időinvariáns hálózatok szimbolikus és félszimbolikus alakú átviteli függvényeinek és az amplitúdó, ill. fáziskarakterisztika elősrendü relatív érzékenységfüggvényeinek előállítására. A hálózati egyenletek teljes rendszerét a csomóponti analízis módszerével közvetlenül a Laplace-transzformáció tartományában írjuk fel. Az egyes hálózati komponensek paramétereihez numerikus kódokat rendelünk, és az egyenletrendszert a determinánskifejtés Sannuti Puri algoritmusa segítségével oldjuk meg. Az ismertetett módszer alapján működő SYMBOL programrendszert a BME Elméleti Villamosságtan Tanszékén fejlesztettük ki. Bevezetés A szimbolikus hálózatanalízisnek több említésre méltó előnye van, segítségével megismerhetjük a hálózat paramétereinek hatását a hálózat tulajdonságainak kialakításában, a numerikus számolási hibát a szimbolikus alakba való behelyettesítéssel csökkenteni tudjuk, iteratív paraméter optimalizálási eljárásoknál a paraméterek szimbolikus kezelése a számítások nagymértékű csökkentését eredményezheti. Ezért a feladat bonyolultságától függően egyre nagyobb érdeklődés mutatkozik a szimbolikus hálózatanalízis iránt. Különféle szimbolikus analízismódszerek ismeretesek, mint például a jelfolyamgráfon alapuló módszerek, fakiválasztási módszerek, paraméter gerjesztéses módszerek és különböző numerikus interpolálási módszerek []. A szimbolikus analízisnél egv új eljárást dolgoztunk ki, amit a [4] továbbfejlesztéseként általánosabb elemkészletű folyamatos idejű hálózatokra alkalmaztunk [3], eljárásunk az előbb említett eljárásoknál hatékonyabbnak bizonyult. Folyamatos idejű lineáris hálózatok szimbolikus analízisére fejlesztettük ki a SYMBOL programrendszert. Az általa kezelt koncentráltparaméterű, lineáris, időinvariáns hálózat R, L, C, FDNR kétpólusokat, ideális erősítőt, műveleti erősítő integrátoros modelljét és feszültségvezérelt áramforrást tartalmazhat. A gerjesztő forrás feszültség, ill. áramforrás lehet. A program a komponensek karakterisztikái és kapcsolódásuk alapján s-tartománybeli hálózati egyenletrendszert állít elő az általánosított csomóponti analízis módszerrel. Ebből az egyenletrendszerből állítja, elő a kívánt átviteli függvényt, ill. tetszőleges hálózati komponens paraméterére vonatkozó S w, (íw, h) és S v (co, h) elsőrendű relatív érzékenységfüggvényeket. A program a megjelölt gerjesztés és válasz közötti átviteli függvényt szolgáltatja szimbolikus alakban, Beérkezett: 986. 27. ( ) DR. CSÉFALVAY KLÁRA kássága főként az oktatással kapcsolatos, hallgatói tudo- 966-ban szerzett villamos- mányos tevékenységét irámérnöki oklevelet a Buda- nyitja. Fő érdeklődési terüpesti Műszaki Egyetemen. lete folyamatos és diszkrét Az egyetem elvégzése után idejű hálózatok számitógépes a BME Villamosmérnöki analízise, valamint diszkrét Karra került, azóta az Elmé- idejű hálózatok számitógéppel leti Villamosságtan Tanszé- segített tervezése, ken dolgozik. Elméleti munvalamint az amplitúdó és fáziskarakterisztika és ezek relatív érzékenységfüggvényeinek grafikonját és listáját tetszőleges frekvenciatartományban, 2. Elemkészlet, karakterisztikák Források: feszültségforrás áramforrás E(s) = a{e(t)} adott (2.) J(s) = a {;(/)} adott (2.2) Kétpólusú LI komponensek: ellenállás U(s) = RI(s) (2.3) kondenzátor induktivitás I(s) = scu(s) (2.4) U(s) = sli(s) (2.5) FDNR (frekvenciafüggő negatív ellenállás) I(s) = s 2 DU(s) (2.6) Két kapus LI komponensek: ideális erősítő műveleti erősítő (integrátor modell) U x = 0, h = 0 (2.7) A = 0, U t (s) = U.is) (2.8) feszültségvezérelt áramforrás A fenti emlékezettel összetett kapcsolások is modellezhetők, így azok szimbolikus analízise, valamint a kapcsolások minősítése is elvégezhető. 400 Híradástechnika XXXVII. évfolyam 986. 9. szám
3. A hálózati egyenletrendszer és megoldása A hálózatot az általánosított csomóponti analízissel vizsgáljuk [2]. Az egyenleteket közvetlenül az j-lartományban írjuk fel. A hálózat változói a csomóponti potenciálok (<P), z-típusú ágáramok (I z ) ideális erősítők, műveleti erősítők kimenetei áramai (I b ), valamint a gerjesztések, feszültségforrások forrásfeszültsége, áramforrások forrásárama. A hálózat válasza az előzőkben megjelölt változók valamelyike, vagy több változót tartalmazó kifejezésként állítható elő, ami azt jelenti, hogy a hálózat bármely feszültsége, vagy árama megjelölhető kimenő változóként (Y). Az egyenletrendszert mátrixegyenlet formájában felírva: (G+ÍC+S 2 D) N B. B J M (R + JL). B. (A+sF)..... X. K E K J -W- a T b r c r... X H <D(s) I z (s) l (s) E(s) J(s) Y(s) O (3.) Az sor a csomóponti egyenletrendszert, a második a z-típusú két pólusok karakterisztikáit, a 3. sor a műveleti erősítők bemeneti feszültségkényszereit tartalmazza. A 4. sorban a hálózat válaszának és gerjesztésének kapcsolatát írjuk fel vagy E(s)-W- (s)-y(s) = 0 J^-W^Yis) = 0 (3.2) alakban, ha a gerjesztés feszültség ( ), vagy áramforrás (J) és W az átviteli függvényt jelenti. Az 5. sorban a hálózat Y válaszát fejeztük ki a hálózat változóival. Az egyenletrendszert a komponensek figyelembevételével fokozatosan építjük fel, és sparse módon tároljuk. Az (3.)-ben az 3. és 5. sor egyenletrendszere a hálózati egyenletek egy teljes rendszerét jelenti, ezek lineárisan függetlenek. A 4. sor felírásával amely a válasz és gerjesztés közötti kapcsolatot adja meg a W átviteli függvénnyel kifejezve az előzőktói lineárisan nem független egyenletet vettünkfigyelembe,így a (3.) egyenletrendszer egjütthatómátrixának determinánsa zérus lesz. det H = 0 * (3.3) Az egyenletrendszer determinánsát kifejtve a (3.3)- ban az egyes komponensek paramétereinek szimbólumai szerepelnek, az s Laplace-transzformáció változója, valamint szimbólumként megjelenik a W átviteli függvény jele. Ha a (3.3) egyenletből W-t a többi szimbólummal kifeje2zük, megkapjuk az átviteli függvény szimbolikus alakját. A jól ismert determiriánskifejtő algoritmusok ese- KUNSÁGI LÁSZLÓ 984-ben szerzett villamosmérnöki oklevelet a Budapesti Műszaki Egyetemen. Egyetemi hallgatóként, 982- ben tudományos diákköri dolgozatot készített folyamatos idejű hálózatok átviteli függvényeinek és érzékenységfüggvényeinek szimbolikus előállítása témakörben. Dolgozatával első díjat nyert, és 983-ban részt vett a XVI. Országos Tudományos Diákköri Konferencián. Jelenleg az MTA TMB tudományos továbbképzési ösztöndíjasa a Budapesti Műszaki Egyetem Elméleti Villamosságtan Tanszékén. Fő érdeklődési területe digitális szűrök szimbolikus számitógépes analízis, érzékenységtulajdonságaik, valamint realizálási lehetőségeik és problémáik vizsgálata. tünkben nem használhatók, mert az együtthatómátrix betűszimbólumokat tartalmaz. Ezért a determinánst szorzat összeggé átalakító módszert használtuk. Egy A mátrix determinánsának kifejezése: det A = Zjgj- VI, "j2,2 (3.4) ahol a kl az A A>adik sorában és /. oszlopában álló eleme. Az összegzést valamennyi előállítható sorozatra el kell végezni. A felhasznált (/i,./ 2... j ) számsorozatokat, valamint g } előjeleket P. Sannuti és N. N. Puri [4]-ben ismertetett algoritmusával határoztuk meg. A determináns kifejtéséhez valós számsorozatokat és megfelelő előjelet generálunk. A számsorozat j. sorában n valós szám áll, ha az A mátrix mérete nxn. A Sannuti Puri számsorozat: ISE, = QJ2, A...,jk,...Jn] (3.5) Attól függően, hogy a k. helyen jk értéke mennyi, az A n mátrix a jkik elemét kell venni, és a JJ a Jkik szorzatot kell kiértékelni. A továbbiakban a Sannuti Puri algoritmust ismertetjük. Tekintsünk egy A ritka mátrixot, és az A mátrix ismeretében bevezetünk egy R rutin mátrixot, amelyik a megfelelő oszlopaiban az A mátrix nem nulla mátrixelemeinek sorszámát tárolja. (Megjegyezzük, ha az A mátrix nxn rendszámú, az R (n + l)xn rendszámú is lehet, ha az A mátrixnak volt olyan oszlopa, amelyikben zérus nem szerepelt. Az R mátrix minden oszlopában az utolsó elem zérus.) A (3.6) alatt megadtunk egy A mátrixot, és a hozzá tartozó R mátrixot is generáltuk. ^ ^2 ^3 0 0 ö 22 0 a24 «3 0 fl 33 0 0 CÍ42 ÍJ43 Ű44 R ' 2' 3 2 3 4 0 4 4 0.0 0 0 (3.6) Bevezetünk egy n elemű F zászlós vektort, és egy n elemű P mutató vektort. Az R rutin mátrix ismeretében az ISE sorozatokat generáló algoritmus: Híradástechnika XXXVII. évfolyam 986. 9. szám 40
INICIALIZÁLÁS: SET F(/)-0, J>OV0 minden j-re l*-j*n SET k SET ISE és F(ISE (*))* GO TO a TOVÁBBLÉPÉSRE SET k-k + l GO TO a KERESŐ LÉPÉSRE KERESŐ LÉPÉS: mifjtfwtttt í* 0 GOTO (2) () (/>(*:), fc) = 0 GO TO (5) (2) IF F(R(P(k),k)) \= Q gg? g) (3) SET ISE (k)~-r(p(k),k) SET F(ISE(A:)) _. f=n GO TO SIKERES LÉPÉS l h \*n GO TO TOVÁBBLÉPÉS k (4) SET P(k)~P(k) />(*)- + l GO TO () = GO TO VÉGSŐ LÉPÉS (5) IF k { J GO TO VISSZALÉPÉS VISSZALÉPÉS: SET P(k)* SET k~k-l SET F(ISE(Á:))-0 SET P{k)~P(k) + l GO TO KERESŐ LÉPÉS SIKERES LÉPÉS: Egy valós sorozatot sikeresen generáltunk, a továbbiakban csak dekódolás szükséges. Más lehetséges valós sorozatot keressünk! SET F(ISE(h))~0, F(ISE(/i-l))^0 SET P(n)~l, P(n-l)~P(n-l) + l SET k~-n-l GO TO KERESŐ LÉPÉS VÉGSŐ LÉPÉS: Minden lehetséges valós számsorozatot megtaláltunk. A Sannuti Puri ISE sorozatok generálása kis mátrixokra rendkívül gyors, míg viszonylag nagyméretű mátrixok esetén az ISE sorozatok előállítása és kiértékelése lassú. Az ISE sorozatok alapján generáljuk az ISE előjeleket g, = SIGN(ISE) y (3.7) Algoritmus az ISE előjelek megállapítására: Kezdjük egy adott ISE; számsorozattal. Legyen = Á számsorozat i. helyén álló pozitív szám /. Mozgassuk /-et az /. pozícióba, ez /-i elmozdulást jelent. A módosított sorozatban ha az i. helyen /=/ pozitív szám áll, akkor növeljük meg i-t -gyel, és ismételjük meg az eljárást mindaddig, míg i=n lesz. Megjegyezzük, hogy minden lépésben az előzőleg már módosított ISE jelsorozaton végezzük el a mozgatást. Az eredeti ISE jelsorozat előjele pozitív, ha /= -től n-ig a mozgatások száma páros, az előjel negatív, ha a mozgatások száma páratlan. Például ISE: 3 4 2, a teljes mozgatások száma 3 (egy mozgatás i'=l-re, és két mozgatás j'=2-re), így S=SIGN(ISE) negatív lesz. A (3.6) alatt adott A mátrixhoz tartozó Sannuti Puri sorozatok és előjelek: + + 2 3 4 4 3 2 3 4 2 3 2 4 3 4 2 Az A mátrix determinánsa: det A = 002203304 űii^a ű 33 fl i4 - a 3 i Oi 2 a 43 a 24 - a 3 a 2S a 3 a ti +a S i a 48 Oi 3 a M A 3.4-ben kijelölt műveletek elvégzése előtt a hálózat egyes paramétereit jelentő szimbólumokhoz numerikus kódokat rendelünk, mert a kódolásos módszer alkalmazása gyorsabbnak és hatékonyabbnak bizonyult, mint a betűszimbólumok közötti karakteres műveletvégzés. A kódolásnál kihasználtuk, hogy a 2. pontban megengedett elemkészlet paramétereire az átviteli függvény bilineáris alakú [2], azaz ezen elemek szimbólumai legfeljebb elsőfokon szerepelhetnek az átviteli függvény számlálójában és nevezőjében. A kódolásnál 2 hatványaira épülő kódrendszert használunk. Minden elemszimbólumhoz más-más nemnegatív egész kitevőt rendelünk. A kódolt menynyiségek numerikus együtthatóit külön tároljuk. Mivel az átviteli függvény számlálója és nevezője s magasabb hatványait is tartalmazhatja, ezért s számára egy kitevőtartományt kell fenntartani. A W~ szimbólum csak egy helyen fordul elő a hálózati egyenletrendszerben, így a kifejtett determináns W -re nézve is bilineáris lesz, azaz elég hozzá egyetlen 2-hatványt rendelni. Az így kialakított hatványrendszer jól alkalmazható, mert a létrehozott kódok helyes műveletvégzés esetén nem kerülnek fedésbe, és a közöttük kijelölt műveletek és a dekódolás könnyen végrehajthatók. A cikkben leírt elven alapuló SYMBOL programrendszert PDP /45 számítógépen fejlesztettük ki. Egy egész típusú változó ezen a gépen 6 bites, ekkora számábrázolási tartomány az eredmény áttekinthetőségét figyelembe véve elégnek bizonyult. Az előjelbitet a kódolásnál nem használtuk fel, a további 5 bit felhasználása a következő: bit: elemszimbólumokhoz rendelt kódok 4. bit: s hatványaihoz rendelt kódok 5. bit: W -hez rendelt kód Ez a felosztás 0 elem szimbolikus kezelését engedi meg. Ugyanakkor az átviteli függvény számlálója, ill. nevezője s-ben maximum 5-öd fokú lehet. E korlátok természetesen önkényesek (célunknak, a kis és közepes méretű hálózatok vizsgálatának megfelelnek), nem a kódolás elvéből következnek. Egész típusú vektor vagy valós változó használata egyszerű bővítési lehetőséget ad. A (3.4) összefüggés szorzatösszeg formában állítja elő egy mátrix determinánsát. Ezért a korábban létre- 402 Híradástechnika XXXVII. évfolyam 986. 9. szám
hozott kódok között két olyan műveletet kell értelmezni, melyek eredeti tartománybeli megfelelői az előjeles összeadás és a szorzás. Két kódolt mennyiség szorzásakor a kódokat öszszeadjuk, a külön tárolt numerikus együtthatókat pedig összeszorozzuk. Kódolt mennyiségek összeadását csak azonos kódú mennyiségek között végezzük el (a numerikus együtthatók előjeles összeadásával), a különbözőeket egy adatvektor különböző celláiba jegyezzük be, azaz tagonként tároljuk a heterogén tagokból álló összeget. Dekódolásnál annyi tagunk lesz, ahány elemű az adatvektorunk, az egy-egy tagon belüli tényezők pedig az egymást át nem fedő, definiált alapkódok lehetnek. Az átviteli függvény számláló, nevező polinomjának elkülönítésében segít a W~ x szimbólum. Az ennek megfelelő kód ugyanis az együtthatómátrix szorzatösszeg alakú determinánsában csak a számláló polinom tagjaiban szerepel (a det H=0 összefüggés miatt). Mivel a (3.) egyenletrendszer együtthatómátrixa rendkívül ritka (sparse), ezért jelentősen csökkenthetjük az egyenletrendszer megoldásakor igénybe vett memóriaterületet. A tárolásnál a sparse tárolási módszert használjuk, H nullától különböző mátrixelemeinek sor-és oszlopindexét és az itt szereplő szimbólumok numerikus kódjait tároljuk. Minél nagyobb a vizsgált hálózat mérete (az együtthatómátrix rendszáma), annál kedvezőbb ez a tárolási módszer. Csak a (3.4)-ben kijelölt műveletek elvégzése és a számláló és nevező szétválasztása után, közvetlenül a szimbolikus átviteli függvény kinyomtatása előtt de- /. ábra. Sallen Key aluláteresztő szűrő IH58 kódoljuk a numerikus kifejezéseket az eredeti szimbólumok kifejezésébe. A SYMBOL program sparse tárolási módszerét, a paraméterek numerikus, illetve kódolt formájú tárolását, a Sannuti Puri algoritmusra épülő determinánskifejtést, és végül az átviteli függvény félszimbolikus alakú előállítását mutatjuk be a Sallen Key mámásodfokú aluláteresztő szűrő analízise kapcsán. A vizsgálandó aktív RC hálózat az ábrán látható. Feladatunk a W(s)=U 2 (s)/e(s) átviteli függvény félszimbolikus alakú előállítása. A szimbólumokhoz numerikus kódokat rendelünk: i?! - 52 R t - 256 s * 024 W A hálózati egyenletrendszer: 6384 V) n.. <PI. (l +4s) -4s -! <p» (l+0,25s)! <p». 0, l. ' <j»4. -4s. 4s. :.. i - t*;.. i.... iv- H E Az egyenletrendszer sparse tárolása: Előjel g orosz-+numelop rikus érték Kód Sorszám Sor Oszlop Előjel + numerikus érték H Kód 2 2 0 7 7 4 _! 0 2 2 3 0 8 7 5 0 3 3 2 0 9 4 7 0 4 3 3 0 0 5 7 0 5 4 4 0, 0 8 4 0 6 2 2 4 024 2 8 3 0 7 2 5-4 024 3 5 8 0 8 5 2-4 024 4 9 0 0 9 5 5 4 024 5 9 0 0 3 3 0,25 024 6 9 0 6 6 52 7 0 0 0 2 6 0 8 0 5 6 384 3 b 2 0 4 6 0 5 2 6 0 6 7 7 256 = 0 A Sannuti- -Puri sorozat: SIGN (ISE) ISE (jl, j2, jn) 0 2 7 5 9 0 2 4 5 9 7 6 4 5 0 7 6 4 5 0 8 4 2 6 7 5 0 8 7 6 4 5 0 3 8 7 2 4 5 0 A det H kifejtése az ISE sorozatok alapján numerikus és kódolt formában: 2 3 4 5-0,25-0,25 0,4 0 024 536 792 2560 Nevező 6 7 6384 0, 6640 s» Számláló Híradástechnika XXXVII. évfolyam 986. 9. szám 403
Dekódolás után a determináns félszimbolikus alakú kifejezése: det H = 0 W -*+0, r Rt W - - 0,25s - 0,25./?! s+0,4si? x R t - Ha -s 2 R = 0 Az átviteli függvény félszimbolikus alakban: W(s) l+0,l/?4 + 0,25s + 25Í?! s - 0,4^ R t s + R t s 2 R = és J? = 0,9375 [!?] = fcí2 az átviteli függvény:,09375 W(s) = l+0,25s+s a 4. Az amplitúdó és fáziskarakterisztika relatív érzékenységfüggvényeinek számítása A 2. pont alatt megadott elemkészlet lehetó'vé teszi, hogy a W(s) átviteli függvény tetszőleges h paramétertől való függését felírjuk a következő bilineáris alakba: N w { : h )- ( S >V - A(s)+B(s).h ahol A(s), B(s), C(s), F(s) a h paramétertől függttlen polinomok. Az S^(s, h) relatív érzékenységfüggvényt definíció szerint képezve: h 3W(s, h) S?(s,h) = W(s, h) dh B(s)-C(s)-F(s)-A(s) = h N(s,h)-D(s,h) (4.2) Az átviteli függvény érzékenységfüggvényének ismeretében az amplitúdókarakterisztika és a fáziskarakterisztika érzékenységfüggvényeinek kifejezése: Sfijm, h) = sr(<», h)+j<p(a>, h) Sfico, h) (4.3) ahol (p(a>, h) = arc W(ja>, h) Az (4.2), valamint az (4.3) kifejezésekből az amplitúdókarakteriszlika és fáziskarakteriszlika relatív érzékenységfüggvénye : BU f; U t~n? m)^ \ sr'(o>, A) = Reífc l N(ja>,h)-D(jco,h) J St(a>,h) = (4.4) lm {/z *0"ö>K( jcö) - F(jm)A (jco) \ ) (4.5) <p(a>, fc) N(ja>,h)>D(ja>, h) Az ST'íco, h) és 5?(co, /i) számítására az (4.4) és (4.5) alapján egyszerű összefüggést tudunk adni, ha az gwua.h) érzékenységfüggvény számlálóját és nevezőjét co páros és páratlan hatványkitevőjű tagjait tartalmazó részekre bontjuk fel: S?(a,,h) = N e(p,h)+jn 0 (co,h) D e (a>, h)+jd 0 (co, h) (4.6) A (4.3) alapján az átviteli karakterisztika amplitúdó és fázis érzékenységfüfgvényei: sr(co,h) N e (co, h)d e (co, h) + N n (co, h)d 0 (co, h) B 2 e(co,h)+d*(co,h) (4.7) N a (co, h)d e (a>, h)- N ff (co, h)d (co, h) (p(co, h) Df(co, h)+dz(co,h) (4.8) A (4.7) és (4.8) kifejezések kedvezők az érzékenységek számítógéppel történő kiszámítására. A szimbolikus és numerikus érzékenységfüggvények számílása, valamint azok grafikus megjelenítése is a SYMBOL programcsomag szolgáltatásai közé tartozik. 5. Mintapéldák A 2. ábra ideális erősítőket tartalmazó hálózatának gerjesztése e, válasza a bejelölt u feszültség. Feladat a szimbolikus alakú l (s)=u(s)/e(s) átviteli függvény meghatározása. A SYMBOL által szolgáltatott eredmény: (R2R3 + W(s) = R\-Rl)+s*-RVR2-R4R5C\-C2 ~RlR3+s-R2R4R5C2+s!í -RlR2R4R5Cl-C2 e R 6 rj 2. ábra. Fiiege elliptikus alaptag H58-2 404 Híradástechnika XXXVII. évfolyam 986. 9. szám
"t h t( U Lg T T w 3. ábra. Hetedfokú LC alul áteresztő szűrő Csebisev approximációval 3.0936 5 ta,h,f IQ,Fe&ségAbe>} % IH58-3I 2. példa. Hetedfokú LC aluláteresztő szűrő Csebisev approximációval Tekintsük a 3. ábra LC létrahálózatát, gerjesztése e, válasza az u feszültség. Feladat a W{s, CS) félszimbolikus alakú átviteli függvény eló'állítása, adott C5 esetén az amplitúdó és fáziskarakterisztika számítása és Bode-diagramjaik ábrázolása, valamint az S^Xai) relatív érzékenységfüggvény számítása és ábrázolása. A SYMBOL által szolgáltatott eredmény: W(s, C5)=l/D(s, C5) D(s, C5)=2+(2,742+C5)J+(23,384 + 0,59 C5)s 2 +(47,864+34,54 -C5).s 3 +(33,3+5,066 0, 2, 2000 2244 258 2825 370 3557 399 4477 5024 5637 6325 7096 7962 8934 0024 247 269 459 5887 7825 0000 C5)s 4 +(35,86 +90,69 -C5).í 5 +5,29 -C5 >s 6 + +55,47 «C5 -s 7 Ha C5 =,735F, akkor W(s)=l/D(s) D(s)=2 +3,95s+35. 728J 2 +88,398í 3 +93,039J 4 + + 4,675 s 5 +60,06í«+65,095^ A szűrő amplitúdókarakterisztikájának diagramját a 4. ábra mutatja. A fáziskarakterisztika diagramja az 5. ábrán látható. Az S^(có) relatív érzékenységfüggvény: N(co)=8,358CÜ 2 +06,888co 4 8,98eo 6 +763,48co 8-489,7.ca 0 + 2 497,5CÜ 2-4237,35CÜ 4 #((U):=4 + 50,733ÍO 2-8,553 -co 4 +4868,45.CÜ 6-3 907,9 -co 8 +20 395,8co 0 4 83,9 -co l2 + +4237,35 -tó 4 Az S^(OJ) érzékenységfüggvény és a W (co) amplitúdókarakterisztika diagramja a 6a, b, ábrán látható. 3. példa. Hetedfokú LC aluláteresztő szűrő Brutontranszformáltja Tekintsük az előző mintapélda LC létrahálázatából Bruton-transzformációval előállított RD létrahálóza- 74.29-64.480-54.740-45,0-35.26-25.522 5.782-6.0428 DB *-7.0528 *-7,049 *-6.9846 *-6.842 *-6.620 *-6.3247 *-6.0765 *-6,0428= *-6.356 *-6.8438 *-7.0469 *-6,5254-6.0556 *-7.0455 *w7.2530 *-47,86ö *»37.283 *-24.326 *«57.26l *-65,967 *-74.29 FREKV. H 58-4 2000 224< 258 2825 370 3557 399 4477 5024 5637 0,6325 7096 79$2 0,8934 0024 247 269 4S9 5887 7825 2.0000 4. ábra 62.34 4.27-66.95 8.23 29.948 78.020 26.0 74.6 FOK *-737 *-78.03 *-86.74 *-96.844 *08.83 *23.37 *4l6 *»62.34 *«4,38 *-ll.b38 5. ábra FREKV. * 74.6 * 49.85 * 24.22 * 92.27 * 44.56 * 68.29 * 48.28 * 37.?8 * 29.70 * 23.96 * 9.39 H58-5I Híradástechnika XXXVII. évfolyam 986. 9. szám 405
-43.94B -36.098-29.048-2.*59fl -t«.48-6.6976 7524 8.2025 08 3500 *6.ao9 3557 *6.67 Ű.JM ) *6.89 0*3674 *7.2«373a *7.684 37<)4 *-)8.23B 3«56»8.933 3«9 *9.806 39BÍ *-2fi.Ql6 4048 *-22.35«43 *-2<l.30 980 *-?7.097 424«*-37B 438 *-«3.948 4388 *-.36. < 767 4459 *-?8.76 4S32 *-24.53? 4606 *?!..628 *8 *-J<>.ai9 4757 *7.649 4835 *6.B7 493 *4.956 4«93 #3.909 5075 *3.04 557 *2.2a8 524 *-ll.593 5326 *037 543 O570 550 *83 559 *-9.8703 568? n-9.6267 577«*-9. a/80 5868 *-9.332 596a *-9.2743 606 *-9.2760 660 *-9.3364 6260 *-9.4566 6362 *-9.6392 6466 K-9.8884 657' *2l 6678 *66 6787 *7 6897 *73«7009 *2.495 72a *3.aa7 7240 *4.65B 7357 *-l6.254 7477 *8.476 "7599 W.907 7723 *-28.69B 7848 *«3ft.320 7976 *-23.464 8Óh *-)7.778 8238 *4.006 8372 *-U.082 8509 n-8.6345 6647 *-6.4932 8788 *-a.5727 893 *-2.8394 9076 *.3097 9224 *-089 9374 * 5552 9527 *-2877 9682 *-7.0939 9R40 *»7304,0000 * 8.2025 FREKV. H 58-6ol 6a), ábra tot (7. ábra). Feladat a frekvenciafüggő negatív ellenállásokat (FDNR) tartalmazó hálózat W(s, D5) félszimbolikus alakú átviteli függvényének előállítása. A SYMBOL eredményei: W(s, D5) = N(s) D{s,D5) N(s) = 0,5 +s05 D (s, D5) = 22,029+24 36,4 s+ +(4336+2 85,9- >5)-s 2 + +(266 885 +22 07 D5) s 3 + + (532 474+387 60 D5) s 4 + +(373 484+580 827 D5) s 5 + +(396 307 + 0090-D5)-s s + +(577 704 D5) s 7 +(63 007 D5) s 8 ha D5 =,735 K ) D(s) N(s) = 0,5+505 Z>(s) = 22,029+24 36,4 s+57 66s 8 + +40 36s 3 +986 806s*+ 055 080 s 5 + + 572 040-s 6 +677 936s 7 +79 364s 8. 406 Híradástechnika XXXVII. évfolyam 986. 9. szám
o.35oo 3557 365 3674 3734 3794 3A56 399 3983 o.404«4* 80 4249 43«43BS 4459 4532 4606 46fit 4757 4B3S 493 4993 5075 557 524 5326 543 550 559 568? 5774 5B6B 5964 606 660 6260 636? 6466 657 667H 67H7 6897 7009 724 724O 7357 7477 7599 7723 7R4«7976 B06 S23* H37? 0509 6647 0,ti7«8 593 9076 9224 9374 9527 96í)2 9«4 0 0000-7.094-6.8768-6.734-6.595-6.4489-6.3062-6.636-6.0209 D& *-6.403 *-6.365-6.320 *-6.?794 *-6.2398 *-6.208 *-6.658 *-6.325-6.025 *-6.0762 *-6.0544-6.0375 *-6.0262 *-6.0209 *-6.0222 *-6.0304 *-6.0458 *-6.0685. *-6.0986 *-6.359 *-6.802 *-6.2309 *-6.2875 *-6,3490 *-6.4J47 *-6.4833 *-6.5536 *-6.6242 *-6.6937-6.7606 *-6.8232 *-6.H799.*-6.9292 H-6.9693 *-6.99fl6-7.058-7.094-7.0082 *-6.984 *-6.938 *-6.87f)4 *-6.8027 *-6.722 *-6.6092 *-6.4973 *-6.384 *-6,2682-6.66I *-6.0845 *-6,0334 *-6.029 *-6.0563 *-6.387 *-6,2650 *-6.4249-6.6Q8 *-6,7744 *-6.978 *-7,00(8 *-7.0080 *-6,9029 *-6.6770 *-6.3554 *-7.0 84 FRFKV 6b). ábra *-6.0639 *-6.272 H58-6bl 6. Összegezés A cikkben új módszert mutatunk be folyamatos idejű KLI hálózatok szimbolikus analízisére. A hálózati egyenletrendszert az általánosított csomóponti analízis segítségével közvetlenül az s-tartományban írjuk fel. Ismertetjük a szimbólumokat tartalmazó egyenletrendszer megoldásának módszerét, és egy lehetséges számítási eljárást az amplitúdó és fáziskarakterisztika relatív érzékenységfüggvényeinek meghatározására a «y- m> c,-c,-i RfR 6-3,0936 D 3-D 6.mS H 58-7 7. ábra Hetedfokú LC aluláteresztő szűrő Bruton-transzformáltja Híradástechnika XXXVII. évfolyam 986. 9. szám 407
szimbolikus átviteli függvényből. Az itt bemutatott módszereket felhasználó, BASIC PLUS programnyelven megírt SYMBOL programrendszer a megjelölt gerjesztés és válasz közötti szimbolikus alakú átviteli függvényt, az amplitúdó és fáziskarakterisztikának, és ezek relatív érzékenységfüggvényeinek grafikonját és listáját szolgáltatja tetszőleges frekvenciatartományban. A programrendszer a BME Műszer- és Méréstechnika Tanszékének PDP /45 számítógépén futtatható. A kidolgozott szimbolikus analízis módszer rendkívül hatékony, ezt az egyenletrendszer gyors felépítésének és sparse tárolásának, valamint a Sannuti Puri gyors determinánskifejtő algoritmusnak köszönheti. 7. Köszönetnyilvánítás A szerzők köszönetüket fejezik ki dr. Fodor György professzornak, a műszaki tudomány doktorának értékes megjegyzéseiért és a kézirat átnézéséért, és dr. Simonyi Ernőnek, a műszaki tudomány kandidátusának rendszeres szakmai támogatásáért. IRODALOM [] L. O. Chua and P. M. Lin.: Computer-aided Analysis of Electornics Circuits, Englewood Cliffs, New Jersey Prentice Hall. 975. [2] Dr. Fodor Gy.: Villamos hálózatok csomóponti analízise. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 982. [3] Kunsági L.: Átviteli függvény szimbolikus generálása, érzékenységfüggvén> számítása 982. TDK. [4] P. Sannuti N. N. Puri: Symbolic Network Analysis-An Algebraié Formulation, IEEE Trans. on Circuits yand Systems vol. CAS 27 pp. 679 687. Aug. 98 o ST 025 sztereó tuner OIRT es CCIR rendszerű ültrarövidhullámu FM sávok Közép és nyújtott rövidhullámú (49 m) AM savók Digitális frekvenciakijelzés minden vételi savon Servo Lock áramkör LED-soros térerősségmérö Zajhatároltt érzékenység: FM:/<V AM: 5 V Jel/zajviszony: FM: 70 db AM: 50 db Harmonikus torzítás: Sztereo-szetvalasztas: Hangfrekvenciás átviteli tartomány: Teljesítményfelvétel: Tápfeszültség: Méretek: FM:0,2% AM: 5% 35 db FM:6Hz6kHz AM:20Hz-2700Hz 6W 220 V 50 Hz 280x56x225 mm 408 Híradástechnika XXXVII. évfolyam 986. 9. szám