Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download ""

Átírás

1 LOGIKA hetkoznapi jelentese: a rendszeresseg, kovetkezetesseg szinonimaja { Ez logikus beszed volt. { Nincs benne logika. { Mas logika szerint gondolkodik. tudomanyszak elnevezese, melynek feladata a helyes kovetkeztetes { fogalmanak szabatos meghatarozasa, { torvenyeinek feltarasa. Kovetkeztetes gondolati eljaras adott ismeretek =) uj ismeret # nyelvi # megnyilvanulas kijelent}o mondatok kijelent}o mondat premisszak konkluzio

2 Helyes a kovetkeztetes (koznapi ertelemben!), ha a premisszak igaz volta eseten a konkluzio is igaz. Pelda. (premissza:) Imrenek tud}ogyulladasa van. (konkluzio:) Imrenek antibiotikumot kell szednie. A logika nem tartalmaz egyetlen mas szaktudomanyt sem, gy nem ismerheti ezek eredmenyeit!! potpremissza: Ha valakinek tud}ogyulladasa van, antibiotikumot kell szednie. Pelda. (1. premissza:) Erika Sandornak a felesege. (2. premissza:) Katalin Sandornak az edesanyja. (konkluzio:) Katalin Erikanak az anyosa. A logika nem vizsgalja a (magyar) nyelv szavainak jelenteset!! potpremissza: Ha x y-nak a felesege, es z y-nak az edesanyja, akkor z x-nek az anyosa.

3 Egy kovetkeztetes logikai vizsgalata soran mit hasznalunk fel a mondatokbol? logikai szavakat: nem : negacio es ^ konjunkcio vagy _ diszjunkcio ha :::akkor implikacio minden 8 univerzalis kvantor van 9 egzisztencialis kvantor a mondatreszek, szavak jelentese kozombos, helyettuk { termek { atomi formulak + LOGIKAI NYELV Miert van szuksege a logikanak sajat nyelvre? a logika nem tartozhat egyetlen nemzeti nyelvhez sem; a termeszetes nyelvek nyelvtani rendszerei kulonboz}oek es bonyolultak; a logika sajat nyelveben minden (abc, nyelvtani szabalyok, kategoriak) a logika feladatanak ellatasat szolgalhatja.

4 Logikai nyelv szintaktika! szemantika Alltas: olyan kijelent}o mondat, melyr}ol modunkban all egyertelm}uen eldonteni, hogy igaz vagy hamis. Pelda. alltas nem alltas 5 < 3 x < 3 XV. Lajos parokat viselt. A most uralkodo francia kiraly parokat visel. Peter hazudik. Most epp hazudok. A Fold a Nap korul kering. Nincs elet a Foldon kvul. Klasszikus szemantika: (Arisztotelesz) az ellentmondastalansag elve: Egyetlen alltas sem lehet igaz is es hamis is. a kizart harmadik elve: Nincs olyan alltas, amely sem nem igaz, sem nem hamis. modern logika - szimbolikus logika - mat. logika

5 Logikai szavak A negacio: Alfred diak. Alfred nem diak. DE: A javaslatot az ellenzek buktatta meg. A javaslatot nem az ellenzek buktatta meg. Nem igaz, hogy a javaslatot az ellenzek buktatta meg. A konjunkcio: Amalia es Bella kerteszek. "Lement a nap. De csillagok nem jottenek." (Pet}o) Juli is, Mari is tancol. Kevesre vitte, noha becsuletesen dolgozott. DE: Amalia es Bella testverek. A diszjunkcio: Esik az es}o, vagy fuj a szel. Vagy busszal jott, vagy taxival.

6 Az implikacio: Ha megtanulom a lecket, akkor otosre felelek. Csak akkor felelek otosre, ha megtanulom a lecket. Gyakran az egyszer}u alltasok szerkezetet is fel kell tarnunk. Dezs}o postas. Amalia es Bella testverek. Az Erzsebet hd osszekoti Budat Pesttel. predikatum + objektumnevek Az univerzalis kvantor: Amalia mindegyik testvere lany. Az egzisztencialis kvantor: Amalianak van testvere.

7 Az els}orend}u logikai nyelv Allando szimbolumok logikai jelek: : ^ _ 8 9 elvalaszto jelek: ( ) ; Denialando szimbolumok (negy halmazba sorolva) =< Srt; Cnst; F n; P r > Srt, elemei a tpusok. Minden 2 Srt tpushoz tartoznak valtozok: x 1;x 2;::: Cnst konstansok halmaza. Minden c 2 Cnst valamely 2 Srt tpushoz tartozik. Fn fuggvenyszimbolumok halmaza. Minden f 2 Fn fuggvenyszimbolumot a ( 1 ; 2 ;:::; k!) un. alakja jellemez. (k 1) Pr 6= ; predikatumszimbolumok halmaza. Minden P 2 Pr predikatumszimbolumhoz egy ( 1 ; 2 ;:::; k ) alakot rendelunk. (k 0)

8 Peldak logikai nyelvekre 1. A Geom nyelv Srt = fpt (ponttpus);et (egyenestpus);st (sktpus)g pt tpusu valtozok: A; B; C;::: et tpusu valtozok: e;f;g;::: st tpusu valtozok: a, b, c,::: Cnst = ; Fn = ; Pr = fp (pt;pt) ;Q (pt;et) ;R (pt;st) g Megjegyzes: a geometriaban a P; Q; R szimbolumok helyett rendre az =; 2; 2 jeleket szokas inkabb hasznalni. 2. Az Ar nyelv Srt = fszt (szamtpus)g szt tpusu valtozok: x; y; z; : : : Cnst = fnullag Fn = ff (szt!szt) ;g (szt;szt!szt) ;h (szt;szt!szt) g Pr = fp (szt;szt) g Megjegyzes: az aritmetikaban a g es h szimbolumok helyett a + es jeleket, P helyett pedig az = jelet szokas hasznalni. 3. nulladrend}u nyelvek =< ;; ;; ;;Pr >, ahol minden P 2 Pr alakja (), azaz P propozcionalis bet}u.

9 tpusu termek c, ha c 2 Cnst; x, ha x valtozo; logikai kifejezesek f(t 1 ;t 2 ;:::;t k ), ha f ( 1; 2 ;:::; k!) 2 Fn es t 1 1 ;t 2 2 ;:::;t k k termek; minden term { vagy a nyelv konstansa, vagy valtozoja, { vagy az indukcios lepes veges sokszori alkalmazasaval bel}oluk nyerhet}o. formulak P (t 1 ;t 2 ;:::;t k ) atomi formula, ha P ( 1; 2 ;:::; ) k 2 Pr es t 1 1 ;t 2 2 ;:::;t k k termek; (A ^ B); (A _ B); (A B) es :A; ha A es B formulak; 8xA es 9xA; ha A formula es x tetsz}oleges valtozo; minden formula { vagy atomi formula, { vagy az indukcios lepesek veges sokszori alkalmazasaval atomi formulakbol megkaphato.

10 Peldak logikai kifejezesekre 1. A Geom nyelv kifejezesei: termek: A; f; b atomi formulak: a geometriaban szokasosan P (A; B) (A = B) Q(B;e) (B 2e) R(A;a) (A2 a) formula: 9A(Q(A;e)^Q(A;f)) 9A((A 2 e)^(a 2 f)) 2. Az Ar nyelv kifejezesei: termek: az arimetikaban szokasosan nulla; x; f(nulla) g(x; f(nulla)) (x + f(nulla)) h(f(f(x));x) (f(f(x)) x) atomi formula: P (g(x; f(nulla)); nulla) formula: ((x+f(nulla)) = nulla) 9uP (g(x; u);y) 9u((x + u) = y)

11 kozvetlen reszterm valtozonak es konstansnak nincs kozvetlen resztermje; az f(t 1 ;t 2 ;:::;t k ) term kozvetlen resztermjei a t 1 ;t 2 ;:::;t k termek. Jeloles: 4 Q ^ _ 8 9 kozvetlen reszformula atomi formulanak nincs kozvetlen reszformulaja; a :A kozvetlen reszformulaja az A formula; az (A4B) formula kozvetlen reszformulai az A es a B formulak; a QxA formula kozvetlen reszformulaja az A formula. reszkifejezes maga a kifejezes; a kozvetlen reszkifejezesek; reszkifejezesek reszkifejezesei.

12 funkcionalis osszetettseg (jele: ~ l(t)) ha t = c 2 Cnst; vagy t = x, akkor ~ l(t) *) 0; ~ l(f(t 1 ;t 2 ;:::;t k )) *) P k i=1 ~ l(t i ) + 1: logikai osszetettseg (jele: l(a)) ha A atom, l(a) *) 0; l(:a) *) l(a) + 1; l(a4b) *) l(a) + l(b) + 1; l(qxa) *) l(a) + 1: A formulak lerasakor szokasos rovidtesek: formula-kombinaciok helyett specialis jelolesek; Pelda. (A B) *) ((A B) ^ (B A)) kuls}o zarojelek elhagyasa; logikai jelek prioritasa csokken}o sorrendben: 8 9 : _^ azonos prioritas eseten a jobbra allo az er}osebb; jobbrol allo pont jeloli a zarojelen beluli leggyengebb logikai jelet.

13 Qx A " " kvantoros el}otag a kvantor hataskore Egy valtozo valamely el}ofordulasa a formulaban kotott: Egy atomi formula egyetlen valtozoja sem kotott. A :A-ban x egy adott el}ofordulasa kotott, ha A-ban x-nek ez az el}ofordulasa kotott. Az A4B-ben x egy adott el}ofordulasa kotott, ha ez az el}ofordulas vagy A-ban van, es ott kotott, vagy B-ben van, es ott kotott. A QxA-ban x minden el}ofordulasa kotott, es az x-t}ol kulonboz}o y egy adott el}ofordulasa kotott, ha ez az el}ofordulas A-ban kotott. Egy valtozo valamely el}ofordulasa a formulaban szabad, ha nem kotott. Ha egy valtozonak egy formulaban van szabad el}ofordulasa, akkor ez a valtozo a formula parametere. Jelolesek: Fv(A): az A formula parametereinek a halmaza. A(x 1 ;x 2 ;:::;x n ): formula, melyben legfeljebb az x 1 ;x 2 ;:::;x n valtozok lehetnek parameterek.

14 A kotott valtozok atnevezese A QxA-ban x-nek a Q kvantor altal kotott minden el}ofordulasat az x-szel azonos tpusu y valtozora cserelve kapunk egy QyA x y formulat. Milyen formulat eredmenyez ez az atalaktas? Az Ar nyelven a termeszetes szamok halmazaban a 9x(u + x = v); 9y(u + y = v); 9z(u + z = v) formulak mindegyike a (u v) relaciot fejezi ki. Vigyazat!! A 9u(u + u = v) formula viszont v parossagat alltja. A jelentesvaltozas oka a valtozoutkozes. Pelda: 8x(P (x; z) 9yR(x; y)) Az x y-ra atnevezesevel a formulat kapjuk!! 8y(P (y; z) 9yR(y; y))

15 A kotott valtozok szabalyosan vegrehajtott atnevezese Ha a QxA formulaban az y nem parameter, es az x valtozo egyetlen Q altal kotott el}ofordulasa sem tartozik egyetlen y-t kot}o kvantor hataskorebe sem, akkor a QxA-bol a QyA x y formulat az x kotott valtozo szabalyosan vegrehajtott atnevezesevel kaptuk. Az A es A 0 kongruens formulak, ha egymastol csak kotott valtozok szabalyosan vegrehajtott atnevezeseben kulonboznek. Jelolese: A A 0 A kongruencia egy nyelv formulai halmazaban reexv, szimmetrikus es tranzitv relacio. Osztalyozast general: az egy kongruenciaosztalyba tartozo formulak kozott a logikaban nem teszunk kulonbseget.

16 Hogyan donthetjuk el, hogy ket formula kongruense? a formula osszetettsege szerinti indukcioval: { Egy atomi formula egyetlen mas formulaval sem kongruens, csak onmagaval. { :A :A 0, ha A A 0. { A 4 B A 0 4 B 0, ha A A 0 es B B 0. { QxA QyA 0, ha minden z-re, mely kulonbozik QxA es QyA 0 (kotott es szabad) valtozoitol, A x z A 0 y z. a formula vazaval { rajzoljuk be a formulaban a kotesi viszonyokat; { hagyjuk el az osszekotott valtozokat. Ket formula pontosan akkor lesz egymassal kongruens, ha megegyez}o a vazuk.

17 Egy formula valtozo-tiszta, ha benne a kotott valtozok nevei kulonboznek a szabad valtozok neveit}ol; barmely ket kvantor kulonboz}o nev}u valtozokat kot meg. Lemma. Legyen A egy formula es S valtozoknak egy veges halmaza. Ekkor konstrualhato olyan valtozo-tiszta A 0 formula, hogy A A 0, es A 0 egyetlen kotott valtozojanak neve sem eleme S-nek.

18 A szabad valtozok helyettestese termekkel Az Ar nyelvben a termeszetes szamok halmazaban szeretnenk kifejezni az (x z z) relaciot. Ha az (x y)-t kifejez}o 9u(x + u = y) formulaban y helyere zz-t helyettestunk, a kvant formula megkaphato. Vigyazat! 9u(x + u = z z) Ha az (x z u) relaciot akarjuk kifejezni hasonlo modon eljarva, nem a kvant formulat, hanem az 9u(x + u = z u) kapjuk. A problema oka a valtozoutkozes. Megoldas: Nevezzuk at a kotott valtozot peldaul w-re, es csak utana hajtsuk vegre a termhelyettestest: 9w(x + w = z u)

19 A formalis helyettestes Egy x valtozonak es egy vele megegyez}o tpusu t termnek a parosat bindingnek nevezzuk. Jelolese: x=t. A formalis helyettestes bindingek egy = fx 1 =t 1 ;x 2 =t 2 ;:::;x k =t k g halmaza, ahol x i 6= x j ; ha i 6= j (i; j = 1; 2;:::;k; k 0): A helyettestest megadhatjuk meg tablazattal: = 0 B x 1 x 2 ::: x t 2 ::: t k t 1 1 C A; amit egy sorba is rhatunk: = (x 1 ;x 2 ;:::;x k jjt 1 ;t 2 ;:::;t k ): A helyettestes ertelmezesi tartomanya: dom = fx 1 ;x 2 ;:::;x k g ertekkeszlete: rng = ft 1 ;t 2 ;:::;t k g

20 Egy kifejezesbe valo formalis helyettestes eredmenye Legyen K logikai kifejezes, = fx 1 =t 1 ;x 2 =t 2 ;:::;x k =t k g formalis helyettestes. Az x i valtozok osszes K-beli szabad el}ofordulasat helyettestsuk egyidej}uleg K- ban a t i termekkel. Az gy kapott kifejezes a K- ba valo formalis helyettestesenek eredmenye. Jelolese: K; vagy K x 1;:::;x k t 1 ;:::;t k Egy kifejezesbe valo formalis helyettestes eredmenyenek meghatarozasa: x = 8 >< >: x ha x 62 dom (x) ha x 2 dom f(t 1 ;t 2 ;:::;t k ) = f(t 1 ;t 2 ;:::;t k ) P (t 1 ;t 2 ;:::;t k ) = P (t 1 ;t 2 ;:::;t k ) (:A) = :(A) (A4B) = A4B (QxA) = Qx(A(, x)), ahol, x azt a helyettestest jeloli, melyre dom (, x) = (dom ) n fxg; es (, x)(z) = (z) minden z 2 dom (, x)-re.

21 Egy kifejezes szamara megengedett helyettestes megengedett a K kifejezes szamara, ha egyetlen x i 2 dom -nak egyetlen K-beli szabad el}ofordulasa sem esik a (x i ) term valamely valtozoja szerinti kvantor hataskorebe. Pelda. A 9u(x + u = y) formula szamara fy=z zg megengedett, de fy=z ug nem. Annak meghatarozasa, hogy egy helyettestes megengedett-e egy kifejezes szamara: Termek es atomi formulak szamara minden megengedett. :A szamara megengedett, ha megengedett A szamara. A4B szamara megengedett, ha megengedett mind A, mind B szamara. QxA szamara megengedett, ha {, x megengedett A szamara, es { egyetlen z 2 Fv(QxA) \ dom eseten sem szerepel x a (z) termben.

22 A szabalyos helyettestes Legyen K egy kifejezes, es egy helyettestes. Keressunk K-val kongruens olyan K 0 kifejezest, mely szamara a helyettestes megengedett. Ekkor a K 0 kifejezes a szabalyos helyettestesenek eredmenye K-ba. Jelolese: [K]. A szabalyos helyettestes eredmenyenek meghatarozasa: Ha K term vagy atomi formula, akkor [K] = K. [(:A)] = :[A] [(A4B)] = [A]4[B] { Ha egyetlen z 2 Fv(QxA) \ dom eseten sem szerepel x a (z) termben, akkor [(QxA)] = Qx[A(, x)]. { Ha van olyan z 2 Fv(QxA) \ dom, hogy x parameter (z)-ben, akkor valasszunk egy uj valtozot, peldaul u-t, mely nem szerepel sem QxA-ban, sem -ban, es [(QxA)] = Qu[(A x u )(, x)].

23 A logikai nyelv klasszikus szemantikaja Az =< Srt; Cnst; F n; P r > els}orend}u logikai nyelv I interpretacioja (modellje, algebrai strukturaja) egy olyan I =< Srt; d d Cnst; Fn; d Pr d > fuggvenynegyes, melyben dom Srt d = Srt; es Srt d : 7! D, ahol a D objektumtartomany a tpusu objektumok nemures halmaza; dom Cnst d d = Cnst; es a Cnst : c 7! ~c fuggveny olyan, hogy ha a c tpusu konstans, akkor ~c 2 D ; dom Fn d = Fn; es az Fn d : f 7! f ~ fuggveny minden f ( 1; 2 ;:::; k!) fuggvenyszimbolumhoz olyan ~f fuggvenyt rendel, melyben dom f ~ = D 1 D 2 :::D k, es rng f ~ = D, azaz ~f : D 1 D 2 :::D k!d ; dom d Pr = Pr; es a d Pr : P 7! ~ P fuggveny olyan, hogy a P ( 1; 2 ;:::; k ) (k 1) predikatumszimbolum eseten, ~P : D 1 D 2 :::D k!f0;1g, ha pedig P propozcionalis bet}u, akkor ~ P vagy 0, vagy 1.

24 Legyen az nyelv I interpretaciojaban D *) [ 2Srt d D n f~cj Cnst(c) = ~c; c 2 Cnstg: B}ovtsuk ki a nyelvet az objektumtartomanyok objektumait jelol}o uj konstansokkal: ahol (D) =< Srt; Cnst(D); F n; P r >; Cnst(D) *) Cnst[faja az a 2 D-hoz rendelt uj szimbolumg: Az (D) nyelv zart logika kifejezeseit I-beli ertekelhet}o kifejezeseinek nevezzuk. Az (D) nyelv formalis helyettesteset I-beli ertekel}o helyettestesenek nevezzuk, ha Fv(rng ) = ;: Egy ertekel}o helyettestes minden K kifejezes szamara megengedett. Ha a ertekel}o helyettestes es a K kifejezes olyanok, hogy F v(k) dom ; akkor K ertekelhet}o kifejezese -nak, es -at K I-beli ertekelesenek nevezzuk.

25 Pelda. 1. Az Ar nyelv termeszetes interpretacioja d Srt(szt) = N d Cnst(nulla) = 0 d Fn(f) = ~ f; ahol ~ f : N! N ; es ~f(n) = n + 1; ( ha n 2 N ) d Fn(g) = ~g; ahol ~g : N N! N ; es ~g(n; m) = n + m; ( ha n; m 2 N ) d Fn(h) = ~ h; ahol ~ h : N N! N ; es ~h(n; m) = n m; ( ha n; m 2 N ) d Pr(P) = P; ~ ahol P ~ : N N! f0; 1g; es (ha n; m 2 N ); ~P (n; m) = 8 >< >: 1 ha n = m 0 egyebkent 2. A Subset nyelv Srt = frh (egy alaphalmaz reszhalmazai) g rh tpusu valtozok: x; y; z ::: Cnst = ; Fn = ; Pr = fp (rh;rh) g A Subset nyelv egy interpretacioja d Srt(rh) = f a fpiros, kek, zoldg alaphalmaz reszhalmazai g d Pr(P) = ~ P;ahol, ha S; Z az alaphalmaz ket reszhalmaza ~P (S; Z) = 8 >< >: 1 ha S Z 0 egyebkent

26 Legyen I egy interpretacioja. Az tpusu, ertekelhet}o termenek erteke I- ben egy D -beli objektum. Jelolese: jtj I { Ha d Cnst(c) = ~c, akkor jcj I *) ~c. { Ha a 2 Cnst(D) az a 2 D objektumhoz rendelt uj a szimbolum, akkor jaj I *) a. { Ha f(t 1 ;t 2 ;:::;t k ) ertekelhet}o term, ahol a t 1 ;t 2 ;:::;t k termek ertekei I-ben rendre jt 1 j I ; jt 2 j I ;:::;jt k j I, es ~ f = d Fn(f), akkor jf(t 1 ;t 2 ;:::;t k )j I *) ~ f(jt 1 j I ;jt 2 j I ;:::;jt k j I ). Az ertekelhet}o formulajanak erteke I-ben vagy 0, vagy 1. Jelolese: jjcjj I { Ha P (t 1 ;t 2 ;:::;t k )ertekelhet}o atomi formula, ahol a t 1 ;t 2 ;:::;t k termek ertekei I-ben rendre jt 1 j I ; jt 2 j I ;:::;jt k j I, es ~ P = d Pr(P), akkor jjp (t 1 ;t 2 ;:::;t k )jj I *) ~ P (jt 1 j I ; jt 2 j I ;:::;jt k j I ).

27 { Ha :A ertekelhet}o formula, ahol az A formula erteke jjajj I, akkor jj:ajj I *) 1, jjajj I : { Ha A4B ertekelhet}o formula, ahol az A es B formulak ertekei rendre jjajj I ; jjbjj I, akkor jja ^ Bjj I jja _ Bjj I jja Bjj I *) minfjjajj I ; jjbjj I g *) maxfjjajj I ; jjbjj I g *) maxf1, jjajj I ; jjbjj I g { Ha 8xA ertekelhet}o formula, ahol x tpusu valtozo, akkor 8 >< 1; ha minden a 2 D jj8xajj I *) eseten jja x ajj I = 1; >: 0 egyebkent. { Ha 9xA ertekelhet}o formula, ahol x tpusu valtozo, akkor 8 >< 1; ha van olyan a 2 D jj9xajj I *) hogy jja x ajj I = 1; >: 0 egyebkent. Legyen I egy interpretacioja es A ertekelhet}o formula. Az A formula igaz I-ben (jelolese: I j= A), amikor jjajj I = 1, egyebkent hamis I-ben.

28 Pelda. 1. Az Ar nyelv termeszetes interpretaciojaban jnullaj = 0 jf(nulla)j = ~ f(jnullaj) = 1 j(f(1) + 3)j = ~g (jf(1)j; j3j) = ~g ~ f(j1j); 3! = = ~g ~ f(1); 3! = ~g(2; 3) = 5 jj ((f(nulla) 3) = (f (f(nulla)) + 1)) jj = ~P (jf(nulla) 3j; jf (f(nulla)) + 1j) = ~P ~ h (jf(nulla)j; j3j) ; ~g (jf (f(nulla)) j; j1j)! = ~P ~ h(1; 3); ~g ~ f(jf(nulla)j); 1!! = ~ P 3; ~g( ~ f(1); 1)! = ~P (3; ~g(2; 1)) = ~ P (3; 3) = 1 jj9u ((3 + u) = 4) jj = 1; mert az 1 2 N olyan, hogy jj ((3 + u) = 4) u 1 jj = jj (3 + 1 = 4) jj = ~ P (j3 + 1j; j4j) = ~P (~g(j3j;j1j) ; 4) = ~ P (~g(3; 1); 4) = ~ P (4; 4) = 1

29 2. A Subset nyelv el}obbi interpretaciojaban jjp (fpiros,zoldg; fpiros,kekg)jj = ~P (jfpiros,zoldgj; jfpiros,kekgj) = ~P (fpiros,zoldg; fpiros,kekg) = 0 jj8yp(y; fpiros,kek,zoldg)jj = 1; mert minden S reszhalmazra jjp (S; fpiros,kek,zoldg)jj = ~ P (jsj; jfpiros,kek,zoldgj) = ~P (S; fpiros,kek,zoldg) = 1 jj8yp(y; fpiros,kekg)jj = 0; mert peldaul az fzoldg reszhalmazra jjp (fzoldg; fpiros,kekg)jj = ~ P (jfzoldgj; jfpiros,kekgj) = ~P (fzoldg; fpiros,kekg) = 0 3. A Subset nyelv egy olyan interpretaciojaban, ahol d Srt(rh) = ffpiros, kek, zold, sargag reszhalmazai g jj8yp(y; fpiros,kek,zoldg)jj = 0; mert peldaul a fsargag reszhalmazra jjp (fsargag; fpiros,kek,zoldg)jj = ~P (jfsargagj; jfpiros,kek,zoldgj) = ~P (fsargag; fpiros,kek,zoldg) = 0

30 Lemma. Legyen I az nyelv egy interpretacioja es r egy olyan term, melyben legfeljebb egy parameter, a tpusu x szerepel. Legyen a t tpusu ertekelhet}o term erteke jtj I. Ekkor jrfx=tgj I = jrfx=jtj I gj I ; azaz egy ertekelhet}o term erteke csak resztermjei ertekeit}ol fugg. Lemma. Legyen I az nyelv egy interpretacioja es A egy olyan formula, melyben legfeljebb egy parameter, a tpusu x szerepel. Legyen a t tpusu ertekelhet}o term erteke jtj I. Ekkor I j= [Afx=tg] akkor es csak akkor, ha I j= Afx=jtj I g:

31 Logikai torveny, logikai ellentmondas Az nyelv egy A formulaja logikai torveny, ha barmely I interpretaciojaban es A barmely I-beli ertekelese eseten I j= A. Jelolese: j= A. Az nyelv egy A formulaja logikai ellentmondas, ha barmely I interpretaciojaban es A barmely I- beli ertekelese eseten A hamis. Jelolese: =j A. Lemma. =j A akkor es csak akkor, ha j= :A. Az nyelv egy A formulaja kielegthet}o, ha van -nak olyan I interpretacioja es ertekelese, amelyre I j= A. Lemma. Az A formula pontosan akkor kielegthet}o, ha nem igaz, hogy j= :A. Az A es B formulak logikailag ekvivalensek, ha j= A B: Jelolese: A B.

32 A Boole-kombinacio Legyenek A 1 ;A 2 ;:::;A n ; n 1 az nyelv formulai. A 1 ;A 2 ;:::;A n Boole-kombinacioja A i barmelyik 1 i n-re; :B, ha B A 1 ;A 2 ;:::;A n Boole-kombinacioja; Boole- B4C, ha ha B es C is A 1 ;A 2 ;:::;A n kombinacioi. Pelda. 8xP (x) _ 9yQ(x; y) a 8xP (x) es a 9yQ(x; y) Boole-kombinacioja. A Quine-tablazat Legyen B az A 1 ;A 2 ;:::;A n Boole-kombinacioja. Kesztsuk el a kovetkez}o, 2 n kulonboz}o sort tartalmazo tablazatot: A 1 A 2 :::::: A n,2 A n,1 A n B 0 0 :::::: :::::: :::::: :::::: :::::: :::::: 1 1 1

33 Megjegyzes: A sorok az A 1 ;A 2 ;:::;A n formulak osszes kulonboz}o lehetseges ertekeit tartalmazzak, fuggetlenul attol, hogy van-e olyan interpretacio es kozos ertekeles, melyre ilyen ertekek adodnanak. Olyan interpretacio es kozos ertekeles viszont nincs, ahol a formulak ertekei rendre ne lennenek megtalalhatok valamely sorban. Toltsuk ki a B alatti f}ooszlopot: minden sorban szamoljuk ki B erteket a kombinalotenyez}ok sorbeli ertekeinek fuggvenyeben. A Boole-kombinacio propozcionalis tautologia, ha a Quine-tablaja f}ooszlopaban csupa 1 ertek van. Lemma. Ha egy Boole-kombinacio propozcionalis tautologia, akkor logikai torveny. Lemma. Ha a Boole-kombinalo tenyez}ok propozcionalis bet}uk, es a Boole-kombinacio logikai torveny, akkor propozcionalis tautologia.

34 Pelda. 1. Vizsgaljuk az (A B) :(A ^ :B) formulat, mint az A es B formulak Boole-kombinaciojat. (A B) : (A ^ : B) (A B) : (A ^ : B) A Boole-kombinacio propozcionalis tautologia, tehat a formula logikai torveny. 2. Dontsuk el, hogy A^:A logikai ellentmondas-e? : (A ^ : A) : (A ^ : A) :(A^:A) propozcionalis tautologia, azaz logikai torveny, tehat A ^ :A logikai ellentmondas.

35 3. Vizsgaljuk a 9x(A(x)^B(x)) 9xA(x)^9xB(x) formulat, mint a 9x(A(x) ^ B(x)); 9xA(x) es a 9xB(x) formulak Boole-kombinaciojat. 9x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) ^ 9xB(x) x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) ^ 9xB(x) A Boole-kombinacio nem propozcionalis tautologia, pedig logikai torveny.

36 4. Lassuk be, hogy j= 9x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) ^ 9xB(x): Bizonytas: Tekintsunk egy tetsz}oleges I interpretaciot es ertekelest. Vizsgalnunk kell a jj (9x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) ^ 9xB(x)) jj I = jj (9x(A(x) ^ B(x))) (9xA(x))^(9xB(x))jj I = jj (9x(A(x)(, x) ^ B(x)(, x)) 9x(A(x)(, x)) ^ 9x(B(x)(, x))jj I = jj9x(a 0 (x) ^ B 0 (x)) 9xA 0 (x) ^ 9xB 0 (x)jj I erteket. Ha jj9x(a 0 (x) ^ B 0 (x))jj I = 0; akkor az implikacio erteke 1; Ha jj9x(a 0 (x) ^ B 0 (x))jj I = 1; akkor van olyan a 2 D x ; hogy jj (A 0 (x) ^ B 0 (x)) x a jj I = jja 0 (x) x a ^ B 0 (x) x ajj I = 1: Ekkor viszont jja 0 (x) x ajj I = 1 es jjb 0 (x) x ajj I = 1; azaz jj9xa 0 (x)jj I = 1 es jj9xb 0 (x)jj I = 1; gy jj9xa 0 (x) ^ 9xB 0 (x)jj I = 1: Mivel az implikacio utotagja 1 ertek}u, az implikacio erteke most is 1.

37 5. Lassuk be, hogy 6j= 9xA(x) ^ 9xB(x) 9x(A(x) ^ B(x)): Bizonytas: Tekintsunk egy olyan I interpretaciot, melyben d Srt( x ) = f;; fpirosgg d Pr(P) = P; ~ ahol, ha S; Z 2 f;; fpirosgg ~P (S; Z) = A(x) *) 8uP (x; u) B(x) *) 8uP (u; x) 8 >< >: 1 ha S Z 0 egyebkent Ebben az interpretacioban jj9xa(x)jj I = 1 es jj9xb(x)jj I = 1; mert peldaul jja(;)jj I = 1 es jjb(fpirosg)jj I = 1: Ugyanakkor jj9x(a(x) ^ B(x))jj I = 0; mert jja(;) ^ B(;)jj I = 0 es jja(fpirosg) ^ B(fpirosg)jj I = 0:

38 6. A 9xA(x) ^9xB(x) 9x(A(x) ^ B(x)) formula kielegthet}o. Bizonytas: Legyen most az interpretacionk az el}oz}ohoz hasonlo, csak A(x) *) 8u (P (u; x) (8zP(u; z) _ (P (u; x) ^ P (x; u)))) : Ebben az interpretacioban jj9xa(x)jj I = 1; mert jja(fpirosg)jj I = 1, es jj9x(a(x) ^ B(x))jj I = 1; mert jja(fpirosg) ^ B(fpirosg)jj I = 1:

39 Nehany fontos logikai torveny asszociativitas A ^ (B ^ C) (A ^ B) ^ C A _ (B _ C) (A _ B) _ C kommutativitas A ^ B B ^ A disztributivitas A _ B B _ A A ^ (B _ C) (A ^ B) _ (A ^ C) A _ (B ^ C) (A _ B) ^ (A _ C) idempotencia A ^ A A A _ A A eliminacio A ^ (B _ A) A A _ (B ^ A) A De Morgan torvenyei :(A ^ B) :A _ :B :(A _ B) :A ^ :B

40 negacio az implikacioban :(A B) A ^ :B A :A :A :A A A j= :(A :A) logikai jelek kozotti osszefuggesek kontrapozcio ketszeres tagadas A ^ B :(:A _ :B) A ^ B :(A :B) A _ B :(:A ^ :B) A _ B :A B A B :(A ^ :B) A B :A _ B A B :B :A ::A A implikacios el}otagok felcserelese A (B C) B (A C) implikacio konjunktv el}otaggal A ^ B C A (B C)

41 kiszamtasi torvenyek (> *) C _:C;? *) C ^:C) A^> A A^?? A_> > A_? A A > > A? :A > A A? A > az azonossag torvenye b}ovtes el}otaggal j= A A j= A (B A) az implikacio ondisztributivitasa esetelemzes tranzitivitas A (B C) (A B) (A C) A _ B C (A C) ^ (B C) j= (A B) ^ (B C) (A C) reductio ad absurdum j= (A B) ^ (A :B) :A az ellentmondasbol barmi kovetkezik j= A (:A B)

42 a kizart harmadik torvenye j= A _ :A az ellentmondas torvenye Pierce-torveny ktv kvantorok Ha x 62 Fv(A), akkor j= :(A ^ :A) j= ((A B) A) A 8xA A 9xA A az egyforma kvantorok helycsereje 8x8yA(x; y) 8y8xA(x; y) 9x9yA(x; y) 9y9xA(x; y) kvantor-csere implikacioban j= 8xA(x) 9xA(x) j= 9y8xA(x; y) 8x9yA(x; y) De Morgan kvantoros torvenyei :9xA(x) 8x:A(x) :8xA(x) 9x:A(x)

43 kvantor-felcsereles 9xA(x) :8x:A(x) 8xA(x) :9x:A(x) kvantorok egyoldali kiemelese Ha x 62 Fv(A), akkor A ^ 8xB(x) 8x(A ^ B(x)) A ^ 9xB(x) 9x(A ^ B(x)) A _ 8xB(x) 8x(A _ B(x)) A _ 9xB(x) 9x(A _ B(x)) A 8xB(x) 8x(A B(x)) A 9xB(x) 9x(A B(x)) 8xB(x) A 9x(B(x) A) 9xB(x) A 8x(B(x) A) kvantorok ketoldali kiemelese 8xA(x) ^ 8xB(x) 8x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) _ 9xB(x) 9x(A(x) _ B(x)) j= 8xA(x) _ 8xB(x) 8x(A(x) _ B(x)) j= 9x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) ^ 9xB(x) kongruens formulak ekvivalenciaja Ha A B; akkor A B:

44 helyettesteskor fellep}o kvantorok kvantorhataskor-atjeloles Ha y 62 Fv(A), akkor j= 8xA [A x t ] j= [A x t ] 9xA 8xA 8y[A x y ] 9xA 9y[A x y ] kvantor-redukcio Ha x es y azonos tpusu valtozok, akkor j= 8x8yA 8x[A y x ] j= 9x[A y x ] 9x9yA helyettestes ekvivalens formulakba Ha A B; akkor [A x t ] [Bx t ]

45 A logikai kovetkezmeny Legyenek A 1 ;A 2 ;:::;A n (n 1) es B az nyelv tetsz}oleges formulai. A B formula logikai (szemantikai) kovetkezmenye az A 1 ;A 2 ;:::;A n formulaknak, ha minden olyan I interpretaciojaban es az A 1 ;A 2 ;:::;A n es B formulak tetsz}oleges olyan I-beli ertekelese eseten, amikor akkor I j= A 1 ;I j= A 2 ;:::;I j= A n ; I j= B: Jelolese: A 1 ;A 2 ;:::;A n j= B: Lemma. (a) A 1 ;A 2 ;:::;A n j= B akkor es csak akkor, ha j= A 1 ^ A 2 ^ :::^A n B. (b) A 1 ;A 2 ;:::;A n j= B akkor es csak akkor, ha =j A 1 ^ A 2 ^ :::^A n^:b. Lemma. A B pontosan akkor, ha A j= B es B j= A.

46 Pelda. Bizonytsuk be, hogy helyesen kovetkeztettunk: P 1 Nehany republikanus kedvel minden demokratat. P 2 Nincs olyan republikanus, aki szeretne a szocialistakat. K Tehat egyik demokrata sem szocialista. Kesztsunk alkalmas logikai nyelvet. Legyenek x; y; z; : : : embereket jelol}o valtozok; R(x) jelentse, hogy x republikanus; D(x) jelentse, hogy x demokrata; S(x) jelentse, hogy x szocialista; K(x; y) jelentse, hogy x kedveli y-t. Ezen e nyelven formalizalva az alltasokat: P 1 9x(R(x) ^ 8y(D(y) K(x; y))) P 2 :9x(R(x) ^ 9z(S(z) ^ K(x; z))) K :9y(D(y) ^ S(y)) Rogztsunk tetsz}olegesen egy olyan I interpretaciot, melyben jjp 1 jj I = 1 es jjp 2 jj I = 1: Ekkor jjp 1 jj I = 1 miatt van olyan a 2 D; hogy jj(r(x) ^ 8y(D(y) K(x; y))) x ajj I = 1; azaz jjr(a)jj I = 1 es minden b 2 D-re jj(d(y) K(a;y)) y bjj I = 1:

47 jjp 2 jj I = 1 miatt viszont minden b 2 D-re, gy eppen a-ra is jj(r(x) ^ 9z(S(z) ^ K(x; z))) x ajj I = 0; azaz mivel jjr(a)jj I = 1; ezert jj9z(s(z) ^ K(a;z)))jj I = 0: Ez azt jelenti, hogy minden b 2 D-re jj(s(z) ^ K(a;z))) z bjj I = 0: Ez a konjunkcio vagy azert 0, mert b olyan, hogy jjs(b)jj I = 0; de ekkor jj(d(y) ^ S(y)) y bjj I = 0; vagy azert, mert b olyan, hogy jjk(a;b)jj I = 0: Ilyen b-re viszont, mivel jj(d(y) K(a;y)) y bjj I = 1; jjd(b)jj I = 0; tehat ilyenkor is jj(d(y) ^ S(y)) y bjj I = 0: Azaz minden b 2 D-re jj(d(y)^s(y)) y bjj I = 0; tehat jj9y(d(y) ^ S(y))jj I = 0; azaz jj:9y(d(y) ^ S(y))jj I = 1:

48 A logikai kalkulus Fel lehet epteni a logikat szemantikai fogalmakra hivatkozas nelkul is: szintaktika szemantika logikai nyelv interpretacio formula logikai ertek levezethet}oseg kovetkezmeny A levezethet}oseg fogalmat kalkulus megadasaval denialhatjuk. Egy kalkulus megadasakor felsoroljuk az alapsemait es a levezetesi szabalyait. Ekkor denialhato a, = fa 1 ;A 2 ;:::;A n g (n0) formulahalmazbol valo levezethet}oseg fogalma: ha B alapformula, vagy B 2,; akkor levezethet}o,-bol; jelolese:, ` B ha,-bol levezet}o B 1 ;B 2 ;:::; akkor a levezetesi szabalyok megmondjak, hogy mely tovabbi formulak lesznek meg levezethet}ok. Egy kalkulus helyes, ha, ` B; akkor, j= B: Egy kalkulus teljes, ha, j= B; akkor, ` B: Egy kalkulus adekvat, ha helyes is, teljes is.

49 Egy logikai rendszer megalkotasakor el}oszor egy szemantikai rendszert denialunk, majd megkserlunk ehhez legalabb helyes, de ha lehet, adekvat logikai kalkulust szerkeszteni. Alapsemak: 1. A (B A) A predikatumkalkulus 2. (A (B C)) ((A B) (A C)) 3. A (B A ^ B) 4. A ^ B A 5. A ^ B B 6. (A C) ((B C) (A _ B C)) 7. A A _ B 8. B A _ B 9. (A B) ((A :B) :A) 10. ::A A 11. 8xA(x) A(x) x t 12. 8x(C A(x)) (C 8xA(x)); x 62 Fv(C) 13. A(x) x t 9xA(x) 14. 8x(A(x) C) (9xA(x) C); x 62 Fv(C)

50 Levezetesi szabalyok: modus ponens A A B B altalanostasi szabaly A semakban es szabalyokban az A; B; C formulakkal; x valtozoval; t x-szel azonos tpusu termmel A 8xA helyettesthet}o be. Az alapsemakbol gy alapformulakat kapunk. Lemma. A predikatumkalkulus minden alapformulaja logikai torveny. Lemma. A; A B j= B Lemma. Ha, j= A(x) es x 62 Fv(,); akkor, j= 8xA(x):

51 A levezethet}oseg A predikatumkalkulusban a formula-fa es magassaganak induktv dencioja: minden A formula 1 magassagu formula-fa, melyben A also formula, es nincs nala feljebb lev}o formula; ha D 1 m 1 es D 2 m 2 magassagu olyan formulafak, melyben az also formulak A es A B alakuak, akkor a D 1 D 2 B alakzat is formula-fa, melyben B also formula, melynel D 1 es D 2 minden formulaja feljebb van, es a formula-fa magassaga max fm 1 ;m 2 g+1; ha D m magassagu olyan formula-fa, amelyben az also formula A, akkor a D 8xA alakzat is formula-fa, melyben 8xA also formula, melynel D minden formulaja feljebb van, es a formula-fa magassaga m + 1.

52 A formulafaban azon formulak, melyeknel nincs feljebb lev}o: alapformulak, hipotezisek, vagy nylt premisszak. Pelda. Q(x) P 8x(Q(x) P ) 8x(Q(x) P ) (9xQ(x) P ) 9xQ(x) P 3 magassagu formulafa also formula: 9xQ(x) P alapformula: 8x(Q(x) P ) (9xQ(x) P ) hipotezis: Q(x) P Levezetes-fa egy formula-fa, melyben ha A-bol az altalanostas szabalyaval akarjuk a 8xA-t nyerni, akkor x nem parameter egyetlen a 8xA-nal feljebb lev}o hipotezisben sem. A, veges formulahalmazbol a B formula levezethet}o, ha keszthet}o olyan levezetes-fa, melyben B also formula, es a hipotesisek mind elemei,-nak. Jelolese:, ` B (szekvencia) Tetel. A predikatumkalkulus adekvat logikai kalkulus.

53 A termeszetes levezetes Az azonossag torvenye,;a`a Strukturalis szabalyok b}ovtes, ` A,;B `A felcsereles,;b;c;`a,;c;b;`a sz}uktes,;b;b;`a,;b;`a vagas,`a ;A`B,;`B

54 Logikai szabalyok BEVEZET ES implikacio,;a`b,`ab konjunkcio, ` A, ` B, ` A ^ B diszjunkcio, ` A, ` A _ B ELT AVOL IT AS,`A,`AB,`B,;A;B `C,;A^B `C,;A`C,;B `C,;A_B `C,`B,`A_B negacio,;a`b,;a`:b,`:a ekvivalencia,;a`b,;b `A,`AB,`::A, ` A,`A,`AB,`B,`B,`AB,`A

LOGIKA. A logika feladata tehát a premisszák és a konklúzió

LOGIKA. A logika feladata tehát a premisszák és a konklúzió LOGIKA hétköznapi jelentése: a rendszeresség, következetesség szinonimája Ez logikus beszéd volt. Nincs benne logika. Más logika szerint gondolkodik. tudományszak elnevezése, melynek fő feladata a helyes

Részletesebben

Matematikai logika. Nagy Károly 2009

Matematikai logika. Nagy Károly 2009 Matematikai logika előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2009 1 1. Elsőrendű nyelvek 1.1. Definíció. Az Ω =< Srt, Cnst, F n, P r > komponensekből álló rendezett négyest elsőrendű

Részletesebben

A matematika alapjai. Nagy Károly 2014

A matematika alapjai. Nagy Károly 2014 A matematika alapjai előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2014 1 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 1.1. Definíció. Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen

Részletesebben

Megoldások. 2001. augusztus 8.

Megoldások. 2001. augusztus 8. Megoldások 2001. augusztus 8. 1 1. El zetes tudnivalók a különböz matematikai logikai nyelvekr l 1.1. (a) Igen (b) Igen (c) Nem, mert nem kijelent mondat. (d) Nem fejez ki önmagában állítást. "Ádám azt

Részletesebben

Logika feladatgyűjtemény

Logika feladatgyűjtemény Debreceni Egyetem Informatikai Kar Logika feladatgyűjtemény 2005. május 19. Készítette: Lengyel Zoltán lengyelz@inf.unideb.hu Tartalomjegyzék 1. Ítéletlogika 2 2. Elsőrendű logika 17 2.1. Prenex alak......................................

Részletesebben

Logika és számításelmélet. 2011/11 11

Logika és számításelmélet. 2011/11 11 (Logika rész) Logika és számításelmélet. 2011/11 11 1. előadás 1. Bevezető rész Logika (és a matematikai logika) tárgya Logika (és a matematikai logika) tárgya az emberi gondolkodás vizsgálata. A gondolkodás

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Elsőrendű logika -Ítéletkalkulus : Az elsőrendű logika egy speciális esete, itt csak nullad

Részletesebben

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006 A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2006 Köszönöm Koós Gabriella végzős hallgatónak, hogy felhívta a figyelmemet az anyag előző változatában szereplő néhány

Részletesebben

A matematika nyelvéről bevezetés

A matematika nyelvéről bevezetés A matematika nyelvéről bevezetés Wettl Ferenc 2006. szeptember 19. Wettl Ferenc () A matematika nyelvéről bevezetés 2006. szeptember 19. 1 / 17 Tartalom 1 Matematika Kijelentő mondatok Matematikai kijelentések

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

A matematikai logika alapjai

A matematikai logika alapjai A matematikai logika alapjai A logika a gondolkodás törvényeivel foglalkozó tudomány A matematikai logika a logikának az az ága, amely a formális logika vizsgálatára matematikai módszereket alkalmaz. Tárgya

Részletesebben

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók 5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A

Részletesebben

Logikai alapok a programozáshoz

Logikai alapok a programozáshoz Logikai alapok a programozáshoz Kidolgozott tételek Készítette: Chripkó Ágnes Felhasznált anyagok: előadásvázlat; gyakorlatok anyaga; Pásztorné Varga K., Várterész M.: A matematikai logika alkalmazásszemléletű

Részletesebben

Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László

Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László MATEMATIKAI LOGIKA A gondolkodás tudománya Diszkrét matematika Arisztotelész(i.e. 384-311) Boole, De Morgan, Gödel, Cantor, Church, Herbrand, Hilbert, Kleene, Lukesiewicz, Löwenheim, Ackermann, McKinsey,

Részletesebben

LOGIKA. Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László.

LOGIKA. Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László. MATEMATIKAI A gondolkodás tudománya Arisztotelész(i.e. 384-311) Boole, De Morgan, Gödel, Cantor, Church, Herbrand, Hilbert, Kleene, Lukesiewicz, Löwenheim, Ackermann, McKinsey, Tarski, Ramsey, Russel,

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA. Elsőrendű Logika. Minden madár gerinces.

DISZKRÉT MATEMATIKA. Elsőrendű Logika. Minden madár gerinces. Elsőrendű Logika Volt (a helyes következtetéseknél): Minden veréb madár. Minden madár gerinces. Minden veréb gerinces. Feltétel1 Feltétel2 Következmény Érezzük, hogy a leírt következtetés helyes. Azonban

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

Matematikai logika Arisztotelész Organon logika feladata Leibniz Boole De Morgan Frege dedukció indukció kijelentésnek

Matematikai logika Arisztotelész Organon logika feladata Leibniz Boole De Morgan Frege dedukció indukció kijelentésnek Matematikai logika A logika tudománnyá válása az ókori Görögországban kezd dött. Maga a logika szó is görög eredet, a logosz szó jelentése: szó, fogalom, ész, szabály. Kialakulása ahhoz köthet, hogy már

Részletesebben

Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? 4/14/2014. propozicionális logikát

Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? 4/14/2014. propozicionális logikát roozicionális logikát roozicionális logikát Legfontosabb logikai konnektívumok: roozíció=állítás nem néztünk a tagmondatok belsejébe, csak a logikai kacsolatuk érdekelt minket Legfontosabb logikai konnektívumok:

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI JEGYZET

INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI JEGYZET INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI JEGYZET KÉSZÍTETTE: CSENGERI ISTVÁN PTI SALGÓTARJÁN 2009 Nulladrendű matematikai logika... 4 1.1 Matematikai Logika = mat.log = symbolic logic... 4 1.2 Kijelentések... 4 1.3

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai PTI BSc nappali szakosok számára g 2. verzió, 2009. október 9.

Az informatika logikai alapjai PTI BSc nappali szakosok számára g 2. verzió, 2009. október 9. Az informatika logikai alapjai PTI BSc nappali szakosok számára g 2. verzió, 2009. október 9. Vályi Sándor NyF TTIK Matematikai és Informatikai Intézet 2009 szi szemeszter Az 1. verzióbeli részek apróbb

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

Matematikai logika. Jegyzet. Összeállította: Faludi Anita 2011.

Matematikai logika. Jegyzet. Összeállította: Faludi Anita 2011. Matematikai logika Jegyzet Összeállította: Faludi Anita 2011. Tartalomjegyzék Bevezetés... 3 Előzmények... 3 Augustus de Morgan (1806-1871)... 3 George Boole(1815-1864)... 3 Claude Elwood Shannon(1916-2001)...

Részletesebben

Mikroökonómia I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét PREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ

Mikroökonómia I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét PREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ MIKROÖKONÓMI I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia I. PREFERENCIÁK, HSZNOSSÁG 2. RÉSZ Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június tananyagot

Részletesebben

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések 1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések Alapfogalmak (nem definiáljuk) Halmaz x eleme az A halmaznak x nem eleme A halmaznak Jelölések A,B,C, x A x A SiUDWODQ V]iRN Halmaz megadása: Elemeinek felsorolásával:

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

MATEMATICĂ ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR ŞI PREŞCOLAR Îndrumător de studiu Codul disciplinei: PLM3309

MATEMATICĂ ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR ŞI PREŞCOLAR Îndrumător de studiu Codul disciplinei: PLM3309 PREŞCOLAR (ÎN LIMBA MAGHIARĂ, LA SATU MARE) EXTENSIA UNIVERSITARĂ: SATU MARE ANUL UNIVERSITAR: 2015/2016 SEMESTRUL: I. MATEMATICĂ ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR ŞI PREŞCOLAR Îndrumător de studiu Codul disciplinei:

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/formalis.htm

http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/formalis.htm Formális nyelvek és fordítóprogramok http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/formalis.htm Könyvészet 1. Csörnyei Zoltán, Kása Zoltán, Formális nyelvek és fordítóprogramok, Kolozsvári Egyetemi Kiadó, 2007. 2.

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia (Artificial Intelligence)

Mesterséges Intelligencia (Artificial Intelligence) Mesterséges Intelligencia (Artificial Intelligence) Bevezetés (ágens típusok, környezet tulajdonságai) Ágens: Környezetébe ágyazott (érzékelések, beavatkozások) autonóm rendszer (minimum válasz). [Bármi

Részletesebben

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK

Részletesebben

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai.

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. Halmazok Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. 1. lapfogalmak halmaz és az eleme fogalmakat alapfogalmaknak tekintjük, nem deniáljuk ket. Jelölés: x H,

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat.

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat. Nyelvtani transzformációk Formális nyelvek, 6. gyakorlat a. S (S) SS ε b. S XS ε és X (S) c. S (SS ) Megoldás: Célja: A nyelvtani transzformációk bemutatása Fogalmak: Megszorított típusok, normálformák,

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Logika nyelvészeknek, 11. óra A kvantifikáció kezelése a klasszikus és az általánosított kvantifikációelméletben

Logika nyelvészeknek, 11. óra A kvantifikáció kezelése a klasszikus és az általánosított kvantifikációelméletben Logika nyelvészeknek, 11. óra A kvantifikáció kezelése a klasszikus és az általánosított kvantifikációelméletben I. A kvantifikáció a klasszikus Frege-féle kvantifikációelméletben A kvantifikáció klasszikus

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

Atomataelmélet: A Rabin Scott-automata

Atomataelmélet: A Rabin Scott-automata A 19. óra vázlata: Atomataelmélet: A Rabin Scott-automata Az eddigieken a formális nyelveket generatív szempontból vizsgáltuk, vagyis a nyelvtan (generatív grammatika) szemszögéből. A generatív grammatika

Részletesebben

Halmazok-előadás vázlat

Halmazok-előadás vázlat Halmazok-előadás vázlat Naiv halmazelmélet:. Mi a halmaz? Mit jelent, hogy valami eleme a halmaznak? Igaz-e, hogy a halmaz elemei valamilyen kapcsolatban állnak egymással? Jelölés: a A azt jelenti, hogy

Részletesebben

Nevezetes függvények

Nevezetes függvények Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt

Részletesebben

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 1 Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A matematikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalmakat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalmak segítségével

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia MI

Mesterséges Intelligencia MI Mesterséges Intelligencia MI Logikai ágens ügyesebben Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade Mit tudunk már?

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,

Részletesebben

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza az Algebra és számelmélet című tárgy 4. féléves részének kötelező elméleti

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

A 2011/2012-es iskolaév érettségi vizsgakatalógusa. Logika. LOGIKA 2012 mad.indd 1 13.4.2012 13:45:44

A 2011/2012-es iskolaév érettségi vizsgakatalógusa. Logika. LOGIKA 2012 mad.indd 1 13.4.2012 13:45:44 A 2011/2012-es iskolaév érettségi vizsgakatalógusa Logika LOGIKA 2012 mad.indd 1 13.4.2012 13:45:44 A logika vizsgaanyagát kidolgozó szakcsoport tagjai: Krešimir Gracin, prof., vezető, X. Gimnázium Ivan

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

KockaKobak Országos Matematikaverseny 8. osztály

KockaKobak Országos Matematikaverseny 8. osztály KockaKobak Országos Matematikaverseny 8. osztály 2012. november 12. Feladatok: PÉCSI ISTVÁN, középiskolai tanár SZÉP JÁNOS, középiskolai tanár Lektorok: LADÁNYI ANDREA, középiskolai tanár TÓTH JÁNOS, középiskolai

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

9. előadás Környezetfüggetlen nyelvek

9. előadás Környezetfüggetlen nyelvek 9. előadás Környezetfüggetlen nyelvek Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Bevezetés CF nyelv példák Nyelvek és nyelvtanok egy- és többértelműsége Bal- és jobboldali levezetések A fák magassága és határa

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Gazdasági informatika vizsga kérdések

Gazdasági informatika vizsga kérdések Gazdasági informatika vizsga kérdések 1. Mi az adatbázis? Adatbázisnak a valós világ egy részhalmazának leírásához használt adatok összefüggı, rendezett halmazát nevezzük. 2. Mit az adatbázis-kezelı rendszer?

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Geometriai axiómarendszerek és modellek

Geometriai axiómarendszerek és modellek Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének

Részletesebben

Gáspár Csaba. Analízis

Gáspár Csaba. Analízis Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

Kondicionális. Konverz (retro) kondicionális. Predikátumlogika. Predikátumlogika 22/05/2014. p q

Kondicionális. Konverz (retro) kondicionális. Predikátumlogika. Predikátumlogika 22/05/2014. p q Kondicionális p q Ha esik az eső, (akkor) vizes út. Ha felhívsz holnap, (akkor) találkozunk. Ha adsz pénzt, (akkor) veszek fagyit. Akkor vizes az út, ha esik az eső. Akkor találkozunk, ha felhívsz holnap.

Részletesebben

Vizsgakérdések az MI előadás anyagából. 2011. 1. A Russel féle négy cél MI rendszer 2. Megoldás keresés az állapottérben: hegymászó keresés, Hanoi

Vizsgakérdések az MI előadás anyagából. 2011. 1. A Russel féle négy cél MI rendszer 2. Megoldás keresés az állapottérben: hegymászó keresés, Hanoi Vizsgakérdések az MI előadás anyagából. 2011. 1. A Russel féle négy cél MI rendszer 2. Megoldás keresés az állapottérben: hegymászó keresés, Hanoi tornyai példával bemutatva. 3. Dekompozíciós módszer,

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

Automaták mint elfogadók (akceptorok)

Automaták mint elfogadók (akceptorok) Automaták mint elfogadók (akceptorok) Ha egy iniciális Moore-automatában a kimenőjelek halmaza csupán kételemű: {elfogadom, nem fogadom el}, és az utolsó kimenőjel dönti el azt a kérdést, hogy elfogadható-e

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

PROGRAMOZÁS MÓDSZERTANI ALAPJAI I. TÉTELEK ÉS DEFINÍCIÓK

PROGRAMOZÁS MÓDSZERTANI ALAPJAI I. TÉTELEK ÉS DEFINÍCIÓK PROGRAMOZÁS MÓDSZERTANI ALAPJAI I. TÉTELEK ÉS DEFINÍCIÓK Szerkesztette: Bókay Csongor 2012 tavaszi félév Az esetleges hibákat kérlek a csongor@csongorbokay.com címen jelezd! Utolsó módosítás: 2012. június

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA I. TÉTELEK

DISZKRÉT MATEMATIKA I. TÉTELEK DISZKRÉT MATEMATIKA I. TÉTELEK Szerkesztette: Bókay Csongor 2011 őszi félév Az esetleges hibákat kérlek a csongor@csongorbokay.com címen jelezd! Utolsó módosítás: 2012. január 16. Ez a Mű a Creative Commons

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal PhD értekezés Készítette: Lengyelné Szilágyi Szilvia Hatvany

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

Csikós Pajor Gizella Péics Hajnalka ALGEBRA. Bolyai Farkas Alapítvány Zenta 2011.

Csikós Pajor Gizella Péics Hajnalka ALGEBRA. Bolyai Farkas Alapítvány Zenta 2011. Béres Zoltán Csikós Pajor Gizella Péics Hajnalka ALGEBRA elméleti összefoglaló és példatár Bolyai Farkas Alapítvány Zenta 0. Szerzők: Béres Zoltán, középiskolai tanár, Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium

Részletesebben

Példa 1. A majom és banán problémája

Példa 1. A majom és banán problémája Példa 1. A majom és banán problémája Egy majom ketrecében mennyezetről egy banánt lógatnak. Kézzel elérni lehetetlen, viszont egy faládát be is tesznek. Eléri-e a majom a banánt? Mit tudunk a majom képességeirõl?

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

1. Bevezetés. A számítógéptudomány ezt a problémát a feladat elvégzéséhez szükséges erőforrások (idő, tár, program,... ) mennyiségével méri.

1. Bevezetés. A számítógéptudomány ezt a problémát a feladat elvégzéséhez szükséges erőforrások (idő, tár, program,... ) mennyiségével méri. Számításelmélet Dr. Olajos Péter Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematika Tanszék e mail: matolaj@uni-miskolc.hu 2011/12/I. Készült: Péter Gács and László Lovász: Complexity of Algorithms (Lecture Notes,

Részletesebben

MATEMATIKAI PARADOXONOK

MATEMATIKAI PARADOXONOK EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR MATEMATIKAI PARADOXONOK BSc MATEMATIKA SZAKDOLGOZAT TANÁRI SZAKIRÁNY Készítette: Hajnal Anna Témavezető: Korándi József BUDAPEST, 2015 Tartalomjegyzék

Részletesebben