Iterpoláció Korszerű matematiai módszere 2013.
Tartalom Iterpolációs eljáráso Klasszius iterpoláció Általáosított iterpoláció Eltolt lieáris iterpoláció
Iterpoláció feladata alappoto: x,, 0, 1,..., ahol a függvéy értéei adotta: f : f(x ) approximáció: a özelítő függvéy em halad át az alappotoo iterpoláció: a özelítő függvéy áthalad az alappotoo
Iterpoláció poliommal iterpolációs poliom: olya p(x), max. -edfoú poliom amelyre teljesül, hogy p(x ) f, 0, 1,..., Tétel: Potosa egyetle olya poliom létezi, amelye foszáma és az + 1 ülöböző x potba az adott f értéeet veszi fel ( 0, 1,..., ).
Lagrage-féle iterpolációs poliom speciális eset: f m 1, az összes többi iterpolált érté 0 l m (x ) 1, ha m és l m (x ) 0, ha m gyötéyezős alaba: l m (x) c m (x-x 0 )(x-x 1 ) (x-x m-1 )(x-x m+1 ) (x-x ) a c álladó meghatározása: 1 c m (x m -x 0 ) (x m -x m-1 )(x m -x m+1 ) (x m -x ) a eresett Lagrage-féle iterpolációs poliom: l m ( x) x - Õ 0 xm- ¹ m x x
Lagrage-féle iterpoláció iterpoláció a Lagrage-féle poliommal f å it ( x) l ( x) iterpolációs feltétel f m f m m 0 it m 0 ( x ) ålm( x) fm f 0, 1,..., aor teljesül, ha l m ( x ) ì1, í î0, ¹ m m
Klasszius iterpoláció iterpoláció a φ it (x) magfüggvéyel f ( x- ) it ( x) å f jit ÎZ iterpolációs feltétel x fit ( x) å fjit( x - x) f ÎZ aor teljesül, ha 0, 1,..., j it ( x - x ) ì1, í î0, ¹
Egyeözű lasszius iterpoláció egyelő, egységyi x i i - å Î - Z i i i f f ) ( j it diszrét ovolúció Z p f f Î * ) ( iterpolációs feltételből övetezi, hogy î í ì ¹ 0 0, 0 1, p d ) ( p j it
Általáosított iterpoláció iterpoláció a φ(x) bázisfüggvéyel f ( x) c j( x- ) it å ÎZ iterpolációs feltétel x fit ( x) åcj( x - x) f ÎZ 0, 1,..., előy: most a bázisfüggvéye em ell ielégíteie az iterpolációs feltételt, ezért edvezőbbe választható meg hátráy: több számítás Hivatozás: Théveaz et al.(2000)
Egyeözű általáosított iterpoláció iterpoláció f c j( -i) å iîz diszrét ovolúció f i ( c* p) ÎZ c együttható iszámítása iverz ovolúcióval ( ) Z p j() c ( p ) -1 * f Î
Kovolúciós iverz diszrét sorozat p Î Z p j() ovolúciós iverz (digitális szűrés) ( -1 p* ( p) ) d ÎZ (p) -1 együttható iszámítása a z-traszformált reciproa segítségével: 1/ P( z) å 1 p z -
c együttható számítása szűréssel digitális szűrés (előszűrés) c ( h* f) ÎZ szűrő sorozat H( z) å 1 p z - å h z -
Kapcsolat a lasszius iterpolációval lasszius iterpoláció: f it ( x) å fjit ÎZ iterpoláló és em iterpoláló magfüggvéy j it ( x ) hj( x-) å ÎZ ( x -) az evivales iterpoláló magfüggvéyt a bázisfüggvéye szeriti szűréssel apju meg ÎZ
Példa: öbös splie öbös B-splie (em iterpoláló) -> Gauss-féle függvéy 1/6, 4/6, 1/6 sorozat 6 H( z) - åh - z 1 z+ 4+ z ardiális öbös splie (iterpoláló) -> sic függvéy
Lieáris iterpoláció φ bázisfüggvéy: háromszög vagy alap Λ(x)
Lieáris iterpoláció átsálázott és egész értéel eltolt alap függvéye összege f ( x) f L( x- ) it å ÎZ x
Eltolt lieáris iterpoláció em iterpoláló Λ bázisfüggvéyel (T mitavételezési öz, 0 < τ 0.5 eltolás) å Î ø ö ç è æ - - Z T x c x f t L ) ( it reurziós egyelet t 1t ) 1 ( - + - c c f
Iterpoláció ostruciója lieáris eltolt lieáris f f -1 c c -1 f +1 c +1 τt (1-τ)T τt (1-τ)T τt
Reurziós egyelet c-re megoldva az egyeletet c -re: c t 1-t - c-1 + 1 1-t f ez egy egypólusú reurziós (AR, IIR) szűrő, és stabil, ha 0 < τ 0.5 a 0 1 1 -t b 1 t - 1 -t zérus pólus
Előszűrő z-traszformáltja adott τ eltolásra: Ht ( z) -1 1-t + t z a szűrő impulzusválasza expoeciálisa csöeő 1
Előszűrő együtthatói h (-1) æ t ö ç 1-t è1-t ø 0,1,... az iterpoláló bázisfüggvéy L it ( x ) h L( x-) å ÎZ
Az iterpoláló bázisfüggvéy
c együttható számítása c helybe számítható (f felülírható): c t 1-t - c-1 + 1 1-t f iidulás: c 0 c - 1... f0
Példa: Gauss-féle függvéy iterpolációja f ( x) e 2 x - 2
Optimális eltolás Gai 10 log 10 e 2 elieáris 2 eltoltlieáris τ opt 0.21
A lieáris iterpoláció szabályos hibát tartalmaz
Képfeldolgozás eltolt lieáris iterpolációval 12x elforgatás
Képfeldolgozás eltolt lieáris iterpolációval 12x elforgatás