Elsőfokú lineáris egyenletrendszerek megoldása determinánsokkal

Átírás

1 Micimackó meséje XI-XII. osztályosoknak! Elsőfokú lineáris egyenletrendszerek megoldása determinánsokkal Készítette: Tuzson Zoltán, tanár

2 Az egyenletrendszerek megoldása során 3 különböző esetet különböztetünk meg: 1) Az egyenletek száma = az ismeretlenek száma: 2) Az egyenletek száma < ismeretlenek száma: 3) Az egyenletek száma > ismeretlenek száma:

3 Szakkifejezések: Egy egyenletrendszer kompatibilis vagy összeférhető, ha megoldható, tehát van megoldása. Egy egyenletrendszer inkompatibilis, vagy összeférhetetlen, ha nincs megoldása Egy egyenletrendszer határozott, ha pontosan egy x, y, z megoldása van. Egy egyenletrendszer határozatlan, ha végtelen sok megoldása van (a megoldások függenek egy vagy több paramétertől)

4 1) Az egyenletek száma = az ismeretlenek száma Kiszámoljuk az egyenletrendszer D diszkriminánsát Amennyiben a rendszer D diszkriminánsa nem nulla, úgy az egyenlet rendszert Cramer egyenlet rendszernek hívjuk, és ennek a megoldása (három ismeretlen esetén): D D x y Dz x =, y =, z = D D D A Dx, Dy, Dz determinánsokat a D determinánsból kapunk úgy, hogy az illető ismeretlen együtthatóinak az oszlopát a szabad tagok oszlopával helyettesítjük. (lásd a feladatoknál!)

5 1. feladat: Oldjuk meg Cramer szabállyal a következő egyenletrendszert: A rendszer diszkriminánsa: D = = x + y + 2z = -1 2x y + 2z = -4 4x + y + 4z = -2 Az ismeretlenekhez tartozó determinánsok: Tehát D x = = 30 D y = = D D x y Dz x = = 5, y = = 2, z = = 1 D D D D = = 6 z A Cramer egyenletrendszer MINDIG kompatibilis és határozott! De csak akkor Cramer rendszer, ha D 0

6 2. feladat: Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: A rendszer diszkriminánsa: D = = 0! x + y + 2z = -1 2x y + 2z = -4 2x 2y 4z = 8 Mivel a determináns 0, ezért szükséges EBBŐL egy 2 2-es ú.n. FŐDETERMINÁNST választani, ami NEM NULLA! Lett egy MELLÉKEGYENLET (a harmadik) így lesz egy ú.n. KARAKTERISZTIKUS determináns, amit a fődeterminánsból kapunk, szegélyezéssel: D kar = = D fő = = Ha a karakterisztikus determináns NEM NULLA, akkor Rouché tétele értelmében, az egyenlet rendszer inkompatibilis, vagyis nincs megoldása.

7 3. feladat: Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: A rendszer diszkriminánsa: D = = 0! x + y + 2z = 1 2x y + 2z = 4 2x 2y 4z = 4 Mivel a determináns 0, ezért szükséges EBBŐL egy 2 2-es ú.n. FŐDETERMINÁNST választani, ami NEM NULLA! Lett egy MELLÉKEGYENLET (a harmadik) így lesz egy ú.n. KARAKTERISZTIKUS determináns, amit a fődeterminánsból kapunk, szegélyezéssel: D kar = = D fő = = Ha a karakterisztikus determináns NULLA, akkor Rouché tétele értelmében, az egyenlet rendszer kompatibilis, és így folytatjuk: z=m, ekkor

8 folytatás: Beírjuk a z=m értéket az egyenletekbe, és átvisszük a tulsó oldalra: x + y = -2m 1 2x y = 2m 4 4x + y = 4m 2 Ebből csak az első 2 egyenletből álló rendszert oldjuk meg, Cramer szabállyal: 1x + 1y = 2m 1 2x -1y = 4m 2 A D éppen a D fő, és kiszámoljuk: D 1 1 D= D fő = = x 2m 1 1 = = 6m 1 4m m 1 = = 0 2 4m 2 Ezért, a Cramer szabály szerint: Dx 6m 1 D y x = =, y = = 0, z = m, m D 3 D Mivel az m paraméter bármilyen értéket felvehet, ezért az egyenletrendszer kompatibilis és határozatlan (meg lehet oldani, de végtelen sok megoldása van). D y

9 2) Az egyenletek száma < ismeretlenek száma: Baloldalon csak annyi ismeretlent tartunk meg, hogy UGYANANNYI legyen az ismeretlenek száma, mint az egyenletek száma. A többi ismeretlent rendre ÁTNEVEZZÜK m, n, p értékekre, és ÁTVISSZÜK a tulsó oldalra. Megoldjuk az így kapott egyenletrendszert, az m, n, p függvényében. Tehát a rendszerünk határozatlan lesz!

10 4. feladat: Oldjuk meg, a következő egyenletrendszert: x + y + 2z = 1 2x 3y + z = 3 Muszáj egy ismeretlent a jobboldalra vinni, legyen tehát z=m, és így az egyenlet rendszer: x + y = 2m 1 2x 3y = m Az új egyenletrendszer determinánsa D = = 1 0 és mivel nem nulla, 2 3 ezért Cramer egyenletrendszer. 2m m 1 Kiszámoljuk: Dx = = 7m és D= = 5m 1 m m + 3 D A Cramer szabály szerint: x D y x = 7 m, y 5m 1, z m, m D = = D = = Tehát az egyenletrendszer kompatibilis és határozatlan!

11 3) Az egyenletek száma > ismeretlenek száma: Ebben az esetben kiválasztunk csak annyi egyenletet, amennyi ismeretlenünk van (ennek a determinánsa ne legyen nulla). Ezek a főegyenletek. A többi egyenletet ú.n. mellékegyenletnek nevezzük. Megoldjuk a főegyenletekből álló rendszert. Ezután annyi karakterisztikus determinánst képezünk szegélyezéssel, amennyi mellékegyenletünk van. Rouché tétele: Az egyenletrendszer csak akkor kompatibilis, ha az összes karakterisztikus determináns nulla. Ellenkező esetben inkompatibilis, tehát nem kell megoldani. Ha kompatiblis, akkor Cramer szabállyal megoldjuk a főegyenletekből álló rendszert!

12 5. feladat: Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: 3x+ y = 1 x + y = 2 Tartsuk meg az első két egyenletet: (*), 3x+ y = 1 x + y = 2 x 2y = 1 2x 2y = 4 Továbbá 2 mellékegyenletünk van, ezért 2 karakterisztikus determináns lesz: D kar = = D = = De mivel az egyik karakterisztikus determináns nem nulla, ezért Rouché tétele értelmében, az egyenlet rendszer inkompatibilis (nincs megoldása= nem oldható meg) D kar = =

13 6. feladat: Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: 3x+ y = 1 x + y = 2 6x 2y = 2 2x 2y = 4 3x+ y = 1 x + y = 2 Tartsuk meg az első két egyenletet: (*), 3 1 D = = Továbbá 2 mellékegyenletünk van, ezért 2 karakterisztikus determináns lesz: D kar 1 = = = = Mivel mind a két karakterisztikus determináns 0, ezért a rendszer komapatibilis, így Cramer szabállyal megoldjuk a (*) egyenlet rendszert: D kar D 3 D x y 5 Dx = = 3, Dy = = 5 x = =, y = = D 4 D 4

14 Paraméteres egyenletrendszerek tárgyalása Leghamarabb az egyenletrendszernek egy determinánst írunk fel. Kiszámítjuk, majd megkeressük, hogy milyen paraméter értékre nem nulla. D 0 Amikor előbbiekben., akkor Cramer szabállyal megoldjuk az egyenletrendszert, mint Megkeressük azon paraméter értékeket, amelyekre Ezeket a paraméter értékeket rendre visszahelyettesítjük az egyenletekbe. Az újonnan kapott egyenletek esetén nyilván D = 0 D = 0 Tehát fődeterminánst kell választanunk, és úgy járunk el, mint az előbbiekben

15 7. feladat: Az m paraméter függvényében tárgyaljuk, és oldjuk meg, a következő egyenletrendszert: A rendszer determinánsa: m 1 1 mx + y z = 1 x + my z = 1 x + y + mz = 1 D = 1 m 1 = m( m 1)(1 + m) 1 1 Mivel D = 0 m(1 m)(1 + m) = 0 ezért azt kapjuk, hogy m 1,0,1 I.) Ha m \ 1,0,1 akkor D 0 tehát Cramer egyenletrendszer, így D = 1 m 1 = ( m + 1)( m 1) x 1 1 m m 1 1 D = = ( m + 1)( m 1) y m 1 1 m 1 1 D = 1 m 1 = ( m 1)( m + 1) z m 1 1 1

16 folytatás: D Így hát Cramer szabály alapján: x 1 D y 1 1 x = =, y = =, z = D m D m m II.) Ha m=0, akkor az egyenlet rendszer így alakul: 0x + y z = 1 x + 0y z = 1 x + y + 0z = 1 Meg kell válasszunk egy fődeterminánst: A karakterisztikus determináns: 0 1 D fő = = ezért a Rouché tétele szerint, az egyenlet rendszer inkompatibilis. (Ugyanerre a következtetésre jutunk akkor is, ha a 3 egyenletet összeadjuk, és 0=3 adódik) D = = III.) Ha m=1, akkor az egyenlet rendszer így alakul: x + y z = 1 x + y z = 1 x + y + z = 1 kar Észrevehető, hogy két egyenlet egyforma, ezért az egyiket elhagyjuk, így

17 folytatás: x + y z = 1 Az egyenletrendszer a következő: x + y + z = 1 x + y = k + 1 Most z=k, és átvisszük a másik oldalra, ekkor azt kapjuk, hogy 1 1 A rendszer determinánsa x + y = k + 1 D = = Most megoldjuk a Cramer szabály szerint: k k + 1 D Dx = = 2k Dy = = 2 x D y x k k + 1 = k, y 1, z k, k D = = D = = x + y z = 1 IV.) Ha m=-1, akkor az egyenlet rendszer így alakul: x + y z = 1 x y z = 1 x y z = 1 Meg kell válasszunk egy fődeterminánst: x + y z = D fő = = y z = k + 1 Most x=k, és átvisszük a másik oldalra, ekkor azt kapjuk, hogy y z = k + 1 k k + 1 Kiszámoljuk Dy = = 2k Dz = = 2 k k + 1 Tehát a Cramer szabály szerint Dy Dz y = k, z 1, x k, k D = = D = =

18 I) Ha m \ 1,0,1 Összefoglalás: akkor az egyenletrendszer kompatibilis, határozott és D x 1 D y 1 1 x = =, y = =, z = D m D m m II) Ha m = 0 akkor az egyenletrendszer inkompatibilis. III) Ha m =1 akkor az egyenletrendszer kompatibilis és határozatlan, és D x D y x = k, y 1, z k, k D = = D = = IV) Ha m = 1 akkor az egyenletrendszer kompatibilis és határozatlan, és Dy Dz y = k, z 1, x k, k D = = D = =

19 A homogén egyenlet rendszerek Három ismeretlen esetén, az alakjuk a következő: a1x + b1 y + c1z = 0 a2x + b2 y + c2z = 0 a3x + b3 y + c3z = 0 x = y = z = 0 Könnyen látható, hogy mindig megoldása az egyenletnek. Ezt a megoldást banális, vagy triviális megoldásnak hívják. Az egyenlet rendszer diszkriminánsa: a b c D = a b c a3 b3 c3 Könnyen látható, hogy D = D = D = 0 mivel 1-1 oszlop csupa 0. x y z Tehát a homogén egyenletrendszernek csak akkor van a banálistól különböző megoldása, ha D = 0 és ekkor egy fődeterminánst kell választanunk, és ugyanúgy járunk el, mint az előbbiekben.

20 8. feladat: Oldjuk meg, a következő egyenletrendszert: Az egyenletrendszer determinánsa D = = x y + 2z = 0 x + 2y z = 0 2x y z = Választunk egy fődeterminánst: D fő = = x y = 2m Legyen z=m, ekkor az egyenlet rendszer így alakul: (*) x 2y m = Ekkor A karakterisztikus determináns: = = Jegyezd meg: A homogén egyenletrendszer karakterisztikus determinánsa mindig 0. Tehát a Rouché tétel szerint, az egyenletrendszer kompatibilis, így a Cramer szabállyal megoldjuk a (*) egyenletrendszert: 2m 1 1 2m Dx Dx = = 3 m, Dy = = 3 m x = = m, y = m, z = m, m m 2 1 m D D kar

21 Gyakorló feladatok I. Oldjuk meg a következő Cramer egyenletrendszereket: 1) x + y + z = 1 x + y + z = 6 2x + y + z = 1 3x y + z = 0 a) 2x + y z = 3 b) 2x + 3y + z = 11 c) x 2y + z = 2 d) 2x + y + 3z = 7 4x y z 9 3x 4y z 8 x y z = + = + = x + 2y 2z = 7 x + 2y + 3z = 14 x + 4y + 3z = 1 2x y + 3z = 3 2x + 3y + z = 4 e) y + 2z = 8 f ) 2x + 5y + 4z = 4 g) 4x y 2z = 2 h) 3x + y 2z = 1 x 2y z 6 x 3y 2z 5 x 2y 2z = = + = 2x 3y + z = 10 x + y = 2 2x 3y + z = 1 x y + z = 3 2x + 3y z = 3 i) y + z = 4 j) x + y 2z = 0 k) x + y + z = 1 l) x y + z = 3 x z 4 3x 2y z 1 x y z 1 + = = + = x + z = 0

22 Gyakorló feladatok II. Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket: 2) x + y + z = 1 6x 8y + 2z = 16 2x + y + z = 1 3x y + z = 0 a) 2x + y z = 3 b) 2x + 3y + z = 11 c) x 2y + z = 2 d) 2x + y + 3z = 7 4x 2y 2z 5 3x 4y z 8 4x 2y 2z 3 + = + = = 2x y 3z = 7 2x 4y 2z = 12 3x + 9y + 6z = 15 2x + 4y 4z = 3 2x + 3y + z = 4 e) y + 2z = 8 f ) 2x + 5y + 4z = 4 g) 4x y 2z = 2 h) 4x + 6y 2z = 20 x 2y z 6 x 3y 2z 5 x 2y 2z = = + = 2x 3y + z = 10 x + y = 2 6x 4y 2z = 2 x y + z = 3 2x + 2y 2z = 6 i) y + z = 4 j) x + y 2z = 0 k) x + y + z = 1 l) x y + z = 3 2x 2y 4 3x 2y z 1 2x 2y 2z 3 + = = = x + z = 0

23 Gyakorló feladatok III. Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket: 3) x + y + z = 1 2x + 3y + z = 11 2x + y + z = 1 2x + y + 3z = 7 a) b) c) d) 2x + y z = 3 3x + 4y z = 8 x 2y + z = 2 x + 2y 2z = 7 y + 2z = 8 x + 4y + 3z = 1 2x y + 3z = 3 2x + 3y + z = 4 e) f ) g) h) x + 2y + z = 6 x 3y 2z = 5 x + 2y 2z = 1 2x 3y + z = 10 y + z = 4 x + y 2z = 0 x y + z = 3 2x + 3y z = 3 i) j) k) l) x + z = 4 2x 3y + z = 1 x + y z = 1 x y + z = 3

24 Gyakorló feladatok IV. Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket: 4) x + y + z = 1 x + y + z = 6 2x + y + z = 1 3x y + z = 0 2x y z 3 2x 3y z 11 x 2y z 2 + = + + = + = 2x + y + 3z = 7 a) b) c) d) 4x + y + z = 9 3x + 4y z = 8 x + y z = 4 x + 2y 2z = 7 4x 2y + 2z = 5 6x 8y 2z = 16 4x 2y 2z = 2 4x 2y 6z = 14 x + 2y + 3z = 14 x + 4y + 3z = 1 2x y + 3z = 3 2x + 3y + z = 4 y 2z 8 2x 5y 4z 4 4x y 2z 2 + = + + = = 3x + y 2z = 1 e) f ) g) h) x + 2y + z = 6 x 3y 2z = 5 x + 2y 2z = 1 2x 3y + z = 10 2x 4y 2z = 12 2x 8y 6z = 3 2x 4y + 4z = 2 6x 2y + 4z = 3

25 Gyakorló feladatok V. Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket: 5) x + y + z = 0 6x 8y + 2z = 0 2x + y + z = 0 3x y + z = 0 a) 2x + y z = 0 b) 2x + 3y + z = 0 c) x 2y + z = 0 d) 2x + y + 3z = 0 4x 2y 2z 0 3x 4y z 0 4x 2y 2z 0 + = + = = 2x y 3z = 0 2x 4y 2z = 12 3x + 9y + 6z = 0 2x + 4y 4z = 0 2x + 3y + z = 0 e) y + 2z = 8 f ) 2x + 5y + 4z = 0 g) 4x y 2z = 0 h) 4x + 6y 2z = 0 x 2y z 6 x 3y 2z 0 x 2y 2z = = + = 2x 3y + z = 0 x + y = 0 6x 4y 2z = 0 x y + z = 0 2x + 2y 2z = 0 i) y + z = 0 j) x + y 2z = 0 k) x + y + z = 0 l) x y + z = 0 2x 2y 0 3x 2y z 0 2x 2y 2z 0 + = = = x + z = 0

26 Gyakorló feladatok VI. Tárgyaljuk, és oldjuk meg a következő paraméteres egyenletrendszereket: 6) mx + y + z = 1 x + y + z = 6 2x + my + z = m mx y + z = 0 a) 2x + y z = 3 b) 2x + my + z = 11 c) x 2y + z = 2 d) 2x + y + mz = 0 4x my z 9 mx 4y z 8 x my z = + = + = x + 2y 2z = 0 x + my + 3z = 14 x + 4y + mz = 1 2x y + 3z = 0 2x + 3y + z = 4 e) y + mz = 8 f ) 2x + 5y + 4z = 4 g) 4x y 2z = 0 h) 3x + y mz = 1 x 2y z 6 x my 2z 5 x 2y 2z = = + = mx 3y + z = 10 mx + y = 2 2x my + z = 0 mx y + z = 3 2x + 3y z = 3 i) y + mz = 4 j) x + y 2z = 0 k) x + y + z = 1 l) x y + mz = 3 x z 4 mx 2y z 0 x my z m + = = + = x + mz = 0

27 Megoldottam!

28 Köszönöm a figyelmet!