Összejátszás a piacon. Verseny és versenyellenesség. Eset: vitamin kartell. Eset: vitamin kartell. Modern piacelmélet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Összejátszás a piacon. Verseny és versenyellenesség. Eset: vitamin kartell. Eset: vitamin kartell. Modern piacelmélet"

Átírás

1 Moer piacelélet Moer piacelélet Összejátszás, kartell ELTE TáTK Közgazaságtuoáyi Taszék Selei Arie ELTE TáTK Közgazaságtuoáyi Taszék Készítette: Hii Jáos A taayag a Gazasági Verseyhivatal Verseykultúra Közpotja és a Tuás-Ökoóia Alapítváy táogatásával készült az ELTE TáTK Közgazaságtuoáyi Taszékéek közreűköésével A taayag a Gazasági Verseyhivatal Verseykultúra Közpotja és a Tuás-Ökoóia Alapítváy táogatásával készült az ELTE TáTK Közgazaságtuoáyi Taszékéek közreűköésével Versey és verseyelleesség A versey kíváatos, ert elősegíti a gazasági hatékoyságot A vállalatok száára azoba gyakra egéri valailye óo eyhítei a versey itezitását Következésképp létrejöttek olya törvéyek, szabályozási reszerek, aelyek a verseyellees agatartást igyekezek egszüteti Az összejátszás a verseyellees agatartás egy gyakori forája Összejátszás a piaco A piaci szereplők összehagolják egyes ötéseiket a versey csökketése érekébe: ik a otivációik? Gyakori ószerek: Árrögzítés Piacfelosztás Hogya jö létre az összejátszás? Mitől tu tartósa fearai? Eset: vitai kartell Az európai vitai piac 998-ba 800 illió eurós volt A vitaiok előállítása erőse kocetrált A legagyobb gyártó a Hoffa-La Roche 40-50%-os piaci részeseéssel BASF: 0-30% Avetis: 5-5% Eset: vitai kartell Iparági jellezők: Lassú és költséges terelőüze beruházás Mérethatékoyság a terelésbe A vevői olal szétaprózott 00. oveberbe az Európai Bizottság 855 illió eurós bütetést szabott ki 8 vállalatra, ert titkos árrögzítő kartell egállapoást kötöttek

2 Kartellek létrehozása Tekitsük egy egyszerű piacot egyfora vállalat hoogé teréket állít elő A határköltségük kostas c Courot-féle verseybe vaak A keresleti függvéy P(q) = a q, ahol q a teljes iparági kibocsátás Kartellek létrehozása A legegyszerűbb eset, aikor a piac összes vállalata együtt egy kartellt alkot Iyekor úgy viselkeek, itha a piaco egyetle oopóliu tevékeykee Az egyesúlyi ár, eyiség és a vállalatok együttes profitja egegyezik a oopol kieetelével Ez terészetese a vállalatok száára kevezőbb, it az oligopol egyesúly Miegyik vállalatak azoba va éi ösztözője arra, hogy kilépje, és a kartellegállapoásba rögzített ár alatt, vagy eyiség fölött terelve jóval agyobb profitot szerezze agáak Csakhogy ezt a agas profitot várhatóa csupá egy iőszakig élvezheti, hisze azt követőe ár a többiek is alkalazkoak az új helyzethez Ez előre is vetíti a kartellek stabilitásával kapcsolatos probléát Kartellek létrehozása A következőkbe kétféle kartell alakítást vizsgáluk eg oellszerűe:. a vállalatok sziultá óo öteek arról, hogy részt vegyeek-e egy iparági kartell egállapoásba. Bilaterális piacfelosztási egállapoás ( É távol araok a piacotól, ha te is távol arasz az eyétől ) Sziultá kartell egállapoás k vállalat kartell egállapoást köt, ahol < k. A Courot-játékba tehát csak a többi ( k) vállalat, valait aga a kartell vesz részt Az ( k + ) résztvevő egyfora határköltséggel terel Feltesszük, hogy a kartelle belül a profitot egyelőe osztják el Sziultá kartell egállapoás Ekkor aott kartelléret eseté a kartelle belüli és azo kívüli vállalatok profitja a következőképpe alakul: belül ( ) kívül π k = π ( k) k( k + ) = ( k + ) A kartell stabilitása A kartell tagjaiak e éreke egyolalúa kilépi, ha teljesül, hogy: belül kívül ( ) ( ) π k π k k( k + ) k + 3 Következtetés: egy hoogé terékes Courot-oligopóliu eseté, ha legalább háro vállalat va a piaco, akkor a vállalatok függetleek araak. Ha csak két vállalat va, akkor érees kartellt alkotiuk. ( )

3 A kartell stabilitása Hol jobb: bet vagy kit? Ne csak a kartelle belül lesz agasabb a profit, hae azo kívül is A kartellek köszöhetőe ugyais a kívülállók is agasabb árat tuak érvéyesítei A kartellek va tehát pozitív exterális hatása A vállalatok szívese potyautazak a kartell tagjai által létrehozott közjószágo A kartell stabilitása A helyzet azoba egváltozik, ha a terékek e hoogéek, hae iffereciáltak Ilyekor ugyais kisebb az ösztözés a potyautazásra A kívülálló potyautas e pot ugyaolya teréket értékesít, így az árfelhajtó pozitív exterália kisebb Ilye piaco létezhet olya stabil kartell, aelybe e vesz részt ie vállalat (ehhez a terékekek kellőe iffereciáltak kell leiük) Bilaterális kartell egállapoás Piacot felosztó összejátszás Ha két vállalat külöböző fölrajzi területe űköik, vagy külöböző fogyasztói csoportra épít Megegyezek, hogy egyás területé e próbálak fogyasztókat találi Ugyaez feállhat sok vállalat eseté is Akkor lesz stabil, ha egyik résztvevőek se éri eg egyolalúa felrúgi a egállapoást Szélsőséges esetbe a piaci résztvevők oopóliuok saját területükö Magyar fölgáz kiskereskeeli piac A MEH fölgáz kiskereskeeli piacelezéséből kierül, hogy a regioális egyetees szolgáltatók e próbálak lakossági, ill. kisfogyasztókat találi egyás fölrajzi területé Vajo iért e?. lehetséges válasz: hallgatólagos kartell egállapoás va a háttérbe (akár az E.O, RWE és GF ayavállalatok között is). lehetséges válasz: e éri eg ekik, ert a agyszáú kisfogyasztó ellátása költséges (pl. ügyfélszolgálati iroák), iközbe az árrés alacsoy Hallgatólagos összejátszás Forális kartell egállapoás élkül is kialakulhat összejátszás egy piaco A résztvevők belátják/feliserik, hogy saját érekükbe olya agatartást követek, itha kartellbe leéek Pl. az iokoltál agasabba tartják az áraikat, e kezeéyezek árverseyt, e próbálak a többiek területé fogyasztókat szerezi stb. Ilyekor a verseytörvéy egsértéséek bizoyítása is sokkal ehezebb A kartell stabilitásáak kérése ég jeletősebb Hallgatólagos összejátszás A hallgatólagos összejátszás akkor alakulhat ki, ha a résztvevők hosszú ieig reszeres piaci kapcsolatba vaak egyással Meg tuják figyeli egyás piaci lépéseit Az iterakciójuk egy folytoos, iaikus kapcsolat, e peig statikus iterakciók sorozata Elékezzük arra, hogy a Courot-oellbe a szereplők olya ötést választaak, ait a játékeléletbe Nash-egyesúlyak evezük Nash-egyesúlyba egyik félek se éri eg eltéri attól Ezt statikus játékak hívjuk, ert csak egyszer játszóik le

4 Hallgatólagos összejátszás Statikus játék: Két vállalat azoos teréket kíál, azoos c határköltséggel Egyással Courot-óo verseyezek ie iőszakba egy t =,,...T véges iőhorizoto Ekkor ugyaazt a statikus játékot isétlik, ait az első iőszakba Ugyaazt az egyeüli Nash-egyesúlyi ötést választják ie t-be Ebbe a oellbe e alakul ki hallgatólagos összejátszás Hallgatólagos összejátszás Selte tétele: Ha egy egyei egyesúllyal reelkező játékot véges sok alkaloal játszaak le, a egolás az egyesúly lejátszása ie egyes alkaloal. Az isételt játék Nash egyesúlya az egyei Nash-egyesúly végese isételt lejátszása lesz. Lás: Pepall 4.. fej., 470. olal Hallgatólagos összejátszás A hallgatólagos összejátszást játékeléleti eszközökkel úgy oellezzük, hogy az iőhorizotot végtele hosszúak tekitjük köyebb egértei, ha végtele helyett határozatla iejűek gooljuk Ebbe a oellbe kialakulhat hallgatólagos összejátszás Pélául a bütetéskioló stratégia segítségével A bütetéskioló stratégia A bütetéskioló stratégia: Az i vállalat első piaci lépése olya, ai axializálja a hallgatólagos összejátszás poteciális résztvevőiek teljes profitját Az i vállalat ettől a választásától aig e tér el, aíg azt látja, hogy a többiek is tartották agukat ehhez a últba Aíg ez teljesül, aig a piaco kooperáció zajlik Ait valaelyik vállalat eltér a feti választástól, tette kiolja a bütető ravaszt Ettől kezve a kooperáció egszűik Az i vállalat a statikus játék Nash-egyesúlyáak egfelelő ötést választja A bütetéskioló stratégia A bütetéskioló stratégia: eig érees kooperáli? Ha vállalat va, és kooperálak, akkor profitjuk a oopol profit fele: π c = π / Ha az egyik a kooperatív ötést választja, e a ásik az ettől való eltérés (eviatio) optiális óját választja, akkor profitja π A statikus játék Nash-egyesúlyába profitjuk π Mie egyes iőszakra teljesül, hogy π > π c >π A bütetéskioló stratégia A bütetéskioló stratégia: eig érees kooperáli? Ha tehát π > π c >π, akkor iért lehet érees kooperáli? Azért, ert va átváltás a kooperációtól való eltérés azoali (rövi távú) kifizetése és az ezáltal kiváltott bütető reakciók jövőbeli költségei között A kettő egyelege függ:. π,π és π c viszoyától. a vállalatok iszkotfaktorától, vagyis attól, hogy ekkora jeletőséget tulajoítaak a távoli jövőbeli kifizetésekek a közeljövőbeli kifizetésekhez képest

5 A bütetéskioló stratégia A kooperáció iszkotált jeleértéke: c V c c c = π + δπ + δ π + Κ = c π Ha egy vállalat ettől eltér, akkor a jelelegi iőszakba profitja π, aj azt követőe π : V δ = π + δπ + δ π + Κ = π + π A bütetéskioló stratégia Akkor és csak akkor érees a kooperációt választai, ha a kiugrásból ereő hosszú távú iszkotált veszteség agyobb, it az azoali yereség: c c δ V V π π + π δ c c ( ) c δ δ i Bütetéskioló stratégia a Bertra-oellbe Vegyük a kétszereplős, azoos és kostas határköltségű esetet Ha kooperálak (összejátszaak), akkor profitjuk π c = π / Ha az egyik kicsivel alacsoyabb árat határoz eg, akkor π = π ε, aj a későbbiekbe π = 0 Ekkor egy 0 és π közötti profitszit ellett kialakulhat a kooperatív egyesúly, ha a iszkottéyező elég agy (δ ½): δ = π 0 / c Bertra i = Bütetéskioló stratégia a Bertra-oellbe Vegyük ost az -szereplős esetet Ha összejátszaak, akkor profitjuk π c = π / V c V π π δ Bertra i A iszkottéyező alsó határa tehát, aely ellett ég lehetséges az összejátszás, -be övekszik A végtele iőhorizotú Bertra-játékba tehát az összejátszást lehetővé tevő iszkottéyezők köre aál tágabb, iél kevesebb a piaci szereplő δ δ ( ) Bütetéskioló stratégia a Courot-oellbe Vegyük az -szereplős esetet, kostas és azoos határköltséggel A keresleti függvéy legye P(q) = a q Ekkor a profit összejátszás, Nash-egyesúly és egyolalú kilépés (a többiek kibocsátása q /) eseté: c π π = = 4 ( + ) ( ) π = 6 a c, π = ( ) ( a c ) +, Bütetéskioló stratégia a Courot-oellbe Ekkor az összejátszást lehetővé tevő iszkottéyező: δ Courot i ( ) π π c π π = ( + ) aely tehát -be övekszik (csakúgy, it a Bertra-esetbe): ha akkor δ i Ait egyre több a vállalat, úgy egyre szűkebb azo iszkottéyezők köre, aelyek ellett lehetséges az összejátszás tartós fearaása

6 Bütetéskioló stratégia és a bütetés értéke A Bertra-oellbe (árversey) az összejátszásból a Nash-egyesúlyba való visszatérés ie vállalat száára ulla profitot ereéyez Ez erős bütetések száít, egyást eél jobba e is tuák büteti A Courot-oellbe (eyiségi versey) a Nashegyesúlyba való visszatérés ég iig pozitív profitot ereéyez a vállalatok száára Ki lehet találi erősebb bütetési stratégiát, pl. hogy e a Nash- Egyesúlyhoz térek vissza, hae ahhoz képest bütetésből túlterelek Bütetéskioló stratégia és a bütetés értéke Kérés azoba, hogy hihető-e egy olya előzetes feyegetés, ai agyobb bütetést helyez kilátásba, it ai a Nash-egyesúlyhoz való visszatéréssel jár együtt Ugyais aki pl. a túlterelést vállalja, saját agáak is árt. Miért teé ezt tartósa? Ki fogja eki elhii, hogy aikor sor kerül az összejátszás egsértésére, akkor valóba eglépi a agy bütetést? A Nash-egyesúlyhoz való visszatérés hihető feyegetés, hisze az az ereeti egyesúly, ahoa sekiek se éreke egyolalúa eltéri Egy előzetes feyegetések peig csak akkor va visszatartó ereje, ha hihető Bütetéskioló stratégia és a bütetés értéke Egy lehetőség az úgyevezett stick a carrot stratégia. Iuláskét válasszuk az összejátszó q* kibocsátást. Ezt tartsuk fe aíg ieki ás is így tesz 3. Ait azt látjuk, hogy valaki ettől eltér t-be, akkor válasszuk a q -t t+-be (bütető iőszak), aj térjük vissza az összejátszó q*-hoz t+-be 4. Ha azoba va olya, aki a bütető iőszakba e bütet, azaz kibocsátása q q, akkor elölről kezjük a bütető iőszakot a következő perióusba Bütetéskioló stratégia és a bütetés értéke Megutatható, hogy a végtele iőszakos Courot-oellbe az összejátszást lehetővé tevő iszkottéyezők köre tágabb a stick a carrot stratégia eseté, it a Nashegyesúlyhoz való visszatéréssel való feyegetés ellett Vagyis a stick a carrot stratégia öveli aak a valószíűségét, hogy az összejátszás aott iszkottéyező ellett fearahasso Összejátszás és a piaci iterakciók gyakorisága Legye vállalat, Bertra-oell, bütetéskioló stratégia Tegyük fel, hogy valaháyszor árakat állapítaak, azt k iőszakra rögzítik Ilyekor az összejátszásból és az attól való eltérésből ereő kifizetés egy vállalatra: c π V = k k k V = π ( + δ + Κ + δ ) + δ 0 = π δ Összejátszás és a piaci iterakciók gyakorisága Az összejátszást lehetővé tevő iszkottéyezőre teljesüli kell a következőek: / δ ( ) k Ez az alsó korlát k-ba övekszik, azaz iél hosszabb iőre rögzítik az árakat, aál szűkebb az összejátszásra való lehetőség Más szóval: iél gyakrabba kerül sor olya iterakcióra, aelyből kierül, hogy a többiek ég iig tartják-e agukat az összejátszáshoz, aál agyobb az esélye aak, hogy az összejátszás feara

7 Összejátszás és a több piaco törtéő iterakciók Vaak olya helyzetek is, aikor a vállalatok egyszerre több piaco is kapcsolatba vaak egyással Mit ohatuk ilyekor az összejátszás fetarthatóságáról? Egyrészt az összejátszástól való eltérés összességébe több profitot hozhat Másrészt a többiek egyszerre több piaco, tehát hatásosabba tuak büteti iatta Összejátszás és a több piaco törtéő iterakciók Ha a vállalatok, a piacok azoosak és ics érethozaék, akkor a két hatás épp kioltja egyást Többyire azoba az egyszerre több piaco törtéő, erősebb bütetés feyegetése a oiás hatás Az összejátszás általába köyebbe fetartható, ha a vállalatok egyszerre több piaco vaak egyással iterakcióba Ha külöbözek a piacok Ha külöbözek a vállalatok Összejátszás és a több piaco törtéő iterakciók Az Egyesült Állaok légitársaságai egyszerre több piaco (útvoalako) vaak egyással piaci iterakcióba A költségek és a piacok külöbözősége elősegíti az összejátszást, és ikét téyező teljesül a légitársaságok eseté Egy fotos költségbeli külöbség: ha egy aott város egy légitársaság száára közpotkét fukcióál ( hub ), akkor száára az aott várost éritő útvoalak kiszolgálása olcsóbb Összejátszás és a több piaco törtéő iterakciók Iparági szakértők szerit a légitársaságok tartózkoak attól, hogy egy aott útvoalo erős árverseybe kezjeek, attól tartva, hogy egy ásik útvoalo visszakapják a táaást Kiutatták, hogy a repülőjegyek átlagosa rágábbak azoko az útvoalako, aelyeke az egyással verseyző légitársaságok kíálata agyobb átfeésbe va Összejátszás bizoytala kereslet eseté A piaci kereslet többyire változékoy Tegyük fel, hogy két világállapot realizálóhat A jó világállapotba a kereslet Q G (p), a rossz világállapotba peig Q B (p), ahol Q G (p) > Q B (p) ie p-re A vállalatok ég az ár egállapítása előtt egiserik a téyleges keresletet Bizoytala kereslet eseté az a iszkottéyező, aely fölött az összejátszás tartós lehet, agasabb Eek oka, hogy a rossz világállapot alacsoy kereslete csökketi a bütetés erejét, így ehezebb fetartai az összejátszást A verseyhatóságok többyire az összejátszás explicit (e hallgatólagos) foráját igyekezek leleplezi, erre utaló bizoyítékokat keresek Ilye bizoyíték lehet pélául a vállalatok közötti, árrögzítésről szóló kouikáció Eek az egyik oka jogi terészetű: a bíróság előtt köyebb bizoyítai az ilye esetet A ásik oka, hogy a kouikáció élküli összejátszás úgyis eheze fetartható, istabil Még ha életképes is, gyakra e állaóa él, hae összejátszós iőszakok és versegő iőszakok váltogatják egyást

8 A legtisztább leleplezés tehát, ha a hatóságok találak terhelő okuetuokat, rögzíteek telefobeszélgetéseket, aelyek az összejátszás téyét bizoyítják Ezt egköyíteő, a hatóságok olya itézkeéseket hoztak, aelyek arra ösztözik az összejátszásba résztvevőket, hogy aguk aják át a terhelő bizoyítékokat Öagába a agas árrések kiutatása ritká célravezető Milye körüléyek keltik fel az összejátszás gyaúját?. A vállalat agatartása összeegyeztethető-e valaely verseyzői oellel?. Vaak-e strukturális váltások a agatartásba? Ha gyaús, akkor elleőrizhetjük, hogy vajo: 3. Az összejátszás gyaús vállalatok agatartása külöbözik-e a többiekétől Az aott iparágba? Esetleg ás iparágakba vagy iőszakokba egfigyelttől? 4. A versegő vagy az összejátszó oell illeszkeik-e jobba a egfigyelt aatokra? Mieze ószerek ehézségei: Gyakra hiáyozak a szükséges aatok (pl. a költségek e egfigyelhetők) A vállalatokak érekükbe áll torzítai az általuk szolgáltatott iforációt, aatokat A vállalatok olya költség aatokat ahatak eg a hatóságokak, aelyek ellett a egfigyelt árak kozisztesek tűek egy versegő helyzettel De ég ha az aatok reelkezésre is állak, a becslések ereéyei függek a oellspecifikációtól Hatásos eszközök: Csökketett bütetést ajálai azokak az összejátszó vállalatokak, aelyek együttűköek a hatóságokkal, vagy feltárják az összejátszást Feletést ai azo egyéekek, akik segíteek a hatóságak iforációhoz juti : a vitai kartell A korábba beutatott vitai kartellbe az Európai Bizottság úgy találta, hogy a kartell létrehozója a Hoffa-La Roche és a BASF voltak Bütetésük 46 és 96 illió euró volt Az Avetis jóval kisebb bütetést kellett fizesse, ert elsőkét űköött együtt az aerikai és európai hatóságokkal

9 Áttekitő kérések Mi a külöbség a sziultá és a bilaterális kartell egállapoások között? Hogya jöhet létre hallgatólagos összejátszás egy sokszor isételt játékba? Hogya befolyásolja az összejátszás fetarthatóságát az iőhorizot hossza, a vállalatok száa, a piaci iterakciók gyakorisága, valait a több piaco való kapcsolóás téye? Miért ehezebb fetartai az összejátszást, ha a kereslet bizoytala? Miért alkalazak a hatóságok olya ösztözőket, aelyek eyhítik az együttűköők bütetését?

* Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Összejátszás, kartell

* Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Összejátszás, kartell * Modern piacelmélet ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Összejátszás, kartell ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Készítette: Hidi János * Verseny és versenyellenesség

Részletesebben

Piacmeghatározás. Hipotetikus monopolista teszt. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása

Piacmeghatározás. Hipotetikus monopolista teszt. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása Moder iacelmélet Moder iacelmélet A iaci erő mérése ELTE TáTK Közgazdaságtudomáyi Taszék Selei Adrie ELTE TáTK Közgazdaságtudomáyi Taszék Készítette: Hidi Jáos A taayag a Gazdasági Verseyhivatal Verseykultúra

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIKÁBAN

7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIKÁBAN 7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIÁBAN A terészetes folyai, illetve tegeri utakat igéybe vevő, csak a kikötővel redelkező helyeket felkeresi tudó szállítási ód. A vízi áruszállítást elsősorba

Részletesebben

Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn

Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn Modern piacelélet ELTE TáTK Közgazdaságtudoányi Tanszék Selei Adrienn A tananyag a Gazdasági Versenyhivatal Versenykultúra Központja és a Tudás-Ökonóia Alapítvány táogatásával készült az ELTE TáTK Közgazdaságtudoányi

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Dobos Imre. Készletgazdálkodás és visszutas logisztika

Dobos Imre. Készletgazdálkodás és visszutas logisztika Dobo Ie Kézletgazálkoá é vizta logiztika Bapeti ovi Egyete Lektoálta: D. eei Józef Dobo Ie ISBN 978-963-503-5-0 (olie) Kiaó: Bapeti ovi Egyete Bapeti ovi Egyete Gazálkoátoáyi Ka Kézletgazálkoá é vizta

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

A kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30.

A kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30. Évközi teljesítés A kurzus teljesítéséek feltételei Két gyakorlato egírt ZH, az elérhető 00 potból 50 potot kell eléri. Aki e teljesíti a feltételt a vizsgaidőszak első hetébe a vizsgára egedésért írhat

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet (C http://kgt.be.hu/ 5. elıadás: Vétel és eladás idulókészlettel; Itetepoális választások uttó keeslet ettó keeslet ( uttó keeslet: ait a fogyasztó téylegese elfogyaszt (hazavisz a piacól ( ( Jele:, vagy,

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

HŐTAN Oktatási segédanyag

HŐTAN Oktatási segédanyag Eergeikai Géek és Redszerek aszék HŐAN Okaási segédayag Kézira Szerkeszee: dr. Zsebik Albi Faluskai Norber Budaes, 003. jauár Hoa_.do.do Eergeikai Géek és Redszerek aszék aralojegyzék. Alafogalak.....

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Egyszerő kémiai számítások

Egyszerő kémiai számítások Egyszerő kéiai száítások z egyes fizikai, illetve kéiai eyiségek közötti összefüggéseket éréssel állapítjuk eg. hhoz, hogy egy eyiséget éri tudjuk, a eyiségek valaely rögzített értékét (értékegység) kell

Részletesebben

Volumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet)

Volumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet) oluetriku elve űködő gépek hidrauliku hajtáok (17 é 18 fejezet) 1 Függőlege tegelyű ukaheger dugattyúja 700 kg töegű terhet tart aelyet legfeljebb 6 / ebeéggel zabad üllyeztei A heger belő átérője 50 a

Részletesebben

Ismételt játékok: véges és végtelenszer. Kovács Norbert SZE GT. Példa. Kiindulás: Cournot-duopólium játék Inverz keresleti görbe: P=150-Q, ahol

Ismételt játékok: véges és végtelenszer. Kovács Norbert SZE GT. Példa. Kiindulás: Cournot-duopólium játék Inverz keresleti görbe: P=150-Q, ahol 9. elõaás Ismételt játékok: véges és végtelenszer történõ smétlés Kovács Norbert SZE GT Az elõaás menete Ismételt játékok Véges sokszor smételt játékok Végtelenszer smételt játékok Péla Knulás: ournot-uopólum

Részletesebben

Rádiókommunikációs hálózatok

Rádiókommunikációs hálózatok Rádiókommuikációs hálózatok Készült az NJSZT Számítógéphálózat modellek Tavaszi Iskola elöadás-sorozataihoz. 977-980. Gyarmati Péter IBM Research, USA; Budapest Föváros Taácsa. I this paper we show a somewhat

Részletesebben

SPORTPÉNZÜGYEK. r m. A pénz időértéke.

SPORTPÉNZÜGYEK. r m. A pénz időértéke. SPORTPÉNZÜGYEK A péz időétéke. A ai pézösszeg azét étékesebb, it egy későbbi időpotba esedékes pézösszeg, et a befektető eek évé jövedelee, kaata tehet szet Kaat: A péz áa Haszálója azét fizet, et a pézt

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

2.6. Az ideális gáz fundamentális egyenlete

2.6. Az ideális gáz fundamentális egyenlete Fejezetek a fzka kéából.6. Az deáls gáz fudaetáls egyelete A legegyszerűbb terodaka redszer az u. deáls gáz. Erre jellező, hogy a részecskék között az egyetle kölcsöhatás a rugalas ütközés, és a részecskék

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Mikroökonómia - 6. elıadás

Mikroökonómia - 6. elıadás Mikroökonómia - 6. elıadás A FOGYASZTÁSI ELMÉLET KITERJESZTÉSE Bacsi, 6. ea. 1 A fogyasztói többlet p1 p2 p3 * A további termékegységekért megadandó árak Rezervációs ár: az a legnagyobb ár, amelyet az

Részletesebben

Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet

Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet Moder acelmélet Moder acelmélet Termékdfferecálá ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Sele Adre ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Kézítette: Hd Jáo A taayag a Gazdaág Vereyhvatal Vereykultúra Közota é a Tudá-Ökoóma

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

IFFK 2013 Budapest, 2013. augusztus 28-30. Stróbl András*, Péter Tamás**

IFFK 2013 Budapest, 2013. augusztus 28-30. Stróbl András*, Péter Tamás** IFFK 03 Budapest 03. augusztus 8-30. Tartoáyi szitű stabilitásizsgálat alkalazásáak lehetőségei Győr árosába Stróbl Adrás* Péter Taás** Budapest Uiersity of Techology ad Ecooics Hugary (e-ail*:strobl.ad@gail.co

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE

csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE WWW. CIVILSZEMLE.HU IV. ÉVFOLYAM 1. SZÁM csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 2 Szerkesztõbizottság/Editorial Board Bíró Edre, Belia Aa, Harsáyi

Részletesebben

Á ó Á Ü É Ú Í Á í ó ó ó ó ó ó ö őí ó ó ü ű í ó ő ú ö ő ó ó í ó í ó ó ő í í í Í ó ó ó ö ó ó í ó í ö í ó ű í Íő ó ó ó ő í ó ő í ó ó ő í ö ó ü ö ó í ü í í ű ó ö ó í ó ö ö ö í ő í ó ó É É í ő ő í í ü ö í í

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

HosszútávúBefektetések Döntései

HosszútávúBefektetések Döntései VállalatgadaságtaII. HossútávúBefektetések Dötései Előadó: Koma Tímea Tatárgyfelelős: Dr. Illés B. Csaba 27. November 9. A hossútávúbefektetések sajátosságai Rövidebb időre sóló befektetés hossabb időtávra

Részletesebben

* Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Árdiszkrimináció. * Árdiszkrimináció: egy példa

* Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Árdiszkrimináció. * Árdiszkrimináció: egy példa * Modern piacelmélet ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Árdiszkrimináció ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Készítette: Hidi János * Árdiszkrimináció: egy

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

2010/2011. tanév Szakács Jenő Megyei Fizika Verseny II. forduló. 2011. január 31.

2010/2011. tanév Szakács Jenő Megyei Fizika Verseny II. forduló. 2011. január 31. 2010/2011. tanév Szakác enő Megyei Fizika Vereny II. forduló 2011. január 31. Minden verenyzőnek a záára kijelölt négy feladatot kell egoldania. A zakközépikoláoknak az A vagy a B feladatort kell egoldani

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

Jelen tanulmány tartalma nem feltétlenül tükrözi az Európai Unió hivatalos álláspontját.

Jelen tanulmány tartalma nem feltétlenül tükrözi az Európai Unió hivatalos álláspontját. Jele taulmáy tartalma em feltétleül tükrözi az Európai Uió hivatalos álláspotját. TARTALOMJEGYZÉK 1 GEOTERMIKUS HŐHASZ OSÍTÁS LEHETŐSÉGEI... 4 1.1 Direkt hévíz haszosítási javaslat... 4 1.2 Hőszivattyús

Részletesebben

Á Á Á Á Ü ű Ü ö ű Ö ó ó ó ó Í ö Í ö ű ö ó ó ó Ö Í ó ó ó ó ó ó ó ö ó ö ö ó ö ó ö Ú Ö ó Í ö Í Íó Í ó Á Á ö ű ű ö É ü ű ó É ó ű ó ű ü É ó ó ó Ü É ó ó ö ó Í ü ö ö ö ü ó Ü ö ó ó É ü ö ö ó ü ű ó ü ö ó ó ö É

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

ö í Ü ö Ö ö ű ö ű ö í ű ó ö ó ö Ö ó ü í ó ó ó ö ö ö ó ó ó ö í ó ó ó ö ö ö ö ö í ö ó ö í ö ö ű ö ű ö í í í í ü ü í ó ö ö ü ú ü ö ö ö ó ü ö ű ö ö ü ó ö ú ö ű ö í ú í ó ö í ó ö í ö ű ö ű ö í í í ó ö ö Ö Ö

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

Ü ö é ü ö é Ö é ó í é ú é é ó Ö é í ü ü é é é í Á ó ö é í é ó ö ö ö é é ü é é é é é í é í é é ü ö ü í ü é ü é ö í ó é ó ü é ö é Ü Ú ú í é óű é é ó é é í é é é ü í í é ü ó í ü é é ö ü ü é é é é é ó ó ó

Részletesebben

A megnyúlás utáni végső hosszúság: - az anyagi minőségtől ( - lineáris hőtágulási együttható) l = l0 (1 + T)

A megnyúlás utáni végső hosszúság: - az anyagi minőségtől ( - lineáris hőtágulási együttható) l = l0 (1 + T) - 1 - FIZIKA - SEGÉDANYAG - 10. osztály I. HŐTAN 1. Lineáris és térfogati hőtágulás Alapjelenség: Ha szilárd vagy folyékony halazállapotú anyagot elegítünk, a hossza ill. a térfogata növekszik, hűtés hatására

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

A JUST IN TIME KÖLTSÉGEK ELEMZÉSE

A JUST IN TIME KÖLTSÉGEK ELEMZÉSE DR. BENKŐ JÁNOS * A JUST IN TIME KÖLTSÉGEK ELEMZÉSE ÁTTEKINTÉS Az ayag- és készletgazdálkodás fotos feladata a termelés üteméek megfelelő ayagszükséglet folyamatos kielégítése. A termelési program és az

Részletesebben

Á Á É Á Á É ö ó ő ő ó ó ó é ö é ö ú ó ó ó é ö é é ő ö ú é ö ő é é ő é ó É ő ó é Ü ö é ó é é é é é ó óö é ő ő é ó é é é ó óö é é ö é é ő é ű ó é ö é ő ú ö é é ö ö é ő ö ö Í ö é ö ö é ü Í ö é é é ó é é ő

Részletesebben

Á Á É É Í É É É ö ő ü ö ő ő ü ő í ú ó ő ő ó ó ő ú ó í ő ő ő ó ü ö ü ö ü ö ö í í ő í ő É É Á ő ő É í ó ú ó í ö í í ő É í ó í ó ó ő í í ö ő ő ő ö ő ö í ö í ő ő ő ö ó ü ő ö ő ó ó ü ő ó ő ő í ó ó ő ö í í ó

Részletesebben

Á Ő Á Ö é í ó Á ő ő Á Á Ó Ö Őú Ó ó É ö Ű ö É Á é Ö ú ó Á Ó Ö É É É ó í É É ó ó É ö ű ö É Á ó ő ö é í ö é ű ö ő ö ő é ű ö é ö é é ű é Ő é é í é ö é é ő é é é ö é é é é í é ú ó é ű é Ó é ú ű ő é é ő é ű

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

A jelentős piaci erő (JPE) közgazdasági vonatkozásai. Nagy Péter Pápai Zoltán

A jelentős piaci erő (JPE) közgazdasági vonatkozásai. Nagy Péter Pápai Zoltán A jelentős piaci erő (JPE) közgazdasági vonatkozásai Nagy Péter Pápai Zoltán 1 A piaci erő közgazdasági fogalma A kiindulópont a tökéletes versenyhez való viszony Tökéletes verseny esetén egyik szereplőnek

Részletesebben

Az állami szabályozás alternatívái: az ön- és együttszabályozás. Muraközy Balázs Valentiny Pál VÉSZ 2012 bemutató

Az állami szabályozás alternatívái: az ön- és együttszabályozás. Muraközy Balázs Valentiny Pál VÉSZ 2012 bemutató Az állami szabályozás alternatívái: az ön- és együttszabályozás Muraközy Balázs Valentiny Pál VÉSZ 2012 bemutató Kérdések Az iparági önszabályozás iránti érdeklődés növekszik Az állami szabályozás kudarca

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

ú ű ö Á ü ú ú ű ú Ú Á Á Á Á É Í Á Á Á Á É É É Á ö ő Í Í ő Í Í ö ő ő Í ő ü ö ö ő ő ú Íő ü ö ő ú Í ő ü ö Á É Ö Í ö ö Í Á Á É Ö É ö Á Í É Á ö ö ö ö ő ú ö ü ü Á É É ő ő Í ü ő ú ú ü ő ö ő ő ő ö Ú Ő É Á Á Á

Részletesebben

Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn

Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn Modern piacelmélet ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Selei Adrienn A tananyag a Gazdasági Versenyhivatal Versenykultúra Központja és a Tudás-Ökonómia Alapítvány támogatásával készült az ELTE TáTK

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

ő ő ű í ú ő ő ő ő ú í ő ő ő ő í í ő ő ő ű í ú ú ű í ő ő ő ő í í Á í í ő ő ő ő í ő ő ú ú ú í ő ő ő ű í ú Ó ú ű í ő ő ő ő í ő ő ő ő í ő ő ő ő í É í í í í ú ű í ő í í Ö ő ú ű í í í í ő ő ő É í í ű í ő ő ő

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

Kiszorító magatartás

Kiszorító magatartás 8. elõadás Kiszorító magatartás Árrögzítés és ismételt játékok Kovács Norbert SZE GT Az elõadás menete Kiszorítás és információs aszimmetria Kiszorító árazás és finanszírozási korlátok A BOLTON-SCHARFSTEIN-modell

Részletesebben

É Á Ö É Í Á Á Ő Í É Ü Á Á É É Á Ö É Í Á Ő Í É Ü Ú Á Á Í Á Á Ü É Á Á Á É Ú í ő őí ő ő ú ö í ő í ü ő ö í ő í ü ú Í í ü Í ű í ő Í í ü ö Ö ő ö í ő í ü ú í ü Í í ú ő ü ü ö ü ő Ú ü Ú ő ű í ú ü ü ő ő ő ő ö ú

Részletesebben

4. Kartell két vállalat esetén

4. Kartell két vállalat esetén 4. Kartell két vállalat esetén 34 4. Kartell két vállalat esetén Ebben a fejezetben azzal az esettel foglalkozunk, amikor a piacot két vállalat uralja és ezek összejátszanak. A vállalatok együttműködését

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

tel Mintavétel Az egyedek eloszlása

tel Mintavétel Az egyedek eloszlása Mintavételi teli ódszerek I Mintavétel tel a populáció elterjedési területe (legtöbbször túl nagy ahhoz hogy az egészet egintázzuk) intavételi terület (inden esetben kisebb, int a populáció elterjedési

Részletesebben

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs

Részletesebben

Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny

Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 2015/2016. tanév I. forduló 2015. noveber 30. Minden versenyzőnek a száára (az alábbi táblázatban) kijelölt négy feladatot kell egoldania. A szakközépiskolásoknak az A

Részletesebben

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Piaci érték: Igatlaok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Elıadás Igatlavagyo-értékelı és közvetítı Szakképzés, Igatlakezelı Szakképzés A-. modul Az az ár, amelyért az igatla méltá- yosa,, magájogi szerzıdés

Részletesebben

A szállítócsigák néhány elméleti kérdése

A szállítócsigák néhány elméleti kérdése A szállítócsigák néhány eléleti kédése DR BEKŐJÁOS GATE Géptani Intézet Bevezetés A szállítócsigák néhány eléleti kédése A tanulány tágya az egyik legégebben alkalazott folyaatos üzeűanyagozgató gép a

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben