Matematikai Közlemények. I. kötet

Átírás

1 Matematka Közleméyek I kötet NymE EMK Matematka Itézet Sopro Tudó Táraág 3

2 Matematka Oktatá é KUtatá Szemárum (MOKUS 3) Koferecakötet NymE EMK Matematka Itézet Sopro Tudó Táraág

3 Szerkeztők: Dr Závot Józef egyetem taár Dr Szalay Lázló tézetgazgató egyetem doce Dr Németh Lázló egyetem doce Nyugat-magyarorzág Egyetem Erdőmérök Kar Matematka Itézet 94 Sopro, Ady Edre út 5 MTA VEAB Sopro Tudó Táraág 94 Sopro, Catka Edre utca 6-8 Kadja: NymE EMK Matematka Itézet é Sopro Tudó Táraág ISBN

4 DIMENZIÓK Matematka Közleméyek I kötet, 3 Tartalomjegyzék A Buche-Ramauja azooágok 3 Gömbháromzögta é zférku cllagázat ortogoál vetületbe 5 Balaz zámok é általáoítáak A Dophate Euato Icludg Balacg Number 5 Nemleár regrezók alkalmazáa gyakorlat példákba 9 A matematka é tatztka találkozá potja a Nyugat-magyarorzág Egyetem Közgazdaágtudomáy Karáak oktatáába 7 Átmeet a középkola é az egyetem között egy matematka taár zemével 33 A 3D, 7-paramétere dátum trazformácó megoldáa Gröber-bázba é a Bura- Wolf modellbe 37 A 3D, 7 paramétere haolóág trazformácó egy egyzerű megoldáa 45 Adatbáyázat FIM algortmuok 5 A (4,5,4,5) mozakhoz tartozó krtályövekedé háyado 57

5

6 DIMENZIÓK 3 Matematka Közleméyek I kötet, 3 A Buche-Ramauja azooágok Tóth Lázló Péc Tudomáyegyetem, Péc é Uvertät für Bodekultur, We Egy : N N zámelmélet függvéyt teljee multplkatívak evezük, ha () ()() teljeül mde, N eeté Legye é h két teljee multplkatív zámelmélet függvéy é jelölje h ezek Drchlet-kovolúcóját A Buche- Ramauja azooágok zert mde, N eeté ahol a Möbu-függvéy é () (,) ()()h(), ()() ()h() (,) Például ezek az azooágok feállak a következő pecál függvéyekre: () a függvéyre, ahol (),() ( C, N), pecála a oztófüggvéyre é az oztók zámát jelető függvéyre, ahol () ( N); () a! függvéyre, ahol! a Louvlle-függvéy, tt az alteráló zgmafüggvéy, lád [7]; () az "₁ $ függvéyre, ahol $ a főkaraktertől külöböző (mod 4) karakter, tt "()4"₁() az &²(² egyelet (&,() Z * megoldáaak a záma; (v) a Ramauja-féle τ függvéyre, amely így defált:,()&ⁿ&/(&ⁿ) *, & <, - - ahol,₁ ₂ bzoyo teljee mulktplkatív ₁ é ₂ függvéyekre úgy, hogy ₁()₂()¹¹ mde N, eeté, lád például [] é [4] Az Buche-Ramauja formulák törtéetére é általáoítáara voatkozóa lád például a [], [3], [5], [6] é [9] ckkeket A következő új eredméyt a [8] dolgozatba bzoyítottam:

7 4 Tóth L Tétel Legyeek ₁,, teljee multplkatív függvéyek ( N ) é legye 6 ₁ Legye 8 9 az a kétváltozó multplkatív függvéy, amely mde : prím é mde ;₁,;₂ N {} eeté az, ;₁;₂, 8 9 AC@ D C@ (₁(:),, (:)), ;₁,;₂,;₁;₂,, üiöke értékeket vez fel, ahol E (&₁,,& ) az &₁,,& határozatlaú, -fokú elem zmmetrku polomokat jelöl Továbbá jelölje 8 9 D az 8 9 függvéy verzét a kétváltozó kovolúcóra ézve Akkor mde ₁,₂ N eeté 6(₁₂) 6L N6L * N8 M M 9 (M₁,M₂), * O A A, O é 6(₁)6(₂) 6L * M M * N8 9 D (M,M * ) O A A, O Ha, akkor vzakapjuk az eredet Buche-Ramauja képleteket Az érdeklődő Olvaó a [8] dolgozatba egy mák általáoítát talál Irodalomjegyzék [] TM Apotol, Modular fucto ad Drchlet ere umber theory, Secod ed, Sprger, 99 [] N Balaubramaa, O the Buche-Ramauja dette, Neuw Arch Wkd, IV Ser, 5, (997), [3] P Haukkae, Clacal arthmetcal dette volvg a geeralzato of Ramauja' um, A Acad Sc Fe, Ser A I, D, 68 (988), 69 pp [4] F Luca ad I E Shparlk, Arthmetc properte of the Ramauja fucto, Proc Ida Acad Sc (Math Sc), 6 (3), No, --8 [5] P J McCarthy, Buche-Ramauja dette, Amer Math Mothly, 67 (96), [6] A Mercer, Ue repréetato pour la ére de Drchlet egedrée par ( R S), où et multplcatve, Collo Math, 57 (989), [7] L Tóth, A urvey of the alteratg um-of-dvor fucto, Acta Uv Sapetae, Math, közlére elfogadva, [8] L Tóth, Two geeralzato of the Buche-Ramauja dette, It J Number Theory, közlére elfogadva [9] R Vadyaathawamy, The theory of multplcatve arthmetc fucto, Tra Amer Math Soc, 33 (93),

8 DIMENZIÓK 5 Matematka Közleméyek I kötet, 3 Gömbháromzögta é zférku cllagázat ortogoál vetületbe Pétek Kálmá NymE SEK TTK Matematka é Fzka Itézet, Matematka Itézet Tazék Bevezeté Ebbe a dolgozatba a gömbháromzögta evezete tételet tárgyaljuk A tételek bzoyítááak egyége alapötlete az lez, hogy az egyégy ugarú gömb felületét ortogoál vetítéel leképezzük egy íkra A gömbháromzög vetületét alkalma gömb forgatáokkal olya helyzetbe hozzuk, hogy aak egyk oldala a vetület peremkörére kerüljö, ebbe a helyzete végezzük el a bzoyítát Kramer (97), Letzma (949), Meyer (937), Thoma (939) yomá A gömbháromzög tovább két oldalát zté alkalma forgatáokkal a képíkkal párhuzamo helyzetbe hozzuk Haolóképp a peremkörre hozott oldalo fekvő két zöget képíkkal párhuzamo helyzetbe hozva tudjuk zámítáakat egéze elem úto elvégez Eredméyek keree alkalmazhatók a zférku cllagázat problémák tárgyaláa orá A gömbháromzögta u tétele Az TUV általáo gömbháromzögbe érvéye az alább özefüggé: XM XK X X BIZONÍTÁS Az ábra jelöléet felhazálva elő lépébe alkalma forgatáokkal hozzuk a gömbháromzöget olya helyzetbe, hogy aak Z TU oldala a vetület peremkörére kerüljö, a C cúc pedg a felék eő félgömbre eék Forgauk ezutá a háromzög KTV oldalát az AO tegely körül a képíkkal párhuzamo KTS véghelyzetbe, teljee haolóa a háromzög M UV oldalát pedg a BO tegely körül zté a képíkkal párhuzamo M U[ véghelyzetbe Vetítőík eeté a háromzög UTV zögét merőlegee az ] középpotú, az ábra íkjára merőlege gömb kkörre, majd a vetület, zté α agyágú zöget forgauk a kkör MN átmérője körül a képíkkal párhuzamo helyzetbe Ekkor yerjük az V] (V) zöget Teljee haolóa vetítük a háromzög TUV zögét merőlegee az ] * középpotú, az ábra íkjára merőlege gömb kkörre, majd a vetület, zté β agyágú zöget forgauk a kkör PQ átmérője körül a képíkkal párhuzamo helyzetbe Ekkor yerjük a V] * [V] zöget

9 6 Pétek K ábra A gömbháromzögta u tétele Az ]] SΔ derékzögű háromzögről K R A, így Kd, az ]] * [Δ derékzögű háromzögről pedg X M R, ezért M d * adódk Ezek felhazáláával következk efgo efgh R R A () Az ] * V[V]Δ derékzögű háromzögből R, az ] V(V)Δ derékzögű háromzögből pedg R A adódk Ezekből azoal l efgj ma efgk l m következk Az () é () özefüggéek egybevetééből közvetleül adódk a oo oj oh ok R R A () formula, amely a tételek állítáa A fetek alapjá a tétel a következő általáoabb formába gaz: Az általáo TUV Δ gömbháromzögbe érvéye az alább özefüggé: M:K:Z : :p (3) 3 A gömbháromzögta oldalakra voatkozó cou tétele Az TUV Δ általáo gömbháromzögbe érvéye az alább özefüggé: com cok cozk Z co BIZONÍTÁS A ábra jelöléet felhazálva a u tételél látott módzerrel hozzuk a Z TU oldalt a vetület peremkörére, forgauk a képíkkal párhuzamo helyzetbe a KTV, lletve M UV oldalakat, valamt az UTV é TUV zögeket

10 Gömbháromzögta é zférku cllagázat ortogoál vetületbe 7 ábra A gömbháromzögta oldalakra voatkozó cou tétele Az ]] * [Δ derékzögű háromzögből com tt, így a com ]] * (4) özefüggé adódk Az ]] SΔ derékzögű háromzög felhazáláával cok tt A, így cok ]], azaz ]u] Δ derékzögű háromzögből pedg coz tv tt A, ezért OS ]] coz következk E két utóbb ézrevétel alapjá ]ucok coz (5) özefüggé adódk Az ]] SΔ derékzögű háromzögből K R A, ezért K d, az ] V(V)Δ derékzögű háromzögből co t Ay t Ay, amelyből azoal ] t A (y) R V d co, ebből A az ] V K co következk Az ] zvδ derékzögű háromzögből Z {y, ebből t A y zv ] V Z adódk, amely az előző modat megállapítáával együtt adja a zv K Z co (6) özefüggét Vegyük ézre, hogy a zu] * V égyzög téglalap, ezért a fetek felhazáláával u] * zv K Z co (7) adódk Mvel azoba ]] * ]uu] *, így a (4), (5) é (7) alapjá következk, amely tételük állítáa com cok cozk Z co (8) A fetek alapjá a tétel a következő formákba még megfogalmazható: Az általáo TUV Δ gömbháromzögbe érvéyeek az alább özefüggéek: cokcom cozm Z co, coz com cokm K cop

11 8 Pétek K 4 A gömbháromzögta u-cou tétele Az TUV Δ általáo gömbháromzögbe érvéye az alább özefüggé: M co cok ZK coz co BIZONÍTÁS A 3 ábra jelöléet felhazálva a két előző tételél látott módzerrel hozzuk a Z TU oldalt a vetület peremkörére, forgauk a képíkkal párhuzamo helyzetbe a KTV, lletve M UV oldalakat, valamt az UTV é TUV zögeket 3 ábra A gömbháromzögta u-cou tétele Az ]] * [Δ derékzögű háromzögből X M R, ahoa X Md * adódk Az ] * V[V]Δ derékzögű háromzögből co t y, ebből co t y, ahoa ] t [y] R * V d * co következk E két fet megállapítából pedg ] * V M co, mvel zu] * V téglalap, ezért érvéye a zu] * V M co (9) özefüggé Az ]] SΔ derékzögű háromzögből X K R, ebből X Kd következk Az ] V(V)Δ derékzögű háromzögből co t Ay t A (y), ebből ] V d co következk A fet két megállapítából ] V K co adódk Az ] zvδ derékzögű háromzög felhazáláával coz t A{ t A y, amből ] z] V coz adódk, az előző bekezdé megállapítáa alapjá ] zk coz co () özefüggé lez érvéye Az ]] SΔ derékzögű háromzögből cok tt A, ebből cok]], az ]u] derékzögű háromzögből Z t Av, tt A amből ] u]] Z adódk, e két ézrevételükből együttee következk az ] ucok Z () özefüggé Mvel azoba ] u] zzu, így a (9), () é () alapjá

12 Gömbháromzögta é zférku cllagázat ortogoál vetületbe 9 amelyek egyzerű átredezéével következk, amely tételük állítáa cok Z K coz com co, () M co cok ZK coz co (3) A fetek alapjá a tétel a következő formákba még megfogalmazható: K cop coz MZ com co Z co com KM cok cop M cop coz KZ cok co K co com ZM coz co Z co cok MK com cop 5 Tovább evezete özefüggéek A fetekbe tárgyalt három evezete gömbháromzögta alaptételből már levezethetők a zokáo módo az alább evezete tételek: A gömbháromzögta cotage tétele: Z} Z} M ZcoZ co (4) A gömbháromzögta polár u-cou tétele: com p co co Z~X Z (5) A gömbháromzögta polár cotage tétele: Z Z} M Z} co coz (6) A gömbháromzögta zögekre voatkozó cou tétele: co co cop p com (7) A dolgozatba bemutatott bzoyítá eljáráal elegáa tárgyalhatók a zférku cllagázat klazku alapformulá, ezek felhazáláával levezethetők még az alkalmazott képletek Irodalom [] Kramer, W (97): Zecherche Löug der Gradaufgabe der mathematche Erd- ud Hmmelkude Zetchrft für phykalche ud chemche Uterrcht 4, p 6-7 [] Letzma, W (949): Elemetare Kugelgeometre mt umerche ud kotruktve Methode Vaderhoeck & Ruprecht, Göttge, 9 p [3] Meyer, H (937): Zecherche Löuge vo Aufgabe au der mathematche Erdkude Uterrchtblätter für Mathematk ud Naturwechafte 43, p -7 [4] Thoma, W (939): E Betrag zur zecherche Behadlug vo Aufgabe au der mathematche Hmmelkude Zetchrft für mathematche ud aturwechaftlche Uterrcht 7, p 5-3

13

14 DIMENZIÓK Matematka Közleméyek I kötet, 3 Balaz zámok é általáoítáak Szalay Lázló NymE EMK Matematka Itézet Bevezeté A balaz zámok fogalmát Fkelte vezette be, amkor a The houe problem [F] című ckkébe vzgálta az (&)(&) (&d) () dofatku egyeletet az x é r poztív egézekbe Ő még umerku középek hívta az x zámot A kérdét egyébkét Adam [A] vetette fel 955-be A fet egyeletet kelégítő valamely x termézete zámot balaz zámak evezzük, míg a hozzá tartozó r termézete zámot balazerek Megoldá például az (&,d)(35,4) páro Belátható, hogy végtele ok balaz zám létezk, melyek egy orozattal írhatók le az alább módo Ha U -el jelöljük az -edk balaz zámot, akkor feáll a U 6U D U D* máodredű rekurzív özefüggé az egymá utá tagok között Bár a kezdő egyelet legkebb megoldáa (&,d)(6,), kéyelm zempotok matt célzerű a U é U értékeket válazta a balaz zámok orozata kezdőelemeek (ekkor ylvávalóa U * 6) A balaz zámok akkor jöttek dvatba, amkor Behera é Pada [BP] újra felfedezte őket Belátták például, hogy ha & > egy balaz zám, akkor a zomzédo balaz zámok éppe 3& 8& * é 3& 8& * lezek Lpta Kálmá [L] azt gazolta, hogy a Fboacc orozatak é a balaz zámokak cak két közö elemük va, melyek éppe a kezdőelemek:, A Luca orozat balaz zámokkal vett metzete egyetleegy elemet, az -et tartalmazza [L, Sz] Tovább tájékozódához javaoljuk a jeleleg még fejlezté alatt álló holapot Általáoítá lehetőégek Az () egyelet egy termézete általáoítáa, ha valamely egézértékű P é Q polomok helyetteíté értéket tektjük a két oldalo: () () (&)[(&) [(&d), ahol x é r poztív egéz meretleek A probléma ebbe az általáo helyzetbe túl boyolult, ezért a tovább vzgálathoz legtöbbzör rögzítjük a P é Q polomokat vagy azok típuát Legye előzör (&)&, valamt [(&)&, ahol,i ˆC Fkelte [F] gazolta, hogy I mellett (&) (&) (&d) ()

15 Szalay L em oldható meg a poztív egéz x é r értékekre Ugyaabba a ckkébe azt a ejtét megfogalmazta, hogy egyáltalá c umerku középpot, ha I Kéőbb Steer [S] megerőítette a ejtét, belátva azt I3 eeté Igram [IN] megmutatta, hogy rögzített I mellett mdg cak vége ok umerku cetrum létezk, é I 5 eeté c megoldá A () egyeletet Hajdu Lajo é Ptér Áko vetették fel, majd [LLPSz]-be, többek között, bzoyítottuk az alább állítát Tétel [LLPSz] Bármely poztív > eeté cak vége ok poztív egéz (d,i) pár va melyekhez található ()-t teljeítő poztív egéz x zám Ameybe <I, akkor ()-ek c megoldáa az x é r egézekbe Bár az Tétel agyo erő állítá, de em mod emmt arról, hogya lehet meghatá roz az említett vége ok megoldát Ehhez dofatku egyeleteket kell megolda, melyekre c általáo eljárá Bzoyo pecál ktevőkre az alább táblázat foglalja öze a téylege megoldáokat (,I) (&,d) megjegyzé, hvatkozá (,) (5,4); (3,5); (36,3) ellptku egyelet, [LLPSz] (3,) (3,); (8,3); (,54) zuperellptku egyelet (7,) c megoldá Ruge módzerrel, publkálatla (5,3) c megoldá Ruge módzerrel, publkálatla Egy mák foto ráy, amkor (&)[(&)M&K leár polomok, rögzített a é b egézek mellett Olajo Péter [OP] vzgálta a (,)-balaz zámokat, lletve azok kapcolatát má orozatokkal A [KLO] ckkbe azt elemezték, hogy egy termézete zám mkor lez egyzerre (a,b)-balaz zám é egy rögzített típuú fgurál zám Változtauk meg mot úgy az () egyeletet, úgy hogy az egymá utá következő termézete zámok helyett egy adott {X } orozat egymát követő tagjat írjuk: X X * X D X C X CR Ha létezek olya x é r poztív egézek, melyekre az előző egyelet teljeül, akkor X -et orozat balaz zámak hívjuk Ezt a fogalmat Pada [P] vezette be, é belátta, hogy a Fboacc orozatak c balaza Poztív dzkrmáú bár rekurzókra Bércze, Lpta é Pk [BLP] haoló állítát bzoyítottak Ezutá vetődött fel az X X * X D X C X CR (3) formájú egyeletek vzgálata A Fboacc orozat eeté megmutattuk [BLPSz], hogy a (3) egyelet em oldható meg ha <I, valamt ha (,I)(,), (3,), (3,) A vzgálat módzere má adott (,I) párokra működött vola, de telje általáoágba em tudta kezel a problémát Ezért fogalmaztuk meg cak ejtékét, hogy a Fboacc orozat eeté (3) egyetle megoldáa (&,d,,i)(4,3,8,), melyet aztá Alvarado, Dujella é Luca [ADL] gazoltak A balaz zámok {U } orozatára Irmak elemezte a (3) egyeletet, é a [BLPSz] ckk módzerét alkalmazva, ahhoz haoló eredméyre jutott

16 Balaz zámok é általáoítáak 3 3 Végezetül megemlítjük, hogy a telje problémakör felvethető úgy, hogy a bal é jobb oldalo álló özegek között em marad k a balaz tag Például az () egyelet aalóg formája ekkor & (&) (&") lez, ahol x kobalaz zám, míg R az úgyevezett (x-hez tartozó) kobalazer [PR] A kobalaz zámok egy máodredű homogé rekurzóval írhatók le Egyk legzebb eredméy a balaz é kobalaz zámok vzoyát írja le az alább tételbe Tétel [PR] Az -edk balazer lez az -edk kobalaz zám, továbbá az ()-edk kobalazer megegyezk az -edk balaz zámmal Irodalomjegyzék [A] J P Adam, Puzzle for everybody, Avo Publcato, New ork, 955 [ADL] S D Alvarado, A Dujella é F Luca, O a cojecture regardg balacg wth power of Fboacc umber, INTEGERS, A (), #A [B] G K Pada, Seuece balacg ad cobalacg umber, Fboacc Quart, 45 (7), 65-7 [BP] A Behera é G K Pada, O the uare root of tragular umber, Fboacc Quart, 37 (999), 9-37 [BLPSz] A Behera, K Lpta, G K Pada é L Szalay, Balacg wth Fboacc power, Fboacc Quart, 49 (), 8-33 [BLP] A Bércze, K Lpta é I Pk, O geeralzed balacg euece, Fboacc Quart, 48 (), 8 [F] R P Fkelte, The houe problem, Amer Math Mothly, 7 (965), [IN] P Igram, O kth-power umercal cetre, Compt Red Math Acad Sc, 7 (5), 5- [IR] N Irmak, Balacg wth balacg power, közlére beyújtva [KLO] T Kovác, K Lpta é P Olajo, O (a,b)-balacg umber, Publ Math Debrece, 77 (), [L] K Lpta, Fboacc balacg umber, Fboacc Quart, 4 (4), [L] K Lpta, Luca balacg umber, Acta Math Uv Otrav, 4 (6), [LLPSz] K Lpta, F Luca, Á Ptér é L Szalay, Geeralzed balacg umber, Idag Math N S, (9), 87- [OP] P Olajo, A (,) típuú balaz zámokról, GÉP, 63 (), 59-6 [PR] G K Pada é P K Ray, Cobalacg umber ad cobalacer, It J Math Math Sc, 8 (5), 89- [S] R Steer, O kth-power umercal ceter, Fboacc Quart, 6 (978), [Sz] L Szalay, O the reoluto of multaeou Pell euato, A Math Ifo, 34 (7), 77-87

17

18 DIMENZIÓK 5 Matematka Közleméyek I kötet, 3 A Dophate Euato Icludg Balacg Number Nurett Irmak Nğde Uverty, Art ad Scece Faculty, Mathematc Departmet, Nğde, Turkey Itroducto The frt defto of balacg umber eetally due to Fkelte [5], though he amed them umercal ceter A potve teger called balacg umber f ()()() (d) hold for ome potve teger d whch called balacer correpodg to the balacg umber The Œ term of the euece of balacg umber deoted by U It kow that the balacg umber atfy the recurrece U 6U D U D*, where the tal codto are defed by U ad U The Bet formula of the balacg umber gve by U Ž Dk Ž Dk, where ad are the root of the charactertc polyomal & * 6& Behera et al [3] howed that the dophate euato 6 6 * 6 D 6 C 6 C* 6 CR () ha o oluto the potve teger (,d,,i) wth the cae I ad (,I) (,),(3,),(3,) Here 6 deote Œ Fboacc umber They alo cojectured [3] that oly the uadruple (,d,,i)(4,3,8,) atfe () Ther cojecture wa proved by Alvarado et al [] We focu o the euato U U * U D U C U C* U CR () I the pecfc cae, we foud o oluto Baed o Theorem 6-9 ad a exteded computer earch, we cojecture the followg Cojecture: There o uadruple (,d,,i) of potve teger whch atfe () Lemma The proof of the theorem ue everal tatemet collected th ecto Lemma For ay potve teger (a) U C U D (U )(U ),

19 6 N Irmak (b) U *D U * * U D, (c) U U U *D U *, (d) U * U * * * U D <U C U C* U *D for 5, * <U U * U *C for, * * U *C U C (e) U *C (f) 4U <U C U <5U hold Lemma Ay potve teger atfe (a) - U (U C U )/4, (b) * - U (U *C ())/3, (c) - U (U C U 47(U C U ))/67 Lemma 3 For ay teger 3, the eualte hold D <U < D Lemma 4 Suppoe that M> ad K are real umber ad a potve real umber The K C hold for ay, where,i~ O (M h ) 3 The reult Here we preet four theorem ad the proof of the lat oe They cofrm the cojecture Theorem The Dophate euato U U * U D U C U C* U CR ha o oluto for ay potve teger d ad f I Theorem The Dophate euato U * U * * * U D U C U C* U CR ha o oluto potve teger d ad Theorem 3 The Dophate euato U U * U D U C U C* U CR ha o oluto for ay potve teger d ad * * * Theorem 4 The Dophate euato U U * U D U C U C* U CR ha o oluto for ay potve teger d ad PROOF OF THEOREM 4 For 4 the tatemet obvou Aume ow 5 The applcato of Lemma 3(b) ad (c) covert the euato To Whch euvalet to Put * * * U U * U D U C U C* U CR š Ž Dš (ŽœA) D žš Ž Dš (ŽœA) ŸC* * * (U *(CR)CU *C d) U U (D) 47(U U C )96U *C 96žU *(CR)C dÿ u U U (D) 47(U U C )96U *C,

20 A Dophate Euato Icludg Balacg Number 7 Now ue Lemma 4 ad Lemma (f) to obta "u 96žU *(CR)C dÿ Smlarly, *C*RC <"u< *C*RC * 96U (D) < u<(9697)u (D), hold By the euato above follow, whch yeld D < u< D max{d3,3}<m {d3,359} 43<d <359 Clearly, oly d 4 poble Iertg d4 to the euato, we obta * * * U U * U *RC U *RC U *RC U RC, ad we arrved at a cotradcto wth Lemma (e) Referece [] M Alp, N Irmak, ad L Szalay, Dophate Balacg Trple, Acta Uv Sapetae, vol 4, No 4, pp-9, [] S D Alvarado, A Dujella, ad F Luca, O a cojecture regardg balacg wth power of Fboacc umber, INTEGERS, vol A, [3] A Behera, K Lpta, G K Pada, ad L Szalay, Balacg wth Fboacc power, Fboacc Quart, vol 49, No, pp833, [4] A Behera, ad G K Pada, O the uare root of tragular umber, Fboacc Quart, vol 37, No, pp98-5, 999 [5] R P Fkelte, The Houe Problem, Amer Math Mothly, vol 7, pp 8-88, 965 [6] G K Pada, Seuece balacg ad cobalacg umber, Fboacc Quart, vol 45, No 3, pp65-7, 7 [7] G K Pada, Some facatg properte of balacg umber, Proceedg of the Eleveth Iteratoal Coferece o Fboacc Number ad ther Applcato, Cog Numer, vol 94, pp 85-89, 9

21

22 DIMENZIÓK 9 Matematka Közleméyek I kötet, 3 Nemleár regrezók alkalmazáa gyakorlat példákba Caády Vktóra NymE EMK Matematka Itézet A termézetbe előforduló külöböző folyamatok vzgálata orá yert, egy függetle é egy függőváltozó adatorokra regrezó eljáráal matematka függvéyek llezthetők, melyek meghatározzák a folyamatok törvéyzerűégét Az adatorok által meghatározott potok grafku zemlélete alapjá mód va megfelelő lleztedő függvéy vagy függvéyek kválaztáára A helye dötét alapvetőe a zámítógépe regrezó eljárá végrehajtáa orá yert -hez legközelebb álló korrelácó együttható (R) dokolhatja amellett, hogy a kválaztott függvéy zámított paramétere a valóágak megfelelőe értelmezhetők legyeek A bemutatára é elemzére kerülő adatorok a termézetbe előforduló folyamatok adatorat modellezk a gyorabb é egyzerűbb regrezó eljáráok alkalmazáa é értékelée érdekébe Növekedé függvéyek Telíté függvéy (Awram) Az elő adator az dő függvéyébe a faövekedé értéket vzgálja Az adator előzete áttektée vagy grafku ábrázoláa alapjá köye megállapítható, hogy a függvéy lleztééhez telíté függvéy alkalmazáa a célzerű A matematka alak: (MžE D(h ) Ÿ A regrezó eljárához zükége kezdőértékeket, a yert paraméter értékeket, a korrelácó együtthatót é az értelmezét az alább táblázat tartalmazza Kezdőértékek: b3bbb, (a programba alapbeállítákét zereplő értékek, módoítát em géyelek) var évek záma (év), var famagaág (m) Model: varb3*(-exp(-*((b*var)^b)))b (pelda) Dep var: Var Lo: (OBS-PRED)** Fal lo:, R,99965 Varace explaed: 99,99% N5 b3 b b b Etmate 4,78,3966,94,6589 Értelmezé: b3b az elért legagyobb (végő) famagaág (m), b a kezdő famagaág (m) Megadható az a var érték (x), melyél a határértéktől való eltéré %-o a var-re ézve Ez az alább képlettel zámítható: I& Az llezté grafku reprezetácója: ḣ I I C IK

23 Caády V C:4 C:5 Model: varb3*(-exp(-*((b*var)^b)))b y(4,78)*(-exp(-*(((,3966)*x)^(,94))))(,6589) C:6 C:7 C:9 C:8 C:3 C:4 C:5 C: C: C: C:3 C: C: Az előző függvéy lleztée módoított kezdőértékekkel végrehajtható, az eredméy em változk, a függvéy lleztée a kezdőértékekre kevébé érzékey Nem ezt tapaztaljuk má típuú övekedé görbék eté Az Awram féle telíté függvéye kívül még zámo haoló övekedé görbe létezk Az egyzerűbb em redelkezk flexó pottal, az özetettebbek ge Az alábbakba a felhazált példaor alkalmazáával megadára kerül llezté eredméyük, a paraméterek, a korrelácó együttható értéke, végül, de em utoló orba a futtatáál módoított kezdőértékek, melyek módoítáa élkül em kapuk eredméyt, vagy ha ge cak gyege korrelácóval A paraméterek kezdőértékeek kokokodáa a függvéy matematka jellemzőek meretébe törtéhet, az adator fgyelembevételével Mde egye lleztéél a var a famagaágot jelöl, var a függetle változó, az dőt Var Bertalaffy övekedé függvéye Matematka alak: (M(KE Dª ) Kezdőértékek: bbb, Model: varb*(-b*exp(-*(b*var))) (pelda) Dep var: Var Lo: (OBS-PRED)** Fal lo: 34, R,98669 Varace explaed: 97,356% N5 b b b Etmate 3,5645,6933, Mtcherlch övekedé függvéye Matematka alak: (M(E Dh ) ª Kezdőértékek: bbb Model: varb*(-exp(-*b*var))^b (pelda) Dep var: Var Lo: (OBS-PRED)** Fal lo:, R,9999 Varace explaed: 99,88% N5 b b b Etmate 5,85456,775 3, Rchard övekedé függvéye Matematka alak: (M(KE Dª ) Kezdőértékek: b3 b - b,5 b, Model: varb*(-exp(b*var))^b (pelda) Dep var: Var Lo: (OBS-PRED)** Fal lo:, R,9999 Varace explaed: 99,88% N5 b b b Etmate 5, ,775 3,36496

24 Nemleár regrezók alkalmazáa gyakorlat példákba 5 Chapma-Rchard függvéy Matematka alak: (M(E h ) ª Kezdőértékek: b b - b,5 Model: varb*(-exp(b*var))^b (pelda) Dep var: Var Lo: (OBS-PRED)** Fal lo:, R,9999 Varace explaed: 99,88% N5 b b b Etmate 5, ,775 3, Col-Fokaz függvéy Matematka alak: (M (hdo) A žcª«œ ( œl) Ÿ Kezdőértékek: b b - b,5 b3, b4 Model: varb(b-b)/(b*exp(-*b3*(var-b4)))^(/b) (pelda) Dep var: Var Lo: (OBS-PRED)** Fal lo:, R,99973 Varace explaed: 99,945% N5 b b b b3 b4 Etmate 5, ,8865, , ,4658 A fet példák azt lluztrálják, hogy bár zámo telíté, evezzük kább övekedé folyamatot rézébe vagy teljeégébe (egatív értékekre értelmezett függvéyek zerepeltek a feloroltak között) leíró függvéyeket merük, ezek alkalmazáa a gyakorlatba a zámítógépe tatztka programok hazálata eeté godot okoz Az alkalmazott modell megválaztá eeté zem előtt tartadók az géyek a paraméterek értelmezhetőégére, valamt a kezdőértékek megválaztááak, lletve kválaztááak egyzerűégére, em bezélve a modell alkalmazhatóágáról (az Awram féle függvéy akkor alkalmazható, ha c flexó pot) Eze kívül a modell értelmezé tartomáyáak vzgálata em elhayagolható, a már említett egatív függetle változók (példákba az dő) voatkozáába, hze ez em értelmezhető Rökleltár Egy faraktárba elhelyezett válogatáal yert rökök leltárát elemz az átmérő függvéyébe található darabzám zert a feladat Az adator egyzerű áttektée alapjá rögtö megállapítható, hogy megfelelőe trazformált Gau-görbe lleztée a célzerű O A matematka alak: ( Kezdőértékek: b3bb b4 «ž ( œ )Ÿ A változók: var fatörzátmérő (cm), var darabzám (db) Model: varb3/exp((b*(var-*b))^)b (példa) Dep var: Var Lo: (OBS-PRED)** Fal lo: 47,366 R,9963 Varace explaed: 99,64% N5 b3 b b b Etmate 6,369,933 4,333-3,599 A b3ba legagyobb darabzám, ba legagyobb darabzámhoz tartozó átmérő

25 Caády V 3 Faayagzárítá A faayag zárítá folyamata orá yert értékeket vzgálja a feladat az dő függvéyébe Az adator áttektée vagy grafku ábrázoláa alapjá eldöthető, hogy megfelelőe trazformált tage hperbolku görbe lleztée vezet helye eredméyre, é értelmezhető paraméterekhez A matematka alak: (MtahžK(&Z)Ÿ Kezdőértékek: b3bb b5 A változók: var az eltelt dő (óra), var a edveégtartalom (%) Model: varb3*tah(b*(var-*b))b (példa3) Dep var: Var Lo: (OBS-PRED)** Fal lo:,78358 R,99976 Varace explaed: 99,95% N6 b3 b b b Etmate -,8755,8593 4,4 4,963 A b-b3 a kezdet edveégtartalom (%), bb3 a végő edveégtartalom (%) 4 Ayaglehűlé A egyedk feladat az dő függvéyébe törtéő ayag lehűlé értéket tartalmazza Az adator egyzerű áttektée vagy eetlege grafku ábrázoláa alapjá tt megállapítható, hogy a függvéylleztéhez egy megfelelőe trazformált expoecál ( egatív expoecál ) görbe alkalmazáa lehet a legmegfelelőbb A matematka alak: ( O Kezdőértékek: b3bbb A változók: var dő (m), var hőméréklet (C o ) Model: varb3/exp(b*(var-*b))b (Spreadheet4) Dep var: Var Lo: (OBS-PRED)** Fal lo:, R,99984 Varace explaed: 99,969% N5 b3 b b b Etmate 4,99,539 7,9448 5,63373 A b a mért legalacoyabb hőméréklet (véghőméréklet) K3E (h*h) K a mért legmagaabb hőméréklet (kezdőhőméréklet) 5 Hagerő gerérték Az ötödk adator a hagerő függvéyébe ézlelhető gerértékek yert elmélet adatat mutatja A potor grafku ábrázoláa alapjá logartmku függvéy lleztée látzk legmegfelelőbbek, ha az alkalmazott függvéyt előzetee megfelelőe trazformáljuk, lehetővé téve az orgóból való kdulát a kezdő adatpár matt A matematka alak: (M IžK(&Z)Ÿ Kezdőértékek: b3bb b - A változók: var hagerő (db), var gerérték () Model: varb3*log(b*(var-*b))b (Spreadheet8) Dep var: Var Lo: (OBS-PRED)** Fal lo:,437 R,99999 Varace explaed: 99,998% N6 b3 b b b Etmate,73893, ,999 -,95678

26 Nemleár regrezók alkalmazáa gyakorlat példákba 3 A ba mért legalacoyabb gerérték, K3 IžK(K)ŸK a legmagaabb mért gerérték 6 Lövedékpálya A hatodk adator egy klőtt lövedék útjáak adatat mutatja A potor értékeek áttektée, a gyakorlat meretek é elemzé alapjá köye megállapítható, hogy a görbelleztére parabola, máodfokú hatváy függvéy a megfelelő, a zükége trazformáláal A matematka alak: (M(&K) * Z Kezdőértékek: b -,, b 8, b, A változók: var a vízztee mért távolág (m), var a lövedék magaága Model: varb*(var-*b)^b (Spreadheet) Dep var: Var Lo: (OBS-PRED)** Fal lo:,8848 R, Varace explaed: 99,999% N5 b b b Etmate -,8 99,8994 7,99979 A b a lövedék legagyobb magaága, b az a távolág ahol a lövedék legmagaabba va, b b*b a lövedék kdulá magaága 7 Lázgörbe Az adator egy betegéggel együtt járó dőbel lázváltozá adatat mutatja (lázgörbe) Az adator elődlege elemzée alapjá trazformált Gau-görbe alkalmazáa látzk lehetégeek A grafku ábrázolá azoba mutatja, hogy a görbe azmmetrku, hrtele emelkedő é laa cökkeő kellee, hogy legye Ezért a függvéylleztéhez egy pecála kalakított matematka formulát zükége alkalmaz A matematka alak: ( O hc(ª ) Kezdőértékek: b3bbb A változók: var az dő (ap), var hőméréklet 36 C o felett Model: varb3*var/(b(b*var)^b) (lázgörbe4p) Dep var: Var Lo: (OBS-PRED)** Fal lo:,86793 R,99973 Varace explaed: 99,946% N4 b3 b b b Etmate 6,6386,74686,5359 5,667 A b3/b a kezdő meredekég azaz, az egy ap alatt duló hőemelkedé értéke (betegég jellemző adat)

27 4 Caády V Model: varb3*var/(b(b*var)^b) 5 C:4 y(6,639)*x/((,74686)((,5359)*x)^(5,67)) 4 C:3 C:5 3 C:6 C: C:7 C:8 C:9 C: C: C: C: C:3 C: Var 8 Nap levegő hőméréklet A yolcadk adator egy 4 órá levegőhőméréklet változá értéket mutatja, éjféltőléjfélg Az értékpárok elemzée é grafku áttektée tt jól mutatja, hogy megfelelőe trazformált zuz függvéy alkalmazáa a célzerű, am a gyakorlat meretek alapjá kézefekvő A matematka alak: (MžK(&Z)Ÿ Kezdőértékek: b3bb b5 A változók: var dő (óra), var a hőméréklet (C o ) Model: varb3*s(b*(var-*b))b (aphőgadozá) Dep var: Var Lo: (OBS-PRED)** Fal lo:,475 R,99996 Varace explaed: 99,99% N3 b3 b b b Etmate 5,996 -,677-3,344 9, A b-b3 a legalacoyabb, bb3 a legmagaabb hőméréklet (C o ) b6a legalacoyabb, b6 a legmagaabb hőméréklet dőpotja (óra) 9 Ötvözet vezetőképeég A klecedk adator egy olya modellkíérlet adatat tartalmazza, ahol két fémből kézült ötvözet vezetőképeégéek vzgálata törtét a zázaléko özetétel függvéyébe Az adator áttaulmáyozáa é grafku elemzée alapjá látható, hogy két határérték mutatkozk, azoba az ezek által meghatározott tartomáyo kívül értékek jele vaak köztee Ez azt jelet, hogy egyzerű klazku trazformált matematka függvéyel az llezté em látzk megoldhatóak Ebből kdulva, valamt a határértékek jeleléte matt két külöböző tage hperbolkuz függvéy megfelelőe trazformált özege adhatja a jó regrezót A matematka alak: (MtahžK(&Z)Ÿtahž(&)Ÿh Kezdőértékek: b6b5b4b3bbb A változók: var a zázaléko özetétel (%), var vezetőképeég (/m 6 )

28 Nemleár regrezók alkalmazáa gyakorlat példákba 5 Model: varb6*tah(b5*(var-*b4))b3*tah(b*(var-*b) (vezetőképeég) Dep var: Var Lo: (OBS-PRED)** Fal lo:,99888 R,9999 Varace explaed: 99,984% N b6 b5 b4 b3 b b b Etmate,33474, ,694 -,8437, ,6864,9739 h hch*h Ha b4>b akkor legkebb vezetőképeéghez tartozó %-o özetétel h Ch* értéke var helyetteítéel kzámítható a %-hoz tartozó vezetőképeég értéke var helyetteítéel kzámítható a %-hoz tartozó vezetőképeég értéke Huzalfezíté A tzedk adator a huzal megyújtá függvéyébe jeletkező fezítőerő adatpár orát tartalmazza, azaz a huzalzakadá folyamatát jellemz mért értékekkel Az adator elemzée é grafku áttaulmáyozáa alapjá látható, hogy a kezdő é végő határérték egyforma (), de a változá hírtele mértékbe azmmetrku Ez azt jelet, hogy klazku egyzerű trazformált matematka függvéyel az llezté em adódk megoldhatóak Így következk, hogy boyolultabb függvéy kombácó hazáladó, jele eetbe a két megfelelőe trazformált tage hperbolkuz függvéy özege adhat várhatóa megbízhatóa jó regrezót -hez közel korrelácó együtthatóval, é jól értelmezhető é értékelhető paraméterekkel A matematka alak: (MtahžK(&Z)Ÿtahž(&)Ÿh Kezdőértékek: b6b5b3bb, b45, b A változók: var a megyújtá (mm), var a fezítő erő (N 4 ) Model: varb6*tah(b5*(var-*b4))b3*tah(b*(var-*b) (fezítőerő) Dep var: Var Lo: (OBS-PRED)** Fal lo:,69 R, Varace explaed:,% N b6 b5 b4 b3 b b b Etmate,7787, ,557 -,763 4,37856,37 -,973 Ha b4>b, akkor z h hch*h a legagyobb fezítő erőhöz tartozó megyújtá (mm) h Ch* értéke Md(±)K6 tahžk5 (± K4)ŸK3 tahžk (± K)ŸK a legagyobb fezítő erő (a zakadát létrehozó erő) Radoaktív ugárteztá A tzeegyedk adator a radoaktív ayag dő függvéyébe ézlelhető ugárteztááak értéket tartalmazza Az adott értékpár orozat áttektée alapjá köye megállapítható, hogy egy egatív expoecál függvéy lleztée lehet a megfelelő Mvel az lye jellegű vzgálatokál a felezé dő meghatározáa elem követelméy, ezért a matematka alak megfelelő trazformáláa zükége A matematka alak: ( O (vagy:( O ) h * A változók: var az dő (hóap) var a ugárteztá ( 6 B) Kezdőértékek: b, bb (módoított értékek)

29 6 Caády V Model: varb/b^(var/b) (felezédő) Dep var: Var Lo: (OBS-PRED)** Fal lo:,96773 R,99998 Varace explaed: 99,996% N b b b Etmate 7,993744,8864,9349 A megoldá akkor érvéye, ha,98<b<, Ekkor a felezé dő: b, a kezdet teztá b Özefoglalá A fetekbe bemutatára került éháy övekedé görbe lleztée, melyek eredméyeből látható, hogy a zámítógépe program hazálata okzor géyel matematka apparátut, tt kokréta a kezdőértékek meghatározáa A tovább példák pedg azt mutatják, hogy a fzkalag értelmezhető paraméterű modell válaztáa foto, de mer kell hozzá a megfelelő függvéykompozícót, aak addtív eetleg multplkatív eetét

30 DIMENZIÓK 7 Matematka Közleméyek I kötet, 3 A matematka é tatztka találkozá potja a Nyugatmagyarorzág Egyetem Közgazdaágtudomáy Karáak oktatáába Bchof Aamára NymE KTK Iovatív Stratégák Itézet Hochek Móka NymE KTK Iovatív Stratégák Itézet Egy közgazdáz zámára a matematka é a tatztka két olya tudomáyterület, amelyet bár lehet, hogy em zeret, de hazál kéytele Az egyetem oktatába a Bologaredzer bevezetéét követőe az átjárhatóág érdekébe é az oktatá dő lerövdülée matt a tatárgy egymára épüléek é a zgorlatok megzűtek Előadáukba egyrézt bemutatjuk, hogy melyek azok a legfotoabb kapcolódá potok, ahol a Statztka tárgyak oktatáa orá elkerülhetetleül zükége az egyetem matematka taayag merete é alkalmazáa Illetőleg, hogy mlye problémákkal zembeülük amatt, hogy az egye tárgyakat ay dőre jegyzk cak meg a hallgatók, hogy éppe le tudjaak belőle vzgáz A módzerta tárgyak képzé redzere az NME KTK- Hagyomáyo képzé A Bologa-redzer bevezeté előtt a klazku felbotáal működött a közgazdáz képzébe a módzerta tárgyak oktatáa Soproba Az alapozó tárgyak egyke az elő félévbe a Matematka I tárgy volt Eek keretébe a komplex zámok, polomok, orozatok, orok, egy- é kétváltozó függvéyek dfferecálzámítáa é aak alkalmazáa témakörök lettek értve A máodk félévre már cak akkor mehetett a hallgató, ha eze témakörökből kere vzgát tett Ebbe a félévbe az tegrálzámítá, a dfferecálegyeletek é a leár algebra alapja voltak az oktatott fejezetek A harmadk félévbe a valózíűégzámítá legfotoabb témakörevel merkedtek meg a hallgatók, a egyedk félévbe pedg az operácókutatá válogatott területevel foglalkoztak Matematka oktatá tehát özee égy félévbe volt A tatztka oktatáa a harmadk félévbe kezdődött Két félév általáo tatztka (Statztka I é Statztka II) utá egy félév gazdaágtatztka következett A gazdaágtatztka már cak gyakorlat jegye tárgy volt, mert a harmadk év elő félévébe módzerta zgorlatot kellett a hallgatókak tee A zgorlat özee öt félévy ayagot ölelt fel: Valózíűégzámítá, Operácókutatá, Statztka I é II, valamt Gazdaágtatztka

31 8 Bchof A Hochek M Kétztű képzé Ez a jól bevett zztéma alakult át a kétztű képzé bevezetéével úgy, hogy a matematka oktatáa két félévre cökket, tatztkából pedg megzűt a gazdaágtatztka oktatáa Az egye féléveke belül órazámok, é a tatztka oktatá kezdő dőpotja pedg többzör változtak: 6 (az elő alapképzé mátrx), 7, 9, Az oktatá félévek é órazámok draztku cökkeée következtébe zámo a közgazdázképzébe foto témakört k kellett ve a taayagból Így többek között em taítjuk ma már a végtele orokat, a dfferecálegyeleteket, valózíűégzámítából több evezete elozlát é a valózíűég vektorváltozókat, valamt agyo kevé dő jut a matematka ezközök gazdaág alkalmazáaak bemutatáára A gyakorlatba jól hazálható módzerek megmertetééek lehetőégét tovább cökketette az a módoítá, hogy 7-e mtatatervtől kezdődőe a Gazdaágtatztka tárgy oktatáa megzűt A meterképzébe vzot em kerültek be olya mértékbe matematka é tatztka jellegű tárgyak, amekkora mértékű cökkeé a hagyomáyo képzé alapképzé relácóba megfgyelhető volt A tatztka oktatáához zükége matematka alapok Rézbe a fetebb leírt változtatáok következtébe, rézbe pedg a középfokú oktatába végbemet változáok melyekre mot em térék k következtébe agyo ok egatív tapaztalattal találkoztuk akkor, amkor a tatztka oktatáa orá a hallgatók már megzerzett matematka meretere zerettük vola támazkod A következőkbe özefoglaljuk, hogy az alapképzébe oktatott külöböző tatztka témakörök az alap zámolá kézégeke kívül mlye matematka megalapozát géyelek/géyeléek Ehhez kapcolódóa egyúttal belepllatuk abba, hogy hol mlye arkalato háyoágokat találtuk Statztka I STATISZTIKA Leíró tatztka alap mutatózáma (átlag, móduz, medá, zórá) Dagramok kézítée, értelmezée Idexek, tadardzálá MATEMATIKA Középkolába az utóbb évekbe megjelet fejezet De ajo ok matematka taár em mer/alkalmazza azokat a módzereket pl mukatábla létrehozáa a mutatók meghatározáához, melyeket az egyetem taayagba hazáluk Szté középkolából kell mertek lee Ott rézbe matematka órá hozak létre é elemezek külöböző dagramokat, rézbe formatkából kell/kellee megtaul Excelbe a dagramok elkézítéét Sma é úlyozott zámta, mérta é harmoku közép Ezek közül gyakra meretle a hallgatókak a úlyozá é a harmoku átlag fogalma

32 A matematka é tatztka találkozá potja az NymE KTK oktatáába 9 Statztka II STATISZTIKA Beclé, hpotézvzgálat Kétváltozó korrelácózámítá Kétváltozó leár regrezó Nemleár regrezó Többváltozó regrezózámítá MATEMATIKA Szükége lee a evezete elozláok (ormál, kh-égyzet, t, f, egyelete) merete Azoba a matematka óráko az dő rövdége matt a folytoo elozláok közül cak a ormál/tadard ormál elozláokat tárgyaljuk Így a több elozlá teljee meretle a hallgatók előtt Eze kívül általába em kerül or matematkából olya feladatok gyakorláára, ahol vzafelé godolkozva, kofdeca tervallumot kell felépíte A valózíűég vektorváltozók pedg teljee kkerült a taayagból Így a kotgeca tábla, peremgyakorágok, peremelozláok, függetleég meretle fogalmak Matematka I-ből jövő meret a kovaraca fogalma é kzámítá módja Matematka I: Regrezó egyee paramétereek levezetée legkebb égyzetek módzere, a paraméterek értelmezée Ehhez kapcolódóa a kétváltozó függvéyek zélőértékzámítáa Kéz zámoláál középkola alapkét egyeletredzerek megoldá módzereek merete zükége Elaztctá függvéy é elaztctá értékéek fogalma, ll zámoláa bármely dfferecálható függvéyre értelmezé tartomáyáak tetzőlege potjába Középkolából: Szükége külöböző evezete függvéyek (hperbolku, expoecál, hatváyktevő) é a levezetéekhez a logartmu defícójáak é tulajdoágaak merete Matematka I-II: Koordátageometrából, függvéytaból mertek kell lee a többváltozó leár függvéy egyeletéek A zükége zámítáok elvégzééhez elegedhetetle a mátrxok, vektorok fogalma, özeadáa, zorzáa, verz meghatározáa az adj(a)/det(a) képlettel, vagy má módo Leár egyeletredzer megoldáa verz mátrxzal való zorzá egítégével Többváltozó függvéyek zélőérték zámítá merete A regrezó paramétereek értelmezééhez alapvető függvéyta meretek zükégeek 3 Özefüggéek a hallgatók matematka é tatztka eredméye között A 6/7-e taév elő félévétől a jeleleg, /3-a taév elő félévég özee 5667 jegyet zerezett Matematka I é II, lletve Statztka I é II tatárgyból a vzgált 845 hallgató Ez félévete átlagoa 436 jegyet jelet ( Bár mdkét tatztka tárgy gyakorlat jegye, a továbbakba az egyzerűég kedvéért ott vzgáak tektjük a jegy megzerzéét) Ameybe tatárgyakra lebotva ézzük (lád ábra) látható, hogy

33 3 Bchof A Hochek M majdem mde félévbe a Matematka I tárgyból volt a legagyobb a vzgáko való rézvétel-zám Szté jól megfgyelhető, hogy a tárgyak előírt félévébe a vzgák záma jeletőe magaabb, mt a kereztfélévekbe /3- félév /- félév /- félév /- félév /- félév 9/- félév 9/- félév 8/9- félév 8/9- félév 7/8- félév 7/8- félév 6/7- félév 6/7- félév Statztka II jegyek záma Statztka I jegyek záma Matematka II vzgák záma Matematka I vzgák záma 3 4 ábra: Vzgák é megzerzett gyakorlat jegyek záma térgyakét é félévekét botába Ameybe hallgatók eredméyeégét vzgáljuk, azt kell modauk, hogy md az elégteleek fgyelembevételével zámított vzgaátlagokál ( ábra), md a kere vzgák átlagaál (3 ábra) gaz, hogy a leggyegébb eredméyek a Matematka I tárgyál zülettek Ezt követ a Matematka II, majd a Statztka I é a legjobb eredméyeket mde félévbe Statztka II-ből érték el A féléve egy hallgatóra jutó vzgazám ugyaakkor éppe fordított orredű, azaz legkeveebb a Statztka II é legtöbb a Matematka I eetébe Megvzgáltuk az egye tárgyak között özefüggét A vzgálat orá olya hallgatók eredméyet vettük k a okaágból, akk mdkét éppe vzgált tárgyból már redelkeztek érdemjeggyel Előzör a két matematka tárgy között özefüggét éztük meg Md a hpotézvzgálat, md pedg a varacaaalíz alátámaztotta, hogy két tárgy eredméyere felírható leár özefüggé, melyek értelmébe a Matematka I-e elért egy egéz jegye emelkedé a Matematka II eetébe átlagoa,47 jegye emelkedét okoz A kapcolat zoroágára,43-t kaptuk, am közepe kapcolatot mutat A tatztka két tárgya között elvégezve ugyaezeket a vzgálatokat azt láttuk, hogy tt található zgfká leár kapcolat a jegyek között Egy jegy javulá a Statztka I gyakorlat jegyél,65 jegyet jelet a Statztka II-él A kapcolat a tárgyak között valamvel agyobb, mt a matematkák eetébe, de még mdg cak közepeek modható (,57) A matematka é tatztka tárgyak között kapcolatot két módo megvzgáltuk Előzör a Matematka I é Statztka I eetébe éztük meg ugyaazokat a mutatókat, mt korábba Ebbe a tárgypároítába kmutatható a kapcolat, mely azt a korábba említettek között közepe zoroágot mutat (,46) Máodjára a matematka jegyekből képeztük egy matematka átlagot, majd a tatztka jegyekből egy tatztka átlagot Eze átlago mutatók között közepe kapcolat mutatkozott (,5), ám am érdeke, hogy tt volt

34 A matematka é tatztka találkozá potja az NymE KTK oktatáába 3 az egy jegye emelkedéek a legagyobb hatáa Azaz a matematka átlag egy jegyek törtéő emelée,7 jegye emelkedét eredméyezett az adott hallgató tatztka átlagába Matemetka I Matemetka II Statztka I Statztka II ábra: Elégteleek fgyelembevételével zámított vzgaátlagok tárgyakét é félévekét Matemetka I Matemetka II Statztka I Statztka II 3ábra: Skere vzgák átlaga tárgyakét é félévekét

35 3 Bchof A Hochek M (Termézetee eél a vzgálatál már cak azo hallgatók eredméyet tudtuk cak fgyelembe ve, akk md a égy tárgyat már abzolválták, azaz redelkezek elégteleél jobb jeggyel) Közöetylváítá Ezúto zereték közöetüket kfejez Áredáé Fekete Mártáak, az NME KTK főtaácoáak az elemzéekhez, kmutatáokhoz zükége adatok Neptu redzerből való kgyűjtééért Irodalomjegyzék [] Rappa Gábor (): Üzlet tatztka Excellel Statztka módzerek a táradalm é gazdaág elemzéekbe KSH, Budapet [] Kerékgyártó Györgyé Mudruczó György Sugár Adrá (3): Statztka módzerek é alkalmazáuk a gazdaág, üzlet elemzéekbe AULA Kadó, Budapet [3] Závot Józef Hochek Móka Bchof Aamára (): Statztka módzerek é táblázatok NymE Kadó, Sopro, ISBN

36 DIMENZIÓK 33 Matematka Közleméyek I kötet, 3 Átmeet a középkola é az egyetem között egy matematka taár zemével Nagy Zolt NymE Roth Gyula Gyakorló SZKI é Kollégum Előzör zeretém bemutat az kolákba folyó matematka oktatát Ikolám az NymE Roth Gyula Gyakorló SZKI é Kollégum A matematka oktatá felépítée jeleleg kfutó redzerbe 4334 óra, amelyhez 9 é oztályba pluz egy óra korrepetálá egít a felzárkózát, a kb egy ztre való hozát Az utoló két évbe coportbotába oktatuk A taulók zétválogatááál próbáluk odafgyel, hogy ez a képeég zert, lletve a továbbtaulá zádékok zert törtéje Ezeke az évfolyamoko már c korrepetálá, helyette a pluz órát a jobbk coportok kapják a taayag mélyebb elajátítáához Az új kerettaterv zert, am 3 zeptemberébe kerül bevezetére 9 évfolyamo felmeő redzerbe, az órazám a következőképpe alakul: 4333(!) Az órazámot tovább cökketve a zakközépkola taulók továbbtaulá eélyet tovább rototta az oktatá kormáyzat Ugya a zakráyú továbbtaulához elegedhetetle matematkából az emeltztű érettég megléte Ez komoly felelőéggel jár az kola ráyába, mert meg kell oldauk, hogy taulók e duljaak hátráyal a felvétel Ezt cak felkézítők dítáával lehet megolda Jeleleg a zakképző (3 é 4) évfolyamoko egyáltalá c matematka oktatá, még zakkör ztjé em! Így a kkerülő taulók órá lemaradáal dulak a felőoktatába Eek előorba facál oka vaak, míg el em hayagolható téyező a taulók érdekteleége em Cak kéő kapak ézbe, amkor ok eetbe már c mt te Az új zakképzé törvéy rézbe egít eze a godo, mert vzaállítja az öt éve zakképzét, bár em a rég (5-g volt), jól bevált redzert hozták vza Sajo a közmeret órák zámát cökketették Cak remél tudom, hogy ez em fog meglátza a továbbtaulá aráyo, bár ezzel még vár kell legalább öt évet Ikolákba a Mozak Kadó Sokzíű Matematka taköyvcaládját taítjuk Termézetee má kadók taköyvet merjük Ezért yugodta modhatom gyakorló taárkét, hogy gazá jó, hazálható, mde géyt kelégítő taköyv c mot az oktatá redzerbe A matematka taulá legfotoabb özetevő: Matematka kompeteca matematka képeég művelet zakaz megmerée matematka taulmáyok előélete kommukácó kézég Matematkához való hozzáállá motvácó, öbzalom A taulá módja tílu, taulá tratégák

37 34 Nagy Z Úgy godolom, hogy a képeég kvételével mde fejlezthető lee emcak a középkolába, haem még az egyeteme Legfotoabb lee a hozzáálláo való javítá Valamt megtaíta a taulókkal, hallgatókkal a helye taulá tílut, módzereket, tratégákat Az érettég ztválaztá dlemmája Középzt Emelt zt Szükége Válaztható Várhatóa magaabb % Várhatóa alacoyabb % Nc többletpot 5 többletpot lehetége Belő vzga Külő vzga ábra A Vzgazabályzat módoítáába az érettég vzgák eredméye/elégége letételéhez zükége határt %-ról 5%-ra megemelték, közép- é emelt zte egyarát! Középztű érettégvel redelkező hallgató eélye elég cekélyek, ok alapvető háyoággal redelkezk Ematt ok eergát kell befektete a taulába Emeltztű érettégvel már agyobb eéllyel dul, bár tt vaak háyoágok Az emelt ztű érettég jóval ehezebb a középztűél, de alacoyabb % határtól lehet érte jobb jegyet kap é tatárgyakét (max ) 5 potot jár érte, ha az legalább 5%-o, é aak alapjá zámolják k a felőoktatá tézméyek a jeletkező zerzett potját 3 Két feladat az emelt ztű írábel érettégről Egy meghbáodott katoa műhold mozgáát egy órá kereztül akarták fgyel a zakemberek A műhold Földtől való távolágát a megfgyelé kezdetétől az alább f(x) függvéy írja le (az egyég az x tegelye: 6 perc, az y tegelye 5 méter): x 4x,ha x 3 f ( x ) x 8x 8,ha x > 3 a) Mlye magaa volt a műhold a megfgyelé kezdetekor? b) Egy radar mde olya tárgyat ézlel, mely a földtől legfeljebb,5 km távolágra va Mkor ézlelte ez a radar a műholdat? Megoldá: Átalakítva, telje égyzetté alakítva a függvéy hozzáredelé zabályát, ábrázolva a függvéyt ( ábra): ábra

38 Átmeet a középkola é az egyetem között egy matematka taár zemével 35 x 4x ( x ) 6 x 8x 8 ( x 4 ) 8 Kzámolva a kezdet értéket: f ( ) ( ) 6 Tehát 5 5 m magaa volt a méré kezdeté Átváltva a magaágot: 5 y 7, tehát a grafkoról leolvava: x 3 vagy 5 x, 5 azaz 6 é 8perc között, valamt a 3perc utá érzékel a radar A PQRS égyzög cúca: P(3; -), Q(; 3), R(-6; ) é S(-5; -5) Döte el, hogy az alább három állítá közül melyk gaz é melyk ham! A PQRS égyzögek c derékzöge A PQRS égyzög húrégyzög A PQRS égyzögek c zmmetra-cetruma Megoldá: Ábrázolva (3 ábra) a potokat koordátaredzerbe: Felírhatjuk az egye oldal vektorokat: r v RS ( 7 v RQ ( 7 r ) v PQ ( 4 r ) v PS ( 8 4 Felírva a két zomzédo oldalvektorok kalár zorzatát, kapjuk, hogy: r r r r v v 6 6, lletve v v 7 7 PS PQ RS RQ Tehát a égyzögek va derékzöge, é húrégyzög, mert zemközt zögeek özege 8 Felírva a két zemközt cúcok által meghatározott zakaz felezőpotjat: F ( ; ), lletve 3 F RP ; Tehát c zmmetracetruma 4 Két feladat az emelt ztű zóbel érettégről Háy olya ötjegyű poztív zám va, amely oztható 3-mal é 6-ra végződk? Megoldá: Az ötjegyű zámok közül a 6 a legelő megfelelő 56 a következő, tehát 3- akét követk egymát Így egy zámta orozatot kapuk, melybe M 6, lletve d 3 Az általáo tagot felírva: a a ( ) d ( ) Mvel termézete zám, ezért 6 3 < 3 ábra db lye zám létezk SQ

39 36 Nagy Z tgx ctgx Oldja meg a következő egyeletet a való zámok halmazá: x! Megoldá: Átalakítva az egyeletet: x co x co x x x x co x x x co x x x x vagy x π x ± k π 4 k Z Így kapjuk a megoldáokat: ( ) Már tzehét hvatalo emelt ztű érettég zajlott le, az ezeke ktűzött feladatokat vzgálva (lád a fet két példa) ajo olya egyzerű, már-már típufeladatkét a köyebbk fajtából való problémákkal kellett zembeézük a dákokak, melyek éháy évvel ezelőtt (a témaköröktől eltektve) legfeljebb a hagyomáyo "ormál" érettég zerepelhettek vola, a közö érettég-felvétel lye feladat zóba em jöhetett! A zóbel alkalmával ok zépe felkézült vzgázóval találkoztam, akk ezek az egyzerű feladatokat rutzerűe oldották meg De ajo ok olya vzgázó volt, ak em tudott ezekkel a problémákkal megküzde Az emelt ztű vzga megkövetelée pedg óhatatlaul magával hozza a tömegeítét, é a mezőy tovább híguláát! Vajo hová vezethet az a folyamat, az az út, melye eldultuk a matematka zűkített taayagát é az újfajta követelméy-redzert tektve? Szertem em ok jóra Sokzor tapaztaljuk, mzert az de elő éve hallgatók akkek fő vagy alapozó tárgya a matematka körébe a vzgadőzakba a bukottak aráya többzöröe aak, mt amt a korább évekbe megzoktuk Az aráy pedg egyre cak romlk Néháy tpku probléma az egyetem matematka gyakorlatokról: 6? 6 Mért változk az előjel? <, <, Abzolút értéke egyelőtleéget 3 3 ok hallgató képtele megolda Elem függvéyek ábrázoláa agyo okukál okoz godot, em merk őket! Trgoometrku özefüggéek hazálatával ceek tztába Ez ugya közép zte em követelméy, de emelt zte ok helye cak értőlegee taítják, megmaradak a x é co x taítááál Algebra evezete zorzatok hazálata Valózíűég fogalmával egyáltalá ceek, vagy cak rézbe vaak tztába, godolkodá élkül leírják végeredméyül: P( A ) >! Ezeke a problémáko cak agyo ok gyakorláal, felzárkóztatáal tuduk egíte Továbbra célzerű ztfelmérőt írat a bekerülő középkoláokkal, é a ztet el em érőket kötelez egy alapozó tárgy felvételére, am előfeltétele lee az egyetem matematka taulááak

40 DIMENZIÓK 37 Matematka Közleméyek I kötet, 3 A 3D, 7-paramétere dátum trazformácó megoldáa Gröberbázba é a Bura-Wolf modellbe Kalmár Jáo - Závot Józef MTA CSFK GGI A zámítátechka fejlődée hozta magával, hogy az alkalmazott matematka érdeklődééek középpotjába a zámítógépe algebra redzerek (CAS) kutatáa é alkalmazáa került Az előadába a térbel haolóág trazformácó emleár feladatáak megoldáára mutatuk be két modellt Az elő modell a 7 paramétere, 3D trazformácó feladatot a Gau-Jacob féle kombatorku kegyelítéel oldja meg Gröber bázo alapuló algebra techkával Az előadá máodk réze a kvaterók alkalmazáát mutatja be a forgatá, az eltolá é a méretaráy paraméterek meghatározáára a Bura-Wolf dátum trazformácó modellbe Mdkét algortmuak előye az, hogy emcak közel zögelforduláok eeté alkalmazható, továbbá c zükég learzálára é terácóra a trazformácó paraméterek zámítáához Bevezeté A koordáta-redzerek között áttéré orá kemelkedő jeletőégű a 3D, 7 paramétere Helmert-féle trazformácó alkalmazáa, ez a legelterjedtebb módzer a GPS redzerek között átzámítáok elvégzéébe A gyakorlatba hazálato eljáráok általába közelítő, terácó megoldáokat hazálak A dátum trazformácó probléma újzerű tárgyaláát Awage é Grafared () é (3) ckke vezették be Ötletük alapjá az R forgatá mátrxot egy ferdé zmmetrku mátrx egítégével írták fel Závot (5) taulmáya javította a modellt, Závot é Jacó (6) ckke pedg továbbfejleztette a zakrodalomba mert algortmut A Závot (999 publkácó a 3D, 7 paramétere haolóág trazformácó L ormá megoldáát tárgyalja A zámítógéppel támogatott algebra redzerek elterjedéével megjeletek egzakt, aaltku megoldát adó modellek Ezekek a modellekek gyakorlat hazálatát az akadályozza, hogy az átzámítához hazált közö potok zámáak övekedéével kombatorku robbaá lép fel, azaz a feladat a zámítátechka ma álláa mellett em oldható meg való dőbe A feladat eze taulmáyba mertetett emleár megoldáa orá az egyeleteket em kell learzál, em zükége terál é a két koordáta-redzer (lokál-globál refereca redzer) kovaraca kapcolata automatkua felhazálára kerülek A taulmáy mertet a Gau-Jacob kombatorku algortmu matematka elméletét, a túlhatározott 3D, 7 paramétere trazformácó megoldáát Gau-Jacob kombatorku modell A 3D, 7-paramétere (Helmert) haolóág trazformácó a következő modellel adható meg: a trazformácó (X,, Z)-tárgypot é az (x, y, z)-célpot koordáta-redzer között