Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download ""

Átírás

1 LOGIKA hetkoznapi jelentese: a rendszeresseg, kovetkezetesseg szinonimaja { Ez logikus beszed volt. { Nincs benne logika. { Mas logika szerint gondolkodik. tudomanyszak elnevezese, melynek feladata a helyes kovetkeztetes { fogalmanak szabatos meghatarozasa, { torvenyeinek feltarasa. Kovetkeztetes gondolati eljaras adott ismeretek =) uj ismeret # nyelvi # megnyilvanulas kijelent}o mondatok kijelent}o mondat premisszak konkluzio

2 Helyes a kovetkeztetes (koznapi ertelemben!), ha a premisszak igaz volta eseten a konkluzio is igaz. Pelda. (premissza:) Imrenek tud}ogyulladasa van. (konkluzio:) Imrenek antibiotikumot kell szednie. A logika nem tartalmaz egyetlen mas szaktudomanyt sem, gy nem ismerheti ezek eredmenyeit!! potpremissza: Ha valakinek tud}ogyulladasa van, antibiotikumot kell szednie. Pelda. (1. premissza:) Erika Sandornak a felesege. (2. premissza:) Katalin Sandornak az edesanyja. (konkluzio:) Katalin Erikanak az anyosa. A logika nem vizsgalja a (magyar) nyelv szavainak jelenteset!! potpremissza: Ha x y-nak a felesege, es z y-nak az edesanyja, akkor z x-nek az anyosa.

3 Egy kovetkeztetes logikai vizsgalata soran mit hasznalunk fel a mondatokbol? logikai szavakat: nem : negacio es ^ konjunkcio vagy _ diszjunkcio ha :::akkor implikacio minden 8 univerzalis kvantor van 9 egzisztencialis kvantor a mondatreszek, szavak jelentese kozombos, helyettuk { termek { atomi formulak + LOGIKAI NYELV Miert van szuksege a logikanak sajat nyelvre? a logika nem tartozhat egyetlen nemzeti nyelvhez sem; a termeszetes nyelvek nyelvtani rendszerei kulonboz}oek es bonyolultak; a logika sajat nyelveben minden (abc, nyelvtani szabalyok, kategoriak) a logika feladatanak ellatasat szolgalhatja.

4 Logikai nyelv szintaktika! szemantika Alltas: olyan kijelent}o mondat, melyr}ol modunkban all egyertelm}uen eldonteni, hogy igaz vagy hamis. Pelda. alltas nem alltas 5 < 3 x < 3 XV. Lajos parokat viselt. A most uralkodo francia kiraly parokat visel. Peter hazudik. Most epp hazudok. A Fold a Nap korul kering. Nincs elet a Foldon kvul. Klasszikus szemantika: (Arisztotelesz) az ellentmondastalansag elve: Egyetlen alltas sem lehet igaz is es hamis is. a kizart harmadik elve: Nincs olyan alltas, amely sem nem igaz, sem nem hamis. modern logika - szimbolikus logika - mat. logika

5 Logikai szavak A negacio: Alfred diak. Alfred nem diak. DE: A javaslatot az ellenzek buktatta meg. A javaslatot nem az ellenzek buktatta meg. Nem igaz, hogy a javaslatot az ellenzek buktatta meg. A konjunkcio: Amalia es Bella kerteszek. "Lement a nap. De csillagok nem jottenek." (Pet}o) Juli is, Mari is tancol. Kevesre vitte, noha becsuletesen dolgozott. DE: Amalia es Bella testverek. A diszjunkcio: Esik az es}o, vagy fuj a szel. Vagy busszal jott, vagy taxival.

6 Az implikacio: Ha megtanulom a lecket, akkor otosre felelek. Csak akkor felelek otosre, ha megtanulom a lecket. Gyakran az egyszer}u alltasok szerkezetet is fel kell tarnunk. Dezs}o postas. Amalia es Bella testverek. Az Erzsebet hd osszekoti Budat Pesttel. predikatum + objektumnevek Az univerzalis kvantor: Amalia mindegyik testvere lany. Az egzisztencialis kvantor: Amalianak van testvere.

7 Az els}orend}u logikai nyelv Allando szimbolumok logikai jelek: : ^ _ 8 9 elvalaszto jelek: ( ) ; Denialando szimbolumok (negy halmazba sorolva) =< Srt; Cnst; F n; P r > Srt, elemei a tpusok. Minden 2 Srt tpushoz tartoznak valtozok: x 1;x 2;::: Cnst konstansok halmaza. Minden c 2 Cnst valamely 2 Srt tpushoz tartozik. Fn fuggvenyszimbolumok halmaza. Minden f 2 Fn fuggvenyszimbolumot a ( 1 ; 2 ;:::; k!) un. alakja jellemez. (k 1) Pr 6= ; predikatumszimbolumok halmaza. Minden P 2 Pr predikatumszimbolumhoz egy ( 1 ; 2 ;:::; k ) alakot rendelunk. (k 0)

8 Peldak logikai nyelvekre 1. A Geom nyelv Srt = fpt (ponttpus);et (egyenestpus);st (sktpus)g pt tpusu valtozok: A; B; C;::: et tpusu valtozok: e;f;g;::: st tpusu valtozok: a, b, c,::: Cnst = ; Fn = ; Pr = fp (pt;pt) ;Q (pt;et) ;R (pt;st) g Megjegyzes: a geometriaban a P; Q; R szimbolumok helyett rendre az =; 2; 2 jeleket szokas inkabb hasznalni. 2. Az Ar nyelv Srt = fszt (szamtpus)g szt tpusu valtozok: x; y; z; : : : Cnst = fnullag Fn = ff (szt!szt) ;g (szt;szt!szt) ;h (szt;szt!szt) g Pr = fp (szt;szt) g Megjegyzes: az aritmetikaban a g es h szimbolumok helyett a + es jeleket, P helyett pedig az = jelet szokas hasznalni. 3. nulladrend}u nyelvek =< ;; ;; ;;Pr >, ahol minden P 2 Pr alakja (), azaz P propozcionalis bet}u.

9 tpusu termek c, ha c 2 Cnst; x, ha x valtozo; logikai kifejezesek f(t 1 ;t 2 ;:::;t k ), ha f ( 1; 2 ;:::; k!) 2 Fn es t 1 1 ;t 2 2 ;:::;t k k termek; minden term { vagy a nyelv konstansa, vagy valtozoja, { vagy az indukcios lepes veges sokszori alkalmazasaval bel}oluk nyerhet}o. formulak P (t 1 ;t 2 ;:::;t k ) atomi formula, ha P ( 1; 2 ;:::; ) k 2 Pr es t 1 1 ;t 2 2 ;:::;t k k termek; (A ^ B); (A _ B); (A B) es :A; ha A es B formulak; 8xA es 9xA; ha A formula es x tetsz}oleges valtozo; minden formula { vagy atomi formula, { vagy az indukcios lepesek veges sokszori alkalmazasaval atomi formulakbol megkaphato.

10 Peldak logikai kifejezesekre 1. A Geom nyelv kifejezesei: termek: A; f; b atomi formulak: a geometriaban szokasosan P (A; B) (A = B) Q(B;e) (B 2e) R(A;a) (A2 a) formula: 9A(Q(A;e)^Q(A;f)) 9A((A 2 e)^(a 2 f)) 2. Az Ar nyelv kifejezesei: termek: az arimetikaban szokasosan nulla; x; f(nulla) g(x; f(nulla)) (x + f(nulla)) h(f(f(x));x) (f(f(x)) x) atomi formula: P (g(x; f(nulla)); nulla) formula: ((x+f(nulla)) = nulla) 9uP (g(x; u);y) 9u((x + u) = y)

11 kozvetlen reszterm valtozonak es konstansnak nincs kozvetlen resztermje; az f(t 1 ;t 2 ;:::;t k ) term kozvetlen resztermjei a t 1 ;t 2 ;:::;t k termek. Jeloles: 4 Q ^ _ 8 9 kozvetlen reszformula atomi formulanak nincs kozvetlen reszformulaja; a :A kozvetlen reszformulaja az A formula; az (A4B) formula kozvetlen reszformulai az A es a B formulak; a QxA formula kozvetlen reszformulaja az A formula. reszkifejezes maga a kifejezes; a kozvetlen reszkifejezesek; reszkifejezesek reszkifejezesei.

12 funkcionalis osszetettseg (jele: ~ l(t)) ha t = c 2 Cnst; vagy t = x, akkor ~ l(t) *) 0; ~ l(f(t 1 ;t 2 ;:::;t k )) *) P k i=1 ~ l(t i ) + 1: logikai osszetettseg (jele: l(a)) ha A atom, l(a) *) 0; l(:a) *) l(a) + 1; l(a4b) *) l(a) + l(b) + 1; l(qxa) *) l(a) + 1: A formulak lerasakor szokasos rovidtesek: formula-kombinaciok helyett specialis jelolesek; Pelda. (A B) *) ((A B) ^ (B A)) kuls}o zarojelek elhagyasa; logikai jelek prioritasa csokken}o sorrendben: 8 9 : _^ azonos prioritas eseten a jobbra allo az er}osebb; jobbrol allo pont jeloli a zarojelen beluli leggyengebb logikai jelet.

13 Qx A " " kvantoros el}otag a kvantor hataskore Egy valtozo valamely el}ofordulasa a formulaban kotott: Egy atomi formula egyetlen valtozoja sem kotott. A :A-ban x egy adott el}ofordulasa kotott, ha A-ban x-nek ez az el}ofordulasa kotott. Az A4B-ben x egy adott el}ofordulasa kotott, ha ez az el}ofordulas vagy A-ban van, es ott kotott, vagy B-ben van, es ott kotott. A QxA-ban x minden el}ofordulasa kotott, es az x-t}ol kulonboz}o y egy adott el}ofordulasa kotott, ha ez az el}ofordulas A-ban kotott. Egy valtozo valamely el}ofordulasa a formulaban szabad, ha nem kotott. Ha egy valtozonak egy formulaban van szabad el}ofordulasa, akkor ez a valtozo a formula parametere. Jelolesek: Fv(A): az A formula parametereinek a halmaza. A(x 1 ;x 2 ;:::;x n ): formula, melyben legfeljebb az x 1 ;x 2 ;:::;x n valtozok lehetnek parameterek.

14 A kotott valtozok atnevezese A QxA-ban x-nek a Q kvantor altal kotott minden el}ofordulasat az x-szel azonos tpusu y valtozora cserelve kapunk egy QyA x y formulat. Milyen formulat eredmenyez ez az atalaktas? Az Ar nyelven a termeszetes szamok halmazaban a 9x(u + x = v); 9y(u + y = v); 9z(u + z = v) formulak mindegyike a (u v) relaciot fejezi ki. Vigyazat!! A 9u(u + u = v) formula viszont v parossagat alltja. A jelentesvaltozas oka a valtozoutkozes. Pelda: 8x(P (x; z) 9yR(x; y)) Az x y-ra atnevezesevel a formulat kapjuk!! 8y(P (y; z) 9yR(y; y))

15 A kotott valtozok szabalyosan vegrehajtott atnevezese Ha a QxA formulaban az y nem parameter, es az x valtozo egyetlen Q altal kotott el}ofordulasa sem tartozik egyetlen y-t kot}o kvantor hataskorebe sem, akkor a QxA-bol a QyA x y formulat az x kotott valtozo szabalyosan vegrehajtott atnevezesevel kaptuk. Az A es A 0 kongruens formulak, ha egymastol csak kotott valtozok szabalyosan vegrehajtott atnevezeseben kulonboznek. Jelolese: A A 0 A kongruencia egy nyelv formulai halmazaban reexv, szimmetrikus es tranzitv relacio. Osztalyozast general: az egy kongruenciaosztalyba tartozo formulak kozott a logikaban nem teszunk kulonbseget.

16 Hogyan donthetjuk el, hogy ket formula kongruense? a formula osszetettsege szerinti indukcioval: { Egy atomi formula egyetlen mas formulaval sem kongruens, csak onmagaval. { :A :A 0, ha A A 0. { A 4 B A 0 4 B 0, ha A A 0 es B B 0. { QxA QyA 0, ha minden z-re, mely kulonbozik QxA es QyA 0 (kotott es szabad) valtozoitol, A x z A 0 y z. a formula vazaval { rajzoljuk be a formulaban a kotesi viszonyokat; { hagyjuk el az osszekotott valtozokat. Ket formula pontosan akkor lesz egymassal kongruens, ha megegyez}o a vazuk.

17 Egy formula valtozo-tiszta, ha benne a kotott valtozok nevei kulonboznek a szabad valtozok neveit}ol; barmely ket kvantor kulonboz}o nev}u valtozokat kot meg. Lemma. Legyen A egy formula es S valtozoknak egy veges halmaza. Ekkor konstrualhato olyan valtozo-tiszta A 0 formula, hogy A A 0, es A 0 egyetlen kotott valtozojanak neve sem eleme S-nek.

18 A szabad valtozok helyettestese termekkel Az Ar nyelvben a termeszetes szamok halmazaban szeretnenk kifejezni az (x z z) relaciot. Ha az (x y)-t kifejez}o 9u(x + u = y) formulaban y helyere zz-t helyettestunk, a kvant formula megkaphato. Vigyazat! 9u(x + u = z z) Ha az (x z u) relaciot akarjuk kifejezni hasonlo modon eljarva, nem a kvant formulat, hanem az 9u(x + u = z u) kapjuk. A problema oka a valtozoutkozes. Megoldas: Nevezzuk at a kotott valtozot peldaul w-re, es csak utana hajtsuk vegre a termhelyettestest: 9w(x + w = z u)

19 A formalis helyettestes Egy x valtozonak es egy vele megegyez}o tpusu t termnek a parosat bindingnek nevezzuk. Jelolese: x=t. A formalis helyettestes bindingek egy = fx 1 =t 1 ;x 2 =t 2 ;:::;x k =t k g halmaza, ahol x i 6= x j ; ha i 6= j (i; j = 1; 2;:::;k; k 0): A helyettestest megadhatjuk meg tablazattal: = 0 B x 1 x 2 ::: x t 2 ::: t k t 1 1 C A; amit egy sorba is rhatunk: = (x 1 ;x 2 ;:::;x k jjt 1 ;t 2 ;:::;t k ): A helyettestes ertelmezesi tartomanya: dom = fx 1 ;x 2 ;:::;x k g ertekkeszlete: rng = ft 1 ;t 2 ;:::;t k g

20 Egy kifejezesbe valo formalis helyettestes eredmenye Legyen K logikai kifejezes, = fx 1 =t 1 ;x 2 =t 2 ;:::;x k =t k g formalis helyettestes. Az x i valtozok osszes K-beli szabad el}ofordulasat helyettestsuk egyidej}uleg K- ban a t i termekkel. Az gy kapott kifejezes a K- ba valo formalis helyettestesenek eredmenye. Jelolese: K; vagy K x 1;:::;x k t 1 ;:::;t k Egy kifejezesbe valo formalis helyettestes eredmenyenek meghatarozasa: x = 8 >< >: x ha x 62 dom (x) ha x 2 dom f(t 1 ;t 2 ;:::;t k ) = f(t 1 ;t 2 ;:::;t k ) P (t 1 ;t 2 ;:::;t k ) = P (t 1 ;t 2 ;:::;t k ) (:A) = :(A) (A4B) = A4B (QxA) = Qx(A(, x)), ahol, x azt a helyettestest jeloli, melyre dom (, x) = (dom ) n fxg; es (, x)(z) = (z) minden z 2 dom (, x)-re.

21 Egy kifejezes szamara megengedett helyettestes megengedett a K kifejezes szamara, ha egyetlen x i 2 dom -nak egyetlen K-beli szabad el}ofordulasa sem esik a (x i ) term valamely valtozoja szerinti kvantor hataskorebe. Pelda. A 9u(x + u = y) formula szamara fy=z zg megengedett, de fy=z ug nem. Annak meghatarozasa, hogy egy helyettestes megengedett-e egy kifejezes szamara: Termek es atomi formulak szamara minden megengedett. :A szamara megengedett, ha megengedett A szamara. A4B szamara megengedett, ha megengedett mind A, mind B szamara. QxA szamara megengedett, ha {, x megengedett A szamara, es { egyetlen z 2 Fv(QxA) \ dom eseten sem szerepel x a (z) termben.

22 A szabalyos helyettestes Legyen K egy kifejezes, es egy helyettestes. Keressunk K-val kongruens olyan K 0 kifejezest, mely szamara a helyettestes megengedett. Ekkor a K 0 kifejezes a szabalyos helyettestesenek eredmenye K-ba. Jelolese: [K]. A szabalyos helyettestes eredmenyenek meghatarozasa: Ha K term vagy atomi formula, akkor [K] = K. [(:A)] = :[A] [(A4B)] = [A]4[B] { Ha egyetlen z 2 Fv(QxA) \ dom eseten sem szerepel x a (z) termben, akkor [(QxA)] = Qx[A(, x)]. { Ha van olyan z 2 Fv(QxA) \ dom, hogy x parameter (z)-ben, akkor valasszunk egy uj valtozot, peldaul u-t, mely nem szerepel sem QxA-ban, sem -ban, es [(QxA)] = Qu[(A x u )(, x)].

23 A logikai nyelv klasszikus szemantikaja Az =< Srt; Cnst; F n; P r > els}orend}u logikai nyelv I interpretacioja (modellje, algebrai strukturaja) egy olyan I =< Srt; d d Cnst; Fn; d Pr d > fuggvenynegyes, melyben dom Srt d = Srt; es Srt d : 7! D, ahol a D objektumtartomany a tpusu objektumok nemures halmaza; dom Cnst d d = Cnst; es a Cnst : c 7! ~c fuggveny olyan, hogy ha a c tpusu konstans, akkor ~c 2 D ; dom Fn d = Fn; es az Fn d : f 7! f ~ fuggveny minden f ( 1; 2 ;:::; k!) fuggvenyszimbolumhoz olyan ~f fuggvenyt rendel, melyben dom f ~ = D 1 D 2 :::D k, es rng f ~ = D, azaz ~f : D 1 D 2 :::D k!d ; dom d Pr = Pr; es a d Pr : P 7! ~ P fuggveny olyan, hogy a P ( 1; 2 ;:::; k ) (k 1) predikatumszimbolum eseten, ~P : D 1 D 2 :::D k!f0;1g, ha pedig P propozcionalis bet}u, akkor ~ P vagy 0, vagy 1.

24 Legyen az nyelv I interpretaciojaban D *) [ 2Srt d D n f~cj Cnst(c) = ~c; c 2 Cnstg: B}ovtsuk ki a nyelvet az objektumtartomanyok objektumait jelol}o uj konstansokkal: ahol (D) =< Srt; Cnst(D); F n; P r >; Cnst(D) *) Cnst[faja az a 2 D-hoz rendelt uj szimbolumg: Az (D) nyelv zart logika kifejezeseit I-beli ertekelhet}o kifejezeseinek nevezzuk. Az (D) nyelv formalis helyettesteset I-beli ertekel}o helyettestesenek nevezzuk, ha Fv(rng ) = ;: Egy ertekel}o helyettestes minden K kifejezes szamara megengedett. Ha a ertekel}o helyettestes es a K kifejezes olyanok, hogy F v(k) dom ; akkor K ertekelhet}o kifejezese -nak, es -at K I-beli ertekelesenek nevezzuk.

25 Pelda. 1. Az Ar nyelv termeszetes interpretacioja d Srt(szt) = N d Cnst(nulla) = 0 d Fn(f) = ~ f; ahol ~ f : N! N ; es ~f(n) = n + 1; ( ha n 2 N ) d Fn(g) = ~g; ahol ~g : N N! N ; es ~g(n; m) = n + m; ( ha n; m 2 N ) d Fn(h) = ~ h; ahol ~ h : N N! N ; es ~h(n; m) = n m; ( ha n; m 2 N ) d Pr(P) = P; ~ ahol P ~ : N N! f0; 1g; es (ha n; m 2 N ); ~P (n; m) = 8 >< >: 1 ha n = m 0 egyebkent 2. A Subset nyelv Srt = frh (egy alaphalmaz reszhalmazai) g rh tpusu valtozok: x; y; z ::: Cnst = ; Fn = ; Pr = fp (rh;rh) g A Subset nyelv egy interpretacioja d Srt(rh) = f a fpiros, kek, zoldg alaphalmaz reszhalmazai g d Pr(P) = ~ P;ahol, ha S; Z az alaphalmaz ket reszhalmaza ~P (S; Z) = 8 >< >: 1 ha S Z 0 egyebkent

26 Legyen I egy interpretacioja. Az tpusu, ertekelhet}o termenek erteke I- ben egy D -beli objektum. Jelolese: jtj I { Ha d Cnst(c) = ~c, akkor jcj I *) ~c. { Ha a 2 Cnst(D) az a 2 D objektumhoz rendelt uj a szimbolum, akkor jaj I *) a. { Ha f(t 1 ;t 2 ;:::;t k ) ertekelhet}o term, ahol a t 1 ;t 2 ;:::;t k termek ertekei I-ben rendre jt 1 j I ; jt 2 j I ;:::;jt k j I, es ~ f = d Fn(f), akkor jf(t 1 ;t 2 ;:::;t k )j I *) ~ f(jt 1 j I ;jt 2 j I ;:::;jt k j I ). Az ertekelhet}o formulajanak erteke I-ben vagy 0, vagy 1. Jelolese: jjcjj I { Ha P (t 1 ;t 2 ;:::;t k )ertekelhet}o atomi formula, ahol a t 1 ;t 2 ;:::;t k termek ertekei I-ben rendre jt 1 j I ; jt 2 j I ;:::;jt k j I, es ~ P = d Pr(P), akkor jjp (t 1 ;t 2 ;:::;t k )jj I *) ~ P (jt 1 j I ; jt 2 j I ;:::;jt k j I ).

27 { Ha :A ertekelhet}o formula, ahol az A formula erteke jjajj I, akkor jj:ajj I *) 1, jjajj I : { Ha A4B ertekelhet}o formula, ahol az A es B formulak ertekei rendre jjajj I ; jjbjj I, akkor jja ^ Bjj I jja _ Bjj I jja Bjj I *) minfjjajj I ; jjbjj I g *) maxfjjajj I ; jjbjj I g *) maxf1, jjajj I ; jjbjj I g { Ha 8xA ertekelhet}o formula, ahol x tpusu valtozo, akkor 8 >< 1; ha minden a 2 D jj8xajj I *) eseten jja x ajj I = 1; >: 0 egyebkent. { Ha 9xA ertekelhet}o formula, ahol x tpusu valtozo, akkor 8 >< 1; ha van olyan a 2 D jj9xajj I *) hogy jja x ajj I = 1; >: 0 egyebkent. Legyen I egy interpretacioja es A ertekelhet}o formula. Az A formula igaz I-ben (jelolese: I j= A), amikor jjajj I = 1, egyebkent hamis I-ben.

28 Pelda. 1. Az Ar nyelv termeszetes interpretaciojaban jnullaj = 0 jf(nulla)j = ~ f(jnullaj) = 1 j(f(1) + 3)j = ~g (jf(1)j; j3j) = ~g ~ f(j1j); 3! = = ~g ~ f(1); 3! = ~g(2; 3) = 5 jj ((f(nulla) 3) = (f (f(nulla)) + 1)) jj = ~P (jf(nulla) 3j; jf (f(nulla)) + 1j) = ~P ~ h (jf(nulla)j; j3j) ; ~g (jf (f(nulla)) j; j1j)! = ~P ~ h(1; 3); ~g ~ f(jf(nulla)j); 1!! = ~ P 3; ~g( ~ f(1); 1)! = ~P (3; ~g(2; 1)) = ~ P (3; 3) = 1 jj9u ((3 + u) = 4) jj = 1; mert az 1 2 N olyan, hogy jj ((3 + u) = 4) u 1 jj = jj (3 + 1 = 4) jj = ~ P (j3 + 1j; j4j) = ~P (~g(j3j;j1j) ; 4) = ~ P (~g(3; 1); 4) = ~ P (4; 4) = 1

29 2. A Subset nyelv el}obbi interpretaciojaban jjp (fpiros,zoldg; fpiros,kekg)jj = ~P (jfpiros,zoldgj; jfpiros,kekgj) = ~P (fpiros,zoldg; fpiros,kekg) = 0 jj8yp(y; fpiros,kek,zoldg)jj = 1; mert minden S reszhalmazra jjp (S; fpiros,kek,zoldg)jj = ~ P (jsj; jfpiros,kek,zoldgj) = ~P (S; fpiros,kek,zoldg) = 1 jj8yp(y; fpiros,kekg)jj = 0; mert peldaul az fzoldg reszhalmazra jjp (fzoldg; fpiros,kekg)jj = ~ P (jfzoldgj; jfpiros,kekgj) = ~P (fzoldg; fpiros,kekg) = 0 3. A Subset nyelv egy olyan interpretaciojaban, ahol d Srt(rh) = ffpiros, kek, zold, sargag reszhalmazai g jj8yp(y; fpiros,kek,zoldg)jj = 0; mert peldaul a fsargag reszhalmazra jjp (fsargag; fpiros,kek,zoldg)jj = ~P (jfsargagj; jfpiros,kek,zoldgj) = ~P (fsargag; fpiros,kek,zoldg) = 0

30 Lemma. Legyen I az nyelv egy interpretacioja es r egy olyan term, melyben legfeljebb egy parameter, a tpusu x szerepel. Legyen a t tpusu ertekelhet}o term erteke jtj I. Ekkor jrfx=tgj I = jrfx=jtj I gj I ; azaz egy ertekelhet}o term erteke csak resztermjei ertekeit}ol fugg. Lemma. Legyen I az nyelv egy interpretacioja es A egy olyan formula, melyben legfeljebb egy parameter, a tpusu x szerepel. Legyen a t tpusu ertekelhet}o term erteke jtj I. Ekkor I j= [Afx=tg] akkor es csak akkor, ha I j= Afx=jtj I g:

31 Logikai torveny, logikai ellentmondas Az nyelv egy A formulaja logikai torveny, ha barmely I interpretaciojaban es A barmely I-beli ertekelese eseten I j= A. Jelolese: j= A. Az nyelv egy A formulaja logikai ellentmondas, ha barmely I interpretaciojaban es A barmely I- beli ertekelese eseten A hamis. Jelolese: =j A. Lemma. =j A akkor es csak akkor, ha j= :A. Az nyelv egy A formulaja kielegthet}o, ha van -nak olyan I interpretacioja es ertekelese, amelyre I j= A. Lemma. Az A formula pontosan akkor kielegthet}o, ha nem igaz, hogy j= :A. Az A es B formulak logikailag ekvivalensek, ha j= A B: Jelolese: A B.

32 A Boole-kombinacio Legyenek A 1 ;A 2 ;:::;A n ; n 1 az nyelv formulai. A 1 ;A 2 ;:::;A n Boole-kombinacioja A i barmelyik 1 i n-re; :B, ha B A 1 ;A 2 ;:::;A n Boole-kombinacioja; Boole- B4C, ha ha B es C is A 1 ;A 2 ;:::;A n kombinacioi. Pelda. 8xP (x) _ 9yQ(x; y) a 8xP (x) es a 9yQ(x; y) Boole-kombinacioja. A Quine-tablazat Legyen B az A 1 ;A 2 ;:::;A n Boole-kombinacioja. Kesztsuk el a kovetkez}o, 2 n kulonboz}o sort tartalmazo tablazatot: A 1 A 2 :::::: A n,2 A n,1 A n B 0 0 :::::: :::::: :::::: :::::: :::::: :::::: 1 1 1

33 Megjegyzes: A sorok az A 1 ;A 2 ;:::;A n formulak osszes kulonboz}o lehetseges ertekeit tartalmazzak, fuggetlenul attol, hogy van-e olyan interpretacio es kozos ertekeles, melyre ilyen ertekek adodnanak. Olyan interpretacio es kozos ertekeles viszont nincs, ahol a formulak ertekei rendre ne lennenek megtalalhatok valamely sorban. Toltsuk ki a B alatti f}ooszlopot: minden sorban szamoljuk ki B erteket a kombinalotenyez}ok sorbeli ertekeinek fuggvenyeben. A Boole-kombinacio propozcionalis tautologia, ha a Quine-tablaja f}ooszlopaban csupa 1 ertek van. Lemma. Ha egy Boole-kombinacio propozcionalis tautologia, akkor logikai torveny. Lemma. Ha a Boole-kombinalo tenyez}ok propozcionalis bet}uk, es a Boole-kombinacio logikai torveny, akkor propozcionalis tautologia.

34 Pelda. 1. Vizsgaljuk az (A B) :(A ^ :B) formulat, mint az A es B formulak Boole-kombinaciojat. (A B) : (A ^ : B) (A B) : (A ^ : B) A Boole-kombinacio propozcionalis tautologia, tehat a formula logikai torveny. 2. Dontsuk el, hogy A^:A logikai ellentmondas-e? : (A ^ : A) : (A ^ : A) :(A^:A) propozcionalis tautologia, azaz logikai torveny, tehat A ^ :A logikai ellentmondas.

35 3. Vizsgaljuk a 9x(A(x)^B(x)) 9xA(x)^9xB(x) formulat, mint a 9x(A(x) ^ B(x)); 9xA(x) es a 9xB(x) formulak Boole-kombinaciojat. 9x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) ^ 9xB(x) x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) ^ 9xB(x) A Boole-kombinacio nem propozcionalis tautologia, pedig logikai torveny.

36 4. Lassuk be, hogy j= 9x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) ^ 9xB(x): Bizonytas: Tekintsunk egy tetsz}oleges I interpretaciot es ertekelest. Vizsgalnunk kell a jj (9x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) ^ 9xB(x)) jj I = jj (9x(A(x) ^ B(x))) (9xA(x))^(9xB(x))jj I = jj (9x(A(x)(, x) ^ B(x)(, x)) 9x(A(x)(, x)) ^ 9x(B(x)(, x))jj I = jj9x(a 0 (x) ^ B 0 (x)) 9xA 0 (x) ^ 9xB 0 (x)jj I erteket. Ha jj9x(a 0 (x) ^ B 0 (x))jj I = 0; akkor az implikacio erteke 1; Ha jj9x(a 0 (x) ^ B 0 (x))jj I = 1; akkor van olyan a 2 D x ; hogy jj (A 0 (x) ^ B 0 (x)) x a jj I = jja 0 (x) x a ^ B 0 (x) x ajj I = 1: Ekkor viszont jja 0 (x) x ajj I = 1 es jjb 0 (x) x ajj I = 1; azaz jj9xa 0 (x)jj I = 1 es jj9xb 0 (x)jj I = 1; gy jj9xa 0 (x) ^ 9xB 0 (x)jj I = 1: Mivel az implikacio utotagja 1 ertek}u, az implikacio erteke most is 1.

37 5. Lassuk be, hogy 6j= 9xA(x) ^ 9xB(x) 9x(A(x) ^ B(x)): Bizonytas: Tekintsunk egy olyan I interpretaciot, melyben d Srt( x ) = f;; fpirosgg d Pr(P) = P; ~ ahol, ha S; Z 2 f;; fpirosgg ~P (S; Z) = A(x) *) 8uP (x; u) B(x) *) 8uP (u; x) 8 >< >: 1 ha S Z 0 egyebkent Ebben az interpretacioban jj9xa(x)jj I = 1 es jj9xb(x)jj I = 1; mert peldaul jja(;)jj I = 1 es jjb(fpirosg)jj I = 1: Ugyanakkor jj9x(a(x) ^ B(x))jj I = 0; mert jja(;) ^ B(;)jj I = 0 es jja(fpirosg) ^ B(fpirosg)jj I = 0:

38 6. A 9xA(x) ^9xB(x) 9x(A(x) ^ B(x)) formula kielegthet}o. Bizonytas: Legyen most az interpretacionk az el}oz}ohoz hasonlo, csak A(x) *) 8u (P (u; x) (8zP(u; z) _ (P (u; x) ^ P (x; u)))) : Ebben az interpretacioban jj9xa(x)jj I = 1; mert jja(fpirosg)jj I = 1, es jj9x(a(x) ^ B(x))jj I = 1; mert jja(fpirosg) ^ B(fpirosg)jj I = 1:

39 Nehany fontos logikai torveny asszociativitas A ^ (B ^ C) (A ^ B) ^ C A _ (B _ C) (A _ B) _ C kommutativitas A ^ B B ^ A disztributivitas A _ B B _ A A ^ (B _ C) (A ^ B) _ (A ^ C) A _ (B ^ C) (A _ B) ^ (A _ C) idempotencia A ^ A A A _ A A eliminacio A ^ (B _ A) A A _ (B ^ A) A De Morgan torvenyei :(A ^ B) :A _ :B :(A _ B) :A ^ :B

40 negacio az implikacioban :(A B) A ^ :B A :A :A :A A A j= :(A :A) logikai jelek kozotti osszefuggesek kontrapozcio ketszeres tagadas A ^ B :(:A _ :B) A ^ B :(A :B) A _ B :(:A ^ :B) A _ B :A B A B :(A ^ :B) A B :A _ B A B :B :A ::A A implikacios el}otagok felcserelese A (B C) B (A C) implikacio konjunktv el}otaggal A ^ B C A (B C)

41 kiszamtasi torvenyek (> *) C _:C;? *) C ^:C) A^> A A^?? A_> > A_? A A > > A? :A > A A? A > az azonossag torvenye b}ovtes el}otaggal j= A A j= A (B A) az implikacio ondisztributivitasa esetelemzes tranzitivitas A (B C) (A B) (A C) A _ B C (A C) ^ (B C) j= (A B) ^ (B C) (A C) reductio ad absurdum j= (A B) ^ (A :B) :A az ellentmondasbol barmi kovetkezik j= A (:A B)

42 a kizart harmadik torvenye j= A _ :A az ellentmondas torvenye Pierce-torveny ktv kvantorok Ha x 62 Fv(A), akkor j= :(A ^ :A) j= ((A B) A) A 8xA A 9xA A az egyforma kvantorok helycsereje 8x8yA(x; y) 8y8xA(x; y) 9x9yA(x; y) 9y9xA(x; y) kvantor-csere implikacioban j= 8xA(x) 9xA(x) j= 9y8xA(x; y) 8x9yA(x; y) De Morgan kvantoros torvenyei :9xA(x) 8x:A(x) :8xA(x) 9x:A(x)

43 kvantor-felcsereles 9xA(x) :8x:A(x) 8xA(x) :9x:A(x) kvantorok egyoldali kiemelese Ha x 62 Fv(A), akkor A ^ 8xB(x) 8x(A ^ B(x)) A ^ 9xB(x) 9x(A ^ B(x)) A _ 8xB(x) 8x(A _ B(x)) A _ 9xB(x) 9x(A _ B(x)) A 8xB(x) 8x(A B(x)) A 9xB(x) 9x(A B(x)) 8xB(x) A 9x(B(x) A) 9xB(x) A 8x(B(x) A) kvantorok ketoldali kiemelese 8xA(x) ^ 8xB(x) 8x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) _ 9xB(x) 9x(A(x) _ B(x)) j= 8xA(x) _ 8xB(x) 8x(A(x) _ B(x)) j= 9x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) ^ 9xB(x) kongruens formulak ekvivalenciaja Ha A B; akkor A B:

44 helyettesteskor fellep}o kvantorok kvantorhataskor-atjeloles Ha y 62 Fv(A), akkor j= 8xA [A x t ] j= [A x t ] 9xA 8xA 8y[A x y ] 9xA 9y[A x y ] kvantor-redukcio Ha x es y azonos tpusu valtozok, akkor j= 8x8yA 8x[A y x ] j= 9x[A y x ] 9x9yA helyettestes ekvivalens formulakba Ha A B; akkor [A x t ] [Bx t ]

45 A logikai kovetkezmeny Legyenek A 1 ;A 2 ;:::;A n (n 1) es B az nyelv tetsz}oleges formulai. A B formula logikai (szemantikai) kovetkezmenye az A 1 ;A 2 ;:::;A n formulaknak, ha minden olyan I interpretaciojaban es az A 1 ;A 2 ;:::;A n es B formulak tetsz}oleges olyan I-beli ertekelese eseten, amikor akkor I j= A 1 ;I j= A 2 ;:::;I j= A n ; I j= B: Jelolese: A 1 ;A 2 ;:::;A n j= B: Lemma. (a) A 1 ;A 2 ;:::;A n j= B akkor es csak akkor, ha j= A 1 ^ A 2 ^ :::^A n B. (b) A 1 ;A 2 ;:::;A n j= B akkor es csak akkor, ha =j A 1 ^ A 2 ^ :::^A n^:b. Lemma. A B pontosan akkor, ha A j= B es B j= A.

46 Pelda. Bizonytsuk be, hogy helyesen kovetkeztettunk: P 1 Nehany republikanus kedvel minden demokratat. P 2 Nincs olyan republikanus, aki szeretne a szocialistakat. K Tehat egyik demokrata sem szocialista. Kesztsunk alkalmas logikai nyelvet. Legyenek x; y; z; : : : embereket jelol}o valtozok; R(x) jelentse, hogy x republikanus; D(x) jelentse, hogy x demokrata; S(x) jelentse, hogy x szocialista; K(x; y) jelentse, hogy x kedveli y-t. Ezen e nyelven formalizalva az alltasokat: P 1 9x(R(x) ^ 8y(D(y) K(x; y))) P 2 :9x(R(x) ^ 9z(S(z) ^ K(x; z))) K :9y(D(y) ^ S(y)) Rogztsunk tetsz}olegesen egy olyan I interpretaciot, melyben jjp 1 jj I = 1 es jjp 2 jj I = 1: Ekkor jjp 1 jj I = 1 miatt van olyan a 2 D; hogy jj(r(x) ^ 8y(D(y) K(x; y))) x ajj I = 1; azaz jjr(a)jj I = 1 es minden b 2 D-re jj(d(y) K(a;y)) y bjj I = 1:

47 jjp 2 jj I = 1 miatt viszont minden b 2 D-re, gy eppen a-ra is jj(r(x) ^ 9z(S(z) ^ K(x; z))) x ajj I = 0; azaz mivel jjr(a)jj I = 1; ezert jj9z(s(z) ^ K(a;z)))jj I = 0: Ez azt jelenti, hogy minden b 2 D-re jj(s(z) ^ K(a;z))) z bjj I = 0: Ez a konjunkcio vagy azert 0, mert b olyan, hogy jjs(b)jj I = 0; de ekkor jj(d(y) ^ S(y)) y bjj I = 0; vagy azert, mert b olyan, hogy jjk(a;b)jj I = 0: Ilyen b-re viszont, mivel jj(d(y) K(a;y)) y bjj I = 1; jjd(b)jj I = 0; tehat ilyenkor is jj(d(y) ^ S(y)) y bjj I = 0: Azaz minden b 2 D-re jj(d(y)^s(y)) y bjj I = 0; tehat jj9y(d(y) ^ S(y))jj I = 0; azaz jj:9y(d(y) ^ S(y))jj I = 1:

48 A logikai kalkulus Fel lehet epteni a logikat szemantikai fogalmakra hivatkozas nelkul is: szintaktika szemantika logikai nyelv interpretacio formula logikai ertek levezethet}oseg kovetkezmeny A levezethet}oseg fogalmat kalkulus megadasaval denialhatjuk. Egy kalkulus megadasakor felsoroljuk az alapsemait es a levezetesi szabalyait. Ekkor denialhato a, = fa 1 ;A 2 ;:::;A n g (n0) formulahalmazbol valo levezethet}oseg fogalma: ha B alapformula, vagy B 2,; akkor levezethet}o,-bol; jelolese:, ` B ha,-bol levezet}o B 1 ;B 2 ;:::; akkor a levezetesi szabalyok megmondjak, hogy mely tovabbi formulak lesznek meg levezethet}ok. Egy kalkulus helyes, ha, ` B; akkor, j= B: Egy kalkulus teljes, ha, j= B; akkor, ` B: Egy kalkulus adekvat, ha helyes is, teljes is.

49 Egy logikai rendszer megalkotasakor el}oszor egy szemantikai rendszert denialunk, majd megkserlunk ehhez legalabb helyes, de ha lehet, adekvat logikai kalkulust szerkeszteni. Alapsemak: 1. A (B A) A predikatumkalkulus 2. (A (B C)) ((A B) (A C)) 3. A (B A ^ B) 4. A ^ B A 5. A ^ B B 6. (A C) ((B C) (A _ B C)) 7. A A _ B 8. B A _ B 9. (A B) ((A :B) :A) 10. ::A A 11. 8xA(x) A(x) x t 12. 8x(C A(x)) (C 8xA(x)); x 62 Fv(C) 13. A(x) x t 9xA(x) 14. 8x(A(x) C) (9xA(x) C); x 62 Fv(C)

50 Levezetesi szabalyok: modus ponens A A B B altalanostasi szabaly A semakban es szabalyokban az A; B; C formulakkal; x valtozoval; t x-szel azonos tpusu termmel A 8xA helyettesthet}o be. Az alapsemakbol gy alapformulakat kapunk. Lemma. A predikatumkalkulus minden alapformulaja logikai torveny. Lemma. A; A B j= B Lemma. Ha, j= A(x) es x 62 Fv(,); akkor, j= 8xA(x):

51 A levezethet}oseg A predikatumkalkulusban a formula-fa es magassaganak induktv dencioja: minden A formula 1 magassagu formula-fa, melyben A also formula, es nincs nala feljebb lev}o formula; ha D 1 m 1 es D 2 m 2 magassagu olyan formulafak, melyben az also formulak A es A B alakuak, akkor a D 1 D 2 B alakzat is formula-fa, melyben B also formula, melynel D 1 es D 2 minden formulaja feljebb van, es a formula-fa magassaga max fm 1 ;m 2 g+1; ha D m magassagu olyan formula-fa, amelyben az also formula A, akkor a D 8xA alakzat is formula-fa, melyben 8xA also formula, melynel D minden formulaja feljebb van, es a formula-fa magassaga m + 1.

52 A formulafaban azon formulak, melyeknel nincs feljebb lev}o: alapformulak, hipotezisek, vagy nylt premisszak. Pelda. Q(x) P 8x(Q(x) P ) 8x(Q(x) P ) (9xQ(x) P ) 9xQ(x) P 3 magassagu formulafa also formula: 9xQ(x) P alapformula: 8x(Q(x) P ) (9xQ(x) P ) hipotezis: Q(x) P Levezetes-fa egy formula-fa, melyben ha A-bol az altalanostas szabalyaval akarjuk a 8xA-t nyerni, akkor x nem parameter egyetlen a 8xA-nal feljebb lev}o hipotezisben sem. A, veges formulahalmazbol a B formula levezethet}o, ha keszthet}o olyan levezetes-fa, melyben B also formula, es a hipotesisek mind elemei,-nak. Jelolese:, ` B (szekvencia) Tetel. A predikatumkalkulus adekvat logikai kalkulus.

53 A termeszetes levezetes Az azonossag torvenye,;a`a Strukturalis szabalyok b}ovtes, ` A,;B `A felcsereles,;b;c;`a,;c;b;`a sz}uktes,;b;b;`a,;b;`a vagas,`a ;A`B,;`B

54 Logikai szabalyok BEVEZET ES implikacio,;a`b,`ab konjunkcio, ` A, ` B, ` A ^ B diszjunkcio, ` A, ` A _ B ELT AVOL IT AS,`A,`AB,`B,;A;B `C,;A^B `C,;A`C,;B `C,;A_B `C,`B,`A_B negacio,;a`b,;a`:b,`:a ekvivalencia,;a`b,;b `A,`AB,`::A, ` A,`A,`AB,`B,`B,`AB,`A

LOGIKA. A logika feladata tehát a premisszák és a konklúzió

LOGIKA. A logika feladata tehát a premisszák és a konklúzió LOGIKA hétköznapi jelentése: a rendszeresség, következetesség szinonimája Ez logikus beszéd volt. Nincs benne logika. Más logika szerint gondolkodik. tudományszak elnevezése, melynek fő feladata a helyes

Részletesebben

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók 5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A

Részletesebben

Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? 4/14/2014. propozicionális logikát

Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? 4/14/2014. propozicionális logikát roozicionális logikát roozicionális logikát Legfontosabb logikai konnektívumok: roozíció=állítás nem néztünk a tagmondatok belsejébe, csak a logikai kacsolatuk érdekelt minket Legfontosabb logikai konnektívumok:

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 1 Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A matematikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalmakat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalmak segítségével

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK. Példák és feladatok

LÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK. Példák és feladatok LÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Példák és feladatok Lektorálta: Czirbusz Sándor c Láng Csabáné, 2010 ELTE IK Budapest 20101020 1. kiadás Tartalomjegyzék 1. Bevezetés...............................

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Függőségek felismerése és attribútum halmazok lezártja

Függőségek felismerése és attribútum halmazok lezártja Függőségek felismerése és attribútum halmazok lezártja Elméleti összefoglaló Függőségek: mezők közötti érték kapcsolatok leírása. A Funkcionális függőség (FD=Functional Dependency): Ha R két sora megegyezik

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

Beregszászi István Programozási példatár

Beregszászi István Programozási példatár Beregszászi István Programozási példatár 2 1. fejezet 1. laboratóriumi munka 1.1. Matematikai kifejezések Írja fel algoritmikus nyelven a megadott kifejezést megfelelő típusú változók segítségével! Figyeljen

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA RENDEZETT HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS PÉLDÁK. Rendezett halmaz. (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3.

DISZKRÉT MATEMATIKA RENDEZETT HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS PÉLDÁK. Rendezett halmaz. (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3. Rendezett halmaz R A x A rendezési reláció A-n, ha R Másképpen: (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3. Tranzitív arb for (a, b) R. 1. a A ara 2. a,b A (arb bra a = b 3. a,b,c A (arb brc arc

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. Jelenítsük meg Venn-diagrammon az alábbi halmazokat: a) b) c) 2. Milyen halmazokat határoznak meg az alábbi Venn-diagrammok?

Halmazelmélet. 1. Jelenítsük meg Venn-diagrammon az alábbi halmazokat: a) b) c) 2. Milyen halmazokat határoznak meg az alábbi Venn-diagrammok? Halmazelmélet Alapfogalmak Unió: ; metszet: ; különbség: ; komplementer: (itt U egy univerzum halmaz). Egyenlőség: két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. Ezzel ekvivalens, hogy. Tartalmazás: ; valódi

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia MI

Mesterséges Intelligencia MI Mesterséges Intelligencia MI Tudásbázis építése Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade A tudásbázis építése

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Ü ű Ú Ö Ü É É ű É Ö Ü É ű Á ű Ú Ú Ú Á Á ű Á É É Ú Á ű Ó Ó Á Ú Á ű Ü Á Ú Ú Á ű Ú Á Ú Á Á Ú Ú Á Á Á Á Á É Ú Ú ű Á Á Ú Á Ú Á É Á É É Á Ú Ú É Á Á Á É É Á Á É Á É Á É Ü Ú Ó Á Á É Á ű Ü Á Ú Á Ü Á É É ű ű Á Ú

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Írta: PIGLERNÉ LAKNER ROZÁLIA STARKNÉ WERNER ÁGNES ÁGENS-TECHNOLÓGIA. Egyetemi tananyag

Írta: PIGLERNÉ LAKNER ROZÁLIA STARKNÉ WERNER ÁGNES ÁGENS-TECHNOLÓGIA. Egyetemi tananyag Írta: PIGLERNÉ LAKNER ROZÁLIA STARKNÉ WERNER ÁGNES ÁGENS-TECHNOLÓGIA Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Piglerné Dr. Lakner Rozália, Starkné Dr. Werner Ágnes, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Programozási Módszertan definíciók, stb.

Programozási Módszertan definíciók, stb. Programozási Módszertan definíciók, stb. 1. Bevezetés Egy adat típusát az adat által felvehető lehetséges értékek halmaza (típusérték halmaz, TÉH), és az ezen értelmezett műveletek (típusműveletek) együttesen

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

ADATBÁZIS-KEZELÉS Demetrovics Katalin

ADATBÁZIS-KEZELÉS Demetrovics Katalin ADATBÁZIS-KEZELÉS Demetrovics Katalin 1. Alapfogalmak...1 1.1. Adat... 1 1.2. Információ... 1 1.3. Egyed, Tulajdonság, Kapcsolat... 1 1.4. Adatmodellek... 2 1.5. Adatbázis (DATABASE, DB)... 3 2. A relációs

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Programozási tételek. Dr. Iványi Péter

Programozási tételek. Dr. Iványi Péter Programozási tételek Dr. Iványi Péter 1 Programozási tételek A programozási tételek olyan általános algoritmusok, melyekkel programozás során gyakran találkozunk. Az algoritmusok általában számsorozatokkal,

Részletesebben

Alap fatranszformátorok I. Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap

Alap fatranszformátorok I. Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap Alap fatranszformátorok I Vágvölgyi Sándor Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap termátíró rendszerről eldönthető hogy összefolyó-e. Mindannyian

Részletesebben

Magas szintű adatmodellek Egyed/kapcsolat modell I.

Magas szintű adatmodellek Egyed/kapcsolat modell I. Magas szintű adatmodellek Egyed/kapcsolat modell I. Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek. Alapvetés. 4.fejezet Magas szintű adatmodellek (4.1-4.3.fej.) (köv.héten folyt.köv. 4.4-4.6.fej.) Az adatbázis modellezés

Részletesebben

Knoch László: Információelmélet LOGIKA

Knoch László: Információelmélet LOGIKA Mi az ítélet? Az ítélet olyan mondat, amely vagy igaz, vagy hamis. Azt, hogy az adott ítélet igaz vagy hamis, az ítélet logikai értékének nevezzük. Jelölése: i igaz h hamis A 2 páros és prím. Logikai értéke

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

1.1.1 Dátum és idő függvények

1.1.1 Dátum és idő függvények 1.1.1 Dátum és idő függvények Azt már tudjuk, hogy két dátum különbsége az eltelt napok számát adja meg, köszönhetően a dátum tárolási módjának az Excel-ben. Azt is tudjuk a korábbiakból, hogy a MA() függvény

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

5. Differenciálegyenlet rendszerek

5. Differenciálegyenlet rendszerek 5 Differenciálegyenle rendszerek Elsőrendű explici differenciálegyenle rendszer álalános alakja: d = f (, x, x,, x n ) d = f (, x, x,, x n ) (5) n d = f n (, x, x,, x n ) ömörebben: d = f(, x) Definíció:

Részletesebben

PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN

PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN CSIKVÁRI PÉTER Kivonat. Ebben a jegyzetben bebizonyítjuk Bondy és Simonovits következő tételét. Ha egy n csúcsú egyszerű gráf nem tartalmaz C k kört akkor az éleinek száma

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Bevezetés a logikába

Bevezetés a logikába Téma honlapja: hpseltehu/~kutroatz/courses/logikahtm e-mail: kutroatz@hpseltehu Beezetés a logikába "nemhiatalos" jegyzet Budapest, 2003 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 2 Beezető 3 Szintaktikai elek 4

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

NP-teljesség röviden

NP-teljesség röviden NP-teljesség röviden Bucsay Balázs earthquake[at]rycon[dot]hu http://rycon.hu 1 Turing gépek 1/3 Mi a turing gép? 1. Definíció. [Turing gép] Egy Turing-gép formálisan egy M = (K, Σ, δ, s) rendezett négyessel

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Szintaktikai vizsgálat

1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Szintaktikai vizsgálat 1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Matematikai alapfogalmak Halmazok Relációk Függvények Homomorfizmusok Nyelvi alapfogalmak Ábécé, szavak, nyelvek Műveletek

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

É Ü Ü ú ú Á Ú ű É ú Ö Ü É Ü Á ű Á Á ú ú ú É Á ú ű É Ö É Á Ú Á ú ú É É ű ű ű Á ű Á ú Á ű ű ű ú Á Á ű ú ú ú ű ű ú ű ú ű Á ÁÁ É Á Á Á ű ű ú Ü É ú ű ű ű ű ű ű Ú Ü ű ű ű ú ú ű ű É ú ű ű Á ú ű É ú Ü Ú Ú Ü Ű

Részletesebben

ADATBÁZIS-KEZELÉS. 1. Alapfogalmak

ADATBÁZIS-KEZELÉS. 1. Alapfogalmak ADATBÁZIS-KEZELÉS 1. Alapfogalmak... 1 1.1. Adat... 1 1.2. Információ... 1 1.3. Egyed, Tulajdonság, Kapcsolat... 2 1.4. Adatmodellek... 2 1.5. Adatbázis (DATABASE, DB)... 3 2. A relációs adatmodell...

Részletesebben

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia MI

Mesterséges Intelligencia MI Mesterséges Intelligencia MI Logikai Emberi ágens tudás és problémái gépi reprezentálása Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék FELTÉTELES OPTIMALIZÁLÁS DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4...B-0//KONV-00-000 jel½u projekt részeként az Európai Unió támogatásával,

Részletesebben

Jelentés, jelek és jelrendszerek

Jelentés, jelek és jelrendszerek Tartalomjegyzék A jel...1 Jeltipológia a jelek fajtái...2 A jel formája és jelentése közötti kapcsolat...3 Indexek...4 Ikonok, ikonikus jelek...5 Az indexek és ikonok értelmezése...6 Szimbólumok...7 A

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó Második félév Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 SZORZÁS ÉS OSZTÁS -VEL Mesélj a képrõl! Hány kerékpár és kerék van a képen?

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

A + B = B + A, A + ( B + C ) = ( A + B ) + C.

A + B = B + A, A + ( B + C ) = ( A + B ) + C. 6. LOGIKAI ÁRAMKÖRÖK Számítógépekben, műszerekben, vezérlő automatákban alapvető szerep jut az olyan áramköröknek, melyek valamilyen logikai összefüggést fejeznek ki. Ezeknek a logikai áramköröknek az

Részletesebben

matematikus-informatikus szemével

matematikus-informatikus szemével Ontológiák egy matematikus-informatikus szemével Szeredi Péter Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi és Információelméleti Tanszék ➀ Mi az ontológia, mire jó, hogyan csináljuk?

Részletesebben

7. Előadás tartalma A relációs adatmodell

7. Előadás tartalma A relációs adatmodell 7. Előadás tartalma A relációs adatmodell 7.1 A relációs adatmodell 7.2 Relációs adatbázisséma meghatározása 7.3 E/K diagram átírása relációs modellé 7.4 Osztályhierarchia reprezentálása 1 7.1 A relációs

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Geometriai algoritmusok

Geometriai algoritmusok Geometriai algoritmusok Alapfogalmak Pont: (x,y) R R Szakasz: Legyen A,B két pont. Az A és B pontok által meghatározott szakasz: AB = {p = (x,y) : x = aa.x + (1 a)b.x,y = aa.y + (1 a)b.y),a R,0 a 1. Ha

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Új műveletek egy háromértékű logikában

Új műveletek egy háromértékű logikában A Magyar Tudomány Napja 2012. Új műveletek egy háromértékű logikában Dr. Szász Gábor és Dr. Gubán Miklós Tartalom A probléma előzményei A hagyományos műveletek Az új műveletek koncepciója Alkalmazási példák

Részletesebben

ü Ó Ű ü Ó Ü Ó Ű Ó Ü Ű Ü ű Ó Ű Ó Ű ü ű ű Ű ű Ű Ű Ó Á Ű Ű Ű Ű Ó Ű Ü Ű ű Ű Ó Ó Ó ű Ó Ö Ű Ű Ó Ó Ű Ü Ü Ó Ü Ó ű Á Á ü Ű Ü ű Ü Ó Ü Ü Á Ű Ó Ó Ó Ű Ü Ó Ű Ű Ü ű Ű Ű Ű Ű Ó Ü Ó Ű É Ó Ű Ó Ó ű Ó ü Ő Ü É Ö Ű ű Ü ű Ű Ö

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

0. Ha valahol még nem szerepelt a relációs algebrai osztás, akkor azt kell először venni:

0. Ha valahol még nem szerepelt a relációs algebrai osztás, akkor azt kell először venni: Funkcionális függések, kulcskeresés, Armstrong axiómák A kékkel írt dolgokat tudniuk kell már, nem kell újra elmondani 0. Ha valahol még nem szerepelt a relációs algebrai osztás, akkor azt kell először

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió Bevezetés Pímszámok A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió prímszám. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. április 8. Néhány definíció. 1 A klasszikus számelméleti. p N prím, ha a p a = ±1,

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben