Diffeeniáegyenee II Hasneh Pée E a jegye Posgay aás onáiója aapján ésü. ho dam póbáam a sajá megáásaim sein magyaáni. Kisi sájbaágós de eméem e majd ééeie Inább visgaenis ného nem ejes a emée eveeése; főeg a megodás módseein van a hangsúy. So sie a visgáho! Áandó vaiáásána módsee Íme egy másodendű ineáis inhomogén diffeeniáegyene: y p y q y g jobb odaon áó inhomogén ago foás-na neveü. egyenee mos a áandó vaiáásána módseéve odj meg min a an esőendűené. Esőén váass e a foás így apn egy homogén diffegyenee! y py qy 0 Ha egy másodendű homogén diffegyenene van é ineáisan függeen megodása: ao ee eőáíjá a inhomogén egyene áaános megodásá. y és Ebbő isme Zaán megadja. meghaáoásáho eőáíj a úgynevee önadjngá aao amey a öveeőépp né i: y sy h Ebbő függvény e megaánn. Végeü e a deiváás! y y sy h
Diffeeniáegyenee II Innen ási hogy y y s p y h d n pd e onsy-deemináns a homogén egyene é megodásá és deivájai fogaja magába. pd pd onsy-deemináns ao és ha a é megodás ineáisan össefügg. Néü e meg! 0 n n n n e Láhaó hogy a é megodás ineáisan össefügg. E baj! nna e öüni ha a onsydeemináns nem és! Heyeesísü be a homogén egyene é függeen megodásá a önadjngá aaba és végeü e a deiváás!
Diffeeniáegyenee II 3 0 s s 0 s s Soo be a é egyenee ende -ve és -gye majd vonj i egymásbó a eő! 0 Rásimeheün a é áojees ifejeése mive a nem más min E pedig egyenee adja meg. Ebbő 0 0 E hívj be-éene meye a ésőbbie soán fehasnán. Oss e a onsy-deemináns -e! és. Így d d d Láhaj hogy ebbő má ifejeheő a homogén egyene másodi megodása aho e - pedig majd úgy váasj meg hogy a edveő egyen sámna. E majd a pédában áni fogj. Ee megodo a homogén egyenee. Mos öveei a áandó vaiáásána módsee. Tdj hogy a homogén egyene é megodása eőáíja a inhomogén egyene áaános megodásá. pd y 3
Diffeeniáegyenee II 4 ovábbiaban má ee a egyenee e fogaonn hogy ejssn a áaános megodásho. onban ehhe be e veenün egy feée. Oosa iaáá a öveeő: 0 Áíóag e műödi eé e e aamani! Deiváj a áaános megodás! y y ama a feéeüne! Eo apj a öveeő egyenee: y y eheyeesíün a eedei egyenebe. g q p sopoosín. g q p q p Láhaj hogy a é áojees ifejeés a homogén egyene é függeen megodása ami egyenő éssa mive homogén. Így e a é ag eűni. Maad ehá g 0 egyeneendse meyne megodása: és evee a áaános megodásho. Íj e fe egy máiegyenebe! g 0 Inveáj a máio! g g g g Z g Z 0 0 de 0 4
Diffeeniáegyenee II 5 Tehá d g d g d a d g d g d b ho a és b inegáási onsanso. Ebbő meghaáohaj a inhomogén egyene áaános megodásá. y Össegés Váass e a foás így apn egy homogén diffegyenee: y py qy 0 Enne egyi megodásá -e Zaán megadja. Innen haáo meg -. Hasnáj a e d p d g g egyenee. Ebbő inegáássa ejn -ho és -he. Íj fe a áaános megodás! y Ha e iessün edőfeéeehe és íj fe a paiáis megodás! 5
Diffeeniáegyenee II 6 Péda 4 y y y Leváasj a foás. Enne egyi megodásá Zaán megadja. Kisámohaj -. 4 y y p y 0 e pd e pd d 5 d 4 ons Legyen 0! Legyen 4! Eo Megodo a homogén egyenee his endeeésüne á a é megodása. Iyeno édemes eenőini eee mieő ovábbmennén. eedei egyeneün e vo: 4 y y y Tdj hogy a foás néüi homogén egyene é megodása eőáíja a eedei inhomogén egyene áaános megodásá. y 6
Diffeeniáegyenee II 7 eméei ésben megap hogy g g Ebben a pédában 4 g Hasnáj őe! a 4 4 b 0 4 5 4 3 5 5 0 4 b a b a y Geen-függvény beveeése Néü a öveeő pédá: m D g Rgóa ögíe ese egy gejesőeő ánga. mogásegyene g g D m Legyen és a egyseűség edvéé hogy ne ejen hodoni a sámoáso soán. Így m D g 7
Diffeeniáegyenee II 8 E egy másodendű ineáis inhomogén diffeeniáegyene ami áandó vaiáásáva meg dn odani. Odj is meg! Mive fiiso vagyn dj hogy a foás eváasásáva apo homogén diffegyene egyi függeen megodása egy isa sinsos egés. hogy má á Legyen! Így 0 sin - meghaáohaj a öveeő épee: d d e sin os sin os pd sin sin Megodo a homogén egyenee. Eo Hasnáhanán gye a os sin os g g egyenee. gyaoás edvéé jáj aonban mos végig a a a ami a áandó vaiáásána eméeében megeün. Ismejü a oosa áa iaá feée: sin os 0 Továbbá a mogásegyenebe beheyeesíve a áaános megodás jeenegi aajá megapj a öveeő egyenee: os sin g Soo be a é egyenee ende sin -ve és os -ve és vonj i egymásbó a eő. Eo e apj: sin os g os g os a g os d 8
Diffeeniáegyenee II 9 Mos soo be gyana a é egyenee ende os -ve és sin -ve és ismé vegyü a üönbségüe! sin os g sin g sin b g sin d Mive nem ismejü g - ényeene esün a inegáfomáa vissaheyeesíeni a áaános megodásba. onban vigyán a inegáási váoóa eé beveejü ' -. 0 g 'os' d' sin 0 g ' sin ' d' os g ' os'sin os sin ' d' g 'sin ' 0 0 E a áaaíás aé ehejü meg me a inegáás semponjábó a vesső néüi -s igonomeis függvénye onsanso. aábbi ifejeés G ' sin ' jeen feadaban Geen-függvényne hívj és a mondja meg hogy egy is öés haásáa hogy viseedi a függvény. Ha e inegáj 0-ó -ig ao megapj a időbei ejes gejesőeő áa iaaío mogás eíó egyenee. Dia-dea a a speiáis ű aaú függvény amey mindenho és ivéve a 0-ban és öveen önyeeében aho isi a séessége és a magassága. Tehá a inegája ponosan. Dia-dea úgy definiá hogy e a haáééban a a náho ehá esőegesen isine veheő mindig annyia hogy a ado pobéma sámáa eegendő egyen. Dia-dea egy isi öés a endsee néve. Képejü e úgy hogy a eőbbi pédában a gó megöjü egy is Dia-deáva ' -ben. Eo a endse sinsos egésbe jön. Ha mindig megöjü egy pii úgy hogy a is öésebő egy foyonos gejeső ángaó eő jöjjön ée vagyis eee a ' heyee inegáj a engeye vonaoóag ao apj a endse ejes egésében eíó diffeeniáegyenee amey áaában így né i: y G h d Tehá a foás min a ángaás időben eíó függvény és a Geen-függvény amey megmondja hogyan eagá a endse a ángaása inegája a megodás. Pese a ángaás ifejeés épees. Áaában foásna neveü ahogy a ögön a jegye eején íam. foás ehe aá egy emodinamis endse üső fűése is vagy egy eeomos endsee d' 9
Diffeeniáegyenee II 0 áapso üső fesüség vagy bámiyen üső poeniá amey váoha ében és időben egyaán. RENDSZER VISELKEDÉSE VIZSGÁLT INTERVLLUMR KISI REKIÓ KISI HTÁS Ebben a épees épeben a haás min foás jeeni meg a eaió pedig min Geen-függvény. visgá inevam ehe ében vagy időben. seméeés edvéé épejün e egy hú ami a sé haásáa ié heyeébő feves vaamiyen aao. Minden isi daaba megnéü: ha o egy is sé fúj ao miyen aao ves fe a egés hú. Ugyane megsináj a egés húa. E jeeni a seini inegáás. Hú eseében aonban peemfeéee is vanna. Peemfeéee beágyaása a Geen-függvénybe Egy diffeeniáegyenee é faja feéehe iesheün. Kedőéé megadásao megmondj hogy egy ado pianaban hogy viseedi a függvény. E a göbeseegbő iváas egy függvény. edőéé nem befoyásoja a függvény miyenségé. Eenben egy endse eíó diffegyene módos ha megmondj hogy viseedi a endse bionyos haáoon. Peeméépobémá megodásáa hasnáhaó a Geen-függvény. E beépü a mogás- vagy páyaegyene inegáfomájába és esein e majd inegáni. Vegyün egy öönséges másodendű függvényegyühaós ineáis inhomogén diffeeniáegyenee: peemfeéee adoa. homogén egyene egyi megodása is ado. Áís eő a önadjngá aajá! ho min dj y p y q y g y a y y b y vaami y s y h e p d 0
Diffeeniáegyenee II Legyen és a homogén egyene megodásai és áís eő eee és ineáis ombináiójaén úgy hogy a é - a é peemfeéehe iesjü. E úgy e eépeni hogy a egyi peemfeéehe a mási peemfeéehe igaío. ábán a ási hogy a é -a üön-üön igaío a é peemfeéehe majd enne a eőne a össegébő spepoíiójábó á eő a áaános megodás. y a y y b y Könnyű beeavaodni ebbe a so paiáis megodásba:. Ugyan mindegyi megodása a homogén egyenene de ebbő és nins a peemfeéeehe iesve. Eé - és -bő eésíjü és függvényee úgy hogy a ineáis együhaó megváasásao figyeembe vessü a peemfeéeee. E hívjá úgy hogy áéün egy mási megodásbáisa. Mive ineáis a egyene eé nygodan jáshan a paiáis megodásoa me dj hogy ee össege úgyis eőáíja majd a áaános megodás ha jó váasj meg a együhaóa. együhaó megváasása pedig mindig edő- vagy peemfeée aapján öéni. á ehe mindeő is. d a y D b y Ebbő a négy egyenebő meghaáo D -. Majd fe is íhaj -e és -. Jeen eveeés oyan esee vonaoi amio a peemfeéee deiváaban nem jeenne meg. Ha Zaán mégis iye ad ao se ijedjün meg; deivájn nygodan íésün sein és odj meg a egyeneendse. Geen-függvény áaános eseben G onsy-deemináns i D D féeéése eeüése vége a deeminánsban és a mögöe áó nem gyana! deeminánsban seepő a áandó vaiáásábó sámaó együhaó míg a üső a meghaáoásáná eőeüő onsans.
Diffeeniáegyenee II megodás pedig y h d a b h d Össegés Meghaáo -e majd besoo vee a egyeneüne így megapj a önadjngá aao. Jegyeü meg h -e me ésőbb süségün es á! do áís eő. y s y h d és ineáis ombináiójaén áís eő -e és - úgy hogy fehasnáj a peemfeéeeine. Eebő meghaáo D - majd feíj -e és -. Íj fe a megodás! y a y b y D h d a b h d Péda y y y 3 y 0 y 0 Ossn e -gye!
Diffeeniáegyenee II 3 y önadjngá aao úgy apj hogy Ebbő Haáo meg -! y y y p p d e -se besoo a egyenee. y h d Íj fe -e és - és ineáis ombináiójaén. Legyen 0 és 0 beheyeesíeü a peemfeéeee. 0 D 0 D 5 D Tehá 5 3
Diffeeniáegyenee II 4 D D D D Íj fe a Geen-függvény! G 5 5 áaános megodás... 5 5 b a d d d h d h y E pese i ehe és i e inegáni. Rád bíom Paiáis diffeeniáegyenee Egy éváoós paiáis diffegyene áaános aaja 0 y y y y F Háom eméseben gyaan eődodó fajájá üönböejü meg. Eipis: h Hipebois: h Paabois: h eneveése a deiváa üönfée seepésée ana a egyeneben. 4
Diffeeniáegyenee II 5 egő hú diffeeniáegyenee oyaiban megaáhaó a egyene feíásána épései. ágova a hossúságú egő hú diffeeniáegyenee aho onsans. E egy homogén hipebois diffeeniáegyene. Tdj hogy vanna edő- és peemfeéeein. Megadhaj a hú aajá a 0 - ban egy f függvénnye. hú ponjaina sebessége a 0 -ban: 0 f 0 g hú é vége e van ögíve eé ao minden időpianaban a 0 -án ána. 0 0 0 enoi-fée megodás aon aapsi hogy a eese függvény oyan soa aaban e eesni meyne egyi ényeője sa -ő mási ényeője pedig sa -ő függ. X T Heyeesísü e vissa a eedei egyenebe! Eo a öveeőe apj: X T X T XT XT 5
Diffeeniáegyenee II 6 Tehá egyene váoói séváashaó XT X T T T X X E a paiáis diffeeniáegyenee egy oyan 3 dimeniós oodináaendseben épehejü e ameyne é vísines oodináája és. Éééseü aonban egy onsans síon heyeedi e. E ao eheséges ha a egyene jobb odaa sa -ő baodaa pedig sa -ő függ. Mive mindé oda onsans és egyenőe eé beveejü a öveeő onsans: T T X X mibő T T X X Ee a paiáis diffegyenee vissaveeü é öönséges másodendű diffegyenee. T T 0 X X 0 eső egyene áaános megodása T sin os Míg a mási egyene áaános megodása X os Dsin Így ee aapján feihaj a függvény. T X sin os os Dsin 6
Diffeeniáegyenee II 7 aho D ismeeen áandó. Ee meghaáoása a edő- és peemfeéee aapján öéni. 0 0 sin os 0 mi esőeges eseén sa úgy eheséges ha 0. 0 sin os Dsin 0 Mive D nem ehe 0 ha má a is a me ao a megodás is aonos enne 0-va. sin 0 3... nem ehe 0 me ao is a e hogy egyen. Végü meghaáohaj -. Mos má így né i a megodásfüggvény: os sin D sin Láhaj hogy minden -ho aoi egy-egy paiáis megodás. Tdj hogy a homogén diffegyene paiáis megodásaina össege is megodás. U os sin D sin Végeü e a soás és egyen D E és D F! U E os sin F sin sin 7
Diffeeniáegyenee II 8 Még nem hasná fe a U 0 f edőfeée. Enne éemében: E sin f - beheyeesíve E sin f Hogy meghaáo a E együhaóa Foie-soba fejjü f -e. Hogy abban ne egyen osinsos ag eé f -e min páaan függvény fejjü soba. E ao eheséges ha a sein peiodis függvény -ő -ig visgáj mive nem gaaná hogy a hú egése simmeis. De é gyanoyan hú gyanoyan edőfeéee egymás mee má simmeis. Páaan simmeis pedig ao es ha a egyi hú a feje eejée áíj oyan éeemben hogy iéése pon eenées egyen. E pese ejesen önényes és áaan; a megodás nem fog eő oni. f Pédá gyane sináj Foie-ansfomáió eseén is amio a mondj hogy a visgá objem végeen ávo isméődjön meg mégegyse mive sa peiodis függvényee ehe Foie-soba fejeni. Ha pedig végeen ávo van a mine nem ava. Foie-ansfomáióná nem e hogy peiodis egyen ponosan a eőbb emíe ev mia. Jeen eseben nins végeen ávo de nem baj me mi a húna sa a 0 saasáa vagyn ívánsia. pedig hogy meee p a 0 aományon mi öéni ejesen mindegy. Eé ehejü meg hogy páaan függvényén fejjü soba f -e: f b sin Eo E b Hasonó módon haáohaj meg F együhaóa is. Tdj hogy 0 g 8
Diffeeniáegyenee II 9 Deiváj a U megodás sein és heyeesísü a edőfeée. 0 F sin g Tejessü i g -e is a fen eí módon majd fejsü Foie-soba: g G sin Össeveve a é egyenee áhaj hogy F G Meghaáo a össes együhaó megodo a diffeeniáegyenee meye Foieso aaban hagyhan: U E os sin F sin sin E b f sin d F G g sin d Pédá sajnos nem do íni. visgán gyaneeen a épéseen e végigmenni. do es és de a nem gaaná hogy a peemfeéee 0-va esne egyenőe. Eene a aamaásáa nins áaános módse. Áaában a sinsoa és osinsoa e babáni. Továbbá dj hogy a e 0-ban. Ee fogna eveeni a megodásho. Ugyanígy ado es f és g. Ha a megodás sinsos ao páaan e Foie-soba fejeni vagyis inevamon ha pedig osinsos ao páosan 0 inevamon. Tehá a Foie-soban a inegáási haáoa így váasj meg. 9
Diffeeniáegyenee II 0 hőveeés diffeeniáegyenee Vegyün egy hossúságú da meyne sa iányban van iejedése 0 saason. úd é végponjá as áandó 0 hőméséeen. edei hőméséeeosás eíó függvény: f. 0 f 0 0 0 hőveeés eíó diffegyene pedig aho anyagi minőségő függő áandó. Láhaó hogy e egy paabois diffegyene. Megjegyéséppen: aé van sa egy edei feéeün me a egyeneben -na sein sa esőendű deivája van. Megin bons fe a megodás egy -ő és egy -ő függő soaa! X T Eo XT X T E vissaheyeesíve a diffegyenebe XT X T egyene váoói séváashaó. T T X X áíás iga i is hogy a é oda üön-üön onsans ééű his más-más váoóó függene mégis egyenőe. Sinén beveejü a öveeő jeöés: T T X X 0
Diffeeniáegyenee II T T X X Séváaso a paiáis diffeeniáegyenee egy öönséges esőendű és egy öönséges másodendű diffegyenee. T T 0 X X 0 eső egyene megodása T e Míg a másodié X os sin Tehá X T os sin e Dos E sin e D E ieve ismeeen áandó meyee a edei feéebő haáohan meg. Mive 0 0 eé: De 0 Ebbő pedig D 0. Mive 0 0 és D 0 eé E sin e 0 E aé nem ehe 0 me ao a megodás is aonosan 0 enne ahogy e a húná is emíeem. sin 0
Diffeeniáegyenee II ehá megin sa nem ehe 0 me ao is 0 vona. feéeee ieégíő paiáis megodáso ehá 3... sin e E Mive a diffeeniáegyene homogén eé a paiáis megodáso össege is megodás. sin e E U Ne feedeün meg a 0 f edei feéeő meybő megadhaóa együhaó. E sin E f f -e pedig a fen eí módon Foie-soba fejhejü min páaan függvény és ao sa isa sinsos so apn. sin b f Ebbő öveei hogy b E Meghaáo a össes együhaó így a megodás sin e E U d f b E sin