NYELVVILÁG A BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA IDEGEN NYELVI ÉS KOMMUNIKÁCIÓS INTÉZETÉNEK SZAKMAI KIADVÁNYA

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "NYELVVILÁG A BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA IDEGEN NYELVI ÉS KOMMUNIKÁCIÓS INTÉZETÉNEK SZAKMAI KIADVÁNYA"

Átírás

1

2

3 A BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA IDEGEN NYELVI ÉS KOMMUNIKÁCIÓS INTÉZETÉNEK SZAKMAI KIADVÁNYA

4 Szerkesztőbizottság Barthalos Judit, Bihari Györgyi, dr. Hegedűs Gyula, Hukné dr. Kiss Szilvia, dr. Kéri András, Lehr Emma, Szendrői Ildikó Főszerkesztő Dr. Kéri András Technikai szerkesztő Deák Gabriella Szerkesztőség címe: 1054 Budapest, Alkotmány u ISSN Felelős kiadó: Medvéné dr. Szabad Katalin Készült a BGF Külkereskedelmi Főiskolai Kar házi nyomdájában. Formátum: A/4 Ívszám: A/5 Példányszám: 250 Munkaszám:

5 TARTALOM 3 MÉRÉS TUDOMÁNY Lukácsi Zoltán: Illeszkedés és alkalmazhatóság: A modern tesztelméleten alapuló számítógépes programcsomagok képességszint-becslése avagy hogyan mérjünk a nyelvvizsgán (1. rész) 5 NYELVÉSZET Dr. Olasz György József: A magyarországi rromani (cigány) nyelvváltozatok eredetének és felosztásának kérdései 21 [Dr. Mudriczki Judit: Az audiovizuális humor lokalizálásának kihívásai a Shrek the Halls [Shrekből az angyal] (2007) című animációs filmben kontrasztív esettanulmány a német, olasz és magyar fordításról] 28 IRODALOM Dr. Demény Tamás: Az önismeret és önbecsülés útján a szabadság felé: Párhuzamok Richard Wright és Lakatos Menyhért önéletrajzában 33 TÖRTÉNELEM Dr. Hegedűs Gyula: Magyar brit kulturális kapcsolatok [ÉLETÚT] Viziné Sárosdy Edit Dr. Szilfai Annamária Szilfai Annamária: A kétnyelvű Svédország 56 Emlékképek 59 OLVASÓLÁMPA Indián költemények: Mai mexikói költők (Kéri András fordításai) 66 CIVILIZÁCIÓ Szijj Mária: Reklámból ikon az Osborne-bika 69 Dr. Kéri András: Amerika első lovas indiánjai, az uruguayi csarrúák 75 [KONFERENCIA] Dr. Válóczi Marianna: Nyelvoktatás és foglalkoztatottság: egy konferencia margójára 84 [KÖNYVÚJDONSÁGAINK] Kövér Péter Dr. Virágh Árpád: Német pénzügyi-számviteli és üzleti nyelvkönyv a komplexitás jegyében 87 Magyar Gézáné: Színes szaknyelvi ismeretek 90 [KÖNYVISMERTETÉS] Dr. Benyó Marianna: A Külügyi Hivatal és a múlt 92 [AKTUÁLIS] Nagy Orsolya Pethőné Choma Anita: Húsz évvel a rendszerváltás után 96

6 Jelen kiadványunk illusztrációinak forrása: Halzer Györgyi: Válogatás európai díszítő motívumokból a X. századtól a XIX. század elejéig. Budapest, Komáromy Publishing, 2003.

7 MÉRÉS TUDOMÁNY 5 Illeszkedés és alkalmazhatóság: A modern tesztelméleten alapuló számítógépes programcsomagok képességszint-becslése avagy hogyan mérjünk a nyelvvizsgán (1. rész) LUKÁCSI ZOLTÁN KVIK Magyarországon az államilag elismert nyelvvizsga minősítést a Nyelvvizsgát Akkreditáló Testület (NYAT) azoknak a pályázóknak adományozza, amelyek egy összetett vizsgálati eljárás során vizsgarendszerükben, valamint tárgyi és személyi feltételeikben alkalmasnak bizonyulnak arra, hogy a vizsgázók nyelvtudását felmérjék. A mérés saját fejlesztésű tesztekkel történik. Egy vizsgateljesítmény a vizsgázó nyelvtudásából vett mintának felel meg. Ennek a nyelvi megnyilatkozásnak a kiértékelésére a Szintillesztési Módszertani Segédlet (Európa Tanács, 2007) három, módszertanában eltérő méréselméleti eljárást javasol: (a) a klasszikus tesztelméletet (KTE), (b) az általánosíthatósági elméletet, és (c) a modern tesztelméletet (item-válasz elmélet, IRT). A szakma gyakorlatában Hambleton és Jones (1993) szerint ezek közül a klasszikus tesztelmélet és az IRT vált népszerűvé a tesztfejlesztésben, egyenértékűsítésben és elemzésben. Ebben a tanulmányban a modern tesztelmélet alapelveire épülő számítógépes programcsomagok gyakorlati alkalmazhatóságának problémáját vizsgálom. Illeszkedésmutatói alapján azt kívánom feltárni, hogy egy adott szoftver alkalmas-e meghatározott és éles vizsga során felvett vizsgázói válaszminták feldolgozására. Az item-válasz elmélet részletes bemutatása ennek az írásnak nem célja, és nem is lehet az. A modern tesztelméletet könyvtárnyi szakirodalmi forrás tárgyalja; az érdeklődő olvasó részletesen megismerheti a modellt angolul Baker (2001), DeMars (2010), Hambleton, Swaminathan és Rogers (1991), Lord (1980), és Szabó (2008), vagy magyar nyelven Csapó (2000), Horváth (1997), Molnár (2003) és Szabó (2009) írásaiból. Ebben a cikkben csak a probléma tárgyalásához feltétlenül szükséges részletekre térek ki. Amennyiben azt másként nem jelölöm, dichotóm itemekkel foglalkozom: olyan pontszerzési lehetőségekkel, ahol a maximális súlyozatlan pontérték 1. Látens dimenziók Elsősorban is azt kell látnunk, hogy a pszichológiai mérések kvantitatív látens változókat vizsgálnak. A mérendő látens természetű, hiszen a mérés közvetlenül nem megfigyelhető jelenségekre összpontosít, így különbözik például az olyan fizikai mérésektől, amelyek egy személy testsúlyát vagy testmagasságát igyekeznek meghatározni. A látens változó kvantitatív volta pedig abban áll, hogy a szociológiából ismert látensosztály-elemzéssel szemben itt a mért dolog egy számegyenesen jelenik meg. A nyelvi mérésben ez a kvantitatív látens változó a nyelvtudás. Bárdos (2002) mutat rá arra a nyugtalanító problémára, hogy a nyelvtudás mibenléte számunkra jórészt ismeretlen, bár számos kísérlet született a modellálására (Bachman és Palmer, 1996; Canale, 1983; Canale and Swain, 1980; Hymes, 1972). A probléma a ma elfogadott mérési alapelveknek megfelelően a nem integrált, hanem részkészségekre bontott mintavételek esetében is fennáll. Az íráskészség esetében például megismerhettük Bereiter és Scardamalia (1987), Hayes és Flower (1980), valamint Hayes (1996) elsősorban az első nyelvre vonatkozó modelljeit, vagy Grabe és Kaplan (1996) kiegészítéseit, a végső leírás ha ez egyáltalán lehetséges még várat magára. Ilyesformán a vizsgaközpontoknak maguknak kell eldönteniük, hogy a többször módosított 137/2008 (V.16.) Kormányrendeletben meghatározott mérési területeket hogyan kívánják vizsgálni.

8 6 MÉRÉS TUDOMÁNY Valamennyi IRT modell alapvetése, hogy a tesztet felépítő itemekre adott válaszok a látens változó megnyilatkozásai: matematikai függvénnyel jellemezhető a kapcsolat a helyes válasz valószínűsége és a képesség értéke között (Verhelst, 2004:3). Matematikai és filozófiai meggondolásból mára a logisztikus függvények váltak az item-válaszok jellemzésében a legnépszerűbbé. Annak fényében, hogy a mérendőt egyetlen képesség vagy jellemvonás alkotja-e vagy több, a szakmódszertan különbséget tesz egy- és többdimenziós IRT modellek között. A nyelvi mérésben az egydimenziós modellek elterjedtebbek (Hambleton és tsai, 1991:12), bár Howie, Long, Sherman és Venter (2009:9) szerint alkalmazásuk még mindig korlátozott számban valósult meg. Lumsden (1976:276) figyelmeztet arra, hogy az egydimenziósság nem azonos az elméleti egyszerűséggel: a teszt visszavezethető lehet egyetlen attribútumra ennek összetettsége mellett is. Ugyanez Bejar (1983:31) megfogalmazásában úgy hangzik, hogy a vizsgateljesítmény nem feltétlenül egy egyszerű pszichológiai folyamat eredménye, ugyanakkor a folyamatok egységben működése megfigyelhető. Az itemparaméterek száma Az egydimenziós IRT modellek között három rivális narratívát szokás megkülönböztetni az itemparaméterek számától függően (Henning, 1987:116). Az egyparaméteres modellben, melynek sajátos esete a Rasch-modell, az item görbe a látens változó és az item nehézség különbségének függvénye. Ez a függvényszabály a következő: ahol θ a látens változó, esetünkben a nyelvtudás; β i pedig az i item nehézsége. Ez a függvényszabály a görbéknek egy olyan családját határozza meg, melyek egymással párhuzamosak, és a 0 és 1 alsó és felső szélsőérték felé közelítenek. Következésként a probabilisztikus modellekre jellemző módon a látens változó egyik értékénél sem mondhatjuk ki, hogy biztosan helyes vagy biztosan helytelen válasz születik. Egyben azt is látnunk kell, a látens változó nincs keretek közé szorítva: bármilyen értéket felvehet. Mivel az egyenletben a paraméterek különbsége az e szám mint matematikai állandó kitevője, nyilvánvaló, hogy a valószínűség akkor 0,5, azaz 50%, amikor a képesség és a nehézség kioltja egymást. Hambleton és tsai (1991:13) az egyparaméteres modell alkalmazásának érvényességét akkor látják indokoltnak, amennyiben egy homogén bankból egy viszonylag könnyű vizsgát szerkesztünk, különösen kritérium-orientált esetekben, hatékony képzést követően. A Birnbaum (1968) által leírt kétparaméteres modellben a nehézség-paraméter (Verhelst, 2004:3) mellett az item diszkriminációja is szerepel. A diszkrimináció Baker (2001:7) meghatározása szerint megmutatja, hogy adott nehézség mellett az item mennyire képes a jobb képességű válaszadókat megkülönböztetni a gyengébbektől. A függvényszabály egyetlen tényezővel bővül tehát: ahol α i a diszkrimináció-paraméter (Verhelst, 2004:17). A kétparaméteres modell függvényszabálya által leírt görbék eltérhetnek egymástól nehézségükben, és meredekségükben is: keresztezhetik egymást. Továbbra is érvényesek maradnak azonban azok a megállapítások, miszerint (a) a görbék alsó és felső aszimptotája rendre 0 és 1; (b) a valószínűség akkor 50%, ha θ

9 MÉRÉS TUDOMÁNY 7 = β; és (c) a látens változó a - és a + között bármely értéket felvehet. Hambleton et al (1991:16) szerint a kétparaméteres modell jól alkalmazható kompetencia alapú mérések kiértékelésekor. A háromparaméteres modellben Birnbaum (1968) a tippelést kívánta ellensúlyozni: ahol c i a találgatás-paraméter (Verhelst, 2004:17). Lord (1974) ugyanakkor megjegyzi, hogy c i értéke általában kisebb, mint random találgatás esetében volna; jelenléte inkább a kevésbé sikeres item fejlesztésben keresendő, ezért nem helyes találgatás-paraméternek nevezni. A harmadik paraméter bevezetésének ára, hogy így a modell elveszíti logisztikus jellegét (Baker, 2001:28; Verhelst, 2004:17). A függvényszabály által leírt görbék alsó szélsőértéke maga a találgatásparaméter, ami nem a képesség függvénye (Wright és Stone, 1999:192). További következmény, hogy az egy- és kétparaméteres modellekkel ellentétben az item-válasz-görbék nem 50%-nál lokalizáltak, hanem 1 és a találgatás-paraméter középértékénél. A háromparaméteres modell elsősorban az USA-ban népszerű (Verhelst, 2004:17), bár Wright és Stone (1999:194) rámutatnak, a találgatás-paraméter becslésére irányuló kísérletek kivétel nélkül sikertelenek voltak. Item-válasz görbék Lássuk a görbéket összehasonlításban is! Az 1. ábra négy dichotóm item item-válasz-görbéjét mutatja be -3 és +3 képességszint között. 1. ábra Item-válasz görbék az 1, 2, és 3-paraméteres modell szerint A helyes válasz esélye (y-tengely) a látens változó értékével (x-tengely) monoton nő. A folytonos vonallal ábrázolt grafikonok az egyparaméteres modell szerint értelmezett két itemet jelölnek. Vegyük észre, hogy a két görbe a látens változó egyetlen értékénél sem metszi egymást. A világos

10 8 MÉRÉS TUDOMÁNY görbe (jobbra) nehezebb itemet mutat, hiszen a siker azonos esélyéhez magasabb képességszintre van szükség. A görbék θ = -1, illetve θ = +1 értékeknél emelkednek a legmeredekebben, itt lokalizáltak. A pontokkal jelölt görbe item paraméterei α = 2, β = 0. Ez a görbe tehát kétszer olyan meredek, mint a folytonos vonallal jelöltek, és éppen e két item közé esik a nehézsége. Meredekségének különös jelentőségét az adja, hogy a kétparaméteres modellben az item információtartalma minden képességszinten: ahol P a helyes válasz esélye, következésként (1-P) a helytelen válasz esélye (Baker, 2001:109). Mivel az egyparaméteres modellben az itemek diszkriminációja azonos, ami esetünkben történetesen α = 1, a magasabb diszkriminációs paraméterrel rendelkező item minden képességszinten több információt tartalmaz azonos item nehézség mellett. Értelmezési nehézséghez vezet az a tény, hogy a pontokkal jelölt item-görbe metszi a folytonos görbéket. Az a látszólagos paradox helyzet áll elő, hogy a legkönnyebb item (sötét, folytonos) nehezebb, mint a pontokkal jelölt item a θ > 1 képességszinten, és a legnehezebb item (világos, folytonos) könnyebb, mint a pontokkal jelölt item a θ < -1 képességszinten. Ez a tény a modellek fogalmainak önkényességéből fakad: az item nehézség az a pont a látens változó egyenesén, ahol a helyes válasz esélye 0,5 (Baker, 2001:45). Erre a problémára a programcsomagok összehasonlításakor még visszatérek. Az ábrán szaggatott vonallal jelölt item-válasz-görbe abban tér el az összes többitől, hogy az alsó része a 0 helyett a 0,2 értékhez közelít. Item paraméterei α = 2, β = 0, és c = 0,2. Figyeljük meg, hogy bár nehézsége (β) azonos a pontozott vonallal jelölt itemével, ezen a képességszinten a helyes válasz esélye 0,6 a találgatás-paraméternek köszönhetően. Lord és Novick (1968:360) rámutat a paraméter invarianciának nevezett jelenségre: a klasszikus tesztelmélet p-értékével szemben az IRT item nehézség-paraméterei változatlanok maradnak eltérő képességű válaszadók esetében. Ismeretlen item- vagy vizsgázó-paraméterek esetében a paraméter invariancia a becsült értékek hibahatáron belüli mozgását jelenti (Baker, 2001:54; Verhelst, 2004:4). A skála Eddig szándékosan nem tértem ki a paraméterek mértékegységére. A fentiekben a valószínűséget, mint könnyen kezelhető fogalmat vettem alapul. Az IRT egyik hatalmas előnye a klasszikus tesztelmélettel szemben viszont pontosan a skálában rejlik. Ha egy adott feladatsoron Anna 30, Balázs 40, és Csaba 50 pontot ér el, abban biztosak lehetünk, hogy a mintavétel alkalmával Balázs jobban teljesített Annánál, de teljesítménye elmaradt Csabáétól. Fontos látnunk, hogy ezekből a pontokból nem látszik az, hogy pontosan mekkora volt a tudásbeli különbség Anna és Balázs, vagy Balázs és Csaba között. Különösen megalapozatlan azt feltételezni, hogy a Balázs és Anna közötti különbség kétszerese mutatkozott Anna és Csaba között nyelvtudásukban. Ennek oka a skála erősségében keresendő: bár Bachman (2004:22) ezt vitatja, a tesztpontszám sorrendi skálát alkot (DeMars, 2010:17; Wright és Stone, 1999:30) hasonlóan egy tornasorhoz. Roberts (1994: ) logikai hibát lát abban, ha átlagolt tesztpontértékeket vetünk össze. Nem arra utal, hogy a KTE alkalmazásakor a vizsga nehézsége elválaszthatatlanul összefonódik a vizsgázói képességszinttel (Henning, 1987:108), hanem arra, hogy a sorrendi homomorfizmus nem támaszt korlátokat az esetek között megfigyelt különbségekkel kapcsolatosan, csupán azt várja el, hogy a sorrend ne változzon. Következésként értelmes összehasonlítási alapként a mediánt javasolja.

11 MÉRÉS TUDOMÁNY 9 Az IRT megnyugtató megoldása erre, hogy az eredeti rangsorskálából a számítási sor eredményei már intervallum skálát alkotnak (Baker, 2001:5). Egy olyan mércéhez jutunk, ahol biztosak lehetünk abban, a rovátkák közötti távolság azonos. Sajátos módon azonban a léptékállandóság mellett nincs jelen egy természetes eredet, vagy nulla pont. A horgonyzás eredeti fogalma Baker (2001:131) szerint a középpont önkényes kijelölése. Ennek a Verhelst (2004:8) által normalizálási folyamatnak három lehetséges módja, ha (a) egy item nehézségét azonosítjuk nullával, (b) az átlagos item nehézséget azonosítjuk nullával, vagy (c) a célpopuláció képességszintjét azonosítjuk nullával. A kapott intervallum skála egységét logitnak nevezzük. Az elnevezés az esélylatolgatás természetes alapú logaritmusára utal (DeMars, 2010:15). A skála erősségének emelkedésén túl az IRT további előnye, hogy az item nehézség és a képességszint azonos skálára kerül: Ez teszi lehetővé a korábbi függvényekben a θ - β különbséget. Amennyiben akár viszonylag kisszámú, változatlan statisztikai és pszichometrikai tulajdonságokkal rendelkező itemet ismételten használunk, olyan kapcsolatot teremtünk a minták között, amely lehetővé teszi az összes item (és összes válaszadó) azonos skálára helyezését a kalibráció folyamatában (Verhelst, 2004:6). Horgonynak Verhelst (2004:6) azokat az itemeket nevezi, amelyek vizsgaidőszakról vizsgaidőszakra ismételten bevetésre kerülnek. A szakzsargon horgonynak nevezhet akár csupán egyszer ismételt itemeket is (Molnár, 2003:426; Szabó, 2008:59). Az egydimenziós IRT modellek alkalmazhatóságának előfeltételei között a válaszok mögött rejlő igazoltan egyetlen fő komponens és az item-válasz görbék mintafüggetlensége mellett fontos szerep jut az item függetlenség elvének is. Hambleton és Swaminathan (1985:23) szerint ez annyit tesz, hogy az egy meghatározott itemre adott választ nem befolyásolhatja a többi itemre adott válasz eltekintve a konstruktum azonosságából adódó összefüggésektől. Ez azért alapvető elvárás, mivel egy vizsgázói válaszminta valószínűsége adott itemeket alapul véve ebben az esetben egyenlő lesz az egyes itemekre adott válaszok valószínűségeinek szorzatával (Hambleton et al, 1991:10). Becslési eljárások A nyelvi mérés során alkalmazott IRT alapú számítógépes programcsomagok az item- és vizsgázóparaméterek becslésére a legnagyobb valószínűségnek (maximum likelihood) nevezett eljárások egyikét használják. Ezek egyöntetű hibája, hogy nem adnak becsült értéket a teljesen rossz, illetve a hibátlan válaszmintákra (Verhelst, 2004:24). Az együttes maximum likelihood (JML) eljárásban az összes paraméter becslése együttesen, egy iteratív folyamatban történik. Az egyparaméteres modell esetében ekkor k item és N vizsgázó paraméterére kell becsült értéket találni, és a probléma az itemek és vizsgázók számának gyarapodásával nő. Andersen (1973:66-69) igazolta a JML becslések statisztikai következetlenségét. A hibát elismerve Linacre (de Jong és Linacre, 1993: ) azzal érvel, hogy egy kisfokú statisztikai következetlenség elfogadásával lehetőség nyílik a sokoldalú modell bevezetésére, ahol az item nehézség-paraméter elméletben a végtelenségig bővíthető tényezők lineáris kombinációjából határozható meg. Bár a használatával szembeni aggályok súlyosak (Haberman, 2004:2; Verhelst, 2004:4), a JML eljárást alkalmazza a Facets 3.22 szoftver (Linacre, ). A becslésre kerülő paraméterek száma korlátozható úgy, hogy a minta vizsgázóinak képességszintjét normális eloszlásúnak tekintjük (Verhelst, 2004:5). Ebben az esetben a k item nehézség-paraméter mellett a képességszint eloszlás középértékének és varianciájának becslését kell elvégeznünk. A marginális maximum likelihood eljárás (MML) ezt a megoldást alkalmazza.

12 10 MÉRÉS TUDOMÁNY Tovább egyszerűsíti a becslési folyamatot, ha a paramétereket a vizsgázók tesztpont értékének megadása mellett végezzük. A feltételes maximum likelihood eljárásban (CML) minden azonos pontszámot elért vizsgázó becsült képességszintje azonos lesz. Az egyparaméteres modellnél ez viszonylag egyszerű, hiszen itt súlyozatlan nyers pontokkal dolgozunk. A kétparaméteres modellnél azonban a CML eljárás nem alkalmazható, hiszen itt a súlyok a diszkriminációparaméterek, melyek nem ismertek a számítási sor elején. Ha a súlyok nem ismertek, nem ismert a súlyozott tesztpontszám sem, és a feltétel elvész (Verhelst, 2004:5). Az egyparaméteres modell matematikai eleganciáját és a kétparaméteres modell rugalmasságát ötvözi a szoftver nevét viselő OPLM modell (Verhelst, Glas, és Verstralen, 1995:1). Az OPLM a diszkriminációs indexeket ismert természetes számok formájában rendeli az itemekhez. A programcsomagban két alkalmazás áll a felhasználó rendelkezésére (Wopsug és Opcat), melyek használatával a súlyok mértani közepének önkényes kijelölése mellett a diszkriminációs indexek kioszthatóvá válnak. Mivel így a diszkrimináció-paraméterek nem képzik a becslés részét, az OPLM modell megőrzi az egyparaméteres modell matematikai erejét, és a feltételes maximum likelihood eljárás alkalmazható eltérő minőségű itemek mellett is. Ebben az esetben minden azonos súlyozott tesztpontszámot elért vizsgázó becsült képességszintje lesz azonos (Verhelst el al, 1995:9). A Warm-becslőfüggvény, vagy súlyozott maximum likelihood-becslőfüggvény (Verhelst, 2004:26), a nulla, illetve teljes pontértékre is definiálva van. A Warm-becslésben az említett súly az információfüggvény négyzetgyöke. Az OPLM szoftver a vizsgázói képességszint becslésére a Warm-becslőfüggvényt használja. IRT vs Rasch A méréselmélet a látens dimenziók, valamint a paraméterek mellett különbséget tesz az IRT és a Rasch méréselmélet között is (Fisher, 2010:1288). Eszerint az IRT egy leíró jellegű statisztikai módszertan, mely Frederick Lord (1980) munkásságából eredeztethető. Ezzel szemben a Rasch elemzés egy előíró természetű méréselméleti módszertan, mely Georg Rasch dán matematikus munkáján alapszik. Popper demarkációs kritériumát szegi meg Linacre (2009:10-11), amikor azt állítja, a Rasch módszertanban a látens változó az igazság maga, mely amennyiben lineárisan kifejezhető minden esetben leírható a Rasch-modellel. Andrich (1988:61-62) szerint is az adatoknak kell a modellhez illeszkedniük. A modellnek nem megfelelő adatok a valóságról torz képet mutatnak. Fisher (2010:1288) a cáfolhatatlanságot így fogalmazza meg: Az egymást keresztező item-válasz-görbék soha nem a megfelelő modell, hiszen a konstruktum érvényessége megkívánja, hogy az item nehézség változatlan maradjon a képességszint skála valamennyi pontján. Látnunk kell, hogy a diszkrimináció itemeken keresztül ívelő állandósága erősen viszonylagos a Rasch módszertanon belül is. Linacre (2000:743) szerint amennyiben a diszkrimináció-paraméter 0,5 és 1,7 között marad, az adatok még jól illeszkednek a Raschmodellhez. Az illeszkedés Az illeszkedési tesztek a fenti szemléletbeli különbségeket figyelembe véve az adatok és a modell közötti megfelelés fokát vizsgálják. Hambleton et al (1991:53) a minta nagyságának fontosságára hívják fel a figyelmet: kis mintán a statisztikai tesztek ereje alacsony, a túlságosan nagy minta viszont már apró eltéréseket is szignifikánsnak tüntethet fel. A mintavételben rejlő nehézségre mutat rá maga Rasch (2011:1309) is. A dániai Aarhusban megrendezett konferencián 1973-ban jegyzi meg: Minden modell alapvetően rossz, elegendő adat mellett mindenképpen el kell vetni. Ezzel együtt Hambleton et al (1991:55) azt javasolják, hogy a modell megválasztásánál az alapvető feltételek mellett ellenőrizzük, valóban azonosak-e a diszkrimináció-paraméterek, és a tippelés minimális.

13 MÉRÉS TUDOMÁNY 11 A Facets illeszkedés mutatói A Facets 3.22 programban két illeszkedési próba van beépítve: az infit és az outfit. Ezeknek az elvárt (átlagos) értéke 1, és a 0 és a + között mozoghatnak. Az 1-nél kisebb értékek túlzott illeszkedésre utalnak, míg az 1-nél nagyobbak elégtelen illeszkedést jeleznek (Wright és Linacre, 1994:370). Lássunk két példát ezek szemléltetésére! Vegyünk egy pénzérmét, amelyik feldobva mindig az egyik oldalára esik. Ha az érme igazságos, a mintavétel nagyságától függően azt várjuk, a fej és az írás azonos arányban jelenik meg. Tízezer dobás esetén tehát közelítőleg ötezer fej és ötezer írás adódik. Kétely merülhet fel bennünk, amennyiben éppen az első ötezer dobás eredményez fejet, és a második ötezer írást. Ugyanígy nem fogunk hinni a bírálói ponttáblának, ha a fej és az írás ötezerszer ebben a sorrendben váltja egymást. Fontos látnunk, hogy az egyes dobások valószínűségeinek produktuma mindkét esetben ugyanakkora, hiszen egymástól független kísérletekről van szó. A pénzfeldobás során a fejek és írások száma ugyanaz, mennyiségi eltérés nincs. A mintázatot mégis valószínűtlennek tartjuk, tehát minőségi különbséget látunk. A nyelvi mérésben ugyanez akkor nyer értelmet, ha négy eltérő nehézségű dichotóm item esetén egy vizsgázó a két könnyű, míg egy másik a két legnehezebb itemet válaszolja meg helyesen (Verhelst, 2004:21). Ahogy láttuk, a Rasch-modellben azonos tesztpontszámhoz azonos képességszint tartozik, tehát a két vizsgázó becsült nyelvtudása azonos lesz. Azonban sokkal alacsonyabb a valószínűsége annak, hogy egy válaszadó a két nehéz itemet helyesen megoldja, és a két könnyűt elvétse, mint fordítva. Wirght és Stone (1999:49-54) alapján az egyes itemek outfit illeszkedésének mértékét a következőképpen kaphatjuk meg: Az összetett egyenlethez vezető első lépés, hogy feltételezünk egy dichotóm itemet [0,1] lehetséges pontértékekkel. X ni jelöli a megfigyelt item-választ. Ebből kivonjuk a modell, esetünkben a Rasch-modell, által elvárt értéket. A kapott különbséget (reziduális) úgy standardizáljuk, hogy elosztjuk az itemhez tartozó elvárt szórással. A következő lépésben a statisztikából ismert szóráselemzéseknél alkalmazott módon a negatív értékeket négyzetre emeléssel semlegesítjük. Ezt a számítási sort minden vizsgázói item-válasznál elvégezzük, és az eredmények összesítésével eljutunk az egyenletben szereplő számlálóhoz. Az átlagos értékhez végül úgy jutunk, hogy a kapott összeget elosztjuk az esetek számával. Ehhez hasonlóan juthatunk a vizsgázók outfit mutatójához azzal a különbséggel, hogy természetesen ekkor az item-válaszok összegével dolgozunk, és az itemek száma szerepel a nevezőben. Az outfit számítási sorok sajátossága, hogy a megfigyelt és az elvárt értékek közötti nagy eltérésekre érzékenyek. Hasznosak lehetnek tehát pontosan az olyan válaszok vagy itemek kiszűrésére, ahol például egy alacsony képességű vizsgázó helyesen válaszol meg egy nehéz itemet, vagy fordítva (Wright és Stone, 1999:53). Az infit illeszkedés vizsgálatakor az információ mennyiséget használjuk súlyként, amivel a reziduálist megszorozzuk. Az információ ebben az esetben Fisher alapján a variancia reciproka:

14 12 MÉRÉS TUDOMÁNY Az infit és outfit mutatók elfogadhatósága függ a teszt típusától, és felhasználásának céljaitól is. Wright és Linacre (1994:370) szerint általánosságban az mondható el, ha az értékek nagyobbak 2- nél, a mérési rendszer egésze torzul. Az 1,5-nél nagyobb, vagy 0,5-nél alacsonyabb értékek a mérést nem lehetetlenítik ugyan el, de a válaszok nem vezetnek értelmezhető eredményekre. Az OPLM illeszkedés mutatói Az OPLM 3.32 programcsomagban az illeszkedés vizsgálata két síkon zajlik egy időben: (a) a modell-adat illeszkedés átfogó vizsgálatában és (b) a rossz illeszkedés eseteinek kimutatásában (Verhelst és tsai, 1995:13). A Molenaar (1983) által fejlesztett és tiszteletére M i teszteknek nevezett próbák logikája a következő (Verhelst et al, 1995:14-15): A vizsgázó súlyozott tesztpontszáma a szükséges és elégséges statisztika a látens változó CML becslésekor. Adott súlyozott tesztpontszám mellett a helyes válasz valószínűsége nem a látens változó függvénye. A helyes válasz valószínűsége mint a súlyozott tesztpontszám függvénye és ehhez hasonlóan a CML eljárással becsült valószínűség függvénye is jó közelítése az item-válasz függvénynek. A súlyozott tesztpontszámtól függő becsült valószínűségi függvény egy S-alakú görbét mutat, melynek meredeksége a diszkrimináció-paramétertől függ. Amennyiben az α-paraméter túlságosan magas, sajátos eltéréseket figyelhetünk meg a megfigyelt helyes válasz arány és a becsült válasz arány között: Alacsony súlyozott tesztpontszám esetén a megfigyelt érték, magas pontszám esetén pedig a jósolt érték lesz magasabb. Soroljuk a vizsgázókat megfigyelt súlyozott tesztpontjaik alapján L = alacsony, O = közepes, és H = magas csoportokba! Az M i statisztika pozitív értéket vesz fel, ha a diszkrimináció-paraméter túl magas. Az OPLM három M i próbával dolgozik. Az első tesztben az alacsony pontszámú csoport tagjai maximum 0,4 feltételes valószínűséggel adnak helyes választ, míg a magas pontszámú csoport tagjainál ugyanez legalább 0,6. A második próba (M2 i ) két csoportját a válaszadók elfelezésével alkotja a szoftver. Az első csoportba a pontszámok alapján alacsonyabban rangsorolt, míg a másodikba a magasabban rangsorolt válaszadók kerülnek. Végül az M3 i próbában három csoportot vetünk össze, melyek mindegyike a válaszadók közelítőleg egyharmadát tartalmazza. Az S i statisztika (Verhelst et al, 1995:16-17) az M i mutatóhoz hasonlóan az itemek szintjén nyer értelmet, és az elvárt és a megfigyelt válaszok közötti különbségre alapoz. A különböző közös itemekkel kapcsolt vizsgázói csoportok rangsorából kiindulva azonos osztályokat hozunk létre úgy, hogy (a) minden az itemet megkísérlő mintavételi alkalmat egyszerre kezelünk, és legfeljebb nyolc osztályt alkotunk; vagy (b) az egyes vizsgákat legfeljebb négy homogén pontszámú csoportra osztjuk, míg végül maximum 4 8 = 32 osztályt formázunk. Az egyes osztályokon belül az esetek száma azonos és legalább 30, valamint az összpontszám minimálisan 5. A következő lépésben a szoftver az egyes vizsgákon belül kiszámolja az adott tesztpontszámú csoport megfigyelt item-válasz értékének és az elvárt értéknek a különbségét. Az eljárás minden dichotomizáció esetében megismétlődik, és az eredmények összegzésével végződik. Az S i

15 MÉRÉS TUDOMÁNY 13 illeszkedési mutató a reziduális, az összeg és a becsült aszimptotikus kovariancia mátrix általános inverzének szorzata. A statisztika χ 2 eloszlású, és szabadságfoka a csoportok száma mínusz egy. A számítási sor végén grafikus formában egy számegyenesen is megjelenik az összes item: a 0 és 1 közötti skálán szignifikancia szintek jelölik az eloszlást. Az S i különös jelentőséget az ún. eltérő itemműködés feltárásában nyer, amennyiben azt feltételezzük, hogy egy item egy meghatározott csoporttal szemben megkülönböztetést tesz. Az R 1c próba azt vizsgálja, az item-válaszok összessége mennyire illeszkedik az adott modellhez (Fischer és Molenaar, 1995: ; Verhelst et al, 1995:17-21). A statisztika logikája nagyban hasonlít az S i próbáéhoz, ezért nem ismétlem meg. avagy hogyan mérjünk a nyelvvizsgán A kutatás háttere Vizsgálódásaimhoz az adatokat az Euro Nyelvvizsga Kft bocsátotta a rendelkezésemre, mely Magyarországon egyedülálló módon a meghirdetett vizsgaeredmények számításához az IRT elméletét rutinszerűen alkalmazza. Az eredeti elemzések a Facets szoftverrel történnek, a kapott eredmények felhasználása azonban egyelőre nem teljeskörű. Szerepet kap a feladattípusok közötti különbség (Dávid, 2007): egyes feladatok tartalmuktól függetlenül könnyebbek lehetnek másoknál. Szintén vizsgálat tárgyát képezi a szubjektívan vagy szemi-szubjektívan értékelt vizsgarészek esetében a vizsgáztatói szigor. Ahogy azt láthattuk, de Jong (1993:296) kifogást emel a programcsomaggal szemben, mivel az nem tartalmaz globális modell-adat illeszkedési próbát, Verhelst (2004:4) pedig rámutat, hogy a JML becslés helytelen standard hibákhoz vezet. A Rasch-modell elméleti előnyeinek elismerése mellett Verhelst (2011:3) megjegyzi, észre kell vennünk, a megfigyelt valóság súlyos eltéréseket mutathat a modell által elvártaktól; amennyiben ez fennáll, az elméleti előnyök is elvesznek, és következtetéseink inkább vágyakra semmint empíriára alapoznak. Kutatásomban a Facets 3.22 és az OPLM 3.32 programcsomagok illeszkedésmutatóit vetettem össze azzal a céllal, megállapítsam, számítási soraik alkalmasak-e nagy fajsúlyú vizsgák meghirdetett eredményeinek számítására. A minta Számítógépes programcsomagok alkalmazhatóságának megalapozottságát az illeszkedési mutatók alapján vizsgáló elemzésem alapját hét, éles vizsgahelyzetben felvett nyelvvizsgázói válaszminta adta. Az Euro általános angol nyelvvizsga B2 szintjének olvasott szöveg értése feladatsorait rutinszerűen ismételten bevetésre kerülő itemek kapcsolják egymáshoz. Ennek köszönhetően a kalibráció során az összes item, és az összes vizsgázói paraméter is ugyanarra a skálára kerül: közvetlenül összehasonlíthatóvá válik. A kapcsolás eredményeként tehát két olyan vizsgázói teljesítmény is közvetlenül összemérhető, ahol a feladatsorokat teljes egészében eltérő kérdések alkották. A minta nagysága vizsgaidőszakonként eltérő volt, azonban minden esetben elég nagy ahhoz, hogy az elemzések végén értelmes eredményekre vezessen (Crocker és Algina, 1986:322; Henning, 1987:116). A vizsgaidőpontokat, vizsgázói létszámot, és a feladatsorokban szereplő itemek számozását az 1. táblázat tartalmazza.

16 14 MÉRÉS TUDOMÁNY 1. táblázat A kutatás mintavételi időpontjai, vizsgázói létszámok, és item számozás Az Euron az itemek feladatokba ágyazva jelennek meg. (Ebben a cikkben nem kívánok kitérni arra, ennek milyen és mekkora hatása lehet az itemfüggetlenségre). A címsorban szereplő négy feladattípus 2008 után háromra szűkült egy intézményi döntést követően. Az itemek számozása folyamatos. Az ismételt itemek a referencia vizsga számozását viszik tovább az új bevetés alkalmával. A számú itemek tehát mindösszesen három alkalommal szerepeltek nyelvvizsgán, eleget téve a NYAT ismétlésekre vonatkozó megkötéseinek. A táblázatban nyilakkal igyekeztem egyértelművé tenni, hogy minden vizsgaalkalommal volt ismételt feladat. A májusi vizsgasor közvetlenül kapcsolódik a májusihoz a itemeken keresztül, valamint szintén közvetlenül kapcsolódik a szeptemberi feladatsorhoz a itemek segítségével. A szeptemberi és a májusi vizsga egyetlen közös itemet sem tartalmaz, de a májusi vizsgán keresztül közvetetten vannak egymáshoz kapcsolva. Első lépésben az összes itemet a KTE eredményeit is figyelembe vevő elemzésnek vetettem alá. Ennek célja a gyenge minőségű itemek kizárása volt. Nem szerepeltek a későbbi számítási sorokban azok a feladatelemek, amelyek extrém nehézségi mutatókkal rendelkeztek (Verstralen, Bechger és Maris, 2001:21), illetve melyeknek item-teszt és item-többi item korrelációként kifejezett diszkriminációs ereje alacsony volt (Bachman, 2004:138). Ennek megfelelően hat itemet zártam ki. A 40. és 42. itemek az ismételt használatban 10%-ot meghaladó mértékben változtak nehézségükben, így bár fizikailag azonosak voltak, statisztikai tulajdonságaikban eltérést mutattak, szerepük a kapcsolásban problematikussá vált. A 64. item negatív item-teszt korrelációt mutatott: a gyengébb összteljesítményű vizsgázók nagyobb arányban adtak rá helyes választ, mint a jobb képességűek. A 71., 75. és 109. itemek pedig alacsony korrelációs együtthatókkal rendelkeztek. Az IRT szoftvereket vizsgáló elemzésemben végül 105 item szerepelt. A teljes vizsgált minta vizsgázót foglalt magába (M = 1583,71; SD = 311,24). A JML elemzésben nem szerepelt a 209 hibátlan vizsgadolgozat. Minden vizsgázó sikeresen válaszolt meg legalább egy itemet. Kutatási eredmények és tárgyalás A Facets 3.22 program alapbeállításai között nem szerepel illeszkedési próba arra, mennyire megfelelő az alkalmazott modell, a Rasch-modell, az adatok leírására. Ennek oka részben a fent leírt elméleti álláspont. Az elemzésben szereplő mindegyik item infit és outfit mutatója a Wright és Linacre (1994:370) által megjelölt 0,5-1,5 határon belül maradt. Ez tehát azt jelenti, a Raschmodell alkalmazásával a mintavétel 105 iteme alkalmasnak bizonyult a teljesítmények mérésére kisebb minőségi eltérések megengedésével. Másként fogalmazva, az itemek diszkriminációja nem tért el olyan mértékben egymástól, hogy az a modell toleranciaküszöbén kívül esett volna

17 MÉRÉS TUDOMÁNY 15 (Linacre, 2009:151). Az itemek infit értékei 0,8 és 1,2 között, outfit értékei pedig 0,5 és 1, 5 között változtak. A becsült nehézség-paraméterek -2,75 (SE = 0,13) és 2,34 (SE = 0,06) közé estek. A skála normalizációja eredményeként az átlagos item nehézség-paraméter 0 logit (SD = 1,0844). Az OPLM 3.32 programcsomag a Rasch-modellt nem találta érvényesnek a 105 itemből álló feladatcsoport válaszainak leírására: R1c = 2.460,608; df = 436; p < 0,001. Az S-tesztek alapján 49 item illeszkedése volt elégtelen p < 0,001 szinten. Az OPLM modell alkalmazásakor az OPCAT modullal a diszkriminációs indexeket úgy határoztam meg, hogy a mértani középérték 3, a szórás pedig 0,40 legyen. A diszkrimináció azonosság feloldásával a modell-adat illeszkedés markánsan változott: R1c = ; df = 436; p < 0,001. A szignifikancia szint alapján az illeszkedés még így is elégtelen volt, mivel azonban az R1c : df arány a 2 alatt maradt (1,59), Hemker szerint (Tshering, 2006:35) a modell ilyen esetben gyakorlati eredmények meghatározására már alkalmasnak mondható. A 105 itemből már csak a 8. és az 56. illeszkedése maradt az elvárt szint alatt. A 8. item esetében M1 = 0,274; M2 = -3,750; és M3 = -3,167. A természetes számként meghatározott diszkriminációs index 4 volt, és 8 vizsgázói csoport került elkülönítésre. A próbák azt jelezték, az item diszkriminációs paramétere alapján a modell kevesebb helyes választ várt a legjobban teljesítő két vizsgázói csoporttól. Az 56. item esetében M1 = 4,024; M2 = 2,275; és M3 = 3,046. Az item diszkriminációs indexe 2, tehát a megadott átlagtól elmaradt, és ebben az esetben is 8 vizsgázói csoport került elkülönítésre. Mindhárom M i próba eredménye meghaladta az elfogadható szélsőértéket. Az összetett problémát a grafikus item elemzés szemlélteti a legegyértelműbben. 2. ábra Az 56. item elvárt és megfigyelt válaszaránya a képességszint függvényében A 2. ábrán -0,4 és 0,7 logit érték között a középső folytonos vonal jelzi az OPLM modell által elvárt válaszokat. Ezt alul és felül ún. tolerancia-intervallum határolja, ami az elfogadható eltérések határát jelzi. A keresztek a modellnek megfelelően viselkedő vizsgázói csoportokat jelzik, míg a pont a várttól eltérő találati arányt. Az 56. item esetében azt láthatjuk, a legjobb képességű vizsgázók kevésbé voltak sikeresek, mint azt a modell jósolta. Teljesítményük ezen az itemen elmaradt a náluk alacsonyabb képességszintű vizsgázókétól is.

18 16 MÉRÉS TUDOMÁNY Az OPLM modell szerint az itemek becsült nehézség-paraméterei -0,888 (SE = 0,041) és 1,137 (SE = 0,059) között változtak. A skála normalizációja miatt az átlagos nehézség itt is 0 volt (SD = 0,3567). A két programcsomag egyparaméteres modell szerint becsült item paraméter értékei lényegesen eltértek egymástól (r 2 = 0,1681). Hasonlóan nagy eltérés mutatkozott a Facets Rasch-modellje és az OPLM modell becsült nehézség-paraméterei között is (r 2 = 0,1624). A diszkriminációs indexek bevezetése ellenére a CML eljárásban az item nehézség csak kis mértékben változott (r 2 = 0,8570). Összességében tehát a Facets a Rasch-modell által elvártak szerint működőnek ítélte az itemeket, míg az OPLM szoftver ezt a modellt elvetette. A diszkriminációs indexszel kiegészített OPLM modell az itemek viselkedését túlnyomó részben megfelelőnek találta, illetve az itemek összességét is elfogadhatóan írta le. A vizsgázói képességszint eloszlás összevetéséhez a kapott eredményeket lineáris transzformációval azonos skálára hoztam. Az önkényesen választott 100 és 400 szélsőértékeket a látens változó azon legalacsonyabb és legmagasabb becsült értékei képezték, amelyek ténylegesen megfigyelt tesztpontszámon alapultak. A lineáris transzformáció szabálya (van der Schoot, 2009:14-15): V = B*θ + A. A Facets értékei esetében B = 34,3249, és A = 229,4050; az OPLM modell esetében pedig B = 98,5545, és A = 198,0618. Az így összehasonlíthatóvá alakított képességszint eloszlások a 2. ábrán láthatóak. 3. ábra A modellek képességszint eloszlása A 3. ábra x-tengelye tehát a transzformált becsült képességszint, az y-tengely pedig a vizsgázók számát mutatja. A sötét gyémántok a Facets által adott eredmények, az üres négyzetek pedig az OPLM becsült képességszintjei. Az ábra jól mutatja, hogy a Facets kevesebb értékből

19 MÉRÉS TUDOMÁNY 17 gazdálkodott, míg az OPLM több finomabban részletezte a vizsgázói teljesítményeket. Ennek oka az itemek súlyozásában rejlik. Másrészt viszont míg a Facets a skála második harmadába helyezte a legtöbb vizsgázót, az OPLM gyakran rendelt alacsony értékeket vizsgateljesítményekhez. A két szoftver transzformált középértékei rendre M = 252,9576 és 215,2756. A Facets tehát bőkezűbben bánt a képességszint-kiosztással, mint az OPLM. Lássuk a decemberi vizsga teszt-válasz függvényeit a modellek közötti eltérő szigor vagy megkülönböztetett részletesség szemléltetésére (4. ábra). 4. ábra Teszt-válasz görbék a Facets és az OPLM modelljei szerinti item paraméterek alapján A 4. ábrán a folytonos vonal a Facets Rasch-modell által leírt tesztgörbéje, a pontozott görbe pedig az OPLM modell függvénye. A látens változó ebben az esetben a tényleges és nem a becsült értékeket jelöli. Jól látható, hogy az OPLM függvény meredekebben emelkedik kb. -1 és +1 logit között. Elmondható továbbá, hogy a Facets a vizsga egészét könnyebbnek ítélte, mint az OPLM: a 0,5 valószínűség a látens változó alacsonyabb értékéhez társult. A két görbe 0,05 logitnál metszi egymást. Eddig a pontig a Facets szigorúbb, hiszen már extrémen alacsony képességszintnél is közel 10% a helyes válasz elvárt aránya. Az OPLM a metszéspont felett vár többet a vizsgázóktól. A két függvény akkor válik igazán beszédessé, ha mellette figyelembe vesszük azt is, hogy az OPLM becslése alapján az 1277 vizsgázó 60,92%-a esik a metszésponttól jobbra, és rendelkezik a modell szerint azonos valószínűség mellett a látens változón alacsonyabb értékkel, mint a Facets szerint. Mivel az OPLM modellben az azonos súlyozott tesztpontszámú vizsgázók azonos becsült képességszintre kerülnek, nincs értelme egyes vizsgázók illeszkedéséről beszélni. A Facets viszont a JML becslés folyamatában először az egyes vizsgázók, majd az egyes itemek illeszkedését vizsgálja, és ezt a sort ismétli, amíg a számítási sor az elvártnak legmegfelelőbb értékeket el nem éri. Következésként bár adott feladatsoron minden azonos tesztpontszámot elért vizsgázó azonos képességszintre kerül, illeszkedésükben eltérések mutatkoznak. A vizsgált mintában (N = )

20 18 MÉRÉS TUDOMÁNY a vizsgázók 4,31%-a (n = 478) adott olyan válaszmintát, amelynek infit vagy outfit illeszkedése rontotta a teljes modell működését (> 2). További 10,15% (n = 1126) válaszminta nem bizonyult értelemmel bíró eredmények meghirdetésére. A valódi probléma tehát a következő: ha a Rasch-modellhez ragaszkodunk, hogyan ítéljük meg annak az 1604 vizsgázónak a teljesítményét, akik válaszmintáikban súlyosan eltérnek a modell által elvártaktól? Linacre (2011) megoldási javaslatában két példával élt. Az első szerint egy KRESZ vizsgán az a vezető, aki bonyolult helyzetekben tökéletesen ura az autónak, de mindennapos esetekben rosszul reagál, nem kaphat jogosítványt. A második példában egy olyan vizsgázót képzelünk el, aki az egyetemen egy magasabb kreditértékű, haladó csoporthoz szeretne csatlakozni, azonban tudása elmarad a várttól, ezért puskázik. Magas pontszáma ellenére el kell utasítanunk, mivel nem akarjuk, hogy csalással foglalja el egy valóban jó képességű hallgató helyét. Linacre érvelése racionális, azonban felvet két aggályt. Egyrészt, paradox módon éppen a vizsga igazságossága kívánja meg azt, hogy minden egyes vizsgázó valódi, használható eredményt kapjon. Másrészt viszont a gyakorlatban lehetetlen minden hetedik vizsgázó teljes vizsgaproduktumát kielemezni abban a reményben, hogy elfogadható okot találhatunk a furcsa válaszmintára. Összegzés Az IRT elméleti eredményeit és elvárásait figyelembe vevő vizsgálatom célja az volt, hogy illeszkedés próbáik alapján megállapítsam, a Facets 3.22 illetve az OPLM 3.32 szoftver alkalmas-e éles helyzetben felvett és közös itemekkel egymáshoz kapcsolt vizsgázói válaszminták leírására. A két program becsült item- és vizsgázó paraméter értékei nagyban eltértek egymástól. Míg a Facets az itemeket a Rasch-modell szerint leírhatónak találta, az OPLM a diszkriminációban jelentős eltéréseket talált. Az eltérő diszkriminációs indexekkel kiegészített OPLM modell még mindig bizonyos mértékben eltért a válaszmintáktól, azonban Hemker alapján a gyakorlatban alkalmas volt képességszint becslésére. A Facets ezzel szemben a vizsgázók közel 15%-ának válaszmintázatát ítélte aggályosnak, és vetette fel az egyéni elbírálás szükségességét. Felhasznált irodalom Andrich, D. (1988): Rasch models for measurement. Sage Publications, Newsbury Park, Ca. Bachman, L. F. (2004): Statistical analyses for language assessment. Cambridge University Press, Cambridge Baker, F. B. (2001): The basics of item response theory. (2nd ed.).eric Clearinghouse on Assessment and Evaluation, College Park, MD. Baker, R. (1997): Classical test theory and item response theory in test analysis (Special Report No. 2). Language Testing Update. Bárdos, J. (2002): Az idegen nyelvi mérés és értékelés elmélete és gyakorlata. Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó. Bejar, I. (1983): Achievement testing: Recent advances. Sage Publications, Beverly Hills. Crocker, L., & Algina, J. (1986): Introduction to classical and modern test theory. Holt, Rinehart and Winston, New-York. Csapó, B. (2000): Tudásszintmérő tesztek. In: Bevezetés a pedagógiai kutatás módszereibe. Szerk.: Falus Iván. Műszaki Tankönyvkiadó, Budapest Dávid, G. (2007): Investigating the performance of alternative types of grammar items. Language Testing. 24(1).sz de Jong, J., & Linacre, J. M. (1993): Rasch estimation methods, statistical independence, and global fit. Rasch Measurement Transactions. 7(2) sz DeMars, C. (2010): Item response theory. Oxford University Press, New York.

Hazánkban jelentõs múlttal rendelkeznek a klasszikus tesztelméleti módszerekkel

Hazánkban jelentõs múlttal rendelkeznek a klasszikus tesztelméleti módszerekkel Iskolakultúra 2008/1 2 Molnár Gyöngyvér SZTE, Pedagógia Tanszék, MTA-SZTE Képességkutató Csoport A Rasch-modell kiterjesztése nem dichotóm adatok elemzésére: a rangskálás és a parciális kredit modell A

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

MI VAN A VIZSGAFELADAT MÖGÖTT? A MINŐSÉGBIZTOSÍTÁS ELEMEI A NYELVVIZSGÁZTATÁSBAN VADÁSZ ISTVÁNNÉ

MI VAN A VIZSGAFELADAT MÖGÖTT? A MINŐSÉGBIZTOSÍTÁS ELEMEI A NYELVVIZSGÁZTATÁSBAN VADÁSZ ISTVÁNNÉ ÁLTALÁNOS VADÁSZ ISTVÁNNÉ MI VAN A VIZSGAFELADAT MÖGÖTT? A MINŐSÉGBIZTOSÍTÁS ELEMEI A NYELVVIZSGÁZTATÁSBAN Egy nyelvvizsgarendszer akkor működik sikeresen, ha mögötte egy szigorú minőségbiztosítási rendszer

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

Pszichometria Szemináriumi dolgozat

Pszichometria Szemináriumi dolgozat Pszichometria Szemináriumi dolgozat 2007-2008. tanév szi félév Temperamentum and Personality Questionnaire pszichometriai mutatóinak vizsgálata Készítette: XXX 1 Reliabilitás és validitás A kérd ívek vizsgálatának

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Kvantitatív tudásmérés Dr. Balázs Béla LEXINFO Informatikai Nyelvvizsga-központ

Kvantitatív tudásmérés Dr. Balázs Béla LEXINFO Informatikai Nyelvvizsga-központ Kvantitatív tudásmérés Dr. Balázs Béla LEXINFO Informatikai Nyelvvizsga-központ ÖSSZEFOGLALÁS Az utolsó 25-30 évben a tudásmérés területén végzett kutatások intenzitása exponenciálisan növekedett. Állandó

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

EMELT SZINT BESZÉDKÉSZSÉG ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ. Minta. Feladatonként értékeljük Jártasság a témakörökben Szókincs, kifejezésmód Nyelvtan

EMELT SZINT BESZÉDKÉSZSÉG ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ. Minta. Feladatonként értékeljük Jártasság a témakörökben Szókincs, kifejezésmód Nyelvtan Általános jellemzok EMELT SZINT FELADATTÍPUS ÉRTÉKELÉS SZEMPONTJAI PONTSZÁMOK Bemelegíto beszélgetés Nincs értékelés 1. Társalgási feladat egy témakör részletes megbeszélése interakció kezdeményezés nélkül

Részletesebben

Átlageredmények a 2011. évi Országos Kompetenciamérésen. matematikából és szövegértésből

Átlageredmények a 2011. évi Országos Kompetenciamérésen. matematikából és szövegértésből Átlageredmények a 2011. évi Országos Kompetenciamérésen Általános iskola 8. osztály matematikából és szövegértésből Matematika Szövegértés Iskolánkban Ált. iskolákban Budapesti ált. iskolákban Iskolánkban

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Országos kompetenciamérés eredményei Kiskulcsosi Általános Iskola 035857 Telephelyi jelentés 6. 8. évfolyam szövegértés

Országos kompetenciamérés eredményei Kiskulcsosi Általános Iskola 035857 Telephelyi jelentés 6. 8. évfolyam szövegértés Országos kompetenciamérés eredményei Kiskulcsosi Általános Iskola 035857 Telephelyi jelentés 6. 8. évfolyam szövegértés Karcag, 2011. április 4. Horváthné Pandur Tünde munkaközösség vezető Kiskulcsosi

Részletesebben

Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a

Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a a tanuló teljesítményére, a tanulási folyamatra, a célokra és követelményekre a szülők teljesítményére, a tanulási folyamatra, a célokra és követelményekre

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május MATEMATIKA EMELT SZINT 240 perc A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

11.3. A készségek és a munkával kapcsolatos egészségi állapot

11.3. A készségek és a munkával kapcsolatos egészségi állapot 11.3. A készségek és a munkával kapcsolatos egészségi állapot Egy, a munkához kapcsolódó egészségi állapot változó ugyancsak bevezetésre került a látens osztályozási elemzés (Latent Class Analysis) használata

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

A Tisza-parti Általános Iskola. angol szintmérőinek. értékelése. (Quick Placement Tests)

A Tisza-parti Általános Iskola. angol szintmérőinek. értékelése. (Quick Placement Tests) A Tisza-parti Általános Iskola angol szintmérőinek értékelése (Quick Placement Tests) Készítette: Hajdú Erzsébet Tóth Márta 2009/2010 Ismertető a szintmérésről Mért tanulók: 8. évfolyam és 6. évfolyam,

Részletesebben

Értékelési útmutató az emelt szintű szóbeli vizsgához

Értékelési útmutató az emelt szintű szóbeli vizsgához Értékelési útmutató az emelt szintű szóbeli vizsgához Angol nyelv Feladattípus Értékelés szempontjai Pontszámok Bemelegítő beszélgetés 1. Társalgási feladat: - egy témakör részletes megbeszélése - interakció

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Centura Szövegértés Teszt

Centura Szövegértés Teszt Centura Szövegértés Teszt Megbízhatósági vizsgálata Tesztfejlesztők: Megbízhatósági vizsgálatot végezte: Copyright tulajdonos: Bóka Ferenc, Németh Bernadett, Selmeci Gábor Bodor Andrea Centura Kft. Dátum:

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom Khi-négyzet eloszlás Statisztika II., 3. alkalom A khi négyzet eloszlást (Pearson) leggyakrabban kategorikus adatok elemzésére használjuk. N darab standard normális eloszlású változó négyzetes összegeként

Részletesebben

A matematika érettségirõl a reform tükrében

A matematika érettségirõl a reform tükrében Tompa XKlára A matematika érettségirõl a reform tükrében A közoktatás megújítási tervének egyik fontos eleme a 2004-re tervezett új érettségi vizsga. Az új vizsgamodell kialakításának előmunkálataiban

Részletesebben

Iskolai jelentés. 10. évfolyam szövegértés

Iskolai jelentés. 10. évfolyam szövegértés 2008 Iskolai jelentés 10. évfolyam szövegértés Az elmúlt évhez hasonlóan 2008-ban iskolánk is részt vett az országos kompetenciamérésben, diákjaink matematika és szövegértés teszteket, illetve egy tanulói

Részletesebben

Kompetenciamérés eredményei 2011 tanév - 6. és 8. osztály. Szövegértés, matematika. SIOK Balatonendrédi Általános Iskola

Kompetenciamérés eredményei 2011 tanév - 6. és 8. osztály. Szövegértés, matematika. SIOK Balatonendrédi Általános Iskola Kompetenciamérés eredményei 2011 tanév - 6. és 8. osztály Szövegértés, matematika SIOK Balatonendrédi Általános Iskola 1 Fit jelentés 2011-es tanév, 6-8. osztály (matematika, szövegértés) A 2011-es mérés

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 063 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

8.3. Az Információs és Kommunikációs Technológia és az olvasás-szövegértési készség

8.3. Az Információs és Kommunikációs Technológia és az olvasás-szövegértési készség 8.3. Az Információs és Kommunikációs Technológia és az olvasás-szövegértési készség Az IALS kutatás során felmerült egyik kulcskérdés az alapkészségeknek az egyéb készségekhez, mint például az Információs

Részletesebben

Értékelési útmutató a középszintű szóbeli vizsgához. Angol nyelv

Értékelési útmutató a középszintű szóbeli vizsgához. Angol nyelv Értékelési útmutató a középszintű szóbeli vizsgához Angol nyelv Általános jellemzők FELADATTÍPUS ÉRTÉKELÉS SZEMPONTJAI PONTSZÁM Bemelegítő beszélgetés Nincs értékelés 1. Társalgási feladat: - három témakör

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

A 18. SZÁZADI CIGÁNYSÁG TÖRTÉNETÉNEK KUTATÁSA FORRÁSOK ÉS SZAKIRODALOM

A 18. SZÁZADI CIGÁNYSÁG TÖRTÉNETÉNEK KUTATÁSA FORRÁSOK ÉS SZAKIRODALOM ICHIHARA SHIMPEI A 18. SZÁZADI CIGÁNYSÁG TÖRTÉNETÉNEK KUTATÁSA FORRÁSOK ÉS SZAKIRODALOM Magyarországon a 18. században az igazgatási rendszer nagy változáson ment keresztül a Habsburgok uralkodása alatt.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

Z Generáció - MeGeneráció

Z Generáció - MeGeneráció Z Generáció - MeGeneráció Kökönyei Gyöngyi 1, Urbán Róbert 1, Örkényi Ágota 2,3, Költő András 2,3, Zsiros Emese 2, Kertész Krisztián 2, Németh Ágnes 2, Demetrovics Zsolt 1 1 ELTE Pszichológiai Intézet

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. november 5. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól követhetően

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

Matematika érettségi feladatok vizsgálata egyéni elemző dolgozat

Matematika érettségi feladatok vizsgálata egyéni elemző dolgozat Szent István Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Statisztika I. Matematika érettségi feladatok vizsgálata egyéni elemző dolgozat Boros Daniella OIPGB9 Kereskedelem és marketing I. évfolyam BA,

Részletesebben

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek 1. Felületi érdesség használata Felületi érdesség A műszaki rajzokon a geometria méretek tűrése mellett a felületeket is jellemzik. A felületek jellemzésére leginkább a felületi érdességet használják.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Populációbecslések és monitoring

Populációbecslések és monitoring Populációbecslések és monitoring A becslés szerepe az ökológiában és a vadgazdálkodásban. A becslési módszerek csoportosítása. Teljes számlálás. Statisztikai alapfogalmak. Fontos lehet tudnunk, hogy hány

Részletesebben

Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban

Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban Rikker Tamás tudományos igazgató WESSLING Közhasznú Nonprofit Kft. 2013. január 17. Kis történelem 1920-as években, a Bell Laboratórium telefonjainak

Részletesebben

Orvosi szociológia (1. szeminárium) KUTATÁSMÓDSZERTAN

Orvosi szociológia (1. szeminárium) KUTATÁSMÓDSZERTAN Orvosi szociológia (1. szeminárium) KUTATÁSMÓDSZERTAN (Babbie) 1. Konceptualizáció 2. Operacionalizálás 3. Mérés 4. Adatfeldolgozás 5. Elemzés 6. Felhasználás KUTATÁS LÉPÉSEI 1. Konceptualizáció 2. Operacionalizálás

Részletesebben

Akilencvenes évek elejétõl a magyar gazdaság és társadalom gyors átrendezõdésen. tanulmány

Akilencvenes évek elejétõl a magyar gazdaság és társadalom gyors átrendezõdésen. tanulmány Csapó Benõ Molnár Gyöngyvér Kinyó László SZTE, Neveléstudományi Intézet, MTA-SZTE Képességkutató Csoport SZTE, Neveléstudományi Doktori Iskola A magyar oktatási rendszer szelektivitása a nemzetközi összehasonlító

Részletesebben

A telephely létszámadatai:

A telephely létszámadatai: Országos kompetenciamérés értékelése - matematika 2011. 2011. tavaszán kilencedik alkalommal került sor az Országos kompetenciamérésre. A kompetenciamérés mind anyagát, mind a mérés körülményeit tekintve

Részletesebben

A mintában szereplő határon túl tanuló diákok kulturális háttérre

A mintában szereplő határon túl tanuló diákok kulturális háttérre Fényes Hajnalka: A Keresztény és a beregszászi II. Rákóczi Ferenc diákjai kulturális és anyagi tőkejavakkal való ellátottsága Korábbi kutatásokból ismert, hogy a partiumi régió fiataljai kedvezőbb anyagi

Részletesebben

Az enyhe értelmi fogyatékos fővárosi tanulók 2009/2010. tanévi kompetenciaalapú matematika- és szövegértés-mérés eredményeinek elemzése

Az enyhe értelmi fogyatékos fővárosi tanulók 2009/2010. tanévi kompetenciaalapú matematika- és szövegértés-mérés eredményeinek elemzése E L E M Z É S Az enyhe értelmi fogyatékos fővárosi tanulók 2009/2010. tanévi kompetenciaalapú matematika- és szövegértés-mérés eredményeinek elemzése 2010. szeptember Balázs Ágnes (szövegértés) és Magyar

Részletesebben

A 2014.évi kompetenciamérés eredményei a Létavértesi Irinyi János Általános Iskolában

A 2014.évi kompetenciamérés eredményei a Létavértesi Irinyi János Általános Iskolában A 2014.évi kompetenciamérés eredményei a Létavértesi Irinyi János Általános Iskolában Összeállította: Szentmiklósi Miklós mérés-értékelés munkaközösség vezető Vályiné Pápai Viola igazgató A mérésre 2014.

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

FIT-jelentés :: 2011. Cecei Általános Iskola 7013 Cece, Árpád u. 3. OM azonosító: 038726 Telephely kódja: 001. Telephelyi jelentés

FIT-jelentés :: 2011. Cecei Általános Iskola 7013 Cece, Árpád u. 3. OM azonosító: 038726 Telephely kódja: 001. Telephelyi jelentés FIT-jelentés :: 2011 8. évfolyam :: Általános iskola Cecei Általános Iskola 7013 Cece, Árpád u. 3. Létszámadatok A telephely létszámadatai az általános iskolai képzéstípusban a 8. évfolyamon Tanulók száma

Részletesebben

KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS. A minta és mintavétel

KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS. A minta és mintavétel KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS A minta és mintavétel 1 1. A MINTA ÉS A POPULÁCIÓ VISZONYA Populáció: tágabb halmaz, alapsokaság a vizsgálandó csoport egésze Minta: részhalmaz, az alapsokaság azon része,

Részletesebben

FIT-jelentés :: 2011. Kispesti Deák Ferenc Gimnázium 1192 Budapest, Gutenberg krt. 6. OM azonosító: 035253 Telephely kódja: 001. Telephelyi jelentés

FIT-jelentés :: 2011. Kispesti Deák Ferenc Gimnázium 1192 Budapest, Gutenberg krt. 6. OM azonosító: 035253 Telephely kódja: 001. Telephelyi jelentés FIT-jelentés :: 2011 10. évfolyam :: 4 évfolyamos gimnázium Kispesti Deák Ferenc Gimnázium 1192 Budapest, Gutenberg krt. 6. Létszámadatok A telephely létszámadatai a 4 évfolyamos gimnáziumi képzéstípusban

Részletesebben

Vélemény kifejtése, érvelés és az interakció megvalósítása 3 Szókincs, kifejezésmód 3 Nyelvtan 3 Összesen 9 Harmadik feladat (Önálló témakifejtés)

Vélemény kifejtése, érvelés és az interakció megvalósítása 3 Szókincs, kifejezésmód 3 Nyelvtan 3 Összesen 9 Harmadik feladat (Önálló témakifejtés) Az emelt szintű szóbeli vizsga értékelési útmutatója A szóbeli feladatok értékelése központilag kidolgozott analitikus skálák segítségével történik. Ez az értékelési eljárás meghatározott értékelési szempontokon,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Középszintű szóbeli érettségi vizsga értékelési útmutatója. Olasz nyelv

Középszintű szóbeli érettségi vizsga értékelési útmutatója. Olasz nyelv Középszintű szóbeli érettségi vizsga értékelési útmutatója Olasz nyelv FELADATTÍPUS ÉRTÉKELÉS SZEMPONTJAI PONTSZÁM Bemelegítő beszélgetés 1. Társalgási feladat/interjú: három témakör interakció kezdeményezés

Részletesebben

KÖZÉPSZINT BESZÉDKÉSZSÉG ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

KÖZÉPSZINT BESZÉDKÉSZSÉG ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Általános jellemzok FELADATTÍPUS ÉRTÉKELÉS SZEMPONTJAI PONTSZÁM Bemelegíto beszélgetés 1. Társalgási feladat: három témakör interakció kezdeményezés nélkül 2. Szituációs feladat: interakció a vizsgázó

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

A pedagógia mint tudomány. Dr. Nyéki Lajos 2015

A pedagógia mint tudomány. Dr. Nyéki Lajos 2015 A pedagógia mint tudomány Dr. Nyéki Lajos 2015 A pedagógia tárgya, jellegzetes vonásai A neveléstudomány tárgya az ember céltudatos, tervszerű alakítása. A neveléstudomány jellegét tekintve társadalomtudomány.

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

Középiskolások olvasás iránti attitűdjeinek vizsgálata klasszikus és modern tesztelméleti eszközökkel

Középiskolások olvasás iránti attitűdjeinek vizsgálata klasszikus és modern tesztelméleti eszközökkel Középiskolások olvasás iránti attitűdjeinek vizsgálata klasszikus és modern tesztelméleti eszközökkel Kontra József Kaposvári Egyetem CSPFK, Pedagógia Tanszék, Kaposvár kontraxj@t online.hu Célunk a klasszikus

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

Bevezetés az ökonometriába

Bevezetés az ökonometriába Bevezetés az ökonometriába Többváltozós regresszió: nemlineáris modellek Ferenci Tamás MSc 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Hetedik előadás, 2010. november 10.

Részletesebben

FIT-jelentés :: 2010. Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: Szakközépiskola

FIT-jelentés :: 2010. Telephelyi jelentés. 10. évfolyam :: Szakközépiskola FIT-jelentés :: 2010 10. évfolyam :: Szakközépiskola Szegedi Ipari, Szolgáltató Szakképző és Általános Iskola Déri Miksa Tagintézménye 6724 Szeged, Kálvária tér 7. Figyelem! A 2010. évi Országos kompetenciaméréstől

Részletesebben

Gyakorlatias tanácsok PLA fejlesztőknek

Gyakorlatias tanácsok PLA fejlesztőknek Gyakorlatias tanácsok PLA fejlesztőknek Beszédes Nimród Attiláné Békéscsabai Regionális Képző Központ Képzési igazgatóhelyettes 2007. november 28-30. A jogszabályi háttérről 2001. évi CI. törvény 24/2004.

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Dr. Kanyó Ferenc, Bauer Márton. A tűzoltók fizikai állapotfelmérések új alapjai

Dr. Kanyó Ferenc, Bauer Márton. A tűzoltók fizikai állapotfelmérések új alapjai Dr. Kanyó Ferenc, Bauer Márton A tűzoltók fizikai állapotfelmérések új alapjai A tűzoltók fizikai állapotfelmérésének helyzetét napjainkban az teszi kivételesen aktuálissá, hogy jelenleg is folyik az előkészítése

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Érettségi vizsga 2014/2015

Érettségi vizsga 2014/2015 Érettségi vizsga 2014/2015 1. Érettségi tantárgyai Öt tárgyból kell érettségi vizsgát tenni, és az öt közül négy kötelezően előírt: - Magyar nyelv és irodalom - Matematika - Történelem - Idegen nyelv Az

Részletesebben

FIT-jelentés :: 2012. Avasi Gimnázium 3524 Miskolc, Klapka Gy. u. 2. OM azonosító: 029264 Telephely kódja: 001. Telephelyi jelentés

FIT-jelentés :: 2012. Avasi Gimnázium 3524 Miskolc, Klapka Gy. u. 2. OM azonosító: 029264 Telephely kódja: 001. Telephelyi jelentés FIT-jelentés :: 2012 10. évfolyam :: 4 évfolyamos gimnázium Avasi Gimnázium 3524 Miskolc, Klapka Gy. u. 2. Létszámadatok A telephely létszámadatai a 4 évfolyamos gimnáziumi képzéstípusban a 10. évfolyamon

Részletesebben

A korai kéttannyelvű oktatás hatása a kisiskolások anyanyelvi szövegértési és helyesírási kompetenciájára

A korai kéttannyelvű oktatás hatása a kisiskolások anyanyelvi szövegértési és helyesírási kompetenciájára Gyermeknevelés 4. évf. 1. szám 55 64. (2016) A korai kéttannyelvű oktatás hatása a kisiskolások anyanyelvi szövegértési és helyesírási kompetenciájára Szaszkó Rita Jezsik Kata Szent István Egyetem Alkalmazott

Részletesebben

Kommunikatív nyelvi tesztek kritériumai 1

Kommunikatív nyelvi tesztek kritériumai 1 Katona Lucia Kommunikatív nyelvi tesztek kritériumai 1 1. Bevezetés Ez a tanulmány arra a nyelvvizsgáztatásban döntő jelentőségű kérdésre igyekszik válaszolni, hogy az idegennyelv-tudás mérésekor mit és

Részletesebben

FIT-jelentés :: 2013. Derkovits Gyula Általános Iskola 9700 Szombathely, Bem J u. 7. OM azonosító: 036611 Telephely kódja: 001. Telephelyi jelentés

FIT-jelentés :: 2013. Derkovits Gyula Általános Iskola 9700 Szombathely, Bem J u. 7. OM azonosító: 036611 Telephely kódja: 001. Telephelyi jelentés FIT-jelentés :: 2013 8. évfolyam :: Általános iskola Derkovits Gyula Általános Iskola 9700 Szombathely, Bem J u. 7. Létszámadatok A telephely létszámadatai az általános iskolai képzéstípusban a 8. évfolyamon

Részletesebben

FIT-jelentés :: 2010. Gárdonyi Géza Általános Iskola 2030 Érd, Gárdonyi Géza u. 1/b. OM azonosító: 037320 Telephely kódja: 001. Telephelyi jelentés

FIT-jelentés :: 2010. Gárdonyi Géza Általános Iskola 2030 Érd, Gárdonyi Géza u. 1/b. OM azonosító: 037320 Telephely kódja: 001. Telephelyi jelentés FIT-jelentés :: 2010 8. évfolyam :: Általános iskola Gárdonyi Géza Általános Iskola 2030 Érd, Gárdonyi Géza u. 1/b. Figyelem! A 2010. évi Országos kompetenciaméréstől kezdődően a szövegértés, illetve a

Részletesebben

HOGYAN JELEZHETŐ ELŐRE A

HOGYAN JELEZHETŐ ELŐRE A HOGYAN JELEZHETŐ ELŐRE A MUNKATÁRSAK BEVÁLÁSA? A BELSŐ ÉRTÉKELŐ KÖZPONT MÓDSZEREI ÉS S BEVÁLÁSVIZSG SVIZSGÁLATA Budapest, 2010.03.25. PSZE HR Szakmai nap Előadó: Besze Judit BÉK módszergazda. 1/28 BEVÁLÁS

Részletesebben

FIT-jelentés :: 2013. Telephelyi jelentés. 8. évfolyam :: Általános iskola

FIT-jelentés :: 2013. Telephelyi jelentés. 8. évfolyam :: Általános iskola FIT-jelentés :: 2013 8. évfolyam :: Általános iskola Bulgárföldi Általános és Magyar - Angol Két Tanítási Nyelvű Iskola 3534 Miskolc, Fazola H u. 2. Létszámadatok A telephely létszámadatai az általános

Részletesebben

S atisztika 2. előadás

S atisztika 2. előadás Statisztika 2. előadás 4. lépés Terepmunka vagy adatgyűjtés Kutatási módszerek osztályozása Kutatási módszer Feltáró kutatás Következtető kutatás Leíró kutatás Ok-okozati kutatás Keresztmetszeti kutatás

Részletesebben

4. ábra: A GERD/GDP alakulása egyes EU tagállamokban 2000 és 2010 között (%) 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 2000 2001 2002 2003 Észtország Portugália 2004 2005 2006 2007 Magyarország Románia 2008

Részletesebben

Elliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, 2015. március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák

Elliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, 2015. március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák Elliptiks eloszlások, kopláik 7. előadás, 215. márcis 25. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettdományi Kar Eötös Loránd Tdományegyetem Áringadozások előadás Sűrűségfüggényük

Részletesebben

Túlélés analízis. Probléma:

Túlélés analízis. Probléma: 1 Probléma: Túlélés analízis - Túlélési idő vizsgálata speciális vizsgálati módszereket igényel (pl. két csoport között az idők átlagait nem lehet direkt módon összehasonlítani) - A túlélési idő nem normális

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Döntési fák. (Klasszifikációs és regressziós fák: (Classification And Regression Trees: CART ))

Döntési fák. (Klasszifikációs és regressziós fák: (Classification And Regression Trees: CART )) Döntési fák (Klasszifikációs és regressziós fák: (Classification And Regression Trees: CART )) Rekurzív osztályozó módszer, Klasszifikációs és regressziós fák folytonos, kategóriás, illetve túlélés adatok

Részletesebben

Radioaktív anyag felezési idejének mérése

Radioaktív anyag felezési idejének mérése A pályázótársam által ismertetett mérési módszer alkalmazásához Labview szoftverrel készítettem egy mérőműszert, ami lehetőséget nyújt radioaktív anyag felezési idejének meghatározására. 1. ábra: Felhasználói

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

SCHWARTZ 2012 Emlékverseny

SCHWARTZ 2012 Emlékverseny SCHWARTZ 2012 Emlékverseny A TRIÓDA díjra javasolt feladat ADY Endre Líceum, Nagyvárad, Románia 2012. november 10. Befejezetlen kísérlet egy fecskendővel és egy CNC hőmérővel A kísérleti berendezés. Egy

Részletesebben

Leövey Klára Gimnázium

Leövey Klára Gimnázium 4 Leövey Klára Gimnázium Az Önök iskolájára vontakozó egyedi adatok táblázatokban és grafikonokon 1. osztály matematika 1 Standardizált átlagos képességek matematikából Az Önök iskolájának átlagos standardizált

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik)

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) 5.4: 3 különböző talpat hasonlítunk egymáshoz Varianciaanalízis. hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) hipotézis: Létezik olyan μi, amely nem egyenlő a többivel (Van

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben