OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 1. Nagy Tamás - Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK

Átírás

1 OPERÁCIÓKUTATÁS No. 1. Nagy Tamás - Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK Budapest 2002

2 Nagy Tamás - Klafszky Emil: SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK OPERÁCIÓKUTATÁS No.1 Szerkeszti: Komáromi Éva Megjelenik az FKFP 0231 Program támogatásával a Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem, Operációkutatás Tanszék gondozásában Budapest, 2002

3 Nagy Tamás - Klafszky Emil: SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK Lektorálta: Medvegyev Péter

4 4

5 Tartalomjegyzék 1. Valószín ségszámítási összefoglaló A valószín ségi változó várható értéke és szórása Nevezetes eloszlások Karakterisztikus vagy Bernoulli eloszlás Binomiális eloszlás: Normális eloszlás Lognormális eloszlás Központi határeloszlás tétel Kovariancia és korreláció Geometriai Brown-mozgás A geometriai Brown-mozgás deníciója A geometriai Brown-mozgás paraméterei Közelítés egy egyszer modellel A Brown-mozgás Opciók Az opciók alapvet típusai Opciós stratégiák Egy opciót és egy részvényt tartalmazó stratégia Különbözeti stratégiák Kombinációs stratégiák A Put-Call paritás

6 6 TARTALOMJEGYZÉK 3.4. Egzotikus opciók Az opciók értékének lehetséges tartományai Alsó korlátok Fels korlátok Az opciók árazása Binomiális opcióárazási modell A részvényárfolyam-változás mértékének meghatározása A részvényárfolyam volatilitásának mérése Black-Scholes formula Az opciós ár tulajdonságai

7 1. fejezet Valószín ségszámítási összefoglaló E rövid összefoglaló nem terjed ki a valószín ségszámítás alapvet fogalmainak, mint az eseménytér, elemi esemény, valószín ség, valószín ségi változó, eloszlásfüggvény, s r ségfüggvény valamint az alapvet en fontos sztochasztikus függetlenség fogalmának ismertetésére. Feltételezzük, hogy az olvasó ezeket jól ismeri. Célszer nek láttuk azonban, hogy ezen fogalmakkal kapcsolatos és a kés bbiekben s rün használt formulákat megismételjük és példákkal is illusztráljuk ket A valószín ségi változó várható értéke és szórása A gyakorlati alkalmazásoknál gyakran el fordul, hogy egyetlen vagy néhány számadattal kell jellemezni a valószín ségi változót ill. annak eloszlását. A legfontosabb jellemz k a várható érték és a szórás (ill. variancia). A várható érték fogalma: Ha az X diszkrét valószín ségi változó lehetséges értékei x 1, x 2, x 3... és ezeket rendre p 1, p 2, p 3... valószín séggel veszi, akkor az X várható értéke E(X) = i p i x i, ha X folytonos valószín ségi változó és s r ségfüggvénye f(x), akkor az X várható érték E(X) = 7 xf(x)dx.

8 8 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ A variancia és a szórás fogalma: Ha az X E(X) valószín ségi változó négyzetének létezik várható értéke, akkor ezt az X varianciájának nevezzük, azaz V ar(x) = E([X E(X)] 2 ), ennek négyzetgyöke az X valószín ségi változó szórása. A variancia számítható az X 2 és az X valószín ségi változók várható értékének segítségével is, azaz V ar(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2. Míg a várható érték az X valószín ségi változó eloszlásának centrumát adja meg, addig a variancia ill. a szórás az eloszlásnak a centrum körüli ingadozását méri. Az alábbiakban a várható érték és a variancia néhány fontos, az alkalmazásokban hasznos tulajdonságát ismertetjük: 1. Ha az X valószín ségi változónak létezik várható értéke és szórása, akkor E(aX + b) = ae(x) + b, V ar(ax + b) = a 2 V ar(x). 2. Legyenek X 1, X 2,..., X n tetsz legesvalószín ségiváltozók, amelyekneklétezik a várható értékük, ekkor az összegük várható értéke megegyezik a várható értékük összegével, azaz ( ) E X i = E(X i ). 3. Legyenek X 1, X 2,..., X n független valószín ségi változók, amelyeknek létezik a várható értékük, ekkor a szorzatuk várható értéke megegyezik a várható értékük szorzatával, azaz ( n ) E X i = n E(X i ). 4. Legyenek X 1, X 2,..., X n független valószín ségi változók, amelyeknek létezik a szórásuk, ekkor az összegük varianciája megegyezik a varianciájuk összegével, azaz ( ) V ar X i = V ar(x i ).

9 1.1. A VALÓSZÍN SÉGI VÁLTOZÓ VÁRHATÓ ÉRTÉKE ÉS SZÓRÁSA 9 Példa: Az alábbi példa jól illusztrálja a várható értékkel és a varianciával (szórással) kapcsolatos összefüggéseket. Legyenek X 1, X 2,..., X n független, azonos eloszlású valószín ségi változók, a közös várható érték és variancia legyen E(X i ) = m és V ar(x i ) = σ minden i- 2 re. Legyen Y valószín ségi változó ezeknek a valószín ségi változóknak a számtani átlaga, amelyet mintaátlagnak hívunk, legyen továbbá s valószín ségi változó a 2 minta varianciája. A mintaátlag és a minta variancia az alábbi képletekkel adottak: Y = X i n, s2 = a) Mutassuk meg, hogy E (Y ) = m. b) Mutassuk meg, hogy V ar (Y ) = σ 2 /n. c) Mutassuk meg, hogy E (s 2 ) = σ 2. (X i Y ) 2 n 1 Megoldás: A várható értékre és a varianciára vonatkozó tulajdonságokat alkalmazzuk. a) b) E (Y ) = E n X i ( ) = 1 n E X i = 1 n V ar (Y ) = V ar n = 1 n 2 X i. E(X i ) = 1 n nm = m ( ) = 1 n V ar X 2 i V ar(x i ) = 1 n 2 nσ2 = σ2 n c) E kérdés megválaszolását több lépésben végezzük. (X i Y ) 2 ( ) E(s 2 ) = E n 1 = 1 n 1 E (X i Y ) 2

10 10 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Most az összeget írjuk át más alakra (X i Y ) 2 = = (Xi 2 2X i Y + Y 2 ) = Xi 2 2Y ny + ny 2 = Xi 2 2Y Xi 2 ny 2 X i + ny 2 = Ennek a várható értékét a várható értékre vonatkozó addiciós összefüggés felhasználásával számítjuk ki. ( ) E (X i Y ) 2 ( ) ( = E Xi 2 ny 2 = E = E(Xi 2 ) ne(y 2 ) X 2 i ) ne(y 2 ) = A következ lépésben az Y valószín ségi változó négyzetének várható értékét számítjuk ki, felhasználva többek között a független valószín ségi változók szorzatára vonatkozó összefüggést. E(Y 2 ) = E n X i 2 = 1 n 2 E [ ] 2 X i = ([ ] [ ]) ( = 1 n E X 2 i X j = 1 n E 2 j=1 ( ) = 1 n E X 2 2 i + X i X j = = 1 n 2 [E ( X 2 i = 1 n 2 [ E(X 2 i ) + = 1 n 2 [ E(X 2 i ) + j i ) X i X j = j=1 ) ( )] + E X i X j = j i ] E(X i X j ) = j i ] E(X i )E(X j ) j i Legutoljára pedig a varianciára megismert V ar(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 )

11 1.2. NEVEZETES ELOSZLÁSOK 11 összefüggést alkalmazzuk az E(X 2 i ) számítására. E(s 2 ) = 1 n 1 ( ) E(Xi 2 ) ne(y 2 ) = ( [ ]) 1 = E(Xi 2 ) n 1 E(X 2 n 1 n 2 i ) + E(X i )E(X j ) = j i ( = 1 ) E(Xi 2 1 ) E(X i )E(X j ) = n n(n 1) j i ( ) = 1 V ar(x i ) + (E(X i )) 2 n ( ) 1 E(X i )E(X j ) n(n 1) j i = 1 n (nσ2 + nm 2 1 ) n(n 1) (n2 n)m 2 = = σ 2 + m 2 m 2 = σ Nevezetes eloszlások Az alábbiakban négy eloszlást ismertetünk, ezek az eloszlások játszák a legnagyobb szerepet a további vizsgálódásainkban Karakterisztikus vagy Bernoulli eloszlás Legyen A tetsz leges esemény, amelynek bekövetkezési valószín sége p (0 p 1). Ha az X valószín ségi változó csak a 0 és az 1 értékeket veheti fel az alábbiak szerint X = 1, ha az A esemény bekövetkezik, 0, ha az A esemény nem következik be, akkor az A esemény X karakterisztikus valószín ségi változójáról beszélünk. Tehát a P (X = 1) = p és a P (X = 0) = 1 p számok alkotják a karakterisztikus eloszlást. Jellemz i: E(X) = p, V ar(x) = p(1 p).

12 12 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Binomiális eloszlás: Tekintsünk n független kísérletet az A esemény meggyelésére és jelölje X valószín ségi változó a kísérletsorozat során az A esemény bekövetkezéseinek számát. Ha X i az i-edik kísérletre vonatkozó karakterisztikus valószín ségi változó, akkor a kísérletsorozatra jellemz X valószín ségi változót az alábbiak szerint írhatjuk X = X i. Legyen p az A esemény bekövetkezésének valószín sége, ekkor felhasználva a karakterisztikus eloszlás jellemz it és az összegre vonatkozó összefüggéseket, az X valószín ségi változó várható értéke szórása pedig a függetlenség miatt E(X) = np, V ar(x) = np(1 p). A binomiális eloszlás valószín ségeloszlása P (X = k) = ( ) n p k (1 p) n k, k (k = 0, 1, 2,..., n) Normális eloszlás A normális eloszlásnak központi szerepe van az eloszlások között, az egyik leggyakrabban alkalmazott eloszlás. A X valószín ségi változót normális eloszlásúnak nevezünk, jele N(m, σ), ha s r ségfüggvénye a következ alakú f(x) = 1 2πσ e (x m)2 2σ 2, ( < x < ) ahol m valós, σ pedig pozitív állandó. Az eloszlásfüggvényt az alábbiak szerint számíthatjuk ki F (x) = x f(t)dt.

13 1.2. NEVEZETES ELOSZLÁSOK 13 A normális eloszlású X valószín ségi változó várható értéke és varianciája E(X) = m, V ar(x) = σ 2. Kitüntetett szerepe van annak a normális eloszlásnak, amelynek várható értéke 0, szórása pedig 1, azaz m = 0, σ = 1. Az ilyen eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük, jele N(0; 1). Ha X normális eloszlású valószín ségi változó, akkor az ax + b valószín ségi változó is normális eloszlású. Ezt a tényt felhasználva minden N(m, σ) eloszlást a Z = X m σ transzformációval N(0; 1) eloszlásba vihetünk. A két eloszlás eloszlásfüggvénye között az alábbi a kapcsolat ( ) x m F (x) = Φ, σ ahol Φ(z) az N(0; 1) ún. standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye, azaz Φ(z) = z 1 2π e t2 2 dt. Így elegend a standard normális eloszlás Φ(x) eloszlásfüggvény értékeit táblázatba foglalni, mert erre visszavezethet tetsz leges paraméter normális eloszlás. S t elegend csupán a pozitív x-ekre közölni a táblázatokat, mivel igaz, hogy Φ( x) = 1 Φ(x). A normális eloszlás alkalmazásakor táblázatot kell használnunk a Φ(x) standard normális eloszlásfüggvény értékének meghatározására. Táblázat hiányában az alábbi, nagy pontosságú közelít képletet szokták használni Φ(x) számítására. Ez az összefüggés van beépítve számos statisztikai programcsomagba is: Φ(x) 1 1 2π e x2 /2 (a 1 y + a 2 y 2 + a 3 y 3 + a 4 y 4 + a 5 y 5 ),

14 14 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ ahol y = x, a 1 = , a 2 = , a 3 = , a 4 = , a 5 = Végül egy fontos összefüggést ismertetünk a független, normális eloszlású valószín ségi változók összegére vonatkozóan. Legyenek X 1, X 2,..., X n független, normális eloszlású valószín ségi változók, amelyeknek várható értéke és varianciája legyen E(X i ) = m i és V ar(x i ) = σi. Az 2 X 1 + X X n összeg szintén normális eloszlású valószín ségi változó, amelynek várható értéke és varianciája E(X 1 + X X n ) = m 1 + m m n, V ar(x 1 + X X n ) = σ σ σ 2 n Lognormális eloszlás A X valószín ségi változót m és σ paraméter lognormális eloszlásúnak nevezünk, ha az Y = log X valószín ségi változó normális eloszlású m várható értékkel és σ szórással. A lognormális eloszlás s r ségfüggvénye f(x) = 1 (log x m)2 e 2σ 2, (x > 0). 2πσx A lognormális eloszlású X valószín ségi változó várható értéke és varianciája σ2 m+ E(X) = e 2, ( V ar(x) = e 2 2 m+ σ2 ) (e σ2 1).

15 1.2. NEVEZETES ELOSZLÁSOK 15 Az alábbiakban a normális és a lognormális eloszlás alkalmazására egy példát mutatunk be. Példa: Legyen egy bizonyos részvény ára az n-edik hét végén S(n), ahol n 1. Tegyük fel, hogy az S(n)/S(n 1) árarány minden n 1 értékre független és azonos eloszlású lognormális valószín ségi változó. Legyen a szóbanforgó lognormális valószín ségi változó két paramétere m = és σ = a) Mi a valószín sége, hogy a részvény ára egyik hétr l a másikra növekedik? b) Mi a valószín sége, hogy a részvény ára három héttel kés bb nagyobb lesz, mint az induló ár? Megoldás: a) A keresett valószín ség P (S(n) > S(n 1)) bármely n 1 értékre. Mivel a feladatban megfogalmazott feltevés minden n-re azonos, így elegend az n = 1 esetre elvégezni a számítást, azaz a keresett valószín ség P (S(1) > S(0)). Mivel a részvény ára pozitív, ezért az S(1) > S(0) egyenl tlenség ekvivalens a log S(1) > log S(0) ill. a log S(1) S(0) tudva, hogy az X=log S(1) S(0) > 0 egyenl tlenséggel. Ezt felhasználva, és valószín ségi változó m = várható érték és σ = szórású normális eloszlású valószín ségi változó, valamint a Z = X m σ valószín ségi változó m = 0 várható érték és σ = 1 szórású standard normális eloszlású valószín ségi változó, így a keresett valószín ség ( P (S(1) > S(0)) = P log S(1) ) ( log S(1) S(0) > 0 S(0) = P m σ ( = P Z > ) = P (Z > ) = 1 P (Z < ) = 1 Φ( ) = 1 (1 Φ( )) ) > 0 m σ = Φ(0.2260) = b) A keresett valószín ség P (S(n + 2) > S(n 1)) bármely n 1 értékre. A feltevés szerint minden n-re azonosak a viszonyok, így az n = 1 esetre végezzük el a számítást, azaz a keresett valószín ség P (S(3) > S(0)).

16 16 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Mivel a részvény ára pozitív, ezért az S(3) > S(0) egyenl tlenség ekvivalens a log S(3) > log S(0) ill. a log S(3) > 0 egyenl tlenséggel. Ez utóbbi további alakítás- S(0) sal log S(3) log S(1) S(0) S(2) S(1) S(2) S(1) S(0) S(3) S(2) > 0 és ebb l a számunkra már használható log + log + S(2) S(1) S(3) S(2) S(1) > 0 egyenl tlenség adódik. A Z=log + log + log valószín ségi S(2) S(1) S(0) változó három darab független normális eloszlású valószín ségi változó összege, amelyr l tudjuk, hogy szintén normális eloszlású valószín ségi változó. A Z várható értéke 3m, azaz = , varianciája pedig 3σ, így szórása 2 σ 3, azaz = Hasonlóanaza)részbenimegoldáshoz, akeresettvalószín ség ( P (S(3) > S(0)) = P log S(3) ) S(2) S(1) + log + log S(2) S(1) S(0) > 0 ( Z 3m = P σ > 0 3m ) 3 σ 3 ( = P Z > ) = P (Z > ) = = Φ( ) = Központi határeloszlás tétel Legyenek X 1, X 2,...azonoseloszlású, függetlenvalószín ségiváltozók, mközösvárható értékkel és σ közös szórással és legyen S n valószín ségi változó az els n darab X i valószín ségi változó összege S n = X i. Mint tudjuk az S n valószín ségi változó várható értéke nm, szórása pedig σ n. A központi határeloszlás azt montja ki, hogy bármely x valós számra lim P n ( Sn nm σ n ) x = Φ(x). Szavakban ez azt jelenti, hogy elég nagy n esetén az valószín ségi változó Sn nm σ n eloszlása közel standard normális eloszlás. A normális eloszlásnak a tétel adja meg a valószín ségszámításban játszott központi szerepét. Példa:

17 1.3. KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS TÉTEL 17 Tekintsük egy részvény ármozgására az alábbi modellt. Ha egy adott id ben a részvény ára s, akkor egy id periódus után a részvény ára vagy p valószín séggel us vagy pedig (1 p) valószín séggel ds (u > 1, 0 < d < 1). Tegyük fel, hogy az egymás utáni id periódusokban az ármozgás független. Határozzuk meg közelít leg annak a valószín ségét, hogy a következ 1000 id periódus után a részvény ára legalább 30 %-kal nagyobb lesz, mint az induló ár! Megoldás: Jelölje az S i valószín ségi változó a részvény árát az i-edik periódusban. Ekkor a keresett valószín ség P ( ) S S 0 Elemi számolással a keresett valószín séget átalakítva kapjuk, hogy P ( ) S S 0 ( = P log S ) 1000 log 1.3 = S ( 0 = P log S ) 1000 S 999 S2 S 1 log 1.3 = S 999 S 998 S 1 S 0 ( 1000 ) = P log S i log 1.3. S i 1 Legyen X i = log S i S i 1 valószín ségi változó az i-edik és a közvetlen megel z periódusbeli ár hányadosának logaritmusa. El ször határozzuk meg X i várható értékét és varianciáját. Az X i lehetséges értékei: log u ill. log d. m = E(X i ) = p log u + (1 p) log d = p log u d + log d, σ 2 = V ar(x i ) = p (log u) 2 + (1 p)(log d) 2 [p log u + (1 p) log d] 2 = ( = p(1 p) log u 2. d) Ha u = 1.1, d = 0.9, p = 0.55, akkor m = ill. σ = 0.1. A keresett valószín ség kiszámítására most a központi határeloszlás tételt alkalmazzuk. Mivel n = 1000 elég nagy és az összegben szerepl X i valószín ségi változók azonos eloszlásúak és függetlenek, így a tétel feltételei fennállnak, a kere-

18 18 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ sett valószín ség közelít értékét az alábbi szerint határozhatjuk meg P ( 1000 ) X i log 1.3 = P 1000 X i 1000m σ 1000 ( ) log m = 1 Φ σ 1000 = log m σ 1000 Példa: Egy bizonyos részvény minden id periódusban vagy 0.39 valószín séggel 1-el csökken, vagy 0.20 valószín séggel nem változik, vagy pedig 0.41 valószín séggel 1-el növekszik. Feltéve az egymás utáni id periódusok árváltozásainak függetlenségét, mennyi annak a valószín sége, hogy a következ 700 id periódus után a részvény ára legalább 10-el nagyobb lesz az induló árnál? Megoldás: Jelölje az X i valószín ségi változó a részvény árának megváltozását az i-edik periódusban. El ször határozzuk meg X i várható értékét és varianciáját. E(X i ) = ( 1) = 0.02, V ar(x i ) = [( 1) ] = , amelyb l a közös várható érték m = 0.02 és a szórás σ = A kezd és a 700 id periódus utáni árváltozást az X i valószín ségi változók összege adja, így a keresett valószín ség P ( 700 ) X i 10. Ennek kiszámítására alkalmazhatjuk a központi határeloszlás tételt, mivel n = 700 elég nagy és az összegben szerepl X i valószín ségi változók azonos eloszlásúak és

19 1.4. KOVARIANCIA ÉS KORRELÁCIÓ 19 függetlenek. A tétel szerint P ( 700 ) X i X i = P = 700 X i = P = = Φ( ) = Kovariancia és korreláció A gyakorlatban nagyon sokszor kell két valószín ségi változó egymástól való függ ségét, kapcsolatának szorosságát vizsgálni. Azt vizsgáljuk, hogy a saját várható értékeik körüli ingadozásuk milyen kapcsolatban van egymással. Ennek az ún. sztochasztikus kapcsolatnak a mérésére két mutatót is szokás használni, egyik a kovariancia, másik a korrelációs együttható. Az X és az Y valószín ségi változók kovarianciája alatt az alábbi várható értéket értjük Cov(X, Y ) = E ([X E(X)][Y E(Y )]). Az X és az Y valószín ségi változók korrelációs együtthatója alatt a kovariancia és a szórások hányadosát értjük, azaz ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) V ar(x)v ar(y ). Az alábbiakban a fogalmakra vonatkozó néhány fontos tulajdonságot ismertetünk. 1. Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) 2. Cov(X, Y ) = Cov(Y, X), szimmetria 3. Cov(X, X) = V ar(x) 4. Cov(aX, Y ) = acov(x, Y ) 5. Cov(a, Y ) = 0 6. Cov(X 1 + X 2, Y ) = Cov(X 1, Y ) + Cov(X 2, Y ), linearitás

20 20 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ 7. Cov(X 1 + X 2, Y 1 + Y 2 ) = Cov(X 1, Y 1 ) + Cov(X 2, Y 1 ) +Cov(X 1, Y 2 ) + Cov(X 2, Y 2 ) 8. Cov(aX + b, Y ) = acov(x, Y ) 8. 1 ρ(x, Y ) 1 9. Ha lineáris a kapcsolat X és Y között, azaz Y = ax + b, akkor ρ(x, Y ) = sgn(a), vagyis 1, ha a > 0 és 1, ha a < 0. Most néhány fontos általánosítást ismertetünk: 10. A 7. tulajdonság általánosításai több valószín ségi változó összegére ( m Cov X i, ( m Cov a i X i + b i, ) Y j = j=1 m ) c j Y j + d j = j=1 Cov (X i, Y j ), j=1 m a i c j Cov (X i, Y j ). 11. A 3. tulajdonság általánosításai n darab valószín ségi változóra ( ) V ar X i ( = Cov X i, = = ) X j = j=1 Cov (X i, X i ) + V ar (X i ) + j=1 Cov (X i, X j ) = j=1 Cov (X i, X j ) j i Cov (X i, X j ). j i ( ) V ar a i X i + b i ( = Cov a i X i + b i, = = = ) a j X j + b j = j=1 a i a j Cov (X i, X j ) = j=1 a 2 i Cov (X i, X i ) + a 2 i V ar (X i ) + a i a j Cov (X i, X j ) j i a i a j Cov (X i, X j ). Ha Cov(X, Y ) = 0, akkor azt mondjuk, hogy az X és az Y valószín ségi változók korrelálatlanok. j i

21 1.4. KOVARIANCIA ÉS KORRELÁCIÓ 21 A korrelálatlanságot nem szabad összekeverni a függetlenséggel. Mint korábbról tudjuk, ha X és Y valószín ségi változók függetlenek, akkor E(XY ) = E(X)E(Y ). E fontos összefüggést felhasználva állítható, hogy ha X és Y valószín ségi változók függetle-nek, akkor Cov(X, Y ) = ρ(x, Y ) = 0, vagyis a függetlenségb l következik a korrelálatlanság, fordítva nem. Több valószín ségi változó esetén ezek páronkénti kovarianciáit és korrelációs együtt-hatóit a tömörebb leírás végett egy-egy mátrixba foglalhatjuk össze. Legyen X 1, X 2,..., X n n darab valószín ségi változó és legyen c ij = Cov(X i, X j ) és r ij = ρ(x i, X j ). A c ij ill. r ij számokból alkotott C ill. R mátrixot kovariancia-mátrixnak ill. korreláció mátrixnak nevezzük. A C és az R mátrixok szimmetrikusak és pozitív szemidenit mátrixok, továbbá c ii = V ar(x i ) = σi és 2 r ii = 1. Független valószín ségi változók esetén a C egy diagonális mátrix, az R pedig egységmátrix. Ha bevezetjük az S diagonális mátrixot, amelynek f átlójában az egyes valószín ségi változók szórása szerepel, akkor az ismert c ij = σ i r ij σ j összefüggés a C = SRS, ill. R = S 1 CS 1 alakban írható. Gyakran van szükségünk arra, hogy több valószín ségi változó súlyozott számtani átlagát vizsgáljuk. Legyenek X 1, X 2,..., X n valószín ségi változók és legyenek w 1, w 2,..., w n súlyok ( w i = 1 és w i 0 minden i-re). Jelölje Y valószín ségi változó a súlyozott számtani átlagot, azaz Y = w i X i, ennek várható értéke és varianciája a korábban megismert összefüggésekb l E(Y ) = V ar(y ) = w i E (X i ), w i w j Cov (X i, X j ). j=1

22 22 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Ha a súlyokat és a várható értékeket egy-egy vektorba foglaljuk úgy, hogy m = (E (X 1 ), E (X 2 ),..., E (X n )) és w = (w 1, w 2,..., w n ), akkor a fentieket vektormátrix m veletek segítségével tömörebb formában is írhatjuk. E(Y ) = w T m, V ar(y ) = w T Cw = w T SRSw. Ha a valószín ségi változók függetlenek, akkor V ar(y ) = w T SSw = (Sw) T (Sw), ahol T a transzponálás jele. Példa: Tegyük fel, hogy egy adott id periódusban egy bizonyos részvény ára egyenl valószín -séggel n vagy csökken 1 egységgel és különböz id periódusok kimenetele egymástól független. Jelölje az X valószín ségi változó az els periódusbeli változást, az Y valószín ségi változó pedig az els három periódusbeli változás összegét. Határozzuk meg az X és Y valószín ségi változók közötti kovarianciát és a korrelációs együtthatót! Megoldás: Az egyszer bb számolás kedvéért készítsünk egy táblázatot a lehetséges esetek vizsgálatára. A +, jelekkel az értékpapír árának növekedését ill. csökkenését jeleztük. A 2. oszlopban az X valószín ségi változó, a 2. sorban pedig az Y valószín ségi változó lehetséges értékeit tüntettük fel. A táblázat belseje az XY szorzat valószín ségi változó valószín ség eloszlását mutatja. Az utolsó sor és oszlop az X és az Y valószín ségi változó lehetséges értékeihez tartozó valószín ségeket mutatja.

23 1.4. KOVARIANCIA ÉS KORRELÁCIÓ X Y /8 1/8 1/8 1/ / /8 1/8 1/8 1/8 1/2 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/ E(X) = ( 1) 1 2 = 0, E(Y ) = ( 1) ( 1) ( 1) ( 3) 1 8 = 0, E(XY ) = ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 3) 1 8 = 1, V ar(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = ( 1) = 1, V ar(y ) = E(Y 2 ) [E(Y )] 2 = 1 8 [ ( 1) ( 1) 2 + ( 1) 2 + ( 3) 2 ] 0 2 = 3. A kovariancia és a korrelációs együttható Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = 1, ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) = 1 = V ar(x)v ar(y ) 1 3. Bemutatunk egy másik megoldási módot is.

24 24 1. FEJEZET: VALÓSZÍN SÉGSZÁMÍTÁSI ÖSSZEFOGLALÓ Jelöljék az X 1, X 2, X 3 valószín ségi változók az 1., a 2. és a 3. periódusbeli változást. (Az X 1 azonos az el z megoldásban szerepl X-el.) Ezek a valószín ségi változók függetlenek. A feladat értelmében az X 1 és az X 1 + X 2 + X 3 valószín ségi változók kovarianciáját kell meghatározni, amelyet az alábbiak szerint végezhetünk, felhasználva a kovariancia additivitását és a függetlenséget Cov(X 1, X 1 + X 2 + X 3 ) = Cov(X 1, X 1 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov(X 1, X 3 ) = = Cov(X 1, X 1 ) = V ar(x 1 ) = 1. A korrelációs együttható számításához szükségünk van a három független valószín ségi változó összegének varianciájára, amely az alábbiak szerint számítható V ar(x 1 + X 2 + X 3 ) = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + V ar(x 3 ) = ρ(x 1, X 1 + X 2 + X 3 ) = = 3V ar(x 1 ) = 3, Cov(X 1, X 1 + X 2 + X 3 ) V ar(x1 )V ar(x 1 + X 2 + X 3 ) = 1 3 =

25 2. fejezet Geometriai Brown-mozgás 2.1. A geometriai Brown-mozgás deníciója Jelölje S(y) egy értékpapír árát y id elteltével a jelent l. Az S(y), 0 y < értékpapír árak együttese m és σ paraméter geometriai Brown-mozgást követ az alábbi két feltétel fennállása esetén: 1. ha minden nemnegatív y és t értékre az S(t + y) S(y) valószín ségi változó független az y id pont el tti áraktól, 2. a ( ) S(t + y) log S(y) valószín ségi változó mt várható érték és σ 2 t varianciájú (σ t szórású) normális eloszlású valószín ségi változó. Más szavakkal: az árak sorozata akkor követ geometriai Brown-mozgást, ha az árak hányadosa nem függ a múltbeli áraktól és lognormális valószín ség-eloszlású mt és σ t paraméterekkel. A geometriai Brown-mozgást tehát két paraméter meghatározza. Az m paramétert drift (növekedési) paraméternek, a σ paramétert pedig volatilitási (változékonysági) paraméternek szokás nevezni. A feltevés szerint egy adott t hosszúságú id szakban az árak hányadosa ugyanolyan eloszlást követ, 25

26 26 2. FEJEZET: GEOMETRIAI BROWN-MOZGÁS függetlenül attól, hogy mi az id szak kezdete. Eszerint tehát egy értékpapír árának pl. egy hónap alatti megduplázódása ugyanakkora valószín ség mintha 10-r l vagy 25-r l duplázódott volna meg. Haakezd ár S(0), akkoratid beliárvárhatóértékeésvarianciájaalognormális eloszlásra megismert összefüggések alapján E [S(t)] = S(0)e t(m+σ2 /2), V ar [S(t)] = [S(0)] 2 e 2t(m+σ2 /2) (e tσ2 1). Példa: Tegyük fel, hogy egy értékpapír S(y), y 0 ára geometriai Brown mozgást követ, m=0.01 és σ=0.2 paraméterekkel. Ha S(0) = 100, akkor t = 10 esetén a) E [S(10)] =?, V ar [S(10)] =?, b) P (S(10) > 100) =?, c) P (S(10) < 120) =? Megoldás: a) A várható értékre és a varianciára adott képletekbe behelyettesítve kapjuk, hogy E [S(10)] = 100e 10( /2) = , V ar [S(10)] = e 2 10( /2) (e ) = b) A keresett valószín séget áralakítva kapjuk, hogy P (S(10) > 100) = P (S(10) > S(0)) = P (log S(10) > log S(0)) ( = P log S(10) ) S(0) > 0. Az X = log S(10) valószín ségi változó tm várható érték és tσ varianciájú 2 S(0) normális valószín ségi változó, azaz a várható érték = 0.1, a szórás = A keresett valószín ség ( X 0.1 P (S(10) > 100) = P (X > 0) = P > 0.1 ) ( ) X 0.1 = P > = Φ ( ) =

27 2.2. A GEOMETRIAI BROWN-MOZGÁS PARAMÉTEREI 27 c) A keresett valószín séget átalakítva kapjuk, hogy ( P (S(10) < 120) = P S(10) < S(0) 120 ) ( = P log S(10) < log S(0) ( = P log S(10) < log S(0) + log 120 ) S(0) ( = P log S(10) ) 120 < log. S(0) 100 [ S(0) 120 ]) S(0) Az X = log valószín ségi változó S(10) 0.1 várható érték és szórású S(0) normális valószín ségi változó, így a keresett valószín ség ( P (S(10) < 120) = P X < log 120 ) = P (X < ) 100 ( ) X = P < ( ) X 0.1 = P < = Φ ( ) = A geometriai Brown-mozgás paraméterei Az m drift paraméter, a σ volatilitási paraméter értéke attól függ, hogy milyen mértékegységben mérjük az id t. A gyakorlat az id t évben mérik, így éves driftr l és éves volatilitásról szokás beszélni. Mit fejeznek ki e paraméterek, ezt szeretnénk néhány szóban bemutatni. A részvény két árfolyamának hányadosát Jelöljük X valószín ségi változóval a ) ) denícióban szerepl log valószín ségi változót, azaz X = log, amelyb l ( S(t+y) S(y) ( S(t+y) S(y) S(t + y) = S(y)e X. Ezen összefüggés szerint az X valószín ségi változó a részvény hozamát jelenti t id tartam alatt, azaz a részvényárfolyam folytonos növekedési üteme X. A deníció szerint tehát a részvény hozama normális eloszlást követ mt várható értékkel és

28 28 2. FEJEZET: GEOMETRIAI BROWN-MOZGÁS σ 2 t varianciával (ill. σ t szórással). Amennyiben t értékét 1-nek választjuk, úgy az m drift paraméter a részvény várható éves hozamát, a σ volatilitási paraméter pedig részvény éves hozamának szórását jelenti. A várható hozamot és a szórást százalékosan szokták megadni. Példa: Egy részvény árfolyamának várható éves hozama 16 %, volatilitása évi 30 %. A részvényárfolyam egy adott nap végén 1000 Ft. a) Mennyi a várható részvényárfolyam a következ nap végén? b) Mennyi a részvényárfolyam várható szórása a 2. nap végén? c) Mi a valószín sége, hogy a részvényárfolyam a 10. nap végén 950 és 1100 között lesz? Megoldás: Az adataink alapján m = 0.16, σ = 0.30, S(0) = Az árfolyamoknál keresked i napokban számolnak, ami 252 nap, így 1 nap évnek felel meg a) t = , E [S(0.004)] = 1000e 0.004( /2) = b) t = , V ar [S(0.008)] = e ( /2) (e ) = , szórás = = c) t = 10 S(0.04) 0.04, és tudjuk, hogy az X = log 252 S(0) normális eloszlású, várható értéke és szórása valószín ségi változó E(X) = mt = = , V ar(x) = σ t = = 0.06.

29 2.3. KÖZELÍTÉS EGY EGYSZER MODELLEL 29 A keresett valószín ség ( 950 P (950 < S(0.04) < 1100) = P S(0) < S(0.04) S(0) ( log < 1100 ) S(0) S(0.04) = P < log < log 1100 S(0) 1000 = P ( < X < ) ( = P < X ) < = Φ(1.4817) Φ( ) = ) 2.3. Közelítés egy egyszer modellel Az alábbiakban egy egyszer modellt mutatunk be, amely ugyan pontatlanul, de elfogadható interpretálását adja a geometriai Brown-mozgásnak. Tekintsünk egy t hosszúságú id tartamot, amelynek a kezd ideje y, befejez ideje t + y. Legyen egy bizonyos részvény ára a két id pontban S(y) ill. S(t+y). Osszuk fel a t id tartamot n egyenl részre és tegyük fel, hogy a részvény ára csak a részintervallumok végén változik. Minden részintervallum végén a részvény ára vagy p valószín séggel u- szorosára változik (u > 1, tehát növekszik), vagy (1 p) valószín séggel d-szorosára változik (0 < d < 1, tehát csökken), ahol u = e σ t p = 1 2 n, ( 1 + m σ t d = e σ ) t. n Legyen X i egy Bernoulli valószín ségi változó, amelynek értéke 1, ha az árfolyam növekszikés0, haazárfolyamcsökkenaz i-edikrészintervallumban. Az X i valószín ségi változók mindegyikének ugyanaz a várható értéke és varianciája, mégpedig E(X i ) = p, V ar(x i ) = p(1 p). Ekkor az Y = X i valószín ségi változó mutatja, hogy a lejárati id alatt hányszor növekedett a részvény árfolyama. Az n Y valószín ségi változó pedig a lejárati id alatt a részvényárfolyam csökkenéseinek számát mutatja. szorosára vál- Ezt gyelembevéve az id tartam alatt a részvény árfolyama u Y d n Y tozik, azaz S(t + y) = S(y)u Y d n Y. n,