Hibacsomó-javítás hardware megvalósítása ciklikus Reed-Solomon-kódok segítségével

Átírás

1 CZESLAW KOáCIELNY Wrocíwi Műszki Egyetem Műszki Kibernetiki Intézet Hibcsomó-jvítás hrdwre megvlósítás ciklikus Reed-Solomon-kódok segítségével ETO Modern digitális hírközlő rendszerekben egyetlen elemi jel rendszerint egy bitnél több információt hordoz. Ezért jelenlegi gykorltbn elterjedt bináris hibjvító kódok, melyekben kódszó elemei bináris szimbólumok, nem túlzottn htékonyk. Ügy tűnik, hogy többszintű ciklikus kódok előnyösen lklmzhtók ngy sebességű bonyolult dtátviteli összeköttetésekben (4800, 9600 bit/s és e fölött), mágnesszlgos tároló rendszerekben stb. Ezekben rendszerekben hibcsomók dominálnk, és olyn kódok szükségesek, melyek hibcsomókt képesek jvítni. Szerencsére hibcsomó-jvító ciklikus kódok meglehetősen egyszerűen megvlósíthtók. Különösen ciklikus Reed Solomon-kódoknk vn jó hibcsomó-jvító képessége. Minden RS (Reed Solomon)-kód egyúttl mximális, zz z dott redundnci mellett minimális Hmming-távolság mximális. Ez kód optimális Reiger-korlát értelmében, ezért igen lklms hibcsomók jvításár. 1. Ciklikus RS-kódok Mtemtiki szempontból z RS-kód, mint minden ciklikus kód, ideál GF(q) test feletti, (x n 1) níodulusú polinom-lgebrábn. A kód generátor-polinomj: hol d y{x) = n\x-é)^x r +29r-^-K r i = l ( = 1 (l-l) zon kód minimális Hmming-távolság, melyet z (1.1) polinom generál, «GF(q) primitív eleme, GF(q) kompozit véges Glois-test és g GF(q), g^o, i = 0, 1,... r-1. A kompozit megjelölés zt jelenti, hogy testnek q=p" eleme vn (hol p prímszám), és p">2. Az (1.1) polinom áltl generált kód ciklikus (n,k) kód, melyre: kód hossz: n=q 1, z információs elemek szám: k=n r, redundáns elemek szám: r = n k = d l, minimális Hmming-távolság: d r +1. Minden V kódszó tekinthető egy GF(q) feletti n- dimenziós vektornk: \=[o 0,D lt...ívj. (1.2) Beérkezett: XII. 8. Az (1.2) vektorhoz kölcsönösen egyértelműen hozzárendelhető egy legfeljebb n 1-ed fokú, GF(q) feletti polinom: i=l (1.3) Gykorlti okokból szisztemtikus kódr vn szükség, zz v 0, v x,..., v r-1 pozíciók redundáns elemek, míg v r, v r+1,..., v n _ x z információs elemek. 2. A kódolási eljárás Jelölje fi(x)=ztn-vx n - (2.1) z információs polinomot, mellyel ekvivlens vektor: F,=[/ /, + i..../ -J. (2-2) A (2.2) vektor komponensei z információs szimbólumok, melyeket kódolni kell. A kódolási eljárás kódvektor redundáns részének TV=[/o>/i>...,/,-J-nek (2.3) kiszámítását jelenti. Ez következőképpen végezhető el: (2.4) hol Pi g [y] y-nk g(x) polinomml vló osztás során kpott mrdék. A teljes polinom: (2.5) természetesen kódpolinom, hiszen többszöröse g(x) generátorpolinomnk. így kódvektor következő: v = Uo> fi> fn-l]- Egy másik kódolási eljárás z H = (-l) (2.6) (2.7) fc-r dimenziós mátrixot hsználj fel, hol mátrix sorvektori: z R n-j = [ r n-j,0> r n-j,l> ' > T n-j,r-l) ( 2-8 ) i=i 119

2 HÍRADÁSTECHNIKA XXX. ÉVF. (1979) 4. SZ. összefüggésből számíthtók. Most redundáns vektor z F,- A:-dimenziós sorvektor és z R mátrix szorztávl egyenlő: F = F,.R. (2.10) hol es Az R mátrix trnszponált] r-k mátrix: R T = (-1) H, H, (2.11) (2.12) (2.13) Az előbbiekhez hsonlón R h [y] y-nk h(x)-sze\ vló osztás utáni mrdékát jelöli. h(x)-et pritáspolinomnk nevezik: h(x) = 3. A dekódolási eljárás A következő eljárás (x"-l)/g(x). d-1 számú ([x] = entier függvény) véletlen hib jvításár szolgál feltéve, hogy hibák kódvektor r = n k terjedelmű részében helyezkednek el. A kódvektor 0-dik és (n 1)- edik pozíciój kód ciklikus természete mitt szomszédos. Jelölje R. vett kódvektort és r(x) z ennek megfelelő polinomot. A vett vektor (polinom) kódvektor (polinom) és hibvektor (polinom) összege: B=V+E=[V f i..'n-j. hol V = (y 0, v x,..., v n _ x ) dott kódvektor, E = (e 0, e x,..., e n _^) hib vektor. Tehát n r(x) = v(x) + e(x) = 2 r -i-^ri n vett polinom, és Í=I «(*)=i: «-/ *"-' 1=1 - hibpolinom. A hibpolinomnk megkülönböztethetjük z információs szimbólumokt e t {x), illetve redundáns szimbólumokt e p (x) értintő részeit: e(x) = ei(x)+e p (x). (3.1) A htékony dekódolási eljárás lehetővé teszi e(x) meghtározását. A dekódolás során elsősorbn vett vektor szindrómájár vn szükség : v A szindrómpolinom S [ s o> s i> > s r-l]' (3.2) s(x) = RMx)] == Rfcf)] + ejx) = 2 W* r ~'> (3.3) mert / > RJLV(X)]=0 és R g [e p (x)) = e p (x). Ezután megvizsgáljuk á szindrómvektor H>(S) (3.4) Hmming-súlyát, vgyis nem null elemek számát. Három esetet különböztethetünk meg [2]: 1. H t = ^ nél nincs több hib vett vektorbn, és hibák csk rendundáns részben helyezkednek el, kkor szindrómvektor Hmming-súly: es e(x) = e p (x)=s(x). (3.5) (3.6) 2. H í-nél nem több hib következik be z információs pozíciókbn (és csk ott), kkor Ez zt jelenti, hogy ' ( <0- <',(*). (3-7) six^r^ix)]. (3.8) exz)-jyex*)] = ^)-s(z) (3-9) kódpolinom, és így nem null elémeinek szám (2í+l)-nél nem lehet kevesebb [3], Ezért 1, 2, információs szimbólumhíb esetén s(x) nem null elemeinek szám nem lehet kevesebb, mint 2t, 2t l,...,t+l. 3. H összesen nincs í-nél több hib, és redundáns részben bekövetkezett hibák szám z> kkor z információs pozíciókbn legfeljebb t z hib következett be. Ezek z információs részben levő hibák t + z + 1 nem null elemet okozhtnk s(x)-ben. Ez szám legfeljebb z-vel változht hibás redundáns pozíciók htásár. így h vett vektorbn hibák szám nem több í-nél, kkor w(s)sí+l. (3.10) Tehát (3.4) szindróm Hmming-súly lpján / vgy kevesebb hibát kijvíthtunk, h hibák kódszó pritásrészében következtek be. (3.2)-t kivonv vett vektorból kpjuk jvított vett vektort: U = R S = [r 0 s 0, r x SÍ,..., r,^ s r-1, r r,..., /" _]], (3.11) A 2. és 3. esetben á hibák jvítás érdekében minden információs pozíciót át kell tolni redundáns részbe. így r (x) =x -r(x) mod (x n -1) = 2 r N -rx n ~ l > (3-12) i=i hol N=n i mod (n). A (3.12) polinomnk megfelelő vektor: K = [K-> > r 0> r l> ' > r n--2> ^-o-j- ( 3-13 ) Ez vektor vett vektorból számú ciklikus blr léptetéssel kphtó. (3.13) szindrómáj 120

3 KOSCIELNY C: HIBACSOMÓ-JAVlTÁS HARDWARE MEGVALÓSÍTÁSA CIKLIKUS REED SOLOMQN KÓDOK SEGÍTSÉGÉVEL s (x) = R g [r (x)], S = [sg, sf,..., «?_J. (3.14) Ezért, h szindróm súly f-nél ngyobb, meg kell htározni s (x)-et = 1,2,..., k esetére. H vlmilyen ms/r-r fennáll, hogy: w(s m )st. S m = [sz,s?,...,su], (3.15) kkor hibjvítás következőképpen végezhető el: U m K m S m [r n _ m, jí' n _ m _i] -[«?....-.Ci.o,...,0]. (3.16) A dekódolási eljárás utolsó lépése (3.16) vektor n m hellyel vló jobbr léptetése, és következő jvított vektor (polinom) képzése: u(x)=x n - m -u m (x) mod (x"-l). (3.17) H (3.15) feltétel egyetlen = 1, 2,..., k esetére sem teljesül, ez zt jelenti, hogy hibák nem tolhtók be pritás pozíciókb, vgy pedig leglább t+1 hib következett be. 4. Műveletek GF(q)-bn Hogy kódolási és dekódolási eljárásokt elvégezhessük, ismernünk kell GF(g, )-bn értelmezett ritmetiki műveletek végrehjtási módját. Abbn z esetben, h q=p, hol p = tetszőleges prímszám, GF(p) műveletek jól ismert modulo (p) ritmetiki műveletek. A feldt jóvl bonyolultbb, h q p-nek vlmilyen htvány. Legyen q=p n, n = egész szám, kkor GF(q) multipliktív csoportj [GF(^) minden nem null eleme] előállíthtó GF(q) primitív elemeinek htványként: hol es ' = Ko> t,l> n > i,n-l}> x'= 2!, i _, n-i (mod p(x)), p(x) = x" + 2Pn-t'^~'- (4.1) (4.2) (4.3) Ez GF(q) felett primitív, n-ed fokú polinom. A legegyszerűbb módszer GF(</)-beli műveletek elvégzésére z összes q 1 vektor (4.1) kiszámítás. Ekkor, mivel oc rendje q í, szorzás szbály következő : '-* = ' + *(mod(g-l)). (4.4) Az összedás művelete következőképpen végezhető el: k + s = [( k>0 + s>0 ) p, ( M _i+ <!,, _!),,], (4.5) hol (x + y) p mod p összedást jelöli. Vegyük észre, hogy (4.1) vektor, 0 elemei következő lineáris rekurzív relációból is kiszámíthtók: n-l i,o=- 2Pf i-j-n,o' i=n,n + \,...,q-2, (4.6) hol f 0 z 1 vektor első eleme és Py k 4.3 polinoniegyütthtói. (3.8)-b behelyettesítve z 0 0 = l, 1 0 =..., = = n -i o kezdőértékeket, kiszámíthtjuk (4.6) összefüggés áltl generált sorozt periódusát: 0,0' l, 0> ' n-l, 0> > q-2' (4.7) Ezután kereséssel megállpíthtó, hogy GF((/) tetszőleges nem null ' eleméhez tlálhtó-e olyn m(j), melyre teljesül, hogy ij = x0, í = l, 2,..., q 2, / = 1,2,...,n-l, (4.8) hol x = i + m(j)(mod(q 1)). Ez jelentősen egyszerűsíti GF(<7) multipliktív csoportjánk kiszámítását. 1. péld: műveletek hrdwre megvlósítás GF(16) bn GF(16) multipliktív csoportj z l = [ i 0, t>1, i 2, i 3 ], í = 0, 1,..., 14 vektorok hlmzávl ábrázolhtó, hol. x' = i 0, + itx x + (>2 -x 2 + i 3 -x 3 (mod p(x)), és p(x)=x 4 +x+1 egy negyedfokú primitív polinom GF(2) felett. Mivel z'<4-re x l mod p(x) zonos x'-vel: 0,, =!, u = 0, h zv/> í',/<4. Az x 4 + x + l polinomml meghtározott rekurzív reláció: o = i-i, o + A /-3, o ( m o d 2 )> í = 4, 5,..., 14, így z ezen reláció áltl generált sorozt egy periódus, h 0 0 =l, 1> o= 2)0 = 3 0 =0: Észrevehetjük, hogy j j = x 0, x= í + 3 / (mod 15), í = 0, 1, 14, / = 0, 1,2, 3. így GF(16) minden nem null elemét egyszerűen felírhtjuk: Mivel GF(16) krkterisztikáj 2, z összedás megegyezik kivonássl. A GF(16) feletti összedót z 1. ábr muttj. << k i %o %1 i,2 %3 K,1 k,2 k.3 -e- - m,2 1. ábr. Összedó GF (16) -bn "0/77,3 E33 _-j<c3l 121

4 HÍRADÁSTECHNIKA XXX. ÉVF. (1979) 4. SZ. i,0 i,1 %3 oc k - nl szorzó GF(16)- br, u i k,0 b k,2 2. ábr. Szorzó GF (16) -bn k,3 jh 636-KC2] ^12, 2 = i, 0 + i, 1 ^12,3 = ű i, 0 + i, Az ct 12 -nel szorzó ármkör 3. ábrán láthtó. A GF(16) test esetében mod 2 összedok szám 1-től 5-ig változht. Beláthtó, hogy, z ármkörök optimális megvlósításkor minimlizálási problém is fellép. A GF(16) feletti szorzás hrdwre megvlósítás jóvl bonyolultbb. Szerencsére hibcsomókt jvító kódolási és dekódolási eljárás során csk egyetlen, GF(</)-beli konstns elemmel történő szorzásr vn szükség, és ez művelet viszonylg egyszerű. A GF(16)-beli. 1 és oc A közötti szorzást megvlósító áltlános hálóztot 2. ábr muttj. A doboz" itt modulo 2 összedok hálóztát trtlmzz. A mod 2 összedók szám, kpcsolásuk és cstlkozásuk szorzó ármkör be- és kimenetéhez kombinációs hálóztoknál hsznált módszerekkel htározhtó meg. GF(16) esetén A(k) függvény kiszámíthtó, z eredményt z 1. táblázt trtlmzz. Észrevehetjük, hogy: ^ b kt0 =A(k) 5 A1 =A(A+3 (mod 15)) b ki2 =A(k+2 (mod 15)) Z> M =A(k + l (mod 15)). H például k =12, kkor *12,0 = <,0+ <,l+ i,2+ i,3 i=, 1,0 Az A(íc) függvény GI (16)-r Te A(k) A(k) 0 di,0 8 1 Cli,3 9 *,i + (,3 2 t,z 10 i,o+,i2+«<,3 3»,i 11 cti,i+t,2+i,3 1. táblázt 4 ÖÍ,O+ j,3 12»,o+i,i+i,2+«i,3 5 i, 2+cn,3 13 ű(,0+ fi,2+ <Jí,3 6 í,i+ « í,o+j,i + flí,3 5. A kódolási és dekódolási eljárás hrdwre megvlósítás Az MSI és LSI ármkörök és mikroprocesszorok lklmzás bizonyár kiterjeszti hibjvító módszerek lklmzását digitális átviteli rendszerekben és más információs rendszerekben is. A kódoló és hibjvító ármkör egy GF(q) feletti véges utomt, mely 4. ábrán láthtó elemekből épül fel. A g(x) generátorpolinom szerinti kódolót z 5. ábr muttj. A kódoló k információs szimbólumot kp forrástól, továbbítj zokt z átviteli cstornár és egyidejűleg g(x) generátorpolinomnk megfelelően visszcstolt léptetőregiszterre. A k léptető jel ideje ltt C vezérlő jel értéke 1, z 1. kpu nyit, 2. kpu zár, z ármkör képzi jr g [/,(:r)]-et. k lépés után számolás befejeződik, és következő r órimpulzus htásár kódoló kimenetén kódvektor redundáns elemei lépnek ki. Egy /i(x) pritáspolinom szerinti ekvivlens kódolót mutt 6. ábr. Itt z információs elemek beolvsás után z ármkört n-szer léptetik. A kódoló kimenetén kilép k drb információs szimbólum, és z utolsó r szimbólum lkotj kódvektor redundáns részét. Nyilvánvló, hogy feltüntetett kódolóknk lehetnek egyéb, egyenértékű változti is. Az RS-kód áltlános dekódolójánk vázltát 7. ábr muttj. A hibjvító képességet 3./ fejezet tárgylt, ám ez dekódoló csk z információs elemek hibáit jvítj, mivel vevőben rendszerint nincs szükség redundáns elemekre (természetesen hibjvítás után). A dekódolási eljárás kétfázisú. Az első, n órimpulzusnyi fázisbn felső regiszter n-szer, z lsó pedig /c-szor lép. így n órimpulzus után z lsó regiszter trtlm k információs szimbólum, felsőé szind- z=x+y x- órimpulzus után y=5-x 5= 0 vgy 1 H63?-fE5! IH636-KC3I 3. ábr. GF (16)-bn «i -nel szorzó kpcsolás 4. ábr. RS-kódoló és -dekódoló ármkör elemel: ) összedó GF (q) -bn, b) c-vel szorzó GF (q) -bn, c) memórielem, d) kpu 122

5 KOSCIELNY C: HIBACSOMÓ-JAVlTÁS HARDWARE MEGVALÓSÍTÁSA CIKLIKUS REED SOLOMON KÓDOK SEGÍTSÉGÉVEL C-/-C ő. ábr. g(x) szerinti RS-kódoló vázlt ]H 636- KC5\ Párhuzmos bemenet L~l 1 1 Kimenet A (15,9)-cs JiS-kód GF(16) felett ekvivlens generátorpolinomji 2. táblázt h g(x) 1 X 6 X 5 +ft 1 4 -X 4 +«4 -x 3 +«6 x 2 + ts 9 x+ 6 2 x 6 + «5 x x 4 4-«s - X 3 + K 1 2 x 2 + <5 3 x+ ec ábr. h(x) szerinti RS-kódoló vázlt róm lesz. Ez idő ltt küszöbármkör T kimenetén 1 lesz. A dekódolás második fázisábn, mely ismét n órimpulzusnyi, küszöbármkör kimenete szindróm súlyától függ: h h!ii(s )>í, w(s )^t. A felső regiszter most is n-szer lép, de z lsó csk z utolsó k lklomml. így z utolsó k lépésnél 4 x e + «io X 5 + < «1 1 ' X 4 + «x 3 +«9 x 2 +«8 x+ «9 7 3* + «9 x 8 X E + «5 x 5 + x 4 +«1 4 -x 3 +ec 4 X 2 + «2 5 +«7 x 4 +ec 2 x x 11 x e + «1 2 x 5 +. X 4 + Í C 7 ' X x x+ <* et l 2 -x+«3 2 + «X + «6 13 X 6 + «E x s + x 4 +«1 1 'X 3 + x 2 + «8 x X x 5 + -X 4 -f (C 13 -X 3 + «s X 2 + «4 x+ ÍC 9 dekódoló kimenetén jvított információs szimbólumok jelennek meg. 2. péld: A (15,9)-es RS-kód minimális távolság d = 7, kódolójánk és dekódolójánk megvlósítás. 1. Kpu S r-1 Küszöb rmkor T 3 BE IH 636-KC7I Kló 7. ábr. Hibcsomó-jvító RS-kódoló áltlános vázlt 123

6 HÍRADÁSTECHNIKA XXX. ÉVF. (1979) 4. SZ. 8. ábr. GF(ld) feletti, (16,9)-es RS-kód dekódolój y H 636-KC8] ábr. GFfl6^ feletti, hibcsomó-jvító, ^16,9^-es RS-kód dekódolój Összefogllás [H 636- KG 9 j <A 9 -y o(4y C e -y u' 3.y y c( 3.y [H 636-KC1Ö] 10. ábr. A. 8. ábrán láthtó ármkör jvsolt visszcstoló hálózt Mivel GF(16)-bn 8 primitív elem vn, z (1.1) képletben helyett k, k = l, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 helyettesítendő. Az ily módon kiszámított generátorpolinomokt 2. táblázt trtlmzz. Feltételezve, hogy generátorpolinom minden együtthtójánk külön szorzó ármkör felel meg, A=14-re olyn kódolót és dekódolót kpunk, melyben mod 2 összedok szám minimális. A kódoló és dekódoló ármköri megvlósítás 8. és 9. ábrákon láthtó. Az ábrákon z összedó és szorzómű z 1. és 2. ábrákon láthtókkl zonosk, memóriszimbólum 4 db bináris tárolóként értelmezendő. A 8. ábr ármkörét következő funkcionális elemekből lehet megépíteni: 24 flip-flop, 45 mod 2 öszszedó és 8 AND kpu. A regiszter visszcstolását 10. ábr szerint módosítv, mod 2 összedok számát 6-tl csökkenthetjük. A cikk lpján megállpíthtó, hogy kódoláselmélet gykorlti lklmzás új és nem könnyű elméleti feldtokt vet fel. Ezek közül legfontosbbk : kódoló és dekódoló elemszámánk minimlizálás, kódolási és dekódolási eljárás számítógépes szimulációj, kódoló és dekódoló ármkörök számítógéppel segített tervezése. Végül ezúton fejezem ki hálás köszönetemet dr. Osváth Lászlónk nyelvi segítségért, vlmint dr. Gordos Géz docensnek, ki BME Hírdástechniki Elektronik Intézetében töltött 3 hónp ltt kuttómunkámt és e cikk megírását mindenben támogtt. IRODALOM [1] Reiger, S. H.: Codes for the correction of clustered errors. IRE Trnsctions, IT 6, 1960 [2] Szwj, Z.: On step by step decoding of the BGH binry codes. IEEE Trnsctions, IT 13, 1967 [3] Peterson, W. W. Weldon, E. J.: Error-correcting codes. the MIT Press,