ÖSSZEÁLLÍTOTTA: KUBATOV ANTAL
|
|
|
- Donát Fülöp
- 9 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A háozög nevezee köeinek ugivl kpolo feldok ÖSSZEÁLLÍTOTTA: KUBATOV ANTAL 00 / 006
2 Előzee udnivlók Előzee udnivlók Az özefüggéek leíáá kövekező á jelöléei hználjuk: I. Minden háozögen événye özefüggéek: x E E ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) g y z AE II. Minden háozögen: γ γ g g g g g g γ γ g g g g g g inden ne deékzögű háozögen: g g gγ g g gγ III. IV. Hegyezögű háozögen gágpon é áely ké ú köé í kö ug ugynkko, égpedig egyenlő háozög köé í köének ugávl. A gágpon oldlk illeve oldlközépponok vonkozó üköképei háozög köé íhó köén vnnk.
3 Feldok Feldok. Bizonyíuk e z lái özefüggéek helyeégé inden háozöge!.).).) d.) in in in γ e.) f.) g.) h.) 6 g g g γ 8 i.). A kövekező feldok deékzögű háozögeke vonkoznk ( z áfogó)..) 99 ; ;?.) 7 5 ;?.) 0 8 ;? d.) k 0 ; ;?.. 5. Egy háozög hozzáí köeinek ugi ; 0 é 5 egyég. Mekko háozög keülee? Szekezendő z ABC háozög h do z AB oldl, eí kö ug, ováá z AB oldlhoz hozzáí kö ug. Ado egy konvex zögoány é j kívül egy P pon. Szekezük P ponon keezül olyn egyene, ely zögoányól do keüleű háozöge vág le!
4 Feldok 6. Ado z ABC háozög é köé í egyégnyi ugú kö. Vn egy olyn közőnk, ellyel k egyégnyi ugú kööke udunk zekezeni. Szekezük eg háozög gágponjá k ennek közőnek egíégével! 7. Szekezünk háozöge, h do oldl, hozzáozó gág, é áik ké oldl özege: d ( )! Szekezünk háozöge, h do z egyik zöge, z ez felező egyene háozöge eő zkz é háozög keülee! Szekezünk háozöge, h do eí köének, vlin ké hozzáí köének középponj! Tekinük z ABC háozöge oldli éinő négy kö közül z keő, ely z AB oldl éini. Bizonyíuk e, hogy e ké kö ugánk éni közepe ne lehe ngyo z AB oldl felénél! Muuk eg, hogy z ABC háozöge éinő köök közül áelyik háo középponján áenő kö ug z ABC háozög köé íhó köének áéőjével egyenlő! Az ABC háozöge í kö BC oldl D ponn, könek BC-vel páhuzo éinője E ponn éini. Az AE egyene BC oldl z M ponn ezi. Bizonyíuk e, hogy BM CD!. Az ABC háozög oldli eí kö K, K é K ponokn éini. A hozzáí köök középponji O, O é O. Bizonyíuk e, hogy z ABC háozög eülee éni közepe K K K é O O O háozögek eüleeinek!. Egy háozög egyik oldl egyenlő áik ké oldl özegének hdávl. Bizonyíuk e, hogy z eedei háozöge é középháozöge í köök éinik egyá! 5. Az ABC háozöge í kö középponj O, hozzáí kööké O, O, O. Bizonyíuk e, hogy négy pon közül áelyik háo ponon áenő kö ug ugynkko! 6. Egy háozög hozzáí köeinek középponjáól állíunk eőlegeeke háozög éine oldli. Bizonyíuk e, hogy háo egyene egy ponn ezi egyá!
5 Feldok Köük öze háozög egyik úá eí kö é zeközi oldlhoz ozó hozzáí kö középponjávl. Bizonyíuk e, hogy ké ávolág zoz egyenlő válzo ú é áik ké hozzáí kö középponj közi ávolágok zozávl! A háozög oldli elülől éinő köhöz z,, oldlkkl páhuzon húzo éinőknek háozög elejéen lévő zkzi legyenek,,. Bizonyíuk e, hogy! A 8. feldn leí ódon kelekeze ki háozögeke i jzoljuk eg eíhó kööke. Háozzuk eg négy kö eüleének özegé z eedei háozög oldlink egíégével! Egy háozög indháo oldlegyeneé éinő négy kö ug egy éni ooz egyá köveő négy elee. Mekko háozög legngyo zöge? Bizonyíuk e, hogy hegyezögű háozög eülee egyenlő köé í kö ugánk é lpponi háozög félkeüleének zozávl!. Bizonyíuk e, hogy inden háozögen o o o γ! ( Sugáegyenlőlenég: o o oγ o o oγ 8 o o oγ. Legyen A, A, L An ezőlege n oldlú húokzög, elye egyá ne ező álói (n-) d háozöge onnk. Igzoljuk, hogy háozögeke eí köök ugink özege ne függ felonáól! ). Egy háozög oldli egéz záok, eí köének ug egyégnyi. Háozzuk eg háozög oldli! 5. Egy háozög oldlink, vlin eí köe é hozzáí köei,, ugink éékzái egéz záok, ugkéi páok. Háozzuk eg háozög oldli, h!
6 Feldok 6. Vlely háozögől kövekező udjuk: eg háozög háozög oldli! Z ;,, Z ;. Háozzuk Egy deékzögű háozög oldlink éékzái egézek, elyeknek nin -nél ngyo közö ozójuk. Az áfogóhoz hozzáí kö ug 0. Háozzuk eg z oldlk éékzáá! Az ABC hegyezögű háozög gágponj M, oldli,,. Muuk eg, hogy MA! MB MC MA MB MC 9. Állpíuk eg z ö iniuá! 0. Bizonyíndó: n... ρ ρ ρ ρ (A felozó egyeneek ezőlegeek; z ABC háozöge í kö ug; ρ z ABC háozöghöz hozzáí kö ug) n.. Egy négyzee íjunk egy olyn álláno négyzöge, elynek álói eőlegeek egyá. A eí négyzög oldli é z álói négyzee nyol háozöge onj, elyeke egjzoljuk eí kööke é z egye háozögeke z á zein pio é kéke zínezzük. Igzoljuk, hogy pio háozögeke í köök ugink z özege egegyezik kék háozöge í köök ugink z özegével! Jelölje P egy zályo háozög ezőlege elő ponjá. P-ől z oldlk állío eőlegeek lpponji A, B é C. A kelekeze h ki háozöge kizínezzük piol é kékkel felválv vlelyik köüljáá köveve, jd egjzoljuk indegyik ki háozög eíhó köé. Bizonyíuk e, hogy pio háozögeke í köök ugink z özege egegyezik kék háozögeke í köök ugink z özegével! 5
7 Feldok.. 5. Az ABCD éinőpéz álói négy háozöge onják. A ké-ké zeközi háozöge zínezzük pio é kéke, jd egjzoljuk indegyik ki háozöge íhó kö. Bizonyíuk e, hogy pio háozögeke í köök ugink eipoközege egegyezik kék háozögeke í köök ugink eipoközegével! Egy ezőlege háozögen egjzoljuk úlyvonlk, jd kelekeze ki háozögeke vlelyik köüljáá köveve felválv pio é kéke zínezzük é egjzoljuk indegyik eí köé. Bizonyíuk e, hogy pio háozögeke í köök ugink eipoközege egegyezik kék háozögeke í köök ugink eipoközegével! Muuk eg, hogy h egy háozög deékzögű, kko z oldlegyeneeke éinő köök ugi közül z egyik egyenlő áik háo éinő kö ugánk özegével! 6
8 Megoldáok 7 Megoldáok Feld. Bizonyíuk e z lái özefüggéek helyeégé inden háozöge!.) Induljunk ki háozög eüleé kifejező özefüggéekől: A öi oldl i felív, jd özedv őke:.) Induljunk ki háozög eüleé kifejező özefüggéekől: ( ) A öi oldl i felív, jd özedv őke: ( )
9 Megoldáok 8.) Induljunk ki háozög eüleé kifejező özefüggéekől: ( ) A öi oldl i felív, jd özedv őke: ) )( )( ( )] )( )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( [ ) )( )( ( )] )( )( ( ) )( ( [ ) ( ( ) ( ) ( ) d.) γ in in in Induljunk ki zínuzéelől: in A öi oldl i felív, jd özedv őke: in in in γ γ in in in
![felív, jd özedv őke: ) )( )( ( )] )( )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( [ ) )(](/docs-images/49/21277027/images/page_9.jpg ")( ( )] )( )( ( ) )( ( [ ) ( ( ) ( ) ( ) d.")
10 Megoldáok 9 e.) Hználjuk kövekező özefüggéeke: 6 ( )( )( ) f.) 6 Hználjuk fel z e.) ézen kpo özefüggéeke: 6 6 g.) γ g g g Hználjuk fel z ááól i leolvhó ie özefüggéeke: g A öi oldl i felív, jd lkív: ( )( )( ) γ g g g γ g g g
11 Megoldáok 0 H oválépünk, é áképpen i felíjuk eülee ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γ γ g g g g g g γ g g g Ez z állíá i inden háozöge eljeül. Özeveve z elő kpo zonoággl kpjuk: γ γ γ γ g g g g g g g g g g g g i inden háozöge événye. (Teljeen honló ódon egkphjuk inden ne deékzögű háozöge événye γ γ g g g g g g özefüggé.) h.) Hználjuk kövekező özefüggéeke: ( )( )( ) ( ) ( )( ) Ez öi oldl i felív é felhználv: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
12 Megoldáok ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H izonyío állíáunk ová endezzük: γ γ g g g g g g özefüggéhez juunk. i.) 8 Hználjuk kövekező özefüggéeke: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ez öi oldl i felív é felhználv: ) ( felhználv.) é h.) feld eedényei ( ) ) ( 8 6 8
13 Megoldáok Feld. A kövekező feldok deékzögű háozögeke vonkoznk ( z áfogó)..) 99 ; ;? A kpo egyenleendze egoldv x 6 y x y 6 Íjunk fel özefüggéeke z ieeleneke! Tehá x y ( ) A Pigoz-éelé felív: ( y ) 85 ( x ) ( x ) y xy 86 Ugynez egkpuk voln, h eülee íjuk fel kéféle ódon Tehá háozög efogói 77 illeve 6 egyégnyiek. ( x )( y ).) 7 5 ;? Száíunk ki dok: 7 x y ( x 5) ( y 5) ( x y) x y 5 88 Íjuk fel eülee kéféle ódon ( x 5 )( y 5)
14 Megoldáok 588 ( x 5)( y 5) xy 0 A kpo egyenleendze egoldv x y 0 x y 0 Tehá háozög efogói 55 illeve 8 egyégnyiek..) 0 8 ;? Íjuk fel pigoz-éel ( x 0) 8 ( x 8) 0x x x 5 Tehá keee oldlk: 5 é 5. d.) k 0 ; ;? Száíunk ki dok: x y 6 0 x y x y 7 Íjuk fel eülee kéféle ódon ( x )( y ) ( x )( y ) 0 xy 60 A kpo egyenleendze egoldv x y 5 x y 5 Tehá háozög efogói 8 illeve 5 egyégnyiek.
15 Megoldáok Feld. Egy háozög hozzáí köeinek ugi ; 0 é 5 egyég. Mekko háozög keülee? Az /h. feld lpján k 0 Feld. Szekezendő z ABC háozög h do z AB oldl, eí kö ug, ováá z AB oldlhoz hozzáí kö ug. Az á lpján: E E E A AE E E E EO O zekezheő, ehá háozög i zekezheő. Feld 5. Ado egy konvex zögoány é j kívül egy P pon. Szekezük P ponon keezül olyn egyene, ely zögoányól do keüleű háozöge vág le! Az á lpján: A oldlhoz hozzáí kö könnyen zekezheő, hizen E é E i ávolág vn C-ől. Ezuán P-ől éinő zekezünk k-hoz. (Nin egoldá, h ne zekezheő éinő.) Feld 6. Ado z ABC háozög é köé í egyégnyi ugú kö. Vn egy olyn közőnk, ellyel k egyégnyi ugú kööke udunk zekezeni. Szekezük eg háozög gágponjá k ennek közőnek egíégével!
16 Megoldáok Az á lpján: Tudjuk, hogy M oldlk vonkozó üköképe k-n vn. Ezé KM ' KM '' KM '''. Így, h z oldlk üközzük pl. egyégnyi. KM ' -, kko ükökép i Tehá K- üközzük ké oldl (K ;K ), jd K é K köüli egyégnyi ugú köök ezéponjkén egkpjuk M-e. Feld 7. Szekezünk háozöge, h do oldl, hozzáozó gág, é áik ké oldl özege: d ( )! Az á lpján: d zekezheő zz zekezheő (negyedik ányo zekezée). Így zekezé enee például: CEO zekezée,eöl eíhó kö zekezée,jd C középponú, ugú kö felvéele.a ké kö közö külő éinője oldl. Feld 8. Szekezünk háozöge, h do z egyik zöge, z ez felező egyene háozöge eő zkz é háozög keülee! Az á lpján: G zekezée;z oldlhoz hozzáí kö zekezée; G-ől éinő zekezée köhöz. 5
17 Megoldáok Feld 9. Szekezünk háozöge, h do eí köének, vlin ké hozzáí köének középponj! Az á lpján: O -ől eőlege zekezée zekezée O O -, O -ól eőlege O O -. Az így kpo egyeneek ezéponj O.ABC zo O O lpponi háozöge. Feld 0. Tekinük z ABC háozöge oldli éinő négy kö közül z keő, ely z AB oldl éini. Bizonyíuk e, hogy e ké kö ugánk éni közepe ne lehe ngyo z AB oldl felénél! Az á lpján: ( ) ( ) ( ) OO. É ez kelle izonyínunk! Feld. Muuk eg, hogy z ABC háozöge éinő köök közül áelyik háo középponján áenő kö ug z ABC háozög köé íhó köének áéőjével egyenlő! Az á lpján: Tiviáli, hogy z O O O háozög indig hegyezögű elynek O gágponj.az O ; O ; O ; O ponok közül áely háo köé íhó kö ug egegyezik(lád Geoeii feldok gyüjeénye I., 08.feld). Máéz z ABC háozög köé í kö z O O O háozög Feueh köe, így ug fele z O O O háozög köé í ugánk. 6
18 Megoldáok Feld. Az ABC háozöge í kö BC oldl D ponn, könek BC-vel páhuzo éinője E ponn éini. Az AE egyene BC oldl z M ponn ezi. Bizonyíuk e, hogy BM CD! Az á lpján: H egujuk, hogy M hozzá í kö éinéi ponj kko kézen vgyunk, hizen eí kö éinéi ponj olyn eze vn z egyik úól, in hozzáí kö éinéi ponj áikól. A eí kö felő ki háozögnek hozzá í köe. Tekinük z középpono honlóágo (középpon: A), ely ki háozöge ngy háozöge vizi. Ez hozzá í kö E éinéi ponjá i ávizi z M-e, ngy háozög hozzáí köének éinéi ponjá. Feld. Az ABC háozög oldli eí kö K, K é K ponokn éini. A hozzáí köök középponji O, O é O. Bizonyíuk e, hogy z ABC háozög eülee éni közepe K K K é O O O háozögek eüleeinek! Hználjuk kövekező jelöléeke: o oo ABC KKK T τ Ekko felíhjuk kövekezőke τ ( ) in ( ) in ( ) in γ in γ τ ( ) ( ) ( ) in γ ( ) ( ) ( ) 7
19 Megoldáok 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tudjuk, hogy ( ) ρ ρ ( )( )( ) T ρ ρ ρ T τ Feld. Egy háozög egyik oldl egyenlő áik ké oldl özegének hdávl. Bizonyíuk e, hogy z eedei háozöge é középháozöge í köök éinik egyá! Az á lpján: CAF F éinőnégyzög, ehá F F éini eíhó kö. T F F T ( eí illeve hozzáí kö éinéi ponjink úokól vló ávolág lpján). Jelölje k z BF F háozög eí köé. A k kö üköképe F F felezőponjá k. F F k é k közö éinője T -en. Tehá k é k T -en éini egyá. Feld 5. Az ABC háozöge í kö középponj O, hozzáí kööké O, O, O. Bizonyíuk e, hogy négy pon közül áelyik háo ponon áenő kö ug ugynkko! Az O O O háozög indig hegyezögű vlin lád Geoeii feldok gyűjeénye I. 08. feldánk egoldáá!
20 Megoldáok Feld 6. Egy háozög hozzáí köeinek középponjáól állíunk eőlegeeke háozög éine oldli. Bizonyíuk e, hogy háo egyene egy ponn ezi egyá! Az á lpján: A hozzáí köök középponji áll egháozo háozögen z eedei háozög lpponi háozög. H egujuk, hogy háozög úiól lpponi háozög oldli eel eőlegeek egy ponn ezik egyá, kko kézen vgyunk. Megujuk, hogy ezek z egyeneek áennek háozög köé íhó kö középponján. Legyen M illeve M z M üköképe AB -e illeve BC -e (j vnnk k -n). MB M B M B így M BM egyenlőzáú, ehá B -ől induló M M -e eőlege egyene felezi z M M hú, így áegy k középponján i. M M TT (hiz M középponú ½-zee középpono honlóág dj), így z M M felező eőlegee eőlege T T lpponi háozög oldli oáo egyeneek áennek kö középponján. -e, zz úokól Feld 7. Köük öze háozög egyik úá eí kö é zeközi oldlhoz ozó hozzáí kö középponjávl. Bizonyíuk e, hogy ké ávolág zoz egyenlő válzo ú é áik ké hozzáí kö középponj közi ávolágok zozávl! Az állíá így i íhó: CO CO Az á lpján: CO CO O OC ~ CO O O CO O CO 90 CO O CO O CO CO CO CO o 9
21 Megoldáok 0 Feld 8. A háozög oldli elülől éinő köhöz z,, oldlkkl páhuzon húzo éinőknek háozög elejéen lévő zkzi legyenek,,. Bizonyíuk e, hogy! Az á lpján: A ki háozög honló z ABC háozöghöz, honlóáguk ány hozzáí köök éinéi ponji ávoli úokkl özeköő zkzok ány. ( ) Feld 9. A 8. feldn leí ódon kelekeze ki háozögeke i jzoljuk eg eíhó kööke. Háozzuk eg négy kö eüleének özegé z eedei háozög oldlink egíégével! Az előző ézevéel felhználv: Így ( ) ( ) ( ) π π π π π Héon képle ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) π Feld 0. Egy háozög indháo oldlegyeneé éinő négy kö ug egy éni ooz egyá köveő négy elee. Mekko háozög legngyo zöge? Tegyük fel, hogy
22 Megoldáok Ekko ( ) ( ) Tehá háozög legngyo zöge o 90. Feld. Bizonyíuk e, hogy hegyezögű háozög eülee egyenlő köé í kö ugánk é lpponi háozög félkeüleének zozávl! I. egoldá: Az á lpján: A egoldá honló hhoz, hogyn legkie keüleű eíhó háozöge zekezjük. AKC BT T ~ ", k T T B T B T B T " ' " ' k k k K köéí kö középponj k lpponi háozög keülee.
23 Megoldáok II. egoldá: Az hználjuk fel, hogy gágponnk z oldl vonkozó üköképei köéí köön vnnk. Az AM BM CM hzög eülee kézeee z ABC háozög eüleének ( üközé i). Ez deloidól khó öze.( PL. KM AM deloidól e KM KM é AM é AM ugynkko keülei zögekhez ozó húok.) Így hzög eülee: M ' M " M ' M"' M " M '" ( M ' M " M ' M "' M" M "') Máéz z M M M háozög lpponi háozög -zee ngyíá M-ől. Így keülee i -zeee nnk. Tehá hzög eülee: k k ABC III. egoldá: Tudjuk, hogy z eedei ABC gágvonli lpponi háozög zögfelezői. Ez z i jeleni, hogy pl. AB külő zögfelező, hizen eőlege elő (T C) zögfelezőe. Eől kövekezik, hogy B lpponi háozög T T oldlához í kö középponj. k T k ( 90o ) E o zz in k ABC k Feld. Bizonyíuk e, hogy inden háozögen: o o oγ!
24 Megoldáok o o oγ T Má könnyen eláhó. [] ( )( )( ) (ugáegyenlőlenég) z egyenlőég kko eljeül, h háozög zályo. A ugáegyenlőlenégől kövekezik, hogy háozög Feueh-féle köének ug(/) ne lehe kie eí kö ugánál(). A feniekől kövekezik: o o oγ o o oγ o o oγ o o oγ 8 [ ] -e endezve: o o oλ o : K oldlól vló előjele ávolág h < 90 h 90 o 0 h > 90 o( 80 ) o Vgyi z állíá egfoglzhó így i: d d d hol d k köéíhó kö közzéponjánk előjele ávolág egfelelő oldlól.
25 Megoldáok Feld. Legyen A, A, L An ezőlege n oldlú húokzög, elye egyá ne ező álói (n-) d háozöge onnk. Igzoljuk, hogy háozögeke eí köök ugink özege ne függ felonáól! Alklzzuk z előző ézevéel inden háozöge! Minden álóhoz ozó zkz ponon ké háozögen zeepel, egyze poziív, egyze negív előjellel, így h özegezzük inden háozöge, kko Ahol n ' ' ' ( i ) d d... dn i ' d okzög oldlink ávolág középponól, é z do okzög eeén állndó. Így feni egyenleől: n i n ' i di ( n ) i állndó Feld. Egy háozög oldli egéz záok, eí köének ug egyégnyi. Háozzuk eg háozög oldli! A kövekezők jelöléeke hználjuk: x ; y ; z ( )( )( ) ( )( )( ) x y z x y z Mivel,, poziív egézek x, y, z vgy egézek vgy.) x, y, z k lkúk x, y, z pálnok ( x y z ) x y z páo páln k lkúk. Ellenondá juounk, ehá:
26 Megoldáok 5.) x, y, z egéz Az állánoág egzoíá nélkül feleheő, hogy. x y x Ekko z y x y x x z y (y,z poziív egézek) x y z - Tehá háozög oldli, é 5 egyégnyie. Feld 5. Egy háozög oldlink, vlin eí köe é hozzáí köei,, ugink éékzái egéz záok, ugkéi páok. Háozzuk eg háozög oldli, h! Tehá egéz négyzezá h 6, kko ne négyzezá ellenondá! Az állánoág egzoíá nélkük felehejük, hogy 6 (z 6 eee á vizgáluk) (hizen páo é > ) 6
27 Megoldáok páo é páo é H é 6, kko é, ekko é 6 6 ; ; 6 6 ; 8; 0 H 8 é 8, kko é, de ekko zozuk ne négyzezá Tehá háozög oldli 6, 8, é 0 egyégnyiek. Feld 6. Vlely háozögől kövekező udjuk: háozög háozög oldli! Z ;,, Z ;. Háozzuk eg h 7 Z h ne indegyik ugá, kko kell, hogy legyen egy, ely (kie ne lehe, hizen ). 6
28 Megoldáok Például Eől : Tehá é ekko 6 Szozuk gyöke () ne egéz! 6 Szozuk gyöke () ne egéz! ; ; ; 6 6 vlin 6 ; ; Tehá háozög oldli,, é 5 egyégnyiek. Feld 7. Egy deékzögű háozög oldlink éékzái egézek, elyeknek nin -nél ngyo közö ozójuk. Az áfogóhoz hozzáí kö ug 0. Háozzuk eg z oldlk éékzáá! Az oldlk elív píek pihgo-i lphá: n ; n; n (,n külöözö piáú) n ( n ) ( n ) páln n > n > 0 < 0 0 7
29 Megoldáok Máéz: n n < > 0 > 0 5 Tehá 6; 0 Mivel 0 ne ozhó 6-l 0 n Tehá 99, 0, 0 Feld 8. Az ABC hegyezögű háozög gágponj M, oldli,,. Muuk eg, hogy! MA MB MC MA MB MC I. Megoldá Szíznuzéel felhználv: in in ( ABC ) o AM ( 90 ) ( ABM ) A öi oldl felív kpjuk, hogy g gγ MB MC Hználjuk fel z ie özefüggé g g gχ g g gχ MA MB MC MA MB MC g MA II. Megoldá Megin felhználjuk Geo. I. 08. feldá! ABM BCM ACM MA MB MB MC MA MC MA MB MC MA MB MC 8
30 Megoldáok 9 Feld 9. Állpíuk eg z ö iniuá! Hználjuk kövekező iviáli egyenlőlenége: ( ) ( ) ( ) 0 vlin z.h feldo γ γ γ g g g g g g g g g Miniáli ö, h z egyenlőég eljeül, vgyi h háozög zályo. Feld 0. Bizonyíndó: ρ ρ ρ ρ n n... A eí kö éinéi ponj olyn eze vn z egyik úól, in hozzáí kö éinéi ponj áikól ( ) ( ) ε ϕ ρ ε ρ ϕ g g g g nlóg ódon δ ε ρ g g felhználv z özefüggéeke δ ϕ δ ε ε ϕ ρ ρ g g g g g g Ez folyv egyá uán öie i kpjuk ρ δ ϕ ρ ρ ρ g g n n...
31 Megoldáok Feld. Egy négyzee íjunk egy olyn álláno négyzöge, elynek álói eőlegeek egyá. A eí négyzög oldli é z álói négyzee nyol háozöge onj, elyeke egjzoljuk eí kööke é z egye háozögeke z á zein pio é kéke zínezzük. Igzoljuk, hogy pio háozögeke í köök ugink z özege egegyezik kék háozöge í köök ugink z özegével! A feld egoldáához ké egédéel hználunk fel:. egédéel: A deékzögű háozöge í kö áéője é oldli közö fennáll özefüggé, hol jelöli deékzögű háozög áfogójá, é pedig efogói. Igzolá: Az lái ááól ez könnyen leolvhó. egédéel: Egy négyzee jzol egyá eőlege zkzok áll zeközi úoknál kelekező zkzok özege egyenlő, zz DQ DS PB B CQ C AP AS. Igzolá: Az lái áá hználv: DQ DS PB B ede dee CQ C AP AS Az ie, hogy PQ S (Geoeii feldok gyűjeénye I. köe, Tnkönyvkidó, Budpe, oldl 75. feld.) Az állíá igzolá ezek uán jzól közvelenül leolvhó. Feld. Jelölje P egy zályo háozög ezőlege elő ponjá. P-ől z oldlk állío eőlegeek lpponji A, B é C. A kelekeze h ki háozöge kizínezzük piol é kékkel felválv vlelyik köüljáá köveve, jd egjzoljuk indegyik ki háozög eíhó köé. Bizonyíuk e, hogy pio háozögeke í köök ugink z özege egegyezik kék háozögeke í köök ugink z özegével! A egoldá oán ié felhználjuk.feld elő egédéelé! 0
32 Megoldáok Száoljuk ki előzö pio háozögeke í köök ugink kézeeének z özegé: ( ) AC PC PA BA PA PB CB PB PC 5 Honlón jáunk el kékek özegénél: ( ) BC PC PB CA PA PC AB PB PA 6 AC BA CB BC CA AB Az egyenlőég elááához elegendő eláni, hogy háozög oldlin kelekező pio é kék zkzok hozánk z özege egyenlő, zz (Egyékén ez egy ie feld, z elei egoldá áu feld háeée i.) Tekinük kövekező áá, ely z előzőől úgy áll elő, hogy P ponon á páhuzook húzunk zályo háozög oldlivl. Az egyenlőég iviliá á leolvhó, hizen kelekező zieiku pézok zái egyenlők é á-á zínűek, ugynígy páhuzoág i P köül kelekező háo kiháozög i zályo, é eőlege felezi egfelelő oldl, elyek zinén különöző zínűek. Ezzel z állíá eláuk. Megjegyzé: Máhogy i igzolhó ez z állíá, h felíjuk k pio é k kék zkzokkl PA PB PC özege Pihgoz-éel egíégével, é ezeke egyenlővé ezük, é h háozög oldlá -vl jelöljük, kko z kpjuk, hogy AC BA CB BC CA AB
33 Megoldáok Feld. Az ABCD éinőpéz álói négy háozöge onják. A ké-ké zeközi háozöge zínezzük pio é kéke, jd egjzoljuk indegyik ki háozöge íhó kö. Bizonyíuk e, hogy pio háozögeke í köök ugink eipoközege egegyezik kék háozögeke í köök ugink eipoközegével! Felhználjuk háozöge í kö ugá z ie () özefüggé, ováá z () () vlin (), BE ED ABC CDE honlóágáól dódó özefüggéeke. Továá felhználjuk iviáli (5) egyenlőége. Az á jelöléei felhználv z z állíá: Tekineel, hogy z do péz éinőpéz, ezé d. H ennek z egyenlőégnek indké oldlához hozzádjuk z AE ; BE; CE; DE zkzok, ováá i eüleű ki háozögek félkeüleé i -vel jelöljük, hol i ;;;, kko z kpjuk, hogy Induljunk ki z állíá jo oldláól:
34 Megoldáok Feld. Egy ezőlege háozögen egjzoljuk úlyvonlk, jd kelekeze ki háozögeke vlelyik köüljáá köveve felválv pio é kéke zínezzük é egjzoljuk indegyik eí köé. Bizonyíuk e, hogy pio háozögeke í köök ugink eipoközege egegyezik kék háozögeke í köök ugink eipoközegével! Hználjuk fel z előző feld (.) özefüggéé, ováá hogy úlyvonlk áll léejö h háozög eülee egyenlő. Hználjuk z á jelöléei: delkező ki háozögek félkeüleé i, keüleé k i, eüleé i, hol i ;;;;5;6. Jelölje ováá z i ugú eí köel en- Ekko z igzolndó, állíá eüleeke e egjegyzé felhználáávl 5 6 z 5 6 özefüggée egy á, i ekvivlen k k k5 k k k6 özefüggéel. Uói fogjuk eláni. k k k5 AF CF AF BF AF BF CF BF CF AF BF CF AF BF CF AF BF CF AF BF CF k k k6 Feld 5. Muuk eg, hogy h egy háozög deékzögű, kko z oldlegyeneeke éinő köök ugi közül z egyik egyenlő áik háo éinő kö ugánk özegével! Hználjuk zokáo jelöléeke. Tegyük fel, hogy z Ekko z kell eláni, hogy zz ugá legngyo.
35 Megoldáok 0 A l oldl endezve ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Uói kko é k kko null, h ( ) ( )( ) 0 ( ) 0 ( )( ) 0 ( ) 0 0 Uói egyenlőég feléel i egy igz állíá. Eől kiindulv, vizfelé, ekvivlen álkíáokkl eljuhunk izonyíndó állíához, ezé z i igz.
36 Felhznál iodlo Felhznál iodlo KÖMAL einn I.: A geoei é háeüleei KVANT Molná E.: OKTV feldok Skljzkij, Cenov, Jglo: Válogo feldok 5
37 Felhznál iodlo Tlo Előzee udnivlók... Feldok... Megoldáok...7 Feld...7 Feld... Feld... Feld 6... Feld Feld Feld Feld Feld...6 Feld...7 Feld...7 Feld Feld Feld Feld Feld Feld Feld... Feld... Feld... Feld... Feld Feld Feld Feld Feld Feld Feld...0 Feld...0 Feld... Feld... Feld 5... Felhznál iodlo...5 6
MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
É Ő É é ö í é í é í í Ú é é é í í ő ö ö é É Ó É Á í é ő é í í í Í Í í í É É É í é é í Í é Íő é í é í é í í Í ú é é ű í í é í í Í ö ö ő é ö ö é é í Á ő é é é í é Í ö é é é é é é ö Í ö é é é í í é ö í í
Á ö é ő á ó ó É é í ő ó á á ő á ő é é á é é á á áé ú á á á í á é é ü ö é é ü ú á é á ó í Á í é ű ö é é á á ö ö á í é í ő ö é é é á é é é á á é ö é é ü é ö ö é ó í á á á é ö é é é í á á ő ö é ő é é é é
ó ű ü ó Á ó ú ú ú ó ó ó ü É É ű ü Ö ú ű ó ü ó í ű Ö ű ú Ü ű Ö ó í ű ó ó Ő í ű ó ü Á ú ú ó ű ó ü ű ó ó ó ó ű ű ó ó í ű ó ü ó Á ú ú ű ó ü Á ó ó í ó í ü ü ú ó í ú Á ó ó Ü ü ó Ö ü ó ü Ö ú í Á ü ű í í ü ú ó
É Í Á Á Ó Á Á Á Ö Ö ó ó ó őí ő ö ő öí í Í ó ó úí ü ö í ü í í ó ü á í Í á í á ű ö á á á á á á í á á ő á ö ó ó á ö ő á ó á á ö á Í á í á á á á á á á á á á á á í í á ő ö ó á á í á ő á ö ő á á á ő ő í ű á
á í á Ö Á Á É ő á ő á ü á ö ú á á á ö ű á í í á í á úí Í ő á ő á ő í á Í ő á ő ú í á í ü ő á ö Á í á á á Íí á á á á í ü ü í á á í á ö ö í á ü í Í ú ö íí á í á í á á á á á á á í á í á á á á í á ö á á Í
Ü ö Ü ó ő ó ó ö ő Ó Í Ü ú ó ó Á ö ó ü ü ő ó ó ó ó ó ó Ö ó ű ö ű ó ó ö ó ó ó ó ö ő Ó ú ö ó ó ü ő ö ő ő ú Ó
ö ü Í ü Ü ő ó ÁÉ É Á ó ö ő ó Ö ő ó Ö ó ó ő ó Ö ú ó ő ő ő ő ó ő ű ö ő ó ő ö ő ú ö ó ú ú ő ö ő ü ü ű ő ö ő ü ü ú ó ó ó ó ü Ü ö Ü ó ő ó ó ö ő Ó Í Ü ú ó ó Á ö ó ü ü ő ó ó ó ó ó ó Ö ó ű ö ű ó ó ö ó ó ó ó ö
ö Ö ő ü ő ö ü ö ó Ö ő ó í ó ó ü ő ü ö ő ő ő ő ő ő ő ö í ő ő ő í ö ő ö ő É í ő ó ő í ö ö ö ö ő ő ö ő ő ő í í í ü ő í ó ő ő ö í ő ő ö ö ő ú ü ő ő ő ő ó ö Ö ő ő ó ö ő ó ö Ü ő ó ö ü ü Á ü ő ó ö í ö í ő ó ő
Ó É Í ű ö ö ű í ö ö ö ö ö ö ö í ö ú ö í í ö í í í í ű ö í ö í ú Á Í Ó Á í ö ö ö ö ö ú Ú ö í í í ö ű ö ú ö Ú É É ö ú ö ö ú í í ú ú í ú ú í É ö É ö ú ú ú ö ú ö ú í É ö ö ö ö ö ö ú ö ö ú ú Á í ú ö Í ö í ö
ö í ő ő ő ö ö ö ö ö ő ő í ű ő ő ő ő ő í ű ő ő ő ű í ű ó ő ő ó ú ő ő ó ó í ó ö ö ö ő ő ő ő ú ú ó ö ö ő ő ű ö ö ú ó ó ó ö ú ő ó ö ő ő ö ő í ö ö í ő ö ő ö ő ö ú ő í ő ő ö ú ű ő ő ő ő í ö ö í í ú í ö ó ő ö
Á Á Á Ó ő ő ő í ő ö í ő ő ó í ó í ö ú ű í ó í ö ö őí ö ö ó í ő Á Á ö ö ű ö ö ö ö ö í ö ő ő ö ö í ő ö Ö Ú É Á őí í ö ö ö ö ö ő ö ő ő Ó ú ö ö ó Á ö ö ö í ö í ö í ű ö ö ű ö É ö ú ö í ö ú ű ö ű ö ö ő ű Ö ő
ú ű Í Í Ó ú ú ú ú Í ú ú ú ú ú ú Í ú ú ú ú ú ű Í ű ú ú ú Í ú ú ú É Ó Á Á Á É Á Á Á ú ű Á Á Á É ú É Á ű Á ű Á Á Á Á Á ú ú Á ú É Á É ű ű ú ű ú ű Í ű ú ú ú É Í É Í ú ú ű ú Í ú Í ű ű ú ű Í ú ú ú ú ű ú ú ú ű
Í ö Í ú Ú ö É Ú É Í Ó Ó ö ö ö Ö ú ú ú É Í É Í Ó Ú ö ö Ú É Í Ö ú ö ú ú Ö ú ű Í Ó ú Í ú Í Á É Í Ó Ö ö ú Ú Ö ö Ú É Í Ó É Í ú ű Í Í öé ö Í Í ú ú ű ö Í ú ű ö ú É ű ú ú Á ú Ö ú ú ö ö ú ű ú ö ö ö ö ú ű ú ö ú
ő ü ő ő ü ü ő ő ő ó ó ó í ó ő ü Ö ő ü ú ó ó Á ó ő ő ő í ő ő ő ó ó ő ú ü ő ő ő ő ő ü ü ó í ó ó ő ü ő í ó í ó í ő ú ő ó ü ő ó í ó ó ú ő ü ű ó ő ő ő Ö ő ő ó Ö ó í ő ő ó í ó ő ő ó ó ő ő ő ő í ó ó ó ő ő ü ó
ű Ó ú ú ú ú ú Ö Ö ú Á Ú ű ú ú Ú É ú ú Ö Ö Ű ú ú ú ű ú É ű ú É ú ú ú ű ű ű ú ű ú ű ú ű ű ú ű ű ú ú Á ú É ű ú ú ű ú Ü ű ú ú ű ű ú ú ú ú Ö Ö Ú ú ú ú ú ú ú ú ű É ú ú ú ű ú ú ű ú ú ú É Í ú ű ú ú ú ú ű ű É ú
Ő Á Ő É ö ö ö ö ú Á ö Ö ú ö Ö ö ö ű ú ú ö ö ö ö í í í ú ö í ö ű í í í í í í í ö í Í Í Á ö í Í ö í í Í ö É Ü ö Á í í ö ö ö í ö í ö ö í ö ű í í í í í í í Í ö í ö ö í Í Í ú í Í ú ö ú í í ú Í ö ö ú ö ö Í ö
í Í Ő í Ü ó ó Ó ó Ó Ó Ó ó Ó Á Ó Ü í í ó í Ó Ü í Ó Ó í ó ó ő ő í Ó í Í í Ő í ó í Ó ö ó ó Ö ó ó Á Á ó Á ó É ő í í ő í Í í í í í ó ó ó í Ó Á ö Ö í í É Ő Á ó Á Á É Í É ó í ő í ő Ó ó ó í ó ő ó ó í ó ő Ó ő í
ű ű ű É Ü ű ű ű Ö Ü Ö ű Ö Ú Ö ű ű ű Á ű ű Á É ű Ú ű Ó ű É Ó É ű ű É ű ű ű Á ű ű ű ű Ö Ö É Ú Í ű Ó ű Ö ű Ö Ö Ö Ö Ö ű ű ű ű ű Ö É É Á Á É Ö Ö É Ú Á ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű Ő ű Á ű
ő Ö ő ó ő ó ő ő ó ő ő ő ó ő ú ó ő ú ő ú ő ő ú ó ő ő ú ő ő ő ú ú ű ú ő ó ő ű ó ő ő ú ő ő ő ú ú ő ó ű ő ő Ö úú ő ó ú Ö ó ó ő ő Ö ó ú ő ő ő ú ő ó ő ó Ö ó ú Ű ő ő ó ő ő ó ő ú Ö ú Ö ő ő ú ú ő ő ú ú ó ó ő ó
MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
Á Á Ö Á Ó Ü ü Á Ó Á Á Á ú É É É É É É Á Á Ó Á Ó Ó Á Ö Ó Á Ó Á Á Ó Á Ú Ö Ö Á Ö Á Á Á É Á Á Á Á Á Á Á Á É Ó É Á Ó É Ó Á Ó É Ó É Á Ó Ö Ö Á Ó ö ö ú Ö Á É Ó Ú Á Á Ú Ó Ó Ó Á Á Á Á Ú Á É Á Á ö Á Í Á Á É Í
ö É ú Á Á Á Á Á É ü É É Á É ö Ő Ó Á Ő Ó Ó Í Ó Á ö Á Á Á Á Á É ÁÉ Á Á Á É É Ú É Á Á Á É É Á Á Á Ö Ö É É É É É É ú Á É É Ó Á Ó Í Ó Á Á Á ú Á ö É É É É É ő Á Ú Í É Á ö Á É Í É Ő Ó Ó Á É Í Á É É ö É Á Ő Ó
Í ö ö É Í ö ú ú Í ö Ö ú ö ú ú Ú ö ú Ö ú ú ú ú ú Ó ö ö ú ú ú Á ú Á ú ö Ú ö Ó ú Ú ö ö ö ú ö ö Á Í ö ö ú ö Í ö ö ö ö É ö ű ö Í ö ö ű ö É Á ö ö ö ö ú Í ö ö ú ö ö ú É Á Í ú ö ö ö ö Í Í ú Í Í Í É Í ű Í Í Í Í
ú ó ó ó ó ó ú ó í í ó í ú í ó í ú ó ű ú í Á ó í ó ó ó ó í í ó í í ó ó ó ó í ú ó ó í í í ó í ó í Ó Ö í ó ó ű í ó Ő ű í ó í í ó ű ű ú í ú í ó í ó í ó í í í í ó ú ó í ó í í Ő ű í ó í ó í ű ó ó ű ó ó ű í ó
ö ö Ö Ü ó í ö Ö ó ó ó ó í í ö ö ö í Ü Ü ö ö í í ó ö í ó ó ó ú ű ó ó ó ó ó ó ó ó ö ö í ó ó í ó ö ű ö ö ö í ú ú ó ó Ö ö ú ű ö í ó ó í í ú ö ö í ú ű ó ó ó ó ó ó ö ó í ú ű í í í ó ó ó ó í ó ó í ú ö ű í ö ó
Á Ú ő ú Ö ó ó ó ő ő ó Ö ő ú ó Ö ú ú ó Ü ú ó ó ó ó ű ó ó Í ú ő É É ő ő ű Ü ő ú ó ő ó ú ú ó ó ó Ö ú ő ú ő ú ő Ö ő Ü ő ó ó ó Ö ú ő ó ó Í Á É É É Á Á É É ó ú ó ő ó ó ó ó Ó ó ű ő ű ó É ú ó Ö ő ú ó Á É Á Í ó
ö Ü ö ö ú ü ó Í í ó ö ő ö Ú ű í ó ö ó ö ö ő Ü ö í ó ö ő ő Ú ö ö ú ö ó ó ő ö ö ú Ó ö ú ü Ó ö ú Ü ő í Ó ö ö Ú ö ú ö í ó ő ö Í ű ö Ü ö Ü Ü ö ő Ó Ó ö ú ü ó ó ú ű í ó Í ö Ú ü í ó í ö ú Ü ó í Ö Ő Ö Ú Ű Í Á Ó
ő ö Ö ő í í ő ó ő í ó ő ő Ö Ö ő ö í í ö ö í ő ő í í í í ő Ü í ö ö í ű ó ö Í í ö ó í Ü Ü É í ő ö í ő Ö Ö ő í í í Á ő ő í ő ő ö ö ö ö ó ö Ö í í ó ő Ü í ó ó ő ó ő ó ó í ó ö ó Ó í í í Ö í ő ö ö ö ó í ő ő í
Ú Á É í ő í ó ó ó í ö í ö ö ö í ö ö ö ö ö Ú ö ó ö ö ö í ö í ő ö í í ő ö ú ö ó ö í Á í ó ő ú í ő ő ú í í ó ő í ó ó í í ő ó ó ó ő ó ó ő ü í ü ó ü ő ó ő ó ü í ó í ő É ö ö ö ő ü ő óí ö ű ö ü ó ö ö ő í ó í
Ü ú ő ó ö Ö ó ó ő Ö ú ő ö ó ő ó ö ö ú ó ő ö ö ő ő ö ó ú ő ö ö ő ó ö ó ö ö ö ó ó ö ó ó ú ú ö ő ú ö ó ó ó ö ö ö ö ú ö Ü Á ú ő É ó ő ö ú ő ő ő ú Ö ú ó ó ó ó ú ő ó ö ő ó Ü ú ő ő ö Ü ó ő ó Á Á Ü ő ö ö Ü ö ö
Ö Ú Á É É Í Á Ü Á É Ö Ö ő Ö Ö Ö É Ó Ö Ö Ó Ö Ö Ö Á Ű É É Ó Ó Ó Ö Ó ő Í ő Ó Ö Ö Ö Í Ö Ú Ó Ó Ó Ö Ö Ó Ó Í Í ö ú ö ű ö Á ö Í ő Á ö ü ö ö ü ö ü ö Ú ö Ö Ö Ö ő ő ő Ó ő ö Ö ÍÍ Ö Í Ö Ö Í Ö Ö Í Í ő Ö ö ő ő ú ö ü
á á Á Á É É ÉÉ ú í Á Á É ö É Á Á á á é á é á Ű é á á é ő á á á é ú ő ő é á ó é é á í á ó á é ő é á á á é ó í á á ü é é á é á á é á á ó é é ö é Ü Ö Ö á á é é í é ú á ö é ö é é á á é á á é é ő á ő ő á é
ö É ő ő ö Ö ő ő ö ő ő É őő ő ű ő ő ö ö ö ú ő Ó É É Í ő ő ö ő ö É ö Ü Í ű ő Ü ő ő ö ö ű ö ő ö ö ö ö ő ú ö ü ő ő ő ő ü ő ú ú ü ő ö ő ő ő ö Ó É ő ő ú Í őő ő ö É ö ő ö ő ő ö ő ö ő ö ő ö ú ö ö ö ő ő ő ő ő ö
Ó Ú Ö É Ö Á Ú Ó É Ö É É Ö Á Á É ö ü ö í ö ö ő ó ö ö ő ő ö ó ö ű ő ő ö ö ű ö í ő í ű ö ü ű ö ó ö í ó í ű ó ű ö ő Á Á í ú ő ö ö í ó ú ó ú ó ú ó ú ó í ó í í ó ö ö Ö í ó ő ú ő ó ú Ö ű ő ö ö Á Á Ó ó í ó ó ö
í á í ö ö ö é ú é ö é ö ü é ö é é é á é á ü á ó á é Íí ő ő é ü é á á á ó ó ú ö é áíű ő ő é ö ó é í é é é á á é í á á ó é á ó é ü á é é Í í é ü ő ő é á é ü ú ó á é ű ő é ő ő ö ű ő ő á á á á í é é é á á
Í ű é ó ú Á ö ő ö é é é á é é ó ú ő ö é ó é á é é é é é é é ó á É É ü ő é é ó á á í á ó á é á ó á é é ü ó é ü ö ó ú ö é ö á ű á í é é é ü é é é ö á á á é ó é é ü á ü á á ú á á á á é é é é ü é é é ó é á
ö ö ó Á Á ó é ú ü ó é é é ú é é í é ü ö í é ü ó ö é é é é ö é ő é é ó é é ö é é í é ő é é é é í é ü é é í ő é é í é é ö é é é é é é é é ú ó é í é é ó í é é ó é í é ö é ő é ú ő ő é ő ö ú é é ó ü é ü é é
É É É ú ú í ü ú Ó ú í Á Ö É Ő É í í í ú Á Í í ü ö ú ö ö í ö ü Áö í ö ö í ö í í ü í É Ü Ú É ú Í É É É Í í Á É í í í ü ü Í Ó í í í ú ÍÁ Í í í í í É í ö í ö Ü í Í í íí Í Í Á ú É É Á í É É í í í í Í É ö Í
í ő ü í ú É ó ő ő ö í ó Í ú í ő ü í ú ü ő ó ó ő ő ő ő ó ö ö ü ö ö ó ö ó í ö ö í ő Ö Ö Ö ő ó ő ő ő ö ő Í ó ő ó Ó ő ó ö ö ú ú ö ö ú ö í ő Á Ö ő ő ó í ő ü í ú ü ő ő ő ő ő ó ö ú Ö ú ú í ö í ó ó Ö ö ő ö ó ú
ő ü ö í é é é é ő ő ő í ő ő ő ó é é é é ü ö é é ő é í ő ó ó é ü ö ő é é é í é ö é ű ö é éé ő ü é éé ő é ó í í é é í ú é é ö í é é é é é é ú é é é ú é í ó ű ö ő ö ó ü ő ó ö é é é é é éü ö ű é é ü ő ó é
í í í ö í ő ö ö ő ö ö í ű ő ö í í Ö í í í ő í í ö í í í ú Ö Á í í í í í Ö í í ö í í ő í í ö ű ö í ö í í ö í í í í ö ü í Ö É É ö í Ö ő Ö í í ő ü ő Ö ő Ö ő ö Á Á Á Á É É É Á Ö ő Ö ú ö í ú ű ú í Ö ü ú Ö ő
ő Ö ő í í ó ó ó ú ő ó ó ü ő ö ő ő ó ó ü ó í ő ö ö ö ó ő ó ö ö ő ó ó ó ó ö É ó ó ű ö ü ő ó ó ú ó í ó ő ó ó ő ú ó í í í ó í í ő ó ó ő ü É É Á Á É É ó ő ö ő ő ő ő ö ő ő ö ő ő ő ü ó í ö ó ó ő ú ő ó í ő ö ő
Ö É É É É Á ü é ü ö ó é é ú é ő ú ö ö é ú é ő é í é é ó ü ü ó é ő í ó ó ű é é é é ő é é é ó ő ö ő ö ó ú ó é é ű í é ó ó é é é é é é é ő ó é é ő é ó é é öü ő é é é é ó é ő é ö é é í é ó ő ó é é é ü ó ú
Á Á É ö ó ö ü ó ú ű ö ú ó ü ö ü ú ú ö ö ű Ü ö ö ű í ó ű í í Ö í ű ű í ű ű í Í í ó ű Ű ű í Ö Ö Á Á Ű ú ö Ő ű ü í Ö í Ő ű ű Ú ó Ö ű í ö ű í ü ö ü ö É ö ö ű ü í Ú í í ö Ő ó ó Ö ó í Í ö ö ó Ö ű ó Í í í ö ö
ű ö ú É Í Á ü É ó ű ö ú ú ő ó ó ö Í ő ó ó ó ó ó ö ó ő őí ö í ö ő ö ő Á Á É őí ő ü őí ü Á ó Á í í ó Á ó ó í ó ó ő Á É ö Ú ő ü Ö ó ö ó ö ö í Á ö ő ő ó ó ó ó ö í í í ú ó í ö ö ő ő ő Ö ő í ö ó ó ö í ö ö ő
Á ö í Ö ó í ö ú ó ü ö ö í í ö ö Í ö ö ö ö í ö í ó ö í í É Á Ó í ú íí Ó É Ű ó ó ű ó ú É É ó í ü í ó ó í ű ó ö ó í ó ű í ó ö ó ú í í ü Á ú í ö í ó ú ö ó ó í í ó í í ü ö ú ű ú ü ó ó í í ü ö ú Í ó ó ó í ü
ó Ö Ö ü Í Í ó ü í ó í í ü Í ü ü í ó í ú ó í ó í ó ó ü í Á Á í Ó É í Ó ó Ó í Í í í ó í ó Í ó ü ü Ö ü ó í Ó ű Ó ó ó ü í ó í í Ó ú ó ó ó ó ü í ü Í Í ú í Í Ó ó í ü üó ó ü ó í ó ú í ü í Ó Í í Í í ó ó Á ó ó
ö ő ő ö ú ü é é í í Ü é ó ü é ó ü é é ö íö ö éí é ú ű í í é ö í ó ü é é ö ö ó ö í ó ü é é í é é ó í í ü ő Í í ő é é É ó é í é ó ő í é é ó é ő ő é é ü ö ő é ő é ü Íó é é é Í ó ü é é é é é ó é ü í é ú ó
ő ű ő ö é ö é é ő ü é é ö ü ó Ó Ö é ü é ö é Ö é ő ü é ű ő é é ö ó é Á é ő é é ő í ő ö ö ö ű ö é ő ő ő é ü é é í ő é ő ú é ő ó ó é í é ő ü é ü ó ü é ő ü é ő ü ö ő ü ü í é ü ő ő ö é Á é ő é é ő ü ő ő é é
ó Ö ü Ö ü í ó ó ü í ó í í í ó í ú ú í í ó í Ú ü í ü Á ü í ú ó ó ó ó ü ü ü Ö í Ü í ü É ó ü ó í í ó í í ú ó ü ó í ó í ü É í í ü ü Ö í Ö ü ó í ó ó ó Á ó ü í Á ó ú ú ú ó ó í ü ü Ö Ö ü Ó í í í ó ó ó ü í ó ú
Á Á ü ö Ő é ü ö é é é ü ö ö ö ó ü ü ü é ü ö ö é Á ö ö ö é é é é é í é í ó é ó é ó ó ö ü ö í é ü ü é ö ü í ö é é ü é ó é ö é é ü é é ü é ü ü ü é ö ü é é ü ö ö ó ö ó í üí ö é é Á ú ö é é ü ú ó ö ó ö í í
ó ú ó é é ü ü é é é ó ü ö ó ó ó ó ó ö ö í í ó é ü é Ü é ő ü ó í ó é ő ü ö é é ö é é é é ö é é ó ö é é ö ö ö é é ő é é ö é ö é í é ö í é ó í é é í ö é ó ü é ö é ö é é é ö ö é é é ó ü ö é ő ö é ó é ö ú é
ö Ü Á Á Á Á Á Á É ö ü Á Á Á ö Á Í É Á Á ö ü ő ú ő ü ö ü ő ö ü ö ü í Á í ö ö ü í Ö ú ö ö ü ő Ö Ü Ö í í ö ö ö í í ú ö ő ü ü É ő É ő Á Á Á É É ü ű ö ő ű ú ú Á Á Á É É ü í ü ö í í í í ü ö ö ő Ö Ö í ü ö í í
É Ó É É É Ó É Ú Á Á É É ó É Á Á ó É Á Á É ú É Á Á ó ő ü ő ü ő ó ó óú ö ó ó ó í ő ő ő í í ő ú ő ű ö ü ö ú ü ő ö ő ü ó ő ő í ö ő í ú ü ő ö í ő ő ü ő ó ú ó ő ö ú ű ö ő ó ú ü ó ó ü ó ő ó ő ő ő óó í ő ú ó ő
Í Í ú ú ü Í ű Á ú ü ü Á Ú Ó Á ü ü ü Í ü ú ú ú ú ú ü Í ú ü ü Á ú ű ü ü ú Í ü Á ű ü ü É Á ü ü ü Á ü Á Á ü ü Á Ö ü Ö ű Ú Í ú ú Ö Ö Ú ú ü Í Ö ű Ö Ü ú Ö ü Í ü Ü Ö ü É Ö ű Ü ú Á ü ű ű Í Í ű Í ú ú Ó Í É Í Á ü
Á Á Ő É Íő á á ö Í á Í ó ó ó á á á á á ó ö ő á ő ő á á ú á ó á á ő á ó á á ó ö ö á Á ő ó á ő á ö ó á ú Í É á Í á á ó á É á á Í ö á á á ó Í ő á ó á á ú á ó á ó ó ó ú á ú á ű á ű á ó ű á á ő á á Í á ó á
Á Ö É Ö Á É Ü É é ü é é ö é ö é ö é é é ö Í ó ó ó ö ü é ó ó ó é ó ó ó é ö é é é ó é é é ö Í ó ú Íü é ö é é é ö ö ö é é ü é é ö é é ó ü é ó ú é ü é ü é ó ó ó é é é ö é é ó ó é ü ó é é ö é é é é Í ó ó Í
ő ő ű í ú ő ü ü ü ú ü ü ő ü ü ü ü Ó Ő Ö Ú Í Á Ű Ó É É Á É ü ü ő ü í ő ő í í í ő ő ű í ú ú í ü ú í Á Ö í ő ő ű í ú ű í ő ő ű í ú Ő Ó Ö Ú Í Á ÍŰ Ó É É Á É ű í í ő ő ő ő í ő ő ő ő í ő ő ő í í ü í Ö í í ú
Á Í Á ü É ó ü ÍÉ ó ü ü ó Á ü ó ö ö ó ú ü ü É ú ü ó ó ó ü ü ü É ó ö ö ö ú ü ü ü ö ö ö É É ú ó ö ó ó ő É ö ö ó ó ú ü ó ó Á É ó ó ü ó É ó ó ü ó ó ó ó óű Á ü óű ú ü ú ü ü ú ü ú ü ú ü ö ü ü ó ó ü ó ó ű ü ü
ű í ö ű ö ű í ö í í ö ó ó ü ó ó ö ó ö ó ó ó ó ó Á ó ó ö ö ö ö ú ö ö ü ú í ö ü í ó í ű í íö ö ö ö ü ó ű ö ó ú ó ö ó ű ű ó ó ö ö ö ü ü ó ó ö ú É ö ö ö ö í ö ó ó ö ú í ö í ó ö ö ó í ó ü ü ü í ó í ö ö ó ü
Ó Ú ü ü ó í ó í ó ó Ó É Ü Ö ü ü Ö ü ó í ó ü Ö ü ü Á ó ó Á ó ó Ö Ö ó í ü í ü Ö ű ű ü Ö ó ó í Ó ó ó Ö Ó Ö Ó ó ú í ü Ö í ó í í ó ü Ö Ö í Ó Ó Ó ó í Ö í ó í ü ó ó ó Ö ó í ű ó í ó ű ú ü ó Ó í í ó ó í ú ü ű ű
ö ó ü ö ó ü í ó ó É ó ö ö ó ó ó ö ö ü É ü í ü ó í ö í ó ü ú ü ú Á Ó í ó í ö ö ó ó ó í ö ö í ó ó ó í ü ó É ó ó ó í É ú ü ö ű ó ó í ó ú Ó ú ó ó ö ö ú í ú ű ö í ó ű ü ü í ü ü í ó ü í ó í Á ó ó ú ó í ó ö ö
É Á í Á Á É Í É É É É Á í ó ö ö ü ú íű ö ö ö ő ö ö ö ö ű ó ő ó ö ö ú í ó ö ő ó ő ó ó ó Á ó í ő í í í ö ü ó ö ő ő ó ó ű öó ó ö í ó ö ö ú ú í ü ó ó ö ö ö ó ö ó ó ó í í ó ó ö ó ő ö í ű ó ü í ö ü ö íí ö ü
ö é ü Ö é ü é ú é ó ü é é Ü é é ü í é é é Ó í é É ó ű é é é é ö ö é í ó Íö é é ü é é é ü é ü é ó ö ű é ú ó Í é é Í ú ú é é ó é í é é Í ó ó ó é ó ö é ű ö é é Í ó é Á Á ö ű é ú ó é é ö ú í ü ö ű é ö é Í
Á Ö É É É É Í Ü Ő Ü Ő É ó ő ó ó ű í ó ő í í ó ö ö ö ú ú ü í ü ü ő ő ü ú Á ő ú ú í ó Ü ö ő í ő ú ö ó ú ö Ö í í ó í í ő í ü í Á Ö Ö í ü ü ő Ü ő ú ő ú Ő ü ő ú Ú ő í ő ó ű í ő ó ő ú ö ő ü Ü ő ú ő ő ő ó ö Ő
Á ú ó ú ó őí ö ó ő ő ö ű ú ő ó ű ú ö ö ő ő ö ó ü ö ü ü ó ö ő ö ő ő ü ö ö ü ő ó ö ö ó ő ö ó ó ö ö ö ő ő ö ó ő ő ö ó ő ó ő ő ú ő ó ú ó ő ő ó ö ű ö ó ő ő ö ö ó ő ü ö ő ő ó ó ü ó ö ü ö ö ú ő ő Á ő ő ő ő ő
ö ó ö ó ő ö ú ő í ó É Ü ü ó ó í ö ö ó Á ő ö ó ő í ü ú ö ö í ó ó í ö ó ó Ő Ű í ö ó ü ü ó ő ó ő ő ó í ó ó ó ó ú ó ö ó ö ö ö ó ü ó ü íő ó ó ó í ó ö ö ó ö í ő ű ú ö ö ó ü ú ó ő ó ó í ö ő ő í í ö ö í ó ő ó
í ú ő ö ö í ö ö ö ó ó ú Ó ó í ó ó ú ó ü í í ö í ú ú í ó í ő ú ö ó í í ó ö ő ó í ó í ó í ó ó ú ü ő ó ó í í ő í ú í ó ő ö ö ő ó ó ö Á ö ó ó ű ó ó ó ó í ö ó ö ú ó ó ó ó ü ö ö ű ú ö Ó ü ü í Á ó í ö ő ő í É
Ü Ü ó ó É í í É ó í ó ü ú ó ó í ú í ó ó í í ó ű í ó ú ü í ú ó í ü ó ó í í ü ó í ü ű ú Ö í ü ű ó í ú ű ó í Í ü ó Í ü ó ú ü ú í ü í ű ó í ü ü ü ü ó í Í ű ű í ü Í ű ó í ó ó ü ó ü ó ű ü í ű ó ü ó ó í í ü í
É Ő É ö ó ó Ó Ö Ó ő ő ő ő ó ó ő ő ó ü ő ó ó ü ö ö Ó ó í í ú ó í ú ó í ü í ő ó ő ő í ö ü í Ó ó í ú ó í ú ó í ü ó ő ö ő ú ö ű ü ő ő í ó í ó í ő ó ő íü ö í ő ő ű ő ú ö ő ö ó ö ó ó ö ö ő ó ó ö ő ő ü ó ö ű
ó Á Á É ó ó ó ó ű ó ó ú ó ó ú ü ó ó ó ü ó ó ó ó ó ó ü Í ű ó ű ú ü ű ó É ó ű ó ó ű ó ü ű ó ó ü ü ó ó ó ó Í ü ó ó ü ó ű ú ó ó ó ü ó ü ú ű ó ú Í Ú ű Í Ö ó Á Á Á Á É Á Á Á É ó ó ó ó ú ó ó ü ü ó ü ó ó ó ó ó
É É Á Í ü ó ó ö ö ó ó ó ű ö ü í ü ü ü ó ó ó ö ó ó Í ö ó Í Á Á É Á í Í ö ó ó ü ó í ö ö ü ö ü ö í í Í í ü í í ó ó í ö í ö ö ó í ö ö í ó ö ö í ú ö ü ö ó ü ó É í ö ü ö í ó ó ö í ó ö ó ó ó ö ü ö ó ó í ö Í ö
ö Ö ü ő í Ü ö Á Ü Ü ő ő ő ő ü ű í ő ű Ó í ú ü í í ő í í ű ő ú í ö ő Ü ö ö í ú ö ő í ő í í ő Ü ú ő í ő í ü ő ü ő ö ö ö ő ő ú ü ü ő ü ü í ú í ő ő ü ő í ü ö ö ű ü ű ü ő í ü ú ő ö ü ü ő ő ő ö ő í í ő ő ú ő
Ó Á Ö É Ö Á É Ü É üü ő ő ö Í ó ü ő ő ő ó ü ö ő É ó ó ő ő É ÍÍ ó ó ő ó ó Í ő ó ő ő ö ó É ó ó ő Íő Ő Ö ö ö óí ő Í ó ó É ó ö ö Í ő Íó ó Á ő ö ö ö Í ő Íű ü ő ő ő ö ő ö ö É ü ú Í Í ó ü ö ő ö ő Í ü ü ó ó ó ü
ő ö ő Ö ő ü ó ő ő ő ú ó ő ó ó ü ő ő í É ö ó í ó ó ú í í í ő ó í ö í ü ö ő ö ü ó ö ü ó Á ó ö í ó ó ú ó ó í ó ö ó ü í ő ú í ő ö í ő Á Á ő ő ő í í ő í ő í ó í ó ú ő ő ó ö ő ó í ő ö ő ő ü ó ö í ü ó ö í ö ő
ő ő ű ú ü ő ü ü ü ü ő ü Ú Í Á Ó É ü ü ü ő ő ő ő ü ú ő ű ő ő ú ú Á ú É ű ő ő ő ő Á ü É ő Ö Á ő ő ő ő É ő ő ú ú ú ő Á Ö ő ő ő ű ő ú ú Á É ű ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő É Í ü ű ő ü Ö ő ú ű ű ő ő É ü ű ő ű ő ú ú
Á Á Ő Í É É ó É ü ö í ő ő ő ű ő ó ő á ü á á á ó á á ő É ó ó ü á á á ó ó í á Á ó ű ő ó ü ö ó ö ö ő ö ó ú á á öó ő ó öí ő á í á ő á ö ö ó ö ő ű ö á ú ö ó ó ó á ü ö ö ü ó ö ó í ö ü á í á á í Í ü í íí ö í
Ú É Ú í ö ö ö ü ű ú ű ű í ű ü ö ö ő ű ú í ö ö Ü ö ű Ü ú í ő ö ö ű ü ö ő ú ö ü ö ö Ü ö ö ű ű ő ű ü í ú ű í ő í ő ő í í ő ö ö ő ő ő ö ö í ű ő ö ő í ő Ü í ű ő ő ő ő ő ő ü ű ű ő ü ö ö ő í ű ü í ű í ű í ő í
Ő Ö ü ö ö ü ó ü ü ö Ö ó ó ó í ü ö ö ö ü í í ü ü í ö ö í í Ó ö Ó Ó Ő ü ű ü ó ó ű ö ú ó ó ó ö ó ó ö ó í í ö ú ö í ó ü ü ö í í ü ü ü ó í ü ú ö ó ö í ü í ú ü ó ó ű ö ú ó ó ó ö ó ó ö ó í í í Ü í í Ő í ü ö í
Á Ö É Ó Á É Ó Ü É ü ö Í ö ö Í ü ö ö ú ü ú Í ö ö ú Í ű ö ú ü ö ö Ö ü ö ö ö ú ö ú ö ö ö ö ö ü ú ü ö ö ö Í ö Í ö ú Í Í ö ö ú ö ú ü ö ö Í ü Í Í ü ö ü É ú Ú Í É Í ö Ö ü ö ü Í ü ú É Í ö ü ö ö ö ö ü ú Í ö Í Ö
í ú ő ü Í ö í í ú ú ü í í ő ú ö í Ú Í ö ú Á É Í Á É É í Á Á ö É ú É Ü Á Á ö É Á Á Á É É Á Í í ő ö Á Á Á Í ö É Í í Í í ő í ő í í Á Á É Á ő ő ő ő í í Í Í ő ö Ö É Á É ő Ú ö ö ö ő ő É Á É É Á Í Á ő É Á ő ő
É ü Ó É É ö É Á Ó Á É É ö É ü ü ű ö ű ö Á Á ö ő Á ő Á Á Ó ü ö ö ő ű ú ú ő ő ú ú ö ö ű ő ú ü ü ö Ó Á ö ü ö ö ü ő őü ö ö ö ő ű ő ö ö ő ő ö ú ö ö ö ú ö ú ű ö ő ö ö ö Ó ö ö ü ö ö ü ö Í ö ö ö ő ű ú ú ő ő ú
Á Ö É Á É Ő Ü É í ü ö í í í ö Í ö í ü ö í í ú í ö í ö ö ú ü í Í ü í ü í ü í í í í ö ú Í í ö ö ö ü ö í ü Í ú ü í í ú ö ö Í É ü ú í í ö í Í í ú í ÁÍ Í í Í Í í ö Í É í í Í Í Í í Ó ü í ö ö É ö ü ö ö ö í ü
Á Á Ó É ö á ű ö á á á á Í Í á ú á ú ö ö á ú á á á öí á á á á á ö á á á á á á á á á á ö á á á á ö á á Í á á á á Í áí á á á á ö á á á á á áí á á á á á ü á á ü á Í ú á á á á á á ú á ü ö É á á ü á á á ö á
Á Á É ó ú ó ő ö ü ő ó ó ö ö ö ő ó ó ó ő ö ü ő ó É Á ő ó ö É ó ú ö ű ú ó ú ö ő ó ú ó ó ó ó ú Ú ő ú ó ü ó ü É ő ő ő Ö ő ö Á ó ö ó ö ó ö ó Á ő ö Í ó ő ó ó ó ő ő ó ü ó ó ó ö ö ó ö Á ü ú ó ő ő ó ó ü ó É Ö Á
ö ű ö ú ö ú ü ü ü ü ü Í Í Ü ö ü Ü ü ö ö ű ú ű É Ö Á Í ö ö Í ü ö ö ö ö ö Í Ó Ó Á ö ö Í Í ö ö Ú Úö ö úö Á ö ö ű ö ú Íü ű Í ü ű Í ü ú ű ű É ö Ü ű ö ö ű ö ú Íü ű Í ü Í ö ú Í ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö ö Í ö ű ö ú
Á Á Á Ú ű í í ÁÁ É í Í í Ö Ö É Ü Ó Ó í ű Á É í í É É É É É É É É Ő É É É É Ó í É Á ú ú ú ú ü ű í ü ű É ü í í ú í ú Á Í Á Á Á Í ű í Á Á Á í Á Á Ö Á í ü ű í í ü í í Ö ü í Á Á Á ü ű í í í í Í űí í Á Á Á ű
ú ú í í í í í ó ű í Ö Ú ó ő ő Ö í ó Ó ü Ó Ö í ó Ö íí í ó ó óó ó ó Ó ú ú ú í í ó í ő ó ó ú ú ú ú ó ó ó ó ú ú ő ó í ó ó Ü ú í ü í ü ű í Ü ú í ű í Ú í í í ú í ü Í ű í ü í í ü ú ü í í Í ó ó ó ú Í í ó ú í í
Á Ö Ö Ö Á Í Ó ö Ö ü ö Ö ü ö Ö ü ö ü ö Ö ü ö üé ö Ö ü Ö ü ö ö ö ö í ö ö ö Ö Ü í Ó ö Ö ü ö Ö ü ö Ö ü ö Ö ü Ó ö Ö ü í Ö ü ö Ö ü ö Ö ü ű í ö ö ö Ó ö ö ö ö ű ö ö ü ö í ö ű ö ö ü ű ö ö ö ö Ó ü ö ö ü ö ö ö ű
í í ü ö ú ü ö ű é é í ú ú ő é é é í ő ő ö ű é ü ő ö ö ö ü ő é é é Í é ó é ó ó é ö ű é ő ő é ö ű é ü ő ö ö ö ő é ó é é ö Í é ú ó ő ö í é é ö ú é é ú ó é é é ó ü é ó é ő ü ó é í ü ű ö é é ő é é í ő ó í ó
ó á í á á ő ű á á ö ű á ó í ő á ő í á ó á í í Í á ő ű á á ő á ö í ő á á á á á ó ö ó á ó á ó ó ó ö á á ö ű á ó í ö í á á É ő ö íí á ö í á á ö á ó ő ó ö á á á á ö á ő á ó á ö í á ó ü ó á ó ö á ó ű ö í ü
É É É É Á í ó Í ö ü í ü ó Í Í ó ö ö í í ö ó ö ö ö ü ü ö í ü ó ü ü ö ü ö í ó Í ö í ü ó í ó ü ü ó Í ú ü ó ó ü ü ü í ó ó ó ö ö ó ú í ü ö ó ó í ó ü ó ű ö ö í ü í ü ö í ö í ö ö ü ö ü ö í ó í ó ö ó ö ó ö ó ü
Á í Á É í ü ő ö ö ó ó ó ö ó ő ő ö í ó ő ő ő ó í Á í ü ő í ó ő í ő ő ő ő ű ő ú ó ő í ő ő ó ó ő ó ü ó ö ő ő í ő ő ö ő ő í ő ő í ő í ű ő ó ü ő í ő í ő í ü ü í ő ő ö ö ü ó ú ó ú ű ő ö ö í í ú ű ö í ő ű ő Ú
ö ü ü ü ü ö ö ú Ü É Á É ö ö ü ú ö ű ú ü ö ű ö ú Á ú ö ű Á Í ö ü ö ö ű ö ú ú ö ö
ö ü ú ö Á ü ö ö ö ö ö É ű ű ö ö ö ö ü ö Ó É Á Á Í Á Á ü ö ű ü ü ű ü ö ü ü ü ü ö ö ú Ü É Á É ö ö ü ú ö ű ú ü ö ű ö ú Á ú ö ű Á Í ö ü ö ö ű ö ú ú ö ö ö Á ű ű Á ö ö Á ö ü ü ü ü ü ö ü ö ö ö ö ö ü Í É Ü É Á
í í Í ö ű í í ő í Í Á Í É í É í Ő ö É Ú í É Í Á É É ö ö Á Ö É Ú Ö ö ö í í í í í Ö É É É Í ű Í í í Í í í í í Á Á É Ö Ö É Á É É É É Á É É Á É É í Í ö í í í Á Ö É Ú Á Ú Ö É Ö Á Ú É Á Á ö í í Á í Á Ö Ó É Ű
í íű ú ü Á Ö É Ú É É Ö í í í í ü ű ű Ó ü ü ö ö Á ö ö ű í í í ű ö ö ö ö í ö ű ü ö í ö í ö ü ö Á ö ú Á ú ú í í í í í ü í ű ü ö ö ú ü ö í ö ö ü í ü í í ö ü ü Ú íí í ü í í í í ü íí í í ú ö í í ü í ú ú í í
Á ö ö Á ó ü É ó ö í ü í ó ó ö í ü ü ö í ö ó ó ó ö ú í í í í í ó ö ó ö ö Ö ö ó ü ü ó í ü ó í ü ó Á ó ó í ú ü ó ó ö ü ü ö ü í ü ó ó ö ó ó í ó ó ó ü ö ó ö ö ö ü ü ó ó ü ö í ü ü ü ü ó ó ü ó ü í ü ó ó ü ö ó
ú ö Á ö Á Á ő ö ö ő ö ő ű ő ü ú ö ő ő ú ö ö ő ű ő ü Ó ö ö ü ö ú ö ü ü ü ő ö ö ú ü É ő ö ő ő ö ű ú Ü ő ő Á É ő ű Ü ő ő Ű ö ő ű ő ü ű ö ü ö ő ő ő ő ő ö ü ü ő ü ö ö ő ü ö ö ő ö ő ö ö ü ö ü ő ö ő ü ö ö ő ü
Á ö É ö Á É ú ö í ü é é ö é ö é é é é é í é ú ö ö é é é í ü é é é ö é í é é é ú ö ö ö ö é é íú ö Ó é é ö é é í é ö é ú ö é í é é í í í í í é é ö í í ö é í ú é ö é é é é í é é Ö ö é ú é é é é í é ö í é