A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye Például az összeadásak a kivoás ( 5 és 5 ), a szorzásak az osztás ( 4 és : 4 ), a hatváyozásak a gyökvoás ( 4 és 4 ) a fordított művelete stb az f :, f függvéy iverz függvéye az f :, f az f : f, f 4 függvéy iverz függvéye az f :, :4 függvéy az :, f függvéy iverz függvéye az f f függvéy f :, Az utolsó példá érdemes elgodolkodi, hisze ( ) is 4 és mégis 4 Értelmezhetük egy olya függvéyt, amelyek az értelmezési tartomáya a pozitív valós számok halmaza és értéktartomáya a valós számok részhalmazaiak halmaza úgy, hogy mide pozitív számak megfeleltetjük az összes olya valós számból alkotott halmazt, amelyek égyzete Tehát f : P ( ), f y y { } vagy f { ± }, Hasolóa járuk el a reláció iverzéek megszerkesztéséél vagy bizoyos halmazok függvéyek szeriti ősképeiek taulmáyozása sorá Egy C B halmazak a g : A B függvéy általi ősképe azo A-beli elemek halmaza, amelyekek a képe a C halmazba va Tehát g ( C) { A f C } Hasoló megfeleltetéssel találkoztuk a komple számok -ed redű gyökeiek értelmezése sorá z u u z { } α kπ α kπ z cos isi α arg z, k 0, Így például az -ek eze függvéy által az -ed redű egységgyökök halmaza felel meg A deriválást is tekithetjük műveletek vagy leképezések, ha mide f : deriválható függvéyek megfeleltetjük a deriváltját Így egy olya leképezést értelmezük, amely a deriválható függvéyek halmazát képezi le a függvéyek halmazára Ebbe a fejezetbe eek a leképezések a képtartomáyát vizsgáljuk meg, majd módszereket vezetük le bizoyos típusú függvéyek ősképéek meghatározására Tekitsük az f :, f ( ) függvéyt Látható, hogy az F :, F függvéy deriváltja potosa az f függvéy Azt modjuk, hogy az F függvéy az f függvéy primitív függvéye Tudjuk, hogy az álladó függvéy deriváltja 0, tehát mide F :, F( ) a, a, alakú függvéy primitív függvéye az f-ek XI osztályba (lásd a Lagrage tétel következméyeit) láttátok,
8 A primitív függvéy és a határozatla itegrál hogy ha I egy itervallum, F, F :I deriválható függvéyek és F F, I, akkor az F és F függvéyek egy álladóba külöbözek egymástól (Ha F ( ) F, I, akkor F ( ) F 0, I, tehát ( F F ) () 0, I Így az F F F függvéy álladó az I itervallumo, mert a Lagrage tétel alapjá bármely, I ( < ) eseté létezik c (, ) ( ) ( úgy, hogy F F F c), tehát F F,, I, 0 ( ) azaz F álladó) Tehát az f :, f ( ) függvéy primitív függvéyei csak az F :, F a alakú függvéyek Az { F : F a } halmazt (azaz az f függvéy primitív függvéyeiek halmazát) az f függvéy határozatla itegráljáak evezzük és az f d szimbólummal jelöljük Az előbbiek alapjá megfogalmazhatjuk az alábbi értelmezéseket, tulajdoságokat: Értelmezés Ha D egy halmaz, amely felírható em degeerált (legalább két külöböző elemet tartalmazó) itervallumok egyesítésekét és f : D egy függvéy, akkor az F : D függvéyt az f függvéy primitív függvéyéek (vagy egyszerűe primitívjéek) evezzük, ha F deriválható a D-, és F ( ) f, D Értelmezés Az f : D függvéy primitív függvéyeiek halmazát az f függvéy határozatla itegráljáak evezzük és az f d szimbólummal jelöljük Az itegrál alatti f függvéyt itegradusak vagy itegráladóak evezzük Tehát { F : D F deriválható D- és F f} f d Tulajdoság Ha I egy itervallum és F, F :I az f : I függvéy két primitívje, akkor létezik olya c szám, amelyre teljesül az F F c egyelőség mide I eseté Tehát itervallumo értelmezett, primitívvel redelkező függvéy két primitívje egy álladóba külöbözik egymástól Példák 00 Az f :, f ( ) függvéy egy primitívje az F :, 00 F( ) függvéy 00 Az f :, f függvéy egy primitív függvéye az F :, F függvéy Egy másik primitív függvéye a G :,, ha < 0 G függvéy, ha > 0 Ebbe a fejezetbe a D em degeerált itervallumok egyesítése és I itervallum
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 9 si cos, 0 Az f :, f függvéy egy primitív függ- 0, 0 cos, 0 véye az F :, F függvéy 0, 0 Megjegyzések Fotos az előbbi tulajdoságba az a feltétel, hogy a függvéyek itervallumo vaak értelmezve A példáál is láthattuk, hogy az F és G primitív függvéyek külöbsége em álladó Az egyszerűség kedvéért jelöljük C -vel az adott értelmezési tartomáyo az álladó függvéyek halmazát Ekkor, ha egy I itervallumo értelmezett f : I függvéy egy primitívje az F : I függvéy, akkor f d F( { g : I g a,, a } C ) C, ahol az I itervallumo értelmezett álladó függvéyek halmaza Értelmezés Ha egy M halmazo értelmeztük a : M M M műveletet és AB, M, akkor A B y A, y B Ha : K M M egy külső { } művelet, akkor { } λ M λ M (Hasoló műveleteket a pothalmazok vektoriális jellemzéséél haszáltuk lásd a IX osztály számára írt taköyvet) Példák Ha M és A {, 0, } valamit B {,, } két részhalmaza, akkor: A B {( ) ( ), ( ) ( ), ( ) 0 ( ), 0 ( ), 0, ( ), ( ), } {,,, 0,,, } és A B {,, 0,, } Ha tekitjük az egész számokkal való szorzást külső műveletkét, akkor például a páros egész számok halmaza, hasolóa értelmezhető, a { } páratla egész számok halmaza stb Ha A M ( ) és B M ( ), akkor A B M ( ) A mátriok valós, számmal való szorzását tekitve külső műveletkét,, M ( ) a páros elemeket tartalmazó másodredű égyzetes mátriok halmaza Az előbbiek alapjá a függvéyekkel végzett műveletek ismeretébe végezhetük műveleteket a C halmazzal is Tudjuk, hogy két (közös értelmezési tartomáyal redelkező) álladó függvéy összege és szorzata is álladó függvéy, egy valós számmal vett szorzata is álladó függvéy Tehát C C C, λc C, λ Ugyaakkor bármely álladó függvéy felírható két álladó függvéy összegekét (pl ömaga és az azoosa ulla függvéy összegekét), és felírható, mit egy tetszőleges ullától külöböző valós szám és egy álladó függvéy szorzata (pl ha a f, g : I, f a, I és g( ), I ( λ 0 ), akkor f λg ) λ
0 A primitív függvéy és a határozatla itegrál Tehát C C C és C λc, λ, azaz C C C és C λc, λ A deriválható függvéyek tulajdoságai alapjá, ha az F, G : D függvéyek az f : D és g : D függvéyek primitívjei, akkor az F G : D függvéy az f g : D függvéy egy primitívje, mert ( F G) F G f g Ugyaakkor ha H : D az f g egy primitívje, akkor az f egy tetszőleges F : D primitívje eseté a G : D, G H F függvéy a g egy primitívje, mert G ( H F) H F f g f g, tehát az f g mide primitívje felírható az f és g egy-egy primitívjéek összegekét, így f ( ) d g ( ) d ( f g )( ) d Hasolóa, ha F : D az f : D egy primitívje, akkor λ F : D a λf : D egy primitívje, ahol λ, mert ( λf) λ F λf és ha H : D a λ f : D egy primitívje, akkor F H : D az f egy λ primitívje, mert F H f λ H λ f tehát írhatjuk, hogy λ λ f d f λ λ d Megjegyzés Ha f és g itervallumo értelmezettek és F és G egy-egy primitív függvéyük eze az itervallumo, az előbb bevezetett műveletek alapjá f ( ) d g ( ) d F C G C F G C C F G C f g d és λ f d λ( F C ) λf λc λf C λ f d Az előbbiek alapjá megfogalmazhatjuk az alábbi tulajdoságot: Tulajdoság Ha az f : D és g : D függvéyekek va primitív függvéye, akkor az f g : D függvéyek is va primitív függvéye és egyelő az f és g egy-egy primitív függvéyéek összegével: ( f g )( ) d f ( ) d g ( ) d, valamit ha λ, akkor a λ f : D függvéyek is va primitív függvéye és f d f λ λ d Az előbbi tulajdoság azoali következméye az alábbi: Következméy Ha az f és g : D függvéyekek va primitív függvéye és α, β, akkor az αf βg : D függvéyek is va primitív függvéye és ( f g) d f d g α β α β d
A primitív függvéy és a határozatla itegrál Ha az f : D függvéyek va primitív függvéye, a g : D függvéy em redelkezik primitív függvéyel és α, β, akkor az αf βg : D függvéyek ics primitív függvéye (Ellekező esetbe, ha H : D egy primitív függvéye az α f βg függvéyek és F : D egy H αf primitívje f -ek, akkor : D egy primitív függvéye lee g -ek) β Szité a XI osztályba taultakból tudjuk, hogy egy itervallumo deriválható függvéy deriváltja Darbou tulajdoságú Tehát állíthatjuk, hogy: Tulajdoság Ha az f : I (I itervallum ) függvéyek létezik primitív függvéye, akkor f Darbou tulajdoságú Tehát, ha f em Darbou tulajdoságú, akkor f-ek ics primitívje A későbbiekbe bizoyítai fogjuk az alábbi tulajdoságot: Tulajdoság Ha az f : I (I itervallum) függvéy folytoos, akkor az f függvéyek létezik primitív függvéye Megoldott gyakorlatok Határozzuk meg az alábbi függvéyek primitív függvéyeit (ha létezek): a) f, b) f,, r c) f,, r \{ } d) f, 4 e) f, f) f, Megoldás 4 a) Tudjuk, hogy az F :, F( ) függvéy deriválható -e és 4 4 4 4, tehát d C 4 b) Az F :, F, függvéy deriválható -e és ( ), tehát d C r c) Ha r \{ }, akkor az F :, F ( ) függvéy deriválható r r r ( r ) -e és r, tehát r r r r d C, ha r r
A primitív függvéy és a határozatla itegrál d) A l : függvéy deriválható és ( l ), tehát d l C, ha 5 4 e) Az előbbi potok alapjá d C, 5 d C C, C C d d és d l C, ha 5 4 tehát d l C 5 f) Az F :, F l( ) függvéy deriválható és ( l( )), tehát d l( ) C, ha Megjegyzés A d) és f) potok alapjá modhatjuk, hogy ha I egy itervallum, amely em tartalmazza a 0 -t, akkor az f : I, f függvéyek va primitívje és d l C Határozzuk meg az alábbi függvéyek primitív függvéyeit: a) f :, f e b) f :, f a, a \{ } c) f :, f sh d) f :, f ch e) f :, f e f) f :, f e Megoldás a) Az f :, f e függvéy deriválható -e és f e, tehát ed e C a b) Az F :, F függvéy deriválható -e és F ( ) a, la a, tehát F egy primitív függvéye f -ek, így ad C la e e c) Tudjuk, hogy sh, tehát folytoos -e és egy primitív függvéye e e F :, F ch Tehát sh d ch C d) Az előbbi pothoz hasolóa ch d sh C e) Az F :, F e függvéy deriválható -e és F ( ) e e,, ie az F :, F F e függvéy is deriválható -e és deriváltja: F ( ) e,, tehát e d e e C
A primitív függvéy és a határozatla itegrál f) Az F, F e függvéy deriválható -e és : F e e, Ebből következik, hogy az F :, F F ( e e ) függvéy is deriválható -e és deriváltja F e,, tehát ed e e e C Határozzuk meg az alábbi függvéyek primitív függvéyeit: a) f :(,), f b) f :(, 5], f 4 Megoldás a) Az f függvéy folytoos a (, ) itervallumo, tehát va primitív függvéye eze az itervallumo Az :( f, ), f, és f ( ) függvéyek folytoosak a (, ) itervallumo és egy-egy primitív függvéyük eze az itervallumo F :(, ), (, F l l ), valamit F l l( ) Ie, mivel f ( f f ), következik, hogy d l C, ha (, ) b) Az f függvéy folytoos a (, 5] itervallumo, tehát va primitív függvéye eze az itervallumo Az f :(, 5], f, és f ( ) függvéyek folytoosak a (, 5] itervallumo és egy-egy primitív függvéyük eze az itervallumo F :(, 5], F l l( ), valamit, F l l( ) Ie, mivel f ( f 4 f ), következik, hogy d l C, ha (, 5] 4 4 4 Vizsgáljuk meg, hogy a következő függvéyekek milye halmazo va primitív függvéyük és ezekbe az esetekbe határozzuk meg a primitív függvéyeiket: a) f si b) f cos c) f tg d) f ctg e) f cos f) f ( ) si g) f h) f ( ) 4 i) f ( ) Megoldás a) Az f függvéy folytoos -e, tehát létezik -e primitív függvéye Tudjuk, hogy az F :, F ( ) cos függvéy deriválható -e és F ( ) si, ie si d cos C
4 A primitív függvéy és a határozatla itegrál b) Az a) pothoz hasoló meggodolásokból cos d si C π c) Az f függvéy értelmezési tartomáya D \ ( ) k f k, ami em degeerált itervallumok egyesítése Mide I π ( ),( k ) k k π itervallumo az f függvéy folytoos, tehát va primitív függvéye Írhatjuk, hogy si ( cos ) tg ( l cos ) Tehát az I itervallumo az f egy k cos cos primitív függvéye F : I, F k k ( ) l cos Ie az f mide primitív k függvéye F( ) l cos c, ha I alakú, ahol c álladók k k d) Az f függvéy értelmezési tartomáya \ { π k } k D k Az előbbi pothoz hasolóa, ha J (( k ) π, kπ), akkor D J k f és az f primitív függvéyei k F : D, F l si c, ha J alakúak, ahol c álladók f k k k π e) Az f értelmezési tartomáya D \ ( ) k f k és primitív függvéyei F : D, F( ) tg c k, ha π I π ( k ),( k ) f k alakúak D \ k π k és primitív függvéyei f k f) Az f értelmezési tartomáya { } f F : D, F ctg c, ha J ( k ) π, kπ alakúak f k k g) Az f :, f függvéy folytoos -e, tehát létezik primitív π π függvéye Tudjuk, hogy az F :,, F arctg függvéy deriválható -e és F ( ),, tehát F egy primitív függvéye az f függ- véyek Így d arctg C h) Az f :, f 4 függvéy folytoos -e, tehát létezik primitív függvéye A g) pot alapjá az ituíció azt sugallja, hogy eek a primitív függvéye az arctg függvéy valamilye más függvéyel összetéve Tudjuk, hogy ha g : egy deriválható függvéy, akkor ( arctg( g( ))) g g Ezért átírjuk az f függvéyt olya alakba, hogy a evezője g alakú legye
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 5 Azaz f Ie az f egy primitív függvéye az F :, 4 F( ) arctg Tehát arctg d C 4 i) Az f függvéy maimális értelmezési tartomáya D (, ) Eze az itervallumo a függvéy folytoos, tehát létezik primitív függvéye Tudjuk, hogy a g :(,), g arcsi függvéy deriválható és g ( ) A feladatbeli függvéy hasolít erre, így sejthető, hogy a primitív függvéye az arcsi és egy másik függvéy összetevéséből származik Általába, ha a h : I (,) függvéy deriválható, akkor ( arcsi( h( ))) h h Tehát érdemes lee a evezőt h alakúra hozi Így f ( ) alakba való átírásából azoal kiderül, hogy egy primitív függvéye az F :(, ), F( ) arcsi függvéy Hasolóa igazolható, hogy egy másik primitív függvéye a G :(, ), G( ) arccos függvéy Tehát írhatjuk, hogy a (, ) itervallumo d arcsi C arccos C Az előbbi megoldott gyakorlatokba észrevehettük, hogy a primitív függvéyek mid elemi függvéyek voltak Az olya függvéyek határozatla itegrálját, amelyek primitív függvéyei elemi függvéyek alapitegrálokak evezzük A köyebb memorizálás érdekébe az alapitegrálokat táblázatba foglaljuk Ahol a maimális értelmezési tartomáy em itervallum az egyszerűbb írásmód érdekébe csak itervallumo írjuk fel az itegrált (I mide esetbe itervallumot jelöl) f A függvéy f :, f, f : I, I, f, \{ } r f : I, I, f, r \{ } A határozatla itegrál d C d C r r d C r
6 A primitív függvéy és a határozatla itegrál A függvéy f : I, I, f f :, f e A határozatla itegrál d l C ed e C f :, f a, a a \{ } ad C la e e f :, f sh sh d ch C e e f :, f ch ch d sh C f :, f si si d cos C f :, f cos cos d si C f : I, π I \ {( k ) k }, f tg f : I, I \ { k π k }, f ctg f : I, I \ { k π k }, f si f : I, π I \ ( k ) k, f ( ) cos f :, f a, a f :( a, a), f a a, tg d l cos C ctg d l si C d ctg C si d tg C cos d arctg C a a a arcctg a a C d arcsi C a a arccos C a f : I, I \ { ± a}, a a f d l C a a a a
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 A függvéy f :, a f ( ) a f : I, I \[ a, a], a f a A határozatla itegrál d l a C a a d l a a a C Megjegyzés A táblázatba az utolsó két itegrálra em adtuk példát az előbbiekbe Egyszerű deriválással elleőrizhető, hogy valóba az összefüggések helyesek A 6 paragrafusba az ilye típusú itegrálok direkt levezetésére is sor kerül Megoldott feladatok Adjuk példát két függvéyre, amelyekek ics primitív függvéye és az összegükek va! Megoldás 0, ha Legyeek f, g :, f, ha, ha \, g 0, ha \ Egyik függvéy sem Darbou tulajdoságú, tehát ics primitív függvéyük Az összegük pedig h :, h( ), folytoos függvéy, tehát va primitívje Határozzuk meg az a paraméter értékét úgy, hogy az si, ha f :, f a, ha 0 függvéy Darbou tulajdoságú legye, majd úgy, hogy létezze primitív függvéye! Megoldás Az -o a függvéy folytoos, tehát elégséges olya itervallumokat megvizsgáli, amelyek tartalmazzák a 0 -t Mivel si ( ) [,], következik, hogy a [,] a Darbou tulajdoság szükséges feltétele Bizoyítjuk, hogy ez a feltétel elégséges is Tetszőleges ε > 0 eseté létezik k úgy, hogy 0 < π < π < ε ( 4k ) ( 4k ) π π f π si( 4k ) és f ( 4k ) si( 4 ) π k A ( 4k ), π π itervallumo a függvéy folytoos, tehát Darbou tulajdoságú és π, π 0, ε ( 4k ) ( 4k ), következik, hogy f ([0, ε ]) [,], ( 4k ) ( 4k )
8 A primitív függvéy és a határozatla itegrál ε > 0 (f ( 0 ) a,] [ ) Hasolóa, f ([ ε,0] ) [,], ε > 0 Tehát, ha a,] [, akkor bármely ε > 0 eseté f [ εε, ] [,], így f Darbou tulajdoságú A továbbiakba határozzuk meg az a értékét úgy, hogy létezze f -ek primitív függvéye Eek érdekébe megszerkesztjük a primitív függvéyt Az cos deriválható -o és cos cos si cos cos si, cos, ha 0 A g :, g függvéy folytoos (0-ba folytoos, 0, ha 0 mert a co s függvéy korlátos), tehát létezik primitív függvéye Ha G : a g egy primitívje, akkor si cos létezik f -ek primitív függvéye, akkor G( ) cos G, ha < 0 F :, F () c, ha 0, (c álladók), cos G( ) c, ha > 0 alakú kell legye (egy közülük) Ahhoz, hogy ez primitív függvéye legye f -ek deriválhatóak kell leie és az F f szükséges feltétele a folytoosság Világos, hogy -o a függvéy folytoos Az álladókat úgy kell meghatározuk, hogy teljesüljö a li m F( ) F( 0) lim F egyelőség Ez akkor teljesül, ha c G( 0) és c 0, azaz cos G, ha 0 F G( 0, ) ha 0 Vizsgáljuk a deriválhatóságot a 0 -ba, bármely eseté Ie, ha egyelőség kell teljesüljö A deriválhatóság G(0) F F(0) lim lim 0 0 G G(0) lim cos G ( 0) ( 0) 0 0 g cos G 0 0 Tehát F deriválható a 0 -ba és F ( 0) 0 Ie következik, hogy f ( 0) 0, azaz csak a 0 esetbe va primitív függvéye f -ek
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 9 Vizsgáljuk meg, hogy a következő függvéyekek va-e primitív függvéye: si, ha 0 a) f :, f, ha 0 si, ha < 0 b) g :, g 0, ha 0 si, ha > 0 Megoldás a) Az f : si, ha, f ( ) függvéyek az előbbi feladat alapjá 0, ha 0 va primitív függvéye Legye egy primitív függvéye F : Az f függvéy felírható az f ( ) f, alakba Mivel az f :, f ( ) függvéy egy primitív függvéye az F, F függvéy, következik, : hogy az f -ek va primitív függvéye és egy primitív függvéye az F :, F( ) F F függvéy b) Az a) potbeli f és a g :, ha < 0, g függvéyek segítségével a g függvéy felírható a g( ) f g, alakba ( ) ha 0, 0, ha > 0 Az függvéy redelkezik primitív függvéyel, a g em redelkezik, mert em Darbou tulajdoságú Ebből következik, hogy a g függvéyek sics primitív függvéye, ha 4 Bizoyítsuk be, hogy az f :, f, ha \ függvéyek ics primitív függvéye Bizoyítás Be fogjuk bizoyítai, hogy a függvéy em Darbou tulajdoságú Vizsgáljuk például a [0,] itervallumak az f függvéy általi képét A függvéy értelmezéséből következik, hogy f ([0,] ) [0,] és f ([0,]\ ) (, ) \, tehát f ([0,]) f ([0,] ) f ([0,]\ ) ([0,] ) ((, ) \ ), ami em itervallum Tehát az f függvéy em Darbou tulajdoságú Így em létezik primitív függvéye 5 Bizoyítsuk be, hogy egy alulról (vagy felülről) korlátos és primitívvel redelkező függvéy és egy folytoos függvéy szorzatáak létezik primitív függvéye! f
0 A primitív függvéy és a határozatla itegrál Bizoyítás Legye f : alulról korlátos és g : folytoos függvéy (A megoldás hasoló, ha f felülről korlátos) Mivel f alulról korlátos következik, hogy létezik m úgy, hogy f > m, Ha h :, h f m, akkor mivel f -ek létezik primitívje, következik, hogy h is redelkezik primitív függvéyel Legye H : a h egy primitívje A H függvéy szigorúa övekvő, mert H ( ) h > 0, Mivel H szigorúa övekvő és folytoos (mert deriválható), következik, hogy H : I, H H bijektív és folytoos valamit H ( ) h( ),, ahol I Im H Így mivel H : I is és g is folytoosak, következik, hogy a go H : I függvéy folytoos, tehát létezik primitív függvéye Ha U : I a go H egy primitívje, akkor U g o H, tehát U o H g ( U o H ) ( U o H ) h g h Így a gh függvéyek létezik primitívje Másrészt g( ) h gf mg(),, tehát gf g h mg A g függvéy folytoos, így az mg függvéy is folytoos, tehát létezik primitívje Ebből következik, hogy a gf függvéyek is létezik primitívje 6 Bizoyítsuk be, hogy ha az f : függvéyek létezik primitív függvéye és a g : függvéy folytoos, akkor az f g függvéyek is létezik primitív függvéye! Megoldás Mivel f redelkezik primitív függvéyel következik, hogy f Darbou tulajdoságú Így f ( ) egy itervallum 0 f ( ), tehát f előjeltartó, azaz f > 0, vagy f < 0, Így f alulról vagy felülről korlátos Ugyaakkor g folytoos, tehát az 5 feladat alapjá, az f g függvéyek létezik primitívje Megjegyzés Egy függvéy primitív függvéye létezéséek vizsgálatakor célszerű a következőképpe jári el: Megvizsgáljuk, hogy a függvéy folytoos-e Ha ige, akkor létezik primitív függvéye Ha em folytoos megézzük, hogy Darbou tulajdoságú-e Ha em Darbou tulajdoságú, akkor ics primitív függvéye Ha Darbou tulajdoságú elleőrizzük, hogy létezik-e olya függvéy, amelyek ez a függvéy a deriváltja Ha ige, akkor va primitívje Ha em, akkor ics primitívje A feti lépéseket a következő logikai ábra tartalmazza:
A primitív függvéy és a határozatla itegrál Folytoos f a D-? NEM Darbou tulajdoságú f a D-? IGEN F : D úgy, hogy: F deriválható D- F ( ) f( ) D? NEM f-ek ics primitív függvéye D- IGEN NEM IGEN f-ek va primitív függvéye D- f-ek ics primitív függvéye D- F egy primitív függvéye f-ek D- Gyakorlatok és feladatok I Vizsgáld meg, hogy a következő függvéyekek milye halmazo va primitív függvéyük és ezekbe az esetekbe határozd meg a primitív függvéyeiket: f f f 4 f 5 4 4 4 5 f 6 f 5 5 7 f 8 f 9 f ( ) 0 f 5 f f 5 f sh ch 4 f sh( l ) 5 f sh 6 f si 7 f cos 8 f si 9 f si cos 4 0 f tg( ) f ctg f si cos ( π) ( ) 9 f ( ) 4 5 f 9 f ( ) 4 7 f 9 f ( ) 9
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 9 f 4 0 f ( ) 4 f 9 f ( ) 4 II Bizoyítsd be, hogy a következő függvéyekek va primitív függvéye: arctg, ha 0 f :, f π, ha 0 si, ha 0 f :, f, ha 0 l ha f :,, 0 f, ha 0 ( ) e, ha 0 4 f :, f l, ha 0 5 f : f ma,, { } cos, ha 0 6 f :, f 0, ha 0 ( si ), ha 0 7 f :, f 0, ha 0 e si, ha 0 8 f :, f 0, ha 0 cos, ha 0 9 f :, f arctg 0, ha 0 e si, ha 0 0 f :, f 0, ha 0 III Bizoyítsd be, hogy a következő függvéyekek ics primitív függvéye: f :, f sg f : f :, ha < 0, f cos, ha 0, f [ ]
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 4 f :, f { }, ha 5 f :, f, ha \ si cos, ha 0 6 f :, f, ha 0, ha 7 f :, f, ha \ si, ha 0 8 f :, f 0, ha 0 cos, ha 0 9 f :, f, ha 0 cos, ha 0 0 f :, f, ha 0 IV Adj példát két függvéyre, amelyekek ics primitív függvéye, de a szorzatukak va Adj példát két függvéyre, amelyekek ics primitív függvéye, de az összetett függvéyek va Bizoyítsd be, hogy ha az f :[ a, b] (ab,,a< b) függvéyek va primitív függvéye az [ ac, ] és [ cb, ] itervallumoko (c (,) a b ), akkor f -ek va primitív függvéye -e 4 Bizoyítsd be, hogy ha az f : függvéyek va primitív függvéye az I, k zárt itervallumoko, ahol I, akkor k k k függvéye -e 5 Határozd meg az α paraméter értékét úgy, hogy az π π f :, arctg, ha 0, f α, ha 0 függvéyek legye primitív függvéye 6 Határozd meg az α paraméter értékét úgy, hogy az si, ha 0 f :, f α, ha 0 függvéyek legye primitív függvéye f -ek va primitív
4 A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 Határozd meg az α paraméter értékét úgy, hogy az si cos, ha 0 f :, f α, ha 0 függvéyek legye primitív függvéye 8 Bizoyítsd be, hogy ha az f :[0,] [0,] függvéyek va primitív függvéye és létezik α (0,) úgy, hogy f ( α ) 0, akkor f em ijektív 9 Bizoyítsd be, hogy ha az f : függvéy eseté f, > 0, akkor f -ek ics primitív függvéye 0 Létezik-e olya f : függvéy, amelyek va primitív függvéye és f f? Létezik-e olya f : függvéy, amelyek va primitív függvéye és f f a,, ahol a? Bizoyítsd be, hogy ha az f : függvéyek létezik primitív függvéye, a g : függvéy folytoosa deriválható, és g 0, eseté, a h : függvéy pedig az függvéy egy primitív függvéye, akkor az g f oh függvéyek is létezik primitív függvéye! Bizoyítsd be, hogy ha az f :( a, b) függvéyek folytoosak és, f, [, ] f f, akkor az f a b függvéyek ics primitív f, [ a, b]\ függvéye!
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk is deriválható és ( f g ) f g f g, ie következik, hogy ha az fg függvéyek va egy F : D primitív függvéye, akkor az f g függvéyek is va egy G : D primitív függvéye és G ( ) (f g F( )) Ha az f és g értelmezési tartomáya egy itervallum, akkor létezik c álladó úgy, hogy G f g F( ) c Az előbbiek alapjá írhatjuk, hogy f g d f g f g d Kijelethetjük a következő tételt: Tétel Ha az f és g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo és az fg : D függvéyek létezik primitív függvéye, akkor az f g függvéyek is létezik primitív függvéye és f g d f g f g d Ezt a tulajdoságot gyakra haszáljuk primitív függvéyek meghatározásáál, mert em midig azoos ehézségű az fg és f g függvéyek primitív függvéyéek meghatározása Amikor ezt a tulajdoságot alkalmazzuk határozatla itegrál kiszámításáál azt modjuk, hogy az itegrált a parciális itegrálás módszerével számoljuk ki Következméy Ha az f : D és g : D függvéyek folytoosa deriválhatók a D tartomáyo, akkor létezek az f g : D és fg : D függvéy primitív függvéyei és f g d f g f g d Megoldott gyakorlatok Határozzuk meg az f :, f e függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az előbbi fejezetbe már kiokoskodtuk a primitív függvéyeket Próbálkozzuk a parciális itegrálás módszerével Ehhez el kell döteük, hogy az f, f és f e függvéyek közül melyiket tekitjük, mit, : egy másik függvéy deriváltját Látható, hogy ebbe az esetbe, ha az -et tekitjük, mit a g :, g ( ) függvéy deriváltját, akkor em egyszerűsödik a feladat, mert ekkor az g f d e d itegrált kell kiszámoluk, ami f
6 Itegrálási módszerek em tűik egyszerűbbek, mit az eredeti Ha pedig az azoal észrevesszük, hogy f f, tehát írhatjuk, hogy f -t tekitjük mit deriváltat, f d f f d f f f f d e e e e C Egyszerűbb írásmód lett vola a következő: ( e ) e d d e e d e e f e alakú függvéy primitívjeit akarjuk kiszámítai a par- Megjegyzés Ha ciális itegrálás módszerével, ahol f poliomfüggvéy vagy trigoometrikus függvéy, célszerű az e -t tekitei, mit derivált függvéyt Számítsuk ki az f :, f e si határozatla itegrálját Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos si ( e ) si e d d e si e ( si ) d C e si e cos d A második itegrálál újból a parciális itegrálás módszerét alkalmazva, kapjuk: cos ( e ) cos e d d e cos e ( cos ) d e cos e si d, tehát visszakaptuk az eredeti itegrált Így írhatjuk, hogy si d si e e e cos e si d e si e cos Ebből következik, hogy e si d C Számítsuk ki az f :, f ( ) l függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos l d l d l d l C 4 Számítsuk ki az f :, f l függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos ( ) l l d l l d d l l l l d ( ) l d l ( l ) ( ) l l l l 9 d d 9 l ( 9 9l l 6l ) l l C C 7 7
Itegrálási módszerek 7 5 Számítsuk ki az f :, f ( ) cos függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos I cos d cos ( si ) d cos si si d cos si ( cos ) d cos si I Ebből következik, hogy I c os si C, tehát cos cos si d C 6 Számítsuk ki az f :, f arctg függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos arctg d arctg d arctg d ( ) arctg d arctg l ( ) C arctg l C 7 Számítsuk ki az f :, f függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos ( ) I d d ( ) ( ) d ( ) d I d I d d d d d I l( ) Ebből következik, hogy I l ( ) l( ) C C, tehát I C Visszahelyettesítve az eredetibe kapjuk, hogy ahoa l 4I ( ) C, ( ) l( ) I C 4 8
8 Itegrálási módszerek 8 Számítsuk ki az f : \{ k k } π, f függvéy primitív si függvéyeit Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos Ha I \ { kπ k } itervallum, akkor eze az itervallumo f folytoos és d ( ctg ) d ctg ctg d ctg l si si C Ie az f egy tetszőleges primitív függvéye F : \ { k π k }, F ctg l si c, ( kπ, ( k ) π) alakú, ahol c álladók és k k k 9 Számítsuk ki az f :, f si( l ) függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos cos( l ) d cos( l ) d cos( l ) si( l ) d I si( l ) d si( l ) d si( l ) cos( l ) d Ezt visszahelyettesítve az eredetibe, kapjuk: I ( si( l ) cos( l ) ) I, tehát ( si( l ) cos( l ) ) si( l ) d C arcsi 0 Számítsuk ki az f :(,), f e függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az f függvéyek va primitívje, mert folytoos Tehát e d e d e e d arcsi arcsi arcsi arcsi arcsi arcsi arcsi arcsi arcsi e e d e e e d arcsi arcsi arcsi e e e d C f π f si határozatla itegráljára Adjuk rekurziót az :(0, ), Megoldás si cos I d d I cos si si si d cos si cos I d I ( ) si si ( ) si
Itegrálási módszerek 9 cos Tehát I I Ahhoz, hogy teljes legye a feladat megoldása, ki kell számoli az I -et és I ( ) si -t si cos I l d d si C cos cos I ctg d C si Gyakorlatok Határozd meg, hogy milye halmazo létezik primitív függvéye az alábbi függvéyekek és számítsd ki a primitív függvéyt vagy adj rekurziós összefüggést rá: f l f l( ) f sh 4 f sh 5 ( ) 7 f ( ) f e 6 f e l e 8 f l 9 f si 0 f si f 4 cos f arctg l f 4 f ( si cos ) e 5 f si 6 f si cos 7 f e si 8 f e ( si cos ) 9 f ( ) si 0 f ch si f cos( l ) α f l f si α 4 f e si 5 f sh 6 f ch 7 f si ( sh ch ) 8 f arcsi 9 f arccos( ) 0 f arctg f f 6 9 4 f 9 5 4 f 4 arcsi 5 f 5 9 6 f si 7 f 8 f l e l( l ) 9 f 40 f arcsi
0 Itegrálási módszerek l 4 f ( ) 4 f e arcsi arccos 4 f e 44 f arctg arctg e f 46 f l( ) 45 ( ) l arcsi 47 f ( ) 48 f 49 f arctg 50 f cos ( l ) 5 f si, 5 f cos, 5 f cos, 54 f l, Helyettesítési módszerek A XI osztályból tudjuk, hogy ha az f : D E és g : C D (C, D és E em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók az értelmezési tartomáyuko, akkor az f o g : C E függvéy is deriválható C - és ( f og) ( f g) g ( o ) Az előbbiek alapjá, ha az f : D függvéy primitív függvéyeit keressük és létezik egy h : E primitív függvéyel redelkező valamit egy g : D E deriválható függvéy úgy, hogy f h( g ) g, akkor f -ek va primitív függvéye és egy primitívje a H o g :D függvéy, ahol H : E a h egy primitívje Vaak esetek, amikor az f : D függvéy esetébe köyebb egy ( f o g) g : E alakú függvéy primitívjét meghatározi Ha F egy primitívje ez utóbbi függvéyek és g : E D bijektív valamit a deriváltjáak ics valós gyöke a D -, akkor F o g primitív függvéye f -ek, mert F g f g g g g g f ( o ) ( o ) o o ( ) Kijelethetjük tehát a következő tételeket: Tétel (Az első helyettesítés módszere) Ha a h : E és g : D (D és E em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek a következő tulajdoságokkal redelkezek: g deriválható D -, h -ak va primitív függvéye E - és H : E egy primitívje, akkor az f ( ho g) g : D függvéyek va primitív függvéye és egy primitív függvéye a H o g :D függvéy
Itegrálási módszerek Ha az értelmezési tartomáyok itervallumok, akkor írhatjuk, hogy ( ) ( h g g d H g ) C Tétel (A második helyettesítés módszere) Ha az f : D és g : E D (D és E em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek a következő tulajdoságokkal redelkezek: g bijektív, deriválható és a derivált függvéyek ics valós gyöke D -, a h ( f o g) g : E függvéyek va primitív függvéye E - és H : E egy primitívje, akkor az f : D függvéyek va primitív függvéye és egy primitív függvéye a H o g :D függvéy Ha az értelmezési tartomáyok itervallumok, akkor írhatjuk, hogy ( f d H g ) C Tulajdoképpe a helyettesítési módszerekél változót cserélük az itegrálba Azaz az első helyettesítési módszer eseté a g -et helyettesítjük egy t változóval, vagyis a t g helyettesítést végezzük Ha ezt deriváljuk szerit, kapjuk, hogy dt g, amit a dt g d alakba is írhatuk, tehát d Ihelyett f d h( g ( ) g d h () t dt t g t dt dt g d Ha az értelmezési tartomáyok itervallumok és H a h egy primitívje, akkor: Ihelyett ( ( ) () () t g t g t dt dt g d ( ) f d h g g d h t dt H t C H g C A második helyettesítési módszer eseté az g() t változócserét végezzük, ekkor d deriválással kapjuk, hogy g () t, amit d g () t dt alakba is írhatuk, tehát dt f d IIhelyett f ( g() t ) g () t dt g() t d g () t dt Ha az értelmezési tartomáyok itervallumok és H a h ( f o g) g egy primitívje, akkor ez folytatható: C C f d II helyett f ( g() t ) g () t dt H () t H g g() t g() t d g () t dt t g Megjegyzés Az előbbi egyelőségek (a szürke hátterűek) em helyesek, mert az egyik oldalo álló függvéycsalád tagjai em ugyaazok, mit a másik oldalo megjeleő függvéycsalád tagjai Eek elleére gyakra haszáljuk ezt a jelölést, mert az egyelőség fölött (vagy külö) megadott helyettesítés egyértelműe mutatja, hogy az egyik oldalo megjeleő függvéyeket milye függvéyel kell összetei, ahhoz, hogy megkapjuk a másik oldalo megjeleő függvéyeket
Itegrálási módszerek Megoldott gyakorlatok Határozzuk meg az f :, f ( 4) 00 függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az f folytoos -e, tehát létezik primitív függvéye A t 4 helyettesítéssel dt d azaz d dt, tehát 00 00 00 00 t 4 ( 4) d t dt C C 00 6009 Határozzuk meg az f :, f függvéy primitív függvéyeit Megoldás A :, g függvéy deriválható, g ( ), g és a h :, h függvéyek, H :, H ( ) l egy primitív függvéye Az f függvéy felírható, mit f h( g ) g, tehát ( ) egy primitív függvéye a H o g :, ( H og ) l Egyszerűbbe: f d d dt lt l ( ) C C t t t> 0 t dt d Határozzuk meg az f : \{,}, f függvéy primitív függvéyeit Megoldás Ha I \{, } itervallum, akkor eze az itervallumo C C d dt l t l t t t dt ( ) d Tehát az f egy tetszőleges primitív függvéye: l c, ha < F : \{,}, F l c, ha (,) l c, ha > álladók c,, 4 Határozzuk meg az f :(0, π), f Megoldás Az f a (0, π) - folytoos és alakú, ahol si függvéy primitív függvéyeit si si d d d dt si si cos t t cos (,) dt si d t cos cos l C l C l C l tg C t cos cos
Itegrálási módszerek A helyettesítést helyese alkalmaztuk, mert a co s függvéy deriválható és a h() t t függvéyek va primitívje a (,) itervallumo A következő átalakításokat is végezhettük vola: tg d d d dt l t si C tg tg t tg ( 0, ) t tg dt d tg 5 Határozzuk meg az f : l tg C l tg C, ( ) f ( ) függvéy primitív függvéyeit Megoldás A függvéy folytoos az értelmezési tartomáyo, tehát létezik primitív függvéye 6 5 Az t helyettesítéssel d 6t dt, tehát 6 ( ) ( t ) 5 t t 6 6 6 ( ) d t dt dt t t dt t t 4 t 6 6 t 6 4 t C C t 6 Azért választottuk az t helyettesítést, mert 6 a és legkisebb közös többszöröse és így a és kifejezésekből eltűik a gyök 6 Határozzuk meg az f :, f ( ) függvéy primitív függvéyeit 4 Megoldás A függvéy folytoos az értelmezési tartomáyo, tehát létezik primitív függvéye A t, (t (0, ) ) helyettesítéssel dt ld, tehát d dt t l l l arcsi arcsi 4 t C C dt Ha em tudtuk vola, hogy arcsit C, akkor ezt kiszámolhattuk t vola a t siu, ( u π 0, ) helyettesítéssel, ahoa dt cosudu és t si u cosu (mert cosu > 0 a 0, π itervallumo) Tehát dt cosu arcsi du du u t si u t t cosu C C π u arcsit u 0,
4 Itegrálási módszerek Ezt megtehettük vola akár az eredeti itegrál eseté a s iu helyettesítéssel, ahoa l d cosu du, és 4 cosu Ie d u du arcsi 4 l l l C si u C u arcsi π u 0, 7 Határozzuk meg az f :, f függvéy primitív függvéyeit 9 4 Megoldás A függvéy folytoos -e, tehát létezik primitív függvéye Már az első fejezetbe megadtuk az ilye típusú függvéyek primitív függvéyeit (lásd alapitegrálok táblázata), most viszot ki is fogjuk számoli Eek érdekébe először f alakra hozzuk a függvéyt Amit az előző példába a si cos azoosságra alapoztuk, most a ch sh azaz ch sh azoosságra alapozva a sht (t ) helyettesítést végezzük Ebbe az esetbe d chtdt és sh t ch t cht (mert cht > 0, t ) Tehát az itegrál a következővé alakul: t ch d t dt cht C A sh : függvéy bijektív és iverze az ar sh :, arsh l( t t t t ) függvéy (Ez az e e e e 0 másodfokú egyelet megoldásából adódik) Tehát esetükbe t arsh l l( 9 4 ) l Így d l 9 4 C 9 4 8 Határozzuk meg az f : \,, f függvéy primitív 4 9 függvéyeit Megoldás A függvéy folytoos az értelmezési tartomáyá, tehát létezik primitív függvéye Az első fejezetbe megadtuk az ilye típusú függvéyek primitív függ-
Itegrálási módszerek 5 véyeit is Most a primitív függvéy meghatározásához f alakra hozzuk a függvéyt A primitívet előbb a, itervallumo számoljuk ki A ch sh, azaz sh ch azoosságra alapozva a cht (t (0, ) ) helyettesítést végezzük Ebbe az esetbe d shtdt és ch t sh t sht (mert sht > 0, t > 0 ) Tehát az itegrál a következővé alakul: t sh d t dt sht C A ch : (0, ) (, ) függvéy bijektív és iverze az arch : (, ) (0, ), arch l( ) függvéy (Ez az t t t t e e e e 0 másodfokú egyelet megoldásából adódik, felhaszálva, hogy t > 0 ) Tehát esetükbe t arch l l( 4 9) l Így l 4 9 4 9 d C 9 Határozzuk meg az f : \ π ( k ) k, f tg függ- véy primitív függvéyeit π Megoldás Ha I \ ( k ) k itervallum, akkor f folytoos I -, tehát létezik primitív függvéye tg dt tg d d l( t t ) t tg C tg t dt ( tg ) d ( ) l tg tg C
6 Itegrálási módszerek Egy tetszőleges primitív függvéye az f -ek π F : \ ( k ) k, F l( tg tg ) c, ha π ( ),( k ) k π k és c álladók k 4 arctg 0 Határozzuk meg az f :, f függvéy primitív függvéyeit Megoldás Az tgt, π π t, helyettesítéssel d ( tg t) dt és arctg t, tehát 4 4 arctg t tg t 4 d ( tg t) dt t tg t dt tg t tg t t tg t ( tg t) dt t tg t dt t dt t ( tg t) dt t dt t tg t tg t t dt t ( tgt) dt t tg t t tg t( tg t) tgt dt dt t tgt tgtdt t tg t t tg t 4 l cos t t tg t C 6 arctg arctg l ( ) arctg C 6 Gyakorlatok Határozd meg, hogy milye halmazo létezik primitív függvéye az alábbi függvéyekek és számítsd ki a primitív függvéyt: f f e f 4 f e 5 f 6 f si cos 7 f 4 8 f ( ) 8 9 f 0 f 4 8
Itegrálási módszerek 7 5 f f ( l) l f 4 f l ( 6 ) l 5 f 6 f 4 7 f 8 f ( ) ( ) e 9 f 0 f e 6 6 si f f e cos 6 6 f cos 4 cos f 7 si 5 f si 6 f 7 f 8 f cos 9 f 0 f arcsi a si arccos l f f 9 arcsi tg f 4 f tg si arcsi 5 f 6 f cos si cos si 7 f 8 f 4 si cos cos e 9 f 40 f e si 4 f cos 4 f cos si 4 4 f 44 arctg f ( ) e 45 f 5 9 46 f e
8 Itegrálási módszerek 47 f 49 f si 48 f 9 4cos si 9cos 4 si 9 4cos 50 ( ) f ( ) arctg 4( arctg) π Racioális törtfüggvéyek itegrálása Emlékeztetük, hogy racioális törtfüggvéy egy olya függvéy, amelyek számlálója és evezője is poliomfüggvéy Tehát egy racioális törtfüggvéy P R : D, R alakú, ahol P, Q [X] és Q( ) 0, D Q Az értelmezésből az is kiderül, hogy mide poliomfüggvéy racioális törtfüggvéy Már az eddigiekbe is találkoztuk éháy egyszerűbb racioális törtfüggvéyel A továbbiakba kiszámoljuk éháy ilye racioális törtfüggvéy határozatla itegrálját Példák Számítsd ki az R : I (I olya itervallum, amelye R értelmezett) határozatla itegrálját a következő esetekbe Megjegyzés Ha egy racioális törtfüggvéy értelmezett egy itervallumo, akkor folytoos is eze az itervallumo, tehát létezik primitív függvéye 4 R( ), I 5 4 4 ( ) d C 5 4 5 R, I \ 5 { } d dt l t l 5 5 t 5 C C t dt d R, I \ { } 4 d d d l C 9 4 R, I \{ } d 4 d 4 l C 5 R ( ), I \ { } d ( ) C
Itegrálási módszerek 9 6 ( ) R, \ { } I d d ( ) 7 7 ( ) 7 R, I \ ( ) { } 4 4 4 4 d 4 d d d ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) C 8 R 5, I \{ } ( ) ( ) 5( ) 5 d 5 d ( ) ( ) d 5 4 d d ( ) ( ) 5 ( ) 5 4 ( ) ( ) 4( ) C 9 R 9, I \ { ± } d d l 9 6 C 6 4 0 0 R, I \ ± 5 4 ( 5 ) d d l 5 5 C 5 R, I \{ ± } 4 ( 4) ( 4) 5 d d 4 4 5 d 4 4 5 l 4 d 4 5 l 4 l C 4 C C
40 Itegrálási módszerek R 4, I \{, } d d d 4 ( ) ( ) ( ) l d C R, { I \, } 6 d d ( ) d 5 6 6 l d l l C 4 R 4, I d d dt 4 4 t t d dt arctgt C arctg C 5 R, I 4 9 5 d d 4 9 4 4 9 5 5 4 6 d t 4 4 dt t dt d 5 5 arctgt C arctg C 4 4 4 4 6 R 9, I ( 9 ) d d l ( 9) 9 C 9
Itegrálási módszerek 4 7 R, I d d dt arctgt arctg( ) ( ) t C C t dt d 8 R, I 4 8 4 d d 4 8 4 8 ( ) 4 ( 4 8 ) ( ) 4 8 4 d l 4 8 arctg C 9 R, I 6 0 6 5 d d 6 0 6 0 ( ) 0 R, I 4 l 6 0 5arctg C 4 d d d ( 4) ( 4) ( 4) ( 4 ) 4 6 d 4 4 ( ) d Látható, hogy a evező kitevője őtt Próbáljuk meg parciálisa itegráli az 4 törtet: d d d 4 4 4 4 Tehát 8 4 4 4 d arctg d d ( 4 ) 84 ( ) 8 C 4 8 ( ) 6 R, I d
4 Itegrálási módszerek d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d Az d kiszámításához parciálisa itegráljuk az -et: ( ) d 4 d ( ) ( ) ( ) ( ) d 4 4 4 4 ( ) d ( ) ( ) 4 d d d ( ) ( ) ( ) 4 d d ( ) ( ) ( ) ( ) Tehát d d ( ) ( ) 6( ) ( ) Eek kiszámításához parciálisa itegráljuk az -et: d d d d d d Tehát d d Így d d 4 arctg C d
Itegrálási módszerek 4 d ( ) ( ) 6( ) 4 arctg C 4 arctg C 6( ) Tehát 4 arctg d ( ) ( ) C Láthattátok az előbbiekbe, hogy egyes racioális törtfüggvéyek határozatla itegrálját direkt úto is ki tudjuk számoli (egy egyszerű helyettesítéssel vagy egy rekurziós összefüggés felírásával), más esetekbe fel kell botai több racioális törtfüggvéy összegére Értelmezés Egy racioális R : I (I itervallum) törtfüggvéyt elemi törtfüggvéyek evezük, ha a következő alakok valamelyikébe írhatók fel: R( ) a a a a, a, i 0,,, I i 0 A b R, Aab,,, a 0,, I \ ( a b) a A B R, ABabc,,,,, a 0, b 4ac < 0,, a b c { } I Ezek határozatla itegráljai a következők: a a a ( a a a a 0 ) d a C 0 A A Ha, akkor d l a b C a b a Ha >, akkor b A A b A a d d ( a b) a a C a A C a( )( a b) Tehát A A d C ( a b) a( )( a b)
44 Itegrálási módszerek A B A a b ( d ) ( d C d a b c a a b c) ( a, b c) Ab ahol C B a a b ( a b c) d d ( a b c) C ( a b c) ( )( a b c) Az I ( a b c) d itegrálra pedig > esetbe rekurziós összefüggést írhatuk fel az I d parciális itegrálásával a b c Ha, akkor a b I d d arctg a b c a C, b a a ahol b 4ac < 0, tehát > 0 Ha >, akkor I d d ( a b c) ( a b c) a b ( ) d a b c a b c a b c b c d ( a b c) ( a b c) ( a b c ) b a b I d I a b c a a b c a b I I a b c a a b c a a b I I aa b c a a b a ( ) Tehát I I ( )( 4ac b )( a b c) ( )( 4ac b ) Sajátos esetbe, ha I d, akkor ( a ) I I a a a
Itegrálási módszerek 45 Az előbbi példák között volt olya is, amely em elemi törtfüggvéy volt Ezekbe az esetekbe felbotottuk elemi törtfüggvéyek összegére Felvetődik a kérdés, hogy tetszőleges racioális törtfüggvéy felbotható-e elemi törtfüggvéyek összegére? Erre ad választ a következő tétel, amit most em bizoyítuk, haem példákkal illusztráljuk Tétel (Elemi törtekre botás) P Ha R : I, R Q k l i ( a b i i) ( c j j j) Q d e d 4ce < 0, j j j alakba: i j R egy racioális törtfüggvéy, mj PQ, [ X], ahol a, b, c, d, e, a, c 0 és i i j j j i, k, j, l, akkor R egyértelműe felírható a következő C A A A a b a b ( a b) A A A a b a b ( a b) A A A k k k k a b a b a b k k k k k k B C B C B C c d e c d e m m m ( c d e) ( ) B C B C B C c d e c d e m m ( c d e) B C B C B C l l l l lm lm l l, m l c d e c d e c d e k l l l l l l l l l k m i A l i B C ij ij ij Rövidebbe R C j i j a b i j c d e i m j i i i i i j I ahol C [ X] (a P poliom Q poliommal való osztási háyadosa) és A, B, C meghatározhatók az egyelő együtthatók módszerével ij ij ij és, I, Példák Botsuk elemi törtfüggvéyekre az R : I (I olya itervallum, amelye R értelmezett) racioális törtfüggvéyt és számítsuk ki a határozatla itegrálját a következő esetekbe:
46 Itegrálási módszerek R, I \ { 0, ± } R ( )( ) A B C ( )( ) ( )( ) () A ( )( ) B( ) C( ), I ( A B C) ( B C) A, I Tehát együtthatója: A B C 0 együtthatója: B C 0 0 együtthatója: A Így B C, tehát ( )( ), következik, hogy d l l C l C Ilye esetbe, ha a evezőek csak egyszeres valós gyökei vaak úgy is eljárhatuk, hogy az () összefüggésbe behelyettesítjük a gyököket (Ha két poliomfüggvéy egyelő egy itervallum mide potjába, akkor egyelők -e) 0 eseté A eseté B eseté C Látható, hogy így rövidebb úto jutottuk ugyaazokhoz az értékekhez R, I \ {, } ( )( ) 7 6 7 ( ) 9 R Tehát 7 9 d l d ( )( ) A B ( )( ) ( )( ) A ( ) B ( ), I -et helyettesítve A és -t helyettesítve kapjuk, hogy B, tehát ( )( ) Így 7 9 C d l l
Itegrálási módszerek 47 R, I A evező irreducibilis téyezőkre botása a következő: 5 4 5 Tehát az R elemi törtfüggvéyekre botása A B C D E alakú 5 Ie 4 A B C D E 0 helyettesítéssel kapjuk, hogy A Itt is helyettesítheték továbbra az és komple gyökeit, de az boyolultabb számolásokhoz vezete, ezért elvégezzük a jobboldalo a műveleteket: 4 B D B C D E ( ) B C D E C E B D ( D B) C E Tehát meg kell oldauk az egyeletredszert, ahoa B D ( E C) 0 C E 0 B, C, D, E 4 4 4 4 ( ) ( ) Tehát 5 4 4, ie d d d 8 4 8 d d 4 l l( ) l( ) 8 8 4 d d 4 5 l l l( ) l( ) 8 8 arctg arctg 4 C
48 Itegrálási módszerek l l( ) l( ) 8 8 arctg C 4 l l( ) l( ) 8 8 arctg 4 C 5 4 4 4 R, I 6 4 A evező irreducibilis téyezőkre botása: 6 4 4 ( ) ( ) Tehát az R elemi törtfüggvéyekre botása 5 4 4 A B C D E F 6 4 alakú ( ) Ie 5 4 4 A B C D E F Mivel itt a gyökök 0, ± i, megpróbáluk ezek behelyettesítésével éháy együtthatót kifejezi: 0 eseté B és i eseté ie F E 0 és F Ezeket behelyettesítve a () összefüggésbe, kapjuk: ( ) 5 4 A C D : A C D 0 A i i C id ( 4 8 ) d l( 4 8) arctg 4 8 4 C és D Tehát 5 4 4 6 4 ( ) Az itegrál pedig: 5 4 4 d l arctg 6 4 d
Itegrálási módszerek 49 Az d az parciális itegrálásával kapjuk meg: d d d ( ) d d arctg d d ( ) ( ) C ( ) Tehát 5 4 4 arctg d l 6 4 Gyakorlatok C Határozzuk meg a következő racioális törtfüggvéyek határozatla itegrálját egy olya itervallumo, ahol a evezőek ics gyöke: R 9 R 4 4 4 5 R 4 R 6 5 R 4 4 6 R 4 9 7 R 8 R ( ) 9 R 0 R ( ) ( )( )( ) R R 9 4 6 R 4 R 4 0 ( ) 5 5 R 6 R ( )( ) 4 ( ) 7 R 4 8 4 5 R 4
50 Itegrálási módszerek 4 Irracioális függvéyek itegrálása Már az eddigiekbe is találkoztatok olya függvéyek itegrálásával, amelyek tartalmazak gyököket is Ebbe a paragrafusba megpróbáluk betekitést yújtai külöböző gyökös kifejezéseket tartalmazó függvéyek itegrálási módszereibe Példák A következő irracioális függvéyek eseté meghatározzuk a határozatla itegrált (vagy visszavezetjük más függvéyek itegráljára) olya itervallumo, ahol létezik primitív függvéye: f : I, I, 5, f ( ) 5 t tdt A t 5 0 helyettesítéssel és d, tehát látható, hogy 5 5 racioális törtfüggvéyt kapuk: 5 4 t t 5 d ( t ) t dt ( t t ) dt 5 5 C 5 5 5 t 5 t ( 5 ) 0 ( 5 ) C C 5 5 5 f : I, I,, 6 4 f ( ) ( 6 4) A ( t )( t t ) Tehát 6 4 t 4 t 4t d dt t 6 4 dt ( 6 4) t t 4t t 4 6 tdt d t 4t ( t )( t t ) törtet elemi törtekre botjuk: ( t )( t t ) dt 4t A Bt C t t t 4t ( A B) t ( B C A) t A C A B 0, B C A 4, A C A, B, C 4t t t t t t t t 6 4 t t 5 d dt l ( t ) ( 6 4) ( t t ) ( ) t l t l t t 0 t arctg 9 C
Itegrálási módszerek 5 ( ( ) ) 6 4 l 6 4 l 6 5 6 4 0 6 4 arctg 9 C 4t d racio- f : I, I (,) (, ), f Itt is a t helyettesítés t t t és ális törtfüggvéyhez vezet: 4t d dt t ( t ) Ez utóbbi törtet elemi törtekre kell botai Viszot mielőtt ezt a klasszikus módo elkezdeék, próbáljuk meg egyszerűsítei Észrevesszük, hogy 4t t t ( t ) t t t 4 ( t ) ( t ) ( t ) t ( t ) t ( t ) Tehát l t l t d C t C t t t t t l C l ( )( ) ( )( ) C 4 f : I, I \[,], f ( t ) t 6t d dt t ( t ) ( t ) t 6t dt d t ( t ) A racioális törtfüggvéy itegrálását rátok bízzuk 5 f : I, I (,), f 4
5 Itegrálási módszerek A evezőbe a gyökjel alatt 4 szerepel Mivel (, ), létezik potosa egy t π π, úgy, hogy si t legye ( vagy t ( 0, π), cos t ) Ez a helyettesítés vola célszerű a cos t si t azoosságra alapozva Ekkor sit és d cost dt, tehát 6 si tcost d dt 8 si tdt 4 cost Egy másik godolatmeet lehetett vola az is, hogy a 4 -et egy olya függvéyel helyettesítsük, hogy a égyzetre emelés utá a szabadtag vagy a másodfokú téyező kiesse (azért, hogy a változócsere elsőfokú legye) vagy hogy egyszerűsíthessük Mivel itt az együtthatója egatív ezért célszerű úgy helyettesítei, hogy a szabad- tag esse ki Ez pedig megtörtéik a 4 t helyettesítéssel, ahoa 4 t 4t 4t 4 ( t ) 4t, tehát, ami racioális t törtfüggvéyhez vezet Mivel 4 ( )( ), próbálkozhatuk a 4 t( ) vagy a 4 t( ) helyettesítéssel is Az első esetbe kapjuk, hogy 4 ( ) t t, ahoa t ( ), ie Látható, hogy racio- t ális törtfüggvéyhez vezet Hasolóa járuk el a második helyettesítésél is Az olya helyettesítéseket mit az utóbbi kettő, Euler-féle helyettesítések evezzük 6 f : I, I, f Ezt az itegrált is többféleképpe ki fogjuk számoli: Ami a legszembetűőbb, hogy az t helyettesítésél megjeleik a derivált szorzótéyezőkét, ekkor dt d t Tehát d tdt C C A ch sh azoosság azt sugallja, hogy érdemes az sht helyettesítést végezi Ekkor d chtdt ch t Tehát d sht sh t cht dt ch tshtdt C Az Euler helyettesítés haszálható ( ) C t vagy t alakba
Itegrálási módszerek 5 7 f : I, I, f ( 4 9 ) Az előbbi feladat alapjá itt a következő helyettesítések valamelyike ajálott: sht 4 9 t vagy 4 9 t 5 8 f : I, I \[,], f ( módszer) Itt is észrevehető, hogy az t helyettesítéssel a számlálóba megjeleik a derivált Ekkor dt d, tehát 5 5dt d 5 t 5 C C t Egy másik helyettesítés a sh ch azoosságra alapul: cht, d sht dt, tehát 5 5chtsht d dt 5chtdt 5sht C 5 C ch t Itt is lehet alkalmazi az Euler helyettesítést is: t( ), t( ) vagy t 5 5 9 f : I, I \,, f 4 4 6 5 A következő helyettesítések ajálottak: 4 cht, 6 5 t 4, 6 5 t( 4 5), 5 0 f : I, I \(,4), 6 5 t( 4 5) f 4 5 A gyök alatti kifejezés -re alakítható és ekkor lehet az helyettesítést végezi Itt az Euler helyettesítések a következők: 4 t cht 5, 4 t( ), 4 t( 4) f : I, I, f 4 5 A gyök alatti kifejezés ( ) -re alakítható és ekkor lehet az sht helyettesítést végezi Itt az Euler helyettesítések a következők: 4 5 t, 4 5 t 5
54 Itegrálási módszerek f : I,, I f 5 ( ) Szabaduli kellee a sok kitevőtől, gyöktől Ezért először végezzük a t helyet- t tesítést Így t, ahoa d dt Tehát 5 5 ( ) ( ) d t t t dt t t dt Ebbe az itegrálba, hogy az t kitevője is legye egész az t u helyettesítést hajtjuk végre Így dt u du, tehát amit már egyszerű kiszámoli f : I,, f I ( ) ( ) 5 d u u Az előző feladathoz hasolóa járuk el: 4 t 4 4 du, 4 t 4 4 4 d t ( t) t dt t ( t) dt d 4 t dt Tehát 4 Ie pedig az t u helyettesítéssel folytatjuk 4 f : I,, f ( 4 ) I 4 4 Először a t helyettesítést végezzük Ebbe az esetbe t és d 4t dt, 4 ie 4 ( ) d 4 t ( t ) t dt 4 t ( t) dt Ezt már ki lehete számoli, elvégezék a műveleteket, de ézzük meg mi törtéik, ha a t kitevőjéből el akarjuk tüteti a evezőt Helyettesítsük a következő módo: t u dt u du 4 Tehát ( ) d u 5 ( u ) du, ez pedig egy poliomfüggvéy 5 f : I,, f ( ) I t A t helyettesítéssel t és d dt, így ( ) d t6( t) t dt t ( t) dt Az utolsó itegrálba egyik kitevő sem egész, viszot az összegük az Emeljük ki a zárójelből t -t: t t t t ez pedig olya típusú, mit a példa ( ) d t t dt dt,
Itegrálási módszerek 55 Az előbbiekbe láttuk éháy példát irracioális függvéyek itegrálására, a továbbiakba összefoglaljuk általáosa is: Az R (, a bd ), \{} alakú itegrál R (, a b) az és az a b racioális törtfüggvéyét jelöli Az és pél- t b dáál találkoztuk ilye itegrállal A t a b helyettesítéssel és a t d, tehát az itegrál racioális törtfüggvéy itegráljává alakítható a Az R, a b d c d, \{} alakú itegrál A és 4 példáál találkoztuk ilye itegrállal A a t b helyettesítéssel c d dt b, tehát az itegrál racioális törtfüggvéy itegráljává alakítható a ct ) Az R (, a dalakú itegrál Nyilvávaló, hogy az értelmezési tartomáy I [ a, a] Az 5 példáál találkoztuk ilye itegrállal Itt több helyettesítés is szóba jöhet A cos si azoosságra alapozva célszerű az sit vagy cost a a, azaz asit vagy a cost helyettesítés Ekkor a acost vagy a asit (a megfelelő itervallumo) Egy másik helyettesítés, amit itt haszáltuk az Euler helyettesítés, amelyek célja, hogy égyzetre emelés utá egyszerűsödjö a kifejezés: a a( t ) a t( a ) t, a t a a( t) a t( a) t, a t a a t t a at t Midhárom eset racioális törtfüggvéyhez vezet ) 4 Az R (, a dalakú itegrál Az itt alkalmazható helyettesítések: a sht (a ch sh azoosságra alapozva) valamit az Euler helyettesítések: a a t ) alakú itegrál 5 Az R (, a d a t vagy
56 Itegrálási módszerek Az értelmezési tartomáy I \[ a, a] Az itt alkalmazható helyettesítések: (a ch sh azoosságra alapozva) valamit az Euler helyet- a t( a ), a t( a) vagy a t acht tesítések: ) alakú itegrál 6 Az R (, a b cd Itt több esetet külöböztetük meg: Ha > 0, akkor a gyök alatti kifejezés b a b c a a a b alakba írható Itt ha a > 0 az a cht helyettesítéssel eltütetjük a gyököt ha a pedig a < 0, akkor b b c a a a b b sit vagy cost helyettesítésekkel tűik el a gyök a a a a Ha < 0, (ebbe az esetbe a > 0, mert másképp em léteze a gyök) akkor b a b c a a a b és a megfelelő helyettesítés: sht a a 0 esetet em tárgyaljuk, mert akkor em irracioális a kifejezés Az ilye típusú itegrálra alkalmazható az Euler helyettesítés is: Ha a > 0, akkor függetleül a előjelétől a a b c t a helyettesítéssel racioális törtfüggvéy itegrálására vezetjük vissza Valóba, ekkor a b c t a a b c t a t c b a Ha c > 0, akkor függetleül a előjelétől a a b c t c helyettesítéssel racioális törtfüggvéy itegrálására vezetjük vissza Valóba, ekkor a b c t c c a b t c b c t a Ha > 0, akkor létezek az valós gyökök, így, ( a b c a )