Sok zenemű hiányosan, vagy esetleg befejezetlenül maradt ránk. A legismertebb

Átírás

1 ZENEI HANGOK PÓTLÁSA NEURÁLIS HÁLÓK SEGÍTSÉGÉVEL Tnulmányun neuráls háló elmélet hátterét mutt be három részben. Az első részben neuráls hálózto elméletéről szólun md másod részben bemuttu hoyn serült myr népdlo esetében z elveszett hno pótlásár llmzn z elárást. Véezetül összeezzü cün eredményet. Bemuttu hoy z elárás mé ey vszonyl eyszerű neuráls háló esetén s seítséet nyútht myr népdlo elveszett hnn pótolásár. TÁRGYSZÓ: Neuráls háló. Zenetudomány. Zene hno pótlás. So zenemű hányosn vy esetle befeezetlenül mrdt rán. A lesmertebb péld hányos ottépre Mozrt Requeme melyne befeezése előtt zeneszerző mehlt ezért mű zener átrtát zeneszerző tnítvány Frnz Xver Süssmyer feezte be és eészítette Snctus Benedctus és z Anus De tételeel. Mozrt ny c-moll msée szntén hányos formábn mrdt rán ám ebben z esetben hányossá o evésbé smert. Avy ondolun cs Johnn Sebstn Bch Márpssóán ottáár mely másod vláháborúbn tűzvész mrtlé lett s melyne reonstruálásár Dnnyés Som válllozott 996-bn. A hányzó hneye pótlás nem eyszerű feldt hszen mnden zeneműne sátos szerezete hnzásvlá vn melyet mű és szerző hosszs tnulmányozás során smerhetün me. A hányzó hneye pótlás már zért s hívás mert eyetlen hney meváltozttásávl z eész zenemű hnsúly és dllmvlá meváltozht. A leyrbbn llmzott elárás mor szértőet érne fel rr hoy specáls smerete felhsználás seítséével próbálá tláln hoy von szerző mlyen zene hnot mlyen zene motívumot ondolt eredetle hányzó hneye helyére. Ebben z esetben szértő mű rán mrdt részne és zeneszerzőről öszszeyűtött eyéb nformácó esetle tovább műveből nyerhető motívumo felhsználásávl próbál pótoln hneyeet. A szértő zeneszerzőtől szármzó ülönböző zenerészleteből metnul zeneszerző áltl yrn hsznált motívumot és épeet felfed hoy mlyen (tlán m zeneszerző számár sem tudtos) szbályszerűsée tlálhtó me műveben és ezt metnult sémát felhsználv eészít művet. Sttszt Szemle 83. évfolym szám

2 938 Ey zeneműben vy ey dllmbn tlálhtó szbályszerűséeet mefelelő sttszt-öonometr módszere seítséével s me tudu rdn. Célun ebben doloztbn hoy bemutssu enne z elmélet lehetőséne ey yorlt mevlósítását ésped zt hoyn lehet myr népdlobn hányzó hnot neuráls hálózto seítséével pótoln. A neuráls hálór mnt öonometr becslő elárásr ét oból esett válsztásun. Az első hoy neuráls háló műödése özvetlen párhuzmb állíthtó szértő tnulás folymtávl seítséével me tudu fon feltételesen nemlneárs pcsoltot ülönböző eymást övető hneye özött. A másod o ped z hoy orább proete pcsán személyesen tpsztltu neuráls hálózto lyen téren történő llmzásán seresséét. (000-ben hnnover vláállítás írorszá pvlonábn z ey érdeessé ey olyn zenemű volt melyet neuráls hálózt és mestersées ntellenc seítséével retív ember bevtozás nélül hozt létre. Enne neuráls hálón tnításához számos ír népdl dtáls változt volt szüsées. Lásd: NEURÁLIS HÁLÓK A neuráls háló ét obetumból áll; csomópontoból (neurono) és z őet összeötő éleből (sznpszs). A beövő nformácó (ner mpulzus) ey-ey neuronb érez. Amennyben z dott ner ey üszöbértéet mehld neuron továbbüld ey elet bb neuronb mellyel összeöttetésben vn. Ey lyen neuronb több neuron s üldhet mpulzust. H eze összessée mehld e neuron nerüszöbét or ez neuron s továbbüld ey mpulzust övetező neuronb stb. Véül z mpulzus elut néhány véső neuronb s ttól füően hoy melybe utott el úy ötün vlmlyen válszrecót z dott nputhoz. Tnulás során z ntenzíven hsznált sznpszso meerősödne eveset hsznált ped meszűnne. Az ember y tnulásán ezt mechnzmusát másol le számítóépes modell. Eyes elemeet zonbn me ellett változttn uyns mé leyorsbb számítóépe sem épese néhányszáz neuronnál nyobb hálóztot modellezn szemben z yl melyben mllárdny neuron műöd. Az első változttás z volt hoy z eyes neurono több más neuronn s dhtn mpulzust ár vsszfelé s. A másod módosítás hoy mnden sznpszsn mehtározott z mpulzusátdás htásfo zz mehtározott erővel (súllyl) továbbít z nformácót. A hrmd változttás z hoy z nereet fodó neuronot ülönböző mértéű (ntenztású) nere érhet továbbá z nere továbbításár nem ey eyszerű üszöbérté-mehldás rtérum létez hnem bonyolult füvénye seítene mehtározn menő mpulzus mértéét. Kvétel áltlábn beérező nereet fodó neuron honnn z ner ey z eyben továbbítód. Véezetül tnulás mechnzmusát mtemt sttszt módszere szbályozzá melye özül lesmertebb és lenább hsználtos hb-vsszteresztés (bc-propton) elárás. Vzsálu me először neuráls háló lpeyséét neuront. Ezt z eyséet yrn nevez számítás (vy processzáló) elemne s mvel tt zln le nemlneárs számítás folymto. A neuron yorltl nem más mnt ey füvény m bemenet eleet eyetlen menet ellé lít. E füvényene áltlábn mehtározott lu vn. A neuron előbb bemenet eleet összez vlmlyen módon (ddtív multpltív) md ey füvény seítséével trnszformál ezeet. A leyrbbn llmzott füvénye z úynevezett urásfüvény // és szmod füvény //:

3 ZENEI HANGOK PÓTLÁSA NEURÁLIS HÁLÓK SEGÍTSÉGÉVEL 939 U h x t // 0 h x < t ( x t) S ( x) x + e. // Az összezésre áltlábn ddtív módszert llmzn. A neuronot összeötő éleen súlyo szerepelne melye z dott eleet felerősíthet vy yeníthet. H tehát ey neuronb m számú más neurontól érez súlyoon eresztül el or ezt övetezőéppen ábrázolhtu:. ábr. A neuron műödése o m m Σ m o o o H többréteű hálóztot ívánun létrehozn or bemenet és menet rétee özé ey (vy több) öztes vy retett réteet ell beéelnün. A. ábrán ey olyn neuráls hálózt strutúrá láthtó hol bemenet réte 64 drb öztes réte 3 drb menet réte ped 0 drb neuronból áll. Mvel bemenet neurono nem számító eyséént vnn hálóztbn ezért hálózt ey olyn füvény melyben 3 nemlneárs füvény vn mehtározott súlyol összepcsolv. Mvel súlyo első csoport 64 bemenetből 3 öztes neuronb uttt el elet ezért tt összesen 9 súly szerepel. A 3 öztes neuronból 0 menet neuronhoz összesen 30 súly trtoz. Ez zt elent hoy h például szmod füvény seítséével dolozun or. ábrán ey szbd prméterrel rendelező bonyolult nemlneárs füvényről vn szó.. ábr. Többréteű neuráls háló I V O

4 940 H mé zt s hozzávesszü hoy mnden processzáló eyséhez bztosítn szot ey onstns neuront s ez zt elent hoy szbd prmétere szám tovább 3-ml növesz. Az ábrán láthtó neuráls háló nltusn s fethető: 64 C V I + e 3 O O C + e V I + C O + C. /3/ Eyréteű hálózt cs lneársn szeprálhtó füvényt épes reprezentáln. H ey neuráls hálózt lelább ey retett réteet trtlmz or tetszőlees folytonos füvény reprezentálásár h ey hálózt ét retett réteel rendelez or tetszőlees füvény reprezentácóár épes. A neuráls hálózto llmzásán rtus pont tnulás. Ez z folymt mor mntá áltl medott nputohoz (I ) és outputohoz (O ) me ru tláln töéletes hálózt strutúrát (topolóát) és súlyrendszert. (Veyü észre hoy tt tuldonéppen ey nemlneárs reresszó építéséről vn szó.) A többréteű neuronhálózto leyrbbn llmzott súlytnulás lortmus hb-vsszteresztés módszer. A módszer lényee z hoy úy ell meváltozttn súlyot hoy z dott mnt esetében z elövetett hb lehető lesebb leyen. Mvel több réte műöd eyüttesen ezért hbát hátulról ell vssztereszten z eyre előbb súlyo. Azz először retett és output rétee özött súlyot ell módosítn: t + t + λ /4/ ( T ) O hol -vel elöltü processzáló füvényt melyet tváló vy recófüvényne s nevez szrodlom. Láthtó hoy szmod füvény llmzás zért edvező mert önnyen számíthtó dervált uyns ( ). A öztes és bemenet neurono özött szntén vlm hsonló szbályt ellene meállpítn súlyo meváltozttás érdeében. Itt zonbn nem eyszerű z elövetett hb mértééne mehtározás hszen mí menet értéet össze lehetett hsonlítn ténydttl dd tt nem áll rendelezésre ténydthoz hsonló mennysé. Az ötlet z hoy mnden retett neuron vlmlyen mértében hozzáárul mnden menet csomópontbn elövetett hbához. Ezért már mehtározott menet hbértéeet csomóponto özött pcsolt szorossá zz súlyo füvényében osztu szét és vsszteresztü zot retett csomópontohoz. Azz -ed retett neuron hbtényezőe: t /5/ t ( ) t T O és íy bemenet és öztes neurono özött súlyo módosítás már hsonló /4/ éplethez:

5 ZENEI HANGOK PÓTLÁSA NEURÁLIS HÁLÓK SEGÍTSÉGÉVEL 94 + λ + t t t I V I V V. /6/ Nézzün hb-vsszteresztés lortmus mtemtá möé! Tétel. A /4/ és /6/ épleteen lpuló hb-vsszteresztés elárás nem más mnt ey rdens-módszer seítséével történő numerus optmlzálás. Bzonyítás. Eleendő zt memuttnun hoy llms célfüvényt válsztv /4/ és /6/ épleteben λ prméter után szereplő feezés nem más mnt z llmsn válsztott célfüvény súlyonént vett prcáls dervált. A célfüvény meválsztásánál lesebb néyzete módszerét llmzzu ténydto és neuráls háló output dtn összesmításár: ( ) T O E. /7/ Nylvánvló hoy E mnmlzálásávl leobbn lleszedő hálóztot lítu. Íru fel E-t súlyo füvényében ey-ey retett réteel rendelező hálózt topoló esetén: I V T T E. /8/ Képezzü először szernt derváltt. Veyü észre hoy z nem fü - tól továbbá szernt összeben csupán eyszer fordul elő. Íy: ( ). O T T E /9/ Hsonló mefontoláso lpán V szernt dervált övetező: ( ) O T I V I V E. /0/ H összevetü /9/ és /0/ eredményet láthtu hoy pontosn rdens rányot dn. Ezzel z állítást beláttu. Son rtzálá rdensmódszer lpn műödő neuráls hálózt tnítását (lásd például Benede [003] 3.. lfeezetét). A tnulás szempontából rtus z ndulóérté

6 94 (nduló súlyo) és lépésöz. (Meeyezzü hoy z tt λ-vl defnált lépésözt neuráls szrodlom yrn elöl η vl és nevez bátorsá ftorn vy tnulás tényezőne (lernn rte). Értéét ped nem onstns hnem tnulás dő füvényében változó mennyséne tent.) A tnulás folymt bonyolultsáávl többen s follozt és serült bebzonyítn hoy mnthlmz optmáls özelítéséne meeresése mé bbn z esetben s NP-teles problém h en erős orlátozó feltételeet llmzun és h lelább három processzáló eyséet hsználun fel. (A pontos tételeet és bzonyításot lásd: Judd [990] és Blum Rvest [99].) A súlyo optmlzálásánál s nyobb problém lehet z optmáls hálózt topoló meválsztás. Nylvánvló hoy ey so neuronból és öztes réteből álló hálózt súlyoptmlzálás nehezebb de bonyolultbb összefüése feltárásár s llms. Ey eyszerű hálóztot önnyű tnítn de reprezentácós épessée s szeényebb. A helyes topoló válsztásor yrn llmzhtó enetus lortmus s. A neuráls hálózt modellezés esetén fenteen ívül néhány szempontot érdemes szem előtt trtn. Az ey leáltlánosbbn elfodott elárás z hoy mntdtbázst három nem feltétlenül eyenlő füetlen hlmzr osztu méped tnuló (trn) tesztelő (test) és vldáló (vldton) hlmzr. Íy súlyo tnulásánál záról tnuló dtbázs mntát hsználu de özben párhuzmosn értéelü tesztdtbázs esetet s. Amor tnuló dtbázs mnden tovább súlymódosítássl ront tesztelő dtbázs eredményen meállítu hálózt tnulását. Elépzelhető uyns hoy ey bzonyos tnulás mennysé után már nem mntábn húzódó áltlános összefüéseet fedez fel hálózt hnem mnt specltását zt. Ezt nevez hyományos sttszt túlllesztésne mí neuráls hálóztol follozó szrodlom túltnulásént (overtrnn) említ. Véül vldáló hlmzr szntén me szotá vzsáln hálózt telesítését hszen ezt z dtbázst z optmlzálás folymt során eyáltlán nem hsznált fel z lortmus. Abbn z esetben trtu elfodhtón véső eredményeet h tnuló és vldáló hlmzon hsonló eredményeet ér el hálózt. ALKALMAZÁS Jelen esetben ey vszonyl eyszerű feldtr válllozun rr hoy olyn esetben pótolu hnot mor cs eyetleney hányz ottépről rádásul ez s cs elmélet feltételezés mert vlósábn eze hno smerte. A myr népdlo elveszett hnn pótlását bemuttó elemzés övetező feldtot tűzte célul. Mnden népdl esetén feltételeztü hoy eyetlen hn hányz ottépről és z áltlun fenteben bemuttott neuráls hálózt seítséével mepróbáloztun enne hnn reonstruálásár. A hányzó hnot övetezőéppen változtttu népdloon belül. A népdl neyed hnától ezdve (z első és z utolsó három hnr nem dtun becslést) elhytun ey hnot és mrdé hnot és neuráls hálóztot felhsználv becslést A számíthtósáelmélet és z lortmuso bonyolultsáelmélete szernt problémát ülönböző bonyolultsá osztályob sorolhtu. Az NP-osztályb ( nem determnsztus dőbonyolultsáú problémá osztályáb) trtozó problémá meoldásához ey ún. ötletre vn szüsé. Az ötlet vy ráhbázás helyesséét ellenőrzhetü ey polnomáls lortmussl. Ezen belül vn mé ey sebb csoport melyet NP-teles osztályn nevezne enne feldt lenehezebbe setés z hoy nem létez ráu llmzhtó polnomáls meoldó lortmus.

7 ZENEI HANGOK PÓTLÁSA NEURÁLIS HÁLÓK SEGÍTSÉGÉVEL 943 dtun enne hnn mssáár. Ezután teles ottépről övetező hnot hytu el és becsültü me md övetezőt stb. eészen néyel z utolsó előtt hn. A vélees becslést zonbn több lépés s meelőzte. Először s össze ellett yűten zot népdlot melye z llesztés és tesztelés lpdtént szoláln. Ezt övetően z nló (ott) vy dtáls (md) formátumbn összeyűtött dtoból dtbázst ellett létrehozn melyen már sttszt elemzése és becslése véezhető. Ezután ellett tláln hoy pontosn m leyen myrázott változó és m leyen myrázó változó öre. Ezután véezhető el modellezés md véül tesztelés. Adtyűtés Összesen 44 myr népdlt töltöttün le smerete/nepdl.html honlpról. A letöltött népdloról rendelezésre állt ey dlszövefál (html) ey ott- (pdf) és ey médfál (md). A továbbbn z A cstár heye ltt dl példáán muttu be z llmzott elárást. Nézzü me dl ottépét: 3. ábr. Az A cstár heye ltt ottá Adtbázs-észítés A övetező lépés ey olyn dtbázs észítése melyen már sttszt elemzése és modellezés véezhető. Ezt ottá seítséével MS-Excelben mnuálsn állítottu elő. Az első épített dtbázsbn mnden dl ülön állománybn szerepelt. Az dtbázs reord ey-ey hnot trtlmzt mező ped övetező volt. Sorszám: z dott dlbn z dott hn hányd pozícóbn (helyen) szerepel. Ütem: z dott dlbn z dott hn hányd ütemben szerepel. Pozícó: z dott dlbn z dott ütemben z dott hn hányd pozícóbn szerepel. Hn: zene hn ABC-s elöléssel mssá-helyértéel (például: C5). Rtmus: z dott hn hossz (például: eyneyed 05). Itt szeretnén öszönetet mondn nler Brbrán so-so seítséért melyet z dtbázs-építés nem túl hálás feldtábn válllt.

8 944 Szemléltetésül nézzü me hoyn s épül fel z A cstár heye ltt című dl első néy üteméne z dtbázs. Az A cstár heye ltt dl dtbázsán ey részlete Sorszám Ütem Pozícó Hn Rtmus B 4 05 E G B A G F# E D G F# E E B B Természetesen z eyes dlo ülönálló dtbázsát össze ellett fűzn és ezért ey tovább oszlopr volt szüsé dl zonosítás célából. Trnszformácó Az áltlun előre elezn ívánt változó z hnmssá melyne z dtbázsbel eloszlás 4. ábrán láthtó. E szernt z áltlun vzsált népdlo esetén leyrbbn előforduló hn G5 hn volt mely z összes előforduló hn 6 százléát tette. 4. ábr. Hno eloszlás z dtbázsbn

9 ZENEI HANGOK PÓTLÁSA NEURÁLIS HÁLÓK SEGÍTSÉGÉVEL 945 Számos előreelző modell llmzás után zonbn úy döntöttün hoy hno bszolút helyéne előreelzése helyett hno reltív elhelyezedését becsülü. A reltív elhelyezedés ey numerus érté mely záró hn és z dott hn özött félhn eltérést mutt. Ez yorltl zt elent hoy ülönböző hnnemben levő dlot zonos sálár hoztu szolmzácós sémához hsonlón. A dúr és moll hnnemeet elválsztottu. A záró hno természetesen nem feltétlenül eyezne me hnnemmel de ettől elen elemzésben eltentün. A záró hno és reltív hno eloszlását mutt z 5. és 6. ábr. 5. ábr. A reltív hno eloszlás 6. ábr. A záró hno eloszlás Azz válsztott dlo 4667 százlé D hnon zárul vlmnt leyrbbn szereplő hno záró hn felett pontosn 7 félhnl (várttl) helyezedne el. Az 5. ábrából ól láthtó hoy ebben z esetben moll elleű dlot vzsáltu hszen s terc (3) elhelyezedés óvl yorbb (44%) mnt ny terc (4: 07%) nem s lesz önnyű ez utóbbt eltláln! Ú myrázó változó Ú myrázó változó szerepeltetésén zt értü hoy ey t-ed hn becsléséhez t-ed sorszám ütem pozícó és rtmus mellett menny t és t + pozícóbn levő hnot és rtmust hsználun fel. Véső modellünben zt feltételeztü hoy mnden elveszett hn pótlás esetén smerü z előtte szereplő három és z után szereplő három hnot és nn rtmusát. Véül eze özül s sorszámr z ütemre vlmnt z előző és övető hno rtmusár vontozó nformácó rrelevánsn bzonyult ezért nem erülte bele modellbe. A neuráls hálózt mnden nput változó numerus volt zonbn z output változót teórváltozón válsztottu ponto-

10 946 sn zért mert 3-t 4-yel összetéveszten éppen or hb mnt 3-t 5-tel zz cs töéletes eyezést fodu el ó előreelzésne. Íy neuráls hálózt 5 bemenet neuront (x3 neuront z dott hnot meelőző és övető 3-3 hn mssáár és x3-t z dott hnot meelőző és övető 3-3 hn rtmusár vontozón plusz eresett hn ütemére pozícóár és rtmusár vontozó nformácót hordozó neurono) 30 öztes neuront ( vélees optmáls topolóát z elmélet részben tlálhtó leírás lpán válsztottu melyne során több lehetsées topolóán z előreelző ereét összehsonlítv utottun el neuráls háló vélees felépítéséhez) és 4 véső neuront trtlmzott. Modelltnítás és -ellenőrzés A modelle tnításához átlosn 50 dlt hsználtun fel melye hossz 4 és 9 hn özött változott 3. Adott topoló ny számú ülönböző nduló érté mellett véső leobbn lleszedő hálót válsztottu. A változó fontossáán sorrende (lefontosbbtól leevésbé fontos) övetező volt: -yel előző hn -yel után levő hn 3-ml után levő hn 3-ml előző hn -vel előző hn -vel után levő hn pozícó rtmus. Az lleszedés és füetlen tesztelés pontossá 8 százléos volt. Az eyezősé mátrx (lásd 7. ábrát) lpán láthtó hoy leyorbb hb z 5 helyett 7 (097%) 0 helyett (089%) és 3 helyett 7 (08%) hno volt. Különösen érdees volt mevzsáln hoy mely népdlo esetében meor z elövetett hb. Lepontosbbn becsülhető népdlun Sárul már volt melyet hb nélül elzett előre modell de például Cs zt szánom z A cstár heye ltt vy z Elndultm szép hzámból dlobn elövetett hb sem érte el 8 százléot. A más véletet Most szép és Túlsó soron épvselté hol hb 39 és 36 százlé volt. 7. ábr. Eyezősé mátrx Véezetül nézzü me smét z A cstár heye ltt dlbn hol mlyen hbát vétett neuráls hálózt. 3 Mnt említettü z optmáls neuráls háló metlálásához több lehetsées felépítést s összehsonlítottun. Eze során zt tláltu hoy leobbn vseledő háló z mely dúr és moll hnnemű népdlot ülön eymástól füetlenül ezel. A vzsált dlo özött 48 dúr és 5 moll hnnemű volt.

11 ZENEI HANGOK PÓTLÁSA NEURÁLIS HÁLÓK SEGÍTSÉGÉVEL ábr. A cstár heye ltt dl neuráls hálóvl becsült ottá Mnt 8. ábrán láthtó ott mutt összesen 4 hb történt. Az első ey C6 helyett ey B5 másod ey A5 helyett ey F#5 hrmd és neyed ped D6 és C6 helyett mndét esetben A5 volt. Érdees mefyeln hoy mnd néy hb dl hrmd z A-A-B-A szerezetű ú stílusú népdl szbdbb B sorábn történt. A TOVÁBBFEJLESZTÉS LEHETSÉGES IRÁNYAI Az áltlun hsznált elárás több ránybn s továbbfeleszthető. Eyrészt z llmzás során csupán becsüln ívánt hnot meelőző és z zt övető 3-3 hnot vettü fyelembe. Ey lehetsées eészítés mely várhtón vítná neuráls háló telesítményét több led és l fyelembevétele lenne vy ey olyn beállítás mely épes myr népdlo sátos szerezetét (például z ú stílusú népdlo mlyen szemléltetésént hsznált A cstár heye ltt s szerezeténe z A-A-B-A sémáát) metnuln és zt fyelembe venn. Ey más érdees uttás rány neuráls háló és eyéb lehetsées sttszt és öonometr módszere felhsználhtósáán z összehsonlítás z elveszett hno metlálásán problémáár. A neuráls háló áltl nyútott meoldást érdees lenne összehsonlítn szértő válszol. Enne nehézsée eyrészt olyn zenemű metlálásábn rel mely szértő számár mé nem smert vszont létez teles ottépe másrészt ped szértő vlód hozzáértéséne felmérésében. IRODALOM BENEDEK G. [003]: Evolúcós zdsáo szmulácó. PhD-érteezés. BKAE. BLUM A. L. RIVEST R. L. [99]: Trnn 3node neurl networ s NP-complete. Neurl Networs. 5. évf.. sz old. JUDD J. S. [990]: Neurl Networ Desn nd the Complexty of Lernn. MIT Press. Cmbrde. Msschusetts. SUMMARY In our rtcle we del wth the theory of neurl networs. After the ntroducton of the theoretcl bcround of neurl networs we provde n nterestn pplcton. In ths pplcton we use neurl networs to fll n mssn notes of Hunrn fol sons. Our results suest tht even reltvely smple neurl networ cn perform qute well n flln n mssn notes.