Gazdasági számítások matematikai alapjai
|
|
- Lili Király
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Gazdasági számítások matematikai alapjai Eger, 20. november 28.
2 Tartalomjegyzék. Elemi matematika 3.. Számírás Halmazok Függvények Matematikai analízis Számsorozatok Sorok Függvények határértéke és folytonossága Differenciálszámítás Függvényvizsgálat Integrálszámítás Valószínűségszámítás Véletlen események Valószínűség Feltételes valószínűség Események függetlensége Eloszlás Eloszlásfüggvény Sűrűségfüggvény Várható érték Szórásnégyzet Nevezetes eloszlások A nagy számok törvénye Moivre Laplace-tétel Lineáris algebra Mátrixok Műveletek mátrixokkal Determináns Inverz mátrix kiszámítása determinánsok segítségével Standard normális eloszlás táblázata 7 2
3 . fejezet Elemi matematika Ebben a fejezetben átismételjük a középiskolában tanult matematika azon részeit, amelyek szükségesek a további fejezetek megértéséhez és az ott található feladatok megoldásához. Mindenekelőtt azonban foglaljuk össze a számírással kapcsolatos tudnivalókat, mert a tapasztalat szerint ebben a kérdésben sok hallgatónak vannak hiányosságai... Számírás Tízezer alatt a számjegyeket egybe kell írni, de tízezertől ezres csoportosítás kell, csoportosító jel a szóköz. Pl. 8997, 9999, 0 000, Ha egy táblázat valamely oszlopában szerepel tízezer vagy annál nagyobb szám és tízezer alatti szám is, akkor annak érdekében, hogy a számjegyek egymás alá kerüljenek, tízezer alatt is kell az ezres csoportosítás. Pl. helyes: helytelen: A számok szöveges kiírásánál 2000 után ezres csoportosítás kell, csoportosítójel a kötőjel. Pl. ezernyolcszázkilencvenkilenc, kettőezer-ötszáznegyvennyolc, egymilliókettőszázhuszonháromezer-ötszázhatvanhat. Tizedes törtekben tizedes vesszőt írunk (és nem pontot), mely előtt és után nincs szóköz. Pl. 3,723. Végtelen szakaszos tizedes törtekben az ismétlődő szakaszt föléhúzzuk, kivéve, ha a szakasz egyetlen szám. Ekkor pontot teszünk az ismétlődő szám fölé. Pl. 2,23 illetve 4, 7. Tizedes törtek kiolvasása: pl. 23,2 huszonhárom egész tizenkét század, vagy 0,234 nulla egész ezerkettőszázharmincnégy tízezred. 3
4 .2. Halmazok Az elem, halmaz és az elem eleme a halmaznak fogalmakat nem definiáljuk. Ezek úgynevezett alapfogalmak. Az x elem eleme a H halmaznak jelölése: x H. Az x elem nem eleme a H halmaznak jelölése: x H. Az üreshalmaz olyan halmaz, melynek nincs egyetlen eleme sem. Jele:. Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak ha minden A-beli elem eleme B-nek is. Jele: A B. Az minden halmaznak részhalmaza. Halmaz megadásánál a halmaz elemeit { } jelek között soroljuk fel. Pl. {, 2, 3}. Egy halmaz az elem tulajdonságaival is megadható. Pl. {x R : 3 < x < 5} azon valós számokból álló halmazt jelöli, melyek 3-nál nagyobbak de 5-nél kisebbek. Halmazműveletek Az A és B halmazok uniója azon elemek halmaza, melyek A-nak vagy B-nek elemei. Jele: A B. Az A és B halmazok metszete azon elemek halmaza, melyek A-nak és B-nek is elemei. Jele: A B. Az A és B halmazok különbsége azon elemek halmaza, melyek A-nak elemei, de B-nek nem. Jele: A \ B. Legyen A H. Az A-nak H-ra vonatkozó komplementere azon elemek halmaza, melyek H-nak elemei, de A-nak nem. Jele: A. Számhalmazok N = {, 2, 3,... } természetes számok halmaza Z = {..., 3, 2,, 0,, 2, 3,... } egész számok halmaza Q = { m n : m, n Z, n 0} racionális számok halmaza R valós számok halmaza Korlátos számhalmazok H R felülről korlátos, ha van olyan K szám, melynél nincs nagyobb H-beli szám. Ekkor K-t a H felső korlátjának nevezzük. A H felső korlátai közül a legkisebbet a H pontos felső korlátjának nevezzük. H R alulról korlátos, ha van olyan k szám, melynél nincs kisebb H-beli szám. Ekkor k-t a H alsó korlátjának nevezzük. A H alsó korlátai közül a legnagyobbat a H pontos alsó korlátjának nevezzük. 4
5 H R korlátos, ha alulról is és felülről is korlátos. Intervallumok Legyen a, b R és a < b. Bevezetjük a következő jelöléseket: (a, b) := {x R : a < x < b} (korlátos nyílt intervallum) (a, ) := {x R : a < x} (felülről nem korlátos nyílt intervallum) (, a) := {x R : x < a} (alulról nem korlátos nyílt intervallum) [a, b] := {x R : a x b} (zárt intervallum) [a, b) := {x R : a x < b} (félig zárt félig nyílt intervallum) (a, b] := {x R : a < x b} (félig nyílt félig zárt intervallum).3. Függvények Függvényeknek az egyértelmű hozzárendeléseket nevezzük. Egy függvény kölcsönösen egyértelmű, ha a fordított hozzárendelés is egyértelmű. Azon elemek halmazát, melyekhez a függvény rendel valamit, a függvény értelmezési tartományának nevezzük. Az értelmezési tartomány elemeihez rendelt elemek halmazát a függvény értékkészletének nevezzük. Ha egy függvény értelmezési tartománya és értékkészlete is valós számokból áll, akkor valós függvényről beszélünk. Ha az f-fel jelölt függvény értelmezési tartománya A és az értékkészlete vagy annál bővebb halmaz B, akkor azt f : A B módon jelöljük. Kiolvasása: ef át bébe képező függvény. Az x A-hoz rendelt B-beli elemet f(x) -szel jelöljük. (Az f(x) kiolvasása: ef iksz.) 4, 2 5, 2 6, 3 6 nem függvény, mert 2-höz két különböző értéket is rendel. 4, 2 4, 3 5 függvény, de nem kölcsönösen egyértelmű, mert az -hez és 2-höz ugyanazt rendeli. Értelmezési tartománya {, 2, 3}, értékkészlete {4, 5}. 4, 2 5, 3 6 kölcsönösen egyértelmű függvény. Értelmezési tartománya {, 2, 3}, értékkészlete {4, 5, 6}. Folyt. köv. 5
6 2. fejezet Matematikai analízis 2.. Számsorozatok Azokat a valós függvényeket, melyek értelmezési tartománya N, számsorozatoknak nevezzük. Egy számsorozat n-hez rendelt tagját a n (vagy b n, c n stb.) módon jelöljük. (Ejtsd: á en, bé en, cé en.) A továbbiakban magát a számsorozatot is a n, b n, c n stb. módon jelöljük. Monotonitás Az a n számsorozat monoton nő, ha a n a n+, szigorúan monoton nő, ha a n < a n+, monoton csökken, ha a n a n+, szigorúan monoton csökken, ha a n > a n+ minden n N esetén. a n = 3n+2 4n esetén a n a n+ = 3n+2 4n 3(n+)+2 4(n+) = (4n )(4n+3) > 0, így a n > a n+, azaz a n szigorúan monoton csökkenő. Részsorozat Legyen c n olyan szigorúan monoton növekvő számsorozat, melynek értékkészlete természetes számokból áll és legyen a n tetszőleges sorozat. Ekkor a b n = a cn sorozatot az a n sorozat egy részsorozatának nevezzük. 6
7 4n 2 +2 az n sorozat részsorozata, 5n 5n az n n sorozat részsorozata. Konvergens számsorozatok Az a n számsorozatot nullsorozatnak nevezzük, ha bármely r > 0 esetén legfeljebb véges sok n N létezik, melyre a n távolsága 0-tól nagyobb mint r, azaz a n > r. a n = n vagy a n = ( )n n nullsorozatok. Az a n számsorozatot konvergensnek nevezzük, ha van olyan a R, hogy az a n a nullsorozat. Ezt az a számot az a n sorozat határértékének nevezzük. Jele: a n a. Kiolvasása: a n konvergál a-hoz vagy a n tart a-hoz vagy a n határértéke a. 5n+ n 5, mert 5n+ n 5 = n nullsorozat. Konvergens sorozatnak nem lehet két különböző határértéke. Egy sorozat pontosan akkor nullsorozat, ha konvergens és határértéke 0. Egy sorozat pontosan akkor nullsorozat, ha abszolút értéke nullsorozat. Ha az a n sorozat értékkészlete korlátos és b n 0, akkor a n b n 0. ( ) n n 0, mert ( )n n = n 0. sin n n 0, mert sin n és n 0. Határátmeneti szabályok Ha a, b, k R, a n a és b n b, akkor a n + k a + k ka n ka a k n a k (amennyiben értelmezettek ezek a kifejezések) a n + b n a + b 7
8 a n b n a b a n b n ab an b n a (amennyiben értelmezettek ezek a kifejezések) b a bn n a b (amennyiben értelmezettek ezek a kifejezések). 5n 2 +3n+2 7n 2 4n = ( n n) n+2 4n 2 +5n = 3 +2 ( n n) n ( n) = 5 7 ( n n) = = 0 +2n + n = n n + 0+ = 2 n + n = ( n+ n)( n++ n) n++ n = n++ n = 2 n 0 + n = 0 2 = 0 Legyen a R, a n a és r > 0. Egy természetes számot az r-hez tartozó küszöbszámnak nevezzük, ha minden attól nagyobb n N esetén a n távolsága a-tól, kisebb r-nél, azaz a n a < r. Bármely küszöbszámnál nagyobb természetes szám is küszöbszám. Legyen a n = 4n+ 5n+3. Számoljuk ki az r = 0,0-hez tartozó küszöbszámot. Mivel 4n+ 5n+3 = 4+ n , így n a n a = 4n + 5n = 7 25n + 5 < 0,0 700 < 25n < 25n = 27,4 < n Így minden 27 < n esetén teljesül, hogy a n a < 0,0. Tehát 27 küszöbszám. Legyen a n = 5n+4 3n 3 +7n 2. Számoljuk ki az r = 0,03-hoz tartozó küszöbszámot. 5n+4 Mivel 3n 3 +7n 2 = 5 ( n) 2 +4 ( n) ( 0 n n) 3 3 = 0, így a n a = 5n + 4 3n 3 + 7n 2 0 = 5n + 4 3n 3 + 7n 2 5n + 4n 3n n 3 = 9 2n 2 < 0, < 2n 2 50 < n ,25 < n Így minden 2 < n esetén teljesül, hogy a n a < 0,03. Tehát 2 küszöbszám. 8
9 Nevezetes konvergens számsorozatok 0 n q n 0, ha < q < 3 n+2 +2 n = 9 3n + n 4 2n 4+5 = 9 ( 3 5) n + ( 4 5) 2 n 9 0+ n 4 ( 5) n = 0 =0. Bizonyítható, hogy az ( + n) n sorozat konvergens. A határértéke viszont nem fejezhető ki a szokásos algebrai műveletek véges sokszori alkalmazásával, hasonlóan mint a π. Ezt a határértéket e -vel (ejtsd: é ) fogjuk jelölni (e 2,78... ). ( + n) n e ( + p n) n e p, ahol p R. (Ejtsd: é a péediken vagy é ad pé.) ( ) + 5 n n e 5 ( ) 2n+ = 5n+2 5n (+ 2 5n ) n ( + 5 n ) n 2+ n ( e 2 5 e 5 ) 2+0 = e 6 5 ( n+ ) 5n (+ 2n = n )5n 2 = ( ) ( n ( ) 5n 2 + n 5 n) 0 e 5 = 0 5 Konvergens sorozat részsorozata Ha a n a, akkor a n minden részsorozata a-hoz konvergál. 4n , mert az n részsorozata, ( + 4 n 2 ) n 2 e 4, mert az ( + 4 n) n részsorozata. Divergens számsorozatok Ha egy számsorozat nem konvergens, akkor azt divergensnek nevezzük. Két speciális típusú divergens sorozatot részletezünk. 9
10 Azt mondjuk, hogy az a n számsorozat végtelenbe divergál, ha bármely k R esetén véges sok n-re lesz a n < k. Jele: a n Kiolvasása: a n divergál végtelenbe vagy a n tart végtelenbe vagy a n határértéke végtelen. Azt mondjuk, hogy az a n számsorozat mínusz végtelenbe divergál, ha bármely k R esetén véges sok n-re lesz a n > k. Jele: a n Kiolvasása: a n divergál mínusz végtelenbe vagy a n tart mínusz végtelenbe vagy a n határértéke mínusz végtelen. Nevezetes divergens számsorozatok n q n, ha q > Határátmeneti szabályok Ha a n és k > 0, akkor ka n, a k n és k + a n. Ha a n és k < 0, akkor ka n és k + a n. Ha a n és k > 0, akkor ka n és k + a n. Ha a n és k < 0, akkor ka n és k + a n. Ha a n és b n, akkor a n + b n, a n b n és a bn n. Ha a n és b n konvergens, akkor a n + b n. Ha a n és b n b > 0, akkor a n b n. Ha a n és b n b < 0, akkor a n b n. a n pontosan akkor, ha a n 0. 5n 2 +3n+2 7n 4 = 5n+3+2 n 7 4 n 3 2n+ + 5 n +7 = 3 9n +, = 3( 9 5) n +( 5) n 5 5n +7 +7( 5 5). n Divergens sorozat részsorozata -be divergáló sorozat minden részsorozata -be divergál. 4 5n2 +2, mert a 4 n részsorozata. 0
11 g y a k o r l ó f e l a d a t o k Vizsgálja meg a következő sorozatok monotonitását. n+4 n n+0 2n+3 2 3n n n2 4 2n 2 + Számolja ki a következő sorozatok határértékét. 5. 2n3 5n n 3 +2n n 5 +3n n2 + 2n 2n n 5 +4n 4 +n 3 +9 n 3 +5n 3 3n2 6n+. (n+)5 3n n 2n+3 5n n3 +5n 2 +n+2 5n 3 +2n n + 3 n 3 2 n + 5 n n n2 +n+ 4n+5 3n n3 +4n 2 n+2 3n 2 +n n4 3n 2 + n 2 +n n 2 5n n 3 +2n n+2 9. n 2 ++n 3 n n 2 +2 n 2. n 2 ( n 4 n 2 ) 22. n+3 n 23. n( n n) 24. n+ n n n Adjon meg 0,00-hez tartozó küszöbszámot a következő sorozatok esetén. 25. ( )n n 26. n+2 n n 33. n 2 +2 n 2 +n n2 +n+2 n 2 +n n n+2 n+7 4n+2 n 2 +6 n 2 +5 n n 3 6 ( 2 3. sin n n 32. n 3 +5 ) n ( )n 38. 6n3 +n 2 2n+ 5 n n 3 +n Számolja ki a következő sorozatok határértékét. 39. n 2 +6n+ n n ,0 n ( 2+) n ( 2 ) 2n 42. ( 2)n +4 n n +3 2n 2 3 n +7 n 2 +6 n ( n +2 3n+ 45. ( 3n+4 8 n+ +7 n 2 3n 5 ( ( 3n n 2 5 n n 2 ) 4n 2 ) 4n2 ) n 46. ( ) 5n n ( 7n 5n+3 ( 50. ( n 2 ) 2n 5. ( n+2 2n+) 2n+ 52. n 5 7n+4) 48. ) 4n 3n 3 3 2n n 2 6n 2 +3 ) 2n ( ) 2n n 3n 2.2. Sorok Akhilleusz és a teknős versenyt futnak. Akhilleusz tízszer gyorsabb a teknősnél, így 0 méter előnyt ad. Az ókori görögök szerint ekkor Akhilleusz sohasem éri utol a teknőst, ugyanis amíg 0 métert fut Akhilleusz, addig a teknős métert. Ekkor a teknősnek méter az előnye. Amíg ezt az métert lefutja Akhilleusz, addig a teknős 0, métert fut, így a teknősnek ekkor 0, méter az előnye. Ezt a végtelenségig folytathatjuk, így a teknős mindig Akhilleusz előtt lesz. A tapasztalat azonban ezzel ellentétes. Hol a hiba? Írjuk le sorban az előbb említett előnyöket: 0 0, 0,0 0,00...
12 Az ókori görögök szerint ezen számok összege végtelen. Ellenőrizzük ezt az állítást. Jelöljük a számok összegét x-szel. Ekkor 0x = , + 0, = 00 + x, } {{ } x melyből x = 00 00, azaz Akhilleusz a kiindulási pontjától méternél utoléri a teknőst. 9 9 Az ókori görögök állítása ezek szerint hamis. Végtelen sok pozitív szám összege lehet véges. Hogyan lehet értelmezni végtelen sok szám összegét? Legyenek az összeadandó számok az a n számsorozat tagjai. Vagyis a kérdés, hogy hogyan értelmezzük az a + a 2 + a a n + összeget? Az s n = a + a a n sorozatot az a n sorozatból képzett sornak nevezzük. Ha s n s, ahol s R, s = vagy s =, akkor az s határértéket az a n sorozatból képzett sor összegének nevezzük. Jele: a n. Kiolvasása: az a n sorozatból képzett sor összege vagy szumma n megy -től végtelenig a n. Ha az s n sorozatnak nincs határértéke, akkor azt mondjuk, hogy a n nem létezik. Az a +a 2 +a 3 + +a n + végtelen sok tagból álló összeget a a n sorösszegként értelmezzük. Például az Akhilleusz és a teknős eseténél tárgyalt x egyenlő a 0 0, n sorösszeggel, melyről később a mértani sornál látni fogjuk, hogy 00 Ha az összeadás nem a -től indul, hanem a k -tól, akkor az a k + a k+ + a k a n +. 9 összeg a = a n+k. (n+2) 4 sorösszeggel egyenlő és a n n=k módon jelöljük. Pl. n=3 = n 4 a n = n(n+) = n n+ esetén így s n = ( 2 n(n+) =. ) + ( 2 ) ( n ) = n + n +, 2
13 Határozzuk meg a 4n 2 +8n+3 sorösszeget. Ehhez először a nevezőt gyöktényezős alakban írjuk fel, majd a törtet ún. elemi törtekre bontjuk: 4n 2 + 8n + 3 = (2n + )(2n + 3) = a 2n + + b 2n + 3 (2a + 2b)n + (3a + b) =, (2n + )(2n + 3) melyből látható, hogy 2a+2b = 0 és 3a+b =. Ebből kapjuk, hogy a = 2 és b = 2. Így 4n 2 +8n+3 = 2 2n+ 2 2n+3, melyből ( ) ( 2 s n = Tehát 4n 2 +8n+3 = ) + + ( 2 ) 2n = 2n n Nevezetes sorok Mértani sor q n = q, ha < q < q 0, n = 0, 0, = 9 ( ) ( n 3 = n 7) + 5 n ( 3) n = = 8 3 Hiperharmonikus sor R, ha c > n c Itt a sorösszeg meghatározására nem tanulunk módszert, de ként megemlítjük, hogy = π2. n 2 6 =, ha c (c = esetén harmonikus sorról beszélünk.) n c 3
14 Konvergenciakritériumok Ha a n nem nullsorozat, akkor s n divergens. Ha a n a > 0 vagy a n, akkor a n =. Ha a n a < 0 vagy a n, akkor a n =. 5n+2 5n+2 3n =, mert 3n 5 3 > 0. Majoráns kritérium Ha a n b n és b n R, akkor a n R. n+ 2n 3 +2n+ n+n 2n = 3 n és 2 n R, ezért 2 n+ 2n 3 +2n+ R. Minoráns kritérium Ha a n b n és b n =, akkor a n =. n+ 2n 2 +2n+ n 2n 2 +2n 2 +n = 2 5n és 5n = 5 n =, így n+ 2n 2 +2n+ =. Gyökkritérium Tegyük fel, hogy n a n a. Ha a <, akkor a n R. Ha a > vagy a =, akkor a n =. a n = ( ) n+ n 3n esetén n a n = n+ 3n 3 <, így ( n+ ) n 3n R. 4
15 Hányadoskritérium Tegyük fel, hogy a n+ a n a. Ha a <, akkor a n R. Ha a > vagy a =, akkor a n =. ( ) a n = nn n! esetén an+ a n = + n n e >, így n n n! =. Az n! (ejtsd: en faktoriális ) az -től n-ig terjedő egészek szorzatát jelenti. g y a k o r l ó f e l a d a t o k Határozza meg a következő sorösszegeket n 2 3n 2 n 2 5n+4 n 2 n 2 n=5 n=3 6. ( n+ 2 n) 7. n 8. (2 n +)(2 n+ +) n=2 +( ) (. 2. n 3. ) 2 6 2n n+ 5 n 5 4. n+ n= n 2 2 n 3 cos(nπ) cos( nπ 3 ) 9. n+ 3 n 2 n n 2 n n! n 3 +3n 2 +2n 0. n! n +( ) n 0 n 5. sin(n π 2 )+cos(nπ) 4 n+3 2n+ n 2 (n+) 2 5 2n+ ( 3) n +2 n 8 6 n Valamelyik konvergenciakritériummal döntse el, hogy az alábbi sorösszegek végesek vagy végtelenek. ( 20. n ) n n ,0 n 2n+3 n 5n n n n 2 +4n+ n 2 +5n 2n n 4 +n sin(n) n+ n 2n 2 +n n+ n n=2 2 +n+ 3 n n=2 4 +3n+4 5n n n! 0, 32. n n! e n n! n n! n n n! (2n)! (2n+)! e n n n ( 36. n!2 n 37. n ) n (2n)! ( n n+ ) 4n+ n! 3 n n n n 3n Függvények határértéke és folytonossága Legyen H R és x R. Az x számot a H torlódási pontjának nevezzük, ha minden r > 0 esetén az (x r, x + r) nyílt intervallumban a H-nak végtelen sok eleme van. 5
16 H = (, 2) esetén minden x [, 2] torlódási pont. H = [0, 5] {6} esetén minden x [0, 5] torlódási pont. H = { n : n N} esetén csak a 0 torlódási pont. Legyen H R, x 0 (ejtsd: iksz nulla ) a H torlódási pontja, y R vagy y = vagy y = és f : H R. Azt mondjuk, hogy f-nek x 0 -ban y a határértéke, ha minden x 0 -hoz konvergáló H \ {x 0 }-beli értékeket felvevő x n sorozat esetén f(x n ) y. Jele: lim f(x) = y. Kiolvasása: limesz x tart x 0 -hoz f(x) egyenlő y vagy f x 0 -beli x x 0 határértéke y. Ha y R, akkor azt mondjuk, hogy f-nek x 0 -ban véges a határértéke. y = sign(x) y = x y = x lim sign(x) = x 0 lim x 0 = x lim = x 0 x (sign az ún. szignum vagy előjel függvény, mely pozitív számhoz -gyet, negatív számhoz -gyet és 0-hoz 0-t rendel.) Legyen H R, x 0 H és f : H R. Azt mondjuk, hogy az f függvény x 0 -ban folytonos, ha minden x 0 -hoz konvergáló H-beli értékeket felvevő x n sorozat esetén f(x n ) f(x 0 ). Legyen H R, x 0 H a H egy torlódási pontja és f : H R. Az f pontosan akkor folytonos x 0 -ban, ha lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Egy valós függvényt folytonosnak nevezzük, ha az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Folytonos függvények például: abszolútérték-függvény, reciprok függvény, minden trigonometrikus függvény, logaritmus függvények, exponenciális függvények. Legyen H R, x 0 H és f : H R. Azt mondjuk, hogy az f függvény x 0 -ban balról folytonos, ha minden x 0 -hoz konvergáló H (, x 0 ]-beli értékeket felvevő x n sorozat esetén f(x n ) f(x 0 ). Az f x 0 -ban jobbról folytonos, ha minden x 0 -hoz konvergáló H [x 0, )-beli értékeket felvevő x n sorozat esetén f(x n ) f(x 0 ). Legyen H R, x 0 H a H egy torlódási pontja és f : H \ {x 0 } R. Ha létezik g : H R függvény, mely x 0 -ban folytonos és f(x) = g(x) minden x H \ {x 0 } esetén, akkor lim x x0 f(x) = g(x 0 ). x lim 2 x x = lim (x )(x+) x x = lim (x + ) = + = 2 x 6
17 lim +x +2x x 0 x = lim = = 2 ( +x +2x)( +x+ +2x) x 0 x( +x+ +2x) = lim x 0 +x+ +2x = Legyen H R felülről nem korlátos, y R vagy y = vagy y = és f : H R. Azt mondjuk, hogy f-nek végtelenben y a határértéke, ha minden végtelenbe divergáló H-beli értékeket felvevő x n sorozat esetén f(x n ) y. Jele: lim f(x) = y. x Kiolvasása: limesz x tart végtelenbe f(x) egyenlő y vagy f végtelenben vett határértéke y. lim x x( 9x 2 + 3x) = lim = lim x x = 9+( x) = lim x+ 4 x 3 x+2 + = lim 5( 5 3) x 4( 3) x x 9+( 3) = x x( 9x 2 + 3x)( 9x 2 ++3x) 9x 2 ++3x = lim x x 9x 2 ++3x = y lim f(x) = x lim f(x) = lim x f(x) = y R x Legyen H R alulról nem korlátos, y R vagy y = vagy y = és f : H R. Azt mondjuk, hogy f-nek mínusz végtelenben y a határértéke, ha minden mínusz végtelenbe divergáló H-beli értékeket felvevő x n sorozat esetén f(x n ) y. Jele: lim f(x) = y. Kiolvasása: limesz x tart mínusz végtelenbe f(x) egyenlő y vagy x f mínusz végtelenben vett határértéke y. y lim f(x) = x lim f(x) = lim x f(x) = y R x Könnyen látható, hogy lim f(x) = lim f( x). x x 7
18 lim x 6x+2 3 x3 + = lim x 6( x)+2 3 = lim 6x+2 3 = lim ( x)3 + x x 3 x 6+2 x 3 ( x) 3 = = 6. Számolja ki a következő határértékeket. x 2. lim x 2 x 2 7. lim x 0 g y a k o r l ó f e l a d a t o k x 2. lim lim x 9 x 3 x+3 x 9 x 3 x 2 8. x 2 lim 2x x 5 9. lim x x+x lim 2 x 0 x 3 x 2 6. x lim x x 4. x+3 3 lim x 0 x x 2 x x x 3. x lim 2 +x+3 x 2 2x+9 x 2 x 2 3x+2 0. lim x 0 5. x lim x 0 x +x +2x 4. +x +x 2 lim x 0 +x x 7. lim 2 2x+ x x 8. x 3 lim 2 6x+8 3x x x 4 9. x 2 lim 2 +2x 5 5x+4 x 0x 2x 2 8 +sin x cos x sin(x 2. lim x π 6 lim ) sin x cos x x π 3 6 ) ( 25. lim x 0 sin 2 x tg 2 x 6x lim 3 x x x lim x x x 30. lim x cos x lim x π 2 x 26. lim 2 +3x x x 2 lim 3x+2 x x 2 +3x 3 x x 2 lim x cos x 2 sin x 2 cos x x (x ) 6. 2 x lim x x 2. lim 5x x 0 +x x 5. +5x 3x lim x 0 x 2 +2x 20. lim x lim x 0 ( 3x 2 6x+ x lim x sin x tg x ) +tg x tg x ( sin x ) x x 2 x+ x 2 + x x x x++ 7x+ lim x 3x+2+ 2x 34. lim ( x 2 +2 x) 35. lim ( x 2 +5x x) 36. lim ( x 2 +2x x 2 +x) x x x ( 37. lim x( x 2 +2x 2 ( x 2 +x+x) 38. x+ lim x x ( ) x 2 ( ( 40. x+ x lim x 2x ) 4. lim x 4x x lim x 2x x 2) 39. lim x ) x 3x 2 x+ 2x 2 +x+ 5x 2 π 5x ) 4x Differenciálszámítás Érintő meghatározása Az f függvény görbéjéhez húzzunk érintőt az ( x 0, f(x 0 ) ) koordinátájú pontban, illetve húzzunk szelő egyenest az ( x 0, f(x 0 ) ) és ( x, f(x) ) koordinátájú pontokon keresztül, ahol x x 0. Az x közelítésekor x 0 -hoz, a szelő is közeledik az érintőhöz, így a tangens függvény folytonossága miatt, a szelő meredeksége (azaz az x tengellyel bezárt szögének tangense) is közeledik az érintő meredekségéhez. Pontosabban fogalmazva az érintő meredeksége f(x) f(x 0 ) lim. x x 0 x x 0 8
19 y y = f(x) f(x) szelő érintő f(x 0 ) x 0 x Az f : R R, f(x) = x 2 függvény görbéjének a (3, 9) koordinátájú pontban húzott érintőjének a meredeksége x lim x 3 x 3 = lim (x 3)(x + 3) = lim (x + 3) = 6. x 3 x 3 x 3 Differenciálhányados Legyen H R és x R. Az x számot a H belső pontjának nevezzük, ha van olyan r > 0, hogy (x r, x + r) H. H = (, 2) esetén minden x (, 2) belső pont. H = [0, 5] {6} esetén minden x (0, 5) belső pont. H = { n : n N} esetén nincs belső pont. Legyen H R, x 0 a H egy belső pontja és f : H R. Azt mondjuk, hogy f az x 0 pontban differenciálható, ha létezik a f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 véges határérték. Ezt a határértéket az f függvény x 0 -beli differenciálhányadosának nevezzük és f (x 0 ) módon jelöljük. Kiolvasása: f x 0 -beli differenciálhányadosa vagy f deriváltja az x 0 helyen vagy f derivált x 0. Ezek szerint f (x 0 ) az f függvény görbéjének az ( x 0, f(x 0 ) ) koordinátájú pontjában húzott érintőjének a meredeksége. Legyen D azon számok halmaza, melyekben az f differenciálható. Azt a függvényt, mely minden D-beli x 0 -hoz hozzárendeli az f (x 0 ) értéket, az f deriváltjának nevezzük, és f módon jelöljük. 9
20 f : R R, f(x) = x 2 esetén az f deriváltja az x helyen 2x, azaz f (x) = 2x. Ezt (x 2 ) = 2x módon jelöljük. Kiolvasása: x 2 deriváltja 2x. Alapderiváltak (k) = 0, ahol k R (x) = (x k ) = kx k, ahol k R (e x ) = e x (a x ) = a x ln a, ahol a > 0 és a (ln x) = (ahol ln x = log x e x az ún. természetes alapú logaritmus) (log a x) =, ahol a > 0 és a x ln a (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tg x) = cos 2 x (ctg x) = sin 2 x Deriválási szabályok ( kf(x) ) = kf (x) ( f(x) + g(x) ) = f (x) + g (x) ( f(x) g(x) ) = f (x) g (x) ( f(x)g(x) ) = f (x)g(x) + f(x)g (x) ( ) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g 2 (x) ( f ( g(x) )) ( = f g(x) ) g (x) (5x 2 ) = 5(x 2 ) = 5 2x 2 = 0x (log 3 x + sin x) = (log 3 x) + (sin x) = x ln 3 + cos x (ctg x 2 x ) = (ctg x) + ( 2 x ) = (ctg x) (2 x ) = ctg 2 x 2 x ln 2 (e x sin x) = (e x ) sin x + e x (sin x) = e x sin x + e x cos x ) = (x) sin x x(sin x) = ( x sin x sin 2 x sin x x cos x sin 2 x (sin 3 x ) = (cos 3 x )(3 x ) = (cos 3 x )3 x ln 3 20
21 ( x sin x ) = ( e ln x sin x ) = e ln x sin x (ln x sin x) = e ln x sin x( (ln x) sin x + ln x(sin x) ) = = x ( sin x x sin x + ln x cos x) Második derivált Ha az f függvénynek létezik a deriváltja és az f függvénynek is létezik a deriváltja, akkor az (f ) függvényt f módon fogjuk jelölni és az f második deriváltjának nevezzük. f : R R, f(x) = x 3 esetén f (x) = 3x 2, így f (x) = (3x 2 ) = 6x. Ezt (x 3 ) = = (3x 2 ) = 6x módon jelöljük. g y a k o r l ó f e l a d a t o k Határozza meg a következő függvények deriváltját.. x x 3 +7x x 2 6x πx x (2 cos x+)(x x ) 4. (ln x+ctg x)(5+2 x ) 5. 6π2 tg x+6 2 cos x 6. π cos x 3 sin x+ x 7. x ln x x2 +6 +π 8. cos( x+x 2 ) 9. sin(x 7 +) 0. cos 2 x. (x 2 +e) sin 6 x 2. 2 sin x 3. ln(x 2 3 ln x 2x ) 4. tg ln x 2 tg x 6. ln ln ln x 7. sin 2 (ctg 3 x) 3 6 cos 8. 4 x 7 9. x 7 +ctg x x+π π π ln tg 2. 2 x log 6 2 x π x+ 23. x 2 3 sin x x x 24. (sin x) x 25. (sin x) cos x 26. (ln x) 2 x 27. (x 2 ) x 28. log x cos x 2.5. Függvényvizsgálat Monotonitás, helyi szélsőértékhely Legyen H R, a, b R, a < b, (a, b) H és f : H R. Azt mondjuk, hogy az f függvény az (a, b) intervallumon monoton nő, ha f(x ) f(x 2 ), szigorúan monoton nő, ha f(x ) < f(x 2 ), monoton csökken, ha f(x ) f(x 2 ), szigorúan monoton csökken, ha f(x ) > f(x 2 ) 2
22 minden x, x 2 (a, b), x < x 2 esetén. Legyen H R és f : H R. Azt mondjuk, hogy x 0 H az f helyi minimumhelye, ha van olyan r > 0, hogy minden x (x 0 r, x 0 + r) H esetén f(x 0 ) f(x). Azt mondjuk, hogy x 0 H az f helyi maximumhelye, ha van olyan r > 0, hogy minden x (x 0 r, x 0 + r) H esetén f(x 0 ) f(x). A helyi maximum- illetve minimumhelyeket összefoglalóan helyi szélsőértékhelyeknek nevezzük. helyi minimumhely helyi maximumhely Konvex illetve konkáv függvények Egy síkidomot konvex nek nevezzük, ha abban két pont nem tud elbújni egymás elől, pontosabban, ha a síkidom bármely két pontját összekötő szakasz minden pontját tartalmazza. Ez a fogalom átvihető függvényekre is az ún. epigráf segítségével. Legyen H R, a, b R, a < b, (a, b) H és f : H R. Az f függvény (a, b) intervallumra vonatkozó epigráf ján azon (x, y) koordinátájú pontok mértani helyét értjük, melyekre teljesül, hogy x (a, b) és y > f(x). Az f függvényt az (a, b) intervallumon konvexnek nevezzük, ha f-nek az (a, b) intervallumra vonatkozó epigráfja konvex síkidom. Ha f az (a, b) intervallumon konvex, akkor azt mondjuk, hogy f az (a, b) intervallumon konkáv. f epigráfja konvex függvény y = f(x) konkáv függvény a b a b a b Inflexiós pont Legyen H R és f : H R. Az x 0 H számot az f inflexiós helyének nevezzük, ha létezik olyan r > 0, hogy (x 0 r, x 0 +r) H és f az (x 0 r, x 0 ) intervallumon konvex, míg az (x 0, x 0 +r) intervallumon konkáv, vagy fordítva, az (x 0 r, x 0 ) intervallumon konkáv és az (x 0, x 0 + r) intervallumon konvex. 22
23 inflexiós pont Függvényvizsgálat deriváltakkal Legyen H R, a, b R, a < b, (a, b) H és f : H R. Tegyük fel, hogy f az (a, b) intervallum minden pontjában differenciálható. Ha f (x) > 0 minden x (a, b) esetén, akkor f szigorúan monoton nő az (a, b) intervallumon. Ha f (x) < 0 minden x (a, b) esetén, akkor f szigorúan monoton csökken az (a, b) intervallumon. f(x) = 2x 3 9x 2 + 2x esetén f (x) = 6x 2 8x + 2, melynek gyökei és 2, így f (x) < 0 pontosan akkor, ha x (, 2). Tehát f az (, 2) intervallumon szigorúan monoton csökken. Legyen H R, x 0 H, r > 0, (x 0 r, x 0 + r) H és f : H R. Tegyük fel, hogy f differenciálható az (x 0 r, x 0 + r) intervallum minden pontjában és f (x 0 ) = 0. Ha f (x) > 0 minden x (x 0 r, x 0 ) esetén és f (x) < 0 minden x (x 0, x 0 +r) esetén, akkor f-nek x 0 helyi maximumhelye. Ha f (x) < 0 minden x (x 0 r, x 0 ) esetén és f (x) > 0 minden x (x 0, x 0 +r) esetén, akkor f-nek x 0 helyi minimumhelye. f(x) = x 2 2x + 3 esetén f (x) = 2x 2, melynek gyöke, továbbá f (x) < 0, ha x <, míg f (x) > 0, ha x >. Így f-nek helyi minimumhelye. Adott kerületű téglalapok közül melyiknek legnagyobb a területe? Legyen a kerület k, a téglalap egyik oldala pedig x hosszúságú. Ekkor a terület az x függvényében f(x) = x( k 2 x) = k 2 x x2. Mivel f (x) = k 2 2x, melynek gyöke k 4 és f (x) > 0, ha x < k 4 és f (x) < 0, ha x > k 4, ezért f-nek k 4 helyi maximumhelye. Vagyis a terület x = k 4 esetén a legnagyobb. Ekkor a téglalap négyzet. Legyen H R, a, b R, a < b, (a, b) H és f : H R. Tegyük fel, hogy f az (a, b) intervallum minden pontjában kétszer differenciálható. 23
24 Ha f (x) > 0 minden x (a, b) esetén, akkor f konvex az (a, b) intervallumon. Ha f (x) < 0 minden x (a, b) esetén, akkor f konkáv az (a, b) intervallumon. f(x) = x 4 6x 3 + 2x 2 esetén f (x) = 2x 2 36x + 24, melynek gyökei és 2, így f (x) < 0 pontosan akkor, ha x (, 2). Tehát f az (, 2) intervallumon konkáv. Legyen H R, x 0 H, r > 0, (x 0 r, x 0 +r) H és f : H R. Tegyük fel, hogy f kétszer differenciálható az (x 0 r, x 0 +r) intervallum minden pontjában és f (x 0 ) = = 0. Ha f (x ) > 0 minden x (x 0 r, x 0 ) és f (x 2 ) < 0 minden x 2 (x 0, x 0 + r) esetén, vagy fordítva, f (x ) < 0 minden x (x 0 r, x 0 ) és f (x 2 ) > 0 minden x 2 (x 0, x 0 + r) esetén, akkor f-nek x 0 inflexiós helye. f(x) = x 4 6x 3 + 2x 2 esetén f (x) = 2x 2 36x + 24, melynek gyökei és 2. Mivel f (x) > 0, ha x <, és f (x) < 0, ha x (, 2), ezért f-nek az inflexiós helye. Hasonlóan látható, hogy a 2 is inflexiós hely. g y a k o r l ó f e l a d a t o k. Melyik az adott sugarú körbe írt téglalapok közül a legnagyobb területű? 2. Adott oldalú téglalap sarkaiból mekkora oldalú négyzeteket kell kivágni, hogy a fennmaradó részt felül nyitott dobozzá hajtogatva, a keletkezett doboz térfogata a lehető legnagyobb legyen? 3. Adott felszínű, felül nyitott hengerek közül melyiknek legnagyobb a térfogata? 4. Egy egyenes körkúp alapkörének sugara r, a kúp magassága m. Határozzuk meg a kúpba írható legnagyobb térfogatú henger térfogatát. 5. Egyenlő szélességű három deszkából csatornát készítünk. Az oldalak milyen hajlásszöge mellett lesz a csatorna keresztmetszete a legnagyobb területű? 6. Bontsa fel 8-at két pozitív összeadandóra úgy, hogy az összeadandók köbeinek összege minimális legyen. 7. Adott térfogatú szabályos háromszög alapú egyenes hasábok közül mekkorák annak az élei, amelynek a legkisebb a felszíne? 8. A 20 cm alkotójú, kúp alakú tölcsérek közül mekkora a maximális térfogatúnak a magassága? 9. Egy α középponti szöghöz tartozó körcikkből kúppalástot sodrunk. Az α-nak milyen választása mellett lesz az így meghatározott kúp térfogata maximális? 24
25 0. Határozza meg egy adott sugarú gömbbe írható maximális felszínű körhenger magasságát és alapkörének sugarát.. Határozza meg egy adott sugarú gömbbe írható maximális térfogatú körhenger magasságát és alapkörének sugarát. Vizsgálja meg a következő függvényeket monotonitás, szélsőértékhely, konvexitás, konkávitás és inflexiós hely szempontjából. 2. x 3 5x 2 +3x 5 3. x 4 2x 3 +48x (x 2 ) 3 5. x 2 6. x x 2 7. x 2 x 2 8. x 3 3 x 2 9. x 3 (2x+) x +x x +x xe x 23. x 2 e x 24. x 2 e x2 25. cos x+sin x 26. x+sin x 27. 2x 2 ln x 2.6. Integrálszámítás Határozatlan integrál Ha egy nyílt intervallumon értelmezett valós f függvény minden pontban differenciálható, akkor az f függvényt az f primitív függvényének nevezzük. x 2 a 2x primitív függvénye, mert (x 2 ) = 2x. De 2x-nek az x 2 + is primitív függvénye, mert (x 2 + ) = 2x. Ha f-nek F primitív függvénye, azaz F = f, akkor f-nek az összes primitív függvénye előáll F + c alakban, ahol c R. Ezt a továbbiakban f(x) dx = F (x) + c, c R módon jelöljük. Kiolvasása: f határozatlan integrálja F + c vagy integrál f(x) dé iksz egyenlő F (x) + c. Alapintegrálok Legyen c R. k dx = kx + c, k R x k dx = xk+ + c, k x k+ dx = ln x + c 25
26 a x dx = ax + c, a > 0, a, ln a e x dx = e x + c sin x dx = cos x + c cos x dx = sin x + c cos 2 x dx = tg x + c dx = ctg x + c sin 2 x Integrálási szabályok kf(x) dx = k f(x) dx 5x 2 dx = 5 x 2 dx = 5 x3 3 + c, c R ( f(x) + g(x) ) dx = f(x) dx + g(x) dx (x x ) dx = x x ln 2 + c, c R f (x)g ( f(x) ) dx = g ( f(x) ) + c, c R. A g speciális választása esetén a következőket kapjuk: f (x)f k (x) dx = f k+ (x) k+ + c, k, c R cos x sin 2 x dx = (sin x) (sin x) 2 dx = sin3 x 3 + c, c R f (x) f(x) dx = ln f(x) + c, c R tg x dx = (cos x) cos x dx = ln cos x + c, c R f (x)a f(x) dx = af(x) ln a + c, a > 0, a, c R 26
27 x3 x 2 dx = 2 (x 2 ) 3 x2 dx = 3 x2 2 ln 3 + c, c R f (x) sin f(x) dx = cos f(x) + c, c R sin 2x dx = 2 (2x) sin 2x dx = 2 cos 2x + c, c R f (x) cos f(x) dx = sin f(x) + c, c R cos ln x x dx = (ln x) cos ln x dx = sin ln x + c, c R f (x) dx = tg f(x) + c, c R cos 2 f(x) cos 2 5x dx = (5x) 5 cos 2 5x dx = 5 tg 5x + c, c R f (x) dx = ctg f(x) + c, c R sin 2 f(x) x sin 2 ln x dx = (ln x) dx = ctg ln x + c, c R sin 2 ln x A következő ún. parciális integrálás a függvények szorzatának deriváltjából bizonyítható be. f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx f (x) = e x és g(x) = x esetén f(x) = e x és g (x) =, így xe x dx = xe x e x dx = xe x e x + c, c R. f (x) = és g(x) = ln x esetén f(x) = x és g (x) = x, így ln x dx = x ln x x dx = x ln x dx = x ln x x + c, c R. x 27
28 e x cos x dx =? Legyen f (x) = e x és g(x) = cos x. Ekkor f(x) = e x és g (x) = = sin x, így e x cos x dx = e x cos x+ e x sin x dx. Most legyen f (x) = e x és g(x) = = sin x. Ekkor f(x) = e x és g (x) = cos x, így e x sin x dx = e x sin x e x cos x dx. A két eredményből kapjuk, hogy e x cos x dx = e x cos x + e x sin x dx = e x cos x + e x sin x e x cos x dx, melyből e x cos x dx = 2 (ex cos x + e x sin x) + c, c R. Határozott integrál Legyen a, b R, a < b és f : [a, b] R korlátos értékkészletű függvény. Ha f(x) 0 minden x [a, b] esetén, akkor az f a-tól b-ig vett integrálján azon síkidom területét értjük, mely pontjainak (x, y) koordinátáira teljesül, hogy x [a, b] és 0 y f(x). Jele: b a f(x) dx. f(x) dx Kiolvasása: f ától béig vett integrálja vagy integrál a-tól b-ig Feltételezzük az f függvényről, hogy az előbb említett terület létezik. Annak tisztázása, hogy ez pontosan mit is jelent, sokkal mélyebb matematikai hátteret igényel, melynek kiépítése most nem feladatunk. y = f(x) T b f(x) dx = T a a b 5 3 dx = 3(5 ) = 2, 0 x dx = 2 = 2 illetve integrál az origó középponttú egység sugarú félkör területe). x2 dx = π 2 (az utolsó Hogyan lehetne általánosítani az integrál fogalmát olyan esetre, amikor a függvény felvehet negatív értékeket is? Ehhez először a már definiált nemnegatív f függvényre vonatkozó integrál egy egyszerű tulajdonságát vegyük észre, amely a következő ábra alapján kézenfekvő: 28
29 y = f(x) k T y = f(x) k T 2 T a b a b b f(x) dx = T + T 2 = b ( f(x) k ) dx + k(b a). a a Függetlenül attól, hogy f felvehet-e negatív értékeket vagy sem, az f(x) k sohasem b ( ) negatív. Így f(x) k dx minden esetben értelmezett. a Legyen a, b R, a < b, f : [a, b] R korlátos értékkészletű függvény és k az f értékkészletének egy alsó korlátja. Ekkor az f a-tól b-ig vett integrálját a következő formulával definiáljuk: b f(x) dx = b ( f(x) k ) dx + k(b a). a a 2 x dx = 2 ( ) ( ) 2 x ( ) dx + ( ) 2 ( ) = (x + ) dx 3 = =,5. A határozott integrálnak megemlítjük még két fontos tulajdonságát: a < b < c esetén b a c ( ) b f(x) + g(x) dx = a f(x) dx = a b a f(x) dx + f(x) dx + b a c b g(x) dx f(x) dx Az integrálok fenti számítása azon alapszik, hogy a kapott síkidomnak kiszámítottuk a területét. Ezt csak szakaszokkal és körívekkel határolt síkidomok esetén tudjuk megtenni eddigi középiskolai ismereteink alapján. De valójában már a kör területét sem tudjuk, csak becsületszóra megtanították nekünk a képletét. A matematikában fordítva lesz a menetrend. Nem a területszámítást használjuk fel az integrálszámításban, hanem az integrálszámítást a területszámításban. Ehhez azonban szükségünk lesz az integrál területtől független számítására. Erre vonatkozik a következő tétel. 29
30 Newton Leibniz-tétel b a f(x) dx = F (b) F (a) ahol F primitív függvénye f-nek. Hasznos jelölésnek fog bizonyulni a következő: [F (x)] b a = F (b) F (a). x dx = x c, (c R) így 2 [ x dx = ] 2 x 2 2 = 22 2 ( )2 2 =,5 cos 2x dx = 2 (2x) cos 2x dx = 2 sin 2x + c, (c R) így π 4 0 cos 2x dx = [ ] π 4 sin 2x 2 0 = 2 sin π 2 2 sin 0 = = 2. g y a k o r l ó f e l a d a t o k Számítsa ki a következő függvények határozatlan integrálját.. 3x2 4 x+2 x 2. e x e x + 3. ctg x x 5. x+2 2x 6. sin x cos x 7. cos 3 x 8. x(x 2 ) 9. 2x x 2 x+ 0. x 2 4 x 3. sin 3 x 2. sin x +cos x 3. x ln x 4. ln5 x x 5. +sin x 6. cos x +cos x 7. +ex 8. tg 2 x 9. ctg 2 x 20. cos 2x sin 2 2x 23. cos x 2. +cos x cos3 x sin 2 x 22. sin 2x +sin 2 x 24. sin2 x cos x 25. sin 2x 26. x+ x 27. x+2 3 x 28. e x + e x +e x x ln 2 x log x e 3x+ 3. x sin x sin x 3 cos 2 x 33. x +x x 2 3 x x 4 2 3x xe x2 37. e x 3 +e x 38. sin 8x 39. ctg x ln sin x 40. cos 3 x sin 4 x 4. xe x 42. xe 2x 43. x 2 e x 44. x 2 cos x 45. e x sin x 46. x 3 +x cos ln x 48. ln 2 x Számítsa ki a következő határozott integrálokat. 49. π 2 0 cos 5x dx 50. π 2 π 4 cos x +sin x dx 5. π 0 cos x 3 dx cos 2 x 52. Számítsa ki az f(x) = 2x 2 +6x 24 és g(x) = x 2 8x+2 függvények görbéi által közrezárt síkidom területét. 30
31 3. fejezet Valószínűségszámítás Egyes jelenségeknél az összes körülmény figyelembevétele lehetetlen vagy igen nehéz. Ennek több oka is lehet. Például az, hogy a jelenség hátterében álló körülmények közül néhány a tudomány mai állása szerint még nem ismert, vagy nem tudjuk mérni, vagy számuk túl nagy és kapcsolatuk nagyon bonyolult. Ilyenkor a figyelembe vett körülmények összessége nem határozza meg egy esemény bekövetkezésének elegendő okát. Ezeket véletlen eseményeknek nevezzük. Például amikor dobókockával játszunk, nem vesszük figyelembe a dobásnál fellépő összes körülményt hogy milyen helyzetből indult, milyen impulzust kapott, a légellenállást, az ütközést, a súrlódást stb., csak azt a tényt, hogy feldobtuk. Ezért számunkra a kockajáték kimenetele véletlenszerű. Ha egy véletlen kimenetelű jelenség sokszor megismétlődhet, akkor véletlen tömegjelenségről beszélünk. Az ilyen típusú jelenségekről a véletlenszerűségük ellenére is áttekintést nyerhetünk. Például a radioaktív bomlás esetén minden egyes atommag bomlása véletlennek tekinthető, mégis sok milliárd atommag esetében már előre meg tudjuk mondani, hogy egy meghatározott időn belül hány százalékuk fog elbomlani. Ez a bomlás úgynevezett exponenciális törvénye, melyet a valószínűségszámítás segítségével írhatunk le. A valószínűségszámítás a véletlen tömegjelenségek matematikai modellezése. 3.. Véletlen események Az események matematikai modellezését halmazok segítségével oldjuk meg. Például amikor dobókockával játszunk, alapvetően hat különböző esemény következhet be. Vagy az egyes, vagy a kettes, vagy a hármas, vagy a négyes, vagy az ötös, vagy a hatos oldal lesz felül. Ezeket azonosítsuk a következő halmazokkal: {}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}. 3
32 Ezek lesznek az ún. elemi események. De más eseményekről is beszélhetünk. Például páros számot dobunk. Ennek feleltessük meg {2, 4, 6} halmazt. Ezt az eseményt összetett eseménynek nevezzük, mert felbontható több elemi esemény uniójára: {2, 4, 6} = {2} {4} {6}. Az is esemény, hogy nem hatost dobunk. Az ehhez tartozó halmaz a {6} = {, 2, 3, 4, 5}. Ezt a hatos dobás ellentett eseményének nevezzük. Eseménynek tekinthető az is, hogy egytől hatig valamilyen egész szám fog kijönni. Mivel ez minden esetben bekövetkezik, ezért ezt biztos eseménynek nevezzük és Ω-val fogjuk jelölni. Tehát ekkor Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6}. Végül azt is eseménynek fogjuk tekinteni, ami sohasem következhet be. Például, hogy hatosnál nagyobbat dobunk. Ezt lehetetlen eseménynek nevezzük, és az üres halmazzal fogjuk azonosítani. Látható, hogy minden esemény a biztos esemény egy részhalmaza. Az események rendszerét A-val jelöljük, mely tehát az Ω összes részhalmazaiból álló halmaz egy részhalmaza. Az események rendszerének, azaz A-nak a tulajdonságai közül hármat emelünk ki: A biztos esemény eleme A-nak. Egy esemény ellentettje is esemény. Események uniója is esemény. Eseményaxiómák Legyen Ω egy nem üres halmaz és A az Ω összes részhalmazaiból álló halmaz egy olyan részhalmaza, melyre teljesülnek a következők:. axióma. Ω A. 2. axióma. Ha A A, akkor A A. 3. axióma. Ha A, A 2,..., A n,... A, akkor A A 2 A n A. Ekkor az A elemeit eseményeknek nevezzük. Mivel Ω =, ezért az. és 2. axióma miatt az üreshalmaz is esemény. Az Ω-t biztos eseménynek, az -t lehetetlen eseménynek nevezzük. A 3. axióma szerint események uniója is esemény, másrészt az axiómák és a de Morgan-féle azonosság segítségével bizonyítható, hogy események metszete is esemény. Az A B esemény akkor következik be, ha legalább az egyik bekövetkezik. Az A B esemény akkor következik be, ha mindkettő egyszerre bekövetkezik. Az A \ B = A B esemény azt jelenti, hogy A bekövetkezik, de B nem. 32
33 Ha A B =, akkor azt mondjuk, hogy az A és B események egymást kizáróak. Egy A eseményt elemi eseménynek nevezzük, ha az csak A = A = A módon írható fel két különböző esemény uniójaként. Ha egy esemény nem lehetetlen és nem elemi, akkor azt összetett eseménynek nevezzük. Ha az A, A 2,..., A n,... események páronként egymást kizáróak, és uniójuk a biztos esemény, akkor ezt teljes eseményrendszernek nevezzük. Egy dobókockát kétszer feldobunk. Ha a dobott számok összege 2, akkor feldobjuk mégegyszer. Ekkor a biztos eseményt a következő halmazzal reprezentálhatjuk: Ω = {(,, ), (,, 2),..., (,, 6), (, 2), (, 3),..., (, 6), (2, ), (2, 2),..., (2, 6), (3, ), (3, 2),..., (3, 6),.. (6, ), (6, 2),..., (6, 6)}. Egy pénzérmével addig dobunk, amíg írást nem kapunk. Ekkor a biztos esemény: Ω = {írás, (fej, írás), (fej, fej, írás),..., (fej, fej,..., fej, írás),...}. Egy műhelyben három gép dolgozik. Egy adott pillanatban megvizsgáljuk, hogy melyik működik és melyik rossz. Ekkor a biztos esemény: Ω = {(jó, jó, jó), (jó, jó, rossz), (jó, rossz, jó), (jó, rossz, rossz), (rossz, jó, jó), (rossz, jó, rossz), (rossz, rossz, jó), (rossz, rossz, rossz)}. g y a k o r l ó f e l a d a t o k. Az utolsó példában leírt megfigyelésben legyen A := {(rossz, jó, jó), (rossz, jó, rossz), (rossz, rossz, jó), (rossz, rossz, rossz)}, A 2 := {(jó, rossz, jó), (jó, rossz, rossz), (rossz,rossz, jó), (rossz, rossz, rossz)}, A 3 := {(jó, jó, rossz), (jó, rossz, rossz), (rossz, jó, rossz), (rossz, rossz, rossz)}, amelyek sorrendben azt jelentik, hogy az első, a második, illetve a harmadik gép rossz. Fejezze ki az A, A 2, A 3 eseményekkel a következőket: a) csak az első rossz, 33
34 b) mindhárom rossz, c) egyik sem rossz, d) az első és második jó, e) az első és második rossz, a harmadik jó, f) csak egy gép rossz, g) legfeljebb egy gép rossz, h) legfeljebb két gép rossz, i) legalább egy gép rossz. 2. Jelentse az A esemény azt, hogy éppen fúj a szél, illetve B azt, hogy esik az eső. Mondja el szavakkal, mit jelentenek a következő események: B, A B, A B, A B, A B, A B, A \ B, (A \ B) (B \ A), A B, A B. 3. Bizonyítsa be, hogy az A B, A\B, B \A, A B események teljes eseményrendszert alkotnak Valószínűség A modellalkotás következő lépése valamilyen tapasztalati törvényszerűség megfigyelése az eseményekkel kapcsolatosan. Ilyet először Jacob Bernoulli ( ) svájci matematikus publikált. Egy dobókockát dobott fel többször egymásután. A hatos dobások számának és az összdobások számának arányát, azaz a hatos dobás relatív gyakoriságát ábrázolta a dobások számának függvényében: Bernoulli azt tapasztalta, hogy a hatos dobás relatív gyakorisága a dobások számának növelésével egyre kisebb mértékben ingadozik körül. Más véletlen kimenetelű 6 kísérlet eseményeire is hasonló a tapasztalat, azaz a kísérletek számának növelésével a figyelt esemény bekövetkezésének relatív gyakorisága egyre kisebb mértékben ingadozik egy konstans körül. Ezt a konstanst a figyelt esemény valószínűségének fogjuk nevezni. A továbbiakban P (A) jelölje az A esemény valószínűségét. Maga a P egy függvény, amely minden eseményhez hozzárendel egy számot. Könnyen látható, hogy minden esemény valószínűsége nemnegatív valós szám, a biztos esemény valószínűsége, illetve egyszerre be nem következő események uniójának valószínűsége az események valószínűségeinek összege. Valószínűségaxiómák Legyen P : A R olyan függvény, melyre teljesülnek a következők: 34
35 4. axióma. P (A) 0 minden A A esetén. 5. axióma. P (Ω) =. 6. axióma. Ha az A, A 2,..., A n,... A páronként egymást kizáró események, akkor P (A A 2 A n ) = P (A ) + P (A 2 ) + + P (A n ) + Ekkor az (Ω, A, P ) hármast valószínűségi mezőnek nevezzük, a P függvényt pedig valószínűségnek. Az előzőekben felsorolt hat axióma az úgynevezett Kolmogorov-féle axiómarendszer. Adott A esetén több olyan valószínűség is lehet, melyre teljesülnek a 4., 5. és 6. axiómák. Hogy melyik az igazi, erre a matematikai statisztika keresi a választ. A valószínűség legfontosabb tulajdonságai: P ( ) = 0. P (A) = P (A). P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). P (A \ B) = P (A) P (A B). Ha B A, akkor P (A \ B) = P (A) P (B). Ha A B, akkor P (A) P (B). P (A). Klasszikus valószínűségi mező Klasszikus valószínűségi mezőről beszélünk, ha az elemi események száma véges és valószínűségeik megegyeznek. Például a szabályos kockajáték klasszikus valószínűségi mezőt határoz meg, mert hat elemi esemény van, és a szimmetria miatt minden oldalára egyforma valószínűséggel eshet a kocka. Ha egy klasszikus valószínűségi mezőben egy A esemény k darab elemi eseményből áll és összesen n darab elemi esemény van, akkor P (A) = k n. Kombinatorika A klasszikus valószínűségi mezőkre vonatkozó példákban k és n értékét legtöbbször ún. kombinatorikai eszközökkel számolhatjuk ki. Először bevezetünk néhány jelölést, amire szükségünk lesz: Az n! := 2... n (ejtsd: n faktoriális ), ahol n N. Kényelmi okokból még bevezetjük a 0! := jelölést is. ( n ) k := n! (ejtsd: n alatt a k ), ahol n, k N és k n. Ez az ún. binomiális k! (n k)! együttható. 35
36 Ismétlés nélküli permutációk száma Hányféle ötjegyű számot lehet előállítani az, 3, 5, 7, 9 számjegyekből, ha ezekből mindegyiket fel kell használni? Megoldás: Az első számjegyet ötféleképpen, a következőt négy, aztán három, majd kettő, végül az utolsót már csak egyféleképpen lehet kiválasztani. Így a megoldás 5! = 20. Általánosan: n db elemet n! -féleképpen lehet sorbaállítani úgy, hogy minden elemet pontosan egyszer használunk fel. Ismétléses permutációk száma Hányféle hétjegyű számot lehet előállítani az,, 3, 3, 3, 5, 5 számjegyekből, ha ezekből mindegyiket fel kell használni? Megoldás: Ezt a hét db számjegyet 7!-féleképpen állíthatjuk sorba, de ezekben egy eset 2! 3! 2!-szor ismétlődik. Így a megoldás: 7! 2! 3! 2! = 20. Általánosan: Ha n db elemből k, k 2,..., k r db azonos van (k + k k r = n), akkor ezek mindegyikének felhasználásával n! k k 2... k r különböző sorbaállítást kaphatunk. Ismétlés nélküli kombinációk száma Ötöslottón hányféle számötöst sorsolhatnak ki? Megoldás: Az első számot 90-féleképpen húzhatják, a következőt 89, majd 88 stb. az ötödiket 86-féleképpen húzhatják ki. Azonban így azokat az eseteket is beleszámoltuk, amikor ugyanazt a számötöst húzták, csak más sorrendben. Egy konkrét számötöst 5!-féleképpen húzhatnak ki, így a megoldás = ( ) 90 5! 5 = Általánosan: Ha n db különböző elemből k darabot (0 k n) kell kiválasztani úgy, hogy egy elemet maximum csak egyszer választhatjuk és a sorrend nem számít, akkor ezt ( n k) módon tehetjük meg. Ismétléses kombinációk száma 0 db postaládába akarunk elhelyezni 5 db egyforma szórólapot. Hányféleképpen tehetjük ezt meg? Megoldás: A gondolatmenet hosszú, itt csak a végeredményt közöljük: ( ) = = ( 24 5) = Általánosan: Ha n db különböző elemből k darabot kell kiválasztani úgy, hogy egy elemet többször is választhatjuk és a sorrend nem számít, akkor ezt ( ) n+k k módon tehetjük meg. 36
37 Ismétlés nélküli variációk száma Egy 8 fős brigádból 5 embert kell kiválasztani 5 különböző munkára. Hányféleképpen tehetjük ezt meg? (Feltesszük, hogy bármely munkára bárki kiválasztható.) Megoldás: Az első munkára 8 ember közül választhatunk, a másodikra 7 stb. az ötödikre 4 ember közül választhatunk. Így a megoldás: = ( 8 5) 5! = Általánosan: Ha n db különböző elemből k darabot (0 k n) kell kiválasztani úgy, hogy egy elemet maximum csak egyszer választhatjuk és a sorrend is számít, akkor ezt ( n k) k! módon tehetjük meg. Ismétléses variációk száma Egy TOTÓ-tipposzlopot hányféleképpen tölthetünk ki? Megoldás: 4 db meccsre kell tippelni, egyre 3-féleképpen (, 2, x). Így a megoldás 3 4 = Általánosan: Ha n db különböző elemből k darabot kell kiválasztani úgy, hogy egy elemet többször is választhatjuk és a sorrend számít, akkor ezt n k módon tehetjük meg. Visszatérve a klasszikus valószínűségi mezőhöz, számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy a TOTÓ-ban tízes találatot érünk el egy tipposzloppal. Megoldás: Mint azt az előbb láttuk, Ω elemeinek a száma 3 4. Másrészt a tízes találat ( ) esetben következhet be, ugyanis a 0 találatot az első 3 mérkőzésből kell elérni, ami ( 3 0) 2 3 esetben lehetséges, és még a pótmérkőzésre 3-féleképpen tippelhetünk. Így a megoldás ( 3 0) , Geometriai valószínűségi mező Legyen Ω egy geometriai alakzat, melynek mértéke pozitív valós szám. Ha annak a valószínűsége, hogy egy Ω-ból kiválasztott pont egy A Ω halmazba esik, arányos az A mértékével, akkor geometriai valószínűségi mezőről beszélünk. (A halmaz mértéke a geometriai alakzattól függően hosszúságot, területet vagy térfogatot jelent.) Az egyes elemi események itt az Ω ponthalmaz egy-egy pontjának véletlenszerű kiválasztását jelentik, amelyeknek a valószínűsége külön-külön nulla, hiszen a pont 37
38 mértéke nulla. Ebből látható, hogy ha egy esemény valószínűsége nulla, abból nem következik, hogy a lehetetlen eseményről van szó. Ha egy geometriai valószínűségi mezőben az Ω mértéke m(ω) és az A esemény mértéke m(a), akkor P (A) = m(a) m(ω). Egységnyi hosszúságú szakaszon véletlenszerűen kiválasztunk két pontot. Mi a valószínűsége, hogy a két pont távolsága kisebb egy adott h < hosszú szakasznál? Megoldás: Tekintsük az egyik végpontját az egységnyi hosszúságú szakasznak. A választott P illetve P 2 pontoknak ettől a végponttól való távolsága legyen x illetve y. Ekkor x [0, ] és y [0, ] teljesül. Legyen Ω = [0, ] [0, ]. A feladatban leírt kísérletet úgy is modellezhetjük, hogy erre az eseménytérre, mely most egy egységnyi oldalhosszúságú négyzet, rádobunk egy geometriai pontot. A pontnak meg fog felelni egy rendezett számpár, a koordinátái. Az első koordináta legyen x, a második y. A kérdés az A := {(x, y) Ω : y x < h} esemény valószínűsége. Az ábrán láthatjuk az eseményteret, melyben a satírozott rész jelöli az A halmazt. Felírva az A és az Ω területeinek a hányadosát, kapjuk a kérdéses valószínűséget: P (A) = 2h h 2. Buffon féle tűprobléma: Egy vízszintes síklapon párhuzamos egyeneseket húzunk egymástól 2 egységnyi távolságra. Mi a valószínűsége, hogy egy egységnyi hosszúságú tűt ráejtve erre a lapra, az elmetszi valamelyik egyenest? Megoldás: Legyen y a tű középpontjának a távolsága a hozzá legközelebb eső egyenestől, x pedig a tű és az egyenes által bezárt szög mértéke radiánban. Így x [0, π 2 ] és y [0, ]. Legyen Ω = [0, π 2 ] [0, ]. Ekkor az előző feladathoz hasonlóan járhatunk el. Mivel adott x szögnél pontosan y 2 sin x teljesülése esetén metszi az egyenest a tű, ezért a kérdés az A := {(x, y) Ω : y 2 sin x} esemény valószínűsége. Az ábrán láthatjuk az eseményteret, melyben a satírozott rész jelöli az A halmazt. 38
Gazdasági számítások matematikai alapjai
Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Gazdasági számítások matematikai alapjai Eger, 206. július. Tartalomjegyzék Bevezetés 4. Elemi matematika 5.. Számírás..................................
RészletesebbenPélda a report dokumentumosztály használatára
Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............
RészletesebbenValószínűségszámítás
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................
Részletesebben1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.
1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenSzámelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenAz osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenAlkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja
Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
RészletesebbenBevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenMatematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenGyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév
9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3
Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet
RészletesebbenFeladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3
Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;
Részletesebben1. Monotonitas, konvexitas
1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,
RészletesebbenMatematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus
Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenI. feladatsor. (t) z 1 z 3
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
RészletesebbenOsztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
Részletesebben10. Differenciálszámítás
0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,
RészletesebbenKurzusinformáció. Analízis II, PMB1106
Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás
RészletesebbenTanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához
ciklus óra óra anyaga, tartalma 1 1. Év eleji szervezési feladatok, bemutatkozás Hatvány, gyök, logaritmus (40 óra) 2. Ismétlés: hatványozás 3. Ismétlés: gyökvonás 4. Értelmezési tartomány vizsgálata 2
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
Részletesebben1. Feladatsor. I. rész
. feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
Részletesebben2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
Részletesebben1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.
IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk
RészletesebbenMatematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)
Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
RészletesebbenAnalízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenGazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben1. Sorozatok 2014.03.12.
1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)
Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenMatematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )
Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =
. Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
Részletesebben