OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 1. Nagy Tamás - Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 1. Nagy Tamás - Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK"

Átírás

1 OPERÁCIÓKUTATÁS No. 1. Nagy Tamás - Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK Budapest 2002

2 Nagy Tamás - Klafszky Emil: SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK OPERÁCIÓKUTATÁS No.1 Szerkeszti: Komáromi Éva Megjelenik az FKFP 0231 Program támogatásával a Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem, Operációkutatás Tanszék gondozásában Budapest, 2002

3 Nagy Tamás - Klafszky Emil: SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK Lektorálta: Medvegyev Péter

4 4

5 Tartalomjegyzék 1. Valószín ségszámítási összefoglaló A valószín ségi változó várható értéke és szórása Nevezetes eloszlások Karakterisztikus vagy Bernoulli eloszlás Binomiális eloszlás: Normális eloszlás Lognormális eloszlás Központi határeloszlás tétel Kovariancia és korreláció Geometriai Brown-mozgás A geometriai Brown-mozgás deníciója A geometriai Brown-mozgás paraméterei Közelítés egy egyszer modellel A Brown-mozgás Opciók Az opciók alapvet típusai Opciós stratégiák Egy opciót és egy részvényt tartalmazó stratégia Különbözeti stratégiák Kombinációs stratégiák A Put-Call paritás

6 6 TARTALOMJEGYZÉK 3.4. Egzotikus opciók Az opciók értékének lehetséges tartományai Alsó korlátok Fels korlátok Az opciók árazása Binomiális opcióárazási modell A részvényárfolyam-változás mértékének meghatározása A részvényárfolyam volatilitásának mérése Black-Scholes formula Az opciós ár tulajdonságai

7 1. fejezet Valószín ségszámítási összefoglaló E rövid összefoglaló nem terjed ki a valószín ségszámítás alapvet fogalmainak, mint az eseménytér, elemi esemény, valószín ség, valószín ségi változó, eloszlásfüggvény, s r ségfüggvény valamint az alapvet en fontos sztochasztikus függetlenség fogalmának ismertetésére. Feltételezzük, hogy az olvasó ezeket jól ismeri. Célszer nek láttuk azonban, hogy ezen fogalmakkal kapcsolatos és a kés bbiekben s rün használt formulákat megismételjük és példákkal is illusztráljuk ket A valószín ségi változó várható értéke és szórása A gyakorlati alkalmazásoknál gyakran el fordul, hogy egyetlen vagy néhány számadattal kell jellemezni a valószín ségi változót ill. annak eloszlását. A legfontosabb jellemz k a várható érték és a szórás (ill. variancia). A várható érték fogalma: Ha az X diszkrét valószín ségi változó lehetséges értékei x 1, x 2, x 3... és ezeket rendre p 1, p 2, p 3... valószín séggel veszi, akkor az X várható értéke E(X) = i p i x i, ha X folytonos valószín ségi változó és s r ségfüggvénye f(x), akkor az X várható érték E(X) = 7 xf(x)dx.

8 8 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ A variancia és a szórás fogalma: Ha az X E(X) valószín ségi változó négyzetének létezik várható értéke, akkor ezt az X varianciájának nevezzük, azaz V ar(x) = E([X E(X)] 2 ), ennek négyzetgyöke az X valószín ségi változó szórása. A variancia számítható az X 2 és az X valószín ségi változók várható értékének segítségével is, azaz V ar(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2. Míg a várható érték az X valószín ségi változó eloszlásának centrumát adja meg, addig a variancia ill. a szórás az eloszlásnak a centrum körüli ingadozását méri. Az alábbiakban a várható érték és a variancia néhány fontos, az alkalmazásokban hasznos tulajdonságát ismertetjük: 1. Ha az X valószín ségi változónak létezik várható értéke és szórása, akkor E(aX + b) = ae(x) + b, V ar(ax + b) = a 2 V ar(x). 2. Legyenek X 1, X 2,..., X n tetsz legesvalószín ségiváltozók, amelyekneklétezik a várható értékük, ekkor az összegük várható értéke megegyezik a várható értékük összegével, azaz ( ) E X i = E(X i ). 3. Legyenek X 1, X 2,..., X n független valószín ségi változók, amelyeknek létezik a várható értékük, ekkor a szorzatuk várható értéke megegyezik a várható értékük szorzatával, azaz ( n ) E X i = n E(X i ). 4. Legyenek X 1, X 2,..., X n független valószín ségi változók, amelyeknek létezik a szórásuk, ekkor az összegük varianciája megegyezik a varianciájuk összegével, azaz ( ) V ar X i = V ar(x i ).

9 1.1. A VALÓSZÍN SÉGI VÁLTOZÓ VÁRHATÓ ÉRTÉKE ÉS SZÓRÁSA 9 Példa: Az alábbi példa jól illusztrálja a várható értékkel és a varianciával (szórással) kapcsolatos összefüggéseket. Legyenek X 1, X 2,..., X n független, azonos eloszlású valószín ségi változók, a közös várható érték és variancia legyen E(X i ) = m és V ar(x i ) = σ minden i- 2 re. Legyen Y valószín ségi változó ezeknek a valószín ségi változóknak a számtani átlaga, amelyet mintaátlagnak hívunk, legyen továbbá s valószín ségi változó a 2 minta varianciája. A mintaátlag és a minta variancia az alábbi képletekkel adottak: Y = X i n, s2 = a) Mutassuk meg, hogy E (Y ) = m. b) Mutassuk meg, hogy V ar (Y ) = σ 2 /n. c) Mutassuk meg, hogy E (s 2 ) = σ 2. (X i Y ) 2 n 1 Megoldás: A várható értékre és a varianciára vonatkozó tulajdonságokat alkalmazzuk. a) b) E (Y ) = E n X i ( ) = 1 n E X i = 1 n V ar (Y ) = V ar n = 1 n 2 X i. E(X i ) = 1 n nm = m ( ) = 1 n V ar X 2 i V ar(x i ) = 1 n 2 nσ2 = σ2 n c) E kérdés megválaszolását több lépésben végezzük. (X i Y ) 2 ( ) E(s 2 ) = E n 1 = 1 n 1 E (X i Y ) 2

10 10 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Most az összeget írjuk át más alakra (X i Y ) 2 = = (Xi 2 2X i Y + Y 2 ) = Xi 2 2Y ny + ny 2 = Xi 2 2Y Xi 2 ny 2 X i + ny 2 = Ennek a várható értékét a várható értékre vonatkozó addiciós összefüggés felhasználásával számítjuk ki. ( ) E (X i Y ) 2 ( ) ( = E Xi 2 ny 2 = E = E(Xi 2 ) ne(y 2 ) X 2 i ) ne(y 2 ) = A következ lépésben az Y valószín ségi változó négyzetének várható értékét számítjuk ki, felhasználva többek között a független valószín ségi változók szorzatára vonatkozó összefüggést. E(Y 2 ) = E n X i 2 = 1 n 2 E [ ] 2 X i = ([ ] [ ]) ( = 1 n E X 2 i X j = 1 n E 2 j=1 ( ) = 1 n E X 2 2 i + X i X j = = 1 n 2 [E ( X 2 i = 1 n 2 [ E(X 2 i ) + = 1 n 2 [ E(X 2 i ) + j i ) X i X j = j=1 ) ( )] + E X i X j = j i ] E(X i X j ) = j i ] E(X i )E(X j ) j i Legutoljára pedig a varianciára megismert V ar(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 )

11 1.2. NEVEZETES ELOSZLÁSOK 11 összefüggést alkalmazzuk az E(X 2 i ) számítására. E(s 2 ) = 1 n 1 ( ) E(Xi 2 ) ne(y 2 ) = ( [ ]) 1 = E(Xi 2 ) n 1 E(X 2 n 1 n 2 i ) + E(X i )E(X j ) = j i ( = 1 ) E(Xi 2 1 ) E(X i )E(X j ) = n n(n 1) j i ( ) = 1 V ar(x i ) + (E(X i )) 2 n ( ) 1 E(X i )E(X j ) n(n 1) j i = 1 n (nσ2 + nm 2 1 ) n(n 1) (n2 n)m 2 = = σ 2 + m 2 m 2 = σ Nevezetes eloszlások Az alábbiakban négy eloszlást ismertetünk, ezek az eloszlások játszák a legnagyobb szerepet a további vizsgálódásainkban Karakterisztikus vagy Bernoulli eloszlás Legyen A tetsz leges esemény, amelynek bekövetkezési valószín sége p (0 p 1). Ha az X valószín ségi változó csak a 0 és az 1 értékeket veheti fel az alábbiak szerint X = 1, ha az A esemény bekövetkezik, 0, ha az A esemény nem következik be, akkor az A esemény X karakterisztikus valószín ségi változójáról beszélünk. Tehát a P (X = 1) = p és a P (X = 0) = 1 p számok alkotják a karakterisztikus eloszlást. Jellemz i: E(X) = p, V ar(x) = p(1 p).

12 12 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Binomiális eloszlás: Tekintsünk n független kísérletet az A esemény meggyelésére és jelölje X valószín ségi változó a kísérletsorozat során az A esemény bekövetkezéseinek számát. Ha X i az i-edik kísérletre vonatkozó karakterisztikus valószín ségi változó, akkor a kísérletsorozatra jellemz X valószín ségi változót az alábbiak szerint írhatjuk X = X i. Legyen p az A esemény bekövetkezésének valószín sége, ekkor felhasználva a karakterisztikus eloszlás jellemz it és az összegre vonatkozó összefüggéseket, az X valószín ségi változó várható értéke szórása pedig a függetlenség miatt E(X) = np, V ar(x) = np(1 p). A binomiális eloszlás valószín ségeloszlása P (X = k) = ( ) n p k (1 p) n k, k (k = 0, 1, 2,..., n) Normális eloszlás A normális eloszlásnak központi szerepe van az eloszlások között, az egyik leggyakrabban alkalmazott eloszlás. A X valószín ségi változót normális eloszlásúnak nevezünk, jele N(m, σ), ha s r ségfüggvénye a következ alakú f(x) = 1 2πσ e (x m)2 2σ 2, ( < x < ) ahol m valós, σ pedig pozitív állandó. Az eloszlásfüggvényt az alábbiak szerint számíthatjuk ki F (x) = x f(t)dt.

13 1.2. NEVEZETES ELOSZLÁSOK 13 A normális eloszlású X valószín ségi változó várható értéke és varianciája E(X) = m, V ar(x) = σ 2. Kitüntetett szerepe van annak a normális eloszlásnak, amelynek várható értéke 0, szórása pedig 1, azaz m = 0, σ = 1. Az ilyen eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük, jele N(0; 1). Ha X normális eloszlású valószín ségi változó, akkor az ax + b valószín ségi változó is normális eloszlású. Ezt a tényt felhasználva minden N(m, σ) eloszlást a Z = X m σ transzformációval N(0; 1) eloszlásba vihetünk. A két eloszlás eloszlásfüggvénye között az alábbi a kapcsolat ( ) x m F (x) = Φ, σ ahol Φ(z) az N(0; 1) ún. standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye, azaz Φ(z) = z 1 2π e t2 2 dt. Így elegend a standard normális eloszlás Φ(x) eloszlásfüggvény értékeit táblázatba foglalni, mert erre visszavezethet tetsz leges paraméter normális eloszlás. S t elegend csupán a pozitív x-ekre közölni a táblázatokat, mivel igaz, hogy Φ( x) = 1 Φ(x). A normális eloszlás alkalmazásakor táblázatot kell használnunk a Φ(x) standard normális eloszlásfüggvény értékének meghatározására. Táblázat hiányában az alábbi, nagy pontosságú közelít képletet szokták használni Φ(x) számítására. Ez az összefüggés van beépítve számos statisztikai programcsomagba is: Φ(x) 1 1 2π e x2 /2 (a 1 y + a 2 y 2 + a 3 y 3 + a 4 y 4 + a 5 y 5 ),

14 14 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ ahol y = x, a 1 = , a 2 = , a 3 = , a 4 = , a 5 = Végül egy fontos összefüggést ismertetünk a független, normális eloszlású valószín ségi változók összegére vonatkozóan. Legyenek X 1, X 2,..., X n független, normális eloszlású valószín ségi változók, amelyeknek várható értéke és varianciája legyen E(X i ) = m i és V ar(x i ) = σi. Az 2 X 1 + X X n összeg szintén normális eloszlású valószín ségi változó, amelynek várható értéke és varianciája E(X 1 + X X n ) = m 1 + m m n, V ar(x 1 + X X n ) = σ σ σ 2 n Lognormális eloszlás A X valószín ségi változót m és σ paraméter lognormális eloszlásúnak nevezünk, ha az Y = log X valószín ségi változó normális eloszlású m várható értékkel és σ szórással. A lognormális eloszlás s r ségfüggvénye f(x) = 1 (log x m)2 e 2σ 2, (x > 0). 2πσx A lognormális eloszlású X valószín ségi változó várható értéke és varianciája σ2 m+ E(X) = e 2, ( V ar(x) = e 2 2 m+ σ2 ) (e σ2 1).

15 1.2. NEVEZETES ELOSZLÁSOK 15 Az alábbiakban a normális és a lognormális eloszlás alkalmazására egy példát mutatunk be. Példa: Legyen egy bizonyos részvény ára az n-edik hét végén S(n), ahol n 1. Tegyük fel, hogy az S(n)/S(n 1) árarány minden n 1 értékre független és azonos eloszlású lognormális valószín ségi változó. Legyen a szóbanforgó lognormális valószín ségi változó két paramétere m = és σ = a) Mi a valószín sége, hogy a részvény ára egyik hétr l a másikra növekedik? b) Mi a valószín sége, hogy a részvény ára három héttel kés bb nagyobb lesz, mint az induló ár? Megoldás: a) A keresett valószín ség P (S(n) > S(n 1)) bármely n 1 értékre. Mivel a feladatban megfogalmazott feltevés minden n-re azonos, így elegend az n = 1 esetre elvégezni a számítást, azaz a keresett valószín ség P (S(1) > S(0)). Mivel a részvény ára pozitív, ezért az S(1) > S(0) egyenl tlenség ekvivalens a log S(1) > log S(0) ill. a log S(1) S(0) tudva, hogy az X=log S(1) S(0) > 0 egyenl tlenséggel. Ezt felhasználva, és valószín ségi változó m = várható érték és σ = szórású normális eloszlású valószín ségi változó, valamint a Z = X m σ valószín ségi változó m = 0 várható érték és σ = 1 szórású standard normális eloszlású valószín ségi változó, így a keresett valószín ség ( P (S(1) > S(0)) = P log S(1) ) ( log S(1) S(0) > 0 S(0) = P m σ ( = P Z > ) = P (Z > ) = 1 P (Z < ) = 1 Φ( ) = 1 (1 Φ( )) ) > 0 m σ = Φ(0.2260) = b) A keresett valószín ség P (S(n + 2) > S(n 1)) bármely n 1 értékre. A feltevés szerint minden n-re azonosak a viszonyok, így az n = 1 esetre végezzük el a számítást, azaz a keresett valószín ség P (S(3) > S(0)).

16 16 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Mivel a részvény ára pozitív, ezért az S(3) > S(0) egyenl tlenség ekvivalens a log S(3) > log S(0) ill. a log S(3) > 0 egyenl tlenséggel. Ez utóbbi további alakítás- S(0) sal log S(3) log S(1) S(0) S(2) S(1) S(2) S(1) S(0) S(3) S(2) > 0 és ebb l a számunkra már használható log + log + S(2) S(1) S(3) S(2) S(1) > 0 egyenl tlenség adódik. A Z=log + log + log valószín ségi S(2) S(1) S(0) változó három darab független normális eloszlású valószín ségi változó összege, amelyr l tudjuk, hogy szintén normális eloszlású valószín ségi változó. A Z várható értéke 3m, azaz = , varianciája pedig 3σ, így szórása 2 σ 3, azaz = Hasonlóanaza)részbenimegoldáshoz, akeresettvalószín ség ( P (S(3) > S(0)) = P log S(3) ) S(2) S(1) + log + log S(2) S(1) S(0) > 0 ( Z 3m = P σ > 0 3m ) 3 σ 3 ( = P Z > ) = P (Z > ) = = Φ( ) = Központi határeloszlás tétel Legyenek X 1, X 2,...azonoseloszlású, függetlenvalószín ségiváltozók, mközösvárható értékkel és σ közös szórással és legyen S n valószín ségi változó az els n darab X i valószín ségi változó összege S n = X i. Mint tudjuk az S n valószín ségi változó várható értéke nm, szórása pedig σ n. A központi határeloszlás azt montja ki, hogy bármely x valós számra lim P n ( Sn nm σ n ) x = Φ(x). Szavakban ez azt jelenti, hogy elég nagy n esetén az valószín ségi változó Sn nm σ n eloszlása közel standard normális eloszlás. A normális eloszlásnak a tétel adja meg a valószín ségszámításban játszott központi szerepét. Példa:

17 1.3. KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS TÉTEL 17 Tekintsük egy részvény ármozgására az alábbi modellt. Ha egy adott id ben a részvény ára s, akkor egy id periódus után a részvény ára vagy p valószín séggel us vagy pedig (1 p) valószín séggel ds (u > 1, 0 < d < 1). Tegyük fel, hogy az egymás utáni id periódusokban az ármozgás független. Határozzuk meg közelít leg annak a valószín ségét, hogy a következ 1000 id periódus után a részvény ára legalább 30 %-kal nagyobb lesz, mint az induló ár! Megoldás: Jelölje az S i valószín ségi változó a részvény árát az i-edik periódusban. Ekkor a keresett valószín ség P ( ) S S 0 Elemi számolással a keresett valószín séget átalakítva kapjuk, hogy P ( ) S S 0 ( = P log S ) 1000 log 1.3 = S ( 0 = P log S ) 1000 S 999 S2 S 1 log 1.3 = S 999 S 998 S 1 S 0 ( 1000 ) = P log S i log 1.3. S i 1 Legyen X i = log S i S i 1 valószín ségi változó az i-edik és a közvetlen megel z periódusbeli ár hányadosának logaritmusa. El ször határozzuk meg X i várható értékét és varianciáját. Az X i lehetséges értékei: log u ill. log d. m = E(X i ) = p log u + (1 p) log d = p log u d + log d, σ 2 = V ar(x i ) = p (log u) 2 + (1 p)(log d) 2 [p log u + (1 p) log d] 2 = ( = p(1 p) log u 2. d) Ha u = 1.1, d = 0.9, p = 0.55, akkor m = ill. σ = 0.1. A keresett valószín ség kiszámítására most a központi határeloszlás tételt alkalmazzuk. Mivel n = 1000 elég nagy és az összegben szerepl X i valószín ségi változók azonos eloszlásúak és függetlenek, így a tétel feltételei fennállnak, a kere-

18 18 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ sett valószín ség közelít értékét az alábbi szerint határozhatjuk meg P ( 1000 ) X i log 1.3 = P 1000 X i 1000m σ 1000 ( ) log m = 1 Φ σ 1000 = log m σ 1000 Példa: Egy bizonyos részvény minden id periódusban vagy 0.39 valószín séggel 1-el csökken, vagy 0.20 valószín séggel nem változik, vagy pedig 0.41 valószín séggel 1-el növekszik. Feltéve az egymás utáni id periódusok árváltozásainak függetlenségét, mennyi annak a valószín sége, hogy a következ 700 id periódus után a részvény ára legalább 10-el nagyobb lesz az induló árnál? Megoldás: Jelölje az X i valószín ségi változó a részvény árának megváltozását az i-edik periódusban. El ször határozzuk meg X i várható értékét és varianciáját. E(X i ) = ( 1) = 0.02, V ar(x i ) = [( 1) ] = , amelyb l a közös várható érték m = 0.02 és a szórás σ = A kezd és a 700 id periódus utáni árváltozást az X i valószín ségi változók összege adja, így a keresett valószín ség P ( 700 ) X i 10. Ennek kiszámítására alkalmazhatjuk a központi határeloszlás tételt, mivel n = 700 elég nagy és az összegben szerepl X i valószín ségi változók azonos eloszlásúak és

19 1.4. KOVARIANCIA ÉS KORRELÁCIÓ 19 függetlenek. A tétel szerint P ( 700 ) X i X i = P = 700 X i = P = = Φ( ) = Kovariancia és korreláció A gyakorlatban nagyon sokszor kell két valószín ségi változó egymástól való függ ségét, kapcsolatának szorosságát vizsgálni. Azt vizsgáljuk, hogy a saját várható értékeik körüli ingadozásuk milyen kapcsolatban van egymással. Ennek az ún. sztochasztikus kapcsolatnak a mérésére két mutatót is szokás használni, egyik a kovariancia, másik a korrelációs együttható. Az X és az Y valószín ségi változók kovarianciája alatt az alábbi várható értéket értjük Cov(X, Y ) = E ([X E(X)][Y E(Y )]). Az X és az Y valószín ségi változók korrelációs együtthatója alatt a kovariancia és a szórások hányadosát értjük, azaz ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) V ar(x)v ar(y ). Az alábbiakban a fogalmakra vonatkozó néhány fontos tulajdonságot ismertetünk. 1. Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) 2. Cov(X, Y ) = Cov(Y, X), szimmetria 3. Cov(X, X) = V ar(x) 4. Cov(aX, Y ) = acov(x, Y ) 5. Cov(a, Y ) = 0 6. Cov(X 1 + X 2, Y ) = Cov(X 1, Y ) + Cov(X 2, Y ), linearitás

20 20 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ 7. Cov(X 1 + X 2, Y 1 + Y 2 ) = Cov(X 1, Y 1 ) + Cov(X 2, Y 1 ) +Cov(X 1, Y 2 ) + Cov(X 2, Y 2 ) 8. Cov(aX + b, Y ) = acov(x, Y ) 8. 1 ρ(x, Y ) 1 9. Ha lineáris a kapcsolat X és Y között, azaz Y = ax + b, akkor ρ(x, Y ) = sgn(a), vagyis 1, ha a > 0 és 1, ha a < 0. Most néhány fontos általánosítást ismertetünk: 10. A 7. tulajdonság általánosításai több valószín ségi változó összegére ( m Cov X i, ( m Cov a i X i + b i, ) Y j = j=1 m ) c j Y j + d j = j=1 Cov (X i, Y j ), j=1 m a i c j Cov (X i, Y j ). 11. A 3. tulajdonság általánosításai n darab valószín ségi változóra ( ) V ar X i ( = Cov X i, = = ) X j = j=1 Cov (X i, X i ) + V ar (X i ) + j=1 Cov (X i, X j ) = j=1 Cov (X i, X j ) j i Cov (X i, X j ). j i ( ) V ar a i X i + b i ( = Cov a i X i + b i, = = = ) a j X j + b j = j=1 a i a j Cov (X i, X j ) = j=1 a 2 i Cov (X i, X i ) + a 2 i V ar (X i ) + a i a j Cov (X i, X j ) j i a i a j Cov (X i, X j ). Ha Cov(X, Y ) = 0, akkor azt mondjuk, hogy az X és az Y valószín ségi változók korrelálatlanok. j i

21 1.4. KOVARIANCIA ÉS KORRELÁCIÓ 21 A korrelálatlanságot nem szabad összekeverni a függetlenséggel. Mint korábbról tudjuk, ha X és Y valószín ségi változók függetlenek, akkor E(XY ) = E(X)E(Y ). E fontos összefüggést felhasználva állítható, hogy ha X és Y valószín ségi változók függetle-nek, akkor Cov(X, Y ) = ρ(x, Y ) = 0, vagyis a függetlenségb l következik a korrelálatlanság, fordítva nem. Több valószín ségi változó esetén ezek páronkénti kovarianciáit és korrelációs együtt-hatóit a tömörebb leírás végett egy-egy mátrixba foglalhatjuk össze. Legyen X 1, X 2,..., X n n darab valószín ségi változó és legyen c ij = Cov(X i, X j ) és r ij = ρ(x i, X j ). A c ij ill. r ij számokból alkotott C ill. R mátrixot kovariancia-mátrixnak ill. korreláció mátrixnak nevezzük. A C és az R mátrixok szimmetrikusak és pozitív szemidenit mátrixok, továbbá c ii = V ar(x i ) = σi és 2 r ii = 1. Független valószín ségi változók esetén a C egy diagonális mátrix, az R pedig egységmátrix. Ha bevezetjük az S diagonális mátrixot, amelynek f átlójában az egyes valószín ségi változók szórása szerepel, akkor az ismert c ij = σ i r ij σ j összefüggés a C = SRS, ill. R = S 1 CS 1 alakban írható. Gyakran van szükségünk arra, hogy több valószín ségi változó súlyozott számtani átlagát vizsgáljuk. Legyenek X 1, X 2,..., X n valószín ségi változók és legyenek w 1, w 2,..., w n súlyok ( w i = 1 és w i 0 minden i-re). Jelölje Y valószín ségi változó a súlyozott számtani átlagot, azaz Y = w i X i, ennek várható értéke és varianciája a korábban megismert összefüggésekb l E(Y ) = V ar(y ) = w i E (X i ), w i w j Cov (X i, X j ). j=1

22 22 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Ha a súlyokat és a várható értékeket egy-egy vektorba foglaljuk úgy, hogy m = (E (X 1 ), E (X 2 ),..., E (X n )) és w = (w 1, w 2,..., w n ), akkor a fentieket vektormátrix m veletek segítségével tömörebb formában is írhatjuk. E(Y ) = w T m, V ar(y ) = w T Cw = w T SRSw. Ha a valószín ségi változók függetlenek, akkor V ar(y ) = w T SSw = (Sw) T (Sw), ahol T a transzponálás jele. Példa: Tegyük fel, hogy egy adott id periódusban egy bizonyos részvény ára egyenl valószín -séggel n vagy csökken 1 egységgel és különböz id periódusok kimenetele egymástól független. Jelölje az X valószín ségi változó az els periódusbeli változást, az Y valószín ségi változó pedig az els három periódusbeli változás összegét. Határozzuk meg az X és Y valószín ségi változók közötti kovarianciát és a korrelációs együtthatót! Megoldás: Az egyszer bb számolás kedvéért készítsünk egy táblázatot a lehetséges esetek vizsgálatára. A +, jelekkel az értékpapír árának növekedését ill. csökkenését jeleztük. A 2. oszlopban az X valószín ségi változó, a 2. sorban pedig az Y valószín ségi változó lehetséges értékeit tüntettük fel. A táblázat belseje az XY szorzat valószín ségi változó valószín ség eloszlását mutatja. Az utolsó sor és oszlop az X és az Y valószín ségi változó lehetséges értékeihez tartozó valószín ségeket mutatja.

23 1.4. KOVARIANCIA ÉS KORRELÁCIÓ X Y /8 1/8 1/8 1/ / /8 1/8 1/8 1/8 1/2 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/ E(X) = ( 1) 1 2 = 0, E(Y ) = ( 1) ( 1) ( 1) ( 3) 1 8 = 0, E(XY ) = ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 3) 1 8 = 1, V ar(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = ( 1) = 1, V ar(y ) = E(Y 2 ) [E(Y )] 2 = 1 8 [ ( 1) ( 1) 2 + ( 1) 2 + ( 3) 2 ] 0 2 = 3. A kovariancia és a korrelációs együttható Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = 1, ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) = 1 = V ar(x)v ar(y ) 1 3. Bemutatunk egy másik megoldási módot is.

24 24 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Jelöljék az X 1, X 2, X 3 valószín ségi változók az 1., a 2. és a 3. periódusbeli változást. (Az X 1 azonos az el z megoldásban szerepl X-el.) Ezek a valószín ségi változók függetlenek. A feladat értelmében az X 1 és az X 1 + X 2 + X 3 valószín ségi változók kovarianciáját kell meghatározni, amelyet az alábbiak szerint végezhetünk, felhasználva a kovariancia additivitását és a függetlenséget Cov(X 1, X 1 + X 2 + X 3 ) = Cov(X 1, X 1 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov(X 1, X 3 ) = = Cov(X 1, X 1 ) = V ar(x 1 ) = 1. A korrelációs együttható számításához szükségünk van a három független valószín ségi változó összegének varianciájára, amely az alábbiak szerint számítható V ar(x 1 + X 2 + X 3 ) = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + V ar(x 3 ) = ρ(x 1, X 1 + X 2 + X 3 ) = = 3V ar(x 1 ) = 3, Cov(X 1, X 1 + X 2 + X 3 ) V ar(x1 )V ar(x 1 + X 2 + X 3 ) = 1 3 =

25 2. fejezet Geometriai Brown-mozgás 2.1. A geometriai Brown-mozgás deníciója Jelölje S(y) egy értékpapír árát y id elteltével a jelent l. Az S(y), 0 y < értékpapír árak együttese m és σ paraméter geometriai Brown-mozgást követ az alábbi két feltétel fennállása esetén: 1. ha minden nemnegatív y és t értékre az S(t + y) S(y) valószín ségi változó független az y id pont el tti áraktól, 2. a ( ) S(t + y) log S(y) valószín ségi változó mt várható érték és σ 2 t varianciájú (σ t szórású) normális eloszlású valószín ségi változó. Más szavakkal: az árak sorozata akkor követ geometriai Brown-mozgást, ha az árak hányadosa nem függ a múltbeli áraktól és lognormális valószín ség-eloszlású mt és σ t paraméterekkel. A geometriai Brown-mozgást tehát két paraméter meghatározza. Az m paramétert drift (növekedési) paraméternek, a σ paramétert pedig volatilitási (változékonysági) paraméternek szokás nevezni. A feltevés szerint egy adott t hosszúságú id szakban az árak hányadosa ugyanolyan eloszlást követ, 25

26 26 2. FEJEZET: GEOMETRIAI BROWN-MOZGÁS függetlenül attól, hogy mi az id szak kezdete. Eszerint tehát egy értékpapír árának pl. egy hónap alatti megduplázódása ugyanakkora valószín ség mintha 10-r l vagy 25-r l duplázódott volna meg. Haakezd ár S(0), akkoratid beliárvárhatóértékeésvarianciájaalognormális eloszlásra megismert összefüggések alapján E [S(t)] = S(0)e t(m+σ2 /2), V ar [S(t)] = [S(0)] 2 e 2t(m+σ2 /2) (e tσ2 1). Példa: Tegyük fel, hogy egy értékpapír S(y), y 0 ára geometriai Brown mozgást követ, m=0.01 és σ=0.2 paraméterekkel. Ha S(0) = 100, akkor t = 10 esetén a) E [S(10)] =?, V ar [S(10)] =?, b) P (S(10) > 100) =?, c) P (S(10) < 120) =? Megoldás: a) A várható értékre és a varianciára adott képletekbe behelyettesítve kapjuk, hogy E [S(10)] = 100e 10( /2) = , V ar [S(10)] = e 2 10( /2) (e ) = b) A keresett valószín séget áralakítva kapjuk, hogy P (S(10) > 100) = P (S(10) > S(0)) = P (log S(10) > log S(0)) ( = P log S(10) ) S(0) > 0. Az X = log S(10) valószín ségi változó tm várható érték és tσ varianciájú 2 S(0) normális valószín ségi változó, azaz a várható érték = 0.1, a szórás = A keresett valószín ség ( X 0.1 P (S(10) > 100) = P (X > 0) = P > 0.1 ) ( ) X 0.1 = P > = Φ ( ) =

27 2.2. A GEOMETRIAI BROWN-MOZGÁS PARAMÉTEREI 27 c) A keresett valószín séget átalakítva kapjuk, hogy ( P (S(10) < 120) = P S(10) < S(0) 120 ) ( = P log S(10) < log S(0) ( = P log S(10) < log S(0) + log 120 ) S(0) ( = P log S(10) ) 120 < log. S(0) 100 [ S(0) 120 ]) S(0) Az X = log valószín ségi változó S(10) 0.1 várható érték és szórású S(0) normális valószín ségi változó, így a keresett valószín ség ( P (S(10) < 120) = P X < log 120 ) = P (X < ) 100 ( ) X = P < ( ) X 0.1 = P < = Φ ( ) = A geometriai Brown-mozgás paraméterei Az m drift paraméter, a σ volatilitási paraméter értéke attól függ, hogy milyen mértékegységben mérjük az id t. A gyakorlat az id t évben mérik, így éves driftr l és éves volatilitásról szokás beszélni. Mit fejeznek ki e paraméterek, ezt szeretnénk néhány szóban bemutatni. A részvény két árfolyamának hányadosát Jelöljük X valószín ségi változóval a ) ) denícióban szerepl log valószín ségi változót, azaz X = log, amelyb l ( S(t+y) S(y) ( S(t+y) S(y) S(t + y) = S(y)e X. Ezen összefüggés szerint az X valószín ségi változó a részvény hozamát jelenti t id tartam alatt, azaz a részvényárfolyam folytonos növekedési üteme X. A deníció szerint tehát a részvény hozama normális eloszlást követ mt várható értékkel és

28 28 2. FEJEZET: GEOMETRIAI BROWN-MOZGÁS σ 2 t varianciával (ill. σ t szórással). Amennyiben t értékét 1-nek választjuk, úgy az m drift paraméter a részvény várható éves hozamát, a σ volatilitási paraméter pedig részvény éves hozamának szórását jelenti. A várható hozamot és a szórást százalékosan szokták megadni. Példa: Egy részvény árfolyamának várható éves hozama 16 %, volatilitása évi 30 %. A részvényárfolyam egy adott nap végén 1000 Ft. a) Mennyi a várható részvényárfolyam a következ nap végén? b) Mennyi a részvényárfolyam várható szórása a 2. nap végén? c) Mi a valószín sége, hogy a részvényárfolyam a 10. nap végén 950 és 1100 között lesz? Megoldás: Az adataink alapján m = 0.16, σ = 0.30, S(0) = Az árfolyamoknál keresked i napokban számolnak, ami 252 nap, így 1 nap évnek felel meg a) t = , E [S(0.004)] = 1000e 0.004( /2) = b) t = , V ar [S(0.008)] = e ( /2) (e ) = , szórás = = c) t = 10 S(0.04) 0.04, és tudjuk, hogy az X = log 252 S(0) normális eloszlású, várható értéke és szórása valószín ségi változó E(X) = mt = = , V ar(x) = σ t = = 0.06.

29 2.3. KÖZELÍTÉS EGY EGYSZER MODELLEL 29 A keresett valószín ség ( 950 P (950 < S(0.04) < 1100) = P S(0) < S(0.04) S(0) ( log < 1100 ) S(0) S(0.04) = P < log < log 1100 S(0) 1000 = P ( < X < ) ( = P < X ) < = Φ(1.4817) Φ( ) = ) 2.3. Közelítés egy egyszer modellel Az alábbiakban egy egyszer modellt mutatunk be, amely ugyan pontatlanul, de elfogadható interpretálását adja a geometriai Brown-mozgásnak. Tekintsünk egy t hosszúságú id tartamot, amelynek a kezd ideje y, befejez ideje t + y. Legyen egy bizonyos részvény ára a két id pontban S(y) ill. S(t+y). Osszuk fel a t id tartamot n egyenl részre és tegyük fel, hogy a részvény ára csak a részintervallumok végén változik. Minden részintervallum végén a részvény ára vagy p valószín séggel u- szorosára változik (u > 1, tehát növekszik), vagy (1 p) valószín séggel d-szorosára változik (0 < d < 1, tehát csökken), ahol u = e σ t p = 1 2 n, ( 1 + m σ t d = e σ ) t. n Legyen X i egy Bernoulli valószín ségi változó, amelynek értéke 1, ha az árfolyam növekszikés0, haazárfolyamcsökkenaz i-edikrészintervallumban. Az X i valószín ségi változók mindegyikének ugyanaz a várható értéke és varianciája, mégpedig E(X i ) = p, V ar(x i ) = p(1 p). Ekkor az Y = X i valószín ségi változó mutatja, hogy a lejárati id alatt hányszor növekedett a részvény árfolyama. Az n Y valószín ségi változó pedig a lejárati id alatt a részvényárfolyam csökkenéseinek számát mutatja. szorosára vál- Ezt gyelembevéve az id tartam alatt a részvény árfolyama u Y d n Y tozik, azaz S(t + y) = S(y)u Y d n Y. n,

SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK

SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK OPERÁCIÓKUTATÁS No.1. Nagy Tamás Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK Budapest 00 Nagy Tamás Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK OPERÁCIÓKUTATÁS No.1 Szerkeszti: Komáromi Éva Megjelenik a Budapesti

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Vizsgadolgozat I. RÉSZ. 1. Deniálja pontosan, mit értünk amerikai vételi opció alatt!

Pénzügyi matematika. Vizsgadolgozat I. RÉSZ. 1. Deniálja pontosan, mit értünk amerikai vételi opció alatt! NÉV: NEPTUN KÓD: Pénzügyi matematika Vizsgadolgozat I. RÉSZ Az ebben a részben feltett 4 kérdés közül legalább 3-ra kell hibátlan választ adni ahhoz, hogy a vizsga sikeres lehessen. Kett vagy kevesebb

Részletesebben

OPCIÓS PIACOK VIZSGA MINTASOR

OPCIÓS PIACOK VIZSGA MINTASOR OPCIÓS PIACOK VIZSGA MINTASOR ELMÉLET ÉS SZÁMOLÁS ELMÉLETI ÉS SZÁMOLÁSI KÉRDÉSEK 1. A devizára szóló európai call opciók a) belsőértéke mindig negatív. b) időértéke pozitív és negatív is lehet. c) időértéke

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

8-9 Opciós piacok. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 2012 1

8-9 Opciós piacok. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 2012 1 8-9 Opciós piacok 1 Opció típusok Call: vételi jog Put: eladási jog Európai opció: csak lejáratkor érvényesíthető Amerikai opció: lejáratig bármikor érvényesíthető Pozíciók: long call, long put (vételi

Részletesebben

Gazdasági Információs Rendszerek

Gazdasági Információs Rendszerek Gazdasági Információs Rendszerek 7. előadás Bánhelyi Balázs Alkalmazott Informatika Tanszék, Szegedi Tudományegyetem 2009 Opció fogalma Az opció jövőbeni döntési lehetőséget jelent valami megtételére,

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Opciók árazása. Szakdolgozat. Írta: Kiss Valéria. Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány. Témavezet :

Opciók árazása. Szakdolgozat. Írta: Kiss Valéria. Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány. Témavezet : Opciók árazása Szakdolgozat Írta: Kiss Valéria Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Sikolya Eszter, adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

(CIB Prémium befektetés)

(CIB Prémium befektetés) CIB Bank Zrt. Részletes terméktájékoztatója a Keretszerződés Opcióhoz kötött Betét elhelyezésére és a kapcsolódó Opciós Devizaügylet megkötésére vonatkozó keretszerződés hatálya alá tartozó ügyletekre

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack Hirshleifer, Amihai

Részletesebben

Mire jó az opció? Kisokos a hazai opciós termékekhez. 2011. augusztus 2.

Mire jó az opció? Kisokos a hazai opciós termékekhez. 2011. augusztus 2. Mire jó az opció? Kisokos a hazai opciós termékekhez 2011. augusztus 2. Opciók: tegyük helyre a dolgokat! Bevezető A mindennapi kereskedésben mindeddig méltánytalanul mellőzöttnek bizonyultak az opciók,

Részletesebben

A pénzügyi kockázat elmélete

A pénzügyi kockázat elmélete 7. Kötvények és árazásuk Részvények és kötvények Részvény: tulajdonrészt jelent, részesedést a vállalat teljesítményéb l. Kötvény: hitelt jelent és a tartozás visszazetésének szabályait. A részvényeket

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

MINTASOR (Figyelem az I. rész - Szabályzatok és Elszámolás tesztkérdéseiben megadott válaszok a hatályos szabályzatok szerint változhatnak!

MINTASOR (Figyelem az I. rész - Szabályzatok és Elszámolás tesztkérdéseiben megadott válaszok a hatályos szabályzatok szerint változhatnak! OPCIÓS PIACOK VIZSGA MINTASOR (Figyelem az I. rész - Szabályzatok és Elszámolás tesztkérdéseiben megadott válaszok a hatályos szabályzatok szerint változhatnak!) NÉV:. SZÜLETÉSI DÁTUM: PONTSZÁM: / 30 Tisztelt

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

Tájékoztató hirdetmény az OTP Bank Nyrt. Regionális Treasury Igazgatóságának Értékesítési Üzletszabályzatához

Tájékoztató hirdetmény az OTP Bank Nyrt. Regionális Treasury Igazgatóságának Értékesítési Üzletszabályzatához Tájékoztató hirdetmény az OTP Bank Nyrt. Regionális Treasury Igazgatóságának Értékesítési Üzletszabályzatához Az egyes tőzsdén kívüli származtatott Egyedi Ügyletek változó letét igény mértékének számításáról

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

5 Forward és Futures Árazás. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 2012 1

5 Forward és Futures Árazás. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 2012 1 5 Forward és Futures Árazás 1 Fogyasztási vs beruházási javak Beruházási célú javak (pl. arany, ezüst, ingatlan, műkincsek, stb.) Fogyasztási javak (pl. ércek, nyersfémek, olaj, kőszén, fél sertés, stb.)

Részletesebben

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése 9. el adás Bevezetés az ökonozikába El adó: London András 2015. november 2. Motiváció Komplex rendszerek modellezése statisztikus mechanika és elméleti zika

Részletesebben

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ ÁTLAGÁRFOLYAMOS DEVIZA OPCIÓKHOZ (ÁZSIAI TÍPUSÚ OPCIÓ)

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ ÁTLAGÁRFOLYAMOS DEVIZA OPCIÓKHOZ (ÁZSIAI TÍPUSÚ OPCIÓ) TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ ÁTLAGÁRFOLYAMOS DEVIZA OPCIÓKHOZ (ÁZSIAI TÍPUSÚ OPCIÓ) A termék leírása Az Átlagárfolyamos devizaopció vagy más néven Ázsiai típusú opció keretében az ügyfél egy olyan devizaopciós megállapodást

Részletesebben

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat. Pénzügytan I. tárgyból

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat. Pénzügytan I. tárgyból Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet Beadandó feladat Pénzügytan I. tárgyból Közgazdász gazdálkodási alap levelező, GAM alap és kieg. levelező képzés

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, II. félév Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév,

Részletesebben

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2.

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2. Pénzügyi számítások 2015. december 2. 1. ÁFA Nettó ár= Tiszta ár, adót nem tartalmaz, Bruttó ár=fogyasztói ár=adóval terhelt érték= Nettó ár+ ÁFA A jelenlegi ÁFA a nettó ár 27%-a. Összefüggések: bruttó

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ DIGITÁLIS (BINÁRIS) OPCIÓS ÜGYLETEKHEZ

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ DIGITÁLIS (BINÁRIS) OPCIÓS ÜGYLETEKHEZ TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ DIGITÁLIS (BINÁRIS) OPCIÓS ÜGYLETEKHEZ A termék leírása: A Devizaárfolyam Digitális-opció (vagy más kifejezéssel Bináris opciós) egy olyan ügylet, amely keretében az opció jogosultja

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 14 A Black-choles-Merton modell Copyright John C. Hull 01 1 Részvényárak viselkedése (feltevés!) Részvényár: μ: elvárt hozam : volatilitás Egy rövid Δt idő alatt a hozam normális eloszlású véletlen változó:

Részletesebben

Kockázatos pénzügyi eszközök

Kockázatos pénzügyi eszközök Kockázatos pénzügyi eszközök Tulassay Zsolt zsolt.tulassay@uni-corvinus.hu Tőkepiaci és vállalati pénzügyek 2006. tavasz Budapesti Corvinus Egyetem 2006. március 1. Motiváció Mi a fő különbség (pénzügyi

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

Definíciószerűen az átlagidő a kötvény hátralévő pénzáramlásainak, a pénzáramlás jelenértékével súlyozott átlagos futamideje. A duration képlete:

Definíciószerűen az átlagidő a kötvény hátralévő pénzáramlásainak, a pénzáramlás jelenértékével súlyozott átlagos futamideje. A duration képlete: meg tudjuk mondani, hogy mennyit ér ez a futamidő elején. Az évi 1% különbségeket jelenértékre átszámolva ez kb. 7.4% veszteség, a kötvényünk ára 92,64 lesz. Látható, hogy a hosszabb futamidejű kötvényre

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet Beadandó feladat Vállalati pénzügyek tantárgyból BA alapszak levelező tagozat számára Emberi erőforrások Gazdálkodás

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

4 Kamatlábak. Options, Futures, and Other Derivatives 8th Edition, Copyright John C. Hull

4 Kamatlábak. Options, Futures, and Other Derivatives 8th Edition, Copyright John C. Hull 4 Kamatlábak 1 Típusok Jegybanki alapkamat LIBOR (London Interbank Offered Rate, naponta, AA minősítésű partnereknek kölcsön) BUBOR (Budapest Interbank Offered Rate) Repo kamatláb (repurchase, értékpapír

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február MIKROÖKONÓMIA II. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

7. forward extra ügylet (forward extra)

7. forward extra ügylet (forward extra) 7. forward extra ügylet (forward extra) MIFID komplexitás FX 3 a termék leírása A forward extra ügylet ötvözi a határidôs ügylet biztonságát az opciós ügyletek rugalmasságával. Amennyiben konkrét elképzelése

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium E Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 43 50 pont jeles 35 42 pont jó 27 34 pont közepes 19 26

Részletesebben

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ BARRIER DEVIZAÁRFOLYAM OPCIÓS ÜGYLETEKHEZ

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ BARRIER DEVIZAÁRFOLYAM OPCIÓS ÜGYLETEKHEZ TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ BARRIER DEVIZAÁRFOLYAM OPCIÓS ÜGYLETEKHEZ Jelen terméktájékoztatóra vonatkozóan a Terméktájékoztató egyszerű (plain vanilla) devizaárfolyam opciós ügyletekhez elnevezésű terméktájékoztatóban

Részletesebben

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ EGYSZERŰ (PLAIN VANILLA) DEVIZAÁRFOLYAM OPCIÓS ÜGYLETEKHEZ

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ EGYSZERŰ (PLAIN VANILLA) DEVIZAÁRFOLYAM OPCIÓS ÜGYLETEKHEZ TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ EGYSZERŰ (PLAIN VANILLA) DEVIZAÁRFOLYAM OPCIÓS ÜGYLETEKHEZ A termék leírása: A Devizaárfolyam-opciós ügylet (más néven devizaopció) keretében az opció jogosultja (vásárlója) Opciós Díj

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

KÖTVÉNYFORRÁS MENEDZSMENT GYOMAENDRŐD VÁROS ÖNKORMÁNYZATA TÁJÉKOZTATÓ

KÖTVÉNYFORRÁS MENEDZSMENT GYOMAENDRŐD VÁROS ÖNKORMÁNYZATA TÁJÉKOZTATÓ KÖTVÉNYFORRÁS MENEDZSMENT GYOMAENDRŐD VÁROS ÖNKORMÁNYZATA TÁJÉKOZTATÓ 2010.04.01 2010.06.30 1. ELŐZMÉNYEK KIBOCSÁTÁS Gyomaendrőd Város Önkormányzata 2008. február 27-én összesen 6.316.000,- CHF értékben,

Részletesebben

Neptun kód: KTA60220, KTA60850, TMME0408, KT30725, KT30320, T M3537

Neptun kód: KTA60220, KTA60850, TMME0408, KT30725, KT30320, T M3537 Opcióértékelés/Opcióelmélet kurzusok Neptun kód: KTA60220, KTA60850, TMME0408, KT30725, KT30320, T M3537 2013-14, I. félév tagozat: nappali Oktatók: Gáll József (előadás), jozsef.gall kukac econ.unideb.hu,

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

Bitó Bálint István O PCIÓS T O ZSDEI KERESKEDELEM E ÖTVÖS L ORÁND T UDOMÁNYEGYETEM T ERMÉSZETTUDOMÁNYI K AR. Témavezeto : Mádi - Nagy Gergely

Bitó Bálint István O PCIÓS T O ZSDEI KERESKEDELEM E ÖTVÖS L ORÁND T UDOMÁNYEGYETEM T ERMÉSZETTUDOMÁNYI K AR. Témavezeto : Mádi - Nagy Gergely E ÖTVÖS L ORÁND T UDOMÁNYEGYETEM T ERMÉSZETTUDOMÁNYI K AR Bitó Bálint István O PCIÓS T O ZSDEI KERESKEDELEM BSc Elemzo Matematikus Szakdolgozat Témavezeto : Mádi - Nagy Gergely Operációkutatás tanszék

Részletesebben

BetBulls Opciós Portfolió Manager

BetBulls Opciós Portfolió Manager BetBulls Opciós Portfolió Manager Ennek a modulnak a célja, hogy ügyfeleinknek lehetőséget biztosítson virtuális számlanyitásra és részvény, valamint opciós pozíciók vásárlására, eladására a naponta frissülő,

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Vállalati pénzügyek alapjai

Vállalati pénzügyek alapjai BME Pénzügyek Tanszék Vállalati pénzügyek alapjai Befektetési döntések - Kötvények értékelése Előadó: Deliné Pálinkó Éva Pénzügyi piacok, pénzügyi eszközök 1. Vállalat a közvetlen pénzügyi piacokon szerez

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

1 Határidős szerződések és opciók. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 2012 1

1 Határidős szerződések és opciók. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 2012 1 1 Határidős szerződések és opciók 1 Mi egy származékos pénzügyi termék (derivative)? Értéke egy másik eszköz, vagyontárgy (asset) feltételezett jövőbeli értékétől függ. Pl.: határidős szerződés, opciók,

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Szakdolgozat Írta: Balogh Teréz Biztosítási és

Részletesebben

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ ÉRTÉKPAPÍR ADÁS-VÉTEL MEGÁLLAPODÁSOKHOZ

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ ÉRTÉKPAPÍR ADÁS-VÉTEL MEGÁLLAPODÁSOKHOZ TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ ÉRTÉKPAPÍR ADÁS-VÉTEL MEGÁLLAPODÁSOKHOZ Termék definíció Az Értékpapír adásvételi megállapodás keretében a Bank és az Ügyfél értékpapírra vonatkozó azonnali adásvételi megállapodást kötnek.

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 5.

Matematikai geodéziai számítások 5. Matematikai geodéziai számítások 5 Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5: Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Lektor: Dr Benedek Judit Ez a modul a TÁMOP

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

1. A k-szerver probléma

1. A k-szerver probléma 1. A k-szerver probléma Az egyik legismertebb on-line probléma a k-szerver probléma. A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus

Részletesebben

a) 16% b) 17% c) 18% d) 19%

a) 16% b) 17% c) 18% d) 19% 1. Mekkora az euró féléves paritásos határidős árfolyama, ha az azonnali árfolyam 240 HUF/EUR, a kockázatmentes forint kamatláb minden lejáratra évi 8%, a kockázatmentes euró márka kamatláb minden lejáratra

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ DEVIZAÁRFOLYAMHOZ KÖTÖTT ÁTLAGÁRAS STRUKTURÁLT BEFEKTETÉSEKRŐL

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ DEVIZAÁRFOLYAMHOZ KÖTÖTT ÁTLAGÁRAS STRUKTURÁLT BEFEKTETÉSEKRŐL TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ DEVIZAÁRFOLYAMHOZ KÖTÖTT ÁTLAGÁRAS STRUKTURÁLT BEFEKTETÉSEKRŐL Termékleírás A devizaárfolyamhoz kötött átlagáras strukturált befektetés egy indexált befektetési forma, amely befektetés

Részletesebben

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat. Modern vállalati pénzügyek tárgyból

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat. Modern vállalati pénzügyek tárgyból Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet Beadandó feladat Modern vállalati pénzügyek tárgyból az alap levelező képzés Gazdasági agrármérnök V. évf. Pénzügy-számvitel

Részletesebben

8. javított határidôs ügylet (boosted forward)

8. javított határidôs ügylet (boosted forward) 8. javított határidôs ügylet (boosted forward) MIFID komplexitás FX 3 a termék leírása A javított határidôs ügylet megkötésével a határidôs devizaeladáshoz hasonlóan cége egyidejûleg szerez devizaeladási

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

FHB OTTHONTEREMTŐ KAMATTÁMOGATOTT HITEL TERMÉKPARAMÉTEREK

FHB OTTHONTEREMTŐ KAMATTÁMOGATOTT HITEL TERMÉKPARAMÉTEREK FHB OTTHONTEREMTŐ KAMATTÁMOGATOTT HITEL Jelen termékismertető az FHB Jelzálogbank Nyrt. (a továbbiakban: Bank) által, a 341/2011. (XII.29.) Korm. rendelet szerint nyújtott FHB Otthonteremtő Kamattámogatott

Részletesebben

E, 130 e Ft örökké amely évente 5%-kal növekszik (az első pénzáramlás egy év múlva)

E, 130 e Ft örökké amely évente 5%-kal növekszik (az első pénzáramlás egy év múlva) 1. Feladat 1B video - Hozamgörbe,átváltás 2:30 Ma elhelyezünk bankbetétbe 100 Ft-ot és egy hónap múlva 102 Ft-ot kaphatunk kézhez. Mekkora a havi kamatláb és az éves kamatláb? Mekkora a havi hozam és az

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Sz cs Gábor. Szeged, 2011. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Pénzügyi matematika. Sz cs Gábor. Szeged, 2011. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Pénzügyi matematika Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2011. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika 2011. szi félév 1 / 79 Értékpapírpiacok Bevezetés

Részletesebben

Certifikátok a Budapesti Értéktızsdén

Certifikátok a Budapesti Értéktızsdén Certifikátok a Budapesti Értéktızsdén Elméleti Alapok Végh Richárd Budapesti Értéktızsde Zrt. Budapest, 2009.05.26-28. Mirıl lesz szó? Certifikát fogalma és hozzá kapcsolódó alapfogalmak Certifikátok fajtái

Részletesebben

MISKOLCI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR PÉNZÜGYI TANSZÉK. Tőzsdei ismeretek. feladatgyűjtemény

MISKOLCI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR PÉNZÜGYI TANSZÉK. Tőzsdei ismeretek. feladatgyűjtemény MISKOLCI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR PÉNZÜGYI TANSZÉK Tőzsdei ismeretek feladatgyűjtemény Miskolc, 005 MISKOLCI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR PÉNZÜGYI TANSZÉK Összeállította: Galbács Péter demonstrátor

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

Társaságok pénzügyei kollokvium

Társaságok pénzügyei kollokvium udapesti Gazdasági Főiskola Pénzügyi és Számviteli Főiskolai Kar udapesti Intézet Továbbképzési Osztály Társaságok pénzügyei kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 55 60 pont

Részletesebben

TŐZSDEJÁTÉK FELHASZNÁLÓI KÉZIKÖNYV

TŐZSDEJÁTÉK FELHASZNÁLÓI KÉZIKÖNYV TŐZSDEJÁTÉK FELHASZNÁLÓI KÉZIKÖNYV BEVEZETŐ A Tőzsdejáték az Magyar Nemzeti Bank (MNB) és a Budapesti Értéktőzsde (BÉT) által közösen működtetett a tőzsdei kereskedést egyszerűsített körülmények közt bemutató,

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben