Call centerek matematikai modellezése

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Call centerek matematikai modellezése"

Átírás

1 Debrecen Egyetem Informatka Kar Call centerek matematka modellezése Dplomamunka Témavezető: Dr Sztrk János MTA doktora egyetem tanár Készítette: Kovács József Programtervező matematkus szakos hallgató Debrecen 2009

2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék Bevezetés Alapvető tudnvalók a valószínűségszámítás köréből Posson eloszlás defnícója és tulajdonsága Az exponencáls eloszlás defnícója és tulajdonsága A normáls eloszlás defnícója és tulajdonsága. A standard normáls eloszlás Összefüggések a sorbanállás modellek és a Call Centerek között Sorbanállás rendszerek jellemző fogalma és a Kendall jelölés A Call Centerek, mnt sorbanállás rendszerek... 5 A Call Centerek hatékonyságmutató, és alapvető összefüggések A Call Centerek hatékonyságmutató Lttle Formula PASTA tulajdonság Erlang C ( M/M/ rendszerek ) Az Erlang C formula használata Az Erlang C formula tulajdonsága A négyzetgyökös létszámfeltöltő szabály Mennyre jó az Erlang formula? Az Erlang formula mplementálása M/G/ Modell égyzetgyökös bztonság létszámfeltöltés (Square-root safety staffng) Működtetés rendszerek, egyesítés (poolng) és méretgazdaságosság Erlang B modell (M/G// sorok) A blokkolás a gyakorlatban Az Erlang C kterjesztése Az Erlang B formula Gyakorlatok az Erlang formulára Erlang A Modell (M/M/+M sor) Türelmetlen ügyfelek Formalzálás és jelölések Az M/M//B+M Modell pontos számítása Az eloszlások közelítése és a működtetés rezsmek Implementácó Paraméterek becslése A kszolgálás színvonal Közelítések Gyakorlat szabályok Összefoglalás Irodalomjegyzék Függelék Köszönetnylvánítás

3 2 Bevezetés A telefonos ügyfélszolgálatok sok vállalat nélkülözhetetlen részét képezk, a gazdaság szerepük jelentős, és folyamatosan növekszk. Emellett nagyon érdekes szocotechnka rendszerek s ([9]), amelyekben az ügyfelek, és a munkatársak vselkedése szorosan összefonódk a fzka hatékonyságmutatókkal. Ilyen rendszerekben a tradconáls működtetés modellek nagyon hasznosak, ugyanakkor fundamentáls okok matt korlátozottan alkalmazhatóak egy rendszer teljesítményének jellemzésekor. A telefonos ügyfélszolgálatok vagy a követők, az ügyfélkapcsolat központok egyre nkább a vállaltok ügyfelekkel történő kommunkácójának preferált és elterjedt eszközevé válnak. A legtöbb szervezet, amelynek egyén ügyfele vannak, már átalakította az nfrastruktúráját, hogy egy vagy több ügyfélszolgálatot hozzon létre. Ez az átalakítás nem csak a magánvállalatokra jellemző, hanem a kormányzat vagy a sürgősség szolgáltatásokra s. Előfordul, hogy nem egy belső szervezet egységet hoznak létre az ügyfélszolgálat számára, hanem kszervezk azt. Sok esetben, például a légtársaságoknál, kereskedelm bankoknál és htelkártya társaságoknál, ez az elsődleges kapcsolat az ügyfelek felé. E telefonos szolgáltatások mnőségével és működtetés hatékonyságával szemben támasztott elvárások rendkívül nagyok s lehetnek. Egy hatalmas, úgynevezett best-practce telefonos ügyfélszolgálaton, akár több száz ügyfélszolgálatos szolgálhat k, óránként több ezer hívást. A munkaerő khasználtság foka átlagosan 90-95% között van, egyetlen ügyfél sem kap foglalt jelet a hívásakor, vszont az 50 százalékuk hívását azonnal felveszk. A várakozó ügyfelek várakozás deje néhány másodperc, és -2 százalék azoknak az aránya, akk a várakozás közben leteszk a telefont. Ezzel egydejűleg a best-practce telefonos ügyfélszolgálat nkább a kvételek közé tartozk, mntsem az uralkodó rányzathoz. A legtöbb ügyfélszolgálatnál, még a jól működőket s deszámítva, nem skerül folytonosan magas mnőségű és hatékonyságú szolgáltatást elérn. Ez részben annak s köszönhető, hogy nem vagy kevéssé smertek azok a tudományos elméletek, amelyek a best-practce működtetéshez szükségesek. A teljesítmény probléma valószínűsíthetően az ügyfélszolgálat központok növekvő komplextásával s kapcsolatba hozható. A hálózat technológák újdonsága, a képesség alapú hívásrányítás, a multméda mnd egyre nagyobb khívások elé állítják az ügyfélszolgálatok menedzsmentjét. Amíg a szmpla analtkus modellek tradconálsan fontos szerepet játszanak a telefonos ügyfélszolgálatok menedzsmentjében, sok kívánnvalót hagynak maguk 3

4 után. Kfnomultabb megközelítések kellenek, amelyek pontosan leírják működtetést a valóságban, és a valóság e modellje jelentősen javíthatják a telefonos ügyfélszolgálat hatásfokát. A dplomamunkámban lyen modellekkel szeretnék foglalkozn a témával foglalkozó szakrodalomból szemezgetve. Azonban mndenekelőtt a témakör valószínüségszámítás alapjat veszem sorra, majd a Call Centerek struktúráját, fogalm rendszerét és hatékonyságmutatót smertetem, amely elengedhetetlen az olvasónak a modellek működésének és céljanak megértéséhez. Az elmélet bevezető után elsőként az Erlang C modellt tárgyalom, amely általában a Call Centerrel kapcsolatos vzsgálódások kndulópontja. Sajnálatos hányossága matt kerül sor először az M/G/ modell vzsgálatára, amely az Erlang C modell által feltételezett exponencáls kszolgálás dőket általános hosszúságúakra kcserélve próbálja a valóság pontosabb becslését adn. Ezután az Erlang B modell kerül sorra, amely abból a valós feltételezésből ndul, hogy a Call Centerben végződtetett vonalak száma korlátozott, lletve tovább korlátozások s alkalmazhatóak az aktuáls sztuácóban. Az Erlang C modellnél lyen feltételezés nncs. Végül az Erlang A-t tárgyaljuk, amely az Erlang C azon megszorítását próbálja feloldan, hogy az ügyfelek nem várnak végtelen hosszú deg a sorban, hanem otthagyják azt, amennyben az elvárttól nagyban eltér a várakozás dejük. 4

5 3 Alapvető tudnvalók a valószínűségszámítás köréből A következő részben a Posson és az exponencáls eloszlás lényeges tulajdonságat smertetem, amelyek alapvető jelentőséggel bírnak a sorbanállás elméletek körében. Ezután a normáls és a standard normáls eloszlásokat smertetem, amelyek az M/G/ és az Erlang A modell elméletében és gyakorlatában játszk szerepet. Í A standard normáls eloszlás eloszlásfüggvényének közelítésére s felvázolok egy algortmust. Tovább részletek megtudhatóak az []-ből. 3. Posson eloszlás defnícója és tulajdonsága Legyen 0 P k p k e k!. A k, k 0,,2,... által defnált eloszlást, ahol 0 állandó, Posson-eloszlásnak nevezzük. ylván p k 0, és a k k 0 k! e képlet alapján p k k 0. Így a fent számok tényleg eloszlást alkotnak. A P k valószínűségek növekvőek, amíg k elér -t (egészrész), utána csökkenőek ( ha egész, akkor k és k esetén s maxmum van). 2 esetén a p k k e k! értéke a következő ábrán láthatóak. Ábra A Posson eloszlás A karaktersztkus függvény: t exp exp( t) A generátorfüggvény: Gz exp exp( z), A momentumok: 2 2, 5

6 2 D, 3 A centrált momentumok:, 4 2 3, A ferdeség: 2. A lapultság:. 2 Ha és 2 független Posson-eloszlásúak, lletve 2 paraméterrel, akkor 2 s Posson-eloszlású 2 paraméterrel. Rajkov belátta, hogy gaz ennek a megfordítása s: ha és 2 független valószínűség változók, és 2 Posson-eloszlású, akkor és 2 s Posson-eloszlású. 3.2 Az exponencáls eloszlás defnícója és tulajdonsága A valószínűség változót paraméterű exponencáls eloszlásúnak nevezzük, ha eloszlásfüggvénye: F x e 0, x, x 0 x 0 Ahol 0 rögzített. Ábra 2 Az exponencáls eloszlás Az exponencáls eloszlás élettartamok és várakozás dők eloszlásaként lép fel. Az exponencáls eloszlás és a vele kapcsolatos más eloszlások a sorbanállás-elméletben és a megbízhatóság-elméletben használatosak. Az exponencáls eloszlás sűrűségfüggvénye: f x e x 0,, x 0 x 0 6

7 Ábra 3 Az exponencáls eloszlás sűrűségfüggvénye Az exponencáls eloszlás jellemző mennysége A karaktersztkus függvény: t t k k! A momentumok:, k,2,... k 2 Specálsan, a várható érték és a szórásnégyzet:, D. 2 A ferdeség: 2. A lapultság: 6 2. Az exponencáls eloszlás,,örökfjú'': P t s t P s, t 0, s A normáls eloszlás defnícója és tulajdonsága. A standard normáls eloszlás. A normáls eloszláson alapul a statsztka klasszkus elméletének túlnyomó része. Az valószínűség változót normáls eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye: f x exp 2 x m 2 2 2, ahol m R, 0. 2 Jelölése: ξ~ m, Az f grafkonja az úgynevezett haranggörbe (Gauss-görbe). Az f függvény m -re szmmetrkus, f szgorúan monoton növekvő a, m ntervallumon. m -ban f -nek nflexós pontja van. m -ben f -nek maxmumhelye van, a maxmum értéke. 2 7

8 növelésével a harang alakú görbe laposabbá válk, a csökkentésével pedg csúcsosabbá. Az ábrán normáls sűrűségfüggvények láthatóak m 0 esetén. Ábra 4 A normáls eloszlás sűrűségfüggvénye A normáls eloszlásfüggvényre nncs zárt formula, de vannak jó közelítések. Ábra 5 A normáls eloszlás Ha 0, 0, akkor 0 sűrűségfüggvénye x 2 x exp at standard normáls eloszlásúnak nevezzük. A A standard normáls eloszlásfüggvény egy approxmácóját Abromowtz és Stegun írták le a [2]-ben. Ezt a későbbekben fel fogom használn az M/G/ és az Erlang A modell közelítéseben. Jelölje a standard normáls eloszlásfüggvényt. Ekkor x 0 ha x 6 n ha - 6 x 0 n ha 0 x 6 ha 6 x ahol bb t b t b t b t b t n

9 x ahol b c2 exp x, 2 t x p, 0, b, b 2 0, , b, , b, 4, b, , p 0, és c 2 0,

10 4 Összefüggések a sorbanállás modellek és a Call Centerek között Ebben a fejezetben smertetjük a sorbanállás modellek fogalm rendszerét, amelyről tovább nformácókhoz juthatunk a témához kapcsolódó egyéb tankönyvekben, például tt: [[3], [4]]. Ezután a Call Centereket, mnt sorbanállás modelleket vzsgálom, amelyről több s olvasható ebben a ckkben: []. 4. Sorbanállás rendszerek jellemző fogalma és a Kendall jelölés a). Ügyfelek beérkezés folyamata: Legtöbbször feltételezzük, hogy a beérkezés dőközök függetlenek és azonos eloszlásúak. Sok, gyakorlatban előforduló esetben az ügyfelek Posson folyamat szernt érkeznek (azaz a beérkezés dők exponencáls eloszlásúak). Az ügyfelek egyenként vagy csoportosan érkezhetnek. A telefonos ügyfélszolgálatoknál a hívók egyenként érkeznek a sorba. b). Ügyfelek vselkedése: Az ügyfelek lehetnek türelmesek és hajlandóak a várakozásra. Vagy lehetnek türelmetlenek, és elmehetnek. A telefonos ügyfélszolgálatoknál a hívó ügyfelek vselkedése specáls, mert nem láthatják az előttük álló sor hosszát. Ezért ők kezdetben türelmesebbek, majd az dő múlásával válnak egyre türelmetlenebbekké. Szokás az lyen helyzetek feloldására a telefonba bemondan a várható várakozás dőt. c). Kszolgálás dők: Általában feltesszük, hogy a beérkezés és a kszolgálás dők egymástól függetlenek, és a kszolgálás dők független, azonos eloszlású valószínűség változók. A kszolgálás dők lehetnek determnsztkusak, vagy exponencáls eloszlásúak. Ebből az s következhet, hogy a kszolgálás dők függnek a sor hosszától. d). Kszolgálás elv: Az gények kszolgálása történhet egyenként, vagy csoportokban. A kszolgálás sorrendjét tekntve beszélhetünk: a) Az első érkező távozk elsőként (frst come frst served FCSF ) b) Véletlenszerűen kválasztott c) Utolsóként érkező távozk elsőnek d) Prortásos (gyors, vagy legrövdebb kszolgálás dejűek távoznak elsőként) e) Processzor megosztásos (a processzor egyszerre szolgál k, teljesítménye megoszlk) e). A kszolgáló befogadóképessége: Egy vagy több egység végezhet az gények kszolgálását. f). Várakozás terület: Korlátozásokat vezethetünk be, fgyelembe véve a rendszerben tartózkodó gények számát. 0

11 Kendall gyorsírásos jelölésrendszert vezetett be a különböző sorbanállás modellek jellemzésére, a háromrészes a/b/c jelölést. Az első betű a beérkezés dőközök eloszlását, a másodk betű a kszolgálás dők eloszlását jelent. Például a G jelent az általános, az M az exponencáls, a D pedg a determnsztkus dőket. Az harmadk, és egyben utolsó betű jelent a kszolgálók számát. Hogy más sorbanállás modelleket s lefedjen ez a rendszer, kegészíthetjük egy új betűvel. Például egy exponencáls beérkezés és kszolgálás dejű, kszolgálóval rendelkező, és darab gény befogadására alkalmas várakozás területtel rendelkező rendszer rövdítése M/M//. Megjegyzés: A két M, Markov matt van, az exponencáls eloszlás tulajdonságára az emlékezet nélkülségre utal. Mnd a beérkezés, mnd a kszolgálás dők exponencáls eloszlásúak. 4.2 A Call Centerek, mnt sorbanállás rendszerek Tekntsük az alább ábrát. Ábra 6 Call Centerek struktúrája Ez a Call Center a következőképpen van felépítve. k darab trunk vonalon keresztül érkeznek be a hívások a Call Centerbe. Van neveznek üléseknek s. w k munkaállomás, amelyeket gyakran w számú kszolgáló szolgál k bejövő hívásokat. Ha egy bejövő

12 hívás mnd a k trunk vonalat foglaltnak találja, foglalt (busy) jelzést kap, és a rendszer tovább használata nem folytatódhat. Egyéb esetekben a hívás kapcsolva lesz a Call Centerhez, és lefoglal egyet a szabad vonalakból. Ha kevesebb, mnt kszolgáló foglalt, akkor a hívás kapcsolva lesz az egykhez, a kszolgálás megkezdődhet. Ha a hívás több mnt kszolgálót talál foglaltnak, de kevesebb, mnt k hívás van folyamatban a rendszerben, akkor egy sorban (queue) kezd várakozn arra egy kszolgálóra, hogy az szabad legyen. Ha az ügyfél türelmetlen lesz, akkor lehet, hogy feladja, melőtt kszolgálásra kerülne (abandon). Azok számára, akk végül s kszolgálásra kerülnek, a kszolgálás sorrend FCSF. Ha egy hívás elhagyja a rendszert, akkor a brtokolt erőforrások, például a trunk vonal, a munkaállomás, az kszolgáló, felszabadításra kerülnek, és elérhetővé válnak új beérkező hívások számára. Egyes hívások valamlyen okból nem kerülnek kszolgálásra, ezek egy részét újra próbálják (retrals). A több hívás, amelyet feladtak vagy foglalt jelzést kapott, számít elveszett hívásnak (lost). Végül már kszolgált ügyfelek s vsszatérhetnek (return). Vagy azért mert újabb szolgáltatásokat s génybe vennének, vagy azért mert az előző híváskor nyújtott szolgáltatással kapcsolatos problémák adódtak. Az első eset poztívnak számít, míg a másodkat általában rosszabbnak tartják. A trunk vonalak száma, a k, a rendszerben található összes, egydejűleg kszolgálás alatt lévő, vagy várakozó hívások számának felső korlátja. Hasonlóan, a hívások fogadására alkalmas kszolgálók száma, az w a felső korlátja a párhuzamosan kszolgálható hívások számának. A beérkező hívások által okozott terhelés változásanak követésére, a nap folyamán, a Call Center menedzserek dnamkusan változtatják az aktuálsan dolgozó kszolgálók számát. Bármlyen rögzített esetén konstruálható egy sorbanállás modell, amelyben a hívók az ügyfelek és kszolgáló dolgozk, a sor hívókból áll, amelyek kszolgálásra várnak, és ehhez egy kszolgálót kell kapnuk. Ha az változk, akkor a sorban lévő helyek s változnak, k -re. A rendszer bemenete beérkező hívások, letett hívások és a kszolgálás folyamatok statsztká lennének. A modell alapvető kmenete a feladott hívások számának hosszú távú alakulása, a sorban való várakozás dejének egyensúly (steady-state) eloszlása valamnt a kszolgálók foglaltságának a hosszú távú alakulása. 2

13 5 A Call Centerek hatékonyságmutató, és alapvető összefüggések 5. A Call Centerek hatékonyságmutató Ebben a fejezetben megbeszéljük a Call Center menedzsment általános céljat. A rendszer olyan hatékonyságmutatóról lesz szó, amelyek jó értéke esetén jelenthetjük k, hogy a céljank teljesülnek. Egy rendszer hatékonyságának vzsgálatakor, bzonyos dolgok rövd távon adottnak teknthetőek. Ilyenek például a büdzsé, a munkaállomások száma, az ICT (Informaton and Communcaton Technology) nfrastruktúra színvonala és a rendelkezésre álló megfelelően képzett munkaerő létszáma. Hosszú távon ezek bármelyke növelhető, de az ezzel kapcsolatos vzsgálódások nem képezk a dolgozatom tárgyát. Alapvető feltételezésem, hogy a vzsgált dőszak rövd, maxmum 30 perc. Ezen adott feltételek mellett kell vzsgáln a modellben a hatékonyságmutatók alakulását. Összefoglalva a menedzsment célja és feladata az, hogy az adott feltételek mellett a hatékonyságmutatók legjobb értéket érjék el. A következőekben parág fogalmakról lesz szó, ezért megemlítem a szokásos parág rövdítéseket s a matematka jelölés mellett. A továbbakban mnkét jelölés szerepeln fog. Az alábbakról több s megtudható tt: [0],[] és [3]. Melőtt azonban tárgyalnánk a hatékonyságmutatót meg kell említen egy általánosan használt küszöbértéket, amelynek segítségével mnden hívásról eldönthető, hogy az jó szolgáltatást kapott-e vagy sem. Ez az érték az Elfogadható Várakozás Idő (Average watng tme - AWT). Gyakran használt értéke a 20 másodperc, am azt jelent, hogy amennyben 20 másodpercnél hamarabb jutott a hívás a kszolgálóhoz, akkor az ügyfél jó szolgáltatást kapott, ellenkező esetben nem. Ezek után tekntsük át a különböző hatékonyságmutatókat. a). W t P : Telefonos szolgáltatás faktor (Telephony Servce Factor - TSF) vagy Szolgáltatás Színvonal (Servce Level - SL). Ez azt mutatja meg, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy a várakozás dő több mnt a t dő. Ez a t dő gyakran az AWT. Általában a jelölése x/t, am fordított logkát követ. Az x azoknak az aránya százalékban, akk kevesebbet várakoztak mnt t hosszúságú dő. A W t 00% megkapható. P képlettel az x b). E W : Átlagos válaszolás sebesség (Average speed of answer - ASA). Az átlagos dő, amt a hívó várakozásban tölt, melőtt az kszolgáló felvesz a hívást. 3

14 c). W t d). P Bl e). W 0 : Átlagos dőtúllépés (Average excess tme - AET). Ez a t dő gyakran az AWT. : Annak a valószínűsége, hogy az ügyfél foglalt jelzést kap. (Bl Blocked) P : Annak a valószínűsége, hogy a várakozás dő nagyobb, mnt 0. Ez azokat az ügyfeleket jelent, amelyeket egyáltalán a várakozás sorba állítunk. A legjobb kszolgálást mndg azok kapják, akk egyből kszolgálóhoz jutnak. f). P Ab: Annak a valószínűsége, hogy egy hívó feladja a hívást (Ab Abandoned). Ennek egy alacsony értéknek kell lenne. Körülbelül 3% még elfogadott parág szabvány. g). W t; Ab P : Annak a valószínűsége, hogy a hívás többet vár t dőnél, és feladja a hívást. Itt különböző esetek lehetségesek. Az ügyfél feladja egy rövd t dőn belül, például téves hívás esetén. Az a gyakorlat, hogy nem számolják azokat a hívásokat, amelyek egy mnmáls dőt sem hajlandóak várakozn. A következő t dőpont általában az AWT, am előtt a hívás feladása még nem rontja a szolgáltatás színvonalat, de fontos lehet, például később vsszahívás matt. h). E W; Ab fejeződk be. ). W; W t; Ab : Azoknak a várakozás dőknek az átlagos hossza, am a hívás feladásával E : Azoknak a várakozás dőknek az átlagos hossza, amelyek hosszabbak egy t dőnél és a hívás feladásával fejeződnek be. Itt s érvényesek a g). pontban közölt esetek. j). PW t; Ab; Bl (például AWT) kaptak csak kszolgálást. : Azoknak az ügyfelek az aránya, akk hosszabb várakozás dő után. megjegyzés: A dolgozatomban a hatékonyságmutatók által vzsgált dőszak mndg rövd lesz. Ebben bztosítható, hogy a hívásszám nem ngadozk jelentősen. 2. megjegyzés: A dolgozatom nagyobb részében feltételezzük, hogy a beérkező hívások azonos típusúak. Ez nagyban befolyásolja a beérkező hívások kszolgálásának dőtartamát, amelynek közel azonosnak kell lenne. Egyedül kvétel az M/G/ modell, amely az Erlang C modell általános kszolgálás dőkre való kterjesztése. Az előbb hatékonyságmutatók alapvetően a sorban történő várakozással voltak kapcsolatosak. Azonban meg kell említen más mutatókat s, amelyek szntén nagy hatással lehetnek a szolgáltatás mnőségére. Ezek közvetett módon befolyásolhatják a több hatékonyságmutató paraméteret s, amely az egész modell vselkedését megváltoztathatja. A 4

15 következő mutatók közvetlenül a kszolgálás mnőségével kapcsolatosak. Itt megemlítem őket, azonban később már nem foglalkozom velük a dolgozatomban. a). Első Alkalommal Megoldott Ügyek Aránya (Frst tme resoluton - FTR). A legtöbb Call Centerben az ügyfelek valamlyen probléma megoldásáért telefonálnak, hogy az erre specalzált kszolgálók kezeljék az ügyeket. Különösen hatékony, ha az ügyfelek problémáját az első alkalommal megoldjuk, és egy adott hívás nem generál vsszahívásokat a későbbekben, vagy hosszabb kezelés dőket egy deges ügyféllel kapcsolatban. Ez ugyans elronthatja azt a feltételezésünket, hogy két vzsgált dőszak között nncsen összefüggés. b). Átlagos tartásban töltött dő (Average holdng tme - AHT). Ez a mutató a Call Centerben működő folyamatok, technka eszközök és a kszolgálók kképzésének hatékonyságáról nyújthat képet. Az elérendő cél ennek a mutatószámnak a mnmalzálása. Vannak tovább hatékonyságmutatók, amelyeket meg kell említenem azért, hogy láthassuk, mennyre komplex lehet a modell. Például, mennyre barátságos a kszolgáló az ügyféllel, vagy mennyre magabztos az ügyfél problémájának kezelése közben. Ezek egy tovább rendszerelem a QC (Qualty Control) modul hatáskörébe tartozk, és például a hívások vsszahallgatásával, majd értékelésével mérhető. 5.2 Lttle Formula száma, A Lttle formula megadja az összefüggést E L, a rendszerben tartózkodó hívások átlagos E S, az átlagos tartózkodás dő, és, az egységny dő alatt a rendszerbe érkező gények átlagos száma között. Az összefüggés: E L E S Feltételezzük, hogy a rendszer megfelelő mennységű gény kszolgálására alkalmas (azaz a rendszerben tartózkodó gények száma nem válhat végtelenné). A fent egyenlőtlenséget szemléletesen a következőképpen értelmezhetjük: tételezzük fel, hogy mnden ügyfél dollárt fzet a mnden rendszerben eltöltött egységny dőért. Ez kétféleképpen történhet. Az egyk lehetőség, hogy az ügyfelek folyamatosan fzetnek. Ekkor a rendszer átlagos bevétele E L dollár. A másk lehetőség, hogy az ügyfelek az egész összeget a rendszer elhagyásakor fzetk k, mnden egységny dőért dollárt. Egyensúly helyzetben a rendszert egységny dő alatt elhagyó ügyfelek átlagos száma megegyezk az egységny dő alatt a rendszerbe belépő ügyfelek átlagos számával. Tehát a rendszer bevétele egységny dő 5

16 alatt E S. ylvánvaló, hogy a bevétel mnkét esetben ugyanaz. E pontos bzonyítást megtalálható tt: [5], [6]. 5.3 PASTA tulajdonság A kzárólag Posson beérkezésű, tehát M / / rendszerekre vonatkozó PASTA (Posson Arrvals See Tme Averages Posson Beérkezések Időben Átlagokat Látnak) tulajdonság szernt a beérkező hívások nagy átlagban ugyanazt a helyzetet találják a rendszerben, mnt amt tetszőleges dőpllanatban egy külső megfgyelő észlel. Pontosabban, ha a beérkező gények egy hányada a rendszert A állapotban találja, az ugyanazt jelent, mnt az, hogy a rendszer az dő egy hányadában A állapotban van. Ez a tulajdonság csak Posson beérkezésekre vonatkozk. A szemléletes magyarázat az, hogy a Posson beérkezések teljesen véletlenszerűen történnek. A PASTA tulajdonság bzonyítása megtalálható az tt hvatkozott művekben: [7], [8]. 6

17 6 Erlang C ( M/M/ rendszerek ) Ebben a fejezetben bemutatjuk a híres Erlang C formulát azaz Erlang késés formulát, amely a dán matematkusról lett elnevezve, ak a formulát a 20. század elején levezette. Tovább aspektusaról a [0][] és a [2]-ben olvashat. Ebben a modellben egy fajta hívás van és nncsen feladott hívás, azaz mnden hívó addg vár, amíg egy kszolgáló fel nem vesz. Az egy dőegység alatt átlagosan beérkező hívások számát jelöljük a görög betűvel -val. Az átlagos kszolgálás ntenztást jelöljük ajánlott terhelést jelöljük S -vel, és mérjük ugyanazzal az dőegységgel. Az R -vel amt az R ES / képlettel számolunk ahol az E a kszolgálás dőtartamának várható értéke. Az egységny terhelés mértékegysége az Erlang. A kszolgálók foglaltsága /( ) R. Megjegyzendő, hogy a / mennységek többsége az. dőtartamban van értelmezve, amelyek kellően rövdek ahhoz, hogy azokban ne következzen be jelentős változás. A kszolgálók számára az hosszabb távon adott. Az adott forgalmat kszolgálók egy csoportja kezel. Feltételezzük, hogy a kszolgálók száma magasabb, mnt a terhelés (ematt R ). Máskülönben, általában több hívás jön be, mnt amennyt letesznek, ematt a várakozó hívások száma folyamatosan nő, am 0 TSF-et eredményez. Ematt az és az R között különbséget a rendszer többletkapactásának nevezzük. Ez bztosítja, hogy az ajánlott terhelés változásat elnyelje a rendszer. Ezek a változások nem a és a változása matt vannak, hanem a hívás érkezések és szolgáltatás dőtartamok belső véletlen vselkedéséből eredeztethetők. Emlékezzünk arra, hogy a és a átlagok, egy rövd dőtartamra számolódnak. Sokszor azonban nagyobb hívásérkezés ntenztás van vagy a szolgáltatás dőtartam olyan hosszú, hogy a rendszer alulteljesít. Az Erlang formula ereje abban rejlk, hogy képes számszerűsíten a TSF-et (és más várakozás dővel kapcsolatos hatékonyságmutatókat) ebben a véletlenszerű környezetben, rövd alulteljesítés peródusokkal, sorok használatával. Az Erlang formula megadja a TSF-et egy adott,, és AWT mellett. A matematka szempontból érdeklődő olvasó számára a pontos formula R esetén a következő: TSF P{ Wat T ( ) T PWat T PWat T Wat 0 C(, R ) e 7

18 A C, annak a valószínűsége, hogy egy tetszőleges hívó, mnden kszolgálót R foglaltnak talál, azaz késleltetés valószínűsége. Ha R akkor a TSF 0. A következő ábrán az Erlang formula látható rögzített, és AWT esetén. A változó. Ábra 7 A TSF változása 00%-ról ndulva a TSF közel marad ehhez a felső sznthez még relatíve magas értékek esetén s. Ahogy a eljut ahhoz, hogy R / megközelít az -t akkor a TSF elkezd csökken meredekebben addg, amíg elér 0-át 7 5, 4. Ettől a ponttól kezdve a TSF marad 0%. Az SL mellet, k tudjuk számítan az átlagos válaszolás dőt, az ASA-t s. Az, hogy hogyan függenek egymástól, meg van adva az Erlang formula ASA számára készült változatával. 2 ASA E Wat PWat 0 EWat Wat 0 C(, R ) A következő dagram az ASA változásat mutatja meg az előbb használt paraméterek használatával. Látható, hogy amkor a megközelít az, 4 -et, akkor a várakozás dő meredeken nőn kezd. 8

19 Ábra 8 Az ASA változása a hatására. A késleltetés valószínűségének meghatározása nem egy köztes lépés a TSF vagy az ASA számolásakor. Az önmagában s érdekes. Elmondja, hogy menny hívó kerül be a sorba és mekkora hányaduk fog kszolgálót találn azonnal. Azáltal, hogy kszámoljuk a TSF-et egy 0 AWT-hez, megkapjuk a késleltetés százalékot 00%-ból kvonva. Ezt elosztva százzal a késleltetés valószínűséghez jutunk. Azaz: 00 a késleltetés valószínűség = 00- TSF. Eddg csak a szolgáltatás színvonallal kapcsolatos aspektusat tárgyaltuk az Erlang formulának. Szerencsére a kszolgáló oldala relatíve egyszerű. Vegyük tekntetbe azt az esetet, hogy az R, ematt R a többletkapactás. Mvel mnden hívó elér egy kszolgálót valamkor, az egész ajánlott terhelés az R, el van osztva számú kszolgáló között. Ez R / 00% produktvtást eredményez mndnek, ha azt feltételezzük, hogy a terhelés egyenlően van elosztva köztük. Ha az R, akkor telítettség (saturaton) következk be, azaz a kszolgálók egyből hívást kapnak, amnt felszabadulnak. Elméletben, lyen magas produktvtás csak rövd deg tartható fenn. 6. Az Erlang C formula használata Az előző részben láttuk, hogy az Erlang C formula az átlagos várakozás dő kszámítására használható, adott számú kszolgáló, kszolgálás és forgalom ntenztás esetén. A formula alkalmazható arra s, hogy más típusú kérdéseket válaszoljon meg, úgymnt: adott és R, valamnt a maxmálsan elfogadható ASA vagy SL mellett, m a maxmum hívás mennység dőegységenként, azaz m az a, amt az ügyfélszolgálat még kezeln tud? A 9

20 R C, komplextása matt, nem tudjuk a formulát vsszafordítan, de próba-hba módszerrel megválaszolhatjuk az lyen típusú kérdéseket. A kérdés, amelyet természetesen a leggyakrabban feltesznek, az, hogy m a legkevesebb számú kszolgáló egy bzonyos terhelés sznthez és szolgáltatás színvonalhoz. Ez szntén megválaszolható próba-hba módszerrel, de szoftverek gyakran automatkusan képesek megválaszoln. A legtöbb eszköz egy egész számot a kszolgálók számát adja vssza, mnt választ. Ennek van s értelme, hszen nem alkalmazhatunk például fél kszolgálót. Azonban, alkalmazhatunk kszolgálót fél munkadőre. Ematt, ha a szoftveres eszköz azt kívánja, hogy alkalmazzon 7,4 kszolgálót fél órára, akkor 7 kszolgálót kell alkalmazn 8 percre és a 8-at a fennmaradó 2 percre. 7 kszolgálóval alatta vagyunk a szolgáltatás színvonalnak, 8-cal felette. Ematt a rossz szolgáltatás színvonal 8 perce kompenzálódk azzal a 2 perccel, amkor az átlag felett szolgáltatunk. Ha szemét megy be, szemét s jön k. Ez a jól smert frázs jellemző az Erlang formulára s. Ematt az nput paramétereket elővgyázatosan kell meghatározn. Legnkább a várt szolgáltatás ntenztásra becsült értékkel a -vel lehet hbát elkövetn. Ennek az az oka, hogy az gyakran az összes dővel számoln kell, amelyben a kszolgáló nem vehet fel hívást. Ez azonban téves, mert az Erlang C modell számára a kszolgálás akkor kezdődk, amkor az ACD hozzárendel a hívást az kszolgálóhoz. És akkor fejeződk be, amkor a kszolgáló újra elérhetővé válk, például a hívásrányító rendszer smét hozzá tud rendeln hívást az kszolgálóhoz. Ezért a E S nem csak a hívás dőtartamát tartalmazza, hanem a reakcó dőt (akár 0 másodperc s lehet), és a szükséges utómunka dőtartamát s (am akár olyan hosszú s lehet, mnt maga a hívás). Jegyezzük meg, hogy a reakcó dő a hívó számára, mnt várakozás dő jelenk meg. Ezt fgyelembe kell venn a szolgáltatás színvonal kalkulácójánál, azaz csökkenten kell az elfogadható várakozás dőt az átlagos reakcó dővel. Egy lehetséges konklúzója az előbbeknek az lehet, hogy az kszolgálókat stmuláln kell, hogy gyorsabban reagáljanak azért, hogy elkerüljük egy extra kszolgáló ütemezését. Azonban, ezek a mechanzmusok, melyek a mennység aspektusat javítják az ügyfélszolgálatoknak, a mnőség romlásához vezethetnek, a munkahely nyomás növekedése matt. em kezeljük a humán aspektusat sem az ügyfélszolgálat munkának. Jegyezzük meg, hogy 00%-os produktvtás egyáltalán nem lehetséges, és az a többletkapactás, amt az 20

21 Erlang formula számít k, annak az egyk lehetséges eszköze, hogy a kszolgálók megkapják a szükséges, rövd szüneteket a hívások között. 6.2 Az Erlang C formula tulajdonsága Az Erlang formula smerete egy dolog, az értése egy másk. Az Erlang formulának van egy pár tulajdonsága fontos menedzser következményekkel. Ebben a részben megvtatjuk ezeket. Robosztusság: Egy kszolgálóval több vagy kevesebb, nagy eltérést okozhat az SL-ben, még a nagy ügyfélszolgálatokban s. Ez jó hír azoknak az ügyfélközpontoknak, amelyeknek alacsonyabb elvárásokat támasztó szolgáltatás színvonala van. Az SL relatíve kevés erőfeszítéssel növelhető egy elfogadható szntre. Más részről egy valamennyvel nagyobb terhelés fgyelemre méltóan leronthatja az SL-t. Általában kjelenthetjük, hogy az Erlang formula nagyon érzékeny az nput paraméterek (, és az ) egészen ks változásara. Különösen abban az esetben, amkor az R közel van az -hez, amnt az előző ábrákon s látható volt. A görbe egyre meredekebb lesz, amnt a megközelít az -t, és ezek a ks változások a vízszntes tengelyen, nagy változást okoznak a függőleges tengely mentén. Ez az érzékenység nagyon nehézzé tesz a Call Center menedzser feladatát. A hívások érkezésének ks, előre nem megjósolható változása vagy néhány kszolgáló nem várt hányzása tönkre tehet az SL-t. Az által a TSF-re gyakorolt hatás megfgyelhető tt [Ábra 2] s. Az dő nyújthatósága. A másodk tulajdonság a hívás sajátosságaval, például a és a abszolút és a relatív értékevel kapcsolatos. Emlékezzünk, hogy a terhelés az összefüggéssel írható le. Ha mnd a mnd a R megkétszereződk, akkor a terhelés ugyanaz marad. Ez nem jelent, hogy ugyanazon számú kszolgáló kell a egy meghatározott szolgáltatás színvonal eléréséhez. Ha a -t megszorozzuk ugyanazzal a számmal, amvel a -t, akkor a terhelés ugyanaz marad, de ez olyan mntha a rendszer lelassulna. A várakozás dő bzonyíthatóan nő. Ha az AWT-t megszorozzuk ugyanezzel a számmal, akkor a TSF nem változk. Az ASA és az dő nyújtása között kapcsolat komplkáltabb. Ks túlzással elmondhatjuk, hogy a terhelés nem érzékeny az dő nyújtására. Egyes hatékonyságmutatók csak az R és az értékétől függenek, de nem függenek vagy a értéketől külön-külön. A késleltetés valószínűsége, a R C, jó példa erre. Ugyanaz nem 2

22 tartható a TSF-re, mert a és értékre, az SL csak az és a aktuáls értéke fontos szerepet tölt be. Valójában, adott T értékétől függ. Ezért, ha az dőt nyújtom, és az AWT s hasonlóan nyújtva van, akkor a TSF ugyanaz marad. Természetesen ez csak az elmélet, habár az a gyakorlat, hogy az AWT magasabb olyan Call Centerekben, ahol hosszú beszélgetés dők vannak, összehasonlítva olyanokkal, ahol csak rövd deg tartanak a beszélgetések. Az ASA számára az dő nyújtása szmpla. Az ASA-t ugyanazzal a faktorral kell nyújtan. Méretgazdaságosság. Másk jól smert tulajdonság, hogy a nagy Call Centerek hatékonyabban dolgoznak. Ez a méretgazdaságosság hatása: ha -et megduplázzuk, akkor a -t több mnt kétszeresére növelhetjük, malatt megőrzzük ugyanazt az SL-t, feltételezve, hogy a és az AWT konstans marad. R Ábra 9 A TSF alakulása a produktvtás függvényében a két különböző Call Centerben Hogy mélyebb betekntést nyújtsunk a méretgazdaságosság témakörében, két sztuácót rajzoltunk fel a fent ábrára. A TSF értéket rajzoltuk fel 7 és 4 kszolgáló esetén. A produktvtást tettük a vízszntes tengelyre, és a TSF-et a függőlegesre. Látható, hogy a görbe meredeksége nagyobb, olyan produktvtás értékek esetén, amelyek -hez közel vannak, am az Erlang formula érzékenységét fejezk k a paraméterek kcsny változtatása esetén. Fontos azonban megjegyezn, hogy a relatív javulás méretükben növekvő Call Centerekben csökken, ahogy a méret egyre növekszk. Az abszolút javulás azonban lassan de, növekszk. Varácók a várakozás dőknél. Vegyünk két Call Centert. Az egyknél, és 8, míg a másknál 20, 3, és 8 szntén. Mndkét Call Centernél a TSF 5 22

23 86% körül alakul, AWT=20 másodperc esetén. Akkor ez azt jelent, hogy a két Call Center várakozás dő összehasonlíthatóak? em. Ennek tsztázására, vessen egy pllantást a következő ábrára, ahol a várakozás dők hsztogramjat ábrázoljuk, a két Call Centerben. A jobb oldalon azok a hívók vannak, amelyeknél a várakozás dő meghaladja a 00 másodpercet. Látjuk, hogy az első Call Centerben, amelyet folytonos vonallal jelölünk, az ügyfeleknek vagy egyáltalán nem kell várakoznuk vagy nagyon hosszú deg várakoznak. Tulajdonképpen alg van hívó, amely ebbe a két kategórába nem esk bele. A másodk Call Centerben kevesebb hívó kap kszolgálót egyből, de nagyon kevesüknek kell sokat várn. Ábra 0 A várakozás dők hsztogramja két különböző Call Centerben Két konklúzó vonható le ebből a példából. Először: a TSF nem mond el mndent. De sokkal fontosabb az, hogy a Call Center karaktersztkájától függően, több vagy kevesebb varácója lehet a várakozás dőknek. Csak például a TSF több AWT-vel való alapos megvzsgálása tudja felfedn egy bzonyos Call Center karaktersztkáját. A fennmaradó várakozás dő. Amkor beállunk egy sorba (például a postánál, vagy a szupermarketban), akkor meg tudjuk becsüln a fennmaradó kszolgálás dőt az előttünk a sorban lévő ügyfelek számára alapozva. Általában a fennmaradó várakozás hosszának becsült értéke csökken, mközben várakozunk, amatt, hogy látunk ügyfeleket távozn előttünk. De m van fennmaradó várakozás dővel láthatatlan sorokban, mnt amlyen a Call Centerekben s van? A matematka szernt az Erlang C modellben a fennmaradó várakozás dő állandó. Ezért nem számít, menny deg várakozunk, az átlagos fennmaradó várakozás dő mndg ugyanaz. Hogyan lehet magyarázn ezt az első látásra nem logkus jelenséget? Amkor bekerülünk a 23

24 sorba, arra számítunk, hogy bzonyos számú hívás várakozk a sorban előttünk. Amkor kcst várakoztunk, azt a következtetést vonjuk le, hogy a sor láthatóan hosszabb, mnt amre számítottunk. Az Erlang formulából az következk, hogy ameddg várakozunk, az ügyfelek remélt száma mndg ugyanaz marad. Lehetséges következmény lehet az ügyfelek számára az, hogy senknek sem szabad letenn a kagylót malatt várakozk. Mért tenné le valak perc után, ha a fennmaradó várakozás dő ugyanaz marad, mnt akkor, amkor kezdte a hívást. A gyakorlatban azonban vannak jó okok s arra, hogy bzonyos dő után lerakjuk a telefont, mnt ahogy vannak jó okok a vonalban maradásnak s. A hívás feladása mellett szóló érv, hogy az ügyfelek nem tudják a Call Center paraméteret, és ematt nem tudják azt sem, hogy m az átlagos várakozás dő abban a Call Centerben. Mnél tovább várakozk valak, annál nagyobb az esélye annak, hogy egy olyan Call Centerbe telefonál, amelynek nem kedvezőek a paramétere, és ezért a fennmaradó várakozás dő még nő s! Másrészről, az Erlang C formula nem számít a hívások feladására. Ha valaknek a türelme nagyobb, mnt azoké, akk előtte vannak a sorban, akkor ők valószínűleg előtte leteszk, és az llető végül k lesz szolgálva. Egy olyan rendszerben, ahol a hívásokat tesznek le a sorban, az átlagos fennmaradó várakozás dő csökken a várakozás során. 6.3 A négyzetgyökös létszámfeltöltő szabály Eddg láthattuk, hogy a méret növelése előnyökkel járhat a produktvtás és/vagy a szolgáltatás színvonal javítására. Ezek az előnyök az Erlang C formula használatával számszerűsíthetőek. Hogy egy általánosabb értéshez jussunk, egy gyakorlat szabályt formálunk, amely rögzített szolgáltatás színvonal mellet teremt kapcsolatot a hívásmennység és a kszolgálók száma között. Ez a kapcsolat a következőképpen néz k: többlekapactás _ % - ban állandó. Az állandó a formulában kapcsolódk a szolgáltatás színvonalhoz, a formula ematt csak a többletkapactástól és a kszolgálók számától függ. A többletkapactás aránya a formulában a 00 R összefüggéssel adható meg. A gyakorlat szabályból így kapjuk meg a következő eredményt. Ha a Call Center négyszer akkora lesz, akkor a többletkapactás körülbelül fele akkora marad. Másfelől, könnyen benyomást szerezhetünk arról, hogy mekkora lehet a beérkező hívásmennység, ha változtatjuk a foglaltság szntjét. Gyakrabban azonban a kszolgálók 24

25 számát szeretk meghatározn egy megnövekedett hívásmennység kezeléséhez. Ennek a kszámítása azonban komplexebb. Ha c -vel jelöljük a konstanst, amely a szolgáltatás színvonalhoz kapcsolódk, akkor a formula -re a következő: c c R 2 Ha a c egy nagyon kcs érték, akkor látjuk, hogy az arányos az R -vel. Ez azt jelent, hogy a méretgazdaságosság növekedés potencálja ksebb lesz nagyon nagyméretű Call Centerekben, mvel ezeknél a méretgazdaságosság már most s a lehető legnagyobb. Hogy m számít nagynak ebben a kontextusban, az a szolgáltatás színvonaltól függ. 6.4 Mennyre jó az Erlang formula? Ebben a részben az Erlang formula gyenge pontjat vesszük sorra, és annak a mélyén meghúzódó feltételezéseket. Ez fog motváln más kfnomultabb modelleket, amelyekről szó esk majd a későbbekben. Meglepő lehet, hogy az ASA nagyobb, mnt 0, holott többletkapactás van. Az ok a hívások érkezésének és a kszolgálás dőtartamának változékonyságában keresendő. Ha az érkezés dőpontok között egyforma dőablak lenne, és a hívások hossza állandó lenne, akkor soha nem lenne várakozás. Azonban egy véltetlen környezetben, mnt amlyen a Call Center s, kapactáshány mutatkozhat egy rövd deg. Ematt van a sorbanállás s. A sor végül kürül mndg, ha megfelelő deg többletkapactás van. Az Erlang formula számszerűsít a várakozás mennységét (ASA-ként vagy TSF-ként) egy bzonyos típusú random érkezéshez és kszolgálás dőhöz. Ematt a matematka véletlenen alapuló folyamatok, amelyek modellezk az érkezéseket és a távozásokat, nem mások, mnt közelítések. A közelítés mnősége és a formulának, a modell különböző aspektusanak megváltozására való érzékenysége eldönt, hogy a képlet elfogadható eredményeket ad-e. Most foglalkozzunk a háttérben levő feltételezésekkel, és beszéljük meg a közelítések következményet. Hívás feladása. Egy jól dmenzonált Call Centerben néha lerakják a telefont a sorban. em modellezn ezeket azért nem durva egyszerűsítés. De vannak olyan Call Centerek, amelyek azért mutatnak teljesen más vselkedést, mnt amt az Erlang formula jósol, mert nem számolnak a modellben, a hívások feladásával. Általában kmondható, hogy a hívások feladása csökkent a várakozás dőt mások számára, am jó az SL számára. Olyan Call Centerekben, ahol az R közel van, vagy esetleg meghaladja az -t, krtkus, hogy 25

26 modellezzék a hívások feladását. Ezek modellezésével foglalkozk a később tárgyalt Erlang A modell. Újratárcsázás. Míg a hívások feladása relatíve jól értett dolog, az Erlang C formula gazán nagy probléma nélkül kterjeszthető, hogy számoljon azzal. Ez nem gaz arra az esetre, amkor az ügyfelek, akk egyszer letették, újratárcsáznak. Kevés tudott azon ügyfelek vselkedéséről, akk újra próbálkoznak csakúgy, mnt ezt a vselkedést matematkalag jól modellező rendszerekről sem. Csúcsok a terhelésben. Formálsan, az Erlang formula nem enged ngadozásokat a beérkező terhelésben. Azonban, mnden Call Centerben vannak napon belül változások s. Addg, amíg ezek a változások lmtáltak, és am a fő, hogy nncsenek kapactáshányos peródusok, az Erlang C formula jól teljesít azokban a peródusokban, ahol csak ks fluktuácó jelentkezk a terhelésben vagy a kszolgálók számában. Az Erlang C formula különböző dő ntervallumokban történő használatakor, a teljes képet átlag számításával kaphatjuk meg. Azonban akkor, amkor a kapactáshány történk, a felgyülemlett hívások áttolódnak egyk peródusból a máskba. Ezt a lemaradást explct módon modellezn kell, de ez nem lehetséges az Erlang C formula keretén belül. Ezért az Erlang C formula nem alkalmazható kapactáshány esetén. A forgalom rövd csúcsanál egyértelmű kapactás kalkulácók alkalmazhatók, amelyek fgyelmen kívül hagyják a rendszer random vselkedését. A dolgozatban ksebb dőperódusokat feltételezek, amelyek nncsenek hatással egymásra, azaz függetlenek. A hívás dőtartamok típusa. Az Erlang C formula azon alapul, hogy a szolgáltatás dők az exponencáls eloszlásból jönnek. Anélkül, hogy a matematka részletebe mennénk, megjegyezhetjük, hogy a mnden poztív érték elképzelhető hívás dőtartamként, ematt nagyon hosszú és nagyon rövd értékek s. Azonban a legtöbb az átlag alatt van. Bzonyos mérések a standard telefonos forgalmon mutatják, hogy a hívástartamok megközelítően exponencálsak, habár az rodalom eredménye nem teljesen értenek egyet ebben a tárgyban. Tpkus eset, amkor több hívástípus van különböző híváshossz átlagokkal, vagy amkor a hívás mndg eltart legalább egy meghatározott mnmáls deg. Ilyenkor a hívástartamok nem exponencálsak. Ebben az esetben, érdekes lehet tudn, mlyen hatással vannak a különböző kszolgálás dők az Erlang C formulára. Bzonyos elővgyázatossággal k lehet következtetn, hogy csak az átlagos hívástartamnak van fontos hatása a Call Center teljesítményére. 26

27 Az általános eloszlású kszolgálás dőkkel kterjesztett Erlang C modellel, az M/G/ modellel foglalkozó fejezet foglalkozk. Ember vselkedés. Eddg fgyelmen kívül hagytuk a kszolgálók vselkedését, a hívás felvételénél felhasznált reakcódőt leszámítva. Azonban a kszolgáló vselkedése nem olyan egyszerű. Az alkalmazottak kvehetnek rövd szüneteket, hogy kávézzanak, megbeszéljenek dolgokat stb. Az ember vselkedést modellezn, nagyon nehéz feladat, leírn és számszerűsíten pedg még nkább. A legtöbb sztuácóban ezek a ks szünetek akkor vannak, amkor nncs hívás a sorban. Ematt várható, hogy ks hatása van az SL-re. Más sztuácókban nagyobb hatása van arra, és komolyan lmtálhatja a mennység modellezés lehetőséget. 6.5 Az Erlang formula mplementálása A korábbakban adtunk egy formulát az ASA és a TSF kszámítására az Erlang modellben. A késés valószínűség fontos szerepet töltött be ebben a formulában. Ez a valószínűség a következő formulában adott: s a C( s, a) ( s )!( s a) C(, R ) m0 ( R m s j0 / m!) ( R j s a a j! ( s )!( s a) m0 ( R m / m!) /!)(/( R / )) Emlékezzünk, hogy az a kszolgálók száma, és az R a beérkező terhelés: a beérkezés ráta és az átlagos híváskezelés dő hosszának szorzata, azaz R. A formula csak akkor működk, ha R, egyébként mnden hívásnak a sorban kell várakozna, ematt a késés valószínűsége. Ez nem az, amt a formula ad, ezért az R feltételt kell először vzsgáln. Ha az R, akkor a fent formulát kell kszámoln. Azonban ez gyakran numerkus túlcsorduláshoz vezet, am matt teljesen rosszak lesznek az eredmények. Például, ha az R m -t számítjuk, am a fent összegzés része, és már R m 50 esetén s extrém nagy m! számok osztásához vezet. Ezt krtkus elkerüln a korrekt eredmény szempontjából. Ematt, átírjuk a formulát a következőképpen, egyértelmű átalakításokkal: R C ( R, ) R m0 ( )...( m ) R m 27

28 28 Koncentráljunk a 0 ) )...( ( m m R m összegre. Ezt máshogyan kfejezve a következőt kapjuk: R R R amt már könnyű mplementáln. Ezt a késleltetés valószínűséget a legnehezebb megkapn az Erlang formulában. Ezután az ASA és az SL már könnyen meghatározható. Megsmételjük a formulát az ASA-ra, amelyet matematka jelöléssel W -nek jelölünk: R R C W ), ( Az SL kssé komplexebb, mert az e matematka állandót s magában foglalja. R t R e C W t ) ( ), ( Itt a P-t úgy kell olvasn, hogy annak a valószínűsége, hogy..., és a t az AWT szerepét tölt be. A Call Centerekben sokszor az a kérdés, hogy egy adott szolgáltatás színvonalhoz m az elvárt mennységű kszolgáló, azaz az? Ez a típusú kalkulácó úgy történk, hogy az SLt smétlődően kszámolják különböző -hez, egy mnmáls -t vesznek kndulásként, például, amkor R. Ezután -t -gyel növeljük addg, amíg elérjük a kívánt szntet. Ekkor megtaláltuk a megfelelő -t. Beszéltünk egy alternatív hatékonyságmutatóról s: amt átlagos dőtúllépésnek neveztünk. A matematka jelölése t W, ahol a t megnt egyenlő az AWT-vel. Az AETet a következő formulával adjuk meg. t R R e R C t W ) ( ), ( A ehhez tartozó ábra a függelékben található: [Ábra 22].

29 7 M/G/ Modell Erlang C alapú jóslatokról gyakran derül k, hogy nagyon pontatlanok az alapul szolgáló feltételezések megsértése matt, és e sérülések modellezése nem egyértelmű. Például a nem exponencáls szolgáltatás dők az M/G/ sorhoz vezetnek, amely erősen különbözve az M/M/ soroktól analtkusan konok. Erről a témáról többet s megtudhat tt [], vagy az ebben a fejezetben található tovább hvatkozásoknál. Ematt hasznosak lesznek az approxmácók mnd a megértés, mnd a modell robusztussága matt. Amkor Call Centereket modellezünk, a legnkább hasznos approxmácók tpkusan azok, amelyek nagy forgalmú rendszerek számára készültek, azok ahol a kszolgáló khasználtság magas. A magas forgalom feltételezése természetszerűen tükröz a magas fokon khasznált, hatalmas Call Centerek működtetésének természetét, a gyakorlatban a csúcsdőszakok feltételet, amelyek meghatározzák az egész rendszer nagyságát. Tekntsük az M/G/ sort. Ks és közepes számú magas fokon khasznált kszolgálónál alkalmazható Kngman klasszkus Torlódás törvénye (Law of Congeston) [4] amely azt állítja, hogy a késés a sorban megközelítőleg exponencáls, amelynek a középértéke a következő: 3 E A várakozás azm/g/m soroknál Evárakozás azm//m soroknál S 2 c s ( S) / E ( A várakozás dők szórása osztva a várakozás dők várható értékével ) jelöl a kszolgálás dő varácós együtthatóját, egy mértékegység nélkül mennység, amely természetes módon mér a sztochasztkus változékonyságot. Továbbá ez a magas forgalmú rendszerhez tartozk, hogy alapvetően mnden ügyfél tapasztal ném késleltetést melőtt kszolgálásra kerül. Ekkor adott C (, R) esetén az Erlang C ASA a következőképpen alakul. E várakozás az M/G/M soroknál ES 2 Ebből tsztán látható, hogy mnd a khasználtságnak, és a 2 c s 2 c s c s sztochasztkus változékonyságnak hatása van a torlódásra, a valóságban ez nem-lneárs, konvex módon növekvő. Valóban még a khasználtságban ( -ban ) bekövetkező kcsny változásoknak s 29

30 lehet nyomasztóan negatív hatása a magas fokon khasznált rendszerekben. A teljesítmény lerontható hosszabb és változékonyabb kszolgálás dőkkel, megnövelt párhuzamossággal azaz -nel. E S -el és 2 cs -el, de javítható 7. égyzetgyökös bztonság létszámfeltöltés (Square-root safety staffng) A kszolgálók csapatának nagysága nap közben nagy, gyakran fő. A terheltség cél nagy, de nem a maxmáls forgalmú dőszakokban. Mközben a közelítések a maxmáls vagy könnyű forgalmú dőszakokhoz készültek addg az általunk vzsgált régó a kettő közé esk. Tpkus az, hogy a kszolgálók 90-95%-a foglalt az zsúfolt dőszakokban, de a kszolgálók nagy számának köszönhetően csak az ügyfelek fele van késleltetve (Sze [5]). A (3)-es közelítés a gyakorlatban azonosítja az exponencáls kszolgálás dőket, mnden más kszolgálás dővel együtt, ekkor a c. Később látható lesz, hogy ez az azonosítás pontatlanná válk sok, magas fokon használt kszolgáló esetében. s Valóban, a legtöbb Call Centernél az nem 0 alatt, hanem több 0 vagy 00. És a nagyobb teret ad aszmptotkus rendszerek számára, amelyek különböznek a Kngman törvényében megfogalmazottól, mert az ügyfelek jelentős hányada nem szeret várn, és a szolgáltatás mnőségének óvatos egyensúlyban kell lenne a kszolgálók hatékonyságával. Az lyen elvárásokkal rendelkező rendszereket QED (Qualty and Effcency Drven) azaz Mnőség és Hatékonyság Vezérelt működtetés rendszereknek nevezzük. Később rövden egy másk rodalomban használt fogalommal, Raconalzált rezsmnek nevezzük [3]. A QED rendszer a M/M/ rendszerek számára először Halfn és Whtt [6] által lett analzálva. Formálsan ebben a rendszerben a kszolgálás ntenztás, a fx úgy, mnt a 0, a Wat 0 P számára. Ez úgy van defnálva, hogy némelyk, de nem mnden ügyfél várakozk a kszolgálásra. Ha a és az s tart a végtelenhez, akkor Halfn és Whtt demonstrálják, hogy: 4 Wat 0 P Ha egy görbének (lehet az függvénygörbe s) a végtelenbe vesző vége tetszőlegesen megközelít egy egyenest, de azt soha el nem ér, akkor e görbének ez a vége aszmptótkus tulajdonságú, és az az egyenes, amhez közelít, az a görbe aszmptótája 30

31 Ábra Optmáls a lneárs várakozás és létszámfeltöltés költségekre (Borst et al. [7]) bzonyos fx szolgáltatás gradensekre 0, a következő aszmptotkus kfejezést adták az Erlang C formulához: 5 P Wat 0 P úgy hogy a /. Ekkor ők ahol a P() a (4)-ben. Itt a és a egyenként a standard normáls eloszlás- és sűrűségfüggvénye (középértéke 0 szórása ). Egy fx szolgáltatás gradenshez a (4) sugallja a négyzetgyökös bztonság létszámfeltöltést, amely azt ajánlja, hogy a kszolgálók száma az legyen: 6 R R R 0 ahol, smét R / az ajánlott terhelés. Jegyezzük meg, hogy a (4) precízebben ekvvalens a R, de a, ezért, a két kapcsolat alapvetően ugyanazt jelent. A R a bztonság létszám a sztochasztkus változékonyság kküszöbölésére. Jegyezzük meg, hogy a 0 -hoz 00%-os vagy annál nagyobb khasználtság tartozk, ematt egy nstabl rendszer. Ahogy a növekszk úgy nő a bztonság létszám szntje. Megfordítva, PWat 0 P csökken a csökkenő esetén. Emlékezzünk arra, hogy a Wat 0 Wat exponencáls eloszlású középértékkel. K lehet következtetn (), (2) és (6)-ból, hogy a négyzetgyökös bztonság létszámfeltöltés R esetén az ASA: 7 E EWat PWat 0 EWat Wat 0 PWat 0 S 3

32 összefüggést nyerjük. Csakúgy, mnt a következő egyszerű kfejezést a késés eloszlására (TSF). 8 P ( T / ES ) Wat T PWat 0 e Végtelen számú kszolgálóval rendelkező rendszerek esetén egy adott hívás által foglaltan talált kszolgálók számát Posson eloszlással írhatjuk le, és a heursztka feltételez, hogy hatalmas véges rendszerek esetén ez közel Posson, ha a késleltetések nem uralkodóak. Megfordítva a Posson valószínűség változó R középértékkel megközelítően egy normál eloszlású valószínűség változó R középértékkel és R szórással. Ekkor legyen egy határ valószínűség érték a késéshez, amt jelöljünk -val, és válasszunk egy -t úgy, hogy: ( ) ( ) Ez bzonyított a következővel: P Wat 0 PA foglalt kszolgálók száma PR Z R R R ( ) Itt a Z a standard normáls eloszlás valószínűség változóját jelöl, és a PASTA tulajdonság bztosítja, hogy a P Wat 0 PA foglalt kszolgálók száma. Egy kcsny P Wat 0 esetén, ( ) P ( ) és a heursztka ajánlata alapvetően lleszkedk arra, amt Halfn és Whtt leír. Borst et al. [7] bzonyítja, hogy a négyzetgyökös elméleten alapuló különböző természetes késés költségfüggvények és a létszámfeltöltés, valójában jól működnek hatalmas, erősen terhelt rendszerekben. Hogy mnmalzáljuk a költségeket, optmáls, hogy a QED rendszerben dolgozzunk. Ugyanezt a következtetést vonhatjuk le, amkor mnmalzáljuk a létszámfeltöltés szntjét, amely a teljesítmény mérés megszorításanak tárgya, am elterjedtebb a gyakorlatban. A négyzetgyökös létszámfeltöltés kvételesen pontos és robusztus. Tesztelve lett Borst et al. által mnden rendszerben, nagyon gyenge forgalmútól a nagyon erős forgalmúg, és nagyon rtkán tér el többel, mnt egyetlen kszolgáló a pontosan optmáls létszámtól. Meghatároz egy eszközt az optmáls meghatározására, amelyet ők dmenzózásnak (dmensonng) neveznek. Az Ábra (feljebb) bemutatja az optmáls -t, amkor a várakozás költsége és a munkaerő költsége egyaránt lneárs függvénye az dőnek. Ebben az 32

33 esetben jelölje az r az óránként késleltetés költség és a kszolgáló óránként költségének arányát. Ekkor, az optmáls látható, hogy kvételes módon lassan növekszk az r -rel: r r / r 2ln / 2 r / / 2 ln2lnr / / 2 0 r 0 0 r A Ábra baloldal részén látható, hogy r 0 esetén am azt jelz, hogy a késleltetés költség 0-szer nagyobb, mnt a munkaerő költsége az optmáls körülbelül,68. Egy olyan Call Centerben, ahol az ajánlott terhelés R=400, a számítások alapján a bztonság létszám 34 fő (, , 6 ) és a Call Center ekkor 92,2%-os khasználtsággal ( ) üzemel. 7.2 Működtetés rendszerek, egyesítés (poolng) és méretgazdaságosság A négyzetgyökös bztonság létszámfeltöltés elmélete újabb rálátást bztosít a méretgazdaságosság természete szempontjából az M// rendszerekben. A gyakorlatban, Borst et al. analízse a három aszmptotkus esetet vzsgálja, és mndegyk különböző méretgazdaságosságot mutat. Az első esetben az ügyfelek várakozás költsége domnálnak a kapactás költségevel szemben, és az optmáls létszámpoltka aszmptotkusan fx khasználtság rátát alkalmaz. A létszámfeltöltés szntje lneársan nő az ajánlott terheléssel, és nncs méretgazdaságosság. Egy hatalmas rendszerben a hívók túlnyomó része mndenféle késedelem nélkül kszolgálásra kerül. Ezt mnőségvezérelt rendszernek nevezk. Egy példa lehet a mnőségvezérelt rendszerre az IVR működtetése. Itt a kapactás relatíve olcsó a kszolgáló költségéhez képest. Hogy motválják az ügyfeleket az önkszolgálás rányába, a vállalatok bztosítják, hogy a kapactás bőséges legyen, hogy a hívók soha ne észleljenek torlódást. A másk véglet az, amkor a létszámmal kapcsolatos költségek domnálnak az ügyfelek késleltetésével szemben. Ebben az esetben, az optmálson felül többlet létszám aszmptotkusan fx az optmáls rendszerben. Ez az, amely szükséges az ajánlott terhelés csúcsanak a kezeléséhez. Ematt, ha a terhelés növekszk, akkor nagyon hamar elér a 00%- ot a rendszer khasználtsága. 33

34 Ezt hatékonyságvezérelt rendszernek nevezzük. Példákat találhatunk e-mal csatornán keresztül kommunkáló kontakt centerekben, és olyan help-desk üzemeltetésekben, ahol ngyenesen szolgáltatnak olyanoknak, akk nem régen vásároltak hardvert vagy szoftvert. Ezekben a rendszerekben, alapvetően mnden ügyfél késleltetve van a sorban, az ASA majdnem anny, mnt a várt kszolgálás dő, és a kszolgálók majdnem 00%-os khasználtsággal dolgoznak. Ezek között a végletek között vannak azok a Call Centerek, amelyek a mnőség és hatékonyságvezérelt (QED) rendszerek közé esnek, ahol a mnőség és a hatékonyság megfelelően egyensúlyozott. Ahogy növekednek, ezek a rendszerek mutatják mnd a méretgazdaságosság (hatékonyságvezérelt rendszerek), mnd pedg a magas fokú elérhetőség jelet (mnőségvezérelt rendszerek). Emlékezzünk arra, hogy a QED rendszer fő jellemzője, hogy van az ügyfeleknek egy része, amelyet késleltetünk, de ez a rész sem nem 0-hoz közel, sem pedg az egyhez. A méretgazdaságosság az, am matt a QED rendszer megkerülhet a tradconáls egyezményt a szolgáltatás színvonal és az erőforrások hatékony felhasználása között. Hogy javítsuk ennek a megértését, tekntsük a következő problémát, amely gyakran kerül a Call center menedzserek elé. Ez pedg a földrajzlag szétszórt Call centerek egyesítése. Ezt az egyesítést lehet, hogy fzkalag érk el, azáltal, hogy bezárnak egyeseket, és kterjesztenek másokat. Vagy vrtuálsan, a hálózat technológák használatával, amt lehetővé tesz a hívások rányítását különböző területek között. Ehhez a problémához összehasonlíthatjuk az egyes rendszereket, mlyen a hatásuk a méretgazdaságosságra az egyesítés következtében. Első lépésként, használjuk a () és (2)-őt hogy defnáljuk a következő (7)-(8)-tel analóg összefüggéseket. ~ Wat ASA E Wat 0, ES és ~ Wat TSF P E S T Wat 0 e T Jegyezzük meg, hogy ezek a defnícók megváltoztatják az ASA és a TSF standard verzót, mégpedg kétféle módon: új feltétel, hogy a késleltetés nem nulla, és a várakozás dő a várható kszolgálás dőtartamban, mnt mennység egységben van mérve. Ez teret ad 34

35 egyszerű kfejezéseknek, hogy elvégezhessük az egyes rendszerek között egyértelmű összehasonlítást. Észrevesszük, hogy a mndhárom rendszerben az egyk hatékonyságmutató fx, amely ezután meghatározza a többt. a). A hatékonyságvezérelt rendszerben a többletkapactás a fx és ematt az T SF ~ s. b). A mnőségvezérelt rendszerben, a rendszerkhasználtság R R konstans c). A QED rendszerben a szolgáltatás gradens a és PWat 0 P a fx. A S ~ A Ezután nézzük meg, m a hatása m statsztkalag azonos Call center egyesítésének egyetlen közös működtetés alá. Mnden Call centerben ugyanaz a és a. A beérkezés ráta m lesz, míg a nem változk. A hatékonyságvezérelt létszámfeltöltésnél, a szolgáltatás gradens csökken -ról m -re, és a késleltetés valószínűség növekszk lehet már akár ks m értékek esetén s). Jegyezzük meg, hogy az P -ről, P m A S ~ A és a T S ~ F és a -re (am jelentős s ugyanaz marad. Ahogy m tart a végtelenhez, a rendszer gyorsan konvergál ahhoz az állapothoz, ahol mnden kszolgáló 00%-osan khasznált. Így a rendszer egy darab kszolgálóhoz hasonlít, amely m -szer gyorsabban dolgozk, és alapvetően mnden ügyfél késleltetve lesz. Egy mnőségvezérelt rendszerben jelentős általános szolgáltatás mnőségjavulás van. A SA ~ csökken A SA ~ / m -re, a P -ről, P m kszolgálásra kerül. T S ~ F csökken T SF ~ m -re és a késés valószínűség csökken -re. Ahogy m tart a végtelenhez, alapvetően mnden ügyfél azonnal Végül a QED rendszerben, a szolgáltatás gradens és a várakozás valószínűsége defnícó szernt konstans marad. Kontrasztképpen A S ~ A csökken A SA ~ / m -re, a T S ~ F csökken T SF ~ m -re. Jegyezzük meg, hogy ez a rendszer hatékonyságvezérelt (a khasználtság nő 00% felé), és mnőségvezérelt s egyszerre (egy jelentős része az ügyfeleknek, nevezetesen P, azonnal kszolgálásra kerül). Összefoglalásképpen tekntsük át a következő ábrát. 35

36 Ábra 2 Az Erlang C, a hatékonyság-, mnőségvezérelt és QED rendszerekben [8] 36

37 8 Erlang B modell (M/G// sorok) 8. A blokkolás a gyakorlatban A Call Centerekben néha adott a technka [0], hogy a menedzserek változtatn tudják az aktív trunk vonalak számát, a k -t. Például a ksebb k érték csúcsdőszakban csökkent a feladott és a várakozó hívások számát. Ez azzal jár, hogy például zöld számok használata esetén a kommunkácós költség csökkenthető. Hátrány azonban, hogy a foglalt jelzést kapó ügyfelek száma növekszk. Elméletleg az Erlang C modell tetszőleges számú ügyfelet enged sorba rendezn a modellben. Ez nem csak azért nem valósulhat meg, mert a gyakorlatban az ügyfelek feladják a hívást, de a vonalak száma s lmtált, amelyekkel a Call Centerhez lehet csatlakozn. Ezt az úgynevezett blokkolást soha nem lehet fgyelmen kívül hagyn. éha még akkor s érdemes blokkoln ügyfeleket, ha vannak szabad vonalak. Ez növel a blokkolás rátát, de csökkent a sorba állított ügyfelek átlagos várakozás dejét. Ezen kívül a produktvtást s csökkent. Hogy a vonalak megfelelő számát kszámítsuk (vagy ekvvalens módon a rendszerben található ügyfelek maxmáls számát) k kell számítanunk a produktvtást, blokkolás százalékot és a várakozás dőt különböző mennységű vonalhoz. Az eredményekből kválasztható a legnkább kompromsszumos megoldás, amely mnd a háromnak megfelelően kedvez. A produktvtás és a várakozás dők kszámításához szükséges egy feltételezés az ügyfél vselkedését lletően, hogy felépítsük a matematka modellt. Fgyelmen kívül hagyjuk azokat az eseteket, amkor a hívások elvesztek, esetleg ugyanezek újra próbálják hívn a Call Centert vagy vsszahívjuk őket, amkor a terhelés enged. Ezek az esetek mndegyke más modellt követel meg, és más hatékonyságmutató értékekhez vezet. Egy jól khasznált rendszerben, átlagban mnden dőegység után egy hívás befejeződk. Ha egy hívás az n -edk a sorban, akkor ennek a várakozás deje az az dő, amely addg telk el, amíg az n -edk kszolgálás befejeződk, amely átlagban n dőegység. Egy nagy Call Centerben (vagy egy hosszú sorban) ez a szám egész pontos. Használható arra, hogy a vonalak számát meghatározzuk. Például egy hívás befejeződk mnden 6. másodpercben. Ha azt szeretnénk, hogy blokkoljuk őket, ahelyett, hogy percnél több deg várakoztatnánk, akkor 9 hely kell a sorban, hogy elkerüljük, hogy egy 0-k hívás s bejöjjön, amnek már percg kell várna. 37

38 A fentekben leírtak alapján tszta, hogy a blokkolás egy tökéletes mód annak megelőzésére, hogy egy hívás túl sokág várakozzon. (Meg kell jegyeznünk, hogy a tovább várakozó hívók tendencózusan tovább s beszélnek) Alternatíva lehet az, hogy az ügyfeleket nformáljuk a hosszú várakozás dőkről, és megkérjük őket, hívjanak később. 8.2 Az Erlang C kterjesztése Az Erlang C modell egy különlegesen egyszerű eszköz a kapactás és a hozzáférhetőség között középút meghatározásának. A nagy forgalom mellett határértéke [] bepllantást nyújtanak azokba a megegyezésekbe, amelyek segítk a Call centerek méretgazdaságosságának megértését és menedzsmentjét. Azonban eléggé jelentős megszorítása s vannak az Erlang C modellnek. A gyakorlatban, emlékezhetünk, hogy három módon hagyhatja el a rendszert a beérkező hívás. Az a hívás, amely mnd a k trunk vonalat foglaltan találja, foglalt jelzést kap. A hívó türelmetlenné s válhat, mközben a sorban várakozk, és lerakhatja, melőtt kszolgálhatnák. A harmadk esetben a hívó kszolgálóhoz kerül, kszolgálják, majd távozk. Az Erlang C modell fgyelmen kívül hagyja az első két esetet a háromból. Az Erlang B modell foglakozk az első esettel, amely ennek a fejezetnek a tárgya. Egy Call Center képes mndenféle késleltetés megszüntetésére, ha a vonalak számát a kszolgálók számával egyenlően állítja be. Ebben az esetben az úgynevezett Erlang B formula (B blockng -ot azaz blokkolást jelent) jellemz a blokkolás (foglalt jel) valószínűségét a hozzátartozó M/M// rendszerben. ncsenek sorok, és a hozzáférés lehetősége kzárólag azon ügyfelek arányával van mérve, akk foglalt jelzést kapnak. Ebben az lehet értékes, hogy a blokkolás valószínűség nem érzékeny a szolgáltatás dő eloszlására. Ez magában foglalja nkább az általános, mntsem csak az exponencáls eloszlásokat (ezért nkább M/G//, mnt M/M// ). A QED rendszerben, az Erlang B ugyanolyan négyzetgyökös eredményeket ad, mnt az Erlang C rendszerben. Hatalmas M/G// rendszerben az R R, -el a blokkolás valószínűség a következő: / : Pmnden von al foglalt ( )/ ( ). Ezért még sorba állítás képessége nélkül s a hozzáférés esélye magas marad a QED rendszerben. β 0 esetén, kcs a hívók azon része, amely foglalt jelzést kap az Erlang B rendszerben. Továbbá (5) megmutatja, hogy ugyanazon feltételek mellett ( β 0), a töredék elég kcs 38

39 ahhoz, hogy nem terhelné túl a rendszert, ha engedélyeznénk a sorokat. Természetesen az Erlang C rendszerben vázolt végtelen számú hely a sorban (a trunk vonalak száma) a gyakorlatban nem elérhető. Az Erlang B és C rendszerek között lehetséges középutak egyke lehet a blokkolás késleltetéssel. Az első csökken a sorban rendelkezésre álló helyek számának csökkenésével párhuzamosan, míg a másk növekszk. Mekkora számú hely kell a sorban? Fenberg [9] szmulálja ezt az egyk tanulmányában a M///k rendszerekről, ahol k szsztematkusan váltakozk. Kmutatja, hogy csak 0%-kal kell több vonal, mnt kszolgáló, ahhoz, hogy a rendszer jó teljesítménnyel működjön. Több vonal túl sok várakozást okoz, kevesebb túl sok foglalt jelzést. 8.3 Az Erlang B formula Az Erlang B (vagy loss azaz veszteség ) formula megadja a blokkolás valószínűségét az Erlang B modellben, máshogyan az M/M// 0 modellben. Ez a modell egyforma kszolgálót tartalmaz, amelyek párhuzamosan dolgoznak, és nncs extra hely a várakozásra. Azok az ügyfelek, amelyek akkor érkeznek, amkor mnd az kszolgáló foglalt, foglalt jelet kapnak, elvesznek, anélkül, hogy befolyásolhatnák a jövőben érkezéseket, például, nncsenek újrapróbálkozások. Ez a modell Posson érkezés folyamat, és IID ( ndependent and dentcally dstrbuted független és azonos eloszlású ) exponencáls eloszlással véges középértékkel. A következőekben leírt formuláról és a annak az Erlang C formulával való kapcsolatáról tt olvashat: [2]. A konvencók követésével, legyen a beérkezés ráta jelölése, és a kszolgálás dő középértékének jele az. Ematt, az egyed kszolgálás ráta. Mvel számú lehet a legtöbb ügyfél, am egyszerre a rendszerben tartózkodk, a sztochasztkus folyamat, amely a kszolgálók számát az dő függvényében reprezentálja, rendelkezk egy megfelelő staconárus eloszlással mnden poztív és paraméterre. Az Erlang veszteség modellnek van egy érzéketlenség tulajdonsága (nsenstvty), amely azt jelent, hogy a blokkolás valószínűség független a szolgáltatás-dő eloszlástól annak középértéke körül. Ematt a blokkolás valószínűség ugyanaz, az M/G// 0 modellben, mnt az M/M// 0 modellben, am bztosítja, hogy a szolgáltatás-dő eloszlásnak véges középértéke van. A foglalt kszolgálók számának a staconárus eloszlású értéke nem függ az dő mérésének mértékegységétől. Ezért a blokkolás valószínűség csak a beérkezés és a kszolgálás rátától függ, és csaks az arányukon keresztül, am R / az ajánlott terhelés. 39

40 Közel vszonyban van ezzel a kszolgálónként ajánlott terhelés, amelyet kszolgáló khasználtságnak vagy forgalom ntenztásnak nevezünk. / R / Mnd a ajánlott terhelés, mnd a forgalom ntenztás ( ) dmenzó nélkül mennységek. Jelölje az s az egyensúly foglalt kszolgálószámot egy tetszés szernt dőben. Az s eloszlását az alapvető születés és halál folyamatból nyerjük. Kderül, hogy az s egy csonkított Posson eloszlással rendelkezk. P R j / j! s j, 0 j ; k k 0 R k / k! Ahogy fentebb jeleztük, az Erlang B formula megadja egy tpkus beérkezés staconárus blokkolás valószínűséget. Az Erlang B formulát a PASTA tulajdonság alkalmazásával a P s valószínűségből kapjuk. Az Erlang B formula tehát a következő összefüggés: R /! B B(, R) Ps. k k R / k! k 0 Egy fontos kapcsolódó mennység az összefüggés recproka. Fontosságát egyszerűbb analzálhatósága adja: Re Re(, R). B(, R) 8.4 Gyakorlatok az Erlang formulára a). Rekurzó az R-re Re Re, R, R,, ahol Re0 R, R. RB, R b). Ebből következk a rekurzó a B -re, am a B(, R) összefüggéssel RB, R írható le. Itt B ( 0, R) és az ajánlott terhelés az R, amelyet az értelmezés szernt rögzítünk. A jobboldal átalakításával a R / felhasználásával a következő B R B, R B, R, összefüggéshez jutunk. 40

41 Ábra 3 Erlang B Blokkolás valószínűség alakulása a beérkezés ntenztás függvényében c). Számolás. Mért vonzó a rekurzó a blokkolás valószínűség számolásakor nagyon nagy -nél az explct formulával szemben? Mert a nagyon nagy hatványok és faktorálok destablzálják az algortmust. d). A b).-ben leírt formula segítségével megmutatható, hogy a R R -ben. B, monoton növekszk e). Alsó korlát. A Lttle törvénye ( L = W ) segítségével megállapítható, hogy B, R alulról korlátos, azaz,r max0, ρ B, ahol R /. f). A b).-ben és e).-ben leírtak alapján megmutatható, hogy a R ban, ahogy felvesz a poztív egész számokat. B, monoton csökken - g). Határérték analízs. A terhelés, amelyet az utolsó kszolgáló vesz fel az, R RB, R B R F B, összefüggéssel írható le. Látható az f). bzonyítása alapján, hogy az F B csökken az -ben. Feltételezzük, hogy van egy költsége mnden kszolgálónak, amely c egység mnden egyes perc után, és egy bevétel ráta, amely r egység a felvett terhelés mnden egysége után. Hogyan használhatjuk a legutolsó kszolgáló által felvett terhelést, az FB -t arra, hogy meghatározzuk a kszolgálók optmáls számát, amely maxmalzálja a proftot (am a bevétel - költség)? Az optmáls megtalálásához elég, ha meghatározzuk a legnagyobb -t, amelyre az F B R c / r,. Legyen az * ez az érték. Ekkor az utolsó kszolgáló által hozzáadott bevétel nagyobb, mnt a költség, de ez a tulajdonság már nem érvényes a * -re. 4

42 h). Hatalmas rendszerek. Tekntsük a B -t, mnt a függvényét, úgy hogy p B, ( ahol R ) fx. M lehet a B, 3 értéke megközelítőleg, ha az nagyon nagy? Ábrázoljuk, hogyan néz k a p Ha a / s,, p 0 B,, mnt a függvénye nagy esetén ( )? B amkor. Ha a, a beérkező hívások összefüggéssel megadott hányadát blokkoln kell. Ebből következk, hogy a B, 3 körülbelül 2 3 nagy esetén. 42

43 9 Erlang A Modell (M/M/+M sor) Az M/M//k+G az a modell, amely magában foglalja a foglalt jelzéseket és a hívásfeladást s. Ebben a modellben a türelem úgy van defnálva, hogy az a maxmáls mennységű dő, amelyet az ügyfél hajlandó várn a kszolgálásra. Ha nem kerül kszolgálásra enny dő alatt, akkor letesz a kagylót. A +G jelzés azt jelent, hogy a türelem általános eloszlású, az független, azonos eloszlású (IID) ügyfelektől függ, de semm mástól. Ez a fejezet elsősorban a következő ckkekre épül: [3] és []. Az uralkodó gyakorlat az, hogy bőséges számú vonalat nstallálnak annyt, hogy a foglalt jelzés nagyon rtka esemény lesz. Ebben az esetben egy M/M/ M ( Ekvvalens módon írva M/M// +M ) amre úgy hvatkozunk, hogy Erlang A. Az A az angol Abandonment szót jelöl, annak a ténynek köszönhetően, hogy az Erlang A nterpolál az Erlang B és Erlang C között. A nagy forgalmú rendszerekkel analóg módon három működtetés rendszer létezk az Erlang A modellhez. A hatékonyságvezérelt, a mnőségvezérelt, és a QED. Ahogyan ezelőtt, a működtetés rendszerek a késleltetés valószínűség szernt vannak jellemezve. Az első esetben ez közel van egyhez, a másodk a nullához, végül az utolsó valahol a 0, ntervallumon értelmezett. És ugyanúgy, ahogy eddg, a QED rendszer R R kszolgálóval, elég robusztus, hogy lefedje az egész működtetés spektrumot. Itt, azonban a szolgáltatás gradens felvehet negatív és poztív értékeket egyaránt, mvel a hívásfeladás stablzálja a rendszert mnden létszámfeltöltés szntnél. A QED rendszer működtetés jellemző eléggé megnyerőek, és összefoglalhatóak a következőképpen. A kszolgáló tétlensége, az ASA, és legfontosabbként a hívást feladók aránya mnd-mnd / rendűek. 43

44 Ábra 4 Félórás lebontású összefoglaló jelentés az ACD-ből (Példa, a Wharton Call Center fórum jóvoltából). Tehát az Erlang A modell matematka módon demonstrálja, hogy a magas sznten terhelt Call centerek teljesítményét jelentősen befolyásolja az ügyfelek hívásfeladása. A fent ábrán egy jelentés látható egy létező Call Centerről. Egy-egy sorban a vzsgált dőszak ajánlott terhelése ( Recvd ), a megválaszolt hívások száma ( Answ ) és az AHT 2 össze van rendelve az ASA-val és a hívásfeladás aránnyal ( Abn% ). Például látható az s, hogy 0 és :30 között a dolgozó kszolgálók száma nem változk jelentősen. Ahhoz, hogy lássuk, hogyan hat a hívásfeladás a teljesítményre, az Erlang A modellt önálló, egymástól független félórás szakaszokban vzsgáljuk. A táblázatból használjuk a beérkező hívások számát és az AHT-t mnt a és a becslését. Felkerekítjük a On Producton FTE 3 számat, hogy hozzájussunk az közelítéséhez. Három paraméter adott a négyből az M/M/ M modellben. Azt a hívásfeladás rátát keressük, am a vzsgált fél órában észlelt ASA-hoz és hívásfeladás százalékhoz közelít. Például a 0:30 és a óra között peródusban, az előbb eljárás produkálja a hívásfeladásg eltelt dő becsült középértékét. Adottnak tekntve ezt a becslést, 2 AHT Average handlng tme Átlagos híváskezelés dő 3 FTE Full tme equvvalent Az ütemezett kszolgálók száma osztva teljes munkadő hosszával 44

45 megállapítható, hogy a 223-ból 5 kszolgáló hánya s eredményezhet az ASA, valamnt hívásfeladó hányad kétszeresre növekedését. Érdekes és lényeges megfgyeln, hogy egy olyan modell, ahol az átlagos türelem 30 perc drámaan különbözk attól a modelltől, amely nem fgyel a hívásfeladást ( végtelen a türelem ). A 0:30-tól -g tartó dőszakban az utóbb egy nem stabl rendszert jósol, amelyben a kszolgálók dejük több mnt 00%-ában foglaltak. Megjegyzendő, hogy a stabltás már két tovább kszolgáló hozzáadásával elérhető, de ebben az esetben az ASA közel lenne a 7 perchez. Ha a hívásfeladást fgyelmen kívül hagynák, az több lenne, mnt közelítés hba a jósolt teljesítményben. agy forgalomnál, még a ksszámú hívásfeladás (vagy blokkolás) arány s jelentős hatással lehet a rendszer teljesítményére, ematt számoln kell vele a mnmáls létszámsznt meghatározásakor. Ezért, ajánlatos az Erlang A használata standardként gyakran használt Erlang C helyett. Gyakor panasz a Call Center menedzserek között, hogy a munkaerő menedzsment szoftverek mndg többletlétszám ütemezését erőltetk. Míg néhányuk ntutív érzéküket használják arra, hogy hogyan nyomják le a létszámszntet, sokkal jobb megközelítés az, ha a hívásfeladásokat modellezk elsőször. 9. Türelmetlen ügyfelek A szolgáltató központokban általában, ha a szolgáltatás telefonon keresztül történk, az ügyfelek hajlamosak a türelmetlenségre, és általában néhányan, akk a sorban állnak úgy döntenek, hogy leteszk a telefont, melőtt a szolgáltatás elkezdődhetne. Az a modell, am ezzel számol ematt a Call Center pontosabb leírását szolgáltatja. Ha hozzáadjuk a modellünkhöz az ügyfelek távozását a sorból, mnt tényezőt, akkor csökkentjük a torlódást, hszen nem mnden beérkező hívás gényelt szolgáltatást. Következésképpen, a sorok hossza és a várakozás dő lecsökken. Ezért ha csak az M/M//B ( Erlang B késleltetéssel ) modellt használjuk, az többletlétszámot eredményez. A hívásfeladás fgyelembe vételével az átlagos várakozás dőben benne van a kszolgált és a hívást feladó ügyfelek deje s. Azonban a hűséges ügyfelek átlagos várakozás deje külön s fontos, am ezáltal egy külön hatékonyságmutató ebben a modellben. Az M/M/ modell exponencáls hívásfeladásokkal való kegészítésének az s egy fontos előnye, hogy az eredmény robusztusabb, mndg van egy egyensúly állapota, nem számít 45

46 hány kszolgálónk ( ) van, és mk a beérkezés ( ) és kszolgálás ( ) rátánk. Ez szembeállítható azzal, hogy a normál M/M/ modell a feltételt kívánja meg a stabltáshoz. A robosztusság krtkus lehet akkor, ha a rendszereket erőteljes forgalom alatt vzsgáljuk, amely akár csak átmenetleg s túlterhelt lesz ( ). Talán kevésbé nylvánvaló hátránya a M/M//B modellnek az, hogy az bzonyos lényeges nformácókat egyáltalán nem szolgáltat a Call Center menedzserenek. Amkor egy Call Centert erőteljes forgalom alatt kell menedzseln, tekntetbe kell venn a hívásfeladó ügyfelek hatását s a szolgáltatás színvonalra. em elég a várakozás dőket és azokat az ügyfeleket teknten, akk foglalt jelzést kaptak, mvel a hívásfeladás statsztka az egyetlen olyan ACD 4 adat, amely leleplez az ügyfelek észlelését a szolgáltatás mnőségéről. A szolgáltatás színvonal háromdmenzós, három külön aspektusa van, a várakozás, a blokkolás, és a hívásfeladás. Az M/M//B modell ezek közül csak kettőt szolgáltat. A gyakorlatban a Call Centerek nagy százaléka ktűz célul a hívásfeladók arányának egy alacsony felső korlátját, de a legtöbb esetben felülmúlják azt. Az elosztás határok (dffuson lmts) fontos eszközt képeznek a sorbanállás modellek elemzésekor. A fontossága háromszoros: az elosztás folyamatokat használják az közelítések származtatásához, a szükséges rálátást bztosítja, és gyakorlat szabályok kdolgozását tesz lehetővé. Ennek a dokumentumnak a fő eredménye az 5. tétel, amely a M/M/ M sorok sorozataval foglalkozk erős forgalomnál. Az elmélet megfontolásokon túl, a gyakorlatban s jelentősek ezek az eredmények, mert úgy paraméterezk a rendszereket, hogy azok a legnkább hasonlítsanak a hatalmas Call Centerekre. Ezek az eredmények bztosítják az sorba állított ügyfelek arányát közelítő eljárások térnyerését. 4 ACD Automatc call dstrbutor. Automatkus híváselosztó. A hívások sorba rendezését, a sorok kezelését végz. Számunkra gen fontos az ez által mért adat, és az abból generált jelentés, amely nputként szolgál modelljenknek, vagy épp ellenkezőleg modelljenk paraméteret állítjuk be úgy, hogy ezekhez az adatokhoz vagy jelentésekhez közelítsenek. 46

47 Ábra 5 A késleltetés valószínűségének alakulása az Erlang C és az Erlang A modellekben Az M/M/ és az Vegyük észre, hogy mnden M/M/ M modellek összehasonlítása látható az előző ábrán s. esetén (ahol, és egyenként a kszolgálók számát, a beérkezés rátát, valamnt a kszolgálás rátát jelöl ) a közelítés abban a modellben, ahol nncs használva a hívásfeladás,, azaz mndenk, ak a rendszerbe érkezk sorba lesz állítva. Ez azért van, mert ez egy túlterhelt rendszer, ahol nncsen egyensúly állapot. Az nagy értékere, a rendszerekben többletkapactás keletkezk. Ezekben az esetekben a közelítések egybeesnek az elhanyagolható számú hívásfeladások matt. A sorba állított ügyfelek számának kszámítására szolgáló kfejezés a C metódusból és a 9.3-as fejezet első megjegyzéséből származtatható. A következő összefüggés adja ezt meg: P P Bl 50 0,5 50 0,5 Bl e 0, ,5 50, 0,5 48 0,5 ahol a P Bl a blokkolt ügyfelek száma az M/M// modellben, ahol darab trunk vonal van. Az erős forgalomnál számolt eredmények egy újabb gyakorlat szabályhoz vezetnek. A következő, egy olyan lehetséges forgatókönyv, amelyben az felhasználható. Egy Call Center ahol kszolgáló van, a kszolgálás ráta a, a beérkezés ráta, és van egy szolgáltatás gradense s, amt -val jelölünk (A nagy értéke magas szolgáltatás színvonalhoz kapcsolódnak). A következő ünnepekkor magasabb érkezés arányt jósolnak amt ˆ -pal 47

48 jelöljünk. A Call Center menedzsere, a jelenleg szolgáltatás színvonalat akarja bztosítan akkor s, ematt döntést kell hozna a kszolgálók számáról, am ˆ az ünnep műszakokban. Ahogy azt majd később látn fogjuk, három működtetés rendszert javasolhatunk a Call Centernek, amt a szolgáltatás mnőség és/vagy a működtetés hatékonyság fog meghatározn. Ezek a rendszerek a következőek: mnőségvezérelt, amelyet rtka várakozás és hívásfeladás jellemez; hatékonyságvezérelt, amely a kszolgálók hatékonyságára helyez a hangsúlyt, és az ügyfelek többsége várakozk, jelentős részük feladja a hívást; és a raconáls, amelynél a mnőség és a hatékonyság egyensúlyban van, továbbra s jól khasználja az erőforrásokat, de csak az ügyfelek egy kontrollált töredékének kell várakozna és csak néhánynak kell feladn a hívását. Amkor a menedzser eldönt, melyk legyen az a működtetés rendszer a Call Centerben, amely legjobban reprezentálja a kívánt egyensúlyt a mnőség és a hatékonyság között. A szabályank előállítják a ˆ ˆ ˆ összefüggést, ahol ( amely a többletkapactás és a terhelés arányának a négyzetgyöke ). Továbbá, a késleltetett és hívást feladó ügyfelek arányának becsült értéke a következőek: P P h / Wat 0 / h h / Abandon / h / ˆ Itt a hx x/ x / h amely a standard normáls eloszlás rzkó rátája, amelyek 2 x x / defnícója e 2, és x y x dy. 2x Jegyezzük meg még a következőt s az előbbekkel kapcsolatban. Ha növeljük a kszolgálók számát, az -t és a késleltetett ügyfelek arányát ugyanolyan sznten tartjuk, a kszolgálók khasználtsága fokozódk, de a hívást feladó ügyfelek száma az átlagos várakozás dővel együtt csökken. 9.2 Formalzálás és jelölések Kényelm szempontokból nézzük át először a M/M//B M modell feltételezéset és folyamatat. A rendszernek egyetlen sora van, amely független és statsztka szempontból 48

49 azonos kszolgálót lát el. Az ügyfelek egy rátával Posson folyamat szernt érkeznek, és az érkezésük sorrendjében (FCSF) lesznek kszolgálva. A szolgáltatás dők ( ) exponencáls valószínűség változók. Mnden ügyfél türelme (az az dőperódus, amelyet a sorban akar tölten, különben elhagyja azt) egy exponencáls valószínűség változó, mnden mástól független. A rendszer kapactása B számú ügyfél (ez alapján legtöbb K B lehet a sorban). Azok, akk a kapactáson felül érkeznek, el lesznek utasítva a rendszer használatától. A rendszer állapota egy t dőpllanatban a rendszerben levő ügyfelek számával defnált (éppen kszolgálás alatt vannak, vagy várakoznak a sorban) és Q(t)-vel van jelölve. Mvel a szolgáltatás dők, az ügyfelek türelme, a beékezés dők mnd független exponencáls eloszlású változók, Q(t), t 0 és halálozás rátákkal: Q egy születés-halálozás folyamat, a következő születés k k, 0 k B -, k B k ; k 0, egyébként 0 egyébként A folyamat átmenet dagramja a következő ábrán látható. Ábra 6 Q t, t 0 Átmenet dagram amkor Megjegyzés: A Q folyamatnak mndg van egyensúly állapota, a legjelentősebb az, B ahol a folyamatnak végtelen állapottere van. Ez az ellentéte az M/M/ modellnek, amelyekben az egyensúly állapot hatékonyságmutató nem kalkulálhatóak túlterhelt rendszer esetén (ahol ). Az ügyfelek általános F eloszlású türelme esetén, és egy olyan rendszerben, ahol végtelen kapactás van, az egyensúly állapot létezésének a krtéruma: F, mvel a kszolgálóknak le kell küzdenük azt a forgalmat, amelyet a végtelen türelmű ügyfelek okoznak. Megjegyzés: A modellünk feltételez, hogy az ügyfél türelme nem függ a sorban elfoglalt helyétől. Ez a feltételezés nem ok nélkül a telefonon keresztül szolgáltatások esetén, mvel a sor nem látható. Az ügyfeleknek általában nncs nformácójuk a sorról. 49

50 Tovább jelölések: A következőekben használn fogjuk a gamma függvényt, amt az alább összefüggés defnál: 0 x x t t exp dt Valamnt a nem teljes gamma függvényt, amt a x, y jelöl: y x x, y t exp t 0 dt. A gyenge konvergenca a standard jelölés, amely formalzálja a valószínűség eloszlások közelítéset. Ez a staconárus eloszlások és a sztochasztkus folyamatok konvergencája esetén jön elő. Mnkét esetben, a következőképpen jelöljük az X sorozat gyenge konvergencáját X-hez: X (convergence n dstrbuton). d X, ahol a d azt jelent, hogy eloszlásban konvergál 9.3 Az M/M//B+M Modell pontos számítása Ebben a fejezetben bevezetésre kerül több hatékonyságmutató számítás metódusa egy M/M//B M modell egyensúly állapotához. Az alatta meghúzódó születés-halálozás folyamat matt, ezek a kalkulácók majdnem trválsak (nem teljesen a numerkus problémák következtében). Ezek az eredmények később fel lesznek használva a közelítések származtatásakor. A hatékonyságmutatók kalkulácójakor, alapul vesszük a feltételezést, hogy a rendszer elérte az egyensúly állapotát. Habár a beérkezés ráta sok Call Centerben dőben változó (dőpontról-dőpontra változhat egy napon belül, vagy napról-napra változhat egy héten belül, ünnepek, szezonáls hatások stb.), más paraméterek, mnt a kszolgálók száma egy műszakban s változtatható. Feltételezzük, hogy egy rövd dőntervallumon belül (például egy óra) ezek a változások elég kcsk ahhoz, hogy fgyelmen kívül hagyjuk őket, és lassúak ahhoz képest, amlyen gyorsan a rendszer a következő egyensúly állapotba kerül. Mnket a tpkus ügyfél érdekel, ak az egyensúly állapotban lévő rendszerbe érkezk. Legyen a V valószínűség változó a tpkus ügyfél potencáls várakozás deje (az az dő, amelyet a sorban kellene várakozna, hogy a kszolgálás elkezdődjön, ha a türelme végtelen volna). Legyen X ennek az ügyfélnek a türelme (jegyezzük meg, hogy X és V függetlenek) és legyen a W az aktuáls várakozás deje. Tsztán látható, hogy a W V X. 50

51 Végül legyen a Bl az az esemény, hogy az ügyfél foglalt jelzést kapott, és Ab esemény jelentse azt, hogy az ügyfél feladta a hívást (Ab V X ). Ábra 7 Hatékonyságmutatók f V X E, alakban Mt s jelent a tpkus ügyfél? Vegyük tekntetbe a w n, n ahol a w n az n -edk ügyfél potencáls várakozás deje. Legyen az F w a staconárus eloszlása ennek a sorozatnak. F w a staconárus eloszlása a v t folyamatnak s, amely a vrtuáls várakozás dő a t dőpontban (az az dő, amt várakozással tölt el egy hpotetkusan végtelen türelmű ügyfél a sorban, ak a t dőpontban érkezett). Ezért egy tpkus ügyfél potencáls várakozás deje, a V, szntén rendelkezk egy F w eloszlásfüggvénnyel. Hasonlóan érdekes a V n, amely olyan valószínűség változó, amelynek az eloszlása ugyanaz, mnt a V -nek, amkor n darab ügyfél van a sorban érkezéskor, és mnden kszolgáló foglalt, n 0,,... V n eloszlásfüggvénye F n. A Call Center menedzsereket érdeklő sok hatékonyságmutató kfejezhető, mnt V és az X egyszerű függvényenek várható értéke. A fent tábla egy reprezentatív lstát közöl belőlük. Megjegyzés:. Ebben a fejezetben a -t használjuk a eloszlásának jelölésére, nevezetesen lm P t Egy általános kfejezés ezekre a valószínűségekre: Q t n, n 0,,2,..., B. n Q t folyamat staconárus k k j k / 0, k! / j k! 0 0 k k B ahol / / 0 k B k 0 k! j. k k j! 5

52 52 2. A V eloszlása előzetesen nem smert, hanem a modell analzálásán keresztül származtatható. Másfelől, n V kfejezhető n független valószínűség változó összegeként, n,...,, paraméterekkel. Az -edk ezek közül azt az dőt jelent, amelyet az ügyfél a sor -edk helyén töltött el, melőtt az -edk helyre léphetett volna ( előtte a kszolgálás befejeződött, vagy valak feladta a hívást). 3. Egy foglalt jelzést kapó ügyfél számára (mert a sor tele volt érkeztekor) a 0 V konvencó kerül bevezetésre. 4. Bzonyos fontos hatékonyságmutatók nem számolhatók közvetlenül a javasolt metódussal, de a X V f E, típusú hatékonyságmutatók hányadosaként előállítható. Például, azoknak az ügyfeleknek a száma egy nagyon fontos hatékonyságmutató, amelyek feladják a hívást azok közül, akk továbbra s a sorban várakoznak. De néhány tapasztalt Call Center menedzser mostanság khagyja azokat az ügyfeleket a számításból, amelyek nem akarnak egy rövd dőperódust sem várakozással tölten. áluk a x v E x v E t X P V X V X P V t Ab W P t x v t,, ; összefüggés használatos. Az X V f E, számítását kezdjük a következő dekompozícóval:. 0,,,,, k k B V V V X f E X V f E X V f E X V f E X V f E Mnden f függvény számára, amely érdekes esetünkben, X f E, 0 értéke 0 vagy. Ematt, m az első kfejezés kszámításával megyünk tovább. Három különböző metódust prezentálunk a kalkulácó elvégzéséhez, mndegyknél megemlítjük előnyeket és hátrányakat s. Ezek a metódusok azok, amelyeket ksebb Call Centerek analzálásához használunk. Az A metódus. Legyen a paraméterünk az ügyfelek száma, amelyek a sorban vannak érkezéskor. t F t F n n -re legyen az alább összefüggés 0 0} {! /! /, B k n k n B k k k V k n k I k c X V f E,

53 és az c k 0 0 k ahol c /, c k ( ck ) ahol Ik f t, xc k e t x e dtdx E f X, X Az X egy X -től független valószínűség változó, k k exp eloszlással. I k értékenek a kalkulácója általában egyszerű feladat. A legnagyobb hátránya ennek a metódusnak, hogy az első összeg az előjelet változtatgatja, amely numerkusan nstabl. Ematt mutatjuk be a következő metódust, amely elkerül ezt a problémát. A B metódus. Az A metódushoz hasonlóan kezdve, és az egyk összeg elmnálásával n t k t valamnt a e e E J k 0 n k B 2 / f c V, X. V n0 ( xct) t n f t xe e n relácó használatával elérkezünk a n n J összefüggéshez, ahol n!, dxdt ntegrálok megoldása általában numerkusan történk.. Itt a J n kalkulácója eléggé költséges, mvel az Ezek a metódusok elvesztk vonzerejüket, amkor végtelen pufferral dolgozunk ( B ). Ekkor mndkét metódusban az összegek végtelenné válnak, és le kell csonkítan azokat valamely ponton, az mplementácó működésekor (az A metódusban váltakozó előjelek s problémásak lehetnek a csonkításkor). Mvel ez az eset arra kényszerít mnket, hogy fgyelembe vegyük a pontosság kérdését, bemutatjuk a harmadk metódust, am egy egyértelmű numerkus ntegrál. A C metódus. Az általánosabb megoldás érdekében nézzük az f V függvényt ahol f V egy sűrűségfüggvény. f V adott a P V 0 f V t t B, e exp B Most már csak k kell számolnunk a dupla ntegrált. t e t, t 0 kfejezés által. 53

54 E x f V X V f t, x e fv t, dxdt Az ntegrál az x -re gyakran analtkusan és könnyen számolható (az f -től függően), ezután nekünk csak egy numerkus ntegrállal kell foglalkoznunk (a t -re). éhány plusz megjegyzés szükséges még a végtelen puffer esethez.. Az egyensúly állapot szükséges egyenletek megoldásához még mndg szükség van egy végtelen összegre. Palm [20] adott egy megoldást, amelyk kfejez a staconárus eloszlást, mnt az egyszerűen kszámolt blokkolás valószínűség függvényét egy M/M// rendszerben (tt PBl -lel lesz jelölve), ugyanazzal a beérkezés és kszolgálás rátákkal: n P Bl A, PBl A, PBl P! n! n, n Bl... n, n n ahol Ax y xy ye, xy, y. y xy 2. A B esetén, az f V sűrűségfüggvény egy specáls esete lesz Baccell és Hebuterne [2] egy M/M/ G modellre, az ügyfelek türelmének F eloszlásával, nevezetesen: f V t t Fudu t, t 0 exp Az eloszlások közelítése és a működtetés rezsmek A jelen ckk fő témája, hogyan lehet a hatékonyságmutatókat közelíten, a paraméterektől való függés felderítésével a folyamatok mélyebb megsmeréséhez jutn. Az első lépés a Q folyamat és annak a staconárus eloszlásának a megbecslése, amelyet majd Q-nel jelölünk. Az elmélet eredményenkből, amelyek az uralkodó gyakorlattal s támogatottak, az következk, hogy a hatalmas Call Centerek szntén képesek magas szolgáltatás szntet hozn, malatt magas khasználtsággal működnek. A nagy forgalomhoz kapcsolódó közelítésekre gazolására fókuszálunk, amkor az. Továbbá a legtöbb nagy telefonos Call Centernek van elég trunk vonala, hogy lényegében k tudja szűrn az ügyfelek blokkolását (a foglalt jelzéseket). Ezért feltételezhető, hogy a továbbakban a puffer végtelen, azaz a B. 54

55 Megjegyzés. Szeretnénk kemeln, hogy a semmképpen nem akarjuk védelmezn tt a nncs foglalt jelzés feltétel nélkül használatát. Igazából a foglalt jelzés a legegyszerűbb mód a torlódás továbbadására. A zöld számos szolgáltatásoknál ez a legegyszerűbb mód a működés költségek csökkentésére. Ezért egy megegyezés szüksége a blokkolás és a hívásfeladás arányok között. Vegyük fgyelembe a folyamatok sorozatát a a sorhossz folyamat, amely az Q,,2,... -t, ahol a Q Q t, t 0 M/M/ M modellhez kapcsolódk ( kszolgáló). A ndexet hozzáadtuk a jelölésrendszerünkhöz, hogy az -edk rendszer paraméteret jelöljük. Jellemezzük most a modell paraméterenek függőségét az -től. Specfkusan, mnket az a sorozat érdekel, amelyben a, ahogy a és. Ez a sorozat megfelel a Call Center méretének növelésének ( ) amely bírja az új terhelést ( ) malatt bztosítjuk, hogy a kszolgálás ráta ( ) nem változk a mérettel ( ). Használjuk a következő két hatékonyságmutatót: azon ügyfelek aránya, amelyek feladják a hívást ( P Ab), és azok, akk késleltetve lettek a sorban ( W 0 P ). Ezek legyenek az rányelvek a helyes működtetés rezsm kválasztásához. (Meg kell jegyezn, hogy a sorban való átlagos várakozás lneársan kapcsolódk a P Ab-hez a P Ab EW keresztül ). A legtöbb telefonos Call Center el akarja kerüln, hogy a hívásfeladás arány túl magas legyen. Ez általában lefordítható arra, hogy az ügyfelek nem elhanyagolható százalékának sorba kell állna, és csak egész kcsny százalék hagyhatja el a sort. A következőekben egy analtkus eredményben bevezetjük a forgalom ntenztás fogalmát, amt a defnál. -én kfejezés Tétel. Feltételezzük, hogy a lm bzonyos 0 esetén. Ekkor a hívást feladó ügyfelek arányának valószínűségének határértéke adott a lm 0 P Ab összefüggéssel. 55

56 Az. tételt alapul véve tsztán látható, hogy a hívásfeladások szempontjából, nncs okunk, hogy -el működjünk, a már elenyésző hívásfeladás valószínűséget szolgáltat. Másfelől, ha a, a hívásfeladás valószínűség határértéke nagyobb, mnt am általában kívánatos. Következtethető az -es tételből, hogy a lehet a megfelelő, mvel ez egy határértéket nyújt. Azonban a kszolgálók khasználtságának szempontjából (másképpen annak az dőmennységnek az aránya, amelyet telefonbeszélgetéssel töltenek, adott az P Ab kfejezéssel) a khasználtság maxmáls határértékét már elértük a -el. Ezért a egy specáls egyensúly pont a Call Centerek hatékonysága és mnősége között. Kssé alulterhelt ( ) vagy túlterhelt ( ) Call Centerek teknthetőek ennek a rezsmnek, a zavaranak. A rezsm közelítésenek magas pontossága az Ábra 5-ről s látható. A -ra tett megszorítás, konzsztens Halfn és Whtt [6] munkájával, akk az M/M/ modellt analzálták és megtalálták azt az érdekes határértéket, amely akkor fordul elő ha ~ -, 0 (érdekes abban az értelemben, hogy csak ekkor nem degenerálódk a várakozásra kényszerült ügyfelek arányának határértéke). Mvel a M/M/ M modell nagyon türelmes ügyfelekkel ( 0 ) közel van egy M/M/ modellhez, (ez formálsan támogatott a 2-es tétellel), m szntén korlátozzuk magunkat a lm, - esethez. Ahogy lehet majd később látn, az 5-k tétel bzonyítja, hogy ez az érdeklődésünkre érdemes rezsm. Am a türelem paramétert llet, feltételezn fogjuk, hogy a Ez természetszerűleg vezet három rezsmhez. a). 0 : Türelmes ügyfelek b). : Türelmetlen ügyfelek c). 0 : Kegyensúlyozott hívásfeladás. lm ahol. A kegyensúlyozott esetet Flemng, Stolyar és Smon [22] analzálta. Ez tűnk a megfelelő rezsmnek ndokolt, hogy feltételezzük, az ügyfelek türelme független a kszolgálók számától, mvel ez a szám általában smeretlen a hívó számára. Ez azonban vtatható feltételezés, mert amkor hatalmas Call Centereket hívunk, az ügyfélként hajlamosak vagyunk azonnal kszolgálást elvárn. Annak ellenére, hogy nem tudjuk az egy műszakban 56

57 dolgozó kszolgálók pontos számát, van egy mennység elképzelésük arról. A következő tétel a kegyensúlyozott rezsmet támogatja, és később magyarázat s lesz hozzáfűzve. q Q Vegyük tekntetbe a sztochasztkus folyamatok sorozatát, a q -t ahol a Q t t, a staconárus eloszlásuk, a q. A következőekben egy tételt smertetünk a q sorozat konvergencájáról, amelyet -ből nyertünk központosítás és arányosítás által. Specfkusan, körül központosítva, létrehoz egy olyan folyamatot, amelynek az abszolút értéke vagy a sor hossza ( q 0 ) vagy a tétlen kszolgálók száma ( q 0 ). Az arányosító faktor a kemelkedk, mnt a helyes nagyságrend, amely létrehozza a nem-trváls folytonos határfolyamatot, a q -t. Ez utóbbt fogjuk használn a saját eredet születés-halálozás folyamatunk közelítésére (Q Q d q segítségével. A határtétel támogatja a három határértéket, amelyek egyenként megfelelnek a háromféle ügyfél-vselkedéstípusnak. A matematka részlete ennek a tételnek nem az előfeltétele a következmények követésének, amelyeket a tétel után magyarázunk azonnal. akkor 2. tétel. Feltételezzük, hogy lm, d ), a. Ha q 0 q0 a). Gyenge konvergenca: q d q, ahol q az egyetlen megoldása a sztochasztkus dfferencálegyenletnek, a következő rezsmek szernt dq 0 : f dq 0 : f dq : t f qdt 2dbt x x x t 0 x 0 t f qdt 2dbt x x x x x Y qt dt 2dbt dy t 0 0, Y 0, qdy (Itt a b standard Brown mozgást jelöl) b). Felcserélhető határértékek: lm P q x lm P q t x. t 57

58 Megjegyzés: Ez utóbbnak tt látható egy ekvvalens reprezentácója, amely specfkusan mutatja, hogy a határértékek fel vannak cserélve: lm lm P q t x lm lm P q x. A 2. tétel első részéből látható, hogy három különböző határeloszlás folyamat van, azok szernt a rezsmek szernt, amelyeket a értéke defnálnak. A türelmes ügyfél esetében ( 0 ), a határérték ugyanaz, mnt a [6]-ban, amelyk az M/M/ sorok sorozatának nagy forgalom mellett határértéke közül emelkedk k. Ez azt jelent, hogy a hívásfeladás jelenség elveszett a határfolyamat során. Hasonlóan, a türelmetlen ügyfelek esetében ( ) a határfolyamat során, maga a sor veszett el és ugyanahhoz a határértékhez érkeztünk, mnt az M/M// ( veszteséges Erlang B ) rendszerek sorozata esetén. Ez ahhoz a következtetéshez vezet, amelyet a számítások s gazolnak: a). Különösen türelmes ügyfelek esetén, ndokolható az M/M/ modell használata. b). agyon türelmetlen ügyfelek esetén, az M/M// modellt kell használn. A kegyensúlyozott esetet ( 0 ) (egy kssé különböző központosítással) Flemng, Stolyar és Smon [22] következtette k, és ők adtak bzonyítást a staconárus eloszlás gyenge határértékére (lásd q ). Általában, ez az eset lleszkedk legnkább az eredet M/M/ M rendszerre, mnt közelítés. Innentől kezdve ezt használjuk. A 2. tétel másodk része fontos, mvel a határértékek lyen cserélhetősége nem automatkus. A legtöbb alkalmazásban, végül s mndenk a staconárus eloszlás közelítése ránt érdeklődk, ezért fontos tudn, hogy mndkét útvonal e felé az eloszlás felé tart, ahogy a következő ábrán látható. t t Ábra 8 A staconárus eloszlás q, mnt határeloszlás A 4. tétel a folytatásban a kegyensúlyozott esethez tartozó közelítést használja. A 2. tétel használhatósága a Call Center menedzserek számára korlátozott, mvel az ez által nyújtott legtöbb nformácó a rendszerről szól, nem pedg a kszolgálásról. Ahhoz, hogy 58

59 több nformácót kapjunk a kszolgálásról, szükséges a potencáls várakozás dő, vagy ekvvalens módon, a vrtuáls várakozás dő folyamatának vzsgálata (az előző fejezetben láthattuk, hogy ezeknek a folyamatoknak a határértéke egybeesnek, ahogy az dő korlátlanul növekszk). A Puhalsk [23] által eredményül kapott Egybeesés Elv, lehetővé tesz számunkra, hogy létrehozzunk egy egyszerű kapcsolatot a eloszlás határértéke és a vrtuáls várakozás dő folyamat között (a várakozás dő folyamatát. 3. tétel. Feltételezzük, hogy d. Ha q 0 q0 akkor 0 esethez). E célból, jelölje az -edk rendszer lm, bzonyos -ra, és a d q. Ez a központ eredmény heursztkusan s alátámasztható. Ha vannak tétlen kszolgálók, a vrtuáls várakozás dő 0, egyébként a sor hossza körülbelül sokág tart egy ügyfélnek keresztüljutn a soron? Az ügyfelek q (a 2. tétel szernt). Mlyen rátával fogják elhagyn a sort (a kszolgálás után) plusz o 5 (a hívásfeladások; valójában a hívásfeladás ráta a m megjelölt ügyfelünk előtt nem nagyobb, mnt q ). Elosztva a sor hosszát azzal a rátával, amellyel az ügyfelek elhagyják a rendszert, a vrtuáls várakozás dőhöz jutunk, amely ematt körülbelül q. 9.5 Implementácó Az előző két fejezetben az M/M//B M modellel kapcsolatos eredményeket mutattunk be. Mvel hsszük, hogy ennek a modellnek kell a M/M/ és az M/M//B modellek helyébe lépn, fényt kell derítenünk arra, hogyan használjuk és értelmezzük ezeket az eredményeket. Az áttekntés kontextusa egy órás méretű, nagy forgalmú Call Center menedzsment folyamata lesz (a nagy forgalom azt jelent majd, hogy a hívásfeladás nem elhanyagolható). Elsőként megvtatjuk az modell paraméterek értékenek becslésének problémáját. Később javaslatot teszünk arra, hogy melyk hatékonyságmutatót kellene a Call Center 5 o ks ordo - A Landautól származó ordó-jelölés (O jelölés) az analízsben és alkalmazásaban (valószínűségszámítás, analtkus számelmélet) függvények becslését megkönnyítő jelölésmód. Ha nemcsak f x Cgx, de f x gx 0 s teljesül a megadott határátmenetben, azt f x gx-szel jelöljük és azt mondjuk, hogy f x g. egyenlő ks ordó x 59

60 menedzsereknek használnuk a szolgáltatás színvonal defnálásához. Végül megvtatjuk a közelítések használatát a gyakorlat szabályok származtatásához Paraméterek becslése Ahhoz, hogy használn tudjuk a modellt és a bemutatott eredményeket, szükséges, hogy beállítsuk a különböző paraméterek értéket. Bzonyos paraméterek teljesen a Call Center menedzsere ellenőrzése alatt vannak. Például a műszakban dolgozó kszolgálók száma, az ACD-be befutó trunk vonalak száma. A beérkezés és kszolgálás ráta általában a hstorkus ACD adatokból van származtatva. Ahogy az előzőekben megbeszéltük, az dőben változó beérkezés ráták esetén, kcsny dőntervallumokat választunk, amelyekben a beérkezés ráta megközelítően konstans. A legnagyobb problémát a hívásfeladás arány ( ) vagy ekvvalens módon az átlagos türelem ( ) becslése okozza. A probléma abból a tényből származk, hogy a közvetlen adat, amelyet gyűjthetünk, k van válogatva. Csak azoknak az ügyfeleknek a türelmét mérhetjük, akk elhagyják a rendszert, melőtt a kszolgálásukat megkezdhetnénk. Azoknál az ügyfeleknél, akk kszolgáláshoz jutnak, csak az alsó korlátot smerjük, azt az dőmennységet, amelyet a sorban töltött várakozással. Vannak olyan statsztka metódusok, amelyek lyen kválogatott adatokkal foglalkoznak, de ezek smertetésével most nem foglalkozunk. Másk, sokkal alapvetőbb probléma a becslésénél, hogy a legtöbb esetben az ACD adat csak átlagokat tartalmaz, a hívásonként mérésekkel ellentétben. E célból ajánlunk tt két metódust az átlagos türelem becslésére. Az első a következő egyensúly egyenleten alapul: az ügyfelek száma a sorban Ab E P Ez az egyenlet leírja az egyensúly állapotot azok között az ügyfelek rátája között, akk feladják a hívást (az egyenlet baloldala), és a rendszerbe belépő hívásfeladó ügyfelek aránya között. A Lttle tétel alapján ( Eaz ügyfelek száma a sorban EW egyenlethez jutunk W Ab E P ) egy alternatív Az átlagos várakozás a sorban, és a hívást feladó ügyfelek aránya meglehetősen standard ACD adat kmenetek, ezért, eszközt nyújtanak a becslésére. Megjegyezzük, hogy az előbb két egyenlet csak exponencáls türelem esetén érvényes. 60

61 A másodk, egy általánosabb megközelítés. Számoljunk k egyet a hatékonyságmutatók közül, és hasonlítsuk az eredményt az ACD adatból származtatott értékhez. A cél, hogy addg kalbráljuk a türelem paramétert, amíg a hatékonyságmutató becsült értéke lleszkedn nem kezd a mért értékekre. Az egyk előnye ennek a metódusnak, a rugalmassága abban a kérdésben, hogy melyk hatékonyságmutatót válasszuk. Mndegyk megfelelő, amely függ az adott ACD adattól. Továbbá, ez a kalbrálás a modell feltételezésenek ellenőrzésének egyk formáját s reprezentálja, és kompenzálhat a különbözőségekért. Megjegyezzük azonban, hogy két hatékonyságmutató kválasztása valószínűleg két becslést déz elő. Tovább kutatás szükséges, hogy hogyan kombnálható a kettő, hogy egy harmadk, jobb becsléshez jussunk A kszolgálás színvonal Ahogy korábban már állítottuk, a hívásfeladás jelenség különösen fontos egy Call Center menedzsernek. Ez nem foglalja magába, hogy csak a hívást feladó ügyfelek aránya az érdekes hatékonyságmutató. Sok fontos hatékonyságmutató van, és fontos hogy kválasszunk néhányat, amely a legjobban tükröz a kszolgálás színvonalat az adott Call Centernél, és kszolgálás célokként vagy kszolgálás gradensként szolgálhatnak. Három alapvető hatékonyságmutatót javaslunk, amelyek a kszolgálás három fő aspektusát reprezentálják egy Call Centernél: a). P Bl - a blokkolt ügyfelek aránya b). PW t ; Ab; Bl - Azok az ügyfelek, amelyek kszolgálást kaptak hosszú várakozás dő után (több mnt t ). Ezek a hűséges ügyfelek nem hagyják el a sort. c). Ab W P ; t 2 - Azok az ügyfelek, akk feladták a hívást, nem számolva azokkal, akk még egy rövd peródust sem voltak hajlandóak várn (a t 2 rövd). Ezek a mérőszámok reprezentálják azokat az ügyfeleket, akk hajlandóak voltak egy mnmáls erőfeszítést tenn, hogy elérjék a Call Centeres kszolgálót, de rossz szolgáltatást kaptak, vagy semmt sem. Egy Call Center menedzsernek k kell tűzne célul, hogy ezeket a számokat alacsonyan tartsa, mert ezek olyan ügyfelek, amket ő meg akar tartan, de elképzelhető, hogy elveszít őket. Kívánatos, hogy legyen egy hatékonyságmutató, amely segítségével a kszolgálás kértékelhető a Call Centerben. Egy lyen hatékonyságmutató használható arra, hogy beállítsuk a kszolgálás színvonal célktűzéseként. Általában arra használják, hogy beállítsák a kszolgálók számát, amelyek az adott műszakban szükségesek lehetnek az várt forgalom 6

62 kezelésére. Egyetlen egy mérőszám konstruálható több mérőszám (az előbb prezentáltakhoz hasonlóak) súlyozott összegeként (az eredményül kapott gradens 0 és egy között van, az alacsonyabb gradens jelent jobb kszolgálást). Bl a PW t Ab a PW t Ab SL a P ; 2 ; 3 2 Itt az a a a. 2 3 Még abban az esetben s, amkor a egy relatíve szmpla modell van prezentálva, egy lyen mérőszám pontos kértékelése körülményes abban az értelemben, hogy egy értékekkel feltöltött táblázat produkálása, különösen, ha nverz kalkulácó s szükséges (más szavakkal megtaláln néhány paraméter értékét egy adott hatékonyságmutató értékéhez), nem mndg hajtható végre valós dőben. Ezekben az esetekben a közelítések hasznosak lehetnek, ahogy majd látható később. Specfkusan a m eredményenk alul a következő, nagy forgalom mellett közelítéshez vezetnek (feltételezzük, hogy Bl 0 SL a w 3 h a2w, h,,, t P ). 2 t e t, Itt a a. Az Ψ, w és a h defnícójához nézze a továbbakat. 2 3, t t 2 e t Közelítések A közelítések akkor hasznosak, ha le akarunk küzden számítás nehézségeket, de feltárhatják azt s, hogy a hatékonyságmutatók mként függenek a modell paraméteretől. Ilyen értés szükséges lehet egyszerű gyakorlat szabályok származtatásakor s. A vrtuáls várakozás dő folyamat eloszlásának közelítését (3. tétel) a hatékonyságmutatók általános reprezentácójával kombnálva, lehetővé tesszük sok hatékonyságmutató közelítésének származtatásét. Ezeknek a közelítéseknek olyan, hatalmas Call Centerek esetén kell a legpontosabbaknak lennük, amelyeket nagy forgalom mellett működtetnek elhanyagolható blokkolás ráta mellett. Azoknál a hatékonyságmutatóknál, amelyeket kalkulálunk, feltételezzük, hogy a rendszer egyensúly állapotban van, ematt m a vrtuáls várakozás dő staconárus eloszlására vagyunk kíváncsak. Ilyen közelítés származtatható a következő tétel segítségével. 62

63 63 4. tétel. Legyen a q, ahol a q megoldja azt a sztochasztkus dfferencál egyenletet, amely a 0 esethez tartozk a 2. tételben (a kegyensúlyozott türelem), és feltételezzük, hogy a. Ekkor: a). t t lm -nek az eloszlásfüggvénye az F, adott a következő összefüggés által: 0,,, 0 x,, x x h w w x F b). d v. Jegyezzük meg, hogy ebben a tételben megnt gazoljuk az megcserélhető határértékeket, most a vrtuáls várakozás dők sorozatával kapcsolatban v. Mvel d v, a használandó közelítés v V d d, amely értelmezhető, mnt x F x F V. Példa: Feltételezzük egy hatékonyságmutatót, amely kfejezhető, mnt W g E valamlyen g függvényre. Jusson eszünkbe, hogy a V X W és az X és V függetlenek, ematt:.,,, dvdx v v w e v x g w g E dx v df e v x g W g E x V x A következőekben több hatékonyságmutatóhoz eredményül kapott közelítések kerülnek felsorolásra.,, 0, 0 w h h E W w h h Ab P h h Ab W P w P W

64 P h t w,,, t Ab W t, P W e t t t Itt a w x, y h yh xy x, a hx x x és a x, y x x y. Megjegyzés: Ugyanazokban a sorokban, felépítettünk más hasznos közelítéseket s, érdemes megjegyezn közülük a W W t E -t. Végül álljon tt az Erlang A és C modellek összehasonlítása, az előbb smertetett közelítésekkel számolva. Látható, hogy az Erlang A olyan esetekben s stabl marad, ahol az Erlang C már nem. Ábra 9 Az Erlang C és az Erlang A TSF-ének alakulása ( ksebb és nagyobb türelmű ügyfelekkel ) Gyakorlat szabályok Fontos, hogy a Call Center menedzser képes legyen érzékeln, mekkora a változtatások hatása a szolgáltatás színvonalra. Ilyen változás lehet a hívásérkezés ráta növekedése egy marketng kampány következtében, vagy változás az ütemezett kszolgálók számában egy adott műszakban. A legtöbb hatékonyságmutatóra adott kfejezés, amt az M/M/ M modellből származtattunk, eléggé komplex. Még az előzőekben megadott közelítések s hajlamosak túlságosan komplexek lenn ahhoz, hogy segítsék annak megértését, ahogyan a paraméterek 64

65 értéke befolyásolják a hatékonyságmutatókat. Ez kívánatos, azonban, az egyszerű gyakorlat szabályok származtatásához. A kegyensúlyozott hívásfeladás eset megvtatását folytatva, a következő, a Halfn és Whtt [6] M/M/ sorokhoz kapcsolódó összefüggéséhez hasonlító eredményhez jutunk. 5. tétel. Feltételezzük, hogy. Ekkor lm,, akkor és csak akkor, ha lm P W 0, 0, akkor és csak akkor, ha lm P Ab, 0, amely esetben az w és, h. Itt a w és a h ugyanazok, mnt az előzőekben. Megjegyzés. Ez az eredmény tartható a szélsőértékekre s, nevezetesen akkor és csak akkor,ha akkor és csak akkor,ha és akkor és csak akkor,ha 0 akkor és csak akkor,ha 0. A fent eredmények alapján az M/M/ M sorokra s kszámítható a határérték, amkor a ~, de tt a nem csak poztív lehet. Az 5. és az. tétel fényében most bemutatjuk a 3 üzemeltetés rezsmet, három lleszkedő gyakorlat szabállyal, amely összeköt a létszámfeltöltés szntet az ajánlott terheléssel, amt az R kfejezés defnál. (Az R Erlangokkal van mérve a telekommunkácó területén, amely egy mértékegység nélkül mennység, Egyenlő azzal a munkamennységgel am a rendszerbe érkezk és dőegységben mérjük) a). Mnőségvezérelt : Ilyen Call Centerekben a létszámfeltöltés szntje nagyobb, mnt az ajánlott terhelés hatalmas Call Centerekben ez elhanyagolható hívásfeladás rátához vezet, elhanyagolható várakozás dő mellett. Ilyen Call Centerek analízsénél ndokolható az M/M/ modell használata. (Ilyenek például a sürgősség Call Centerek s) b). Hatékonyságvezérelt : Ilyenkor a létszámfeltöltés szntje kevesebb, mnt az ajánlott terhelés, jelentős számban vannak hívásfeladások, és magas számban várakoznak. c). Raconalzált : Azt hsszük, hogy olyan Call Centerekben, ahol telemarketnggel, ügyféltámogatással foglalkoznak, vagy nformácót szolgáltatnak, az a céljuk, hogy ebben a 65

66 rezsmben üzemeltessenek. Itt kevés hívást feladó ügyfél van, és azoknak az ügyfeleknek a száma sem nagy, aknek várakozn kell. A létszámfeltöltés sznt és az ajánlott terhelés között mennység kapcsolat az 5. tételből következk. A tétel természetes módon defnál három rezsmet. A nem degenerált, számunkra érdekes határérték képzése az egyk, valamnt két szélsőérték, amre a megjegyzésben hvatkoztunk. Ezek egymás után a raconalzált, hatékonyságvezérelt ( eset) és a mnőségvezérelt ( eset) rezsmekhez tartoznak. A raconalzált rezsm létszámfeltöltés szntjét közvetlenül a ~ -ből származtatható. Az 5. tétel szélsőértéke csak létszámfeltöltés sznt határanak a szabnak határt. Mnden létszámfeltöltés sznt, úgy, mnt a R R 0, a 0. 5 megfelelő, ( a mnőségvezéreltnek, és a hatékonyságvezéreltnek). Azonban m azt ajánljuk, hogy az a legyen, mert ekkor tsztán látható különbség van a kssé kevéssé terhelt (mnőségvezérelt) és a kssé túlterhelt (hatékonyságvezérelt) valamnt a krtkusan terhelt Call Centerek (raconalzált) között. A következő táblázatban található rányvonalak közvetlenül az 5. tételből következnek, kvéve a hívást feladók aránya (P{Ab}) a hatékonyságvezérelt rezsmben, amely az. tételen alapul. Ábra 20 Gyakorlat szabályok összefoglaló táblázata Jegyezzük meg, hogy w, és h. Az 5. tételből következk, és Whtt szellemében folytatva, a -t (vagy -t) javasoljuk, mnt szolgáltatás gradens. Ennek a gradensnek a kemelkedő fontosságát, két rendszer összehasonlíthatósága adja. A gyakorlatban ez egy rendszert jelent, egy remélt változtatás előtt és után. Ha egy menedzser egyszer eldönt, hogy melyk rezsm lesz az alkalmas a három közül az üzemeltetéshez, meghatározhatja a szolgáltatás gradenst és használhatja a megfelelő gyakorlat szabályt. 66

67 Levonjuk a következtetéseket, az első fejezetben megsmert forgatókönyv segítségével. Tételezzük fel, hogy a Call Center a raconáls rezsmben működk kszolgálóval, kszolgálás rátával, és beérkezés rátával. A szolgáltatás színvonal mérhető a szolgáltatás gradenssel az -val. Előrejelzés van egy magasabb beérkezés rátára ( ˆ ) az ünnepek közeledtével. A Call Center menedzser szeretné ezt a helyzetet kezeln, és eldönten, hány kszolgáló dolgozzon a műszakokban ( ˆ ). A megfelelő gyakorlat szabály alapján az ˆ ˆ, és azt kapjuk, hogy a ˆ. Továbbá, a hatékonyságmutatók ünnepkor észlelt értéke: a). A várakozók aránya: W 0 b). A hívást feladók aránya: PAb P (am ugyanaz, mnt az eredet rendszerben) ˆ 67

68 0 Összefoglalás A dolgozatom során a bevezető részen túl, négy különböző, de egymással szoros kapcsolatban álló rendszert elemző forrásokat rendeztem egyfajta logka sorrendbe. Először az Erlang C került vzsgálódásom középpontjába, amely egyszerűségével gen vonzó a Call Center menedzserek számára. Gyors és pontos algortmus létezk a kszámítására, ahogy azt a 6.5. fejezetben dézett forrás s részletesen leírja. Azonban ennek a rendszernek komoly hányossága s vannak. Az első abból adódk, hogy lényegében azonos híváskezelés dőkkel számol, amely nem mndg tartható feltételezés. Ennek feloldását tárgyalja a 7. fejezet, amely aszmptotkus közelítést ad a késleltetés valószínűségekre, és ebből származtatja a TSF-et és az ASA-t. Ebben a fejezetben lesz említve először az parágban létező három létszámfeltöltés rezsm, rányvonal, amelyeket egyenként Hatékonyság-, Mnőségvezéreltnek és Raconalzáltnak nevezünk. Fontos megemlíten a szolgáltatás gradenst, amelynek sznten tartása a Raconalzált rezsm feladata, a többletlétszám (Hatékonyságvezérelt) vagy a rendszerkhasználtság (Mnőségvezérelt) sznten tartásával szemben. A Raconalzált rezsmnek ugyanez a célja az Erlang A rendszerben s. Az Erlang C végtelen türelmet feltételez a hívók részéről, am torlódás esetén 0 TSF-hez vezet, amelynek elkerülése a Call Center menedzserek elsődleges célja. A trunk vonalak számának beállíthatósága olyan eszköz a kezükben, amellyel elkerülhetk az lyen túlterhelés sztuácókat, cserébe lesznek olyan ügyfelek, amelyek foglalt jelzést kapnak. Ezeknek az arányáról ad pontos képet a 8. fejezet, amely az Erlang B modellel kapcsolatos forrásokból építkezk. Szntén létezk pontos és valós dőben számoló algortmus, amelyet a 8.3. fejezet smertet olyan rendszerekben, ahol a késleltetés valószínűsége nulla ( 0 sorhossz ). Végül az Erlang A modellel foglalkozó ckkekből merít a dplomamunkám. A 9.2 fejezetben látható egy olyan modell, amelyben a különböző, eddg tárgyalt rendszerek smérve vannak összegyúrva. Ebben a modellben, ha valak szabad az számú kszolgáló közül, akkor a hívás azonnal oda lesz rányítva. Ha nem de száma, és van szabad hely a maxmálsan B ahol B a trunk vonalak B hosszúságú sorban, akkor ott kell várakozna a hívásnak. A több foglalt jelzést kap. Ebben a fejezetben a középpont kérdés a sorban várakozó ügyfelek sorsa, amelyek az Erlang C modellel ellentétben nem várnak örökké, hanem feladják a hívást. Ennek az aránynak a számítása fontos hatékonyságmutató ebben a modellben az ASA, TSF és a Blokkolás valószínűség mellett, amelyeket már az előző 68

69 modellekben s említettünk. Létezk pontos számítás, amelyeket a források segítségével a 9.3. fejezetben említek. De ennél s fontosabbak a közelítések, amelyek kellően pontosak, és valós dőben számolhatóak ( fejezet ). A 9. fejezetet a többletlétszám kszámítására adott gyakorlat szabályok smertetésével fejezem be a 3 különböző rezsmben. A dolgozatom eredménye a különböző források szakma színvonalú fordítása, logka sorrendbe rendezése, a jelölések normalzálása olyan módon, hogy az eredmények összehasonlíthatóak legyenek. Továbbá kfejlesztésre került egy szoftver az egyes eredmények szemléltetésére. Ilyen ábrák láthatóak a dolgozat egyes részeben, valamnt a függelékben. Ugyantt a képernyőfelvételek s megtalálhatóak a szoftverről. A hatékonyságmutatók krtkus fontosságát hvatottak hangsúlyozn a szoftver által végrehajtott számítások. Ezek: a) az ASA az Erlang A és Erlang C modellekben b) a TSF az Erlang A és az Erlang C modellekben c) A blokkolás valószínűség az Erlang B modellben d) A hívásfeladók aránya az Erlang A modellben e) A várakozás arány a hívásfeladók körében A számítások az hívásbeérkezés, híváskezelés ntenztás, a kszolgálószám, az AWT és a türelem paraméterek segítségével paraméterezhetők. A tárgyalt forrásokban említenek olyan forgatókönyveket, amelyekre nem ad választ az tt tárgyalt egyk modell sem. A legfontosabb ezek közül az újratárcsázás sztuácó, amely az eddg exponencáls hívásbeérkezés ntenztásra gyakorolhat hatást. A dolgozat számítása arra adhatnak választ, hogy egy rövd dőperódusban mekkora az a kszolgálószám, amely hatékonyan kezeln tudja az akkor jelentkező terhelést, az elvárt mnőség krtérumok teljesítése mellett. Azonban a források tovább olvasásával arra s választ kaphat a kedves olvasó, hogy mlyen megfontolások vannak hosszabb távon, a kszolgálók ütemezésekor. 69

70 Irodalomjegyzék [] Valószínűségszámítás Fazekas, István 2000 [2] Handbook of Mathematcal Functons Abromowtz, Stegun 972 [3] Queung Systems, Vol. : Theory. L. Klenrock 976 [4] Introducton to Probablty Models S.M. Ross 997 [5] A proof of the queung formula L W J.D. Lttle 96 [6] A last word on L W S. Stdham 974 [7] Posson arrvals see tme averages R.W. Wolf 982 [8] Stochastc modellng and the theory of queues R.W. Wolf 989 [9] [0] Call Center Mathematcs Ger Koole 2007 [] Telephone Call Centers: tutoral, revew and research prospects. oah Gans, Ger Koole, Avsha Mandelbaum 2003 [2] Advanced topcs n queung theory: focus on customer contact centers Ward Whtt 2002 [3] Desgnng a Call Center wth mpatent customers O. Garnett A. Mandelbaum M. Reman Október 8, 999 [4] The Heavy Traffc Approxmaton n the Theory of Queues. Kngman, J.F.C. 965 [5] A queung model for telephone operator staffng Sze D. Y. 984 [6] Heavy-traffc lmts for queues wth many exponental servers Halfn, S., W. Whtt 98 [7] Robust algorthms for sharng agents wth multple sklls Borst, S. C., P. Ser 2000 [8] Servce engneerng course materal Mandelbaum, A., S. Zeltyn 200 [9] Performance characterstcs of automated call dstrbuton systems Fenberg M.A. 990 [20] Intenstatsschwankungen m fernsprechverkehr Palm, C. 953 [2] On queues wth mpatent customers Baccell, F., Hebuterne, G

71 [22] Heavy traffc lmt for a moble phone system loss model Flemng, P.J., Stolyar, A., Smon, B. 994 [23] On the nvarance prncple for the frst passage tme. Puhalsk, A

72 2 Függelék Ábra 2 A TSF változása már akár 2 kszolgáló hányzása esetén s jelentős Ábra 22 Egy alternatív hatékonyságmutató: AET. Az AWT-n felül várakozással eltöltött dő várható értéke. 72

73 Ábra 23 Paraméter képernyő 73

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok Műszak folyamatok közgazdaság elemzése Kevert stratégák és evolúcós átékok Fogalmak: Példa: 1 szta stratéga Vegyes stratéga Ha m tszta stratéga létezk és a 1 m annak valószínűsége hogy az - edk átékos

Részletesebben

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet: Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1, Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer

Részletesebben

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:

Részletesebben

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Közlekedésmérnök és Járműmérnök Kar Közlekedésüzem Tanszék HÁLÓZATTERVEZÉSI MESTERISKOLA BEVEZETÉS A KÖZLEKEDÉS MODELLEZÉSI FOLYAMATÁBA Dr. Csszár Csaba egyetem

Részletesebben

Tiszta és kevert stratégiák

Tiszta és kevert stratégiák sza és kever sraégák sza sraéga: Az -edk áékos az sraégá és ez alkalmazza. S sraégahalmazból egyérelműen válasz k egy eknsük a kövekező áéko. Ké vállala I és II azonos erméke állí elő. Azon gondolkodnak,

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

The original laser distance meter. The original laser distance meter

The original laser distance meter. The original laser distance meter Leca Leca DISTO DISTO TM TM D510 X310 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - -

Részletesebben

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom Lneárs regresszó Statsztka I., 4. alkalom Lneárs regresszó Ha két folytonos változó lneárs kapcsolatban van egymással, akkor az egyk segítségével elıre jelezhetjük a másk értékét. Szükségünk van a függı

Részletesebben

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Szárítás során kalakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Rajkó Róbert 1 Eszes Ferenc 2 Szabó Gábor 1 1 Szeged Tudományegyetem, Szeged Élelmszerpar Főskola Kar Élelmszerpar Műveletek és Környezettechnka

Részletesebben

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter TM Leca DISTO Leca DISTOTMD510 X10 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - - -

Részletesebben

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem Makroökonóma 2. személyes konzultácó Szécheny István Egyetem Gazdálkodás szak e-learnng képzés Összeállította: Farkas Péter 1 A tananyag felépítése (térkép) Ön tt áll : MAKROEGENSÚL Inflácó, munkanélkülség,

Részletesebben

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata Mnősítéses mérőrendszerek képességvzsgálata Vágó Emese, Dr. Kemény Sándor Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Kéma és Környezet Folyamatmérnök Tanszék Az előadás vázlata 1. Mnősítéses mérőrendszerek

Részletesebben

Die Sensation in der Damenhygiene Hasznos információk a tamponokról www.123goodbye.com

Die Sensation in der Damenhygiene Hasznos információk a tamponokról www.123goodbye.com nokról tampo a k ácó form n s no Hasz Mért használnak tamponokat? A tampon szó francául és a szó szernt fordításban dugó. Már a szó s sokat mond. A tamponok körülbelül öt centméteres rudak, amely közel

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap Közlekedésmérnök Kar Jármőtervezés és vzsgálat alapja I. Feladatlap NÉV:..tk.:. Feladat sorsz.:.. Feladat: Egy jármő futómő alkatrész terhelésvzsgálatakor felvett, az alkatrészre ható terhelı erı csúcsértékek

Részletesebben

Kvantum-tömörítés II.

Kvantum-tömörítés II. LOGO Kvantum-tömörítés II. Gyöngyös László BME Vllamosmérnök és Informatka Kar A kvantumcsatorna kapactása Kommunkácó kvantumbtekkel Klasszkus btek előnye Könnyű kezelhetőség Stabl kommunkácó Dszkrét értékek

Részletesebben

IMPRESSA C5 Használati útmutató

IMPRESSA C5 Használati útmutató IMPRESSA C5 Használat útmutató Kávé Prof Kft. 1112 Budapest, Budaörs út 153. Tel.: 06-1-248-0095 kaveprof@freemal.hu A TÜV SÜD független német mnôségvzsgáló ntézet Az IMPRESSA kézkönyvének és a hozzá tartozó

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Tökéletes verseny. Tökéletes verseny árképzése. Monopólium. Korábban tanult piacszerkezeti fogalmak áttekintése. ( q) Modern piacelmélet

Tökéletes verseny. Tökéletes verseny árképzése. Monopólium. Korábban tanult piacszerkezeti fogalmak áttekintése. ( q) Modern piacelmélet Modern pacelmélet Modern pacelmélet acszerkezet fogalmak ELTE TáTK Közgazdaságtudomány Tanszék Sele Adrenn ELTE TáTK Közgazdaságtudomány Tanszék Készítette: Hd János A tananyag a Gazdaság Versenyhvatal

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Szerelési útmutató FKC-1 síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára

Szerelési útmutató FKC-1 síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára Szerelés útmutató FKC- síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára 604975.00-.SD 6 70649 HU (006/04) SD Tartalomjegyzék Általános..................................................

Részletesebben

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet

Részletesebben

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár Balogh Edna Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetem tanár Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Építőmérnök Kar 202 . Bevezetés,

Részletesebben

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

A gabonavertikum komplex beruházás-elemzés módszertani fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre

A gabonavertikum komplex beruházás-elemzés módszertani fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre A gabonavertkum komplex beruházás-elemzés módszertan fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre 1. Bevezetés A gabonavertkum komplex beruházás-elemzés módszertan fejlesztése

Részletesebben

A hő terjedése szilárd test belsejében szakaszos tüzelés esetén

A hő terjedése szilárd test belsejében szakaszos tüzelés esetén A hő terjedése szlárd test belsejében szakaszos tüzelés esetén Snka Klára okl. kohómérnök, doktorandusz hallgató Mskol Egyetem Anyag- és Kohómérnök Kar Energahasznosítás Khelyezett anszék Bevezetés Az

Részletesebben

MEGBÍZHATÓSÁG-ELMÉLET

MEGBÍZHATÓSÁG-ELMÉLET PHARE HU3/IB/E3-L MEGBÍZHAÓSÁG-ELMÉLE Defnícók A legszélesebb körben elfogadott defnícó szernt a megbízhatóság egy elem (termék, rendszer stb.) képessége arra, hogy meghatározott működés feltételek mellett

Részletesebben

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i . konzult. LEV. 013. ápr. 5. MENNYISÉGI ISMÉRV szernt ELEMZÉS Tk. 3-8., 88-90. oldal, kmarad: 70., 74. oldal A mennység smérv (X) lehet: dszkrét és folytonos. A rangsor a mennység smérv értékenek monoton

Részletesebben

1. Holtids folyamatok szabályozása

1. Holtids folyamatok szabályozása . oltds folyamatok szabályozása Az rányított folyamatok jelentés részét képezk a lassú folyamatok. Ilyenek például az par környezetben található nagy méret kemencék, desztllácós oszlopok, amelyekben valamlyen

Részletesebben

63/2004. (VII. 26.) ESzCsM rendelet

63/2004. (VII. 26.) ESzCsM rendelet 63/2004. (VII. 26.) ESzCsM rendelet a 0 Hz-300 GHz között frekvencatartományú elektromos, mágneses és elektromágneses terek lakosságra vonatkozó egészségügy határértékeről Az egészségügyről szóló 1997.

Részletesebben

Ismételt játékok: véges és végtelenszer. Kovács Norbert SZE GT. Példa. Kiindulás: Cournot-duopólium játék Inverz keresleti görbe: P=150-Q, ahol

Ismételt játékok: véges és végtelenszer. Kovács Norbert SZE GT. Példa. Kiindulás: Cournot-duopólium játék Inverz keresleti görbe: P=150-Q, ahol 9. elõaás Ismételt játékok: véges és végtelenszer történõ smétlés Kovács Norbert SZE GT Az elõaás menete Ismételt játékok Véges sokszor smételt játékok Végtelenszer smételt játékok Péla Knulás: ournot-uopólum

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 4. Statisztikus golyójátékok

Orosz Gyula: Markov-láncok. 4. Statisztikus golyójátékok . Statsztkus golyójátékok Egy urnában kezdetben különböző színű golyók vannak. Ezek közül véletlenszerűen kválasztunk egyet, és a követett stratégától függően kveszünk vagy beteszünk újabb golyókat az

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

10. Exponenciális rendszerek

10. Exponenciális rendszerek 1 Exponenciális rendszerek 1 Egy boltba exponenciális időközökkel átlagosan percenként érkeznek a vevők két eladó, ndrás és éla, átlagosan 1 illetve 6 vevőt tud óránként kiszolgálni mennyiben egy vevő

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán):

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán): F NIK INÁRIS RLÁIÓK INÁRIS RLÁIÓK (és hasonló mátrxok s tt!) Defnícó: z R bnárs relácó, ha R {( a, b) a, b } nárs relácók lehetséges tuladonsága:. Reflexív ha ( x,.(a). Szmmetrkus ha ( x, y) ( y,.(b).

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Egyenáramú szervomotor modellezése

Egyenáramú szervomotor modellezése Egyenáramú szervomotor modellezése. A gyakorlat élja: Az egyenáramú szervomotor mködését leíró modell meghatározása. A modell valdálása számításokkal és szotverejlesztéssel katalógsadatok alapján.. Elmélet

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Tanulmányok Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzés módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Hajdu Tamás, az MTA Közgazdaságés Regonáls Tudomány Kutatóközpont Közgazdaságtudomány

Részletesebben

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege A multkrtérumos elemzés célja, alkalmazás területe, adat-transzformácós eljárások, az osztályozás eljárások lényege Cél: tervváltozatok, objektumok értékelése (helyzetértékelés), döntéshozatal segítése

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Szerven belül egyenetlen dóziseloszlások és az LNT-modell

Szerven belül egyenetlen dóziseloszlások és az LNT-modell Szerven belül egyenetlen dózseloszlások és az LNT-modell Madas Balázs Gergely, Balásházy Imre MTA Energatudomány Kutatóközpont XXXVIII. Sugárvédelm Továbbképző Tanfolyam Hunguest Hotel Béke 2013. áprls

Részletesebben

A kockázat fogalma. A kockázat fogalma. Fejezetek a környezeti kockázatok menedzsmentjéből 2 Bezegh András

A kockázat fogalma. A kockázat fogalma. Fejezetek a környezeti kockázatok menedzsmentjéből 2 Bezegh András Fejezetek a környezeti kockázatok menedzsmentjéből 2 Bezegh András A kockázat fogalma A kockázat (def:) annak kifejezése, hogy valami nem kívánt hatással lesz a valaki/k értékeire, célkitűzésekre. A kockázat

Részletesebben

ERP beruházások gazdasági értékelése

ERP beruházások gazdasági értékelése Rózsa Tünde 1 ERP beruházások gazdaság értékelése 1 DE ATC AVK Gazdaság- és Agrárnformatka Tanszék, Debrecen, Böszörmény u. 138 Absztrakt. Egy ERP rendszer bevezetése mnden esetben nagy anyag megterhelést

Részletesebben

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája HAVRAN DÁNIEL Pénzgazdálkodás szokások haása a működőőkére. A Magyar Posa példája A hálózaos parágakban, ahogy a posa szolgálaásoknál s, a forgalomban lévő készpénz nagyméreű működőőké jelenhe. A Magyar

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat Mskolc Egyetem Gépészmérnök és Informatka Kar Automatzálás és Infokommunkácós Intézet Tanszék Optka elmozdulás érzékelő llesztése STMF4 mkrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése Szakdolgozat Tervezésvezető:

Részletesebben

BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK

BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK MÉRNÖKI MATAMATIKA Segédlet a Bessel-függvények témaköréhez a Közlekedésmérnök

Részletesebben

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Részletesebben

Számítógép-architektúrák II.

Számítógép-architektúrák II. Várady Géza Számítógép-archtektúrák II. Pécs 2015 A tananyag a azonosító számú, A gépészet és nformatka ágazatok duáls és modulárs képzésenek kalakítása a Pécs Tudományegyetemen című projekt keretében

Részletesebben

Közúti közlekedésüzemvitel-ellátó. Tájékoztató

Közúti közlekedésüzemvitel-ellátó. Tájékoztató 12/2013. (III. 29.) NFM rendelet szakma és vzsgakövetelménye alapján. Szakképesítés, azonosító száma és megnevezése 54 841 02 Közút közlekedésüzemvtel-ellátó Tájékoztató A vzsgázó az első lapra írja fel

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

VEZÉRIGAZGATÓI UTASÍTÁS

VEZÉRIGAZGATÓI UTASÍTÁS Követeléskezelés Szabályzat Sgma Követeléskezelı Zrt. A Sgma Követeléskezelı Zrt. tevékenység köre A Sgma Követeléskezelı Zrt. 1923-ban, részvénytársaság formában került bejegyzésre, magánosítására 1988.

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként. A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább

Részletesebben

Integrált rendszerek n é v; dátum

Integrált rendszerek n é v; dátum Integrált rendszerek n é v; dátum.) Az dentfkálás (folyamatdentfkácó) a.) elsődleges feladata absztrahált leírás fzka modell formában b.) legfőbb feladata a struktúradentfkálás (modellszerkezet felállítása)

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma Témakörök Statsztka Sortszerező BSc kézés (leelező tagozat) 2-2-es tané félé Oktató: Dr Csáfor Hajnalka főskola docens Vállalkozás-gazdaságtan Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka fogalmak Statsztka elemzések

Részletesebben

MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA

MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA Kutatás téma 2002 2005. Nylvántartás szám: T0 37555 TARTALOMJEGYZÉK 1. Kutatás célktűzések... 2 2.

Részletesebben

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika)

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika) Fzka II. (Termosztatka, termodnamka) előadás jegyzet Élelmszermérnök, Szőlész-borász mérnök és omérnök hallgatóknak Dr. Frtha Ferenc. árls 4. Tartalom evezetés.... Hőmérséklet, I. főtétel. Ideáls gázok...3

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

1. Gauss-eloszlás, természetes szórás

1. Gauss-eloszlás, természetes szórás 1. Gauss-eloszlás, természetes szórás A Gauss-eloszlásnak megfelelő függvény: amely egy σ szélességű, µ középpontú, 1-re normált (azaz a teljes görbe alatti terület 1) görbét ír le. A természetben a centrális

Részletesebben

IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád

IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád BALOGH DEZSŐ BHG BEVEZETÉS A BHG Híradástechnka Vállalat kutató és fejlesztő által kdolgozott napjankban gyártásban levő tárolt programvezérlésű elektronkus

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

3. Pénzpiac. 3.1. A pénz szerepe. 3.2. A pénzpiac

3. Pénzpiac. 3.1. A pénz szerepe. 3.2. A pénzpiac 3. Pénzpac A pénzpac összefüggések: pénzkereslet, pénzkínálat, kamatláb meghatározása. Az L görbe levezetése. 3.1. A pénz szerepe Az előző fejezetben az árupac működését mutattuk be. A modell lényege az

Részletesebben

Ellenőrző kérdések és lényegre törő válaszok az ütemezési feladatok osztályozása témakörből :

Ellenőrző kérdések és lényegre törő válaszok az ütemezési feladatok osztályozása témakörből : Termeléstervezés és vállalatrányítás Ellenőrző kérdések és lényegre törő válaszok az ütemezés feladatok osztályozása témakörből : 1 Ismertesse az ütemezés feladatok háromelemes osztályozásának alapvető

Részletesebben

MŰSZAKI-, GAZDASÁGI FOLYAMATOK ELEMZÉSE KERESKEDELMI ÉRTÉKESÍTÉS ELEMZÉSE

MŰSZAKI-, GAZDASÁGI FOLYAMATOK ELEMZÉSE KERESKEDELMI ÉRTÉKESÍTÉS ELEMZÉSE MŰSZAKI-, GAZDASÁGI FOLYAMAOK ELEMZÉSE KERESKEDELMI ÉRÉKESÍÉS ELEMZÉSE A fentek mellett, amelyek már hagyományosnak számítanak, működnek az újabb értékesítés hálózatok: - csomagküldő - multlevel marketng

Részletesebben

Ellátási lánc optimalizálás P-gráf módszertan alkalmazásával mennyiségi és min ségi paraméterek gyelembevételével

Ellátási lánc optimalizálás P-gráf módszertan alkalmazásával mennyiségi és min ségi paraméterek gyelembevételével Ellátási lánc optimalizálás P-gráf módszertan alkalmazásával mennyiségi és min ségi paraméterek gyelembevételével Pekárdy Milán, Baumgartner János, Süle Zoltán Pannon Egyetem, Veszprém XXXII. Magyar Operációkutatási

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus

Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Gyakorisági sorok Mennyiségi ismérv jellemző rangsor készítünk. (pl. napi jegyeladások száma) A gyakorisági sor képzése igazából tömörítést jelent Nagyszámú

Részletesebben