PEDAGÓGIAI KUTATÁS KVANTITATÍV MÓDSZEREI. T. Parázsó Lenke

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "PEDAGÓGIAI KUTATÁS KVANTITATÍV MÓDSZEREI. T. Parázsó Lenke"

Átírás

1 PEDAGÓGIAI KUTATÁS KVANTITATÍV MÓDSZEREI T. Parázsó Lenke

2 Tartalom A felmérés céljának megfelelő elemzési mód kiválasztása és elvégzése A tudásszint-mérés folyamata A teszt jóságmutatói Empirikus vizsgálatok lefolytatása az anyagok tartalmi és technikai fejlesztésére Értékelés módszerei Értékelési folyamat megvalósítása számítógépes környezetben, (Excel, SPSS)adta lehetőségek kihasználásával 2

3 Kutatás fogalma A kutatás alatt értendő valamilyen tudatosult igény, probléma megoldására irányuló megoldási folyamat, melynek során a jelenséget komplex módon előre átgondolt hipotézis alapján kell tanulmányozni. Kutatási stratégiák Deduktív (analitikus) kutatási stratégia: a forrásokat, dokumentumokat és eddigi tapasztalatokat elemezve fogalmazza meg az elveket, törvényszerűségeket. Induktív (empirikus) kutatási stratégia: a következtetéseket a tapasztalati mérésekre és azok elemzésére alapozva kell levonni. 3

4 A statisztikai módszerek típusai A kutatásokban alkalmazott tipikus módszerek: 1. Leíró statisztika: Ez a módszer a numerikus (számszerű) információk összegyűjtését, az információk összegzését, jellemzését szolgáló módszereket szolgálja. Területei: Adatgyűjtés Adatok ábrázolása Adatok csoportosítása, osztályozása Az adatokkal végett egyszerűbb aritmetikai műveletek Eredmények megjelenítése 4

5 A statisztikai módszerek típusai_2 2. A következtetéses statisztika: a jelenségekre, folyamatokra levont következtetések nem csak a közvetlen vizsgálatokon alapulnak. Ezeket a következtetéseket a matematikai statisztika és a valószínűség számítás alapján kapjuk. A következtetéseket a reprezentatív mintán végzett vizsgálatok alapján a populációra vonjuk le. 5

6 Statisztikai adatok A statisztikai adat, mérés vagy számlálás útján keletkező tapasztalati, vagy empirikus szám. Típusai: Alapadatok: Közvetlenül számlálás vagy mérés eredményeként kapjuk. Leszármaztatott adatok: számolás eredményeként kapjuk (viszonyszámok, átlagok, mutatószámok) Viszonyszámok: két tényező elemeinek egymáshoz viszonyított aránya (fő és részsokaságok; részsokaságok) Átlagok Mutatószámok: statisztikai adatkategóriák, melyekkel rendszeresen ismétlődő jelenségeket jellemezhetünk; pl. demográfiai mutatók. 6

7 Kutatási terv 7

8 A rendszerleírás alapegysége: változók és attribútomok Attribútom: a vizsgálat tárgyára jellemző tulajdonság Változó: logikailag összetartozó attribútomok Az attribútomok lehetnek minőségi és mennyiségi ismérvek 8

9 Változó típusok Típus Változó Attribútumok Mennyiségi Településnagyság (fő) (egyedi) Mennyiségi (összevont) Településnagyság (kategória) között között Minőségi Település jogállása 1-község 2-város 3-megyei jogú város Eloszlás Régió 1- NyD 2-KD 3-KM Attitűd Mennyire ért egyet az alábbi állítással...? Eldöntendő Van-e autója? 1-van 2-nincs 1-teljes mértékben 2-bizonyos mértékben 3-inkább nem 4-egyáltalán nem 9

10 Kutatási módszerek Kvalitatív és kvantitatív módszerek Megfigyelés Résztvevő megfigyelése Interjú Surwey (teszt) Másodelemzés 10

11 Kutatási hipotézisek 1. A kísérlet, felmérés, vagyis a kutatómunka megkezdése előtt a kutató kialakít egy feltételezést arról, hogy mit vár el a kutatástól. Nélküle a kutatás ösztönös, próbálkozás jellegűvé válhat. A hipotézisben a vizsgálat eredményével kapcsolatos következtetések elfogadhatóságát illetve tarthatatlanságát fogalmazzuk meg. Hipotézis - a kutatási problémára adott feltételezett válasz, azaz a kutató feltételezéseit kifejező kijelentés, a problémában szereplő változókra, azok kapcsolatára vonatkozóan. (A jól megfogalmazott hipotézisek a kutatás vezérfonalát alkotják). 11

12 A hipotézissel szembeni követelmények Rendelkezzen magyarázó erővel, legyen világos, egyértelmű. A változók kapcsolatát pontosan írja le. A hipotézis legyen igazolható vagy elvethető. Igényeljen megvalósítható módszereket eljárásokat. Támaszkodjon a már meglévő ismeretekre. Adjon választ a kiinduló problémára 12

13 Hipotézisek csoportosítása a megfogalmazásuk alapján Null-hipotézis: - azt feltételezzük, hogy nincs összefüggés a változók között. (pl. a családi, szakmai kapcsolatok nem hatnak a frissdiplomás elhelyezkedésére). Alternatív irány nélküli hipotézis: az összefüggést feltételezzük, de annak irányát nem adjuk meg. Alternatív irányt is kifejező hipotézis: megjelöljük a változók feltételezett kapcsolatának irányát. (pl. a családi, szakmai kapcsolatok döntő módon befolyásolják a frissdiplomás elhelyezkedését). 13

14 A kutatás tudományosságának feltételei, etikai kérdései 1. a. A kutatás résztvevőivel szembe: A résztvevők minimális kockázata. résztvevő személyeket érintő előnyök haladják meg a hátrányokat. A résztvevő személyek biztonságának óvása (anonimitás, személyiség óvása, rejtett kamera kérdése ). Előzetesen egyeztetett egyetértés alapján történhet a felmérés. A résztvevő személyekkel való jó kapcsolat kialakítása és a felmérés idejének optimalizálása. 14

15 A kutatás tudományosságának feltételei, etikai kérdései 2. b) A tudóstársadalommal szembe: Szellemi termékek eltulajdonítása pl. idézet hivatkozás nélkül. Kutatási adatok torzítása szándékosan vagy nem megfelelő szakmai ismeret miatt. Hipotézisek utólagos megfogalmazása. Káros adatok elhallgatása. (az egyén negatív befolyásolása). A felmérési adatok tudatos félremagyarázása előre megfontolt céllal. 15

16 Kutatási stratégiák 1.) Deduktív (analitikus) kutatási stratégia 2.) Induktív (empirizmus) kutatási stratégia 16

17 Kutatási stratégiák _deduktív 1.) Deduktív (analitikus) kutatási stratégia: A tudományos eredményekre támaszkodva oldjuk meg a problémát. Ezáltal a következtetéseinket az általános elv, törvényszerűség stb. alapján fogalmazzuk meg. A következtetések forrása: a) Forráskutatás b) Dokumentumelemzés c) Tartalomelemzés 17 17

18 A.) Forráskutatás A forráskutatás: analitikus jellegű kutatási stratégia, amelyben a kutató tág értelembe vett források, dokumentumok, más tudományokban felhalmozott tapasztalatok elemzésére vállalkozik. A vizsgálat fázisai: 1. A források felkutatása 2. Forráskritika 3. Források értelmezése Forrás: minden olyan írott, szóbeli vagy tárgyi anyag, amelyből a kutatásunkhoz tényeket használhatunk fel

19 B.) Dokumentumelemzés Dokumentumnak tekintünk minden olyan, a jelenben vagy a közelmúltban keletkezett anyagot, ami nem közvetlenül a kutatás céljára készült, de melyekből adalékokat, fontos információkat kaphatunk a kutatómunkához. Különbség a forrás és dokumentumelemzés közötti: a forráselemzés történelmi dokumentumokat vizsgál

20 Tartalom C.) Tartalomelemzés A tartalomelemzés olyan kutatási módszer, ami lehetővé teszi egy szöveg elemzését oly módon, hogy annak minden komponensét figyelembe veszi. Megjegyzés: Dokumentumelemzés: kizárólag a szövegben lévő explicit tartalomra vonatkozik Tartalomelemzés: a szöveg mélyrétegeibe kíván behatolni, rejtett összefüggéseket kíván feltárni. Célja, hogy az üzenetek jelentése mellett feltárja a szöveg rejtett tartalmait olyan eljárással, amely a szöveg visszatérő sajátosságainak elemzésére épül

21 Kutatási stratégiák_induktív a. Induktív: az empirizmusból kiindulva fogalmazzuk meg a tapasztalatokat. Típusai: Leíró kutatási stratégia ( meglévő helyzet leírása milyen tanulási nehézséget tapasztalunk ) Feltáró kutatási stratégia ( különböző változók egymáshoz való viszonyának elemzése, az eltérő típusú információhordozók hogyan hatnak az a pályaorientációra ) Kísérleti kutatási stratégia: a független változókat a kísérlet céljának megfelelően tudatosan változtatják.uk

22 A kutatás módszerei, eszközei Feltáró módszerek: Dokumentumelemzés Megfigyelés Szóbeli kikérdezés Írásban történő kikérdezés Szociometriai módszer Tudásmérés Pszichológiai vizsgálati eljárások 22 22

23 Feldolgozó módszerek A módszerek gyakorlati megvalósításához megfelelő technikákra, eszközökre van szükség. Módszerek fajtái: Statisztikai módszerek Minőségi elemzés Metapedagógiai eljárások A módszerek megválasztásakor ügyelni kell: az érvényesség (validity) és a megbízhatóság (reliability) szempontjainak biztosítására kell törekedni

24 A kutatások fajtái 1. Alapkutatás: új ismeretek szerzése a meglévő elméletek módosítása, továbbfejlesztése céljából. 2. Alkalmazott kutatás: az elméleti tételek, fogalmak gyakorlati szituációkban való vizsgálata. 3. Akciókutatás: egy konkrét probléma megoldása egy adott közegben. 4. Tantervi vagy programértékelés: tanterv, taneszköz-együttes hatékonyságának mérése. 5. Mérés: egy populáció teljesítmény szintjének mérése. 6. Elmélet és valóság: az elmélet valósában való alkalmazhatósága

25 Vizsgálati módszerek A vizsgálat többféle kutatási módszert jelent, melyek közös vonása, hogy valakiknek a megkérdezésével kíván ismereteket szerezni. Fajtái: A kérdőív (összegyűjthető információk rendszere, a kérdőív készítésének folyamata, adatok feldolgozása) Az interjú (fajtái, alkalmazott kérdéstípusok. Az interjú előkészítése, lebonyolítása) Attitűdvizsgálat ( szerepe, attitűdök feltárásának módszerei, érdeklődésvizsgálat) Szociometria (közvetlen megfigyelés, szociometriai kérdőívek, szociometriai tesztek) 25 25

26 Kérdőív Az összegyűjthető információk rendszere, a kérdőív készítésének folyamata, adatok feldolgozása. 1. A kutatás különböző szakaszaiban használható, de fő területe az adatgyűjtés 2. Használható önállóan vagy más kutatási módszerrel együtt 3. Segítségével nagy számú populációt vizsgálhatunk 4. A kitöltés önkéntes, tehát előfordul, hogy nem mindenki fogja visszaküldeni, vagy nem válaszolnak minden kérdésre (50 %)

27 Kérdéstípusok 1. Nyílt kérdések Projektív kérdések 2. Zárt kérdések Anekdotikus kérdések 3. Félig zárt kérdések 4. Skálába sorolt válaszokat tartalmazó kérdések 27 27

28 Tesztek az oktatásban Értékelés formái: Kvalitatív vagy minőségi: Eredmények szóbeli, irásbelielemzése, értékelése. Szubjektív Kvantitativ: a teljesítményhez valamilyen számszerű értéket rendelünk. (átmenet: elfogadható/elfogadhatatlan) Az értékelhető teljesítményt skála alapján minősítjük Becslés: - gondolatban helyezzük és értékeljük a megfigyelt teljesítményt. (négyesség, ötösség, nem rögzített). 28

29 Tudás tesztelése A tesztek az oktatás különböző szakaszaiban jelennek meg. Teszt: egy sajátos dolgozat, amely célszerűen válogatott feladatokat tartalmaz. A feladatokat gyorsan, egyszerűen, megbízhatóan lehet értékelni. Jellemzői: 1. Nagy létszám 2. Térben és időben távol eső teljesítmény mérése 3. Oktatási eljárások hatékonyság vizsgálata 29

30 Tesztek osztályozása -1 Teljesítménytesztek, írásos és szóbeli tesztek Objektív és szubjektív tesztek Objektív, javítókulcsot vagy válaszmodelleket ad. Szubjektív, tág lehetőséget ad az érdeklődőnek (pl. személyiségvizsgáló teszt) Standardizált: a teszt anyaga és a kérdések nehézsége is szigorúan ellenőrzött. Az eredmények értékelését az elővizsgálatok során kialakított normákhoz viszonyítottak (reprezentatív populáció). Nem standardizált : a teszteket a kutató állítja össze anélkül, hogy statisztikai kontrollt végezne el (csak tág értelemben)

31 Tesztek osztályozása_2 Egyéni és kollektív tesztek Egyéni: egyszerre csak egy ember vehet részt a vizsgálaton (a vezető általában a választandó viselkedését is feljegyzi). Kollektív: időtakarékosabb és azonos feltételeket ad a kitöltőnek. Normatív és kritérium alapú tesztek: Normatív teszt: megmutatja az egyén teljesítményét egy előzetesen megadott külső cél elérésében. Kritérium teszt: elhelyezi az egyén teljesítményét mások teljesítményéhez képest. Tesztek tárgya szerinti osztályozás Intelligencia szerinti teszt Ismeretteszt személyiségteszt 31 31

32 A teszt jóságmutatói Objektivitás: a teszt tárgyilagos, nem szubjektív. Független attól ki végzi a teszttel a mérést. Validitás: érvényesség, a teszttel valóban azt mérjük, amire készítettük Reliabilitás: megbízhatóság. Mérése a reliabilitás mutatókkal. 32

33 Interjú Az interjú szóbeli kikérdezésen alapuló vizsgálati módszer. Mikor használhatjuk? A kutatás előtt Kutatás közben: adatgyűjtés Utolsó szakaszban: összefüggések magyarázatára 33 33

34 Az interjú fajtái Strukturálatlan interjú, vagy szabad beszélgetés Meghatározatott célja van Nehéz a feldolgozása Kezdeti szakaszban ajánlott 2. Dinamikus interjú Non-direktív A megkérdezett beszél bármiről ami eszébe jut a témával kapcsolatban A kutató nem szól közbe, csupán bátorítóan figyel 3. Narratív interjú (speciális): A téma olyan ami megtörtént a vizsgált személlyel. A közbekérdezést kerüljük Lényeges minden árnyalat rögzítése 34 34

35 Az interjú fajtái_ 2 4. Félig strukturált interjú vagy koncentrált beszélgetés Kisebb a kódolás jelentősége Vannak kérdések, melyeket fel kell tenni a kutatónak, de hogy hogyan jut el az adott témához, az a kutatótól függ. A kérdések sorrendje is kötetlen Rögzítés módja: tetszőleges 35 35

36 Az interjúk csoportosítása a résztvevők száma szerint Egyéni interjú Csoportos interjú Lehet vele tényeket gyűjteni, Megfigyelhető a vizsgált személyek kritikai készsége, érvelése, meggyőzhetősége Az első megszólaló meghatározza az beszélgetés alaphangulatát A vizsgálónak be kell illeszkedni a csoportba 36 36

37 Az interjúk csoportosítása a kérdező viselkedése szerint 1. Lágy interjú A kérdező szoros bizalmi kapcsolatot létesít a kérdezettel. A kérdező kimutatja rokonszenvét a kérdezett személy iránt, de nem eszméi iránt Barátként viselkedik Szabad utókérdezéssel igyekszik minél több információt megszerezni 2. Semleges interjú A kérdező csupán a kutatás eszköze Barátságos, de tárgyilagos A válaszokra pozitívan reagál, de nem bátorít A kérdező bármikor felcserélhető más személlyel 37 37

38 Az interjúk csoportosítása a kérdező viselkedése szerint Kemény interjú A kérdező tekintélyi helyzetet biztosít magának A kérdező keresi a válaszokban fellelhető ellentmondásokat Hangsúlyozza, hogy a kérdezett kizárólag hivatásból érdekli

39 A kísérlet A kísérlet meghatározott hipotézisből kiindulva új, rejtett összefüggések, törvényszerűségek feltárására alkalmas módszer. Jellemzői: A kutató tervszerűen hat a arra a folyamatra, melyben az adatszerzést végzi. Feltárja melyek egy szituáció befolyásoló tényezői Változók: A tényezők közül egyeseket változatlanul hagy, másokat viszont átalakít, ez a független változó majd megvizsgálja hogyan hatnak ezek a szituációra, mely a függő változó

40 1. A kísérlet osztályozása a független változó jellege szerint Előidézett kísérlet: ahol a független változót a kísérletvezető hozza létre. Felidézett kísérlet: amit már maga az élet létrehozott, a vizsgálat vezetőjének feladata abban áll, hogy utólag azonosítsa azokat a feltételeket: amelyek független változónak tekinthetők, és azokat a hatásokat, amelyek függő változóként módosulnak a független változó értékeinek minőségétől

41 2. A kísérlet felosztása szerkezetük szerint_1 Egycsoportos kísérlet (más néven önkontrollos kísérlet): A kísérlet elején a csoport helyzetét vizsgáljuk és elemezzük a kísérlet során a független változó értékeit a vizsgáltat koncepciója szerint alakítjuk, A kísérlet időszak végén elemzéssel megállapítjuk a bekapcsolt tényező okozta változást

42 A kísérlet felosztása szerkezetük szerint_2 Kétcsoportos kísérlet (kontrollcsoportos kísérlet): a függő változó hatását a két homogén csoport teljesítményét egybevetve ellenőrizzük. Kiinduláskor: mindkét csoport helyzetét rögzítjük A kísérlet során: a kontroll csoport a munkáját változatlanul végzi a kísérleti csoport munkájába pedig bekapcsoljuk a független változót A kísérlet végén egy záróvizsgával megállapítjuk, hogy milyen változások álltak be mindkét csoportban

43 A kísérlet felosztása szerkezetük szerint_3 Összetett kétcsoportos kísérlet: létrehozzuk a két főcsoportot (a kísérleti és a kontrollcsoportot), de ezeken belül újabb különböző összetételű alcsoportokat hozzunk létre. Az összetevő csoportok kontrollálják egymást. Ha minden csoportban ugyanolyan a változás, ez esetben a kísérlet eredményei igazolódtak

44 A kísérlet felosztása szerkezetük szerint_4 Többcsoportos kísérlet : a vizsgálat több egyenlő szintű csoportban folyik. Cél: hogy több független változó hatását egyszerre vizsgálhassuk. Kiinduláskor: minden csoport helyzetét rögzítjük A kísérlet során: a párhuzamos kísérleti csoportokban másmás független változót módosítunk A kísérlet végén záróvizsgával regisztráljuk az egyes csoportok helyzetében beálló változások nagyságát és jellegét

45 A kísérletek színtér szerinti felosztása Felosztása: o Laboratóriumi kísérlet o Természetes kísérlet A laboratóriumi kísérlet lehetővé teszi, hogy olyan szituációt hozzunk létre, amelyben a kutatás számára fontos összes feltételt megteremtjük és kontrolláljuk, valamint végrehajtsuk a változóban szükséges módosításokat. o A kutató pontosan követheti a függő és független változó viszonyát o De a belső független változók nem küszöbölhetők ki mennyire valósághű? 45 45

46 A laboratóriumi kísérlet előnyei és hátrányai A kísérlet előnyei: Benne a változók száma korlátozható A váratlan hatások minimálisra csökkenthetők A mérés számára megfelelő feltételek teremthetők A kísérlet hátrányai: A szokásos helyzettől (pl. társaktól, a szokásos munka vagy tanulási feltételektől) elválasztott személyek másképp viselkednek a mesterséges helyzetben A kísérleti helyzet feszültséget teremthet, majd ha tudatosul bennük, hogy nincs tétje a vizsgálatnak, nem fog úgy igyekezni mint a valós helyzetben (pl. Egy felelésnél, egy vizsgán) 46 46

47 Természetes kísérlet A környezet változatlan marad A kutató azonban befolyásol, manipulál bizonyos változókat, melyek hatását tanulmányozza a függő változóra. Sok kontrollálhatatlan változó is szerepet játszik Nehéz mérni

48 Keresztező eljárás Kiküszöböli a csoportok különböző összetételéből adódó hatásokat. Két csoport vesz részt az eljárásban két fázisban Első szakasz: A csoportban bevezetjük a kísérleti változót B csoport hagyományos körülmények között dolgozik elő- és utóvizsgálatokkal mérjük az eredményt Második szakasz: A csoport hagyományos körülmények között dolgozik B csoportban bevezetjük a kísérleti változót elő- és utóvizsgálatokkal mérjük az eredményt Amennyiben az A és B csoportban is kimutatható a független változó hatása, a hipotézis igazolódott

49 Megfigyelés Céltudatos észlelés Tervszerű, rendszeres, objektív tényekre kell támaszkodni: A megfigyelés tárgya valósághű legyen A megfigyelő legyen megfelelően képzett, és ne legyenek előítéletei Fontos a nyert adatok helyes értelmezése Alkalmazási lehetősége: Lehet mint a kutatás kizárólagos módszere Lehet fő módszer, melyet az adatgyűjtés más módszerei egészítenek ki. Más módszerekkel végzett kutatások kiegészítő módszerként

50 Megfigyelési technikák (Falus I. 127.o) 50

51 Naplók, feljegyezések Cél: folyamatában rögzítsük valakik viselkedését A résztvevők kötetlen feljegyzései szubjektívebbek, mint a külső megfigyelő leírásai Hátránya: a 3. személy által történő elemzés nehézkes Előnye: a megfigyelő szabadon feljegyez bármit, aminek jelentést tulajdonít Teljes jegyzőkönyvezés Valamennyi megnyilatkozást igyekeznek rögzíteni. Oka: nem lehet tudni előre, mely megnyilatkozás lesz jelentős. Régen: gyorsírás, Ma: diktafon, videofelvétel 51 51

52 Jelrendszer Előre felsorolja azokat a speciális aspektusokat, melyek a megfigyelési periódus alatt végbemennek, vagy nem. A feljegyzés azt mutatja, hogy melyik hányszor fordul elő. Jelrendszeres rögzítés (grafikusan) (Cserné dr. Andermann Gizella) 52 52

53 Jelrendszeres rögzítés Aktogram Pl. A csoportban lezajló mozgás szemléltetése (Cserné dr. Andermann Gizella) 53 53

54 Jelrendszeres rögzítés Kronogram A cselekvések időtartamának rögzítésére szolgál Alapja egy táblázatban melynek oszlopaiban viselkedési minták találhatók, melyeket A,B,C,D...-vel jelölünk; soraiban pedig kicsiny időtartamok Különbség A kategória rendszer minden megnyilvánulást rögzít, a jelrendszer csak bizonyosakat. A kategória-rendszerben viszonylag gyorsan lehet dolgozni. A jelrendszer esetében, ha sokáig nem történik semmi, dekoncentráltsághoz vezet. Feltétel A kategória-rendszernél és a jelrendszernél is a rögzítendő üzenet legyen: Jelen idejű, pozitív előfordulást fejezzen ki, egyes számú 54 54

55 A kutatás eredményeinek összefoglalása tanulmányban A kutatás célja és rövid áttekintése A szakirodalom áttekintése Ne plagizáljunk! Ha nyomtatásban megjelent műre hivatkozunk: A szövegben valamely hivatkozási módszer használata (Harvard vagy számozásos) Bibliográfiában a részletesen az adatok 55 55

56 A tanulmány felépítése A kutatás terve és végrehajtása Ha pl. kérdőíves felvételt alkalmaztunk, szerepeltessük a következőket: A vizsgált populáció A mintavételi módszer A minta nagysága Az adatgyűjtés módszere A válaszolási arány Az adatfeldolgozás és az adatelemzés módszerei Bármely kutatási módszert is hasonló részletességgel kell leírni

57 A tanulmány felépítése Elemzés és értelmezés Legyen logikus és áttekinthető Utalás az adott elemzés értelmére céljaira. Az adatok ismertetése. Tekintsük át a legfontosabb eredményeket.. Mutassunk rá ezek jelentőségére Az eredmények értelmezése. Kitekintés, gondolatok a jövő feladataira, kutatási irányaira

58 Az adatelemzés leírása oa szövegesen elemezni kell az összefüggéseket, adatokkal alátámasztva. (részletes adatok a függelékben) o Biztosítani kell, hogy a tanulmányt elemző kutatók az eredményeket kontrollálhassák. o A vizsgálat, kísérlet során alkalmazott módszer ismertetése, mely a megismételhetőség biztosítéka. o A táblázatok elhelyezése (szövegben vagy függelékben) Általános szabály: 1. Megmondjuk mi célból mutatjuk be a táblázatot 2. Közöljük a táblázatot 3. Bemutatjuk és értelmezzük oaz olvasó tisztelete, ne vezessük félre kozmetikázott magyarázattal! minden befolyásolt körülmény bemutatása kutató rámutat a levont következtetések hiányosságaira és bizonytalanságaira ofontos a stílus, de a legfontosabb a logika, tisztaság és őszinteség

59 Függelék A függelék, olyan adatokat tartalmaz, melyek: o Konkrét információkkal támasztják alá a szövegben leírtakat. o Adatokat közlő, vagy az összegyűjtött adatok elemzését összefoglaló, nyomtatásban meg nem jelent dokumentumok. Bibliográfia Hivatkozások jegyzéke: (közvetlen kapcsolat a szövegben idézett gondolat és a mű bibliográfiai adatai között) o név-év (Harvard) módszer esetén a hivatkozás jegyzék a dolgozat végén, és a bibliográfia tételei szerzői betűrendben o Számozásos módszer esetén a hivatkozások jegyzéke a lábjegyzetbe vagy a végjegyzetbe kerül, a tételek növekvő számsorrendben

60 Bibliográfia_2 Felhasznált irodalom bibliográfiája (nincs közvetlen kapcsolat) lehet: o Felhasznált irodalom jegyzéke: Olvasott művek adatai o Irodalomjegyzék vagy bibliográfia Vagy a téma teljes szakirodalmát mutatja be Vagy csak az olvasott művekről tájékoztat o Ajánlott irodalom Azon irodalmak adatai, melyek a téma bővebb tanulmányozásához szükségesek

61 A statisztikai módszerek típusai A kutatásokban alkalmazott tipikus módszerek: 1. Leíró statisztika: Ez a módszer a numerikus (számszerű) információk összegyűjtését, az információk összegzését, jellemzését szolgáló módszereket szolgálja. Területei: Adatgyűjtés Adatok ábrázolása Adatok csoportosítása, osztályozása Az adatokkal végett egyszerűbb aritmetikai műveletek Eredmények megjelenítése 61 61

62 A statisztikai módszerek típusai_2 2. A következtetéses statisztika: a jelenségekre, folyamatokra levont következtetések nem csak a közvetlen vizsgálatokon alapulnak. Ezeket a következtetéseket a matematikai statisztika és a valószínűség számítás alapján kapjuk. A következtetéseket a reprezentatív mintán végzett vizsgálatok alapján a populációra vonjuk le

63 Statisztikai adatok A statisztikai adat, mérés vagy számlálás útján keletkező tapasztalati, vagy empirikus szám. Típusai: Alapadatok: közvetlenül számlálás vagy mérés eredményeként kapjuk. Leszármaztatott adatok: számolás eredményeként kapjuk (viszonyszámok, átlagok, mutatószámok) Viszonyszámok: két tényező elemeinek egymáshoz viszonyított aránya (fő és részsokaságok; részsokaságok) Átlagok Mutatószámok: statisztikai adatkategóriák, melyekkel rendszeresen ismétlődő jelenségeket jellemezhetünk; pl. demográfiai mutatók

64 A kérdések két nagy csoportja Becslések A populáció (sokaság) tulajdonságai iránt érdeklődünk Mintavétel után a mintából megbecsüljük a populáció tulajdonságait (eloszlás, elhelyezkedés, szórás) Meghatározzuk becslésünk megbízhatóságát. Hipotézis vizsgálatok Mintát hasonlítunk egy elméleti értékhez Mintákat hasonlítunk egymáshoz Hipotéziseket állítunk fel (H0, H1, azaz 2 vagy több hipotézis) Meghatározzuk, mekkora kockázattal vállalunk hibás döntést Döntünk, hogy melyik hipotézist támasztják alá az adatok

65 Becslések Átlag, medián (elhelyezkedés, ) Szórás, átlag hibája, terjedelem (szóródás, ) Konfidencia intervallum: A konfidencia intervallum értelmezése: Ismételt mintavétel esetén az esetek átlagosan (1 ) 100 százalékában igaz az, hogy az így számított intervallum lefedi a keresett sokasági jellemzőt. Példa: az átlag és annak 95% konfidencia intervalluma a. eset: ha ismert a populáció szórása b. eset: a szórást is becsüljük

66 Hipotézis vizsgálat (statisztikai) Módszer arra, hogy meghatározzuk, hogy adatok mennyiben konzisztensek egy adott, vizsgált statisztikai hipotézissel Szakmai vita tárgya a statisztikát kutatók körében, hogyan érdemes vizsgálni a véletlen szerepét, hatását Több iskola van: klasszikus hipotézis vizsgálatok Bayesianus vizsgálatok, feltételes valószínűségeken alapulnak

67 A módszer választáshoz útmutatás Függ: A kutatási kérdéstől Kísérleti elrendezéstől A mérés skálájától (nominális, intervallum stb.) Az elemszámtól Van-e különbség? 1 csoport 2 csoport 3, vagy több csoport Van-e összefüggés? Mennyi a független változók száma

68 Kiinduló feltételezések A változó mérhető nominális skálán ordinális skálán Intevallum skálán numerikus skálákon A null hipotézis vonatkozhat az eloszlások azonosságára a mediánok azonosságára a szóródás azonosságára A minták száma Lehet 1, 2, >

69 Döntési szabályok Döntési hiba valószínűsége α, és általában α=0,05 1. Az alternatív hipotézis mellett döntve, elvetjük a nullhipotézist, a különbség szignifikáns (1- α)x100%-os szinten 2. Ha a nullhipotézis mellett döntünk, vagyis nem tudjuk elvetni a nullhipotézist, a különbség nem szignifikáns (1- α)x100%-os szinten

70 Megállapítás Annak bizonyítása, hogy a vizsgálat során megfigyelt különbség egy általunk meghatározott valószínűségi szinten is kimutatható-e. Amennyiben ez a különbség igazolhatóan nem a véletlen műve, lényeges szignifikáns különbségnek nevezzük

71 Statisztikai hibák_1 Első fajta hiba - α : ha szignifikáns különbséget állapítunk meg, de valójában nincs különbség. Az első fajta hiba valószínűsége annak esélye, hogy a tapasztalt különbséget a véletlen okozta, ezért a szignifikancia-szinttel egyenlő az α értéke

72 Statisztikai hibák_2 Második fajta hiba - β : ha szignifikáns különbséget nem állapítunk meg, de valójában van különbség. Értéke függ a szignifikancia-szittől, az elemszámtól, a populáció szórásától, stb. a megközelítő értékének kiszámításához a minták átlagai alapján becsült különbséget alkalmazzák A meghatározása nehezebb oka, hogy sok (esetleg végtelen sok) alternatív hipotézis létezhet Ha az alternatív hipotézis igaz, akkor annak a null hipotézistől való távolságától függ a teszt ereje, és a nagysága

73 A hipotézisvizsgálat kimenetele Döntés H 0 igaz H 1 igaz H 0 -t elvetjük, és H 1 -et elfogadjuk Nem vetjük el H 0 -t, (azaz elfogadjuk H 0 -t) és nem fogadjuk el H1-et Elsőfajú hiba ( ) Helyes döntés Helyes döntés Másodfajú hiba ( )

74 Változók mérési szintjei 74

75 Skálák Mérési szint Jellemzők Példák Nominális Ordinális Teljesség Kölcsönös kizárás Teljesség Kölcsönös kizárás Rangsorolhatóság Nem Területi elhelyezkedés (megye, régió) Attitűdkérdések (elégedettség, önbesorolás) Arányskála Teljesség Kölcsönös kizárás Rangsorolhatóság Azonos távolságok az attribútumok között Létező nullpont (intervallumskálánál nem) Jövedelem Fogyasztás (érték és mennyiség) 75

76 Valószínűségi változók Az adatok eloszlásáról három statisztika kiszámításával kapunk pontos képet: Számtani közép vagy átlag Médián Módusz Variancia Szórás ( a variancia négyzetgyöke) (Ezt nem csupán a grafikon alapján szemlélhetjük, hanem ellenőrizhető az egymintás Kolmogorov-Smirnov teszt vagy a Shapiro-Wilk (n 50) teszt alapján) 76

77 Középérték számítások Számtani átlag Az átlag egy adott diszkrét adatsor jellemző adata, mely az adathalmaz közepén helyezkedik el. Minta átlaga: a számhalmaz átlaga, más szóval - számtani közepe, az a szám, amelytől az adatok eltéréseinek összege zérus. Az n elemű minta - x1, x2, xn átlaga: x x1 x2... n n n 1 x n n x n 77

78 Középérték számítások_2 Módusz: Az adatsorok osztályokba való sorolása esetén a legnagyobb gyakoriságú osztály közepét értjük alatta. Alkalmazása: az ordinális és a nominális változókból álló minta esetén is lehetséges. Jellemzői: leíró, jósló szerepe van, mivel a tipikus értékre (tipikus eredmény, vélemény) mutat rá. alkalmas az eloszlás gyors jellemzésére is, abban az esetben, ha a mintának egy módusza van 78

79 Középérték számítások_3 Médián Médián: a nagyság szerint rendezett, vagyis rangsorba állított számhalmaz középső értéke. páratlan számsorok esetén, vagy a két középső érték számtani adatokra nem értelmezhető, de az ordinális adatok esetén igen átlaga, páros számsorok esetén (a nominális ) A vizsgált mintát két azonos részre bontja, rámutat a minta közepére. A szimmetrikus görbék esetén az átlag és a módusz egybeesnek, míg a balra illetve jobbra ferdülő görbék esetén a médián, az átlag és a módusz között veszi fel az értéket. Alkalmazása a nominális skála kivételével minden esetben lehetséges. A vizsgált minta középmezőnyének jellemzésére alkalmas. 79

80 Középérték számítások_4 skála átlag médián módusz Nominális nem nem igen ordinális nem igen igen intervallum nem igen igen arányskála igen igen igen 80

81 Gyakorisági poligon Intervallum vagy arányváltozók esetén használjuk. Az osztályközepek függvényében kapott pontokat vonalakkal összekötve kapjuk a gyakorisági poligont. Jellemzői: Szimmetrikus: ezen belül megkülönböztetünk o lapított (platykurtic) az eloszlás értékei viszonylag gyakoriak o csúcsos (leptokurtic) - az eloszlás közepe túlzottan kiemelkedik Aszimetrikus (skewed), amely esetében lehet az adatok eloszlása jobb vagy bal irányba eltolódott. 81

82 Gyakorisági sorok Az adatok értéktartományát intervallumokra osztva, az adatokat be kell sorolni. Ügyelni kell arra, hogy az intervallumok alsó és felső határa ne fedje egymást. Az intervallum: a minta legnagyobb és legkisebb eleme által határolt tartománya. A gyakorisági eloszlást az adott csoportok és a hozzájuk rendelhető gyakoriságok alkotják 82

83 Gyakorisági sorok_2 Az eljárás menete: 1. Első lépésként az értéktartományt egyenlő intervallumú csoportokra kell osztani. 2. A csoportok száma a minta nagyságától függően min10 és max.20 legyen (az adatok maximális és minimális értékeinek intervalluma határozza meg). Ha túl nagy intervallum számot választunk, pontatlan értékmeghatározást okozhat. 3. A csoport intervallumok általában, a minta függvényében 2, 3, 5,

84 Gyakorisági sorok_3 Gyakoriság A gyakoriság egy olyan mutató, amely jellemzi, hogy egy-egy csoportba hány adat tartozik. A gyakorisági eloszlás egy olyan statisztikai mutató, mely arra mutat, hogy a minta elemei hogyan oszlanak meg a különböző csoportok között. A mintára vonatkozóeredményt abszolút gyakorisági elosztásnak nevezzük. Jele: f a 84

85 Gyakorisági sorok_4 Relatív gyakoriság A relatív gyakoriság a csoport abszolút gyakoriság értékének a minta elemszámához százalékosan viszonyított értéke. f 100 f a % n A relatív gyakoriság alapján válik lehetővé, hogy különböző, akár eltérő elemszámú mintát vessünk össze. 85

86 Kumulatív gyakorisági eloszlás A kumulatív gyakoriság egy olyan statisztikai mutató, mely arra mutat, hogy a mintából mennyi azon elemek száma, amely egy előre meghatározott szintet ér el. Jele: c f Alkalmazására arra keressünk választ, hogy. egy adott mintában mennyi azon tanulók száma, akik egy adott teljesítményt elértek, és mennyi azon tanulók száma akik ezt a határt túlteljesítették. 86

87 Szóródás mértékei Terjedelem Egy számhalmaz terjedelme alatt értjük a legnagyobb és a legkisebb szám közötti különbséget. Jele: R i Felmerül a kérdés: mi értelme van e paraméter meghatározásának? Abban az esetben, ha a szélső értékek fontosak a mérés szempontjából. 87

88 Szóródás mértékei_2 Interkvartilis félterjedelem Az adathalmazt négy egyenlő részre osztás eredményeként kapott kvartilisek, amelynek jelei a Q1, Q2, Q3. Képlete: Q Q Q

89 Szóródás mértékei_4 Átlagos eltérés A minta számtani átlagától (közepétől) való távolsága n AE j 1 x n x i 89

90 Változók közötti kapcsolat - kereszttáblák Kereszttábla két nominális vagy ordinális változó együttes eloszlásának ábrázolása egy közös táblán. Kérdések: Van-e kapcsolat? Milyen erős? Milyen irányú Pl. Anyagi helyzet és mentális problémák kapcsolata. 90

91 Kereszttáblák- Chi-négyzet A kereszttáblákat két változó összefüggésének vizsgálatához használjuk. Alkalmazása során azt a hipotézist ellenőrizzük, hogy a sor és oszlopváltozók függetlenek-e. Nem jól használható, ha bármelyik cellában a peremeloszlások alapján várható érték (expected value) kisebb 1-nél, vagy a cellák több mint 20%-ban ez az érték kisebb mint

92 Chi-négyzet (Kereszttáblák) A Pearson chi-négyzet a legelterjedtebb forma, a likelihood-ratio chi-négyzet a max. likelihood elméleten alapszik

93 Kovarancia Két adathalmaz adatpárjai közötti eltérések szorzatának átlagát számolja megadja két egymástól különböző változó együttmozgását. n számú x, y értékpár esetében a minta kovarianciája az alábbi képlettel határozható meg: n ( x x yi y i i ) ( ) n 93 93

94 Korrelációs együttható A korrelációszámítást többdimenziós minták vizsgálatakor, a minta elemeihez rendelt adatok közötti összefüggés feltárását szolgálja. A korrelációs együttes szignifikancia vizsgálata megmutatja, hogy egy adott, többdimenziós minta esetén a változók között talált összefüggés mekkora valószínűséggel valódi és nem a véletlen műve. r r xy táblázat rxy r táblázat a két minta korrelációs összefüggése az oszlopnak megfelelő valószínűséggel nem a véletlen műve, vagyis általánosítható a korrelációs összefüggés mértékét nem lehet általánosítani, vagyis a mintában észlelt kapcsolat a véletlen műve 94 94

95 A korrelációs együttható jellemzői Független változók esetében a korrelációs együttható értéke 0, A függvénykapcsolatban lévő (nem sztochasztikus) változók esetében a korrelációs együttható értéke 1. 95

96 Korrelációs együttható Korrelációs együttható értéke és a változók közötti kapcsolat 0,9 1 rendkívül szoros 0,75 0,9 szoros 0,5 0,75 érzékelhető 0,25 0,5 laza 0,0 0,25 nincs kapcsolat 96

97 Megállapítás Annak bizonyítása, hogy a vizsgálat során megfigyelt különbség egy általunk meghatározott valószínűségi szinten is kimutatható-e. Amennyiben ez a különbség igazolhatóan nem a véletlen műve, lényeges szignifikáns különbségnek nevezzük

98 Egymintás T-próba Az egymintás t-próbát akkor kell alkalmazni, ha a mérési eredmények ugyanazon személyek különböző felméréséből származnak, vagyis önkontrolos felmérések során. Ahol: z t - számtani középértékét ' z s s - különbségértékek szórása n

99 Egymintás T-próba_2 A vizsgálat során a számított t-értéket össze kell hasonlítani a t táblázat értékével: Ha t > t táblázat a különbség nem a véletlen műve, Ha t < t táblázat a különbség a véletlen műve

100 T-próba értelmezése A szoftverek többsége tartalmazza a t értékét, azonban nem a t kritikus értéket adja, hanem a mintából számolt t értéktől jobbra eső, t-eloszlás alatti területet, melyet p-nek nevezünk. p - elnevezései lehetnek: Prob-value, Signif of t, Sig.Level, stb. p - annak valószínűsége, hogy egy másik kiszámolt t legalább olyan messze van 0-tól, mint a most megfigyelt t, ha H0 igaz

101 Döntés a p alapján Döntés a p és az α összehasonlítása alapján: Ha p < α, akkor H 0 -t elvetjük és azt mondjuk, hogy a különbség szignifikáns (1- α)x100%-os szinten Ha p > α, akkor H 0 -t elfogadjuk

102 Döntés a p alapján_2 p < 0,01 nagyon erős a Ho elleni bizonyíték 0,01 p < 0,05 mérsékelt a Ho elleni bizonyíték 0,05 p < 0,10 szuggesztív a Ho elleni bizonyíték 0,10 p kicsi, vagy nem reális a Ho elleni bizonyíték

103 A kétmintás t-próba A kétmintás t-próbát akkor alkalmazzuk, ha arra keresünk választ, hogy a két egymástól függetlenül vett minta származhat-e azonos átlagú populációból. A kétmintás t-próba azonban csak akkor végezhető el, ha a két csoport variancia értékei között nincs nagy különbség, melyre az F- próba vizsgálat ad választ a variancianégyzetek hányadosának elemzésével. Ha F számolt <F táblázat akkor a vizsgálatban résztvevő minták varianciája nem különbözik egymástól lényegesen és a vizsgálatot a kétmintás t-próbával kell folytatni

104 A kétmintás t-próba A kétmintás t-próba számolás menetének számszerűsítése a következő összefüggés alapján történik: m n m n m n y y x x y x t m i n i i 2 ) ( ) ( A szignifikanciavizsgálat szabadságfoka sz f = n+m-2. A kapott eredmény alapján értékelhetjük a vizsgált minták által elért teljesítményt 104

105 A kétmintás t-próba_2 A kétmintás t-próba azonban csak akkor végezhető el, ha a két csoport variancia értékei között nincs nagy különbség Erre az F-próba vizsgálat ad választ a variancianégyzetek hányadosának elemzésével

106 Az F-próba Az F-próba a variancia négyzetek hányadosa. Képlete: F s s A fenti képlettel kontrollcsoportos vizsgálat során egy n 1 és n 2 elemű minta esetében alkalmazható a hipotézis igazolására, melynek szórásértékei s 1 és s 2 ahol, s 1 > s

107 Az F-próba_2 A számított F értéket a táblázat értékeivel összevetve, a következő lehetőségekkel kell számolnunk: Ha F számolt >F táblázat, akkor a vizsgálatban résztvevő minták varianciája lényegesen különbözik egymástól, a kétmintás t- próba elvégzésére nincs lehetőség. Ebben az esetben más módszert kell keresni, pl. a Welch-próbát. (hasonló mint a kétmintás t-próba, de nem követeli meg a varianciák egyenlőségét) Ha F számolt <F táblázat, akkor a vizsgálatban résztvevő minták varianciája nem különbözik egymástól lényegesen és a vizsgálatot a kétmintás t-próbával kell folytatni

108 A t próba gondolatmenete (Student féle t próba, egy mintás, két mintás) A minták (1 vagy 2 darab) normális eloszlásból származnak Független minták Véletlen minták (randomizálás) Null hipotézis: a minták közös populációból származnak ( 1 = 2 ) Null hipotézis következménye a szórásra: 1 = 2 A két variancia becslés hányadosa az F 1,2 eloszlást követi (F 1,2 = s 12 /s 22 ) Az F próbával vizsgáljuk, az s 12 és az s 2 2 megfigyelt értékei mennyire valószínűek a nullhipotézis mellett Ha a minták egy sokaságból valók (a nullhipotézis érvényes), akkor teljesül, hogy F 1,2 eloszlásának várható értéke F 1,2 = 1 Ha p<0,05 arra, hogy F 1,2 = 1, akkor elvetjük a nullhipotézist

109 A t próba gondolatmenete (folytatás) A mintákból becslést készítünk a mintaátlagok különbségére, és a különbség szórására ( ), felhasználva mind a két minta szórását. A mintaátlagok különbségének és a közös varianciabecslésnek hányadosa a t eloszlsát követi, sz.f.=(n 1 +n 2-2) szabadságfokkal. A t statisztikát kiszámoljuk, és megvizsgáljuk, mi a valószínűsége, hogy a nullhipotézis érvényessége, és sz.f. szabadságfok mellett a számolt t értéket kapjuk. Előre tervezett (a priori) módon egyoldali, vagy kétoldalú összehasonlitást végzünk

110 Az eredmény általánosíthatósága a populációra A feltételezett összefüggés általánosításához az szükséges, hogy a korrelációs együttható abszolút értéke nagyobb legyen, mint a 95%-os valószínűségi szinthez (adott szabadságfokon) tartozó érték. Abban az estben, ha 99% vagy 99,9%-os értéken végezzük az összevetést, a elemzett kapcsolat még nagyobb valószínűséggel általánosítható. 110

111 Two tailed korreláció 111

112 One tailed korreláció 112

113 Pearson-féle korrelációs együttható Karl Pearson, Az együtthatót r-rel jelöljük, és a mérések közötti lineáris kapcsolat szorosságát méri. Paraméteres korrelációs együttható Nincs mértékegysége Más néven szorzat momentum korrelációs együttható 113

114 Spearman féle és Kendall-féle rangkorrelációs együttható Nem paraméteres korrelációs együttható Rangkorrelációs: két rangsor közötti egyezés mérőszámát adja Spearman főleg nagyobb mintáknál ajánlott 114

115 Variaanciaalízis A kétmintás t-próba általánosításának tekinthető. Variancia-analízisnek nevezzük azt a statisztikai eljárást, mely több egydimenziós minta ugyanazon változója közötti különbség szignifikancia szintjének összehasonlítását teszi lehetővé

116 Többváltozós populációk statisztikai elemzései A fejezet a többváltozós populációk statisztikai elemzési módszerével ismerteti meg három alfejezetben az olvasót, az alábbiakban felsoroltak alapján: faktoranalízis diszkiminancia analízis főkomponens analízis klaszteranalízis

117 Jellemző esetek Két változó között minél szorosabb az összefüggés, annál inkább megközelíti a korrelációs együttható értéke az 1-t. Ha a minta két változója azonos irányban változik, abban az esetben pozitív, ha ellentétes irányban, akkor negatív a korrelációs összefüggés. Lineáris függvénykapcsolatban lévő (nem sztochasztikus) változók esetében a korrelációs együttható értéke

118 Jellemző esetek_2 Minél lazább az összefüggés két változó között, annál közelebb van a korrelációs együttható értéke a 0-hoz. Független változók esetében a korrelációs együttható értéke = 0 A két változó látszólag egymástól függetlenül változik, ebben az esetben korrelálatlanságról beszélünk A korrelációs együttható az egyszerű, közel lineáris stochasztikus kapcsolat esetében használható statisztika Egy bonyolultabb függvénygörbe mentén elhelyezkedő értékek kapcsolatának leírására nem alkalmas. 118

119 Különbözőségvizsgálat Jelentős-e a különbség Adatfajták, minták száma Intervallum skála Ordinális skála Nominális skála Egy Egymintás t-próba Wilcoxon-próba Kereszttábla elemzés ϰ2 - próba Kettő Kétmintás t próba F próba Mann-Whitney próba Kereszttábla elemzés ϰ2 - próba több Variaanalízis (ANOVA) Kruskal-Wallispróba Kereszttábla elemzés ϰ2 - próba 119

120 Frequency Frequency Az eredmények ábrázolása Histogram REL Egyéni eredmény Missing REL Mean = 12,9 Std. Dev. = 5,515 N = REL Mean = 12,9 Std. Dev. = 5,515 N = 20 Cél: az eredmények áttekinthetőbbé és szemléletesebbé tétele 120

121 Gyakorisági poligon (görbe) A gyakorisági sor osztályközepek alapján szerkesztett vonaldiagramja 121

122 Hisztogram_1 A hisztogram a rendezett minta intervallumaiba eső elemek számát ábrázolja. a hasábok szélessége a változó tartománya A hasábok magassága gyakoriság Az oszlopok száma, ha: Túl sok túlrészletezett Túl kevés elnagyolt 122

123 Hisztogram_2 Szimmetrikus, normál Szimmetrikus, csúcsos 123

124 Hisztogram_3 bimodális 124

125 Hisztogram_4 Balra ferdülő hisztogram 125

126 Hisztogram_5 Jobbra ferdülő hisztogram 126

127 A boksz boxplot ábra 127

128 Boxplot grafikon A boxplot: mennyiségi ismérv szerinti eloszlást a kvartiliseken keresztül érzékelteti. A x min és x max értéket összekötő szakaszra épül az alsó és a felső kvartilisek által közbezárt doboz. A középső vonal a medián. A boxplot rámutat: mennyire sűrűsödnek a megfigyelések a középső 50%-os intervellumban Mennyire ferde az eloszlás 128

129 A középértékek elhelyezkedése a különböző gyakorisági eloszlásokban Az eloszlás szimmetriájának mérésére szolgál az un. ferdeség vagy eltoltság skewness, értékei: egy mérőszám, mely arra ad választ, hogy a szóródás a centrumtól jobbra vagy balra lapul-e, ill. sűrűségfüggvényt jelez. A ferdeség - Skewness o Ha (-), balra ferdül a kiugrás o (+), jobbra o (0), szimetrikus Lapultság - Kurtois 0 o csúcsos, leptokurtic o lapos, platykurtic 0 129

130 Középértékek elhelyezkedése a különböző eloszlási gyakoriságokban_1 Szimmetrikus eloszlás Skewness = 0 130

131 Középértékek elhelyezkedése a különböző eloszlási gyakoriságokban_2 Szimmetrikus kétpúpú eloszlás Bimodális eloszlás (két módusza van) 131

132 Középértékek elhelyezkedése a különböző eloszlási gyakoriságokban_3 Balra ferde (negatív irányban eltolt eloszlás) Skewness = (-) 132

133 Középértékek elhelyezkedése a különböző eloszlási gyakoriságokban_4 Jobbra ferde pozitív irányban eltolt eloszlás Skewness = (+) 133

134 Különböző csúcsossági értéket - kurtois - mutató normális eloszlások Mezokurtikus eloszlás Skewness = 0 134

135 Csúcsossági értékek A csúcsossági értékek arra mutatnak, hogy az eloszlás közepe mennyire emelkedik ki. Platikurtikus lapos : 0 Leptokurtikus eloszlás csúcsos: > 0 135

136 Kurtois_2 Platikurtikus lapos 0 136

137 Kurtois_3 Leptokurtikus eloszlás > 0 137

138 Különböző szórású normális eloszlások (szórások átlaga = 0) Csúcsosság: az értékek milyen mértékben tömörülnek az átlag körül 138

139 Klaszteranalízis A klaszteranalízis a megfigyelések (vagy a változók) osztályozásának dimenziócsökkentő módszere. A diszkriminancia analízissel szemben itt nincsenek előre megadott osztályok, a feladatunk éppen ezeknek a létrehozása. A klasztertendencia vizsgálat célja annak eldöntése, hogy az adatok mutatnak-e hajlamosságot a természetes csoportosulásra. Ha az adataink hasonlóságot mérő mátrix elemei ordinális skálán mért értékek, akkor a véletlen gráfelmélet nyújt matematikai eszközt a csoportosulási tendenciák megállapítására. A klaszterezés az objektumok osztályba sorolását jelenti, vagyis az objektumok halmazának (X) részhalmazokra való felbontását. 139

140 Irodalom 1. Varga Lajos (2002): Kvantitatív módszerek a pedagógiai kutatásban. BMF BGK kari jegyzet. 2. Varga Lajos (szerk., 2006): Kutatás-módszertan I. Bevezetés a pedagógiai induktív kutatás módszereibe és útmutató a szakdolgozat elkészítéséhez. BME, Bp. 3. Schmercz István - Varga Lajos (2008): Kutatás-módszertan II. Bevezetés a pedagógiai deduktív és szociálpszichológiai kutatás módszereibe. BME, Bp. 4. Falus Iván - Ollé János (2000): Statisztikai módszerek pedagógusok számára. Okker K., Bp. 5. Falus Iván - Ollé János (2008): Az empirikus kutatások gyakorlata. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest 140

141 Ajánlott irodalom 6. Falus Iván (szerk., 2002): Bevezetés a pedagógiai kutatás módszereibe. Műszaki K., Bp. 7. Fercsik János (1982): Pedagometria. OOK, Veszprém 8. Horváth György (2004): A kérdőíves módszer. Műszaki K. Bp. 9. Babbie, Earl (2003; 6. átd. kiad.): A társadalomtudományi kutatás gyakorlata. Balassi K., Bp. 10. Lengyelné Molnár Tünde, Tóvári Judit: Kutatásmódszertan. Eger: Líceum kiadó,

PEDAGÓGIAI KUTATÁS KVANTITATÍV MÓDSZEREI. T. Parázsó Lenke

PEDAGÓGIAI KUTATÁS KVANTITATÍV MÓDSZEREI. T. Parázsó Lenke PEDAGÓGIAI KUTATÁS KVANTITATÍV MÓDSZEREI T. Parázsó Lenke Kutatás fogalma A kutatás alatt értendő valamilyen tudatosult igény, probléma megoldására irányuló megoldási folyamat, melynek során a jelenséget

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.05. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)

Részletesebben

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.08. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás STATISZTIKA Hipotézis, sejtés 11. Előadás Hipotézisvizsgálatok, nem paraméteres próbák Tudományos hipotézis Nullhipotézis felállítása (H 0 ): Kétmintás hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a

Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a a tanuló teljesítményére, a tanulási folyamatra, a célokra és követelményekre a szülők teljesítményére, a tanulási folyamatra, a célokra és követelményekre

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 11. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Összefüggés vizsgálatok A társadalmi gazdasági élet jelenségei kölcsönhatásban állnak, összefüggnek egymással. Statisztika alapvető feladata: - tényszerűségek

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

A leíró statisztikák

A leíró statisztikák A leíró statisztikák A leíró statisztikák fogalma, haszna Gyakori igény az, hogy egy adathalmazt elemei egyenkénti felsorolása helyett néhány jellemző tulajdonságának megadásával jellemezzünk. Ezeket az

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás STATISZTIKA, BIOMETRIA. Előadás Mintavétel, mintavételi technikák, adatbázis Mintavétel fogalmai A mintavételt meg kell tervezni A sokaság elemei: X, X X N, lehet véges és végtelen Mintaelemek: x, x x

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba Egymintás u-próba STATISZTIKA 2. Előadás Középérték-összehasonlító tesztek Tesztelhetjük, hogy a valószínűségi változónk értéke megegyezik-e egy konkrét értékkel. Megválaszthatjuk a konfidencia intervallum

Részletesebben

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor Kettőnél több csoport vizsgálata Makara B. Gábor Három gyógytápszer elemzéséből az alábbi energia tartalom adatok származtak (kilokalória/adag egységben) Három gyógytápszer elemzésébô A B C 30 5 00 10

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

A pedagógiai kutatás metodológiai alapjai. Dr. Nyéki Lajos 2015

A pedagógiai kutatás metodológiai alapjai. Dr. Nyéki Lajos 2015 A pedagógiai kutatás metodológiai alapjai Dr. Nyéki Lajos 2015 A pedagógiai kutatás jellemző sajátosságai A pedagógiai kutatás célja a személyiség fejlődése, fejlesztése során érvényesülő törvényszerűségek,

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij

y ij = µ + α i + e ij Elmélet STATISZTIKA 3. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek A magyarázat a függő változó teljes heterogenitásának két részre bontását jelenti. A teljes heterogenitás egyik része az, amelynek okai

Részletesebben

Korrelációs kapcsolatok elemzése

Korrelációs kapcsolatok elemzése Korrelációs kapcsolatok elemzése 1. előadás Kvantitatív statisztikai módszerek Két változó közötti kapcsolat Független: Az X ismérv szerinti hovatartozás ismerete nem ad semmilyen többletinformációt az

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 TARTALOMJEGYZÉK 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin).... 7 2. téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 3. téma Összefüggések vizsgálata, korrelációanalízis (Dr. Molnár Tamás)... 73 4. téma Összefüggések

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria Bódis Emőke 2016. 04. 25. J J 9 Korrelációanalízis Regresszióanalízis: hogyan változik egy vizsgált változó értéke egy másik változó változásának függvényében. Korrelációs

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Kettőnél több csoport vizsgálata Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Gyógytápszerek (kilokalória/adag) Három gyógytápszer A B C 30 5 00 10 05 08 40 45 03 50 35 190 Kérdések: 1. Van-e

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

Gyakorlat 8 1xANOVA. Dr. Nyéki Lajos 2016

Gyakorlat 8 1xANOVA. Dr. Nyéki Lajos 2016 Gyakorlat 8 1xANOVA Dr. Nyéki Lajos 2016 A probléma leírása Azt vizsgáljuk, hogy milyen hatása van a család jövedelmének a tanulók szövegértés teszten elért tanulmányi eredményeire. A minta 59 iskola adatait

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Bevezető Mi a statisztika? Mérés Csoportosítás

Bevezető Mi a statisztika? Mérés Csoportosítás Gazdaságstatisztika 1. előadás Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Oktatók Előadó Kóczy Á. László (koczy.laszlo@kgk.bmf.hu) Fogadóóra: szerda 11:30 11:55, TA125 Gyakorlatvezető

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba

Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Nullhipotézis: pl. az átlag egy adott µ becslése : M ( x -µ ) = 0 Alternatív hipotézis: : M ( x -µ ) 0 Szignifikancia: - teljes bizonyosság csak teljes enumerációra -

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 6. MGS6 modul Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi

Részletesebben

S atisztika 2. előadás

S atisztika 2. előadás Statisztika 2. előadás 4. lépés Terepmunka vagy adatgyűjtés Kutatási módszerek osztályozása Kutatási módszer Feltáró kutatás Következtető kutatás Leíró kutatás Ok-okozati kutatás Keresztmetszeti kutatás

Részletesebben

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis Hipotézis BIOMETRIA 5. Előad adás Hipotézisvizsg zisvizsgálatok Tudományos hipotézis Nullhipotézis feláll llítása (H ): Kétmintás s hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H ) > = 1 Statisztikai

Részletesebben

A pedagógia mint tudomány. Dr. Nyéki Lajos 2015

A pedagógia mint tudomány. Dr. Nyéki Lajos 2015 A pedagógia mint tudomány Dr. Nyéki Lajos 2015 A pedagógia tárgya, jellegzetes vonásai A neveléstudomány tárgya az ember céltudatos, tervszerű alakítása. A neveléstudomány jellegét tekintve társadalomtudomány.

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL. Szóbeli vizsgatevékenység

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL. Szóbeli vizsgatevékenység KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL A vizsgarészhez rendelt követelménymodul azonosító száma, megnevezése: 2144-06 Statisztikai szervezői és elemzési feladatok A vizsgarészhez rendelt vizsgafeladat megnevezése:

Részletesebben

Közösségi kezdeményezéseket megalapozó szükségletfeltárás módszertana. Domokos Tamás, módszertani igazgató

Közösségi kezdeményezéseket megalapozó szükségletfeltárás módszertana. Domokos Tamás, módszertani igazgató Közösségi kezdeményezéseket megalapozó szükségletfeltárás módszertana Domokos Tamás, módszertani igazgató A helyzetfeltárás célja A közösségi kezdeményezéshez kapcsolódó kutatások célja elsősorban felderítés,

Részletesebben

SZÁMÍTÓGÉPES ADATFELDOLGOZÁS

SZÁMÍTÓGÉPES ADATFELDOLGOZÁS SZÁMÍTÓGÉPES ADATFELDOLGOZÁS A TÁBLÁZATKEZELŐK Irodai munka megkönnyítése Hatékony a nyilvántartások, gazdasági, pénzügyi elemzések, mérési kiértékelések, beszámolók stb. készítésében. Alkalmazható továbbá

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika

[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 1. előadás Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Óbudai Egyetem Oktatók Előadó Kóczy Á. László (koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu)

Részletesebben

A KUTATÁSMÓDSZERTAN MATEMATIKAI ALAPJAI MA. T.P.Lenke

A KUTATÁSMÓDSZERTAN MATEMATIKAI ALAPJAI MA. T.P.Lenke A KUTATÁSMÓDSZERTAN MATEMATIKAI ALAPJAI MA T.P.Lenke 2013.10.25. 2 Szignifikáns különbség Annak bizonyítása, hogy a vizsgálat során megfigyelt különbség egy általunk meghatározott valószínűségi szinten

Részletesebben

Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58

Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58 u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ

Részletesebben

2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét!

2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! GAZDASÁGSTATISZTIKA KIDOLGOZOTT ELMÉLETI KÉRDÉSEK A 3. ZH-HOZ 2013 ŐSZ Elméleti kérdések összegzése 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! 2. Mutassa be az

Részletesebben

Elemi statisztika fizikusoknak

Elemi statisztika fizikusoknak 1. oldal Elemi statisztika fizikusoknak Pollner Péter Biológiai Fizika Tanszék pollner@elte.hu Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása 2-1 Áttekintés 2-2 Gyakoriság eloszlások 2-3 Az adatok

Részletesebben

Statisztika I. 10. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 10. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 10. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Varianciaanalízis A különböző tényezők okozta szórás illetőleg szórásnégyzet összetevőire bontásán alapszik Segítségével egyszerre több mintát hasonlíthatunk

Részletesebben

Statisztikai alapok. Leíró statisztika Lineáris módszerek a statisztikában

Statisztikai alapok. Leíró statisztika Lineáris módszerek a statisztikában Statisztikai alapok Leíró statisztika Lineáris módszerek a statisztikában Tudományosan és statisztikailag tesztelhető állítások? A keserűcsokoládé finomabb, mint a tejcsoki. A patkány a legrondább állat,

Részletesebben

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 9. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztikai hipotézis vizsgálatok elsősorban a biometriában alkalmazzák, újabban reprezentatív jellegű ökonómiai vizsgálatoknál, üzemi szinten élelmiszeripari

Részletesebben

Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus

Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Gyakorisági sorok Mennyiségi ismérv jellemző rangsor készítünk. (pl. napi jegyeladások száma) A gyakorisági sor képzése igazából tömörítést jelent Nagyszámú

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Többváltozós lineáris regressziós

Részletesebben

18. modul: STATISZTIKA

18. modul: STATISZTIKA MATEMATIK A 9. évfolyam 18. modul: STATISZTIKA KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA, GIDÓFALVI ZSUZSA MODULJÁNAK FELHASZNÁLÁSÁVAL Matematika A 9. évfolyam. 18. modul: STATISZTIKA Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret

Részletesebben

Nem-paraméteres és paraméteres módszerek. Kontingencia tábla, rangtranszformálás, párosított minták, két független minta

Nem-paraméteres és paraméteres módszerek. Kontingencia tábla, rangtranszformálás, párosított minták, két független minta Nem-paraméteres és paraméteres módszerek Kontingencia tábla, rangtranszformálás, párosított minták, két független minta Az előadások célja bemutatni a hipotézis vizsgálat elveinek alkalmazását a gyakorlatban

Részletesebben

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria. Visegrády Balázs

[Biomatematika 2] Orvosi biometria. Visegrády Balázs [Biomatematika 2] Orvosi biometria Visegrády Balázs 2016. 03. 27. Probléma: Klinikai vizsgálatban három különböző antiaritmiás gyógyszert (ß-blokkoló) alkalmaznak, hogy kipróbálják hatásukat a szívműködés

Részletesebben

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision

Részletesebben

Dr. Nagy Zita Barbara igazgatóhelyettes KÖVET Egyesület a Fenntartható Gazdaságért november 15.

Dr. Nagy Zita Barbara igazgatóhelyettes KÖVET Egyesület a Fenntartható Gazdaságért november 15. Dr. Nagy Zita Barbara igazgatóhelyettes KÖVET Egyesület a Fenntartható Gazdaságért 2018. november 15. PÉNZ a boldogság bitorlója? A jövedelemegyenlőtlenség természetes határa A boldog ember gondolata a

Részletesebben

Nemparametrikus tesztek. 2014. december 3.

Nemparametrikus tesztek. 2014. december 3. Nemparametrikus tesztek 2014. december 3. Nemparametrikus módszerek Alkalmazásuk: nominális adatok (gyakoriságok) esetén, ordinális adatok esetén, metrikus adatok esetén (intervallum és arányskála), ha

Részletesebben

Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév

Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,

Részletesebben

Tartalomjegyzék I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE

Tartalomjegyzék I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE Tartalomjegyzék 5 Tartalomjegyzék Előszó I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE 1. fejezet: Kontrollált kísérletek 21 1. A Salk-oltás kipróbálása 21 2. A porta-cava sönt 25 3. Történeti kontrollok 27 4. Összefoglalás

Részletesebben

3/29/12. Biomatematika 2. előadás. Biostatisztika = Biometria = Orvosi statisztika. Néhány egyszerű definíció:

3/29/12. Biomatematika 2. előadás. Biostatisztika = Biometria = Orvosi statisztika. Néhány egyszerű definíció: Biostatisztika = Biometria = Orvosi statisztika Biomatematika 2. előadás Néhány egyszerű definíció: A statisztika olyan tudomány, amely a tömegjelenségekkel kapcsolatos tapasztalati törvényeket megfigyelések

Részletesebben

SPSS ALAPISMERETEK. T. Parázsó Lenke

SPSS ALAPISMERETEK. T. Parázsó Lenke SPSS ALAPISMERETEK T. Parázsó Lenke 2 Statistical Package for Social Scienses Statisztikai programcsomag a szociológiai tudományok számára 1968-ban Norman H. Nie, C.Handlai Hull és Dale H. Bent alkották

Részletesebben

4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis

4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis 1. feladat Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve 2. feladat Az iskola egy évfolyamába tartozó diákok átlagéletkora 15,8 év, standard deviációja 0,6 év. A 625 fős évfolyamból hány diák fiatalabb

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)

Részletesebben

Populációbecslések és monitoring

Populációbecslések és monitoring Populációbecslések és monitoring A becslés szerepe az ökológiában és a vadgazdálkodásban. A becslési módszerek csoportosítása. Teljes számlálás. Statisztikai alapfogalmak. Fontos lehet tudnunk, hogy hány

Részletesebben

Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat

Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 7. Előadás Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell /56 Matematikai statisztika Reprezentatív mintavétel

Részletesebben

STATISZTIKA I. A változók mérési szintjei. Nominális változók. Alacsony és magas mérési szint. Nominális változó ábrázolása

STATISZTIKA I. A változók mérési szintjei. Nominális változók. Alacsony és magas mérési szint. Nominális változó ábrázolása A változók mérési szintjei STATISZTIKA I. 3. Előadás Az adatok mérési szintjei, Viszonyszámok A változók az alábbi típusba tartozhatnak: Nominális (kategorikus és diszkrét) Ordinális Intervallum skála

Részletesebben

A hallgató neve:. MENTORTANÁR SEGÉDANYAG ÉS FELADATMEGOLDÓ FÜZET SZERKESZTİ:

A hallgató neve:. MENTORTANÁR SEGÉDANYAG ÉS FELADATMEGOLDÓ FÜZET SZERKESZTİ: A hallgató neve:. MENTORTANÁR SEGÉDANYAG ÉS FELADATMEGOLDÓ FÜZET SZERKESZTİ: AZ ELMÉLETI ÉS GYAKORLATI PEDAGÓGIAI TUDÁS FELTÁRÁSÁNAK NÉHÁNY MÓDSZERE 1. INTERJÚ Szóbeli kikérdezésen alapuló vizsgálati módszer.

Részletesebben

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze. Célja: - a sokaságot

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Hipotézisvizsgálat az Excel adatelemző eljárásaival. Dr. Nyéki Lajos 2018

Hipotézisvizsgálat az Excel adatelemző eljárásaival. Dr. Nyéki Lajos 2018 Hipotézisvizsgálat az Excel adatelemző eljárásaival Dr. Nyéki Lajos 2018 Egymintás t-próba Az egymintás T-próba azt vizsgálja, hogy különbözik-e a változó M átlaga egy megadott m konstanstól. Az a feltételezés,

Részletesebben

Populációbecslések és monitoring

Populációbecslések és monitoring Populációbecslések és monitoring A becslés szerepe az ökológiában és a vadgazdálkodásban. A becslési módszerek csoportosítása. Teljes számlálás. Statisztikai alapfogalmak. Fontos lehet tudnunk, hogy hány

Részletesebben

Korreláció és lineáris regresszió

Korreláció és lineáris regresszió Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.

Részletesebben

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011.

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. 1 Mérési hibák súlya és szerepe a mérési eredményben A mérési hibák csoportosítása A hiba rendűsége Mérési bizonytalanság Standard és kiterjesztett

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

Iskolai jelentés. 10. évfolyam szövegértés

Iskolai jelentés. 10. évfolyam szövegértés 2008 Iskolai jelentés 10. évfolyam szövegértés Az elmúlt évhez hasonlóan 2008-ban iskolánk is részt vett az országos kompetenciamérésben, diákjaink matematika és szövegértés teszteket, illetve egy tanulói

Részletesebben

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl Statisztika Elıadások letölthetık a http://www.cs.elte.hu/~arato/stat*.pdf címrıl Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább 1-α valószínőséggel

Részletesebben

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai Változékonyság (szóródás) STATISZTIKA I. 5. Előadás Szóródási mutatók A középértékek a sokaság elemeinek értéknagyságbeli különbségeit eltakarhatják. A változékonyság az azonos tulajdonságú, de eltérő

Részletesebben