Hullámok elhajlása (diffrakció), a Huygens Fresnel-elv
|
|
- Jázmin Hajdu
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 TÓTH A.: Hullámok/3 (kibőítet óraázlat 41 Utolsó módosítás: Hullámok elhajlása (diffrakció, a Huygens Fresnel-el A hullámok terjedését eddig olyan esetekben izsgáltuk, amikor a terjedést korlátozó, agy módosító felületek (közeghatárok nagyméretűek oltak, a közegekben pedig a határoktól eltekinte a hullámterjedés homogén és izotróp olt. A hullámok terjedését azonban lényegesen befolyásolja, ha az útjukba éges méretű akadályok agy rések kerülnek. Ha ezeknek a mérete sokkal nagyobb, mint a hullámhossz, akkor még nincs jelentős áltozás. Ezt szemlélteti a köetkező kísérlet. KÍSÉRLET: Hullámkád egy pontjában létrehozunk egy körhullámot, és egy a hullámhosszhoz képest nagyméretű résen bocsátjuk át. A rés után nagyjából az ábrán látható hullámképet látjuk. Ebben az esetben tehát szabályos árnyék keletkezik, a hullám jó közelítéssel egyenes onalban terjed, az egyenesekkel határolt, geometriai árnyéktérbe nem agy alig hatol be. árnyék d>>λ d árnyék A hullámok egyenes onalú terjedése teszi lehetőé, hogy a hullámterjedést a sugarak beezetéséel sok esetben egyszerű geometriai szerkesztésekkel tudjuk nyomon köetni, és egyszerű magyarázatot adjunk számos optikai eszköz működésére (ezzel a geometriai optika foglalkozik. Vannak azonban olyan esetek, amikor a hullám lényegesen eltér az egyenes onalú terjedéstől. Ez történik pl. akkor, ha az előbbi kísérletben a rés méretét lecsökkentjük. KÍSÉRLET: Az előbbi kísérletben csökkentsük a rés méretét. Amikor a rés mérete közel azonos a hullámhosszal (a ábra, akkor a hullám jelentősen behatol az árnyéktérbe, az egyenes terjedéshez képest elhajlik. Még jelentősebb eltérés köetkezik be, ha a rés mérete sokkal kisebb a hullámhossznál (b ábra, hiszen ekkor mint azt korábban már láttuk a rés pontforrásként iselkedik. d~λ d a d<<λ d b Már a nagyméretű rés esetén is utaltunk arra, hogy az egyenes onalú terjedés csak jó közelítéssel alósul meg. Pontosabb megfigyelések azt is megmutatják, hogy bármilyen akadály szélénél is beköetkeznek az egyenes onalú terjedéstől eltérő jelenségek. KÍSÉRLET: Ezt megfigyelhetjük egy hullámkádban, ha egy nagyobb hullámhosszú hullám egy akadály széle mellett halad el (ábra.
2 TÓTH A.: Hullámok/3 (kibőítet óraázlat 4 Utolsó módosítás: Kis méretű akadály esetén a hullám az akadály mindlét szélén behatol az árnyéktérbe. KÍSÉRLET: Hullámkádban keltett körhullám útjába a hullámhosszal összemérhető akadályt helyezünk el. A hullámok jól láthatóan behatolnak az akadály mögötti geometriai árnyéktérbe. d~λ Toábbi izsgálatok amelyekről részletesebben a fényhullámoknál lesz szó azt mutatják, hogy a hullám intenzitáseloszlása nem olyan egyszerű, mint amiről eddig szó olt. Ez legjobban fényhullámokkal mutatható be, de a jelenség hullámkádban is megfigyelhető. KÍSÉRLET: Vízfelületen létrehozott hullám útjába kis méretű rést helyezünk el. Ha résméretet és a hullámhosszt megfelelően álasztjuk meg, akkor a rés túloldalán a pontforrások interferenciájához hasonló hullámalakzatot látunk. Itt az egyenes terjedéstől aló eltérés mellett a résen áthaladt hullámban maximális és minimális amplitúdójú helyeket mutató onalak figyelhetők meg. Ehhez hasonló képet kapunk akkor is, ha a hullám egymás mellett elhelyezett rések sorozatán (rácson halad át. Az itt bemutatott eseteken kíül is számos tapasztalat mutatja, hogy ha a hullám réseken halad át, agy éges méretű akadályokba ütközik, akkor az egyenes onalú terjedéstől jelentős eltérések figyelhetők meg. A hullámnak az egyenes onalú terjedéstől aló eltérését hullámelhajlásnak agy diffrakciónak-, az ezzel kapcsolatos jelenségeket elhajlásjelenségeknek-, a létrejött hullámalakzatot pedig elhajlási képnek agy diffrakciós képnek neezik. Az elhajlásjelenségek a Huygens-elel már nem értelmezhetők. Ennek alapető oka az, hogy a Huygens-el nem eszi figyelembe a terjedő hullám intenzitásiszonyait, így nem tudja értelmezni sem az árnyékjelenséget, sem pedig azt, hogy a hullám részlegesen behatol az árnyéktérbe. Ezt a problémát oldja meg a Fresnel 1 által jaasolt módosítás, amely szerint az új hullámfrontot nem az elemi hullámok burkolófelületeként értelmezzük, hanem az elemi hullámok interferenciájából számítjuk ki. Ez a Huygens Fresnel-el. A Huygens Fresnel-el tehát nem egyszerűen a geometriai terjedési szabályokat eszi figyelembe, hanem azt is, hogy az interferencia miatt az elemi hullámok a hullámtér egyes tartományaiban egymást erősíthetik agy gyengíthetik (esetleg kioltják egymást, agyis intenzitásáltozások köetkezhetnek be. A Huygens Fresnel-el alapján elégzett számításokból derül ki, hogy az árnyékjelenség oka az, hogy az elemi hullámok a rés túloldalán, az "árnyéktérben" a rés méretétől függő mértékben kioltják egymást. Ezzel egyúttal az árnyéktérbe aló behatolás különböző esetei is értelmezhetők. d 1 Augustin Jean FRESNEL ( francia fizikus.
3 TÓTH A.: Hullámok/3 (kibőítet óraázlat 43 Utolsó módosítás: Az is megmagyarázható, hogy miért jelennek meg az interferenciára jellemző hullámalakzatok. A Huygens Fresnel-el szerint ugyanis a hullámfront minden pontjából elemi gömbhullámok indulnak ki, és a hullámtér egy adott pontjában az amplitúdót ezek interferenciája adja meg. Egy rés mögött tehát olyan interferenciakép jelenik meg, amely a résben elképzelt égtelen sok pontforrásból kiinduló, koherens hullámok interferenciájának felel meg. A diffrakció különösen fontos szerepet játszik az optikában, ahol ezt a jelenséget fényelhajlásnak neezik. A diffrakcióra onatkozó optikai kísérletekkel és az egyszerűbb elhajlásjelenségek értelmezéséel az elektromágneses hullámoknál foglalkozunk.
4 TÓTH A.: Hullámok/3 (kibőítet óraázlat 44 Utolsó módosítás: Rugalmas hullámok dinamikai leírása A hullám leírása akkor teljes, ha a hullámfüggényt a hullámot létrehozó hatások és a terjedését befolyásoló határfeltételek ismeretében meg tudjuk határozni, agyis ismerjük a hullámfüggény meghatározására szolgáló fizikai egyenletet. Emellett a hullám által szállított energia meghatározása is fontos feladat. Ezeknek a problémáknak a megoldásához a különböző zaarterjedési mechanizmusok esetén más és más eszközöket és alaptörényeket kell felhasználnunk, ezért a rugalmas hullámokkal és az elektromágneses hullámokkal külön foglalkozunk. A tárgyalást a rugalmas hullámokkal kezdjük. A hullámegyenlet Első célunk az, hogy egy olyan fizikai egyenletet találjunk, amely alkalmas a hullámfüggény meghatározására. Ezt az egyenletet hullámegyenletnek neezik. Rugalmas hullámok esetén a hullámegyenlet felírásánál abból indulhatunk ki, hogy a hullám keltésekor erőt fejtünk ki a közeg egy kis térfogatelemére, ezért a hullámegyenletet a hullámban elmozduló közeg egy kis térfogatelemére felírt mozgásegyenlet segítségéel kaphatjuk meg. Hullámegyenlet egydimenziós, longitudinális rugalmas hullámok esetén A közeg elemi darabjára felírt mozgásegyenletben természetesen nem szerepel a hullámfüggény, ezért a feladat az, hogy a mozgásegyenletben szereplő, helytől és időtől függő mennyiségeket a hullámfüggénnyel fejezzük ki. Ekkor a hullámfüggényre onatkozó differenciálegyenletet kapunk. Először egy S keresztmetszetű rugalmas rúdban x-irányban terjedő egydimenziós longitudinális hullámra égezzük el a számolást. A S mozgásegyenlet egy dm tömegű térfogatelemre (ábra x x+dx dfx = dm a x. Ebből úgy lesz hullámegyenlet, hogy a rúd elemi darabjára ható df x erőt és a gyorsulást kapcsolatba hozzuk a ψ hullámfüggénnyel. F(x,t ψ(x,t F(x+dx,t ψ(x+dx,t Első lépésként határozzuk meg adott x koordinátájú keresztmetszetre a t időpillanatban fellépő erőt, amely a rúd hosszirányú deformációjának köetkezménye. Ehhez alkalmazzuk a Hooke-törényt, amely egy rugalmas test megnyújtásánál agy dl összenyomásánál a testre ható F erőt összefüggésbe hozza az ε = deformációal: F = SEε (E a Young-modulus. Esetünkben a deformáció a kiálasztott térfogatelem relatí hosszáltozása, ami iszonylag egyszerűen kifejezhető a hullámfüggénnyel. Egy adott t időpillanatban az ábrán látható térfogatelem két égének relatí elmozdulását éppen a hullámfüggény x- és x+dx helyeken felett értékeinek a különbsége adja meg, agyis dl = ψ( x + dx,t ψ( x,t. A térfogatelem eredeti hossza l = dx. Így az elemi térfogat ε deformációját az dl ψ( x + dx,t ψ( x,t ε = = l dx l
5 TÓTH A.: Hullámok/3 (kibőítet óraázlat 45 Utolsó módosítás: kifejezés adja meg. Ez tulajdonképpen a ψ ( x,t függény x szerinti differenciálhányadosa. Miel itt egy kétáltozós függényt csak az egyik áltozója szerint differenciálunk (és közben a másik áltozót állandónak tekintjük, ezt a differenciálhányadost parciális deriáltnak neezik, és jelölésére a szokásos d szimbólum helyett a szimbólumot használják. Ezzel a jelöléssel a deformáció: ψ ( x, t ε =. A Hooke-törény szerint az erő és a deformáció arányos egymással, agyis ψ( x,t F x ( x,t = SEε ( x,t = SE. x Ez az erő adott t időpillanatban a hely függénye, így a rúd egy dx hosszúságú elemi darabjára ható eredő erő ebben a pillanatban F( x,t df x = F( x + dx,t F( x,t = dx. x Az erő helyfüggését megadó összefüggés felhasználásáal ebből azt kapjuk, hogy ψ ( x,t dfx = SE dx. Ezzel a mozgásegyenlet baloldalát sikerült a hullámfüggénnyel kifejeznünk. A gyorsulás a helykoordináta (itt a hullámfüggény második időderiáltja, azaz ψ ( x, t a x =, így a mozgásegyenlet jobboldalán is megjelent a hullámfüggény. Fejezzük ki még a izsgált térfogatelem tömegét a ρ sűrűséggel: dm = Sdxρ. A fenti összefüggések felhasználásáal dfx = dm a x mozgásegyenlet a hullámfüggénnyel kifejeze az E ψ ( x,t ψ ( x,t = ρ alakot ölti. Ez a hullámterjedést leíró hullámegyenlet egy rugalmas rúdban terjedő longitudinális hullám esetén. Hullámegyenlet gázoszlopban terjedő longitudinális hullám esetén Az alapel ugyanaz, mint a rúdban terjedő longitudinális hullámoknál, agyis a gázoszlop egy elemi darabjára felírjuk a mozgásegyenletet, majd a gyorsulást és az erőt kifejezzük a hullámfüggénnyel. A mozgásegyenlet df = dm, x a x ahol df x a kiálasztott térfogatelemre ható erő, a x a térfogatelem gyorsulása, dm pedig a tömege. Itt az erő az x-tengely adott helyén létrejött nyomásesésből származik, amire a t időpillanatban az F( x,t = Sdp( x,t összefüggés érényes. A rugalmasságtanból tudjuk, hogy egy gáz összenyomására a
6 TÓTH A.: Hullámok/3 (kibőítet óraázlat 46 Utolsó módosítás: dv dp = K V ψ összefüggés érényes. Miel V = Sdx, és dv = Sdψ = S dx, azt kapjuk, hogy ψ dp( x,t = K. S x x+dx Egy x helyen t időpillanatban fellépő erő ennek alapján p(x,t ψ F( x,t = SK Egy kiálasztott térfogatelemre ható eredő erőt az erőnek a kiálasztott hosszon történő F( x,t ψ ( x,t dfx = dx = SK dx megáltozása adja meg. A gyorsulás most is ψ ( x, t a x =, és dm = Sdxρ0, ahol ρ 0 a gáz átlagos sűrűsége. A fenti összefüggésekkel a mozgásegyenlet az ψ ( x,t ψ ( x,t SK dx = Sdxρ 0 alakot ölti. Egyszerűsítések után ebből egy gázoszlopban terjedő longitudinális hullámra a K ψ ( x,t ψ ( x,t = ρ0 hullámegyenletet kapjuk. Hullámegyenlet rugalmas húrban terjedő, transzerzális hullámokra Egy x-tengelyen elhelyezkedő rugalmas húr a rezgései közben az eredeti helyzetéből arra merőlegesen kitér (ábra, és a húr mentén transzerzális hullám terjed. Az eközben létrejött y-irányú kitérés hely és y időfüggését az y = ψ ( x,t hullámfüggénnyel T jellemezzük. A hullámegyenletet most is egy elemi d l hosszúságú húrszakaszra felírt mozgásegyenletből kaphatjuk meg. A számolás során egyszerűsítő felteéseket teszünk: elhanyagoljuk a húrszakasz x-irányú elmozdulását, és feltesszük, hogy a húrszakasz kitérése kicsi, agyis a kitérést jellemző szögek (α, α' is kicsik (az ábra az áttekinthetőség érdekében nagyon torz. A húr megfeszített állapotban an, a húr érintője irányába mutató feszítő erőt az ábrán T-el jelöltük. T y T T x α x ψ(x,t dl dx α' T' x x+dx ψ(x+dx,t T' y p(x+dx,t x
7 TÓTH A.: Hullámok/3 (kibőítet óraázlat 47 Utolsó módosítás: A dm tömegű elemi szakaszra felírt mozgásegyenlet y-irányú összeteője: df y = dma y Most Fy -t és ay -t kell kifejezni ψ -el. Az erő y-komponense: dfy = T y + Ty = T sinα' T sinα. Miel α, α' kicsi: sinα tgα és sinα' tgα', így ( ( ( tgα df y T tgα ' tgα = Td tgα = T dx. De tudjuk, hogy y ψ tgα = = ezért ( tgα ψ ( x,t =. Ezzel az erő kifejezése így alakul ψ dfy = T dx. A mozgásegyenletben szereplő többi mennyiségre felírhatjuk, hogy y ψ ( x,t a y = = dm = ρdls ρdxs (ρ a húr anyagának sűrűsége, S a húr keresztmetszete. Ezeket a mozgásegyenletbe behelyettesíte, megkapjuk annak hullámfüggénnyel kifejezett alakját: T ψ ( x,t ψ ( x,t =. ρs Ez a hullámegyenlet megfeszített húrban terjedő transzerzális hullámokra. Az egydimenziós hullámegyenlet általános alakja Láttuk, hogy többféle hullámterjedési esetre ugyanolyan alakú hullámegyenletet kaptunk: ezek a különböző esetekben csak az egyenletek baloldalán szereplő, anyagjellemzőket és geometriai adatokat tartalmazó állandókban különböznek egymástól. Mindezek alapján sejthető, hogy itt általános törényszerűségről an szó. Ha az egyenletek baloldalán megjelenő állandót B-el jelöljük, akkor a hullámegyenlet a ψ ( x, t ψ ( x, t B = alakba írható, ahol E rúdban terjedő longitudinális hullámnál B =, ρ K gázoszlopban terjedő longitudinális hullámnál B = és ρ 0 T húrban terjedő transzerzális hullámnál B =. ρ S
8 TÓTH A.: Hullámok/3 (kibőítet óraázlat 48 Utolsó módosítás: Nézzük meg, hogy mi a fizikai jelentése ennek az állandónak. Ezt az egyenlet megoldásáal, agyis a hullámfüggény meghatározásáal deríthetnénk ki (ekkor az állandó feltehetőleg megjelenik a hullámfüggényben. Az egyenletet kellő matematikai ismeretek híján egyelőre nem tudjuk megoldani, de tudjuk, hogy a rúdban elileg terjedhet harmonikus síkhullám, ezért az egyenletnek biztosan megoldása a harmonikus síkhullámot leíró ψ ( x, t = Acos( ωt kx + α hullámfüggény is. Helyettesítsük be ezt a függényt a hullámegyenletbe, és nézzük meg, hogy milyen feltételek mellett lehet megoldás. A deriálásokat elégeze az alábbi egyenletet kapjuk: Bk cos( ω t kx + α = ω cos( ωt kx + α. Az egyenletet rendeze azt kapjuk, hogy ( Bk ω cos( ωt kx + α = 0. Ennek az egyenletnek bármilyen x- és t értékek mellett érényesnek kell lennie, ami csak úgy teljesülhet, hogy a hely-és időfüggő rész együtthatója nulla: Bk ω = 0. ω Felhasznála a k = összefüggést, azt kapjuk, hogy a B állandó közetlen összefüggésben an a hullám terjedési sebességéel: = B. Az egydimenziós hullámegyenlet általános alakban tehát az alábbi módon írható fel: ψ ( x,t ψ ( x,t =. Az egyes konkrét esetekben csak annyi a különbség, hogy a terjedési sebesség kifejezése más, amit a hullámegyenlet leezetése során kapunk meg. A fentiek alapján a terjedési sebesség különböző terjedési körülmények között az alábbi összefüggésekkel adható meg: longitudinális hullám rugalmas rúdban: = E, ρ longitudinális hullám (nyomás- és sűrűséghullám gázban: transzerzális hullám húrban: T =. ρs K =, ρ A terjedési sebességet bármilyen más esetben a fentiekhez hasonló módon, a hullámegyenlet konkrét esetre történő leezetéséel kaphatnánk meg. Így például G rugalmas rúdban terjedő nyírási hullámra a = kifejezést kapjuk (G a nyírási ρ modulus. Gázokban és folyadékokban gyakorlatilag csak longitudinális hullámok terjednek. Szilárd anyagokban longitudinális és transzerzális hullámok is terjednek, és terjedési sebességük eltérő: általában a longitudinális hullámok terjednek gyorsabban. 0
9 TÓTH A.: Hullámok/3 (kibőítet óraázlat 49 Utolsó módosítás: Megjegyezzük, hogy a hullámegyenlet általános alakja nem csak rugalmas hullámokra érényes, hanem például az elektromágneses hullámokra is, csak ott a hullámfüggény nem mechanikai jellegű áltozást, hanem az elektromos- és mágneses erőtér áltozását adja meg. Későbbi tanulmányaik során, amikor az elektromágneses hullám hullámegyenletét leezetik, akkor a fenti B állandóra azt kapják, hogy 1 B =, ahol ε 0 a ákuum permittiitása, ε r a teret kitöltő anyag relatí ε 0ε rμ0μr permittiitása, μ 0 a ákuum mágneses permeabilitása, μ r a teret kitöltő anyag relatí mágneses permeabilitása. Az elektromágneses hullám (pl. a fény terjedési sebessége 1 tehát c = B =. A ákuumban terjedő fény terjedési sebessége ennek ε μ μ megfelelően ε 0 r 0 r 1 c = B = (ákuumban r 1 ε μ ε = és μ r = 1. Behelyettesíte az ε 0 = 8.854* 10 As/(Vm és μ 0 = 4π 10 Vs / Am állandókat, a ákuumbeli 8 8 fényterjedés sebességének ismert értékét kapjuk: c =, m / s 3 10 m / s. *************** *************** *************** Térbeli hullámegyenlet A hullámok az esetek döntő többségében nem egy dimenzióban, hanem térben terjednek. Ilyenkor a hullámfüggény helyfüggését a helyzetektorral adhatjuk meg: ψ = ψ (r,t. A térbeli hullámegyenletet formálisan iszonylag egyszerűen megkaphatjuk egy harmonikus síkhullám 7 ψ ( r,t = Acos( ωt kr hullámfüggényének segítségéel. Miel az egydimenziós esetből tudjuk, hogy a hullámegyenletben a hullámfüggény második parciális deriáltjai szerepelnek, számítsuk ki először a hely szerinti deriáltakat a fenti hullámfüggény esetén. Ha figyelembe esszük, hogy kr, az alábbi összefüggéseket kapjuk: = kx x + k y y + k ψ ( r,t = k xψ ( r,t ψ ( r,t = k yψ ( r,t y ψ ( r,t = k zψ ( r,t. z Ezeket az egyenleteket összeada azt kapjuk, hogy ψ ( r,t ψ ( r,t ψ ( r,t ω + + = k ψ ( r,t = ψ ( r,t y z ω (itt felhasználtuk a k = összefüggést. Másrészt a hullámfüggény idő szerinti második deriáltja: ψ ( r,t = ω ψ ( r,t Az utóbbi két egyenletből azt kapjuk, hogy ψ ( r,t ψ ( r,t ψ ( r,t ψ ( r,t + + =. y z z z.
10 TÓTH A.: Hullámok/3 (kibőítet óraázlat 50 Utolsó módosítás: Ha alkalmazzuk a matematikában szokásos ψ ψ ψ + + = Δ y z ψ( r,t Δ ψ( r,t = jelölést, akkor az egyszerűbb alakot kapjuk. Kimutatható, hogy ez az egyenlet nem csak a leezetésnél feltételezett harmonikus hullámokra igaz, hanem ez a hullámegyenlet általánosan érényes alakja. *************** *************** *************** A hullámegyenlet alkalmazása: az állóhullám-egyenlet Korábban megizsgáltuk egy hullámforrásból kiinduló és a éges közeg határáról isszaert hullámok interferenciáját. Láttuk, hogy bizonyos feltételek teljesülésekor (pl. egy kötélben indított hullámnál meghatározott frekenciákon sajátos, a haladó hullámtól különböző, állandósult hullámalakzatok jöhetnek létre, amelyekben a hullámtér egész tartományai azonos fázisban rezegnek, csak a rezgés amplitúdója áltozik helyről-helyre. Az ilyen hullámalakzatokat neeztük állóhullámoknak. Kézenfekőnek látszik, hogy az általános hullámegyenlet a hullámok bármilyen fajtájának, így az állóhullámoknak a leírására is alkalmas. A hullámfüggény megtalálásához ismernünk kell a függénynek a közeg határán érényes alakját (peremfeltétel, és ismernünk kell a hullámfüggényt egy kezdeti időpillanatban (kezdeti feltétel. A hullámegyenlet általános megoldásának megtalálása adott kezdeti- és peremfeltételek esetén általában bonyolult feladat, ezért itt csak azt tűzzük ki célul, hogy megtaláljuk azokat a megoldásokat, amelyek a korábban kísérletileg is megtalált állóhullámokat írják le. Harmonikus hullámokkal kapcsolatos korábbi tapasztalataink szerint az állóhullámot helyfüggő amplitúdó és a közegnek nagyobb térrészre kiterjedő, azonos időfüggésű, azonos fázisú rezgése jellemzi, és azt találtuk, hogy hullámfüggénye egy helyfüggő amplitúdó és egy harmonikus rezgést leíró időfüggő tényező szorzataként írható fel: ψ ( x, t = ϕ( x cos( ωt + α. Most ismét a differenciálegyenletek megoldásánál korábban többször alkalmazott eljárást köetjük: a differenciálegyenletbe behelyettesítjük a kitalált megoldást, és megizsgáljuk, hogy milyen feltételek esetén lesz a próbafüggényünk megoldás. Ha a fenti hullámfüggényt behelyettesítjük a ψ ( x,t ψ ( x,t = hullámegyenletbe, akkor azt kapjuk, hogy d ϕ cos( ωt + α = ϕ( x ω cos( ωt + α. dx ω Ez az egyenlet rendezéssel és a k = összefüggés felhasználásáal a d ϕ + k ϕ( x cos( ωt + α = 0 dx alakba írható. Az egyenletnek bármely időpillanatban teljesülni kell, ami csak úgy lehetséges, hogy
11 TÓTH A.: Hullámok/3 (kibőítet óraázlat 51 Utolsó módosítás: d ϕ( x + k ϕ( x = 0. dx Ez a differenciálegyenlet megadja az állóhullám amplitúdójának ϕ ( x helyfüggését, és egydimenziós állóhullám-egyenletnek neezik. Ha a ϕ ( x függényt konkrét esetekben meghatározzuk, akkor az állóhullám hullámfüggényét is felírhatjuk az adott esetben: ψ ( x, t = ϕ( x cos( ωt + α. Egyszerű példaként próbáljuk meghatározni az amplitúdó ϕ ( x helyfüggését egy mindkét égén rögzített, L hosszúságú rugalmas húrban agy kötélben (ábra terjedő transzerzális harmonikus hullámra. A ϕ ( x függényt d ϕ( x + k ϕ( x = 0 dx állóhullám-egyenlet segítségéel határozzuk meg. ψ(0,t=0 0 ψ(l,t=0 L x Miel az egyenlet formailag teljesen azonos a harmonikus rezgőmozgás egyenletéel, megoldása is ugyanolyan, csak most a áltozó nem t, hanem x: ϕ ( x = Asin( kx + β. Ezzel az állóhullám időfüggését is megadó hullámfüggény a ψ ( x,t = Asin( kx + β cos( ωt + α alakot ölti. A konkrét esetben érényes állóhullám-megoldást akkor kapjuk meg, ha figyelembe esszük a határfeltételeket. A két égén rögzített kötél agy húr esetén egyrészt bármely időpillanatban fennáll, hogy ψ ( 0,t = 0. Ez azt jelenti, hogy ϕ ( 0 = 0, így a ϕ ( x = Asin( kx + β alakban felírt amplitúdó-függény csak a β = 0 esetben alkalmazható, tehát csak a ϕ ( x = A sin( kx alak megengedett. Másrészt a kötél agy húr másik ége is rögzített, tehát ψ ( L,t = 0, ami azt jelenti, hogy ϕ ( L = Asin( kl = 0, illete sin( kl = 0. Ez ugyanaz a feltétel, mint amit korábbi megfontolásainkból kaptunk, és a köetkeztetések is ugyanazok. Állóhullám egy mindkét égén rögzített kötélen agy húron csak akkor jön létre, ha a hullámszám a kl = nπ feltételnek megfelelő értékek alamelyikét eszi fel, azaz π k n = n L (n egész szám. Ezzel a hullámegyenlet n-től függő állóhullá-megoldása: π ψ n ( x, t = A sin( n x cos( ωt + α. L Mint korábban is láttuk, a határfeltételek miatt a húron kialakuló hullámok frekenciája és hullámhossza sem tetszőleges, hanem
12 TÓTH A.: Hullámok/3 (kibőítet óraázlat 5 Utolsó módosítás: π ω n = k n c = n c illete L L λ n =. n Mint már az állóhullámok korábbi tárgyalásánál is említettük, a fenti, egyetlen n értékhez tartozó megoldás csak igen speciális kezdeti feltételek mellett alósítható meg. Általában egy húr gerjesztésekor bonyolult hullám alakul ki, amely különböző frekenciájú harmonikus hullámok szuperpozíciója, így az n = 1 értékhez tartozó alapfrekencia mellett rendszerint kisebb intenzitással egyéb lehetséges frekenciák (felharmonikusok is megjelennek. Ezt mutatja például az, hogy egy húr hangja erősen függ attól, hogy milyen eszközzel szólaltatjuk meg és a rezgést a húr melyik pontján hozzuk létre. A fentihez hasonló módon tárgyalhatók egyéb peremfeltételek is (pl. egyik égén szabad kötél, mindkét égén szabad rezgő pálca, zárt és nyitott síp (leegőoszlop, stb. A két- agy háromdimenziós hullámegyenlettel síkon agy térben terjedő hullámok által létrehozott állóhullámok is tárgyalhatók. Számolásokat itt nem égzünk, de bemutatunk néhány síkbeli állóhullám képet. KÍSÉRLET: Közepén befogott négyzet- és kör alakú, ékony fémlemezekben (ábra hegedűhúrral transzerzális rezgéseket hozunk létre. Ennek köetkeztében állóhullámok (Chladni-ábrák alakulnak ki, amelyeknek kimutatására finom port használunk. A port a hullám gerjesztése előtt egyenletesen rászórjuk a lapokra, majd a hegedűonót az ábrán látható D pontokban a lemezre merőlegesen égighúzzuk a lemezen. Közben ujjunkkal a lemez egy agy két pontját megérintjük (az ábrán a C-el jelölt helyek. A porszemcsék azokon a helyeken gyűlnek össze, ahol a legkisebb a rezgés amplitúdója, tehát kirajzolják az állóhullám csomóonalait (az ábrán a sötét tartományok. A gerjesztés helyén mindig duzzadóhely an, az érintési helyeken csomópont. Látható hogy az érintés helyének (rögzített pont áltoztatásáal a csomóonalak helyzetét áltoztatni tudjuk. Ezek a kísérletek jól mutatják, hogy az állóhullámok konkrét alakját alapetően meghatározza a rezgetés helye és az, hogy az ujjunkkal milyen peremfeltételeket alakítunk ki.
13 TÓTH A.: Hullámok/3 (kibőítet óraázlat 53 Utolsó módosítás: Doppler-effektus Tapasztalatból tudjuk, hogy ha egy jármű nagy sebességgel közeledik felénk, és elhalad mellettünk, akkor az általa kibocsátott hang magasságát táolodáskor hirtelen mélyebbnek észleljük. A jelenség egyszerű kísérlettel sokkal meggyőzőbben is bemutatható. KÍSÉRLET: Függőleges tengely körül forgatható ízszintes karra egy sípot rögzítünk, úgy, hogy körbeforgatásakor a síp szája a körpálya érintője irányába mutat. Ha a kart és ele a sípot megforgatjuk, akkor a pálya érintőjének irányába mutató síp a rajta átáramló leegő hatására megszólal. Jól megfigyelhető, hogy amikor a síp keringése közben közeledik felénk, akkor a hangját sokkal magasabbnak halljuk, mint amikor táolodik tőlünk. Az észlelt hangmagasságnak, általánosabban egy hullám észlelt frekenciájának a megfigyelő agy a hullámforrás mozgásállapotától aló függését Dopplereffektusnak 1 neezik. Elsőként izsgáljuk meg, azt az esetet, amikor F az f 0 frekenciájú hullámforrás a hullámot közetítő közeghez képest u F sebességgel B A C x mozog. A hullám terjedési sebessége nyugó s+s'=(+u F τ s-s'=(-u F τ közegben, hullámhossza λ 0 =. f0 Ha a forrás (az ábrán az A pontban, a t=0 időpillanatban kibocsát egy hullámot, akkor a hullámfront az ettől számított τ idő alatt mindkét irányban sebességgel mozog, és s = τ táolságra jut el (az ábrán a B illete C pontokig, függetlenül attól, hogy a forrás áll agy s s τ mozog. Ezen a táolságon kialakul N = = = = f0τ számú teljes periódus (egy λ0 T T pillanatfelételen ennyi teljes szinusz-periódust látunk. Ha a forrás az x-tengely irányában mozog, akkor τ idő alatt s ' = τ táolságot tesz meg, tehát az x-tengely irányában a τ időtartam égén az N számú periódus az s s' = ( uf τ hosszúságú szakaszon figyelhető meg (alsó ábra. Szemléletesen szóla, a hullámhossz ebben az irányban összenyomódik. A C pontnál álló megfigyelő által észlelt hullámhossz ekkor s s' ( uf τ uf λ C = = = < λ0. A B pontban álló megfigyelő által észlelt hullámhossz N f0τ f0 iszont nagyobb lesz, mint az álló forrás esetén mért λ 0, hiszen ettől a helytől a forrás táolodik, az N számú periódus az s + s' = ( + uf τ szakaszra széthúzódik, és megfigyelt + uf értéke λ B = > λ0 lesz. f0 Ha megállapodunk abban, hogy a megfigyelő felé mozgó forrás sebessége pozití ( u F > 0, és a táolodó forrás sebessége negatí ( u F < 0, akkor a két összefüggés összeonható a B s=τ álló forrás F A mozgó forrás t=τ u F s=τ u F C x 1 Christian Johann DOPPLER ( osztrák fizikus.
14 TÓTH A.: Hullámok/3 (kibőítet óraázlat 54 Utolsó módosítás: uf λ = f0 alakba. A mozgó forrásból érkező hullám esetén a megfigyelő az f = összefüggésnek megfelelő, λ megáltozott frekenciát észlel: f = f0. uf Vagyis a tapasztalattal egyezően, közeledő forrásnál ( u F > 0 nagyobb-, táolodó forrásnál ( u F < 0 kisebb frekenciát kapunk, mint a nyugó forrással mért f 0. A számolás alapját képező hullámhossz-összenyomódás és hullámhossz-megnyúlás alóságosan is bemutatható ízhullámok segítségéel. Ha a íz felületén mozgatható forrással keltünk körhullámokat (például egy mozgó csőből a felületre szaggatottan kiáramló leegőel, akkor a árakozásnak megfelelően a képen látható hullámalakzatot láthatjuk. A második kérdés az, hogy hogyan befolyásolja az észlelt frekenciát a megfigyelőnek a közeghez iszonyított mozgása. Ha a megfigyelő mozog, akkor számára a hullám terjedési sebessége más, mint ha nyugalomban lenne. Ha például a C pontban léő megfigyelő a nyugalomban léő forrás felé (tehát a hullám terjedési irányáal szemben mozog u M sebességgel, akkor a hullám terjedési sebességét = + um -nek méri, és ennek megfelelően + um + um f = = f0 λ0 frekenciát észlel. Ellenkező irányú mozgás esetén az észlelt frekencia: um um f = = f0. λ0 Ha a forráshoz közeledő megfigyelő sebességét tekintjük pozitínak ( u M > 0, és az ellenkező irányban mozgóét negatínak ( u M < 0, akkor a két összefüggést összeonhatjuk az + u f == M f0 alakban. A számolás során feltételeztük, hogy a megfigyelő sebessége a hullámterjedés sebességéel párhuzamos. Ha a forrás is mozog, akkor λ helyébe a mozgó forrásnál kapott hullámhosszt kell beírnunk a fenti összefüggésbe, agyis + um f =. λ uf Ebből a λ = kifejezés beírása után azt kapjuk, hogy f0 + u f = M f0, u F
15 TÓTH A.: Hullámok/3 (kibőítet óraázlat 55 Utolsó módosítás: ahol u M > 0, ha a megfigyelő a forrás felé mozog, és u F > 0, ha a forrás a megfigyelő felé mozog. Ellenkező irányú mozgások esetén a megfelelő sebesség előjelet ált. Az összefüggéseket azzal a felteéssel kaptuk, hogy a forrás és a megfigyelő sebessége párhuzamos egymással és a hullám terjedési sebességéel. Ha ez nem így an, akkor az összefüggésbe a feltételnek megfelelő sebességkomponenseket kell beírni. Toábbi megszorítás, hogy a frekencia nem lehet negatí, agyis táolodó megfigyelő esetén u M < (ellenkező esetben a megfigyelő lehagyja a hullámot és nem észleli azt, és táolodó forrás esetén u F < (ellenkező esetben a forrás lehagyja a hullámot. Bár a fenti összefüggés nem érényes, ha u F >, gyakorlatilag nagyon fontos az az eset amikor egy folyadékban agy gázban egy hullámforrásként működő test a hullámok terjedési sebességénél gyorsabban mozog. Ez a helyzet áll elő például a ϑ hang terjedési sebességénél nagyobb sebességgel u F haladó (szuperszonikus repülőgépek esetén. u F > u F Δt u F Δt u F Δt F Ha a hullámforrás sebessége nagyobb, mint a hullámterjedés sebessége, akkor a forrás lehagyja a hullámot, tehát előtte nem alakul ki hullám, csak mögötte. Az ábrán egy ilyen estben kialakuló hullámkép látható, ahol feltüntettük a mozgó forrás által létrehozott hullámfrontok helyzetét Δ t időközökben. Látható, hogy a forrás mögött egy kúp alakú hullámfront jön létre, amelyet Mach-kúpnak 1 neeznek. A Mach-kúp legkönnyebben sima felületű ízben a ízhullámoknál gyorsabban haladó hajó mögött figyelhető meg. Az ábra alapján megállapíthatjuk, hogy a Mach kúp szögének ( ϑ felére a sin ϑ = összefüggés érényes, ahol a hullám terjedési sebessége, u F > pedig a forrás sebességének nagysága. A két sebesség iszonya fontos szerepet játszik a szuperszonikus repülésben, ezért erre uf beezették az M = jellemzőt, amit Mach-számnak neeznek. A Mach-szám tehát azt adja meg, hogy a mozgó forrás (pl. repülőgép a hullám terjedési sebességének (pl. hangsebesség hányszorosáal halad. Miel a hullámfront két oldalán jelentős nyomáskülönbség alakulhat ki, az ilyen hullám az áthaladása során lökésszerű hatást fejt ki (lökéshullám. u F 3Δt Δt Δt 1 Ernst MACH ( osztrák fizikus.
P vízhullámok) interferenciáját. A két hullám hullámfüggvénye:
Hullámok találkozása, interferencia Ha a tér egy pontjában két hullám van jelen, akkor hatásuk ott valamilyen módon összegződik. A hullámok összeadódását interferenciának nevezzük. Mi az interferencia
Részletesebbena terjedés és a zavar irányának viszonya szerint:
TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) Hullámtani összefoglaló A hullám fogalma és leírása A hullám valamilyen (mehanikai, elektromágneses, termikus, stb.) zavar térbeli tovaterjedése. Terjedésének mehanizmusa
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1. (b) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1. (b) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 Síkhullámok végtelen kiterjedésű, szilárd izotróp közegekben (1) longitudinális hullám transzverzális
RészletesebbenCsillapított rezgés. a fékező erő miatt a mozgás energiája (mechanikai energia) disszipálódik. kváziperiódikus mozgás
Csillapított rezgés Csillapított rezgés: A valóságban a rezgések lassan vagy gyorsan, de csillapodnak. A rugalmas erőn kívül, még egy sebességgel arányos fékező erőt figyelembe véve: a fékező erő miatt
RészletesebbenHullámmozgás. Mechanikai hullámok A hang és jellemzői A fény hullámtermészete
Hullámmozgás Mechanikai hullámok A hang és jellemzői A fény hullámtermészete A hullámmozgás fogalma A rezgési energia térbeli továbbterjedését hullámmozgásnak nevezzük. Hullámmozgáskor a közeg, vagy mező
RészletesebbenMechanikai hullámok. Hullámhegyek és hullámvölgyek alakulnak ki.
Mechanikai hullámok Mechanikai hullámnak nevezzük, ha egy anyagban az anyag részecskéinek rezgésállapota továbbterjed. A mechanikai hullám terjedéséhez tehát szükség van valamilyen anyagra (légüres térben
Részletesebben11. Egy Y alakú gumikötél egyik ága 20 cm, másik ága 50 cm. A két ág végeit azonos, f = 4 Hz
Hullámok tesztek 1. Melyik állítás nem igaz a mechanikai hullámok körében? a) Transzverzális hullám esetén a részecskék rezgésének iránya merőleges a hullámterjedés irányára. b) Csak a transzverzális hullám
RészletesebbenHullámok. v=d/t 1 d d. TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 1
TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 1 Hullámok A különböző fizikai mennyiségek áltozása pl. egy rezgés igen gyakran a létrehozásának helyétől táolabb is kiált hatásokat: a létrehozott áltozás agy más néen
RészletesebbenHullámok. v=d/t 1 d d
TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 1 Utolsó módosítás: 006119 Hullámok A különböző fizikai mennyiségek áltozása pl egy rezgés igen gyakran a létrehozásának helyétől táolabb is kiált hatásokat: a létrehozott
RészletesebbenA hullámok terjedése során a közegrészecskék egyensúlyi helyzetük körül rezegnek, azaz átlagos elmozdulásuk zérus.
HULLÁMOK MECHANIKAI HULLÁMOK Mechanikai hullám: ha egy rugalmas közeg egyensúlyi állapotát megbolygatva az előidézett zavar tovaterjed a közegben. A zavart a hullámforrás váltja ki. A hullámok terjedése
RészletesebbenHullámok. v=d/t 1 d d
TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) Utolsó módosítás: 006..0 Hullámok A különböző fizikai mennyiségek áltozása pl. egy rezgés igen gyakran a létrehozásának helyétől táolabb is kiált hatásokat: a létrehozott
RészletesebbenAz Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
RészletesebbenHullámok tesztek. 3. Melyik állítás nem igaz a mechanikai hullámok körében?
Hullámok tesztek 1. Melyik állítás nem igaz a mechanikai hullámok körében? a) Transzverzális hullám esetén a részecskék rezgésének iránya merıleges a hullámterjedés irányára. b) Csak a transzverzális hullám
RészletesebbenRezgés, Hullámok. Rezgés, oszcilláció. Harmonikus rezgő mozgás jellemzői
Rezgés, oszcilláció Rezgés, Hullámok Fogorvos képzés 2016/17 Szatmári Dávid (david.szatmari@aok.pte.hu) 2016.09.26. Bármilyen azonos időközönként ismétlődő mozgást, periodikus mozgásnak nevezünk. A rezgési
RészletesebbenRezgések és hullámok
Rezgések és hullámok A rezgőmozgás és jellemzői Tapasztalatok: Felfüggesztett rugóra nehezéket akasztunk és kitérítjük egyensúlyi helyzetéből. Satuba fogott vaslemezt megpendítjük. Ingaóra ingáján lévő
RészletesebbenHullámok, hanghullámok
Hullámok, hanghullámok Hullámokra jellemző mennyiségek: Amplitúdó: a legnagyobb, maximális kitérés nagysága jele: A, mértékegysége: m (egyéb mértékegységek: dm, cm, mm, ) Hullámhossz: két azonos rezgési
RészletesebbenHullámtani összefoglaló
Hullámtani összefoglaló A hullám fogalma és leírása A hullám valamilyen (mehanikai, elektromágneses, termikus, stb.) zavar térbeli tovaterjedése. Terjedésének mehanizmusa függ a zavar jellegétől, így például
RészletesebbenOptika gyakorlat 6. Interferencia. I = u 2 = u 1 + u I 2 cos( Φ)
Optika gyakorlat 6. Interferencia Interferencia Az interferencia az a jelenség, amikor kett vagy több hullám fázishelyes szuperpozíciója révén a térben állóhullám kép alakul ki. Ez elektromágneses hullámok
RészletesebbenRezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele
Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:
RészletesebbenElektromágneses hullámok - Interferencia
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (d) Elektromágneses hullámok - Interferencia Utolsó módosítás: 2012 október 18. 1 Interferencia (1) Mi történik két elektromágneses hullám találkozásakor? Az elektromágneses
RészletesebbenMechanika, dinamika. p = m = F t vagy. m t
Mechanika, dinamika Mozgás, alakváltozás és ennek háttere Newton: a mozgás természetes állapot. A témakör egyik kulcsfontosságú fizikai mennyisége az impulzus (p), vagy lendület, vagy mozgásmennyiség.
RészletesebbenHangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata
Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk
RészletesebbenGépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, 2017. október 10.. CHFMAX NÉV: Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 Előadó: Márkus / Varga Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1) Az l hosszúságú
RészletesebbenHullámok visszaverődése és törése
TÓTH : Hullámok/ (kibővítet óravázlat) Hullámok visszaverődése és törése hullámterjedés vizsgálatánál eddig azt tételeztük fel, hogy a hullám homogén közegben, állandó sebességgel terjed Ha a hullám egy
RészletesebbenPÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE
PÉLÁ ERŐTÖRVÉNYERE Szabad erők: erőtörvénnyel megadhatók, általában nem függenek a test mozgásállapotától (sebességtől, gyorsulástól) Példák: nehézségi erő, súrlódási erők, rugalmas erők, felhajtóerők,
RészletesebbenElektromágneses hullámok
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses
RészletesebbenΨ - 1/v 2 2 Ψ/ t 2 = 0
ELTE II. Fizikus 005/006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Optika 7. (X. 4) Interferencia I. Ψ (r,t) = Φ (r,t)e iωt = A(r) e ikl(r) e iωt hullámfüggvény (E, B, E, B,...) Ψ - /v Ψ/ t = 0 ω /v = k ; ω /c = k o ;
Részletesebben1. Feladatok a dinamika tárgyköréből
1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű
RészletesebbenRugalmas hullámok terjedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai
Rugalmas hullámok tejedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai Milyen hullámok alakulhatnak ki ugalmas közegben? Gázokban és folyadékokban csak longitudinális hullámok tejedhetnek. Szilád közegben
RészletesebbenKÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS
KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS
RészletesebbenHullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása.
Hullátan A hullá fogala. A hulláok osztályozása. Kísérletek Kis súlyokkal összekötött ingasor elején keltett rezgés átterjed a többi ingára is [0:6] Kifeszített guikötélen keltett zavar végig fut a kötélen
RészletesebbenSzökőkút - feladat. 1. ábra. A fotók forrása:
Szökőkút - feladat Nemrégen Gyulán jártunk, ahol sok szép szökőkutat láttunk. Az egyik különösen megtetszett, ezért elhatároztam, hogy megpróbálom elemi módon leírni a ízsugarak, illete az általuk leírt
Részletesebbenegyetemi tanár, SZTE Optikai Tanszék
Hullámtan, hullámoptika Szabó Gábor egyetemi tanár, SZTE Optikai Tanszék Hullámok Transzverzális hullám Longitudinális hullám Síkhullám m matematikai alakja Tekintsünk nk egy, az x tengely mentén n haladó
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenOptika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak
Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 2. Fényhullámok tulajdonságai Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007. Az elektromágneses spektrum Látható spektrum (erre állt be a szemünk) UV: ultraibolya
Részletesebben1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel
1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora
RészletesebbenSzent István Egyetem Fizika és folyamatirányítási Tanszék FIZIKA. rezgések egydimenziós hullám hangok fizikája. Dr. Seres István
Szent István Egyetem Fizika és folyamatirányítási Tanszék rezgések egydimenziós hullám hangok fizikája Dr. Seres István Harmonikus rezgőmozgás ( sin(ct) ) ( c cos(ct) ) c sin(ct) ( cos(ct) ) ( c sin(ct)
RészletesebbenFIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens
FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Fontos tudnivalók e-mail: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu web: http://uni-obuda.hu/users/racz.ervin/index.htm Iroda: Bécsi út, C. épület, 124. szoba Fizika II. - ismertetés
Részletesebben-2σ. 1. A végtelen kiterjedésű +σ és 2σ felületi töltéssűrűségű síklapok terében az ábrának megfelelően egy dipól helyezkedik el.
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Energetikai mérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. május 15. Neptun kód:... g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus
Részletesebben1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből
1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló
RészletesebbenGeometriai és hullámoptika. Utolsó módosítás: május 10..
Geometriai és hullámoptika Utolsó módosítás: 2016. május 10.. 1 Mi a fény? Részecske vagy hullám? Isaac Newton (1642-1727) Pierre de Fermat (1601-1665) Christiaan Huygens (1629-1695) Thomas Young (1773-1829)
RészletesebbenVI. A tömeg növekedése.
VI A tömeg nöekedése Egyszerű tárgyalás A tehetetlenség a test egy tlajdonsága, egy adata A tömeg az adott test tehetetlenségének kantitatí mértéke A tömeg meghatározásának módszere: meg kell izsgálni,
RészletesebbenRöntgendiffrakció. Orbán József PTE, ÁOK, Biofizikai Intézet november
Röntgendiffrakció Orbán József PTE, ÁOK, Biofizikai Intézet 2013. november Előadás vázlata Röntgen sugárzás Interferencia, diffrakció (elektromágneses hullámok) Kristályok szerkezete Röntgendiffrakció
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1. Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2015. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően
RészletesebbenVontatás III. A feladat
Vontatás III Ebben a részben ázoljuk a ontatási feladat egy lehetséges numerikus megoldási módját Ezt az I részben ismertetett alapegyenletre építjük fel Itt az egy ontatott kerékpár esetét izsgáljuk feladat
RészletesebbenSZEIZMOLÓGIA. Alapfogalmak
SZEIZMOLÓGIA A szeizmológia a természetes eredetű földrengések megfigyeléséel és feldolgozásáal foglalkozó tudomány. A becslések szerint Földünkön mintegy háromszázezer földrengés pattan ki éente, ebből
Részletesebben1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
RészletesebbenMechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések
Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések 1. Melyek a rezgőmozgást jellemző fizikai mennyiségek?. Egy rezgés során mely helyzetekben maximális a sebesség, és mikor a gyorsulás? 3. Milyen
RészletesebbenGyakorlati útmutató a Tartók statikája I. tárgyhoz. Fekete Ferenc. 5. gyakorlat. Széchenyi István Egyetem, 2015.
Gyakorlati útmutató a tárgyhoz Fekete Ferenc 5. gyakorlat Széchenyi István Egyetem, 015. 1. ásodrendű hatások közelítő számítása A következőkben egy, a statikai vizsgálatoknál másodrendű hatások közelítő
RészletesebbenKirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)
3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)
RészletesebbenKifejtendő kérdések június 13. Gyakorló feladatok
Kifejtendő kérdések 2016. június 13. Gyakorló feladatok 1. Adott egy egyenletes térfogati töltéssel rendelkező, R sugarú gömb, melynek felületén a potenciál U 0. Az elektromos potenciál definíciója (1p)
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
RészletesebbenHangintenzitás, hangnyomás
Hangintenzitás, hangnyomás Rezgés mozgás energia A hanghullámoknak van energiája (E) [J] A detektor (fül, mikrofon, stb.) kisiny felületű. A felületegységen áthaladó teljesítmény=intenzitás (I) [W/m ]
RészletesebbenA +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
RészletesebbenAz optika tudományterületei
Az optika tudományterületei Optika FIZIKA BSc, III/1. 1. / 17 Erdei Gábor Elektromágneses spektrum http://infothread.org/science/physics/electromagnetic%20spectrum.jpg Optika FIZIKA BSc, III/1. 2. / 17
RészletesebbenDR. DEMÉNY ANDRÁS-I)R. EROSTYÁK JÁNOS- DR. SZABÓ GÁBOR-DR. TRÓCSÁNYI ZOLTÁN FIZIKA I. Klasszikus mechanika NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST
DR. DEMÉNY ANDRÁS-I)R. EROSTYÁK JÁNOS- DR. SZABÓ GÁBOR-DR. TRÓCSÁNYI ZOLTÁN FIZIKA I Klasszikus mechanika NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST Előszó a Fizika című tankönyvsorozathoz Előszó a Fizika I. (Klasszikus
RészletesebbenOptika gyakorlat 2. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető
Optika gyakorlat. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető. példa: Fényterjedés planparalel lemezen keresztül A plánparalel lemezen történő fényterjedés hatására a fénysugár újta távolsággal
RészletesebbenOptika fejezet felosztása
Optika Optika fejezet felosztása Optika Geometriai optika vagy sugároptika Fizikai optika vagy hullámoptika Geometriai optika A közeg abszolút törésmutatója: c: a fény terjedési sebessége vákuumban, v:
RészletesebbenBiofizika. Sugárzások. Csik Gabriella. Mi a biofizika tárgya? Mi a biofizika tárgya? Biológiai jelenségek fizikai leírása/értelmezése
Mi a biofizika tárgya? Biofizika Csik Gabriella Biológiai jelenségek fizikai leírása/értelmezése Pl. szívműködés, membránok szerkezete és működése, érzékelés stb. csik.gabriella@med.semmelweis-univ.hu
RészletesebbenDinamika. p = mυ = F t vagy. = t
Dinamika Mozgás, alakváltozás és ennek háttere Newton: a mozgás természetes állapot. A témakör egyik kulcsfontosságú fizikai mennyisége az impulzus (p), vagy lendület, vagy mozgásmennyiség. Klasszikus
RészletesebbenFizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések
Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések 1.) Írja fel a 4 Maxwell-egyenletet lokális (differenciális) alakban! rot = j+ D rot = B div B=0 div D=ρ : elektromos térerősség : mágneses térerősség D : elektromos
RészletesebbenOptika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak
Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007. Akadályok között elhaladó hullámok továbbterjedése nem azonos a geometriai árnyékkal.
Részletesebbenrnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika
Fizika mérnm rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika. előadás Dr. Geretovszky Zsolt 1. szeptember 15. Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó
RészletesebbenTömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások
2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel
Részletesebben1 2. Az anyagi pont kinematikája
1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenNE HABOZZ! KÍSÉRLETEZZ!
NE HABOZZ! KÍSÉRLETEZZ! FOLYADÉKOK FELSZÍNI TULAJDONSÁGAINAK VIZSGÁLATA KICSIKNEK ÉS NAGYOKNAK Országos Fizikatanári Ankét és Eszközbemutató Gödöllő 2017. Ötletbörze Kicsiknek 1. feladat: Rakj három 10
Részletesebben1. Az ultrahangos diagnosztika fizikai alapjai
1. Az ultrahangos diagnosztika fizikai alapjai 1.1. Harmonikus hullámmozgás A hullám egy rendszer olyan állapotváltozása, amely időbeli és térbeli periodicitást mutat, más megfogalmazásban a hullám valamely
RészletesebbenHarmonikus rezgések összetevése és felbontása
TÓTH.: Rezgések/3 (kibővített óravázlat Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul hogy egy rezgésre képes rendszerben több közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre jelenik meg és meg
Részletesebben4. MECHANIKA-MECHANIZMUSOK ELŐADÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.)
SZÉHNYI ISTVÁN YTM LKLMZOTT MHNIK TNSZÉK. MHNIK-MHNIZMUSOK LŐÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) yalugép sebességábrája: F. ábra: yalugép kulisszás mechanizmusának onalas ázlata dott: az ábrán látható
RészletesebbenMéréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1
Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása
RészletesebbenFIZIKA ZÁRÓVIZSGA 2015
FIZIKA ZÁRÓVIZSGA 2015 TESZT A következő feladatokban a három vagy négy megadott válasz közül pontosan egy helyes. Írd be az általad helyesnek vélt válasz betűjelét a táblázat megfelelő cellájába! Indokolni
RészletesebbenA 2007/2008. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai és megoldásai fizikából
Oktatási Hiatal A 7/8 tanéi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható Megoldandó
RészletesebbenFelvételi, 2017 július -Alapképzés, fizika vizsga-
Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem Marosvásárhelyi Kar Felvételi, 2017 július -Alapképzés, fizika vizsga- Minden tétel kötelező. Hivatalból 10 pont jár. Munkaidő 3 óra. I. Az alábbi kérdésekre adott
Részletesebben2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések
. REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós
RészletesebbenMateFIZIKA: Szélsőértékelvek a fizikában
MateFIZIKA: Szélsőértékelvek a fizikában Tasnádi Tamás 1 2015. április 10.,17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Energiaminimum-elv a mechanikában (ápr. 10.) Okos szappanhártyák (ápr. 10.) Legrövidebb
RészletesebbenEgy mozgástani feladat
1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk.
Részletesebben1. A hang, mint akusztikus jel
1. A hang, mint akusztikus jel Mechanikai rezgés - csak anyagi közegben terjed. A levegő molekuláinak a hangforrástól kiinduló, egyre csillapodva tovaterjedő mechanikai rezgése. Nemcsak levegőben, hanem
Részletesebbenazonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra
4. Gyakorlat 31B-9 A 31-15 ábrán látható, téglalap alakú vezetőhurok és a hosszúságú, egyenes vezető azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra. 31-15 ábra
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
RészletesebbenEGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA
EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA 1. A kinematika és a dinamika tárgya. Egyenes onalú egyenletes mozgás a) Kísérlet és a belőle leont köetkeztetés b) A mozgás jellemző grafikonjai
Részletesebben9. Hang terjedési sebességének mérése Kundt-féle csővel
9. Hang terjedési sebességének mérése Kundt-féle sőel Célkitűzés: A hangsebesség mérése különböző gázokban. A hangsebesség és a gázok hőtani araméterei között fennálló kasolat tanulmányozása, a / érték
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenELTE II. Fizikus 2005/2006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Optika 8. (X. 5)
N j=1 d ELTE II. Fizikus 005/006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Optika 8. (X. 5) Interferencia II. Többsugaras interferencia Diffrakciós rács, elhajlás rácson Hullámfront osztás d sinα α A e = A j e i(π/λo)
RészletesebbenTornyai Sándor Fizikaverseny 2009. Megoldások 1
Tornyai Sánor Fizikaerseny 9. Megolások. Aatok: á,34 m/s, s 6,44 km 644 m,,68 m/s,,447 m/s s Az első szakasz megtételéez szükséges iő: t 43 s. pont A másoik szakaszra fennáll, ogy s t pont s + s t + t
RészletesebbenGyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)
2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,
RészletesebbenNewton törvények és a gravitációs kölcsönhatás (Vázlat)
Newton törvények és a gravitációs kölcsönhatás (Vázlat) 1. Az inerciarendszer fogalma. Newton I. törvénye 3. Newton II. törvénye 4. Newton III. törvénye 5. Erők szuperpozíciójának elve 6. Különböző mozgások
Részletesebben3.1. ábra ábra
3. Gyakorlat 28C-41 A 28-15 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető 3.1. ábra. 28-15 ábra réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség
RészletesebbenFigyelem! Csak belső és saját használatra! Terjesztése és másolása TILOS!
Figyelem! Csak belső és saját használatra! Terjesztése és másolása TILOS! 1. példa Vasúti kocsinak a 6. ábrán látható ütközőjébe épített tekercsrugóban 44,5 kn előfeszítő erő ébred. A rugó állandója 0,18
RészletesebbenMechanika I-II. Példatár
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását
RészletesebbenOrvosi Biofizika I. 12. vizsgatétel. IsmétlésI. -Fény
Orvosi iofizika I. Fénysugárzásanyaggalvalókölcsönhatásai. Fényszóródás, fényabszorpció. Az abszorpciós spektrometria alapelvei. (Segítséga 12. tételmegértéséhezésmegtanulásához, továbbá a Fényabszorpció
Részletesebbena térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.
2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3
RészletesebbenPeriódikus mozgások Az olyan mozgást, amelyben a test ugyanazt a mozgásszakaszt folyamatosan ismételi, periodikus mozgásnak
Periódikus mozgások Az olyan mozgást, amelyben a test ugyanazt a mozgásszakaszt folyamatosan ismételi, periodikus mozgásnak nevezzük. Pl. ingaóra ingája, rugó rezgőmozgása, Föld forgása, körhinta, óra
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA II. KATEGÓRIA. Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hiatal A 215/216. tanéi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA II. KATEGÓRIA Jaítási-értékelési útmutató 1. feladat. Az ábrán látható ék tömege M = 3 kg, a rá helyezett
RészletesebbenA hullámoptika alapjai
KÁLMÁN P-TÓTH A: Hullámoptika/ 53 A hullámoptika alapjai Számos kísérlet mutatja, hogy a fény hullámként viselkedik Ez elsősorban abból derül ki, hogy a fény interferenciát és elhajlási jelenségeket mutat
RészletesebbenA 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA I. KATEGÓRIA. Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 06/07 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA I KATEGÓRIA Javítási-értékelési útmutató feladat Három azonos méretű, pontszerűnek tekinthető, m, m, m tömegű
RészletesebbenRezgőmozgás, lengőmozgás, hullámmozgás
Rezgőmozgás, lengőmozgás, hullámmozgás A rezgőmozgás időben ismétlődő, periodikus mozgás. A rezgő test áthalad azon a helyen, ahol egyensúlyban volt a kitérítés előtt, és két szélső helyzet között periodikus
Részletesebben1. fejezet. Gyakorlat C-41
1. fejezet Gyakorlat 3 1.1. 28C-41 A 1.1 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség bármely,
RészletesebbenZaj- és rezgés. Törvényszerűségek
Zaj- és rezgés Törvényszerűségek A hang valamilyen közegben létrejövő rezgés. A vivőközeg szerint megkülönböztetünk: léghangot (a vivőközeg gáz, leggyakrabban levegő); folyadékhangot (a vivőközeg folyadék,
Részletesebben