(expectation) õþ: (mean)
|
|
- Attila Boros
- 1 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 (expectation) õþ: (mean) õþ:. ½Ó Æ Æø 4.1 îñ :. X ( ) a 1,a 2,,a n, Ǒ 1 n pa 1 ` `a n q.
2 èñ : Í (Ó). X ǑÐ º, ǑP px x k q p Ó, a 1 ` `a n ÿ k x k n k, Î õþ: n k tm : 1 ď m ď n,a m x k u., n k n «p k, 1 n pa 1 ` `a n q «ÿ x k p k. k
3 Ð º. ř k x k p k ă 8, Ã ÿ x k p k k ǑX ( ), ÈǑEX. ( Đ, ùþ4.1.1.) ř k x k p k 8, Ã X Đ x k p 1q k2k k, p k 1 2k, k ě 1.
4 È x` x _0, x p xq _0. ř k x k p k è þ è Ù, Ǒ EX ř k x kp k ǑX. ( Đ ). Æ: X d Y, ÃEX EY. ±:
5 Bernoulli. E1 A P paq Ø. (1) X ě 0, EX ûþ. (2) x k k: (3) Ç : kp k k λk k! e λ λ λk 1 pk 1q! e λ λp k 1, k ě 1. EX 8ÿ 8ÿ k p k k 0 l 0 λ λl l! e λ λ.
6 X êã : Ý : EX EX 8ÿ P px ě nq n 1 8ÿ kp k k 1 8ÿ k 1n 1 8ÿ P px ą nq. n 0 kÿ p k 8ÿ 8ÿ p k. n 1k n P px ą nq q ě 0. EX 8ÿ q n n 0 q0 1 q 1 p.
7 º. Ð ± : x 0 ă x 1 ă ă x n, ÿ ş x ppxqdx ă 8, Ã i x i ppx i q x i Ñ ż ż xppxqdx xppxqdx. ǑX ( ), ÈǑEX. ( Đ, ùþ4.1.2.)
8 ş x ppxqdx îǒ8 î, ż EX xppxqdx , EX ûþ. ppxq 1 π 1 1 `x 2.
9 X ě 0, Ã Ý : EX ż 8 0 EX, agpaq ď ż 8 0 Gpxqdx. xppxqdx xgpxq 8 0 ` ż 8 a yppyqdy. ż 8 0 Gpxqdx, X Exppλq. ż 8 0 P px ą xqdx ż 8 0 e λx dx 1 λ.
10 è ì». X ě 0. Æ è: Y 1 n rnxs. : X Y ď 1 n, EX EY ď 1 n. Ç EY: EY 8ÿ k 1 ˆ 1 n P Y ě k n 8ÿ l 0 ˆ 1 n P X ą l Ñ n ż 8 0 Gpxqdx.
11 ù Æ è: Ŷ Y 1 n. EŶ 8ÿ è X: k 0 ˆ k F n ş xdf pxq. ˆk `1 n F ˆk Ñ n ż 8 0 xdf pxq.
12 Lebesgue-Stieltjes : max i x i. ż xdf pxq : lim ş x df pxq ă 8, Ã Ñ0 ÿ i x i pf px i`1 q F px i qq. ż xdf pxq ǑX, ÈǑEX. ( Đ, ùþ4.1.3.) ùþ Ð º º èç.
13 X ě 0, Ã EX ż 8 0 P px ą xqdx. EX Ǒ8, ÃEX : EX` EX. ( ûþ) Đ : ż EX ă 8 iff E X ă 8 iff x df pxq. X º(i.e., P p X ď Mq 1), Ã Đ. ð Æ.
14 ï X c, ÃEX c. Æ : X ě Y, ÃEX ě EY. : EpaXq aex, EpX `Yq EX `EY. X ě 0 EX 0, ÃX 0. (1) P px ą 1 n q 0: 0 EX ě EX1 txą 1 n u ě E1 n 1 txą 1 n u 1 ˆX n P ą 1. n (2) P px ą 0q lim n P `X ą 1 n 0.
15 X ě 0 EX ă 8, Ã (1) xgpxq: (2) EX 1 txąxu : lim xgpxq lim EX 1 txąxu 0. xñ8 xñ8 ż 8 0 ż x 0 ż x ż 8 ď 2 Gpyqdy ď 2 Gpyqdy Ñ 0. x{2 x{2 P p ą yqdy P px ą xqdy ` ż 8 0 ż 8 x P px ą x,x ą yqdy P px ą yqdy.
16 X ě 0, Ã lim EX 1 txďxu Ñ EX. xñ8 (1) EX ă 8: EX 1 txąxu Ñ 0. (2) EX ż M EX 1 txďxu ě ¹M Ñ 8, ě Ñ 0 ż M 0 ż M 0 P py ă X ď xqdy P px ą yqdy MP px ą xq P px ą yqdy. px Ñ 8q. lim EX 1 txďxu 8. xñ8
17 ø : Y fpxq, ÃEY ş R 1 fpxqdf X pxq. (ù Ò4.1.1 ŵ) Ð º: EfpXq ÿ k fpx k qp k. p4.1.18q º: Ôá: ż EfpXq fpxqppxqdx. p4.1.20q R 1 EfpXq ÿ ż fp x k qp k, EfpXq f p xqpp xqd x. k
18 Ô Ã EpXY q pexqpey q.. X, Y Ô ð º, Ã ij EXY xyp X pxqp Y pyqdxdy. Jensen (4.3.7): ûø ϕ, EϕpXq ě ϕpexq.. EX 2 ě pexq 2. Eφ(X) φ(ex) EX
19 X Npµ,σ 2 q, õ EX. Z Np0,1q, Đ, Z d Z, à EZ Ep Zq EZ ñ EZ 0. Z : X µ σ Np0,1q. EX Epµ `σzq µ. è», X µ d µ X E X ă 8, ÃEX µ.
20 á. X 1 A1 ` `1 An, ÃEX ř i P pa iq. X Bpn,pq ùx HpN,M,nq, EX np, (p M N ). X d X 1 ` `X n, X i Bp1,pq. ê Ã( 1.5.6) n ñ², n ²ñ, 1 ñ.. N ö, Þ Î p, 1 p, X ÒÆ». EX C 3 N pp3 ` p1 pq 3 q.
21 ËÃÓ 15. ξ 1,,ξ n i.i.d.,, Ý : E ξ 1` `ξ k ξ 1` `ξ n k n. Ýß: E E E keξ neξ k n. pξ 1,,ξ n q d pξ i,,ξ n,ξ 1,,ξ i 1 q, fp xq : x 1 ři x i. ξ i ξ 1 ` `ξ n d ξ 1 ξ 1 ` `ξ ξ 1 ξ 1` `ξ n º, Đ, ÈǑµ. : k ÿ ξ i, E k ξ 1 ` `ξ n ÿ ξ i E kµ. ξ 1 ` `ξ n µ 1 nñ i 1 i 1 k n, nµ E ξ 1 ` `ξ n ξ 1 ` `ξ n 1.
22 . E Y ă 8. px,y q ðð / º: ϕpxq : ÿ y j P py y j X xq, j ż yp Y X py xqdy. px,y q ðð / º, EpY Xq ϕpxq, ϕp xq ÿ ż y j P py y j X xq, yp Y X py xqdy. j Y ³ÙX : EpY Xq : ϕpxq. : E`apXq `bpxqy X apxq `bpxqepy Xq.
23 : EY EEpY Xq EϕpXq. (4.2.59) Ð º: EϕpXq ÿ i ϕpx i qp px x i q ÿ i,j y j P px x i,y y j q EY. º: ż EϕpXq ij ϕpxqp X pxqdx yp X,Y px,yqdxdy EY. E EpY X, W ˇ qˇ W EpY W q. Ê Ep W q, EpY X, W q ÊpY Xq.
24 ËÃ 43. Þ ý» Î p ÞǑÖý. ý X Đ, Y Öý. EY. LpY X nq Bpn,pq: EpY X nq np ñ EpY Xq Xp. EY EEpY Xq pex. ξ ξ 1,ξ 2, i.i.d., X, Đ. Y ξ 1 ` `ξ X ñ EY pexq peξq. L`pξ 1,,ξ X q X n L`pξ 1,,ξ n q.
25 . Polya. b, r. Þ è, è ûè c. B n ½n ð, ÃP pb n q ÈX n n, Y n à Ð, P pb n`1 X n iq Xn b`r`nc. i b `r `nc : y i. b b`r. P pb n`1 q ÿ i ÿ i P px n iqp pb n`1 X n iq P py n y i qy i EY n.
26 X n`1 X n `c 1 Bn`1 : EpX n`1 X n q X n `c Y n Y n pb `r ` pn `1qcq, EpY n`1 X n q Y n. Ùð, EY n`1 EY n EY 0 b b `r. P pb n`1 q EY n b ě 0.
27 . U 1,U 2, i.i.d. Up0,1q. ÈS n U 1 ` `U n. EX, X : inftn : S n ě 1u. ¹X a : inftn : S n ě au. Èfpaq EX a. æfp1q. X a. È ˆX b : inftn 1 : U 2 ` `U n ě bu, Ã X a 1 tu1 ěau `1 tu1 ăaup1 ` ˆX a U1 q 1 `1 tu1 ăau ˆX a U1. ˆX b U 1 Ô, ˆX b d Xb., Er1 tu1 ăau ˆX a U1 U 1 xs Ep1 txăau ˆX a x q 1 txăau fpa xq.
28 fpaq 1 ` şa 0 fpyqdy, 0 ă a ď 1: fpaq e a : Ep1 tu1 ăau fpa U 1 qq ż a 0 fpa xqdx. f 1 paq fpaq ñ plnfpaqq 1 1 ñ fpaq Ce a. Ǒfp0q 1, C 1. EX fp1q e.
29 à«4.2 ૳ E X ă 8. EpX EXq 2, à ǑX à«(variance), ÈǑvarpXq ùdpxq. σ X : a varpxq ǑX ÁÇ«/à«(standard deviation). (ùþ4.2.1) (moment): EX k, EpX EXq k, Ee ax. (ùþ4.2.5)
30 Ç : E X ă 8, px EXq 2 X 2 2pEXq X ` pexq 2, varpxq EX 2 pexq 2. à«: EX 2 ă 8. à«ù : E X ă 8, EX 2 8 varpxq EpX EXq 2 8. à«ð Æ: X d Y ÃvarpXq varpy q. õþ:. varpxq 0, Ã X EX.
31 : varpa `bxq EpbX bexq 2 b 2 varpxq. ÁÇÞ: X X µ, EX 0, varpx q 1. σ
32 & X Bp1,pq, X 2 X, varpxq p p 2 pq. Y d 1 A1 ` `1 An, A 1,,A n. (1) Y 2 ř i,j 1 A i 1 Aj ř i,j 1 A i A j, (2) EY 2 ř i,j P pa ia j q. varpy q ÿ P pa i A j q i,j ÿ P pa i q i 2.
33 X P pλq. varpxq EX 2 pexq 2. (1) EXpX 1q: 8ÿ k 0 kpk 1q λk k! e λ 8ÿ l 0 (2) EXpX 1q `EX λ 2 `λ, varpxq λ 2 λ. λ 2λl l! e λ λ 2.
34 X Upa,bq. U Up0,1q: X Upa,bq, varpxq: EU 2 ż 1 0 x 2 dx 1 3, varpuq U X a b a Up0,1q. varpa ` pb aquq pb aq2. 12
35 X Npµ,σ 2 q. ÁÇ. Z : X X µ σ Np0,1q. : EZ 2? 2 ż 8 2π 0 x 2 e x2 2 dx 2? 2 ż 8 e x2 2 dx 1. 2π 0 varpxq varpµ `σzq σ 2 varpzq σ 2.? 2π ż 8 0 xde x2 2
36 Chebyshev s (4.2.10): Ý : P paq E1 A. P p X EX ě εq ď varpxq ε ą 0. Y ě 1 A, Ú, ÙðP paq ď EY.. Y px EXq2 ε 2 Y ě 0; Y A ě 1. ; Y X EX r ε. (Markov )(5.2.22) r. X ě 0, ÃP px ě Cq ď EX{C.. P px ě Cq ď Ee apx Cq, a ą 0.
37 Æ૳ EX 2,EY 2 ă 8. (ùþ4.2.3) EpX EXqpY EY q. ǑX, Y Æà«(covariance), ÈǑcovpX,Y q ùσ X,Y. à«: varpx `Yq E 2 px `Yq pex `EY q varpxq `varpy q `2EpX EXqpY EY q. Ô Ã varpx `Yq varpxq `varpy q.
38 Ç : px EXqpY EY q XY pexq Y X pey q ` pexq pey q. Ùð, covpx,y q EXY EXEY. Î ø, X ax `c, Ỹ by `dñ covp X,Ỹ q ab covpx,y q.
39 Cauchy-Schwarz s (ùò4.2.1): pexy q 2 ď EX 2 EY 2. ä 0 ă EX 2,EY 2 ă 8. Đ : XY ď 1 2 px2 `Y 2 q. ø : fptq EptX `Yq 2 pex 2 qt 2 `2pEXY qt `EY 2 ě 0. iff Dt 0 fpt 0 q 0 iff Y t 0 X. t 0 EXY EX 2, fpt 0q EX2 EY 2 pexy q 2 EX 2. Hölder s : 0 ă k,l ă 8, 1 k ` 1 l 1, EXY ď pe X k q 1{k pe Y l q 1{l.
40 . L 2 0 tx : EX2 ă 8,EX 0u. L 2 0 ð èñ. Ë. iff ³. Đ: Æθ: xx,y y : EXY covpx,y q. }X}? EX 2 σ X. xx,y y }X} }Y } cosθ ñ cosθ covpx,y q σ X σ Y.
41 0 ă σ 2 X,σ2 Y ă 8. ρ X,Y : σ X,Y σ X σ Y covpx,y q a varpxqvarpy q. ǑX, Y ( ) ³, ßÈǑρ. (ùþ4.2.3) X ax `c, Ỹ by `d, à ρ X,Ỹ ρ X,Y (ab ą 0) ù ρ X,Y (ab ă 0). ρ ď 1: ρ X,Y ρ X,Y covpx,y q. ρ 1 iff Y X iff Y ax `b, a ą 0; ρ 1 iff Y X iff Y ax `b, a ă 0. ρ EX Y xx,y y cosθ.
42 Ã ³: covpx,y q 0, ą 0, ă 0. Ã ³ (ùþ4.2.4): ρ 1, 1. Ã ³.! : X Np0,1q, Y X 2.
43 U Up0,2πq. X cosu, Y cospu `aq. Y cosû d X, Û Up0,2πq. à«: EX 0, EX EX 2 1 ż 2π cos 2 θdθ 1 2π 0 2 Æ૳. ρ X,Y cosa: covpx,y q EXY 1 ż 2π cosθcospθ `aqdθ 1 2π 0 2 cosa. a 0: Y X, ρ 1, ³. a π: Y X, ρ 1, à ³. a π 2 ù 3π 2 : ρ 0, ³, ð.
44 . A, B ð( ). A, B Ã ³: P pabq ą ă P paqp pbq. covp1 A,1 B q E1 A 1 B E1 A E1 B P pabq P paqp pbq. A, B ³ iff A B Ô. ( ï4.2.5). A» èð ¼, B» ð ¼. è, ³( ) vs è, Ã ³. P pabq P paqp pbq ď 1 4. (4.2.31), ËÃè45. ρ A,B : P pabq P paqp pbq a P paqp1 P paqq a P pbqp1 P pbqq. p4.2.30q
45 .. px,y q ç, Ãρ X,Y ρ (4.2.28). 1 ppx,yq a e 1 2p1 ρ 2 pu2 2ρuv`v2 q q, 2πσ 1 σ 2 1 ρ 2, u x µ 1 σ 1, v y µ 2 σ 2. ùò3.2.1, X Npµ 1,σ 2 1 q, Y Npµ 2,σ 2 2 q. U : X, V : Y çǒˆppu,vq. ρ X,Y EX Y ρ. (4.2.28) ij u v ˆppu,vqdudv ż ż 1 u v?? a e 1 2p1 ρ 2 ppu ρvq2`p1 ρ2 qv 2 q q dudv 2π 2π 1 ρ 2 ż ρv v 1? 2π e v2 2 dv ρez 2 ρ.
46 px,y q Ð. Ã X,Y ³(ρ 0) iff Ô (p X,Y px,yq p X pxq p Y pyq) X,Y Np0,1q, ρ X,Y 0,. ppx,yq ppxqppyq ` 1 2π e π2 gpxqgpyq ppxq 1? 2π e x2 2, gpxq cosx 1t x ăπu.
47 X px 1,,X n q T Æ: : EX pex 1,,EX n q T, Æà«Å: Σ pσ ij q nˆn, σ ij covpx i,x j q. (4.2.18). Σ ù:, x T Σ x ÿ σ ij x i x j ÿ x i x j EpX i µ i qpx j µ j q i,j i,j Σ ù : ÿ E x i px i µ i q i 2 ÿ x i px i µ i q 0, pa.s.q ñ x 1 x n 0. i, Σ ùiff 1,X 1,,X n ³..
48 : EY 2 ă ŷ P R Qp q, µ: Qpvq : EpY vq 2 }Y v} P R. Á: áǒ0. Y v py ŷq ` pŷ Qpvq Qpŷq ` pŷ vq 2 `2pŷ vq EpY ŷq. ŷ EY. (4.2.8). µǒ µ, v 0 Đ EpY ŷq 2 EY 2 Eŷ 2 varpy q.
49 2. â, ˆb P R Qpa,bq : E`Y pa `bxq 2, a,b P R., EX 0, EX 2 1. â EpY ˆbXq EY: Y pa `bxq py bxq a. ¹Y 0 Y EY, ÃÞǑ ˆb fp q. ( ) µ á. fpbq Qpâ,bq EpY 0 bxq 2. Y 0 bx py 0 ˆbXq à pˆb bqx. fpbq fpˆbq ` pˆb bq 2 `2pˆb bq EpY 0 ˆbXqX. ˆb EXY 0 covpx,y q. E`Y â ˆbXq 2 EY02 EpˆbXq 2 Ç», ρ X,Y 1 Y â `ˆbX. 1 ρ 2 X,Y σy 2.
50 3. ˆψp q Qp q. Qpψq EpY ψpxqq 2, ψp q EψpXq 2 ă 8. µ: Y ψpxq py ˆψpXqq à pˆψpxq ψpxqq., E E`Ep Xq E ˆψpXq EpY Xq ϕpxq. è, `EpY Xq ˆψpXq. E`Y ϕpxq 2 EY 2 EϕpXq 2.
51 4.4 ½ø ñ, á ð êã á. P px kq p k, k ě 0. 8ÿ p k s k, s P r 1,1s k 0 ǑX ½ø (generating function), ÈǑg X psq ùgpsq. Ä : gpsq Es X p 0 `p 1 s `p 2 s 2 ` `p k s k `. ½ø ǑÜ : X d Y iff g X g Y. g pkq p0q p k ě 0.
52 gpsq p 0 `p 1 s `p 2 s 2 ` `p k s k ` Es X. : s P p 1,1q, g 1 psq p 1 `2p 2 s ` `kp k s k 1 ` EXs X 1, g 2 psq 2p 2 ` `kpk 1qp k s k 2 ` EXpX 1qs X 2. g plq psq EXpX 1q px l`1qs X l., EX g 1 p1q : lim sñ1 g1 psq, pex ă 8 or EX 8 q EX 2 g 2 p1q `g 1 p1q X Gppq. gpsq 8ÿ q k 1 ps k k 1 ps 1 qs.
53 : X Y, Ãg X`Y psq g X psqg Y psq X Bpn,pq X P pλq. Es X`Y Es X s Y Es X Es Y. g λ psq g n psq pq `psq n. 8ÿ k 0 s k λk k! e λ e λps 1q.
54 : ξ ξ 1,ξ 2, i.i.d., W. (1) : ¹X ξ 1 ` `ξ W, Ãg X g W g ξ. Eps X W kq Eps ξ1` `ξ k W kq E g ξ psq k. (2) : : Es X EpEps X W qq E `g ξ psq W g W pg ξ psqq g W g ξ psq. EX gxp1q 1 gw 1 pg ξ p1qqgξ 1 p1q EW Eξ. EX EppEpX W qq EpW Eξq EW Eξ.
55 Ø : W P pλq, Ã X ξ 1 ` `ξ W ½ø Ǒ X Ð Ø. g X psq exp tλ pg ξ psq 1qu W P pλq, ξ Bp1,pq. g X psq exp tλ pq `ps 1qu e λpps 1q. : X,Y,ξ Ô, ξ Bp1,pq. ¹ Ã g W p g X ` p1 pq g Y. W X 1 tξ 1u `Y 1 tξ 0u,
56 4.5 Æø Ee itx EcosptXq `? P R ǑX Æø (characteristic function), ÈǑf X ptq ùfptq. x `iy px,yq. e itx pcosptxq,sinptxqq. ï1. fp0q 1. }fptq} }Ee itx } ď E}e itx } 1. ϕ : x `iy ÞÑ }x `iy} a x 2 `y 2 ðø.
57 ï2. f èç : (1) } } : ą 0, }fpt `εq fptq} ď E}e ipt`εqx e itx } E}e iεx 1}. EY EY 1 t X ďmu `EY 1 t X ąmu. (3) M P p X ą Mq ă δ 4, Ã ď2 P p X ą Mq ă δ 2, ď max x ďm }eiεx 1} ď εm ă δ 2, p ε ă δ 2M q.
58 ï3. f 1,,t n P R, ¹a ij fpt i t j q, Ã A pa ij q nˆn ù, i.e. piq ĀT A, piiq ÿ a ij λ i λ j ě 1,,λ n P C. i,j Ý(i): Èt t j t i. fp tq Ee ip tqx Ee itx fptq. p4.5.13q Ý(ii): ÿ a ij λ i λ j ÿ Ee ipt i t j qx ÿ λ i λ j E λ j e it jx i,j i,j j 2 ě 0.
59 Bochner-KhinchineùÒ(ùÒ5.2.9): f : R Ñ C Ú fp0q 1,, ù, ÃĐ X f f X. & è (ùò ): ż T e ity e itx F pxq F pyq lim P CpF q. T Ñ8 T it (ùò4.5.3) ş }fptq}dt ă 8. Ã ø F ppxq F 1 pxq 1 ż 2π e itx fptqdt. p4.5.25q.
60 ï4. : X Y, Ãf X`Y ptq f X ptqf Y ptq. (1) X Bpn,pq, f n ptq pq `pe it q n p1 `ppe it 1qq n. (2) X P pλq, f λ ptq e λpeit 1q. : X,Y,ξ Ô, ξ Bp1,pq. ¹W Xξ `Yp1 ξq, Ãf W pf X ` p1 pqf Y. ï5. EX k Đ, Ãf pkq p0q i k EX k, fptq 1 `f 1 p0qt ` f 2 p0q 2! ï6. f ax`b ptq Ee itax`itb e itb f X patq. t 2 ` ` f pkq p0q t k `opt k q. k!
61 X Npµ,σ 2 q. Z X Np0,1q: ( Ç ) X µ `σz: f Z ptq? 1 ż 2π? 1 ż 2π e x2 2 `itx dx e 1 2 px itq2`1 2 pitq2 dx e t2 2. f X ptq Ee itpµ`σzq e itµ 1 2 σ2 t 2.
62 á å Æø Æø : f X p tq Ee i t X Ee ipt 1X 1` `t nx nq. : f X p tq Ñ F X p xq. ï( ). Æ:, f X ptq f X,Y pt,0q. X Y iff f X,Y pt,sq f X ptqf Y psq. X Y ñ f X`Y ptq f X ptqf Y ptq..
63 ê Þ. 4.6 µ P R n ( å), Σ Ǒn ˆn ùå. È ç: p X p xq X px 1,,X n q T Np µ,σq. " * 1? n a 2π Σ exp 1 2 p x µqt Σ 1 p x µq. n ááç Z pz 1,,Z n q T Np 0,Iq. ç: p Z p zq 1? 2π n exp», Z 1,,Z n i.i.d., Np0,1q. " 1 2 } z}2 *.
64 Z Np 0,Iq, A ê Þ, Ã Y : µ `A Z Np µ,σq, pσ AA T.q Ý: py p yq p B z Z p zq B y Cexpt 1 2 } z}2 u. } z} 2 }A 1 p y µq} 2 p y µq T A 1,T A 1 p y µq X Np µ,σq. A? Σ. Ã, D V Ú: p y µq T paa T q 1 p y µq. X d Y ñ V : A 1 p X µq d Z. V Np 0,Iq, X µ `A V. è, X ê Þ Ðn á.
65 Ô Æø. Np 0,Iq: f Z p tq Ee i t Z nź Ee it kz k k 1 nź k 1 e t2 k {2 e 1 2 } t} 2. Np µ,σq: X µ `A Z, A? Σ, AA T Σ. f X p tq Ee i t p µ`a Zq e i t µ Ee ipat tq Z " e i t µ e 1 2 }AT t} 2 exp i t µ 1 * 2 t T Σ t. µ P R n, Σ nˆn ù. X Æø Ǒ, Ã X ÐÔ Np µ,σq. Ǒ X Ǒè Ô å. µ `A Z Np µ,σq, A? Σ. Σ ê Þvs Þ. Ô å û ÐÔ.
66 Æ. X Np µ,σq. ( Σ ù.) X d µ `AZ : Y, A pa ij q nˆn? Σ. : EX µ. EX i EY i Epµ i `a i1 Z 1 ` `a in Z n q µ i. Æà«Å: pσ ij q pcovpx i,x j qq Σ. covpx i,x j q E ÿ k ÿ a ik Z k a jl Z l ÿ ik a jl ˆEZ k Z l k,la l ÿ k a ik a jk σ ij.
67 ùò (ùò4.6.6) X Np µ,σq 1,,a n P R, Y : ř n k 1 a kx k Npµ,σ 2 q. ñ: Ee ity Ee ipta 1,,ta nq X exp it ř n k 1 a kµ k 1 2 t2` a T Σ a (. ð: (1) Æ: EX 2 i ă 8. ¹E X µ ; X Æà«ÅǑΣ. Ð µ EY ř n k 1 a kµ k, σ 2 covpy,y q a T Σ a. (2) Æø : Ee i t X Ee i 1 řn k 1 t kx k exp " " exp i t µ 1 * 2 t T Σ t. iµ 1 2 σ2 * p a tq
68 Æ. Í : Y Np ν,σ 11 q: X py 1,,Y r ; W r`1,,w n q T, µ pν 1,,ν r ; w r`1,,w n q T. Σ11 Σ 12 Σ. Σ 21 Σ 22 f Y p sq f X p s; 0q exp " i s ν 1 * 2 st Σ 11 s. Y i W k ď r ă k ( Σ 12 0 ) ô Y W : Σ 12 0 ñ f X p s; uq f Y p sqf W p uq.
69 Σ nˆn Þ ì». X Np 0,Σq. : Đ V Np 0,I nˆn q M nˆn X M V. ÈA pa ij q nˆn? Σ, Z Np 0,I nˆn q, Ã X d A Z : py 1,,Y r ; W r`1,,w n q T. r rankpaq ě 1. ¹ α i pa i1,,a in q. ä r ½ α 1,, α r ³, α k b k1 α 1 ` `b kr α r, k r `1,,n. W B pn rqˆr Y: Yi α i Z, i ď r, W k α k Z b k1 Y 1 ` `b kr Y r, k r `1,,n.
70 X k a.s. b k1 X 1 ` `b kr X r, k r `1,,n. X k pb k1 X 1 ` `b kr X r q d W k pb k1 Y 1 ` `b kr Y r q 0. px 1,,X r q T d Y py 1,,Y r q T Â Z Ð : Ǒ α 1,, α r ³, ˆΣ rˆr ÂÂT Σ 11 í, Â rˆn pa ij q 1ďiďr,1ďjďn. Σ ê Þì» ÂĐ, px 1,,X r q T C rˆr V,, V Np 0,I rˆr q. : V pv 1,,V r ;V r`1,,v n q T Np 0,I nˆn q X M V,, M C 0 BC 0.
71 . X py 1,,Y r ;W r`1,,w n q T Np µ,σq. Σ11 Σ 12 Σ. Σ 21 Σ 22 Y Ð, Σ 11 ê Þ. Lp W Y yq. ä E X 0, ÃĐ X E X. Á: B pn rqˆr V p W B Y q Y ³, covpy i,v k q EY i V k 0, i ď r ă k. µö: py 1,,Y r ;V r`1,,v n q T ÐÔ, Ä Y V Ô.
72 Æà«: i ď r ă k, covpv k,y i q E W k ÿ b kj Y j Y i jďr σ ki ÿ b kj σ ji pσ 21 BΣ 11 q ki. jďr B Σ 21 Σ Ùð Y V, W B Y ` V. V W BY Np 0, Σ 22 q, EV k V l E W k ÿ b kj Y j V l EW k W l ÿ b lj Y j jďr ñ Σ 22 Σ 22 Σ 21 Σ 1 11 Σ 12. : Y y, W B y ` V, Lp W Y yq NpB y, Σ 22 q. jďr
73 . ËÃÒ 41. p X,Y px,yq, ppx,yq 1 2π exp " 1 2 (1) ppx,yq ÞǑÁÇ». `2x2 `y 2`2xy 22x 14y`65 *. ³ á, σ 2 1 1, σ2 2 2, σ 12 1: 2x 2 `1 y 2 `2xy 22x 14y ` apx µ 1 q 2 `cpy µ 2 q 2 `bpx µ 1 qpy µ 2 q, a b{ Σ 1 ñ Σ. b{2 c ³ è á, µ 1 4, µ 2 3: 22 2aµ 1 bµ 2 ; 14 2cµ 2 bµ 1.
74 ËÃÒ 41 ( ). ppx,yq 1 " 2π exp 1 `2x2 `y 2 `2xy 22x 14y`65 *. 2 (3) p X Y px yq. 1 p X Y px yq 9 ppx,yq: Ĉ y?, 2πˆ1{2 " p X Y px yq C y exp 1 # Ĉyexp * q 2 p2x2 `2py 11qx 1 ˆ x 1 p11 yq 2 ˆ1{
75 ( Ä ). Đ : : (1) ç. σ 2 1 1, σ2 2 2, σ 12 1, µ 1 4, µ 2 3. Σ 1 : Σ 1 ˆ2 p 1q ˆ p 1q 1, 1 1 Σ ñ Σ p X,Y px,yq: # π? 1 exp 1 px 4,y 3q x 4 y 3 +.
76 ( Ä, ). Đ : : (2) p X Y px yq. σ 2 1 1, σ2 2 2, σ 12 1, µ 1 4, µ 2 3. ÈX 0 X EX X 4, Y 0 Y EY Y 3. λ W : X 0 λy 0 Y 0 ³(, ), λ EX 0 Y 0 {EY 2 0 X µ 1 λpy µ 2 q à px 0 λy 0 q. covpx,y q{varpy q 1{2. î EW 0, varpw q EX 2 0 λ2 EY 2 0 σ2 1 λ2 σ Ä X: X µ 1 W `λpy µ 2 q, X W ` pµ 1 λµ 2 q `λy W Y 2 ` : Y y, X W y 2 ` 11 2, LpX Y yq N pp11 yq{2, 1{2q.
77 è», е X, µ Y, σ X, σ Y, σ X,Y. : p X X`Y px yq,p X Y `a1 Z 1` `a nz n px yq,. (1) Đ X 0 : X µ X, Y 0 : Y µ Y, Ŷ0 Ŷ ˆµ., ˆµ EŶ µ X `µ Y ùµ Y `a 1 EZ 1 ` `a n EZ n. (2) λ W 0 : X 0 λŷ Ŷ ³, µ λ σ X,Ŷ. σŷ, Ŷ î, EW 0, σ 2 W σ 2 X λ 2 σ 2 Ŷ. (3) Ùð, X µ X `W `λpŷ ˆµq. (4) Ŷ y, X W `µ X `λpy ˆµq, LpX Ŷ yq Npµ X `λpy ˆµq,σ 2 W q.
x = 10±0.1 y = 5±0.02 z = 20±0.4
ÆÙÑ Ö Ù Ñ Þ Ö ¹ ÆÙÑ Ö Ù Ò Ð Þ Ý ÓÖÐ Ð ØÓ Å Ã ½ ¹ Å Ã ½ ½ ĵ ¹ Å Ã ½ ĵ Æ ÑÓ Ö Ñ Ø ÓÖ ÙÒ ¹Ñ Óк Ù Å ÓÐ Ý Ø Ñ Ô ÞÑ ÖÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ã Ö Ð ÐÑ ÞÓØØ Å Ø Ñ Ø ÁÒØ Þ Ø Ì Ò Þ ¾¼½ ¾ Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½º ÃÐ Þ Ù Þ Ñ Ø ¾º Å ØÖ
RészletesebbenÅ Ò Ñ Ò Ð Þ ËÞ Ð Á ØÚ Ò ÄÌ Ã Ñ ÁÒØ Þ Ø Ôº ½
Å Ò Ñ Ò Ð Þ ËÞ Ð Á ØÚ Ò ÄÌ Ã Ñ ÁÒØ Þ Ø Ôº ½ Ò ÓÒÓ Ð Ñ Ð ØÖÓÒ ÓÒ ÙÖ ÇÜ Þ ÑÓ ÁÓÒÓ +3 ÀÈÇ 2 3 È 2 Ô 3 +1 ÈÀ 2 Ç 2 +5 ÈÇ 3 4 +5 È 2 Ç 4 7 +5 ÈÇ 3 µ n 2 Ô 3 +3 Ç 3 3 +5 Ç 3 4 Ôº ¾ Ò ÓÒÓ Ð ØÖÓÒ ÓÒ ÙÖ ÇÜ Þ ÑÓ
Részletesebbenö á é á á á á ö é ő á é é í é ü é í á é ő é í ő á á á á ö é é í á á á á á é ő á á é é ő é á é é ő é é á ő á á í é é é ö ö ö ö é é á í ö í é é éé ö á á á ö á á á é ú é é ö ü ő á é é ű ö é Ó Á Ó é é é É
RészletesebbenÜ Á Á ó Ü É É Ó Á É ó ó á ó á É á é é ö é é ó é é á á á úé í ú é ö é ó á á á í é ö í á á Ö é é á é ó é é é é ó é ü í í á á á ö é á é é é é é ó é Ü ő á é í ó ó ö ü í á á í ü á á ó á íí ó á ó ő á é é ö ö
Részletesebbená é é é é é é é é á é é é é á ú ó é ő á ő á é ű é á ó é é ő é ú ő á é é őá é é é é é é é á ő ö ő ö é á é ő é éé é é é á ő á é ő é á ó á ú á á é á é őí
é é í á é é á é ő é ú ó ő é é í ő á é ő ő é ö á á ó í ú á á á é é á é é í é é é ő á á á é ö é é é á é é í é á á é á é á á í é é á á é á é ö é é é é é ü é á é é ö á á á é é é é ő é é á ú ű é á é ő é é ü
Részletesebbenű ü Á
ű ü Á ó é ó ö é é Á é ó í ú Á ő íö ü ö üó é ü ü ú ö ó ü ó ü ó ü ü é í ü Ó ú íí Ó é é Ó ü ó ó ü ó ü ü ü ö ó óü ó ó ó í ü ö ü í ó ü ü É ú ú ü É í É ó ü ó ó ü ü é Á ó Á ó ó é ü ó Á é ü í é ó ö üé ó ó ó ü
RészletesebbenÅ Ò Ñ Ò Ð Þ ËÞ Ð Á ØÚ Ò ÄÌ Ã Ñ ÁÒØ Þ Ø Ôº ½
Å Ò Ñ Ò Ð Þ ËÞ Ð Á ØÚ Ò ÄÌ Ã Ñ ÁÒØ Þ Ø Ôº ½ Á Ñ Ö ØÐ Ò ÒÝ Ó Ò Ð Þ ½º Ð Ú Þ Ð ØÓ ¾º Þ ÒÝ Ó ÓÐ ÐØ Ö ÖÓÒ ÓÐ µ º Ý Þ Öò ÒÝ Ó ÞÓÒÓ Ø º Þ Ø ØØ Ò Ð Þ Ö ÞÐ ÐÚ Ð ÞØ Ó º Þ Ø ØØ Ò Ð Þ ÓÔÓÖØÖ Ø Ú Ð Ôº ¾ Ð Ú Þ Ð ØÓ
RészletesebbenLEGYEN MÁS A SZENVEDÉLYED!
E g y ü t t m z k ö d é s i a j á n l a t L E G Y E N M Á S A S Z E N V E D É L Y E D! 2. E F O P - 1. 8. 9-1 7 P á l y á z a t i t e r v e z e t 3. 0 ( F o r r á s : w w w. p a l y a z a t. g o v. h u
RészletesebbenÚ Á Ü É ő ö ó ó ő Ü ö Ó ő ú ó ö ő ú ű ű ö ú ö ó ü ö ő öü ő Ú ö Ü ű ó ü ű ő ö ő óü ó ó ő Á Á ó ó Ü ó ó ü Ü ö Á ő ő ó ö ó ü ő ö ó ö ő ó ú ú ó ő ó ó ú ü Ú Á Á É Ü É Ú ü Á É ő ü ÉÉ É Ü ó Ö ó ó ö ö ő óü ó ü
Részletesebben2 Å Ø Ð ÒØ Þ Ó Ý Ý Ö Ð ØÖ ÒÞ Ø Ú Þ ÑÑ ØÖ Ù ÐÐ ØÚ ÓØ Ñ Þ äþ Ð Ñ Þ Ñ Ö Ð Ò Ñ Ð Å Ø Ð ÒØ Þ Ó Ý Ý Ö Ð ÒØ Þ ÑÑ ØÖ Ù ÐÐ ØÚ ØÖ ÓØ Ñ Þ äþ Ð Ñ Þ Ñ Ö Ð Ò Ñ Ð Å
ÎÁ Ë Æ Ã Ö ½¹½ ÔÓÒص Å Ð Ø ÔÖ ØÙÑÓ ÖØ ÀÓ Ý Ò ÐäÐ ÅÓÒ ÓÒ Ð Ð ÖÓÑ Ô Ð Ø ÔÖ ØÙÑÖ º ËÓÖÓÐ Ð ÐÓ Ð Øº Å ÐÝ Ò Ú ÒØÓÖÓ Ø Ñ Ö Å Ð ÀÓ Ý Ò Ô Ù ÐÓ ÓÖÑÙÐ Ø Å ÓÖ Ú Ò Ý Ú ÐØÓÞ Ý Ú ÒØÓÖ Ø äö Ò Å ÒÝ ØÓØØ Ñ Þ ÖØ ÓÖÑÙÐ ÅÓÒ
RészletesebbenE0 sin ωt, D = ǫ. σ ν2πǫ, ǫ 1, σ ( ) 1 s.
Ä ÃÌÊÇ ÁÆ ÅÁà ½½º Ð µ E = E0 sin ωt, D = ǫ E, D t = ωǫ E 0 cosωt = ν2πǫ E 0 cosωt, j = σe = σe0 sin ωt, j D t max = max σ ν2πǫ, ǫ 1, σ (10 16 10 17 ) 1 s. Þ Ð ØÖÓØ Ò Ò Ð ÓÖ ÙÐ Þ Ö Ú Ò Ö ÒØ ÒÝ Ó σ 1 νπǫ
Részletesebben) 89: ;!"# `a b c `a "# H 8 # - 67 N8 NT K 6 *7 N QN = 8 E * M 8 () N 8 #? - 8 b M 8 b % -8 b *? - b $%& ' & ()* +, && %( )* +,- +.! )+ #! ( *'
23456 7) 89: ;!"# `a b c `a "# H 8 # - 67 N8 NT K 6 *7 N QN = 8 E * M 8 () N 8 #? - 8 b M 8 b % -8 b *? - b $%& ' & ()* +, && %( )* +,- +.! )+ #! ( *' (!7(!!#"**7 '#+%,$% % & &$*!' #+%,%$ * */ #*$( */#+%'#
RészletesebbenÐ Þ Ù Þ Ø Ö Ý ÐÓ ÞØ Þ Ø Ö Ý Ø ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝÓ Ý Ð Ô Ö ÀÓ Ý Ò Ñò Þ ÙÒ Ú ÖÞÙÑ Ð ÔÚ Ø Ó ÐÑ Ø Ö ÒÝ Ñ Þ Ò Ö Ö Ú Ø º
Þ ÆÝ ØÖ Ý Ö ÐÝ È µ ÈÌ ÈÅÅÁÃ ¾¼½ º ÒÙ Ö º Ð Þ Ù Þ Ø Ö Ý ÐÓ ÞØ Þ Ø Ö Ý Ø ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝÓ Ý Ð Ô Ö ÀÓ Ý Ò Ñò Þ ÙÒ Ú ÖÞÙÑ Ð ÔÚ Ø Ó ÐÑ Ø Ö ÒÝ Ñ Þ Ò Ö Ö Ú Ø º Þ Ø Ö Ý ÐÓ ÞØ Ð Þ Ù Þ Å Ò Ì ÖÑÓ Ò Ñ Ð ØÖÓ Ò Ñ ÇÔØ
Részletesebbené ő é ó á é ő ó í á á é ö é á é í é á á é é ű á é ö ö ö ó é ü ö ö ő é ó é ő á í á é í é é á á é í ű ö é Í é ü ö é ó é ü á ű é á ö á Í é ő é á á ó ő é
É Ö É Á í É Ó Á ö é é ö ö é é é é ó ü ö ü ö ö ő é ó é ó á í í á ó Í é á ö é ü é ó ő ő ő á é á é é í é é í á ö é é í é é á í ú é á á ő í é á é Í é é ü ö ö ő ű á á á ó á Íü é é í é ü ő ö é é ó ó í á á á
RészletesebbenΨ = α 0 > +β 1 > ØÓÚ α 2 + β 2 = 1. Ψ = cos θ 2 0 > +eiϕ sin θ 2 1 >
ÃÚ ÒØÙÑ Ò ÓÖÑ Ø Ð Ô Ó ÐÑ ØØÔ»» ØÔº ØÓÑ º Ù»ÀÇÅ ¹È»Ð ØÙÖ» Ú Ò ºÔ Ø Ù Ø ÙÐÐ Ñ Ú ÒÝ Þ ÓÑÐ ýðð ÔÓØÓ Þ ÓÒ ÃÚ ÒØÙÑÐÓ ÔÙ ÃÚ ÒØÙÑØ Ð ÔÓÖØ Ë Ö ÓÐ ÃÚ ÒØÙÑ Ö ÔØÓ Ö ÃÚ ÒØÙÑ Þ Ñ Ø Ô ½ Ø ÃÙ Ø Ø Ø ÐÐ ÔÓØ Ð Þ Ù Ö Ò Þ
Részletesebbení á á á í á á á ő í ő ö ö ó ó á á ü á á ö í ó á á ö ű á ú á ü á ö á ő ő ő á á ő ő á á ő ő á ő á í á ó á í ó ó á í ó ö á ö í á í ő ö í ó ö í űö ű ó ö ü
í á á ó á á ó á ő á ő á ó á ő á á á ú ó á á á ú ó á á ó á á á á á á á á ú á á á á á á ó í á á Á á á Í á ű ö ő á á í á ö í á á á ó Ú á á ö ű ö á á á á á ö ö ó ű ö á ő ó á ó ő á á á ö ó ó í á ü ö á á ű ö
Részletesebben!" #$%& ' % '( ) # # '( KLMNO!./0 1 5 H `a )5,) ) ( ;E ) \ J& ] ) 1.^ <B5 ` A) c HE )`7? ; ^ ) : ;;/,!] ) 1.` A ^ N0< ;:)I >? 7) >S,-Q 1. M "2 1.` A M
!" #$%& ' % '( ) # # '( KLMNO!./0 1 5 H `a )5,) ) ( ;E ) \ J& ] ) 1.^ ? 7) >S,-Q 1. M "2 1.` A M ^!"#$ :011%&' 11% $. */*-.*: 7 D] " @ W$ Z? ) ) b
RészletesebbenÐ Þ Ù Þ Ø Ö Ý ÐÓ ÞØ Þ Ø Ö Ý Ø ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝÓ Ý Ð Ô Ö ÀÓ Ý Ò Ñò Þ ÙÒ Ú ÖÞÙÑ Ð ÔÚ Ø Ó ÐÑ Ø Ö ÒÝ Ñ Þ Ò Ö Ö Ú Ø º
Þ ÆÝ ØÖ Ý Ö ÐÝ È µ ÈÌ ÈÅÅÁÃ ¾¼½ º ÒÙ Ö ½ º Ð Þ Ù Þ Ø Ö Ý ÐÓ ÞØ Þ Ø Ö Ý Ø ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝÓ Ý Ð Ô Ö ÀÓ Ý Ò Ñò Þ ÙÒ Ú ÖÞÙÑ Ð ÔÚ Ø Ó ÐÑ Ø Ö ÒÝ Ñ Þ Ò Ö Ö Ú Ø º Þ Ø Ö Ý ÐÓ ÞØ Ð Þ Ù Þ Å Ò Ì ÖÑÓ Ò Ñ Ð ØÖÓ Ò Ñ ÇÔØ
Részletesebbená ü ö ö ö ő í á ő ú á á ó í á ö öá á á ö á á á ő ö í ú ű ű ö ú í í ű ő á ő ü ó á ó ő í ííá ö á ó á ő ű ö ű á á á á ü í ő á í á á ü í á á í á á á ó ű ö
Ő É Ü Ű Á Ó É Í Á Á ű ó á á ö í á á á í á á ó ú ö á ü ü ü í á ó í ű á á á í á á ú á á ö ó á ö ű ö ő í á á ö ü ű ö ü á í ü ú ő ű ű ö í ü ö ú ű í á á ö ü á ó á ó ű ö ö ö í ü á í á ö á á á á á á ó ó ó ú ú
Részletesebbenó í ó é é ó ö é ö ű ó é é é á é é é ú ő é á é ó ö á é é é é á á ö ú ő é é í é á ő é ú Ö í ö á á ú é é á á ö ú ő é á á á é é ó ö ú ő é ö ű ő é ő ó ű ő
ó ú á á ő é ó ó ó á é é á é ú á Ö á á ú ó é á é ó ö á ö é é é é é é é ő é ő ú á ö ö ű ő é é ó ö á á é é ő é ö é é ö ö ó É é ö á ú á í á é ó é ú Ö ö á á ú é é á é á é ú é é á ö á é ö é é ó á á á ó ö ú ő
Részletesebben¹ÐÓ Ó ¹ ÐÔ Ö ÓÐ Ô ÓÐ Ø ÓÖÓ È Ø Ö Ä ÑÔ ÖØ Å Ø Å Ò ÓÖ ¾¼¼ º½¾º½½º ÓÖÓ È Ø Ö Ä ÑÔ ÖØ Å Ø Å Ò ÓÖ ¹ ÐÔ Ö ÓÐ Ô ÓÐ Ø
¾¼¼ º½¾º½½º Ì ÖØ ÐÓÑ Æ ÒÝ Ó ÐÓÑ Ð Ð Ô Ö ÓÐ Ñ Ú Ð Ø Ð¹ Ô Ö ÓÐ Ô ÓÐ Ø Þ Ö Ø Ù Ú Ð Þ Òò Þ ØØ Æ ÒÝ Ó ÐÓÑ Ð Ð º = (Î, ) Ö ÓÐ Î Ó Ñ Þ Ð ÐÑ Þ Ø Ð Ð º È Ð ÙÐ L = (Z,E ) Ü,Ý Z Ó = Ü,Ý E Þ Ü¹ Ø Ý ¹Ø Þ Ø Ðº ÐÔ Ö
Részletesebbenó ó É ö ó ó é á á ö ü ű ó ö ö ő é é é ű ó á é é é ű ó é á á é ö é í é á ő é á íí ó é á á í á ő é ü á ó ő á é ó é á á á ó é é ü ő ú é é ő ó ó ő á é é ő
ó ó É ö ó ó á á ö ü ű ó ö ö ő ű ó á ű ó á á ö í á ő á íí ó á á í á ő ü á ó ő á ó á á á ó ü ő ú ő ó ó ő á ő ó á í ó í á á á ó ö í ö ö ö ö ó á ö ú ö á í á á í í ó ő á í á á ö í ü ö ó ó í á á ő á ő ü ő ö
Részletesebben½º Å rot H = 0, H t2 H t1 = 0 H t2 = H t1, ¾º Å div D = ρ D n2 D n1 = η. º Å rot E = 0 E t2 E t1 = 0, º Å div B = 0 B n2 B n1 = 0.
Ä ÃÌÊÇ ÁÆ ÅÁà º Ð µ Ð ØÖÓ ÞØ Ø ÆÝÙ Ú Ø ÐØ Ò ÐÐ Ò Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö º ½º Å Ò Ò Þ Ñ ÒÒÝ ÐÐ Ò Þ Òº ¾º Ø ÐØ Ò Ñ ÑÓÞÓ Ò Ø Ø v = 0 ØÓÚ Ò Ò Ö Ñ J = 0º Å ÜÛ ÐÐ Þ ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ú Ø Þ ÓÖÑ Ø ÐØ ½º Å rot H = 0, H t2 H t1 =
RészletesebbenTHE LITERARY WORKS OF ŚRĪMANTA ŚAṄKARADEVA AND MAHĀPURUṢA MĀDHAVADEVA
THE LITERARY WORKS OF ŚRĪMANTA ŚAṄKARADEVA AND MAHĀPURUṢA MĀDHAVADEVA Uploaded by The Literature Branch of Śrīmanta Śaṅkaradeva Saṅgha [15 th June/2012] BARGĪT The Śaṅkarī Classical (BHAKTI) songs Composed
RészletesebbenKészült a Gazdasági Versenyhivatal Versenykultúra Központjának támogatásával. 2010. november
A 2 -e g y b e n, 3-e g y b e n c s o m a g a j á n l a t o k f o g y a s z t ó i m e g í t é l é s e é s h a t áv se a r s a e n y r e a h í r k ö z l é s i p i a c o n Készült a Gazdasági Versenyhivatal
Részletesebben(rot. j n df. Hd s = F. H) n df = F. j n df = n j n df, Hd s = ni.
Ä ÃÌÊÇ ÁÆ ÅÁà ½¼º Ð µ Ø Ö Ñ Ò Ø Ö Î Ý Ò Ý Ó Þ Ö ÞØÑ Ø Þ Øò Ø Ö Øº I Ñ Ò Ø Ö Ø ÒØ Ö ÑÙØ Ø º Ñ Ò Ø Ö Ø Ö Ò Ú Ð Ý Ò Ø Ö Ð Ò Ô Þ Ð Ø Ð ÐÐ Ò ÓÑÓ ÒÒ Ø Òع Ø º À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Ø Ö Ö Ø Ø Ö Ð Òº ÁÒØ Ö Ð Ù rot H = j,
Részletesebbenöáá á á í ó á á á á é á á ó á íí ó á é ó ó á é á ó é é ó ó É Í Í á é á á á á é é í á í ó á ó é á é éé á ó á á í á Ú éá á á é ó ö ü é Í á é é ó ó é ö é
öáá á á í ó á á á á é á á ó á íí ó á é ó ó á é á ó é é ó ó É Í Í á é á á á á é é í á í ó á ó é á é éé á ó á á í á Ú éá á á é ó ö ü é Í á é é ó ó é ö é á á á ó Ó á ó í éí é á á á áí ó Í ö é ő á á á á á
RészletesebbenÉ É É é é é é é í ű ó é É ö á ó é ő ő í ó á ö ő é ö ö é ó í í ú í é é í íú ó í ó é ő é ö é í é é ó é á á é á á ó ő ű é é ő ő ő í ó é é é í é é ó á Ű é
É É É ű É ö á ő ő á ö ő ö ö ú ú ő ö á á á á ő ű ő ő ő á Ű á á á ű ö á á á Ű Á á áú ű á ú ő ü á á ő á á ü ő á á ú ö Á ő á á ő ő á ö á á ű á ü á á ö á á ü ő ü á ö á ö ű á á á ő ű ü á ö á ő á ü á ö ő á ő
RészletesebbenVÁLASZLAP ..BF.. KockaKobak Országos Matematikaverseny MINTA 2012. Kezdő feladat: KockaKobak Országos Matematikaverseny MINTA 2012.
..BF.. 1. AZ CP OJ VZ 2. DT ID WR ZX 3. AT ER NX RD 4. KF NF TF XJ 5. CV HF LD TL 6. MB SZ XD ZF 7. GB JH NL SB 8. FJ OD OP XP 9. FP PB RP WL 10. IP MH TX WX 11. BX JZ QL YB 12. HX KL MZ ST 13. FV JT VN
Részletesebbenö ú í á á í ö á á í á í őí á í á á őí á á ő á ó ü ő á á í á í á ő á á ő ő á ű ő ö ú ú ő ő ö ő á á á í ó ö ő ő ö á ó á á í á ó á á ű ó ü á á ő ö á á á
Ö É Á Áű Á Á ö ú Á í Á ö ö á ó á ú ó ű ű ü í á ó ó ő í ó í ó ó í ó ő ú ö ü á ü ü ó ö ó í ű ö ú ö á á í ö ó í á á í á á á ú ö ü ü á á íá á ú ö á ö ó á ö ú í í á á ó á ú ó ó ö í ú á ő á á ő ő í á í á ö í
RészletesebbenËÔ ÑÊ Ò À ÓÒÐ Ö ÆÝ ÐÚÑÓ ÐÐ Ã Ö ÐÑ ËÙÑÑ ÖÝ Ï Ô Ñ ÞòÖ Ñ Þ Ö ÐÓ ÒÝ Ã ÖÓÐÝ ÄÌ ÁÃ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó ØÓÖ Á ÓÐ ÅÌ Ë Ì ÃÁ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÃÙØ Ø Ð ÓÖ Ø Ö ÙÑ Ì Ñ Ú Þ Ø º ÒÞ Ö
ÐÓ ÒÝ Ã ÖÓÐÝ ÄÌ Áà ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó ØÓÖ Á ÓÐ ÅÌ Ë Ì ÃÁ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÃÙØ Ø Ð ÓÖ Ø Ö ÙÑ Ì Ñ Ú Þ Ø º ÒÞ Ö Ò Ö ¾¼½¼º Ò Ù º Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ Ú Þ Ø Ä Ò Ô Ñ Ð Ñ Ö ËÔ ÑÊ Ò Ð Ö Ð À Ú Ø ÓÞ Ð Ô ÓÒÐ Ö Ð Ô Ð Þ ØÓÖ¹ ÓÑ Ò ÆÝ ÐÚÑÓ ÐÐ
RészletesebbenE F O P
E g y ü t t m z k ö d é s i a j á n l a t K ö z ö s é r t é k e i n k s o k s z í n z t á r s a d a l o m E F O P - 1.3.4-1 6 P á l y á z a t i t e r v e z e t 2. 0 ( F o r r á s : w w w. p a l y a z a
Részletesebbení í ó ö ö í é ű é é é é é é ó é ó ó ü ö í ő í ü ö í é ö ö é í é é ü ö í ü é í é í ó ö ö ö Ó í ó ó ö í ő óá Ü ü ö í ü ü é ő ű é é é é é ü í é é í é é ö
ö É Á É É í ó Á Á É ó É í ű í é é é í é é ő ó é é ü é ó é í é é í É é é í í é ó ú í öó ó ó é ö ó ő é í ó öó é é é ü é í é ó é é é í é é í í í ó ö ö í é ű é é é é é é ó é ó ó ü ö í ő í ü ö í é ö ö é í é
RészletesebbenÁ É ő é ü ö á á ö é á é ö á á é ő á á ő á á á ő á ő é á é ő ö ó é ő é é á ó á á á á ó á á ö ö é á é Ó É á á ő á á ú ü ö á á á á é á á á á é é ő á á á á é ü á á ő ú á é á á ü ö á á á á é é á á á á ő á ő
Részletesebbenö É ü ő ő É Á ö ö Á ö ö ö Í ú Í ö ű ö ö ő ú ő ú ú ő ü ő ö Á ú Í É ü ö ü ö ö ő ö ő ö ő ő ö ő ö ő ö ö úö Í ö ü ő ü ö ő ö ű ö ő ü ű Í ö É ő Ó É Í Í É Á ú Í Ú Í Íö Í Á É ö ú Á Á Á Í Ú Á ű É ö ÍÉ É É É Ü Í
Részletesebbenú ü Ü Á É ü ű ú ő Á Á ú ú ő ű Á Á Á ü Á ú É Ü Ó Á ü ú ő ű ü ú Á ő ő ú ü ű ű ú ű ű ű ú ü ő ü ú É ú Á ú Á ü ü ÉÉ ú É Ü Ó Á Á ü Ú Á Á ü ü ü ü ú Á Á ú Ú ü ű ú Á ő Á Ú Á Á ú É ő ő ő ő ú ő ő ő ő ő ő Ü ő ő ő
RészletesebbenX 1 (x i ) º. X 1 (], b]) º. ], a 1 ], ]a 1, a 2 ],...,]a p 1, a p ], ]a p, + ], j=1. i i
ÈÖÓ Ð Ø Ô ØÖ Ð Ñ ÒØ Ø Ø Ø ÕÙ ÙØ ü Ô ÖØ Ö ÓÒÒ ÖÙØ ÕÙ Ð Ø Ø Ú ÒÓÒ Ö µ ÓÙ ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ö µ Ò Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ÖÒ Ö Ù ÔÖ Ñ Ö ÓÙÔ ³ Ð Ð Ø Ò Ò Ò Ö Ð Ð ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ØÙ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ö Ò ÙÖ ÑÓÝ ÒÒ
Részletesebben,- (.,-- /0 & # )11.!"#$%&'! "#$%&' ()*+,-. /01. * : ; 4 DED1 5 $< :1 F GHIJK LMNOE => PQ/RS LMNO TUVW XYS + $< 9:+ LMNO Z9 [\ ]^_`
,- (.,-- /0 & # )11.!"#$%&'! "#$%&' ()*+,-. /01. * 2346789: ; 4 $?@AB3C DED1 $< :1 F GHIJK LMNOE => PQ/RS LMNO TUVW XYS + $< 9:+ LMNO Z9 [\ ]^_`ab $
Részletesebbenrot H = j, 1. div D = ρ, 2. rot E = 0, 3. div B = 0. 4.
Ä ÃÌÊÇ ÁÆ ÅÁà º Ð µ ËØ ÓÒ Ö Ù Ö ÑÓ I = j df. F, Ò Ö Þ Ò Ú Þ Ø Ö ÑÑ Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ ÓÒ Ù Ø Ú Ö Ñµº Å ÜÛ Ðй Ý ÒÐ Ø Þ Ð Ð Ò ÖÚ ÒÝ rot H = j, 1. div D = ρ, 2. rot E = 0, 3. div B = 0. 4. à РØÒ Ó Ù Ó Ý Þ ½º
RészletesebbenÙS #!Ë 3H )*+,- r Q# m 89:; 9 K6700'9:;6Õp 4G550 q 6 µ # m89:; 700 RS& ÚÒ
!"#$$%"%&%' &&% $# % ( $### % " "#$$ #% #$!!)%###$ "#! "# $ $ "## $%&' ()+,-1 3456789:; $6 '?@ABCD?E ' > &' >5 FGH>'?IJKL' MNO K P +5QRSTKUV @W XY K,-K$!'?@$Z[@ \ ]^ _$$ "## >!>' 5 G $" $# $ABC`ab1
RészletesebbenD = ǫ0 ǫ r. ½º Å rot H = j + ρ v + D. rot H = j + ρ v + ǫ 0 ǫ r. Erot H = E j Eρ v Eǫ 0 ǫ r. ρ( v, E) = Erot H Hrot E ( j, E) ǫ 0 ǫ r
Ä ÃÌÊÇ ÁÆ ÅÁà º Ð µ Þ Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ö Ò Ö Î Þ Ð Ù Þ Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ö Ø ÓÑÓ Ò ÞÓØÖ Ô Þ Ø Ð Òº ǫ, µ, σ ÐÐ Ò º ÓÖ ½º Å rot H = j + ρ v + D t, ½³º Å rot H = j + ρ v + ǫ 0 ǫ r E t. º Å rot E = B t ³º Å rot E = µ 0
Részletesebbenľ ú ő ö ü ö ľü ő ľ ő ö ü ú ö ľ í ü ú í ö ľĺ ő ű ľ ö ü ľü ę đí ą ó ő ő ü ú í ľ í í ý đ ę öľ ü í ú í ó í ő ó í ő ő ö ö ú í í ö ö ľü ú í í ľ ľ Ü Ü í í ľ
ő ü ü ľ ő ü Ü Ü ľ ů ľ ü ľ ü íľ ő ő ű ü ő í ľ ľ ü ę ľ ü ľ ü ó ő ö ľü ő ź ő ő ő ö ľ ę ľ ľü ľ ź í ö ľ ő ö í ő ź ö ö ü ź ź ť ő í ľ ó ó ó í ó ő ö ő ü ą ą ó ó ľ ó ó ó í ö í ö ü ó í ó ü ó í ú í ó ő ü ó ő ü ú
RészletesebbenC qe.rrrc ocboeitur t BHelpettrr leps,qoboro orerlecrbehhofo u. 09 yrbepx\aehhh fljrahob oopa3obatenbhbix MepoIIpHtTr{fi u otokhpobok 3a pyoexom
MHCTSPCTBA APXT3KTYP5 YAAYTBA P3CYSJO EJAPYCb MECTEPCTBO APXATETT}?b N CTPOTEJBCTBA PEC$'6JK{ DEAPYCb 3ATAA l9.hgpq 2018r. r 10 r Mitc( NP]{(A3 r. MrBc( 09 yrbepx\aehhh fljrhb p3btenbhbx MeppHtTr{fi u
Részletesebbená ö á Ö á á ő ü á á ö á ó ő ő ö á ö á á á ö á ö á ő í á ű ő ü á ö á ő á á á á ó ó Ó ö ö á ő á ő ö á á ö á ő á ő ö á á á á á á ű ő ö á áá ü ő á Ó á í ü
á á á ő ő ö ö á á á ő á ű á á á í É á ő á á á á á á ü á á á á ó ó ó ö á á á ö á ő á ő ö á á á ű á á ö ő ő á á á á ö á ő á ő ö á á á ő ü á á á ű ő ö ö á á á ő á á ü á á á á ö ő á Ö á á ő á Ö á ő ó á ő á
Részletesebbené é ö í Ü ö é ő é é Í Í é é é ű é ő é é ő í ő Ű é é é é ö í é ö ö é ö é é é é ő é ű ő é é Úé é ö ö é Ü ö é ő é éü Ú í í ő ö é é é é é í é é ő é é őé é
é é ö ő é é é ö é é é é ö ö ö Í Í é Í é ö é Í ö é é é é é ö é ü í é ű é é ö é ö é Í ö ö é é é ú ö ö Ú ö í é í é é í é ö é é é é é é ö í ű ű é é ű Í ö é é é éé é í é é í ö í é é Ü é ő é í é é é é ö í Ü
Részletesebbenö É É Ö É Ő É ü ŕŕ ő ő ő í í ü í ú ü ö É É É É Ő É É Ő É É É É ő ö í ď
ö Ĺ Ú í É í Ü É ü í Ĺ ü ö ú ü í í ő í í ő ö Ü ę Ą ö É É Ö É Ő É ü ŕŕ ő ő ő í í ü í ú ü ö É É É É Ő É É Ő É É É É ő ö í ď í ö Ü ő í ő ĹÍ Đ ő ö ö ő í ő í ö ö í Í ď Ü í í Í Ü ő ą í Í ý í Ú ú É Í ęí Í ď É
RészletesebbenÌ ÖØ ÐÓÑ ½ Ú Þ Ø ¾ Ã Ð Ò Ð Ö ÞÓÐ Ñ Ó ËÞ Ò Ö ÞÓÐ Æ ÒÝ Ú ÒÝ Þ Ù Þ ÈÖÓ Ö ÑÓ Þ Ó Ð Ð
ÃÓÑÔÐ Ü Ú ÒÝ Þ Ò Ö ÞÓÐ Ä Ä Ú ÒØ ÄÌ ÁÃ Å ÓÐ ¾¼¼ º ÔÖ Ð ¾ º ÇÌ Ã ÃÓÒ Ö Ò Ì ÖØ ÐÓÑ ½ Ú Þ Ø ¾ Ã Ð Ò Ð Ö ÞÓÐ Ñ Ó ËÞ Ò Ö ÞÓÐ Æ ÒÝ Ú ÒÝ Þ Ù Þ ÈÖÓ Ö ÑÓ Þ Ó Ð Ð Ì ÖØ ÐÓÑ ½ Ú Þ Ø ¾ Ã Ð Ò Ð Ö ÞÓÐ Ñ Ó ËÞ Ò Ö ÞÓÐ Æ
RészletesebbenEgyüttműködési ajánlat Szemléletformálási programok KEHOP Véglegesített pályázat 3.1 (Forrás: Javasolt cselekvés
E g y ü t t m z k ö d é s i a j á n l a t S z e m l é l e t f o r m á l á s i p r o g r a m o k K E H O P - 5. 4. 1 V é g l e g e s í t e t t p á l y á z a t 3. 1 ( F o r r á s : w w w. p a l y a z a t.
Részletesebbenő ó ź ő ő ź ý ő ő ę Ü ő ú ü ó ů ő ő ź ő ó ď Ü ö Ĺ ö ę ú ú ő ő ü ú ű ö ü ź ź ü ěĺ Ĺ ú ü ú ü ź Í ő ü ő ó źů ú ö đ ó ő ú ů ó ř ü ó ć ź ü ő ä ŕ Á ó Á ź ę ő ö ö ö ó ő ź ä ń ő ę ó ź đ ü ő ó Ĺ ó ä ź Đ Ĺ ó ő ó
Részletesebbenö á á á í á áá í ü í á á öá ü á í á á á ö ü áí á ó í á í ő í ü á ö ú á á á ö ó ó á í á á í á ü á ö ó ö ő í á ü í á ü á ó í ó á ü í ű á á á á á á áá á
ö á ó á ö Ö á á ő ü ö á ó ó ó ó üá á á á ö ö á á í á á ö í á Á á ö á ö ü ő ó ö ö ó ü ó á ü ü á á á á ó á ü á á á á á ó á ó óá ü áí á ü á ö ü ő á á í á í á ö ü á á ö ü á ü ö ö ú á ö á á ö ö á ú ö ü ü á
RészletesebbenKockaKobak Országos Matematikaverseny 7. osztály
KockaKobak Országos Matematikaverseny 7. osztály 2012. november 12. Feladatok: PÉCSI ISTVÁN, középiskolai tanár SZÉP JÁNOS, középiskolai tanár Lektorok: LADÁNYI ANDREA, középiskolai tanár TÓTH JÁNOS, középiskolai
Részletesebbenú ú ą ę ę ą ů ő ú Ö ő ü ü ö í Á ł Í ń ö őł ü ő ö í ö őí ö í ö öń ő í ö í ö ü ö í ő ü ő ö ú ő Éś í ő ő ý ő źí ö ö ł ć ć ř ł ő ÍÍ ź ő É ćí ńę Ęł žź í ř í ć đ žš žě ł đć ű ť ť ť ť ť ť ť ů Ł ę ł ć ö ć ł Í
Részletesebben*) )!"!#$%&' % $ $%&!"$%!"&! &(& % : ]Q : 4B% & c!"n & ' # &# PU '! ; T 89 ( =? >!" 7 1 / 7= 67 9 P <?!" b!" = L WM?!" 3 01!"BP =01!"N P " H!" - /!" c
*) )!"!#$%&' % $ $%&!"$%!"&! &(& % : ]Q : 4B% & c!"n & ' # &# PU '! ; T 89 ( =? >!" 7 1 / 7= 67 9 P
RészletesebbenÁ É É Á Á Á ő ő ő ő É Ó Á Á Á ő Á Ú Ú ő É Á ő Á ő Á ő ő Á É ő Á ő Á É Á É Á Á É É ű ő ű É Ú ő Á Ú Ó Á Á Ó ő Á É ő Á Ó É Ó É Ó Ú Á Á Á Ü ű ő É Á É ő Á ő ő É É É É Á Á É Á Á Á É É ű É Á Á ő É É Á Á Á Á ű
RészletesebbenHeart ra te correc ti on of t he QT interva l d ur i ng e xercise
Heart ra te correc ti on of t he QT interva l d ur i ng e xercise Gáb or Andrássy, Attila S zab o, 1 Andrea Duna i, Es zter Sim on, Ádá m T a hy B u d a p e s t i S z e nt Ferenc Kó r há z, K a r d io
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenÉ ú ő ú Ö ő ü ü ú í í ö ő ő ő ü ć í Í ú í ű ü ő ő í ő ő ő ö ő í í ú í ű Ĺ ő í ő ő ú ő Ĺ ő Í í ő Ĺ ú ú í ű Í ü ő ő ę ü í í í í í ö Ĺ ő ö ő í ö ű Í ö ú í ű ő ö ú ú Ö ü ö í ö ű Ü ű ö ú Ö ü ę ę ő ú ü ę ő ö
Részletesebbenö é ö ó é é é ó é é é ő ó ü é ű é í ü é é ó é é é ö é é ó é é ü é ó é é é é ú ó é ő ő é é é ü é é é É ó í ú ü é é ő Ő é í é é é é é ő é ő ű é ó ö ö é
ö é Ö é ő ü é ü ö é é ő é ü ö ö ö ő ü é ő ü é ö ó ö ö é é ő ö ő ó ő é ő Á é ő é ő ő é ő ő é í ő ó ö ő éé í ö ő é é ő í ő ö ő é í ő ó ö ö ő é ő é é é ő í é ő ő í é é ő í ó ő ö ő é í é í é é ő ő é é é ü
Részletesebbenö Ö ő Í ú ö ö ö ö ő ó ó Ö ú ó ü ó ö Ö ő ö ö ö ő ő ő ö ó ö ő ö ö ö őö ö őö ü ö ö ö ő ö ö ő ő ó ö ö Í ö ú ő ö ó ö ü ó ö ő ó ú ö őí ó ó ó ű ö ű ö ö ő ő ű
ö Ö ő ő ö ö ö ő ó ó Ó ú ó ó ő Í ó ö ő Á ő ő ó ó ő ó ő ö ö ú ő ó ó ó ó ó ő ó Í ő ü ö Ö ő Í ú ö ö ö ö ő ó ó Ö ú ó ü ó ö Ö ő ö ö ö ő ő ő ö ó ö ő ö ö ö őö ö őö ü ö ö ö ő ö ö ő ő ó ö ö Í ö ú ő ö ó ö ü ó ö ő
Részletesebbené á áí ő ö é á á á á á á á á é ő ú í á á á é á á ö é é ö é őí á é é í é é ó ö é é ü é é é ő á ű ö é é é é é ű é ö é é á ú á é é í ő ö ö é á ó é é í ő
Ó É ö ó É é ö í á ó á é é é é ü ó á ó ó á ó é í é á ő á ő é ü é ú á á í é á é ő ő ö é á í á ó é ö é ö é ő ó ú é é á á ő é é í á ó ö é é é ó é é ö é á á ő é ö ö á é é í ű ö é á ó é ö é ő é á á é á á ó é
RészletesebbenÓÑ Ã Ø Ð ÔÚØ Ó ÐÓÑ Þ Ð Ü Ò Ö ÔÓÐ ÒÓÑ ÐÓ Ö ÓÑÓÐ ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ñ Þ Ö Ð ÓÑ ÒÚ Ö Ò Ó Ð ÓÒÝ Ñ ÒÞ ØÓÔÓÐ ÓÑ Ò ØÓÖ ËØ Ô Þ Ò Ö Ê ÒÝ Ð Ö Å Ø Ñ Ø ÃÙØ Ø ÒØ Þ Ø ¾¼¼
ÒÚ Ö Ò Ó Ð ÓÒÝ Ñ ÒÞ ØÓÔÓÐ ÓÑ Ò ØÓÖ Ê ÒÝ Ð Ö Å Ø Ñ Ø ÃÙØ Ø ÒØ Þ Ø ¾¼¼ º ÒÓÚ Ñ Ö ¾ º ÒÚ Ö Ò Ó Ð ÓÒÝ Ñ ÒÞ ØÓÔÓÐ ÓÑ Ò Ê Ñ Ø Ö ÑÓÞ Ó Þ Ë ½ ÖÚÓÒ Ð Ê Ú Ð Ö Ò Ð Ø Ý Þ Ø Ò Ú ÞÞ ÓÑ Ò º Ã ½ Ã ¾ ÓÑ ÞÓÒÓ ÝÑ ÑÓÞ Ø Ø
Részletesebbené ü ü ő ü ő é ú é é é é é ő í é ő Í ő ü é é í é í é ő í ó é é í é é ő ó í ó é í í é ő Í ú ó ó í é ű í ó é í é ő é é í ó é í í óé í éé ő ó ü é ő úé é ú
é é ő ü é í ó é é ő Í Í é é é é óó ó é é Í Á é é í í é ő é é í é é é é é é ü é é ü é é é é ő é ő é é ő ü ü é é é é é é é í ő é é ű é é ü ü ő é é ő é é é ő é é ő ó ó é ő ü é Ú é ü é é ű é é í é í é é í
RészletesebbenEgyüttműködési ajánlat Kulturális intézmények a köznevelés eredményességéért EFOP Véglegesített pályázat 3.0 (Forrás:
E g y ü t t m z k ö d é s i a j á n l a t K u l t u r á l i s i n t é z m é n y e k a k ö z n e v e l é s e r e d m é n y e s s é g é é r t E F O P - 3. 3. 2-1 6 V é g l e g e s í t e t t p á l y á z a
Részletesebbent = 0 R i L i s i s + u v 3R + u v u u v = 3u 4 + 3R 4 i s R = 0 u Li L R u = 4R 3 i L +R i s = i L i L + u 2R + u u v dt = 7R 3L i L + R L i s
ÒÐÓØØ Ð ØÓ º Ø Ý ÓÖÐ Ø Ö ýðð ÔÓØÚ ÐØÓÞ Ð Ö Ñ ÓÐ Þ Ø Ú Ö ÓÒØ Ð ½º Þ Ö Ò Ð Ø Ø Ð Þ Ø Ò Ô ÓÐ Ø ¼ Ô ÐÐ Ò Ø ÒÝ ØÚ Ú Òº Ô ÓÐ Ø Ø ¼¹ Ò Þ Ö Ù º Ú Ð Þ Ð ÐØ Ù Þ ÐØ º º À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Ô ÓÐ Þ ÖØ ÐÐ Ò Ð Ð Þ Ø ÐÐ ÔÓØÚ
Részletesebbenó Ö Ü ü ó ő ű ó Á ű ő ö ő í í í í ó í öú ó ó Á í ó ö ó ó ü í ü ó ó Á í ó ö ó É ó í Í ö ü í ó í ú íí Í í É É Í É ó ú Í ö í ü ó ö ó ó ó ü É í Í É ó ó í Í Í ó í ó ó Í ó Í í Í ó í ó ú ó Á ó ó ó Á í Á ó ó í
Részletesebbení á ó á é é é é á á ö é ő í é í ű á é é é é ő é ľĺ í á ľ é éľ ü ó ö é é ö ö é é é ó é é ő ő é á ű é ó ľ í ę é í á ź Ń é ľ á á ő é é đá áľ ľ ľ é á é ú
ęľ ó á ä é ő ü ä á ő ľ ő é é áľ é í ő ü é ő ľ áľ ľó á ő é é é á ő éľ ľ é é ó é í á áľ í é ő ű ó á á é é á í á ľ É ü é á á á á ó í ö é ü é É ÍľÓ É ľé Ü Á É Íľ ą É Íľ ľľü ľ ľ ď ľ É Éľ Ü É ľ É ľ ľé ľ Á ľ
RészletesebbenÍ é é ö é é é ő ü ö é é é é ü ö ö é é é ő é é ü ü ö Í ú ü ö é ü Á éí É ü é ú é é é ű é é é Í é ő ú é é é úö é é ö é ú é ö ö Í é é ö é é éé ü é Í é é é
ü Á Á Á É ö é ú Í ü É Í Í Á Í Í é é ö é é é ő ü ö é é é é ü ö ö é é é ő é é ü ü ö Í ú ü ö é ü Á éí É ü é ú é é é ű é é é Í é ő ú é é é úö é é ö é ú é ö ö Í é é ö é é éé ü é Í é é é ú ö é é é é é é é é
RészletesebbenŁ ť ŕ í í ü ö ő ű ő ő ő ú í ä Í ř ö ő í í ę ö ő í Ú í ń đ ń É É ő Ę í í ű ü ö í ö Ĺí ö ő ü Ó ő ü ń ü ö ö ö ö ő í Ü í Ü ö í ő í ś ű Í Ł Á Á ő í ö Ú í ű í í ô ő í ő ö ö ő ú ő ä ő í ű ő ü ő ő í ő í í Í í
RészletesebbenÓ ö é Ö é ő É Í É Á Ó ő ö é ö é ő é é ö é é í ö í ó é é é ő ő ó é ö é é í é é í é é ö Á Á óí Á é é é é é ő ó í é é é í é ű é é í ú í í ű í ő í ó é é é ű őí é é é é é ó ó í é ö ó őí ő é é é é ö é é é í
RészletesebbenÁ Á ö ú í í Í É í ö í í Í í ö Á Á ő í ü ü öí ő í ö í ő í í Á Á í ő ü Í í Á É í ÍÍ í ö ő ú Á ő ő ő Í ő í ő ü ű Í Í ő í ö ú ü ö í ü Ü ú í íí ú ő í É ö ő Í É ú íé Í ü Í ő É í ú ö ö ö ő öí ö ö ő É Í ú ű ő
Részletesebbené ö é ő ü ü ö é ó ó é ü ö é ö ö ö ö Ú é ő ő ö Í é Ú ó őö ó ö é ó ö ü ő ő ő ü ő ő ö é ő é ő ő ö ó ü é é ő ő é ö ö é é ó ó ö ó Í ö ó ó ő ő ó ó é é é é ö ú ü é é É öí ó é ő ö ú ó ö ó ó ó é ö é é ő ö Í é ő
RészletesebbenÀ Ì ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ ÞÒ Ð Ø Ò Þ ÓÒ Þ Ò Ã Ö Å Ò Þ Ù ÅË ½º Ú ÓÐÝ Ñ ¾¼½½º Ó Ø Ö ½ º
À Ì ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ ÞÒ Ð Ø Ò Þ ÓÒ Þ Ò Ã Ö Å Ò Þ Ù ÅË ½º Ú ÓÐÝ Ñ ¾¼½½º Ó Ø Ö ½ º ÞØÖÓ Þ Ö Ø ½ º ÊÓ ÖØ À Ò ÙÖÝ ÖÓÛÒ Ê Ö Éº ÌÛ Ø Ø Ó Ò Û ØÝÔ Ó Ø ÐÐ Ö ÒØ Ö ÖÓÑ Ø Ö ÓÒ Ë Ö Ù Ã Ø ÓØÓ Ð ØÖÓÒ¹ Ó ÞÓÖÓÞ Ø ØÓÖ ÝÑ Ø Ð
Részletesebbenfi*ggrfifi*rfi # qüt4t aas g gg E.H EüI Í,* El gql ühe Hfi {l ajr s<t ñrli 3il Éd ; I.e! Ffd 'á ru ;Én 5c'ri n ír^ -Ei =: t^ úu o 4
r < 7, 3t f. 3il d ; &2 t^ u l)", 1l' t, ; t ) * {l: r,ü d,. ti ó. n ír^ ;n.e! 5r fd 'á \D *N 5'ri ñrli -i : N:, i! l f,. (, u.r f p C,) ] i'{ p t..l rl) in f ü,! () r s
RészletesebbenŰ ö ö ö ö ő ö ű ő ö ű ő ö ő ö ő ö ő Ö É Á Á Á Á É Ö Ó Á Á É É É É É Ó Í Á Á É Á Á ö ő ú ú ö ő ö ö Ö ö ö ő ö ö ö ö ő ő É ő ö ű ű ö ő ő ö ö ö ö ő ö É ő ú ő Ó ö ő ú ú ü ő ö ö ő ö ő ő ö ő ő Í ő ö ö ő ő ö ő
RészletesebbenMegoldások. 2001. augusztus 8.
Megoldások 2001. augusztus 8. 1 1. El zetes tudnivalók a különböz matematikai logikai nyelvekr l 1.1. (a) Igen (b) Igen (c) Nem, mert nem kijelent mondat. (d) Nem fejez ki önmagában állítást. "Ádám azt
Részletesebbenú ľ ľ ľ Ĺ ľ ľ ľ ú ľ ľ ő É ö ö ľő ő Ĺ Ö ľ ö ľ ő ö ľ ľ ű ö ľ ó ľ öľ ľő ó ó ľ ö ő ö Í ó ľ ö ő ö ľ ľ ľ ű ö ľő ó ó ő ľ ľ ľ ö Ĺ ľ ť ľ ľ ľ ö ľ ľ ő ő ľ Ö ľ ó ó ő ľ ľ Ĺ ö ľ ó ó ö ó ľ Ĺ Ĺ ľ ľ ľ ľ ö ľ ó ć Ĺ ő ö ö
Részletesebbené ö é ő ő ö é Ö é ő é í ü í í Í Í ö ö ö ö Ú é Íő ő ö í Í é ő ö ö é ö ü ő ő ü ő ö ö é é ő ö í é é ö ő é ö ö é é í é í ö í í ú í Á í ő ő é í é é é í ö ú é é ö Í Í é ő í ö ü ő ö é ö é é í ö é ö é é é É Í
Részletesebbenę ú Ĺ ý ú ó ý ó ő ő ü Í ő ę ó ę í ó ó ź ő ź ő ź í í ő ö ü ú ő ö ö ü ü ó í í ő ő í Ĺ Ĺ ó ú í ö ö ő ó í ő ő ó ó ę ő í ö ó źú Í ő í ú ö ú ó í ő ő ő ź ő í
ő ő ó ú ő ó í ü í ú ó í ő ö ó ő Ą ö ö ü ź ő ő ö í Ö ó ú ý ú Íř ö ó ý ä ü ú ó ö ő ő í ň ů ú í ú ő ö ö ö Í ö ó ü ó ň ó í í í ć ý í í ý ü ú ü ó ő í ő í ö ä ú í í ü ř ő ő ó Á í ö ő ü í ó Í ó ő ú í í ó ę ú
Részletesebben@ A B C. N*ª ÙWæ? > & ( ) ; Ä ( o 2 ø H BC )ÙD"i E = ; 2 ª Ù W æ. )'(-{Ë;Ä (= E #¹z2ª ÙW #ÑI*.øU Y*t _*b x > W Ò G ø 2 e f. '({Â U=1 üè2 ¾eëa~;;!
H6 H9 87 ( ) * +. 0.%.*()*4*5 10)* 6/7 8.- 'JK LMNOABI ; 8\', [ :C @1C :CE 8\H %&A2@;:B(0O $()$*.1)*51.7 < $ K?* 1/)A.)5..*..4.01-/.)*. 76+ ( 0 1 N O M 76M + @0 1 ; B 7 :,3NO3& 76%M S & K F 8 & " ;%;(P;&O(P#$(P
RészletesebbenÍ Í Í ű Í ö Ú Ú ö ö É ö ö Í É ö ö ő Á Ö ő ő Ü Í Í É Í Í É Í ö ú ö ú ö Í Á Á Ö Í
ÍÜ ű Í Í Í Í ű Í ö Ú Ú ö ö É ö ö Í É ö ö ő Á Ö ő ő Ü Í Í É Í Í É Í ö ú ö ú ö Í Á Á Ö Í Ú ö Í Á ű Í ö Ü Í Í Í ű Ú Í ő ü Í ö ő É Í É ü ÉÍ ő Ü Ú É Í ő Í ű ü Í É Ü Ü Í Á Á Í Ü Í É Í Í É É É öí Í Í ö ú Í ú
Részletesebbenö Á ő é é ü ő Í ó ó ó ó ő ö é é ö ó é é ö é é í ó ó ó ő ó ő ú ö é ó ü é ó í é é é í ö ő ú é ő ű ó ó ő ö é ú é ú é ú í ö ő Á Á ö é é é ű ú é ö ó í é é ó ó ó é ö é é ú í ö ő ö é ő ö é ü é ó í ú ő é ő é ó
RészletesebbenÚ Þ Ø Þ Ô Ð Ò Þ Ú Ñ Ò ÞÔÓÒØ Þ ¹ Ö Ô Ø Ø ÞÓØØ Þ Ð Ö Ú Þ Ð ØÓ Òº ËÞ ÑÐ Ð Ø Ò Þ ÐÚ Þ Ú ÐØÓÞ Ð ÑòÚ Ð Ø Ð Ð Ð Ô Ø ØØ ÓÐÝ Ò Ð¹ ÓÖÓÞ ØÓ Ñ ÐÝ ÓØØ Ø ÔÙ Ð Ö Ø Ò
Ó ØÓÖ ÖØ Þ Ø Þ ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Þ Ô ØÖÙÑ Ã Ø ¹ÍÖ Ò Ã Ñ ÐÐ Ì Ñ Ú Þ Ø Öº Å Ý Ä ÞÐ Ý Ø Ñ Ó Ò Öº ËÞ Ý Ø Ñ Ó Ò Å Ø Ñ Ø ¹ ËÞ Ñ Ø ØÙ ÓÑ ÒÝÓ Ó ØÓÖ Á ÓÐ ËÞ ÌÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ ÓÐÝ ÁÒØ Þ Ø ¾¼¼ Ú Þ
RészletesebbenKockaKobak Országos Matematikaverseny 5. osztály
KockaKobak Országos Matematikaverseny 5. osztály 2012. november 12. Feladatok: IZSÁK DÁVID, általános iskolai tanár SZÉP JÁNOS, középiskolai tanár Lektorok: BALOG MARIANNA, általános iskolai tanár SZITTYAI
Részletesebbenö É Á ó ó á é á ó ö á É É ö ó
ö É Á ó ó é ó ö É É ö ó É Ó é í é É ü ó Á ó ö é ó é Á é é ó Á ó í é Á ó ö é ö ő é é É Á É Á ö é é ü ó é Á Ú é é ü ó ó É é é é ö ó é é é ó é é ó Ü É é é ú ö é ó é é ó ó Á ö é í é ü é é Á é ö ó é ő Á ü ü
RészletesebbenÅ Ò Ñ Ò Ð Þ ËÞ Ð Á ØÚ Ò ÄÌ Ã Ñ ÁÒØ Þ Ø Ôº ½
Å Ò Ñ Ò Ð Þ ËÞ Ð Á ØÚ Ò ÄÌ Ã Ñ ÁÒØ Þ Ø Ôº ½ ÓÒÓ Ø ÔÙ È Ö ÓÒ Ð Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ú Þ Ø Ö Ø ÔÙ Ó µ ÓÐ Ó ÓÐ Ø Ò Þ Ñ Ø ÔÀ ÊÓ ÞÙÐ Ø µ ÓÑÔÐ Ü ÔÞ Ì Ñ Ø Ë Ú¹ Þ ÓÑÔÐ Ü Ý Ò ÐÝÓ Þ Ñ Ø Ê ÓÜ ÔÓØ Ò Ð Ã Ø ÓÒÓ Ö ÐÚ Ð ÞØ Ù ÑÙØ
Részletesebbenö ő ő ú ő ó ű ő ő ó ö ű ú ü ó ő ú ő ő ő ű Ö ő Á Ö ő ő ő ő ó ü ő ő őő ö í ü Ó ö ő Ó Ö ü ö í ü ú Ö ő ú ó ő Ö Ó ő ő ő ő í ő í ó ő ő ú ó í ü ő ő ő ó ó í ő
ő ő ú ő ő ő í ú ö ü ü ú ö ú ő ő ú ő ő ő í ó ő ő í Ó ő ő ő ó ő ő ő ő ő ó ő ü í ú ő ő ő ó ú ó ö ó Á ő ő ó ú ő í ő ő ú ö ó ú ő ő ó ó Á ó ó Á ő ő ő ő ő ó ó ő í ü ő ö ő ö ö í ő ő ú í őő ó ő ő í Ó í ő ő ő ő
Részletesebbené í ź ü ź é ę í é ő ő é ö ü ő é ü é í é é é ö ű ö é ő é ö ó ó é é é ę é ö é ę é ź é é Í ź ö ó Á ó ź é é Í é ö é ó ó ó ő ź ó ź ź é é ó é ű ü í ó í ő ź
ő ü ó é Ę ü é é ü é é ü é é é é é ö é ú ö é é é éő é é é í ő é í ő é ó í ő ő é ö é é ü é é é í ő ö đ é é ü é é é é é đ ő ü ő ę é ő ü ű đö é é é é ö é é ő ó ó ö é ó í ö ö ö í ö ö é ź é éí é đ é é ó ö ü
RészletesebbenÐ ØÖÓÑ Ò Ø Ö ÎÁÁÁº ÆÝ ØÖ Ý Ö ÐÝ ÈÌ ÈÅÅÁà ΠÐÐ ÑÓ À Ð Þ ØÓ Ì Ò Þ ¼½ º ÒÓÚ Ñ Ö º ÍÐØÖ Ö Ú ¹ ÒÝ ÑÔÙÐÞÙ Ó Ð ÐÐ Ø Þ Ð Ð Þ Ö ÑÓÒ ØÖ Å Ñ Ò ÖÙ ÒÐ Þ Ö ½ ¼ ÁÑÔÙÐÞÙ Ó Þ ÒØ ¹ Ô Ò ½¼¼ Ò ½ Ò ½¼ µ ¹ ɹ Ô ÓÐ ½ ½¹ µ ½¼
Részletesebbenő ó ú í í ő í đ ź ő ź ő í ő ő ő ę ő ď ő ő ő ő őđ ó ý đ đ ő ő ü ő Í ő ö ő ö ö í ó ő ź ó ź ź í ü ó í í í í ő ő ź í ź ö ź Í ö ź źů ó ó ó í ő í í Á ó ö ő
ó ł ő í í ő Ĺ ő í í đ ý í É Í É ó Á ł É Í ó Í ó Í É Ü É Ę Á ą Ą É ąę Đ Á ć ü ő í í ź ďź ő ő í ő í ú ę ü ź ő íü í ź í ú íí í ť í ú í ű ü ö ü í ö ü ő ü ő ź ű ö ö ó ú ö ő í ő ő ź ö ő í ł ő ó ú í í ő í đ ź
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenÁfa 4 Sílér, Felelős szerkesztő és laptulajdonos: Kun Béla. d. u. fél öt órakor a vásárféri pályán mérkőzést t a r t a n a k a
H 94* í 28 p V Á Á F í
RészletesebbenÁ É Á Ó É É Á Á ű ő ű ő É Á Ü É ű Ú É ő ő Á ő ő Á É ő Á ű ű ő ő ő ő ő ő ő ű ű ű É Á É ű ű ű ő ű É Ú Á ű ő Á Á É É ő ő ő É Á ő É ő ő Á Ü É Á Á É Ü ÓÚ É Á Ú Ü Ó Ú ű ő ő ő ű ű ő É Á ű ű ű Á ő Á ő ő Á É Ü
Részletesebbenf ij = f i. f.j Ö f 11 = 49 f 12 = 64 f 13 = 84 f 1. = 197
Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½º Ú Þ Ø ¾ ¾º ÞÓ ¾ º Ê Ò ÓÖÖ Ð º Î Ý Ô ÓÐ Ø º ÃÓÖÖ Ð Þ Ñ Ø º Ê Ö Þ Þ Ñ Ø º½º ÝÚ ÐØÓÞ Ö Ö Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½º Ð Ò ÝÞ Ø Ñ Þ Ö º º º º º º º º º º º º º º º½º¾º
Részletesebbenú ź ő í ü ź ü ź ź í ź ü ö ú ę í ő ź ź ö ő ő í ę ú ő É ů ę í ő í ý ú í ä ő í í í ű ő ö ü źű ő ź ú ő ü í Ĺ í í í ő í ő ę ő ő í ú ő ü ź ę ę ő ő ý ö ź ü í
ő ü ő ę đ ü ý í ő ő ő ö ü ý ü ů í ő ő í ę ý í ü ö Í ü ź ő ö ő ö ü ö ý í í Ĺ ź ű ú ý ý ő ý ő ö ú ý ú í ö ú í í ő ý ź ö ö ö ö ę ü ý í ź ő ő ü ý ő ź íí í í ö ö ý ý ő ź ö ú ý ú ý ő đ ö ő ő ő ę ő ű đí ő í ő
Részletesebbenő ö ó ü ü ó ö é é ó é ü é é ő ö ö Ö ó é é ó ö ó ő ö é ő ö é ő ö é ő ö é ő ó ó ó í é é ü ő í ö ö ö í é ő ü é ö é ő ő é é ó é ó ü ó é ő é é íé í ő é é é
Á ö ö Á É ó ü É ó ö í ü é é ő ö é Ö é ö é é é ő ó ó ö ó ő ó é ó í ö ú ö é é ó é é ő ő ő í ó é ó ő ó é é é ó ó ő ó é ó é é í ő é ü ö Ó ö ü ő ő í é é ó é é ő é ő ő ó é ó ő ó ö ö ő ó é ó ó ő í é ű é í é é
Részletesebbena 11 a a 1n a n1 a n2... a nm b 2, x :=
ËÞ ÓÐ ÓÞ Ø Ä Ò Ö Ð Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ø Ö Ñ ÓÐ ØÒ Ö Å Ø Ñ Ø Ð ÑÞ Þ Ö ÒÝ Ì Ñ Ú Þ Ø Ö Á ØÚ Ò Ø Ò Þ Ú Þ Ø Ý Ø Ñ Ó Ò Ð ÐÑ ÞÓØØ Ò Ð Þ ËÞ Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ì Ò Þ ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ Ì ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝ Ã Ö ØÚ ÄÓÖ Ò
Részletesebbenő ú ę ę ó ő ŕ ó ö ő ó ó ę Ĺ ä ö ü ö ť ö ü ź ó ő ó ó ä ő ó ö ö ü ý ď ó ś ä ó ł đ řšř ŕ ä ú Í ó ő ę Ą ő ž ű ą ą ő ő ä ö Ľ ł ł ż ż ő ť ó ö ő ü ő ú ŕ łł ó
ő ó Ü ó ó ł ä É Í ő ő ń ü ő ü ý ý Ú ď ó ö ő ö ü ő Ę ű ó ť Ś ť ź ő ę ó öů Í ý ó ú ű ń Í Í ő ú ę ę ó ő ŕ ó ö ő ó ó ę Ĺ ä ö ü ö ť ö ü ź ó ő ó ó ä ő ó ö ö ü ý ď ó ś ä ó ł đ řšř ŕ ä ú Í ó ő ę Ą ő ž ű ą ą ő
RészletesebbenÁ Á Ó É Á Ó É É Á Á ó ó é á ú í á á é á Á ó ű á ó í ó á á á ú ö űú é é ö ö ű ö ő á é ö ö é é ú ő á ú ő á ü á á ú ü á é ö ú ú á á á ú í á é ő é ó é é é
Á Á Ó É Á Ó É É Á Á ó ó á ú í á á á Á ó ű á ó í ó á á á ú ö űú ö ö ű ö ő á ö ö ú ő á ú ő á ü á á ú ü á ö ú ú á á á ú í á ő ó ő ü á á á á á ó á ó ű á ö ö ü á á á ő ü á ó á á á ö á á ó ö őí á á á áí á á
RészletesebbenÁ ó ú ó Í Í Á ú ö
ó ó ö ü ü ű ö ö ö ü ó ü ö ü ó ö ö ó ö Á ó ú ó Í Í Á ú ö ü ö ó ü ó ö ö ó ó ö ö Á ó ö ű ü Ö ö ö ó ö ö ű ü ű ó ö ö ö ö ü ö ö ű ú ó ú ö ö ű ü Í ö ü ű ü ű ü ű ű ú ö ü ú ö ű ö ö ú ú ű ö ö ú ű ú ö ú ó ö ö ü ö
RészletesebbenEgyüttműködési ajánlat A társadalmi kohézió erősítése az egyházak közösségfejlesztő tevékenységének bővítésével EFOP Pályázati tervezet 2.
E g y ü t t m z k ö d é s i a j á n l a t A t á r s a d a l m i k o h é z i ó e r p s í t é s e a z e g y h á z a k k ö z ö s s é g f e j l e s z t p t e v é k e n y s é g é n e k b p v í t é s é v e l
Részletesebben