IZOTRÓP KONTINUUMOK RUGALMAS ÉS KÉPLÉKENY ÁLLAPOTA

Átírás

1 IZOÓP ONINUUMO UMS ÉS ÉPÉNY ÁPO OMYZÉ õzó Bevezeé eöéek jegyzéke 9 6 Z MÉYN ÉS NYI OMÁI z anyagüggvények z anyagi jekiviá ONINUUM MOZÁS VÁOZÁSO INMIÁ kái ennyiég Szuzanciái ennyiég nyagi ennyiég zgáüggvény zgágaien z ezuágaien Pái ekzíció z aakvázái enz eációenz eeéggaien eíák közöi ájáá MÉYN öegéeg ieenciái éeg áaán ája öegéeg z iuzuéeg eõ enegia éege z enóia éege Z Z ÁÁNOS NYÖVÉNY Z NYÖVÉNY VÁOZÓI ÉS Z NÓPIÜVÉNY ÉPÉNYSÉ PSZ IVZIBIIÁS OM z áahaázók uajnágai a ejõéi egyene ényéen Seciái yaak a ejõéi egyene ényéen z anyagcaá (közeg) az áahaázók kiváazáa zein z anyag záyzáa a yaak iányíhaóága azaz a ejõéi egyene zein z anyag ejõéi egyeneének aiiái uajnágai zein nyagk áaának záyzáa kninuuechanikai (vagy anyagzekezei)

2 zenó vái egjegyzéek 4 MCHNII ÁPOHÁOZÓ ÉS ÉPÉNYSÉ kéékenyégi haáeée 5 NMYNSÚYI ÖZ ÁÁNOS OÓII-PSZIUS VISDÉS VÉS DOMÁCIÓ SÉN Dinaikai áahaázó 6 Z NÓPI MÉ 7 ÁÁNOS NYÜVÉNY 8 Z NYÖVÉNY ÉS Z NYI OBIVIÁS V z anyagi jekiviá eve 9 IZOÓP UMS-ÉPÉNY ONINUUMO NYÖVÉNY 9 Diziációene anyagövény - a kéékenyégi eée zeee 9 Izó iziaív egyzeû kéékeny anyag - ú az egyenúyn Z YNSÚYI NYÖVÉNY UMS DOMÁCIÓ OMÁNYÁBN Z NYÖVÉNY UMS NMDISSZIPÍV S OÁOZO UMS YNSÚYI NYÖVÉNY ONÉ nyagövény a Cayey-Hain ée aaján z anyagövény zuái- é égavázái egyenee UMS YNSÚYI NYÖVÉNY INÁIS gyengeyû ezüégáa 4 INÁIS ÉS MÁSODOÚ ÖSSZHSONÍÁS z egyengeyû ee éei áa Z NMYNSÚYI NYÖVÉNY UMS DOMÁCIÓ OMÁNYÁBN Neegyenúyi heyze 8 zuái egyene 8 égavázái egyene 8 z áaánág zûkíée 85 nyagövény ki eációk eeén 86 z anyagviekeé áázáa 87 Áanó ezüégvázái eeég 88 Áanó eáció eeég 88 Áanó ezüég (kúzá) 88 Áanó eáció (eaxáció) 88 Peiiku eheé 9 z anyagövény eveziii é ieveziii éze a ugaa aányan 9 Megjegyzéek 9 5 Z YNYÛ ÁPO ÍSÉI DO PÁN gy ééi eeény övekezeéek ÉPÉNY DOMÁCIÓ OMÁNYÁBN ÉVÉNYS ÖSSZÜÉS MHÁOZÁSÁN ÉPÉSI YNYÛ ÁPOBN z anyagövény P in = eáció ejeíény eeén

3 eveziii eáció aziku (vagy kéékeny) eáció z ieveziii (vagy aaó) eáció ugaaági uu ázóag egvázáa z anyagövény P ax eáció ejeíény eeén z anyagövény < P < P ax eáció ejeíény eeén 4 eveziii é ieveziii ezüégek ÉPÉNYSÉI- ÉS ÖNMNI HÁO Z YNYÛ ÍSÉ PÁN negia- é unka özeüggéek Haáeée a ééi aak ükéen kéékenyégi haáeée a W eáció unkáva kiejezve haáéékek a enciái enegiáva kiejezve z iziáció unka kéékenyégi haáeée a W zuái eáció unkáva kiejezve kéékenyégi haáeée a W eáció unkáva kiejezve haáeéeeken zeeõ kiejezéek özehaníáa Záó egjegyzéek Z YNSÚYI NYÖVÉNY ÉPÉNY DOMÁCIÓ OMÁNYÁBN ejõéi egyene gyenúy eveziii ezüégenz z áaán egyenúyi ezüégenz knké aakja gyengeyû ezüégáa Z NMYNSÚYI NYÖVÉNY ÉPÉNY DOMÁCIÓ OMÁNYÁBN ejõéi egyene Mechanikai egyenúy gyenúyn úi áa nyagövény ineái közeíéen gyengeyû ezüégáa 4 8 Z HÁÉÕ ÕZS MYZÉS W égaegyége juó eáció unka enáa eheége kéékenyégi haáeéeek övekezény önkeeneei haáeée ÉPÉNY ÁPO ÉÖ ÉS ÖÉS IUÁS ÉPÉNYSÉI HÁÉ DOMÁCIÓS HUÁM PÁN = W - W = É IZÁÁSÁ ÍSÉ = W - W = É IZÁÁSÁ ÍSÉ axiái zuái eáció unka eve 4 ÖNMNI HÁÉ axiái zuái iziáció unka eve 5 NÉHÁNY ONDOI ÍSÉ Z NY ÉPÉNYSÉI HÁON Ú ÉS ÖÉSI HÁON INNN

4 ökéeeen kiejõö kéékenyég aánya önkeenee - kéékeny áa nékü Z ÖSSZOÁS IZOÓP ONINUUMO YSÉS MÉ NYÖVÉNY INÁIS ÖZÍÉSBN D DOMÁCIÓNZO IZV NYÖVÉNY YNYÛ SZÜSÉÁPOBN ÁÁNOS NYÖVÉNY MZÁS MÉNÖI DO MODÁSÁNÁ övekezény eógiai egá a ugaa aányn echanikai ezõ egyenúy eeén z áaán ee ÜÉ ÖSZVÉNYÛ VÁ ÖÜI MCHNII MZÕ D ÕÉSZÍÉS ÉS MOMZÁS iinuái eéeek gyenúyi egyeneek eeiai egyeneek nyagegyeneek õ eaa [az õezüégi vagy ie áa záíáa] Máik eaa [az üegnyiá haáának záíáa] PIM D MODÁS MÁSODI D MODÁS UMS OMÁNYON Síkaakvázái áa Síkezüégi áa 4 Z DI D MODÁS UMS OMÁNYON 5 D MODÁS UMS-ÉPÉNY OMÁNYON ONVNCIONÁIS ÉZÉS SÉN 5 é knvencinái kéékenyégi eée 5 Megá a ugaa zónáan 5 Megá a kéékeny zónáan 54 Megjegyzéek a kéékeny zónaei egáhz 6 ÉNYS MODÁS UMS-ÉPÉNY OMÁNYON 7 UMS OMÁNY UMS BIZOSÍÁSS 7 Megá a izíáan ) ( 7 Megá a kõzeen ( ) 7 z ieeen eghaázáa 8 POYNIN-HOMSON-MOD MZÁS IODOM SZZÕ

5 ÕSZÓ köeen aáhaó eõaák a MONVID SCH OUP keeéen végze kuaái jek úja kuaái eeényeinek egy ézé ieeik é a Nezeközi õzeechanikai áaág (ISM INNION SOCIY O OC MCHNICS) Magya Nezei Bizága áa zeveze hazai kneenciáa kézü eõaák aaján keünek zekezve - jeen köee uaáunk cékiûzée az izó kninuuk anyagövényének eghaázáa v aey egyaán événye ki é nagy eációka ugaa é kéékeny eációka a kezeekõ a önkeeneeig (a öéig) vagyi egézen a kninuiá ézege vagy eje egzûnééig egyenúyan é neegyenúyi áaan hhez váazni kee azka a kééeke hgy - i i az anyagövény? - az anyagövény ey einaikai (echanikai) vázók üggvénye? - i ehe az anyagövény knké ája? - iõ ügg a kéékeny aakvázái áa kiaakuáa? - i ehe a kéékenyégi eée (az a haá ah a aaó eációk egjeennek)? ejeég kevéé á az anyagövény ne eyája - aa i váaz ke ani hgy i kzza a öé i a önkeeneei haáeée? nnek a ézee ágyaáa aznan á ne é e a jeen keeeke egyéz ejeei kák ia áéz õeg azé e a ézeeények ég ne áak öze egyége eéeé nnek eenée a eheége zgáé eögzíée keü kiinuái aa a a vái kuaákhz eéíéünk eéeezi hgy az izó anyagk kniuív egyeneének ieeéen áhaunk neki az anizó kninuuk anyagövényének eghaázáának eézeeen ehe hgy naiv eéeezé hgy ha iejük hgyan ügg öze a eveziii áavázáná (é egyenúyi áaan) az izó é anizó anyagövény akk az egí aj az áaáníáhz Mineneee az 9

6 anizó kninuuk anyagövényének haáeeen aaaznia ke az izó kninuuk egyeneé i közö eeények egyége evi (izikai) aaka éünek õzõ köeünkhöz hanóan ez anyagaiiái zenó úgy jeeezzük hgy az ezigee anyagi enze egyenúyáan az enóiának axiua ke egyen z enóianövekeé S YU a vázák éékének neveze Ugyani az enóia a egöén vázáka éi ezé inig nõ inen vázá növei az enóiá einaika aau ve áik õéeé a aeaikai eggaazhaóág éekéen há éze njuk (i) éezik enóia ai az áavázók eég kz (egaá egyze zakazan ynan) ieenciáhaó üggvénye (ii) az enóia knkáv üggvénye vázóinak é végü (iii) a ejõéi (evúció) egyeneek áa eghaáz yaak eeén ezigee (zá) enzeen az özenóia ne cökkenhe nnek egeeõen az anyagövény eghaázáa a II õée aaján vagy naan a II õée i kiejezõ enóiaéeg aaján öénik ka eeények óee éekeek e eig áaáan az az áán uak hgy izikai övényekõ az anyagegyene ne haázhaó eg cuán az nhaó ki hgy anyagövény köee igyeee venni a izikai övényeke azka ne éhei zze vaójáan a ekuáció eüeée uaák az anyagövény eíáá ui a kíéeek aaján küönözõ e-knukcióka hzak á aj eeenõizék hgy viekeée eeé-e a izikai övények aa aánya Máeig iyen özeüggé végeen k knuáhaó kiinuáunkó kövekezik az i hgy az anyagövény cak azknak a echanikai köcönhaákná jeenkezõ exenzív vázóknak ehe a üggvénye aeyek a éegegyeneeinken zeeenek heyeeen aeyekõ az enóia ügg Skáig uak az a néze i hgy küön övénye van az anyagnak a ugaa aakvázák aányáan é küön övénye a kéékenyéen z aó a gyakai ényõ áákz hgy az anyag ( egy aaóiui óae) eeheé án á ua köve in eheeneíé án ha á egjeenek a aaó aakvázák eézeõ iegen eevéek eveééve ég ha azka a eevéeke kíéei aakó vnák i e jeen köeen ikeü igaznunk hgy az anyagnak cak egyeen anyagövénye van z eíe eheé-eheeneíéei küönég egy ázóag uajnágvázá z az eee a uány egieé yaaáan úgy hívjuk hgy a áza eei a ényege ezáa az igazi özeüggé

7 eieée een ha Péakéen a kaziku ugaaágan-kéékenyéganan eig az hiük hgy aág az ugaaági uu é a kéékenyégi haá úéée uáni kéékenyégi uu zinén aágnak véve ezek egyáhz viznyí aányá H ez ne igaz Ha az uu anyagáanó akk ne az hane vaójáan egvázáa (ey a aaó aakvázák ia kövekezik e) é nan egahaó özeüggéen van -ve Így eheége hgy ugyanaz az anyagövény événye - a á eíe éáná - eheéné é eheeneíéné egyaán nha az aakvázái úvna küönözik nnek egy nagyzeû kövekezénye hgy a kéékenyégan in a ugaaáganó küönözõ uányág eeegeé (vagy kagyá) váik annak eenée hgy van ugaa é van kéékeny viekeé e inkeõhöz cak egyeen kniuív egyene azik gyége ózeekke haók eg a eaak yank i aik kivezenek a ugaa aakvázák aányáó gyzeûen a ugaa-kéékeny eaak a ugaaágan zká özeüggéeive é ózeeive haók eg nnek iuzáááa a üggeéken közevényû yók aaguak vágak eeée euajuk hgy a ugaa egáó i ón á eõ aká a ugaa-kéékeny egá aká a eógiai egá Má ennek eieée i ööe öhe e ennünke znan a vái kövekezények zine végig e köveheõk gy hín végiggó vna haáá küönözõ eéeezéekke é haááákka zkák eezenáni aeyné a egözö a HOO-e vagy vaaiyen á egyzeû e iõõ üggeen e akaazáa öénik z a egközeíé azn a hieeen aazik hgy nehézége kz a eógiai eevéek haznáaa Ha aznan ujuk hgy a (gyakai akaazáná a egáaánanak ekinheõ) POYNIN-HOMSON-ée anyagehez azó egá ké HOO-egáó eéíheõ akk á ne ke ózkni a na egá akaazááó ó ne i ezéve hgy az eig akaaz ózeek úéeezéhez vezenek e a eheéhez az a axiái eáció eneik aey cak eeen jeenkezik z az akaaz zekezei anyagjainkná aká %- úéeezé i jeenhee ka eeényekõ evienen kövekezik hgy az a haá ah eváik egyáó a ugaa é kéékeny aakvázá aga e ehe kíéei eeényekõ evnhaó aeaikai özeüggé z enóia evúció egyeneéõ kövekeznie ke a kéékenyégi é a önkeeneei haáeéenek ekuáció iaáó enné a kééné i á ke éni a izikai eveke é kövekezényeike z i ieee kuaák eézezeûen ne ezáak hane zá új eheõége viananak e aeyeke a kuaóknak éee zizeaikuan végigvizgáni ugyani gyakai haáuk zine eéheeen zen az ún ég cak az eõ ééeke eük eg

8 avayi kneencián közöeke az i vahaó úja é ie uány eeényeink áéékeik õ óíják i néhány eeen zek a kövekezõk - z aakvázá kineaikája ejezeen ne vunk kövekezeeek a jeöéekke a zuzanciái izikai jeezõk eõ eaa a egküönözeõ aó inex ai éeééeke eeényezhe - z a éeéé eeünken i jeenkeze így a éegegyeneek ejezeéen közö zuzanciái éegek vakéen zinén kái éegek yan áíáai vak aeyné ehaznáuk a közvee üggvények ieenciáááó aóó / / v özeüggé ai cuán a kái éegek egy áik eíáá eeényeze ehene azza véekezni hgy a ûzaki eaak egááná inig ezõüggvényekke gzunk aeyekhez a kái éegek aznak ehá gyakaiag ninc i zükégünk a zuzanciái éegeke z anyagövény evi eghaázááná van zükégünk aznan a zuzanciái ennyiégeke ehene azza i véekezni hgy ugyanaz a hiá eíá aáhaó YMI ÉNYS könyveien i znan inez ne váza azn hgy végü vaakiknek e ke íniuk a heye özeüggé - eógiai anyageek cíû éz eõzö uaa e hgy ne ekuaív knukciókó éü e egy anyage hane a einaika II õéeének kövekezényekén znan zükégeenü ehaznáunk egy a eációenza vnakzó egzíá így a ka eeények ehaznáhaóágá a ki eációk eeée kázauk z kigájuk é e kázá nékü íjuk e az anyagövény aey a eációk ezõege vége aányáa igaz - Ugyan euauk hgy a egáaána anyagövény az ÁÁNOS POYNIN-HOMSON-ée (ana) eógiai e ha a eációk iõzeini áenû eivájának haááó eekinünk z eeény evezeée az enóianövekeé ényéõ kövekezõ egyenõenégõ öén az iuzuvezeéi áix aaján I eköveük az a hiá hgy a ezüégenz heye a vee ekvivaen eviá é göi enza gzunk anékü hgy euauk vna hgyan eik zé ké éze a vezeéi áix z eeény kek e a vezeéi áixk eíáa kinyiakzaázeû v e hiák naanágk õ egye eeeken éveéek ia ee a köee kényeenek vunk a 6- köeen közöek egy ézé ié eéíeni hgy a éáva kaca inen iee egaáhaó egyen egyeen köeen a kéégeen hiányágk óáa é a naanágk eig kigááa keüheenek uaáan vagyunk aznan annak i hgy ekinve kuaáaink egééünk é áaáan a eüe ne ezá ivá az i közea anyag i aaazha kéée éve ieve kéõ eghaanak iznyuó ézeke zé azn keve Ovaóinkó akik a avayi köeen aán ne i inig ki nehézégek áán

9 áágák aguka ieve azkó akik jeen unkánkan eeznek e hiányágka vagy éáka zíve enézé kének a Szezõk köe zezõi ezún ejezik ki õzine izeee közöneüke é háájuka MOCSI MÁS é BÉD YU ezknak ézee é aóék ézevéeeiké a köe anyagának ekááa án e ééke igyeee éó egjegyzéeiké é ágzáa e javaaaiké özönjük ÜÖP MÁS kégánk igen ééke közeûköéé egy-egy kéé új egviágíáa heyezééé a eie hiák kijavíááan é íuunk cizááan nyúj egíégéé Buae 7 zeee SZZÕ

10 BVZÉS Ménökgeógia-õzeechanika 6 ISM neencián a kái eõaáunkan [VÁN P - SSZONYI CS (6)] eghaázuk az izó kninuuk anyagövényé a ugaa eációk aányáan ékezenénk aa hgy a einaika (eneginaika) áik õéeéõ inuunk ki aey öek ee az nja ki hgy a viágan inen yaa ieveziii Ha egy yaa ezajik akk az úja unkaeekeé nékü á ne eheõ eg ne öéné Cak küõ á ehaznáááva ehe a einaikai enze vizavinni a kezei áaa - ha az egyáaán eheége yaak ieveziiiáa az i jeeni hgy inen ieveziii yaa ugyanyan ón ieveziii vagyi a vaóág yaak a eveziii yaa ugyanazn aán ( knkéan az áán) heyezkenek e uzán eveziii yaa cak ázóag éi az ieveziiiá ényé vaójáan aznan ne e az ieveziii yaak eéen egy ká egy eéheeen haáeee jeen aey enén é aeynek áik aán á ninc eái yaa Ha egy een W echanikai (eáció) unká végzünk akk a e ieve annak aányain az enegiazin növekzik aó üggõen hgy a unkavégzé iyen P e P W W eáció ejeíénnye zajik Miné nagy ejeíénnye öénik a unkavégzé anná nagy a vezeég aeye a eekee é a vizanyeheõ unka küönégéve ieve aányáva jeeezheünk z a eáció ejeíény ké haá közö vázha () Pin P Pax z önagáan egy iviái egáaíá enne ha izikaiag ne unánk eghaázni ez a ké haá P ejeíény aja a P in aó haá aeyhez egy Ha egye yaak eenée éeeen ennének ieveziiiek akk ekézeheõ hgy egeeõ aányan vegyíve õke az ieveziiiáuk kikenzáná egyá így végü i eveziii yaahz juhanánk áajú öökzgók ennének eheégeek égaegyége juó eáció unkáó van zó 4

11 V éganyi kninuu eehez W = W in eei (ininieziái) eáció unka azik aey az ieveziiiá egyik haáá jeöi ki a eveziii áavázá z akk vaóuha eg ha a eáció eeég nagyn kici vagyi zéuhz a W ehá egy eei égaan á ugaa vagy enciái enegiának ghaó e õ kövekezõen a eheége egnagy P ax ejeíény a eheõ egnagy eáció eeég aja azaz aik ez a eeég a végeenhez a Vagyi az áavázák aányának necak egy aó kája ukója van (a eveziii áavázá; á az áá) hane egy eõ i aeyen kívü á nincenek áavázák ez eig az ieveziiiá axiua Vagyi a einaikai áaé auó é eüõ egyaán ká z áaének aznan cuán egy - nan eghaáz - njáig a a eveziii aó haá zen ú van egy ieveziii aó haá i Vagyi az áaének a yn eációk üggvényéen évõ aó haáa ké éze zik egy eveziii éze aj egy ieveziii éze ké zakaz eváazó n a ugaa é a kéékeny eációka eváazó göe ezénja az aó haágöéve Vaójáan az ezüég é D eáció áa kiezíe áaéen ké eüe éezik az egyik eváazja egyáó a ugaa é kéékeny (aaó) eációk aányá a áik eig az a haá ah az anyagi kninuiá egzûnik z eõ eüee eíó özeüggé kéékenyégi haáeéenek a áik eüee eíó eig önkeeneei haáeéenek nevezzük () ij önkeeneei haá Ieveziiiá eõ haáa ugaa zóna éékeny zóna eveziiiái haá éékenyégi haá (D) ij Ieveziiiá aó haáa Ha a eációeeég zéuhz a ( D ) az ehá ne jeen inig eveziii áavázá Ugyani ha az ezáa éejö D eációk é a hzzájuk azó ezüégek unkája úéi az a W küzöééke eye az anyag eõ zekezeének egvázáa nékü kée evieni vagyi eghaaja az a 5

12 unká aeye az anyag ugaa v enciái enegiakén kée áni akk á aaó eációk i egjeennek eyek egy vizaú án ne züneheõk eg Vagyi a P in = ejeíényhez a eációk yn aányán éezik egy W haá aeyen ú az aakvázá á ieveziii z kiejezhenénk közeíõeg - úgyi hgy a haáig a ezüég (aey a knukív iuzuáa ûûége) é a éejövõ knukív eáció inegája zgáaja a eáció unká haán ú ehhez ég hzzáaóik a D aaó eációkhz az ún knvekív eációkhz azó eáció unka aey ökéeeen ieveziii ehá eiyen éze e nyeheõ viza egy í yaa án z a köüény nagy egíége jeen az anyagövény kéékeny áaei viekeée eíááhz ui egeei a eheõégé hgy a eveziii yaak anyagövénye aaján i egakhauk az áaán anyagövény aey eveziii é ieveziii yaaka ugaa é kéékeny eációka egyaán événye zek aaján aeaikaiag áaán áan evezehenénk az anyagövény aznan eõ özegajuk a zükége özeüggéeke a kövekezõ ké ejezeen e azé van zükég hgy nan ézékejük azknak a izikai ennyiégeknek a eõ özeüggéei aeyekõ az anyagövény ügghe zká ezõeíá ee eg ke ani anyagi eíáuka i aeyné a izikai ennyiég cak az anyag uajnágaió ügg üggeen inen egyé köüényõ in a vnakzaái enzeõ ejeége vaó öekvé egkívánja hgy inen izikai aaée zeeejen az özeüggéen ai haáa van az anyag echanikai uajnágaia zé özegajuk az ieveziiiá-gaaka közege áaa yaaa egyaán Cak inezek uán vezejük e az anyagövény áaán aakjá z áaán ua egaáa uán kzaan knkeizájuk az eeényeke õ ég az egyengeyû áa eeén i végigkövejük a vázáka eõan a éye egéé éekéen áan eig e een az eeen kíéei eeényeink i vannak aeyek üközeheõk az eéei egnákka 6

13 ÖÉS YZÉ - aakvázái enz (áenû zieiku) a i - (i = ) - az aakvázái enz ajáéékei (a enz õáójáan évõ eeek a ajávekk áa kiezíe kináaenzeen) i - (i = ) - az aakvázái enz kaá invaiánai D - eációenz (áenû zieiku) D i - (i = ) - a eációenz kaá invaiánai - eáció eviáenz e - a eõenegia-ûûége (ajag eõ enegia) - ugaaági (Yung-ée) uu - eáció göenz - áag (vagy közee) eáció - aaó vagy ieveziii eáció a - aziku (v kéékeny eáció) ev - eveziii (v ugaa egyenúyi) eáció - vizkziái együhaó - ezüégenz (áenû zieiku) kái eíáan az iuzu knukív áaûûége (iõegyég aa egyégnyi eüeen knukíve iúz ún - ááaó iuzu ennyiége) i - (i = ) az egyenúyi ezüégüggvény i kaá invaiánkó üggõ együhaói - ezüégenz zuzanciái eíáan - ugaa eáció unka a eáció unka enciá (eveziii) éze - ugaa zuái eáció unka - ugaa égavázái eáció unka i - (i = ) az egyenúyi ezüégüggvény D i kaá invaiánkó üggõ együhaói - kéékenyégi üggvény ( = kéékenyégi haáeée) - cúzaó (zuái) ugaaági uu H - zgágaien (áenû enz) kái é H zuzanciái - a einaikai eõk enza j - az a exenzív ennyiég knukív áaûûég veka a j a - - az a exenzív ennyiég knvekív áaûûég veka keziiiái (égavázái) uu 7

14 - zgáüggvény anyagi eíáan [ ] - zgáüggvény inveze [kái eíá - - ] iuzuvezeéi enz (áenû zieiku ziív eini) iziáció unka a eáció unka ieveziii éze - zuái iziáció unka - égavázái iziáció unka - ineái vizkziái ényezõ (vagy kúzái ényezõ) M - echanikai ezõ - Pin-ée zá Ù - övényenz vagy zögeeégenz (áenû anizieiku) P - eáció ejeíény (égaegyége juó) - HVISID-ée egyégugá-üggvény Q - euáenz (áenû anizieiku) - az anyagi n jeöée (agange-eíáan) - ékináa - öegûûég (kái eíáan) - öegûûég (zuzanciái eíáan) S - enóia - ajag (öegegyége juó) enóia - egyenúyi ajag enóia (ajag enóia egyenúy eeén) ŝ - ajag enóia egyengeyû ezüégáa eeén - áag (vagy közee) ezüég - ezüégi eviáenz - ezüégi göenz - hõééke -en - iõ - eaxáció áanó (ineái eaxáció iõ) - eaxáció iõ u - ezuávek (kái) V - aakvázái eeégenz (áenû zieiku) v - eeég [kái eeégezõ v() zuzanciái eeég v ()] W - eáció unka (égaegyége juó) W - zuái eáció unka W - égavázái eáció unka X - a einaikai áak enza - eõ inaikai vázó (zieiku áenû enz) z egyenúyó vaó eéé kiejezõje 8

15 Z MÉYN ÉS NYI OMÁI Z NYÜVÉNY gy knké echanikai eaa egáa án az aaegyeneeknek a éegegyeneeknek é a egeeõ anyagövényeknek a kái ájá zkuk haznáni azaz a ezüég- eáció- ezuá- - ezõke keeük az a éézen a kezei é keüei eéeek ee inen iõnan z eõzõeken [VÁN-SSZONYI ] özegauk a kninuuk é izkninuiák éegegyeneei kái é zuzanciái áan éegek a kái izikai ennyiégek közö nanak ki viznyka Oyan aaveõ izikai övényeke gaazunk eg egíégükke in éáu az iuzu vagy az enegia egaaáa zek a övények anyagó üggeenü azaz inenée anyagüggvénye évényeek áaán áan aaazzák az anyagüggvényeke z anyagüggvények vizn az anyaga é cak az anyaga vnakznak ennük a kninuu eéíõ ézek (eei ézeckék ak ekuák ikeeéek izkációk egyé ezzkóiku kninuueeek ) közöi viznyk üközõnek Z NYI OBIVIÁS z anyagövények é a éegek jekív viznyka ejeznek ki ezé üggeenek a eíáuka hazná kináa- é vnakzaái enze váazááó z eõ uajnág aznna ejeü ha kek enziái izikai ennyiégekke é a ájuk vnakzó egyeneekke gzunk áik uajnág a vnakzaái enzeõ vaó üggeenég kka özeee é n ája áig via Véeényünk zein a éakö kezeée cak a eaiviziku eéeek aazaaainak egíégéve a izikai viznyka nan üközõ egeeõ neeaiviziku éiõe egíégéve eheége neeaiviziku éiõ e eeén a négyienzió eíá gai keeei MOCSI-VÁN 6 MOCSI-VÁN 7 íáai aaazzák zeknek a vizgáaknak az eeényei e gjuk haznáni a kineaika é a éegegyeneek ekineéen Iyen eeény éáu hgy a zuzanciái iõeivá áaáan ne egyezik eg az anyagi vnakzaái enzeõ üggeen iõeiváa e kaá izikai ennyiégeke ieve a zgáa kaca izny ennyiégeke (in éáu a zgágaien) vizn igen kninuuizika eje 4-e neeaiviziku ágaazáa á kéégeenü n anuágkka jána - ne céunk een az 9

16 íáan nnek az i ka hgy a énöki akaazákná úgyi a á egzk ezõeíáa gzunk a 4-e enze akaazáa ahhz a kuaákhz ke aeyek az akaazáhz kekü ehaznáhaó anyage eghaázáá könnyíi eg kninuuizikáan áaánan a kái é zuzanciái éegek haznáaáva véjük egküönözeni az anyaghz köö é a küõ vnakzaái enzeen événye eíá zuzanciái iõeivá haznáaa a éegeken ee önyie eegenõ e izny eeeken á aakknak i jeenõége van en a ejezeen vázaan iéeen özegajuk a kninuuk kineaikájá é egajuk a egeeõ izikai ennyiégek é éegek kái zuzanciái é az ún anyagi ájá i ONINUUM MOZÁS VÁOZÁSO INMIÁ egigye e (közeg) njai vázaják a i eünken (egy váaz ineciái egigyeõ vnakzaái enze eéen) ega heyüke az iõ úááva Miuán a eeencia-iõnan váazunk egy éigó egy áaán iõnan a eünk egy njá egy heyveka jeeezzük a egigye közeg egy njá en vagy közegn eig -ki heyvekáva OÁIS MNNYISÉ káinak nevezünk egy izikai ennyiége ha a éiõ váaz jeezéünken a i eünk é az iõ üggvényekén auk eg Péáu a öegûûég kái aakja ey a iõnan é (a vnakzaái enzeünk zeini) heyvekú heyen ehá a é áa kijeö éiõnan az anyag öegûûége kái izikai ennyiégeke ezõknek i nevezzük SZUBSZNCIÁIS MNNYI- SÉ Szuzanciáinak nevezünk egy izikai ennyiége ha a en é az iõ üggvényekén auk eg Péáu a öegûûég zuzanciái aakja ey az áa jeö anyagi nná aáhaó öegûûég a iõianaan = - () B áa = () B

17 NYI MNNYISÉ nyagi egy izikai ennyiég ha cak a e az anyag uajnágaió ügg gy ezõ e anyagi e az heyze vnakzaáienze-üggõ gy zuzanciái ennyiég ehe vnakzaáienze-üggeen iyenek a kaái ennyiégek e ne auaikuan az MOZÁSÜVÉNY kái é anyagi eíá közöi áenee az (zuzanciái) zgáüggvény ieve ennek inveze az anyagezõ íja e ( áa) Pnaan B I B I (kái) ah I az iõnk egyienzió vekee B a kninuu áa ega ééz a iõnan (é vnakzaái enzeen) ééz egy kiváaz kezei B eig a kninuu áa ega iõnan nnek egeeõen ehá az anyag agá a kezei iõnan ega heyzeéve a eeenciaheyzee (aaheyzee) jeeezzük zuáá aakvázáá eációjá ieve az öze ne echanikai uajnágá i ehhez a eeenciaheyzehez kée vizgájuk Áaáan eéeezzük hgy az anyag a eeenciaheyzeen eje einaikai egyenúyan van (á a kövekezõ ejezee) eeenciaheyze ne azn agáva az anyagga vizn a egö eeen a egküönözeé ne ényege váiakan i i egezük ez az azníá é ennek egeeõen a eeenciaheyzee anyagi kaágnak i nevezzük Szuzanciái ennyiégeke kaunk a ezõüggvények é a zgáüggvény ( ) kzíciójáva Mezõke azaz kái aak kaunk zuzanciái ennyiégek é az anyagezõ ( ieve ( ( ) ) ) kzíciójáva Péáu ( ) zuzanciái ennyiégek ehá az anyagi kaágn éeezeek e ahgy az eõ eíeük ez ne izíja auaikuan a vnakzaái enzeõ vaó üggeenége ezé egy zuzanciái áan ega ennyiég ne eéenü anyagi i váiakan a zgá jeezééen a zgáüggvény eivájai aaveõ zeee jázanak zgáüggvény iõ zeini eivája a eeég annak kái ája eig a eeégezõ azaz () v é v v ( ( ) ) ( ( ) ) I evezeük a zuzanciái ennyiégeke haó aciái iõeiváa a zká n jeöé

18 MOZÁSDINS zgágaien in üggvény a zgáüggvény zeini eivájakén éeezzük () H I evezeük az anyagi kaágn haó anyagi éeiváa é a hagyány jeöéekõ kié eéõen ne eéenü az eé a üggvény eé íjuk aie ha hane a enziái ene ajuk je a enzzza á néven iaiku zza jeöi zgágaien zuzanciái é anyagi ennyiég kái aakja H H Z MOZDUÁSDINS z u ( ) ( ) ezuáüggvény zeini eiváááva az ezuágaien (az ezuák gaienenzá) kajuk u invez üggvény zeini eivája a enz z vaóan így van ui a H I H H ( ( )) aznág zein eiváva a I egyenõége kajuk ahnnan áhaó hgy ) ( ) H( néieg ngya jeöéóunkka z egyzeû e I H I ezé H Ha az ezuáezõ azaz az u( ) ( ) egyenõég inké aá zein eivájuk akk az u( ) I H( ) özeüggéhez juunk z uói í gaien jeöéó heyeen uaja a eivááix -z enjé aeye a zka jeöéóná küön ügyenünk keene

19 POÁIS DOMPOZÍCIÓ () H I u zgágaien eíja az anyagi a aakjának é heyzeének vázáá z aznan aaazza a n könyezeéen ejázóó eevezeû euá é az aakvázá i CUCHY-ée áiekzíció-ée éeéen (á éáu [VHÁS 985]) a zgágaien egyéeûen eíhaó (4) H Q áan ah Q gnái ekéezé azaz Q Q eig zieiku azaz Q gaá jeezi a kninuuee könyezeének iõianaei euáá eig az aakvázáá a kezei kniguációhz kée Z VÁOZÁSI NZO (4) özeüggéõ H Q így az aakvázái enz H H Q Q I (5) H H I u I u DOMÁCIÓNZO zkan a eciái eeeken aik ninc aakvázá yank I eézee a zé az áaán eeen az aak egvázáának ééké (6) D I H H I azaz D I u I u I eációenza jeeezni z az özeüggé a ki é a nagy eációk aányán egyaán événye é n éeezé egiee közeíéei a Cauchy CUCHY-ée D u u een N-ée D u u u u eációenzk Vegyük éze hgy ha a H zgágaien zieiku akk a eje eáció a CUCHY-ée eációva egyezik eg vagyi yank a CUCHY ée enz á ne közeíé

20 SBSSÉDINS n özeüggé kahaunk a v eeégezõ é a H kái zgágaien közö a zgáüggvény é zeini vegye aciái eivájainak egyenõégéõ ehaznáva a eeég é a zgágaien ()-() einíciói ( ) ( ) v ( ) v( ( ) ) áéve izán kái áa ( ) v( ( ) ) v H ( ) ) H ( ) ( ) H v H azaz H a v H z egyenõég inké aá jó zzva a H - eeéggaien (7) v HH Ha igyeee vezük a (4) zeini ená akk v HH enza egkajuk a Q Q QQ Q Q Q egkajuk a eevezeû euá eeégé é az aakvázá eeégé Megzk jeöéeinkke Ù Q Q - az övényenz (az euái eeég enza zögeeégenz) V Q Q - az aakvázái eeég enza ÍÁSO ÖZÖI ÁÁÁS ájuk hgy kái ennyiégõ a zuzanciái ennyiégeke öénõ áéé egyzeû a egeeõ ezõke ke knáni a zgáüggvény invezéve kái heyzeõ az anyagi ennyiégeke vaó áéé (vagy íva) ne azn özeüggéekke öénik hane ügg a izikai ennyiég enzi enjéõ i Má a heyze kaáná á vekná é á enzná Sõ vigyáznunk ke e vekkná az áééi zaáy ázóag á ha a izikai ennyiég ne zgáó záazik é egin á ha aó ( eeégezõ) Ha egy izikai ennyiég kaá akk zuzanciái ája egyúa anyagi a i é közöük az özeüggé a kövekezõ (8a) (8) azaz cuán a vázókan ke éeezeûen áéni Q Q 4

21 Ha egy c izikai ennyiég vek akk zinén einiáhajuk (8a) inájáa a c ennyiége aznan igyeee ke vennünk hgy á egy eev közeg i euha vánáa án egy eáóó közegen eig az anyagi nk zzéági viznyai i egváznak közeghez ögzíe iányk vekk az iõ üggvényéen eunak é eeeieg gnái ná ázivekk a közegge együ eáóva á ne eéenü egyégnyi hzúak é ne i eõegeek egyáa közeghez ögzíe áey kináaenze vázáá a közeg inen njáan az iány- é éeviznyk vázáá a zgágaien enz jeezi nnek egeeõen ha vekezõ ˆ zuzanciái vekezõ akk a egeeõ kái c (9a) c( ) H ( ) cˆ ( ) ieve íva ha c kái vekezõ akk a egeeõ zuzanciái vekezõ (9) cˆ ( ) H ( ) c ( ) I úja jeöé vezeünk e e ˆ ( ) c é ( c ) ugyanahhz a kái vekezõhöz azó é egyán zuzanciái vázójú e küönözõ vekezõk c B B () c z eõi nevezzük anyaginak az uóia egajuk a zuzanciái enevezé kái kináaenze vázáá i igyeee vevõ H -ve vizahúz ennyiégeke jeöjük a váiakan kaaa ehá ugyanahhz a kái c z áééi uák zeéeééhez vegyük éze hgy a közeg zááa az iányka a zeine áanó iányka áey anyagi nan a könyezõ anyagi nk jeöik ki Ha váazunk egy közegn é egy közei áika akk az õke özeköõ vek a küõ ineciaenzeünk zein ( ) ) H ( ) ( zein vázik az iõ üggvényéen íg a közeg zein ugyanaz az áanó áa vek aa haááeneen a ké egigyeõ zein á küönégvek viznya nan a H () enzhz a 5

22 vekezõhöz áaáan kéée zuzanciái vázójú ezõ i azha aeyen cak a üggvény aguenuá ceéük ki é ögzíe vekk vázáai i köveük 4 c ĉ aeye a közeghez eézeeen ez uóinak i egvan a kái aakja é áaáan cˆ c ieve cˆ c z a jeöé üggvények aguenuának kiíáa nékü i egyéeûvé ezi az eõi uáinka ˆ c H cˆ é c H c á eegee az anyag eõ viznyai jeezõ anyagi ennyiégeke vizn eézeeen ne ái zaáyk hane a izika övényei jeöik ki Viágan ázik ez a zgáa kaca ennyiégek azaz a zgáüggvény é eivájai eeén Ugyani a zgá egaó zgáüggvénynek é invezének ninc kaa ája azaz ajá eivájának egíégéve anzáóó aakja Beáhaó váá hgy a zgágaien eeén a vizahúz aak egegyezik az éeezéi aány egyzeû vázaááva ka aakka azaz H ˆ H MÉYN éegegyeneeke eeeieg inig kái áan íjuk e ez ee eg a egzk éiõ zeéeünknek ezé a éegek kái izikai ennyiégek közö événye özeüggéeke anak eg n kieenünk hgy az úgyneveze zuzanciái éegek vaójáan ne zuzanciái ennyiégeke vnakznak gyéz a ennük zeeõ izikai ennyiégek váa i kái ennyiégek áéz gnjunk aa hgy az áak ivegenciájá e az anyagi kaágn événye eivááa kéezzük Cak a kái iõeiváa ceéjük ki a egeeõ 4 z enaka egy éáva i iuzájuk njunk egy egyeneeen gó kng aeynek közénja a i eünk (azaz váaz küõ ineciái vnakzaái enzeünk eének) igójáan nyugzik ehá a közén in a i eünknek in a kngnak a nja kng ezõege njának a zgáá a Q üggvény íja e ah Q egy gnái (gaó) enz kk a zgágaien H Q együk e hgy a kái hõáaezõ veka a eünk inen njáan a közén eé ua q kk a kngn évõ egigyeõ az ézi hgy a kng inen njáan a hõ a közén eé áaik uáva eggaazva a kng heyén a hõáavek zia vázóanzáció zeini q q Q aznan ne ez aja eenen a q Q q ˆ vaóan igen Vagy együk e hgy a hõ a eünken a gáengeye eõegeen a n iányan áaik egyeneeen q n kk a kng úgy ézi hgy a hõáa g a kng ajá gááva eenée iányan ai a Q n qˆ Q q í e jó ( éa MOCSI MÁSó záazik) 6

23 zuzanciái eivá kái (!) ájáva z uói N-ée eíáó yaékk eeén kieégíõ e ziá eek é yaékk egyége eíááná a zuzanciái é kái üggvények zigú egküönözeée nékü - zavaka vezehe zen kk ia a éegegyeneeke ég egyze özegajuk nan eküöníve a kái (ezõ) N-ée é anyagi aakjá õzö i egy zuzanciái áan a kaá iõeivájai é anyagi éeivájai kái áa áíva kajuk a zuzanciái eiváak kái ájá ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) v( ( ) ) ( ) ( ( ) ) H ( ) ( ) ( ( ) ) zaz az ázáíái uák () v H zek ég övieen a eiváak közöi anzáció zaáykén jegyezheõk eg é necak kaái ennyiégeke vnakznak () v H Hangúyzzuk hgy a () uákan az anyagi kaágn éeeze üggvényeke vnakzó aciái eiváak vannak kiejezve kái ennyiégekke é kái eiváakka (a) a zuzanciái iõeivá () eig a zuzanciái éeivá kái ennyiégeke événye ája zek uán a ieenciái éegeknek inhá ájá egajuk gyéz a kninuuhz kée küõ ineciái egigyeõk zenjáó (kái vagy Ueíá) áéz a zuzanciái iõeivá zuzanciái ájá aaazó (N-eíá) végü egaunk egy ejeen zuzanciái ennyiégeke vnakzó á i Minhá eíáó n kái ón ájuk az anyag agange eíáan ujuk az áavnaakka együ zgva ekézeni vizn az anyagi köcönhaáka inhgeniáka egy iza anyagi eíáan ájuk jó gy a V égaan evõ exenzív izikai ennyiég eeén a kninuu eíáan cézeû evezenünk annak ajag (öegegyége juó) ééké aeye az a( ) éõ é iõõ üggõ ezõve eezenáunk ajag ennyiég hgén anyagezá eeén a / V V / / ón ahaó eg ah a / a éézen evõ anyag öege a eig az jeezõ ûûége Seciáian a ajag öeg ive a öegûûég (azaz aga a ûûég) ajag iuzu eig aga a kái v eeég Áaáan igaz hgy 7

24 a av V ( egküönözeé ia akaazzuk a V é jeöéeke) Áaánan az exenzív ennyiég kái éege a () ( av ja ) a I V V av a közeg áaááó záazó knvekív é j a az aó üggeen knukív áaûûég () akaazááva a agange-eíá zuzanciái éege a kövekezõ egyzeû áa íhaó () a ja a Megaaónak nevezünk egy exenzív izikai ennyiége ha nua a áûûége ÖMMÉ öeg ké zenó eciái ennyiég gyéz egy egyknenû kninuu zgáá annak öegéhez kée ögzíjük azaz a öegnek ninc knukív áaûûége Máéz a öeg egaaó ennyiég a öegûûég egvázáa cak (!) a kninuu aakvázááó aóó égavázáó záazik a zgágaien eeinánának egeeõen eje öeg egaaááó ugyani az inegáanzáció ie uája aaján ( ) ( ) ( ( ) )) e H ( ) B B B zé azán ive a zgágaien eeinána ziív (4) e H z az özeüggé aaazza a öeg egaaáá Deiváva a eeinán kajuk hgy azaz e H e H e H e H (5) H H z a öegéeg zuzanciái aakja ey N-aakan a (6) v kái aakan eig a e H H H H H e H 8

25 (7) v á nyei gy áaán ennyiég éegének zuzanciái ájáhz a eiváaka vnakzó () özeüggéek é a ()-an zeeõ izikai ennyiégek zuzanciái ájának haznáaáva juhaunk a (8) a H j a e H z az özeüggé ázóag ne éeg ájú e azzá aakíááhz akaazhajuk NNSON éeé 5 (á éáu [MINC BM 5]) ey zein z ehaznáva ha anyagi éegé 6 nyehejük ah a a áaûûége e H H e H -va zzzuk (8)-a az exenzív izikai ennyiég a a e H H j a j a a a a az ennyiég anyagi ûûége j e H H j eig az anyagi DINCIÁIS MÉ ÁÁNOS OMÁ az enak aaján a kövekezõk ue agange nyagi a ( av ja ) a a ja a a a j a 5 ua övi iznyíáá inexe jeöée ajuk eg knenek jeöéek a zuzanciái áa öénõ közveen uaá ne akaazzuk j j j (e H ( H ) ) (e H )( H ) e H ( H ) j e H e H ( H e H jk k ) e ögzíe é i inexek ee i j H k j ( H j ) i e H k j j k j H k ( H ) ( H ) i ( H ) ( H ) i k j j k ( ) i ( ) ( ) i ( ) i jk i ( H j ) jk áix zzzuk j H j k ( H i k ) i a ) k k ( é k k i( ) j k k j jk jk vekkka zaz a eni kiejezé uó áan ( a a ) a a e az áix zieiku eni áaakíák án ehaznáuk a áix eeinánának é invezének eivájáa vnakzó özeüggéeke 6 egaái ai uáunk zein az iyen áka ekinhejük anyagi éegeknek jk j k j k 9

26 ÖMMÉ eniõ a = eheyeeíée ue agange nyagi ( v) v Z IMPUZUSMÉeke i az áaán uák akaazááva kahajuk az a = v eeen ue agange nyagi v ( v v ) v I a kái ezüégenz a kái eõûûég iuzuûûég e H H azaz az iuzu anyagi uxua v az anyagi eig az eõ PIO-ICHHO-ezüégenz BSÕ NI MÉ z a=e eheyeeíée I ue agange nyagi e q ( ev j ) v e j q q e v e j H H q q e az anyagi eõenegia-ûûég é j eh H j az anyagi hõáaûûég Z NÓPI MÉ evieg küönözik a öi éegõ ugyani az enóia é annak áaûûége aaveõen anyagi ennyiég ne üggeen a öi izikai ennyiégõ Sõ ahgy az éáu MOCSI eguaa [MOCSI 5] az enóia az anyag aiiáá izíó eéeenze kuceee e a eje einaikai egyenúy aziiku aiiáa a einaika áik õéeének izikai aaa z aziiku aiiá eig akk kövekezik az anyag uajnágaió ha az öze öi anyagüggvény yan hgy azk ája együeen izíja az enóia éezéé é növekeéé zaz az áaán gyakanak egeeõen az anyagüggvényeke cézeû á eeve a II õéenek egeeõen záazani z enóia éegének záazaááná ehá eõzö eg ke haáznunk eyek az a anyagcaáa vnakzó aaveõ izikai ennyiégek é eg ke köveenünk hgy az enóia in anyagüggvény áey anyagi éézen

27 növekejen en a ejezeen a egegyzeû eechanikai kninuua (zká einógiáva vége eáció evizkeaziku anyaga) záazajuk az enóia éegé aj a váiakan a eógiai é kéékeny anyagk eíáának egeeõen váejezjük az evi keeeke nnek egeeõen eezük hgy a ajag enóia az ( e H) vázókó ügg Mive özee üggvény ezé kái é zuzanciái ájá a vázóinak egeeõ ái egíégéve kajuk zek uán az özee üggvény eiváái zaáya aaján az enóia kái ennyiégekke kiejeze anyagi (é zuzanciái) iõeivája e H ( e H) e H e H e H z az özeüggé haznájuk az enóia N-éegének záazaááhz hõééke ecika az enóia eõ enegia zeini eivája ( e H ) e z é a eõenegia-éeg N-ájá ehaznáva kajuk hgy ( e H) j v H q H jq j HH H q H jq j H HH q H z enóia knukív áaûûégé a kövekezõ áan iehejük e a j q hõáa-ûûégge kiejezve jq j z enóiauxu eni eghaázáa áaáan egyáaán ne agáó éeõõ ájá eyáják az áahaázóka vnakzó ejõéi egyeneek i áaán ája evezeheõ Áaáan iznyíhaó hgy ha a ejõéi egyeneek éeg aakúak akk a eni a özhangan van a áik õéee [VÁN ] Így végü az enóiaéeg N-aakja a kövekezõ áa íhaó H (9) j j H HH q eni aak zuzanciái áan eíva é zzva a zgágaien eeinánáva NNSON uájának egíégéve kahajuk a egeeõ anyagi á z a kái aakka együ ajuk eg

28 kái q ( v j ) jq H v H nyagi q j j H H H I az anyagi enóiaûûég é j eh H j az anyagi enóiauxu igyejük eg hgy az enóiaukció anyagi aakjáan eézee ón eukkan az eõ PIO-ICHHO-ezüég é az anyagi hõáaûûég (9) éegeken az enóiáa vnakzó egyenõenég a II õée enóianövekeée vnakzó ézé jeeni z enóiaéeg kái ájá áey a éézen kiinegáva kajuk az enóia növekeéé inenü ah a ééz haáán ninc enóiaáaá é enóiauxu Ugyanígy az enóiaéeg anyagi ájá az anyagi kaág inen özeüggõ ézhaazán kiinegáva kajuk az enóia növekeéé inen zá anyagézen ah a haán ninc enóiauxu igyejük eg hgy az anyagi enóiaukció a kái enóiaukció zuzanciái ája zzva a zgágaien eeinánáva e H ehá a áik õée egyenõenége inké aaka egyaán azaz événye ezé az anyagövények záazaááhz áeyik áó kiinuhaunk váiakan a N-eíáan zeeõ enóiaukció gjuk haznáni

29 Z Z ÁÁNOS NYÖVÉNY Z NYÖVÉNY VÁOZÓI ÉS Z NÓPIÜVÉNY z enóia a neegyenúyi einaika aaveõ anyagüggvénye inen á anyagüggvény vagy közveenü eõe záazahaunk (inenzívek é eivájaik) vagy az enóiaeeéhez köheünk (hõvezeéi ényezõ vizkziái együhaók) z anyag zieiái az enóiaüggvénynek i üköznie ke Így éáu izó kninuuk eeén az enóia izó üggvénye vázóinak gy anyag einaikai eezée a egeeõ anyagüggvények keeée án az eõ kéé inig az a anyagíu viekeéé vaóan jeezõ aaennyiégek kiházáa a kuza vaóágó Má i i ényege kéé az hgy hgyan ehe vaóan az anyag é cak az anyag uajnágai é yaaai eíni azaz egaáni azka a ennyiégeke aeyek egíégéve jeeezhejük az anyag azaz eváazhajuk egküönözehejük a küõ eéeekõ jeezõ yaak azníáa a eíáuka haznáhaó izikai ennyiégek közü a egeeõek kiváazáa ne egyzeû nagyn k aazaa ehazóáa é kíéeek kaága ke hzzá z eeünken ágya vége eáció kéékenyég eéeének négy évizee jó zeéei ennek a yaanak nehézégei z enóia in anyagüggvény ezeknek a kiváaz vázóknak a üggvénye zeke az aavázóka áahaázóknak nevezzük Áaáan inenée einaikai eéeen az exenzív ennyiégek kiünee zeee jázanak éáu a neegyenúyi einaikáan az aaveõ vázók az exenzív ennyiégek ûûégei xenzívek azk a vázók eyekné a vége kiejeéû anyagaa egézée jeezõ ennyiégõ aiívan áéheünk kái jeezõe azaz a izikai ennyiég ûûége vagy ajag ééke akaa izikai ennyiég z egye knké exenzív áahaázóknak eciái ajáágai vannak ne kezeheõk egy áaán közö zinen ne kezheünk egy einaikai eéee n aa azak exenzív vázó evezeééve áaáu vaójáan nagyn kevé vaóan jó aaennyiég van (öeg kéiai knenek

30 anyagennyiége) Má ezaikáan exenzívnek ekine kz hazná vázók gyakan ne i egézen exenzívek õ van aik egyáaán ne éeezheõ a ga ájuk Iyen vázó éáu az eek aizáció ey ügg az anyag aakjáó i [MOCSI 5] é a echanikai aavázók (aakvázá eáció) e exenzívek kivéve eciái anyagka (yaékk) é eheéi eéeeke áaáu vannak egyé vázóink i aikõ eeve ne vájuk e ez a uajnág e nak az anyag zekezeének jeezééen ehá az exenziviá ne ekinjük a váiakan eghaázónak az aavázók kiváazááná een eeen a einaikai köcönhaák közü eõan a echanikaiva gakzunk z az jeeni hgy a echanikai é eiku köcönhaán kívü az öze öi igyeen kívü hagyjuk vagyi ninc kéiai eeku az eek é ágnee ezõ ne vázik eiku é echanikai köcönhaá a eõ enegián keezü áanó kacaan van egyáa echanikai haáa i vázik a közeg hõéékee é eiku haáa i eéhe aakvázá Ne gjuk ez a kaca ézeeen ágyani egözö a vizgáa egyzeûíée éekéen eéeezzük hgy közegünk izeikuan vagy aiaaikuan izá a könyezeéõ eeaziciá eaziciá evieg éze a ágya egyeneeknek e eciái éáika ne gunk ézeeen kiéni ÉPÉNYSÉ - PSZ z enóia cak azkó a izikai ennyiégekõ ügghe aeyek az aaveõ éegegyeneeken áahaázók ieve az anyag izny zekezei uajnágai jeezik eünken iyen az e eõ enegia aey a eiku köcönhaá aavázója a H zgágaien aey a közeg eõ zgáá jeezi ieve a zekezei vázák jeezéée ég haznáni gunk egy vái inaikai (eõ) vázó i eynek ééke egyenúyan nua z uói ennyiég az anyag eógiai uajnágainak eezééen jázik zeee kéékenyég jeenégköé i agáa gaó anyagövény záazaááhz vái egnáka i zükég van izikai eevéeke ke ennünk a kiaakuáának eézeée vnakzóan eezé áaán enengiku zinjén ez a jeenégkö eíááa egeeõ vázók kiváazáá jeeni Mive a kéékeny viekeé aaveõen echanikai vázák egigyeééve (aaanó aakvázá yá) azníjuk ezé eézee hgy a echanikai jeegû izikai ennyiégeke vezünk igyeee a eíááa aazaak özegaááa hazná egegyzeû kéékenyégi eéeeken kéékenyégi aavázókén egy eciái ezuá vezenek e azaz az anyag zgáüggvényé enják kéékeny é ugaa éze nnek 4

31 egeeõen a kéékeny áa eééé egy ( H ) ájú kéékenyégi üggvény aja eg aeynek vázói az a ezüég é a eje H zgágaien a H kéékeny éze ená áaáan uiikaív a ea H ugaa é a H kéékeny éze () a ea H H H é eõ kövekezõen ki eációka aiív e D a ea a ea ea a H I H H I ( D I)( D I) I D D kéékenyégi üggvény üggée a H -ó a keényeé eezi (ez öénhe öée ón i) aan a eciái eeen ha ne ügg a H ezéheünk ieái aziciáó kéékenyégi üggvény egíégéve az anyag echanikai viekeéé jeezõ H ) anyagüggvény éeezéi aányá ( ugaa é kéékeny éze nhajuk ké ézen a echanikai uajnágk aaveõen küönöznek é a haáó eüeen ugázeûen váznak kéékeny é ugaa aány haáá jeenõ yái ezüége a a () ( H ) eée jeöi ki Néha egye zezõk az eéeezik hgy kéékeny áaan az anyag nyíó ugaaága eûnik é az anyag özenyhaaanná váik Meg ke eze nanunk hgy a () üggvény áa eghaáz eüe eyik aán van a ugaa é eyiken a kéékeny aány ugaaó a kéékenye öénõ áenee nevezzük eeheének ekk eeheé (eheeneíé) eeén azaz ha é ieve aznna vizaéünk a ugaa aánya z aakvázá egy éze aaanó a ezüég eeei heyzee öénõ vizaáíááva ne á heye az eeei eáció áa -ó a H kéékeny zgágaienõ öénõ üggé (ái egyen i az) az a ejezi ki hgy a aány haáa zg azaz kéékeny áaan H vaahgy vázik é úja eeheék a kéékeny áaa á ezüégek eeén juunk 5

32 a einaikaiag H egy úja vázó áaáu vázáának eíááa vnakzóan nyivánvaóan zükég van egy ejõéi (evúció) egyenee ai a kéékenyéganan zká yái övénynek i nevezni zek evezeéének váza ójai vannak [ISZY 975] en az íáan zeenénk iné kevee eéee a einaikai anyageée ehaznáááva egvizgáni ez a kéékö zek uán a egeeõ einaikai háé egéée céjáó éjünk á a kéékenyég é az ieveziiiá viznyának ágyaááa IVZIBIIÁS-OM kéékeny viekeé - ieveziii vázá Ugyanakk ne já eéenü iziációva echanikaiag iziaív (a eeen vizkózu) ugaa é kéékeny viekeé ezõege áíáan eõuha nnek egeeõen ezéünk vizkózuan ugaa (vizkeaziku) kéékeny é vizkózu (vizkaziku) ugaaan kéékeny (eazaziku) anyagkó i znan egikuan kéékeny vizkózuan eógu gaáíáka ne aaaz az ia h aj áni gjuk hgy iyenek eézee ón ének e a einaikai keeek közö egáaána anyagviekeé inegyik vaiáció agáa gaja ég e éee vizk-eaz-aziku névve ieni e ez a nái eógiai uajnágkka enekezõ anyag õeg azé ne e a vizkózu anyaguajnágn a ziá eekné kan az ún kúzái uajnág éik (aeyik a eáció eeégéve van özeüggéen) eációk kéeeééen jeenkezik De ugyaniyen uajnág a eaxáció (aeyik a ezüégvázá eeégéve van özeüggéen) a ezüégek enyeééen i jeenkezik Áaáan küön-küön cak eciái eeen jeenkezik egözö a eációk kééének é a eaxációnak a küönége jeenik eg a zeünk eõ nnek egeeõen a izánáá vége eõzö áaánan a echanikai é einaikai köcönhaákn úenõen éee áekineni a k eeen keveeõ ieveziiiái é egyenúy gaainka Minenek eõ n ezögezni hgy áiyen izikai eéeen a yaaka eghaázó ieenciáegyeneek a ejõéi egyeneek ényéen ehe izán ezéni aavázókó yaak uajnágaió ieve egyáaán eghaázni i éünk a izikai enzee vnakzó küõ haán é ikén haázzuk eg i a enze eõ eéíée azaz anyaga ejõéi egyeneek eíhaóága á az eée egeheõen eje ká jezi ejõéi egyenee zká zgáegyenenek inaikai egyenenek i nevezni Mi zánékan keüjük 6

33 ezeknek a echanikai háee ejeõ ezé eciái jezõknek a haznáaá eézeeen a echanikai köcönhaá eeén a öegn heyzevázáá eghaázó ejõéi egyene a NWON-egyene a öegn zgáegyenee e ne inen ejõéi egyene haní a NWON-egyenee kövekezõken e uajnágk egíenek a küönée izikai köcönhaákhz kacóó gaaink aza záyzááan Z ÁPOHÁOZÓ UDONSÁI ÕDÉSI YN ÉNYÉBN köcönhaáka egye áahaázók vagy cjuk ieve a hzzájuk azó ejõéi egyene együeen eezi (a) () gy áahaázó exenzívnek nevezünk ha éee van a ûûégéõ ezéni é iõ é éei vázáá eje éeg aakú ejõéi egyene haázza eg eje éegen eig az éjük hgy a vázónak eézee ón éee a uxuáó é áaááó ezéni xenzív áahaázó éáu a öeg a eõ enegia vagy az iuzu gy áahaázó egyenúyinak nevezünk ha eje einaikai egyenúyan ééke ne eéenü nua eje einaikai egyenúy gaa (á a kövekezõ n) eig özenóik az áahaázók záyzááva eni exenzív áahaázók közü a öeg é a eõ enegia egyenúyi (c) Dinaikai áahaázók eghaázó uajnága hgy eje einaikai egyenúyan nuák z iuzu éáu inaikai áahaázó xenzív áahaázó ehe egyúa inaikai vagy egyenúyi i e a inaikai é az egyenúyi keene gaak SPCIÁIS OYMO ÕDÉSI YN ÉNYÉBN (a) () gy izikai enze einaikai egyenúya a hzzá azó ejõéi egyene iõen áanó éen hgén egáa einaikai egyenúy éezée eézeeen ügg a ejõéi egyeneõ é a egeeõ eeeéeekõ z exenzív áahaázóka vnakzó ejõéi egyeneeknek éezik einaikai egyenúya áene eeen hgén eeeéeek é nua áaûûégek eeén einaikai egyenúy az anyag nyugai áaa inen einaikai eée aagaa gy izikai enze inaikai egyenúyan van ha inen áahaázója áanó Dinaikai egyenúyan evõ enze uajnágai iõen áanók e a enzeen yaak zajhanak Iyen éáu ha az exenzív 7

34 áahaázók uxuai vagy a inaikai áahaázók áanók e ne nuák (c) gy izikai enze a áahaázóa (vagy a egeeõ köcönhaáa) vnakzava ézege einaikai egyenúyan ieve ézege inaikai egyenúyan van ha az eõi eéeek az a áahaázóa ának enn z öze áahaázóa vnakza einaikai ieve inaikai egyenúy eje egyenúynak nevezzük Z NYCSÁD (ÖZ) Z ÁPOHÁOZÓ IVÁSZÁS SZIN z anyagcaá (közeg) az anyagüggvények eghaáz záyá jeeni az áahaázók kiváazáa zein Péáu a eechanikai anyagcaáa azk az anyagk aznak aeyeknek anyagüggvényei (nyá hõáa ) cak a echanikai é eiku áahaázókó é azk é- é iõeivájaió inegájaió üggenek (a) gy anyagcaá egyenúyi ha anyagüggvényei cak egyenúyi áahaázókó üggenek () gy anyagcaá neegyenúyi ha ne egyenúyi z ne vicc hane egy vái záyzáa uzíó özegaó jezõ neegyenúyiágnak ugyani ö ka i ehe (i) z anyagüggvények inaikai vázókó i üggenek (ekk eheeenégi uajnágk ia neegyenúyi a közeg) (ii) z anyagüggvények az áahaázók iõeivájaió üggenek nnek egyik ka ehe hgy ne aáuk eg a egeeõ inaikai áahaázóka Peze egy iõeivá i ehe inaikai vázó e egy einaikai eéeen ez inig egy eciái váazá (iii) Ne aáuk eg a jó egyenúyi vázóka gy egyenúyi anyagcaá ki níáa néha kái egyenúyan evõnek nevezik öénei kkó [YMI 969] váiakan ez a jezõ ne haznájuk e cak a egeeõ éeieg hgén eeke vnakzó einaikai (ezaikai) eée kiejééve ehene éeezni n é a hagyány egáó eéõ hgy a eni éeeen egy izán echanikai anyagcaá neegyenúyi e inaikai áahaázó i aaaz az iuzu ieve a eeége (ajag iuzu) enengiku einaika eéei aaaégiája zein a neegyenúyiág eíááhz eõan a egeeõ áahaázóka ke egkeenünk Z NY OYMO IÁNYÍHÓSÁ ZZ ÕDÉSI YN SZIN z a áahaázókka eghaáz anyagcaáhz azó anyag 8

35 ai a knké anyagüggvények haáznak eg záyzhaó a yaak iányíhaóága azaz végõ n a ejõéi egyene zekezee zein i en az záyzáan ezigee enzeeke ekinünk azaz eciáian a ee é azk könyezeé együeen z anyagüggvényekhez eézeeen hzzá azik éeezéi aányuk az úgyneveze kniuív áaé i (a) () (c) gy anyag eveziii ha kniuív áaee özeüggõ azaz ezigee enzeen ejuahaó kniuív áaeének inen njáó inen á njáa gy anyag ieveziii ha ne eveziii Péáu akk ha kniuív áaeéen van yan n hgy nnan á ne juhaunk viza a kiinuái áaa gy anyag egy vagy ö a áahaázóa vnakzava azaz ézegeen eveziii ha az öze öi áahaázó áanó ééken ava eveziii eveziiiá gaá könnyû éeéeni (é nehéz nan köühaáni) n hgy ne yaa hane anyaguajnág az egyenúyiághz hanóan Skka könnyeen éheõ eée jeen a kövekezõ ké uajnág () (e) z anyag iziaív ha az enóiaukciója nagy in nua z anyag ne iziaív ha az enóiaukciója nua ehá a iziaiviá egáunk zein az anyag é ne a yaa uajnága á eézeeen nhanánk hgy egy iziaív anyag yaaai iziaív yaak e ez éevezeõ enne z enóia növekeéé a egeeõ anyagüggvények izíják ( OUI-ée hõvezeéi övény ziív (!) hõvezeéi együhaóva) z egyenúyiág é eveziiiá üggeen gaak (áa i vnakznak) a eveziiiá é iziaiviá ne az gy iziaív anyag inig ieveziii é egy eveziii e iziaív n ég egeíeni hgy ne inen iziaiviá ghaó e eõ enegiáa vnakzó ézege ieveziiiákén Min aa ene uaunk a neegyenúyiág egyik ája a eheeenég eheeenég eciái eóiauajnág az anyag iananyi áaa ügg az eõzõekõ Má ieveziiiák ( káá) i ehenek eóiazeûek Vannak eveziii eóiahaák i Iye uanak az eékezõ éek eciái áziáaakuáai NYO ÁPOÁN OSZÁYOZÁS ONINUUMMCHNII (VY NYSZZI) SZMPONBÓ z anyagk inaig aíg ynáguk 9

36 egaa vagyi a önkeeneeig vagy ugaaak vagy kéékenyek (éve ezaa hgy a ugaa aakvázák ee egjeennek a aaó (vizaíhaaan) eációk i) engeyiányú ezüég ugaa zóna kéékeny zóna engeyiányú eáció áa öeeze anyag zónája z áán egyengeyû eheé eeée áázuk azka a haáó göéke aeyeken eü heyezkenek e a ezüég eációiagak ezõege eációeeég eeén kk 4 küönözõ eee küönözeheünk eg a aazaanak egeeõen z az eõzõeken e záyzáknak egeeõen a kövekezõk ugaa aányn eü - egyenúyi eveziii neiziaív - neegyenúyi ieveziii iziaív ugaa uajnágk ugázeû egvázáa jezi a kéékeny zóna haáá éékeny aányn eü - egyenúyi ieveziii iziaív 4 - neegyenúyi ieveziii iziaív 4 - eveziii - ieveziii OVÁBBI MYZÉS z iaan azé aáhaó zá éeéé e azn enevezéekke ienek á é á izikai aaaka ejeen nyivánvaó hgy a eveziii (vizaíhaó) é az egyenúyi ne azn aaa aka De ekk az ieveziii (vizaíhaaan) é a neegyenúyi e ehe azn h a zó jeenéaniag zine ugyanaz ejezi ki Péáu a neegyenúyi einaiká é az ieveziii einaiká egyá zinniájakén i haznáják aziku ieveziii einaikának az az egyenúyi eéee nevezik aeyen cak iziációó záazik az ieveziiiá [D OO MZU 96] ezaikáan hazná kvázizaiku yaak az egyenúyi anyagcaáka uanak cak iziációó záazó ieveziiiáa ennek egeeõen a kaziku ieveziii einaika anyagcaájainak hgén eeke vnakzó egeeõi 4

37 ejeen áian az enóiaüggvény zká ké küönözõ üggvény özegekén eíni [yaaa vnakzó ezá] ev iev egyenúyi neegyenúyi [áaa vnakzó ezá] [echanikai (anyagzekezei) ezá] ug ké ea a Minhá eeen eg ke haáznunk a ezá kiéiuá vázók n eíááva vának cak éeezheõvé ezek a kijeenéek Min áuk yaaka é áaka öénõ hivakzá anyagi uajnágkén éeezheõ nnek egeeõen egyeü a áik ezá yan aeynek eézee aeaikai aa ahaó Ugyani inaikai vázók jeenée (eheeenég) eeén az enóia eézee ón zénhaó egyenúyi é neegyenúyi éze egyenúyi neegyenúyi ( a ) ( a) ( a ) ah a az egyenúyi eig a inaikai vázóka jeöi é a neegyenúyi éz neegyenúyi nua akk ha a inaikai vázók nuák azaz ( a) z a ezá eiée egzíá ne jeen az enóiaüggvénye vnakzóan cak a inaikai áahaázók aauajnágá haznája eógiai haák eeén á haznáuk [VÁN SSZONYI 6 58 ] é a váiakan i ehaznájuk inaikai vázók haáának ieve a ne iziaív ieveziiiáknak az ézeheõége eghaáz eéeekhez köõik Iyen éáu az áavázá eeége küõ haá nagyága ehá az áaána anyagcaá eézee ón é necak evi haáeekén aaazhaja a eciáia z a ejõéi egyeneeken egjeenõ iõkáákó vagy/é a küõ haák eõégéõ ügghe anyagnkén áá ón 4 MCHNII ÁPOHÁOZÓ ÉS ÉPÉNYSÉ vége eáció kéékenyégan eõ eéeei a havana-hevene éveken züeek iuán a vége eáció ugaaágan uánya eju izny éeégi ka Há-négy évizee ezuán áig inc egyeen áaánan ega eée BM a kövekezõkéen jeezi a heyzee vége kéékenyégeéeek egyik aaveõ éája a eõ vázók einíciója é küönöen a kéékeny vagy ineaziku aakvázáé Haá a kéékeny eáció kiejezé egeheõen zkának ûnik a énöki 4

38 iaan kieü hgy nagy eációk eeén eghaázáa enkívü nyu [BM 5 49 kieeé a zezõõ] Ninc e eéei e kíéei áaán zaáy aa hgyan küöníük e a keõ éa nehézégé jó zeéei az () aai H H a uiikaív özeüggé ékezzünk ugyani aa hgy a zgágaien a zgáüggvény a eeenciakniguáción éeeze eivája Vizn akáiyen vaói vagy ekéze zgá (ezuá) nunk ké éze az aiív ez a eni uiikaív özeüggé cak a eeenciakniguáció vázáakén az özee üggvények eiváái zaáya aaján éeezheõ a ea a ea ea ( ( )) ea a ea H ( ) ( ( )) ( ) H H eeenciaheyze iyen ená uán aznan öé ne eezenája az anyag az eõzõ ejezeen enak évényüke vezíik Báiyen aakvázá azaz egy geeiaiag eghaáz ennyiég áahaázókén öénõ evezeée ehhez hanó éáka eeényez z aáiakan aee éveünk hgy a kéékenyégnek a zgáhz öénõ eköéée ninc zükég áza i i eei a ényege a kéékenyég ai aakvázán keezü ézeünk anyagzekezei kka vezeheõ viza Ha a kéékenyégi eée izikaiag kka eézeee ón unka-aaúnak éeezzük e eeünken knkéan a eáció unkavégzéhez köjük akk egy egeeõ einaikai keeeéeen a ugaa é kéékeny aakvázák eézee ón éeezheõek é záazahaóak áaáu a kéékenyég een az eeen egyége ón kezeheõ a öi einaikai köcönhaáa ai eheõvé ezi hgy a ugaaág vázáainak küönée kai egyzeûen eküöníük üönöen n ez a eógia yaakhz öénõ eézee caóá ia H ea ekinük a egegyzeû ieái kéékenyég eeé aik ) cak az ezüég üggvénye H vannak een az áaán eíó keeen a izikai eevéek? õzö i vegyük éze hgy haá a kéékenyégi haá kijeöõ üggvény cak a ezüégõ ügg keene ón eg zká ani aakvázáó (zgágaienõ) üggõ uái vázaá i éáu ˆ ( ) áan íg ez a üggvény a ugaa aány haáá jeöi ki aig ényegéen inegy eyik ua jájuk e a ) ugaa anyagövény ia a vázócee áaáan egyéeû ( Vizn a vázó egváazáa ne ezõege a uaiának zigú eéeei vannak ezé vaaiyen izikai eée ke keenünk vaóágan ieve az áaunk vizgá áaána az iõei vázáka i ekinee vevõ neegyenúyi keeek közö i ne eéenü a ugaa aányó juunk a kéékeny ( 4

39 aány haááa Ugyani a eógiai viekeének nincenek a kéékenyéghez hanó aányai ik az anyag kéékeny é egyúa a echanikai viekeéé a eheé eeége jeenõen eyája akk a kéékenyégi haá necak a ezüégõ hane a eációó é ezek iõeivájaió i ügg ehá egaái aakú i univ ( H H ) cn znan egy iyen üggvénykaca eiiku kijeöée egyáaán ne viág egy a jeenégeke izán zéváazó eée nékü ( ) kiéiu vázójának kiváazáa az a izikai ekézeé üközi hgy éékenyégi haá az anyag kéékeny viekeée vagyi eõ zekezeének áenezõée vaaiyen kiiku ezüég haááa kövekezik e i eni áaána özeüggé az uaja hgy ez az egyzeû izikai áa kéékenyégi haáeée egyengeyû nyókíée aaján küönözõ ké ne ahaó a ezüég áanó eációeeégû ééekné önagáan cak eciái eeeken zgáa jó kéékenyégi eée eaiku áa uaja hgy a kéékenyégi haá jeenõen ügg a eheé eeégéõ i Vizn úja ( ) jeegû kéékenyégi eée eiiku új eõíáa haá kézenekvõnek ûnik e egyéz ei ne agyaáz eg a jeenégõ áéz hai eeénye vezehe Péáu azé e jekiviái é a einaika áik õéeéõ eeõ egzíáka i igyeee ke vennünk Vizn van yan izikai ennyiégünk aey inezeke a haáka kée igyeee venni é izikaiag i auziii áaáu eciái eekén aaazza a hagyány együk e ugyani hgy a kéékenyégi haá az anyagga közö unkáó ieve ejeíényõ ügg z egy izikaiag iza eée ugaakéékeny anyag eeén egyenéékû cak a ezüége vagy cak a eáció evezeõ eéeekke De nan i ehe a kéékenyégi eée? Munka vagy a ejeíény ugaa unka aziku unka vagy vaai á? z egy aazaai kéé e a aazaa egy eéee ágyazan éékejük een eeen nagyn 4