Sektráli ódzerek a fizikai geodéziába A fizikai geodéziába előforduló záo feladat egoldáa egkíváa agyeyiégű adat elezéét é felhazáláát Az FFT- (gyor Fourier trazforáció, agolul Fat Fourier Trafor) alauló, úgyevezett ektráli ódzerek biztoíták ezekek az adatokak a hatékoy kezeléét A ektráli ódzerek elteredéét legikább a záítái igéyek egövekedée idokolta é az, hogy ezek ige hatékoya oldák eg az úgyevezett kovolúció itegrálok kizáítáát Ezek az itegrálok léte-yoo előfordulak a fizikai geodéziába Kovolúció itegrálok a fizikai geodéziába A) voaleti töegelozlá B) zuerozíció elve: Kotat elhagyva é általáoítva utuk el az alábbi itegrálhoz: D kovolúció
ò - D kovolúció (Stoke-itegrál, ík közelíté): V ( x) r( x) h( x -x ) dx g( x', y') / òòd g [( x - x') + ( y - y') ] dx' dy' 3D kovolúció (Newto-itegrál): r( r') V ( r) kòòò r - r' Föld dv r ( y, z), r (x, y, z ) kovolúció elölée: ò - V ( x) u( x) * h( x) u( x ) h( x - x ) dx Fourier-or a fizikai geodéziába Göbfüggvéyor Göbfelülete adott f ( J, l) függvéyre: f ( J, l) åå åå å( A ( J) co l + B ( J)i l ) ( C ( C co l + S co l + S i l) i l) (coj) (coj) ahol D Fourier-or lez belőle: f J ìa í îb ( l) ( J) ü ý ( J) þ å å ìc (coj) í îs ( A ( J) col + B ( J) i l) þ ýü Általába f ( t) å ( a co w t + b w t) a + i w körfrekvecia (rad/ec, rad/k) T
eriódiku függvéyre Mivel e co wt + ii t (Euler özefüggé) iwt w írható, azért å iw t f ( t) c e - c ± ( a ib ) d + T -i w t ò c f ( t) e dt T d 3 Folytoo Fourier-trazforáció (CFT) 3
Áteet a folytoo eetre: T Fourier-trazforáció ( ( t) f ( t) g ) -iwt F( w ) ò f ( t) e dt F t - wt f ( t) F( e dw ò F - i - Tehát éldául áro f(t) függvéyre F(w ) való lez { f ( )} { F( } A Fourier-trazforáció foto tuladoágai Liearitá F { af ( t) + bg( t) } af{ f ( t) } + bf{ g( t) } af( + bg( Eltolá (fázi változá) Kovolúciótétel tehát F { ( ) iwt iwt f t - t } F{ f ( t) } e - F( e - ò - g ( t) f ( t) * h( t) f ( t ) h( t -t ) dt iatt F { g(t) } ì ü G(ω) F íò f(τ) h(t - τ)dτý î- þ é ù -iwt ò ê ò f(τ( h(t - τ)dτú e dt - ë- û é ù -iwt ò f(τ) ê ò h(t - τ)e dtú dt - ë û H ( - ò - f ( t ) e -iwt dt H ( F( { f ( t) * h( t) } F( H ( F 4
Szavakba egfogalazva, a kovolúció Fourier-trazforálta a téyező függvéyek Fourier-trazforáltaiak zorzata Aalógia: A zorzat logaritua a téyezők logarituaiak özege Egy költége űveletet, a zorzát így helyetteítük egy olcóbb űvelettel, az özeadáal, feltéve, hogy a logaritu é iverz logaritu eghatározáa olcó űveletek záít (éldául logaritu táblázatból) A kovolúció eghatározáa, ai drága űveletek záít (iért?) vizavezethető egy olcó űveletre, két függvéy zorzatára, feltéve, hogy a Fourier-trazforáció é iverze i olcó űveletek záít 4 Dizkrét Fourier-trazforáció (DFT) A) Mitavételezé hatáa A itavételezé hatáa iulzuorozattal való zorzáak felel eg Tehát a itavételezett függvéy Fourier-trazforálta (az iverz kovolúció tétel zerit) az eredeti folytoo függvéyek az iulzuorozat Fourier-trazforáltával vett kovolúcióa lez Az iulzuorozat Fourier-trazforálta aga i egy iulzuorozat, ezért az ezzel vett kovolúció azt eleti, hogy a folytoo függvéy trazforáltaiak (átkálázott) áolatait a itavételezéi (kör)frekveciáak egfelelő közökét egyá ellé helyezzük é özeaduk Így a következő eredéyt kauk: Akkor ice ektruiétléből adódó torzítá (aliaig), ha 5
ákée w ax T T i w Ez a T i az ú Nyquit itervallu, a eki egfelelő itavételezéi (kör)frekvecia edig az w / T Nyquit frekvecia N i Mitavételezéi tétel A itavételezéi frekvecia legalább kétzeree legye a elbe előforduló legagyobb frekveciáak Ekkor F ( áolatai elkülöülek, ic ektruiétléből adódó torzítá (aliaig), elég a áolatokból cak eggyel foglalkozi, ha azt T-vel átkálázzuk B) Vége elorozatok ax A itáik térbe korlátozott kiteredéűek ez egy levágó ablak alkalazááak felel eg Eek következéye az ábrá látható ektráli zivárgá, ai zavaró felharoikuok egeleéét eleti a trazforált elbe N db itát vezük id az f(t) -ből, id az F(w ) -ból (itavételezé) N - { } N - f illetve { } k k Ekkor a dizkrét Fourier trazforált ár (DFT): F f k Ez N N å - f å - N N k e -ikdwt F e k ikdwt k,, N,, N F, db kolex zorzát é N ) db kolex özeadát elet Gyor Fourier-trazforáció (FFT) A DFT űveletigéyét cökketei lehet Cooley é Tukey 965-be ublikálták ódzerüket, aelyik biári (N k alakú) záú adatra ( hatváyra) N db zorzá helyett Nk db zorzát igéyel, ezekívül Nk db kolex özeadát Ezerit a űveletigéy N -ről N log N -re 6
cökkethető Ők zeiziku adatok időoraalíziére hazálták ódzerüket Cikkük ade el lett feletve Kéőbb kiderült, hogy korábba ár áok i felfedezték a gyor Fouriertrazforációt, így éldául Daielo é Láczo (94), őt aga Gau i hazálta 85-be azteroida ályák iterolációára Azóta az FFT ódzert kidolgozták e cak biári záú adatra (ez az ú ixed-radix FFT), é zite ide tudoáyágba alkalazzák, így a fizikai geodéziába i A külöbég a DFT é az FFT űveletigéye között óriái lehet éldául N 9 adat eeté egy cikluideű ( GHz lebegőoto ebeégű rocezorral felzerelt) gé FFT-vel 45 áodercig záola, íg FFT élkül (DFT-vel) a záítá 63 év úlva feeződe cak be! 5 A gyor Fourier-trazforáció (FFT) ódzeréek alkalazái lehetőégei a fizikai geodéziába Az FFT elő alkalazái területe kovolúció itegrálok hatékoy záítáához kötődik Az egyik legfotoabb ilye itegrál a Stoke-itegrál Stoke-itegrál záítáa FFT-vel R ( ) òòdg( Q) S( y ) d ( Q) 4g N Q Kérdé, hogya lehet a feti, a egyéggöb felzíére felírt Stoke-itegrált diezió kovolúció itegrál alakára hozi? A) ík közelíté (D ík FFT) Dg( * ln (, ahol g l N ( -/ ( x + y ) kizáítható gyor Fourier-trazforáció egítégével: - F { DG( u, v) LN ( u, v) } g Ebbe az özefüggébe L N ( u, v) az úgyevezett agfüggvéy Fourier trazforálta, D G( u, v) edig a ehézégi redelleeégek zabályo rácra iterolált értékeit tartalazó átrix D Fourier-trazforálta A kezdőotba (x, y ) a agfüggvéy zigulári, ezért itt a egfelelő geoiduduláció-árulékot ákée kell záoli, éldául a özefüggé egítégével B) göbi Stoke-itegrál (göbi FFT) DxDy d N ( Dg( g A Stoke-itegrált felírhatuk göbi koordiátákba az alábbiak zerit: R, l ) Dg(, l) S(, l ;, l) co ddl 4g òò 7
A robléa az, hogy a Stoke-függvéy e cak a ot é a futóot koordiátáiak a külöbégétől függ Ha ez lee a helyzet, akkor ez az itegrál otoa egy D kovolúció alakát ölteé a göbi koordiátá felírába, éúgy it a ík közelítébe Egyelőközű rácra iterolált Δg adatok eeté: N M R l, lk ) åå - - Dg(, li ) co S( l, lk ;, li ) DDl 4g i Mivel közelítőleg a Stoke-függvéy felírható a földrazi koordiáták külöbégei függvéyekét az alábbiak zerit: y D Dl D Dl i i + i co co i + i co S ( ) - 4-6 + - (3-6 )l( + ) Így a Stoke függvéy végül i cak az alábbiaktól függ az -e kereztül: S( y )» S( -, l - l, ) l A záítái terület közee földrazi zéleégével záolva tehát a Stoke itegrál göbi koordiátákba i kovolúció itegrállá alakítható: Ezt evezzük D göbi FFT-ek k i { F{ Dg(, l ) co } F{ S(, l, ) } R l, lk ) F - i l k 4g Ha záítááál e alkalazuk közelítét, a Stoke itegrál Δl zerit akkor i D kovolúció itegrállá alakítható, ivel S, l ;, l ) S(,, Dl ) ( l k i l ki Felhazálva a Fourier-trazforáció liearitáát, ìn ü íå - RDDl - l, lk ) F F{ Dg co } F{ S(, Dl) } ý 4g î þ Ezt evezzük D (zabato) göbi FFT-ek A záítátechika felődée következtébe a otoágra törekedve a ár zite kizárólag ezt az elárát alkalazzák a záítáok orá Veig-Meiez itegrál záítáa FFT-vel ík közelítébe D FFT: Mologyezki itegrál záítáa FFT-vel ìx ( ) ü ìcoa í ý Dg( Q) V ( y Q ) í d ( Q) h( ) 4g òò î þ ia î þ ýü, ìx ( ü ïì ì üïü - coa / r í ý F íf{ Dg} Fí ýý îh ( þ g ïî îia / r þïþ 8
A Mologyezki itegrál a Stoke itegrál iverze, vagyi ehézégi redelleeégeket lehet záítai a egítégével geoidudulációkból Erre éldául az altiétere éréek feldolgozáa orá lehet zükég, aikor kobiáli zereték az altiétere éréeket a geoidzáítához hazált földi ehézégi redelleeégekkel g g Dg(, l ) -, l ) + [, l), l )] Z( y ) d R 4R òò - Ez az itegrál a Stoke itegrálhoz haolóa a tele földfelzíre záítadó az ú Mologyezki-függvéy egítégével ( y ) å Z ( + ) (coy ) - 3 4i ( y / ) Ez az itegrál zité kizáítható az FFT egítégével Mot cak a ík közelítée egoldáát íruk le ide, R g D g( - - g - - [ F { F{ } F{ d( }- F { F{ } F{ d( }] -3/ [( x - x ) + ( y - y ) ] d ( Megegyezzük, hogy a gyor Fourier-trazforáció alauló ódzerek előyöe alkalazhatók ég éldául a terei korrekciók záítáára i, ahol külööe agy eyiégű adattal kell dolgozi Az egyéb alkalazáok között kell egelítei a gyor göbfüggvéy-orfeté záítát, ivel az előző rézekbe odottak zerit az alábbi ellegű zuák hatékoya záíthatók ki az FFT ódzerrel: å ( A co + B i l) å il l Þ c e -N A feti, göbfelületre vett itegrálok záítááál hallgatólagoa feltételeztük, hogy adataikat a tele földfelzíre ierük, ivel a fizikai geodéziába előforduló itegrálkéletek eetébe (Stoke, Veig-Meiez, Mologyezki, tb) a tele Föld felzíére itegráluk kell A gyakorlatba ez a követeléy e teleül, ezért az itegrálái tartoáy e a tele Föld Az itegrálái területe kívüli adatok hatáát edig zoká valailye geooteciál odell egítégével eghatározi Ilye korzerű odell éldául az EGM96 vagy a GM98C odell, elyek göbfüggvéy együtthatóit 36 ill 8 fok- é redzáig ierük Ez eetbe egy egyzerű záítái eláráal figyelebe vehető a geooteciál odell hatáa, aelyet előzör eltávolítuk az adatokból, azutá edig vizaállítuk a záított eyiégekbe (reoveretore) A Stoke itegrál eetébe az elárá így éz ki: GM Dg N N + N + N FA GM D g Dg - Dg + c, ahol GM elöli a geooteciáli odell hatáát, c a terei korrekció, Dg a zabadlevegő ehézégi redelleeégeket (Free-air), N h edig az úgyevezett idirekt hatát elöli A záítáokhoz edig az így redukált Δg ehézégi redelleeégeket hazáluk fel h N Gyakorlati éldák 9
EGG97 (Euroea Gravietric Geoid 997, Deker, Behred é Torge) EGM 96 geooteciál odell 36 fok- é redzáig (3 68 együttható) 3 orból é 4 ozloból álló, x,5 zögerc oztáközű földrazi ráchálóra adott ehézégi redelleeégek ( 779 5 Δg adat) záítái ódzer: D göbi (zabato) FFT, ektráli kobiáció
465 5 39 HGTUB98, HGTUB agyarorzági gravietriai geoidegoldáok (Tóth et al) EGM 96 geooteciál odell 36 fok- é redzáig (3 68 együttható) 4 orból é 55 ozloból álló, 3 x 5 zögáoderc oztáközű földrazi ráchálóra adott ehézégi redelleeégek ( 65 Δg adat) záítái ódzer: D göbi (zabato) FFT, reove-retore, ill ektráli kobiáció ecak geoid, hae függővoal elhalá özetevők záítáa i törtét Az OGS 38 zitezett otá elleőrizve a geoidegoldá 8,7 illetve 4,4 c-e zóráal egyezik 49 46 45 5 4 45 385 38 485 45 45 4 4 48 395 475 47 47 46 455 45 5 45 4 45 4 45 4 45 45 5 4 45 465 46 46 455 45 45 455 6 7 8 9 A HGTUB98B egoldá (izovoalköz:,5 ) Özeállította: Dr Tóth Gyula BME Általáo- é Felőgeodézia Tazék Budaet,