Mérhetetlen halmazok
|
|
- László Molnár
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Véges Márton Matematika BSc Matematikus szakirány Mérhetetlen halmazok Szakdolgozat Témavezető: Keleti Tamás egyetemi docens, tanszékvezető Analízis tanszék Budapest, 2013.
2 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megköszönni témavezetőmnek, Keleti Tamásnak, a szakdolgozathoz nyújtott sok segítségét; beleértve magát a témafelvetést, kapcsolódó szakirodalom ajánlását, illetve a problémákra adott válaszait. 2
3 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés 4 1. A Liouville számok és mérhetetlenség Bevezetés Mérhetetlenség Besicovitch-Eggleston és nem-normális számok Normális számok Besicovitch-Eggleston számok A Besicovitch-Eggleston számok további osztályai További példák Példák tetszőleges Borel-osztályú halmazra Példa tetszőleges Hausdorff dimenziójú halmazra Bevezetés A konstrukció
4 Bevezetés Gyakran használt eszköz a matematikában, hogy egy halmazon valamilyen valószínűségi mértéket definiálunk. Sokszor ez a mérték eltolás-invariáns is egyben. Felmerül a kérdés, van-e olyan halmaz, amin nem lehet ilyen mértéket megadni, azaz minden eltolás-invariáns (Borel)-mértékre 0 vagy végtelen mértékű. Ilyet természetesen könnyű adni, például egy tetszőleges korlátos, mérhető H halmaz végtelen sok diszjunkt eltoltja. Általában, ha egy halmaz ilyen módon periodikus, akkor csak 0 vagy végtelen lehet a mértéke. Azonban ezek a példák mind σ-végesek, próbáljunk olyan példákat adni, amik 0 vagy nem σ-végesek minden eltolás-invariáns mértékre. Az első példát erre R. O. Davies adta 1971-ben [2] (Larman konstruált egy másik halmazt 1965-ben, de azt nem konkrétan ezzel a céllal készítette, meg sincs említve ez a tulajdonság a cikkben [8]). Davies konstrukciója halmazok olyan sorozatán alapszik, ahol a sorozatban következő elem lényegében tartalmazza az előző kontinuum-sok eltoltját. R. D. Mauldin a Liouville-számokkal kapcsolatban tette fel ezt a kérdést, azaz van-e olyan eltolásinvariáns Borel mérték, amire a Liouville-számok mértéke pozitív és σ-véges [11]. Erre a válasz nem, amint azt a későbbiekben látni fogjuk. Több gyengébb állítás is született, például L. Olsen a Hausdorffmértékekre látta be, hogy 0 vagy végtelen a mérték [12]. Később a [1] cikkben minden eltolásinvariáns mértékre bizonyították, hogy 0 vagy végtelen a mérték (a σ-végességet nem vizsgálva). Elekes és Keleti látta be az állítást úgy, ahogy azt Mauldin feltette [3]. hogy Most definiáljuk a mérhetetlenség fogalmát, amit a későbbiekben vizsgálni fogunk. Definíció. Egy nemüres Borel halmazt R-en mérhetetlennek nevezünk, ha minden eltolás-invariáns Borel-mértékre 0 vagy nem σ-véges a mértéke. Az első fejezetben definiáljuk a Liouville-számok halmazát és belátjuk néhány alaptulajdonságát. Elekes és Keleti már említett módszerével belátjuk, hogy ez a halmaz mérhetetlen. Ez egy általánosabb állítás következményeke, amit a későbbiekben más tételek bizonyításához újra felhasználunk. A második fejezetben további mérhetetlen halmazokat adunk. Ezek közt szerepelnek a nem normális számok, a Besicovitch-Eggleston számok bizonyos típusai, illetve egy gyengébb állítás, ami csak annyit lát be, hogy minden Besicovitch-Eggleston osztály 0 vagy végtelen mértékű (tehát lehet σ-véges a mérték). Előbbi tételek Elekes és Keleti eredményei, utóbbi pedig Bugeaud, Dodson és Kristensentől származik. Végül a harmadik fejezetben adunk példát tetszőleges Borel-osztályú illetve Hausdorff- és boxdimenziójú mérhetetlen halmazra. Előbbi a [3] cikkből származik, utóbbi pedig saját munka, ami Davies konstrukcióján alapszik. 4
5 1. fejezet A Liouville számok és mérhetetlenség 1.1. Bevezetés A Liouville-számok olyan irracionális számok, amelyek jól közelíthetőek racionálisakkal: Definíció (Liouville számok). L = = { x R : n p, q Z(q > 1), hogy 0 < x p q < 1 } q { n x R \ Q : n p, q Z(q > 1), hogy x p q < 1 } q n Érdekesség, hogy a Liouville-számok voltak az elsők, amelyekről belátták, hogy transzcendensek. A következőekben belátunk néhány egyszerű állítást, amik a későbbiekben hasznosak lesznek. A bizonyítások a [13] könyvből származnak Állítás. Az L egy sűrű és G δ halmaz. Bizonyítás. Definiáljuk az U n halmazokat a következő módon: U n = q 2 Ekkor a Liouville-számok így írhatók: p { x R : 0 < x p q < 1 } q n L = n U n Az U n halmazok nyíltak, tehát L egy G δ halmaz lesz. Az U n halmazok továbbá sűrűek is (minden racionális számhoz van tetszőlegesen közel egy U n -beli elem), ezért a Baire kategória-tétel miatt a metszetük sűrű. 5
6 Állítás. λ(l) = 0, ahol λ a Lebesgue-mérték. Bizonyítás. Definiáljuk a G n,q halmazokat a következő módon, n > 2 és q 2-re: G n,q = p= A definícióból nyilván L q 2 G n,q. Innen: L ( m, m) q 2 ( p q 1 q n, p q + 1 ) q n G n,q ( m, m) q 2 A jobb oldalon levő intervallumok hossza 2 q n, tehát λ(l ( m, m)) q 2 mq p= mq ˆ (4m + 1) 2 q n = q 2 x 1 mq p= mq (2mq + 1)2 q n 1 4m + 1 dx = xn 1 n 2 ( p q 1 q n, p q + 1 ) q n (4m + 1) q 2 1 q n 1 A jobb oldal 0-hoz tart, ha n tart végtelenhez, így λ(l ( m, m)) = 0. Mivel L lefedhető megszámolható sok nullmértékű halmaz uniójával, ezért maga is nullmértékű. Megjegyezzük, hogy a fenti bizonyításhoz hasonlóan, óvatosabb becslést alkalmazva, beláthatjuk azt is, hogy L Hausdorff-dimenziója 0. Ennek a bizonyítása szintén megtalálható Oxtoby könyvében Állítás. L eltolásinvariáns a racionális számokra nézve, azaz L + q = L minden q Q-ra. Bizonyítás. Triviális Mérhetetlenség Most belátjuk, hogy L egy mérhetetlen halmaz. A bizonyítások [3] alapján történnek. Először a következő két lemmát látjuk be: Lemma. Ha B egy Lebesgue null-mértékű Borel-halmaz, és µ egy Borel-mérték, amire µ(b) pozitív és σ-véges, akkor létezik olyan C B kompakt részhalmaz, amire µ(c) > 0 és int(c C) =. Bizonyítás. Az első lépésben belátjuk, hogy λ-majdnem minden t-re µ(b (B + t)) = 0. Jelölje A azt a σ-algebrát, ahol µ értelmezve van. Definiáljuk a következő új mértéket: µ B (A) = µ(b A) minden A A-ra Ez a mérték is σ-véges Borel-mérték lesz. Legyen B = { (x, y) R 2 : x + y B } 6
7 Most alkalmazzuk Fubini-tételét. A szorzattér első komponensének a mértékének µ B -t választjuk, a másodikénak pedig λ-t. Rögzített x-re B függőleges szekciói {y R : y B x} = B x alakúak, ezek pedig a feltétel miatt null-mértékűek. Tehát a Fubini-tétel szerint (µ B λ)(b ) = 0. Ekkor λ-m.m vízszintes szekció is 0-mértékű (µ B szerint). Egy vízszintes szekció B y alakú, ezért λ-m.m. y-ra 0 = µ B (B y) = µ(b (B y)). Ez pedig pont az, amit be akartunk látni az első lépésben. A második lépésben keresünk egy H Borel-halmazt, ami megfelel a lemmabeli állításnak, azaz H B, µ(h) > 0 és int(h H) =. Legyen D egy olyan megszámolható sűrű halmaz, hogy µ(b (B + t)) = 0 minden t D -re (az előző lépés szerint ilyen létezik). Ekkor H legyen a következő: H = B \ (B + t) t D A t-k választása miatt µ(b ( t D B + t)) = 0, így µ(h) = µ(b) > 0. Továbbá t D-re t / (H H), különben valamilyen a, b H számokra a = b + t, de a H B \ (B + t), ami ellentmondás. Tehát D (H H) = és D sűrű, így int(h H) =. Azaz H valóban megfelel a feltételeknek. Utolsó lépésként megadjuk a C kompakt halmazt, mégpedig az előbb definiált H részhalmazaként. H B, így H σ-véges. Legyen H = n A n, ahol A n A és µ(a n ) <. Mivel H pozitív mértékű, így valamelyik A n -re µ(a n ) > 0. Legyen A = A n. Definiáljuk a következő mértéket: µ A (S) = µ(a S) minden S R Borel halmazra Ekkor µ A egy véges mérték. Ismert, hogy ekkor µ A (H) = sup {µ A (C) : C kompakt} Mivel µ A (H) = µ(a H) = µ(a) > 0, létezik egy kompakt C A, amire 0 < µ A (C) = µ(a C) = = µ(c). Mivel C H, ezért int(c C) =. Ezzel bebizonyítottuk a lemma állítását. A következő lemma bizonyításához szükség lesz egy egyszerű állításra a kompakt halmazok különbségéről: Állítás. Legyenek K, L R kompakt halmazok. Ekkor K L is kompakt. Bizonyítás. A K L halmaz nyilván korlátos, ezért elég belátni, hogy zárt. Legyen k i K, l i L olyan számok, amire k i l i konvergens, be kell bizonyítani, hogy a határérték K L-ben van. A k i sorozatnak van konvergens részsorozata K kompaktsága miatt, így feltehető, hogy k i a K. Hasonlóan, l i -nek is van konvergens részsorozata, ezért l i b L és k i l i a b K L Lemma. Legyen B egy G δ halmaz, amire {t R : B + t B} sűrű, és C B olyan kompakt halmaz, amire int(c C) =. Ekkor C-nek van nem megszámolható sok diszjunkt eltoltja B-ben. Bizonyítás. Legyen T = {t R : C + t B}. Mivel B G δ, ezért léteznek U n nyílt halmazok, hogy B = n U n. C + t n U n pontosan akkor, ha C + t U n minden n-re. Emiatt T = G n, ahol 7
8 G n = {t R : C + t U n }. Legyen t 0 G n. Mivel C kompakt és U n nyílt, ezért d = dist(c + t 0, R \ U n ) > 0, és így t G n, ha t t 0 < d 2. Tehát G n nyílt. Azaz T egy sűrű G δ halmaz, ezért második kategóriás. Kell keresnünk több, mint megszámolható sok diszjunkt eltoltat, ehhez transzfinit indukciót fogunk használni: keressük a számoknak egy (t α ) α<ω1 sorozatát, amelyekre a C + t α halmazok páronként diszjunktak. A t α számokat T -ből fogjuk választani, ezért C + t α B minden α < ω 1 -re. A konstrukció: Nyilván (C + t α ) (C + t β ) pontosan akkor üres, ha t α / C C + t β. Elég azt bizonyítani, hogy minden megszámolható α rendszámra találunk olyan t α T számot, amire / C C + t β, minden β < α rendszámra. Ha ezt nem lehetne megtenni, az azt jelentené, hogy t α T β<α C C + t β. A feltétel szerint C C belseje üres és az állítás miatt zárt, tehát C C sehol sem sűrű halmaz. De T második kategóriás, ezért nem lehet lefedni megszámolható sok sehol sem sűrű halmazzal, tehát ellentmondásra jutottunk. Így mindig találunk megfelelő t α számot és ezzel igazoltuk a lemma állítását. A két lemmát összerakva kimondjuk a következő tételt: Tétel. Legyen B R egy nemüres G δ halmaz, amire λ(b) = 0 és {t R : B + t B} sűrű. Ekkor B mérhetetlen halmaz. Bizonyítás. B nyilván Borel-halmaz. Legyen µ egy olyan eltolásinvariáns mérték, amire µ(b) > 0. Indirekten tegyük fel, hogy µ(b) σ-véges. Ekkor a lemma miatt van egy C kompakt részhalmaza B-nek, amire µ(c) > 0 és int(c C) =. De a lemma szerint C-nek nem megszámolhatóan végtelen sok eltoltja van B-ben, így az nem lehet σ-véges. Tehát B mérhetetlen. Ezt a tételt a későbbiekben sokszor fogjuk használni. Az első alkalmazása a következő: Következmény. A Liouville-számok mérhetetlen halmazt alkotnak. Bizonyítás. Az előző szakasz állításai alapján teljesülnek az tétel feltételei, így L mérhetetlen halmaz. Megjegyezzük, hogy az tétel feltételei közül egy sem hagyható el. A nemüresség szerepel a mérhetetlenség definíciójában. Ha egy B halmaz Lebesgue-mértéke pozitív, akkor σ-véges is, és így a Lebesgue-mérték egy megfelelő eltolás-invariáns mérték lesz, tehát B nem mérhetetlen. A racionális számok és a számosságmérték jó ellenpélda olyan halmazra, ami nem G δ. Végül a {t R : B + t B} halmaz sűrűségének szükségességére jó példa a Cantor-halmaz. A Cantor-halmaz Hausdorff-dimenziója log 2/ log 3, és a megfelelő Hausdorff-mérték 1 [7, 3.3 Tétel], így a Cantor-halmaz nem lesz mérhetetlen. Továbbá az tétel segítségével további mérhetetlen halmazokat generálhatunk a következő eljárással: Legyen A egy Lebesgue null-mértékű halmaz, B pedig egy szintén nullmértékű G δ halmaz, ami tartalmazza A + Q-t. Tekintsük a H = q Q (B + q) halmazt. Ez nyilván G δ és A H miatt nemüres, továbbá eltolásinvariáns a racionálisakra nézve, így az tétel miatt mérhetetlen. Vegyük észre, 8
9 hogy minden A nullmértékű halmaz lefedhető egy mérhetetlen halmazzal. Mivel a mérhetetlen halmazok megszámolható uniója is mérhetetlen (ez egyszerűen következik a definícióból), így a mérhetetlen halmazok és a nullmértékű halmazok által generált σ-ideál megegyezik. 9
10 2. fejezet Besicovitch-Eggleston és nem-normális számok 2.1. Normális számok Ebben a fejezetben belátjuk, hogy a nem normális számok halmaza mérhetetlen. Ez az előző fejezetbeli tétel egy egyszerű következménye lesz Definíció. Egy x valós szám normális, ha d 1, d 2,... számjegyeire A normális számok halmazát jelöljük N-nel. n i=1 lim d i = 4.5 n n A fenti definícióban nem számít, hogy azoknál a számoknál, amiknek kétféle felírása van 10-es számrendszerben melyiket választjuk, hiszen az egyikben egy ponttól kezdve csak 0, a másikban meg csak 9 lesz. Nyilván egyik felírás sem tesz eleget a definíciónak. Ismert, hogy a nagy számok erős törvénye miatt majdnem minden szám normális. Emiatt N nem lehet mérhetetlen, hiszen a Lebesgue-mértéke σ-véges. Azonban a komplementere már valóban mérhetetlen lesz. Először belátjuk két tulajdonságát a mérhetetlen halmazoknak: Állítás. Megszámolható sok mérhetetlen halmaz uniója mérhetetlen Bizonyítás. Legyen µ egy eltolás-invariáns Borel mérték, és A = n A n, ahol minden A n mérhetetlen. Ha van olyan n, amire µ (A n ) nem σ-véges, akkor A se az. Ha nincs ilyen n, akkor minden n-re µ (A n ) = 0, és így µ (A) = 0. Tehát A valóban mérhetetlen Állítás. Ha A B (a szimmetrikus differencia) megszámolható sok elemből áll, akkor A pontosan akkor mérhetetlen, ha B is az. Bizonyítás. Ha A megszámolható sok pontból áll, akkor B is, és a számosság mérték miatt egyik sem mérhetetlen. Ha A nem megszámolható sok pontból áll, akkor µ(a B) = 0, ahol µ egy eltolásinvariáns 10
11 mérték, ami nem a számosságmérték. Tehát µ(a) = µ(b) minden eltolásinvariáns mértékre (ez már a számosságmértékre is igaz), így A és B halmazok pontosan ugyanakkor mérhetőek Tétel. A nem-normális számok mérhetetlen halmazt alkotnak. Bizonyítás. A állítás miatt elég az állítást belátni (R \ N) \ Q-ra. Ezt azért tesszük, hogy a véges tizedestört alakú számok ne okozzanak gondot. Bontsuk fel ezt a következő módon: (R \ N) \ Q = = m=1 H m m=1 G m ahol: és H m = G m = { n i=1 x R \ Q : lim sup d i } n n m { n i=1 x R \ Q : lim inf d i } n n m Az állítás miatt elég belátni, hogy minden H m és G m halmaz mérhetetlen. Csak az előbbire látjuk be, a másik eset hasonlóan bizonyítható. A tételt akarjuk alkalmazni. Jelölje D a véges tizedestört alakban írható számokat. Nyilván H m + D H m, hiszen véges sok számjegy változik csak meg. Mivel D sűrű, így a tétel egyik feltételét teljesítettük. H m R \ N és majdnem minden szám normális, így λ (H m ) = 0. Be kell még látni, hogy H m egy G δ halmaz. Ehhez bontsuk fel az alábbi módon: H m = k=1 l=1 n=l { n i=1 x R \ Q : d i > n m 1 } k A legbelül levő halmaz nyilván nyílt R \ Q-ban (itt használjuk ki, hogy végtelen sok nem nulla számjegye van x-nek), így H m egy G δ halmaz R \ Q-ban, és R-ben is Besicovitch-Eggleston számok A Besicovitch-Eggleston számok olyan számok, melyekben a számjegyek gyakorisága adott számhoz konvergál. Jelölje 0.d 1 d 2... az x szám törtrészét valamilyen b alapú számrendszerben Definíció (Besicovitch-Eggleston számok). Legyenek α 0, α 1,... α b 1 nemnegatív valós számok, amelyekre b 1 i=0 α i = 1. Ekkor BE(α 0,... α b 1 ) = { x R : d = 0... b 1-re } card {i : 1 i n, d i = d} lim = α d n n Az ilyen számok számjegyeinek eloszlása tehát rögzített. Ezen számok közül a BE ( 1 b,... 1 b ) halmazba esők normálisak lesznek. A nagy számok törvényének alkalmazásával kapjuk, hogy még ezek is sokan vannak, azaz majdnem minden valós szám ebbe a halmazba esik: Tétel. Majdnem minden x R-re igaz, hogy x BE ( 1 b,... 1 b ). 11
12 Bizonyítás. Azt látjuk be, hogy majdnem minden x-re a 0-ák aránya a kifejtésben 1 b -hez tart. Jelölje X i azt az indikátorváltozót, ami 1, ha az x i-dik számjegye 0. Ekkor P (X i = 1) = 1 b. A nagy számok erős törvénye miatt n i=1 X i 1 n b majdnem minden x-re. Ugyanez igaz az 1,2,..., b 1 számjegyekre is, így ezen események metszete is 1 valószínűségű. Ezzel igazoltuk az állítást. Jelölje most az összes fenti típusú halmaz unióját BE b. Belátjuk, hogy ezen számok komplementerei mérhetetlen halmazt alkotnak Tétel. A R \ BE b halmaz mérhetetlen. Bizonyítás. A tételhez hasonlóan az (R \ BE b ) \ Q halmazra látjuk be az állítást. Bontsuk fel ezt a következő módon: ahol és A d q = B d p = (R \ BE b ) \ Q = b 1 d=0 p<q p,q Q [0,1] ( A d q Bp d ), { } card {i : 1 i n, d i = d} x R \ Q : lim sup q n n { } card {i : 1 i n, d i = d} x R \ Q : lim inf p. n n Az A d q és B d p halmazok nullmértékűek a tétel miatt. Továbbá eltolásinvariánsak a véges tizedes tört alakú számokkal való eltolásra is. Ahhoz, hogy a tételt alkalmazzuk, elég belátni, hogy A d q és B d p mindketten G δ halmazok. Ekkor a metszetük is az, és alkalmazhatjuk a tételt. Mivel A d q = l=1 m=1 n=m { x R \ Q : card {i : 1 i n, d i = d} > q 1 } n l és a kapcsos zárójelen belül levő halmaz nyílt R \ Q-ban, így A d q egy G δ halmaz R \ Q-ban és így R-ben is. Ezzel kész a bizonyítás. A következő lépésként a Besicovitch-Eggleston számok egy típusáról látjuk be, hogy mérhetetlenek, mégpedig azokról, ahol az α i számok közül valamelyik 1. Vegyük észre, hogy ekkor a többi j indexre α j = 0, azaz lényegében csak egy számjegy szerepel a felbontásban. Először lássunk a természetes számok egy halmazáról egy definíciót: Definíció. Legyen H a természetes számok egy részhalmaza. A H halmaz sűrűsége a következő limesz értéke (ha létezik): card(h [1, n]) lim n n 12
13 Az alábbi egyszerű állítások hasznosak lesznek a későbbiekben. Az első állítás szerint két nulla sűrűségű halmaz uniója is az, így a nulla sűrűségű halmazokat tekinthetjük elhanyagolhatónak egy bizonyos értelemben Állítás. Ha A és B nulla sűrűségű halmazok, akkor A B is az. Bizonyítás. A következő egyenlőtlenségből triviálisan következik: card((a B) [1, n]) card(a [1, n]) card(b [1, n]) lim lim + lim n n n n n n Következmény. Ha A és B 1 sűrűségű halmazok, akkor A B is az. Bizonyítás. Komplementereket véve triviálisan jön az előző állításból. A mérhetetlenség bizonyításához a következő lemmát fogjuk használni. Ez a későbbiekben is hasznos lesz, ezért különválasztottuk a bizonyítás többi részétől Lemma. Legyen B egy Borel-halmaz, amire λ(b) = 0, B + B B, és B B nem F σ halmaz. Ekkor B mérhetetlen. Bizonyítás. Indirekt bizonyítást használunk. Legyen µ egy eltolás-invariáns Borel-mérték, amire µ(b) pozitív és σ-véges. Az lemma bizonyításában használt módszerrel beláthatjuk, hogy létezik egy C B kompakt halmaz, amire µ(c) > 0. Most kell keresnünk C-nek nem megszámolható sok eltoltját B-ben. Transzfinit indukciót fogunk használni, az lemma bizonyításához hasonlóan: keressük a számoknak egy (t α ) α<ω1 sorozatát, amelyekre a C + t α halmazok páronként diszjunktak. A t α számokat B-ből fogjuk választani, ezért C + t α B minden α < ω 1 -re. Nyilván (C + t α ) (C + t β ) pontosan akkor üres, ha t α / C C + t β. Elég azt bizonyítani, hogy minden megszámolható α rendszámra találunk olyan t α B számot, amire t α / C C + t β, minden β < α rendszámra, azaz utóbbi halmazok nem tudják lefedni B-t. A C C + t β = (C + t β ) C halmazok mind a B B részhalmazai lesznek. Most tegyük fel, hogy B β<α (C C + t β). Ekkor: B B = ((C C + t β ) (C C + t γ )) β,γ<α Az irányú tartalmazáshoz kihasználjuk, hogy B B csoport. A jobb oldalon levő halmazok mind zártak, ezért B B egy F σ halmaz lesz, ami ellentmondás. Tehát tudunk találni megfelelő t α számokat, és így létezik C-nek ω 1 darab páronként diszjunkt eltoltja B-ben, tehát µ(b) nem σ-véges. A következő lemma segítségével beláthatjuk az állítást a BE(1,0,...,0) halmazokra: Lemma. Jelölje d i az x szám törtrészének i-dik tizedesjegyét, a számrendszer alapszámát d, továbbá legyen G = {x R : d n = d n+1 = 0 vagy d n = d n+1 = d 1 egy 0 sűrűségű halmazt kivéve}. 13
14 Ekkor BE(1,0,...,0) BE(1,0,...,0) = G és G egy Borel, de nem F σ halmaz. Bizonyítás. A rövidség kedvéért legyen B = BE(1,0,...,0) és S(x) = {n N : d n d n+1 vagy d n = d n+1 és d n 0, d 1}. Vegyük észre, hogy G = {x R : S(x) egy 0 sűrűségű halmaz}, azaz S(X) a hibás indexek halmaza. Első lépésként belátjuk, hogy B B = G. Először bebizonyítjuk, hogy B B G. Válasszunk két a, b B számot. Ha b d-adikus (azaz d alapú számrendszerben véges sok számjegyből áll a kifejtése), akkor ( b) is d-adikus. a b = a + ( b) B, hiszen csak véges sok számjegy változott meg a-hoz képest. Tehát feltehető, hogy b nem d-adikus. Ekkor ( b) törtérészének i-dik számjegye d 1 d i lesz. Valóban, hiszen ezzel a felírással a két számjegysorozat összege 1 lesz, és könnyen látható, hogy { x} = 1 {x}. Továbbá b nem d adikus, így csak egyetlen lehetséges kifejtés van. Most jelölje d i, e i, f i az a, ( b), a + ( b) számok törtrészének i-dik számjegyét. Vegyük észre, hogy az e i számok, egy 0 sűrű halmazt kivéve, mind egyenlőek (d 1)- gyel. Ekkor az A = {i N : d i = d i+1 = 0, e i = e i+1 = d 1} halmaz 1 sűrűségű a következmény szerint. Tegyük fel, hogy i A. Attól függően, hogy az összeadáskor az i + 2-dik helyen képződött-e maradék vagy sem, f i = f i+1 = d 1 vagy f i = f i+1 = 0 lesz. Ekkor tehát A {i : f i = f i+1 = 0 vagy f i = f i+1 = d 1} = N \ S(a + ( b)). Tehát S(a b) 0 sűrűségű és így a b G. Most belátjuk a másik irányt, azaz G B B-t. Vegyünk egy tetszőleges x G elemet, a törtrészének számjegyeit jelölje d i. Ehhez kell találnunk egy olyan b B számot, amire x + b B. Legyenek {b} számjegyei az e i számok. Definiáljuk őket a következő módon (felülről lefelé haladva a szabályokon, az első érvényest használva): 1. Ha d i = 0, akkor e i = 0 2. Ha d i+1 = 0, akkor e i = d d i 3. Egyébként e i = d d i 1 Mivel x G, ezért egy nulla sűrű halmazt kivéve d i = 0, ezért ugyanezekre a számjegyekre e i = 0. Tehát b B. Be kell még látni, hogy x + b B. Jelölje x + b számjegyeit f i. A következő állítást látjuk be: f i 0 d i = 0 és d i+1 0 (2.1) Ezt elég lesz bizonyítani, hiszen ekkor {i : f i 0} S(x), és így x + b nem nulla számjegyei egy nulla sűrűségű halmazt alkotnak. Most lássuk be az állítást. Először legyen d i+1 = 0. Ekkor e i+1 = 0 (az e n számok definíciójában az első pontot kell figyelembe venni). Tehát az i + 1-dik helyről nem érkezik maradék az összeadáskor, ezért f i csak d i -től és e i -től függ. Ugyan d i értékétől függ az d i + e i összeg (0 vagy d az eredmény), de mindkét esetben f i = 0 (esetleg egy maradék képződik). 14
15 Tehát feltehetjük, hogy d i+1 0, és elég belátni, hogy f i 0 d i = 0. Jelölje k az első indexet i után, amire d k = 0. Vegyük észre, hogy d i+1 0 miatt k i + 2. Ekkor b definíciója szerint e k = 0, e k 1 = d d k 1 és e j = d d j 1, ha i + 1 j k 2. A k-dik helyen nem képződik maradék az összeadáskor. A k 1-dik helyen d k 1 + e k 1 = d, így itt keletkezik egy új maradék. A k 2-dik helyen (ha k 2 > i) d k 2 + e k = d, így itt is keletkezik maradék. Ezt az eljárást ismételve kapjuk, hogy az i + 1-dik helyen is keletkezik maradék. Most, ha d i = 0, akkor e i = 0 így a maradékkal együtt f i = 1. Ha d i 0, akkor e i = d d i 1, és így d i + e i + 1 = d, tehát f i = 0. Azaz beláttuk, hogy f i 0 d i = 0, így a (2.1) állítást is, tehát B B = G valóban. Most be kell látni, hogy G Borel, de nem F σ. Előbbi nyilvánvaló az alábbi felírásból: { } card {i : 1 i n, i S(x)} G = x R : lim = 0 n n = { card {i : 1 i n, i S(x)} n < 1 } k k N o N n N 0 A jobb oldal nyilván nyílt, így G Borel. Most belátjuk, hogy G nem egy F σ halmaz. Indirekten bizonyítunk, tegyük fel, hogy G egy F σ halmaz. Álljon C azokból a valós számokból, amik d alapú számrendszerbeli felírásukban csak a 0 és d 1 számjegyek szerepelnek. Ez a Cantor-halmazhoz hasonlóan definiált halmaz, és a Cantor-halmaz zártságával megegyezően beláthatjuk, hogy C zárt. Ekkor a H = G C halmaz is F σ halmaz. Jelölje D a d-adikus számokat. Definiáljuk az f : [0,1)\D [0,1)\D függvényt a következő módon: ha x = 0.d 1 d 2..., akkor legyen f(x) = 0.e 1 e 2..., ahol 0 ha d 1 = 0 e 1 = d 1 különben és e n ha d n = 0 e n+1 = d 1 e n különben Vegyük észre, hogy e n {0, d 1} és e n+1 = e n pontosan akkor, ha d n = 0. Ez jó definíció lesz, hiszen f(x) [0,1) \ D, különben x D lenne. f folytonos, hiszen f(x) első n számjegye csak x első n jegyétől függ. Továbbá f 1 (H ([0,1) \ D)) = B ([0,1) \ D). A feltétel miatt H ([0,1) \ D) F σ halmaz ([0,1) \ D)-ben, így B ([0,1) \ D) is F σ halmaz ([0,1) \ D) -ben, mivel az f általi ősképe. D megszámolható sok pontból áll, ezért F σ halmaz, a komplementere, [0,1) \ D, pedig G δ. Ekkor léteznek F i zárt halmazok, hogy B ([0,1) \ D) = i (F i ([0,1) \ D)) = i F i ([0,1) \ D) azaz B ([0,1)\D) egy F σ és G δ halmaz metszete. Ehhez jön még megszámolható sok pont, így kapjuk, hogy B [0,1) egy G δσ halmaz. Most álljon C azokból a számokból, amelyek d-számrendszerbeli kifejtésükben csak 0 és 1 van. Ekkor B [0,1) C még mindig G δσ halmaz C zártsága miatt. Vegyük azt a folytonos g : C R függvényt, ami az x C szám d-es számrendszerbeli alakját kettes 15
16 számrendszerbeliként értelmezi. Ez nyilván folytonos bijekció és g(b [0,1) C ) = B(1,0) [1,0). Tehát B(1,0) [1,0) is egy G δσ halmaz. Ez azonban ellentmondás, hiszen B(1,0) [0,1) valójában egy F σδ halmaz a következő állítás szerint. Most meghatározzuk B(1,0) pontos Borel-osztályát. Ezt visszavezetjük egy másik halmaz Borelosztályának meghatározására, ami már ismert Tétel. B(1,0) pontos Borel-osztálya F σδ, azaz B(1,0) F σδ \ G δσ. Bizonyítás. Jelölje 2 N azt a teret, aminek pontjai az N részhalmazai, és A, B N esetén d(a, B) = = 2 n 1, ahol n az A B legkisebb eleme (tehát n a legkisebb olyan szám, amire az A és B halmazok különböznek). Tudjuk, hogy az A = {A N : A nulla sűrűségű halmaz} F σδ \ G δσ, a bizonyítás például megtalálható [6]-ben. Legyen H = {A N : A vagy N \ A véges}. Vegyük azt az f : 2 N \ H [0,1] \ D bijekciót, ami az A halmazhoz azt a 0.x 1 x 2... kettes számrendszerbeli számot rendeli, ahol x i = = 1 i A. Mivel a H-beli elemeket kizártuk, ezért 0.x 1 x 2... számban végtelen sok 1 és 0 lesz, tehát f valóban bijekció. Nyilván folytonos, továbbá f (A \ H) = B(1,0) [0,1] \ D, így A \ H és B(1,0) [0,1] \ D pontos Borel osztálya megegyezik a 2 N \ H illetve a [0,1] \ D terekben. Innen következik, hogy B(1,0) [1,0] pontos Borel osztálya is F σδ. Most már csak össze kell rakni az eddig bizonyított lemmákat. A BE(0,0,1,0,...) típusú halmazok (tehát ahol nem a 0 a gyakori számjegy) eltolások segítségével származtathatók a BE(1,0,...,0) halmazból, így a mérhetetlenség is megmarad Tétel. Legyenek az α 0, α 1,... α d 1 számok olyanok, hogy közülük pontosan egynek az értéke 1, a többi pedig 0. Ekkor a BE(α 0,..., α d 1 ) halmaz mérhetetlen. Bizonyítás. Először belátjuk, hogy a B = BE(1,0,...,0) halmazra B + B B. Legyen a, b B, a számjegyeiket jelölje a n és b n. Ekkor a következmény szerint egy nulla sűrűségű halmaz kivételével minden n-re a n = a n+1 = b n = b n+1 = 0. Ekkor az n + 1-dik helyről biztos nem érkezik maradék az összeadáskor, így a + b n-dik számjegye 0 lesz. Tehát a + b B. Ekkor a és lemmákat használva kapjuk, hogy BE(1,0,...,0) mérhetetlen. Vegyük észre, hogy BE(1,0,...,0) = BE(0,1,0,...,0). Valóban, tetszőleges b BE(1,0,...,0)-ra jelölje b számjegyeit b n. Ekkor egy nulla sűrűségű halmaz kivételével minden n-re b n = b n+1 = 0. Az előző érveléshez hasonlóan, az n + 1-dik helyről nem érkezik maradék (ha d > 2), így c = b n-dik számjegye 1 lesz. Tehát c BE(0,1,0,...,0), azaz BE(1,0,...,0) BE(0,1,0,...,0). A megfordítást ugyanígy lehet belátni, egy tetszőleges 16
17 c BE(0,1,0,...,0) számot választva, majd hozzáadva { } = 0.eee...-t, ahol e = d 1. Mivel BE(0,1,0,...,0) a BE(1,0,...,0) eltoltja, ezért ő is mérhetetlen. Hasonlóan, BE(0,1,0,...,0) = BE(0,0,1,0,...,0), így ez utóbbi halmaz is mérhetetlen. A bizonyítás egészen BE(0,...,0,1,0)-ig működik, utána azonban elromlik: ha b n = b n+1 = d 2, akkor lehet, hogy az n + 1-dik helyről érkezik maradék az n-dik helyre. A fenti módszer helyett azonban egyszerűen tekinthetjük BE(1,0,...,0) = BE(0,...,0,1) egyenlőséget, ezt már a lemma bizonyítása közben beláttuk. Ekkor BE(0,...,0,1)-re teljesülnek lemma feltételei, így ez is egy mérhetetlen halmaz, és ezzel kész az állítás A Besicovitch-Eggleston számok további osztályai Eddig beláttuk, hogy a Besicovitch-Eggleston számok komplementerei és a B(1,0,...), B(0,1,0,...), stb. halmazok mind mérhetetlenek. Tudjuk, hogy a B ( 1 b,..., 1 b ) halmaz nem mérhetetlen, hiszen Lebesguemértéke σ-véges. Fennmaradtak azok az osztályok, ahol valamelyik számjegy sűrűsége nem 0 vagy 1 vagy 1 b. Ezekről nem ismert, hogy mérhetetlenek-e. Az alábbiakban bemutatunk egy állítást, ami a mérhetetlenség egy gyengébb változata Állítás. Legyen F egy nyílt halmaz lezártja, µ pedig egy eltolás-invariáns Borel-mérték. Legyen B = BE (α 0,..., α b 1 ), ahol α i < 1 minden i-re és valamilyen j-re α j 1 b. Ekkor µ(b F ) mindig 0 vagy. fog. A bizonyítás a [1] cikkből származik. Először kimondunk egy lemmát, amin a bizonyítás alapulni Lemma. Legyen F R egy halmaz, amelynek Lebesgue-külső mértékére 0 < λ(f ) <. Legyen E F egy mérhető halmaz, amire λ(e) < λ(f ). µ legyen egy külső mérték. Jelölje B(c, r) a c középpontú r sugarú nyílt gömböt, és tegyük fel, hogy µ (E B(c, r)) minden c, r R számra. Ekkor µ(e) = 0 vagy végtelen. λ (B(c, r)) µ(e) λ(f ) Bizonyítás. Indirekten bizonyítunk, azaz tegyük fel, hogy 0 < µ(e) <. λ(e) < λ(f ) miatt létezik E-nek olyan fedése nyílt B (c i, r i ) gömbökkel, amire λ (B (c i, r i )) < λ(f ). Ekkor: ( ( )) ( ) 0 < µ (E) = µ E B (c i, r i ) = µ (B (c i, r i ) E) i µ (B (c i, r i ) E) µ(e) λ(f ) Ez nyilván ellentmondás, tehát µ(e) = 0 vagy. i λ (B(c i, r i )) < µ(e) Az állítás belátáshoz a következő, általánosabb tételt fogjuk bizonyítani: i i 17
18 Tétel. Legyen E R olyan mérhető halmaz, amire λ (R \ E) > 0. Tegyük fel, hogy létezik olyan l 2 egész szám, amire E eltolásinvariáns az összes a alakú racionális számra (a egész szám). l k Legyen µ egy eltolás-invariáns Borel-mérték, F pedig egy nyílt halmaz lezártja. Ekkor µ(e F ) mindig 0 vagy. Ebből triviálisan következik a állítás az l = b választással. Valóban, a b-adikus számok csak véges sok helyen változtatják meg a számjegyeket, így B + a b k B. Továbbá BE ( 1 b,..., 1 b ) R \ B miatt λ (R \ B) > 0 is igaz lesz. Bizonyítás. Elég bizonyítani olyan F halmazokra, amik [ 0, a l k ] alakúak. Ugyanis, ha egy F halmaz egy nyílt halmaz lezártja, akkor létezik olyan előbbi alakú F halmaz, amire F + q F, ahol q tetszőleges valós szám. Ha µ(f ) =, akkor µ(f ) = is igaz. Ha µ(f ) = 0, akkor F -t le tudjuk fedni F -nek megszámolható sok eltoltjával, és így µ(f ) is nulla. Sőt, elég a [0,1] intervallumra belátni az állítást, ugyanis az eltolásinvariancia miatt µ(e [0,1]) = = l k µ ( E [ 0, 1 l k ]), így a [0,1] és a [ 0, a l k ] intervallumok mértéke pontosan ugyanakkor 0 vagy végtelen. Vezessük be az I(j, k) = [ j l k, j+1 l k ] jelölést. Mivel E invariáns az l k nevezőjű eltolásokra, ezért E I(j, k) = E [ 0, 1 l k ] + j l k. Ekkor: µ (E [0,1]) = innen az eltolás-invariancia miatt l k 1 j=0 ( [ µ (E I(j, k)) = l k µ E 0, 1 ]) l k, µ (E I(j, k)) = µ (E [0,1]) l k Nyilván minden (a, b) nyílt intervallum előáll diszjunkt I(j, k) intervallumok uniójaként, például felírhatjuk a végpontok l-alapú számrendszerbeli kifejtése alapján. Azaz vannak olyan j i és k i számok, amire (a, b) = i I (j i, k i ) és µ((a, b)) = i µ (I (j i, k i )). Mivel a nyílt gömbök most intervallumok, ezért tetszőleges c és r számokra B(c, r) felírható az előbbi alakban, így ( ) µ (B(c, r) E [0,1]) = µ I (j i, k i ) E [0,1] µ (I (j i, k i ) E [0,1]) i i µ (E [0,1]) 1 l = µ (E [0,1]) λ (I (j i, k i )) (2.2) ki i i = µ (E [0,1]) λ(b(c, r)). Most a lemmát akarjuk használni. A lemmában szereplő F halmaznak válasszuk meg a [0,1] intervallumot, az ő részhalmazának pedig az E [0,1] halmazt. λ(e [0,1]) < λ([0,1]), különben λ([0,1]\ \ E) = 0 lenne, és az eltolásinvarianciát használva λ(r \ E) = 0-t kapnánk. A (2.2) egyenlőtlenség pont a lemma feltételét adja, így a lemma szerint µ(e [0,1]) = 0 vagy. De ez pont a tétel állítása az F = [0,1] esetben. Ebből a tételből már nyilván következik az állítás. Az l = b helyettesítést használva B + a b k B, 18
19 hiszen a b k -nak csak véges sok nem nulla számjegye van. Továbbá, ahogy már megállapítottuk λ(b) = 0, így λ (R \ B) > 0. Tehát alkalmazhatjuk a tételt. 19
20 3. fejezet További példák Az eddig bemutatott halmazok mind elég egyszerűek voltak abban az értelemben, hogy mindegyik F σδ vagy G δσ halmaz volt. Ebben a fejezetben belátjuk, hogy egy mérhetetlen halmaz Borel-osztálya tetszőleges lehet. Továbbá látunk példát tetszőleges Hausdorff-dimenziós mérhetetlen halmazra is Példák tetszőleges Borel-osztályú halmazra Először röviden összefoglaljuk a Borel-hierarchiát alkotó osztályokat és definíciójukat. Ezek tetszőleges metrikus térben ugyanígy definiálhatók, de itt most elég nekünk R-ben nézni őket Definíció. A Borel halmazok a nyílt halmazok által generált σ-algebra. A Borel-hierarchiát alkotó Borel-osztályok definíciója az alábbi: Definíció (Borel-osztályok). Jelölje Σ 0 1 a nyílt halmazokat, Π 0 1 a zárt halmazokat. Ezek lesznek a legkisebb Borel-osztályok. Ezután tetszőleges α megszámolható rendszámra legyen: { } Σ 0 α = A n : A n Π 0 β n, β n < α n=1 { } Π 0 α = A n : A n Σ 0 β n, β n < α n=1 0 α = Σ 0 α Π 0 α Könnyen belátható, hogy Σ 0 α = { R \ A : A Πα} 0. Véges α-ra a következő jelölések is használtak: F = Π 0 1, G = Σ 0 1, F σ = Σ 0 2, G δ = Π 0 2, F σδ = Π 0 3, stb. Az alábbi állítások összefoglalják a Borel-osztályok legfontosabb tulajdonságait. A bizonyítások megtalálhatóak a [5, 7] könyvekben Állítás. A Borel-halmazok osztálya egyenlő az α<ω 1 Π 0 α illetve a α<ω 1 Σ 0 α osztályokkal. Másként fogalmazva, minden Borel-halmaz benne van valamelyik Borel-osztályban, azaz a Borelhierarchia valóban jól leírja a Borel-halmazokat. 20
21 Állítás. A Π 0 α és Σ 0 α osztályok zártak a véges unióra és metszetre Állítás. Minden α < β rendszámra Σ 0 α Π 0 α Σ 0 β Π0 β, azaz a Borel-osztályok bővülő rendszert alkotnak Állítás. Minden α-ra Σ 0 α \ Π 0 α, Π 0 α \ Σ 0 α és β<α Σ0 β Π0 β Σ0 α, β<α Σ0 β Π0 β Π 0 α. Másként fogalmazva, a Borel-osztályok folyamatosan nőnek és mindig van új elem a nagyobb osztályokban Definíció. Egy H halmaz pontos Borel-osztálya Σ 0 α, ha H Σ 0 α \ Π 0 α. Hasonlóan, H pontos Borel-osztálya Π 0 α, ha H Π 0 α \ Σ 0 α, illetve 0 α, ha H 0 α, de H / β<α Σ0 β Π0 β. Mielőtt továbbmennénk, finomítjuk azt az állítást, hogy létezik tetszőleges (pontos) Borel-osztályú mérhetetlen halmaz. Ugyanis a 0 1 és Σ 0 1 osztályok elemei nyíltak, és nyílt halmaz nem lehet mérhetetlen: például a Lebesgue-mértéke egy nyílt G halmaznak pozitív, hiszen tartalmaz egy intervallumot, továbbá σ-véges, mivel az egész tér is σ-véges. A következőekben mutatunk példákat minden egyes osztályból. Elsőként α > 2-re bizonyítunk, a lemma segítségével Tétel. Minden α 3 rendszámra létezik mérhetetlen halmaz a 0 α, Σ 0 α és Π 0 α pontos Borelosztályokból. Bizonyítás. Mauldin a [10] cikkben példát mutat R-nek olyan B részcsoportjaira, amik 0 α, Σ 0 α illetve Π 0 α osztályúak. Mivel B csoport az összeadásra, ezért B + B B igaz, illetve B B = B nem F σ, ezért a lemma szerint B mérhetetlen. A következőekben adunk egy példát zárt mérhetetlen halmazra. Ez R. O. Davies konstrukciója [2]. Először tekintsük a következő definíciót: Definíció. Legyenek A, B Borel-halmazok. Ha A előáll egy A 0 Borel-halmaz véges sok eltoltjának diszjunkt uniójaként, B pedig tartalmazza A 0 kontinuum-sok diszjunkt eltoltját, akkor ezt A B-val jelöljük. Vegyük észre, hogy ha µ egy eltolás-invariáns mérték és µ(a) > 0, akkor µ(b) nem σ-véges. Ugyanis a fenti A 0 halmazra µ(a 0 ) > 0, és A 0 -nak kontinuum sok diszjunkt eltoltja van B-ben. Tegyük fel, hogy léteznek olyan K 1, K 2,... kompakt halmazokat, amikre diam(k i ) véges és K 1 K Helyezzük ezeket 2diam(K i ) hosszú nyílt intervallumok belsejébe, és rakjuk az intervallumokat egymás után. Adjuk hozzá ehhez a halmazhoz azt a határpontját, amihez az intervallumok konvergálnak. Az így kapott K halmaz korlátos lesz, és nyilván zárt. Továbbá mérhetetlen is lesz: ha µ(k i ) = 0 minden i-re, akkor az uniójuk is nullmértékű, tehát µ(k) = 0. Ha pedig létezik n, hogy µ(k n ) > 0, akkor a fenti megjegyzés miatt µ (K n+1 ) nem σ-véges, és így K se az. Most már elég megkonstruálni a fenti tulajdonságú K i halmazokat. Ehhez először vegyük a természetes számok halmazainak olyan csökkenő N r sorozatát, amelyekre a következők igazak: 1. N r végtelen halmaz 2. N r \ N r+1 végtelen minden r-re 21
22 Ilyen sorozat létezik, például a 2 r -rel osztható számok. Legyen K r azon számok halmaza, amik az alábbi módon írhatóak: x = c r 8 r + c r+1 8 r , ahol c i egész, 0 c i < 8 és c i = 1 vagy 5, ha i N r. Nyilván diam (K r ) 8 r+1 és így diam(k i ) véges. Továbbá K r zárt is, így kompakt. Legyen A r azon számok halmaza, amik az alábbi módon írhatóak: x = c r+1 8 r+1 + c r+2 8 r , ahol a c i számokra ugyanazok a feltételek vonatkoznak, mint fentebb. Ekkor K r az A r halmaz 2 vagy 8 diszjunkt eltoltjának uniója, attól függően, hogy r N r vagy sem. Továbbá K r+1 tartalmazza A r kontinuum sok eltoltját diszjunktan. Ezek az eltoltak azon A r + y halmazok lesznek, ahol y az alábbi alakú: y = d r+1 8 r+1 + d r+2 8 r , ahol d i = 0 vagy 2, ha i N r \ N r+1, egyébként 0. Ezekből valóban kontinuum sok van és diszjunktak is, hiszen y y esetén valamelyik d i számjegy különböző lesz, és ekkor A r + y-ban c i = 1 vagy 5, de A r + y -ben c i = 3 vagy 7 (vagy fordítva). Tehát valóban K r K r+1. Ezzel beláttuk, hogy K mérhetetlen: Tétel. A fenti K halmaz kompakt és mérhetetlen. Kis módosítással ez a halmaz jó lesz 0 2 osztályú példának is: Tétel. Legyen K az a halmaz, amit úgy kapunk, hogy K-ból elhagyjuk a fent hozzáadott torlódási pontot. Ekkor K mérhetetlen és pontos Borel-osztálya 0 2. Bizonyítás. A állítás miatt K is mérhetetlen. K nyilván nem zárt, hiszen elhagytuk belőle az egyik torlódási pontot. Nem is nyílt, ez látszik K r konstrukciójából: minden nyílt halmazban van olyan x szám, aminek n-dik számjegye 3, de n N r, így x / K r. K egy F σ halmaz, hiszen a K r kompakt halmazok uniója. Továbbá G δ is: legyenek I r azok a nyílt intervallumok, amikbe K r -t raktuk. Mivel K r zárt, ezért G δ is, így felírható az alábbi alakban: K r = G r,i = (G r,i I r ), ahol G r,i nyílt halmazok. Ekkor az I r intervallumok diszjunktsága miatt: i=1 r=1 i=1 K = K r = (G r,i I r ), i=1 r=1 itt a jobb oldalon nyílt halmazok uniója van, tehát K valóban G δ. Ezzel beláttuk, hogy K pontos Borel-osztálya valóban 0 2. Egy további módosítással könnyen nyerhetünk példát F σ osztályú halmazra: Tétel. A K + Q halmaz mérhetetlen és pontos Borel-osztálya F σ 22
23 Bizonyítás. A állítás miatt ez valóban mérhetetlen és nyilván F σ halmaz is. Elég belátni, hogy K + Q / G δ. Mivel a K r halmazok zártak és üres a belsejük (ezt beláttuk az előző tétel bizonyítása közben), ezért sehol sem sűrűek. A K + Q halmaz megszámlálható sok K r uniója, tehát első kategóriás és sűrű. Mivel a sűrű G δ halmazok második kategóriásak a Baire kategória-tétel miatt, így K + Q nem lehet G δ halmaz. Már minden Borel-osztályra adtunk példát, kivéve G δ -ra. Az első fejezetben látott Liouville számok pont ilyenek lesznek: Tétel. L, azaz a Liouville-számok halmaza mérhetetlen és pontos Borel-osztálya G δ. Bizonyítás. Az első fejezetben beláttuk, hogy L mérhetetlen, sűrű és G δ. Utóbbi két tulajdonság miatt második kategóriás is. Tegyük fel, hogy F σ halmaz is, ekkor előáll L = F i alakban, ahol F i zárt. Mivel L második kategóriás, ezért az egyik F i nem sehol se sűrű, tehát nem üres a belseje. Így L belseje sem üres, de L Q = miatt ez lehetetlen. Tehát L G δ \ F σ. Tehát, összefoglalva a tételek eredményeit: Tétel. A 0 1 és a Σ 0 1 osztályok kivételével minden Γ Borel-osztályra létezik olyan A mérhetetlen halmaz, aminek a pontos Borel-osztálya Γ Példa tetszőleges Hausdorff dimenziójú halmazra Ebben a szakaszban minden 0 < α 1 számra mutatunk egy mérhetetlen halmazt, amelynek Hausdorffés boxdimenziója éppen α. Először definiáljuk a különböző dimenziófogalmakat, amikre szükség lesz a tétel kimondásához illetve bizonyításához. Bizonyítás nélkül megemlítjük a különböző dimenziók néhány érdekes tulajdonságát is. A második részben pedig kimondjuk és belátjuk, hogy léteznek tetszőleges Hausdorff-dimenziós mérhetetlen halmazok R-ben Bevezetés Először a Hausdorff-dimenziót tekintjük át. Ez sok szempontból a legszebb dimenzió, például tartozik hozzá mérték és egész esetekben ez a mérték megegyezik a Lebesgue-mértékkel. Az alábbiakban összefoglaljuk a Hausdorff-dimenzió definícióját és legfontosabb tulajdonságait. A bizonyítások megtalálhatóak például [7]-ban. A definíciók metrikus téren is értelmezhetőek, de itt elég lesz R-et használni Definíció. Legyen s 0 valós szám, H R és δ > 0. Ekkor legyen { } µ s δ(h) = inf (diamh n ) s : H H n és diamh n δ. n=1 n=1 Ha s = 0, akkor 0 0 = 1 kifejtést használjuk. Ekkor az s-dimenziós Hausdorff-mérték definíciója: µ s (H) = lim δ +0 µs δ(h) 23
24 Vegyük észre, hogy a limesz mindig létezik, hiszen µ s δ (H) monoton nő, ha δ csökken. Ekkor µs külső mérték lesz R-en. Továbbá az s = 0 és s = 1 speciális esetekben µ s egy-egy már ismert mérték: Állítás. µ 0 a számosság mérték, azaz véges H-ra µ 0 (H) egyenlő H elemszámával, egyéb esetben pedig végtelen Állítás. Minden H R halmazra, és δ > 0-ra µ 1 δ (H) = µ1 (H) = λ(h), azaz µ 1 az egydimenziós Lebesgue-mérték. A Hausdorff-mértékek segítségével tudjuk definiálni a Hausdorff-dimenziót. Ez a következő: Definíció. Egy H R halmaz Hausdorff-dimenziója a következő szuprémum: sup {s 0 : µ s (H) > 0} A dimenzió egy fontos tulajdonságára világít rá a következő tétel: Tétel. Ha H Hausdorff-dimenziója s, akkor: µ t, ha t < s (H) = 0, ha t > s Bizonyítás. A t > s eset triviálisan következik a definícióból. Ha t < s, akkor létezik egy u > t szám, amire µ u (H) > 0. Rögzítsünk egy δ > 0, számot és H-nak egy H n fedését legfeljebb δ átmérőjű elemekkel. Ekkor: µ u δ (H) n (diamh n ) u = n (diamh n ) u t (diamh n ) t δ u t n (diamh n ) t. Infimumot véve kapjuk, hogy µ u δ (H) δu t µ t δ (H). µu (H) > 0 miatt minden elég kicsi δ-ra µ u δ (H) > > µu (H) 2. Innen ( ) µ µ t (H) = lim δ +0 µt δ(h) lim δ +0 δt u µ u u (H) δ (H) lim δ +0 δt u =. 2 Tehát s-nél kisebb dimenziós Hausdorff-mértékekre a H mértéke végtelen, nagyobbakra meg 0. Ez összhangban van azzal, amit egy dimenziótól elvárnánk: egy egyenes vonal a síkon nullmértékű a 2-dimenziós Lebesgue-mértékre nézve. Egy egyenes elhanyagolható a síkon, hiszen nem lehet megszámolható sokkal lefedni a teljes síkot. Ugyanígy a Hausdorff-mértékeknél: egy kisebb dimenziós halmaz elhanyagolható egy nagyobb dimenziós mérték szempontjából, tehát logikus, hogy nulla legyen a mérték. Fordítva nézve, egy nagyobb dimenziós halmazról nem tudunk értelmeset mondani egy kisebb dimenzióból nézve, csak azt, hogy nagy, azaz végtelen a mértéke. 24
25 Következmény. Legyen H i R. Ekkor dim H i H i = sup i dim H H i. Bizonyítás. Legyen H = i H i. Ha valamilyen s-re és i-re µ s (H i ) =, akkor µ s (H) =, azaz dim H H i dim H H. Innen dim H i H i sup i dim H H i. A másik irányhoz válasszunk egy tetszőleges s > sup i dim H H i számot. Ekkor minden i-re µ s (H i ) = 0, ezért µ s (H) = 0. Innen dim H H s következik, ebből pedig dim H i H i sup i dim H H i. Megjegyezzük, hogy µ s (H) akármi lehet, nem feltétlen kell végesnek vagy pozitívnak lennie. Egyszerű példa a teljes számegyenes: ez 1-dimenziós, és µ 1 (R) = λ(r) =. Az is igaz, hogy tetszőleges dimenziós halmaz létezik. Korábban használtuk, ezért most itt megemlítjük a Cantor-halmaz dimenzióját: Tétel. Legyen C a Cantor-halmaz. A Cantor-halmaz dimenziója és µ s (C) = 1. s = log 2 log 3 Ezt a következő heurisztikus módszerrel lehet kiszámolni: legyen C 1 a Cantor halmaz baloldali része, azaz C 1 = C [ 0, 1 2] és C2 a jobb oldali rész. Mindkét rész az eredeti C halmaz 1 3 -szoros kicsinyítésének egy eltoltja és C = C 1 C 2 diszjunkt unió. Ezért minden s-re: µ s (C) = µ s (C 1 ) + µ s (C 2 ) = ( ) s 1 µ s (C) + 3 ( ) s 1 µ s (C). 3 Ha feltesszük, hogy az s = dim H C esetben 0 < µ s (C) <, leoszthatunk µ s (C)-vel. Az eredmény 1 = 2 ( 1 3) s, amiből már következik, hogy s = log 2/ log 3. Ez a módszer más önhasonló halmazokra is alkalmazható, a pontos állítás a következő (bizonyítás megtalálható [4]-ben): Tétel. Legyen F R, és legyenek S 1, S 2,..., S m olyan hasonlóságok, amikre S i (F ) páronként diszjunkt. Jelölje c i az S i hasonlósági arányát (azaz S i (x) = c i x + a i alakú). Ha c i < 1 és F invariáns ezekre a hasonlóságokra, azaz akkor dim H F = s, ahol F = m S i (F ), i=1 m c s i = 1. i=1 Most rátérünk a Minkowski-dimenzióra. Ez még boxdimenzióként is ismert. A nevét arról kapta, hogy a dimenzió meghatározásához ε nagyságú téglákkal fedjük le a halmazt. Fedjük le a síkot egy ε nagyságú négyzetráccsal. Jelölje N(ε) azon négyzetek számát, amik belemetszenek a halmazba. Ha most ε = 1 n, akkor azt várjuk, hogy egy egyenes szakasz esetén N(ε) cn valamilyen c konstansra. Ha a halmazunk egy síkbeli nyílt halmaz, akkor N(ε) cn 2 várunk el. Egy s dimenziós halmaznál ennek az analógiájára N(ε) cn s -t szeretnénk, tehát N(ε) n-alapú logaritmusára vagyunk kíváncsiak. Ezen alapul a boxdimenzió definíciója: 25
26 Definíció. Legyen A R n korlátos halmaz. Ekkor a felső boxdimenzió dim B A = lim sup log N(ε) log ε az alsó boxdimenzió dim B A = lim inf log N(ε) log ε Ha létezik a limesz, azaz dim B A = dim B A, akkor a határértéket dim B A-val jelöljük. A boxdimenzió egyik érdekes tulajdonsága, hogy a fenti definícióban az N(ε) számot ki lehet cserélni más típusú fedésekre is. Például jelölje P (ε) a maximális számát azon ε sugarú gömböknek, amik diszjunktak, és középpontjaik A-ban vannak. Ha a fenti formulákban N(ε) helyére mindenütt P (ε)-t írunk, akkor egy ekvivalens definíciót kapunk. Egy harmadik lehetséges módszer, hogy azon ε sugarú gömbök minimális C(ε) számát tekintjük, amelyek lefedik A-t. Ez is ekvivalens lesz az előzőekkel. Ezen állítások bizonyítása egyszerű, megtalálható például [9] könyvben. A boxdimenzió definíciója szemléletes, és viszonylag egyszerűen ki lehet számolni, hála a rácsfelbontásnak és a sok ekvivalens definíciónak. Hátrányai közé tartozik, hogy csak korlátos halmazra működik, és megszámolható unióra a dimenzió nem marad meg. Például egy egy pontból álló halmaz boxdimenziója nyilván 0, azonban a { 0,1, 1 2, 1 3,...} halmaz dimenziója 1 2. Ezt a két hibát küszöbölhetjük ki a felső pakolási dimenzióval: Definíció. Legyen A R n. Ekkor a felső pakolási dimenzió: dim P A = inf { sup dim B A i : A = i i A i, A i korlátos Ez nyilván megtartja a megszámolható uniót, továbbá dim P A dim B A. Az alsó pakolási dimenziót hasonlóan definiálhatjuk, ott az alsó boxdimenziót használjuk. Azonban a felső pakolási dimenziót előállíthatjuk a Hausdorff-dimenzióhoz hasonló módon, egy mértéken keresztül is. Ezért gyakran a felső pakolási dimenziót egyszerűen csak pakolási dimenzióként hívják Definíció. Legyen s 0 valós szám. Legyen H R és δ > 0. Ekkor { } P0 s (A) = lim sup ri s : r i δ, c i A, hogy a B(c i, r i ) gömbök páronként diszjunktak δ +0 n=1 Ez a limesz mindig létezik, hiszen a limeszen belül levő szuprémum értéke csökken, ha δ csökken. Ez még nem lesz mérték, hiszen a megszámolható uniót nem tartja. De ebből már tudunk képezni egy mértéket az alábbi módon: { } P s (A) = inf P0 s (A i ) : A = A i A pakolási dimenzió definíciója a Hausdorff-dimenzióéhoz nagyon hasonló: i=1 i=1 } 26
27 Definíció. Legyen A R n egy tetszőleges halmaz. A pakolási dimenziója dim P A = sup {s : P s (A) > 0} Be lehet látni, hogy ez a dimenzió megegyezik a korábban definiált dim P A számmal. A pakolási mértékekre is igaz a tétel, azaz először végtelen az A halmaz s dimenziós P s pakolási mértéke, aztán az s = dim P A pont után átvált, és végig nulla lesz a mérték. Az egyes dimenziófogalmak egymáshoz való viszonyáról szól az alábbi tétel: Tétel. Legyen H R korlátos halmaz. Ekkor dim H H dim P H dim B H A konstrukció Az itt megadott konstrukció a Davies-féle halmaz kis módosításával kapható. Az eljárással tetszőleges 0 < s < 1 boxdimenziójú mérhetetlen halmazt kaphatunk. A halmazok olyanok, hogy a Hausdorff- és boxdimenziójuk megegyezik, így tetszőleges Hausdorff-dimenziójú mérhetetlen halmazt is elő tudunk állítani. Legyen a egy páratlan pozitív szám és legyen N r a 2 r -rel vagy a-val osztható számok halmaza. Ekkor az N r halmazok mind végtelenek, monoton csökkenőek, illetve N r \ N r+1 is végtelen. Legyen λ 8 tetszőleges valós szám. Álljon a K r halmaz az alábbi alakú számokból: x = c r λ r + c r+1 λ r , ahol c i egész, 0 c i < 8 és c i = 1 vagy 5, ha i N r. Helyezzük egymás után a K i halmazokat úgy, hogy dist (K i, K i+1 ) = 0 legyen. Azaz az előző szakaszban levő módszerrel ellentétben a halmazokat szorosan egymás után rakjuk. Az így kapott K = r K r szerint Állítás. A K r halmaz Hausdorff-dimenziója: dim H K r = a 1 3a 2 2 log 2 r 1 a log λ halmaz mérhetetlen lesz a tétel Bizonyítás. Álljon L a c1 λ + c2 1 λ +... alakú számokból, ahol c 2 i -re ugyanazok a feltételek érvényesek, mint a K r fenti definíciójában. Vegyük észre, hogy L a K r halmaz véges sok eltoltjából áll, ezért dim H L = dim H K r. Tehát elég L dimezióját kiszámolni. Ha i / N r, akkor c i tetszőleges számjegy lehet (itt számjegy alatt nyolcas számrendszerbeli számjegyet értünk), ha i N r, akkor pedig csak 1 vagy 5 lehet. N r definíciója szerint tehát pontosan az i = 2 r l vagy az i = ak esetekben van külön feltétel a számjegyekre, ezért az L halmaz a H = λ 2ra L véges sok diszjunkt eltoltjából fog állni, mégpedig azon y = c1 λ + c2 1 λ c 2 2 r a λ 2r a -kal, ahol a c i számjegyekre teljesül a szokásos feltétel. Ha y 1 és y 2 két ilyen szám akkor H + y 1 és H + y 2 diszjunktak. 27
Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Analízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Metrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
Sorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.
Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint
A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Fraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék
Fraktálok Klasszikus fraktálpéldák I Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 86 Bevezetés. 2 of 86 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés. Az önhasonlóságról intuitív módon Klasszikus
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
Matematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
A valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
Tómács Tibor. Mérték és integrál. (X, A, µ) mértéktér, f n : X hető függvények minden n N f 2..., akkor. lim
Tómács Tibor Mérték és integrál X, A, µ mértéktér, f n : X hető függvények minden n N f 2..., akkor lim f n dµ = lim f n dµ. Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Mérték és integrál Eger, 2016.
Függvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz
Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben
Analízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán
A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán Besenyei Ádám A következőkben a matematikának több ágában is fontos szerepet betöltő eszközével, a Baire kategória-tétellel és annak néhány alkalmazásával ismertetjük
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
f(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS
A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja
Analízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
A Peano-görbe. Besenyei Ádám ELTE
A Peano-görbe Besenyei Ádám ELTE A folytonos görbe kifejezés hallatán hajlamosak vagyunk először egy, a szó szoros értelmében egybefüggően megrajzolható vonalra gondolni. A görbe fogalma azonban a vártnál
Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
Markov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Folytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor
Metrikus terek, Hausdorff-mérték Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 22. Vázlat 1 Folytonos görbék Affin függvények Definíciók A Koch-görbe A Cantor-halmaz
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.
FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok Czirbusz Sándor 010. április 16. I. rész Feladatok A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. 1. Példák fraktálokra 1.1. A Cantor - halmaz 1.1.1. Feladat. Igazoljuk,
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.
1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek
Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus
Síktopológiák a Sorgenfrey-egyenes ötletével Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus 1. Bevezetés A Sorgenfrey-egyenes
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
10. előadás. Konvex halmazok
10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója
FRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Példák fraktálokra I Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. február 1. Vázlat 1 Mi a fraktál? 2 A konstrukció Egyszerű tulajdonságok Triadikus ábrázolás Transzlációk
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet
1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai
BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A
DiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
Tartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen
A fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Egészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.
Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek
1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza
Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
Érdemes egy n*n-es táblázatban (sorok-lányok, oszlopok-fiúk) ábrázolni a két színnel, mely éleket húztuk be (pirossal, kékkel)
Kombi/2 Egy bizonyos bulin n lány és n fiú vesz részt. Minden fiú pontosan a darab lányt és minden lány pontosan b darab fiút kedvel. Milyen (a,b) számpárok esetén létezik biztosan olyan fiúlány pár, akik
Javítókulcs, Válogató Nov. 25.
Javítókulcs, Válogató 2016. Nov. 25. 1. Az A, B, C pontok által meghatározott hegyesszögű háromszögben az egyes csúcsokhoz tartozó magasságvonalak talppontjait jelölje rendre T A, T B és T C. A T A T B
1. Az integrál tégla-additivitása
Többváltozós üggvények dierenciál- integrálszámítása 9. előadás I. rze) Boros Zoltán 019. április 16. Az alábbiakban k N rögzített. 1. Az integrál tégla-additivitása 1.1. TÉTEL. Legyen I, T I k úgy, hogy
1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!
ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha
ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
Számelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
Formális nyelvek - 9.
Formális nyelvek - 9. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Véges
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
Matematikai logika és halmazelmélet
Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
= 1, azaz kijött, hogy 1 > 1, azaz ellentmondásra jutottunk. Így nem lehet, hogy nem igaz
Egyenlőtlenség : Tegyük fel, hogy valamilyen A,B,C számokra nem teljesül, azaz a bal oldal nagyobb. Mivel ABC =, ha az első szorzótényezőt B-vel, a másodikat C-vel, a harmadikat A-val szorozzuk, azaz az