Két kereszttetőről Viszonylag gyakori az 1. ábrán látható egyik fajta tetőidom. 1. ábra Forrása: http://wiki.openstreetmap.org/wiki/de:roof_table#subtype_6 Látjuk, hogy 4 darab tetősík összemetsződésével áll elő, ahol a vízszintes taréjok merőlegesen metsződnek. Úgy is mondhatjuk, hogy két, egyforma magas nyeregtető egymásba hatolásával állíthatjuk elő. Az egyes nyeregtetőket oromfalak zárják le. A tetősíkok egyező hajlásúak, így a vápák felülnézetben az ereszsarkoknál szögfelező helyzetűek, valamint vetületben merőlegesen metszik egymást. Egyszerű és látványos tetőalak, továbbá a szerkezete sem igazán bonyolult és ismétlődő jellegű.
2 Néhány másik fajta kereszttető alak szemlélhető a 2. és 3. ábrán. 2. ábra Forrása: [ 1 ] 3. ábra Forrása: http://www.scribd.com/doc/93875852/hejkonyv4 Ezeknek az a jellegzetessége, hogy 4 torznégyszöggel határolt felület - darabból ( a továbbiakban: torznégyszögből ) állnak, amelyek az egyenes peremvonaluk mentén csatlakoznak egymáshoz. A torznégyszög nem sík felület, bár egyenes alkotó - hálózattal bír. Az egyes alkotók egymáshoz képesti elfordulásai a héjfelület csavaro - dását is szemléltetik. A 2. és a 3. ábra olyan héjszerkezeti megoldásokat mutatnak, ahol a tetősarkokon vagy a peremek közepén oszlopok állnak, továbbá ezeket a szaggatott vonallal jelölt vonó - rudak kötik össze. Felvetődik a kérdés: hol / hogyan folyik le az esővíz ezekről a tetőkről? Az első esetben gyorsan megadhatjuk a választ: a víz az ereszre merőlegesen, tehát az adott sík esésvonala mentén folyik le mindaddig, amíg az ereszhez ér, vagy a vápába nem jut, és annak egyenesében halad tovább az ereszsarokig. A második esetben már összetettebb a válasz. Ehhez tekintsük a 4. és az 5. ábrát is!
3 4. ábra Forrása: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=f%c3%a1jl:hyperbolicparaboloid.svg&filetimestamp=20100207232012 5. ábra Forrása: http://nagysandor.eu/asimovteka/lon/pvt/index.html A 4. ábrán egy hiperbolikus paraboloid elnevezésű felület ábráját látjuk, két meghatá - rozó egyenes - seregével. Az 5. ábra ennek alapján lett egy kicsit átalakítva.
4 Az 5. ábrán már jobban látszik, hogy a 2. ábra, valamint a 3. ábra jobb első torz - négyszög tető - negyedei megfelelnek az 5. ábra pirosra színezett darabjának. Eszerint mondhatjuk, hogy a torznégyszög és a hiperbolikus paraboloid ugyanazon felületek. Ez persze csak szemléltetés, nem bizonyítás, de most elég lesz ennyi is. A 4. és 5. ábra felületének egyenlete a forrása szerint: z = xy. Ez azt is jelenti, hogy a felületnek egy z = C egyenletű vízszintes metszősíkkal képzett metszete C = xy egyenletű, azaz a metszetgörbe hiperbola. A különböző magasságokban felvett metszősíkokkal képzett metszetek kiadják a felület szintvonalas ( felülnézeti ) képét, amely ezek szerint egy hiperbola - sereg 6. ábra. 3.5 y f(x)=1/x f(x)=1/(2*x) f(x)=2*1/x f(x)=1/(4*x) f(x)=4/x f(x)=x f(x)=4 r(t)=4/cos(t) 3 2.5 2 1.5 1 0.5 x -1.5-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5-0.5 6. ábra Most akkor arról, merre folyik le az esővíz a torznégyszög alakú felületről. A [ 2 ] műben így írnak erről: Mivel a lefelé folyó vizek mindig a leggyorsabban lefelé vezető irányba folynak, mindig a negatív gradiens irányában kell haladniuk, és ez merőleges a szintvonalak - ra. Geometria - tanárunk megfogalmazása szerint: Mivel az esésvonal merőlegesen metszi a "vízszintes" szintvonalakat, az esésvonal és a szintvonal metszéspontjához tartozó érintők egyike a képsíkkal párhuzamos, ezért a vetületben is merőlegesen metszik egymást a görbék. Ha tehát ismerjük a szintvonal - képet, akkor a víz a szintvonalakra merőlegesen fog haladni, a felülnézeti képen. Eszerint a feladat: a szintvonalak ortogonális trajektóriá - inak merőleges görbeseregének előállítása, majd az adott vízcsepp adott pontból
5 való elindítása, egy az adott torznégyszög - felületi pont felülnézeti képén áthaladó ilyen görbén. A vízcsepp tetőfelületi pályáját a felülnézeti pályára, mint vezérgörbére állított, a z tengellyel párhuzamos alkotójú hengerfelület metszi ki a héjból. Eddig a geometriai leírás. Ha idáig követtük a gondolatmenetet, akkor érthető lesz, hogy az esővíz cseppek általában nem egyenes, hanem görbe vonalú pályákon folynak le a torznégyszög alakú tetőről, attól függően, hogy hol estek rá. Megjegyzések: M1. A 2. ábra szerinti kereszttetőt [ 3 ] - ban koporsótetőnek nevezik. M2. A 2. / bal ábra szerinti tetőalakot [ 4 ] - ben keresztgerincű tetőnek nevezik. M3. Az 5. ábrát nézve eszünkbe juthat, hogy az O pontból a héj lelógó sarkához legrövidebben egy függőleges síkú görbe vonal mentén juthatunk el. Ezt megerősíti a 7. ábra is, ahol a mondott görbe vonalat egy lefelé hajló másodfokú parabolát be is rajzolták. M4. A taréj végéről / az oromcsúcsról a víz az oromél szegélyezése mentén vagy eresz - csatornában, egyenesen folyik le a tetőről, a héj sarkához 10., 11., 12. ábrák. M5. Ott tartunk, hogy a torznégyszög alakú tetőről lefolyó esővíz számára 3 - féle pályát is találtunk; ezek: 7. ábra; forrása: [ 5 ] ~ egyenes, ~ parabola ( síkgörbe ), ~ az egyenes alkotóból indulva a vápa - parabolára ráforduló ( térgörbe ) pályák. ( A 7. ábrán az a görbedarab a vápa - parabola, amelyre az R 1, pr jelű nyíl mutat. )
6 M6. A 8. ábrán Graph - fal megrajzoltuk 6 vízcsepp pályájának alulnézetét. 3.8 3.6 3.4 3.2 y f(x)=sqrt(1+x*x) f(x)=sqrt(4+x*x) f(x)=sqrt(9+x*x) f(x)=x f(x)=4 r(t)=4/cos(t) f(x)=sqrt(x*x-1) f(x)=sqrt(x*x-4) f(x)=sqrt(x*x-9) 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x -1-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2-0.2-0.4 8. ábra A 8. ábra képét a + z tengellyel szembenézve látjuk. Ez alulnézet, az 5. és 7. ábra szerint is. Az x és az y tengelyen fekszenek a taréjok. A derékszöget felező szaggatott vonallal itt az előbbi parabola vetületét ábrázoltuk. Látjuk, hogy a zöldes színnel jelölt oromélekre tényleg kell az ereszcsatorna, mert a lefolyó víz pályája keresztezi az oroméleket. Látjuk, azt is, hogy az x és y tengelyből induló esőcseppek a szögfelező - helyzetű aszimptotához tartanak. Itt a [ 6 ] munkában talált eredmények alapján dolgoztunk. Nevezetesen, hogy az x y = C egyenletű hiperbola - sereg ortogonális trajektóriái az 2 2 y x = C 1 egyenletű másik hiperbola - sereg. A két tengelyből induló pályavetületek a 45 fokos egyenesre egymás tükörképei. M7. A vápa - parabola kifejezés saját találmány. Azt kívánjuk ezzel is érzékeltetni, hogy az esőcseppek / patakocskák efelé tartanak; némiképp hasonlóan, mint a sík tetődarabok esetén a vápa felé. M8. Fentiek szerint így képzelhetjük el egy az y tengely valamely pontjából induló vízcsepp pályáját 9. ábra:
7 9. ábra M9. A pálya - térgörbe vektori egyenletéről is tudunk mondani valamit. Ez általában: r = x i + y j+ z k. ( 1 ) A felület egyenlete itt: z = x y. ( 2 ) Az ( x, y ) síkban értelmezett ortogonális trajektória egyenlete: y x C c 2 2 2 = 1 = ; innen, tekintetve, hogy az x és y koordináták itt nem negatívok: 2 y = c + x 2, c = konst. ( 3 ) Most ( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) - mal a ( 0, c, 0 ) pontból induló esőcsepp pálya - egyenlete: 2 2 2 2 r = x i + c + x j+ x c + x k. ( 4 )
8 M10. A 10. ábrán egy hypar héj vízelvezetési megoldását szemlélhetjük. 10. ábra Forrása: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/80/ludwigshafen_friesenheim_eb erthalle3.jpg A 10. ábrán megfigyelhetjük, hogy az esővizet a héj legmélyebb pontjára vezetik, szegélyezéssel.
9 11. ábra Forrása: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=datei:binzbushaltestelle_m%c3%bcther.j pg&filetimestamp=20110201223655 A 11. ábrán is hasonló megfigyelést tehetünk. Javasoljuk, hogy az Olvasó vesse össze az 5. és a 11. ábrát, és keresse meg a 11. ábrán a koordináta - tengelyek helyét! Ha ez megvan, ekkor láthatja, hogy az x tengelyből induló vízcseppek jelentős hányadát a képen látható jobb oldali perem belső szegélye kényszeríti egyenes pályán a 7. ábrán is megnevezett lefelé görbülő parabola foly - tatásában elhelyezett vízlevezető csőbe. A megépült héjakról itt látható fotók tanúsága szerint a vízlevezetés kérdése nem jelentéktelen dolog. Az a tény, hogy eddig nem találkoztunk az ittenihez hasonló víz - lefolyás - vizsgálattal, nyilván csak azt mutatja, hogy nem vagyunk építészmérnökök.
10 12. ábra Forrása: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/ruderzentrum_blasewitz.jpg A 12. ábrán az is feltűnhet még, hogy ~ a héj legmélyebb pontján 3 - irányú vízelvezetést alkalmaznak; ~ a tetőfedés / tetőszigetelés bordázott, ami szintén terelheti a lefolyó csapadékvizet. Utóbbi esetben elméleti megfontolásaink már nem annyira érvényesek, hiszen eddig sima tetőfelszínt tételeztünk fel. M11. Ha már itt tartunk, akkor az is idekívánkozik, hogy az elméletileg sík első fajtájú kereszttetőnél, mint ahogy más tetőknél is, a tetőfedés pl. a cserepek domborzatai kisebb - nagyobb mértékben módosíthatják a vízlefolyás alakulását, az elméletileg feltételezetthez képest. M12. Erről meg az is az eszünkbe juthat, hogy szabálytalan alakú felületeknél mint amilyenek a felszíni domborzati elemek még bonyolultabb lehet a vízlefolyás meg - határozása. A téma iránt érdeklődő Olvasó az interneten könnyen találhat ilyen mun - kákat is.
11 M13. Erős a belső késztetés arra, hogy elővezessük: ez itt egy tisztán geometriai leírása a felvetett problémának. Létezik másfajta megközelítés is: a mechanikai, pontosabban kinetikai. Ekkor már szóba kellene hoznunk pl. a tetőn mozgó tömeg - pontra ható erőket ha a vízcseppeket tömegpontnak tekintjük, az általuk létre - hozott gyorsulásokat, stb. A feladat ilyen úton való megközelítése nem lehetetlen, de meglehetősen macerásnak tűnő vállalkozás. Persze, lehet, hogy egyszer még össze - szedjük az összes bátorságunkat, és nekivágunk. Az a tény, hogy egy használható geometriai képpel már rendelkezünk, vélhetően segíthet a mechanikai, valamint az ezzel járó matematikai problémák megoldásában is. Irodalom: [ 1 ] Csonka Pál: Héjszerkezetek Akadémiai Kiadó, Budapest, 1981. [ 2 ] George B. Thomas ~ Maurice D. Weir ~ Joel Hass ~ Frank R. Giordano: Thomas - féle KALKULUS 3. Typotex Kft., Budapest, 2007. [ 3 ] Gyengő Tibor ~ Menyhárd István: Vasbeton szerkezetek Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1960. [ 4 ] Kószó József: Háztetők Szukits Könyvkiadó, Szeged, 2005. [ 5 ] Szerk. V. N. Baikov: Reinforced Concrete Structures MIR Publishers, Moscow, 1978. [ 6 ] Szerk. Fazekas Ferenc: Műszaki matematikai gyakorlatok B. VII. Közönséges differenciálegyenletek 2. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1962. Sződliget, 2012. október 25. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár