HŐ- ÉS ÁRAMLÁSTAN I.

Átírás

1 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I.

2 A rojekt címe: Egységesített Jármű- és mobilgéek kézés- és tananyagfejlesztés A megvalósítás érdekében létrehozott konzorcium résztvevői: KECSKEMÉI FŐISKOLA BUDAPESI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGUDOMÁNYI EGYEEM AIPA ALFÖLDI IPARFEJLESZÉSI NONPROFI KÖZHASZNÚ KF. Fővállalkozó: ELVICE KF.

3 Budaesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki Kar Szerkesztette: SÁNA IMRE Írta: GAUSZ AMÁS SÁNA IMRE Lektorálta: VERESS ÁRPÁD HARGIAI L. CSABA Rajzoló: GAUSZ AMÁS SÁNA IMRE HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Egyetemi tananyag 0

4 COPYRIGH: 0-06, Dr. Gausz amás, Dr. Sánta Imre, Budaesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki Kar LEKORÁLA: Dr. Veress Árád, Hargitai L. Csaba Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható. ISBN KÉSZÜL: a yotex Kiadó gondozásában FELELŐS VEZEŐ: Votisky Zsuzsa ÁMOGAÁS: Készült a ÁMOP-4...A/-0/ számú, Egységesített jármű- és mobilgéek kézés- és tananyagfejlesztés című rojekt keretében. KULCSSZAVAK: Hőtan, áramlástan, termodinamikai rendszer, kinetikai gázelmélet, általános gáztörvény, valóságos gázok, hőmennyiség, hőkaacitás, fajhő, a termodinamika első főtétele, gázkeverékek, ideális gázfolyamatok, folyadékok és gázok fizikai jellemzői, a térerősség, otenciál, erőtér, derivált tenzor, kinematika, a fizika megmaradási elvei, hidrostatika, komlex otenciál, örvény, imulzus tétel, Bernoulli-egyenlet, légcsavar, hajócsavar, szélkerék. ÖSSZEFOGLALÁS: A Hő- és áramlástan jegyzet két kötetből áll, ebben, az első részben mind a hőtan, mind az áramlástan első részét tárgyaljuk. A hőtan részben ismertetjük a termodinamikai rendszer fogalmát, a kinetikai gázelmélet alajait, az általános gáztörvényt, a valóságos gázok állaotegyenleteit, a belső energia kinetikai értelmezését, a hőmennyiség, a hőkaacitás, a fajhő fogalmait, a termodinamika első és második főtételét, a gázkeverékeket, a nevezetes ideális gázfolyamatokat. A második, áramlástan részben a folyadékok és gázok fizikai jellemzőit, a térerősséget és a otenciálos erőterekben értelmezhető otenciált, a derivált tenzort, a folyadékok áramlásának kinematikáját, a fizika megmaradási elveinek ide vágó formáit, a hidrostatika alakérdéseit, a komlex otenciálokat, az örvényes áramlásokat, az imulzus tételt és alkalmazásait, a Bernoulli egyenletet és alkalmazásait valamint a légcsavarok, hajócsavarok és szélkerekek számításának alajait ismertetjük. A Hő- és áramlástan jegyzet második kötete az első szerves folytatása: a vonatkozó tananyag elsajátítását az első rész megtanulásával kell kezdeni és csak ezután következhet a második kötet. A második kötet fejezetszámozása tantárgy részenként folytonos: éldául az áramlástan első kötetbeli záró fejezete a 3. fejezet, ezért a második kötetben az áramlástan anyag a 4. fejezettel kezdődik. A kéletszámozás ezzel egyértelmű és természetesen számos hivatkozás történik az első rész kéleteire.

5 HŐAN-I. A Hő- és áramlástan jegyzet két kötetből áll, ebben, az első részben mind a hőtan, mind az áramlástan első részét ismertetjük. A második részben edig az anyag második részének ismertetésére kerül sor. A második kötet az első szerves folytatása: a vonatkozó tananyag elsajátítását az első rész megtanulásával kell kezdeni és csak ezután következhet a második kötet. A második kötet fejezetszámozása tantárgy részenként folytonos: éldául a hőtan első kötetbeli záró fejezete a. fejezet, ezért a második kötetben a hőtan anyag a. fejezettel kezdődik. A kéletszámozás ezzel egyértelmű és természetesen számos hivatkozás történik az első rész kéleteire. Az irodalomjegyzék mindkét hőtan jegyzet résznél azonos, a hivatkozás ezért itt is egyértelmű. A fentiekben vázolt, modulárisnak nevezhető feléítés megengedi a jegyzet részek ittenitől eltérő csoortosítását. Sánta Imre, BME

6 artalomjegyzék HŐAN-I.... i artalomjegyzék... ii A hőtan tárgya és felosztása... ermodinamika I.... A termodinamikai rendszer..... Kölcsönhatások Állaotjelzők Az állaotjelző matematikai értelmezése Az állaotjelzők tíusai A kinetikai gázelmélet alajai Előzmények, hiotézisek, a Brown-féle mozgás Az ideális gáz A nyomás kinetikai értelmezése A hőmérséklet kinetikai értelmezése A sűrűség értelmezése Avogadro törvénye Az általános gáztörvény (Az ideális gáz állaotegyenlete) Valóságos gázok állaotegyenletei Komresszibilitási tényezős alak Viriál egyenletek Van der Waals egyenlete érfogati korrekció Nyomáskorrekció A van der Waals-egyenlet gyökeinek elemzése A belső energia kinetikai értelmezése Az ideális gáz molekuláinak közees kinetikai energiája Az ideális gáz belső energiája Hőmennyiség, hőkaacitás, fajhő A fajhők tíusai a vonatkoztatási anyagmennyiség egysége szerint A fajhők átszámítása Fajhők a hőközlési folyamat sajátossága szerint Valódi és közees fajhő A fajhő fizikai tartalma Sánta Imre, BME

7 ARALOMJEGYZÉK iii Az ideális gáz fajhője Valóságos gázok fajhője A termodinamika első főtétele Zárt rendszer Zárt rendszer munkája Belső energia Nyitott rendszer A nyitott rendszer munkája orlóonti entalia, statikus entalia Az entróia s diagram Gázkeverékek A gázkeverék összetételének megadási módjai Dalton törvénye, az alkotók arciális nyomása A gázkeverék gázállandója Gázkeverék látszólagos (átlagos) molekulatömege Gázkeverék fajhői A gázkeverék belső energiája és entaliája Ideális gázok adiabatikus keveredése Keveredés zárt rendszerben Keveredés nyitott rendszerben Entróiaváltozás a keveredés során Nevezetes ideális gázfolyamatok Izochor (v = állandó) folyamat Izobár ( = állandó) folyamat Izotermikus ( = állandó) folyamat Ideális adiabatikus folyamat (q,, q = 0) Politróikus folyamat (c n = állandó) Politróikus folyamatok és munkáik ábrázolása Politróikus folyamatok ábrázolása - v és - s diagramban Belsőenergia- és entaliaváltozás ábrázolása - s diagramban Munkák ábrázolása - s diagramban Seciális feladatok az I. főtétel témaköréből Nem olitróikus folyamatok Jendrassik-indítás elve Változó tömegű rendszerek A kiáramlás állandó hőmérsékletű tartályból A kiáramlás során a tartályban lévő gáz nyomása állandó marad A kiáramlás során a tartályban lévő gáz olitróikus (n = állandó) állaotváltozást szenved Nem egyensúlyi adiabatikus folyamat Gázoszlo lengése (légrugó)... 8 Sánta Imre, BME

8 iv HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I.. A termodinamika második főtétele A második főtétel jelentősége Reverzibilis és irreverzibilis folyamatok A hő folyamatos (ciklikus) munkává alakításának feltétele A körfolyamatok gazdaságosságának megítélése A termodinamika második főtételének megfogalmazásai... 4 Irodalomjegyzék Ábrajegyzék Sánta Imre, BME

9 A hőtan tárgya és felosztása E jegyzet hőtan része a fizika hőtan fejezetének a műszaki gyakorlatban való alkalmazása. árgya a szilárd, folyékony és gáz halmazállaotú testek melegedése és lehűlése, valamint a közben lejátszódó energiacserék, folyamatok vizsgálata. Fő fejezetei: ermodinamika a gázok jellemzőinek azokat a változásait vizsgálja, melyek a hőközlés, térfogatváltozás, áramlás során keletkeznek. Kacsolatot teremt a termikus (hő), mechanikai és kémiai folyamatok között. Bázisa két alatörvény: a termodinamika első és második főtétele. (Ezen kívül a nulladik és harmadik főtételek említhetők meg. A harmadik főtétel csak a kémiai termodinamikában használatos). Hőközlés két rendszer (test) közötti termikus kölcsönhatás. Formái: vezetés, hőátadás, hőátbocsátás és sugárzás, valamint ezek kombinációja az összetett hőátvitel. ermodinamika I. A termodinamikai rendszer Rendszer Rendszerhatár.. ábra A rendszer és környezete A termodinamikában a vizsgálat tárgya a rendszer. A rendszeren kívül eső testek és közegek alkotják a rendszer környezetét. A rendszer és környezete között húzódik a rendszerhatár (.. ábra). A rendszerhatár a vizsgálat tárgyától függően lehet valós és kézeletbeli (melyet bizonyos esetekben ellenőrző felületnek nevezünk), továbbá lehet állandó és időben változó (.. ábra). Sánta Imre, BME

10 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A rendszereket különböző szemontok szerint csoortosíthatjuk. A rendszer és környezete közötti közegcsere alaján lehetnek: - zárt rendszer a rendszer és környezete között nincs közegcsere (.. ábra), m Rendszer Rendszer m Állandó rendszerhatár Változó rendszerhatár.. ábra Zárt rendszer - nyitott rendszer a rendszer és környezete között közegcsere van (.3. ábra). m Q m - tömegáram Rendszerhatár P R - teljesítmény c < R - rendszer m Q P - hőáram.3. ábra Nyitott rendszer A rendszer és környezete közötti energetikai kölcsönhatás (a továbbiakban kölcsönhatás) szerint a rendszer lehet: - szigetelt (energiacsere a rendszer és környezete között nincs), - szigeteletlen (energiacsere a rendszer és környezete között van), Sánta Imre, BME

11 . A ERMODINAMIKAI RENDSZER 3 - részlegesen szigetelt (az energiacsere valamilyen formában korlátozott). Pl. hőszigetelt (adiabatikus) rendszer a hőcsere a rendszer és környezete között kizárva. A merev határokkal rendelkező állandó térfogatú rendszer esetében a rendszer és környezete között a nem lehetséges munkavégzés. Összetétel (szerkezet) szerint a rendszerek lehetnek: - homogén (mind összetétel, mind fizikai feléítés szerint egynemű, a rendszeren belül nincs elhatároló felület), - heterogén (néhány egynemű, különböző fizikai tulajdonsággal rendelkező részből áll) Állaot szerint a rendszer lehet: - Egyensúlyi (a rendszeren belül makroszkoikus energiaátadás nincs). A rendszer egyensúlyi állaota lehet - termikus (a hőmérséklet mindenütt azonos), - mechanikai (a nyomás mindenütt azonos), - kémiai (a rendszerben nem játszódik kémiai reakció). Amennyiben mindhárom feltétel teljesül termodinamikai egyensúlyról beszélünk. - Nem egyensúlyi (a felsorolt feltételek valamelyike nem teljesül)... Kölcsönhatások A termodinamikai rendszer és környezete között a gyakorlatban kétféle kölcsönhatást (energiacsere a rendszer és környezete között) különböztetünk meg: - munkavégzés (mechanikai munka) az anyag rendezett, szervezett mozgásának átadása, - hőközlés a rendszer és környezete közötti termikus kölcsönhatás, a rendezetlen részecskemozgás energiájának átszármaztatási módja hőcsere a rendszer és környezete között. Amennyiben a rendszer és környezete között kölcsönhatás lé fel, a rendszer állaota megváltozik. A rendszer állaotának megváltozása a termodinamikai (termikus) folyamat. A folyamatot megvalósító állaotok szerint a folyamatok lehetnek: - egyensúlyi (egyensúlyi állaotokon keresztül lejátszódó) folyamat, Sánta Imre, BME

12 4 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. W, > 0 W, < 0 - nem egyensúlyi folyamat (a valóságos folyamatok nem egyensúlyiak). Komromisszum az u.n. kvázisztatikus folyamat mely a végtelen kis sebesség helyett véges, de igen kis sebességgel az egyensúlyi állaottól igen csekély eltéréssel lejátszódó folyamat. R A kölcsönhatás során átszármaztatott energia (hő, munka) előjele az energiaáramlás irányától függ. antárgyunkban, ha a hő a rendszerbe bevezetésre kerül ozitív, ellenkező esetben negatív előjelűnek tekintjük. Hasonlóan ozitív az a munka, amelyet a környezet végez a rendszeren és negatív, ha a rendszer végzi a környezetén (.4. ábra). Amennyiben ezt az előjelszabályt betartjuk, a továbbiakban levezetésre kerülő termodinamikai egyenleteink előjelhelyesen szolgáltatják e mennyiségek értékeit... Állaotjelzők Q, > 0 Q, < 0.4. ábra Hőmennyiség és a munka előjele A rendszer állaotát egyértelműen meghatározó fizikai araméterek az állaotjelzők. Egy jellemző mennyiség akkor állaotjelző, ha véges változása a folyamat útjától függetlenül csak a kezdeti és végállaottól függ. Annak, hogy egy jellemző ennek a követelménynek eleget tegyen, matematikai feltétele van. A továbbiakban ezt a matematikai feltételt határozzuk meg, valamint az állaotjelzők tíusait foglaljuk össze.... Az állaotjelző matematikai értelmezése Az állaotjelző matematikai értelmezéséhez elevenítsük fel a matematikában a vonalintegrálról tanultakat. Az x ydx Nx ydy M,, (.) kifejezés vonalintegrálja a C görbe (.5. ábra) mentén Sánta Imre, BME

13 . A ERMODINAMIKAI RENDSZER 5 y A B M A x, ydx Nx, ydy (.) C C x.5. ábra Vonalintegrál két görbe mentén B (C ) Ahol a görbe x xt, dx xt dt, (.3) y y( t), dy y( t) dt. araméteres alakban adott. Az integrálás határai t A -ra, illetve t B -re módosulnak. Az integrál értékét a (.3) kifejezések helyettesítésével határozhatjuk meg: t t B A M xt yt x t Nxt, yt y t, dt. (.4) A teljes differenciál vonalintegrálja A és B ontok között a C görbe mentén B A d, (.5) vagyis értéke csak a kezdeti és végonttól függ, vagyis független a görbék menetétől. A x, y függvény teljes differenciálja Sánta Imre, BME B A d dx dy (.6) x y alakú kifejezés. A teljes differenciál sajátossága, hogy a dx együtthatójának y szerinti deriváltja megegyezik a dy együtthatójának x szerinti deriváltjával. Az (.) kifejezés akkor teljes differenciál, ha teljesül a feltétel. M y N x (.7)

14 6 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Az (.5) egyenletből következőleg a teljes differenciál vonalintegrálja az A és B végontok között független attól, hogy milyen görbe mentén veszszük. Amennyiben meghatározzuk függvény teljes differenciáljának integrálját a B és A végontok között (C görbe), kajuk A B d. (.8) A C és C görbék által alkotott zárt görbe menti integrál így Vagyis a teljes differenciál körintegrálja zérus. B A A B d d d 0. (.9) A Az állaotjelző értéke csak a rendszer állaotától függ és független az állaothoz vezető folyamattól. (Itt van az analógia az állaotjelző változása és vonalintegrál között). Ebből, illetve a fentiekből következik, hogy amennyiben egy araméter elemi változása teljes differenciál, akkor ez a araméter állaotjelző. Ez a körülmény az állaotjelző matematikai feltétele. B... Az állaotjelzők tíusai Amennyiben az állaotjelző értéke független a rendszerben foglalt anyagmennyiségtől vagyis értéke a rendszer minden részében azonos intenzív állaotjelzőkről beszélünk (l. nyomás, hőmérséklet). Az anyagmennyiségtől függő állaotjelzők az extenzív állaotjelzők (l. térfogat, tömeg, belső energia, entalia, entróia). A termodinamikában a rendszer állaotának jellemzésére a fajtérfogatot, nyomást és a hőmérsékletet használjuk, ezért ezeket termikus állaotjelzőknek nevezzük. Az állaotjelzők másik csoortja a kalorikus állaotjelzők csoortja (l. belső energia, entalia, entróia). Sánta Imre, BME

15 . A kinetikai gázelmélet alajai Jegyzetünk fenomenológiai szemléletű tárgyalásmódjának axiomatikus feléítése a mindenre logikai érvet kereső elme számára méltán idegenszerű. Ennek az érzetnek enyhítése végett megadjuk néhány kulcsfontosságú makroszkoikus fogalomnak (l. nyomás, hőmérséklet, belső energia, stb.) a mélyebb fizikai háttérre jobban rávilágító mikrofizikai értelmezését. Most a kinetikai gázelmélet alajait a teljesség igénye nélkül csak e cél eléréséhez kellő mélységig fogjuk bemutatni... Előzmények, hiotézisek, a Brown-féle mozgás Az anyag atomos szerkezetéről alkotott elkézelés már az ókorban létezett és az évszázadok során különböző formában fogalmazódott meg. Ezek az elkézelések azonban a XIX. század közeéig meglehetősen naivak voltak. Kivételt kéez D. Bernoulli munkássága, aki 738-ban felismerte, hogy a gázok legfontosabb tulajdonságait levezet-hetjük, ha feltételezzük, hogy a gázok molekulái úgy viselkednek, mint kis rugalmas golyók, amelyek megszakítás nélküli és teljesen rendezetlen mozgásban vannak. Ez azt jelenti, hogy a molekulák mozgása szemontjából egyik irány sincs kitüntetve, mozgásuk irány.. ábra A folyadékban szuszendált részecske mozgása szerint egyenletesen oszlik el. Mozgás közben a molekulák a gázt határoló szilárd fallal és egymással is rugalmasan ütköznek. A molekulák rendezetlen mozgásának legszebb taasztalati bizonyítéka a Brown angol botanikus által 87-ben észlelt jelenség. A molekuláris mozgás láthatóvá tehető, ha valamilyen folyadékban annak molekuláihoz kéest nagy, de abszolút méretüket tekintve igen kicsiny szilárd részecskéket szuszendáltatunk és az utóbbiakat mikroszkó alatt szemmel követjük. A folyadékmolekulák rendezetlen mozgásuk közben ütköznek a szuszendált részecskével, amely az őt ért különböző irányú és abszolút értékű imulzusok hatására ide-oda lökődve teljesen rendszertelenül a Sánta Imre, BME

16 8 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. legnagyobb összevisszaságban mozog a mikroszkó látómezejében (lásd a.. ábrát). ermészetesen a többi szilárd részecske is hasonló hatást szenved el és kvalitatíve hasonló mozgást végez. A részecske méreteit növelve, mozgása mindinkább csökken, majd megszűnik. A nagyobb méretű részecskével ütköző sokkal több molekula hatása statisztikusan kiegyenlíti egymást, másrészt a részecske nagyobb tömege révén egy nekiütköző molekula hatására csak nagyon kicsit mozdul el. A részecskéknek ezt a rendezetlen mozgását nevezzük Brown-féle mozgásnak, amely nem azonos a molekulák kaotikus hőmozgásával, hanem annak méreteiben nagyított, temójában lassított kée. A mikroszkó alatti megfigyelés szerint a folyadék hőmérsékletének emelkedésével a Brown-féle mozgás intenzívebbé válik, amelyből az a fontos következtetés vonható le, hogy a molekulák átlagos sebessége a hőmérséklet emelkedésével növekszik A makroszkoikus anyag molekuláris feléítésének elmélete a XIX. század második felében főként Clausius, Maxwell és Boltzmann munkássága nyomán indult erős fejlődésnek. evékenységük adta meg a kinetikai gázelmélethez az alaokat. Minthogy ebben az időben a modern elméleti mechanika még nem jelent meg, a kinetikai gázelmélet a klasszikus newtoni mechanika tételeit használta fel. Nem véletlen, hogy a kinetikai elmélet eredményei a gázhalmazállaotú anyaghoz kötődnek, ugyanis a gázoknál jelentik a valóság legjobb megközelítését azok a hiotézisek, amelyek segítségével a klasszikus mechanika egyáltalán alkalmazható volt a molekuláris mozgás modellezésére. A kinetikai gázelmélet sikerei az idealizált modell mellett elsősorban annak köszönhetők, hogy a newtoni mechanika általános elveit statisztikusan érvényre jutó valószínűségi elvekként fogta fel. A továbbiakban a kinetikai gázelmélet által feltételezett anyagmodellt és annak viselkedésmódját ismerjük meg. Ez a modell az ideális gáz... Az ideális gáz A valóságos gázok molekulái közötti eredő erőhatás aszimtotikus menetéből (4.. ábra) arra következtethetünk, hogy az anyag a molekulák közti közees távolság növekedésével egyre jobban közelít egy olyan állaothoz, amelyben a molekulák között sem vonzó, sem taszító erők Sánta Imre, BME

17 . A KINEIKAI GÁZELMÉLE ALAPJAI 9 nem ébrednek, s így a mikroszkoikus mozgás kinetikai energiája mellett a kölcsönhatás otenciális energiája elvi szigorúsággal elenyészik. Ezt az állaotot ideális gázállaotnak nevezzük. Ez olyan határállaot, amelyhez végtelen ritkítás esetén minden valóságos gáz közelít. Nyilvánvaló, hogy ilyen körülmények között a molekulák saját térfogata a gáz által betöltött térhez kéest elhanyagolhatóvá válik. Az ideális gáz esetében a molekulákat kiterjedés nélküli tömegontokként kezeljük, amelyek csak mozgási energiával rendelkeznek és energiájukat ütközések sorozatán adják át egymásnak. Az ideális gáz tehát egy anyagmodell, amely a valóságban nem fordul elő (mint ahogyan a kontinuum, a merev test és az inkomresszibilis közeg sem). A valóságos gázok annál inkább hasonlóak viselkedésükben az ideális gázhoz, minél távolabb vannak a csefolyósodás állaotától, vagyis minél ritkábbak és hőmérsékletük minél nagyobb. Amennyiben a kinetikai gázelmélet anyagmodellként az ideális gázt használja, annyiban eredményeit közelítésnek kell tekintenünk. De a bevezetőben mondottak szerint e közelítés kielégítő lesz számunkra..3. A nyomás kinetikai értelmezése Makroszkoikus szóhasználattal nyomáson az egységnyi felületre ható merőleges erőt értjük. A kinetikai gázelmélet szerint a nyomás a molekuláknak a gáztömeget határoló edény falához való ütközéséből eredő mechanikai hatások statisztikai átlaga egységnyi felületre vonatkoztatva. Dimenziója: erő er felület. A rendezetlen (kaotikus) mozgás során a molekulák az edény falának ütközve, arra ugyanolyan hatást fejtenek ki, amilyet a céltáblára rugalmasan becsaódó és onnan rugalmasan visszaattanó lövedékek okoznának... ábra A lövedék becsaódásának hatása a céltáblára Vizsgáljuk meg ezt a jelenséget közelebbről. Az elmozdítható céltáblát tá- Sánta Imre, BME

18 0 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. masszuk meg a.. ábrán látható módon rugóval úgy, hogy egyensúlyi helyzetében a skálán 0 onttal jelzett helyzetben legyen. Egyetlen lövés hatására a tábla kilendül a lövedék sebességétől és tömegétől függő mértékben, majd a 0 ont körül rezgéseket végez. Ha állandóan lövedékek érik a céltáblát, az nem tud 0 helyzetébe visszajutni, hanem egy bizonyos F erőnek megfelelő közees kitérés körül ingadozik. Ha növeljük a másodercenként érkező lövedékek számát, és egyidejűleg egy lövedék imulzusát ugyanolyan arányban csökkentjük, az ingadozások egyre kisebbek lesznek ugyanazon közees érték körül. eljesen jogosan beszélhetünk tehát egy, a becsaódó lövedékek okozta állandó erőről, vagy azt a felületegységre vonatkoztatva állandó nyomásról. Az edény falának ütköző z gázmolekulák óriási száma N db molekula miatt mindez még fokozottabban érvényes a gáz nyomására. Ezek után határozzuk meg a gáz e nyomását c i b x.3. ábra Az ideális gáz nyomásának meghatározásához kiválasztott rendszer V abe térfogatú edényben N db, egyenként m töme- Legyen ebben a gű molekula. a y molekuláris jellemzőkből kiindulva. A levezetéshez vegyünk egy a,b,e élméretű derékszögű hasáb alakú edényt, amelyben egyensúlyi állaotú ideális gáz van (.3. ábra). ermészetesen a levezetés bármilyen alakú edényre, sőt edény nélkül is elvégezhető. Vizsgáljuk meg az i-edik molekula mozgását, mely az edény ábra szerinti x tengelyre merőleges hátsó fala felé tart. A molekula sebessége legyen c i. Ez a molekula elérve a falat nekiütközik, majd a rugalmas ütközés törvényei szerint visszaattan. Közben a molekula imulzusa (mozgásmennyisége, lendülete) megváltozik. (Feltételezzük, hogy egy adott időillanatban csak egy molekula ütközik a falhoz.) Sánta Imre, BME

19 a. A KINEIKAI GÁZELMÉLE ALAPJAI Ez az imulzusváltozás az imulzus tétel értelmében egy a falra ható erőt eredményez, melyet három összetevője alaján határozhatunk meg. Az imulzus három tengely irányú összetevője: I ix m' c ix, I iy m' ciy, I iz m' ciz. (.) Végezzük el a falra ható erő x tengely irányú összetevőjének meghatározását. Az imulzus tétel értelmében írható: x c ix c i b a.4. ábra Az i-edik molekula mozgása két ütközés között F Sánta Imre, BME ix t I m' c, (.) ix minthogy a molekula x irányú sebesség összetevője cix -ről cix -re változik. Itt t az ütközés (sebességváltozás) időtartamát jelöli. A nyomást nem ebből a illanatnyi erőből, hanem átlagos erőhatásból származtatjuk. Ezért határozzuk meg a molekula ugyanazon edényfalba történő két ütközése közötti eltelt idő alatti átlagos erőhatását Kövessünk a molekula útját a.4. ábra szerint. A molekula eljut a szembeni falhoz, nekiütközik, majd esetleg az oldalfalhoz történő ütközése után visszajut a kiindulási falhoz. A két ütközés között eltelt idő a. Így a két ütközés közötti átlagos erőhatást az c ix Fix m' c ix (.3) egyenlet alaján definiálhatjuk, melyből a behelyettesítése után megkajuk az i-edik molekula által az edény x tengelyre merőleges falára kifejtett erő x irányú komonensét: F ix m' c ix m' c a ix ix. (.4) Az N db molekula által kifejtett átlagos összes x irányú erőhatás

20 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. m' cix F, (.5) a N x i a felületegységre ható nyomóerő (nyomás) illetve figyelembe véve, hogy V=abe, F N x m' x cix be abe, (.6) i m' N x c ix V i A többi tengelyre nézve hasonló eredményre jutunk y i. (.7) N m' ciy, (.8) V m' N z c iz V i. (.9) Mivel a nyomás a taasztalat szerint minden irányban azonos A (.7)-(.9) egyenleteket összeadva kajuk. (.0) x y N c ix ciy ciz i z m' 3. (.) V Felhasználva, hogy c i c ix c iy c iz, a nyomás értéke 3 m' V N c i i Bevezetve a sebességnégyzetek átlagát, írhatjuk m' N 3 V N i N c i. (.) m' nc 3, (.3) ahol n - a térfogategységben statisztikusan tartózkodó molekulák száma (más néven: molekula-koncentráció). A molekulák átlagos mozgási energiája (ez haladó mozgás) Sánta Imre, BME

21 . A KINEIKAI GÁZELMÉLE ALAPJAI 3 ezzel a nyomás értéke m' c w kin, (.4) n w kin (.5) 3 Ez az egyenlet a kinetikai gázelmélet Clausius által levezetett alaegyenlete, amely szerint a gáz nyomása az egységnyi térfogatban lévő molekulák haladó mozgásából számított mozgási energiájának összegével számítható. (Az összes energiát az átlagérték és az átlagolt értékek darabszámának szorzataként kajuk meg.) A (.5) egyenlet fontos mondanivalója, hogy a gáz nyomása számszerűleg egyenlő az egységnyi térfogatban lévő molekulák haladó mozgásából számított összes mozgási energia /3 részével. A gázok nyomása a felület irányításától független skaláris mennyiség. SI egysége a Pascal (Pa), Pa = N/m. Gyakran használatos a mértékrendszeren kívüli egység a bar is. bar = 0 5 Pa. A nyomást folyadékoszlo magassággal is megadhatjuk, l. U-csöves manométerrel történő nyomásmérés esetén (mmhg-oszlo, mmh 0- oszlo), melyből a Pa-ban kifejezett nyomás (vagy nyomáskülönbség) a hidrosztatika m h.5. ábra U-csöves manométer mg h alakú egyenlete segítségével határozható meg, ahol a jelölések a.5. ábra szerintiek: m a mérőfolyadék sűrűsége [kg/m 3 ], g nehézségi gyorsulás [m/s ], h a folyadékoszlo magassága [m]. mmhgo.=33,3 Pa. Angolszász nyomásegység: PSI Pound-er-square inch bar =4,504 si. Megkülönböztetünk abszolút nyomást, túlnyomást és vákuumot. Ezek értelmezése a.6. ábrából következik. Sánta Imre, BME

22 4 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. tú ln yomás abszolút vákuum atmoszférikus abszolút 0 Az abszolút nyomás az abszolút vákuumhoz (molekulák nélküli üres tér) kéesti nyomás. Az atmoszférikus nyomáshoz kéesti nyomástöbbletet túl-nyomásnak nevezzük. Az abszolút nyomást az atmoszférikus és a túlnyomás összegeként számítjuk: abszolút atmoszférikus túlnyomás Amennyiben a nyomás kisebb, mint az atmoszférikus vákuumról beszélünk. Ebben az esetben az abszolút nyomás: abszolút atmoszféri kus vákuum..6. ábra Nyomások értelmezése.4. A hőmérséklet kinetikai értelmezése A hőmérséklet fizikai mibenlétének a kinetikai gázelmélet alaján történő értelmezéséhez vegyünk egy szigetelt hengert (.7. ábra), melyben a hőáteresztő dugattyú súrlódás nélkül, szabadon elmozdulhat. A dugattyú két oldalán legyen két azonos, vagy különböző ideális gáz. A baloldali gáz jellemzőit jelöljük -es, míg a jobboldaliét -es indexszel. A dugattyú mechanikai egyensúlyának feltétele a két oldalról ható nyomások egyenlősége: Sánta Imre, BME

23 . A KINEIKAI GÁZELMÉLE ALAPJAI 5 vagy a (.3) alaján n. (.6) m c nm c A Brown-féle mozgás tanulságai szerint az egyensúly tartós fennállása csak a két gáz hőmérséklet azonossága esetén biztosítható:. A számítások egyszerűsítése céljából a dugattyú molekuláris szerkezetétől eltekintünk. A jobbról és balról a dugattyút érő ütközések az idő átlagában kiegyenlítik egymást, bár egy-egy illanatban nincs egyensúly és a dugattyú szüntelen oda-vissza mozgást végez. (V.ö. a.. ábrával.) Feltételezzük hogy a gázok nyomása a dugattyú mindkét oldalán olyan kicsi, hogy minden illanatban csak egy molekula ütközik a dugattyúval. m c i m d x c j m (Pontosabban az egyidejű ütközések száma az egyes ütközések számához kéest elhanyagolható.) Vizsgáljuk meg az első gáz valamelyik (i-edik) molekulájának a mozgó dugattyúval történő ütközését. A henger hossztengelye mentén (x irány) elmozduló dugattyú sebessége ütközés előtt legyen u, míg ütközés után u. A molekula sebességkomonenseit jelöljük analóg módon, illetve c ix -szel, a dugattyú tömegét.7. ábra A hőmérséklet levezetéséhez választott rendszer md -vel. c ix Sánta Imre, BME

24 6 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Az ütközés során az imulzus-megmaradás elve és az abszolút rugalmas ütközés miatt a kinetikai energia megmaradás törvénye érvényes: m c mc ix mdu mcix mdu, (.7) ix md u m c ix melyekből a molekula ütközés utáni sebessége c m u ( m md m) c u, (.8) d d ix ix. (.9) md m A molekula x tengely irányú sebességének megfelelő kinetikai energia az ütközés után m c m ix 4mdu 4md m md m ucix md m m d c ix. (.0) Az első gáz minden molekulájának ütközésére felírva ezt a kifejezést, majd összeadva és elosztva az ütközések számával (azaz a molekulák számára átlagolva) kajuk [elvégezzük a (.0) kifejezés átlagolását]: md m m m 4md u cx m d m c x. (.) Itt figyelembe vettük, hogy a hőcsere makroszkoikus folyamata a két gáz között a hőmérséklet-egyenlőség következtében szünetel, így a dugattyú közees sebessége zérus. A dugattyú rendezetlen rezgőmozgást végez egyensúlyi helyzete körül, vagyis a sebessége azonos valószínűséggel veszi fel a ozitív és negatív értékeket. Ezért az uc x szorzat átlagértéke zérus lesz. Mivel a két gáz között nincs hőcsere, a vizsgált gáz energiatartalma és ami vele arányos a molekulák átlagos kinetikai energiája az ütközés következtében nem változik meg: egyensúlyi állaotban az ütközés előtti átlagos kinetikai energia megegyezik az ütközés utánival, vagyis m 4md u m d m d m m Ebből egyszerű átalakítások után kajuk, hogy c x m c x. (.) Sánta Imre, BME

25 . A KINEIKAI GÁZELMÉLE ALAPJAI 7 m c m u d x. (.3) A fenti gondolatmenetet alkalmazva a második gázra is nyilvánvalóan hasonló eredményt kaunk: m md u cx. (.4) A kaotikus molekuláris mozgás során nincs kitüntetve egyetlen mozgásirány sem, mindegyik egyformán valószínű. Ezért c x c c, (.5) y z tehát m c m c, (.6) ami azt jelenti, hogy a két gáz molekuláinak rendezetlen haladó mozgásából származó átlagos kinetikai energia egyenlő. Ez az eredmény csak a és hőmérsékletek egyenlőségének következménye lehet. A nyomás egyenlősége ugyanis a (.5) egyenlet szerint az átlagos kinetikai energia egyenlősége mellett feltételezi az egységnyi térfogatban lévő molekulák számának egyezését is. Ez utóbbi követelmény azonban nem szereelt a levezetés kiinduló feltételei között. Végeredményben tehát arra a megállaításra jutottunk, hogy a különböző gázok, molekuláinak haladó mozgásából számított átlagos kinetikai energiája a termikus egyensúly állaotában azonos. Ebből következik, hogy a gázok abszolút hőmérséklete () és a molekulák haladó mozgásából számított átlagos kinetikai energia egymással arányos, vagyis ahol minden gázra nézve állandó tényező. w kin. hal, (.7) Ilyen módon az abszolút hőmérsékletet, mint a molekulák haladó mozgásból származó közees kinetikai energiájának mértékét definiálhatjuk. A mindjobban csökkenő hőmérséklettel a molekulák mozgása gyengül, és az u.n. abszolút nullaont hőmérsékletén szabályos térbeli elrendezésben Sánta Imre, BME

26 8 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. csaknem tökéletesen nyugvó molekulákhoz jutunk. (Megjegyezzük, hogy a mai ismereteink szerint még az abszolút nullaonton sem szűnik meg a mozgás tökéletesen.) Az abszolút nullaont hőmérséklete a Celsius hőmérsékleti skálán -73,5 C. Az abszolút hőmérséklet SI egysége a K (Kelvin). K hőmérsékletkülönbségnek megállaodás szerint C hőmérsékletkülönbség felel meg, ezért a Kelvinben mért abszolút hőmérséklet () és a Celsius-fokban mért hőmérséklet (t) között az alábbi összefüggés áll fenn: o K, 5 t C 73. (.8) A hőmérsékletkülönbség a két egységben azonos értékű ( = t). A termodinamikában előforduló kifejezésekben mindenütt az abszolút hőmérséklet szereel, a gyakorlatban azonban a hagyományoknak megfelelően egyéb skálák is elterjedtek. Ezek a nullaérték megválasztásában, illetve az osztásértékekben térnek el egymástól (.8. ábra). Ezek a hőfokskálák: az euróai kontinensen használatos Celsius skála ( C), illetve az angolszász országokban elterjedt Fahrenheit ( F) és Rankine (R) skála. A Celsius és Fahrenheit skála között a következő összefüggés érvényes: o o 5 40; 9 o o F C C F ábra Hőmérsékleti skálák (.9) 5 A Fahrenheit skála osztásainak megfelelő abszolút hőmérsékleti skála a Rankine (R) skála Sánta Imre, BME

27 . A KINEIKAI GÁZELMÉLE ALAPJAI 9 o R, 69 t F 459. (.30) A Kelvin és Rankine skálák között az átszámítási összefüggés: 5. (.3) 9 K R A különböző hőfokskálák összehasonlítása a.8. ábrán látható..5. A sűrűség értelmezése Az anyag fontos makroszkoikus jellemzője a sűrűség. A sűrűségen az egységnyi térfogatú közeg tömegét értjük: tömeg. (.3) térfogat A kinetikai gázelmélet szerint a sűrűség az egységnyi térfogatban statisztikusan tartózkodó molekulák összes tömege. He egy molekula tömege m, akkor nm. (.33) A sűrűség SI egysége: kg/m 3. A sűrűség reciroka a fajtérfogat, vagyis az egységnyi tömeg által betöltött, térfogat: térfogat v. (.34) tömeg mn Mértékegysége ebből következőleg m 3 /kg. A termodinamikában inkább a fajtérfogatot használják, az áramlástanban edig a sűrűséget. A két mennyiség a (.34) szerint bármikor könnyen átszámítható..6. Avogadro törvénye Legyen két különböző gáz térfogata, nyomása és hőmérséklete azonos (.9. ábra). Legyen az egyik gáz molekuláinak tömege, négyzetes közé- sebessége és molekuláinak száma sorra m, c, és N a másiké m, c, és N. Sánta Imre, BME

28 0 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. N N Mivel a hőmérséklet azonos, a két gáz molekuláinak közees kinetikai energiája megegyezik: m c m c a nyomások egyenlőségéből, a (.5) alaján következik, (.35) n wkin n w kin. (.36) 3 3 A két egyenlet egybevetéséből azonnal kajuk, hogy n n n, illetve a két térfogat egyenlőségéből következőleg V.9. ábra A vizsgált két rendszer N N N. (.37) Ez Avogadro törvénye, mely szerint az azonos hőmérsékletű és azonos nyomású gázok egyenlő térfogataiban lévő molekulák száma a gáz mineműségétől függetlenül egyenlő. = 73,5 K hőmérsékleten és = 035 Pa nyomáson (fizikai normálállaotban) az cm 3 térfogatban lévő molekulák száma n o =, a Loschmidt-féle szám. Két azonos nyomású és hőmérsékletű gáz nm és a nm sűrűségének és fajtérfogatának aránya m, (.38) m illetve Sánta Imre, BME

29 . A KINEIKAI GÁZELMÉLE ALAPJAI Az utóbbi arány szerint tehát az v. (.39) v m, (.40) v mv m v szorzat azonos nyomás és hőmérséklet esetén minden gázra egyenlő. artalmának közelebbi megvilágítására definiáljuk először a relatív molekulatömeg továbbiakban molekulatömeg fogalmát. Molekulatömegen méretnélküli viszonyszámot értünk (relatív molekulatömeg), amely azt mutatja meg, hogy a kérdéses molekula tömege hányszorosa az u atomi tömegegységnek, amely a C szénatom-izotó tömegének / részével egyenlő. u 66, 0 kg 7. A gáz relatív molekulatömege az hányados. m' M (.4) u Ha most a gázból annyi kilogrammnyi tömeget veszünk, mint amennyi a relatív molekulatömege vagyis M kilogrammnyi tömeget akkor azt mondjuk, hogy a gáz kilomoltömegnyi röviden: kilomolnyi (kmol)- mennyiségével rendelkezünk. A kilomoltömeg számértéke megegyezik a molekulatömeg számértékével, de nem méretnélküli, hanem kg/kmol mértékegységű szám. A kilomolnyi mennyiségben lévő molekulák száma N M kmol ukg M kg / M 6,03 0 u 6 (/kmol). (.4) Mondhatjuk tehát, hogy a gáz kilomoltömegében kilomolnyi mennyiségében lévő molekulák száma minden gázra azonos és ez az Avogadroféle számnak nevezett N M = 6, (/kmol) mennyiség. Ezzel megfogalmazhatjuk Avogadro törvényének másik definícióját: A különböző gázok kilomolnyi mennyiségeiben 6, molekula van. Amennyiben egybevetjük a két definíciót, vagy a (.40) egyenletet N M -el szorozva kajuk Sánta Imre, BME

30 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. N M NM m v VM, (.43) m v megfogalmazhatunk egy harmadikat: a különböző gázok kilomolnyi mennyiségei azonos nyomáson és hőmérsékleten azonos térfogatúak, vagyis ezen feltételek mellett a különböző gázok kilomoltérfogata (V M ) azonos. A V M mértékegysége tehát m 3 /kmol. Ez a térfogat =73,5 K hőmérsékleten és = 035 Pa nyomáson V M =,44 m 3 /kmol. Példa: Egy hengert a benne súrlódás nélkül elmozduló dugattyú két azonos részre osztja, ahol az egyikben kg hidrogén a másikban széndioxid van. ermodinamikai egyensúly esetén meghatározandó: a) m CO =?; b)n CO =?; c) t = 7 o C esetén a c? CO R M =834 J/(kmol K), N A =6, /kmol, M CO =44, M H =. Megoldás: CO H a) Avogadro törvényéből következőleg a CO kilomolszáma megegyezik a H kilomolszámával, így m CO = 0,5M CO = 0,544 = kg. V melyből b) A fél kilomol széndioxidban N CO = 0,5N A = = 0,56,030 6 =3,050 6 db molekula van. c) A CO molekulák haladó mozgásból számított átlagos mozgási energiája mc w kin hal 3 k R 834. M 44 M c ,38 m / s CO 3 R N M A, Sánta Imre, BME

31 3. Az általános gáztörvény (Az ideális gáz állaotegyenlete) A kinetikai gázelmélet alaegyenletét elméleti úton vezettük le, de az elméleti eredményeket mindig kísérletileg is ellenőrizni kell. Jelen esetben az ellenőrzés módja az lesz, hogy megnézzük, származtatható-e a taasztalati úton nyert v R (3.) alakú általános gáztörvény a kinetikus gázelmélet alaján? E célból helyettesítsük be a kinetikus gázelmélet (.5) alaegyenletébe - a (.34) egyenletből kifejezett n molekula-koncentrációt a gáz v fajtérfogatával és - a w ~ kin átlagos mozgási energiát (.7) összefüggésből n wkin wkin. (3.) 3 3 mv 3 mv Ebben az egyenletben, és ezzel a gáz mineműségétől független ál- 3 landó mely a k (3.3) 3 kifejezés szerint számítható, Boltzmann-féle állandó elnevezést kata (k=, J/K). Ezt behelyettesitve (3.)-be és átrendezve, kajuk v k m Boltzmann-féle állandó (univerzális) molekula tömege (secifikus) Secifikus gázállandó R R k. (3.4) m Sánta Imre, BME

32 4 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A secifikus gázállandó tehát a Boltzmann-féle állandó és az kg gázban lévő molekulák darabszámának szorzata. Ezzel egyenletünk így alakul: v R. (3.5) A (3.5) egyenletet az ideális gázok állaotegyenletének nevezzük. Levezetésénél a kinetikai gázelmélet alaegyenletéből indulunk ki, de ugyanezt az alakú egyenletet mint az előzőekben is utaltunk rá az ideális gázokra érvényes (közéiskolai tanulmányainkból ismert) makroszkoikus taasztalati törvényekből, a (Gay-Lussac és a Boyle Mariotte-törvényből) kiindulva is megkahatjuk. Az R arányossági tényezőt (mivel k minden gázra azonos) csak a gáz anyagától ( m ) függ, ezért secifikus (egy adott gázra érvényes) gázállandónak nevezzük. A (3.5) egyenlet fontosságát hangsúlyozza az a körülmény, hogy a termodinamikai irodalomban sokhelyütt az ideális gázt egyszerűen úgy definiálják, mint olyan gázt, amely a v R törvényt követi. Az állaotegyenlet különböző formáit megkajuk: - amennyiben a (3.5) egyenletet m tömegre alkalmazzuk (az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg az m tömeggel) vm mr, V mr, (3.6) - kilomolnyi mennyiségre alkalmazva vm MR V M MR, (3.7) ahol V M a kilomoltérfogat. V M Mk m M k N m A k Univerzális gázállandó R M Az univerzális gázállandó tehát a Boltzmann-féle állandó és az kmol gázban lévő molekulák darabszámának szorzata R M N Ak. (3.8) Sánta Imre, BME

33 3. AZ ÁLALÁNOS GÁZÖRVÉNY 5 Az univerzális gázállandó értéke R M =834 J/(kmol K). Ezzel a kilomolnyi mennyiségre vonatkozó állaotegyenlet V R. (3.9) M A secifikus és univerzális gázállandó kacsolata a (3.7) és (3.9) egyenletek egybevetéséből R M M R. (3.0) M A (3.5) egyenletbe behelyettesítve a secifikus gázállandó (3.0) szerinti kifejezését, az állaotegyenlet egy újabb alakját kajuk meg ahol - kilomolszám. V m RM RM, (3.) M 3.. ábra Az állaotfelület Az állaotegyenlet a - v - koordináta rendszerben egy felületet határoz meg (állaotfelületet), mely magába foglalja az adott gáz összes állaotát (3.. ábra). A gáz állaotának változása is ezen a felületen játszódik le és általános esetben térgörbét ír le. A gyakorlatban a térgörbe helyett annak - v, -, és - v síkokra eső vetületével dolgozunk. A vetületek esetében a harmadik koordináta az egyes vetületi ontokhoz az állaotegyenletből kerül meghatározásra. A 3.. ábra esetében mivel - v sikra eső vetületről van szó ez a hőmérséklet. Sánta Imre, BME

34 6 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Példa: Mekkora legyen a hidrogénnel (M H = ) töltött léggömb térfogata, ha a felemelendő tárgy és a léggömb gáz nélküli saját súlyának összege G = 3000 N. A levegő nyomása a maximális magasságban, ahová a léggömbnek fel kell jutnia 0,5 bar és a hőmérséklet 0 o C. Mennyire változik meg a léggömb emelőereje, ha biztonsági okokból héliummal töltjük meg (M He =4)? Mekkora a hélium tömege? Mekkora a léggömb térfogata a földön, ha = bar, t = 30 o C? R lev =87 J/(kg K), R M = 834 J/(kmol K). Megoldás: V Lg G H G G H G F Felh A maximális magasságon felemelendő tárgy, az üres léggömb (együtt G) és gáztöltet (G H ) súlyának összege egyenlő a felhajtóerővel ( F Felh ). G G H F Felh. A felhajtóerő Archimédesz törvénye szerint F V g, Felh Lg lev ahol V Lg a léggömb térfogata, lev a levegő sűrűsége a maximális magasságon., g = 9,8 m/s. G V g. H Lg H Ezzel G V g V g. Lg H Lg G Melyből a léggömb térfogata: VLg. glev H A sűrűségek az állaotegyenletből 5 H max 0,5 0 3 lev 0,638 kg/ m. R 87 73,5 lev H max 5 H max 0,5 0 H 0,044 kg/ RH H max ,5 A hidrogén gázállandója RM 834 RH 457 J / kgk. M H A léggömb térfogata, amilyenre készítik lev m 3. Sánta Imre, BME

35 3. AZ ÁLALÁNOS GÁZÖRVÉNY 7 G VLg g lev H A léggömb emelőereje F F G V e ,8 0,638 0,044 felh gáztöltet Lg 3 54,569 m. V lev gáztöltet A hélium gázállandója RM 834 RHe 078,5 J / kgk. M He 4 A hélium sűrűsége a maximális magasságon 5 H max 0,5 0 3 He 0,088 kg/ m. RHeH max 078,5 73,5 Az adott térfogatú léggömb emelőereje F V 54,569 0,638 0, ,. N e Lg lev He 3 Az emelőerő megváltozása Fe G Fe ,3, 7 N. A hélium tömege az állaotegyenletből V 5 H max Lg 0,5 0 54,569 mhe 45, 349 kg. RHeH max 078,5 73,5 A léggömb térfogata a földön az állaotegyenletből mherheh 0 45, ,5 303,5 3 VLgH 0 85, 607 m. 5 0 H 0 Lg lev He. Sánta Imre, BME

36 4. Valóságos gázok állaotegyenletei Az ideális gázokra levezetett általános gáztörvény valóságos gázokra csak bizonyos feltételek teljesülése (viszonylag nagy hőmérséklet, kis nyomás) esetén marad érvényben, bár akkor is csuán jó közelítéssel írja le azok viselkedését. Az eltérés azzal kacsolatos, hogy a valóságos gázok molekulái nem térfogat nélküli tömegontok és a molekulák között az ütközésből származó erőhatáson kívül vonzó és taszító erők is hatnak, melyek a molekulák közötti távolság függvényében változnak. A valóságos gázok molekuláinak ütközését tanulmányozva szem előtt kell tartani, hogy azok nem kemény golyókként ütköznek egymáshoz, hanem a taszító erők ellenében csak többé-kevésbé közelítik meg egymást. A molekula átmérőjének azt a távolságot tekintjük, amilyen távolságon a vonzó és taszító erők kiegyenlítik egymást. Így az ilyen átmérővel számított molekula-térfogat egyben a taszító erők hatásának figyelembevételét is jelenti. Az ideális gáz jellemzői: - a molekulának nincs térfogata, - a molekulák között nincs erőhatás (csak mozgási energiával rendelkeznek). Valóságos gázok molekulái - térfogattal rendelkeznek, - és közöttük egyidejűleg hatnak vonzó és taszító erők. Bár a molekulák mérete és a molekulák közötti erőhatás is kicsiny, kis hőmérsékleten vagy nagy nyomáson elhanyagolásuk jelentős hibához vezet. A gáz térfogatának egy részét maguk a molekulák foglalják el, így az nem áll rendelkezésre a szabad mozgásra. Két molekula ütközésekor a molekulák amennyiben gömb alakúnak tekintjük azokat közéontjai csak átmérőnyi () távolságra tudják egymást megközelíteni (4.. ábra). Az edény falához történő ütközésnél a hatásgömb közéontja a faltól / távolságra van. ehát végeredményben a molekulák mozgásához az edény térfogatánál 4.. ábra Molekulák ütközése csak kisebb térfogat áll rendelkezésre. Sánta Imre, BME

37 4. A VALÓSÁGOS GÁZOK ÁLLAPOEGYENLEEI 9 Egy-egy ütközés során két molekula-átmérőnyi () átmérőjű gömb térfogatának megfelelő térfogat 3 3 V 4 (4.) 6 6 esik ki, vagyis egy molekula térfogatának négyszerese. 4.. ábra A molekulák közötti erők A molekulák között ható erők a molekulák közötti távolság n-edik hatványával fordítottan arányosak f, (4.) n r ahol a vonzóerők esetében n = 57, taszító erőknél n = 95. A taszító erők (f + ) a távolsággal gyorsabban csökkennek, mint a vonzó erők (f - ), így egy meghatározott r távolságon egyensúlyba jutnak (4.. ábra). Ha a molekulák valamilyen okból az egyensúlyi távolságnál közelebb kerülnek egymáshoz, a taszító erők megnőnek, hogy visszaálljon az egyensúly és fordítva. A molekulák ütközése tehát nem a biliárdgolyók ütközéséhez hasonlóan játszódik le. o a) b) 4.3. ábra A molekulák közötti erők és energiák Sánta Imre, BME

38 30 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. 8 7 Nagyságrendileg: ro 30 cm ; r,5 0 cm esetén f 0 (ideális gáz). A valóságos gáz molekulái tehát otenciális energiával () is rendelkeznek, mely a 4.3/a. ábra szerint változik. A molekulák közeledését és ütközését vizsgálva tekintsük a 4.3/b. ábrát. ételezzük fel, hogy az egyik molekula az origóban tartózkodik, míg a másik a végtelenből a hőmérséklettel arányos wkin w ~ kezdeti energiakészlettel az r = r o távolságig a vonzó erő miatt egyre nagyobb sebességgel közelít felé. Eközben a két molekula teljes energiája változatlan marad, vagyis w kin ( r ) állandó w ~. (4.3) A 4.3/b. ábrán a folytonos vonal a otenciális energiát [(r)], a szaggatott a teljes energiakészletet szemlélteti. Amint a második molekula áthalad az r = r o onton a vonzás taszításra változik és a további mozgás során rohamos sebességcsökkenés játszódik le: a mozgási energia otenciális energiává alakul. Abban a illanatban amikor a otenciális energia megegyezik a rendszer teljes energiakészletével E r, a második molekula sebessége zérus lesz. Az a minimális távolság, melyre az adott E energiaszintnél a molekulák megközelítik egymást, az u.n. effektív molekula (hatásgömb) átmérő. E energiaszintnél az effektív molekula átmérő. A megállás után fordított jelenség játszódik le. A 4.3/b. ábrából látható, hogy a második molekula kezdeti energiakészletének növekedésével vagyis a hőmérséklet növekedésével a minimális távolság ( ) csökken. Ugyanakkor r < r o esetén a otenciális energia görbéje meredeken emelkedik, ezért az effektív átmérő a hőmérsékletváltozással csak nagyon kicsit változik. Két molekula közötti otenciális energia (Lennard Jones egyenlet) 6 o o r 4. (4.4) r r A (4.4) egyenlet szerinti 6- otenciál 4.4. ábra szerint változik. Az a) ábra a vonzó és taszító, míg a b) az eredő otenciális energia változását mutatja. Sánta Imre, BME

39 4. A VALÓSÁGOS GÁZOK ÁLLAPOEGYENLEEI 3 a) b) 4.4. ábra Potenciális energiák változása a molekulák közötti távolság függvényében 4.. Komresszibilitási tényezős alak A valóságos gázok állaotegyenletének egyik módszere, hogy az ideális gáz állaotegyenletébe korrekciós tényezőket vezetnek be, melyek a fentiekben részletezett eltéréseket veszik figyelembe. Alakja 4.5. ábra Komresszibilitási tényező változása a nyomás függvényében [4] v R (4.5) vagy v, (4.6) R ahol komresszibilitási tényező f (, ). A különböző gázok komresszibilitási tényezői a táblázatosan vagy diagram formájában kerülnek megadásra. Az 4.5. ábrán a komresszibilitási tényező változása látható a nyomás függvényében t = 0 o C hőmérsékleten oxigén, hidrogén és metán esetére. Sánta Imre, BME

40 3 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. 4.. Viriál egyenletek Az utóbbi 00 évben nagyszámú valóságos gázegyenletet javasoltak, de egyik sem bizonyult általánosnak.a statisztikus termodinamika fejlődése lehetővé tette egzakt valóságos gáz állaotegyenletek levezetését viriál alakba: v B C D... 3 vagy R v v v (4.7) v 3 B C D.. R ahol B,C,D,, B,C,D', viriál-együtthatók, melyek csak a hőmérséklet függvényei és a molekulák otenciális energiája ralaján kerülnek meghatározásra. A második viriál együtthatók (B,B ) a áros, a harmadik (C,C ) a hármas ütközéseket vesznek figyelembe stb. Minél nagyobb a nyomás annál több együttható meghatározása válik szükségessé Van der Waals egyenlete A valóságos gáz állaotának leírására van der Waals (837-93) holland tudós dolgozott ki egyszerű, jól követhető modellt, (egyszerű mechanikai értelmezést adott a korrekciós tényezőknek) mely szerkezetében jól mutatja az ideális gáztól a valóságos gáz felé mutató átmenetet és jól veszi figyelembe a valóságos gáznál meglévő sajátosságokat érfogati korrekció Az egyenlet levezetését kg gázra végezzük és feltételezzük, hogy a gáz sűrűsége (ezzel nyomása) nem nagy. Így az olyan esetek, amikor két molekulánál több ütközik egyszerre, nagyon ritkán fordulnak elő. Legyen az kg gáz térfogata v és tartalmazzon N kg db molekulát (4.6. ábra). A gáz nyomása a (.5) egyenlet szerint az egységnyi térfogatban lévő molekulák haladó mozgásából számított mozgási energiájának összegével számítható és nem függ attól, hogyan oszlik meg ez az energiamennyiség az egyes molekulák között. A nyomás számításánál tehát eljárhatunk úgy is, hogy a molekulák felét megállítjuk és csak a másik fele mozog összességében kétszeres mozgási energiával. Az eredmény nyilvánvalóan ugyanaz lesz. Sánta Imre, BME

41 4. A VALÓSÁGOS GÁZOK ÁLLAPOEGYENLEEI 33 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Ponttá zsugorított Kétszeres átmérő 4.6. ábra Megállított és mozgó molekulák Növeljük meg az álló N kg / darab molekula átmérőjét (hatásgömb átmérőjét) kétszeresére, míg a mozgó (N kg / db) molekulákat tekintsük ontszerűnek. Következéskéen a ontszerű mozgó molekuláknak az álló, megnövelt átmérőjű molekulák össztérfogatával kevesebb tér áll rendelkezésére a mozgáshoz [4.. és 4.6. ábra, valamint (4.) egyenlet]. A kieső térfogat 3 N 3 kg b 4Nkg (4.8) 6 6 lesz, vagyis az összes molekula térfogatának négyszerese. Az ilyen mértékben csökkentett térben mozgó ontszerű molekulákra alkalmazható az ideális gázra levezetett (.5) nyomás-egyenlet, amit a Boltzmann-féle állandó bevezetésével nk (4.9) alakban írva használunk fel. Figyelembe kell azonban venni, hogy az egységnyi térfogatban Nkg n molekulaszámú ideális gáz a kétszeres mozgási energia miatt hőmérséklettel v b rendelkezik. Ez utóbbi részt ideális gáznak tekinthetjük, melynek molekulái a v térfogatot az álló dula átmérőjű molekulákkal csökkentett térfogatban mozognak (4.6. ábra). A ontszerű molekulákra írható így a nyomás nk ; (4.0) Nkg Nkg k k, (4.) v b v b Sánta Imre, BME

42 34 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. ahol b az álló molekulák össztérfogata (4.8). Az (4.) egyenletet rendezve, kajuk illetve v b N k, (4.) kg v b R. (4.3) Ez az egyenlet figyelembe veszi a molekula térfogatot Nyomáskorrekció A molekulák között ébredő erők következtében kisebb lesz az edény falához történő ütközések száma és a falra ható erő, mivel a fal közelében tartózkodó molekulákra az edény belsejében tartózkodó molekulák vonzása is hat. Ez a vonzó hatás mint egy molekuláris belső nyomás jelenik meg, mely csökkenti az edény falára ható nyomást. Ezt figyelembe véve a (4.3) egyenlet a következő alakra módosítható: R. (4.4) b v b A molekulák közötti erőhatások figyelembevételéhez a molekulákat ontszerűnek tekintjük, melyek között vonzóerők hatnak, s a kölcsönhatásban egyszerre sok molekula vesz részt ábra Erőhatások a molekulák között Próbáljuk meg nyomon követni a molekulákra a környező molekulák részéről kifejtett hatást. A mélyen a gáztérfogat belsejében lévő molekulák esetében a molekulára ható erők kiegyenlítik egymást. Változik a helyzet akkor, ha a molekula a határoló fal közelébe jut. Ekkor a molekulára a gáztérfogat belseje felé mutató eredő vonzóerő (f) hat. Ez az erő legnagyobb a fal mellett tartózkodó molekulák esetében és csökken a faltól távolodva (4.7. ábra). Amikor a molekula a határoló falnak ütközik, imulzusa megváltozik. Az imulzusváltozás számítása hasonlóan történhet, mint az ideális gáz nyomásának meghatározásakor tettük, vagyis az egységnyi felületre időegység alatt ütköző molekulák imulzusának változása Sánta Imre, BME

43 4. A VALÓSÁGOS GÁZOK ÁLLAPOEGYENLEEI 35 nm c / 3. (4.5) Az ideális gázoktól eltérően azonban ez az imulzusváltozás nem csuán a fal részéről megnyilvánuló erőnek, hanem a fal melletti rétegben lévő molekulákra ható a gáztérfogat belseje felé mutató- vonzóerőnek is következménye. Ha a felületegységre ható erőket nyomásként értelmezzük, akkor a fal melletti gázréteg egységnyi felületére ható erő mint egy közees belső (molekuláris) nyomás fogható fel. Írható tehát, hogy vagy b nmc / 3 (4.6) nk. (4.7) b A b felületegységre eső erő mint a fal melletti réteg egységnyi felületére jutó molekulaszám (N r ) és a réteg molekulájára ható f erő szorzatának átlaga számítható: b N r f. Másrészt felírható, hogy b ~ Nr f. Mind az N r, mind az f arányos a sűrűséggel, tehát fordítva arányos a fajtérfogattal, vagyis ahol a az adott gázra jellemző állandó. Ezzel a (4.8) egyenlet n = N/v és Nk = R miatt a a b, (4.8) v a v R v (4.9) alakot ölti, vagyis a molekulák közötti erőhatás tárgyalt módon történő figyelembe vétele az ideális gáz állaotegyenletet így módosítja. A két hatás együttes jelentkezését a (4.4) és (4.9) egyenletek kombinációjával adhatjuk vissza: a v b R v. (4.0) A nyomáskorrekció tartalmának ontosabb feltárásához és az a állandó értékének meghatározása érdekében vizsgáljuk meg a molekulák energetikai egymásrahatását. Sánta Imre, BME

44 36 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A molekulák ütközése r o távolságnál fejeződik be, így a molekuláris nyomás meghatározásához össze kell adni a részecskék egymásrahatási energiáit r o esetén. Ehhez vegyünk az adott molekula körül egy r sugarú dr vastagságú gömbhéjat (4.8. ábra). Két molekula közötti otenciális energia jut r illetve dr 4.8. ábra Gömbhéj a gázban molekula körül Bevezetve a jelölést, így e r ebből az adott molekulára r. (4.) A gömbhéj térfogata 4r dr, a rétegben tartózkodó molekulák száma n4r dr, ahol N n v. Az adott molekula és a többi közötti otenciális energia e r n4 r dr, (4.) N 4 e v o r o r r dr. (4.3) 4 N r dr a (4.4) o N 4 e v o r r dr a v. (4.5) A térfogatváltozási munka és a otenciális energia közötti kacsolat az energiamegmaradás törvénye alaján Sánta Imre, BME

45 4. A VALÓSÁGOS GÁZOK ÁLLAPOEGYENLEEI 37 ebből a otenciális energiából származó nyomás de w e, (4.6) dw dv, (4.7) de dv, (4.8) d a dv v a v. (4.9) dv A belső nyomás folyadékok esetében nagyon nagy (vízre 93 K hőmérsékleten értéke 0800 bar), gázokra viszonylag kicsi és függ a nyomástól és a hőmérséklettől ( bar nyomáson b 0,0 bar) [4]. A van der Waals-egyenlet végső alakja tehát a v b R. (4.30) v Ez az 893-ban levezetett van der Waals-féle egyenlet. Érvényességének feltétele, hogy b v és a / v legyen. Ezen kívül a levezetés feltételezi, hogy a gázmolekulák rugalmas szilárd gömbök. Ebből következik, hogy a valóságban még viszonylag kis nyomások esetén is a és b a hőmérséklet függvénye. Mint az előzőekben is jeleztük, nagyobb nyomások esetén a van der Waals-féle egyenlet mennyiségileg nem ad elfogadható eredményt, ugyanakkor kvalitatíve helyesen írja le a valóságos gázok viselkedését is. Ebben az esetben a (4.30) mint közelítő, félemirikus összefüggés kezelendő Van der Waals egyenletén kívül sok emirikus és félemirikus valóságos gáz állaotegyenletet javasoltak. Ezekben az egyenletekben a taasztalati állandók számának növelésével jobb egybeesés mutatkozott meg a kísérleti eredményekkel, mint van der Waals egyenleténél. Ugyanakkor a van der Waals-egyenletet egyszerűségének és a benne szerelő állandók világos fizikai tartalmának köszönhetően a legelterjedtebben használják a valóságos gázok és folyadékok viselkedésének minőségi analízisére. Sánta Imre, BME

46 38 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I A van der Waals-egyenlet gyökeinek elemzése A van der Waals-egyenlet a fajtérfogatra nézve harmadfokú: v 3 R a ab b v v 0, (4.3) melynek három gyöke van a következő kombinációkban: - három különböző valós gyök, - három egymással megegyező valós gyök, - egy valós két komlex gyök, ahol az utóbbiak fizikailag nem értelmezhetők ábra Van der Waals-izotermák Vegyünk fel különböző nyomásokat és a (4.3) egyenletet megoldva néhány kiválasztott, de állandó hőmérsékletre a 4.9. ábrán látható módon izotermákat éíthetünk fel. Mint látható, a - < k tartományban minden izotermán van egy nyomástartomány, melyben a (4.3) egyenlet három valós gyökkel rendelkezik (a legalsó izotermán v A, v R, v B ). Az A ont telített (forrásban lévő) folyadék, B száraz telített gőz állaot. Az AQ szakasz a túlhevített folyadék DB a túlhűtött gőz metastabil állaota. A QRD szakasz nem realizálható, mert ellentmond a termodinamikai stabilitás [(d/dv) =áll <0]. feltételének. Az AB egyenes a telített folyadék száraz telített gőz fázisátalakulás vonala. Az MK vonal (kritikus izobár) a folyadék tartomány feltételes felső határa. Sánta Imre, BME

47 4. A VALÓSÁGOS GÁZOK ÁLLAPOEGYENLEEI 39 - = k esetben az izotermán egy inflexiós ont van és az ehhez a onthoz húzott érintő vízszintes. Itt a három valós gyök megegyezik egymással. (Kritikus ont) - > k esetben bármilyen nyomásra a (4.3) egyenlet csak egy valós gyökkel (térfogat) rendelkezik. A BKN vonaltól balra található a túlhevített gőz tartomány. Sánta Imre, BME

48 5. A belső energia kinetikai értelmezése 5.. Az ideális gáz molekuláinak közees kinetikai energiája Mivel a hőmérséklet a gáz viszonylag könnyen mérhető makroszkoikus jellemzője, a (.7) egyenlet alaján határozzuk meg e kin értékét e kin A (3.3) összefüggésből kifejezhető a értéke 3 3 A molekula átlagos mozgási energiája tehát k,07.0 (J/K). (5.) 3 e kin k (5.) 5.. Az ideális gáz belső energiája Megjegyezzük, hogy eddig a molekulát anyagi ontnak tekintettük, így kinetikai energiája csak haladó mozgásból származhatott. Az (5.) kifejezésből következik, hogy az ideális gáz molekuláinak haladó mozgásából számított közees kinetikai energiája csak az abszolút hőmérséklettől függ, mégedig arányos azzal. Az ideális gáz molekulái között vonzóerő nincs, így nem rendelkeznek otenciális energiával. Ezért a molekula összenergiája csak a haladó és forgó mozgásokból eredő kinetikai energiából áll. Ahhoz, hogy a forgómozgásból származó energiát is figyelembe tudjuk venni, be kell vezetni a szabadságfok fogalmát. Sánta Imre, BME

49 5. A BELSŐ ENERGIA KINEIKAI ÉRELMEZÉSE 4 Egy test szabadságfokán (5.. ábra) a test lehetséges térbeli mozgását meghatározó, egymástól független koordináták számát értjük. Általános esetben a test mozgása a térben 6 független koordinátával határozható meg: három lineáris (x, y, z) és három szögkoordinátával (,, ). Eszerint az általánosan mozgó testnek hat szabadságfoka van. Ha a test mozgásának szabadsága korlátozva van, akkor szabadságfoka hatnál 5.. ábra A szilárd test szabadságfokai kevesebb. Mivel a molekulák mozgásának teljes rendezetlensége miatt minden mozgástíus (haladó, forgó) egyformán valószínű, ezért a molekula mozgásának minden szabadságfokára közeesen azonos energiamennyiség jut. (Ez az ekviartició tétele néven ismertté vált, Boltzmanntól származó tétel az energia szabadságfokonkénti egyenletes eloszlásáról.) A molekulák szabadságfoka a molekulát feléítő atomok számától függ. Az egyatomos gázok molekulái (l. He) felfoghatók, mint anyagi ontok, melyeknek saját tengelye körüli forgása nem változtatja meg a molekula térbeli helyzetét. ehát az egyatomos molekulák szabadságfoka három. Ez fizikailag azzal magyarázható, hagy az egyatomos molekulák esetében a forgómozgásra (a forgási szabadságfokokra) végtelen kis energia jut. A kétatomos gáz molekulája (l. 0 ) mint két anyagi ont (atom) együttese fogható fel, amelyek merev kémiai kötésben állnak egymással (5./a. ábra). Az ilyen molekula két atomon átmenő tengely körüli forgására az előző esethez hasonlóan végtelen kis energia jut, ez a forgás nem változtatja meg a molekula helyzetét a térben. Ezért a kétatomos molekula 5 szabadságfokkal rendelkezik (három haladó mozgás és két forgó mozgás). A három és többatomos molekulák hat szabadságfokúak (három haladó és három forgó mozgás 5./b. ábra). A kinetikai energia (5.) szerinti kifejezése egyatomos molekulára (anyagi ontra) érvényes, amely 3 szabadságfokkal rendelkezik. Az ekviartició tétele értelmében az egy szabadságfokra eső közees kinetikai energia: Sánta Imre, BME

50 4 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. e ekin k, (5.3) 3 0 míg az f szabadságfokkal rendelkező molekula teljes kinetikai energiája f e f e0 k. (5.4) Ezzel bár továbbra is ideális gázról beszélünk - egy egyszerűsítő feltételt megszüntettünk. A többatomos gázok molekuláit nem mint anyagi ontokat, hanem mint anyagi ontok rendszereit vizsgáltuk. Az (5.4) egyenlet szerint az egyatomos gázok molekuláinak (f = 3) teljes közees kinetikai energiája a kétatomos gázoké (f = 5); míg a három és annál többatomos gázoké (f = 6) e 3 k ; (5.5) e 5 k ; (5.6) e 3k 3. (5.7) Valamilyen m tömegű ideális gáz E belső energiáját megkajuk ha az m tömegben lévő molekulák számát (N) megszorozzuk egy molekula átlagos teljes energiájával: 5.. ábra A két- (a) és háromatomos (b) molekula modellje Sánta Imre, BME

51 5. A BELSŐ ENERGIA KINEIKAI ÉRELMEZÉSE 43 f f f E N k Nm k m R. (5.8) m Következéskéen, az ideális gáz belső energiája arányos a feléítő molekula szabadságfokával, az abszolút hőmérséklettel és a tömeggel. A belső energia SI egysége a J (Joule). Látható, hogy adott gázra a belső energia csak az abszolút hőmérséklettől függ. Az (5.8) levezetésénél fontos körülmény volt, hogy a belső energia számításánál csak a molekulák haladó és forgó mozgásának kinetikai energiáját vettük figyelembe. Ez kizárólag ideális gázoknál indokolható, amelyek molekulái az ütközésen kívül semmiféle egyéb kölcsönhatást nem gyakorolnak egymásra. A valóságos gázok belső energiájának nyilvánvalóan tartalmaznia kell a molekulák közt működő van der Waals vonzóerők vagy a taszító jellegű valenciaerők jelenléte miatt meglévő otenciális energiát is, amely a 4.. ábrán szemléltetett erőtörvény alaján beláthatóan nagymértékben függ a molekulák közees távolságától, s azon keresztül a gáz nyomásától is. Valóságos gázoknál a belső energia (5.8) kifejezését csak aszimtotikus érvényűnek szabad tekinteni, amely annál inkább jelent jobb közelítést, minél inkább növekszik a molekulák közees távolsága. Mondjuk tehát ki, hogy a valóságos gázok belső energiája ellentétben az ideális gázok belső energiájával nem csak a gáz abszolút hőmérsékletének, hanem a nyomásának is függvénye. Sánta Imre, BME

52 6. Hőmennyiség, hőkaacitás, fajhő A rendszer és környezete közötti kölcsönhatás egyik formája (hőmérsélet különbség hatására) a molekulák rendezetlen energiájának a hőnek az átvitele. Az így átszármaztatott energiát mérő mennyiség a hőmennyiség (Q). A folyamat során bevezetett vagy elvont hőmennyiség és a bekövetkező hőmérsékletváltozás hányadosa (az K hőmérsékletváltozáshoz szükséges hőmennyiség) a hőkaacitás Q J C t t. (6.) K Fajhő az a hőmennyiség, amelyik egységnyi anyagmennyiség (tömeg, térfogat, kilomol) hőmérsékletét Kelvinnel megnöveli, vagyis az egységnyi anyagmennyiség hőkaacitása. 6.. A fajhők tíusai a vonatkoztatási anyagmennyiség egysége szerint Attól függően, hogy milyen egységben mérjük az anyagmennyiséget megkülönböztetünk -tömegegységre C J c m kgk, (6.) -térfogategységre (a vonatkoztatási hőmérséklet és nyomás megadandó!) -kilomolra C J c V m K, (6.3) 3 C J c M kmolk vonatkozó fajhőt. Ez utóbbit kilomolhőnek is nevezzük. (6.4) Sánta Imre, BME

53 6. HŐMENNYISÉG, HŐKAPACIÁS, FAJHŐ A fajhők átszámítása Mivel a hőkaacitás rendre C mc, (6.5) C Vc, (6.6) C c M (6.7) a fajhők átszámítására a (6.5)-(6.7) összefüggések alaján írható: - a tömegegységre és térfogategységre vonatkozó fajhők között Vc mc, melyből c c. (6.8) Itt a sűrűség a vonatkoztatási hőmérséklet és nyomás (l. N 035 Pa, N 73, 5 K ) alaján számítandó. - A tömegegységre és kilomolra vonatkozó fajhők között c M mc, melyből c M Mc, (6.9) - a térfogategységre és kilomolra vonatkozó fajhők között Vc, melyből c M c c V M c V M M. (6.0) 6.3. Fajhők a hőközlési folyamat sajátossága szerint Attól függően, hogy a hőközlés (hőelvonás) milyen folyamat során történik, gázok esetében a fajhő értéke más és más lesz. Azaz a folyamatok szerint végtelen sokféle fajhő lehetséges. Az állandó nyomáson (izobár) és állandó térfogaton (izochor) lejátszódó folyamatokra vonatkozó fajhők a gázok alavető fizikai jellemzői. A következő táblázat mutatja e kétféle (izochor és izobár) fajhő különböző egységekre vonatkozó jelölését. Fajhő vonatkoztatása Állandó nyomásra (izobar) Állandó térfogatra (izochor) ömegegységre c cv érfogategységre c c v Kilomolra cm cmv Sánta Imre, BME

54 46 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Az állandó nyomáson érvényes fajhő mindig nagyobb az álladó térfogatra érvényesnél. A tömegegységre vonatkozó fajhők különbsége ideális gázok esetén Mayer egyenlete szerint a secifikus gázállandó c c R. (6.) Az izobár és izochor kilomolhők különbsége az univerzális gázállandó, vagyis minden gázra nézve ugyanakkora A térfogategységre vonatkozó fajhők különbsége c M v c R. (6.) Mv M c c R (6.3) Mivel valóságos gázoknál az izobár folyamatban közölt hő a hőmérsékletváltozáson túlmenően nem csak térfogatváltozási (külső), hanem a molekulák közötti vonzóerő legyőzésére (belső) munkavégzésre is fordítódik c v c R. (6.4) v 6.4. Valódi és közees fajhő A folyamat során egységnyi munkaközeggel közölt vagy elvont elemi hőmennyiség és az ennek hatására bekövetkező végtelen kis hőmérsékletváltozás hányadosa a valódi fajhő (a továbbiakban a tömegegységre vonatkoztatottat részletezzük) A folyamattal kacsolatos hőmennyiség q c. (6.5) dt Q m c dt. (6.6), t t Sánta Imre, BME

55 6. HŐMENNYISÉG, HŐKAPACIÁS, FAJHŐ 47 c [J/(kgK)] d c(t) t c m 0 t c m 0 f t c m t e q, A t t hőmérséklethatárok között az egységnyi tömegű munkaközeggel közölt hőmennyiség q c dt. (6.7), A 6.. ábra vonalkázott területe téglalaá alakítható, melynek magassága t a t t hőmérséklet tartományban érvényes közees fajhő c. Mellyel a hőmennyiség q, t t t m t m t c t t, (6.8) azaz a közees fajhő ismeretében az integrálás nem szükséges. A közees fajhő 0 t t t [ o C] t t q, c m t c dt. (6.9) t t t t t A (6.9) egyenletben az integrál arciálisan is vehető a 6.. ábra A valódi fajhő hőmérsékletfüggése b Sánta Imre, BME

56 48 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. q, t t t t t cdt cdt cdt cm t 0 cm t 0 (6.0) t 0 0 és a 6.. ábra alaján is írható q terület (a-b-d-e-a) = terület (0-b-d-f-0) terület (0-a-e-f-0), vagyis q, t m 0 t m 0 c t c t. (6.) A 0 t hőmérséklet tartományban érvényes c 0 közees fajhő megfelelő táblázatból vehető (l. [7]). A (6.) kifejezést (6.9)-be helyettesítve, a t t tartományban érvényes közees fajhő c t m t m 0 t t t t m t m 0 c t c t. (6.) A hőmennyiség számítására szolgáló összefüggések: Valódi fajhő olinomos megadása esetén Q m cdt. (6.3), A t t hőmérséklet tartományban megadott közees fajhő esetén Q t t t, mcm t t t. (6.4) A táblázatból vehető 0 t és 0 t hőmérséklet tartományra vonatkozó közees fajhők esetén Q, t m 0 t m 0 m c t c t. (6.5) érfogategységre vonatkozó fajhők ismeretében analóg összefüggések alkalmazhatók az m tömeg helyett V térfogat helyettesítéssel. Pl. a 0 t hőmérséklet tartományban térfogategységre vonatkozó közees fajhők ismeretében a számítási kifejezés a következő alakú lesz Q, t m 0 t m 0 V c t c t. (6.6) Sánta Imre, BME

57 6. HŐMENNYISÉG, HŐKAPACIÁS, FAJHŐ 49 Kilomolra vonatkozó fajhők (kilomolhők) ismeretében a (6.3)-(6.5) egyenletekkel analóg összefüggések alkalmazhatók az m tömeg helyett μ kilomolszám helyettesítéssel. Pl. a t t hőmérséklet tartományban érvényes közees kilomolhő ismeretében a számítási kifejezés a következő alakú lesz Q, t M m t c t t. (6.7) Az adiabatikus kitevő a t t hőmérséklet tartományban lejátszódó folyamatoknál változó fajhő esetén mint a megfelelő izobár és izochor fajhők hányadosa t c m t t t t. (6.8) t t ' t t c vm t c c ' t m vm t c c Mm t Mvm t 6.5. A fajhő fizikai tartalma Fajhő az a hőmennyiség, amelyik egységnyi anyagmennyiség hőmérsékletét Kelvinnel megnöveli Az ideális gáz fajhője q, =q v m= kg V= v = állandó = A molekulák száma = N kg = ábra Egységnyi tömegű rendszer izochor hevítése Az egységnyi tömegű gázzal állandó térfogaton K hőmérsékletnövekedésig közölt hő (6.. ábra) definíció szerint a c v izochor fajhő. A közölt hő megváltoztatja a rendszer teljes energiáját q v cv E E. (6.9) A rendszer teljes energiáját az átlagos teljes energia és a molekulák számának szorzatával egyenlő, f f vagyis E N kg k R, (6.30) Sánta Imre, BME

58 50 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. f f c v E E R R (6.3) Az állandó nyomáson vett (izobár) fajhő Mayer egyenlete felhasználásával c f cv R R. (6.3) Vagyis az ideális gáz izochor és izobár fajhője csak a gáz mineműségétől és a molekula szabadságfokától függ. Az adiabatikus kitevő ehát az egyatomos gázok esetében c f. (6.33) c f v 3 c v R, (6.34) kétatomos gázoknál 5 c v R, (6.35) három és többatomos gázoknál c v 3R. (6.36) Ez a különbség azzal magyarázható, hogy míg az egyatomos ideális gázok molekulái csak haladó mozgással rendelkeznek, a többatomosoknál megjelenik a forgómozgás is Valóságos gázok fajhője Az egyatomos gázoknál a kaott eredmény jól egybeesik a mérési eredményekkel teljes hőmérséklet tartományban. Pl a hélium esetében a c v értéke 3 3 RM cv R 38 J /( kmolk ), M He 4 a kétatomos nitrogén esetében a (6.35) kélet Sánta Imre, BME

59 6. HŐMENNYISÉG, HŐKAPACIÁS, FAJHŐ 5 c v 5 R 3 R M M N e J /( kmolk ) értéket ad, amely széles hőmérséklettartományban (kb. 400 K-ig) viszonylag jól egybeesik a mérési eredményekkel, ezen hőmérséklet fölött a c v fokozatosan nő a hőmérséklettel (6.3. ábra). A merev kötésekkel modellezett molekulák tehát csak az egyatomos gázok esetében szolgáltatnak jó eredményt. Kétatomos gázoknál ez az elkézelés csak meghatározott hőmérséklet-tartományban kielégítő ábra Nitrogén c v fajhőjének változása a hőmérséklet függvényében [7] Az eltérés még nagyobb a három- és többatomos gázok esetében. A többatomos gázok többségénél ezt az elméletet nem támasztják alá a kísérleti eredmények. Például az etilalkohol gőze (C H 6 O) esetében a c v értéke közel van a 8R-hez szemben az elmélet által számítható 3R értékkel. Ezt a fajhőnövekedést nem lehet a klasszikus mechanikán alauló kinetikus gázelmélet alaján indokolni, viszont a kvantumelmélet kielégítő magyarázattal szolgál. Az eltérés oka az, hogy meghatározott feltételek esetén a molekulák nem merev, hanem rugalmas kéződményként viselkednek és a rugalmas molekulák a haladó és forgó mozgás mellett lengési (rezgési) szabadságfokokkal is rendelkeznek. ehát az ilyen molekulák esetében nem csak haladó és forgó mozgást kell figyelembe venni, hanem az atomok molekulán belüli lengőmozgását is. Az atomok lengőmozgásának energiáját a fajhő kvantumelmélete alaján határozhatjuk meg. Ezen elmélet szerint a két- és többatomos gázok fajhője a hőmérséklet függvénye, mivel az atomok lengőmozgásának energiája nem arányos a hőmérséklettel. Sánta Imre, BME

60 5 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Ha a molekula olyan Z db atomból éül fel, melyek nem rendelkeznek merev kacsolattal (azaz a molekula rugalmas), az összes szabadságfok száma 3Z (minden atom helyzetét 3 koordinátával határozzuk meg). A molekula 3 haladó, valamint forgási, és lengési szabadságfokokkal rendelkezik. Általános esetben a szabadságfokokra a következő összefüggés írható fel: 3Z f f f 3 f f. (6.37) haladó forgási A lengési szabadságfokok száma f lengési lengési forgási forgási lengési 3 Z 3 f. (6.38) A lengési szabadságfokokra kétszer annyi energia jut, mint a haladó vagy forgó mozgásra. Ez utóbbiak csak mozgási energiával rendelkeznek, míg a rezgő mozgásnak kinetikus és otenciális energiája is van. Ezek közees értéke harmonikus lengésnél azonos. Ennek megfelelően a lengési szabadságfokra k energia jut. Az egy molekulára jutó közees energia ennek figyelembe vételével k 3 f forgási flengésik 3 f forgási flengési a (6.40) behelyettesítésével 6Z 3 f forgási k k. (6.39) Az ilyen gáz belső energiája a molekula átlagos energiájának és a molekulaszám szorzataként adódik. Egységnyi tömegű gázt véve kg 6Z 3 f forgási R U N, (6.40) állandó térfogaton vett fajhője a belső energia hőmérséklet szerinti deriváltja c v R 6Z 3 f forgási du. (6.4) d A 6.4. ábrán a kétatomos gáz izochor fajhőjének változását láthatjuk a hőmérséklet függvényében. A forgómozgás energiája kis hőmérsékleten elenyésző. Hidrogén esetében a forgómozgás energiája ~75 K hőmérsékleten, oxigénnél ~780 K hőmérsékleten kezd jelentőssé válni. Sánta Imre, BME

61 6. HŐMENNYISÉG, HŐKAPACIÁS, FAJHŐ 53 A molekulák nagy hőmérsékleteken rugalmas kéződményként viselkednek. A rezgőmozgás megjelenési hőmérséklete több ezer Kelvin. (H esetén ~6000 K, O esetén ~50 K) [3]. A (6.4) összefüggés a többatomos gázok többségénél rendkívül magas fajhő értékeket ad. Például az etilalkohol gőze (C H 6 O) esetében a c v értéke közel van a 8R-hez szemben a (6.4) szerint számítható 4R értékkel. ovábbra sem világos, miért viselkednek ezek a gázok egy hőmérséklet tartományban úgy, mint merev, míg másik hőmérséklet tartományban, mint rugalmas rendszerek? A bonyolult molekulák ilyen tulajdonságára ad magyarázatot a kvantumelmélet. A fajhő kvantumelmélete azon a feltételezésen alaul, hogy az ilyen lengőrendszer (oszcillátor) energiája csak diszkrét értékeket vehet fel, amikor a két szomszédos érték különbsége állandó és az energia kvantummal egyenlő, vagyis 34 ahol h 6,6 0 Js a Planck-féle állandó. Az oszcillátor energiájának lehetséges értékei E h, (6.4) E h n, (6.43) ahol n=0,,, 3, az oszcillátor energiaszintjét jellemző lengési kvantumszám. A (6.43) egyenletből következik, hogy a kvantumszám egységgel történő megváltozásakor az oszcillátor h energiát ka, vagy ad le ábra A c v változása a kinetikus fajhőelmélet alaján n 0 esetén E E0 h -ez az oszcillátor nulladik lengésének energiája. Sánta Imre, BME

62 54 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Ekkora az energiája az oszcillátornak általában nem gerjesztett állaotában van, és ez nem tűnik el 0 K esetén sem. Vegyünk egy gázt, melynek minden egyes molekulája j lengési szabadságfokkal rendelkezik. Minden lengési szabadságfok helyettesíthető egy oszcillátorral, melyek frekvenciája általános esetben lehet különböző. Így a rugalmas molekula egy j oszcillátorból álló rendszerből áll, mely oszcillátorok,,..., j frekvenciával rendelkeznek. Amennyiben a gáz N molekulát tartalmaz, akkor abban N db azonos frekvenciájú oszcillátor van. Az összes oszcillátor száma jn lesz. Minden egyes oszcillátor energiája a (6.45) értékének bármelyike lehet. Ezen kívül a molekulák hőmozgás következtében lejátszódó ütközése az oszcillátorok energiájának meghatározott kvantumszámú megváltozását idézheti elő. Amennyiben kiválasztunk N db. azonos () frekvenciájú oszcillátort és feltételezzük, hogy kvantumszámuk 0 tartományban változik, az egy oszcillátora jutó a nulladik lengés nélküli közees energia 6.5. ábra Az közees energia változása [] h (6.46) e h k lesz []. A kéletből látható, hogy az oszcillátor közees energiája nem csak a hőmérséklettől, hanem a frekvenciától is függ. Vagyis az oszcillátorok nem egyenrangúak az energia-eloszlás tekintetében (a kisebb frekvenciájú oszcillátorok könnyebben gerjesztődnek, mivel az energia kvantumuk kisebb értékű. A (6.46) szerint kis hőmérsékleten (amikor h / k ) =0. h Nagyon nagy hőmérsékleten ( h k esetben) zérushoz tart. k Sorbafejtéssel h e k h h h..., k k k Sánta Imre, BME

63 6. HŐMENNYISÉG, HŐKAPACIÁS, FAJHŐ 55 és a (6.44) egyenlet szerint k. Az változását szemlélteti a 6.5. ábra. A kétatomos gáz egy molekulájára jutó átlagos energia, mint a haladó és forgó mozgásokra valamint a molekulán belüli lengőmozgásra jutó energiák összege (Einstein egyenlete) kg gáz belső energiája 5 h k. (6.45) h k e 5 h u Nkg R Nkg. (6.46) h k e Az izochor fajhőt a belső energia hőmérséklet szerinti deriváltjaként határozzuk meg: vagyis du c v, (6.47) d 7 h cv R, ha << k c v 5 R R h k h ha >> k e e h k 5 cv h k R., (6.48) Einstein egyenlete az izochor fajhőre tetszés szerinti atomszámú molekula esetén c v f R f R h k e e h k h k, (6.49) ahol f a haladó és forgó molekuláris mozgás szabadságfoka; f a molekulán belüli lengőmozgás szabadságfoka. Sánta Imre, BME

64 56 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Példa (): Egy komresszor adiabatikusan sűrít 60kg/s levegőt, miközben a levegő hőmérséklete 300 o C-ról 750 o C-ra nő. Határozza meg a sűrítés teljesítményigényét és a nyomásviszonyt, ha a fajhő a következő módon a függ a hőmérséklettől R=87 J/(kg K), c c. Megoldás: 4 8 c 0,998,40 t,90 t kj/(kg K), [t]= o C, * * i m i P mw t, m i i. A fajhő hőmérsékletfüggése esetén t P m t c dt m P m 0,998 t 4 8 0,998,4 0 t,9 0 t t -4 8,4 0, t t t t - t t 0, , A sűrítés nyomásviszonya c q -4, t 3 dt kW. c c t m m t t, ahol m, t t t c c R t vm t c dt t 9890 t t m t t, m t t t,07 ; t c m t,07,35 t. c R,07 0,87 m t A nyomásviszony t Sánta Imre, BME

65 6. HŐMENNYISÉG, HŐKAPACIÁS, FAJHŐ 57 Példa ():,35 03, ,35. Egy dízelmotor hengerében a levegőt adiabatikusan sűrítjük az tüzelőanyag gyulladási hőmérsékletéig (800 o C). Hányadrészére csökken a térfogat? t =00 o C. a) = f (); b) =,4 = const. Megoldás: A térfogatviszonyt Poisson-egyenletből határozhatjuk meg: v v A közees fajhők c t m t m 0, ahol t t t t m 0 c t c t, t c t m t m t t cvm t. c t vm áblázatból ([7] Függelék F.5. táblázat). t t vm 0 t t t t vm 0 c t c t. c m,07kj /( kgk), c m,006kj /( kgk), t 0 cvm 0,784kJ /( kgk), cvm 0,793kJ /( kgk), 0 t t 0 0 c t m t c t m 0 t t c t t m 0 t,07800,006 00,0803kJ /( kgk), c t vm t c t vm 0 t t c t t vm 0 A közees adiabatikus kitevő 800 c 800 m 00,0803 m, c 0,7935. vm 00 t 0, , ,7935 J /( kgk) A térfogatviszony a fajhő hőmérsékletfüggése esetén Sánta Imre, BME

66 58 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. v 073 0, 365 8,59. v 373 A térfogatviszony állandó fajhő esetén 0, v ,035. v 373 Az eredményekből látható, hogy a fajhő hőmérsékletfüggésének elhanyagolása jelentős hibát eredményezhet. Sánta Imre, BME

67 7. A termodinamika első főtétele 7.. Zárt rendszer 7... Zárt rendszer munkája A henger, dugattyú és hengerfej által határolt zárt rendszer (7.. ábra) elemi munkája W Ad ds dv, ahol a mínusz előjel azt jelzi, hogy a munkát a rendszer végzi a környezetén (előjel szabályunk szerint). Az - folyamat során végzett munka A d V ds 7.. ábra A henger, dugattyú és hengerfej által határolt zárt rendszer V W. (7.), dv V A zárt rendszer munkáját térfogatváltozási, illetve fizikai munkának is nevezzük. A fajlagos térfogatváltozási munka Az elemi fajlagos térfogatváltozási munka v W, w, dv. (7.) m v w dv. (7.3) A (7.) egyenlet szerint értelmezett térfogatváltozási munka a - v diagramban a folyamat görbéje alatti területként ábrázolható (7.. ábra). Sánta Imre, BME

68 60 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. w, w, d v 7.. ábra érfogatváltozási munka a - v diagramban v 7... Belső energia Amennyiben a rendszer körfolyamatot valósít meg (7.3. ábra), a körfolyamatra alkalmazva az energiamegmaradás törvényét w q q w 0. (7.4) v A jelölt kifejezés teljes differenciál, vagyis egy új állaotjelző a belső energia (u) elemi változása (du) ábra Elemi folyamat a zárt rendszer körfolyamatában Ezzel du q w, (7.5) mely a termodinamika első főtételének zárt rendszerre érvényes egyenletének differenciális alakja. Sánta Imre, BME

69 7. A ERMODINAMIKA ELSŐ FŐÉELE 6 Integrálás után megkajuk a termodinamika első főtételének zárt rendszerre érvényes egyenletének egyik integrál alakját: u u q, w,. (7.6) A rendszer belső energiáján a rendszerhatáron belüli molekulák összes (kinetikus és otenciális) energiájának összegét értjük. Alkalmazzuk ezt az egyenletet olyan folyamatra, melynek során a térfogat nem változik. Ekkor q cv, w 0. Behelyettesítve (7.6)-ba, kajuk u, u q, w, cv. (7.7) Amennyiben a (7.6) egyenletet = állandó folyamatra alkalmazzuk, c vagy w dv v v R q Melyeket (7.6) egyenletbe behelyettesítve, kajuk u. R c u q, w, c v. (7.8) A két különböző, egymástól független folyamat azonos eredményt adott, így megállaíthatjuk, hogy ideális gáz esetén a belsőenergia-változás, mint az állandó térfogaton vett fajhő és a hőmérsékletváltozás szorzata határozható meg: u c Az elemi belsőenergia-változás differenciálás után u v. (7.9) du c d. (7.0) Az első főtétel zárt rendszerre érvényes összefüggései tehát a következők: Differenciál alakban a fenti egyenlet v u u q, w, q, dv. (7.) du q w q dv. (7.) Sánta Imre, BME

70 6 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. 7.. Nyitott rendszer 7... A nyitott rendszer munkája Legyen vizsgálatunk tárgya a 7.4. ábra szerinti nyitott rendszer. z m v u c Q Rendszerhatár P z v u c 7.4. ábra Nyitott rendszer kölcsönhatásokkal A bevezetett teljesítmény P mw t,, mozgási energia mc E kinetikus, otenciális energia E otenciáli s m gz, belső energia U m u, hőmennyiség Q mq,. A munkaközeg mozgatására fordított munka m=kg V=v = s A 7.5. ábra Betolási munka Vizsgáljuk kg munkaközeg rendszerbe történő betolására fordított munkát (7.5. ábra). A kézeletbeli A felületű dugattyú kg munkaközeg s úton történő eltolására fordított munka (a környezet végzi) w betolási. (7.3) A s v Hasonló módon kahatjuk meg az kg Sánta Imre, BME

71 7. A ERMODINAMIKA ELSŐ FŐÉELE 63 munkaközeg rendszerből történő kitolásához szükséges munkát a (rendszer végzi) w v. (7.4) kitolási A két munka előjelhelyes összege az áttolási munka a rendszer szemontjából w áttolási. (7.5) v v Beléő energiák E Kiléő energiák kinetikus E otenciális U Wbetolási Q P. (7.6) Ekinetikus E otenciális U Wkitolási. (7.7) Az energiamegmaradás törvénye szerint a beléő energiák összege megegyezik a kiléő energiák összegével c m m g z mu m v mq c m m g z mu m v., mw t, (7.8) A (7.8) egyenletet m tömegárammal elosztva és a nyitott rendszer munkáját (w t, ) kifejezve kajuk w t, c c g z z u u q, v v. (7.9) Az első főtétel zárt rendszerre levezetett egyenlete, mint matematikai öszszefüggés alaján ovábbá felhasználva az azonosságot, kajuk w, u u q,. (7.0) v v v d (7.) c c t, gz z w dv. (7.) w, Sánta Imre, BME

72 64 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Másrészt, mivel illetve w,, (7.3) d v a (7.) egyenlet a v dv vd vd w, d, (7.4) c c t gz z vd (7.5) w, alakot ölti. Az általunk vizsgált termodinamikai rendszerekben a otenciális energia változása elhanyagolható, így a nyitott rendszer munkája a technikai munka c c t vd (7.6) w, alakú összefüggéssel határozható meg. Az elemi technikai munkát a (7.6) egyenlet deriválásával kajuk meg cdc vd (7.7) w t 7... orlóonti entalia, statikus entalia Amennyiben a rendszer körfolyamatot valósít meg (7.6. ábra), a körfolyamatra alkalmazva az energiamegmaradás törvényét, írhatjuk w t q q w. (7.8) 0 t 7.6. ábra Elemi folyamat a nyitott rendszer körfolyamatában v A jelölt kifejezés teljes differenciál, vagyis egy új állaotjelző a torlóonti (teljes vagy összes) entalia (i * )- elemi változása (di * ). Sánta Imre, BME

73 7. A ERMODINAMIKA ELSŐ FŐÉELE 65 Ezzel * q w t di, (7.9) mely a termodinamika első főtételének nyitott rendszerre érvényes egyenletének egyik differenciális alakja. Integrálás után megkajuk a termodinamika első főtételének nyitott rendszerre érvényes egyenletének egyik integrál alakját: i i q w. (7.30) * *, t, A (7.9) egyenletbe behelyettesítve az elemi munka (7.7) kifejezését melyből * q cdc vd di, (7.3) * q vd di cdc. (7.3) Ez a kifejezés is teljes differenciál, mivel közvetlenül integrálható, vagyis az egyenlet bal oldala egy új állaotjelző a statikus entalia vagy általában használatos nevén az entalia (i)- elemi változása (di) illetve di di * cdc, (7.33) q vd di. (7.34) Ez a termodinamika első főtételének nyitott rendszerre érvényes egyenletének másik differenciális alakja. Integrálás után i i q, vd (7.35) megkajuk termodinamika első főtételének nyitott rendszerre érvényes egyenletének másik integrál alakját. A statikus entalia fizikai tartalma a (7.34) egyenletből vezethető le, ha behelyettesítjük az elemi hőmennyiségnek az első főtétel zárt rendszerre érvényes alakjából származtatott q du dv (7.36) Sánta Imre, BME

74 66 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. kifejezését. Ezzel melyből du dv vd di, (7.37) d u v di, (7.38) i u v állandó. (7.39) Az entalia (i) a belsőenergiának és annak a munkának az összege, melyet arra kell fordítani, hogy az u belsőenergiájú v térfogatú rendszert a nyomású térbe juttassuk. Az entalia mint állaotjelző általánosságban felírható, mint másik két állaotjelző függvénye: f,, f,v, f,v i i Az entaliaváltozás a (7.39) egyenlet alkalmazásával melyet átrendezve i i u v u v i i 3, i u u v v.. (7.40) Ideális gáz esetén a belsőenergia-változás és az állaotegyenlet helyettesítésével: i R c i cv. (7.4) Ideális gáz esetén tehát az entalia csak a hőmérséklettől függ. Az elemi entaliaváltozás di c d. (7.4) A torlóonti és statikus entalia kacsolatát a (7.33) összefüggésből kajuk, melyet integrálva i i i * i * i * c c, (7.43) c i. (7.44) Sánta Imre, BME

75 7. A ERMODINAMIKA ELSŐ FŐÉELE 67 A torlóonti (lefékezett, megállított vagy teljes) entalia (i * ) a statikus entalia (i) és a makroszkóikus mozgási energia összege. A torlóonti entalia így a mozgó közeg (gáz) összenergia tartalmát fejezi ki. Behelyettesítve a torlóonti entaliát az (7.8) egyenlet tömegárammal elosztott alakjába, kajuk c c u v g z q, wt, u v g z, (7.45) * i * i illetve a otenciális energiaváltozást elhanyagolva ezúton is megkajuk az első főtétel nyitott rendszerre érvényes (7.30) alakját. Az első főtétel nyitott rendszerre érvényes összefüggései tehát a következők: i i q w, (7.46) * *, t, i i q, vd. (7.47) Differenciál alakban a fenti egyenletek az alábbiak: di * q w, (7.48) t di q vd. (7.49) A termodinamika első főtétele tulajdonkéen a természet objektív törvényének az energia-megmaradás törvényének alkalmazása termikus folyamatokra. Azt fejezi ki, hogy a folyamat munkája és a folyamattal kacsolatos hőmennyiség egymással ekvivalens. Zárt rendszerben lejátszódó folyamat során a rendszer belső energiája hőcsere, illetve munkavégzés hatására a két kölcsönhatás energiamérlegének megfelelő mértékben változik meg. Nyitott rendszer esetében a termodinamika első főtétele azt fejezi ki, hogy a nyitott rendszer torlóonti entaliája a rendszer és környezete közötti hőcsere és technikai munkavégzés hatására a két kölcsönhatás energiamérlegének megfelelő mértékben változik meg. Sánta Imre, BME

76 68 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Példa (): Az -c- folyamat során 80 kj hőt közlünk, 30 kj munkát nyerünk. Menynyi hőt kell közölni az -b- folyamat során 0 kj munka nyerése céljából. Mennyi hőt kell közölni, vagy elvonni a -a- folyamatban, ha közben komresszióra 50 kj munkát fordítunk? Megoldás: b c a v Felírjuk a termodinamika első főtételét (zárt rendszer) az -c- folyamatra: U U Q c W c, melyből a belsőenergia-változás az és állaotok között U U kj. Mivel az és állaotok nem változnak a belső energia (állaotjelző) változás állandó marad. A termodinamika első főtétele a -b- folyamatra: U U Q b W b, melyből Q b U U W b kj. ehát a folyamat során 60 kj hőt el kell vonni a rendszertől. A termodinamika első főtétele a -a- folyamatra: U U Q a Wa, melyből Qa U U Wa kj, vagyis 00 kj hőt elvonunk a folyamat során. Példa (): Egy komresszorban súrlódásmentesen állandósult üzemmóddal,5 kg/s levegőt sűrítünk = bar t =7 o C állaotról =,5 bar nyomásra. A sűrítés során (v+0,574) = állandó, ahol v m 3 /kg-ban, Pa-ban értendő. A beléési sebesség 00 m/s, míg a kiléési 00 m/s. Határozza meg a sűrítési teljesítményigényt és a hőmennyiséget. R = 87 J/(kg K), =,4. Sánta Imre, BME

77 7. A ERMODINAMIKA ELSŐ FŐÉELE 69 Megoldás: c c A sűrítés teljesítményigénye: P mw t. A technikai munka c c w t, vd. Mivel a sűrítés során v, 574 const K K melyből v 0, , A K állandó értékét az. állaot jellemzőiből határozhatjuk meg: 5 K v 0,574 R 0, , J / Ezzel vd kg K 700 ln 0,574d K ln,5 0,574, J / kg 0,574 w t, c c vd 4 56J / kg. A teljesítményigény P mw t, w 84, 8kW. A folyamattal kacsolatos hőmennyiséget az első főtétel nyitott rendszerre érvényes alakjából határozzuk meg: q, i i vd c vd. A végállaot hőmérsékletét a folyamat egyenletéből számítjuk: v 0,574 v 0,574 R 0, 574 K, illetve 5 K 0, ,574, K. R 87 A fajhő,4 c R ,5 J /( kgk).,4 A fajlagos, illetve a folyamattal kacsolatos hőmennyiség Sánta Imre, BME

78 70 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. vd 004, J / kg q, c, Q mq, W, 43kW., Példa (3): Egy energetikai egység teljesítménye P=375 kw. A beléő levegő jellemzői = bar, t = 7 o C. A beléési keresztmetszet A = 0, m. A kiléő közeg állaotjelzői =,8 bar, t = 53 o C. A kiléési keresztmetszet A = 0, m, melyben a sebesség 9 m/s. A munkaközeget levegőnek tekintve határozza meg a bevezetésre kerülő hőmennyiséget, valamint a munkaközeg tömegáramát. R = 87 J/(kg K), =,4. Megoldás: Q P A termodinamika első főtétele az adott nyitott rendszerre: * * i i q w,, t, melyből a hőmennyiség * * q i i w., t, A torlóonti entaliaváltozás * * c c i i c. A fajlagos technikai munka (negatív mivel a rendszer végzi) P w t,. m A tömegáram a kontinuitás törvényéből m c A,479 0, 7,57kg/ s. Ahol a sűrűség 5,8 0 3,47kg/ m, R P 3750 w t, 407,8 J / kg, m 7, Sánta Imre, BME

79 7. A ERMODINAMIKA ELSŐ FŐÉELE 7,4 c R ,5 J /( kgk).,4 A c sebesség a kontinuitás törvényéből m 7,57 c 5,73m / s, A,6 0, itt a sűrűség 5 0 3,6kg/ m. R A torlóonti entaliaváltozás * * c c 9 5,73 i i c 004, J / kg. A fajlagos hőmennyiség * * q, i i wt, J / kg. A rendszerbe időegység alatt bevezetett hőmennyiség: Q mq 7, J / s,577mj / s.,, 7.3. Az entróia Amennyiben az első főtétel (7.49) egyenletéből kifejezzük az elemi hőmennyiséget, kajuk q di vd. (7.50) Az elemi hőmennyiség nem teljes differenciál, viszont, ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk az abszolút hőmérséklettel q c d v d, (7.5) a kaott egyenlet jobb oldaláról könnyen beláthatjuk, hogy az teljes differenciál lett. Az állaotegyenletből következőleg, ezzel v R q c d d R, (7.5) Sánta Imre, BME

80 7 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. vagyis az egyenlet jobb oldalán teljes differenciál kifejezést kaunk. Ez q azt jelenti, hogy az egyenlet bal oldala is teljes differenciál, ezért ez egy új állaotjelző (s) elemi változása illetve integrálva s q ds, (7.53) q állandó Ez az állaotjelző az entróia. Jele: S, mértékegysége: J/K. A fajlagos entróia jele: s, dimenziója: J/(kgK). (7.54) Kéletéből következően az entróia olyan állaotjelző, amelyik nő akkor, ha hőbevezetés, csökken, ha hőelvonás van az adott (ideális) folyamat során. Nem változik értéke, ha nincs hőcsere a rendszer és környezete között. Valójában az entróia ennél a formális matematikai értelmezésnél mélyebb fizikai tartalommal rendelkezik, melynek kifejtésére később, a második főtétel tárgyalásakor térünk ki. Az "S" függvényt először Clausius vezette be 865-ben, s kezdetben "egyenérték szám", "átalakulási érték" (Clausius) "termodinamikai" függvény (Rankine) elnevezésekkel jelölték. Maga az entróia elnevezés kb. 40 éve szinte észrevétlenül alakult ki. A német-görög szótár szerint: die Verwandlung = = átalakulás, ebből a germánosított Entroie, innen edig a latinosított entróia szó származik. Az entróia extenzív állaotjelző és így additív. Mértékegysége az ala összefüggés szerint J/K. Az s = S/m mennyiséget fajlagos entróiának nevezzük. Mértékegysége J/(kgK). Az ideális gáz entróiaváltozásának meghatározásához a feltételes nulla értéket általában a fizikai normál állaotban vesszük fel: ( N =73,5 K, N =035 Pa). Az entróia abszolút értékének meghatározása a műszaki hőtanban lényegében nem szükséges. Bennünket csuán az entróia változása érdekel a Sánta Imre, BME

81 7. A ERMODINAMIKA ELSŐ FŐÉELE 73 folyamatok során, vagyis az entróiakülönbség a folyamat vég és kezdeti állaota között. Kivételt kéeznek azok az esetek, amikor a termodinamikai egyenleteket kémiai reakciókra alkalmazzuk. Az entróia mint állaotjelző általánosságban felírható, mint másik két állaotjelző függvénye: f,, f,v, f,v s s s 3. (7.55) A (7.5) egyenletet integrálva, kajuk: s s c ln Rln. (7.56) Alkalmazva az állaotegyenletet a kezdeti () és végállaotra () kifejezzük a v R, v R v nyomásviszonyt v és a (7.56) egyenletbe helyettesítjük végül s, s c ln Rln c R ln Rln v Az állaotegyenletekből nyert összefüggésbe helyettesítve, kajuk: s v v s v ln s c ln R. (7.57) v v v hőmérsékletviszonyt (7.57) s cv ln Rln cv R ln cv ln v v v v v s ln v s c ln cv. (7.58) v A (7.56), (7.57) és (7.58) egyenletek az entróiaváltozást fejezik ki a termikus állaotjelzők függvényében. v v v, Sánta Imre, BME

82 74 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I s diagram A fentiekben bevezetett új állaotjelző az entróia definiáló (7.53) kéletéből kifejezhetjük az elemi hőmennyiséget: melyből a folyamattal kacsolatos hőmennyiség q ds, (7.59) q ds. (7.60), w, q, w, d v; v q, ds 7.7. ábra A - v és - s diagram s Ez a hőmennyiség - s koordináta rendszerben mint a folyamat alatti terület jeleníthető meg (hasonlóan a térfogatváltozási munkához a - v koordináta rendszerben) (7.7. ábra). A - s diagram a folyamatok termodinamikai analízisének fontos eszköze. Később látni fogjuk, hogy ez a diagram nem csak a folyamattal kacsolatos hőmennyiség, hanem belsőenergia-, entaliaváltozás és a munkák szemléltetésre is alkalmas. Így lehetővé teszi folyamatok összehasonlítását, elemzését grafikusan, bonyolult számítások nélkül is. Példa: Határozza meg a olitróikus kitevő értékét és a fajlagos entróiaváltozás nagyságát annál a reverzibilis komressziónál, ahol v /v =, a térfogatváltozási munka 300 kj/kg, az elvont hő edig 00 kj/kg. (Zárt rendszer). R = 87 J/(kg K); =,4. Sánta Imre, BME

83 7. A ERMODINAMIKA ELSŐ FŐÉELE 75 Megoldás: R 87 c v 77,5 J /( kgk),,4 c cv 77,5,4 004,5 J /( kgk). Az első főtétel alaján írhatjuk u u q w kJ / kg,,, u c 00kJ kg,, c 00kJ kg. u v / q n / A két utóbbi egyenletet egymással elosztva kajuk: cv, illetve c c v cn. n A olitróikus fajhő ebből cv 77,5 cn 358,75 J /( kgk). A olitróikus kitevő c cn 004,5 358,75 n,66. cv cn 77,5 358,75 Az entróiaváltozás q cnd s n cn ln v, ahol, 05 0, 66 v s s s cn ln 358,75ln,05 66,54 J /( kgk). ; Sánta Imre, BME

84 8. Gázkeverékek A gázkeverék különböző gázok (komonensek, alkotók) keveréke, melyek egymással nem lének kémiai reakcióba. A keverékben minden gáz tökéletesen megőrzi saját tulajdonságait és úgy viselkedik, mintha egyedül töltené ki a keverék térfogatát. Heterogén rendszer. Gibbs-féle fázis szabály szerint a szabadságfok (Sz a megadandó araméterek száma), a fázisok (F) és az alkotók száma (A) közötti kacsolat Sz F A. (8.) Egyfázisú (gáz) többalkotós rendszer esetén a heterogén rendszer szabadságfoka Sz A. (8.) vagyis a két állaotjelző mellett szükséges az összetétel megadása is. A gázkeveréket ideális gázok keverékének tekintjük és maga is ideális gáz. Ezért az ideális gázokra meghatározott összefüggések (l. állaotegyenlet) érvényesek a gázkeverékekre is, csak azokba a gázkeverék jellemzőit (gázállandó, fajhők, stb.) kell helyettesíteni. 8.. A gázkeverék összetételének megadási módjai ömegarány (tömegtört) szerinti megadás A gázkeverék tömege, mint az alkotók tömegeinek összege: m Az i-edik alkotó tömegaránya k m m... m n. (8.3) m i gi, (8.4) mk n g i i. (8.5) Sánta Imre, BME

85 8. GÁZKEVERÉKEK 77 érfogatarány (térfogat tört) szerinti megadás Az alkotók és a keverék azonos nyomáson és hőmérsékleten veendők. V Az i-edik alkotó térfogataránya k V V... V n. (8.6) i ri, (8.7) Vk n r i i Sánta Imre, BME V. (8.8) A tömegarány átszámítása térfogatarányba és fordítva Az i-edik komonens tömege a keverék nyomásán és hőmérsékletén érvényes térfogattal számítva a keverék tömege az i-edik komonens tömegaránya a keverékben g i k kvi mi, (8.9) R i k k kvk mk, (8.0) R k i k k mi kvi k Rk Vi Rk. (8.) m R V V R Mivel a térfogatokat azonos nyomáson és hőmérsékleten értelmeztük, viszonyuk a térfogatarány (r i ) g R M k i i ri ri, illetve Ri M k Kilomol- (mol-) arány (moltört) szerinti megadás k r k i R M i k i gi gi. (8.) Rk M i A gázkeverék kilomolszáma megegyezik az alkotók kilomolszámainak összegével Az i-edik alkotó kilomolaránya 3... n k. (8.3)

86 78 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Sánta Imre, BME i i k i k k i i k i r M M g m M M m, (8.4) vagyis a kilomolarány és ez Avogadro törvényéből is következik megegyezik a térfogataránnyal. 8.. Dalton törvénye, az alkotók arciális nyomása A gázkeverékre felírt állaotegyenletből, valamint (8.3)-ból következik k k M k k k k k k k k k k k V R V R M V R m, (8.5) k k M n k V R..., (8.6) mely a következő alakban írható k k M n k k M k k M k k M k V R V R V R V R (8.7) Mivel i i M i i M i R m R M m R, k k n n k k k k k k k V R m V m R V R m V m R , (8.8) ahol i k k i i V m R - az i-edik komonens nyomása a keverék térfogatában a keverék hőmérsékletén, vagyis a komonens arciális (rész-) nyomása. A (8.8) egyenlet tehát a következő alakba írható: k k n k k k k k V V V,...,,. (8.9)

87 8. GÁZKEVERÉKEK 79 Ez Dalton törvénye, mely szerint az ideális gázkeverék nyomása az alkotó gázok nyomásainak összegével egyenlő, amennyiben azok mindegyike egyedül tölti ki a keverék térfogatát a keverék hőmérsékletén. Írjuk fel az állaotegyenletet az i-edik komonensre, amennyiben az egyedül tölti ki a keverék térfogatát a keverék hőmérsékletén A keverékre felírt állaotegyenlet V m R. (8.0) k i k k k i i k k V m R. (8.) A (8.0) egyenletet (8.) egyenlettel elosztva kajuk i k k k k mi Ri ri, (8.) m R vagyis az alkotó arciális nyomásának és a keverék nyomásának aránya megegyezik a térfogataránnyal, melyből r. (8.3) i i k 8.3. A gázkeverék gázállandója Az (8.5) egyenlet szerint g g... g. (8.4) n A tömegarányokat a térfogatarányokkal kifejezve melyből Rk Rk Rk r r... rn, (8.5) R R R n n r r rn.... (8.6) R R R R ezzel a gázkeverék gázállandója térfogatarány szerinti megadás esetén k Sánta Imre, BME

88 80 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. R k n i ri R Amennyiben a (8.8) egyenletből indulunk ki i. (8.7) r r... r, (8.8) n R R Rn g g... gn, (8.9) R R R R k k k k g R gr... gnrn. (8.30) Végül megkajuk a gázkeverék gázállandójának meghatározására szolgáló kifejezést, ha az alkotók tömegaránnyal adottak R k n i g i R i. (8.3) 8.4. Gázkeverék látszólagos (átlagos) molekulatömege A g g... g (8.3) n egyenletből kiindulva, majd a tömegarányokat térfogatarányokkal helyettesítve r M M M n r... rn M k M k M k a keverék látszólagos (átlagos) molekulatömege az alkotók molekulatömegeinek kilomolarány (térfogatarány) szerint súlyozott közéértéke lesz M k n i r M i i. (8.33) Hasonlóan járunk el a térfogatarányok összegének egyenletéből r r... r, (8.34) n Sánta Imre, BME

89 8. GÁZKEVERÉKEK 8 M k M k M k g g... gn, (8.35) M M M M k g M M g M k n i... g gi M i n n g M n n, (8.36). (8.37) A gázkeverék gázállandója a keverék látszólagos molekulatömege segítségével is számítható 8.5. Gázkeverék fajhői R M Rk. (8.38) M k Az m k tömegű gázkeverékkel valamilyen állaotváltozás során közöljünk Q hőmennyiséget. Eközben a keverék hőmérséklete k -ről k re változik, és az alkotók (tömegeik: m i, fajőik: c i ) is ugyanolyan állaotváltozást szenvednek, mint a keverék (l. izochor vagy izobar vagy olitróikus stb.). mk ; k mk ; k A közölt hőmennyiség Q m c. (8.39), k k k k A gázkeverék komonenseinek hőmérséklete megegyezik a keverékével, ezért írhatjuk Q Q, 8.. ábra Hőközlési folyamat a keverékkel m c... m c, mc k k k k n n k k (8.40) Sánta Imre, BME

90 8 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A két egyenlet egybevetéséből következik: m k c k m c mc... mncn mici. (8.4) Ebből a keverék tömegegységre vonatkoztatott fajhője az alkotók fajhőinek tömegarány szerint súlyozott átlaga c k n i i i n i g c. (8.4) Hasonlókéen határozható meg a keverék kilomolhője, mint a kilomolarány (moltört) szerint súlyozott közéérték c n M k ri i c M i (8.43) vagy a térfogategységre vonatkoztatott keverék fajhő, mint az alkotók ugyanilyen fajhőinek térfogatarány szerint súlyozott átlaga c, k n i r c i, i. (8.44) Ezek a kifejezések érvényesek mind a valódi, mind a közees fajhőkre A gázkeverék belső energiája és entaliája A gázkeverék, mint ideális gáz belső energiája egyenlő az alkotók belső energiáinak összegével. m u k U k U U... U n, (8.45) k m u mu... mnun, (8.46) melyből a keverék belső energiájának fajlagos értéke egyenlő az alkotók belső energiáinak tömegarány szerint súlyozott közéértékével: u k n i g u. (8.47) i i Sánta Imre, BME

91 8. GÁZKEVERÉKEK 83 Hasonló módon határozhatjuk meg a gázkeverék entaliáját, mint az alkotók entaliáinak összegét: m I k I I... I n, (8.48) kik m i mi... mnin, (8.49) i k n i g i. (8.50) Eddig a kész gázkeverék jellemzőinek meghatározásával foglalkoztunk. A továbbiakban a különböző gázok keveredési folyamatának számításával a létrejött keverék jellemzőinek meghatározásával foglalkozunk. i i 8.7. Ideális gázok adiabatikus keveredése Keveredés zárt rendszerben 8.. ábra Gázkeverék komonensek keveredés előtt zárt rendszerben A keveredés előtt a gázkeverék alkotói a 8.. ábra szerinti elrendezésben egy szigetelt edényben vannak. A keveredést a válaszfalak eltávolításával valósítjuk meg. A keverék tömege egyenlő az alkotók tömegeinek összegével m k m m... m n Amennyiben a térfogatok összegződnek V Az energiamegmaradás törvénye. (8.5) k V V... V n. (8.5) Sánta Imre, BME

92 84 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. U k U U... U n. (8.53) Amennyiben a belsőenergiák nullértékét 0 K-nél tűzzük ki, írható m melyből a keverék hőmérséklete k mc k c vk m v k m cv mcv... mncvnn, (8.54) cv... mnc m c a keverék nyomása az állaotegyenletből k vk vn m R n n i n i m c i i vi m c vi i, (8.55) k k k k. (8.56) Vk Keveredés nyitott rendszerben 8.3. ábra Gázkeverék komonensek keveredése nyitott rendszerben Két alkotóra végezve a levezetést, először felírjuk a tömegáram megmaradás törvényét (8.3. ábra) m majd az energiamegmaradás egyenletét m i k * k k m m, (8.57) A * A A B m i m i, (8.58) * B B Sánta Imre, BME

93 8. GÁZKEVERÉKEK 85 Sánta Imre, BME ahol * * c c c c i i, (8.59) * c c. (8.60) Behelyettesítve (8.58)-ba B B B B A A A A k k k k c c m c c m c c m (8.6) vagy * B B B * A A A * k k k c m c m c m. (8.6) Melyből a keverék torlóonti hőmérséklete k k * B B B * A A A * k c m c m c m, (8.63) illetve általában k k n i * i i i * k c m m c. (8.64) Elhanyagolható sebességek esetén k k n i i i i k c m m c. (8.65) 8.8. Entróiaváltozás a keveredés során A keveredés során bekövetkező entróiaváltozás egyenlő az alkotók entróiaváltozásainak összegével. Az alkotók jellemzőinek megváltozását a következő táblázatban foglaltuk össze:

94 86 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Komonensek jellemzői Keveredés előtt Keveredés után ömeg m i m i Nyomás i i érfogat V i V k Hőmérséklet i k Az egyes alkotók keveredés során bekövetkező entróiaváltozásait az ideális gázokra levezetett,v f, f,v Si f 3 összefüggések valamelyikével határozhatjuk meg. A legkézenfekvőbbnek a kifejezés tűnik. Ezzel az entróiváltozás a keveredés során: k Vk S i mi cvi ln Ri ln (8.66) i Vi n k Vk S k mi cvi ln Ri ln. (8.67) i i Vi Hasonlóan járhatunk el az f,, vagy f,v S i Si 3 függvénykacsolatok választása esetén is, de szem előtt kell tartani, hogy az alkotó nyomása a keveredés után a arciális nyomás. Vagy S S k k n i n i m i c m i c v i v i ln k i ln i i R i c ln i i i (8.68) V k ln V. (8.69) i Sánta Imre, BME

95 8. GÁZKEVERÉKEK 87 Példa: Adiabatikusan összekeverünk 3 kg oxigént (=3 bar, t = 45 o C) és kg levegőt ( = 5 bar, t = 50 o C) úgy, hogy a térfogatok összegződnek. Határozza meg a keverék hőmérsékletét és nyomását, valamint az alkotók térfogatszázalékos összetételét! R M = 834 J/(kmol K), M O = 3, M lev =9 Megoldás: Az alkotók gázállandói és fajhői: R M R 59,8J /( ) M 3 kgk, 0 RM 834 Rlev 86,68 J /( kgk), M lev 9 f 5 cvo RO 59,8 649,53 J /( kgk), f 5 cvlev Rlev 86,68 76,7 J /( kgk). A keverék hőmérséklete mcv mcv 3 649,5338,5 76,7 53,5 405, mcv mcv 3 649,53 76,75 Az oxigén kezdeti térfogata kev 04 m R 3 59,838,5 VO 866 O O O 3 0, m. 5 O 30 Az levegő kezdeti térfogata V m R 86,6853,5 lev lev lev 3 lev 0,6 m. 5 lev 50 A keverék térfogata V kev VO Vlev 0,866 0,6, 466 m A keverék tömege m m m 3 kg. kev O lev 5 ömegarányok a keverékben 3 K Sánta Imre, BME

96 88 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. mo 3 mlev g O g 0,6 ; g lev g 0, 4. m 5 m 5 kev A keverék gázállandója R kev g O RO glevrlev 0,6 59,8 0,4 85,68 70,56 J /( kgk). A keverék nyomása mkev Rkev kev 5 70,56 405,04 5 kev 3,340 Pa 3, 34bar. V,466 kev Mivel levegő keveredik oxigénnel, a keverékben csak oxigén és nitrogén lesz. A levegőben az alkotók (oxigén, nitrogén) térfogatarányai: r 0,; r 0, 79. 0( lev) R N N ( lev) R 834 M 96,9 J /( ) M 8 kgk. N A levegőben levő nitrogén és oxigén tömegének meghatározásához számítsuk át a fenti térfogatarányokat tömegarányokra: Rlev 86,68 g N ( lev) rn ( lev) 0,79 0,767 ; R 96,9 N Rlev 86,68 g O( lev) ro ( lev) 0, 0,373. R 59,8 O A levegőben levő N és O tömege mn ( lev) mlev g N ( lev) 0,767, 554kg, mo( lev) mlev go( lev) 30,373, 4746kg. A keverékben a nitrogén és az oxigén tömege mn ( kev) mn ( lev), 554kg, mo( kev) mo mo( lev) 3,4746 4, 4746kg. Az alkotók tömegarányai a keverékben: mn ( kev),554 g N ( kev) 0,35, m 5 kev kev Sánta Imre, BME

97 8. GÁZKEVERÉKEK 89 mo( kev) 4,4746 g O( kev) 0,6949. m 5 kev Az alkotók térfogatarányai a tömegarányokból RN 96,9 r N ( kev) g N ( kev) 0,35 0,337 ; R 7,56 kev RO 59,8 r O( kev) go( kev) 0,6949 0,6673. R 7,56 kev Az alkotók arciális nyomásai, O kevro ( kev) 3,34 0,6673, 94bar,, N kevrn ( kev) 3,34 0,337, 6bar. A keveredés során bekövetkező entróiaváltozás S k m c v 3 649,53ln k ln 405,04 38,5 V k R ln m c V,466 59,8ln 0,866 ln 405,04,466 76,7ln 96,9ln 043,44 J / K. 53,5 0,6 v k V k R ln V Sánta Imre, BME

98 9. Nevezetes ideális gázfolyamatok A következőkben áttekintjük az eddigi tanulmányinkból már részben megismert nevezetes ideális folyamatokat, melyek munkaközege ideális gáz. A folyamatok tárgyalásának menete az állaotjelzők közötti kacsolat feltárásából, a folyamatok - v és - s diagramban történő ábrázolásából és a termodinamika első főtételének adott folyamatra való alkalmazásából a hőmennyiségek, munkák meghatározásából áll. 9.. Izochor (v = állandó) folyamat Írjuk fel az állaotegyenlet a kezdeti () és végállaotra (): v R, (9.) v R. (9.) 9.. ábra Izochor folyamat Figyelembe véve, hogy v v osszuk el a második egyenletet az elsővel megkajuk az izochor állaotváltozás során az állaotjelzők közötti kacsolatot vagy const., (9.3) mely a Gay-Lussac II. törvénye nevet viseli. Alkalmazzuk a vizsgált folyamatra a termodinamika I. főtételét. u u q, w, A folyamattal kacsolatos hőmennyiség v q. (9.4), cv. (9.5) A folyamat során a zárt rendszer munkája (7.) kifejezés alkalmazásával A (9.4) egyenletből w, dv 0. (9.6) Sánta Imre, BME

99 9. NEVEZEES IDEÁLIS GÁZFOLYAMAOK 9 u u q,. (9.7) A nyitott rendszer munkájának kifejezését a termodinamika I. főtételének (7.30) egyenletéből, illetve a technikai munka (7.6) összefüggésének izochor folyamatra történő alkalmazásával nyerhetjük w t, c c c c c c vd v d v, (9.8) w t, c c R. (9.9) Az összenyomhatatlan vagy annak tekinthető közeget szállító gé (l. ventilátor, szivattyú) teljesítményigénye meghatározható az izochor folyamat technikai munkájának (9.8) egyenlete segítségével P mw t, c m c ahol V - a térfogatáram. mv m V c c, (9.0) Az izochor folyamat (v=állandó) görbéjének egyenlete - s diagramban v <v arctg c v Alkalmazzuk az entróia q ds kifejezését a v = állandó folyamatra. Mivel q cvd, helyettesítéssel megkajuk a v = állandó vonalak differenciálegyenletét c v 9.. ábra - v = állandó görbék A hőmérsékletet kifejezve a görbe egyenlete s d ds cv, (9.) melyből integrálással kajuk s s0 cv ln. (9.) 0 Sánta Imre, BME

100 9 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. ss0 c v e, (9.3) vagyis a v = állandó folyamatotokat exonenciális görbékkel írjuk le. A görbék érintőjének iránytangense 0 d ds v c v. (9.4) ehát a v = állandó görbék azonos hőmérsékleten azonos iránytangenssel rendelkeznek, amely azt jelenti, hogy a különböző térfogatokhoz tartozó görbék vízszintes eltolással származtathatók egymásból, illetve egymással fedésbe hozhatók. (A két egymás melletti görbe közötti vízszintes távolság entróiaváltozás mindenütt azonos). A két görbe közötti izotermán bekövetkező entróiaváltozás alaján meghatározható a térfogat növekedési iránya v s s Rln. (9.5) v ehát az egyes görbékhez tartozó fajtérfogat értékek az entróia növekedés irányába nőnek. Ez a kélet is mutatja, hogy két v=állandó görbe között az izotermikus metszékek azonosak. 9.. Izobár ( = állandó) folyamat. Az izochor folyamathoz hasonlóan írhatjuk 9.3. ábra Izobár folyamat v, v R, v R, a két állaotegyen- ahol letből kajuk v vagy const. v v Ez Gay-Lussac I. törvénye. A folyamattal kacsolatos hőmennyiség v q v, c. Sánta Imre, BME

101 9. NEVEZEES IDEÁLIS GÁZFOLYAMAOK 93 Az első főtételből következőleg (9.7) q, i i vd i i. (9.8) A zárt rendszer munkája (térfogatváltozási munka) a (7.) egyenlet alaján w, dv v v R. (9.9) A nyitott rendszer munkája (technikai munka) a (7.6) egyenlet alkalmazásával c c c c w t, vd. (9.0) A folyamat görbéjének egyenlete - s diagramban c kajuk a = állandó görbék egyenletét: arctg c 9.4. ábra = állandó görbék s ss0 c Hasonlóan járunk el, mint az izochor folyamatnál tettük, vagyis alkalmazzuk az entróia ds kife- q v > jezését most a = állandó folyamatra, ahol q c d ezzel d ds c, (9.) melyből integrálással kajuk s s0 c ln. (9.) 0 A hőmérsékletet kifejezve a 0 e. (9.3) vagyis a = állandó folyamatotokat is exonenciális görbékkel írjuk le. A görbék érintőjének iránytangense Sánta Imre, BME

102 94 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. d ds c. (9.4) Mivel c >c v, d ds d. (9.5) ds v ehát a v = állandó görbék meredekebben haladnak, mint az izobárok. Az izobár folyamat görbéire ugyanazon megállaítások érvényesek, mint amelyeket az izochorokra tettünk. Itt az érintő szubtangense az állandó nyomásra vonatkozó fajhő. A két izobár közé rajzolt izoterma mentén bekövetkező entróiaváltozásból meghatározhatjuk a két nyomás egymáshoz kéesti viszonyát, illetve a nyomásnövekedés irányát. s s Rln >0, azaz. ehát az egyes görbékhez tartozó nyomásértékek az entróiacsökkenés irányába nőnek Izotermikus ( = állandó) folyamat 9.5. ábra Izotermikus folyamat A görbe egyenlete v Az állaotegyenlet az és állaotban v R, v R mivel, állandó, az állaotegyenletekből következik v v v állandó. Ez a Boyle Mariotte-törvény. (9.6) állandó R, (9.7) v v Sánta Imre, BME

103 9. NEVEZEES IDEÁLIS GÁZFOLYAMAOK 95 mely egy egyenlőszárú hierbolát ír le. A különböző hőmérsékletekhez tartozó hierbolák menetét az R állandó értéke határozza meg. Mint az egyenletből kitűnik, a nagyobb hőmérsékletnek megfelelő hierbola a negyvenöt fokos szögfelező mentén feljebb helyezkedik el. A folyamattal kacsolatos térfogatváltozási munka A technikai munka w v, dv R ln. (9.8) v c c c c w t, vd R ln. (9.9) Belsőenergia- és entaliaváltozás (csak ideális gázok esetén) u u 0, i i 0. A folyamattal kacsolatos hőmennyiség c 0 0 q, c const const. Ebből az egyenletből következik, hogy az izotermikus folyamat fajhője q, s s 9.6. ábra Izotermikus folyamat hőmennyisége s c. const A hőmennyiséget az első főtétel (7.6) összefüggéséből kajuk meg q, w, v dv R ln v (9.3) vagy a - s diagram alaján az entróiaváltozásból (9.6. ábra) q, s s (9.3) határozzuk meg Ideális adiabatikus folyamat (q,, q = 0) Alkalmazzuk az I. főtétel differenciális alakjait az adiabatikus folyamatra Sánta Imre, BME

104 96 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. du q dv, du cvd, (9.33) di q vd, di c d, (9.34) melyekből c v d dv, (9.35) c d vd. (9.36) A (9.36) egyenlet (9.35)-el történő osztásával c vd, cv dv a változók szétválasztása után kajuk dv d. (9.37) v A (9.37) differenciálegyenlet integrálása dv d C, (9.38) v lnv ln lnc, (9.39) melyből v C állandó. (9.40) Az adiabatikus folyamat tehát a -v diagramban nem egyenlőszárú hierbola. Az izotermához kéesti helyzete a 9.7. ábrán látható. Az állaotjelzők közötti kacsolatok (Poisson-egyenletek) adiabata izoterma 9.7. ábra Adiabatikus folyamat v Sánta Imre, BME

105 9. NEVEZEES IDEÁLIS GÁZFOLYAMAOK 97 Sánta Imre, BME v v, v v, (9.4) v v v v, v R R v, v v, (9.4). (9.43) Az adiabatikus folyamat térfogatváltozási munkáját az első főtétel,, w q u u, (9.44) egyenletéből határozzuk meg 0 q, helyettesítéssel v, c u u w. (9.45) Ez a kifejezés további alakokra hozható v v R c w v, (9.46) vagy R R w, (9.47) vagy v v R R w, stb. (9.48) A folyamat technikai munkája legegyszerűbben szintén a termodinamika I főtételének megfelelő alakjából határozható meg: t,, * * w q i i, (9.49)

106 98 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. w t, stb. w t, c c w t, * * c c i i c, (9.50) c c c c R R v v c c c c, (9.5), (9.5) A folyamattal kacsolatos hőmennyiség c 0 Mivel 0, a hőmennyiség azért lesz zérus, mert a folyamat fajhője c ad 0. q, ad. q Az entróiaváltozás ds definiáló kélete szerint az ideális adiabatikus állaot- változás során ds=0, melyből következik s s. Ezt az állaotváltozást ezért izentróikus állaotváltozásnak is nevezzük. Az ideális adiabatikus állaotváltozás - s diagramban s = állandó vonallal ábrázolható (9.8. ábra). Az eddig vizsgált ideális folyamatokban közös volt, hogy a folyamat során valamilyen állaotjelző vagy folyamatjellemző (q, ) állandó volt. Foglaljuk össze a következő táblázatban a folyamatok egyenleteit, hőmennyiségeit és fajhőit. Amennyiben a kaott eredményeket elemezzük, azt látjuk, hogy a négy folyamat mindegyikének saját állandó fajhője van. ehát a vizsgált folyamatokat jellemezi a folyamat során érvényes fajhő értéke c, c,, 0. v s 9.8. ábra Izentróikus komresszió Sánta Imre, BME

107 9. NEVEZEES IDEÁLIS GÁZFOLYAMAOK 99 Folyamatok Egyenlet Hőmennyiség Fajhő Izochor v = állandó cv cv Izobár = állandó c c = állandó v Izotermikus R ln v = állandó v Adiabatikus q,, q = Politróikus folyamat (c n = állandó) Definiáljunk egy olyan folyamatot, illetve folyamatcsoortot melynek az a jellemzője, hogy a fajhője bármilyen értékű lehet, de a folyamat során állandó. Ez a folyamat a olitróikus folyamat, melynek alavető jellemzője, hogy fajhője Ezzel a folyamattal kacsolatos hőmennyiség Az elemi hőmennyiség q c n = állandó. (9.53), cn. (9.54) q c d. n Az állaotjelzők közötti kacsolat feltárására alkalmazzuk az adott folyamatra az adiabatikus folyamathoz hasonlóan az első főtétel differenciális alakjait. du q dv, du c d, (9.55) di q vd, di c d, (9.56) c d c d dv, (9.57) v n c d c d vd, (9.58) c c v c c n n n vd dv v, (9.59) Vezessünk be az egyenlet bal oldalán új változót (n), melyet olitróikus kitevőnek nevezünk: Sánta Imre, BME

108 00 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. c cn n, (9.60) c c v n dv d n, (9.6) v dv d n C, (9.6) v nln v melyből a olitróikus állaotváltozás egyenlete ln ln C, (9.63) v n C állandó. (9.64) Az állaotjelzők közötti kacsolatok (Poisson-egyenletek):, n n v v n n vv vv, R v v v n, (9.65) n n Rv, (9.66) v v n, n n. (9.67) A olitróikus fajhő kifejezése, mint az n függvénye a (9.60) egyenletből kifejezve: c n c v n. (9.69) n A fajhő változását a olitróikus kitevő függvényében a 9.9. ábra szemlélteti. A olitróikus folyamat munkáinak kifejezéseit legegyszerűbben a termodinamika első főtételének matematikai egyenleteiből nyerhetjük. u i u q, w,, (9.70) * * i q, wt,, (9.7) Sánta Imre, BME

109 9. NEVEZEES IDEÁLIS GÁZFOLYAMAOK 0 A térfogatváltozási munka A technikai munka 9.9. ábra A olitróikus fajhő változása w t, w c c. (9.7), v n c c c c n. (9.73) Az izochor, izobár, izotermikus és adiabatikus folyamatok a olitróikus folyamatok egy-egy tiikus fajtái, melyek a következő olitróikus kitevővel rendelkeznek A folyamat neve Egyenlete Politróikus kitevő (n) értéke Izochor v állandó Izobár állandó 0 Izotermikus v állandó Adiabatikus v állandó A olitróikus folyamat tehát általában egy folyamatcsoort, mely végtelen sok olyan folyamatot foglal magába, amelyik állandó fajhővel rendelkezik. A fajhő értéke cn lehet. A olitróikus folyamat során a olitróikus kitevő értéke állandó, és n értéket vehet fel. Sánta Imre, BME

110 0 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Példa: () Mennyi hőt kell 3 kg = bar nyomású, v = 0, m 3 /kg fajtérfogatú COval állandó térfogaton közölni, hogy az azt követő adiabatikus exanzió végén a 3 = bar és v 3 =,5 m 3 /kg araméterekkel jellemzett állaotba jusson. R M =834 J/(kmol K), M CO =8. Megoldás: v =v 3 v 3 3 Az állandó térfogaton közölt hő Q, mcv. A CO gázállandója RM 834 R 96,9 J /( kgk). M CO 8 A c v fajhő R 96,9 c v 74,5 J /( kgk).,4 A hőmérséklet az állaotegyenletből s v 0 5 0, 67, 36 K. R 96,9 Gay-Lussac törvényéből következik:. A. állaot nyomását az adiabatikus állaotváltozás összefüggését felhasználva határozhatjuk meg:, 4 v3 5, 3 33, 58bar v 0,. A hőmérséklet 33,58 67,36 6 K. A hőmennyiség 6 Q mcv 374,5 6 67,36 4,88690 J 4, 8869 MJ, Sánta Imre, BME

111 9. NEVEZEES IDEÁLIS GÁZFOLYAMAOK 03 Példa (): m = kg/s levegő ideális olitróikus folyamata a = 4 bar, t = 7 o C állaotú ontban kezdődik és áthalad a a = 8 bar t a = 87 o C állaoton. A folyamat teljesítményigénye 00 kw. Meghatározandó: a) a végállaot araméterei (, v, t,); b) a folyamattal kacsolatos hőmennyiség; c) a szükséges hűtővíz mennyiség, ha felmelegedése 5 o C lehet. R lev =87 J/(kg K), =.4, c víz =489 J/(kgK), c c. Megoldás: A végállaot jellemzőit a teljesítményigényből a határozhatjuk meg: P mw t, m c cn. A olitróikus fajhőt az és a állaotok között felírt Poisson-egyenletből számítjuk: s n n ln a n a, a n ln a n, ln ln 460 a 4 ln ln 8 a A olitróikus fajhő n,56,4 cn cv 77,5 48,68 J /( kgk). n,56 A teljesítmény kéletéből a kiléő hőmérséklet 6 P, m c c ,68 n A folyamat végnyomása Poisson-egyenletből 768,3 K. Sánta Imre, BME

112 04 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. n,56 n 786,3,56 4 4,3bar. 400 A fajtérfogat az állaotegyenletből R ,3 3 v 0,097 m / kg 5 4,30. A folyamattal kacsolatos hőmennyiség: Q mc 48,68 786,3 400, n 3 33,4890 J / s. Ezt a hőmennyiséget a hűtővíz viszi el (abba bevezetésre kerül). Q m c t, víz víz víz. Ebből a szükséges hűtővíz tömegáram Q, m 5,48kg s víz c t /. víz víz Példa (3) Egy levegőkomresszor olitróikusan levegőt sűrít. A komresszió során a levegő entaliája,9.0 5 kj/h értékkel nő. A sűrítésre fordított teljesítmény 60 kw. Határozza meg a folyamat olitróikus kitevőjét, valamint a szükséges hűtővíz mennyiségét, ha felmelegedése 0 o C lehet. c víz =489 J/(kg K), R = 87 J/(kg K), =,4. Megoldás: Komresszor t ki Az első főtétel m i i Q, m wt,. A hőmennyiség Q, m i, i mw t, 60 7,kW. másrészt mint a olitróikus folyamat hőmennyisége Q., mcn t be m víz M Sánta Imre, BME

113 9. NEVEZEES IDEÁLIS GÁZFOLYAMAOK 05 Az entaliaváltozás i i mc m. A két egyenletet egymással elosztva, kajuk Q m i c n, c i A olitróikus fajhő 7, 0368,. 5, 777 cn 0, 368c 0368, , 5 J / kgk. A olitróikus kitevő c cn , 5 4, 5 n 3357,. c c 77, 85 37, 5 855, 377 v n A hűtővíz hőmérlege (a gázból távozó hő a hűtővizet melegíti ezért ozitív lesz) m víz c víz t Q, víz, ebből a hűtővíz tömegárama Q, 70 m víz 0, 7 kg / s. c t 4890 víz Példa (4): víz Nitrogén m = 0, kg/s mennyiségben állandósultan, súrlódásmentesen áramlik egy fúvókában. A gáz a fúvókához,8 bar nyomással és 00 o C hőmérsékleten 5 m/s sebességgel érkezik, s a fúvókában izentróikusan exandál,6 bar nyomásig. Határozza meg a fúvóka kiléési keresztmetszetét! M N = 8, R M = 834 J/(kmol K). Megoldás: c c Fúvóka Az első főtétel * * i i q, wt, q 0, w 0,, i * i * 0, t,, Sánta Imre, BME

114 06 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. i * * c c i i i. Melyből a sebesség i i c c c c. A keresztmetszetet a kontinuitás egyenletéből határozzuk meg: m c A A m. c Mivel az exanzió folyamat izentróikus (ideális adiabatikus), ezért, 4 6,, 4 373, 8 37, 83K, c RN 3, 5 96, , 5 J / R 834. M 8 M ahol R 96, 93 J / kgk N A kiléő sebesség kgk 37, , m / s c 039, A kiléő sűrűség 6, R 96, 9337, , kg / m. A kiléő keresztmetszet N m 0, A, c 56, 338, 96 4, m. Sánta Imre, BME

115 9. NEVEZEES IDEÁLIS GÁZFOLYAMAOK Politróikus folyamatok és munkáik ábrázolása Politróikus folyamatok ábrázolása - v és - s diagramban A olitróikus folyamatok - v és - s diagramokban történő ábrázolásához először viszonyító görbeként a már megismert ideális folyamatokat célszerű a diagramokban a 9.0. és 9.. ábrákon látható módon feltüntetni. Amennyiben görbék metszésontját választjuk az ábrázolandó folyamat kezdőontjának, a folyamat ábrázolása egyértelmű lesz és a folyamat sajátosságait illetően további általánosítható megállaítást tehetünk. A diagramokon az onton átmenő v = állandó vonaltól jobbra haladó folyamatok exanziót, az ezzel ellentétes irányú folyamatok komressziót jelölnek. Az alagörbék mindkét végén feltüntettük a olitróikus kitevők értékét is Exanzió adiabata 0 izochor Komresszió izobar izobar n = 0 n= izoterma izoterma adiabata 0 izochor n = n = - + v - + s n = 9.0. ábra Viszonyító görbék a - v diagramban 9.. ábra Viszonyító görbék a - s diagramban A folyamat - v, illetve - s diagram-béli menete alaján eldönthető a folyamattal kacsolatos hőmennyiség, munkák, entalia- és belsőenergiaváltozás előjele (9., 9.3. ábrák). A hőmennyiség akkor ozitív, ha a folyamat az ontból kiindulva a - v diagramban az adiabata fölött, illetve - s diagramban az entróianövekedés irányába halad (ez következik az entróia definiáló egyenletéből). Sánta Imre, BME

116 08 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. + - w, <0 w t, > w t, >0 0 u, i<0 - + n = 9.. ábra Előjelek - v diagramban u>0 q, >0 i>0 n = 0 n= n = n = Mivel ideális gázoknál a belső energia és az entalia csak a hőmérséklet függvénye, a belsőenergia-változás és entaliaváltozás előjeléről a folyamat izotermához kéesti helyzete alaján dönthetünk. A = állandó vonal fölött haladó folyamatok belsőenergia- és entalianövekedéssel járnak. Az elemi fizikai (térfogatváltozási) munkát a w dv összefüggés adja meg, melyből látható, hogy a munka előjele a dv térfogatváltozás előjelétől függ. A térfogat növekedésekor (exanzió) a térfogatváltozási munka negatív, míg ellenkező esetben ozitív. Az elemi technikai munka a sebességváltozás elhanyagolásával a w t vd egyenlettel számítható. Ebből következik, hogy a technikai munka előjele a nyomásváltozás előjelével egyező. v w, < s q, > ábra Előjelek s diagramban Belsőenergia- és entaliaváltozás ábrázolása - s diagramban A belsőenergia-változás ideális gázoknál az u c u v (9.74) egyenlettel számítható, mely megegyezik a hőmérséklethatárok között állandó térfogaton közölt hőmennyiséggel. A (9.74) összefüggés u u cv 0) cv ( 0 (9.75) Sánta Imre, BME

117 9. NEVEZEES IDEÁLIS GÁZFOLYAMAOK 09 alakban is írható, ahol az egyenlet jobb oldalának két tagja a 0 K tól számított belsőenergiákat jelöli, melyek, mint állandó térfogaton közölt hőmennyiségek értelmezhetők. v v v u -u i -i u i a b c d = 9.4. ábra A belsőenergiaváltozás szerkesztése e s f g c h e s = 9.5. ábra Az entaliaváltozás szerkesztése Ezek a hőmennyiségek (és ezzel a belső energiák) - s diagramban v=állandó görbék alatti területek lesznek. A 9.4. ábrán u ˆ terület( a c ), u ˆ terület( d e ). A belsőenergia-változást a két terület különbségeként értelmezzük. Szerkesztése a kisebbik terület (u ) 9.4. ábra szerinti eltolásával történik. A belsőenergia-változás abszolút értékét a különbségkéen létrejött - -bc- vonalkázott terület jelöli. Az entaliaváltozás ábrázolása (9.5. ábra) esetében hasonlókéen járunk el, csak mivel az entaliaváltozás az i c i (9.76) egyenlettel határozható meg, az entalia területeket az állandó nyomásgörbe alatti területek i ˆ terület( f c ), i ˆ terület( h e ), az entaliaváltozás abszolút értékét edig az - -g-c- terület szemlélteti. Sánta Imre, BME

118 0 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I Munkák ábrázolása - s diagramban. A termodinamika első főtétele alaján a fizikai, illetve a technikai munka c esetén) kifejezése ( c w, u u q, és w t, i i q,. (9.77) ehát a munkák a hőmennyiség és belsőenergia-változás (vagy entaliaváltozás) ismeretében határozhatók meg. A területeket, mint az adott mennyiségek (entaliaváltozás, belsőenergia változás, hőmennyiség) abszolút értékeit értelmezzük, vagyis amennyiben u u 0 u u u, u i i 0 i i i i q, 0 q, q,. A helyettesítéseket a (9.77) egyenletbe ennek megfelelően végrehajtva, az megmutatja milyen műveletet kell végezni a - s diagramban ábrázolt hő-, belső energia, entalia területekkel (abszolút értékes mennyiségek) a munkák meghatározása céljából., v v v v v v q, u -u w, ' a bc e a) s a c d e b) s a bc d e c) s 9.6. ábra A (0<n<) olitróikus exanzió folyamat térfogatváltozási munkaterületének szerkesztése A 9.6. ábrán látható (0<n<) olitróikus exanzió folyamat esetében a térfogatváltozási munka meghatározásához írhatjuk A kérdéses munka q q,,, u u u u. (9.78) Sánta Imre, BME

119 9. NEVEZEES IDEÁLIS GÁZFOLYAMAOK w, u u q, u u q, q, u u, (9.79) vagyis a területeket ki kell vonni egymásból és mivel a kivonandó terület a nagyobb, a munka előjele negatív lesz. Megjegyezzük, hogy a munka előjele a folyamat menete alaján már előbb meghatározható (9.. vagy 9.3. ábra alaján). A 9.7. ábrán látható folyamat (<n<, exanzió) esetében a technikai munka grafikus meghatározása látható. A technikai munka kifejezése Ehhez szükséges mennyiségek Ezzel q q, w t, i i q,. (9.80), és i i i i. (9.8) q, i i q w t, i i,, (9.8) tehát a két területet most össze kell adni. (9.7/c. ábra - -d-f-- terület) A hőmennyiség és a belsőenergia- vagy entaliaváltozás területei közötti műveletek vonatkozásában a következő megállaítások tehetők. v q, i -i v v w t, a b c e f a) s a b c d b) e s a b c d e c) f s 9.7. ábra Az (<n<) olitróikus exanzió folyamat technikai munkaterületének szerkesztése A (9.77) egyenletekből következik, hogy amennyiben a folyamattal kacsolatos hőmennyiség és az entaliaváltozás (vagy a belsőenergiaváltozás) ellentétes előjelű, a munka a két terület (q, és u vagy i) összege lesz (9.7.ábra). Ha a fenti mennyiségek azonos előjelűek a területeket ki kell vonni egymásból (9.6. ábra). Sánta Imre, BME

120 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Mivel q, cn, u cv, i c c n <0 I. IV. II.. III. c n < ábra A olitróikus fajhő előjele s a q, és u (vagy i) akkor lesz ellentétes előjelű, ha c n <0. Ez mint a 9.9. ábrából kitűnik az <n< kitevőjű olitróikus folyamatokra igaz, vagyis melyek a -s diagramban az ontból kiindulva a bejelölt (I. és III.) negyedekben haladnak (9.8. ábra). A szerkesztés során a 9.8. ábra szerinti II. és IV. negyedekben elhelyezkedő folyamatoknál amenynyiben a szerkesztés a leírtak szerint történik a területek részben fedik egymást, vagyis a különbségkézés automatikusan végbemegy (9.6. ábra). Összefoglalva: az adott folyamattal kacsolatos munkaterületek megszerkesztéséhez meg kell határozni a folyamattal kacsolatos hőmennyiségnek megfelelő területet (a folyamat görbéje alatti terület) és térfogatváltozási munka esetén a belsőenergia-változás területét (állandó térfogati görbék alatti területek különbsége) technikai munkához az entaliaváltozás területét (állandó nyomásgörbék alatti területek különbsége). Mind a belső energia, mind az entalia különbségkézéshez a kisebbik területet toljuk el (a - s diagramban a folyamat kisebb hőmérsékletű kezdeti vagy végontját átvetítjük a másik nyomás vagy térfogati görbére). Amennyiben a hőmennyiség és a belsőenergia-változás (vagy entaliaváltozás) területe egymás mellé adódik, a munka a két terület összege, részleges fedés esetén a munkaterület a másik által nem fedett területrész lesz. A munka előjele a folyamat ábrázolása után az előzőekben leírtak szerint a területszerkesztés előtt eldönthető. Sánta Imre, BME

121 0. Seciális feladatok az I. főtétel témaköréből 0.. Nem olitróikus folyamatok Példa (): Egy U-alakú cső egyik vége zárt, a másik nyitott (0.. ábra). A függőleges szárak l hosszúságúak, s a cső állandó keresztmetszetű (A). Kezdetben a higany h 0 magasságban a 0.. ábra szerinti helyzetben van a függőleges szárakban. Mennyi hőt kell közölni az elzárt részben levő levegővel, hogy a higany szintjének eltérése a két ágban h értékű legyen? (A bevezetett hő teljes egészében a gázt melegíti!) Adott még: gázállandó (R), adiabatikus kitevő (), a higany sűrűsége ( Hg ), a környezeti nyomás ( 0 ). Megoldás: l h A 0 0 y h 0 fűtés = 0 m kg levegő Hg 0.. ábra U-alakú cső egyik ágában fűtéssel ahol y a higanyfelület süllyedése a fűtött ágban. A fűtött gáz kezdeti térfogata V Al h 0 Írjuk fel az első főtételt a fűtött térre U U Q, W,. (0.) A térfogatváltozási munka V W, dv. (0.) V Nyomás az adott térben 0 Hg gy. (0.3). A gáz térfogatának változása a folyamat során elemi térfogatváltozás A folyamat egyenlete V V Ay, (0.4) dv Ady. (0.5) Sánta Imre, BME

122 4 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. V V Hg gv g Hg 0 Hg g 0 V. (0.6) A A A Látható, hogy a =f(v) függvénykacsolat lineáris, a folyamat nem olitróikus. A (0.)egyenlet h ahol y 0 ; y. A térfogatváltozási munka értéke h y W, 0 Hg g y Ady, (0.7) W 0 Hg 0 Hg 0 4, y h h gyady g A Belsőenergia-változás. (0.8) V V U U mcv. (0.9) Nyomás és térfogat a végállaotban h V A, (0.0) V gh. (0.) 0 Hg A folyamat során közlendő hő mennyisége V V h Q, U U W, 0 Hg h g. (0.) 4 Példa (): Vízszintes, A d keresztmetszetű hengerben V térfogatú, t hőmérsékletű, a környezetivel megegyező o nyomású levegő van. A dugattyút egy hosszú kezdetben erőmentes k r erősségű rugó támasztja meg. A henger fűtése következtében a levegő a rugóerőt legyőzve eredeti térfogatának másfél- Sánta Imre, BME

123 0. SPECIÁLIS FELADAOK AZ I. FŐÉEL ÉMAKÖRÉBŐL 5 szeresére tágul. Határozza meg a közölt hőmennyiséget! Ismert továbbá a gázállandó és az adiabatikus kitevő. Megoldás: V = 0 0 Kezdeti állaotban a rugóerő zérus. x x 0 F 0. r Fűtés 0 x x 0.. ábra Rugó ellenében táguló gáz x A gáz tágulásakor a rugóerő értéke F r kr x. Alkalmazzuk a folyamatra az első főtételt U, U Q, W, Q dv. (0.3) A belsőenergia-változás mr V V U U mcv. (0.4) A térfogat V V V V A x. (0.5) d Elemi térfogatváltozás dv A dx. (0.6) Végtérfogat V V Ad x. A végtérfogathoz tartozó dugattyú elmozdulás x V A nyomás Sánta Imre, BME d V. (0.7) Ad

124 6 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Sánta Imre, BME d r 0 A xk. (0.8) A folyamat egyenletét =f(v) alakban x behelyettesítésével kajuk meg V A k A k V A k V V d r d r 0 d r 0, (0.9) mely egy tengelymetszetes egyenes egyenlete. Csak az origón áthaladó egyenes által leírt folyamat elégíti ki a olitróikus folyamat (v n = állandó) követelményeit, amikor n = -. Ez d r 0 A k V esetén áll fenn. x x x x r d 0 x x d d r 0 V V dx xk dx A dx A A xk dv, (0.0) x k x A k x x x x A xdx k dx A dv r d r d x x x x r d V V (0.) A hőmennyiség x k x A V V dv U U Q r d 0 V V,. (0.) 0.. Jendrassik-indítás elve Példa: Egy hőszigetelt tartályban a levegő jellemzői,, t, a környezeté 0, t 0. ( < 0 ). Meghatározandó a tartályban lévő közeg hőmérséklete abban az esetben, ha a 0, t 0 állaotú levegő a tartályba (nyomásegyenlőségig) beáramlik. Adott az adiabatikus kitevő ().

125 0. SPECIÁLIS FELADAOK AZ I. FŐÉEL ÉMAKÖRÉBŐL 7 Megoldás: A folyamatban a 0.3. ábra szerinti három három szakaszt különböztethetjük meg : m,, Zárt rendszer energiatartalma = belső energia (kezdeti áll.) U. (0.3) mcv m, m,, m 0, 0, 0 Beáramló közeg által bevitt energia = Belső energia + betolási munka = entalia U 0 0V0 I0. (0.4) Zárt rendszer energiatartalma = belső energia (végállaot) U. (0.5) mcv 0.3. ábra Beáramlás tartályba Energia mérleg U U0 0V0 U. (0.6) A belső energia és az entalia nullértékét 0 K-nál felvéve m ahol a beáramló levegőtömeg cv m0c 0 mcv, (0.7) m 0 m m. (0.8) A tömegeket állaotegyenlettel felírva és behelyettesítve (0.7)-be, kajuk V R V V V. (0.9) cv c 0 cv R R R Egyszerűsítések után a (0.9) egyenlet a következő alakot ölti Sánta Imre, BME

126 8 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Sánta Imre, BME 0. (0.30) Ebből a hőmérséklet a. állaotban 0 (0.3) vagy (0.3) Amennyiben = 0, a (0.3) egyenlet a következő alakúra módosul 0, (0.33) vagyis / < esetén > 0, azaz a hőmérséklet nő. A hőmérsékletnövekedést az eredményezi, hogy a környezet betolási munkája belsőenergiává alakul. Hideg időben kisebb sűrítési viszonyú dízelmotornál a sűrítés véghőmérséklete nem éri el a tüzelőanyag gyulladásához szükséges hőmérsékletet. Az indítás megkönnyítésére Jendrassik György, a Ganz Gyár világhírű motortervező mérnöke a fenti éldában meglévő gondolatot alkalmazta. Az általa javasolt és róla elnevezett módszer szerint a szívólöket alatt a vezérlés a szívószeleet késleltetve nyitja ki, így a hengerben vákuum jön létre és a szívólöket végén a hengerben a fenti éldában kaott eredményhez hasonlóan jelentős hőmérsékletnövekedés következik be, amely már lehetővé teszi a gyújtást. Ez a Jendrassik-indítás elve.

127 0. SPECIÁLIS FELADAOK AZ I. FŐÉEL ÉMAKÖRÉBŐL 9 A dízelmotor hengerében lejátszódó folyamatot a következőkéen modellezhetjük: U 0 0 V 0 0 U = U V V köz dv 0.4. ábra A Jendrassik-indítás során a hengerben lejátszódó folyamat Az energia mérleg U U 0 0V0 U dv. (0.34) Itt dv a környezettel szemben végzett munka, melyet a 0.4. ábra alaján kifejezhetjük közees nyomással U I0 U köz V V, (0.35) ahol a (0.3) (0.5) egyenletek alaján helyettesítve m cv m0c 0 mcv köz V V, (0.36) m0 m m, (0.37) V m, R (0.38) Sánta Imre, BME

128 0 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. V R c V V V m, (0.39) R V v c 0 cv köz V V R R. (0.40) R Ahol V V, indításkor: 0 ; 0. 0 köz. (0.4) A (0.4) egyenlet bal oldalához hozzáadva és levonva a kifejezést, majd rendezve kajuk 0 köz 0 0, (0.4) vagyis > 0. A felmelegedés oka: a közeg a környezettől nagyobb mun- V, mint amennyit a környezettel szemben vé- kát vesz fel 0 V gez köz V V (0.4. ábra). A felmelegedés alavetően a köz / 0 viszonytól függ és csak kismértékben a komresszió viszonytól Változó tömegű rendszerek Példa (): A kiáramlás állandó hőmérsékletű tartályból A V térfogatú tartályból (0.5. ábra) a nyomású gáz tömegének mtávozó részét kiengedjük, miközben a hőmérséklete állandó marad. mkezdő Mennyi hőt kellett ehhez a falon keresztül a tartályba vezetni? A bevezetett hő hányadrésze távozik a kiáramló gázzal? Sánta Imre, BME

129 0. SPECIÁLIS FELADAOK AZ I. FŐÉEL ÉMAKÖRÉBŐL Megoldás: Mivel a kiáramlási folyamat során a tartályban lévő gáz tömege nem marad állandó, hanem csökken, ezért az izotermikus folyamat során közölt elemi hőmennyiségből kell kiindulnunk, ugyanis e hőmennyiség bevezetése során a gáztömeget állandónak tekinthetjük. A tartályban lévő gáz V térfogata és hőmérséklete állandó marad, miközben nyomása csökken. V Az elemi hőmennyiség Q Vd. (0.43) A teljes közölt hőmennyiség Q, Vd, (0.44) melyből Q, V. (0.45) A végnyomás meghatározásához írjuk fel a tömegeket a két állaotban V, R m V. R m A végállaot és kezdeti állaot tömegeinek aránya m, melyet az kieresztési hányaddal kifejezve kajuk: Ezzel a végnyomás Q, 0.5. ábra Fűtött tartály izotermikus kiáramlással A teljes közölt hő (0.45) alaján m m m. (0.46). (0.47) Q, V. (0.48) Sánta Imre, BME

130 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A tartályban maradó (m tömegű) gáz hevítésére felhasznált hőmennyiség A kiindulási adatokkal felírva Q maradó mr ln V ln. (0.49) Q maradó V ln. (0.50) A kieresztett gáz fűtésére szolgáló hőmennyiséget, mint a teljes bevezetett és a maradó hőmennyiség különbségét határozzuk meg: Q távozó Q, Q maradó. (0.5) A kiáramlás során a tartályban lévő gáz nyomása állandó marad Példa (): A 0.6. ábrán látható tartály állandó nyomást biztosító szeleel van ellátva, mely G a tartályban állandó nyomást biztosít. Mennyi hőt kell a tartályba vezetni, hogy a mtávozó benne lévő gáz tömegének része távozzék? Mennyi hőt fordítottunk a Q, mkezdő V tartályban maradó gáz hevítésére? A gáz adiabatikus kitevője ábra Fűtött tartály izobár kiáramlással Megoldás: Az előző feladathoz hasonlóan az elemi hőmennyiség közlése során tekinthetjük a tömeget állandónak, így ahol V R V d Q mc d d, (0.5) R Sánta Imre, BME

131 0. SPECIÁLIS FELADAOK AZ I. FŐÉEL ÉMAKÖRÉBŐL 3 V állandó. A tartályba a kiáramlás során bevezetett hőmennyiség V m, R Q, A két tömeg viszonya A (0.46) alaján d V V ln. (0.53) V m. (0.54) R m, melyből m m. (0.55) m. A tartályba a kiáramlás során bevezetett teljes hőmennyiség a kiinduló adatokkal Q, V ln. A tartályban maradó gáz hevítésére fordított hőmennyiség Q maradó R mc m V A kiindulási adatokkal. (0.56) Q maradó V, (0.57) Q távozó Q, Q maradó. (0.58) Sánta Imre, BME

132 4 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I A kiáramlás során a tartályban lévő gáz olitróikus (n = állandó) állaotváltozást szenved Példa (3): A V térfogatú tartályból (0.7. ábra) a nyomású, t hőmérsékletű gáz tömegének részét kienged- mtávozó m V Q, 0.7. ábra artály olitróikus kiáramlással kezdő jük, miközben a tartályban hőközléssel n = állandó kitevőjű olitróikus folyamatot biztosítunk. Mennyi hőt kellett ehhez a falon keresztül a tartályba vezetni? A bevezetett hő hányadrésze távozik a kiáramló gázzal? A gáz adiabatikus kitevője. Megoldás: Q mc d. (0.59) n V m. (0.60) R Politróikus állaotváltozásnál a nyomás és hőmérséklet közötti kacsolat n n n, ebből a nyomást (0.6) behelyettesítve (0.60)-ba, majd az így kaott összefüggést a (0.59) egyenletbe ahol V n Q c d, (0.6) R n n n V c állandó. (0.63) R n n n n Sánta Imre, BME

133 0. SPECIÁLIS FELADAOK AZ I. FŐÉEL ÉMAKÖRÉBŐL 5 Sánta Imre, BME A tartályba kiáramlás során bevezetett teljes hőmennyiség., n n n n n n n n n n n n n n n V n n c R V d c R V Q (0.64) A hőmérsékletviszony meghatározása a kezdeti és a végállaot tömegéből R V m, R V m, (0.65) m m, (0.66) a n n Poisson-összefüggés felhasználásával n n n m m, (0.67) melyből a hőmérsékletviszony a (0.46) összefüggés felhasználásával n n n n m m, (0.68) illetve n n m m (0.69) és a kezdeti adatokkal, n n n V Q. (0.70) A tartályban maradó gáz hevítésére fordított hőmennyiség

134 6 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Q maradó V m c n c n ( ) n V R ahol a (0.68) kifejezés és a Poisson-egyenlet alaján A kezdeti adatokkal Q maradó V, n n (0.7). (0.7) n n n. (0.73) A kiáramló gázzal távozó hőmennyiség Q távozó Q, Q maradó. (0.74) A olitróikus kiáramlásra levezetett összefüggésekből értelemszerűen származtathatók (bizonyos esetekben határértékként) az előző folyamatok eredményei Nem egyensúlyi adiabatikus folyamat Példa: Egy adiabatikus falakkal és dugattyúval rendelkező hengerben m tömegű hőmérsékletű nyomású gáz van. A nyomást súlyterheléses dugattyú m d,v A d 0 0 m m d 0.8. ábra Ugrásszerű nyomásnövelés biztosítja. Egy adott időillanatban egy m tömegű súly ráhelyezésével ugrásszerűen növeljük a nyomást ig. Meghatározandó a térfogat és hőmérséklet a. állaotban. Ismert még: a gáz relatív molekulatömege (M), az univerzális gázállandó R M és az adiabatikus kitevő (). Sánta Imre, BME

135 0. SPECIÁLIS FELADAOK AZ I. FŐÉEL ÉMAKÖRÉBŐL 7 Megoldás: Az energiamegmaradás törvénye értelmében a rendszer első és második állaota közötti belsőenergia-változás a környezeti nyomásból származó erő, a dugattyú, valamint a ráhelyezett súly súlyereje által végzett munkával egyenlő. U 0 Ad m md gh. (0.75) U A második állaotban a fentiekben részletezett erők és a gáz nyomásából származó erő egyensúlyban van, vagyis ezzel a (0.75) egyenlet átrendezve m md g Ad 0 Ad U, (0.76) U A h (0.77) d alakba írható. Ebben az összefüggésben a dugattyúfelület és az elmozdulás szorzata a gáz térfogatának megváltozásával egyenlő. Ezt figyelembe véve U U V V. (0.78) A (0.78) egyenlet megfelelő átalakításai eredményekéen megkajuk a véghőmérséklet kifejezését, mint a térfogatok függvényét V V A nyomások ismeretében az (0.78) egyenlet mr. (0.79) m c (0.80) alakba írható, melyből átalakítások után kajuk v. (0.8) Egyensúlyi (ideális) adiabatikus folyamat esetén a hőmérsékletviszony az ismert Sánta Imre, BME

136 8 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. egyenlet szerint számítható. s (0.8) A két kélet összevetéséből kitűnik, hogy ugyanazon nyomásviszony esetén az ugrásszerű nyomásnövelés mindig nagyobb véghőmérsékletet eredményez, mint az ideális (egyensúlyi) folyamat. A gáz térfogatát a végállaotban a hőmérséklet ismeretében az állaotegyenlet segítségével kajuk meg: mr V. (0.83) Látható, hogy a végtérfogat is nagyobb lesz, mint egyensúlyi folyamattal lejátszódó nyomásnövelésnél. A nem egyensúlyi folyamatra kaott eredmény annál inkább megközelíti az ideális folyamatét, mennél kisebb részletekben rakjuk a dugattyúra az m tömeget Gázoszlo lengése (légrugó) Példa: 0 y A gáz l 0 m d Hosszú, alsó végén zárt függőleges kör keresztmetszetű csőben súrlódás nélkül mozoghat egy dugattyú, melynek m tömegéhez kéest a csőben levő ideális gáz tömege elhanyagolható. Egyensúly esetén a dugattyú a cső aljától l o távolságra van. Meghatározható: az egyensúlyi helyzetéből kilendített dugattyú kis lengéseinek mozgásegyenlete és eriódusideje, ha a gáz állaotváltozása izotermikus, a cső keresztmetszete A, környezeti nyomás o ábra Gázoszlo dugattyúval Sánta Imre, BME

137 0. SPECIÁLIS FELADAOK AZ I. FŐÉEL ÉMAKÖRÉBŐL 9 Megoldás: Kiindulási állaot: egyensúlyi. A mozgásegyenletet a 0.9. ábra jelöléseit követve d y A 0 (0.84) dt md alakban írhatjuk, ahol - a gáz nyomásváltozása a dugattyú egyensúlyi helyzetből történő kismértékű kilendítése hatására. Az izotermikus állaotváltozás egyenlete melyből differenciálással kajuk és V állandó, (0.85) V dv Vd 0 d (0.86) d dv. (0.87) V A (0.63) differenciálegyenletet a kis változásokat figyelembe véve átírjuk differencia egyenlet alakba V, (0.88) V itt a gáz térfogatváltozása a kis dugattyúlengés hatására A kezdeti térfogat és kezdeti nyomás V AL 0 ; V A y. (0.89) A0 md g. (0.90) A Ezeket az értékeket a (0.64) egyenletbe helyettesítve és kifejezzük a nyomásváltozást V Sánta Imre, BME A m 0 d (0.9) V AL0 és a (0.60) mozgásegyenletbe helyettesítjük g y

138 30 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. mely helyettesítéssel m d d y A 0 md g y 0, (0.9) dt L k d 0 A 0 md g m L 0 d y k y 0 (0.93) dt alakot ölti. A kaott homogén lineáris differenciálegyenlet megoldása: A karakterisztikus egyenlet A karakterisztikus egyenlet gyökei k 0. (0.94) jk, jk. (0.95) A (0.93) differenciálegyenlet általános megoldása rigonometrikus alakban. illetve A függvény eriódusa, így írható y C e. (0.96) kt kt Ce y a(cos kt sin kt), (0.97) y asin( kt ). (0.98) kt asinkt y asin, (0.99) ahol a eriódusidő. A (0.99) egyenletből következik k A 0 m m d L 0 d. (0.00) g Sánta Imre, BME

139 . A termodinamika második főtétele.. A második főtétel jelentősége A termodinamika első főtétele, amely a természet általános törvényének az energia megmaradás törvényének alkalmazása termikus folyamatokra, kacsolatot teremt az állaotváltozás során a rendszerrel közölt hő, munka és a rendszer belsőenergia-változása között. Kimondja, hogy a hő átalakulhat mechanikai munkává, a munka hővé, de nem határozza meg az energiaátalakulásokhoz szükséges feltételeket. Az első főtétel tehát a folyamatokat csak mennyiség) oldalról jellemzi, de nem ad választ a következő kérdésekre: Van-e a folyamatok lefolyásának kitüntetett iránya? Milyen feltételek mellett lehet valamely géből folyamatosan munkát nyerni? A hő milyen mértékben (hatásfokkal) alakítható át mechanikai munkává? Ezekre a kérdésekre a termodinamika második főtétele segítségével kajuk meg a választ. A második főtételt először a taasztalat alaján termikus folyamatokra fogalmazták meg, ugyanakkor ez a főtétel is, az elsőhöz hasonlóan a természet egyik alatörvénye és nagy jelentősége van más tudományágak (fizika, kémia stb.) esetében is. A termodinamika második főtételének mély filozófiai tartalma van. Anélkül, hogy jelentőségét túlbecsülnénk, kijelenthetjük, hogy a tudomány történetében kevés olyan törvény ismert, amelyik ilyen világosan tükröz világnézetek közötti különbséget. A második főtételből levonható következtetéseknek a természetben lezajló folyamatokra történő helytelen alkalmazása következtében jutott az elmúlt század végének sok kiemelkedő tudósa (Clausius, Ostwald és mások) az un. "hőhalál" elmélethez. A műszaki hőtanban a második főtétel azért fontos, mert segítségével meghatározhatók a természetben lezajló folyamatok feltételei, a folyamatok iránya, valamint egyszerű és szemléletes módszert ad a hőerőgéek gazdaságosságának megítéléséhez. Sánta Imre, BME

140 3 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A második főtétel megfogalmazása tulajdonkéen az előzőekben felvetett kérdésekre adott válaszokkal történhet. Mielőtt azonban erre rátérnénk, vizsgáljunk meg néhány, a természetben előforduló jellemző folyamatot, tisztázzunk néhány fogalmat, amelyek a második főtétel megfogalmazásához, megértéséhez feltétlenül szükségesek... Reverzibilis és irreverzibilis folyamatok.. ábra Folyamat -v diagramban A termodinamika egyik legfontosabb fogalma a reverzibilis (megfordítható) és az irreverzibilis (nem megfordítható) folyamatok fogalma. A termodinamikai folyamat a rendszer állaotának (állaotjelzőinek) folytonos változása. A - v diagramban a rendszer állaota a i, v i koordinátájú onttal, a folyamat edig az - i- görbével jellemezhető (. ábra). Minden adott állaotban a kezdetiben (), közbensőben (i) és a végállaotban () a hőmérséklet és nyomásértékek a rendszer minden ontjában azonosak. Más szóval, a rendszernek minden állaotban termodinamikai egyensúlyban kell lennie. Az és ontok között ugyanazon az úton két folyamatot lehet megvalósítani, -i- és visszafelé a -i- úgynevezett egyenes és megfordított folyamatokat. Valamely folyamat akkor reverzibilis (megfordítható), ha ugyanazon az úton, de ellenkező irányba megismételve a folyamatot mind a rendszer, mind annak környezete a kiindulási állaotba jut. Reverzibilis folyamatok esetén a megfordított folyamat mintegy tükörkée az egyenes folyamatnak. Ha éldául az egyenes folyamatban a rendszerrel hőt közlünk, akkor a megfordítottban a rendszerből ugyanannyi hőt el kell vonni. Ha a megfordíthatóság feltételei nem teljesülnek, irreverzibilis (nem megfordítható) folyamatokról beszélünk. A reverzibilis folyamatra éldaként a súrlódás nélküli inga lengési folyamatát lehet megemlíteni. Egy eriódus alatt az inga visszatér kiindulási helyzetébe, ugyanakkor sem a rendszerben (inga), sem annak kör- Sánta Imre, BME

141 . A ERMODINAMIKA MÁSODIK FŐÉELE 33 nyezetében nem marad nyoma a eriódus során bekövetkezett változásoknak. A mechanikai folyamatok súrlódás nélkül mind reverzibilisek lennének. A valóságban azonban a súrlódás mindig jelentkezik, s ez, mint a későbbiekben meglátjuk, irreverzibilitást eredményez. A természetben lejátszódó folyamatok általában irreverzibilisek. Nézzünk néhány éldát. a) Ha egy testet egy felületen valamely irányba eltolunk (egyenes folyamat) a súrlódás legyőzésére munkát kell végeznünk. Ez a munka hővé alakul, amit a környezet vesz át. Ha ezután a testet ugyanazon az úton, de ellentétes irányban visszajuttatjuk eredeti helyére, újra munkát kell befektetni, ami ismét hővé alakul, s ez is a környezetbe megy át. Igaz, hogy a test visszajut eredeti állaotába, de a leirt mechanikai folyamat nem reverzibilis, mivel a rendszer környezetének állaota nem lesz a kiindulási. Ez a folyamat akkor lenne reverzíbilis, ha visszatoláskor a test hőt venne fel a környezetéből és ez a hő maradéktalanul visszaalakulna az előző folyamat során befektetett mechanikai munkává. Ez azonban teljesen ellentétben áll a taasztaltakkal. Az irreverzibilitás okozója a súrlódás. b) iikusan irreverzibilis folyamat a fojtás. Fojtásnak azt a folyamatot nevezzük, amelynek során az átáramlási keresztmetszet helyi szűkítése (fojtása) következtében az áramló közeg nyomása lecsökken úgy, hogy közben munkát nem végez. A csővezetékekben minden ellenállás (csaok, szeleek, tolózárak stb.) fojtást, illetve nyomásesést idéz elő. A nyomásesés mértéke függ az áramló közeg tulajdonságaitól, állaotától, a szűkítés.. ábra Állaotjelzők változása fojtáskor mértékétől és az áramlási sebességtől. A fojtás során az áramló közeg munkavégző-kéessége csökken, így a fojtás veszteséget okoz. Bizonyos esetekben azonban szándékosan hozzuk létre (l. gőzturbinák szabályozásánál, hűtőgéeknél, mennyiségmérésnél) egyszerűsége miatt. Sánta Imre, BME

142 34 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A fojtásnál a következő folyamatok játszódnak le: A szűkítőnyíláson (. ábra) átáramló közeg kínetikai energiája és sebessége (c) megnő, viszont a nyomás () és hőmérséklete () lecsökken. A szűkítőnyílást elhagyva a hírtelen keresztmetszet-növekedés következtében az átáramló közeg örvényleni kezd. Kinetikai energiájának egy része örvénykézésre fordítódik és hővé alakul. Ezenkívül hővé alakul a surlódás leküzdésére fordított munka is. Ezeket a hőmennyiségeket az áramló közeg veszi fel, melynek eredményekéen hőmérséklete megváltozik. A szűkítőnyílás után, amikor a közeg teljesen kitölti a rendelkezésre álló keresztmetszetet, sebessége lecsökken, nyomása edig megnő, de nem a kezdeti, hanem annál alacsonyabb értékig. A sebesség is megváltozhat a kezdetihez kéest a nyomáscsökkenés miatti fajtérfogatnövekedés eredményekéen, bár a sebességnövekedés olyan kicsi, hogy elhanyagolhatjuk. Amennyiben feltételezzük, hogy a fojtási folyamat adiabatikus, az első főtétel (7.46) egyenlete alaján a fojtás előtti és utáni teljes entaliák azonosak i, i melyből a sebességek azonosságának feltételezésével kajuk i = i. ehát a fojtás utáni és fojtás előtti entalia megegyezik. Ideális gáz esetén mivel az entalia csak a hőmérséklet függvénye, a hőmérsékletek is azonosak lesznek. Megjegyezzük, hogy nem állandó entaliájú, ill. izentalikus folyamatról van szó, hiszen mind a hőmérséklet, mind az entalia a szűkitőnyíláson áthaladva változik. A fojtáskor lezajló folyamatok önmaguktól visszafelé nem ismétlődnek meg, mivel a taasztalat szerint a közeg a kisebb nyomású térből nagyobb nyomású térbe nem kées áramolni. Ahhoz, hogy a rendszert visszavigyük kezdeti állaotába, a kisebb nyomású térben levő gáz nyomását komresszióval az eredeti értékre kell növelni, majd az eredeti hőmérsékletre kell hűteni, s végül a szűkítő nyíláson át kell tolni. A környezetben a kiindulási állaot akkor állna vissza, ha az elvont hőmennyiség visszaalakulna a komressziómunkának megfelelő mechanikai munkává. Ez azonban a taasztalatnak ellentmond. Mivel a környe- Sánta Imre, BME

143 . A ERMODINAMIKA MÁSODIK FŐÉELE 35 zetben a kiindulási állaotot maradéktalanul nem tudjuk visszaállítani, így a fojtás is irreverzibilis folyamat. Az irreverzibilitás oka a véges áramlási sebesség (a szűkítőnyílásban). Ha a fojtási folyamat végtelen lassan játszódna le, akkor a szükitőnyilásban a sebesség nagyon kicsi lenne és nyomásveszteség lényegében nem jönne létre. c) Hasonlóan irreverzibilis folyamat valamely gáz adiabatikus exanziója vákuumba, az un. szabad exanzió. A V térfogata gáz az exanzió során V + V térfogatra tágul, közben munkát nem végez. Ahhoz, hogy a rendszer eredeti állaotába jusson a környezettel vett munka segítségével a gázt V térfogatúra kell sűríteni,.3. ábra Szabad exanzió majd azt eredeti hőmérsékletére hűteni. A környezetet tekintve a kiindulási állaot akkor állna vissza, ha az elvont hőmennyiség visszaalakulna a sűrítési munkának megfelelő mechanikai munkává. Ez a taasztalat szerint nem történik meg, így ez a folyamat is irreverzibilis. Az irreverzibilitás oka a mechanikai egyensúly hiánya a rendszer és környezete között. d) Vizsgáljunk meg egy termikusan szigetelt hengerben lezajló adiabatikus exanziót. A dugattyú súrlódásmentesen, de véges sebességgel mozog (.4. ábra). Ez esetben az exanzió során munkavégzés van, így ezt felhasználhatjuk arra, hogy a hengerben levő gázt kiindulási állaotba hozzuk. Véges.4. ábra Véges dugattyúsebesség hatása dugattyú-sebesség esetén exanzió során a dugattyúval érintkező gázréteg nyomása kisebb, mint a hengerben uralkodó közees nyomás, komresszió során e- Sánta Imre, BME

144 36 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. dig nagyobb annál. (A nyomáseloszlás a hengerben az ábra szerinti.) Mivel a munka közvetlenül a dugattyúra ható nyomástól függ, nyilvánvaló, hogy az exanzió során végzett munka kisebb lesz, mint a komresszió folyamán felvett munka. Ez azt jelenti, hogy a gázt egyedül az exanzió során végzett munkával nem tudjuk eredeti állaotába juttatni, tehát a folyamat irreverzibilis. (Hasonló roblémát tárgyaltunk a kvázistatikus folyamatok vizsgálatánál is.) Az irreverzibilitás oka a véges dugattyúsebesség. e) A gyakorlatban sűrűn előforduló irreverzibilis folyamat a véges hőmérséklet-különbség mellett létrejövő hőáramlás. A taasztalat szerint a hő önmagától a nagyobb hőmérsékletű (melegebb) testtől áramlik a kisebb hőmérsékletű (hidegebb) test felé. A hőáramlás addig tart, míg termikus egyensúly nem jön létre a két test között. A termikus egyensúly beállta után bármeddig hagyjuk egymás mellett a két testet, a környezet által végzett munka nélkül a folyamat ellenkező irányba nem indul meg. Az eredeti állaotot csak úgy állíthatjuk vissza, ha az eredetileg hidegebb testből hőt vonunk el, míg a másikat felmelegítjük. Ezzel azonban a környezetben olyan változásokat idézünk elő, melyek önmaguktól nem szűnnek meg. Az irreverzibilitás oka ennél a folyamatnál a két test közötti véges hőmérsékletkülönbség. A éldaként megvizsgált folyamatok természetesen nem foglalják magukba az összes irreverzíbilis folyamatot, de betekintést adnak az irreverzibilis folyamatok természetébe és rajtuk keresztül megismerhetünk néhány, a műszaki hőtanban fontos irreverzibilitást előidéző okot. Ilyenek a súrlódás, a véges folyamatsebesség és a véges hőmérsékletkülönbség. Általánosságban leszögezhetjük, hogy egy folyamat akkor reverzibilis, ha egyensúlyi (kvázistatikus) lefolyású és súrlódásmentes. A fentiek alaján választ is adhatunk arra a kérdésre, hogy van-e a folyamatok lefolyásának kitüntetett iránya. A reverzibilis folyamatok bármely irányba lejátszódhatnak, ezzel szemben az irreverzibilis folyamatok önmaguktól csak meghatározott irányba. Ha irreverzibilis folyamatot meg akarunk fordítani, s a rendszert kiindulási állaotába kivánjuk juttatni, ezt csak úgy tehetjük meg, ha a rendszer környezetében munka, illetve hőráfordítással komenzáló folyamat játszódik le. Ezáltal az utóbbiban olyan változásokat idézünk elő, amelyek önmaguktól nem szűnnek meg. Sánta Imre, BME

145 . A ERMODINAMIKA MÁSODIK FŐÉELE 37 Csak a reverzibilis folyamatok ábrázolhatók diagramokban az állaotjelzők függvényében, mivel ez esetben a diagram minden ontja a rendszer egy-egy egyensúlyi állaotát tükrözi. Az irreverzibilis folyamatok ábrázolása vagy egyáltalán nem, vagy csak közelítőleg lehetséges (l. minden aramétert a térfogatra vonatkoztatott közéértékével helyettesítünk), ill. az ilyen folyamatokból levonható következtetések csak korlátozottan érvényesek. A reverzibilis folyamatok teljes termodinamikai és matematikai analízis alá vehetők, ha ismertek a rendszer jellemzői. A taasztalat szerint a természetben lezajló folyamatok mind irreverzibilisek, ugyanakkor sok, a gyakorlatban előforduló folyamat viszonylag kevéssel tér el a megfordíthatóktó. A gyakorlati számítások során a reverzibilis folyamatokra nyert eredményekről az irreverzibilitást figyelembe vevő taasztalati tényezők segítségével lehet áttérni a valóságos folyamatokra. Megjegyezzük, hogy az irreverzibilitás mértéke folyamatonként lehet más és más. Például a súrlódás legyőzésére fordított munka kisebb lesz, ha olírozott felületen mozgatunk egy olírozott testet, mint ha az érintkező felületek durva megmunkálásúak. Ez utóbbi esetben a súrlódás során keletkező és a környezetbe távozó hő is több lesz, mint az előzőben. A folyamatok irreverzibilitásának jellemzésére az entróiát alkalmazzuk..3. A hő folyamatos (ciklikus) munkává alakításának feltétele Az eddigiek során láttuk, hogy mechanikai munka szolgáltatásához a munkaközegnek exandálnia kell. Exanziókor a munkaközeg a környezeti nyomás ellenében a közölt hő, vagy belső energiája rovására, V W dv munkát végez. V Egyszeres exanzió során csak lehatárolt mennyiségű munka nyerhető. Olyan gé vagy gécsoort, amelyben csuán az exanzió játszódik le, ugyanakkor azonban folyamatosan szolgáltat munkát, a gyakorlatban csak kivételes esetben fordul elő (a föld mélyéből feltörő, a környezetinél nagyobb nyomású gázt, vagy gőzt a környezeti nyomásig adiabatikusan exandáltathatjuk). Sánta Imre, BME

146 38 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Általános eset az, hogy a munkaközeget a géen belül kell olyan állaotba hozni, hogy exanziókées legyen. Ez azt jelenti, hogy az -a- exanzió folyamat után (.5 ábra) a () állaotú közeget valamilyen folyamat, vagy folyamatok segítségével vissza kell juttatni kezdeti () állaotába. Az -a- folyamat exanziómunkája az -a területtel jellemezhető. A munkaközeg kezdeti () állaotába három úton juthat el:. A -a- görbe egybeesik az -a- görbével. Ez esetben az exanzió során kaott w a exanzió munka megegyezik a -a- folyamat során befektetendő w a munkával. A két folyamat eredményekéen a környezeten munkavégzés nem történik.. A -b- komresszió-folyamat görbéje az -a- exanzió görbe felett halad..5. ábra Visszajuttatás a kezdeti állaotba Ekkor a -b- folyamat során több munkát kell befektetnünk (-4-3--b- terület) mint amennyit az -a- exanzió folyamat során nyerünk (-a terület). 3. A -c- komresszió folyamat görbéje az -a- exanzió görbe alatt halad. Ez esetben az exanziómunka (-a terület) nagyobb, mint a -c- folyamat munkaszükséglete (-4-3--c-) terület. A két folyamat eredményekéen a rendszer munkát szolgáltat a környezetének, amelyet az -a--c- területtel ábrázolhatunk. Az olyan termodinamikai folyamatokat, melyek eredményekéen a munkaközeg különböző állaotokon keresztül visszajut kiindulási állaotába, körfolyamatoknak, vagy ciklusoknak nevezzük. Érintő adiabaták q be Érintő adiabaták q be q el v q el s.6. ábra Munkát 6. ábra. szolgáltató körfolyamat Sánta Imre, BME

147 . A ERMODINAMIKA MÁSODIK FŐÉELE 39 Ha a körfolyamat körbejárása az óramutató járásával megegyezik (3. eset: -a--c-) a rendszer környezetének munkát szolgáltat. A körfolyamatot többször megismételve a bevezetett hőből tetszés szerinti mennyiségű munkát nyerhetünk. A.6. ábrán - v és - s diagramban ilyen körfolyamatot ábrázoltunk. A körfolyamat és az érintő adiabaták érintési ontjai lehatárolják a hőbevezetés és hőelvonási folyamatokat. A körfolyamat reverzibilis, így a diagramokban a körfolyamatok által bezárt területek a körfolyamatok hasznos munkáját jelölik. Az óramutató járásával megegyező körbejárású körfolyamatok hőerőgéekben kerülnek megvalósításra. A - s diagramból jól látható, hogy a körfolyamatba bevezetett hő sohasem alakítható át teljes egészében munkává, mivel a állaotból a munkaközeget csak entróiacsökkenéses vagyis hőelvonásos folyamattal juttathatjuk vissza az. állaotba. Ellenkező körbejárási irány (.6. ábra. eset: -a--b-) esetén a rendszeren munkát kell végezni és megfordított körfolyamatról beszélünk. Ilyen körfolyamatot szemléltet a.7. ábra. Az óramutató járásával ellentétes körbejárású körfolyamatok a hűtőkörfolyamatok. Érintő adiabaták q el q be v Érintő adiabaták.7. ábra Hűtőkörfolyamat 7. ábra. - v és - s diagramban Ha a körfolyamat minden elemében megfordítható, akkor reverzibilis körfolyamatokról beszélünk. Ilyen körfolyamatokban a munkaközeg kémiai elváltozást nem szenvedhet. Ha a körfolyamat csak egy elemében is irreverzibilis, akkor a körfolyamat irreverzibilis. Az ideális (reverzibilis) körfolyamatok vizsgálata során nyert eredmények a valóságos géek irreverzibilis körfolyamataira taasztalati korrekciós tényezők segítségével alkalmazhatók. q el q be s Sánta Imre, BME

148 40 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I..4. A körfolyamatok gazdaságosságának megítélése Mint az előzőekben láttuk a körfolyamatokban csak a bevezetett hő egy része alakul mechanikai munkává. A körfolyamatok gazdaságosságának megítélésére az egy körfolyamat során kaott munka (w körf ) és a bevezetett hő (q, q be ) hányadosát használják. Ezt a viszonyszámot, mivel értéke csuán a körfolyamat termodinamikai feléítésétől és határaitól függ, a géek tökéletlenségét nem veszi figyelembe, termikus hatásfoknak ( t ) nevezzük. ehát w q q körf be el el t. (.) qbe qbe qbe q hűtendő térből elvont q környezetnek átadott w körfolyamat s.8. ábra Hűtőkörfolyamat q A termikus hatásfok ezen kifejezései általános érvényűek, mind reverzibilis, mind irreverzibilis körfolyamatokra. Az irreverzibilis körfolyamatok termikus hatásfoka a vissza nem térülő veszteségek miatt mindig kisebb, mint a reverzibilis körfolyamatoké. A körfolyamat munkája nem csak a hőmennyiségek segítségével számítható, hanem meghatározható, mint a körfolyamatot alkotó folyamatok technikai vagy térfogatváltozási munkáinak előjel helyes összege. A körfolyamat munkája (hasznos munka) előjelszabályunk miatt a fenti munkák összegének abszolút értéke. A fordított (óramutató járásával ellentétes körbejárási irányú) vagy hűtőkörfolyamatokat a hő hidegebb helyről melegebbre történő szállítására alkalmazzák (.8. ábra). Az ilyen körfolyamatok gazdaságosságát a hűtendő közegtől elvont (a munkaközegbe bevezetett) hő és az erre fordított munka hányadosával jellemezzük. Ezt a viszonyszámot hűtési teljesítménytényezőnek (vagy fajlagos hűtőteljesítménynek) (ε) nevezzük. Sánta Imre, BME

149 . A ERMODINAMIKA MÁSODIK FŐÉELE 4 qhütedő térb.elvont. (.) w körf. (A hűtendő térből elvont hőmennyiség a körfolyamatba bevezetésre kerül.) Példa: Számítsuk ki az adiabatikus komresszióból, izotermikus exanzióból és izochor állaotváltozásokból álló megfordítható körfolyamat termikus hatásfokát. O a munkaközeg és az adiabatikus komressziónál v /v =3,5. R M =834 J/(kmol K), M O =3. Megoldás: A termikus hatásfok q be v =v 3 3 q el s qel t. qbe A bevezetett hőmennyiség v3 v q be R ln R3 ln. v v Az elvont hő q el cv 3 cv3. 3 A megfelelő mennyiségek behelyettesítése c v 3 3 t v R3 ln v v v v ln v 3,5 0,3.,4 ln 3,5,4.5. A termodinamika második főtételének megfogalmazásai A termodinamika második főtétele a taasztalat alaján került megfogalmazásra. Sokféle megfogalmazása van, ezek közül a legelterjedtebbeket adjuk meg. Sánta Imre, BME

150 4 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. 84-ben Carnot közel járt a termodinamika második főtételének felfedezéséhez, de ebben megakadályozta őt, hogy akkor még az első főtétel sem volt ismeretes. E nélkül edig a második főtételt nem lehetett világosan felismerni. A második főtétel legáltalánosabb megfogalmazása így hangzik: Bármely, önmagától lejátszódó valóságos folyamat irreverzibilis. A többi megfogalmazás ennek a legáltalánosabb megfogalmazásnak a seciális alkalmazása. Clausius 850-ben a következő megfogalmazást javasolta: Hő önmagától hidegebb helyről melegebb helyre nem kées áramlani. homson (Lord Kelvin) (85) szerint: Lehetetlen valamilyen közegből nem élő anyagi közvetítő segítségével munkát nyerni, ha hőmérséklete alacsonyabb, mint a környező tárgyak közül a leghidegebbé. Planck szerint: Lehetetlen olyan eriodikusan működő géet szerkeszteni, amely csuán egyetlen hőforrás lehűlése során végez munkát (az ilyen gé termikus hatásfoka 00 % lenne). Ha ilyen gé megvalósítható lenne, akkor az l. csuán az óceánok vizének lehűtésével szolgáltatna munkát. Ez a folyamat addig tartana, amíg az óceánok vizének összes belső energiája mechanikai munkává alakulna. Az ilyen géet Ostwald másodfajú örökmozgónak nevezte. Így a Planckféle megfogalmazás a következőkéen módosítható: A másodfajú örökmozgó (eretuum mobile) nem létezik. (Az elsőfajú örökmozgó az energiamegmaradás törvényével áll ellentétben. A másodfajú örökmozgó az első főtételnek nem mond ellent, ugyanis a munkát nem semmiből, hanem a hőforrás belső energiájából szolgáltatná.) A Planck-féle megfogalmazás nem mond ellent az előzőeknek, ugyanis, ha ilyen gé létezne, akkor egy hőforrás lehűtésével nyert munkát l. súrlódással hővé alakítva átadhatnánk egy alacsonyabb hőmérsékletű testnek. Egy idő múlva az utóbbi hőmérséklete nagyobb lenne, mint a hőforrásé, azaz hőt szállítanánk hidegebb helyről melegebbre, külső munka befektetése nélkül. Alá kell húzni a termikus folyamatok fontos sajátosságát: a mechanikai munkát, az elektromos munkát, a mágneses erők munkáját stb. maradék Sánta Imre, BME

151 . A ERMODINAMIKA MÁSODIK FŐÉELE 43 nélkül teljesen hővé lehet alakítani, ami viszont a hőt illeti, eriodikusan ismétlődő folyamatokban csak egy része alakítható át mechanikai vagy más munkává, a másik része elkerülhetetlenül a hűtőközegbe megy át. Sánta Imre, BME

152 Irodalomjegyzék [] Cumsty, N.A.: Jet Proulsion, Cambridge University Press, 997 [] Easto,.D., and McConkey, A.: Alied hermodynamics. Longman, 988 [3] Ekkert, E.R.. Drejk, R.M.: eorija telo- i masszoobmena, Goszenergoizdat, Moszkva, 96. [4] Faltin: Műszaki hőtan, Műszaki Könyvkiadó, Budaest, 970 [5] Feynman, R.P., Leighton, R.,B., - Sands, M.: Mai fizika 4., Műszaki Könyvkiadó, Budaest, 969 [6] Fényes I.: Entróia, Gondolat Kiadó, Budaest, 96 [7] Grabovszkij, R.I.: Kursz fiziki, Izd.Vüszsaja skola, Moszkva, 970 [8] Gyarmati J.: Nemegyensúlyi termodinamika, Műszaki Könyvkiadó, Budaest, 967 [9] Harmatha A.: ermodinamika műszkiaknak, Műszaki Könyvkiadó, Budaest, 98 [0] Isachenko V. Osiova, V. Sukomel, A.: Heat ransfer, Mir Publishers, Moscow, 974 [] Jakovlev, V.F.: Kursz fiziki, Izd. Proszvescsenie, Moszkva, 976 [] James, B., - Hawkins, G.,A.: Engineering hermodynamics, John Willey and Sons, 960 [3] Jászai.: Műszaki hőtan (Hőközlés-ermodinamika), ankönyvkiadó, Budaest, 968 [4] Konecsny, F. Pásztor, E.: (szerk.) Műszaki hő- és áramlástan I, (J7-74) ankönyvkiadó, Budaest, 976 [5] Konecsny, F. Pásztor, E.: (szerk.) Műszaki hő- és áramlástan I/, (J7-74/a) ankönyvkiadó, Budaest, 976 [6] Konecsny, F. Pásztor, E.: (szerk.) Műszaki hő- és áramlástan II, (J7-75) ankönyvkiadó, Budaest, 976 [7] Konecsny, F. Pásztor, E.: (szerk.) Műszaki hő- és áramlástan éldatár, (J7-04) ankönyvkiadó, Budaest, 98 [8] Kubo R.: ermodinamika, Izd. Mir, Moszkva 970 [9] Kutateladze, Sz.Sz.: Osznovü teorii teloobmena, Izd. Nauka, Novoszibirszk, 970 [0] Krutov, V.I.: ehnicseszkaja termodinamika, Moszkva, 97 [] Lakosi J.: Műszaki hőtan, ankönyvkiadó, Budaest, 968 [] Larikov, N.N.: Obscsaja telotehnika, Izd. Sztroitelsztva, Moszkva, Sánta Imre, BME

153 IRODALOMJEGYZÉK 45 [3] Mihejev, M.A.: A hőátadás gyakorlati számításának alajai, ankönyvkiadó, Budaest, 963 [4] Nascsokin, B.B.: hnicseszkaja termodinamika, Izd. Vüszsaja skola, Moszkva, 975 [5] Oates, G.C.: Aerothermodynamycs of Gas urbine and Rocket Proulsion, AIAA Education Series 988 [6] Pásztor, E. Szoboszlai, K.: Kalorikus géek üzeme, Műszaki Könyvkiadó, Budaest, 967 [7] Rogers, G.F.C., Mayhew, Y.R.: Engineering hermodynamics, Longman, New York, 980. [8] Sánta, I.: Hőtan éldatár kiegészítés BMGE Reülőgéek és Hajók anszék kiadványa, Budaest, 009 [9] Simonyi, K.: Kinetikus gázelmélet, Klasszikus statisztika, Egyetemi Nyomda, Szakmérnöki jegyzet, 948 [30] Shvets, I.. at all.: Heat Engineering, Mir Publishers, Moscow, 975 [3] Szivuhin, D.V.: Obscsij kursz fiziki II., Izd. Nauka, Moszkva, 975 [3] he Jet Engine, Rolls-Royce lc [33] Wong, H.Y.: Hőátadási zsebkönyv, Műszaki Könyvkiadó, Budaest,983 Sánta Imre, BME

154 Ábrajegyzék.. ábra A rendszer és környezete..... ábra Zárt rendszer ábra Nyitott rendszer ábra Hőmennyiség és a munka előjele ábra Vonalintegrál két görbe mentén ábra A folyadékban szuszendált részecske mozgása ábra A lővedék becsaódásának hatása a céltáblára ábra Az ideális gáz nyomásának meghatározásához kiválasztott rendszer ábra Az i-edik molekula mozgása két ütközés között ábra U-csöves manométer ábra Nyomások értelmezése ábra A hőmérsékelt levezetéséhez választott rendszer ábra Hőmérsékleti skálák ábra A vizsgált két rendszer ábra Az állaotfelület ábra Molekulák ütközése ábra A molekulák közötti erők és energiák ábra A molekulák közötti erők és energiák ábra Potenciális energiák változása a molekulák közötti távolság függvényében ábra Komresszibilitási tényező változása a nyomás függvényében ábra Megállított és mozgó molekulák ábra Erőhatások a molekulák között ábra Gömbhéj a gázban molekula körül ábra Van der Waals-izotermák ábra A szilárd test szabadságfokai ábra A két- (a) és háromatomos (b) molekula modellje ábra A valódi fajhő hőmérsékletfüggése ábra Egységnyi tümegú rendszer izochor hevítése ábra Nitrogén c v fajhőjének változása a hőmérséklet függvényében ábra A c v változása a kinetikus fajhőelmélet alaján ábra Az közees energia változása ábra A henger, dugattyú és hengerfej által határolt zárt rendszer ábra érfogatváltozási munka a v diagramban Sánta Imre, BME

155 ÁBRAJEGYZÉK ábra Elemi folyamat a zárt rendszer körfolyamatában ábra Nyitott rendszer kölcsönhatásokkal ábra Betolási munka ábra Elemi folyamat a nyitott rendszer körfolyamatában ábra A v és s diagram ábra Hőközlési folyamat a keverékkel ábra Gázkeverék komonensek keveredés előtt zárt rendszerben ábra Gázkeverék komonensek keveredése nyitott rendszerben ábra Izochor folyamat ábra v = állandó görbék ábra Izobár folyamat ábra = állandó görbék ábra Izotermikus folyamat ábra Izotermikus folyamat hőmennyisége ábra Adiabatikus folyamat ábra Izentróikus komresszió ábra A olitróikus fajhő változása ábra Viszonyító görbék a - v diagramban ábra Viszonyító görbék a - s diagramban ábra Előjelek - v diagramban ábra Előjelek s diagramban ábra A belsőenergia-változás szerkesztése ábra Az entalia-változás szerkesztése ábra A (0<n<) olitróikus exanzió folyamat térfogatváltozási munkaterületének szerkesztése ábra Az (<n<) olitróikus exanzió folyamat technikai munkaterületének szerkesztése ábra A olitróikus fajhő előjele ábra U-alakú cső egyik ágában fűtéssel ábra Rugó ellenében táguló gáz ábra Beáramlás tartályba ábra A Jendrassik-indítás során a hengerben lejátszódó folyamat ábra Fűtött tartály izotermikus kiáramlással ábra Fűtött tartály izobár kiáramlással ábra artály olitróikus kiáramlással ábra Ugrásszerű nyomásnövelés ábra Gázoszlo dugattyúval ábra Folyamat -v diagramban ábra Állaotjelzők változása fojtáskor ábra Szabad exanzió Sánta Imre, BME

156 48 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I..4. ábra Véges dugattyúsebesség hatása ábra Visszajuttatás a kezdeti állaotba ábra Munkát szolgáltató körfolyamat ábra Hűtőkörfolyamat - v és - s diagramban ábra Hűtőkörfolyamat Sánta Imre, BME

157 ÁRAMLÁSAN-I. A Hő- és áramlástan jegyzet két kötetből áll, ebben, az első részben mind a hőtan, mind az áramlástan első részét ismertetjük. A második részben edig az anyag második részének ismertetésére kerül sor. A második kötet az első szerves folytatása: a vonatkozó tananyag elsajátítását az első rész megtanulásával kell kezdeni és csak ezután következhet a második kötet. A második kötet fejezetszámozása tantárgy részenként folytonos: éldául az áramlástan első kötetbeli záró fejezete a 3. fejezet, ezért a második kötetben az áramlástan anyag a 4. fejezettel kezdődik. A kéletszámozás ezzel egyértelmű és természetesen számos hivatkozás történik az első rész kéleteire. Az irodalomjegyzék mindkét áramlástan jegyzet résznél azonos, a hivatkozás ezért itt is egyértelmű. A fentiekben vázolt, modulárisnak nevezhető feléítés megengedi a jegyzet részek ittenitől eltérő csoortosítását. Gausz amás, BME

158 artalomjegyzék ÁRAMLÁSAN-I.... i artalomjegyzék... ii. A folyadékok és gázok fizikai jellemzői.... Matematikai segédeszközök Görbevonalú koordináta rendszerek A teljes, totális, szubsztanciális vagy materiális derivált A térerősség és a otenciálos erőterekben értelmezhető otenciál A derivált tenzor Kinematika A mérleg-egyenlet A fizika megmaradási elvei az áramlástanban Az áramlástani feladatok modern matematikai modellje Hidrostatika Komlex otenciálok Örvényes áramlások Az imulzus tétel alkalmazása Szélcsatorna modell vizsgálata A Borda féle (éles szélű) kifolyónyílás Hűtőtoronybeli áramlás vizsgálata A Bernoulli egyenlet alkalmazása Légcsavar, hajócsavar és szélkerék Irodalomjegyzék... 5 Ábrajegyzék Gausz amás, BME

159 . A folyadékok és gázok fizikai jellemzői A folyadékok és gázok a későbbiekben ezeket általában közegnek nevezzük részecskékből állnak. A részecske-szemlélet alaján vezethetjük be, illetve értelmezhetjük a számunkra legfontosabb fizikai tulajdonságokat. A jegyzet első részében hőtani szemontok szerint már volt szó a részecskék tulajdonságairól, illetve az ezek alaján értelmezett jellemző mennyiségekről. Ebben, a második részben néhány ide vonatkozó fogalmat az áramlástan szemontjából is bevezetünk. Ebben az előadás vázlatban úgy tekintjük, hogy a folyadékok és gázok részecskéinek tömege és sebessége van, illetve ebből következően minden részecskének van mozgásmennyisége (más szóval lendülete, vagy eleven ereje; ez a tömeg és a sebesség szorzata) és mozgási energiája. Létezik továbbá a részecskék között egy, árotenciállal jellemzett kacsolat is, amelyet a. ábrán vázoltunk (a árotenciál szigorúan véve két részecske között értelmezhető, de a hatás nagyon sok részecske esetében is hasonló)... ábra Lennard-Jones féle, 6--es árotenciál Az.. ábrán éldaként a Lennard-Jones féle, 6--es árotenciál (vastag, folytonos vonal), illetve ennek két összetevője látható. A felső, szaggatott vonal a Pauli féle, az elektron-felhők kölcsönhatásából adódó taszító hatást (erőt) mutatja. Az alsó, szintén szaggatott vonal edig a van Gausz amás, BME

160 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. der Waals féle, diólusok kölcsönhatásán alauló vonzó hatást (erőt) tünteti fel. Az eredő a két rész összege. A taszító hatás kis távolságokon (kb. tized-nanométeren belül) érvényesül; a vonzó hatás, a kohézió az ettől sokkal nagyobb távolságokra jellemző. A folyékony folyadék részecskéi egymáshoz olyan közel helyezkednek el (a távolságnál nem sokkal nagyobb távolságra), hogy közöttük lényeges vonzó hatás jut érvényre ezt kohéziónak is nevezzük. Erre a tényre a későbbiekben, a viszkozitás vizsgálatakor visszatérünk. A gáznemű közegek részecskéi között lévő átlagos távolság sokkal nagyobb, mint a folyadékok részecskéi közötti távolság. Ezért a gázok részecskéi közötti vonzóerő is sokkal kisebb, ezt a hatást a továbbiakban elhanyagolhatóan kicsinek tekintjük. Az eddig tekintett tulajdonságok a közegekre, mint részecskéből álló halmazra jellemzőek. A következőkben a legfontosabb fizikai tulajdonságokat definiáljuk, a részecske szemlélet alaján. ekintsünk egy egyszeresen összefüggő, zárt térfogatot. Nyilvánvalóan az ebben a térfogatban helyet foglaló részecskék összes tömege lesz a közeg tömege. A sűrűség edig a tömeg és a térfogat hányadosa (az áramlástanban általában a sűrűséget használjuk, a fajtérfogat, a sűrűség reciroka ritkán fordul elő): m ; V (.) A tömeg élda az extenzív mennyiségekre, ezek értéke a vizsgált rendszer méretével arányosan változik. A sűrűség edig a tömeghez kacsolt intenzív mennyiség, ennek értéke nem függ a tekintett rendszer méretétől. A folyadékokban és gázokban is értelmezünk feszültségeket (mértékegységük alaesetben [N/m ] vagy máskéen [Pa] Blaise Pascalról elnevezve; [N/m ] = [Pa]). Ezeket a feszültségeket a feszültségtenzorban foglaljuk össze. Gausz amás, BME

161 . A FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK FIZIKAI JELLEMZŐI 3.. ábra A feszültség-tenzor elemei A feszültségek indexelése a következő elv szerint történik: az első index megmutatja, hogy a feszültség összetevő mely koordináta tengely irányába mutat; a második index megmutatja, hogy a feszültség összetevő mely koordináta tengelyre merőleges síkban fekszik. A feszültség-tenzor részletesen kiírva az alábbi formát ölti: xx xy xz Π yx yy yz zx zy zz (.) Segítségével a felületi erő a következő módon határozható meg: xx dax xy day xz da z df Π da yx dax yy day yz daz ; (.3) zx dax zy day zz da z Csak megjegyezzük, hogy [4]-ben (5. oldal) vagy [8]-ban (337. oldal) a feszültség-tenzor elemeinek index-sorrendje éen ellenkezője a fentiekben alkalmazottnak, azonban az értelmezés is fordított vagyis a felírás ezekkel a művekkel (is) azonos. Amiért ezt a formát választottuk annak oka az, hogy az általános mechanikában és a nemzetközi szakirodalomban is az általunk használt jelölésmód az elterjedtebb. Gausz amás, BME

162 4 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A feszültség-tenzor főátlójában a statikus nyomás és adott esetben a turbulens nyomás-többlet található. A statikus nyomás a közeg részecskéinek rendezetlen hőmozgásából ered. A részecskék mozgás-mennyisége ütközésekkor megváltozik e mozgásmennyiség-változás időegységre és felületegységre vonatkoztatott értékét nevezzük statikus nyomásnak. Mivel a rendezetlen hőmozgásnak nincs kitüntetett iránya, ezért a statikus nyomásnak sincs kitüntetett iránya tehát skalár mennyiség. Csak megjegyezzük, hogy a skalár mennyiség másik oldalról nézve nulla-indexes tenzornak tekinthető (a nulla indexes helyett a nulladrendű megnevezés is használatos). A vektorok egy-indexes (vagy elsőrendű) tenzorok és a fentiekben bemutatott feszültség-tenzor két-indexes (vagy másodrendű) tenzor. Ezt a gondolatsort folytathatjuk és definiálhatunk magasabb index-számú, azaz magasabb rendű tenzorokat is, éldául turbulens áramlások vizsgálatakor a turbulens mozgások következtében előálló feszültségek tenzora lehet ilyen, ebben a jegyzetben azonban legfeljebb másodrendű tenzor fordul elő. A statikus nyomás legkisebb értéke nyilván a nulla, hiszen a nyomást az ütköző részecskék sebessége, tömege és száma határozza meg és legfeljebb nem ütközik egyetlen részecske sem. A turbulens nyomás-többlet hasonló a statikus nyomáshoz, mivel az is egy rendezetlen, nulla várható étékű mozgásforma eredménye. A kétféle normál feszültség összetevő között a különbség abban rejlik, hogy a turbulens mozgás intenzívebb, esetleg sokkal intenzívebb, mint a rendezetlen hőmozgás, ezért a turbulens mozgásból származó feszült-ségek általában nagyobbak, mint a rendezetlen mozgásból eredő feszültségek. Amennyiben a közegben egy szilárd felület van, akkor ez a felület a közeget lényegében két féltérre osztja. Ekkor azonban minden, a felülethez az egyik féltér valamely irányából érkező (ütköző) részecskéhez nagyon nagy valószínűséggel találhatunk egy árt, egy olyan részecskét, amelynek az ütközése az első részecske ütközésének tükörkée. Ennek alaján kijelenthető, hogy a szilárd felületen a statikus nyomás a felületre merőlegesen keletkezik. Ebből következik az is, hogy a statikus nyomás egy felületre merőleges (elegendően kis átmérőjű) furat segítségével mérhető ebbe a furatba ugyanis csak a rendezetlen mozgás következtében kerülnek be a részecskék. Gausz amás, BME

163 . A FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK FIZIKAI JELLEMZŐI 5 A feszültség-tenzor főátlón kívüli elemei a csúsztató feszültségek. A csúsztató feszültség keletkezésének fő oka folyékony folyadék réteges áramlásának estében, amikor a részecskék elég közel vannak egymáshoz a részecskék között keletkező kohéziós erő (.. ábra vonzó hatás )..3. ábra Különböző sebességű, egymás melletti rétegek A gáznemű közegek réteges és gomolygó áramlásában egyaránt, valamint a folyékony folyadék gomolygó áramlásában a csúsztató feszültség keletkezésének fő oka a részecske cserével létrejövő mozgás-mennyiség csere (mozgásmennyiség transzort). A lassabb részecskék (.3. ábra, alsó részecske sor) átléve a gyorsabbak közé, azok mozgását fékezik, a gyorsabbak edig (felső sor) a lassabbak közé kerülve, azok mozgását gyorsítani igyekeznek. A részecske csere oka réteges áramlásban a hőmozgás, gomolygó (turbulens) áramlásban ehhez adódik még a turbulens sebesség-ingadozások miatti esetenként sokkal intenzívebb részecske csere. A csúsztató feszültség keletkezésének szükséges feltétele a sebesség különbség (.3 ábra). Csak megjegyezzük, hogy a részecske csere nem csak mozgásmenynyiség, hanem egyúttal anyag és energia transzortot is jelent. A fentiekből következik, hogy folyékony folyadék esetében, a hőmérséklet növekedésével, amikor a részecskék a hőmozgás intenzitásának növekedése miatt egymástól távolabb kerülnek, a súrlódó feszültség csökken. Ugyanakkor, a gázok réteges (lamináris) áramlásának esetében, a hőmérséklet növekedésével nő a csúsztató feszültség. Az ebben a csúsztató feszültségben szerelő dinamikai viszkozitást anyagjellemzőnek tekintjük, ezt a csúsztató feszültséget a későbbiekben a deformációsebességekkel és a dinamikai viszkozitással határozzuk meg (l. 5.3 sz. kélet). A későbbiekben a dinamikai viszkozitás mellett szó lesz a turbulens dinamikai viszkozitásról is, ez utóbbi viszkozitás a mozgásjellemzők függvénye. A gomolygó áramlásokban a csúsztató feszültség keletkezése a turbulens sebesség-ingadozások következménye vagyis ezek függvényében határozzuk majd meg. A turbulens csúsztató feszültség tehát a mozgásállaottól (is) függ. Gausz amás, BME

164 6 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A nyomással kacsolatban szólni kell még a dinamikus nyomásról, illetve az össznyomásról is. A dinamikus nyomás a részecskék rendezett mozgásából származó, időegységre illetve felületegységre jutó mozgásmennyiség változás, ezért természetesen irányfüggő mégis, a hagyományos tárgyalásmódnak megfelelően skalár mennyiségként számolunk vele. Az intenzív mennyiségek csoortjába tartozik. A dinamikus nyomás közvetlenül nem mérhető. Mérhető viszont a dinamikus és statikus nyomás összegeként előálló össznyomás..4. ábra Nyomásmérés Az össznyomást mérni olyan nyomásmérő eszközzel lehet, amelynek érzékelője a mozgással szembe néz (l. az áramlással szembefordított cső ilyen). Az.4. ábrán egy "U" csöves nyomásmérő eszköz látható. Ennek bal oldalán a statikus nyomás, a jobb oldali szárában edig az össznyomás jelenik meg. Ennek megfelelően a folyadék-oszlo magasság különbsége a dinamikai nyomással arányos, a műszer ilyenkéen az össznyomás és a statikus nyomás különbségét mutatja, azaz mint egy analóg számológé működik. Amennyiben a közegben szilárd test helyezkedik el, akkor annak a felületén is keletkezik csúsztató feszültség, hacsak a közeget viszkózusnak tekintjük (vagyis nem hanyagoljuk el a viszkozitást) és a közeg illetve a test egymáshoz kéest mozog. Szilárd fal esetében a közeg részecskéi a falnak ütköznek, és onnan visszaattannak. Nagyszámú részecske és érdes fal esetén feltehető, hogy a visszaattanás várható iránya nagyjából azonos az érkezés irányával. Ebből következik, hogy a szilárd falnak ütköző részecskék sebességének várható értéke a falhoz nagyon közel nulla. Hangsúlyozzuk: ez a várható érték ontosan akkor áll elő, ha egyetlen fizikai részecske sem áll meg, éen ellenkezőleg, mindegyiknek vissza kell attannia! Ez a nulla várható érték a fizikai alaja annak, hogy a kontinuumként tekintett közegnél, súrlódás esetén azt mondjuk, hogy a szélső réteg áll. Gausz amás, BME

165 . A FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK FIZIKAI JELLEMZŐI 7 Ez a taadási feltétel (ami ersze megint csak elegendően nagy részecske szám esetén igaz, vagyis mikro- és nano- áramlásokban nem, ott a szélső réteg nem áll) kontinuumra vonatkozik, vagyis olyan idealizált közeg modellre, amely a teret folytonosan tölti ki és így a szélső rétegének vastagsága infinitezimális a legkisebb, létező részecske átmérőjénél is végtelenszer kisebb. (A későbbi tárgyalás alaját jelentő kontinuum modellt később vezetjük be.) Vezessük be a statikus hőmérséklet fogalmát is: ez a részecskék rendezetlen mozgásának átlagos kinetikai energiája, egy, emírikus skálán mérve. (Ilyen, emírikus skála meglehetősen sok létezik mi a Kelvin és a Celsius fokot használjuk.) A gázok esetében igen szemléletes kacsolat létezik: az általános gáztörvény szerint a statikus nyomás egyenlő a sűrűség és a statikus hőmérséklet szorzatával: R (.4) Az " R " a secifikus gázállandó az átváltáshoz szükséges konstansként is értelmezhető. A statikus hőmérséklet szintén skalár jellegű, intenzív mennyiség, mérése a közeggel együttmozgó hőmérővel lehetséges. Nyilvánvalóan, nyugvó, vagy kis sebességgel mozgó közeg esetén álló, nyugalomban lévő hőmérővel mérhető a statikus hőmérséklet. A dinamikus hőmérséklet a dinamikus nyomáshoz hasonlóan a rendezett mozgás kinetikai energiájának a mértéke, a már említett emírikus skálán. Nyilvánvalóan a dinamikus hőmérséklet csak viszonylag nagy áramlási sebességek esetében jelentős, mérsékelt sebességű áramlásokban a figyelembe vételétől gyakran eltekintenek. (Levegőben éldául 45 m/s sebesség kb. fok dinamikus hőmérséklet felel meg.) Skalárnak tekintett, intenzív mennyiség, közvetlenül nem mérhető, viszont mérhető a statikus és dinamikus hőmérséklet összegeként definiált összhőmérséklet vagy torlóonti hőmérséklet. A mérésre az un. torlóont-hőmérő használatos, amely a közeget minden mozgást rendezetlenné téve megállítja, és a megállított közeg hőmérsékletét méri. A folyadékok és gázok közegek fizikai tulajdonságaikat tehát általában is az őket alkotó részecskék tulajdonságai alaján definiálhatjuk. A részecske szemléleten alauló vizsgálat a statisztikus mechanika eszközeinek felhasználásával lehetséges (l. Boltzmann egyenlet, rács-boltzmann módszer, stb.) ezzel a kérdéskörrel azonban itt nem foglakozhatunk. Gausz amás, BME

166 8 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Ebben a tantárgyban az áramlástan ma már klasszikusnak tekinthető szemléletmódját, a kontinuum hiotézist és az ehhez illeszkedő, Eulerféle leírást alkalmazzuk. Ez a tárgyalás azon alaul, hogy a vizsgált közegeket a fizikai teret folytonosan kitöltő kontinuumnak tekintjük. Ez a kontinuum a részecske szemlélettel ellentétben folytonos, részei végtelen kicsik (infinitezimálisan kicsik) és ezért viselkedése, tulajdonságai többnyire folytonos függvények segítségével írhatók le. A legfontosabb függvényeket az alábbi táblázatban foglaltuk össze:. áblázat Elnevezés Matematikai leírás Megjegyzés Sűrűség: r,t Skalárvektor függvény. Nyomás: r, t Skalárvektor függvény. Hőmérséklet. r, t Skalárvektor függvény. Potenciál U U r, t; vagy r, t Skalárvektor függvény. Áramfüggvény x, y, t Skalárvektor függvény. Sebesség c cr,t Vektorvektor azaz: függvény. c c x, y, z, t ; x x c c x, y, z, t ; y y c c x, y, z, t ; z z Ebben a jegyzetben egyébként időtől függő otenciál nem fordul elő. Hasonlókéen e jegyzet csak az időtől független, síkáramlásokra vonatkozó áramfüggvényekkel foglalkozik a táblázatban szerelő függvény alakokat az általánosság kedvéért adtuk meg a fenti formában. Gausz amás, BME

167 . A FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK FIZIKAI JELLEMZŐI 9 A mechanika más területein és esetenként az áramlástanban is felmerül a mozgások Lagrange féle leírásának lehetősége. Ebben az esetben egyes testek az áramlástanban különféle értelemben használt részecskék mozgását vizsgáljuk. Legyen egy részecske helyvektora a t 0 illanatban r 0, akkor bármely időillanatbeli helyzetét megadja az alábbi függvény: r r r, t ; 0 (.5) Ez a szemléletmód magától értetődő, ha csak kevés testet kell vizsgálni (l. a klasszikus vagy az égi mechanika legegyszerűbb feladataiban), de hatványozottan fokozódó nehézségekkel jár, ha a testek (részecskék) száma növekszik. Ezzel együtt egyes esetekben, a modern eszközök birtokában ez a nehézség legyőzhető a korszerű áramlástanban elfordulnak ilyen szemléletmódban megoldott feladatok is. A közegek más közegekkel vagy testekkel való érintkezésekor adhézióval, illetve kohézióval kell számolnunk. A kohézió a közeg részecskéinek egymást vonzó hatása, az adhézió viszont hasonló, de a közeg és a test részecskéi között érvényesülő vonzó hatás..5. ábra Folyadék cseek Az.5. ábrán két folyadék cse van: az a jelű a nedvesítő, a b jelű a nem nedvesítő a kacsolat. A nedvesítő eset akkor jön létre, ha az adhézió nagyobb a kohéziónál. Nem nedvesítő eset viszont akkor következik be, ha a kohézió nagyobb az adhéziónál. A kohézió az alaja a folyadékoknál megfigyelhető felületi feszültségnek is ez a jelenség számos esetben fontos. Egyébként a szabad felszín esetleges görbülését és az ezzel együtt járó görbületi nyomást is a kohézió okozza. Ezekkel a jelenségekkel bővebben nem foglalkozunk. Gausz amás, BME

168 . Matematikai segédeszközök Az áramlástan tananyagában viszonylag sok, esetleg összetett matematikai eljárás, művelet fordul elő. Ezek, kellő begyakorlottság esetén a tananyag elsajátítását megkönnyítik. Ahhoz viszont, hogy ezt a célt elérjük, szükség van ezeknek az ismereteknek a felfrissítésére, begyakorlására. Ehhez kíván segítséget nyújtani a ont. Az áramlástanban a fizika sok más ágához hasonlóan nagy szereet játszik a Hamilton féle nabla oerátor. A nabla oerátort a következő módon szokás meghatározni: x ; illetve sorvektorként: y,, (.) x y z z A Hamilton féle nabla (vektor) oerátor szeree az áramlástanban rendkívül fontos, segítségével hajtható végre néhány, az tudományterületen igen gyakran szükséges differenciálás. Skalár-vektor függvényre alkalmazva a vizsgált mennyiség gradiens vektorát kajuk. ekintsük éldaként a nyomást: x grad ; (.) r y z A nyomás gradiense éldául megmutatja a nyomás-változás irányát és nagyságát. Másrészt az eredetileg skalár mennyiségből a nyomásból (nullad-rendű tenzor) vektort (első rendű tenzort) állít elő. Gausz amás, BME

169 . MAEMAIKAI SEGÉDESZKÖZÖK A nabla oerátort vektor-vektor függvényekre háromféle módon alkalmazhatjuk. Az első mód a skalár vagy belső szorzat alkalmazása ez a divergencia számításához vezet: cx,, c c x y cz divc c x y z c y ; (.3) x y z c z A fenti számolásban a sebesség vektor, vagy egy-indexes (elsőrendű) tenzor divergenciáját határoztuk meg. ovábbi éldaként számítsuk ki a feszültség tenzor divergenciáját. Ebben az esetben kissé nagyvonalúan eljárva tekintsünk el attól, hogy az oerátor alkalmazásának sorrendje nem kommutatív a következő eredményre jutunk: xx xy xz x x y z xx xy xz yx yy yz div Π Π yx yy yz ; (.4) y x y z zx zy zz zx zy zz z x y z Ennél a számolásnál a két-indexes tenzorból egy-indexes tenzort, azaz vektort katunk. A divergencia számítás tehát a tenzorok index-számát redukálja. A második lehetőségként, a vektori szorzat alkalmazásával a rotációt számítjuk ki. Ez, Descartes féle, derékszögű koordináta rendszerben az alábbi determináns kifejtésével lehetséges: c c z y i j k y z cx c z rot c c x y z ; (.5) z x cx cy c z cy c x x y A rotáció ami egyébként fizikai jelentése szerint a helyi szögsebesség kétszerese vektor mennyiség, ebben az esetben a differenciálás nem változtatja meg a tenzor rendjét. Gausz amás, BME

170 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Harmadszorra tekintsük a diadikus vagy külső szorzattal számítható derivált tenzort: cx cx cx x y z cx,, c y cy cy D c c y x y z ; (.6) x y z c z cz cz c z x y z Ez a művelet egy-indexes tenzorból két-indexes tenzort állít elő. A tenzor voltát elnevezésével is hangsúlyozó derivált tenzor (kétindexes tenzor) igen jelentős szereet ka az áramlástanban. Hasonlóan fontos a feszültség tenzor (. kifejezés), amely szintén kétindexes tenzor. A nabla oerátor önmagával vett skalár szorzata (ezt gyakran a nabla négyzetének nevezik) egy skalár oerátort, a Lalace oerátort szolgáltatja: x y z ; (.7) A differenciálási műveletek lezárásaként felírunk néhány, magasabb rendű differenciálásra vonatkozó azonosságot: rot grad 0 ; (.8) divrotc c 0 ; (.9) div grad ; (.0) Ezeket az azonosságokat éldául számolással lehet ellenőrizni. Ajánlatos ezt a fenti ismeretek gyakorlásának érdekében önállóan elvégezni! Ezzel a témakörrel egyébként, megfelelő színvonalon a [] vagy [] illetőleg más, hasonló irodalmi mű foglalkozik. A további, ebben az előadás vázlatban előforduló áramlástani ismeretek elsajátításához szükség van még két integrál tételre. ekintsük elsőként a Gauss-Osztrogradszkij tételt: A V A V c da divc dv és ΠdA div Π dv ; (.) Ebben a tételben egy egyszeresen összefüggő, zárt felületet kell kijelölni (A) az integrálást mindkét esetben erre a felületre, illetve az e felü- Gausz amás, BME

171 . MAEMAIKAI SEGÉDESZKÖZÖK 3 let által kijelölt térfogatra (V) kell elvégezni. Megjegyezzük, hogy (.)- ben szerelő bal oldali kifejezés a térfogat-áramot, a jobb oldali kifejezés az eredő felületi erőt jelenti. A másik integrál-tétel a Stokes tétel, ami szerint egy vektor mező az áramlástanban általában a sebesség tér egy zárt görbe mentén vett integrálja (. bal oldala) egyenlő e vektor mező rotációjának a zárt görbe által határolt felületre vett integráljával (. jobb oldala): cds rotcda ; (.) A Az egyszerűbb írásmód kedvéért a felületi normális és a felületelem szorzatát egyben, felületelem-vektorként írjuk, ennek nagysága a felületelem nagysága, iránya edig a felületi normális irányával azonos ( da n da). Ez a megjegyzés fontos és a teljes jegyzetre érvényes! A cirkulációt (jele: ) egyébként éen a fent megadott, Stokes tétel bal oldali tagjának felhasználásával szokás definiálni: cds rot cda ; (.3) A A matematikai összefoglaló csak nagyon röviden és tömören, a leglényegesebb ismereteket foglalja össze. Ezek az eszközök kellő begyakorlás híján elrejthetik az áramlástani anyag fizikai mondani-valóját. Ugyanakkor, megfelelő szinten elsajátítva őket könnyen átláthatóvá, egyszerűvé teszik a tananyag elsajátítását. Vagyis: ezeknek az eszközöknek az elsajátítása, készség szinten történő alkalmazása nagyon fontos. Viszont ezt senki más, csak a hallgató teheti meg, neki kell tanulnia ahhoz, hogy a matematika ne akadály, hanem segítség legyen... Görbevonalú koordináta rendszerek Az áramlástanban is gyakran szükséges görbe vonalú koordináta rendszerek alkalmazása. Hagyományosan a henger- illetve a gömb koordináta rendszert alkalmazták, a modern főként numerikus eljárásokban azonban sokféle, akár zárt alakban meg sem adható lekéezés illetve az ehhez tartozó koordináta rendszer fordul elő. Gausz amás, BME

172 4 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A görbe vonalú koordináta rendszerekkel kacsolatos, részletesebb ismeretek az ezzel foglalkozó szakirodalomban találhatók meg (l. [] vagy más, differenciál geometriával foglakozó művek), itt csak a henger és a gömbi koordináta rendszer esetére térünk ki. A henger koordináta rendszer esetében általában a z koordinátát a derékszögű koordináta tengely z tengelyével azonosnak vesszük; az x és y koordinátát edig az x-y síkban értelmezett r távolsággal és az x tengelytől mért szöggel cseréljük fel. A henger koordináta rendszert kifeszítő három (egység) bázis vektor edig a következő: e sugárirányú, e érintő irányú, e 3 edig a z tengely irányába mutat; a megfelelő sebesség összetevők edig rendre a c r, c és c z. [] nyomán rögtön a megfelelő végeredményeket írjuk fel: grad e e e3; r r z (.4) c cz div c r cr ; (.5) r r r z c c c c rot c e e r z z r z r z rc r r c r e3; r r r r r z (.6) ; (.7) A gradienst a korábban is említett nyomásra, a divergenciát és a rotációt a sebességre számítottuk ki. A Lalace oerátort a később gyakran előforduló áramfüggvényre alkalmaztuk. Ezek természetesen csak a megértést elősegítő éldák, az egyes oerátorok más mennyiségekre is alkalmazhatók. A gömbi koordináta rendszer esetében a három új koordináta rendre az origótól mért sugár (r), a sugár x-y síkba eső vetületének x tengellyel bezárt szöge () és a sugár z tengellyel bezárt szöge () Az első koordinátához rendelt sugárirányú egységvektor az e ; a második koordinátához rendelt, a szélességi kört érintő egységvektor az e ; végül a harmadik koordinátához rendelt, a meridián-kört érintő egységvektor az e 3. A megfe- Gausz amás, BME

173 . MAEMAIKAI SEGÉDESZKÖZÖK 5 lelő sebesség összetevők edig rendre a c r, c és c. Ismét a végeredményeket írjuk csak fel: grad e e e3; (.8) r r sin r c div c r c c sin r ; (.9) r r r sin r sin r rot c r sin c c sin cr r c r r cr r c r r sin r r r r r sin sin ; r sin ; (.0) (.) A henger (cilindrikus) és gömbi (szférikus) koordináta rendszerek alkalmazása sok esetben célszerű. Alkalmazásuk lehetőségét azzal együtt érdemes vizsgálni, hogy a korszerűnek tekintett numerikus módszerek, különösen a kész szoftverek nagyon sok transzformációs kérdést is "önállóan", a felhasználó egyszerű utasítására oldanak meg... A teljes, totális, szubsztanciális vagy materiális derivált A teljes, totális, szubsztanciális vagy materiális derivált matematikai értelemben teljes deriváltat jelent. Az áramlástanban a legjelentősebb a sebesség teljes deriváltja, ami egyébiránt a teljes gyorsulást szolgáltatja. A teljes derivált sok hőtani mennyiség esetében is nagyon fontos. Legyen a következő skalár-vektor függvény f valamely extenzív mennyiség sűrűség függvénye (az extenzív mennyiségek a vizsgált rendszer méreteivel arányosan változnak ilyen l. a közeg tömege, akkor f a közeg sűrűsége); azaz:, t f x, y, z t f f r, ; (.) Gausz amás, BME

174 6 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Az extenzív és intenzív mennyiségekről további részletek a 6. fejezetben olvashatók. Az f függvény tejes differenciálja a következő: f f f f df dt dx dy dz ; (.3) t x y z A teljes differenciált differenciává írva vissza, az idő megváltozásával mindkét oldalt elosztva és végül a t 0határátmenetet kéezve a következő kifejezést kajuk: df D f f f f f cx cy cz ; (.4) dt Dt t x y z A bal oldalon az anyagi, materiális vagy szubsztanciális derivált áll, ezt a nemzetközi szakirodalomban néha szokás nagy D betűvel is jelölni. A jobb oldalon a c x, c y és c z a c sebesség x, y és z irányba eső összetevői, rendre a x t, y t és a z t differenciahányadosok t 0 esetben vett határértékei állnak. Vegyük észre, hogy az f függvény hely szerinti arciális deriváltjai éen az f függvény gradiensét adják. Ezzel a (.4) egyenlet a következő, tömörebb formában írható fel: df D f f f c grad f c f ; (.5) dt D t t t A (.4)-et, illetve a tömörebb alakban felírt (.5)-öt kacsolati egyenletnek nevezzük. A bal oldalon álló szubsztanciális derivált egy, a közeghez kötött ontbeli teljes deriváltat jelent, azaz a közeg szemontjából együttmozgó, tehát zárt rendszerre vonatkozik. Az egyenlet jobb oldalának első tagját lokális (idő szerinti) deriváltnak, a másodikat konvektív (a mozgással és a deformációval kacsolatos) deriváltnak nevezzük ezek a deriváltak rendre külön a hely illetve az idő szerint rögzítettek, tehát a közeg szemontjából nyitott rendszerre vonatkoznak. Ezek szerint a kacsolati egyenlet a zárt és a nyitott rendszerben értelmezett deriváltak közötti kacsolatot írja le. A (.5) kacsolati egyenletben a sebességet sor-vektorként írtuk fel, úgy, hogy a jobb oldal második tagjában lévő kifejezés a sor-oszlo komozíció szabályt alkalmazva rögtön (formális számolással) a skalár szorzatot szolgáltassa. A szakirodalom egy részében előszeretettel használják a (.5) jobb oldal második tagjára a következő csoortosítást: Gausz amás, BME

175 . MAEMAIKAI SEGÉDESZKÖZÖK 7 df Df f dt Dt t c f ; (.6) Ez a csoortosítás azt jelenti, hogy először a sebességet skalárisan szorozzuk a nabla vektor-oerátorral; ennek eredménye a következő, skalár oerátor: c cx c y cz ; (.7) x y z Alkalmazzuk ezt a skalár oerátort f -re; az eredmény ontosan a (.4) jobb oldalát szolgáltatja, azaz ez a csoortosítás helyes eredményt szolgáltat. Megjegyzendő, hogy a skaláris szorzás esetén a szakirodalom nagy részében nem használják a transzonált jelölést, ezért leggyakrabban a ( c ) alakkal találkozunk. Néha még a zárójelet is elhagyják, ami már ha a zárójel nélküli jelölést vektor egyenletben alkalmazzák a helyes értelmezés rovására is mehet. A (.4) vagy (.5) egyenlet nem csak egy skalár-vektor függvényre írható fel, az f nyilvánvalóan egy vektor vagy tenzor összetevője is lehet. Ez esetünkben azért fontos, mert éldául a sebesség, a mozgás-mennyiség stb. az áramlástan számára fontos vektor mennyiség a fenti állítás szerint edig a kacsolati egyenlet a sebesség (vagy más vektor-vektor függvény) komonenseire külön-külön felírható, illetve vektoregyenletként, tömör alakban is megadható. ekintsük a vektormennyiségekre éldaként egy elvileg tetszőleges v vektort. Alkalmazzuk a vektor-komonensekre a (.5) összefüggést. Egyszerű számolással belátható, hogy a mindhárom komonenst magában foglaló vektor-egyenlet a következő alakot ölti: d v d t v t c v; (.8) Válasszuk most v helyett az áramlástanban közonti szereet játszó,. áblázat (vagy 5.) szerinti formában adott sebesség vektort, ezzel ontosan a gyorsulás matematikai megfogalmazásához jutunk: Gausz amás, BME

176 8 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. d c c c c; (.9) d t t A (.9) egyenletben, a jobb oldal második tagjában három vektor szereel, az ilyen szorzat nem asszociatív. Ezt a tagot az alábbi módon is fel lehet illetve fel szokás írni: d c c c c c c c c Dc ; (.30) d t t t r t A (.30) kifejezés közéső tagjában, a zárójelben a sebesség és a nabla vektor-oerátor diadikus szorzata szereel, ezt már korábban, a (.6)-tal definiáltuk, az elnevezése derivált tenzor (jele a D betű). A derivált tenzor jelenősége az áramlástanban igen nagy: a kinematikai alkalmazásokon túl a csúsztató feszültség felírásakor is nélkülözhetetlen. A fentiekben olvasható matematikai összefoglaló csak egy, nagyon rövid és tömör, a legszükségesebb ismeretekre kiterjedő segédlet. Részben rendkívül fontos, hogy kétség esetén a vonatkozó, részletes tárgyalást bemutató szakirodalomhoz kell fordulni, részben edig mindig szem előtt kell tartani az ismertetett összefüggések lehetséges fizikai tartalmát. E tekintetben nem csak az áramlástan vagy hőtan, de más tudományterületek is szolgálhatnak jó éldákkal. A fizikai tartalom azért is rendkívül fontos, mert a matematikai modelljeink jó esetben megfelelnek a fizikai valóságnak. Ennek értelmében, a matematikai modell, matematikai vizsgálatát megerősíti, kiegészíti a fizikai vizsgálat. Bonyolult esetekben, amikor egy matematikai modell megoldásának létezése nehezen bizonyítható, akkor, amennyiben az egy létező áramlás megfelelő matematikai modellje, akkor fizikai alaon valószínűsíthetjük a megoldás létezését. Különösen fontos és nagy körültekintést igényel a numerikus áramlástani vizsgálatok matematikai és fizikai feltételeinek korrekt rögzítése. Az ilyen számítások során ugyanis a felhasználó számos lehetőség közül választhat és a kereskedelmi szoftverek feléítési filozófiájának következtében akkor is eredményt ka, ha a roblémát fizikailag helytelenül definiálta. Ezekben az esetekben nem a matematikai modellel és nem a lehetséges eremfeltételekkel vagy hálózással van robléma, hanem azok helytelen a fizikai modellnek meg nem felelő alkalmazása, kombinációja vezethet rossz eredményre. Gausz amás, BME

177 3. A térerősség és a otenciálos erőterekben értelmezhető otenciál Az általános fizikai ismeretek felfrissítéseként meghatározzuk a térerősség fogalmát: a térerősség valamely erőtérben (esetünkben: nehézségi, tehetetlenségi, centrifugális vagy Coriolis erőtér) elhelyezkedő, egységnyi tömegre ható erő: g N / kg ; A térerősség jele talán megtévesztő: ez nem csak a gravitációs erőtér térerőssége, hanem az összes felléő erőtér eredő térerősségét jelenti. Dimenzióját gyakran gyorsulás-dimenzióként adják meg, ez nem helytelen, de a térerősség fizikai tartalmára a fenti dimenzió mutat rá. Amennyiben egy erőtérnek létezik otenciálja ( U U r skalárvektor függvény), akkor ebből a otenciálból a térerősség az alábbi módon számolható: g grad U ; (3.) A otenciál létezésének szükséges és elégséges feltétele, hogy az erőtér térerőssége rotációmentes legyen. A otenciálos vagy konzervatív erőterekben a otenciál a térerősség ellenében végzendő munkaként számítható: B U U g ds ; (3.) B A A A (3.) kifejezés alaján belátható a fizikából jól ismert tény, ami szerint a otenciál abszolút értéke nem fontos, illetve nem is ismert a számításokban csak a otenciál-különbség játszik szereet. Ez máské fogalmazva azt jelenti, hogy a otenciál l. nulla értékét tetszőlegesen választhatjuk meg. Ez, általában úgy szokás, illetve célszerű választani, hogy a nulla érték a feladat koordináta rendszerének az origójában legyen. Az áramlástan feladatokban a leggyakrabban a nehézségi, a tehetetlenségi és a centrifugális erőtér fordul elő, mint otenciálos erőtér. Nem otenciálos erőtérre tiikus élda az itt nem részletezett, forgó rendszerekben felléő Coriolis erőtér. Gausz amás, BME

178 0 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A nehézségi erőtér otenciálja (feltéve, hogy a nehézségi erőtőr térerősségével árhuzamos a z tengely egyszerűen fogalmazva, a z tengely függőleges): U g z ; (3.3) A fenti kifejezést a köznyelvben egyszerűen egységnyi tömeg helyzeti energiájának is nevezik. Az előjel ozitív, ha a növekvő z értékekhez növekvő helyzeti energia tartozik: vagyis, ha a z tengely felfele mutat. A fent leírtak szerint a otenciál a térerősség ellenében végzett munka: mivel ebben az esetben a térerősség lefele mutat, a munkát ellene éen a felfele mozgatással végezzük. Másrészt, matematikailag a vizsgált esetbeli ozitív előjel a (3.) formális kiszámításából is következik. Illetve teljesül az az előbbiekben tett ajánlás, ami szerint a otenciál értéke az origóban legyen nulla. Negatív lesz a nehézségi erőtér otenciál kifejezésének előjele akkor, ha a z tengely lefele mutat. Ekkor az egyre magasabban elhelyezett tömeg helyzeti energiája ontosan úgy növekszik, hogy a negatív előjelű kifejezésbe negatív előjelű (növekvő abszolút értékű) z koordinátákat írunk. Ez, a nehézségi erőtérre vonatkozó élda azt a nagyon fontos fizikai elvet is bemutatja, ami szerint egy fizikai jelenség természetesen független a koordináta rendszer választásától. Azért meg kell jegyezni, hogy elengedhetetlen a korrekt számolás és természetesen vannak alkalmas és nem igazán alkalmas koordináta rendszerek: alkalmas (jó) választással egy feladat megoldása jelentősen megkönnyíthető, ellenkező esetben, nem igazán alkalmas koordináta rendszer választása a feladat megoldásában akár legyőzhetetlen nehézséget is okozhat! Másodikként vizsgáljuk a tehetetlenségi erőteret. Most az egyszerűség kedvéért csak olyan eseteket vizsgálunk, ahol a tehetetlenségi erőtér térerőssége vízszintes. Legyen továbbá az x az a vízszintes koordináta tengely, amely a térerősség egyenesével árhuzamos. Ezzel a tehetetlenségi erőtér otenciálja: U a x ; (3.4) Az általános fizikából ismert, hogy gyorsuló rendszerben lé fel a tehetetlenségi erőtér és ennek térerőssége éen ellentétes a gyorsulással. Gausz amás, BME

179 3. A ÉRERŐSSÉG ÉS A POENCIÁL A otenciál (3.4) szerinti kifejezésében edig akkor kell ozitív előjelet használni, ha a térerősség értelme ellentétes az x tengely ozitív irányításával. Ez fizikailag úgy fogalmazható, hogy ebben az esetben növekvő x értékekhez növekvő helyzeti energia tartozik. Az előjelek választása tehát értelemszerűen a nehézségi erőtérnél részletesen bemutatottak szerint kell, hogy történjen. Vizsgáljuk meg végül a centrifugális erőteret. Ebben az esetben egy olyan olár (henger) koordináta rendszert kell definiálni, melynek r tengelye a forgásonttól kifele mutat. Ebben az esetben az egységnyi tömegre ható centrifugális erő: r, ezzel a otenciál számítása (3. sze- rint): r ' ' r U r dr ; (3.5) 0 A centrifugális erőtérben csak a negatív előjel használata értelmes, mivel itt a koordináta tengely ( r ) értelmes irányítása mindig azonos a térerősség irányításával: mindkettő kifele mutat. A fenti kifejezés megmutatja azt, hogy mivel a otenciál abszolút értéke lényegtelen, csak a otenciál-különbség fontos, a szokás szerint az origóban a otenciál értékét nullának választhatjuk. A centrifugális erőtér esetében ez azt is jelenti, hogy a legnagyobb otenciál (a forgásontban, azaz az origóban) nulla, és kifele, az r tengely mentén csökkenő otenciálok egyre kisebb negatív számok. A otenciálokat szabad összegezni (szueronálni), ezért egy összetett feladatban a fenti három erőtér együttes hatása esetén az alábbi eredő otenciál-kifejezés használható: r U g z a x ; (3.6) A (3.6) kifejezésben amit számos feladat megoldásában kell használni az előjelek két tag esetében határozatlanok: azért, mert az előjel attól függ, hogy a feladatot megoldó személy milyen koordináta rendszert választ. Vagyis ebben az esetben is egy-egy feladat megoldásában az (alkalmas) koordináta rendszer választása nagyon fontos, és az első léések egyike kell, hogy legyen. Gausz amás, BME

180 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Mintafeladat Az erőterek és ezen belül a otenciálos erőterek több tudományterületen játszanak igen fontos szereet így az áramlástanban is igen nagy a jelentőségük. A gyakorlati roblémáknál szinte mindig jelen van valamely erőtér legfeljebb, indokolt esetben elhanyagoljuk az erőtér, erőterek hatásait. Az itt bemutatott élda ugyan nem áramlástani élda a kaott eredmények azonban egyes áramlástani feladatok megoldásának nélkülözhetetlen részét kéezik. (Itt csak egy élda következik, természetesen ezen a éldán túl számos más, fontos kérdés is feltehető!) Feladat: határozza meg a gravitációs és centrifugális erőtér együttes jelenléte esetén kialakuló, ekviotenciális felületek egyenletét! Megoldás: első léésben válasszunk koordináta rendszert (3. ábra): 3.. ábra Henger koordináta-rendszer Ebben a koordináta rendszerben a z tengely a nehézségi gyorsulás értelmével ellentétesen, felfele mutat. A henger koordináta rendszer r tengelye edig a közéontból kifele mutat ennél az irányításnál a térerősség és a tengely ozitív irányítása azonos. A élda hengerszimmetrikus jelenséget vizsgál, így harmadik tengelyre, illetve koordinátára nincs szükség. A korábbiakban meghatározott, általános otenciál kifejezés (3.6) erre az esetre egyszerűsítve az alábbi formában írható fel: r U g z ; (3.7) Gausz amás, BME

181 3. A ÉRERŐSSÉG ÉS A POENCIÁL 3 Az ekviotenciális felületek mentén a otenciál állandó, a keresett egyenletünket az U áll. kifejezés határozza meg. ekintsük az egyszerűség kedvéért először azt az esetet, amikor az állandó nulla: r r 0 g z z ; (3.8) g Általában, ha az állandó nem nulla, akkor a keresett ekviotenciális felületek egyenletének általános alakja: r z állandó. (3.9) g A kaott egyenlet (3.9) síkban arabola, a henger koordináta rendszerben forgási araboloid (felület). Ilyen lesz éldául a nehézségi erőtérben forgó, folyadékot tartalmazó edényekben a folyadék felszíne (3. ábra feltéve, hogy a (3.8) kifejezésben az állandó értékét nullának választjuk). 3.. ábra Forgási raboloid ovábbi feladatként számítsuk ki a 3. ábrán látható forgási araboloid térfogatát. (Vagyis egyszerűen fogalmazva az a kérdés, hogy mennyi folyadék önthető az ábrán látható edény -be?) A konkrétan tekintett esetben a felület egyenlete (henger koordináta rendszerben hengerszimmetrikus, tehát a olár-szögtől független): r R z és H g g ; (3.0) Gausz amás, BME

182 4 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A teljes térfogatot az elemi henger-térfogatok integrálásával (összegzésével) határozhatjuk meg ebben a számításban először egy elemi térfogatot ( dv ) írunk fel, és meghatározzuk a két koordináta közötti a (3.0) arabola egyenlete szerinti kacsolatot: dv r dz és dz r dr ; g Ezzel az integrál már felírható, az egyedüli független változó a sugár, értéke 0-tól R -ig fut: R V r r dr ; (3.) g 0 Az integrálás elvégzése után kaott rimitív függvény, (3.0)-et is figyelembe véve: 4 R R R H R V (3.) 4 g g Arra az érdekes eredményre jutottunk, hogy a forgási araboloid belső térfogata egy R sugarú, H magasságú henger térfogatának éen a felével egyenlő. Ez a henger éen érinti a forgási araboloidot. A térfogat felezése azt jelenti, hogy ha a araboloidot eltávolítjuk a hengerből, akkor a visszamaradó térfogat éen annyi lesz, mint a araboloid belső térfogata volt. Ezt a tényt számos hidrostatika feladat megoldásában lehet (és kell) alkalmazni. A súrlódásos áramlások vizsgálatánál, hengeres csövek esetében, a lamináris (réteges) csőáramlások sebesség rofilja is másodfokú arabola, illetve, a körszimmetria miatt forgási araboloid felülettel jellemezhető (7. ont, (7.5) összefüggés). Ezért, ilyen esetben az átlagsebesség éen a maximális (legnagyobb) sebesség fele lesz, hiszen a térfogat, valamint a térfogat-áram a változó sebesség, illetve az átlagsebesség esetében ontosan így lesz azonos. Gausz amás, BME

183 4. A derivált tenzor A derivált tenzort a (.6) egyenlettel határoztuk meg, bevezetésével a közeg részecskéinek merevtestszerű elmozdulásait és a deformációit (hosszváltozás vagy dilatáció és szögtorzulás vagy disztorzió) írjuk le. A derivált tenzort a szakirodalomban általában alkalmazott módon egy szimmetrikus (D S ) és egy ferdén szimmetrikus (D A ) tenzor összegére bonthatjuk fel: c D c DS D ; A (4.) r D D D alakváltozási-sebesség tenzornak ahol: S is nevezzük; D D D és A örvénytenzornak is nevezzük. A fenti felbontás nyilvánvalóan kölcsönösen egyértelmű. A derivált tenzor egészében a konvektív gyorsulás számításában szereel. Konvektív gyorsulás (5. és 5. ábra) származhat merevtestszerű forgásból és származhat deformációból. A derivált tenzor ferdén szimmetrikus része (D A ) a forgással kacsolatos gyorsulás számításához szükséges. A szögsebesség értelmezéséhez vizsgáljuk a 4. ábrán látható, kis téglalaot, illetve annak valamint szöggel történő elfordulását. Az első szögelfordulás negatív előjelet kell kajon, mivel ott a ozitív sebesség negatív elforduláshoz vezet. y A A c y c y c x c x c x y y B c y c y x B x x 4.. ábra Szögelfordulások Gausz amás, BME

184 6 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Az ábrán a ozitív forgás következtében az A ont t idő alatt az A - be, a B ont edig a B'-be mozdul el. Ezek szerint felírható, hogy: c x c y t / y és y x t / x; y x Az eredő szögsebesség számításához vegyük a két szögelfordulás átlagát, osszuk el t - vel és tekintsük a t 0 határértéket. Ennek a levezetésnek az eredménye nyilvánvalóan a szögsebesség z irányú összetevője lesz: cy c x z ; (4.) x y Ezt a gondolatmenetet minden további nélkül meg lehet ismételni az x és az y tengely körüli szögsebesség összetevőkre is. Mindössze a jobbsodrású koordináta rendszerekben értelmezett ozitív elfordulási irányt kell szem előtt tartani. Végeredményben a szögsebességre a következő kifejezést kajuk: cz y cy z / ω cx z cz x / rot c ; (4.3) cy x cx y / (4.3) felírásakor figyelembe véve (.5)-öt megkajuk a szögsebesség és a sebességtér rotációja közötti kacsolatot: a sebességtér rotációja a kontinuum helyi szögsebességének kétszerese. Ezt a rotációt egyes esetekben örvényességnek is nevezik. Számítsuk ki a derivált tenzor ferdén szimmetrikus részét, illetve ennek a sebességgel való szorzatát. Ekkor a következő eredményre jutunk: DA c ω c ; (4.4) A derivált tenzor ferdén szimmetrikus részével történő szorzás tehát azonos a szögsebességgel balról történő vektori szorzással, ezért DA-t örvénytenzornak is nevezzük. Ha a fenti szorzatba a szögsebesség helyére a rotáció vektort írjuk, akkor az általános mechanikából jól ismert, Coriolis gyorsulás kifejezéséhez jutunk: ac rotc c ω c ; (4.5) Gausz amás, BME

185 4. A DERIVÁL ENZOR 7 A derivált tenzor másik, szimmetrikus részének (D S ) mivel a konvektív gyorsulás merev testszerű mozgásból és deformációkból származik a fizikai tartalma a deformációkkal kell kacsolatos legyen, ezért is nevezzük ezt a rész tenzort alakváltozási-sebesség tenzornak. ekintsük először a hosszváltozást azaz a dilatációt. y B B c y c x c y cy y y A c x cx x x A 4.. ábra Hosszváltozások x A 4. ábrán feltüntetett A ont t idő alatt az A -be, a B ont edig a B'-be mozdul el. Az x és az y tengely mentén bekövetkező, hosszváltozás: c c x y x x t és y y t; x y A z tengely menti hosszváltozás értelemszerűen, a fenti kifejezésekhez hasonlóan írható fel. Osszuk el a fenti kifejezéseket rendre x-szel, y-nal és a z tengely menti hosszváltozás kifejezését z -vel; ezek lesznek a fajlagos (relatív) hosszváltozások. Számítsuk ki a hosszváltozási sebességeket (ez egyszerűen a t - vel való osztás és a t tart nullához határátmenet kézését jelenti): c x x ; c y y ; x y c z z ; (4.6) z ekintsük másodszorra a szögtorzulást, vagy disztorziót. A 4.3 ábrán feltüntetett A ont t idő alatt az A -be, a B ont edig a B'-be mozdul el. A z tengely körüli szögtorzulás a két része: cy cx x t / x és y t / y x y ; Gausz amás, BME

186 8 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. y A c x c x y y A c y c x B c y B x c y x x 4.3. ábra Szögtorzulások A szögtorzulások összege: c c x y xy t ; y x A szögtorzulások a sebesség változásnak megfelelő előjellel rendelkeznek, ezért kell őket összegezni. Az xy index edig azt fejezi ki, hogy ez a szögtorzulás az x-y síkban jön létre. A szögtorzulási sebességet a t-vel való osztás és a t 0 határérték-kézés után kajuk. Írjuk fel mindhárom, lehetséges szögtorzulási sebességet: c c x y xy y x ; cx c z xz z x ; cy c z yz z y ; (4.7) Határozzuk meg a derivált tenzor szimmetrikus részét: c x c cy x cx c z x y x z x cy c c x y cy c z DS x y y z y ; (4.8) cz cx c c z y cz x z y z z Gausz amás, BME

187 4. A DERIVÁL ENZOR 9 Vagyis, rövidebben: xy xz x yx yz D S y ; zx zy z Vagyis a (4.8) kifejezéssel adott tenzor rész a főátlójában a hosszváltozási sebességeket, a további elemeiben edig a szögtorzulási sebességeket tartalmazza. A szögtorzulási sebességek indexeinek felcserélése az adott összeg tagjainak felcserélést jelenti. Az összeadás kommutatív művelet, ezért ezek az elemek azonosak, vagyis az így felírt tenzor valóban szimmetrikus. Határozzuk meg az alakváltozási-sebesség tenzor főátlóbeli elemei összegének fizikai tartalmát. Számítsuk ki ezért az előző éldákban szerelő, x, y és z élhosszúságú téglatest térfogat változásának sebességét. Határozzuk meg először a térfogat változást: V x x y y z z ; (4.9) x y z Hagyjuk el a másod- és harmadrendűen kicsi tagokat és osszuk el az egyenlet mindkét oldalát a kiinduló térfogattal: V x y z ; (4.0) V x y z A fenti egyenlet mindkét oldalát osszuk el t -vel és számítsuk ki a t 0 határátmenetet. A jobb oldalon rendre az egyes relatív hosszváltozási sebességek jelennek meg. A végeredmény a következő lesz: d V c c c x y z x y z d t V x y z divc; c (4.) Eszerint tehát a relatív térfogat változási sebesség, ami a derivált tenzor szimmetrikus részének főátlójában álló elemeinek összege, éen a Gausz amás, BME

188 30 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. sebességtér adott ontjában vett divergenciájával egyenlő. A derivált tenzor szimmetrikus részének többi eleme, a szögtorzulási sebességek, a későbbiekben más alkalmazások mellett a súrlódás tárgyalásában, a feszültség tenzor felírásában játszik majd döntő szereet. A sebesség divergenciájának fizikai tartalmát a mérleg egyenlet segítségével is igazolhatjuk válasszuk a (6.0) egyenletben szerelő f - függvényt azonosan egynek és a forrás erősséget, értelemszerűen azonosan nullának, akkor: dv d d dv, és f r, t : ; akkor : dv ; dt dt dt cda (4.) V V V Végeredményben, a Gauss-Osztrogradszkij tétel alkalmazásával: dv div dv ; dt cda c (4.3) A V Ezt úgy értelmezhetjük, hogy a véges V térfogat dilatáció (tágulás vagy összenyomódás) sebessége az elemi dv térfogatok dilatáció sebességének az összege, azaz a divc valóban az egységnyi kontinuum térfogat térfogat-változási sebességét jelenti. Például, a (5.3) kifejezésben, ahol a feszültség tenzor súrlódásból származó rész-tenzorát határozzuk meg, a csúsztató feszültségek számításában valóban a derivált tenzor szimmetrikus része szereel. A derivált tenzornak a koordináta transzformációk, a görbevonalú koordináta rendszerek alkalmazása esetén is fontos szeree van. Ebből a szemontból is érdekes és fontos a derivált tenzor skalár és vektor invariánsa. Ezek az invariánsok ugyanis a transzformáció során nem változnak. (Csak szemléltetésül említjük meg, hogy egy forgástengely, illetve az azt kijelölő szögsebesség vagy éen rotáció vektor egy esetleges elforgatás során nem változik.) Itt csak utalunk a szakirodalomra: erről a kérdésről az irodalomjegyzékben felsorolt szinte mindegyik könyvben bővebben is lehet olvasni. Gausz amás, BME

189 5. Kinematika Az áramlástan egyik nagyon fontos bevezető fejezete a kinematika. A kinematika a mozgások leírási módszereit foglalja össze; a folyadékok és gázok mozgását célszerűen az erre a területre kifejlesztett eszközökkel írhatjuk le. Elsőként a Lagrange féle leírásmódot említjük ez a leírási mód kevésbé használatos, bár najainkban egyes numerikus módszerek miatt az alkalmazási köre bővül. A Lagrange féle tárgyalásmód lényegében azonos a szilárd testek mozgásának leírásával. E tárgyalásmódot részletesebben nem ismertetjük, az érdeklődő l. a [] segítségével ismerkedhet meg vele részletesen. A jegyzetben közölt ismeretanyag az Euler féle tárgyalásmódra éül. Ezt a leírási módot Leonhard Euler kifejezetten a folyadékok mozgásának leírására fejlesztette ki. Ebben a tárgyalásmódban a vizsgált közeget kontinuumnak tekintjük, azaz a közeg a teret matematikai értelemben is folytonosan tölti ki tehát a véges méretű anyagi részecskéket folytonosan elosztjuk a térben. Ez teszi lehetővé a határértékek, differenciálhányadosok, illetve hasonló matematikai eszközök alkalmazását. Az Euler féle szemléletmód tehát lehetővé teszi fizikai terek megadását. Ilyen l. a sebességtér, ami éen a kinematikai fejezet tárgya. Ebben a tárgyalásmódban a kinematikán túl, a közegek további jellemzőit is fizikai térként adjuk meg, vagyis a nyomás, a hőmérséklet, a sűrűség illetve származtatott mennységként a tömegáram, mozgásmennyiség és erdület is skalár-vektor vagy vektor-vektor függvénnyel adható meg. A sebességtér a következő vektor-vektor függvénnyel adható meg: c c r,t ; (5.) vagy, összetevőnként kiírva: c c x, y, z t ; c x x, y cy x, y, z, z cz x, y, z, t ; c t ; ahol: r - a fizikai tér megfelelő ontjának helyvektora; c x, c y, c z - a sebesség megfelelő komonensei; x, y, z - az r helyvektor koordinátái; t - az idő. Gausz amás, BME

190 3 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Az áramvonal a sebességmező vektorainak egy, adott illanatban vett burkoló görbéje az áramvonal-ívelemmel (ds ) tehát a sebesség vektor árhuzamos, azaz a árhuzamosság miatt a vektori szorzatuk nulla: c ds 0; (5.) Az (5.)-beli vektor szorzat kifejtése alaján megállaíthatjuk, hogy a sebesség összetevők és a megfelelő ívelem összetevők aránya a következő (hiszen a vektori szorzatot (.5) szerinti kifejtése szerint a determináns második és harmadik sorának egymás többszörösének kell lennie): c : c : c dx : dy dz ; (5.3) x y z : A ályavonal egy (kijelölt) elemi folyadékrészecske útja. Itt elvileg a kontinuum egy elemi részecskéjéről van szó, aminek a mérete tetszőleges ozitív számnál is kisebb, vagyis ez egy matematikai értelemben infinitezimális részecske. Kevésbé ontosan néha a tényleges fizikai részecske útját is ályavonalnak nevezik. A nyomvonal az a vonal, amely mentén, egy illanatban a tér egy adott ontján addig áthaladt (elemi) részecskék sorakoznak. Ilyen vonalat láthatunk l. egy szélcsatorna vizsgálat esetében, amikor az áramlásba egy onton füstöt vezetünk be. Az áram-, álya- és nyomvonal stacionárius áramlás esetében olyan áramlásban, ahol a sebesség az időben nem változik azonos. Az áramlások stacioneritása vagy időállósága függhet a megfigyelő nézőontjától (a vizsgálathoz felvett koordináta rendszertől). A vizsgálatokhoz szükséges koordináta rendszert tehát kellő figyelemmel érdemes kiválasztani. Amennyiben az (5.) kifejezéssel adott sebességtér a tér egy-egy ontjához ontosan egy sebességet rendel, akkor a tér ezen ontjaiban szintén egy és csak egy áramvonal haladhat át; azokban a ontokban, ahol a sebesség többértékű, több áramvonalat is találunk. Ezeket a ontokat szinguláris ontoknak nevezzük. Ilyen szinguláris ont éldául egy forrás vagy egy nyelő, ahol végtelen sok sebesség és áramvonal értelmezhető. Az áramvonalak esetenként áramfelületeket vagy áramcsöveket alkothatnak ezeket kinematikai alakzatoknak is nevezzük. Síkáramlások esetében az áramvonalak alkalmazása nagyon fontos és érdekes eredményekre vezet. Az örvényesség a sebességtér rotációja, meghatározása az általunk általában alkalmazott Descartes féle derékszögű koordináta rendszerben Gausz amás, BME

191 5. KINEMAIKA 33 (.5) szerint lehetséges. A rotáció, amint azt az elnevezése is mutatja, a folyadéktér forgásával kacsolatos mennyiség (a illanatnyi szögsebesség kétszerese (4.3) kifejezés). Az áramvonalhoz hasonlóan, azokat a vonalakat, amelyek egy adott illanatban az örvényesség burkoló görbéi, örvényvonalnak nevezzük ekkor tehát az örvényesség árhuzamos az örvényvonal ívelem vektorával: rot c ds 0 ; (5.4) Az örvényvonalakból az áramvonalakhoz hasonlóan örvényfelületeket és örvénycsöveket lehet összeállítani. Ez utóbbi alakzatok fontos szereet játszanak az örvénytételek megfogalmazásánál, illetve bizonyításánál. Az (5.) tíusú sebességtér egy, általában térben és időben változó fizikai teret ad meg, azaz a sebesség a hely és az idő függvénye; a gyorsulások meghatározásánál a tér- illetve idő szerinti megváltozását valamint ezek összegét kell figyelembe venni. A térbeli változás alaján számított deriváltat idegen szóval konvektív, az időbeli változás alaján számolt deriváltat lokális, a kettő összegét teljes, totális vagy szubsztanciális gyorsulásnak nevezzük el. ekintettel arra, hogy az Euler féle tárgyalásmódban a közegek további jellemzői (nyomás, sűrűség, hőmérséklet stb.) szintén fizikai mezőként adottak, a sebesség változásával kacsolatban tett megállaítások általánosíthatók. Ezek a sebességtérhez hasonlóan lokális, konvektív és teljes deriváltakkal rendelkeznek. A lokális és konvektív derivált rögzített helyen illetve időontban tekintendő, így ezek a közeggel nem mozognak együtt ezek nyitott rendszerre vonatkoznak. Ezzel szemben a teljes derivált a közeg egy ontjára vonatkozik, vagyis együttmozgó azaz zárt rendszerre vonatkozó deriváltat jelent. Ezért nevezik még anyagi-, vagy materiális deriváltnak is. A sebesség idő szerinti megváltozása, a teljes gyorsulás az alábbi módon írható fel (bevezetése a.ontban olvasható): d c c c c c c c c Dc ; (5.5) d t t r t t Az (5.5) kifejezésben, a második egyenlőségjel utáni második tagban, a zárójelben a sebesség és a nabla vektor-oerátor diadikus szorzata szereel, ezt derivált tenzornak nevezzük (jele a D betű). Bevezetése a konvektív gyorsulás elemeinek fizikai értelmezését teszi szemléletessé; a közeg-részek forgására és deformációjára vonatkozó, korábban (4. fejezetben) bemutatott információkat hordozza. Az (5.5) egyenlet adja Gausz amás, BME

192 34 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. meg tehát a közeg gyorsulásait: a bal oldalon a teljes, totális vagy szubsztanciális gyorsulás áll, a jobb oldalak mindegyikében az első tag a lokális, a második a konvektív gyorsulás. Ezek a gyorsulás-tíusok eltérnek a merev testek mechanikájában szerelő gyorsulásoktól, ezért fizikai értelmezésük céljából néhány éldát mutatunk be. Lokális gyorsulás akkor létezik, ha a sebesség egy ontban, az idő függvényében változik. iikus élda erre egy (szakaszonként állandó keresztmetszetű) csővezeték, amelyben időben változó folyadékmennyiség halad (l. vízvezeték stb.) A lokális gyorsulást tehát egy adott helyen, valamely t és t + t illanatban mért sebességkülönbséggel szemléltethetjük. 5.. ábra Konvektív gyorsulás, irányváltozás következtében A konvektív gyorsulás a sebesség irányának vagy nagyságának adott illanatbeli megváltozásából származik. Az 5. ábrán a sebesség irányváltozása figyelhető meg: a könyökcsőben (az egyéb változásoktól most eltekintve) a sebesség iránya a belééstől a kiléésig, ontról ontra változik. A sebesség abszolút értékének - a sebesség nagyságának változására szemléletes élda egy szűkülő (konfúzor) vagy bővülő (diffúzor) csőidombeli, időben állandósult áramlás. Ezekben a csőidomokban a sebesség iránya a közévonal mentén nem változik, a nagysága azonban az 5. ábra tanúsága szerint igen. Lokális és konvektív gyorsulás ezen a két, igen leegyszerűsített éldán kívül természetesen számos más esetben is létrejön. 5.. ábra A sebesség nagyságának megváltozása miatti konvektív gyorsulás Gausz amás, BME

193 5. KINEMAIKA 35 A teljes, totális vagy szubsztanciális gyorsulás az eddig bemutatott, kétféle gyorsulás összege (ha az egyik gyorsulástíus nulla, akkor a teljes gyorsulás azonos a másik, nem nulla gyorsulás-résszel). Illetve a teljes, totális, szubsztanciális vagy materiális gyorsulás ontosan akkor nulla, ha mindkét rész-gyorsulás nulla. A ályavonal egy, kijelölt részecske útja. A ályavonalhoz rendelhető az érintő (e), a normális (n) és a binormális (b) egység-vektorból álló kísérő triéder. Ezek jobb rendszert alkotnak. A továbbiakban szorítkozzunk az időálló (stacionárius) áramlások esetére. Ekkor egyébként az áramvonal, a ályavonal és a nyomvonal azonos. n e b R G álya vonal 5.3. ábra Kísérő triéder A kísérő triéder által kifeszített koordináta rendszer alkalmazása azért jelent egyszerűsítést, mert ebben a rendszerben a sebesség érintő irányú, a másik két összetevője azonosan nulla. A stacioneritás miatt csak konvektív gyorsulás létezik és a konvektív gyorsulásnak is csak érintő és normális irányú összetevője van, a binormális irányban gyorsulás sincs Az érintő irányú konvektív gyorsulás, a sebességgel, mint skalár menynyiséggel számolva: c a e c ; (5.6) e A konvektív gyorsulás másik összetevője a álya görbületétől is függő centrietális gyorsulás, ennek az általános mechanikából ismert alakja: c ac ; (5.7) R Az áramlástanban a konvektív gyorsulás többféle alakját használjuk. A következőkben talán a legelterjedtebben használt alakot vezetjük be. Bontsuk fel a derivált tenzort a következő módon: Gausz amás, BME

194 36 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. D D D D ; (5.8) A felírás helyessége nyilvánvaló. A konvektív gyorsulást a sebesség és a derivált tenzor szorzata szolgáltatja. Szorozzuk a fenti egyenlet jobb oldalának első tagját a sebességgel: c c x y c z cx cy cz cx cy cz x x x x c c x y c z D c cx cy cz cx cy cz (5.9) y y y y c c x y c z cx cy c z cx cy cz z z z z c c c grad grad ; Az (5.9) egyenlet jobb oldalán a c c szorzatot hagyományosan c -nek szokás írni; a skaláris vagy belső szorzattal történő felírás közvetlenül mutatja a sebességvektor négyzetének kiszámítási módját. A sebesség négyzetének gradiensét éldául a Bernoulli egyenlet levezetésekor használjuk majd fel. A D D c jelentése (egyszerű számolással ellenőrizhető): D D c rotc c ; (5.0) Ezt a szorzatot fordított sorrendben szokás felírni, hogy zárójel nélkül is rögtön látni lehessen: a rotáció oerátor a sebességre vonatkozik. A totális vagy szubsztanciális gyorsulás igen gyakran alkalmazott alakja tehát a (5.9) és (5.0) összegeként írható fel ez (5.) két, utolsó tagja. A totális gyorsulás tehát egyenlő a lokális gyorsulás (a jobb oldal első tagja) és a konvektív gyorsulás (a jobb oldal második és harmadik tagja) összegével: dc c c grad c rotc ; (5.) d t t Gausz amás, BME

195 5. KINEMAIKA 37 Az (5.) bal oldala tehát a teljes (totális, szubsztanciális, materiális) gyorsulás. Ez a gyorsulás az a gyorsulás, ami egyszerűen fogalmazva Newton II. törvényébe (ami a mozgásmennyiség megmaradásán alauló törvény) beírandó. A teljes gyorsulásnak edig, az Euler féle szemléletmód alkalmazása miatt van lokális gyorsulás összetevője (5. jobb oldali első tagja adott, rögzített helyen, az idő szerint változó sebesség) és konvektív öszszetevője (5. jobb oldalán a második és harmadik tag ). Amennyiben egy áramlásban létezik lokális gyorsulás (nem nulla), akkor azt az áramlást időben változó áramlásnak, latinul instacionáriusnak nevezzük. Ha a lokális gyorsulás azonosan nulla, akkor az áramlás időben állandó, latinul stacionárius. Az időben állandó áramlásnak másik, szintén latin eredetű, kissé ritkábban használt elnevezése a ermanens áramlás. A kinematika az áramlástan fontos fejezete, nagy a jelentősége a gyakorlati feladatok megoldásában is. Ennek az áramlástan kurzusnak a sajátosságai miatt főként elméleti kérdések adódnak erről a területről. Példaként tekintsük a következő kérdést: Milyen gyorsulás fajtákat ismer? Határozza meg ezek tenzor-, vektor formában történő számításának módját! Mutasson rá ezek fizikai tartalmára, különös tekintettel egy-egy részecske lehetséges mozgásformáira. Ennek a feladatnak a konkrét megoldását külön nem ismertetjük, hiszen a feltett kérdésekre adandó válasz a korábbi anyagban olvasható a feladat mindössze a válasz elemeinek összegyűjtése. A tananyag iránt mélyebben, a vizsgakövetelményeken túlmenően érdeklődő hallgatók ilyen tíusú feladatokat a [7] éldatár. Kinematika című fejezetében találhatnak. Gausz amás, BME

196 6. A mérleg-egyenlet A folyadékok mozgásának dinamikáját a fizika megmaradási elveire alaozva éítjük fel. Ennél ugyan van általánosabb lehetőség is (l. a variációs elvekre történő alaozás és ez a tárgyalásmód egyes, numerikus módszerekhez kacsolódva terjed is), azonban a jegyzet célját tekintve a megmaradási elvek anyag-, mozgásmennyiség-, energia- és erdületmegmaradás jelentik a legmegfelelőbb alaot. A megmaradási elveket általánosságban a mérleg-egyenlet segítségével fogalmazhatjuk meg. Minden megmaradási elvnek megvan az integrál, illetve differenciál-egyenlettel leírt alakja. A konkrét egyenletek azonban a mérleg-egyenlet megfelelő alakjából származtathatók. Az áramlástani mennyiségek a többi fizikai mennyiséghez hasonlóan extenzívek vagy intenzívek lehetnek. Az extenzív jellemzők a vizsgált rendszer méreteivel arányosan változnak, az intenzívek viszont a rendszer darabolásával nem változnak. Jellemző élda az extenzív mennyiségre a tömeg; az intenzív mennyiségek csoortjának edig l. a nyomás az egyik jellemző tagja. Zárt rendszerek egészét tekintve az extenzív jellemzők értéke állandó. Ez az állandóság jelenti a megmaradást. A fizika megmaradási elveit zárt rendszerekre mondjuk ki. Ezzel szemben a mérnöki gyakorlatban meglehetősen ritka a valamilyen értelemben (l. anyag, mozgásmennyiség, energia vagy erdület átadás szemontjából) zárt rendszer. A mérleg- vagy transzort-egyenlet segítségével, a rendszerhatárokon átléő áramok (l. anyag, mozgásmennyiség, energia vagy erdület áram) figyelembe vételével nyílt rendszerekre is felírhatók a megmaradási elveken alauló egyenletek. Ezek a matematikai egyenletek (is) szükségesek a modellezendő fizikai folyamatok leírásához. * ekintsünk egy, egyszeresen összefüggő, zárt térfogatot ( V - 6. ábra), illetve tekintsünk egy, a műszaki gyakorlatban használatos nyitott rendszert (V - 6. ábra), ahol jelölje j a felületen átléő áramokat (l. tömeg-áram, mozgásmennyiség-áram, energia-áram stb.): Gausz amás, BME

197 6. A MÉRLEG-EGYENLE 39 V* 6.. ábra Fizikai szemontból zárt rendszer j j V 6.. ábra Fizikai szemontból nyitott rendszer A zárt rendszerek valamely, a folyadékhoz kötött rendszert jelentenek, e rendszerek határán tehát fizikai áram (tömeg, mozgásmennyiség, energia stb.) nincs. Számítsuk ki azt az extenzív mennyiséget, aminek a sűrűség-függvényét a. ontban, a (.) kifejezéssel vezettük be: V f, t dv r ; (6.) A kifejezésben szerelő " V * " a folyadékhoz kötött, egyszeresen összefüggő, zárt térfogat. Erre a " " extenzív mennyiségre vonatkozó mérleg-egyenlet a következő: d dt d dt V f, t dv Q r ; ahol: Q - a kijelölt " V * " térfogatban helyet foglaló (esetleges) forrás. (6.) Gausz amás, BME

198 40 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A (6.) mérleg-egyenletben, tekintettel arra, hogy a kijelölt " V * " térfogat mindig azonos folyadékrészeket tartalmaz (tehát ilyen értelemben nem változik) és az integrál az időnek differenciálható függvénye, a differenciálás és az integrálás felcserélhető: d dt V d f r, t dv f dv ; (6.3) dt V Az integráljel után kijelölt differenciálás elvégezhető, ennek ontos matematikai levezetésére nem térünk ki, az l. [3]-ban megtalálható. Az eredmény a mérleg-egyenlet zárt rendszerre érvényes, integrál alakja: df f dv Q dt V c ; (6.4) Megjegyezzük, hogy a (6.4) kifejezésben megjelenő " c = divc " éen a térfogat-változás sebessége, amit a 4. fejezet végén, kétfélekéen is megmutattuk. Vezessük be a forrás-sűrűséget ("q"), úgy, hogy a " Q " teljes forrást a forrás-sűrűség térfogati integrálja szolgáltassa. Így a (6.4) minden tagja térfogati integrálként írható fel: V df dt f c dv q dv ; (6.5) * V ekintettel arra, hogy az egyszeresen összefüggő, zárt "V * " térfogatról csak annyit kötöttünk ki, hogy annak a folyadékhoz rögzítettnek kell lennie, ezért az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha az integrálandó függvények egyenlőek, azaz: df f dt c q ; (6.6) Ezzel a mérleg-egyenlet zárt rendszerre vonatkozó differenciálegyenlet alakjához jutottunk. Az egyenlet jobb oldalán a forrás-sűrűség (röviden forrás) található. Közismert éldául, hogy az anyagmegmaradás esetében a forrás (ez egy előjeles valós szám, ha ozitív akkor a szó szorosabb értelmében is forrásról beszélünk, ha azonban negatív, akkor nyelőről van szó) egy tényleges forrást (nyelőt) jelent, amit éldául egy csövön érkező külső folyadékként kézelhetünk el. A mozgásmennyiség Gausz amás, BME

199 6. A MÉRLEG-EGYENLE 4 szemontjából forrást jelent éldául a gravitációs erőtér térerőssége vagy más, külső erő is. Az áramlástan általunk tárgyalt ismeretanyagában lényeges szereet játszó forrásokról a megmaradási elvek konkrét tárgyalásánál szólunk részletesebben. A mérleg-egyenlet alavető fizikai tartalma a megőrzés vagy megmaradás, a részletes fizikai tartalomra a konkrét megmaradási elvek tárgyalásakor térünk ki. Amint már említettük, a műszaki gyakorlatban sokszor nyitott rendszerrel kell dolgozni. Nyitott rendszerről akkor beszélünk, ha a kijelölt, egyszeresen összefüggő, matematikai értelemben zárt térfogat (jele: " V ") nem mozog együtt a folyadékkal, így a határoló felületén a szóban forgó extenzív mennyiség ki- illetve beáramlik. Mivel a zárt térfogat felületi normálisa kifele ozitív, ezért a kiléő áram lesz a ozitív, a beléő edig negatív ezért az áram elé negatív előjelet kell írni. A nyitott rendszerre érvényes mérleg-egyenlet kiinduló alakját (6.)-höz hasonlóan írhatjuk fel, a jobb oldalt azonban ki kell egészíteni a fent említett árammal (jele: "I "): d Q I dt ; (6.7) Vezessük be a felületi áramsűrűség fogalmát (jele: " j "). A (6.7) kifejezés a felületi áramsűrűség felhasználásával [] szerint a következőkéen írható fel: f dv q dv t j da ; (6.8) V V A ahol: j = f c (a legegyszerűbb esetben, ha egynemű folyadék áramlásáról van szó). Az egyes megmaradási elvek vizsgálatakor az adott esetben jelentkező felületi áramsűrűséget a későbbiekben részletesen ismertetjük, itt csuán éldaként említjük, hogy a felületegységre eső tömegáram a " j = c " kifejezéssel adható meg. A Gauss-Osztrogradszkij integrál-átalakítási tétel segítségével a felületi áramsűrűség integrálja térfogati integrállá alakítható: V f t dv V q dv V j dv q dv div j dv ; (6.9) V V Gausz amás, BME

200 4 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. azaz: V f t j dv q dv ; (6.0) V A (6.0) egyenlet a nyitott rendszerre érvényes mérleg-egyenlet integrál alakja. A zárt rendszerrel kacsolatosan már megmutattuk, hogy a fenti tíusú integrál ontosan akkor nulla, ha az integrálandó függvények összege nulla. Ennek alaján a nyitott rendszerre érvényes mérlegegyenlet differenciálegyenlet formában felírt kifejezésének közismert alakját kajuk: f j q ; (6.) t A felületi áramsűrűséggel kacsolatban egy fontos megjegyzést kell tennünk. E jegyzetben csak egynemű folyadékok áramlástanával foglalkozunk, azonban több esetben (éldául a környezeti áramlások vizsgálatánál) több, különböző közeg együttes áramlásának vizsgálatára is sor kerülhet. A (6.7)-ből levezetett (6.0) vagy a (6.) egyenlet alkalmas a különböző, fizikailag értelmezhető kölcsönhatások (l. diffúzió) leírására. Ezt a bővítést az itt nem részletezett Onsager tétel illetve Onsager összefüggés alaján tehetjük meg. A mérleg-egyenlet az alaul vett rendszertől függetlenül a fizikai megmaradást fejezi ki ezért a kétféle alaknak (zárt, illetve nyitott rendszerre vonatkozó alak) ekvivalensnek kell lennie. Az anyagi, materiális vagy szubsztanciális derivált levezetésénél felírtuk a kacsolati egyenletet, mely a zárt rendszerre és a nyitott rendszerre vonatkozó deriváltak közti kacsolatot adja meg (.5 vagy.6). E kacsolati egyenlet segítségével bemutathatjuk a mérleg-egyenlet zárt és nyitott rendszerre felírt alakjának ekvivalenciáját. Induljunk ki a (6.6) kifejezés kissé módosított alakjából (legyen a forrás a bal oldalon). Alakítsuk át a szubsztanciális derivált értékét (közéső rész első tagja) a (.5) szerint: df f q f c c f f c ; (6.) dt t Gausz amás, BME

201 6. A MÉRLEG-EGYENLE 43 A jobb oldalon szerelő második és harmadik tag egy szorzatfüggvény divergenciája: c f f c f c div f c j ; (6.3) Végeredményben tehát felírható (6.6) és (6.) azonossága, azaz: df f f f q f dt c t c t j; (6.4) Ezzel a differenciálegyenletek ekvivalenciáját megmutattuk, ebből az integrál egyenletek ekvivalenciája rögtön következik. Ez az egyenlőség - többek közt azt fejezi ki, hogy a mérleg-egyenlet, illetve a belőle származó eredmény a választott rendszertől csak alakilag függ, megfelelő léésekkel azonban ezen alakok ekvivalenciája bemutatható. Az egyenlőség azonban itt nem azonosság, csak ekvivalenciát fejez ki. Összefoglalva, a mérleg egyenlet nyitott rendszerre vonatkozó, integrál alakja a következőkéen írható (a közéső rész második tagját felületi integrállá alakítva írtuk fel): d f (, t) f (, t) dv dv f (, t) q(, t) dv d t r r t r c da r (6.5) V V A V ahol: f r, t; skalár-vektor függvény (l. a folyadék sűrűsége, stb.); d f (, t) dv dt a vizsgált intenzív jellemző idő szerinti r ; teljes, totális vagy szubsztanciális megváltozásainak integrálja; V f( r, t) a vizsgált intenzív jellemző lokális vagy dv ; t idő szerinti megváltozásainak integrálja V (rögzített helyen); f( r, t) c da ; a vizsgált intenzív jellemző konvektív A vagy hely szerinti megváltozásainak integrálja (rögzített illanatban); q( r, t) dv ; a vizsgált térfogatban működő források V hatása (integrálja). (A c szimbólum a sebesség transzonáltját jelenti, illetve a sebesség transzonáltja és az itt röviden vektornak jelölt felületelem amely ontosabban a felületelem és a felület normál vektorának szorzata skaláris vagy belső szorzatát jelöli.) Gausz amás, BME

202 44 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A Gauss-Osztrogradszkíj tétel segítségével a mérleg vagy transzort egyenlet (visszaalakított) integrál alakja a következő módon alakítható át úgy, hogy benne már csak térfogati integrálok szereeljenek: d f (, t) f (, t) dv dv div f (, t) dv q(, t) dv d t r r t r c r ; V V V V (6.6) Mivel az integrálási tartomány a fent kimondott feltételeken túl tetszőleges, azért az integrálandó függvényeknek kell egyenlőnek lenni, ezzel a mérleg- vagy transzort-egyenletet nyitott rendszerre vonatkozó differenciálegyenlet alakjában kajuk: d f ( r, t) f ( r, t) div f ( r, t) c q( r, t) ; (6.7) d t t Az alavető fontosság miatt külön kiírjuk a (6.7) tagjainak fizikai jelentését: f r, t ; skalár-vektor függvény (l. a folyadék sűrűsége, stb.); d a vizsgált intenzív jellemző idő szerinti f ( r, t ) ; dt teljes, totális vagy szubsztanciális megváltozása; f( r, t) a vizsgált intenzív jellemző lokális vagy ; t idő szerinti megváltozása (rögzített helyen); div f ( r, t) c ; a vizsgált intenzív jellemző konvektív vagy hely szerinti megváltozása (rögzített illanatban); q( r, t) ; a vizsgált térfogatban működő források. A mérleg vagy transzort egyenlet tehát legyen szó zárt, vagy nyitott, integrál vagy differenciálegyenletről a megmaradási elvek általánosított formáját jelenti, és így közös alaja lesz az áramlástan alaegyenleteinek. De, természetesen a mérleg egyenlet jelentősége egyáltalán nem korlátozható az áramlástanra: adott esetben hacsak a megmaradási elveket választjuk minden környezetünkben végbemenő jelenségre alkalmazható. A transzort vagy mérleg egyenlet olyan elméleti ala-egyenlet, melyre e kurzus keretében olyan elméleti kérdés irányulhat, amely szerint erről az alaról indulva levezetendő, valamely áramlástani alaegyenlet. Gausz amás, BME

203 7. A fizika megmaradási elvei az áramlástanban A fizika általunk vizsgált területét, az áramlástant az anyag-, mozgásmennyiség-, energia- és a erdület megmaradás elvére éítjük fel. Ezek alaos, korrekt ismerte tehát nélkülözhetetlen. Ez a korrekt ismeret a következő, négy elemből áll: valamely egyenlet hibátlan ismerete; annak a megmaradási elvnek, illetve teljesülésének konkrét formájának ismerete, amelyre a szóban forgó egyenlet éül; az egyenlet tagjainak fizikai értelmezése mi a fizikai jelentése az egyes tagoknak; a szóban forgó egyenlet érvényességi feltételeinek ismerete. Az anyag megmaradásának elve (6.5) szerint írható fel, mindössze az általános f függvény helyére a sűrűséget kell beírnunk: d (, t) dv dv q(, t) dv d t r t c da r ; (7.) V V A V A (7.) egyenlet az anyag megmaradás elvén alaul és teljesen általános vagyis nincs az érvényességét korlátozó, fizikai feltétel. Bal oldala a V térfogatban elhelyezkedő tömeg időbeli teljes megváltozását fejezi ki. Ezt felbontjuk a lokális változás (a választott térfogatbeli tömegváltozás) és konvektív változás (a választott térfogatból ki- és beléő tömegáramok összessége) összegére. A harmadik tag, a jobb oldal edig azt mondja ki, hogy ez a megváltozás a keletkező vagy eltűnő anyag mennyiségével egyenlő. Ha olyan folyamatokat vizsgálunk, ahol nincs sem keletkező, sem eltűnő anyag ( q( r, t) 0 ), továbbá rögtön a teljes megváltozás lokális és konvektív összetevőre bontott alakját tekintjük, akkor a következő kifejezést kajuk: dv 0 t c da ; (7.) V A Ha a sűrűség az időben nem változik, akkor (7.) bal oldali első tagja nulla lesz. Számoljunk továbbá átlagsebességekkel és legyenek ezek a választott felületekre merőlegesek akkor egy áramcső ki (K) és beléő (B) felületére kajuk: Gausz amás, BME

204 46 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. c A c A m áll. vagy a áll. esetben : B B B K k k c A c A V áll. B B k k (7.3) Ezek a folytonosság törvényének jól ismert és általánosan használt alakjai, illetve ezek integrál egyenletek. A folytonosság törvényét differenciál-egyenletként is felírhatjuk: dv div dv 0 div 0 t c c ; (7.4) t V V Fizikai szemontból a lokális tag a választott térfogatbeli tömegváltozást (vagy a differenciálegyenletnél az egységnyi térfogatbeli tömegváltozást) jelenti. A konvektív tag edig a ki- és beléő tömegeket határozza meg. A folytonosság törvényének legfontosabb érvényességi feltétele a (7.) kifejezéstől kezdődően az, hogy az áramlásban ne legyen sem forrás, sem nyelő. Ez egyébiránt a folytonosság törvényének nyitott rendszerre vonatkozó alakja. A nyitott rendszerre vonatkozó differenciálegyenlet (6.) alaján rögtön felírható. Az érdekesség kedvéért megmutatjuk, hogy a folytonosság törvényének zárt rendszerre vonatkozó differenciál-egyenlete (6.6) szerint írható fel: d c q ; (7.5) dt A mozgásmennyiség megmaradásának elve szintén (6.5) szerint írható fel. Egy test mozgásmennyisége tömegének és sebességének szorzatával egyenlő. A mozgásmennyiség a tömeghez hasonlóan megmaradó extenzív mennyiség, megváltozása imulzus hatására következik be az imulzust edig a testre ható külső erő és hatásidejének szorzataként számítjuk. Folyadékok esetében a szóban forgó testet valamely, folyadékhoz kötött, egyszeresen összefüggő térfogattal határozhatjuk meg, ennek mozgásmennyisége: I c dv ; és: d I dt F ; (7.6) V Mivel a mozgásmennyiség (szemmel láthatóan) vektor, ezért a három összetevőre felírt mérleg egyenletet összefogva a következőt írhatjuk: Gausz amás, BME

205 7. A FIZIKA MEGMARADÁSI ELVEI AZ ÁRAMLÁSANBAN 47 d d t c ( r, t) c( r, t) dv dv cc da F (7.7) t V V A Vagyis a mozgásmennyiség időegységre eső teljes megváltozása ami a lokális és konvektív változás összegeként írható fel egyenlő a kiválasztott V térfogatbeli közegre ható külső erők eredőjével (összegével). Az általunk vizsgált körben felületi és térfogati erők értelmezhetők. Ezen túl, véges térfogat esetén előfordulhat idegen test is a térfogatban (az ellenőrző felületen belül). Ezek szerint a külső erők a következőkéen írhatók: F ΠdA g dv F ΠdA g dv ; (7.8) A V A V A fenti kifejezés jobb oldalának első tagja a felületi erő, a második tag a térfogati erő és a harmadik tag az első esetben az idegen test folyadékra gyakorolt ereje ( F ), illetve a második esetben a testre gyakorolt erő ( ), amely erő a folyadékra ható erő reakció ereje ezt mutatja a negatív előjel. Ezen a helyen (is) hangsúlyozzuk, hogy egy vektor-mennyiség előjele mindig fizikai tartalmat hordoz: jelen esetben a előtti negatív előjel azt jelenti, hogy ez egy reakció erő. Az úgynevezett imulzus tétel gyakorlati számításokra használatos alakja a (7.9) egyenlet. A bal oldalon a stacionárius, legfeljebb kvázi stacionárius áramlásokra érvényes, időegységre eső mozgásmennyiség változás konvektív része áll. A jobb oldalon az első két tag a felületi erőket jelenti. Ideális közegre a feszültség tenzor egyszerűen írható: Πid E, vagyis csak a nyomást tartalmazza. A negatív előjel azt fejezi ki, hogy a felületi normális kifele mutat, a nyomásból származó erő ezzel ellentétesen, befelé mutat ez a felületi erők első tagja. A második tag ( S ) a súrlódásból származó erők összefoglaló formája. A harmadik, térfogati integrál a térfogati erőket jelenti ez gyakran (de nem mindig) a nehézségi erő. A negyedik tag az ellenőrző felületen belül elhelyezkedő idegen testre ható erő. cc da da S g dv ; (7.9) A A V Az imulzus tételt igen gyakran ideális közegre írjuk fel, ebben az esetben az alábbi, igen gyakran használt alakot kajuk: Gausz amás, BME

206 48 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A A V c c da da g dv (7.0) Ez, a mozgásmennyiség megmaradására éülő integrál egyenlet, ami valójában a mozgásmennyiség megváltozásáról szól: a mozgásmennyiség annyit változik, amennyi változást a külső erők előidéznek. Érvényességi feltételei edig a konkrét alakokkal kacsolatosan a fentiekben olvashatók. A mozgásmennyiség megmaradását zárt rendszerre is felírhatjuk. Ebben az esetben feltehető, hogy a külső erők nem változnak, csak a bal oldal változik. A (6.4) kifejezés alaul vételével a következő eredményt kajuk: d c c cdv dv dt g Π da ; (7.) V V A A mozgásmennyiség megmaradására éülő differenciálegyenlet, (7.7)- ből kiindulva és az idegen test hatását kivéve (hiszen az az elemi térfogatban nem lehet), a következőkéen kaható: d d d d (, t) dv dv dv dv d t d t c c r c c ; d t d t (7.) és: V V V V d c dv dv div dv dt ΠdA g Π g ; (7.3) V A V V azaz végeredményben, az integrálandó függvények egyenlőségéből következően ez a legáltalánosabb esetben a Navier-Stokes egyenlet: d c divπg; dt (7.4) A (7.4) egyenlet jelentése a feszültség tenzor elemeitől függően többféle lehet. A súrlódás tárgyalásánál visszatérünk majd erre a kérdésre, itt, az előzőhöz hasonlóan, ideális folyadék esetére az Euler egyenletet mutatjuk be: d c grad g ; dt (7.5) Gausz amás, BME

207 7. A FIZIKA MEGMARADÁSI ELVEI AZ ÁRAMLÁSANBAN 49 Megjegyzendő, hogy a sebesség azonosan nulla választása esetén (7.5)-ből a hidrostatika ala differenciál-egyenletét kajuk. Az Euler egyenlet bal oldalán a teljes vagy totális gyorsulást felbonthatjuk a lokális és a konvektív gyorsulás összegére. Ezt részletesebben a kinematikával foglalkozó részben már bemutattuk. Az egyenlet: dc c c grad crotc grad g ; (7.6) d t t Az Euler egyenlet, az imulzus tételhez hasonlóan a mozgásmennyiség megmaradás elvére éül, és azt fejezi ki, hogy a mozgásmennyiség időegységre eső megváltozása a külső erők eredőjével egyenlő. Ez az időegységre eső mozgásmennyiség változás konkrétan, a (7.6) bal oldalán a teljes, totális vagy szubsztanciális gyorsulás, ennek felbontása látható (7.6) közéső részében. A jobb oldalon edig az egységnyi tömegre ható felületi erő, ami a nyomásváltozáson, nyomáskülönbségen alaul és az erőterek eredő térerősségéből származó, szintén egységnyi tömegre ható térfogati erő összege áll. Ez, nagyon egyszerűen a közéiskolából ismert, Newton II. törvényét jelenti, ami szerint: " a F m". Az Euler egyenlet legfontosabb érvényességi feltétele az, hogy ideális (súrlódásmentes) folyadékra vonatkozik. Az 5. ontban bevezettük a kísérő triéder fogalmát, illetve meghatároztuk az ott értelmezhető konvektív gyorsulásokat (5.6) és (5.7) kifejezés. A szintén ott bevezetett, stacioneritási feltétel mellett az Euler egyenlet érintő, illetve a normálvektor irányába a következőkéen írható fel: c c c ge; és gn; (7.7) e e R n A (7.7) kifejezés első tagja az érintő irányban, második tagja a normálvektor irányában felírt Euler egyenlet. Az egyenletekben szerelő g és g n az eredő térerősség érintő, illetve normál irányú összetevője. e Az érintő irányú gyorsulás gyakran nulla, vagy elhanyagolható. Hasonlókéen a térerősség is többször elhanyagolható. Ebben az esetben az Euler egyenlet, a kísérő triéderben felírva, a következő, gyakran használt alakban írható: Gausz amás, BME

208 50 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. d c ; (7.8) d r r Az Euler egyenletnek ez az igen egyszerű formája igen hasznos a nyomás változásának megítélésében, görbült áramvonalak esetében. A (7.8) differenciálegyenlet néhány, seciális feladat megoldásában is igen hasznosnak bizonyul. A (7.6) egyenletet vagyis az Euler egyenletet egy áramlás két ontja között integrálva kajuk az energia megmaradás elvére éülő Bernoulli egyenletet: c c d ds c rot c ds gii ds 0; t U (7.9) A Bernoulli egyenlet a levezetésnek megfelelően egységnyi tömegre vonatkozik. Ezt a továbbiakhoz mindig hozzá kell érteni. A baloldal első tagja a választott két ont közötti, gyorsításra fordítandó munka, vagy a lassulásból származó munkavégző kéesség. A második tag a választott ontok közötti mozgási energia különbség. A harmadik tag a forgatásra fordítandó munka, vagy a forgásból származó munkavégző kéesség. (Ebben a jegyzetben a kémiai folyamatokra nem térünk ki!) A negyedik a otenciál különbség. Az ötödik a nyomásnövekedés ellenében végzendő munka, vagy a nyomáscsökkenésből származó munkavégző kéesség. Végül a hatodik tag a nem-otenciálos erőterek térerőssége ( g II ) ellenében végzendő munka, vagy az abból származó munkavégző kéesség. A Bernoulli egyenlettel kacsolatban két, nagyon fontos érvényességi feltételt kell kiemelni: a közeg csak ideális lehet súrlódásos áramlásra a fenti egyenlet nem alkalmazható és a két, választott ont között nem lehet energia be- vagy elvezetés. Ez utóbbi feltételt jeleníti meg számszerűen a (7.6) jobb oldalán álló nulla szám, máskéen fogalmazva: e nullának a fizikai jelentése az, hogy nem lehet energia be- vagy elvezetés. Az összenyomható közegek áramlásakor az energia-egyenlet alábbi formáját használjuk: Gausz amás, BME

209 7. A FIZIKA MEGMARADÁSI ELVEI AZ ÁRAMLÁSANBAN 5 c c c áll (7.0) 0. A (7.0) egyenletet a hőtan részben bemutatott általános gáztörvény, illetve az adiabatikus kitevőre ( ) vonatkozó összefüggések alaján átírhatjuk egy másik, gyakran használatos formába: c 0. áll (7.) 0 A 4. ontban vezetjük majd be a hangsebességet (jele: a ). A (7.)-et, figyelembe véve (4.4)-et a következő formában is felírhatjuk: c 0. a a áll (7.) Ezek az egyenletek azt mondják ki, hogy az (egységnyi tömeg) kinetikai energiájának és entaliájának ( c) összege állandó és (mondjuk) a tartály entaliával egyenlő. Az egymással ekvivalens egyenleteknek érvényességéhez a (7.6) Bernoulli egyenletnél mondott érvényességi feltételeken túl (külön hangsúlyozva, hogy nem lehet energia be- vagy elvezetés) a otenciálváltozásnak és az örvényességgel kacsolatos tagnak is vagy nullának, vagy elhanyagolhatóan kicsinek kell lenni. Hasonlókéen nem lehet jelen nem-otenciálos erőtér és az instacioneritás sem engedhető meg. A mérleg-egyenlet alaján, az energia megmaradási elvre éítve a következő, ténylegesen energia egyenletnek nevezett integrál egyenlet vezethető be. Az energia megmaradásának vizsgálatánál az egységnyi tömegre vonatkoztatott, teljes energiát vizsgáljuk, ez az energia a rendezett mozgásból származó kinetikai és a rendezetlen (hő)mozgásból származó energia összege. A hőmozgásból származó energiát belső energiának nevezzük. Az energia-megmaradás felírásakor az " f " extenzív mennyiség sűrűség függvénye az egységnyi térfogat teljes energiája: f c u e ; (7.3) Gausz amás, BME

210 5 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. ahol: - a sűrűség; u - egységnyi tömeg belső energiája; c - egységnyi tömeg mozgási (kinetikai) energiája; e u c - egységnyi tömeg teljes energiája. Az energia megmaradását is, az eddigiekhez hasonlóan az idő szerinti megváltozásának segítségével vizsgáljuk. Így a kiinduló egyenletben időegységre vonatkoztatott energia változás, azaz teljesítmény lesz. A nyitott rendszerre vonatkozó kifejezést a (6.0) mérleg egyenlet alaján írhatjuk fel. Írjuk az ott éldaként szerelő tömegáram helyére az energiaáramot j ec ; a jobb oldalra edig az időegységre vonatkoztatott energiaforrásokat kell írni: V t e e c dv q dv ; (7.4) V Vizsgáljuk meg a (7.4) jobb oldalán álló kifejezést, ami a különböző teljesítmény források összege. Ezek, természetesen, nem csak források, hanem nyelők is lehetnek. Energiaforrás (nyelő), azaz a folyadékra irányuló, külső teljesítmény többféle lehet. Ezek részben az erőkkel, részben a hő különböző formáival kacsolatosak. ekintsük először a mozgásmennyiség forrását, a felületi és térfogati erőket. Általában az erő és a sebesség szorzata szolgáltatja a keresett teljesítményt. A felületi erőket a feszültség tenzor és egy felület szorzataként kajuk meg. Szorozzuk ezt a folyadék sebességével. A feszültség tenzor szimmetrikus, ezért a szorzótényezőket felcserélhetjük, illetve csoortosíthatjuk: PF div dv A A V c Π da Π c da Π c ; (7.5) Ezt a tagot, vagy ennek a tagnak egy részét a szakirodalom "dissziáció"-nak nevezi. A következő tagot, az erőterek térerősségének teljesítményét hasonló módon írhatjuk fel: Gausz amás, BME

211 7. A FIZIKA MEGMARADÁSI ELVEI AZ ÁRAMLÁSANBAN 53 P g c dv ; (7.6) V Egy rendszerben, ha létezik hőmérséklet különbség, akkor létezik hőáram is, ennek általános kifejezése (a jegyzet első része szerint) a kiválasztott folyadékot határoló " A " felületre: QV k da k divk dv grad da grad ; n A A V ahol: k - a hővezetési tényező. (7.7) A hővezetésen túl még több hatás is létezik, éldául a hősugárzás vagy kémiai reakciók hőfejlesztése, hőelvonása stb. Jelöljük a térfogati hőforrást általában " " -nal. Ezzel a hőforrások hatása: * Q F dv ; (7.8) V Ezzel felírható a nyitott rendszerre vonatkozó energia egyenlet integrálegyenlet formában: V t e e c dv V div Π c g c div k grad dv ; (7.9) Az energia egyenlet differenciálegyenlet formában történő felírásához, a hagyományos alak levezetése érdekében tekintsük először az alábbi kifejezést: e e e e e e t t t t t t ; (7.30) illetve: ec e c ec ec ec e c; ezzel: e e e (7.3) e e t c t c t c ; (7.3) Gausz amás, BME

212 54 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A (7.3) egyenlet jobb oldalán, a kacsos zárójelben éen a folytonosság törvénye áll, ami anyagi forrás-mentes áramlás esetén nulla. Így az energia-megmaradást kifejező, nyitott rendszerre vonatkozó differenciálegyenlet a következő lesz: e div e c div Π c g c div k grad ; (7.33) t A (7.9), illetve (7.33) egyenletből világosan kitűnik a hőtan és az áramlástan kacsolata. Azokban az esetekben, amikor szükség van az energia egyenletre, illetve amikor a hőmérséklet változása lényeges (l. összenyomható közegek áramlása esetén) mindkét tudományterület eredményeit figyelembe kell venni. A erdület megmaradás elvére éülő ala-egyenlethez úgy jutunk el, ha a mozgásmennyiség megmaradására éülő, (7.9) egyenlet minden tagját balról vektoriálisan szorozzuk r -rel (az r az általunk választott koordináta rendszer origójától az integrálásban szerelő ontig tartó helyvektor): r cc da r da rs rg dv r (7.34) A A V A bal oldalon az időegységre eső erdület-változás található ez a kiválasztott ellenőrző felületben elhelyezkedő közegre ható, eredő, külső nyomatékkal egyenlő. A jobb oldal első tagja a felületi erők nyomatéka. A (7.34) egyenlet jobb oldalán, a felületi erők nyomatékának számításánál a nyomás mellett,a teljesség kedvéért a súrlódó erők nyomatéka is helyet kaott ( rs). Az első és második tag együtt a teljes feszültség-tenzorral is felírható. A harmadik tag a térfogati erők nyomatéka. A negyedik tag a közeg által kifejtett, az esetleges idegen testre ható nyomaték ezt jelzi (a 7.9 egyenletnél leírtakhoz hasonlóan) a negatív előjel. A (7.34) kifejezés, hasonlóan (7.9)-hez, csak stacionárius, vagy kvázi-stacionárius áramlásra igaz. A erdület megmaradás elvére éülnek az örvény tételek, de ezekkel külön ontban foglalkozunk. Hasonlókéen ide tartozik az örvénytranszort egyenlet is, ezzel az egyenlettel azonban e tárgy keretein belül nem tudunk foglalkozni. Gausz amás, BME

213 7. A FIZIKA MEGMARADÁSI ELVEI AZ ÁRAMLÁSANBAN 55 Ugyancsak ennek az elvnek a felhasználásával vezethető le az Eulerturbina egyenlet. Ezt az egyenletet az áramlástani géek működésének vizsgálatánál szokás használni, ezzel konkrétan a 9. fejezetben foglalkozunk. A megmaradási elvekre éülő alaegyenletek megfogalmazása után kimondható az az állítás, amely szerint egy áramlástan feladatban minden megmaradási elvnek teljesülnie kell. Ha ez megvalósul, akkor a feladat beilleszthető a jelenleg általánosan elfogadott világkébe. Ha azonban nem teljesülne, akkor ez a jelen áramlástan (fizikai) tudásunk határain túlra mutató okoskodássá lenne: illanatnyilag nem ismert olyan áramlástani jelenség, amelyre ne vonatkoznának a megmaradási elveink. (7.34) felírási módjából (is) következik, hogy a erdület megmaradásra éülő vektor egyenlet alternatívája a mozgásmennyiség megmaradásra éülő szintén vektor egyenletnek vagyis egy feladat megoldásában célszerűen vagy az egyik, vagy a másik alkalmazandó, mivel ezek az egyenletek egymással összefüggenek. A fentiek tudatában, az áramlástanban gyakran használnak un. kinematikailag lehetséges áramlásokat: ezekre alavetően csak a folytonosság törvényének teljesülését írjuk elő. Példaként említjük, hogy olyan síkáramlásokban, amelyek nullmértékű halmaztól eltekintve örvénymentesek, használhatók a komlex otenciálok (9. fejezet). Ezek az áramlások megfelelően alkalmazva őket jól használható, fontos gyakorlati eredményekhez vezetnek. Azonban meg nem engedett módon használva őket, súlyos fizikai tévedésekhez is vezethetnek. 7.. Az áramlástani feladatok modern matematikai modellje Az áramlástani feladatok matematikai modelljét a megfelelő megmaradási elvek alaján felírt integrál- vagy differenciálegyenletek és két kiegészítő egyenlet felhasználásával írhatjuk fel. ekintsük egy tetszőleges áramlást és számoljuk össze az ezt leíró független változókat. Ebben a közelítésben számoljunk (a turbulens sebesség-ingadozásokat is beleértve) a teljes sebességgel. A független változók: a sűrűség, a sebesség (három komonenssel), a nyomás, a hőmérséklet és a belső energia, vagyis összesen 7 független változó. Ezek szerint 7 egyenlet szükséges és elégséges a folyadékmozgások leírásához. Ezek edig - általában - a következők: Gausz amás, BME

214 56 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. folytonosság törvénye (skalár) egyenlet; mozgásmennyiség megmaradása vektor egyenlet = 3 (skalár) egyenlet; energia megmaradása (skalár) egyenlet; állaot egyenlet (skalár) egyenlet; kacsolati egyenlet (skalár) egyenlet; Az állaot egyenlet a hőtan területéről származik, és a vizsgált folyadék állaotjelzői (nyomás, hőmérséklet, sűrűség) közti kacsolatot írja le. Az állaot egyenletekkel részletesen a jegyzet első részében foglalkozunk. Írjuk fel a legegyszerűbb, általános gáztörvényt: R ; (7.35) A kacsolati egyenlet szintén a hőtani részből származik a hőmérséklet és a belső energia közötti kacsolatot írja le, a legegyszerűbb esetben, amikor az állandó térfogaton vett fajhő ( c V ) értéke állandó: u c ; (7.36) V A következőkben az áramlástan ala-egyenleteit foglaljuk össze. Ezeket az egyenleteket a legáltalánosabb alakjukban írjuk fel azaz itt helyet ka l. a súrlódás is de erre a felírásra éen az általánosság miatt szükség is van. Néhány esetben bemutattuk már, hogy egy-egy egyenlet zárt-, illetve nyitott rendszerre is felírható. A következőkben minden differenciálegyenlet mindkét alakját felírjuk, és a nyitott rendszerre vonatkozó alakot konzervatív alaknak nevezzük. A konzervatív alak azt hivatott kifejezni, hogy az itt szerelő változók megőrzik a folytonosságukat akkor is, amikor az un. rimitív változók (l. nyomás, sebesség stb.) ugrásszerűen változnak. Egy fizikai élda: egy lökéshullám esetében a lökéshullámra merőleges sebesség összetevő ugrásszerűen változik, a mozgásmennyiség megfelelő összetevője azonban folytonos marad. Ez részben kifejezi azt, hogy a mozgásmennyiség (l. c ) magmaradó tíusú mennyiség, részben azt is kifejezi, hogy a sűrűség-ugrás és a sebesség-ugrás egymást kiegyenlítő módon áll elő. A nem konzervatív alak igazából csak azt fejezi ki, hogy ezekben az egyenletekben a fent leírt folytonosság nem (mindig) áll fenn. A nem konzervatív alakú egyenletek a zárt rendszerre felírt megmaradási el- Gausz amás, BME

215 7. A FIZIKA MEGMARADÁSI ELVEI AZ ÁRAMLÁSANBAN 57 vekből származtathatók, és bennük a független változók a rimitív -nek nevezett változók (l. nyomás, sebesség összetevők stb.). A következőkben rendre felírjuk az egyes megmaradási elveknek megfelelő differenciálegyenleteket: Folytonosság: Konzervatív alak: div c t 0 ; (7.37) Nem konzervatív alak: d divc 0 ; (7.38) dt Mozgásmennyiség megmaradása: Konzervatív alak: cx xx yx zx div c x c g x ; t x y z c y xy yy zy div c y c g y ; t x y z cz xz yz zz div cz c g z ; t x y z Nem konzervatív alak: dc yx gx d t x y z x xx zx dc g d t x y z y xy yy zy y dcz xz yz zz gz ; d t x y z ; ; (7.39) (7.40) A mozgásmennyiség megmaradás elvére alaozott egyenleteket részletezve írtuk ki. Ennek több oka van, de a legfontosabb az, hogy a részletes kiírás jobban megmutatja a teljes egyenletet. Energia-megmaradás: Gausz amás, BME

216 58 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Konzervatív alak: e e c div Π c g c div k grad ; (7.4) t Nem konzervatív alak: de div Π c g c div k grad ; (7.4) dt Ezen egyenletek segítségével a folyadékok áramlása vizsgálható. Ezek az egyenletek a najainkban rohamosan terjedő, numerikus számolási eljárások egy lehetséges ala-rendszerét kéezik. Amennyiben a tényleges sebességek helyett átlagsebességgel számolnánk, úgy a fenti rendszer kiegészítendő lenne valamely turbulencia modellel. Ezzel részletesebben csak a vonatkozó szakirodalom foglalkozik. Az áramlástani feladatokat leíró, konzervatív alakú differenciálegyenleteket szokás összefoglaló módon is felírni. Ennek érdekében vezessük be a következő vektorokat: cx U c y ; cz e cx cx xx c y cx F xy ; cz cx xz ecx k cx xx c y xy cz xz x cy cx cy yx c y yy G ; cz cy yz ecy k cx yx cy yy cz yz y Gausz amás, BME

217 7. A FIZIKA MEGMARADÁSI ELVEI AZ ÁRAMLÁSANBAN 59 cz cx cz zx c y cz H zy ; cz zz ecz k cx zx cy zy cz zz z 0 g x J g y ; g z cx g x cy g y cz g z Ezeknek a vektoroknak a segítségével az áramlástani ala-egyenleteket ezek között nem szereel az állaot egyenlet és a kacsolati egyenlet igen tömör formában lehet felírni: U F G H J ; (7.43) t x y z A (7.43) egyenlet tagjainál a deriválást az egyes komonenseken értelemszerűen elvégezve megkajuk a folytonosság, a mozgás-mennyiségmegmaradás és az energia-megmaradás megfelelő, konzervatív alakú differenciálegyenleteit. A (7.43) tehát egy tömör alak, ami több tekintetben is segíti a további munkát. Lényegében ez a numerikus feladatok egyik kiindulási ontja. Csak megjegyezzük, hogy az újabb angol szakirodalom meglehetősen ongyola módon ezt nevezi Navier-Stokes egyenletnek. A (7.43) általános egyenletből egyszerűen származtathatók a seciális esetek: - stacionárius áramlás esetén kimarad az "U"; - síkáramlás esetén kimarad l. a "H"; - stacionárius síkáramlás esetén kimarad az "U" és a "H"; - súrlódásos de lamináris áramlás esetén a ; - ideális közeg esetén érvényes a és a csúsztató feszültség értékek azonosan nullák. xx yy xx zz yy zz Gausz amás, BME

218 60 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A (7.43) egyes tagjait, a fizikai tartalmuk szerint szokás elnevezni. Így az "U"-t fluxus- vagy ismeretlen-vektornak nevezik, a "J"-t forrás-tagnak nevezik és az "F", "G" valamint a "H" a konvektív fluxusnak nevezett tagok. Ez a tömör alak nagy segítséget nyújthat a differenciál-egyenletek osztályba sorolásában és az egyes tagok tulajdonságainak, viselkedésének vizsgálatában. Nagyon fontos szem előtt tartani azt, hogy a (7.43) egyenletben, általános esetben (amikor az áramlás turbulens is lehet), számos további derivált szereel és a feszültségek számítása, amennyiben átlag-sebességekkel dolgozunk további egyenleteket követel. A (7.43) egyenletből szokás kiindulni akkor is, amikor a megoldandó feladatot a tényleges, fizikai tartományból valamilyen transzformációval egy számítási tartományra kéezzük le. Ennek az eljárásnak az az előnye, hogy az eredetileg bonyolult alakú tartományt egyszerű alakra transzformáljuk, így a numerikus megoldás számos roblémája lényegesen egyszerűsödik. Hátránya viszont, hogy a lekéezéssel általában megváltozik a metrika, azaz az új tartományban a hossz és szögmérés más lesz, miáltal a differenciálegyenletek alakja is jelentősen megváltozik. A lekéezésektől általában megköveteljük a kölcsönös egyértelműséget (bijektivitás) és törekszünk arra, hogy az új tartományban is lehetőleg ortogonális rendszert éítsünk fel. E ont lezárásaként megemlítjük, hogy najainkra több, kiróbált numerikus algoritmust alakítottak ki, ilyen éldául a SIMPLE (Semi- Imlicit Method for Pressure Linked Equations), a SIMPLER, a SIMPLEC és a PISO (Pressure Imlicit with Slitting of Oerators) módszer - ezeket részletesen a vonatkozó szakirodalom tartalmazza. Mintafeladatok A megmaradási elvek igen fontos elméleti ala-kérdések. Egy áramlástan kurzus esetében tiikusnak tekinthető az alábbi néhány alakérdés: Írja fel az imulzus tételt! Fogalmazza meg ontosan, hogy milyen megmaradási elvet és hogyan fejez ki ez az egyenlet! Határozza meg minden egyes tag fizikai jelentését! Melyek az egyenlet legfontosabb érvényességi feltételei? Gausz amás, BME

219 7. A FIZIKA MEGMARADÁSI ELVEI AZ ÁRAMLÁSANBAN 6 Írja fel a mozgásmennyiség megmaradásán alauló differenciálegyenletet. Fogalmazza meg ontosan, hogy milyen megmaradási elvet és hogyan fejez ki ez az egyenlet! Határozza meg minden egyes tag fizikai jelentését! Melyek az egyenlet legfontosabb érvényességi feltételei? Írja fel a folytonosság törvényének differenciálegyenlet és integrálegyenlet alakját! Fogalmazza meg ontosan, hogy milyen megmaradási elvet és hogyan fejez ki ez az egyenlet! Határozza meg minden egyes tag fizikai jelentését! Melyek az egyenletek legfontosabb érvényességi feltételei? (..és még több, hasonló jellegű kérdés.) E a feladatok a konkrét megoldását külön nem ismertetjük, hiszen a feltett kérdésekre adandó válasz a korábbi anyagban olvasható. Gausz amás, BME

220 8. Hidrostatika A folyadékokra, illetve gázokra vonatkozó legegyszerűbb feladat az, amikor alkalmasan választott koordináta rendszerből nézve a közeg nyugalomban van. Ekkor hidrostatika feladatról beszélünk. A hidrostatika ala differenciál egyenletét az Euler egyenletből (7.5) kahatjuk, úgy, hogy a sebességet és a gyorsulást is azonosan nullának választjuk: grad g ; (8.) Ez a differenciálegyenlet hasznos az elméleti megfontolások megtételében, illetve a változó sűrűségű közegekre vonatkozó feladatok megoldásában is. Az egyenlet a mozgásmennyiség megmaradás elvén alaul, közvetlenül azt mondja ki, hogy az egységnyi térfogatra ható, nyomásváltozásból illetve térerőből származó erő egyensúlyban van. Az általunk vizsgált minden hidrostatika feladatra érvényes. Kéezzük (8.) mindkét oldalának rotációját: rot grad 0 grad g rot g ; (8.) A (.8) egyenlet értelmében a baloldal rotációja nulla. Amennyiben a sűrűség állandó ( áll. ), akkor azt kajuk, hogy a térerősség rotációjának is nullának kell lennie. Ez edig részben azt jelenti, hogy a szóban forgó erőtér csak otenciálos lehet (3. ont), illetve, hogy állandó sűrűségű közeg csak otenciálos erőtérben lehet nyugalomban. együk fel, hogy az erőtér vagy erőterek otenciálosak. Integráljuk (8.) mindkét oldalát: d du 0 itt : U g grad ; (8.3) Ezzel a hidrostatika ala integrál egyenletének azt az alakját kajuk, amely változó sűrűségű közeg esetén alkalmazható, akkor ha a sűrűség kifejezhető a nyomás függvényeként. együk fel, hogy a közeg sűrűsége állandó. Integráljuk ismét (8.) mindkét oldalát: U áll. itt : g grad U ; (8.4) Gausz amás, BME

221 8. HIDROSAIKA 63 Ezzel a hidrostatika integrált ala-egyenletéhez jutunk. Igaz, hogy ez az egyenlet csak a fenti feltételek esetében alkalmazható, de azért az áramlástan oktatásában alkalmazott, gyakorlati feladatok igen nagy részét ennek az egyenletnek a segítségével kell és lehet megoldani. A hidrostatika alavető jelentőségű terület, számos, erre a területre vonatkozó, megoldott feladat található [7] éldatár. Hidrosztatika című fejezetében. A következőkben, bevezető segítségként két mintafeladatot oldunk meg. Mintafeladatok Feladat: tekintsük a 8. ábrán látható, földi nehézségi erőtérben elhelyezkedő függőleges gázcső-darabot: L 8.. ábra Függőleges gázvezeték darab A cső belsejében lévő gáz sűrűsége kg m. Kívül 3.5 kg m sűrűségű levegő helyezkedik el. Az A ontban a gáz túlnyomása ontban? 500 Nm. Kérdés, hogy mekkora a gáz túlnyomása a B Megállaítható, hogy ez a feladat állandó sűrűségű közegre vonatkozó, hidrostatika feladat. Ezért célszerűen (8.4) felhasználásával oldható meg. A hidrostatika feladatokban első léésként alkalmas koordináta rendszert kell választani (rendeljük a z=0 értéket az A ont szintjéhez): G Gausz amás, BME

222 64 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. 8.. ábra Koordináta rendszer definiálása Írjuk fel ebben a koordináta rendszerben a nehézségi erőtér otenciálját: U g z ; Írjuk fel (8.4)-et a levegőre: z g z ; ahol a levegő nyomása az " A" ontban L L LA LA Írjuk fel (8.4)-et a gázra is: z g z ; ahol a gáz nyomása az " A" ontban G G GA GA A feladat feltételeiből tudjuk, hogy: ( z 0) és ( z 0) ; G GA L LA különbsége N m : GA LA 500 ; (8.5) Ezek szerint a gázra vonatkozó egyenletből kivonva a levegőre vonatkozó egyenletet, azt kajuk, hogy: z z gz ; (8.6) G L G L GA LA Helyettesítsük be a megfelelő számértékeket: N m ; (8.7) G L A számításunk alaján arra az érdekes és a gyakorlatban is igen fontos eredményre jutottunk, hogy a gáz túlnyomása a magasság növekedésével növekszik. Ezt a tényt a gázvezetékek karbantartásánál éldául feltétlenül figyelembe veszik. Gausz amás, BME

223 8. HIDROSAIKA 65 Feladat: tekintsük a 8.3 ábrán látható, elhanyagolható magasságú, forgó edényt: 8.3. ábra Nyomásszámítás forgó edény belsejében Vegyük észre, hogy az edényhez rögzített, együttforgó koordináta rendszerben ez hidrostatika feladat. Ezért, koordináta rendszerként elegendő lesz egy, a forgástengelytől induló r tengely felvétele: Megoldás: vegyük észre azt, hogy a lényegében nulla magasság miatt a nehézségi erőtér hatása elhanyagolható. ovábbi fontos információ az, hogy a sűrűség változik (ontosan ezért, a változó sűrűséggel történő számolás miatt választottuk ezt a bemutató feladatot); méghozzá ez a változás izotermikus, vagyis a sűrűség csak a nyomás függvénye! Válasszuk a fentiekben már meghatározott együttforgó koordináta rendszert. Ebben a rendszerben a otenciál és teljes differenciálja: r du U r ; illetve du dr r dr ; (8.8) dr Válasszuk a megoldáshoz (8.3)-at, ((8.) otenciálos erőterek és változó sűrűség esetében érvényes, integrált alakját): d du 0 ; (8.9) Gausz amás, BME

224 66 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. A fenti egyenlet alkalmazásához szükséges a sűrűség, mint a nyomás függvénye: 0 0 R és R0 (8.0) és kg m ; R Helyettesítsük be (8.9)-be (8.0) megfelelő részét: A D/ 0 d 0 D A r dr 0 ln ; (8.) Innen a keresett nyomás már kifejezhető: D A 0ex 0 ex Pa; (8.) A végeredmény azt (is) mutatja, hogy a centrifugális erőtérben meglehetősen nagy nyomás-növekedés érhető el, ennek a ténynek a gyakorlati jelentősége nagy (l. ultra-cetrifuga működése). Az áramlástan feladatok megoldásánál számtalan hidrostatika részfeladat fordul elő, ezekre a részfeladatokra általában, a feladatmegoldás során érdemes odafigyelni és tudatosítani, hogy l. egy U csöves manométer által mutatott nyomás meghatározásakor esetleg hidrostatika feladatot oldunk meg. A éldatárakban sok, hidrostatika feladat található, javasoljuk éldául a [7]. fejezetében található feladatok megoldását. Gausz amás, BME

225 9. Komlex otenciálok A korábbiakban már rámutattunk a skalár otenciál létezésének szükséges és elégséges feltételére. Ez az állandó sűrűségű közeg sebességével kacsolatban, időálló áramlásra a következő módon fogalmazható meg: r: c grad rot c 0 ; (9.) Vagyis, ha a sebességtér rotációja nullmértékű halmaztól eltekintve azonosan nulla, akkor találhatunk olyan skalár-vektor függvényt, amelynek a sebesség a gradiense. A nullmértékű halmaz éldául síkáramlás esetén nulla területet jelent, vagyis a sebesség rotációja legfeljebb nulla területű vonalakon lehet nullától különböző. Ez a megjegyzés a szingularitások bevezetése és alkalmazása miatt fontos. A folytonosság törvényének (7.4) szerinti, állandó sűrűségű közegre vonatkoztatott alakjából, egyszerű számolással következik: divc 0 div grad 0 0; (9.) (9.) a sebességi otenciál meghatározására alkalmas, másodrendű, lineáris, ellitikus tíusú arciális differenciál-egyenlet. Még ebben a legegyszerűbb alakjában is rendkívüli a jelentősége. Számos elméleti és numerikus feladat hozható erre az alakra. A (9.), Lalace egyenlet megoldása a sebességi otenciál, a sebesség e otenciál ekviotenciális vonalaira merőleges. E merőlegesség legfeljebb a szinguláris ontokban nem teljesül. Időálló, állandó sűrűségű közegek síkáramlásának esetében bevezethetjük az áramfüggvényt is ( ( xy, ) ). Az áramfüggvény szintvonalai az áramvonalak, melyek érintői a sebesség vektorokkal árhuzamosak. Emiatt a sebesség és az áramfüggvény-ívelem vektori szorzata nulla: cds 0 c dy c dx 0; (9.3) x y Definiáljuk a sebesség összetevőket az alábbi módon és tekintsük a sebességtér rotációjának a síkra merőleges összetevőjét (legyen a síkra merőleges a z tengely): Gausz amás, BME

226 68 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. cx ; cy ezzel : y x rot c z cy c x ; x y x y (9.4) (9.4) csak síkáramlásra érvényes ugyan, de ebben az esetben megengedhető nullától különböző örvényesség is. (9.4) éldául az örvénytranszort egyenlettel együtt sokféle feladat numerikus megoldására alkalmas. ekintsük most az összenyomhatatlan közeg örvénymentes, időálló síkáramlásait. Ekkor a sebességi otenciál és az áramfüggvény komlex otenciállá kacsolható össze: w w z x, y i x, y ; ahol : z x i y (9.5) A komlex otenciálok szeree a klasszikus és modern áramlástanban egyaránt jelentős, az első, XX. század eleji első elterjedést najainkban, egyes numerikus módszerekben való alkalmazás miatti fellendülés követi. Vizsgáljuk meg a sebesség kiszámításának módjait. A sebesség komlex konjugáltját a komlex otenciál deriválásával kajuk meg. Ezt a deriváltat a komlex függvények elméletéből ismert módon, háromfélekéen is számíthatjuk: d w w w cˆ ; d z x i y azaz: cx i cy i i ; (9.6) x x y y Ennek az egyenletnek az alaján felírhatók a Cauchy-Riemann féle arciális differenciál-egyenletek: x y ; (9.7) y x Ezek a arciális differenciál-egyenletek azok, amelyek alaján két a megfelelő feltételeknek eleget tevő függvény harmonikus társnak minősíthető, illetve e függvények ilyen módon rendelhetők egymáshoz. E két Gausz amás, BME

227 9. KOMPLEX POENCIÁLOK 69 függvény esetünkben az ekviotenciális vonalak és az áramvonalak az x-y síkon ortogonális hálót alkotnak. (Erre élda a 9. és 9. ábra). A c, állandó sebességű síkáramlás komlex otenciálja: w cˆ z ; (9.8) A (9.6) kifejezés alkalmazásával könnyen belátható, hogy (9.8) tényleg a mondott síkáramlás komlex otenciálja. A következőkben az un. szingularitások segítségével vezetjük be a forrás-nyelő (Q), az örvény (Г) és a diólus (M) komlex otenciálját. Ezek rendre a következők: Q M w ln z; w i ln z és w ; (9.9) z A forrás komlex otenciáljának valós része a sebességi otenciál, a kézetes része edig az áramfüggvény: Q Q i w i ln z ln r i; itt : z r e vagyis: Q áll. ln r r áll. origó közéontú körök és Q áll. áll. origóból induló egyenesek ; 9.. ábra Forrás, vagy nyelő áram- és sebességi otenciál vonalai A 9. ábrán a forrás vagy nyelő áramvonalai az origóból kiinduló vagy oda befutó egyenesek, az ekviotenciális vonalak edig koncentrikus körök. Az origó szinguláris ont, ahol végtelen sok áramvonal metszi egymást a szinguláris ont neve forrás, ha onnan kifele áramlik a közeg Gausz amás, BME

228 70 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. ( Q 0 ) és nyelő, ha befele áramlik a közeg ( Q 0 ). A Q egyébként éen a forrás, vagy nyelő kibocsátott vagy elnyelt térfogat-árama. 9.. ábra Potenciálos örvény áram- és sebességi otenciál vonalai Az örvény komlex otenciálja és a forrás komlex otenciálja között a különbség a kézetes egységgel való szorzás, illetve, hogy a jellemző mennyiséget Q helyett val jelöljük és cirkulációnak nevezzük. A otenciál, illetve az áramfüggvény: w i i ln ln z i r ; vagyis, a otenciálos örvény esetében: áll. áll. origóból induló egyenesek és áll. ln r r áll. origó közéontú körök A cirkulációt a (.3) egyenlettel definiáltuk. Gyakran keletkezik jól megfigyelhető cirkuláció vagy örvény folyóvizekben, éldául hídillérek vagy evezőlaátok után, esetleg a vízbe nyúló akadályok után. Örvény kéződik a szárnyashajók szárny, vagy a reülőgészárnyak körül is. Az ilyen esetekben a kialakuló, valóságos áramkéet jelentősen befolyásolja a közeg (vagy másik oldalról a jármű) egyenletes haladási sebessége. A szárnyrofilok körüli áramlásról a 8. ontban részletesebben is szólunk. Összegezzük a síkáramlás és a diólus komlex otenciálját, legyen a síkáramlás sebessége a valós tengellyel árhuzamos ( c tehát valós szám): M wz c z ; (9.0) z Gausz amás, BME

229 9. KOMPLEX POENCIÁLOK 7 Ezzel egy henger körüli áramlás komlex otenciálját kajuk. Ezt igazolandó írjuk fel részletesen (9.0)-et: M wz c r cos isin cos isin ; r Innen a 0 áramvonal egyenlete: M r, c r sin 0; r M az R sugarú kör valóban a nulla áramvonal; c Számítsuk ki a sebesség eloszlást ezen az áramvonalon: R d w R wz c z cˆ c z d z z ; (9.) Egyszerű számolással belátható, hogy a sebesség abszolút értéke ezen az áramvonalon: c csin ; (9.) A Bernoulli egyenlet felhasználásával hiszen ideális folyadék stacionárius áramlásáról van szó számítható a nyomás-tényező: 0 c c 4sin ; (9.3) c A henger körüli nyomáseloszlást ábrázoltuk is azonban, mivel ez a nyomás-eloszlás a súrlódásos áramlások esetében is nagyon fontos és érdekes, azért az ábra a 8. fejezetben található (8. ábra). (A 8. fejezet egyébként a jegyzet második kötetében kaott helyet.) Mintafeladat Feladat: Milyen áramlást ír le a w z komlex otenciál? Az egyenletük alaján vázolja az áramvonalakat és az ekviotenciális vonalakat a 0 x és 0 y tartományon! Bizonyítsa be: egy-egy áramvonal 0 mentén a nyomás az y x, 45 os egyenessel való metszés-ontban a legnagyobb! Gausz amás, BME

230 7 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Megoldás: A komlex otenciálok a korábbiakban mondottak értelmében összenyomhatatlan közeg időben állandó, síkáramlását írják le. Határozzuk meg a konkrétan vizsgálandó komlex otenciál valós és kézetes részét: w z i x i y x y i xy ; azaz: x y és xy ; (9.4) Ezek szerint a áll. az ekviotenciális vonalak, a áll. edig az áramvonalak egyenlete. Az egyenleteknek megfelelő görbék 9.3 ábrán láthatók. Az ekviotenciális vonalak folytonosak, az áramvonalak edig (kék) szaggatott vonalak. Az ábráról látszik, hogy ez a két görbe-sereg ortogonális hálót feszít ki, azaz egy-egy áramvonal és ekviotenciális vonal metszésontjában az egyes görbék érintői egymásra merőlegesek ábra Áramvonalak és ekviotenciális vonalak Nem jelöltük külön, de belátható, hogy a két koordináta tengely éen a 0 áramvonal. Vagyis ez egy 90 fokos sarok -ban kialakuló áramlás kée. Határozzuk meg az áramvonalak mentén kialakuló áramlás irányát: cx x; és cy y; x y y x Gausz amás, BME

231 9. KOMPLEX POENCIÁLOK 73 A 9.3. ábrán kis nyilakkal be is jelöltük az áramlás irányát. A nyilak csak a sebesség irányát jelzik, a sebesség nagysága a fenti kéletekből számítható. Az origóban éldául a sebesség mindkét összetevője nulla vagyis ott az eredő sebesség nulla. A 9.3. ábrán éldaként bejelöltük az A ontot. A kérdés második része szerint ugyanis bizonyítandó, hogy éldául az adott áramvonal mentén a nyomás az A ontban a legnagyobb. Ehhez fel kell használni a későbbiekben részletesebben is sorra kerülő Bernoulli egyenlet (. fejezet) fizikai mondanivalóját ami szerint a nyomás a sebesség (négyzetének) csökkenésével növekszik, hacsak a Bernoulli egyenlet összes többi a nyomáson és sebességen kívüli tagját azonosan nullának választhatjuk. Ezek szerint azt kell bizonyítani, hogy a éldaként tekintett áramvonalon a sebesség éen az A ontban a legkisebb. Számítsuk ki a komlex otenciálból a sebességet, illetve annak abszolút értékét: dw i cˆ z cˆ r hacsak z r e ; (9.5) dz Mivel edig a élda-áramvonalon az origóhoz éen az A ont van a legközelebb, azért a sebesség ott a legkisebb és a fentiek értelmében a nyomás ott a legnagyobb. Az áramvonal választás tetszőleges volt bármely másik áramvonalra is igaz tehát a fenti okfejtés. Ezek szerint a bizonyítandó állítást sikerült igazolni. ovábbi, egyes esetekben e tantárgy vizsgakövetelményeit jelentősen meghaladó, de ehhez a témakörhöz illeszkedő gyakorlati feladatok találhatók [7] éldatár 9. Súrlódásmentes síkáramlás című fejezetében. Gausz amás, BME

232 0. Örvényes áramlások Ebben a fejezetben olyan áramlásokkal foglakozunk, melyekben az örvényesség (a sebességtér rotációja) legalább helyenként zérustól különbözik. Az örvényes áramlások gyakorlati jelentősége igen nagy elegendő csak arra gondolni, hogy az un. dinamikus felhajtóerő létrejötte másik oldalról nézve (hordozónak nevezett) örvény megjelenését jelenti. A cirkulációt ( cds ) már korábban (.3 egyenlet) definiáltuk. A cirkulációt elvileg ugyan a Stokes tétel szerint a sebességtér rotációjából is számolhatnánk e jegyzetben azonban csak olyan cirkulációval vagy más néven örvénnyel foglalkozunk, amely esetében a sebességtér rotációja a végtelenhez tart, miközben a felület, amelyen integrálunk, tart a nullához. Így kaunk egy örvény-szálat, amelynek cirkulációja és az átmérője nulla. A gyakorlatban is nagyon fontos az olyan örvény-szál, melyhez sebességi otenciált tudunk rendelni. Végezzük a számítást síkáramlás esetén, egy r olár koordináta rendszerben. Ebben a koordináta rendszerben a sebesség rotációja a következőkéen számítható: c d c rotc (vagyis az áramlás hengerszimmetrikus); (0.) z r d r együk fel, hogy ez a rotáció azonosan nulla, akkor (0.) integrálásával a következőt kajuk: c d c d c d r K 0 c ; (0.) r d r c r r r Könnyen belátható, hogy a (0.) szerinti sebesség a (9.9) kifejezésben definiált, örvény komlex otenciáljából számítható sebesség abszolút értékével azonos. Az ilyen, otenciálos örvény körül kialakuló áramkéet a 9. ábrán tüntettük fel. A 0.. ábrán kitekintésként egy valóságos örvény sebesség eloszlását tüntettük fel. Az örvény az r = 0 helyen található és sebesség eloszlása az örvény-magon kívül jó közelítéssel azonos a otenciálos örvény sebességeloszlásával. Gausz amás, BME

233 0. ÖRVÉNYES ÁRAMLÁSOK ábra Valóságos örvény sebesség eloszlása Az örvény-mag lényegében két részre osztható, a belső rész merev testszerűen forog, ehhez csatlakozik az az átmeneti rész, amelyben a viszkozitás jelentős szereet játszik. A valóságos örvények öregszenek az idő múlásával a mag sugara ( r C ) növekszik, közben edig a legnagyobb sebesség értéke csökken. A második kötetben, a súrlódásos áramlások vizsgálatánál megmutatjuk majd, hogy a súrlódás szeree éen az un. viszkózus réteg -ben jelentős, ezen kívül lényegében elhanyagolható. A következőkben csak (ideális) otenciálos örvényekkel foglalkozunk! Vizsgáljuk meg először egy örvény (cirkuláció) időbeli változását: d d d t d t cds ; (0.3) A differenciálást és az integrálást felcserélve, illetve az Euler egyenletet beírva kajuk: d d t dc d t ds d t grad cds ds c g ds cdc (0.4) A fenti kifejezés jobb oldalán lévő első tag, állandó sűrűség esetén akkor nulla, ha a térerősségnek (g) van otenciálja. A jobb oldal második tagjáról rögtön látható, hogy az nulla. Ezzel a következő eredményre jutunk: d 0, illetve : állandó dt c ds ; (0.5) A (0.5) a homson (lord Kelvin) tétele; kimondja, hogy a cirkuláció értéke ideális, összenyomhatatlan közeg esetén egy zárt, folyékony Gausz amás, BME

234 76 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. vonal mentén az időtől független. Kelvin tételéből levonható számos következtetés közül az egyik legfontosabb az, hogy a nyugvó térből eredő áramlás örvénymentes, azaz otenciálos. Amennyiben a közeg sűrűsége barotró módon változhat (ez fontos a meteorológiában, a reülésben és más, változó sűrűségű áramlások esetén), akkor a Bjerkness féle örvény-tételt kajuk: d d dt grad ds ; (0.6) Helmholtz örvény-tételeit a 0. ábrán látható örvénycső felhasználásával vezetjük be. Az örvénycső hasonló az áramcsőhöz, csak áramvonal helyett örvényvonalak ( rotc ds 0 ) alkotják. 0.. ábra Örvénycső Vektoranalitikai azonosság, hogy div rot c 0, ezért ennek a menynyiségnek az örvénycső térfogatára vett integrálja is nulla. A Gauss- Osztrogradszkij tételt alkalmazva írható, hogy: V Ezért: rotc rotc da 0; div dv A rotc da és rotc da 0; A A mert rot c da 0 AAA (0.7) Kimondható tehát, hogy a cirkuláció abszolút értéke egy örvénycső két, örvényvonalakkal nem árhuzamos metszetében azonos. Helmholtz másik örvény tételének több megfogalmazása ismert: - az örvénycsövek egyúttal áramcsövek is; Gausz amás, BME

235 0. ÖRVÉNYES ÁRAMLÁSOK 77 - az örvényesség a részecskékhez kötődik (egy örvény azonos részecskékből áll); - két örvényfelület metszéseként előálló örvényvonal azonos részecskékből áll. A gyakorlati alkalmazások szemontjából nagyon fontos egy-egy örvény-szál ( ) által, valamely P ontban indukált sebesség ( c i ) számítása. Ez a Biot-Savart törvény alaján lehetséges: ci 3 4 ds r ; (0.8) r S 0.3. ábra Egyenes örvényszál által indukált sebesség együk fel az egyszerűség kedvéért hogy az örvény éen az x tengely mentén helyezkedik el. Ebben az esetben a P ontban keltett indukált sebességet (0.3 ábra) az alábbi módon számíthatjuk: c i z 4 4 d r r sin r d / sin 3 r de : r r / sin ; ezzel : 0 c i z 4 r 4 r sin d cos ; 0 0 Gausz amás, BME

236 78 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. Végeredményben, a mínusz végtelentől ( 0 ) lusz végtelenig ( 80 ) terjedő integrál értéke: c i ; 4 r r 0 0 (0.9) Ugyanerre az eredményre jutottunk az (9.9)-cel leírt örvény komlex otenciálja alaján és a otenciálos örvény (0.)-ban megfogalmazott esetében. Ez célszerűen úgy kézelhető el, hogy a síkáramlás amelyet a otenciálos örvény bevezetésénél kikötöttünk általában nem egy kétméretű tartományban (síkon) jön létre, hanem azt jelenti, hogy a szóban forgó síkra merőleges irányban semmi sem változik. Azaz az áramlás olyan háromméretű áramlás, amelyben minden síkmetszetben azonos áramké alakul ki. A (0.8)-cal adott indukált-sebesség számítási lehetőség előfordul szinte minden, az örvényesség felhasználásán alauló numerikus feladatban. Számos szakmunkában foglalkoznak ennek az integrálnak a zárt alakú vagy numerikus kiszámítási lehetőségeivel. Megjegyzendő, hogy (0.8) egyáltalán nem csak síkáramlásokra vonatkozik: segítségével bonyolult, időben változó, térbeli áramlások is vizsgálhatók. Mintafeladat Az örvényes áramlások gyakorlati alkalmazása igencsak széleskörű, azonban ezek a feladatok általában jelentősen magasabb szintet kéviselnek, mint az e tárgyban meghatározott szint. Ezért bemutatunk ugyan egy gyakorlati feladatot, de ennek megoldásában számos, jelentős egyszerűsítést vezetünk be! Feladat: a 0.4 ábrán egy fúvóka modellje látható. Állandó sűrűségű (összenyomhatatlan) közeg érkezik B c sebességgel, majd ezt az áramlást a terelő laátok úgy változtatják meg, hogy az axiális sebesség állandósága mellett az axiális sebességgel egyenlő (a 45 0 miatt) tangenciális sebesség is létrejön. A közeg a fal mellett, elhanyagolható vastagságú rétegben áramlik tovább. A feladat a kiléő sugár radiális sebességének meghatározása! Gausz amás, BME

237 0. ÖRVÉNYES ÁRAMLÁSOK ábra Fúvóka modell Megoldás: A radiális sebesség a terelő laátok után egyenlő az axiális sebességgel: c 0.5 m s. Ez a folytonosság törvényéből következik. KR 0.5. ábra Áramlás a terelőlaátokon keresztül A 0.5. ábrán egy, síkba fejtett terelőlaát sor látható. Láthat, hogy, a tengelyirányú átáramlási keresztmetszet nem változik. A közeg összenyomhatatlan, tehát a tengelyirányú sebesség ( c B ) állandó marad. Az álló terelőlaát-sor ugyanakkor megváltoztatja az erdő sebesség irányát. A 45 fokos szögből következik, hogy a tengelyirányú és a radiális sebesség összetevő egyenlő lesz, vagyis a ckr 0.5 m s állítás tényleg igaz. (Az eredő sebesség növekedése természetesen nyomáscsökkenést okoz vigyázni kell arra, hogy ez a nyomáscsökkenés ne legyen túl nagy l. ne Gausz amás, BME

238 80 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSAN I. csökkenjen a közeg nyomása az adott hőmérsékleten vett telítési gőznyomás alá.) A közegből kialakuló áramcső egyúttal örvénycső is, hiszen a terelőlaátok miatt kialakuló rotáció (örvényesség) mindenütt árhuzamos a sebességgel. Helmholtz tétele szerint a cirkuláció abszolút értéke egy örvénycső két, örvényvonalakkal nem árhuzamos metszetében azonos. Számítsuk ki a cirkulációt a terelőlaátok utáni keresztmetszetben (a feladat kiírásának megfelelően hanyagoljuk el a sugár vastagságát): c ds DcR m s ; (0.0) Helmholtz tétele szerint (vagy ami lényegében azonos, a erdület megmaradás elve alaján) a cirkuláció abszolút értéke ugyanekkora lesz a kiléő keresztmetszetben is, azaz a sugár vastagságától ismét eltekintve: m s d ckr ; (0.) azaz : ckr m s; d 0.0 A megoldásból látható, hogy a megforgatott közeg radiális sebességösszetevője, a csökkenő átmérő felé haladva növekszik. A gyakorlatban a feladatbelinél sokkal nagyobb átmérő csökkenést is megvalósítanak egy ilyen geometria számítása azonban a jelen szinten áthidalhatatlan nehézségekre vezetett volna és adott esetben a nyomásviszonyok figyelemmel kísérésétől sem szabad eltekinteni. Az örvénytételekkel kacsolatos feladatok találhatók [7] 4. Örvénytételek c. fejezetében. Vigyázat: e feladatok némelyike meghaladja jelen tantárgy vizsgakövetelményeit. Gausz amás, BME

239 . Az imulzus tétel alkalmazása A mozgásmennyiség megmaradására éülő, imulzus tétel -nek nevezett vektor egyenletet a 7. ontban vezettük be. A leggyakrabban használt alakját a (7.9) illetve a (7.0) kifejezés írja le. Fontossága és összetettsége miatt - segítségként - néhány élda feladatot oldunk meg. Ezek tulajdonkéen Mintafeladat -ok, kiemelt fontosságuk miatt azonban külön fejezetben szereelnek. Az első feladatban bevezetésként egy, igazán egyszerű robléma megoldását vizsgáljuk. A megoldásban felhasználjuk a folytonosság törvényét és nagyon egyszerű szinten a Bernoulli egyenletet is; a fő eszköz azonban az imulzus tétel -nek nevezett egyenlet (7.0) egyszerű, de igen gyakran használt alakja... ábra Szilárd laot érő vízsugár A feladat: mekkora erőt fejt ki a. ábrán látható vízsugár az útjában lévő lara? Mivel az erő vektor mennyiség, tehát a nagyságát és az irányát is meg kell határozni! Az ábráról az is megállaítható, hogy a térerősség (l. súlyerő) értéke nulla, illetve, hogy minden sugár un. szabadsugár, ezért bennük a környezeti nyomás uralkodik. Gausz amás, BME