3. el adás VALÓS SOROZATOK 2. Tágabb értelemben vett határérték. Ezt az alábbi szimbólumok valamelyikével jelöljük: = +.

Átírás

1 3. el adás VALÓS SOROZATOK. Tágabb értelembe vett határérték Fordítsuk a gyelmüket most a diverges sorozatokra. Ezek között vaak olyaok, amelyek bizoyos maghatározott tedeciát mutatak. Például az a := N) sorozat diverges, de agy -ekre az a értékek agyok. Potosabba: tetsz legese agy) pozitív P számra a sorozat tagjai bizoyos idext l kezdve P -él agyobbak vagy máskét fogalmazva: legfeljebb véges sok tag lesz P -él kisebb). Az ilye sorozatokat + -hez tartó sorozatokak fogjuk evezi, vagy azt is modjuk, hogy a sorozat határértéke +. Hasoló a helyzet a b := N) diverges sorozat eseté is. Itt tetsz leges P < 0 számra a sorozat tagjai bizoyos idext l kezdve P -él kisebbek azaz legfeljebb véges sok tag lesz P -él agyobb). Az ilye sorozatokat -hez tartó sorozatokak fogjuk evezi, vagy azt is modjuk, hogy a sorozat határértéke.. deíciók. o Azt modjuk, hogy az a ) sorozat határértéke + vagy a sorozat + -hez tart), ha P > 0-hoz 0 N, > 0 : a > P. Ezt az alábbi szimbólumok valamelyikével jelöljük: lim a ) = +, lim a = +, + a +, ha +. o Azt modjuk, hogy az a ) sorozat határértéke vagy a sorozat -hez tart), ha P < 0-hoz 0 N, > 0 : a < P. Ezt az alábbi szimbólumok valamelyikével jelöljük: lim a ) =, lim a =, + a, ha +.. példa. A deíció alapjá bizoyítsuk be, hogy lim + ) = +. +

2 Megoldás. Azt kell bebizoyítai, hogy ) P > 0-hoz 0 N, > 0 : + ) > P. ) Legye P > 0 egy adott valós szám, és vizsgáljuk az + ) > P egyel tleséget. Azt kell megmutati, hogy ez bizoyos 0 küszöbidext l kezdve mide idexre igaz. A bizoyításhoz a következ ötletet alkalmazzuk: a bal oldalál kisebb, de jóval egyszer bb kifejezésr l mutatjuk meg, hogy az P -él agyobb bizoyos idext l kezdve. A bal oldalt a Beroulli-egyel tleség felhaszálásával csöketjük: Így ) helyett a következ t kapjuk: + ) + = + >. + ) > > P. Az utolsó egyel tleség yilvá teljesül, ha > 0 := [P ], és ez azt jeleti, hogy + ) > P, ha > 0 = [P ]. Következésképpe P -hez például) 0 = [P ] egy jó küszöbidex. Mivel P tetsz leges, ezért a fetiekb l következik ).. példa. A deíció alapjá lássuk be, hogy 7 lim =. Megoldás. Azt kell bebizoyítai, hogy ) P < 0-hoz 0 N, > 0 : < P. Legye P < 0 egy adott valós szám, és vizsgáljuk a ) < P

3 egyel tleséget. Azt kell megmutati, hogy ez bizoyos 0 küszöbidext l kezdve mide idexre igaz. Szorozzuk be )-gyel: ) > P, így a folytatás hasoló lesz az el z példáál leírtakhoz. Ezt az egyel tleséget most meg tudák oldai. Jóval egyszer bb azoba, ha az el z példáál alkalmazott ötletet követjük, ti. a bal oldalt csökketjük: = + 7) + 0 > + 0 Így ) helyett azt kapjuk, hogy > ha >, akkor 7 > 0) > > ha > 0) > + = = > P, ha > 0. Az > P egyel tleség igaz mide olya idexre, amelyre > [ P ]. A fetieket összefoglalva ), illetve a vele ekvivales ) egyel tleségre az adódik, hogy < P, ha > 0 és > [P ]. Következésképpe P -hez például) 0 := max { 0, [ P ] } egy jó küszöbidex. Mivel P < 0 tetsz leges, ezért a fetiekb l következik ). A kovergecia, illetve a ± )-hez tartás fogalmakat egységes formába is megadhatjuk. Ehhez el ször arra emlékeztetük, hogy az R := R {, + } szimbólummal jelöltük a kib vített valós számok halmazát. Most az R-beli elemek köryezeteit értelmezzük.. deíció. Legye A R és r > 0 valós szám. Ekkor az A elem r sugarú köryezetét így deiáljuk: A r, A + r), ha A R ) K r A) := r, +, ha A = +, ), ha A =. r 3

4 Köryezetekkel a ± )-hez tartás fogalmát így adhatjuk meg: lim a ) = + ε > 0-hoz 0 N, > 0 : a K ε + ), lim a ) = ε > 0-hoz 0 N, > 0 : a K ε ). 3. deíció. Azt modjuk, hogy az a ) sorozatak va határértéke, ha A R, ε > 0-hoz 0 N, > 0 : a K ε A). Megjegyzés. Szavakkal megfogalmazva azt is modhatjuk, hogy az a ) sorozatak va határértéke, ha va olya R-beli A elem, hogy eek tetsz leges köryezete tartalmazza a sorozat mide, alkalmas küszöbidex utái tagját. A kovergeciához hasolóa erre a határérték fogalomra is igaz az egyértelm ség.. tétel: A határérték egyértelm. Ha az a ) : N R sorozatak va határértéke, akkor a feti deícióba szerepl A R elem egyértelm e létezik; ezt a sorzat határértékéek evezzük, és így jelöljük: lim a ) := A R, lim a := A R, a A R, ha +. + A szóhaszálatukat illet e megállapoduk abba, hogy ha a továbbiakba azt modjuk, hogy az a ) sorozatak va határértéke, akkor eze a következ t értjük: az a ) sorozat koverges, vagyis a határértéke véges, vagy lim a ) = +, vagy lim a ) =. Megjegyzés. diverges. A korábbi megállapodásuk alapjá egy a ) sorozat vagy koverges vagy A fetiekbe bizoyos diverges sorozatokak is értelmeztük a határértékét, ezzel a sorozatok koverges/diverges osztályozását tovább omítottuk. Ezt az osztályozást illusztrálja a következ ábra: sorozatok koverges diverges ± )-hez tartó va határérték ics határérték 4

5 A továbiakba lim a ) R jelöli azt, hogy az a ) sorozat koverges, vagyis véges a határértéke, a lim a ) R jelölés pedig azt fejezi ki, hogy az a ) sorozatak va határértéke, azaz a sorozat vagy koverges, vagy + vagy pedig a határértéke. A redezés és a határérték kapcsolata. tétel: A közrefogási elv. Tegyük fel, hogy az a ), b ) és c ) sorozatokra teljesülek a következ k: N N, hogy > N : a b c, az a ) és a c ) sorozatak va határértéke, továbbá lim a ) = lim c ) = A R. Ekkor a b ) sorozatak is va határértéke és lim b ) = A. Bizoyítás. Három eset lehetséges.. eset: A R. Legye ε > 0 tetsz leges valós szám. Ekkor lim a ) = lim c ) = A = N, hogy > : A ε < a < A + ε N, hogy > : A ε < c < A + ε. Legye 0 := max {N,, }. Ekkor > 0 idexre és A ε < a b c < A + ε. Ez azt jeleti, hogy b A < ε, ha > 0, azaz a b ) sorozatak is va határértéke és lim b ) = A.. eset: A = +. Tegyük fel, hogy P > 0 tetsz leges valós szám. Ekkor lim a ) = + = N, hogy > : a > P. Legye 0 := max {N, }. Ekkor > 0 idexre és ez azt jeleti, hogy lim b ) = +. P < a b, 3. eset: A =. Tegyük fel, hogy P < 0 tetsz leges valós szám és tekitsük most a c ) sorozatot. Mivel lim c ) =, ezért P -hez N, hogy > : c < P. 5

6 Ha 0 := max {N, }, akkor > 0 idexre P > c b. Ez pedig azt jeleti, hogy lim b ) =. A következ tételek azt állítják, hogy a határértékek közötti agyságredi kapcsolatok örökl dek a sorozatok elég agy idex tagjaira. S t, bizoyos értelembe fordítva: a tagok agyságredi kapcsolataiból következtethetük a határértékek közötti agyságredi viszoyokra. 3. tétel. Tegyük fel, hogy az a ) és a b ) sorozatak va határértéke és Ekkor: Bizoyítás. lim a ) = A R, lim b ) = B R. o Ha A < B = N N, hogy > N : a < b. o Ha N N, hogy > N : a b = A B. o Négy eset lehetséges.. eset: A, B R és A < B, vagyis a ) és b ) koverges sorozatok. Ekkor az ε := B A > 0 számhoz lim a ) = A miatt N, hogy > : A ε < a < A + ε = A + B, továbbá lim b ) = B szerit N, hogy > : B ε = A + B < b < B + ε. Így az N := max {, } köszöbidexszel azt kapjuk, hogy a < A + B < b > N idexre, és ez az állítás bizoyításását jeleti.. eset: A R és B = +. Mivel az a ) sorozat koverges és lim a ) = A, ezért ε := -hez N, hogy mide > idexre A < a < A +. A lim b ) = + feltételb l pedig az következik, hogy az A+ számhoz N, hogy mide > idexre A + < b. 6

7 Így > N := max {, } idex eseté az egyel tleség teljesül. a < A + < b 3. eset: A = és B R bizoyítása hasoló. 4. eset: A = és B = + bizoyítása is hasoló. o Idirekt módo bizoyítuk. Tegyük fel, hogy A > B. Ekkor az o állítás szerit N N, hogy mide > N idexre b < a, ami elletmod a feltételek. Megjegyzés. Figyeljük meg, hogy o és o majdem egymás megfordításai. Az o állítás megfordítása em igaz, azaz az a < b feltételb l em következtethetük az A < B egyel tleségre. Tekitsük például az a := / és a b := / N + ) sorozatokat. A o állítás megfordítása sem igaz. Legye például a := / és b := / N + ). Nullasorozatok M veletek koverges sorozatokkal A sorozatok kovergecia-tulajdoságaiak vizsgálatáál kiemelt szerepet játszaak a ullasorozatok. 4. deíció. Az a ) sorozatot ullasorozatak evezzük, ha koverges és lim a ) = 0, azaz ε > 0-hoz 0 N, > 0 : a 0 = a < ε. 4. tétel: Nullasorozatok alaptulajdoságai. o a ) ullasorozat a ) ullasorozat. o a ) koverges és lim a ) = A a A ) ullasorozat. 3 o Majorás kritérium. Ha a ) ullasorozat és c a m.m N), akkor c ) is ullasorozat. Bizoyítás. o lim a ) = 0 ε > 0-hoz 0 N, hogy > 0 : a < ε, azaz a 0 < ε, és ez azt jeleti, hogy lim a ) = 0. o lim a ) = A ε > 0-hoz 0 N, hogy > 0 : a A < ε, azaz a A) 0 < ε, tehát lim a A) = 0. 3 o lim a ) = 0 = ε > 0 mellett egy alkalmas N küszöbidexszel a < ε > idexre. 7

8 Ugyaakkor a c a m.m. N) majorás feltétel miatt va olya N, amellyel c a > idexre. Ha tehát 0 := max {, }, akkor c a < ε > 0 idexre, ami azt jeleti, hogy lim c ) = tétel: M veletek ullasorozatokkal. Tegyük fel, hogy lim a ) = 0 és lim b ) = 0. Ekkor Bizoyítás. o a + b ) is ullasorozat; o ha c ) korlátos sorozat, akkor c a ) is ullasorozat; 3 o a b ) is ullasorozat. o Mivel lim a ) = lim b ) = 0, ezért ε > 0-hoz N, hogy > : a < ε és ε > 0-hoz N, hogy > : b < ε. Legye 0 := max {, }. Ekkor > 0 idexre a + b a + b < ε + ε = ε, és ez azt jeleti, hogy lim a + b ) = 0, azaz a + b ) valóba ullasorozat. o A c ) sorozat korlátos, ezért K > 0 : c < K N). Mivel a ) ullasorozat, ezért ε > 0-hoz 0 N, hogy > 0 : a < ε K, következésképpe mide > 0 idexre azaz lim c a ) = 0. c a < K ε K = ε, 3 o Mivel mide koverges sorozat korlátos, ezért a lim b ) = 0 feltételb l következik, hogy b ) korlátos sorozat. Az állítás tehát o közvetle következméye. 8

9 Megjegyzések. Világos, hogy ullasorozatok külöbsége is ullasorozat.. Nullasorozatok háyadosáak a határértéke vagyis két kicsi szám háyadosa) bármi lehet. Ezt illusztrálják az alábbi példák: = +, ha +, 3 3 = 0, ha +, c = c c, ha + itt c R), M veletek koverges sorozatokkal ) = ) sorozat diverges. A koverges sorozatok és az algebrai m veletek kapcsolatát fejezi ki a következ tétel. Azt állítja, hogy a koverges sorozatok a m veletek sorá a legtöbb esetbe jól viselkedek abba az értelembe, hogy a három alapm velet és a határérték képzés sorredje felcserélhet. 6. tétel. Tegyük fel, hogy az a ) és a b ) sorozat koverges. Legye Ekkor lim a ) = A R és lim b ) = B R. o a + b ) is koverges és lim a + b ) = lim a ) + lim b ) = A + B, o a b ) is koverges és lim a b ) = lim a ) lim b ) = A B, 3 o ha b 0 N) és lim b ) 0, akkor ) a b a is koverges és lim b ) = lim a ) lim b ) = A B. Bizoyítás. Legye x ) egy valós sorozat. Azt már tudjuk, hogy ) ha x ) koverges, és α R a határértéke x α) ullasorozat. o A *) állítás miatt elég azt megmutati, hogy a + b ) A + B) ) ullasorozat. Ez yilvá igaz, mert a + b ) A + B) ) = a A) + b B), és két ullasorozat összege is ullasorozat. 9

10 o A *) állítás miatt elég azt megmutati, hogy a b AB ) ullasorozat. a b AB = a b Ab + Ab AB = b a A) + Ab B) b a }{{} A + A b }{{}}{{} B }{{} korlátos 0-sorozat korlátos 0-sorozat }{{}}{{} 0-sorozat 0-sorozat }{{} 0-sorozat. Így a b AB ) valóba ullasorozat, ezért az a b ) szorzat-sorozat koverges, és A B a határértéke, azaz lim a b ) = A B = lim a ) lim b ). 3 o A bizoyításhoz el ször egy ömagába is érdekes állítást igazoluk. Segédtétel. Ha b 0 N) és b ) koverges, továbbá B := lim b ) 0, akkor az reciprok-sorozat korlátos. ) b Eek bizoyításához legye ε := B /. Ekkor egy alkalmas 0 N küszöbidex mellett b B < ε = B > 0 idexre. Így mide > 0 eseté b = B + b B B b B > B B = B. Tehát < B, ha > 0, következésképpe az b { max b 0, b,..., b 0, } B b egyel tleség már mide N számra teljesül, ezért az / b ) sorozat valóba korlátos. A segédtételt tehát bebizoyítottuk. Most azt látjuk be, hogy az ) ) ) sorozat koverges és lim = B. b b 0

11 Tekitsük a következ átalakításokat: b B = B b B b = = B b ) B b }{{ }{{}} 0-sorzat korlátos }{{} 0-sorzat N). Így *) szerit a ) állítás valóba igaz. A 3 o állítás bizoyításáak a befejezéséhez már csupá azt kell gyelembe vei, hogy a = a b b N), más szóval az a /b ) háyados-sorozat két koverges sorozat szorzata. Így a o állítás és a reciprok sorozatról az el bb modottak miatt ) ) a a is koverges és lim = A B = lim a ) lim b ). b b