Operációkutatás tantárgyi kalauz

Átírás

1 Libor Józsefné dr. Operációkutatás tantárgyi kalauz Szolnoki Főiskola Szolnok 2006.

2 Operációkutatás Tantárgyi kalauz Ez a kalauz az alábbi tankönyvekhez készült: Libor Józsefné dr. Hanich József: Operációkutatás főiskolai jegyzet (Szolnoki Főiskola, Szolnok, 2000.) Továbbiakban: Tk. Libor Józsefné dr. Hanich József: Operációkutatás feladatgyűjtemény (Szolnoki Főiskola, Szolnok, 2000.) Továbbiakban: Fgy. Ajánlott irodalom: Libor Józsefné dr. Hanich József: Operációkutatás tanulási útmutató (Szolnoki Főiskola, Szolnok, 2000.) Továbbiakban: Tú. Tananyagíró: Libor Józsefné dr. Távoktatási szerkesztő: Fazekas Judit Kiadványszerkesztő: Román Gábor Sorozatszerkesztő: Zarka Dénes Kiadja a Szolnoki Főiskola. Felelős kiadó: dr. Törzsök Éva rektor Szolnoki Főiskola, Minden jog fenntartva. A kalauzt, vagy annak részeit tilos bármilyen formában, illetve eszközzel másolni, terjeszteni vagy közölni a Kiadó engedélye nélkül.

3 Tartalom Tartalom... 3 A kalauz szerkezete... 4 Bevezetés... 5 Mátrixaritmetikai ismeretek felelevenítése... 9 Lineáris tér... 5 Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lineáris programozási feladatok megoldása grafikusan... 3 Beküldendő feladatsor I Programozási feladatok alapfogalmai, szimplex módszer Szimplex módszer (folytatás), módosított normál és általános feladat megfogalmazása Dualitás Szállítási feladat alapfogalmai, induló szétosztás megadása Adott szétosztás optimalitási vizsgálata, javítása Beküldendő feladatsor II Excel-Solver programcsomag megismerése Excel-Solver programcsomag további alkalmazásai, ismétlő kérdések, feladatok az önellenőrzéshez

4 A kalauz szerkezete A kalauz feldolgozásakor fontos, hogy értse jelrendszerünket. Íme a legfontosabbak: Így adjuk meg, hogy mennyi ideig tart egy lecke feldolgozása. Célkitűzés: így jelöljük, ha a tantárgy, vagy lecke célkitűzését adjuk meg. Ha ezt az ikont látja, a tankönyvet kell fellapoznia. Önellenőrző feladat Ha ezt a keretet látja, arra kérjük, oldja meg egy erre rendszeresített füzetében a feladatot, ha elkészült, ellenőrizze magát a lecke végén található megoldás alapján! Beküldendő feladat Ha ezt az ikont látja, a megoldást nem találja meg, feladatát be kell küldenie a főiskolára tutorának. 4

5 Bevezetés Kedves Hallgatónk! Örömmel látjuk bizonyára Ön is -, hogy eljutott az Operációkutatás c. tárgy felvételéig. Reméljük sikeresen tudunk együtt dolgozni és a kemény munka jutalmaként eredményesen zárja tanulmányait ebből a szép és érdekes tárgyból is. A tantárgy legfontosabb feladata, hogy segítse a hallgatók közgazdasági gondolkodásának megalapozását, problémamegoldó képességének fejlesztését. Bízunk abban, hogy a tantárgy tanulása során sok hasznos ismeretre tesz szert, amelyeket felhasznál majd a szaktantárgyak tanulásakor, illetve a későbbiekben, a gyakorlati munkája végzése közben. A tantárgyi kalauz készítésénél azt tartottuk szem előtt, hogy Ön lépésről-lépésre megismerve a tananyagot, egyre nagyobb jártasságot szerezzen a feladatmegoldások terén; úgy mintha közvetlenül az előadáson vagy szemináriumon ülve hallgatná a tanára magyarázatait. Reméljük, hogy segíthetünk Önnek abban, hogy sikeresen készüljön fel a tanulmányait lezáró vizsgára. Hogyan használja a tantárgyi kalauzt? A tantárgyi kalauz célja, hogy megkönnyítse elsajátítani az Operációkutatás c. tantárgyat, teljesítse a követelményeket, valamint támogassa Önt a vizsgára való eredményes felkészülésben. Ehhez a tananyagot kisebb egységekre, leckékre osztottuk fel. A leckék feldolgozása az elmélet megtanulásával kezdődik, majd az elmélet gyakorlati alkalmazására kerül sor, feladatmegoldásokon keresztül. Pontosan megmutatjuk, hogy az adott lecke megértéséhez mely részeket kell elolvasnia a tankönyvből, és mely feladatokat kell megoldania a példatárból. Esetenként saját feladatokat is adtunk. Ha az eredményeket ellenőrizni szeretné, a feladat végén felhívjuk a figyelmét arra, hogy hol találja a megoldását. Egyes leckéknél felhívjuk a figyelmet a korábban más tantárgyak keretében megtanultak alkalmazására. Ha szükséges, vegye elő ismét a régebbi tananyagot, és ismételjen! Kérjük, gondosan olvassa el a lecke elején található célokat, ezek ugyanis tartalmazzák a tantárgyat lezáró kollokvium követelményeit is! A tantárgy kreditszáma A tantárgy 3 kredites, tehát összesen 90 tanulási óra szükséges a feldolgozásához. Az egyes leckéknél külön is jeleztük, hogy mekkora időráfordítást igényelnek Öntől. 5

6 A tantárgy tanulásának célja, hogy a kurzus végére Ön ismeretekkel rendelkezzen az operációkutatásról, mint a döntés-előkészítés egyik eszközéről; elsajátítsa a lineáris programozáshoz szükséges matematikai apparátust; alkalmazza a grafikus és szimplex módszert a lineáris programozási feladatok megoldására, megismerkedjen a szállítási problémakörrel és megoldási módszereivel; képes legyen az egyes gazdasági problémákra a megismert matematikai modelleket alkalmazni; alkalmazza a megismert számítógépes programcsomagot (Excel-Solver); képes legyen a Solver program használatával kapott eredmények elemzésére. A tantárgy lezárása A tárgy lezárása 60 perces, írásbeli kollokviummal történik, mely feladatmegoldások mellett néhány fontosabb elméleti kérdést is tartalmaz. A dolgozat összpontszáma: 00, az elérhető érdemjegyek a következőképpen alakulnak: 0-50 elégtelen 5-66 elégséges közepes jó jeles Az iskola honlapján található két mintafeladatsor, megoldással együtt, melyekből képet kaphat a vizsga jellegéről. Ezenkívül az utolsó leckénél szerepel egy lista a fontosabb elméleti kérdésekről, melyek nagy valószínűséggel szerepelhetnek a vizsgán is. Esetleges sikertelen vizsga ismétlésére kétszer van lehetőség a megadott időpontokon belül. Egyéb esetekben is a tanulmányi és vizsgaszabályzatban leírtak a mérvadóak. Hogyan tanuljon? Legfontosabb, hogy rendszeresen és alaposan! Ehhez a tantárgyi kalauzban sok segítséget nyújtunk. A bevezető rész végén talál egy táblázatot, ennek alapján készítsen magának egy tanulási ütemtervet! Az ütemtervet készítheti a saját füzetébe, vagy a főiskolától kapott naptárba. Fontos, hogy az Ön által választott tempó szerint, a tervezett vizsgaidőpontra minden leckét befejezzen, és a beküldendő feladatokat időben elküldje a főiskolára. Figyeljen arra, hogy egyenletesen ütemezze az anyagot. Javasoljuk, hogy a leckék megtanulásánál kövesse a tantárgyi kalauz útmutatásait. Minden leckénél először a megjelölt kisebb egységeket tanulja meg a könyvből, majd oldja meg az önellenőrző feladatokat. Ezeket úgy állítottuk össze, hogy ellenőrizze az elmélet megértését, gyakorlati alkalmazását. Ezeken kívül a feladatgyűjteményből érdemes minél több példát önállóan is megoldani a különböző feladat-megoldási technikák gyakorlásához. Végül mindig ellenőrizze a tudását a kijelölt feladatok alapján. Csak akkor lépjen tovább egy-egy leckéről az újabbhoz, ha a megoldások hibátlanok. 6

7 Ha egy önellenőrző feladatot nem tud megoldani, akkor érdemes azzal az anyagrésszel tovább foglalkozni, nehogy a vizsgáztató hívja fel a hiányosságaira a figyelmet! Ha úgy érzi, hogy nem sikerül megoldani egy feladatot, keresse meg tanulótársait, bizonyára tudnak segíteni. Ha ez sem megy, írjon, vagy telefonáljon a főiskola megadott címére, telefonszámára, és mi segítünk Önnek. A tanulás során nagyon fontos a fogalmak pontos ismerete. Javasoljuk, hogy a feladatmegoldásoknál is kérdezzen vissza sajátmagának a megoldáshoz szükséges elméleti kérdésekre. (Pl. Miért is lesz független az adott vektorrendszer? Mit jelent a függetlenség?) Ezekkel az ismétlésekkel egyrészt meg is tanulja gyorsan az adott fogalmat, másrészt megszokja, hogy a válaszait indokolni kell a vizsgadolgozatban is. Ha egy feladatnál nem azt az eredményt kapta, ami a megoldásban szerepel, először ellenőrizze a számításait, hiszen előfordulhat, hogy csak elszámolt valamit. Ha nem ez történt, nézze át a már kidolgozott feladatokat a témában, és utána próbálja meg újra megoldani a problémás feladatot. (Mivel az algoritmusnál csak a négy alapműveletet használjuk, a kisiskolás gyerekek nagyon élvezik, ha ellenőrizhetik anya vagy apa feladatait! Tehát jöhet akár más oldalról is a segítség.) Az egyes leckék feldolgozását 2-3 pihenő beiktatásával végezze el, hiszen egy két-három órás számolás után már összefolynak az adatok, nem intenzív a figyelem. Ilyenkor egy kis testmozgás a jó levegőn sokat jelenthet. A beküldendő feladatot mindenképpen oldja meg! Ezzel egyrészt gyakorol, másrészt még a vizsga előtt egy szakértő tutor értékeli munkáját. Ezzel időben segíthet helyre tenni bizonyos félreértéseket, feltárni olyan hiányosságokat, melyek a vizsga eredményességét veszélyeztetik. Ezen kívül tanácsokat is kaphat, hogy miként javíthatja teljesítményét. Kérjük, hogy a megoldásokat lehetőleg postai úton küldje el a főiskolára, a tantárgy felvételekor egyeztetett címre. Aki jól tudja kezelni az egyenletszerkesztőt, elkészítheti elektronikus formában is és elküldheti -ben. Scannel-t formában ne küldjön megoldásokat! Nem lehet jól belejavítani, szinte kezelhetetlen. Szöveges értékelésre egy-két héten belül számíthat. A tanuláshoz a következő kiadványokat használja Libor Józsefné dr. Hanich József: Operációkutatás főiskolai jegyzet (Szolnoki Főiskola, Szolnok, 2000.) Továbbiakban: Tk. Libor Józsefné dr. Hanich József: Operációkutatás feladatgyűjtemény (Szolnoki Főiskola, Szolnok, 2000.) Továbbiakban: Fgy. Ajánlott irodalom Libor Józsefné dr. Hanich József: Operációkutatás tanulási útmutató (Szolnoki Főiskola, Szolnok, 2000.) Továbbiakban: Tú. A tantárgy tanulás-támogatása, azaz milyen segítséget kap tanulmányai során: A tantárgyat alapvetően önállóan kell elsajátítania, hagyományos előadás, vagy gyakorlat nem tartozik hozzá. A tantárgy feldolgozása során lehetősége lesz egy alkalommal személyesen konzultálni szakértő tutorával, ennek részleteiről a tantárgy felvételekor tájékoztattuk. Ehhez fel kell vennie a kapcsolatot a képzésszervező tutorral, akinek nevét és elérhetőségét a tantárgy felvételekor megadtuk Önnek. 7

8 A tanuláshoz szüksége lesz a megadott jegyzetre és feladatgyűjteményre, ezen kívül csak íróeszköz, esetleg számológép (bár azzal csak elszámolni szokták a feladatokat), egy kisebb vonalzó szükséges. Célszerű az önellenőrző feladatok megoldására egy külön füzetet használni. Az ajánlott irodalomként megadott útmutatót azoknak ajánljuk, akiknek az önellenőrző feladatok megoldása nem volt problémamentes, vagy többet szeretnének gyakorolni. Mindhárom (a két kötelező és egy ajánlott) irodalom felépítése azonos, együtt használhatóak. Tanulási ütemtervem A tanulási ütemterv elkészítése előtt arra kérjük, hogy vegye elő a füzetét és naptárát, valamint nyomtassa ki a táblázatot! A kialakított tervet a tantárgy tanulása közben tegye jól látható helyre! Munkája megkönnyítésére az alábbi tanulási ütemtervet állítottuk össze Önnek: Lecke száma Lecke címe Időigény Típus Mikor tanulom? l. Mátrixaritmetikai ismeretek felelevenítése 6 óra Feldolgozó 2. Lineáris tér 7 óra Feldolgozó 3. Bázistranszformáció és alkalmazásai 7 óra Feldolgozó 4. Lineáris egyenletrendszerek megoldása 5. Lineáris programozási feladatok megoldása grafikusan 7 óra Feldolgozó 7 óra Feldolgozó 6. Beküldendő feladatok I. 4 óra Beküldendő 7. Programozási feladatok alapfogalmai, szimplex módszer 8. Szimplex módszer (folytatás), módosított normál és általános feladat megfogalmazása 7 óra Feldolgozó 6 óra Feldolgozó 9. Dualitás 7 óra Feldolgozó 0. Szállítási feladat alapfogalmai, induló szétosztás megadása. Adott szétosztás optimalitási vizsgálata, javítása 7 óra Feldolgozó 7 óra Feldolgozó 2. Beküldendő feladatok II. 4 óra Beküldendő 3. Excel-Solver programcsomag megismerése 4. Excel-Solver programcsomag további alkalmazásai, ismétlő kérdések, feladatok az önellenőrzéshez 7 óra Feldolgozó 7 óra Feldolgozó Reméljük, bevezetőnkben minden lényeges információt megtalált, és nincs akadálya annak, hogy elkezdje az első lecke feldolgozását! Jó tanulást, sikeres felkészülést kívánunk Önnek! 8

9 . lecke Mátrixaritmetikai ismeretek felelevenítése A lecke feldolgozásához szükséges idő: 6 óra. Bevezetés Az első kérdés, ami felvetődött biztosan minden hallgatóban, aki eddig eljutott, hogy mit is jelent a tárgy neve. Talán műteni fogunk? Nyilvánvalóan nem, hiszen operáció alatt nemcsak orvosi műtétet, hanem általában valamilyen műveletet értünk. Így aztán az operációkutatás műveletek kutatását jelenti. Milyen műveleteket és milyen céllal fogunk kutatni? Matematikai műveletek alkalmazhatóságát fogjuk vizsgálni különböző gazdasági problémák megoldására. Az operációkutatás azt vizsgálja, hogy a különböző döntési helyzetek megoldásához milyen matematikai modelleket lehet felállítani, és hogyan lehet megoldani azokat. Mivel a főiskolai képzés inkább a gyakorlati alkalmazhatóságot, mint az elméleti kutatásokat helyezi előtérbe, így mi a már kidolgozott modelleket azok közül is csak néhányat fogunk megismerni és alkalmazni. A tárgy érdekes történeti fejlődéséről, néhány alapfeltevésről a Tk.. fejezetében olvashat az érdeklődő. Mint arra biztosan emlékszik, az első félévben a Gazdasági Matematika I. c. tárgyat a mátrixaritmetika fejezettel zárta le. Mivel az operációkutatás tárgy elsajátításához elengedhetetlenek az ott tanult ismeretek, ezért kezdjük tanulásunkat ezek felelevenítésével. Az akkor megismert gazdasági alkalmazásokon túl újabb területeken is szükségünk lesz a mátrixok és a velük végezhető műveletek alapos ismeretére. A lecke feldolgozása során Ön elmélyíti a Gazdasági Matematika I. c. tantárgynál már megismert alapfogalmakat; felismeri és értelmezi az egyes speciális jelöléseket;képes lesz mátrixok nagyságrendi összehasonlítására; biztonsággal végez mátrixműveleteket; alkalmazza a lineáris és konvex lineáris kombinációt; sikeresen végez mátrix-szorzást és hatványozást; gyakorlatot szerez a mátrixok gazdasági alkalmazásában. Kezdjük tehát az alapfogalmakkal. Az első félévben kapott CD-ről ismételje át a Gazdasági Matematika I. mellékleteként szereplő anyagot. Ha netalán ez már nincs meg, akkor sincs baj, hiszen a Tk. 2. fejezete ezzel a témakörrel foglalkozik. Tanulmányozza a Tk oldalát, valamint a Fgy oldalán lévő. és 2. kidolgozott feladatot! Az elméleti ismeretek elsajátítása után tegye próbára tudását! 9

10 . önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy.. oldalán lévő. feladat a)-e) kérdéseit!. megoldás Fgy. 25. oldalán. 2. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 2. oldalán lévő 2. feladat a)-d) kérdéseit! 2. megoldás Fgy. 25. oldalán. Ajánlott feladatok: a) Oldja meg a Tú. 8. oldal. a), b), c) ellenőrző kérdését (megoldás a Tú. 2. oldalán)! b) Oldja meg a Tú. 0. oldal. gyakorló feladatát (megoldás a Tú. 4. oldalán)! Most már vizsgálhatjuk a relációkat, valamint a műveletek közül az összeadást és a skalárral való szorzást. Ismétlésként olvassa át a Tk oldalát és tanulmányozza a Fgy. 7. oldalán lévő. kidolgozott feladat a) és b) részét! Több feladaton keresztül gyakorolhat. 3. önellenőrző feladat Legyenek adottak az alábbi vektorok: a = [ -2, 0, 3, 5, - ]* és b = [ -, 0, 4, 7, ]* a) Hasonlítsa össze nagyságrendileg az a és b vektort! b) Adja meg az 5a, valamint a -2b vektorokat! 3. megoldás A megoldás a lecke végén található. 4. önellenőrző feladat Legyenek adottak az alábbi mátrixok: A = 0 3, B = 2, C = Hasonlítsa össze nagyságrendileg (ha lehet) az A-t a B-vel, majd az A-t a C-vel és végül a B-t a C-vel! 4. megoldás A megoldás a lecke végén található. 0

11 5. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 2. oldal 3. a) és b) feladatát! 5. megoldás A Fgy. 25. oldalán. 6. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 2. oldal 4. a) és b) feladatát! 6. megoldás A Fgy. 25. oldalán. Ajánlott feladatok: a) Oldja meg a Tú. 9. oldal 2. és 3. feladatát! (megoldás a Tú. 2. oldalán) b) Oldja meg a Tú.. oldal 3. gyakorló feladatát! (megoldás a Tú. 4. oldalán) A későbbi feladatmegoldások során nagyon sokszor lesz szükségünk a lineáris kombináció és a konvex lineáris kombináció műveletekre. Olvassa el a Tk. 24. oldalát, valamint tanulmányozza a Fgy. 7. oldal. kidolgozott feladatának d) részét, majd a 8. oldal 2. kidolgozott feladatát! 7. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 2. oldal 5. a) és b) feladatát! 7. megoldás A Fgy. 25. oldalán. 8. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 2. oldal 6. a) feladatát! 8. megoldás A Fgy. 26. oldalán. 9. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 3. oldal 7. feladatát! 9. megoldás A Fgy. 26. oldalán.

12 0. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 3. oldal 8. a) és b) feladatát! 0. megoldás A Fgy. 26. oldalán.. önellenőrző feladat Adja meg annak a szakasznak az összes pontját, melynek végpontjai: a = [ -2, 3 ]* és b = [, -5 ]*.. megoldás A megoldás a lecke végén található. Ajánlott feladatok: a) Oldja meg a Tú. 9. oldal 4. a) és b) feladatát! (megoldás a Tú. 2. oldalán) b) Oldja meg a Tú. 0. oldal 2. e) feladatát! (megoldás a Tú. 4. oldalán) A mátrixok szorzása, hatványozása az eddigieknél is nagyobb odafigyelést igényel. A művelet megértéséhez szükségünk van a vektorok skaláris szorzatára. Olvassa el a Tk oldalát és tanulmányozza a Fgy. 7. oldal. c) kidolgozott feladatát! Az olvasottak alapján oldja meg a következő feladatokat! 2. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 3. oldal 0. a) és b) feladatát! 2. megoldás A Fgy. 26. oldalán. 3. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 4. oldal 2. a) és b) feladatát! 3. megoldás A Fgy. 27. oldalán. 4. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 4. oldal 3. a) és b) feladatát! 4. megoldás A Fgy. 27. oldalán. 2

13 5. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 5. oldal 9. a) és b) feladatát! 5. megoldás A Fgy. 28. oldalán. 6. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 5. oldal 8. a) feladatát! 6. megoldás A Fgy. 28. oldalán. Ajánlott feladatok: a) Oldja meg a Tú. 9. oldal 5. feladatát! (megoldás a Tú. 3. oldalán) b) Oldja meg a Tú.. oldal 4. feladatát! (megoldás a Tú. 5. oldalán) A diáksanyargatáson kívül mire használhatóak ezek az ismeretek, amiket most már ilyen jól begyakoroltunk? Nézzük a mátrixok és műveleteik gazdasági alkalmazását. Tanulmányozza a Tk oldalát, valamint a Fgy. 9. oldalán lévő. kidolgozott feladatot! Az ismeretek birtokában végezze el a következő feladatokat! 7. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 6. oldal 23. feladatát! 7. megoldás A Fgy. 29. oldalán. 8. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 7. oldal 25. feladatát! 8. megoldás A Fgy. 29. oldalán. Ajánlott feladatok: a) Oldja meg a Tú. 9. oldal 7. és 8. feladatát! (megoldás a Tú. 3. oldalán) b) Oldja meg a Tú.. oldal 5. feladatát! (megoldás a Tú. 5. oldalán) 3

14 Befejezés A teljes lecke feldolgozásának eredményességét ellenőrizheti, ha elvégzi a Tú. 5. oldalán szereplő feladatsort - mint egy kis dolgozatot -, a megoldása is szerepel a 6-7. oldalon. Amennyiben még mindig lennének problémás részek, olvassa el újra a kapcsolódó anyagrészeket, illetve tanulmányozza az első CD-n a Gazdasági Matematika I. c. rész mellékletében leírtakat. A következő leckében szereplő alapfogalmak néha bonyolultnak fognak tűnni, de megértésük nagyon fontos a továbbiak elsajátításához. A magasabb dimenzióban nehezebben elképzelhető állítások kétdimenziós esetre vonatkoztatva már könnyebben ábrázolhatók és megérthetők. Az egyes feladatok megoldása során célszerű lesz mindig visszalapozni a benne szereplő fogalmakhoz, definíciókhoz, hiszen ezek pontos ismerete nélkül nem lehet tovább haladni. Levezetésül egy kis mosolycsalogató: Matekórán senki nem tud semmit. A tanár dühöng: Olyan buták vagytok, hogy az osztály 80%-a meg fog bukni! Mire egy hang hátulról: Haha, nem is vagyunk annyian! Megoldások 3. megoldás a) Mivel -2 < -, 0 = 0, 3 < 4, 5 < 7, - <, így az a b reláció teljesül a két vektor között. (Vagy b a ) b) 5a = [ -0, 0, 5, 25, -5 ]* és -2b = [ 2, 0, -8, -4, -2 ]* 4. megoldás A > B, A C, de a B a C-vel nem összehasonlítható (bár azonos típusúak!) mert nincs olyan reláció, mely minden elemére teljesülne. Hiszen ha csak az első sor elemeit nézzük: 0 <, de -4 > -6.. megoldás Mivel a szakasz pontjait a két végpont összes konvex lineáris kombinációja adja, így a megoldás: αa + (- α)b (vagyis: α [ -2, 3 ]* + (- α) [, -5 ]* ) ahol 0 α. 4

15 2. lecke Lineáris tér A lecke feldolgozásához szükséges idő: 7 óra. Bevezetés A továbbiakban folytatjuk a vektorok és mátrixok vizsgálatait. Láttuk, hogy a mátrixok is felépíthetők vektorokból (sor- vagy oszlopvektorokból), így elsődlegesen a vektorok vizsgálatára szorítkozunk, majd szükség szerint eredményeinket kiterjesztjük a mátrixokra is. Bár háromnál több elemű vektor ábrázolását már nem tudjuk megoldani geometriai módon, mégis fontos a magasabb elemszámú vektorok vizsgálata is. Gondoljunk csak arra, hogy egy n elemű vektor tulajdonképpen egy rendezett szám n-es (n elemből álló, rendezett számsor). Ha pl. egy irodában egy alkalmazott naponta több olyan számlát tölt ki, melynek első számadata kódszám, a második a mennyiség, a harmadik az egységár, a negyedik az ÁFA, az ötödik az engedmény, a hatodik a végösszeg, akkor ő egy rendezett számhatossal dolgozik. Számára mindig egyértelmű, hogy pl. a negyedik helyen lévő szám mit jelent, anélkül, hogy a fejlécet kellene állandóan néznie. Rendezett számsorokkal tehát nap, mint nap találkozunk, és ezekkel műveleteket hajtunk végre, dolgozunk velük, anélkül, hogy koordinátarendszerben tudnánk ábrázolni őket. Az általános, n-dimenziós esetekre kimondott tételek persze érthetőbbek lesznek, ha két dimenzióban megvizsgáljuk az érvényesülésüket. A lecke feldolgozása után Ön képes lesz eldönteni egy halmazról, hogy lineáris teret alkot-e; létrehozni valódi és nem valódi altereket; értelmezni a lineáris tér alapfogalmait (generátorrendszer, lineáris függetlenség, rang, bázis, dimenzió); meghatározni adott vektorrendszer és mátrix rangját; eldönteni egy kvadratikus mátrixról, hogy szinguláris-e. A lineáris tér és altér fogalmának elsajátításához olvassa el a Tk oldalát és tanulmányozza a Fgy. 2. oldalán lévő., valamint a 22. oldal 2. kidolgozott feladatát!. önellenőrző feladat Próbálja meg önállóan is megoldani a Fgy. 22. oldal 2. feladatát!. megoldás A Fgy. 22. oldalán. 5

16 2. önellenőrző feladat Próbálja meg önállóan megoldani a Fgy. 23. oldal 2. feladatát! 2. megoldás A Fgy. 23. oldalán A következő feladatokon tovább gyakorolhat. 3. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 28. oldal. a) feladatát! 3. megoldás A Fgy. 30. oldalán. 4. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 29. oldal 4. a) és b) feladatát! 4. megoldás A Fgy. 3. oldalán. Ajánlott feladat: Válaszoljon a Tú. 20. oldal 6. a)-e) kérdéseire! (megoldás a Tú. 22. oldalán) Most már egy adott halmazról el tudjuk dönteni, hogy alteret határoz-e meg vagy sem. De vajon hogyan tudnánk mi létrehozni altereket? Ehhez lesz segítségünkre a generátorrendszer. Olvassa el a Tk oldalát és tanulmányozza a Fgy. 24. oldal. és 2. kidolgozott feladatát! Az elméleti ismeretek elsajátítása után tegye próbára tudását! 5. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 30. oldal 7. a)-d) feladatát! 5. megoldás A Fgy. 32. oldalán. Ajánlott feladat: Oldja meg a Tú. 2. oldal. feladatát! (megoldás a Tú. 23. oldalán) A fejezet talán legfontosabb fogalma a lineáris függetlenség (gyakran rá is kérdezünk a vizsgán!). A hozzá kapcsolódó tételek tanulmányozása nagyban segíti a definíció megértését és a későbbi feladatmegoldásokat is. Olvassa el figyelmesen a Tk oldal lap tetejéig és tanulmányozza a Fgy. 25. oldal. kidolgozott feladatát! 6

17 Az olvasottak alapján oldja meg a következő feladatokat! 6. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 29. oldal 5. a)-d) feladatát! 6. megoldás A Fgy. 3. oldalán. 7. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 29. oldal 6. a) és b) feladatát! 7. megoldás A Fgy. 3. oldalán. Ajánlott feladat: Oldja meg a Tú. 2. oldal 2. feladatát! (megoldás a Tú. 24. oldalán) A függetlenséghez és az összefüggőséghez szorosan kapcsolódik még néhány fontos fogalom, melyeket el kell sajátítanunk. Olvassa el a Tk oldalig és tanulmányozza a Fgy. 26. oldal 2., valamint a 27. oldal. kidolgozott feladatát! A megismert új fogalmak biztos elsajátításához oldja meg az alábbi feladatokat! 8. önellenőrző feladat Vegyük a Fgy. 29. oldal 5. c) feladatában szereplő vektorokat. A c 3 vektor kompatibilis-e a c, c 2 vektorokból álló vektorrendszerrel? 8. megoldás A megoldás a lecke végén található. 9. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 30. oldal 6. c) feladatát! 9. megoldás A Fgy. 32. oldalán. 0. önellenőrző feladat Válaszoljon a Fgy. 30. oldal 6. a) kérdésére anélkül, hogy a definíció alapján vizsgálná a vektorokat! Csak az előző feladat eredményére sorvektorrendszer és oszlopvektorrendszer rangja is 2 - támaszkodva indokolja válaszát! 0. megoldás A megoldás a lecke végén található. 7

18 . önellenőrző feladat Legyen adott a következő mátrix: Függetlenek-e az A mátrix sorvektorai?. megoldás A megoldás a lecke végén található. 2. önellenőrző feladat A = Oldja meg a Fgy. 30. oldal 8. a) és b) feladatát! 2. megoldás A Fgy. 32. oldalán. 3. önellenőrző feladat Vegyük a Fgy. 29. oldal 5. c) és d) feladatának adatait. Szinguláris-e a C= [ c, c 2, c 3 ], valamint a D = [d, d 2, d 3 ] mátrix? 3. megoldás A megoldás a lecke végén található. Ajánlott feladatok: a) Válaszoljon a Tú. 20. oldal 6. f)-m) kérdéseire! (Megoldás a Tú. 23. oldalán.) b) Oldja meg a Tú. 2. oldal 3., 4. és 5. feladatát! (Megoldás a Tú oldalán.) Befejezés A lecke anyagának elsajátítását jól ellenőrizheti a Tú. 26. oldalának feladataival, melyek megoldása is szerepel a 27. oldalon. Ezzel a végére ért ennek a nem túl könnyű anyagnak. A következő lecke segítséget nyújt abban, hogy a szükséges számításokat egy egyszerű algoritmussal elvégezhessük. Már ennek az anyagrésznek a végén felmerült az a probléma, hogy a triviális bázisról hogyan tudunk áttérni egy másik bázisra. Hogyan változnak a vektorok koordinátái? Bár egyszerű kezelhetősége miatt általában a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszert használjuk, de szükség lehet rá, hogy áttérjünk egy másik bázisra. Szabadon választhatunk olyan bázisokat, amelyekben az adott folyamataink egyszerűbben leírhatóak. Ehhez persze meg kell ismerkednünk a bázistranszformációval, vagyis az egyik bázisról egy másikra való áttérés módjával. A következő lecke ehhez nyújt segítséget. 8

19 Jöhet egy kis pihenő? A matektanár dühöng: Harminc tökfej van az osztályomban. Harmincegy! - kiabál be Móricka. Pimasz kölyök! Azonnal menj ki a folyosóra! Ja, így persze, hogy a tanár úrnak lesz igaza! Megoldások 8. megoldás Igen. Nézzük az indoklást! Azt kell vizsgálnunk, hogy létezik-e olyan α és α 2, hogy α c +α 2 c 2 = c 3. Megoldásként adódik: α = 2 és α 2 =. (Gondolja át a következőt: a 6. önellenőrző feladatban azt kaptuk, hogy az adott három vektor lineárisan összefüggő. Ebből viszont adódik a Tk. 49. oldal tetején lévő tétel alapján, hogy a vektorrendszer legalább egy vektora az összes többi vektor lineáris kombinációjaként felírható, vagyis kompatibilis a többivel.) 0. megoldás Nem függetlenek. Tudjuk, hogy egy mátrixnál az oszlopvektorrendszer rangja megegyezik a sorvektorrendszer rangjával. Vagyis ennél a feladatnál az oszlopvektorrendszer rangja is 2. (Lásd 9. önellenőrző feladat). De ez azt jelenti, hogy a 3 oszlopvektor között maximum 2 független lehet (mi is a rang fogalma?), így a 3 vektor már biztosan összefüggő kell, hogy legyen.. megoldás Nem. Nézzük az indoklást! Aki szeret számolgatni, az a definíció alapján vizsgálja meg a 4 sorvektorból álló vektorrendszert! Aki nem szeret számolni, az átgondolja a következőket: Mivel 2 oszlopvektorunk van, így az oszlopvektorrendszer rangja maximum 2 lehet. (Nem biztos, hogy 2, de ennél több biztosan nem lehet.) Ebben az esetben a sorvektorrendszer rangja is maximum 2 lehet, hiszen ezek megegyeznek. Ez meg azt jelenti, hogy maximum 2 független vektora lehet. Tehát a 4 sorvektor biztosan összefüggő kell, hogy legyen. (Egyébként bármely 3 vektora is nyilván összefüggő kell, hogy legyen, ugyanezen okok miatt.) 3. megoldás A C szinguláris, de a D nem szinguláris. Mindkét mátrix harmadrendű (hiszen 3x3-asak), így azt kell megnézni, hogy a rangjuk 3-nál kisebb-e vagy pontosan 3. Ehhez viszont azt kell megnézni, hogy a három sor vagy a három oszlopvektor az adott mátrixoknál független rendszert alkot-e. A 6. önellenőrző feladat c) részében már megkaptuk, hogy a c, c 2, c 3 nem függetlenek (összefüggőek), így az oszlopvektorrendszer rangja biztosan kisebb, mint 3 (így a mátrix rangja is), vagyis a C mátrix szinguláris. A 6. önellenőrző feladat d) részében pedig azt kaptuk, hogy a d, d 2, d 3 függetlenek, így az oszlopvektorrendszer rangja (és így a mátrix rangja is) 3, vagyis a D mátrix nem szinguláris. 9

20 3. lecke Bázistranszformáció és alkalmazásai A lecke feldolgozásához szükséges idő: 7 óra. Bevezetés Mit is jelent maga a bázistranszformáció kifejezés? Egy adott bázisról ami általában a triviális bázis egy másik bázisra való áttérés. Miért van erre szükség? Mert az egyes feladatoknál, problémáknál nem biztos, hogy a triviális bázisban lehet a legkönnyebben kezelni a változóinkat. Az alapkérdés tehát, hogy egy adott bázisban ismert vektor koordinátái hogyan alakulnak egy másik bázisban, milyen transzformációs lépésekkel jutunk el az új koordinátákhoz. Az áttérés egy új bázisra a transzformáció egy algoritmus segítségével könnyen kezelhető, csak előtte persze meg kell ismerkednünk ezzel az algoritmussal. Nagyon fontos, hogy jól sajátítsa el a számítás lépéseit, mert a továbbiakban mindig ezzel az eljárással fogunk dolgozni, feladatot megoldani. Először két dimenzióban vizsgáljuk a problémát, hogy lássuk az egyes lépések eredményeit, majd eljárásunkat kiterjesztjük magasabb dimenziókra is. Ezek után megvizsgáljuk, hogy még milyen következtetéseket tudunk levonni a kapott táblázat adataiból. A lecke feldolgozása után Ön képes lesz két dimenzióban szemléltetni a bázistranszformációt; biztonsággal alkalmazni az elemi bázistranszformációs algoritmust magasabb dimenziójú vektorokra is; felismerni az alkalmazási lehetőségeket; vizsgálni az elemi bázistranszformáció segítségével az előző leckében megismert fogalmakat (függetlenség, kompatibilitás, rang, bázis, dimenzió) egy adott vektorrendszerre, illetve mátrixra vonatkozóan; alkalmazni a mátrixfaktorizációt. Mivel a Tk. az algoritmust az általános esetre tárgyalja ( oldalig), így megértése különös figyelmet igényel. Olvassa el többször is ezeket az oldalakat, majd vesse össze az alábbiakkal! Röviden összefoglalva a számítás menetét, az alábbiakat érdemes megjegyezni:. generáló elem egy adott bázisvektor cseréjéhez tartozó koordináta, bármilyen 0- tól különböző szám lehet; 2. a generáló elemmel azonos sorban lévő új koordinátát úgy kapjuk, hogy az adott vektor (amit fel akarok írni az új bázisban) koordinátáját osztjuk a generáló elemmel. Egyúttal ez lesz az adott oszlophoz tartozó q is (x k /c k ); 20

21 3. a többi koordinátát úgy kapjuk, hogy az adott vektor régi koordinátájából kivonjuk a bázisba bekerülő vektor koordinátájának q-szorosát (x i -c i q). Ezután tanulmányozza alaposan a Fgy. 32. oldalán lévő., valamint a Tk oldalig lévő kidolgozott feladatot! Most nézzük a következő problémát: Legyenek adottak a következő két dimenziós vektorok: a = [ 2, 3 ], b = [ -, 2 ] és c = [ -7, 0 ]. (Azért, hogy jobban tudja követni a számítások eredményeit, célszerű ábrázolnia ezeket a vektorokat a kétdimenziós Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben!) Mivel az a és b nem esnek egy egyenesbe, így biztosan nem összefüggőek (egyik a másiknak biztosan nem valamilyen konstansszorosa), vagyis független rendszert alkotnak. (Ellenőrzésként, gyakorlásként vizsgálja meg a és b függetlenségét a definíció alapján!) Látható tehát, hogy bázist alkot az a és b vektorból álló vektorrendszer. Térjünk át erre az új bázisra a triviális bázisról. Először cseréljük ki az a vektort az e vektorral. Mik lesznek a b és c új koordinátái? Írjuk fel az adott három vektort a triviális bázisban: a = 2e + 3e 2, b = -e + 2e 2, c = -7e + 0e 2. Az első összefüggésből kifejezhetjük az e -et: e = 0,5a,5e 2, majd ezt beírhatjuk a b és c kifejezésébe. Rendezés után kapjuk a következőket: b = -0,5a + 3,5e 2, valamint c = -3,5a + 0,5e 2. (A vektorok koordinátáinak behelyettesítésével ellenőrizhetjük a kapott eredményt, sőt az ábránkon is vizsgálhatjuk az adott vektorműveleteket.) Most nézzük, hogy ugyanezek a lépések miként alakulnak a mi táblázatos módszerünkkel: a b c b c a (e ) e ,5-3,5 3,5 0,5 q=-0,5 q=-3,5 3,5 = 2-3(-0,5) illetve 0,5 = 0 3(-3,5) A következő lépés legyen a b és e 2 csere. Először vezessük le ezt is a táblázat nélkül. Mivel b = -0,5a + 3,5e 2, ebből az e 2 kifejezhető, és c-be beírható. Kapjuk: e 2 = /7 a + 2/7 b, illetve c = -2a + 3b. Most nézzük megint ezt a lépést a táblázatunkkal: a b c b c c a (e ) b (e 2 ) ,5-3,5 3,5 0,5-2=-3,5 (-0,5) q=3 Eredményünket megint csak ellenőrizhetjük a koordináták behelyettesítésével, illetve követhetjük a műveleteket a koordinátarendszerünkben. (Természetesen az eredményt megkaptuk volna az α a + α 2 b = c megoldásával is, de így lépésről lépésre tudtuk követni a transzformáció folyamatát.) 2

22 Az alábbi feladatokkal ellenőrizheti tudását.. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 39. oldalán lévő. a) és b) feladatot!. megoldás A Fgy. 33. oldalán. 2. önellenőrző feladat Legyenek adottak L 2 -ben az alábbi vektorok: a =[5, -], a 2 =[2, -2] és b=[3, -7]. a) Az a és a 2 vektorok bázist alkotnak-e L 2 -ben? b) Ha a)-ban a válasza igen, akkor adja meg a b vektort ebben az új bázisban! c) Oldja meg a b) feladatot úgy is, hogy más vektorcseréket alkalmaz a transzformációnál! 2. megoldás A megoldás a lecke végén található. Ajánlott feladat: Oldja meg a Tú. 3. oldal. feladatát! (Megoldás a Tú. 35. oldalán.) Most vizsgáljuk meg egy kicsit jobban, hogy még milyen információkat tudunk leolvasni a bázistranszformációs táblázatunkból. Olvassa el a tankönyv oldalát és tanulmányozza a Fgy oldaláig lévő kidolgozott feladatokat! Az ismeretek birtokában végezze el a következő feladatokat! 3. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 39. oldal 2. a)-d) feladatait! 3. megoldás A Fgy. 33. oldalán. 4. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 40. oldal 3. a)-c) feladatait! 4. megoldás A Fgy. 34. oldalán. 5. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 42. oldal 7. feladatát! 5. megoldás A Fgy. 34. oldalán. 22

23 6. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 42. oldal 9. A, B, és C feladatát! 6. megoldás A Fgy. 35. oldalán. Ajánlott feladatok: Oldja meg a Tú. 3. oldal 2. és 3. feladatát! (Megoldás a Tú oldalán.) Láttuk, hogy táblázatunk segítségével meg tudjuk határozni egy adott vektorrendszer függetlenségét, így a rangját is (ebből kvadratikus mátrixnál a szingularitást), el tudjuk dönteni, hogy bázist alkotnak-e (így a dimenziót is ismerjük), illetve a kompatibilitást is le tudjuk olvasni. Most nézzünk egy újabb, de legalább ilyen fontos alkalmazást, a mátrixfaktorizációt. Olvassa el a Tk oldalát és tanulmányozza a Fgy oldalán lévő. és 2. kidolgozott feladatot! Az olvasottak alapján oldja meg a következő feladatokat! 7. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 44. oldal 3. A, B, és E feladatát! 7. megoldás A Fgy. 35. oldalán. 8. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 44. oldal 4. feladatát! 8. megoldás A Fgy. 35. oldalán. (Vigyázat, az adott táblázat még tovább számolható, nem a végső állapotot mutatja, hiszen a 2 vagy a 5 még bevonható a bázisba.) 9. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 45. oldal 5. feladatát! 9. megoldás A Fgy. 36. oldalán. (A feladatnál a második megadott oszlopvektor indexe lemaradt a nyomtatásnál, helyesen: a 3. Az A mátrixot a mátrixfaktorizáció segítségével is megadhatjuk a c) kérdés után.) Ajánlott feladatok: Oldja meg a Tú. 32. oldalán lévő 4. és 5. feladatot! (Megoldás a Tú oldalán.) 23

24 Befejezés A leckében tanultakat jól tudjuk ellenőrizni a Tú. 39. oldalán lévő feladatsor végigszámolásával, melynek megoldása a Tú oldalán található. Bár az elején nehéznek tűnt az algoritmus, de most már látjuk, hogy egy számolás-sorral sok-sok kérdésre tudunk válaszolni. Gondoljuk csak meg, hogy az előző feladatok kérdéseire, ha a definíciók alapján kellene válaszolni, az számos különálló feladatot jelentene. Begyakorolva az algoritmust amihez, mint láttuk a 4 alapműveleten és a fogalmak ismeretén kívül nem kell más, magasabb dimenziós esetekben is jól boldogulunk és le tudjuk vonni a szükséges következtetéseket. A következő leckében további alkalmazását fogjuk megismerni az algoritmusnak, nevezetesen a lineáris egyenletrendszerek megoldásában fogjuk ismereteinket alkalmazni. Ezután a jó sok számolással járó fejezet után is megérdemlünk egy kis kikapcsolódást: Apu, mit szólnál hozzá, ha kapnál tőlem a születésnapodra egy új kulcstartót? Kedves volna tőled, de egy jó bizonyítványnak jobban örülnék. Késő, a kulcstartó már megvan. Megoldások 2. megoldás a), b) Táblázatos módszerünkkel tudunk mindkét kérdésre válaszolni: a a 2 b a 2 b b a a q = 2 q = 7 q = 4 Vagyis a és a 2 bázist alkot és b = - a + 4 a 2. c) Lehet például a következő választás is: a a 2 b a b b a 5 2 a /2-4 7/2-4 q = ½ q = 7/2 q = - (Koordinátarendszerben ábrázolva ellenőrizheti a műveletek helyességét!) 24

25 4. lecke Lineáris egyenletrendszerek megoldása A lecke feldolgozásához szükséges idő: 7 óra. Bevezetés A gazdasági problémák többségében, de az élet számos területén is találkozunk olyan esetekkel, amikor a változóink között lineáris kapcsolatok ismerhetők fel. Ezeket a kapcsolatokat elemezni tudjuk a lineáris egyenletrendszerek vizsgálatával. Természetesen, ha csak néhány (2 vagy 3) változónk van, akkor az általános és a középiskolában megismert módszerek közül is válogathatunk (pl. egyenlő együtthatók módszere). De az élet sajnos vagy inkább szerencsére produkál olyan helyzeteket, ahol akár 0-es, 00-as nagyságrendű is lehet a változók száma. Gondoljunk csak pl. arra, hogy egy nagyobb vállalat akár több száz féle terméket is gyárthat, így termékfajtánként szükségünk van különböző változókra. E termékek termeléséhez különböző feltételek, korlátok és lehetőségek tartoznak, melyek leírása, vizsgálata szükségessé teszi a lineáris egyenletrendszerek megoldásának elemzését több változó esetére is. Természetesen számítógépes programok is rendelkezésre állnak ezek megoldásához (pl. Excel), de ezek kezeléséhez is elengedhetetlen, hogy az alapismeretekkel tisztában legyünk. Vágjunk hát bele! A lecke feldolgozása után Ön képes lesz megkülönböztetni a lineáris egyenletrendszer típusait; megfogalmazni a lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának szükséges és elegendő feltételét; eldönteni, hogy megoldható-e egy adott lineáris egyenletrendszer; megadni a lineáris egyenletrendszer általános, partikuláris és bázismegoldását homogén és inhomogén esetben is. Először természetesen tisztáznunk kell az alapfogalmakat. Úgymint: hogyan is néz ki egy lineáris egyenletrendszer, melyik szám mit jelent benne, milyen elnevezéseket használunk? Ezek elsajátításához nyissa ki és olvassa el figyelmesen a tankönyvet a oldalon lévő tételig! Az ismeretek birtokában végezze el a következő feladatokat!. önellenőrző feladat Nyissa ki a feladatgyűjteményt a 46. oldalon és az. feladatban szereplő egyenletrendszert nézve válaszoljon a következőkre: a) Adja meg az A együtthatómátrixot, valamint az x és b vektorokat! b) Milyen típusú az egyenletrendszer homogenitását tekintve? 25

26 . megoldás A megoldás a lecke végén található. 2. önellenőrző feladat Válaszoljon az előbbi a) és b) kérdésre a feladatgyűjtemény 48. oldal 3. feladatában szereplő egyenletrendszert vizsgálva! 2. megoldás A megoldás a lecke végén található. Most már tudjuk, hogy egy lineáris egyenletrendszerben mit is jelent az A, az x és a b és tudjuk, hogy mit jelent az Ax = b kifejezés. Most próbáljuk meg az egyenletrendszerünk bal oldalát úgy felírni, mint az együtthatómátrix oszlopvektorainak egy lineáris kombinációját. 3. önellenőrző feladat Próbálja meg ezt elvégezni a feladatgyűjtemény 46. oldalának. feladatában szereplő egyenletrendszerrel! 3. megoldás A megoldás a lecke végén található. Most már biztosan érthető a tankönyv 80. oldalán lévő tétel. Hiszen ha van megoldás, az azt jelenti, hogy a b vektor előállítható az A oszlopvektorainak valamilyen lineáris kombinációjaként (éppen azt keressük, hogy milyen lineáris kombinációként), de ha visszagondol a 2. leckében tárgyalt kompatibilitás fogalmára, máris adódik a tételünk. Ez a tétel nagyon fontos, éppen ezért kimondása gyakran szerepel a vizsgadolgozatokban is. Tanulmányozza a feladatgyűjtemény 46. oldalának. kidolgozott feladatát! 4. önellenőrző feladat Homogén lineáris egyenletrendszernél miért nem kérdés a megoldhatóság? Keresse meg a helyes választ az alábbiak között! a) Mert a 0 egyetlen vektorrendszerrel sem kompatibilis, így homogén esetben nem létezhet megoldás. b) Mert a 0 minden vektorrendszerrel kompatibilis (hiszen triviális módon biztosan előállítható akármilyen vektorrendszerből), így mindig létezik megoldás. c) Mert nem eldönthető, hogy megoldható-e vagy sem. 4. megoldás A helyes válasz a b). 5. önellenőrző feladat Oldja meg a feladatgyűjtemény 54. oldalának. a) feladatát! 26

27 5. megoldás A helyes megoldást a feladatgyűjtemény 36. oldalán találja. Ajánlott feladat: Tú. 45. oldal. b) feladat, megoldása a 49. oldalon. Az nagyon jó, hogy most már el tudjuk dönteni egy lineáris egyenletrendszerről, hogy megoldható-e, de a fő kérdés mégis csak maga a megoldás. Ennek vizsgálatához először olvassa el a tankönyv oldalait, valamint a 90. oldal első két sorát. Több feladaton keresztül gyakorolhat. 6. önellenőrző feladat a) Döntse el, hogy feladatgyűjtemény 46. oldalán lévő 2. feladat egyenletrendszere megoldható-e? b) Faktorizálja az együtthatómátrixot! c) Adja meg a b-t is az új bázisban és írja fel így az egyenletrendszert! 6. megoldás A megoldás a lecke végén található. Vizsgáljuk meg egy kicsit jobban a 6. önellenőrző feladat c) részében kapott felírást. Látható, hogy az egyenlőségnek akkor is fenn kell állnia, ha a baloldali szorzótényezőket az egyenlet mindkét oldalán elhagyjuk. 7. önellenőrző feladat Végezze el az egyszerűsített egyenletünk baloldalán a szorzást és írja fel az így kapott egyenletrendszert! 7. megoldás A megoldás a lecke végén található. Most lapozzon újra a feladatgyűjtemény 47. oldalán lévő levezetéshez. A 7. feladatban kapottak rendezésével éppen a lap közepén lévő értékeket olvashatjuk le, ami az egyenletrendszerünk általános megoldása. Vagyis olyan szerencsénk van, hogy a bázistranszformációs táblázatból nemcsak a megoldhatóság, hanem maga a végeredmény is leolvasható. Olvassa el újra a tankönyvet a 88. oldal utolsó bekezdésétől a 90. oldal közepéig, majd tanulmányozza az utána szereplő feladatokat a 96. oldal tetejéig! Miután a könyvvel együtt haladva végigszámolta a feladatokat, próbálja meg egyedül is megoldani azokat. 27

28 Végezze el úgy is a feladatokat, hogy más vektorokkal kezdi a bevonásokat. Hasonlítsa össze az így kapott megoldásokat az előzőekkel. 8. önellenőrző feladat Tanulmányozza a feladatgyűjtemény 48. oldalán lévő 3 kidolgozott feladatot, majd oldja meg úgy is, hogy más bevonási sorrendet választ. 8. megoldás Feladatgyűjtemény 48. oldal. (Más bevonás esetén esetleg más lesz a szabad változó, de rendezéssel ugyanazok a megoldások adódnak.) 9. önellenőrző feladat Oldja meg a feladatgyűjtemény 54. oldalán lévő. b), e) és g) feladatokat! 9. megoldás Fgy. 36. oldal 0. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 55. oldal 2. a) és c) feladatot! 0. megoldás Fgy. 37. oldal. önellenőrző feladat A Fgy. 49. oldalán lévő 4. kidolgozott feladatot először próbálja meg önállóan megoldani, majd ellenőrizze!. megoldás A Fgy. 49. oldalán. 2. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 55. oldal 3. feladatát! (A c) és d) kérdéshez ismételje át a 2. leckében megtalálható rang és függetlenség fogalmát!) 2. megoldás Fgy. 37. oldal Ajánlott feladatok: Oldja meg a Tú. 45. oldal. a), b), c), valamint 2, a), b), feladatait. Megoldások: Tú oldal. 28

29 29 Befejezés Az elméleti rész biztos tudása elengedhetetlen a feladatok megoldásához, így természetesen a vizsgán is szerepel ilyen jellegű kérdés is. Az ide kapcsolódó fontosabb ellenőrző kérdéseket megtalálja a tanulási útmutató 44. oldalán az -5. kérdésig. A válaszok pedig a 47. oldalon vannak. Miután ilyen jól elboldogulunk a lineáris egyenletrendszerekkel, hogyan tudnánk legyőzni a lineáris egyenlőtlenségrendszereket? A kérdésre a szimplex módszernél a 7. leckében visszatérünk. Most már biztosan érdekel mindenkit, hogy mire is fogjuk használni ezt a sok matematikai ismeretet, elsajátított számítási módszereket, amikkel eddig találkoztunk. A következő leckékben bepillantunk az alkalmazások körébe, konkrét gazdasági problémákra fogjuk alkalmazni a megismert módszereket. Először csak grafikus, majd a későbbi részekben algebrai módon fogjuk megoldani az egyes gazdasági problémákat. A munka után pedig jöhet a jól megérdemelt pihenő. A jutalom egy kis szóvicc: Hogy hívják a nagyon nehezen megoldható egyenletrendszert? Kegyetlenrendszer. Megoldások. megoldás a) = = = ,, b x x x x A b) Inhomogén, mert b megoldás a) = = = 0 0 0,, b x x x x x A b) Homogén, mert b = megoldás = x x x

30 30 6. megoldás a) Igen, megoldható. Nézzük az indoklást! Tanulmányozza a Fgy. 47. oldal táblázatát, és az alatta lévő két sort. (Természetesen, ha más vektorokat választ bázisnak, más táblázat adódik. Ha ez történt, először hogy a lépéseket tudja követni végezze azokat a transzformációkat, mint a feladatgyűjtemény; majd végezze el a feladatot más bevonásokkal is!) b) A táblázat adataival: = A c) = b Az egyenletrendszerünk pedig Ax = b alapján: = x x x 7. megoldás x + 0x 2 + 2x 3 = 3 valamint 0x + x 2 x 3 = 4.

31 5. lecke Lineáris programozási feladatok megoldása grafikusan A lecke feldolgozásához szükséges idő: 7 óra. Bevezetés Végre elérkeztünk ahhoz a leckéhez, amelyben elkezdődik az eddig tanultak konkrét alkalmazása. Hiszen a leggyakrabban elhangzó kérdés a matematikában az, hogy miért kell ez nekünk, mire tudjuk használni a megszerzett tudást? Ebben a részben elkezdődik azoknak a konkrét gazdasági problémáknak a tárgyalása, melyek megoldásában hasznosulnak a most elsajátított ismeretek. A lehető legegyszerűbb esettel kezdjük a témakör tárgyalását, amikor is két változóval írhatjuk le az adott feladatot. Ez egyrészt azért szerencsés, mert két változót könnyen tudunk kezelni grafikus módon, másrészt az egyszerű esetből szerzett tapasztalatokat át tudjuk majd vinni a bonyolultabb kettőnél több változós esetekre is. A fejezet tárgyalásánál a lineáris egyenesek illetve egyenlőtlenségek ábrázolására lesz szükségünk, mellyel már az általános iskolában megismerkedtünk. Természetesen el kell sajátítanunk azért néhány új fogalmat is. A lecke feldolgozása után Ön képes lesz lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek grafikus ábrázolására, meghatározni egyenesek metszéspontjait, eldönteni egy halmazról, hogy konvex-e és korlátos-e; megoldani egy kétváltozós lineáris programozási feladatot grafikusan;felismerni és értelmezni az egyes specialitásokat. Ha visszagondolunk az első lecke záró részére - a mátrixaritmetika gazdasági alkalmazására -, ott megadott korlátok pl. erőforrások kapacitás-korlátjai között vizsgáltuk adott termelésmennyiség esetén a vállalat eredményességét. Most kicsit fordított a helyzet, nem tudjuk, hogy mennyit termel a cég. Éppen az a kérdés, hogy az adott feltételek mellett milyen termelés esetén lesz maximális a nyeresége a vállalatnak. Olvassa el a Tk oldalát és tanulmányozza a Fgy. 59. oldal. kidolgozott feladatát! Az elméleti ismeretek elsajátítása után tegye próbára tudását!. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 75. oldal. a)-e) feladatát!. megoldás A Fgy oldalán. 3

32 2. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 76. oldal 2. a) és b) feladatát! 2. megoldás A Fgy oldalán. 3. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 78. oldal 5. a) feladatát! 3. megoldás A Fgy. 45. oldalán. 4. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 78. oldal 6. a)-c) feladatát! 4. megoldás A Fgy oldalán. Ajánlott feladat: Oldja meg a Tú. 59. oldal. a) és b) feladatát! (Megoldás a Tú. 63. oldalán.) Nehezebb, de érdekesebb a feladat, ha magát a modellt is nekünk kell felállítanunk. Hiszen általában nem kapja készen a feladatot egy gazdaságvezető, hanem a rendelkezésére álló adatok alapján neki kell a problémát megfogalmazni olyan formában, hogy az kezelhető legyen matematikailag. Nézzünk néhány ilyen feladatot! 5. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 76. oldal 3. feladatát! 5. megoldás A Fgy. 44. oldalán. 6. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 80. oldal. feladatát! 6. megoldás A Fgy oldalán. (A megoldás táblázatos részét egyenlőre nem kell nézni, de ellenőrizni tudja a végeredményt.) 7. önellenőrző feladat Oldja meg a Fgy. 82. oldal 4. feladatát! 7. megoldás A Fgy. 49. oldalán. 32

33 Ajánlott feladat: Oldja meg grafikusan a Tú. 59. oldal 3. feladatát! (Megoldás a Tú oldalán, ahol a táblázatot egyenlőre szintén ne vizsgálja.) Befejezés Ez a lecke volt talán eddig a legegyszerűbb, ugyanakkor elég időigényes a feladatok megoldása. A lecke elsajátításának lemérésére ajánljuk a Tú oldal -3. feladatát megoldani grafikusan. Munkáját a Tú oldalán ellenőrizheti. Láttuk, hogy az optimális megoldás ha létezik mindig a lehetséges megoldások halmazának határán keresendő. A kétdimenziós eset tárgyalásából sok-sok olyan információt nyertünk, melyek fontosak a bonyolultabb feladatok megoldásánál, ahol a grafikus út nem lesz járható. Most már rendelkezünk annyi ismerettel, hogy célszerű összegezni ezeket. Az elsajátított tudásáról a következő leckénél egy beküldendő feladatsor megoldásával adhat számot. Előtte azonban jöjjön egy kis lazítás. Két diák beszélget: Hányasra vizsgáztál? Kettesre. Miből? Kegyelemből. 33

34 6. lecke Beküldendő feladatsor I. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 4 óra. Bevezetés Elérkezett a félév során elsajátítandó tananyag feléhez. Itt az ideje, hogy felmérje a tudását. A feladatok korábbi kollokviumi feladatokból lettek összeválogatva, így a számonkérés formáját is megismerheti. Természetesen az írásbeli kollokviumon nem szerepel ennyi feladat, hiszen annak az időtartama csak 60 perc. Ebben a feladatsorban azonban az eddigi fejezetek mindegyikéből akartunk feladatot adni, és a lehető legtöbb ismeretanyagra rákérdezni. A megoldáshoz íróeszközön, vonalzón (a grafikus megoldáshoz) és esetleg számológépen kívül másra nincs szüksége. A kollokviumon szerepel feladatonként - elméleti kérdés is (főleg definíció kimondása); itt azonban nem szerepelnek ilyen kérdések, hiszen a tankönyvből való átmásolásnak nincs sok értelme. Gyakorlásként, önellenőrzésként javasoljuk: nézze át a Tú fejezetének ellenőrző kérdéseit, melyek válaszait is megtalálja ugyanott. Az alábbi feladatsor megoldását beküldheti ben vagy postai úton is, a tutor által közölt időpontra. Válaszait mindenkor indokolja! A javítást -2 héten belül fogja megkapni. Addig is a szokott ütemben haladjon tovább a többi leckével. Ha a javítással kapcsolatban kérdése merül fel, nyugodtan keresse tutorát, hiszen a hibákból is lehet és kell is tanulni, hogy a vizsgán már ne kövesse el azokat. A lecke feldolgozása után Ön képes lesz biztonsággal végezni mátrixműveleteket; felírni és megoldani egyes gazdasági problémákat mátrixaritmetikai eszközökkel; adott halmazokról eldönteni, hogy lineáris teret illetve alteret alkotnak-e, létrehozni ilyeneket; felidézni a vektorrendszerekre megismert alapfogalmakat (függetlenség, rang, bázis, dimenzió) és ezek összefüggéseit; vizsgálni ezeket az elemi bázistranszformáció segítségével; megadni homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszer általános, partikuláris és bázis megoldásait; grafikus módon megoldani kétváltozós, lineáris programozási feladatokat. 34