Matematika BSc tanárszak Analízis III. előadásjegyzet

Átírás

1 Mtemtik BSc tnárszk Anlízis III. elődásjegyzet 200/20. őszi félév Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 20. október.

2 ii

3 Trtlomjegyzék Előszó v. Függvénysoroztok, függvénysorok.. Emlékeztető Függvénysoroztok Folytonosság Riemnn-integrálhtóság Differenciálhtóság Függvénysorok Htványsorok Fourier-sorok Többváltozós függvények Kétváltozós függvények Az R 2 ( sík) metrikus tuljdonsági Kétváltozós függvények tuljdonsági Az R p és p-változós függvények Metrikus terek Alpfoglmk, nyílt és zárt hlmzok Példák nyílt hlmzokr Példák zárt hlmzokr Metrikus terek teljessége Kompktság metrikus terekben Folytonosság, htárérték metrikus terekben Jordn-mérték R p -n Riemnn-integrál R p -n Az p dimenziós integrál lptuljdonsági Fubini tétele iii

4 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK iv

5 Előszó Ez jegyzet 200/20-es tnév őszi félévében trtott mtemtik tnárszkos Anlízis III. kurzus nygához készül. A jegyzet félév során folymtosn bővül, z utolsó változttás dátum címlpon láthtó. A jegyzetben bizonyár előfordulhtnk hibák ezek jelzését örömmel veszem seszter@cs.elte.hu e-mil-címen! Néhány szó tnulásról.. Jvslom, hogy ezen jegyzeten kívül z elődásokon készült óri jegyzetet is tnulmányozzák! 2. Az nyg egyszeri, lpos elolvsás megértést szolgálj z nyg elsjátításához nem elég. Ngybn megkönnyíti és megrövidíti vizsgidőszki felkészülést, h megértés félév során folymtosn történik, z nygbn vló hldássl párhuzmosn. 3. Az nyg első áttnulmányozás után például Tárgymuttó segítségével fejből próbálják meg leírni legfontosbb definíciókt és tételeket! H vlmi nem megy, lpozzák fel egyből megfelelő részt, és nézzék át újból! 4. H definíciókt és tételeket elsjátították, csk kkor kezdjék el bizonyítások megtnulását! Ez hsonlón végezhető, hogy z előző pontokbn leírtm. Minden bizonyításnál elsősorbn zokt lényeges állításokt, tételeket jegyezzék meg, mely(ek) bizonyítás fő lépéseit lkotják. 5. Végül, hogy z nyg ngyobb összefüggéseit is megértsék, szükség vn teljes nyg újból elolvsásár, vgy leglábbis főbb pontok áttekintésére. v

6 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK vi

7 Első fejezet Függvénysoroztok, függvénysorok.. Emlékeztető Az elmúlt félév során fogllkoztunk (n (x x 0 ) n ) = 0 + (x x 0 ) + 2 (x x 0 ) n (x x 0 ) n +... (.) lkú végtelen összegek, ún. htványsorok tuljdonságivl. Itt ( n ) dott vlós sorozt, x 0 R dott szám ( htványsor középpontj) és zt kérdést vizsgáltuk, hogy x függvényében hogyn viselkedik fenti végtelen összeg. Az lábbi módon definiáltuk htványsor konvergencihlmzát : { KH := x R : } ( n (x x 0 ) n ) konvergens, és igzoltuk, hogy KH hlmz egy x 0 közepű r sugrú nyílt, zárt vgy félig nyílt intervllum, hol ( ) r := lim sup n n 0 = +, + = 0 htványsor ún. konvergencisugr. Így r 0 esetén htványsornk definiálhtó D(f) := (x 0 r, x 0 + r) f(x) := n (x x 0 ) n n=0 összegfüggvénye, melynek D(f) KH értelmezési trtományán htványsor biztosn konvergens, és z x D(f) pontbn f(x) éppen végtelen összeg értékét dj meg. Láttuk zt is, hogy f szép nlitikus tuljdonságokkl rendelkező függvény. Pontosbbn, következő tételeket bizonyítottuk... Tétel. Htványsor összegfüggvénye folytonos..2. Tétel. A pozitív konvergencisugrú ( n (x x 0 ) n ) htványsor összegfüggvénye tetszőlegesen sokszor differenciálhtó és deriválás z (.)-ben tgonként végezhető, vgyis f (x) = (x x 0 ) (x x 0 ) = (n + ) n+ (x x 0 ) n, n=0 f (x) = (x x 0 ) (x x 0 ) =. f (k) (x) = (n + 2)(n + ) n+2 (x x 0 ) n, n=0 (n + k)(n + k )... (n + ) n+k (x x 0 ) n, k N. n=0

8 .2. FÜGGVÉNYSOROZATOK ELSŐ FEJEZET.3. Tétel. Legyen ( n (x x 0 ) n ) pozitív konvergencisugrú htványsor. Ekkor htványsor összegfüggvényének vn primitív függvénye, pl. n F (x) = n + (x x 0) n+ + c, c R. n=0 Az lábbikbn zzl fogunk fogllkozni, hogy mi történik, h z (.)-ben z n (x x 0 ) n lkú összegzendő tgokt vlmilyen f n függvényekkel helyettesítjük. Tehát fn = f + f f n +... lkú ún. függvénysorok vizsgáltávl fogunk fogllkozni. Hsonlón végtelen numerikus sorokhoz, egy függvényekből álló végtelen összeget is részletösszeg-sorozt htárértékeként fogunk definiálni, tehát f n függvénysort zonosítjuk z (s n ) függvénysorozttl, melynek egy tgj s n = f + + f n véges sok (n drb) függvény összege. Ezért először függvénysoroztok tuljdonságit vizsgáljuk, mjd után térünk rá függvénysorok elemzésére..2. Függvénysoroztok Legyen X R, X..4. Definíció. Minden n N természetes számhoz hozzárendelünk egy f n : X R függvényt. Az n f n leképezést függvénysoroztnk nevezzük. Jelölésben (f n ) n N vgy (f n )..5. Definíció. Legyenek dv z f : X R, f n : X R, n N függvények. Azt mondjuk, hogy z (f n ) függvénysorozt z X hlmzon pontonként trt z f függvényhez, h minden x X esetén lim (f n(x)) = f(x), n vgyis z (f n (x)) n N számsorozt konvergens, és htárértéke z f függvény x helyen felvett értéke. Ekkor z f : X R függvényt z (f n ) függvénysorozt limeszfüggvényének nevezzük, és jelöljük: f n f. H létezik fenti tuljdonságú f, kkor zt mondjuk, hogy z (f n ) függvénysorozt pontonként konvergens X-en..6. Péld. Legyen X := (,], f n (x) := x n, n N. Ekkor f n f, hol f(x) = { 0, x (,),, x =..7. Definíció. Legyen (f n ) tetszőleges függvénysorozt, f n : X R, n N. E sorozt konvergencihlmz KH(f n ) = KH = {x X : (f n (x)) n N konvergens}. H KH, kkor beszélhetünk limeszfüggvényről, melynek értelmezési trtomány D(f) := KH, és f(x) := lim n (f n(x)), x KH. 2

9 ELSŐ FEJEZET.2. FÜGGVÉNYSOROZATOK.8. Péld. Legyen X := R.. f n (x) := x n, KH(f n ) = (,]; 2. f n (x) := sin nx n, KH(f n) = R. Gondoljuk meg, hogy mit jelent: (f n ) z X hlmzon pontonként trt z f-hez? x X : lim n (f n(x)) = f(x) x X-re ε > 0-hoz N(ε, x) = N : n N esetén f n (x) f(x) < ε. A következőkben bevezetünk egy olyn konvergencifoglmt, hol fenti definícióbn létező N küszöbindex nem függ x-től (csk ε-tól), vgyis ugynz z N jó z egész X hlmzon..9. Definíció. Legyenek dv z f : X R, f n : X R, n N függvények. Azt mondjuk, hogy z (f n ) függvénysorozt egyenletesen trt f-hez z X hlmzon, h ε > 0-hoz N(ε) = N : n N esetén f n (x) f(x) ε x X-re. Ezzel ekvivlens: mivel ekvivlens: ε > 0-hoz N(ε) = N : n N esetén sup f n (x) f(x) ε, x X n := sup f n (x) f(x) 0, n. (.2) x X Jelölésben: f n f X-en. H létezik fenti tuljdonságú f függvény, kkor zt mondjuk, hogy z (f n ) függvénysorozt egyenletesen konvergens X-en. A definícióbn szereplő ekvivlens megfoglmzások közül z utolsót, (.2)-t hsználjuk leggykrbbn konkrét függvénysoroztok egyenletes konvergenciájánk eldöntésére..0. Péld.. f n (x) := n, X := [0,], f n f 0 [0,]-en; 2. f n (x) := x+n, X := [0,], f n f 0 [0,]-en... Megjegyzés. H f n f z X hlmzon, kkor (f n ) pontonként is trt f-hez X-en..2. Péld.. Legyen X := [0,] és definiáljuk következő függvénysoroztot, ld... ábr. Mivel minden x [0,] esetén létezik olyn N N, hogy N < x, ezért f n(x) = 0, h n N, tehát f n (x) 0, n. Így f n f 0 pontonként X-en. Másrészt világos, hogy ezért (f n ) nem egyenletesen konvergens X-en. sup f n (x) f(x) = 0, x [0,] 2. Legyen X := [0,], f n (x) := x n, n N. Az.6. Péld lpján (f n ) pontonként konvergál X-en { 0, x [0,), f(x) =, x =. 3

10 .2. FÜGGVÉNYSOROZATOK ELSŐ FEJEZET f n 2n n.. ábr. Péld pontonként de nem egyenletesen konvergens függvénysoroztr függvényhez. Másrészt tehát (f n ) nem egyenletesen konvergens. f n (x) f(x) = { x n, x [0,), 0, x =, sup f n (x) f(x) = 0, x [0,] Problém. Az (f n ) függvénysorozt milyen tuljdonsági öröklődnek át z f limeszfüggvényre? H f n f pontonként, kkor vnnk ellenpéldák. H f n f, kkor vnnk tételek..2.. Folytonosság Problém. Igz-e, hogy h z (f n ) függvénysorozt tgji folytonosk (z x 0 pontbn), f n f pontonként, kkor f is folytonos (x 0 -bn)?.3. Péld. Tekintsük z.2. ábrát. Könnyen láthtó, hogy f n f, z f n függvények folytonosk minden n esetén, viszont f szkd 0-bn. f n f n.2. ábr. Péld pontonként konvergens folytonos függvények soroztár, hol limeszfüggvény nem folytonos.4. Tétel. Legyen (f n ) olyn függvénysorozt, melyre z f n : X R, n N függvények folytonosk vlmely x 0 X pontbn, vlmint f n f X-en. Ekkor f is folytonos x 0 -bn. 4

11 ELSŐ FEJEZET.2. FÜGGVÉNYSOROZATOK Bizonyítás. Legyen ε > 0 rögzítve. Megmuttjuk, hogy vn olyn δ > 0 szám, melyre h x x 0 < δ, kkor f(x) f(x 0 ) < ε. Az.9. Definíció szerint ε/3-hoz tlálunk olyn N N küszöbindexet, hogy Speciálisn, f n (x) f(x) < ε/3 minden x X esetén, h n N. f N (x) f(x) < ε/3 minden x X-re. Mivel f N folytonos x 0 -bn, zért ε/3-hoz létezik olyn δ > 0, hogy f N (x) f N (x 0 ) < ε/3, h x x 0 < δ. Megmuttjuk, hogy ez δ jó f-hez. Legyen x olyn, hogy x x 0 < δ. Ekkor háromszög-egyenlőtlenség lpján f(x) f(x 0 ) f(x) f N (x) + f N (x) f N (x 0 ) + f N (x 0 ) f(x 0 ) ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε..5. Következmény. Legyen (f n ) olyn függvénysorozt, melyre z f n : X R, n N függvények folytonosk z egész X hlmzon, vlmint f n f X-en. Ekkor f is folytonos X-en Riemnn-integrálhtóság Problém. H I = [, b] korlátos és zárt intervllum, (f n ) tgji Riemnn-integrálhtók I-n, f n f. Igz-e, hogy ekkor f is Riemnn-integrálhtó I-n, ill. hogy.6. Péld. b f n. Rendezzük sorb [0,] intervllumb eső rcionális számokt: b f? Q [0,] = {r, r 2, r 3,... }. Definiálj f n (x) := {, x {r, r 2,..., r n }, 0, különben, vgyis z {r, r 2,..., r n } hlmz krkterisztikus függvényét. Könnyen láthtó(!), hogy f n R[0,]. Másrészt f n D, hol {, x Q [0,] D(x) := 0, különben, z ún. Dirichlet-függvény..7. Állítás. A Dirichlet-függvény nem Riemnn-integrálhtó [0,]-en. Bizonyítás. Mivel minden intervllumbn vn rcionális és irrcionális szám is, ezért D(x) függvény tetszőleges lsó közelítő összege 0 és tetszőleges felső közelítő összege. Tehát Drboux-féle lsó és felső integrálokr 0 D = 0 és 0 D =, ezért D nem Riemnn-integrálhtó. 5

12 .2. FÜGGVÉNYSOROZATOK ELSŐ FEJEZET n f n 2n n.3. ábr. Ellenpéld Riemnn-integrálhtóságr 2. Tekintsük z.3. ábrán láthtó függvénysoroztot. Az.2.I. Példábn meggondolt módon láthtó, hogy (f n ) pontonként (de nem egyenletesen) trt z f 0 függvényhez [0,]-en. Másrészt f és f n is Riemnn-integrálhtó [0,]-en minden n-re, de f n = n n 2 = 2 f = Tétel*. Legyen [, b] korlátos és zárt intervllum, legyen (f n ) olyn függvénysorozt, melynek tgji Riemnnintegrálhtók [, b]-n, és f n f z [, b] intervllumon. Ekkor f is Riemnn-integrálhtó [, b]-n, vlmint lim n b f n Bizonyítás. Ahhoz, hogy f R[, b] legyen, leghsznosbb kritérium lpján elegendő, hogy minden ε > 0 számhoz létezik olyn Φ = Φ(ε) F[, b] felosztás, melyre Ω f (Φ) < ε. Legyen ε > 0 rögzítve. Mivel f n f, ezért ε-hoz létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n N esetén Speciálisn, = b f n (x) f(x) < ε minden x [, b]-re. f N (x) f(x) < ε minden x [, b]-re. Másrészt h I [, b] tetszőleges intervllum, x, y I, kkor f(x) f(y) f(x) f N (x) + f N (x) f N (y) + f N (y) f(y) ε + f N (x) f N (y) + ε. Mindkét oldlon x, y I-ben szuprémumot véve kpjuk, hogy f ω f (I) = sup f(x) f(y) 2ε + sup f N (x) f N (y) = 2ε + ω fn (I). (.3) x,y I x,y I Mivel f N R[, b], ezért ε > 0-hoz tlálunk olyn Φ = {I, I 2,..., I n } F[, b] felosztást, hogy Ω fn (Φ) < ε. Tekintsük f ezen felosztáshoz trtozó oszcillációs összegét. Ekkor z (.3) becslés lpján n n n Ω f (Φ) = ω f (I i ) I i (2ε + ω fn (I i )) I i = 2ε(b ) + ω fn (I i ) I i i= i= Ebből következik, hogy f Riemnn-integrálhtó [, b]-n. Most igzoljuk, hogy = 2ε(b ) + Ω fn (Φ) < ε (2(b ) + ). b f n b 6 f, n. 0 i=

13 ELSŐ FEJEZET.2. FÜGGVÉNYSOROZATOK Mivel f n f, zért z (.2) mitt Ebből b b f n f = b n := sup f n f 0, n. [,b] (f n f) b f n f n (b ) 0, n..9. Tétel. Legyen [, b] korlátos és zárt intervllum, legyen (f n ) olyn függvénysorozt, melynek tgji folytonosk (így Riemnn-integrálhtók is) [, b]-n, és f n f z [, b] intervllumon. Ekkor f is folytonos (tehát Riemnnintegrálhtó) [, b]-n, vlmint lim n b f n Bizonyítás. A tétel első része dódik z.5. Következményből. Az integrálok htárértékéről szóló állítás pedig fenti bizonyítás végével zonos módon igzolhtó..20. Megjegyzés. A fentiekben képlet úgy is írhtó, hogy lim n lim n b b f n f n = = = b b b f f lim f n, n vgyis egyenletes konvergenci esetén limesz és integrálás felcserélhető Differenciálhtóság Problém. Milyen feltételek mellett öröklődik differenciálhtóság limeszfüggvényre, feltéve, hogy z (f n ) függvénysorozt tgji differenciálhtók?.2. Péld. Tekintsük z.4. ábrán láthtó függvénysoroztot. Nyilvánvló, hogy z f n függvények differenciálhtók, és elérhető, hogy egyenletesen trtsnk z f(x) = x függvényhez mi viszont 0-bn nem differenciálhtó. f(x) = x f n.4. ábr. Péld differenciálhtó függvényekből álló soroztr, hol limeszfüggvény nem differenciálhtó Az előbbi péld lpján z egyenletes konvergenciától eltérő feltételeket kell tennünk függvénysoroztr, hogy differenciálhtóság megőrződjön limeszfüggvényre. 7

14 .2. FÜGGVÉNYSOROZATOK ELSŐ FEJEZET.22. Tétel. Legyenek z (f n ) függvénysorozt tgji z I = [, b] intervllumon folytonosn differenciálhtó függvények (vgyis minden f n differenciálhtó és z f n folytonos I-ben), továbbá tegyük fel, hogy (i) x 0 I, hogy z (f n (x 0 )) n N számsorozt konvergens; (ii) g : I R függvény, hogy f n g z I-n. Ekkor létezik f : I R differenciálhtó függvény, hogy f n f, emellett f = g. Bizonyítás. Jelölje c := lim n f n (x 0 ) R. Mivel f n folytonos n és f n g I-ben, ezért z.5. Következmény szerint g is folytonos I-n. Jelölje x f(x) := c + g, x I. (.4) x 0 Mivel g folytonos I-ben, ezért integrálfüggvénye (folytonosn) differenciálhtó, így fenti f : I R is (folytonosn) differenciálhtó, és f (x) = g(x) minden x I-re. (.5) Alklmzzuk most Newton-Leibniz Tételt z f n függvényre (ez megtehető, mivel folytonos, tehát Riemnnintegrálhtó, és vn primitív függvénye: f n ). Ekkor x f n = [f n ] x x 0 = f n (x) f n (x 0 ). x 0 Az egyenlőség átrendezéséből kpjuk: x f n (x) = f n (x 0 ) + f n x 0 x I. (.6) H z (.6) egyenlőségből kivonjuk z (.4)-t, ennek bszolút értékére kpjuk következő becslést: x x f n (x) f(x) f n (x 0 ) c + (f n g) f n(x 0 ) c + f n g x 0 x 0 b ( ) f n (x 0 ) c + f n g f n (x 0 ) c + sup f n g (b ). I Az így kpott becslés már x-től független, tehát sup f n (x) f(x) f n (x 0 ) c + x I ( ) sup f n g I (b ) is teljesül. Mivel c = lim n f n (x 0 ), zért jobb oldl. tgj 0-hoz trt, továbbá mivel f n g, 2. tg is 0-hoz trt, h n. Ezzel z (.2) lpján igzoltuk, hogy f n f z I-n. Másrészt (.5) lpján f = g is teljesül I-ben, mivel tételt beláttuk..23. Következmény. Legyenek z (f n ) függvénysorozt tgji z I = [, b] intervllumbn folytonosn differenciálhtó függvények (vgyis minden f n differenciálhtó és z f n folytonos I-ben), továbbá tegyük fel, hogy (i) f : I R függvény, hogy f n f pontonként I-ben; (ii) g : I R függvény, hogy f n g I-n. Ekkor f n f is teljesül, f differenciálhtó I-n, emellett f = g..24. Megjegyzés. Az előző tétel ill. következmény feltételei mellett vgyis limesz és deriválás felcserélhető. ( ) lim f n = lim f n, n n 8

15 ELSŐ FEJEZET.3. FÜGGVÉNYSOROK.3. Függvénysorok Legyen X R, X hlmz..25. Definíció. Legyenek z (f n ) függvénysorozt tgji z X-en értelmezett függvények. Képezzük ebből kövekező új függvénysoroztot: n s n := f i, n =,2,..., (.7) i= zz minden x X esetén s n (x) := n i= f i(x). Ezt z (s n ) függvénysoroztot z eredeti (f n ) függénysorozthoz trtozó függvénysor nk nevezzük, és jelöljük: fn := (s n ). Az (.7)-ben definiált s n függvényt függvénysor n. szeletének vgy részletösszegének nevezzük..26. Definíció. Azt mondjuk, hogy f n függvénysor z X hlmzon pontonként konvergens, h sor szeleteiből álló (s n ) függvénysorozt pontonként konvergens X-en, vgyis létezik f : X R függvény, hogy minden x X esetén s n (x) f(x). Azt mondjuk, hogy f n függvénysor z X hlmzon egyenletesen konvergens, h létezik f : X R függvény, melyre s n f z X-n. Mindkét esetben f-et függvénysor összegfüggvényének nevezzük, és jelöljük: f = f n. n=.27. Definíció. Legyen f n tetszőleges függvénysor. Jelölje KH := {x X : (s n (x)) konvergens}. H KH, kkor beszélhetünk összegfüggvényről, melynek értelmezési trtomány D(f) := KH, és f(x) := lim n (s n(x)), x KH..28. Megjegyzés. Kérdés, hogy dott f n (pontonként) konvergens függvénysor esetén hogyn számolhtjuk ki z összegfüggvény egy dott x X pontbeli helyettesítési értékét, f(x)-et? Definíció szerint f(x) = lim s n(x) = lim n n n f i (x) = f n (x) egy végtelen numerikus sor összege, mely függvénysor tgjink x-beli helyettesítési értékeiből kiszámolhtó (h szerencsénk vn...) tehát nem szükséges z (s n ) függvénysoroztot meghtározni! Ez lpján z is világos, hogy { KH = x X : } f n (x) numerikus sor konvergens. A következőkben függvénysoroztoknál megismertekhez hsonló állításokt mondunk ki rr vontkozólg, hogy függvénysor tgjink milyen tuljdonsági és milyen feltételek mellett öröklődnek z összegfüggvényre..29. Tétel. Legyenek f n függvénysor tgji z X hlmzon értelmezett vlós értékű függvények, és tegyük fel, hogy sor egyenletesen konvergens X-en. H emellett vlmely x 0 X pontbn függvénysor minden tgj folytonos, kkor z f := n= f n összegfüggvény is folytonos x 0 -bn. Bizonyítás. A feltételből következik, hogy z s n := n i= f i részletösszegek mindegyike folytonos x 0 -bn. Így z.26. Definíció és z.4. Tétel lpján bizonyítás kész..30. Következmény. Legyenek f n függvénysor tgji z X hlmzon értelmezett vlós értékű függvények, és tegyük fel, hogy sor egyenletesen konvergens X-en. H emellett függvénysor minden tgj folytonos z X hlmzon, kkor z f := n= f n összegfüggvény is folytonos X-en. 9 i= n=

16 .3. FÜGGVÉNYSOROK ELSŐ FEJEZET.3. Tétel. Legyen I := [, b] korlátos és zárt intervllum, legyenek f n függvénysor tgji z I intervllumon Riemnn-integrálhtó függvények. H emellett f n függvénysor egyenletesen konvergens I-n, kkor z f := = n= f n összegfüggvény is Riemnn-integrálhtó I-n, vlmint b b f =. A képlet következőképpen is írhtó: vgyis szumm és z integrálás felcserélhető. b n= n= f n ( ) f n = Bizonyítás. Jelölje s n := n i= f i függvénysor n. szeletét. Mivel minden f i Riemnn-integrálhtó [, b]-n, zért s n R[, b]. Továbbá s n f I-n, ezért z.8. Tételből következik, hogy f R[, b], vlmint b b ( n ) n b b b lim s n = lim f i = lim = = f. n n i= n= n i= b f n f i, n= f n.32. Tétel. Legyen I = [, b], legyenek f n függvénysor tgji folytonosn differenciálhtók I-ben. Tegyük fel továbbá, hogy (i) x 0 I pont, melyben f n (x 0 ) numerikus sor konvergens; (ii) f n függvénysor egyenletesen konvergens I-n, n= f n = g. Ekkor z eredeti f n függvénysor is egyenletesen konvergens I-n, emellett f := n= f n jelöléssel f is folytonosn differenciálhtó I-n és f = g = f n. Bizonyítás. A feltételekből következik, hogy z.22. Tétel feltételei teljesülnek f n függvénysor részletösszegeiből képezett (s n ) függvénysoroztr. Ez lpján z állítás könnyen beláthtó..33. Következmény. Legyen I = [, b], legyenek f n függvénysor tgji folytonosn differenciálhtók I-ben. Tegyük fel továbbá, hogy (i) f n függvénysor pontonként konvergens I-ben; n= (ii) f n függvénysor egyenletesen konvergens I-n, n= f n = g. Ekkor z eredeti f n függvénysor is egyenletesen konvergens I-n, emellett f := n= f n jelöléssel f is folytonosn differenciálhtó I-n és f = g = f n. n=.34. Megjegyzés. A fenti tétel ill. következmény feltételei mellett ( ) f n = f n, vgyis szumm és deriválás felcserélhető. n= Problém. Megdhtó-e jól hsználhtó feltétel rr nézve, hogy f n függvénysor egyenletesen konvergens legyen? (Függvénysoroztok esetén z (.2) egy jól hsználhtó szükséges és elégséges feltétel.) 0 n=

17 ELSŐ FEJEZET.3. FÜGGVÉNYSOROK.35. Állítás (Függvénysorok egyenletes konvergenciájánk Cuchy-féle kritérium). A f n függvénysor pontosn kkor egyenletesen konvergens X-en, h minden ε > 0 számhoz tlálhtó olyn N = N(ε) N küszöbindex, hogy minden n > m N esetén Bizonyítás. Nem bizonyítjuk. sup s n (x) s m (x) = sup f m+ (x) + + f n (x) < ε. x X x X Az lábbi tétel gykorltbn Cuchy-kritériumnál sokkl jobbn hsználhtó..36. Tétel (Weierstrss-féle kritérium függvénysorok egyenletes konvergenciájár). Tegyük fel, hogy létezik egy n pozitív tgú, konvergens numerikus sor, melyre minden n N esetén f n (x) n x X, vgyis sup f n (x) n. x X Ekkor f n egyenletesen konvergens X-en. Azz, h f n függvénysor tgji mjorálhtók X-en egy pozitív tgú konvergens numerikus sor megfelelő tgjivl, kkor függvénysor egyenletesen konvergens X-en. Bizonyítás. A végtelen numerikus sorokr vontkozó Cuchy-kritérium szerint tetszőleges ε > 0-hoz létezik N = = N(ε) N küszöbindex, hogy minden n > m N esetén mivel k 0, k N. Így bármely n > m N indexekre m+ + + n = m+ + + n < ε, sup f m+ (x) + + f n (x) sup f m+ (x) + + sup f n (x) m+ + + n < ε x X x X x X is teljesül, mivel z.35. Cuchy-kritérium lpján tételt beláttuk..37. Péld. Tekintsük sin nx n 3/2 sin nx függvénysort. Mivel minden n-re és minden vlós x-re és n 3/2 n 3/2 egyenletesen konvergens R-en. n 3/2 konvergens, zért függvénysor.3.. Htványsorok A fentiek lpján könnyen láthtó, hogy tetszőleges ( n ) R sorozt és x 0 R esetén n (x x 0 ) n htványsor egy speciális függvénysor, hol z összegzendő függvények f n (x) := n (x x 0 ) n lkúk. Korábbn láttuk, hogy htványsor összegfüggvénye z r := lim sup n n jelöléssel értelmezhető z (x 0 r, x 0 + r) nyílt intervllumon, vgyis f(x) := n (x x 0 ) n, n=0 x (x 0 r, x 0 + r).

18 .3. FÜGGVÉNYSOROK ELSŐ FEJEZET.38. Tétel. A n (x x 0 ) n függvénysor (htványsor) egyenletesen konvergens bármely [x 0 δ, x 0 + δ] (x 0 r, x 0 + r) (0 < δ < r) korlátos és zárt intervllumon. Bizonyítás. Tetszőleges x [x 0 δ, x 0 + δ] esetén x x 0 δ, így n (x x 0 ) n n δ n. Mivel htványsor bszolút konvergens(!) x = x 0 + δ-bn, ezért n δ n numerikus sor konvergens. Így z.36. Weierstrss-kritérium lpján n (x x 0 ) n egyenletesen konvergens [x 0 δ, x 0 + δ]-n. A fenti tétel lpján, figyelembe véve hogy z f n (x) = n (x x 0 ) n függvények folytonosk (sőt, kárhányszor differenciálhtók), függvénysorok elméletéből következik, hogy htványsor összegfüggvénye folytonos (ld..29. Tétel). Könnyen láthtó, hogy f n(x) = n n(x x 0 ) n derivált htványsor konvergencisugr megegyezik z eredetiével, így fenti tétel és z.32. Tétel felhsználásávl kpjuk, hogy htványsor összegfüggvénye (kárhányszor) differenciálhtó, és deriválás tgonként végezhető. Így korábbn bizonyított állítások mindegyike igzolhtó függvénysorok áltlános elmélete segítségével is. Emlékeztetőül felidézünk néhány (z előző félévben tnult) nevezetes htványsor-összeget. Láttuk, hogy egy htványsor mindig z összegfüggvényének (z dott középpont körüli) Tylor-sor, tehát ezek egyben Tylor-sorösszegek is. Az előbbiek lpján pedig már zt is tudjuk, hogy konvergenci z értelmezési trtomány korlátos és zárt részintervllumin egyenletes. x = x n n=0 < x <, e x x n = n! n=0 x R, sin x = ( ) n x2n+ (2n + )! n=0 x R, cos x = ( ) n x2n (2n)! n=0 x R, n+ xn ln( + x) = ( ) n n= x (,], x 2n+ sh x = (2n + )! n=0 x R, x 2n ch x = (2n)! n=0 x R, rctgx = ( ) n x2n+ 2n + x [,]. n=0 2

19 ELSŐ FEJEZET.3. FÜGGVÉNYSOROK.3.2. Fourier-sorok A Fourier-sorok elmélete mechniki és hőtni vizsgáltok kpcsán indult fejlődésnek XVIII. százd végén. Míg Tylor-soroknál függvényeket krtunk htványsor lkbn előállítni, ddig Fourier-sorok elméletében ún. trigonometrikus polinomokkl próbáljuk közelíteni z dott f függvényt. Pontosbbn, f(x) = ( n cos(nx) + b n sin(nx)) (.8) lkú előállítást keresünk. Két lpvető kérdés merül fel, hsonlón Tylor sorokhoz: n=0 Hogyn kell z n és b n együtthtókt kiszámolni? Mi grntálj konvergenciát? Mielőtt továbbmennénk vizsgáltokbn, szögezzük le következőt: h egy f függvény előállíthtó ilyen trigonometrikus sorként, kkor f 2π szerint periodikus. Tehát továbbikbn vizsgálódásink során elég egy 2π hosszúságú intervllumr koncentrálni, pl. legyen ez [ π, π] intervllum. Feltéve, hogy z (.8) függvénysor egyenletesen konvergens, néhány formális átlkítássl 2 egyértelműen meghtározhtjuk z n és b n együtthtókt.az így kpott eredmények felhsználásávl egy tetszőleges Riemnn-integrálhtó függvényre definiálhtjuk ezekkel z együtthtókkl z ő speciális trigonometrikus sorát..39. Definíció. Legyen f R[ π, π] és legyenek 0 := 2π k := π b 0 := 0, b k := π π π π π π π f(t)dt, f(t) cos(kt)dt, f(t) sin(kt)dt, k N. A (n cos(nx) + b n sin(nx)) függvénysort z f függvény Fourier-sor ánk nevezzük..40. Megjegyzés. Jen Bptiste Joseph Fourier [ ] frnci mtemtikus és fizikus. Fő műve hővezetéssel kpcsoltos elméleti vizsgáltit trtlmzz, melyben trigonometrikus sor lkbn állított elő hővezetési differenciálegyenlet megoldásit..4. Megjegyzés. Nyilvánvló, hogy pártln függvény Fourier-sor tisztán szinuszos, páros függvény Fourier-sor tisztán koszinuszos. A konvergenci vizsgáltát illetően két kérdés merül fel: z egyik, hogy z dott f függvény Fourier-sor mikor konvergens egy x pontbn vgy egyenletesen konvergens-e [ π, π] intervllumon, másik, hogy mikor állítj elő z f függvényt. Fontos tudni, hogy vn olyn folytonos függvény, melynek nem konvergens Fourier-sor. Ezzel kpcsoltbn sok szép és viszonylg könnyen megérthető konvergencitétel létezik, melyekről z érdeklődők olvshtnk Császár Ákos Vlós nlízis (Nemzeti Tnkönyvkidó, 999) c. jegyzetében vgy Szőkeflvi-Ngy Bél: Vlós függvények és függvénysorok (Tnkönyvkidó, 977) könyvében. Először dunk egy elégséges feltételt Fourier-sorok egyenletes konvergenciájár, mjd megmuttjuk, hogy ilyenkor Fourier-sor vlóbn f-et állítj elő. Bátki András: Fourier-sorok c. jegyzete lpján. További részletek: btk/oktts/fouriersor.pdf 2 Ld. btk/oktts/fouriersor.pdf 2. oldl. 3

20 .3. FÜGGVÉNYSOROK ELSŐ FEJEZET.42. Állítás. Legyen z f 2π szerint periodikus függvény (leglább) kétszer folytonosn differenciálhtó, zz létezzen f és f folytonos. Ekkor n esetén n = πn 2 b n = πn 2 π π π π f (t) cos (nt π) dt, f (t) sin (nt π) dt. Bizonyítás. Az állítás bizonyítás teljesen elemi, kétszer egymás után elvégzett prciális integrálás. Az n együtthtór muttjuk meg, ennek lpján b n -re meggondolhtó. Az első lépésben n = π π = 0 + πn π f(t) cos(nt)dt = π π π f (t) cos ( nt π 2 [ f(t) sin(nt) n ) dt, ] π π π π π f (t) sin(nt) dt n hol hsználtuk jól ismert sin α = cos ( α π 2 ) zonosságot. A fenti számolást megismételve kpjuk, hogy n = [ π ( f (t) cos nt π ) dt = f (t) sin ( ) nt π 2 πn π 2 πn n = 0 + πn 2 π π f (t) cos (nt π) dt. Itt kihsználtuk, hogy f (π) = f ( π) és sin ( nπ π 2 ) = sin ( nπ π 2 ). ] π π π πn π f (t) sin ( nt π 2 n.43. Következmény. Legyen f leglább kétszer folytonosn differenciálhtó 2π szerint periodikus függvény. Ekkor Fourier-sor egyenletesen konvergens. Bizonyítás. A függvénysorok egyenletes konvergenciájár vontkozó z.36. Weierstrss-kritériumot hsználjuk. Az előző állításból következik, hogy n π πn 2 f (t) cos(nt π) dt π π πn 2 f (t) dt = D π n 2, hol bevezettük D := π π π f (t) dt rövidítő jelölést. Hsonlón, Tehát b n π πn 2 f (t) sin(nt π) dt π π πn 2 f (t) dt = D π n 2. n cos(nx) + b n sin(nx) 2D n 2. Mivel n sor konvergens, így Weierstrss kritériumából következik z egyenletes konvergenci [ π, π]-n, miből 2 periodicitás mitt dódik z egész számegyenesre is..44. Megjegyzés. Itt nem lehető legáltlánosbb tételt dtuk meg. Az egyenletes konvergenci megmutthtó függvényeknek sokkl áltlánosbb osztályár is, melybe például törtvonlk is beletrtoznk. 3 Viszonylg egyszerűen igzolhtó, hogy fenti állításhoz nem kell második derivált folytonosság, elég Riemnn-integrálhtóság [ π, π]-n. Pontosbbn, elég feltenni, hogy esetleg néhány x kivételével létezik f (x) és z így kpott függvény Riemnn-integrálhtó [ π, π]-n. Tehát megengedhetjük z olyn függvényeket is, mint z x vgy sgn x. Mindenesetre z egyenletes konvergenciát függvényeknek egy, gykorlti szempontból igen fontos osztályár megmutttuk. Most rátérhetünk nnk kérdésnek vizsgáltár, vjon z f függvény Fourier-sor tényleg f-et állítj-e elő. Ehhez először Fourier-sor n-edik részletösszeg-soroztát kell zárt lkbn előállítnunk. 3 Bővebbet erről Szőkeflvi-Ngy Bél: Vlós függvények és függvénysorok, Tnkönyvkidó könyvében tlálht z érdeklődő olvsó. ) dt 4

21 ELSŐ FEJEZET.3. FÜGGVÉNYSOROK.45. Tétel (Dirichlet). Legyen f 2π-szerint periodikus, f R[ π, π] és jelölje Fourier-soránk n-edik részletösszegét s n (x), zz n s n (x) = ( k cos(kx) + b k sin(kx)). Ekkor s n (x) = π k=0 π π f(x + t) sin ( ) n + 2 t 2 sin t dt. 2 A tétel feltételeit úgy kell elképzelni, hogy dott egy Riemnn-integrálhtó függvény [ π, π] intervllumon és periodikusn kiterjesztjük számegyenesre. Az s n -re dott képletben z integrndus t = 0 esetben nincs értelmezve, de könnyen láthtó, hogy folytonosn kiterjeszthető erre pontr. A bizonyítás néhány elemi trigonometrikus zonosság hosszdlms lklmzás. 4 Ezután konvergenci-tételt már könnyedén tudjuk bizonyítni..46. Tétel. Legyen f C 2 (R) és f 2π szerint periodikus. Ekkor minden x [ π, π] esetén f(x) = ( n cos nx + b n sin nx), n=0 zz f-et előállítj Fourier-sor, és konvergenci egyenletes. Bizonyítás. * Az egyenletes konvergenciát már láttuk z.43. Következményben. Megmuttjuk z előállítást. A bizonyítást elemi számolgtássl kezdjük. H g(x), kkor 0 =, n = b n = 0 és Fourier-sor nyilván konvergens. Alklmzzuk Dirichlet formuláját konstns értékű részletösszegsoroztr, így z zonosn függvény Fourier-soránk n-edik részletösszegére következőt kpjuk: = π π π sin ( n + 2) t 2 sin t dt. 2 Ebből nyilván f(x) = π f(x) sin ( ) n + 2 t π π 2 sin t dt. 2 Vizsgáljuk most z s n (x) f(x) különbséget. Dirichlet formulájából dódik, hogy s n (x) f(x) = π [f(x + t) f(x)] sin ( ) n + 2 t π π 2 sin t dt. 2 Mivel szinuszfüggvény konkáv [0, π 2 ] intervllumon, így sin t 2 2 π t. Hsználjuk még, hogy f differenciálhtó z x pontbn, így tlálhtó olyn K > 0, hogy Tehát f(x + t) f(x) t K t [ π, π]. f(x + t) f(x) 2 sin t f(x + t) f(x) 2 π 2 K. 2 Könnyen végiggondolhtó, hogy feltételeink szerint g(t) = f(x+t) f(x) 2 sin t 2 π ) ] π t miből π ( g(t) sin n + ) [ tdt = 2 g(t) cos ( n + 2 n + 2 π t π π ( g(t) sin n + ) tdt π n Ld. btk/oktts/fouriersor.pdf 5 6. oldl. (t szerint) differenciálhtó függvény. Ezért π π π π g (t) cos ( ) n + 2 t n + dt, 2 g (t) dt, 5

22 .3. FÜGGVÉNYSOROK ELSŐ FEJEZET hol hsználtuk, hogy cos ( n + 2) π = 0. Ez lpján s n (x) f(x) π f(x + t) f(x) π π 2 sin t 2 teljesül, tehát s n (x) f(x) minden x [ π, π] esetén. ( sin n + ) 2 tdt C n Megjegyzés. Könnyen végiggondolhtó, hogy tételhez nem szükséges kétszeres folytonos differenciálhtóság, hnem z.44. Megjegyzés itt is érvényes. 6

23 Második fejezet Többváltozós függvények Egészen mostnáig olyn f : R R függvényekkel fogllkoztunk, melyek értelmezési trtomány és értékkészlete vlós számok részhlmz, vgyis D(f) R, R(f) R. A minket körülvevő világ jelenségeit tnulmányozv zonbn láthtjuk, hogy bizonyos mennyiségek több más mennyiségtől is függnek. Így például V = V (h, r) = πr 2 h egy henger térfogtát dj meg nnk h mgsság és lpkörének r sugr függvényében. Ebben fejezetben olyn p változós függvényekkel ismerkedünk meg, melyek értékkészlete R-ben fekszik: f : R p R, D(f) R p, R(f) R. A többváltozós függvények körében hsználtos jelöléseket illetően Lczkovich-T. Sós: Anlízis II. (Nemzeti Tnkönyvkidó, 2007) könyvet követem. 2.. Kétváltozós függvények 2... Az R 2 ( sík) metrikus tuljdonsági H visszemlékszünk, egy f : R R függvény D(f) pontbeli folytonosságát úgy definiáltuk, hogy -hoz közeli pontokt f()-hoz közeli pontokb visz. A függvény D(f) pontbeli htárértékének ill. intd(f) pontbeli differenciálhtóságánk foglmát is közelség foglmát felhsználv vezettük be (idézzük fel z ε δ-s definíciókt!). A definíciók megfoglmzhtók voltk sorozthtárértékek segítségével is (ld. z átviteli elveket). Ebben z lfejezetben z célunk, hogy közelség és soroztkonvergenci foglmát kiterjesszük sík, vgyis R 2 pontjir (vektorir) is. Középiskolából ismeretes, hogy egy x R 2 pont vlójábn egy x = (x, x 2 ) (rendezett) számpárrl zonosíthtó, hol x és x 2 z x pont Descrtes-féle koordinátrendszerben egyértelműen meghtározott koordinátái. 2.. Definíció. Az x = (x, x 2 ) és y = (y, y 2 ) síkbeli pontok (euklideszi) távolságán z lábbi mennyiséget értjük: d(x, y) = d 2 (x, y) := (x y ) 2 + (x 2 y 2 ) 2. (2.) Ez távolságfoglom Pithgorsz-tétel felhsználásán lpul: koordinátrendszerben ábrázolv két pontot, (2.) definícióbn meghtározott szám z őket összekötő szksz hossz, ld. 2. ábrát. 7

24 2.. KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK MÁSODIK FEJEZET 2.. ábr. Két pont távolság síkon Könnyen ellenőrizhető, hogy fentiekben definiált d : R 2 R 2 R + 0 tuljdonságokkl, melyek jól muttják, hogy d vlójábn z R R R, távolságfüggvény rendelkezik z lábbi egydimenziós távolság áltlánosítás 2 dimenziór. (x, y) x y 2.2. Állítás. A (2.)-ben definiált d : R 2 R 2 R + 0 távolságfüggvényre (i) d(x, y) = 0 x = y (reflexivitás); (ii) d(x, y) = d(y, x), x, y R 2 esetén (szimmetrikusság); (iii) d(x, z) d(x, y) + d(y, z), x, y, z R 2 esetén (háromszög-egyenlőtlenség). Bizonyítás. Az (i) és (ii) állítások nyilvánvlók, (iii) négyzetre emeléssel vgy geometrii úton ellenőrizhető. Az ilyen tuljdonságú függvényeket metrikák nk fogjuk hívni, ld. hrmdik fejezetet. A metrik (vgy távolságfüggvény) segítségével hsonlón z egy dimenzióhoz értelmezhetjük egy u R 2 pont r > 0 sugrú gömbkörnyezetét ábr. A (0,0) origó körüli sugrú gömb 2.3. Definíció. Az u R 2 pont körüli r > 0 sugrú () nyílt gömb: B(u, r) := { x R 2 : d(u, x) < r } ; 8

25 MÁSODIK FEJEZET 2.. KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK (b) zárt gömb: B(u, r) := { x R 2 : d(u, x) r } ; (c) gömbfelület: B(u, r) := { x R 2 : d(u, x) = r } ; (d) kipontozott gömb(környezet): Ḃ(u, r) := B(u, r) \ {u}. A távolságfoglom lehetőséget d R 2 -beli soroztok konvergenciájánk értelmezésére. R 2 -beli sorozton egy x : : N R 2 függvényt értünk, hol x(n) := x n = (x n,, x n,2 ) R 2 sorozt n. tgj, n N Definíció. Legyen (x n ) R 2 sorozt (vgyis x n = (x n,, x n,2 ), n N), u = (u, u 2 ) R 2. Azt mondjuk, hogy z (x n ) sorozt u-hoz konvergál, vgy z (x n ) sorozt htárértéke u, jelölésben h d(x n, u) számsorozt 0-hoz trt: d(x n, u) = Másképp: x n u pontosn kkor, h lim x n = u vgy x n u, n (x n, u ) 2 + (x n,2 u 2 ) 2 0, n. minden ε > 0-hoz létezik N = N(ε) N, hogy minden n N esetén d(x n, u) < ε. Másképp: x n u pontosn kkor, h minden ε > 0-hoz létezik N = N(ε) N, hogy minden n N esetén x n B(u, ε). Fontos megjegyezni, hogy R 2 -ben nincs értelme htárértékről beszélni! 2.5. Megjegyzés. Sorozt htárértéke egyértelmű. Bizonyítás. H x n u és x n v lenne és u v, kkor r := d(u, v)/2 > 0 definícióvl B(u, r) B(v, r) =, mi ellentmond konvergenciánk (egy indextől kezdve sorozt tgji mindkét gömbben benne kellene legyenek). H jobbn meggondoljuk, egy R 2 -beli sorozt konvergenciáj tuljdonképpen z első ill. második koordinátákból álló soroztok konvergenciáját jelenti Állítás. Legyen x n = (x n,, x n,2 ) R 2, n N és u = (u, u 2 ) R 2. Az (x n ) sorozt kkor és csk kkor konvergál u-hoz, h lim x n, = u és lim x n,2 = u 2. n n Bizonyítás. lim d(x n, u) = lim n n (x n, u ) 2 + (x n,2 u 2 ) 2 = 0 lim n x n, = u és lim n x n,2 = u 2 Ismeretes, hogy R 2 vektortér, vgyis R 2 -beli pontok (vektorok) között értelmezhető z összedás és számml vló szorzás szokásos módon (erre itt nem térünk ki részletesebben). A soroztok közötti (tgonként végzett) vektorműveletek öröklődnek soroztok htárértékeire Állítás. H x n u és y n v, kkor x n + y n u + v és c x n c u, c R. Bizonyítás. Azonnl dódik 2.6. Állításból és vlós soroztok és műveletek kpcsoltából Tétel (Cuchy-kritérium). Egy (x n ) R 2 pontsorozt kkor és csk kkor konvergens, h Cuchy-sorozt, vgyis ε > 0 esetén N = N(ε) : d(x n, x m ) < ε, n, m N. 9

26 2.. KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK MÁSODIK FEJEZET Bizonyítás. H x n u, kkor ε/2-höz létezik N, hogy d(x n, u) < ε 2, n N = d(x n, x m ) d(x n, u) + d(x m, u) < ε, n, m N. Fordítv, tegyük fel, hogy (x n ) Cuchy-sorozt. Könnyen meggondolhtó, hogy ekkor z. ill. 2. koordinátákból álló (x n, ) és (x n,2 ) vlós soroztok Cuchy-soroztok tehát konvergensek. Legyen u := lim x n, és u 2 := lim x n,2. A 2.6. Állítás lpján x n u = (u, u 2 ), és ezt krtuk belátni. Hsonlón, számsoroztokr megismert Bolzno-Weierstrss tétel is érvényben mrd R 2 -beli soroztokr. Ennek kimondásához először definiálnunk kell korlátosság foglmát síkon Definíció. Egy H R 2 hlmz korlátos, h vn olyn R 2 pont és r > 0 sugár, hogy H B(, r). Egy (x n ) R 2 sorozt korlátos, h tgjiból lkotott hlmz korlátos Tétel (Bolzno-Weierstrss). Minden R 2 -beli korlátos soroztnk vn konvergens részsorozt. Bizonyítás. Könnyen meggondolhtó, hogy h (x n ) R 2 korlátos, kkor z. ill. 2. koordinátákból álló (x n, ) és (x n,2 ) vlós soroztok is korlátosk. Pontosbbn, beláthtó, hogy h kkor (x n ) B(, r), (x n, ) ( r, + r) és (x n,2 ) ( 2 r, 2 + r). Az (x n, ) vlós soroztnk (vlós) Bolzno-Weierstrss tétel lpján vn konvergens részsorozt ez legyen (x nk,), és lim k x n k, = u. Tekintsük most z ugynezen indexsorozthoz trtozó, 2. koordinátákból álló (x nk,2) soroztot! A fentiek lpján ez is korlátos, ezért (vlós) Bolzno-Weierstrss tétel lpján vn konvergens részsorozt, legyen (x nkl,2), lim l x n kl,2 = u 2. Mivel z ezen indexsoroztnk megfelelő,. koordinátákból álló (x nkl,) sorozt részsorozt z (x nk,) soroztnk, ezért lim x n kl, = u és lim x nkl,2 = u 2. l l Tehát 2.6. Állítás lpján z u := (u, u 2 ) pontr és ezt krtuk belátni. lim l x n kl = u, Hsonlón vlós számok körében bevezetett hlmz külső/belső/htár/torlódási stb. pontj foglmához, R 2 -ben is definiálhtjuk ezeket ponttípusokt, melyre később szükségünk is lesz. 2.. Definíció. Legyen H R 2, u R 2.. Az u pont belső pontj H-nk, h létezik r > 0, hogy B(u, r) H (ebből persze következik, hogy u H). H belső pontjit jelölje inth. 20

27 MÁSODIK FEJEZET 2.. KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK 2. Az u pont külső pontj H-nk, h létezik r > 0, hogy B(u, r) R 2 \ H (ebből persze következik, hogy u / H). H külső pontjit jelölje exth. Világos, hogy exth = int(r 2 \ H). 3. Az u pont htárpontj H-nk, h minden r > 0 esetén B(u, r) H és B(u, r) (R 2 \ H). H htárpontjit jelölje H. 4. Az u pont torlódási pontj H-nk, h H torlódási pontjit jelölje H. minden r > 0 esetén Ḃ(u, r) H Kétváltozós függvények tuljdonsági 2.3. ábr. f(x, y) = 00 x 2 y 2 f(x, y) = sin x + 2 sin y A 2.3. és 2.4. ábrákon kétváltozós (R-be képező) függvények grfikonji láthtók. Míg egy f : R R függvény grph f := {(x, f(x)) : x D(f)} R 2 grfikonj sík egy részhlmz (egy görbe), ddig egy f : R 2 R függvény hsonlón definiált grph f := {(x, y, f(x, y)) : (x, y) D(f)} R 3 grfikonj egy térbeli ún. felület. Könnyen meggondolhtó, hogy konstns f(x, y) = c függvény grfikonj egy vízszintes, vgyis z xy-koordinátsíkkl párhuzmos sík, ld ábrát. Az f(x, y) = x 2 függvény grfikonj egy végtelenbe nyúló, vályú lkú felület, melynek z y tengelyre merőleges síkokkl vló metszetei prbolák, ld ábrát. Az f(x, y) = x 2 + y 2 függvény grfikonj pedig egy végtelen kúpplást, ld ábrát. Az előző lfejezetben bevezetett d : R 2 R síkbeli távolság segítségével értelmezhetjük kétváltozós függvények folytonosságát és htárértékét. A definíciók z egyváltozós esettel teljesen nlóg módon hngznk z egyetlen különbség, hogy z értelmezési trtománybn közelség foglmát d függvény felhsználásávl értelmezzük. 2

28 2.. KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK MÁSODIK FEJEZET 2.4. ábr. f(x, y) = xy(x2 y 2 ) x 2 +y 2 f(x, y) = 2 (y2 x 2 ) 2.5. ábr. f(x, y) = c 2.2. Definíció. Legyen f : R 2 R, u D(f). Azt mondjuk, hogy f folytonos z u pontbn, h minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy minden x D(f), d(x, u) < δ esetén f(x) f(u) < ε. Másképpen: minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy (itt K ε (f(u)) = (f(u) ε, f(u) + ε) nyílt intervllum). minden x B(u, δ) D(f) esetén f(x) K ε (f(u)) 2.3. Definíció. Azt mondjuk, hogy f : R 2 R folytonos H D(f) hlmzon, h nnk minden pontjábn folytonos. Azt mondjuk, hogy f : R 2 R folytonos, h D(f) hlmzon folytonos. Htárértéket hsonlón vlós esethez csk z értelmezési trtomány torlódási pontjibn értelmezünk. A v htárértékre v R, tehát v = ± lehetséges, melynek ε sugrú környezeteit z. félévben definiáltuk Definíció. Legyen f : R 2 R, u D(f), v R. Azt mondjuk, hogy f htárértéke z u helyen v, h minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy minden x D(f), x u, d(x, u) < δ esetén f(x) K ε (v). 22

29 MÁSODIK FEJEZET 2.. KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK 2.6. ábr. f(x, y) = x ábr. f(x, y) = x 2 + y 2 Másképpen: minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy Jelölés: minden x Ḃ(u, δ) D(f) esetén f(x) K ε(v). lim u f = v vgy lim x u f(x) = v. A vlós függvényeknél tnultkhoz nlóg módon igzolhtunk átviteli elveket Tétel (Átviteli elv folytonosságr). Legyen f : R2 R, u D(f). Ekkor ekvivlensek: () f folytonos u-bn; (b) minden (x n ) D(f), x n u sorozt esetén f(x n ) f(u) Tétel (Átviteli elv htárértékre). Legyen f : R2 R, u D(f), v R. Ekkor ekvivlensek: () lim u f = v ; (b) minden (x n ) D(f), x n u, x n u sorozt esetén f(x n ) v. Könnyen meggondolhtó, hogy z lfejezetben tlálhtó ábrákon bemuttott függvények mindegyike folytonos. 23

30 2.2. AZ R P ÉS P -VÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK MÁSODIK FEJEZET 2.7. Péld. A 2.8. ábrán láthtó f(x, y) = 2xy x 2 +y függvénynek zonbn z origóbn, vgyis (0,0) pontbn nincs 2 htárértéke. Ennek igzolásához gondoljuk meg, hogy h y = mx, (x 0) lkú egyeneseken közeledünk z origóhoz, kkor itt függvényértékek f(x, y) = f(x, mx) = 2mx2 x 2 + m 2 x 2 = 2m + m 2, vgyis m-től függő konstns értéket vesznek fel. Mivel ezek különböző m-ekre különböző értéket dnk, így függvénynek nincs htárértéke (0,0)-bn ábr. f(x, y) = 2xy x 2 +y Péld. Az f(x, y) = x2 y 2 x 2 +y 2 függvénynek vn htárértéke z origóbn, mégpedig 0. Ennek megmuttásához lklmzzuk számtni és mértni közép közti egyenlőtlenséget z x 2 és y 2 számokr! miből Így x2 y 2 x2 + y 2, 2 ( x x 2 y y 2 ) f(x, y) x2 + y 2, 4 és rendőr-elv lpján következik, hogy lim (x,y) (0,0) f(x, y) = 0. A fenti példákból is látszik, hogy kétváltozós függvények htárértéke jóvl összetettebb foglom, mint z egyváltozós htárérték, hiszen z dott ponthoz sokféleképpen közelíthetünk Az R p és p-változós függvények A fentiekben R 2 -re bevezetett foglmkt könnyen kiterjeszthetjük R p -re, tetszőleges p N esetén. A d = d 2 : R p R p R + (szintén euklideszinek nevezett) távolságfüggvényt x = (x,..., x p ) R p és y = (y,..., y p ) R p vektorokr d(x, y) = d 2 (x, y) := (x y ) (x p y p ) 2 (2.2) képlettel definiáljuk és, h nem okoz félreértést, ugynúgy jelöljük, mint megfelelő R 2 -beli távolságfüggvényt. Ez d is teljesíti 2.2. Állításbn felsorolt tuljdonságokt. 24

31 MÁSODIK FEJEZET 2.2. AZ RP ÉS P -VÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK Az R p -beli pontokr (vektorokr) bevezethetünk mindent, mit R 2 -en definiáltunk. Fontos megjegyeznünk, hogy Bolzno-Weiertsrss tétel is érvényben mrd R p -beli soroztokr. Továbbá, értelmezhetjük f : R p R függvények folytonosságát, htárértékét. Ezekben definíciókbn egyszerűen d helyébe z R p -beli d : R p R p R távolságfüggvényt kell helyettesíteni. Megjegyezzük, hogy egy f : R p R függvény grph f := {(x, f(x)) : x D(f)} R p+ grfikonj már p = 3 esetén is nehezen elképzelhető (és rjzolhtó le...), hiszen R 4 egy részhlmzáról vn szó. 25

32 2.2. AZ R P ÉS P -VÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK MÁSODIK FEJEZET 26

33 Hrmdik fejezet Metrikus terek 3.. Alpfoglmk, nyílt és zárt hlmzok Alpötlet: Az (x, y) x y hozzárendelés z x és y vlós számok távolságát dj meg. Ezt áltlánosíthtjuk x = (x, x 2,..., x p ) R p és y = (y, y 2,..., y p ) R p vektorokr úgy, hogy d 2 (x, y) := mit z x és y pontok euklideszi távolságánk nevezünk. Az lábbikbn tovább áltlánosítjuk távolság foglmát. ( p ) 2 (x y ) 2 + (x 2 y 2 ) (x p y p ) 2 = x k y k 2, 3.. Definíció. Legyen X nem üres hlmz. Ekkor X-beli metrik vgy távolságfüggvény ltt egy olyn d : X X [0, + ) leképezést értünk, melyre z lábbi tuljdonságok teljesülnek: (i) d(x, y) = 0 x = y (reflexivitás); (ii) d(x, y) = d(y, x) x, y X esetén (szimmetrikusság); (iii) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y, z X esetén (háromszög-egyenlőtlenség) Definíció. A metrikus tér egy olyn (X, d) rendezett pár, hol X nem üres lphlmz, d pedig X-beli metrik. k= 3.3. Példák (metrikus terekre).. X := R p, d (x, y) := x y + x 2 y x p y p = d 2 (x, y) := p x k y k (3.) k= (x y ) 2 + (x 2 y 2 ) (x p y p ) 2 = ( p k= x k y k 2 ) 2 (3.2) Bizonyítás. A metrik (i) és (ii) tuljdonság könnyen láthtó d és d 2 függvényre. A (iii) tuljdonság d esetén könnyen igzolhtó, d 2 esetén némileg bonyolult számolássl ellenőrizhető. 2. X := R p, d (x, y) := mx k p x k y k 27

34 3.. ALAPFOGALMAK, NYÍLT ÉS ZÁRT HALMAZOK HARMADIK FEJEZET Bizonyítás. Az (i) és (ii) tuljdonságok nyilvánvlók. A (iii) háromszög-egyenlőtlenséghez legyenek x, y, z R p. Minden k {,..., p} esetén x k z k x k y k + y k z k, tehát minden k {,..., p} esetén Ebből következik, hogy x k z k d (x, y) + d (y, z). d (x, z) d (x, y) + d (y, z). Amint láttuk, ugynzon z lphlmzon sokféle metrik értelmezhető, például R p -n értelmezhetjük d, d 2 és d metrikák így z (R p, d ), (R p, d 2 ) ill. (R p, d ) metrikus terekhez jutunk. A későbbiekben látni fogjuk, hogy ezek metrikus terek sok szempontból hsonlón viselkednek (p = esetén mindhárom metrik ugynzt távolságot dj). 3. X tetszőleges, diszkrét metrik. d(x, y) := {, h x y; 0, h x = y. Bizonyítás. Az (i) és (ii) tuljdonságok ismét világosk. A (iii) tuljdonság rögtön következik, h x = z. H x z, kkor (iii) bl oldlán áll. Másrészt y z x és z pontok közül legfeljebb z egyikkel egyezhet meg, így jobb oldlon leglább áll, miből z egyenlőtlenség dódik. 4. X := b(h) H R hlmzon korlátos függvények hlmz, d (f, g) := sup f(h) g(h). h H Bizonyítás. Az (i) és (ii) tuljdonságok zonnl dódnk. Legyenek f, g, u b(h) függvények. Ekkor minden h H esetén f(h) u(h) f(h) g(h) + g(h) u(h), tehát minden h H esetén miből definíció szerint f(h) u(h) d (f, g) + d (g, u), d (f, u) d (f, g) + d (g, u). 5. X := C[, b], z előző egy speciális esete. d (f, g) := sup f(x) g(x) = mx f(x) g(x) x [,b] x [,b] 3.4. Definíció. Az (X, d) metrikus térben z u X pont körüli r > 0 sugrú () nyílt gömb: B(u, r) := {x X : d(u, x) < r}; (b) zárt gömb: B(u, r) := {x X : d(u, x) r}; (c) gömbfelület: B(u, r) := {x X : d(u, x) = r}; (d) kipontozott gömb(környezet): Ḃ(u, r) := B(u, r) \ {u} Definíció. Az u pont r sugrú környezetén B(u, r) nyílt gömböt értjük. 28

35 HARMADIK FEJEZET 3.. ALAPFOGALMAK, NYÍLT ÉS ZÁRT HALMAZOK 3.. ábr. Origó körüli egységgömbök síkon d, d 2 és d metrikákbn 3.6. Példák (gömbökre).. A 3.. ábrán z (R 2, d ), (R 2, d 2 ) és (R 2, d ) terekben (0,0) pont (origó) körüli sugrú gömbök láthtók. 2. H (X, d) diszkrét metrikus tér egy tetszőleges lphlmzon, kkor { {u}, r ; B(u, r) = X, r > Definíció. Legyen (x n ) (X, d) pontsorozt, u X. Azt mondjuk, hogy lim n x n = u vgy x n u, vgyis z (x n ) sorozt u-hoz konvergál, h d(x n, u) 0, n esetén. Másképp: x n u pontosn kkor, h minden ε > 0-hoz létezik N = N(ε) N, hogy minden n N esetén d(x n, u) < ε, vgyis x n B(u, ε) Megjegyzés. Sorozt htárértéke egyértelmű. Bizonyítás. H x n u és x n v lenne és u v, kkor r := d(u,v) 2 > 0 definícióvl B(u, r) B(v, r) =, mi ellentmond konvergenciánk (egy indextől kezdve sorozt tgji mindkét gömbben benne kellene legyenek) Állítás. Az (R p, d ), (R p, d 2 ) és (R p, d ) terekben egy (x n ) R p sorozt pontosn kkor konvergens, h minden k p esetén k-dik koordinátákból álló (x n,k ) n N vlós sorozt konvergens. Az (x n ) sorozt d, d 2 ill. d metrik szerinti htárértéke z z u = (u,..., u p ) R p pont, melyre lim n x n,k = u k, k =,..., p, vgyis koordinát-soroztok htárértékeiből álló vektor. Bizonyítás. Házi feldt. Ennek z állításnk közvetlen következménye, hogy fenti p-dimenziós metrikus terekben is érvényben mrd Bolzno-Weierstrss tétel Tétel (Bolzno-Weierstrss). Az (R p, d ), (R p, d 2 ) és (R p, d ) terekben minden (x n ) korlátos soroztnk vn konvergens részsorozt. Bizonyítás. A 2.0. Tétel bizonyításávl nlóg módon láthtó. 3.. Definíció. Legyen (x n ) (X, d) pontsorozt. Azt mondjuk, hogy z (x n ) sorozt Cuchy-sorozt, h d(x n, x m ) 0, n, m. Másképp: (x n ) Cuchy-sorozt, h minden ε > 0-hoz létezik N = N(ε) N, hogy minden n, m N esetén d(x n, x m ) < ε. 29

36 3.. ALAPFOGALMAK, NYÍLT ÉS ZÁRT HALMAZOK HARMADIK FEJEZET 3.2. Állítás. H (x n ) (X, d) konvergens, kkor Cuchy-sorozt. Bizonyítás. Mint vlós esetben: h x n u, kkor válsszunk dott ε > 0 esetén ε/2-höz küszöbindexet, hogy n N esetén d(x n, u) < ε/2. Ekkor n, m N esetén háromszög-egyenlőtlenségből kpjuk, hogy d(x n, x m ) d(x n, u) + d(x m, u) < ε/2 + ε/2 = ε Megjegyzés. A fenti állítás megfordítás áltlábn nem igz! Tehát metrikus térben nem igz feltétlenül, hogy minden Cuchy-sorozt konvergens, mint zt R-ben nnk idején láttuk. Később teljes metrikus tér nek fogjuk nevezni zokt tereket, hol Cuchy-soroztok konvergensek Péld. Vizsgáljuk meg, hogy mit jelent egy (f n ) b(h) függvénysoroztnk fent definált d metrikábn vló konvergenciáj! Definíció szerint f n f d metrikábn ekvivlens zzl, hogy mi függvénysorozt egyenletes konvergenciáj H-n. d (f n, f) = sup f n (h) f(h) 0, n, h H 3.5. Definíció. Legyen (X, d) metrikus tér, H X, u X.. Az u pont belső pontj H-nk, h létezik r > 0, hogy B(u, r) H (ebből persze következik, hogy u H). H belső pontjit jelölje inth. 2. Az u pont külső pontj H-nk, h létezik r > 0, hogy B(u, r) X \ H (ebből persze következik, hogy u / H). H külső pontjit jelölje exth. Világos, hogy 3. Az u pont htárpontj H-nk, h H htárpontjit jelölje H. 4. Az u pont torlódási pontj H-nk, h H torlódási pontjit jelölje H. 5. Az u pont izolált pontj H-nk, h exth = int(x \ H). minden r > 0 esetén B(u, r) H és B(u, r) (X \ H). minden r > 0 esetén Ḃ(u, r) H. létezik r > 0, melyre B(u, r) H = {u}. 6. A H hlmz lezártj H := inth H = H H Megjegyzés. Könnyen láthtó, hogy bármely H X esetén X = inth H exth. 30

37 HARMADIK FEJEZET 3.. ALAPFOGALMAK, NYÍLT ÉS ZÁRT HALMAZOK 3.7. Példák.. (X, d) := (R, d ), H := (, b) intervllum (vgy H := [, b), H := (, b], H := [, b].) Ekkor inth = (, b), exth = (, ) (b, ), H = {, b}, H = [, b], H = [, b], izolált pontj nincs. 2. (X, d) := (R, d ), H := Q rcionális számok hlmz. Ekkor inth = exth =, H = H = H = R, izolált pontj nincs. Ugynezek érvényesek H = R \ Q-r. 3. (X, d) := (R, d ), H := [0,] {2}. Ekkor inth = (0,), exth = (, 0) (,2) (2, ), H = {0,,2}, H = [0,], H = H, izolált pontjink hlmz {2} Tétel. Legyen (X, d) metrikus tér, H X, u X. Ekkor ekvivlensek: (i) u H ; (ii) r > 0 esetén B(u, r) H végtelen hlmz; (iii) (x n ) H \ {u}, lim n x n = u. Bizonyítás. A (ii) (i) definícióból rögtön következik. (i) (iii): tekintsük B(u, n ) gömböket, és legyen x n Ḃ(u, n ) H, mi H definíciój szerint létezik. Ekkor d(x n, u) < n mitt x n u, és x n válsztás mitt x n u, n N. (iii) (ii): mivel r > 0 esetén létezik N N, hogy minden n N-re x n B(u, r), ezért z állítás következik Definíció. Legyen (X, d) metrikus tér, H X. Azt mondjuk, hogy H nyílt hlmz, h minden pontj belső pont, vgyis H = inth mi ekvivlens zzl, hogy H H =, vgyis H egyetlen htárpontját sem trtlmzz. Azt mondjuk, hogy H zárt hlmz, h minden htárpontját trtlmzz, vgyis H = H Tétel (:-)). A hlmz nem jtó! Vgyis: nem igz, hogy egy hlmz vgy nyílt vgy zárt Példák. Tetszőleges (X, d) metrikus térben és X zárt is és nyílt is. (R, d e )-ben z (, b] intervllum se nem zárt se nem nyílt Állítás. Egy hlmz pontosn kkor nyílt, h komplementere zárt és fordítv (pontosn kkor zárt, h komplementere nyílt). Bizonyítás. Következik bból, hogy H = (X \ H) Péld. Legyen (X, d) diszkrét metrikus tér tetszőleges lphlmzon. Ekkor minden H X hlmz nyílt és következésképpen minden hlmz zárt. Bizonyítás. Világos, hogy B(x,) = {x} H minden x H esetén Megjegyzés. A fentiek lpján H X pontosn kkor nyílt, h minden h H ponthoz vn olyn r > 0, hogy B(h, r) H. A következő állítás zárt hlmzok egy krkterizációját dj Állítás. Egy F X hlmz pontosn kkor zárt, h minden (x n ) F konvergens sorozt esetén lim x n F. n Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy F zárt és legyen (x n ) F konvergens sorozt, x n u. Indirekt tegyük fel, hogy u X \ F. Mivel ez utóbbi hlmz Állítás szerint nyílt, ezért létezik r > 0 sugár, hogy B(u, r) X \ F. Ekkor konvergenci definíciój szerint vn olyn N N, hogy minden n N esetén x n B(u, r) X \ F, mi ellentmond nnk, hogy (x n ) F. Másodszor tegyük fel, hogy minden (x n ) F konvergens sorozt esetén lim n x n F. Indirekt tegyük fel, hogy F nem zárt, tehát legyen u F (X \ F ). Ekkor htárpont definíciój mitt minden n > 0 számhoz létezik egy olyn u n pont, mely benne vn z u körüli n sugrú gömbben és F -ben is, vgyis u n B(u, ) F, n N. n Az így kpott (u n ) F soroztr d(u n, u) < n, tehát u n u, másrészt u X \ F, mi ellentmondás. 3

38 3.. ALAPFOGALMAK, NYÍLT ÉS ZÁRT HALMAZOK HARMADIK FEJEZET Állítás. H H és H 2 nyílt hlmzok, kkor H H 2 is nyílt hlmz. Bizonyítás. Legyen x H H 2. Ekkor x H vgy x H 2 teljesül. Legyen például x H. Mivel H nyílt hlmz, ezért r > 0, hogy B(x, r) H H H 2, tehát x int(h H 2 ) Következmény. Akárhány nyílt hlmz uniój nyílt Állítás. H H és H 2 zárt hlmzok, kkor H H 2 is zárt hlmz. Bizonyítás. A de Morgn-zonosság lpján X \ (H H 2 ) = (X \ H ) (X \ H 2 ), mi és z előző Állítás lpján nyílt. Ismét lklmzv Állítást kpjuk, hogy H H 2 zárt Következmény. Akárhány zárt hlmz metszete zárt Példák nyílt hlmzokr Állítás. Tetszőleges B(u, r) nyílt gömb nyílt hlmz. Bizonyítás. Legyen v B(u, r). Megmuttjuk, hogy δ := r d(u, v) > 0 esetén B(v, δ) B(u, r). H x B(v, δ), kkor d(x, u) d(x, v) + d(v, u) < δ + d(v, u) = r, vgyis x B(u, r). Ld ábrát. u r v δ 3.2. ábr Állítás. X \ B(u, r) nyílt hlmz. Bizonyítás. Legyen x X \ B(u, r). Megmuttjuk, hogy δ := d(x, u) r esetén B(x, δ) X \ B(u, r). Legyen y B(x, δ), ekkor háromszög-egyenlőtlenség lpján vgyis y X \ B(u, r). d(y, u) d(x, u) d(x, y) > d(x, u) δ = d(x, u) d(x, u) + r = r, Állítás. Tetszőleges H X esetén inth nyílt hlmz. Bizonyítás. Be kell látni, hogy inth = int(inth). Az int(inth) inth trtlmzás nyilvánvló. Legyen x inth, ekkor létezik r > 0, hogy B(x, r) H. Megmuttjuk, hogy B(x, r) inth is teljesül. Legyen y B(x, r). A Állítás lpján vn olyn δ > 0, melyre B(y, δ) B(x, r) H, vgyis y inth is teljesül Következmény. Tetszőleges H X esetén exth nyílt hlmz (ugynis exth = int(x \ H)). 32

39 HARMADIK FEJEZET 3.2. METRIKUS TEREK TELJESSÉGE Tétel. Egy H (R, d e ) hlmz pontosn kkor nyílt, h előáll megszámlálhtó sok diszjunkt nyílt intervllum uniójként. Vázlt. Egyrészt tetszőleges ilyen hlmz nyílt Állítás szerint. Másrészt, h H (R, d e) nyílt hlmz, kkor h H esetén definiáljuk z lábbi nyílt intervllumot: I h := {J H : J nyílt intervllum, h J}. Ilyen J intervllum vn H nyíltság mitt, és z is világos, hogy I h egy nyílt intervllum. Meggondolhtó, hogy tetszőleges h, h 2 H esetén I h I h2 = vgy I h = I h2 teljesül. A bizonyítás hátrlévő része következik bból, hogy számegyenesen bármely diszjunkt nyílt intervllumokból álló rendszer megszámlálhtó (hiszen mindegyikből kivehető egy-egy, páronként különböző rcionális szám) Példák zárt hlmzokr Állítás. Tetszőleges B(u, r) zárt gömb zárt hlmz. Bizonyítás. Következik 3.3. és Állításokból Állítás. Tetszőleges H X esetén H zárt hlmz vgyis hlmz lezártj vlóbn zárt. Bizonyítás. Következik bból, hogy komplementere, X \ H = exth nyílt Következmény szerint Állítás. Bármely H X esetén H zárt hlmz. Bizonyítás. Elég megmuttni, hogy X \ H = inth exth nyílt. Ez következik 3.32., 3.33 és Állításokból vgyis hogy inth és exth nyílt hlmzok, és z uniójuk is z Állítás. Bármely H X esetén H zárt hlmz. Bizonyítás. Megmuttjuk, hogy X \ H nyílt hlmz. Legyen u X \ H. Megmuttjuk, hogy vn egy u körüli gömb, mely része X \ H -nk. A 3.8.(ii) Tétel szerint u-nk vn olyn B(u, r) környezete, melyben csk véges sok H-beli pont tlálhtó. Ekkor B(u, r) X \ H. Ugynis, h voln y B(u, r) H, kkor véve y-nk egy B(u, r)-be eső B(y, δ) gömbkörnyezetét (ld Állítás), erre nem teljesülhetne, hogy B(y, δ) H végtelen hlmz (hiszen B(y, δ) B(u, r), és B(u, r)-ben csk véges sok H-beli pont vn), mi ellentmond nnk, hogy y H Metrikus terek teljessége Péld (Cuchy-soroztr, mi nem konvergens). Legyen X := R \ {0}, d := d X. Tekintsük z ( n ) X soroztot. Könnyen láthtó, hogy ez megdott metrikábn Cuchy-sorozt. Másrészt nem lehet konvergens, mert R-ben létezik htárértéke ( 0), mi nem eleme X-nek Definíció (FONTOS!). Egy (X, d) metrikus teret teljes metrikus térnek mondunk, h benne minden Cuchysorozt konvergens Példák (Teljes metrikus terekre).. (R, d ), ld. I. félév. 2. (R p, d ), (R p, d 2 ) és (R p, d ). Meggondolhtó, hogy (x n ) (R p, d i ) i =,2, pontosn kkor Cuchysorozt, h minden k {,..., p} esetén z k. koordinátákból álló (x n,i ) R sorozt Cuchy-sorozt tehát konvergens, vlós soroztoknál tnultk szerint. Ezután z állítás következik 3.9. Állításból. 3. (X, d), hol X tetszőleges lphlmz, d diszkrét metrik. Könnyen láthtó (ld. gykorlt), hogy diszkrét metrikus térben Cuchy-soroztok és konvergens soroztok is csk kvázikonstns (egy indextől kezdve állndó) soroztok. 33

40 3.2. METRIKUS TEREK TELJESSÉGE HARMADIK FEJEZET 4. A (b(h), d ) tér teljes metrikus tér. Bizonyítás. * Legyen (f n ) b(h) Cuchy-sorozt, vgyis minden ε > 0 számhoz létezik N N, hogy n, m N esetén d (f n, f m ) := sup f n (h) f m (h) < ε. h H Ebből következik, hogy minden h H esetén f n (h) f m (h) < ε, tehát rögzített h-r (f n (h)) R Cuchy-sorozt, így konvergens. Jelölje htárértéket lim f n(h) := f(h), h H. n Megmuttjuk, hogy (f n ) d metrikábn trt z így definiált f b(h) függvényhez. Legyen ε > 0 rögzített. Válsszunk ε/2-höz N N-et úgy, hogy n, m N esetén tehát speciálisn, n := N és m > N-re sup f n (h) f m (h) < ε/2, (3.3) h H f N (h) f m (h) < ε/2 minden h H-r. Ekkor z m htárátmenetet elvégezve kpjuk, hogy tetszőleges h H-r f N (h) f(h) ε/2. Másrészt h n N, kkor (3.3) és z előbbiek lpján minden h H esetén f n (h) f(h) f n (h) f N (h) + f N (h) f(h) ε/2 + ε/2 = ε. Tehát tláltunk olyn N-et, hogy h n N, kkor miből z állítás következik. sup f n (h) f(h) ε, h H Állítás. Legyen (X, d) teljes metrikus tér és M X zárt részhlmz. Ekkor d M := d M M jelöléssel (M, d M ) teljes metrikus tér. Bizonyítás. Legyen (x n ) M Cuchy-sorozt d M szerint. Ekkor (x n ) X is teljesül, és (x n ) nyilván Cuchysorozt d szerint is, tehát (X, d) teljessége mitt konvergens. Legyen htárértéke u X. No de Állítás mitt u M is teljesül, és ezzel z állítást beláttuk Következmény. A 3.4. Példábn felsoroltk lpján ([, b], d ), (C[, b], d ) és (R[, b], d ) teljes metrikus terek (ld. z.5. és z.8. Tételeket) Definíció. Legyenek (X, d) és (Y, ρ) tetszőleges metrikus terek. Azt mondjuk, hogy z f : X Y leképezés kontrkció, h létezik q [0,), hogy ρ(f(x ), f(x 2 )) q d(x, x 2 ), x, x 2 X Tétel (Bnch-féle fixponttétel). Legyen (X, d) teljes metrikus tér, f : X X kontrkció. Ekkor f-nek létezik egyetlen fixpontj, vgyis! u X, melyre f(u) = u. 34

41 HARMADIK FEJEZET 3.2. METRIKUS TEREK TELJESSÉGE Bizonyítás. Legyen x 0 X tetszőleges, és indukcióvl, x n := f(x n ), n N. Az így kpott (x n ) X soroztr, n > m esetén metrikár vontkozó háromszög-egyenlőtlenségből dódik, hogy d(x n, x m ) d(x n, x n ) + d(x n, x n 2 ) + + d(x m+, x m ). (3.4) Másrészt, z (x n ) sorozt definíciój szerint és kihsználv, hogy f kontrkció, kpjuk, hogy minden k = m+,..., n esetén d(x k, x k ) = d(f(x k ), f(x k 2 )) q d(x k, x k 2 ) = A (3.4) és (3.5) lpján = d(f(x k 2 ), f(x k 3 )) q 2 d(x k 2, x k 3 ) q k d(x, x 0 ). d(x n, x m ) d(x n, x n ) + d(x n, x n 2 ) + + d(x m+, x m ) ( q n + q n q m) d(x, x 0 ) = qm q n d(x, x 0 ) 0, n > m q tehát (x n ) X Cuchy-sorozt, és X teljessége mitt konvergens. Legyen Megmuttjuk, hogy u fixpontj f-nek. Mivel u := lim n x n. 0 d(u, f(u)) d(u, x n ) + d(x n, f(u)) = d(u, x n ) + d(f(x n ), f(u)) d(u, x n ) + q d(x n, u) 0, n, ezért d(u, f(u)) = 0, tehát u = f(u). H v = f(v) is teljesül, kkor 0 d(u, v) = d(f(u), f(v)) q d(u, v), mi 0 q < mitt csk úgy lehet, hogy d(u, v) = 0, vgyis u = v. (3.5) 3.3. ábr. A Bnch-fixponttétel szemléltetése z f(x) = x függvényre [ 0.45, 0.45] intervllumon 35

42 3.3. KOMPAKTSÁG METRIKUS TEREKBEN HARMADIK FEJEZET 3.3. Kompktság metrikus terekben Definíció. Legyen (X, d) metrikus tér. Egy H X hlmz átmérője dim := 0. dim H := sup {d(x, y) : x, y H}. Fontos, hogy fenti definícióbn sup helyett nem írhtunk mx-ot, pl. (R, d e )-ben egy I = (, b) intervllum átmérője b, de nincs két olyn pontj, minek ennyi lenne távolság. Másrészt h (X, d) diszkrét metrikus tér, kkor dim (B(x, 2 )) = 0 bármely x X esetén Definíció. Legyen (X, d) metrikus tér. Egy H X hlmzt korlátosnk mondunk, h dim H <. A következő tétel zt mondj, hogy egy hlmz pontosn kkor korlátos, h belefogllhtó egy (tetszőleges pont körüli) gömbbe Tétel. Legyen (X, d) metrikus tér. Egy H X esetén ekvivlensek: (i) H korlátos; (ii) u X és r > 0, hogy H B(u, r); (iii) v X esetén ρ > 0, hogy H B(v, ρ). Bizonyítás. A (iii) (ii) nyilvánvló. A (ii) (i) bból következik, hogy (ii) fennállás esetén dim H 2r teljesül. (i) (iii): legyen v X dv, és válsszunk egy tetszőleges h H pontot. Legyen ρ := dim H + d(h, v) +. Ekkor bármely x H esetén tehát H B(v, ρ). d(x, v) d(x, h) + d(h, v) dim H + d(h, v) < ρ, A fenti állításból (is) látszik, hogy korlátosság foglm mennyire metrik-függő foglom. H például R 2 -en tekintjük diszkrét metrikát, ebben minden hlmz korlátos lesz, hiszen z egész tér belefogllhtó bármely pont körüli, tetszőleges -nél ngyobb sugrú nyílt gömbbe. A szokásos euklideszi metrikábn zonbn nyilvánvló, hogy nem minden hlmz korlátos Definíció. Legyen (X, d) metrikus tér. Egy H X hlmzt (sorozt)kompktnk mondunk, h bármely H-beli soroztnk vn H-beli ponthoz konvergáló részsorozt. Az (X, d) metrikus tér (sorozt)kompkt, h benne X soroztkompkt hlmz, vgyis tetszőleges soroztnk vn konvergens részsorozt Péld. Az I. évben tnultk lpján z (R, d ) térben minden [, b] korlátos és zárt intervllum soroztkompkt Tétel. Legyen (X, d) metrikus tér. H H X soroztkompkt, kkor H korlátos és zárt hlmz. Bizonyítás. Először zártságot bizonyítjuk. A Állítás lpján elég megmuttni, hogy bármely H-beli konvergens sorozt htárértéke H-bn vn. Legyen (x n ) H konvergens sorozt. Mivel H soroztkompkt, ezért minden H-beli soroztnk, így (x n )-nek is vn H-bn lévő ponthoz konvergáló részsorozt no de kkor lim x n H is teljesül, hiszen lim x n megegyezik minden részsoroztánk htárértékével. Másodszor tegyük fel indirekt, hogy H soroztkompkt, de nem korlátos. Legyen x H tetszőleges. Válsszunk x 2 H \ B(x,) pontot ilyen létezik z indirekt feltevés és Tétel szerint. Indukcióvl, z n. lépésben válsszunk ( n ) x n H \ B(x i,) i= pontot ilyen létezik, mert világos, hogy véges sok gömb uniój, n i= B(x i,) korlátos. Tehát kptunk egy (x n ) H soroztot, melyre teljesül, hogy d(x n, x i ), i =,..., n. (3.6) Ebből soroztból nem válszthtó ki konvergens részsorozt, hiszen nem Cuchy-sorozt. 36

43 HARMADIK FEJEZET 3.3. KOMPAKTSÁG METRIKUS TEREKBEN Péld. * Korlátos és zárt, de nem soroztkompkt hlmzr. Legyen X := l = {(x n ) : (x n ) korlátos, vlós sorozt}. A d : X X [0, ), d(x, y) := sup x n y n n N függvényről könnyen láthtó, hogy metrik. Álljon H hlmz zon soroztokból, melyeknek pontosn egy eleme, többi 0, vgyis e := (,0,0,...) jelöléssel e 2 := (0,,0,...). e n := (0,0,0,..., }{{},0... ) n. H := {e i : i N}. Világos, hogy H X és H B(0,), hol most 0 konstns 0 soroztot jelöli, tehát H korlátos hlmz. Mivel d(e i, e j ) =, h i j, ezért H elemei körüli gömbökre ( B e i, ) ( B e j, ) =, i j 2 2 teljesül. Ebből következik, hogy h x H, kkor x B(e j, 2 ) vlmely j N számr. H x e j voln, kkor létezne x körül olyn gömb, mely nem trtlmzz e j -t, így nem lehetne x H. Ebből kpjuk, hogy H H (sőt, H = H), tehát H zárt hlmz is. Másrészt d(e i, e j ) =, i j mitt z (e n ) soroztból nem válszthtó ki konvergens részsorozt (mivel nem Cuchy-sorozt), tehát H nem soroztkompkt Tétel. Soroztkompkt hlmz zárt részhlmz soroztkompkt. Bizonyítás. Legyen H soroztkompkt és G H zárt hlmz, (x n ) G tetszőleges sorozt. Mivel (x n ) H is teljesül, zért soroztnk vn olyn (x nk ) részsorozt, mely egy H-beli ponthoz konvergál. Node Állítás szerint ez htárérték G-ben vn, mivel z állítást beláttuk Tétel. Az (R p, d ), (R p, d 2 ) és (R p, d ) terekben minden korlátos és zárt hlmz soroztkompkt. Bizonyítás. Legyen H (R p, d k ) (k =,2, vgy ) korlátos és zárt hlmz, továbbá (x n ) H sorozt. Mivel (x n ) feltétel szerint korlátos is, ezért 3.0. Bolzno-Weierstrss tétel mitt (x n )-nek vn konvergens részsorozt. No de H zárt is, ezért Állítás lpján e részsorozt htárértéke is H-bn vn, mivel bizonyítás kész Tétel. Az (R p, d ), (R p, d 2 ) és (R p, d ) terekben egy hlmz pontosn kkor soroztkompkt, h korlátos és zárt. Bizonyítás. Következik z előző és 3.5. Tételekből. 37

44 3.3. KOMPAKTSÁG METRIKUS TEREKBEN HARMADIK FEJEZET 38

45 Negyedik fejezet Folytonosság, htárérték metrikus terekben Legyenek z lábbikbn (X i, d i ), i =,2 metrikus terek, D(f) X, f : X X 2. Az (X, d ) térbeli gömböket B -el, z (X 2, d 2 ) térbeli gömböket B 2 -vel jelöljük. 4.. Definíció. Azt mondjuk, hogy f folytonos z u D(f) helyen vgy z u pontbn, h minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy minden x D(f), d (x, u) < δ esetén d 2 (f(x), f(u)) < ε. Másképpen: minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy minden x B (u, δ) D(f) esetén f(x) B 2 (f(u), ε) Definíció. Azt mondjuk, hogy f folytonos H hlmzon, h nnk minden pontjábn folytonos Definíció. Legyen f : X X 2, u D(f), v X 2. Azt mondjuk, hogy f htárértéke z u helyen v, h minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy Másképpen: minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy Jelölés: minden x D(f), x u, d (x, u) < δ esetén d 2 (f(x), v) < ε. minden x Ḃ(u, δ) D(f) esetén f(x) B 2 (v, ε). lim u f = v vgy lim x u f(x) = v. A vlós függvényeknél tnultkhoz nlóg módon megfoglmzhtunk átviteli elveket Tétel (Átviteli elv folytonosságr). Ekvivlensek: () f folytonos u-bn; (b) minden (x n ) D(f), x n u sorozt esetén f(x n ) f(u). Bizonyítás. A vlós függvényekre vontkozó átviteli elvhez hsonlón történik. () (b): Legyen (x n ) D(f), x n u, vlmint ε > 0. Ekkor folytonosság definíciój mitt létezik δ > 0, hogy minden x D(f), d (x, u) < δ esetén d 2 (f(x), f(u)) < ε. Node konvergenci mitt δ > 0-hoz létezik N N, hogy minden n N indexre d (x n, u) < δ. Tehát n N-re d 2 (f(x n ), f(u)) < ε, így f(x n ) f(u). (b) (): Indirekt tegyük fel, hogy f nem folytonos u-bn. Ekkor létezik olyn ε > 0, melyhez minden n N esetén tlálunk x n B (u, n ) D(f) elemet, hogy f(x n) / B 2 (f(u), ε). Így kptunk egy x n u soroztot (hiszen d (x n, u) < n 0), melyre f(x n) f(u), ellentmondás. 39

46 NEGYEDIK FEJEZET 4.5. Tétel (Átviteli elv htárértékre). Legyen f : X X 2, u D(f), v X 2. Ekkor ekvivlensek: () lim u f = v ; (b) minden (x n ) D(f), x n u, x n u sorozt esetén f(x n ) v ; (b) minden (x n ) D(f), x n u, x n u sorozt esetén (f(x n )) n N konvergens. Bizonyítás. A folytonosságéhoz ill. vlós függvényeknél tnultkhoz hsonló módon történik Definíció. Az f : X X 2 függvényről zt mondjuk, hogy Lipschitz-tuljdonságú, h létezik L > 0, hogy d 2 (f(x), f(y)) L d (x, y) minden x, y D(f) esetén. Világos, hogy Definícióbn bevezetett kontrkció Lipschitz-tuljdonságú L = q válsztássl Állítás. H f Lipschitz-tuljdonságú, kkor folytonos is. Bizonyítás. Világos, hogy ε > 0-hoz δ := ε L válsztás jó Példák (Metrikus tereken értelmezett folytonos függvényekre).. Az 2. +,, : R R R (összedás, kivonás, szorzás) függvények folytonosk (bizonyítás: átviteli elvvel és vló soroztoknál tnultk segítségével, R 2 -en vehetjük d, d 2, vgy d metrikát). (osztás) folytonos (bizonyítás szintén átviteli elvvel). : R (R \ {0}) R 3. H (X i, d i ), i =,2 tetszőleges metrikus terek, c X 2 dott, kkor z f(x) := c, x X konstns függvény folytonos. 4. Legyen = (,..., p ) R p dv. Az A : R p R, Ax := p k x k =, x, k= x = (x,..., x p ) R p lineáris függvény folytonos z (R p, d i ), i =,2, terekben. Vegyük először R p -n d metrikát! p p p Ax Ay = k x k k y k = k (x k y k ) k= p k= k= k= k x k y k mx k {,...,p} x k y k vgyis A Lipschitz-tuljdonságú L := p k= k konstnssl. H most R p -n d metrikát tekintjük, kkor Ax Ay p k= k x k y k mx k {,...,p} k vgyis A Lipschitz-tuljdonságú L := mx k {,...,p} k konstnssl. p k = d (x, y) L, k= p x k y k = L d (x, y), H pedig R p -t d 2 metrikávl látjuk el, kkor Cuchy-Schwrz-egyenlőtlenség lpján p p p Ax Ay = k x k k y k = k (x k y k ) k= k= k= p 2 k p (x k y k ) 2 = L 2 d 2 (x, y), k= k= vgyis A Lipschitz-tuljdonságú L 2 := p k= 2 k konstnssl. 40 k=

47 NEGYEDIK FEJEZET 5. Legyen A R q p egy q p-es vlós mátrix. A fentihez hsonlón meggondolhtó, hogy z A : R p R q, Ax := A x, x R p, vgyis z A mátrixszl vló szorzás egy folytonos lineáris leképezés R p -ből R q -b. 6. Tekintsük z F : (R[, b], d ) R, F f := b f, f R[, b] lineáris leképezést. Ennek folytonosságát kétféleképpen is bizonyíthtjuk. Az átviteli elv segítségével: láttuk (.8. Tétel), hogy h f n f d metrikábn vgyis f n f, kkor Másrészt: vgyis F Lipschitz-tuljdonságú. F f F g = F f n = b f b b f n g = b b f = F f. (f g) (b ) sup f(x) g(x) = L d (f, g), x [,b] A továbbikbn z egyváltozós függvények folytonosságáról és htárértékéről tnult fontosbb tételek metrikus terek között htó függvényekre vló áltlánosításávl fogllkozunk Tétel (Kompozíciófüggvény folytonosság). Legyenek (X i, d i ) metrikus terek, i =,2,3, vlmint f : X X 2, f 2 : X 2 X 3 függvények. Tegyük fel, hogy f folytonos z u D(f ) helyen, f 2 folytonos z u 2 := f (u ) D(f 2 ) helyen. Ekkor f 2 f : X X 3 folytonos z u helyen. Bizonyítás. A 4.4. Tételbeli átviteli elvet fogjuk lklmzni. Legyen (x n ) D(f 2 f ), x n u tetszőleges sorozt. Ekkor (x n ) D(f ) is teljesül. Az f folytonosságár vontkozó átviteli elv lpján, f (x n ) f (u ) = u 2. Az f 2 függvény u 2 -beli folytonosságát kihsználv miből z állítás következik. f 2 (f (x n )) f 2 (f (u )) = f 2 (u 2 ), 4.0. Tétel (Kompozíciófüggvény htárértéke). Legyenek (X i, d i ) metrikus terek, i =,2,3, f : X X 2, f 2 : : X 2 X 3 függvények. Továbbá legyen u D(f ). Tegyük fel, hogy létezik Az lábbi két állítás bármelyikéből következik, hogy (i) u 2 D(f 2 ) és f 2 folytonos u 2 -ben, f 2 (u 2 ) = u 3 ; lim u f := u 2. lim u (f 2 f ) = u 3. (ii) u 2 D(f 2 ) és lim u2 f 2 := u 3, továbbá f injektív z u egy környezetében (vgy u 2 / R(f )). Bizonyítás. Legyen (x n ) D(f 2 f ), x n u, x n u tetszőleges sorozt. Ekkor (x n ) D(f ) is teljesül. Az f u -beli htárértékére vontkozó átviteli elv lpján, f (x n ) u 2. Az (i) esetben z f 2 folytonosságár vontkozó átviteli elv mitt f 2 (f (x n )) f 2 (u 2 ) = u 3 Az (ii) esetben elég ngy n-re f (x n ) u 2, tehát lklmzhtó z f 2 u 2 -beli htárértékére vontkozó átviteli elv, miből z állítás következik. 4.. Példák. Az átviteli elvből és z előző tételekből könnyen láthtó, hogy minden (n változós) polinomfüggvény és rcionális törtfüggvény, vlmint minden komplex polinomfüggvény folytonos. 4

48 NEGYEDIK FEJEZET A következő tétel z. évben megismert Weierstrss-tétel áltlánosítás metrikus terek között htó folytonos függvényekre Tétel (Weierstrss-tétel). Legyenek (X i, d i ), i =,2 metrikus terek, K X soroztkompkt hlmz, f : : K X 2 folytonos függvény. Ekkor f(k) := {f(x) : x K} X 2 hlmz is soroztkompkt. Bizonyítás. Legyen (y n ) n N f(k) dott sorozt. Meg kell muttnunk, hogy kiválszthtó belőle konvergens részsorozt, melynek htárértéke f(k)-bn vn. No de tudjuk, hogy minden n-re y n = f(x n ) vlmely x n K pontr. Az így kpott (x n ) K soroztból (K soroztkompktság mitt) kiválszthtó (x nk ) k N K konvergens részsorozt, melyre lim x n k := u K. k Másrészt f folytonos K-n, tehát z átviteli elv mitt is teljesül. Tehát megfelelő részsorozt. lim f(x n k ) = f(u) f(k) k y nk := f(x nk ), k N 4.3. Megjegyzés. Az. évben tnult Bolzno-Weierstrss tétel szerint egy [, b] R korlátos és zárt intervllum soroztkompkt. A fenti tétel lpján egy f : [, b] R folytonos függvény értékkészlet-hlmz soroztkompkt, Bolzno-Drboux tétel lpján pedig tudjuk, hogy intervllum. Így 3.5. Tétel szerint z R(f) értékkészlet-hlmz egy korlátos és zárt intervllum, tehát vn legngyobb és legkisebb eleme. Ez pedig tvly tnult Weierstrss-tétel. Az lábbi definíció és z zt követő tétel szintén z egyváltozós függvényeknél megismertek áltlánosítás Definíció. Legyenek (X i, d i ), i =,2 metrikus terek. Azt mondjuk, hogy z f : X X 2 függvény egyenletesen folytonos, h minden ε > 0 számhoz létezik δ > 0, hogy minden x, y D(f), d (x, y) < δ esetén d 2 (f(x), f(y)) < ε Megjegyzés. Világos, hogy h egy függvény egyenletesen folytonos H-n, kkor ott folytonos. Továbbá minden Lipschitz-tuljdonságú függvény egyenletesen is folytonos Tétel (Áltlánosított Heine-tétel). Legyenek (X i, d i ), i =,2 metrikus terek, K X soroztkompkt hlmz, f : K X 2 folytonos függvény. Ekkor f egyenletesen folytonos K-n. Bizonyítás. Indirekt tegyük fel, hogy f nem egyenletesen folytonos K-n. Ekkor létezik olyn ε > 0, melyhez minden n N esetén vnnk olyn x n, y n K pontok, melyekre d (x n, y n ) < n, de d 2(f(x n ), f(y n )) ε. Mivel z így definiált (x n ) n N K sorozt egy soroztkompkt hlmzbn vn, ezért létezik (x nk ) k N konvergens részsorozt, melyre lim k x n k := u K. A feltétel lpján d (x nk, y nk ) < n k 0, k, ezért lim y n k = u k is teljesül. Az f függvény folytonosság mitt ( 4.4. Tételbeli átviteli elv szerint) dódik, mi ellentmond feltételnek. lim f(x n k ) = lim f(y n k ) = f(u) k k d 2 (f(x nk ), f(y nk )) ε, k N 42

49 Ötödik fejezet Jordn-mérték R p -n Először p = 2 (sík) esettel fogllkozunk. Olyn m területfüggvényt vgy mérték et krunk definiálni, melyre z lábbi tuljdonságok teljesülnek: I. m 0, m( ) = 0; II. egybevágóságr invriáns; III. dditív: h H és G mérhetőek és egymásb nem nyúlók (vgyis inth intg = ), kkor H G is mérhető és m(h G) = m(h) + m(g); IV. m(q) =, hol Q z egységnégyzet. Kiindulásképpen definiáljuk koordináttengelyekkel párhuzmos, egységnyi oldlú [0,] [0,] négyzet területét (mértékét) -nek (ld. IV. tuljdonság). A mérték felépítéséből következni fog többi tuljdonság is. Az I. nyilvánvló módon (ld Állítást), III.-t z 5.9. Állításbn bizonyítjuk, II.-t pedig itt nem bizonyítjuk. Tekintsük sík koordináttengelyekkel párhuzmos, 2 oldlhosszúságú négyzetekre vló rácsfelbontását. Ezen kis n négyzetek területét (mértékét) fentiek lpján 4 -nk definiáljuk. Legyen H R 2 korlátos hlmz. Jelölje H n n zon kis zárt négyzetek unióját rácsból, melyek belemetszenek H-b, H n pedig zon kis zárt négyzetek unióját, melyek részei inth-nk. ( Az 5.. és 5.2. ábrákon szürkével jelölt négyzetek lkotják z n. rácsfelbontáshoz trtozó H n ill. H n hlmzokt.) Ezek mértéke m(h n ) ill. m(h n ) legyen z unióbn szereplő négyzetek szám szorozv 4 -el. Világos, hogy H n n H n, így m(h n ) m(h n ), n N. (5.) H 5.. ábr. A rácsfelbontáshoz trtozó H n hlmz 43

50 ÖTÖDIK FEJEZET Világos, hogy h n-et növeljük, rácsfelbontás sűrűsödik: z n + -dik lépésben z n-dik rácsfelbontáshoz trtozó kis négyzetek mindegyikét 4 egyenlő részre osztjuk. Így könnyen meggondolhtó, hogy H n H n+ és H n H n+, másrészt m(h n ) m(h n+ ) és m(h n ) m(h n+ ). Ebből következik, hogy (m(h n )) n N monoton növő, ( m(h n ) ) monoton fogyó, és H hlmz korlátosság mitt n N korlátos soroztok. H 5.2. ábr. A rácsfelbontáshoz trtozó H n hlmz 5.. Definíció. A fentiek lpján definiálhtjuk H belső ill. külső mértékét mint m(h) := lim n m(h n), m(h) := lim n m(h n). Az (5.) egyenlőtlenség lpján m(h) m(h) Definíció. Legyen H R 2 korlátos hlmz. Azt mondjuk, hogy H (Jordn-)mérhető, h hol m(h) jelöli H Jordn-mértékét. m(h) = m(h) =: m(h), 5.3. Péld (Nem mérhető hlmzr). Legyen H := Q (Q Q), z egységnégyzet rcionális koordinátájú pontji. Világos, hogy H külső mértéke, belső mértéke 0. Mérhető hlmzok fontos osztályát lkotják nullmértékű hlmzok Definíció. Azt mondjuk, hogy H R 2 nullmértékű, h H mérhető és m(h) = Állítás. H R 2 pontosn kkor nullmértékű, h m(h n ) 0, n. Bizonyítás. H H nullmértékű, kkor definícióból következik z állítás. H m(h n ) 0, kkor 0 m(h n ) m(h n ) lpján m(h n ) 0 is teljesül Következmény. A H hlmz pontosn kkor nullmértékű, h minden ε > 0 számhoz vn olyn G H mérhető hlmz, melyre m(g) < ε Tétel. H R 2 pontosn kkor mérhető, h H nullmértékű. 44

51 ÖTÖDIK FEJEZET Bizonyítás. másrészt definíció mitt. H H mérhető, kkor tehát H nullmértékű fenti állítás mitt. H m( H) = 0, kkor szintén fenti állítás mitt vgyis m(h) = m(h), így H mérhető. H H n \ H n = ( H) n minden n N, m(( H) n ) = m(h n \ H n ) = m(h n ) m(h n ) m(( H) n ) = m(h n ) m(h n ) 0, n, m(( H) n ) = m(h n ) m(h n ) 0, n, 5.8. Következmény. H H, G R 2 mérhető hlmzok, kkor H G, H G, H \ G is mérhetők. Bizonyítás. Könnyen igzolhtó, hogy (H G) H G, (H G) H G, (H \ G) H G. Így fenti tételből következik z állítás Állítás. H H és G mérhetőek és egymásb nem nyúlók, kkor Bizonyítás. Könnyen láthtó, hogy m(h G) = m(h) + m(g). m((h G) n ) = m(h n ) + m(g n ) m(( H G) n ), hiszen H G-be metsző 2 n oldlú négyzeteket előtte kétszer számoltuk. Másrészt miből z állítás definíció szerint következik. m(( H G) n ) m( H n ) 0, n, 5.0. Állítás. H H koordináttengelyekel párhuzmos oldlú tégllp, kkor mérhető és m(h) = b, hol és b z oldlhosszúsági. Bizonyítás. Didikus rcionális koordinátájú csúcspontokkl rendelkező tégllpr definícióból következik. Más esetben közelítsük csúcspontok koordinátáit didikus rcionálisokkl z így kpott tégllpok külső ill. belső mértéke trtni fog z eredeti tégllp külső ill. belső mértékéhez. 5.. Állítás. H f C[, b], kkor nullmértékű hlmz. grph(f) := {(x, f(x)) : x [, b]} R 2 ε Bizonyítás. Legyen ε > 0 dv. Mivel f egyenletesen folytonos, ezért b -hoz létezik δ > 0, hogy h x y < δ, kkor f(x) f(y) < ε b. Legyen Φ = {I..., I n } F[, b] olyn felosztás, melynek finomság kisebb, mint δ, vgyis I i < δ minden i esetén. Definiálj G grph(f) hlmzt n ( ) G := I i [min f, mx f]. I i I i i= 45

52 ÖTÖDIK FEJEZET Ekkor z 5.0. Állítás lpján m(g) = n i= Az állítás z 5.6. Következményből dódik. ( I i mx I i ) f min f < ε I i b 5.2. Következmény. A kör(lp), ellipszis stb. mérhető hlmzok síkon. Bizonyítás. Következik z 5.7. Tételből és fenti állításból. n I i = ε. i= A továbbikbn tetszőleges p N esetén bevezethetjük z m p R p -beli (Jordn-)mértéket ill. mérhetőséget z p = 2 esettel nlóg módon. A fentiekhez hsonlón definiálhtjuk z R p tér koordináttengelyekkel párhuzmos oldlú, 2 élhosszúságú p dimenziós kockákr vló rácsfelbontását, vgyis egy kock n [ i 2 n, i + 2 n ] [ i2 2 n, i n ] [ ip 2 n, i p + 2 n ], i,..., i p Z lkú. Egy ilyen kis kock mértéke legyen 2. Adott H R p korlátos hlmz esetén jelölje most H np n zon kis zárt kockák unióját rácsból, melyek belemetszenek H-b, H n pedig zon kis zárt kockák unióját, melyek részei inthnk. Ezek mértéke m p (H n ) ill. m p (H n ) legyen z unióbn szereplő kockák szám szorozv 2 -vel. A fenitekhez np hsonlón meggondolhtó, hogy H n H n+ és H n H n+, másrészt m p (H n ) m p (H n+ ) és m p (H n ) m p (H n+ ). Ebből következik, hogy (m p (H n )) n N monoton növő, ( m p (H n ) ) monoton fogyó, korlátos soroztok. A 2 dimenzióvl nlóg módon definiálhtjuk z m p (H) és m p (H) n dimenziós belső ill. külső mértéket mint lim n m p (H n ) n N ill. lim n m p (H n ) Definíció. Egy H R p korlátos hlmzt (Jordn-)mérhető hlmznk mondunk, h külső és belső mértéke megegyezik, és m p (H) := m p (H) = m p (H) H (Jordn-)mértéke. Könnyen láthtó, hogy z Állítások z m p p dimenziós Jordn-mértékre is érvényben mrdnk. Az 5.0. Állítást úgy kell módosítni, hogy h H egy p dimenziós, (koordináttengelyekkel párhuzmos oldlú) tégl, vgyis H := [, b ] [ 2, b 2 ] [ p, b p ], kkor H mérhető és m p (H) = (b ) (b 2 2 ) (b p p ). 46

53 Htodik fejezet Riemnn-integrál R p -n 6.. Az p dimenziós integrál lptuljdonsági Az egydimenziós Riemnn-integrálhoz hsonlón, z p dimenziós Jordn-mérték segítségével definiálni fogjuk f : : H R p R korlátos függvények Riemnn-integrálját, hol H mérhető hlmz. 6.. Definíció. Egy H R p mérhető hlmz felosztás egy Φ := {H,..., H n } egymásb nem nyúló, nemüres mérhető hlmzokból álló rendszer, hol n H = H i. A H hlmz felosztásink hlmzát jelölje F(H) (ld. 6.. ábr). i= H H H2 H4 H3 H5 H6 6.. ábr. A H hlmz egy felosztás 6.2. Péld. Legyenek T,..., T n z R p tér egy rácsfelbontásánk zon téglái, melyekre T i H, i =,..., n. Legyen H i := H T i, i =,..., n. Ekkor {H,... H n } H hlmz egy rácsszerű felosztását dj (ld ábr) Definíció. Legyen f : H R korlátos függvény, H R p mérhető, Φ := {H,... H n } H egy felosztás. Ekkor z f Φ felosztáshoz trtozó lsó ill. felső közelítőösszege s f (Φ) := n i= ( ) inf f m p (H i ) H i 47

54 6.. AZ P DIMENZIÓS INTEGRÁL ALAPTULAJDONSÁGAI HATODIK FEJEZET T T2 T ábr. A H hlmz egy rácsszerű felosztás ill. S f (Φ) := n ( i= sup f H i ) m p (H i ). Az előző félévben látottkhoz hsonlón beláthtó, hogy tetszőleges Φ, Ψ felosztásokr s f (Φ) S f (Ψ) Definíció. Legyen f : H R korlátos függvény, H R p mérhető. Az f Drboux-féle lsó integrálj f := sup {s f (Φ) : Φ F(H)}, Drboux-féle felső integrálj A fentiekből nyilvánvló, hogy H H f := inf {S f (Φ) : Φ F(H)}. H f 6.5. Megjegyzés. Könnyen láthtó, hogy Drboux-féle integrálok definíciójábn elég rácsszerű felosztásokt venni. Ezek lpján már definiálhtjuk Riemnn-integrálhtóságot Definíció. Legyen f : H R korlátos függvény, H R p mérhető. Azt mondjuk, hogy f Riemnn-integrálhtó H-n, h f = f. A közös értéket jelölje A H hlmzon Riemnn-integrálhtó függvények hlmzát jelölje R(H). H H A továbbikbn kimondunk egy, z egydimenziós Riemnn-integrálnál tnultkhoz nlóg integrálhtósági kritériumot. A bizonyítás egy z egyben átvihető p dimenziós integrálr. A tétel kimondásához szükségünk lesz egy definíciór. 48 H H f. f.

55 HATODIK FEJEZET 6.. AZ P DIMENZIÓS INTEGRÁL ALAPTULAJDONSÁGAI 6.7. Definíció. Az f : H R függvény Φ = {H,... H n } F(H) felosztáshoz trtozó oszcillációs összege Ω f (Φ) := S f (Φ) s f (Φ) = n sup {f(x) f(y) : x, y H i } m p (H i ). i= 6.8. Tétel (Leghsznosbb kritérium). Legyen f : H R korlátos függvény, H R p mérhető. Az f pontosn kkor Riemnn-integrálhtó, h minden ε > 0 számhoz létezik Φ F(H) felosztás, hogy Ω f (Φ) < ε. Bizonyítás. Az előző félév megfelelő tételének bizonyításávl megegyező módon történik. Összefoglljuk Riemnn-integrál legfontosbb tuljdonságit Tétel. Legyenek f, g R(H), c R.. Ekkor f + g R(H) és c f R(H), vlmint (f + g) = 2. H f g, kkor Bizonyítás. Az egydimenziós esettel nlóg módon. H H H (c f) = c H f f + g, H f Tétel. Legyenek A, B R n egymásb nem nyúló mérhető hlmzok, f A integrálhtó A-n és f B integrálhtó B-n. Ekkor f integrálhtó A B-n is és f = f + f. A B A B Bizonyítás. Legyenek Φ = {A,..., A n } F(A), Ψ = {B,..., B m } F(B) tetszőleges felosztások. Ekkor továbbá Γ := {A,..., A n, B,..., B m } F(A B), s f (Γ) = s f (Φ) + s f (Ψ) A B f A B H g. H f S f (Φ) + S f (Ψ) = S f (Γ). Ebből bl oldl szuprémumát, jobb oldl infimumát véve minden Φ F(A) és Ψ F(B) felosztásr kpjuk, hogy f + f = f + f f f f + f = f + f, A B A B miből z állítás következik. A B A B Ezen tétel fontos következménye, hogy minden integrál tekinthető téglán vett integrálnk. 6.. Tétel. Legyen T R p tégl, H T mérhető hlmz, f R(H). Ekkor z { f(x), x H; f(x) := 0, x T \ H módon definiált f : T R függvény integrálhtó T -n és f = T 49 A B H f. A B

56 6.. AZ P DIMENZIÓS INTEGRÁL ALAPTULAJDONSÁGAI HATODIK FEJEZET Bizonyítás. Mivel H és T \ H mérhető, egymásb nem nyúló hlmzok, ezért lklmzhtó z előző tétel, miből f = f + f = f. T H T \H H Szintén 6.0. Tétel következménye z lábbi állítás Következmény. Legyenek B A mérhető hlmzok, f integrálhtó A-n. Ekkor f B (f megszorítás B-re) integrálhtó B-n. Az egyváltozós esetben láttuk, hogy minden f C[, b] folytonos függvény Riemnn-integrálhtó, és bizonyításbn f egyenletes folytonosságát hsználtuk fel. Ennek megfelelően p dimenzióbn fel kell tenni H értelmezési trtomány mérhetősége mellett kompktságát Tétel. Legyen H R p mérhető soroztkompkt (vgyis korlátos és zárt) hlmz, f : H R folytonos. Ekkor f Riemnn-integrálhtó H-n. Bizonyítás. A 6.8. Tételt fogjuk felhsználni. Legyen ε > 0 dv. Mivel feltételek mitt 4.6. Tétel szerint f egyenletesen is folytonos H-n, zért > 0-hoz létezik olyn δ > 0, hogy ε m p(h) f(x) f(y) < ε m p (H), h d 2(x, y) < δ, hol d 2 z p dimenziós euklideszi távolságot jelöli. Válsszunk H-nk egy olyn Φ = {H,..., H n } felosztását, melyben dim H i < δ, i =,..., n (ilyen létezik, pl. vehetünk oldlú rácsszerű felosztást, hol p < δ). Ekkor 2 k 2 k feltétel szerint n ε n Ω f (Φ) = sup {f(x) f(y) : x, y H i } m p (H i ) m p (H) m p (H i ) = ε, mivel z állítást beláttuk. i= A következő fontos tételek rról szólnk, hogy mi köze egy korlátos hlmz mértékének integrálhoz. i= 6.4. Tétel. Legyen H T R p, hol H tetszőleges (korlátos) hlmz, T tégl. Jelölje {, x H; χ H (x) := 0, x T \ H, (6.) H hlmz krkterisztikus függvényét T -n. Ekkor m p (H) = χ H, m p (H) = T Bizonyítás. A felső integrálr-külső mértékre vontkozó állítást bizonyítjuk, másik hsonlón megy. Legyen ε > 0 dv. A külső mérték definíciój szerint tlálhtó olyn k N, hogy m p (H k ) m p (H) + ε. Világos, hogy h z R p tér 2 k oldlú kockákr vló felbontásánk elemeit elmetsszük T téglávl, kpott Φ = = {F,..., F n } rendszer T egy (rácsszerű) felosztását dj, így T T n χ H (sup χ H ) m p (F i ) = m p (F i ) + 0 m p (F i ) (6.2) i= F i i:f i H i:f i H= = m p (F i ) m p (H k ) m p (H) + ε. (6.3) i:f i H χ H. 50

57 HATODIK FEJEZET 6.2. FUBINI TÉTELE Mivel ε > 0 tetszőleges volt, ezért T χ H m p (H). A másik irányú egyenlőtlenség bizonyításához tekintsük z R p egy tetszőleges, oldlú rácsfelbontásánk elemeit! 2 k Jelölje T téglánk z ebből szármzó rácsszerű felosztását Ψ = {G,..., G m }. Mivel G i hlmzok mind mérhetők, ezért m p (H) m p ( G i ) = m p (G i ) = m p (G i ) + 0 m p (G i ) = S χh (Ψ), i:g i H i:g i H i:g i H i:g i H= miből m p (H) T χ H Következmény. Egy H T (korlátos) hlmz pontosn kkor mérhető, h (6.) szerint definiált χ H Riemnn-integrálhtó T -n. Ekkor m p (H) = χ H Tétel (Az integrál geometrii jelentése). Legyen H R p mérhető. Egy f : H R + függvény pontosn kkor Riemnn-integrálhtó, h Jordn-mérhető. Ekkor subgrph(f) := {(x,..., x p, x p+ ) : (x,..., x p ) H, 0 x p+ f(x,..., x p )} R p+ H f = m p+ (subgrph(f)). Bizonyítás. Következik mérhetőség definíciójából és 6.5. Megjegyzésből. T 6.2. Fubini tétele A következőkben z integrálszámítás egy fontos lptételét, z integrálás sorrendjének felcserélhetőségét bizonyítjuk 2 dimenzióbn. A tétel téglán (tégllpon) vett integrálról szól de 6.. Tétel lpján tudjuk, hogy ez nem jelent megszorítást Tétel (Fubini tétele). Legyen f : R 2 R, [, b] és [c, d] korlátos és zárt intervllumok, jelölje [, b] [c, d] megfelelő tégllpot. (A) változt. Tegyük fel, hogy f-re teljesülnek z lábbi feltételek: Ekkor (A) { f R([, b] [c, d]), és x [, b] esetén z y f(x, y), y [c, d] ún. szekciófüggvény Riemnn-integrálhtó [c, d]-n. ϕ(x) := jelöléssel ϕ Riemnn-integrálhtó [, b]-n, emellett [,b] [c,d] f = d c b f(x, y)dy, x [, b] ϕ = b 5 ( ) d f(x, y)dy dx. c

58 6.2. FUBINI TÉTELE HATODIK FEJEZET (B) változt. Tegyük fel, hogy f-re teljesülnek z lábbi feltételek: { f R([, b] [c, d]), és (B) y [c, d] esetén z x f(x, y), x [, b] ún. szekciófüggvény Riemnn-integrálhtó [, b]-n. Ekkor ψ(y) := jelöléssel ψ Riemnn-integrálhtó [c, d]-n, emellett [,b] [c,d] f = b d c f(x, y)dx, y [c, d] ψ = d c ( ) b f(x, y)dx dy ábr. Egy x [, b] ponthoz trtozó szekciófüggvény 6.8. Következmény. H f-re teljesülnek z (A) és (B) változt feltételei, kkor ( b ) d ( d ) b f = f(x, y)dy dx = f(x, y)dx dy, [,b] [c,d] c vgyis z x és y szerinti integrálás sorrendje felcserélhető, és z így kpott integrálok értékei megegyeznek függvény kétdimenziós integráljávl Megjegyzés. Az (A) ill. (B) változt feltételei mindig teljesülnek, h f folytonos [, b] [c, d]-n, ld Tétel. Fubini-tétel (A) változt bizonyítás. Legyen Φ := {J,... J n } F([, b]) z [, b] intervllum egy tetszőleges felosztás, Ψ := {K,... K m } F([c, d]) [c, d] intervllum egy tetszőleges felosztás. Ekkor Φ Ψ := {J i K l : i =,..., n, l =,..., m} F([, b] [c, d]) z [, b] [c, d] tégl egy (mondhtjuk rácsszerű) felosztását dj. Könnyen láthtó, hogy z (A) pontbn definiált ϕ függvényre, x J i esetén tehát ϕ(x) = d c m m ( ) m ( ) f(x, y)dy = f(x, y)dy inf f(x, y) K l inf f(x, y) K l, K y K l l (x,y) J i K l l= inf ϕ J i l= m ( l= inf f J i K l 52 c ) K l. l=

59 HATODIK FEJEZET 6.2. FUBINI TÉTELE Ebből s ϕ (Φ) = Hsonlón beláthtó, hogy tehát n ( ) inf ϕ J i i= J i n m ( i= l= inf f J i K l S ϕ (Φ) S f (Φ Ψ), s f (Φ Ψ) s ϕ (Φ) S ϕ (Φ) S f (Φ Ψ). ) K l J i = s f (Φ Ψ). A kpott egyenlőtlenségeket felhsználv, továbbá f Riemnn-integrálhtóság lpján könnyen láthtó, hogy másrészt [,b] [c,d] [,b] [c,d] f = f = Mindebből z állítás következik. A (B) változt nlóg módon bizonyíthtó. sup s f (Φ Ψ) Φ F([,b]),Ψ F([c,d]) b sup s ϕ (Φ) = Φ F([,b]) inf S f (Φ Ψ) inf S ϕ(φ) = Φ F([,b]),Ψ F([c,d]) Φ F([,b]) Megjegyzés. Fubini tétele áltlánosíthtó tetszőleges f : R p R függvényre. Pl. p = 3 esetén egy f R ([, b] [c, d] [s, q]) függvény integrálj megfelelő feltételek mellett előáll 3 drb egydimenziós integrál iterációjként Péld (Olyn függvényre, melyre nem teljesül Fubini-tétel). Legyen f : [0,] [0,] R, y, 0 < x < y < ; 2 f(x, y) := x, 0 < y < x < ; 2 0, különben. ϕ, b ϕ. Ekkor Másrészt f(x, y)dxdy = f(x, y)dydx = 0 0 ( x ( y 0 0 y 2 dx + y ( x ) ) 2 dx dy = ( x ) ) 2 dy + x y 2 dy dx = 0 0 ( y + [ x ( x + [ y ] x= x=y ] y= y=x ) ) dy =. dx = Péld (Olyn függvényre, melyre nem teljesül Fubini-tétel). Ebben példábn egy olyn függvényt muttunk, mely integrálhtó [0,] [0,] négyzeten, viszont Fubini-tétel másik feltétele nem teljesül rá, mivel z 2 f( 2, y) nem integrálhtó [0,]-en. Jelölje D Dirichlet-függvényt és legyen f : [0,] [0,] R, { 0, x f(x, y) := 2, D(y), x = 2. A kívánt feltételek nyilván teljesülnek. Fubini tételét lklmzhtjuk egydimenziós integrálok kiszámításár is Péld. Számítsuk ki z 0 x ln x dx 53

60 6.2. FUBINI TÉTELE HATODIK FEJEZET integrál értékét! Fubini tétele lpján 0 0 ( ( 0 0 ) x y dy dx = ) x y dy dx = 0 0 ( ( 0 0 ) e y ln x dy dx = ) x y dx dy = 0 0 [ ] y= ln x x ey dx = ln x y=0 0 ln x dx. [ ] x= y + xy+ dy = dy = ln 2. x=0 0 y + Tehát A Fubini-tétel következménye z lábbi két állítás. 0 x dx = ln 2. ln x Definíció. Legyenek ϕ, ϕ 2 C[, b] folytonos függvények, ϕ (x) ϕ 2 (x) minden x [, b]. (Kétdimenziós) normáltrtomány ltt következő lkú korlátos és zárt (soroztkompkt) hlmzokt értjük: H = {(x, y) [, b] R : ϕ (x) y ϕ 2 (x)} (6.4) vgy H = {(x, y) R [, b] : ϕ (y) x ϕ 2 (y)}. (6.5) Állítás. Legyen H R 2 (6.4) vgy (6.5) lkú normáltrtomány, f : H R folytonos függvény. Ekkor (6.4) esetben ( b ) ϕ2(x) f = f(x, y)dy dx, H ϕ (x) (6.5) esetben f = b H ϕ (y) ( ) ϕ2(y) f(x, y)dx dy. Bizonyítás. Tekintsük z első esetet! Ekkor H [, b] [c, d], hol pl. c = min [,b] ϕ, d = mx [,b] ϕ 2. Definiáljuk f(x, y) := { f(x, y), (x, y) H; 0, (x, y) ([, b] [c, d]) \ H. Az állítás 6.. és 6.7. Tételekből következik. A másik H esete hsonlón meggondolhtó Állítás (Cvlieri-elv). Legyenek A, B R 2 [0, + ) 3 dimenziós testek, és tegyük fel, hogy minden z [0, + ) esetén z mgsságbn vett, xy síkkl párhuzmos síkmetszetük területe megegyezik, vgyis minden z [0, + ) esetén ϕ A (z) := m 2 ({ (x, y) R 2 : (x, y, z) A }) = m 2 ({ (x, y) R 2 : (x, y, z) B }) = ϕ B (z). Ekkor m 3 (A) = m 3 (B), vgyis két test térfogt is megegyezik. Bizonyítás. Legyen T := [, b ] [ 2, b 2 ] [0, c] olyn tégl, melybe A és B is belefogllhtó. Definiáljuk A és B krkterisztikus függvényét T -n: {, (x, y, z) A; χ A (x, y, z) := 0, (x, y, z) T \ A. {, (x, y, z) B; χ B (x, y, z) := 0, (x, y, z) T \ B. 54

61 HATODIK FEJEZET 6.2. FUBINI TÉTELE A 6.5. Következmény és 6.7. Fubini-tétel lpján ( c b2 ) b m 3 (A) = χ A = χ A (x, y, z)dxdy dz = = T 0 c ϕ B (z)dz = 2 c ( b2 b c 0 ϕ A (z)dz ) χ B (x, y, z)dxdy dz = T χ B = m 3 (B) Péld (A félgömb térfogt). Az r sugrú félgömb térfogt megegyezik nnk testnek térfogtávl, melyek úgy kpunk, hogy egy r lpsugrú, r mgsságú hengerből kiveszünk egy r lpsugrú, r mgsságú kúpot. Az lábbi ábrán láthtó, hogy h mgsságú síkmetszet gömb esetén egy r 2 h 2 sugrú körlp, másik test esetén egy körgyűrű, mit úgy kpunk, hogy egy r sugrú körlpból kiveszünk egy h sugrú körlpot. Tehát síkmetszet területe mindkét esetben (r 2 h 2 ) π. 55