Stabilitáselmélet a mérnöki gyakorlatban

Átírás

1 app Ferenc h.d., Dr.habil Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban Előadávázlato Budapet 0

2 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato Előzó A elen egyzetün a Széchenyi Itván Egyetemen az építőmérnöi BSc épzé Tartó tatiáa II. tantárgyához apcolódi. A egyzet rövid címe alapán arra gondolhatun, hogy a tabilitái problémá elvont, matematiai megözelítéével foglalozi. Ezért fontona tartu tiztázni, hogy a egyzet a tabilitáelméleti alapérdéeet a mérnöi gyaorlat zempontából ívána megözelíteni. A Tartó tatiáa II. című tantárgyhoz apcolódó egyzetün ezért vieli a Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban címet. A tabilitáelmélet tudományágána zámo iváló hazai művelői özül i ell emelnün Korányi Imre (KORÁNYI I. 965.) é Haláz Ottó profezoroat (HAÁSZ O., IVÁNYI. 00.), ai megalapoztá az acélzerezete tabilitáelméleténe hazai műveléét. Fonto iemelnün Kollár ao é Duláca Endre profezoro munáágát, aine zámo magyar nyelvű publiációa a mai napig irányadó a témával imeredő hallgató zámára, de a utató é gyaorló mérnöö zámára i. űvei özül ülönöen fonto megemlíteni a héa horpadáával foglaozó önyvüet (KOÁR., DUÁCSKA E. 975.), amelyre a egyzetünben oat fogun hivatozni. A teleég igénye nélül a fiatalabb tudógenerációból meg ell említenün Gápár Zolt profezor nevét, ai nemzetözi hírű művelőe a tabilitáelmélet egy elvontabb ágána, a ataztrófaelméletne (GÁSÁR ZS. 006.). A nagyteleítményű zámítógépe világában a tabilitáelmélet laziu módzertanána zerepe változóban van: az elméleti modelle vizgálata helyett előtérbe erülne a való zerezeti vieledét zimuláló zámítógépe eláráo. A ét megözelítéi mód azonban még oáig együttélére van ítélve. Imert, hogy az európai zabványrendzer (Structural Eurocode) támogata az egyzerű (ézzel i izámítható) méretezéi formulá alalmazáát, de eze mellett ülönö figyelmet fordít a numeriu eláráoal egített méretezéi módzerere i. indét eetben elen vanna a méretezéi formulában a laziu tabilitáelméletből zármazó paramétere. A ét módzertan párhuzamo elenléte ozor gondot ooz a tabilitátani alapfogalma megértéében. it elent például a nyomott rúd ihaláa? A laziu tabilitáelmélet zerint a nyomott rúd az Euler-féle erő hatáára az addig egyene (töélete) helyzetből hirtelen igörbül (ihali), é özben végig rugalmaan vieledve ú egyenúlyi helyzetet vez fel. A elenéget matematiai analízi (differenciálegyenlet) egítégével íru le. A orzerű zámítógépe módzertan a való (töéletlen) rúd vieledéét laboratóriumi é (vagy) zámítógépe virtuáli íérletteel vizgála, é az eredményeet matematiaitatiztiai módzereel értéeli. ivel a vizgált rúd vieledée formailag nagyon haonlít az előző elméleti vieledéhez, ezért itt i nyomott rúd ihalááról bezélün. Neve utató állítá, hogy a való zerezeti vieledét vizgáló módzertanban helytelen haználni a laziu tabilitáelméleti alapfogalmaat. Szerintü a való zerezeti vieledé minden eetben (így a fenti példa eetében i) egy folyamatoan ialauló deformációval áró elenég, amely elvezet a zerezet végő teherbíráához. Anna ellenére, hogy halun az utóbbi állápont elfogadáára, a egyzetben felvállalu a ettő fogalmi rendzer alalmazáát, de minden eetben elezzü, hogy a tabilitái elenégről elméleti értelemben bezélün (rugalma elmélet alapán), vagy való zerezeti vieledét feltételezün. Állápontunna gyaorlati oa van: a laziu tabilitáelméleti alapfogalma elen vanna a való mérnöi zerezete méretezéét előíró zabványoban. --

3 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato A Stabilitáelmélet tantárgy alapvetően a laziu tabilitáelméleti módzertannal foglalozi, de nem öncélúan. A tantárgy feladata, hogy a rugalma tabilitáelmélet vonatozáában, figyelembe véve az előző zaaz megállapítáait, megfelelő alapot adon a való zerezete méretezéével foglalozó tantárgya zámára. A tantárgyna nem témáa a való zerezeti eleme é zerezete méretezée, de az érthetőég é teleég edvéért egye eeteben (nyomott rúd) utalát tezün a zabványo méretezéi formulára, illetve azo tabilitáelméleti vonatozáaira i. --

4 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato Bevezeté Az elő feezetében átteintü a legfontoabb tabilitáelméleti alapfogalmaat. Az átteinté érdeében töélete é töéletlen elvi zerezeteet (modelleet) vizgálun. A nyomott rúd problémáán ereztül iteintét adun az elemei tabilitáelmélet é a méretezéelmélet apcolatára. A máodi feezetben a íbeli rúdzerezeti modelle lineári tabilitáanalíziét a méretezéelméleti é didatiai zempontból i iemeledő fontoágú tabilitáfüggvénye alalmazáán ereztül mutatu be. A módzer elentőégét a modern numeriu analízi módzeréne türében értéelü. A harmadi feezetben előzör a rúdeleme cavaráával foglalozun, mad a özpontoan nyomott rúdmodell térbeli ihaláával, a halított gerenda iforduláával é a nyomott-halított elem tabilitáveztéével foglaozun. A levezetett, illetve bemutatott eredményene elentő zerepe van a modern zabványo zerinti méretezéi eláráoban. A negyedi feezetben a térbeli rúdzerezeti modelle lineári tabilitái analíziéne numeriu módzerét tárgyalu. A mérnöi gyaorlat zempontából értéelü a 4 zabadágfoú általáno rúd végeeleme módzer elentőégét. egírá alatt álló további feezete: Az ötödi feezetben - az előző feezete özefoglaláaént - a ritiu igénybevétele (ritiu terhe) zabványo méretezéi formulában betöltött zerepét elemezzü. A hatodi feezetben iteintün a egyzet zoroan vett témáából, é röviden bemutatu a való nyomott rúd Ayrton-erry formulán alapuló méretezéi módzeréne eredetét. Bemutatu az általánoított Ayrton-erry formulát é az arra alapozott ú numeriu méretezéi eláráo gondolatmenetét. A hetedi feezetben az izotrop lemeze horpadáelméletébe teintün be. Az itt tárgyalt imeretanyag a ereztmetzete zabványo méretezéénél, illetve az egye zabványo horpadávizgálatonál apna zerepet. A nyolcadi feezetben az alotó irányban nyomott é a gyűrűirányban nyomott hengerhéaat tárgyalu, mad vizgálu a gömb- é a gömbüveghéa horpadáána problémáát. A egyzetben tartózodun a hozú matematiai levezetée bemutatáától, amelye zámo önyvben megtalálhatóa. A hivatozáonál igyezün mindig a legeredetibb publiációat megelölni. Az analitiu megözelíté mellett a tabilitáveztéi elenégeet numeriu modelleen ereztül i megmutatu. A numeriu modelle analíziéhez a ConSteel programot alalmazzu. A modelleet az olvaó zabadon letöltheti é a bemutatott analízit aát maga i elvégezheti. -4-

5 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato. Stabilitáelméleti alapfogalma. Töélete zerezete tabilitáveztée Ebben a zaazban egyzerű, elméleti zerezeteet (modelleet) vizgálun. A modelle töéleteen merev elemből (rúdból) é lineárian rugalma erő- vagy nyomatéi rúgóból állna. A modelleet töélete culó támaztá meg. A modellere onzervatív terhe hatna, a modelle elmozduláa íban történi. A vázolt modelle nem reália (özvetlen gyaorlati elentőégü aligha van), de a vieledéü elemzée fonto tabilitáelméleti alapfogalmahoz vezetne el... A zimmetriu tabili egyenúly elágazá Vizgálu az -a ábrán látható elvi zerezetet, amely egy töéleteen merev rúdból é a culó támaznál elhelyezett lineárian rugalma arateriztiáú nyomatéi rugóból áll. A modellt erő terheli. a) b) cr ϕ - φ + φ -. ábra. Szimmetriu tabili egyenúly elágazá: a) elvi zerezet; b) egyenúlyi útvonal. Kereü a erő azon értéét, amelynél a φ zöggel imozdított modell egyenúlyi állapotban van. A imozdult állapotban a erő nyomatéa egyenúlyban van a rugó által özvetített nyomatéal: inϕ ϕ (-) Az (-) egyenletből a erő ifeezhető: ϕ (-) inϕ A nem triviáli megoldá érdeében vegyü a zinuz függvény Taylor orána elő ét tagát: ϕ inϕ ϕ (-) 6 Helyetteítü be az (-) ifeezét az (-) egyenletbe: -5-

6 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato ϕ + 6 Az (-4) ifeezé alapán a övetező megállapítáoat tehetü: (-4) Amennyiben φ 0, aor a erő itüntetett értééhez utun: cr (-5) Ezt az erőt ritiu erőne nevezzü. Amennyiben iebb, mint cr, aor a imozdítá után magára hagyott modell vizatér a ezdeti helyzetébe. Amennyiben nagyobb, mint cr, aor a modell egy imozdult helyzetű egyenúlyi állapotot vez fel. A függvényében leírt φ görbét egyenúlyi útvonalna, az egyenúlyi útvonal (φ0; cr ) pontát elágazái pontna nevezzü (-b ábra). Az elágazott egyenúlyi útvonalon növevő φ elmozdulához növevő érté tartozi, ezért az elágazá tabili. Az egyenúlyi útvonal φ-re nézve zimmetriu, ezért az elágazá zimmetriu... A zimmetriu labili egyenúly elágazá Vizgálu az -a ábrán látható elvi zerezetet, amely egy culóan megtámaztott töéleteen merev rúdból, valamint a rúd teteén vízzinteen elhelyezett lineárian rugalma erőrugóból áll. A modellt a erő terheli. a) b) inϕ cr ϕ coϕ -φ +φ -. ábra. Szimmetriu labili egyenúlyi elágazá: a) elvi zerezet; b) egyenúlyi útvonal. Kereü a erő azon értéét, amelynél a φ zöggel imozdított modell egyenúlyi állapotban van. Az egyenúlyi helyzet feltétele, hogy a imozdult állapotban a erő nyomatéa egyenúlyban legyen a rugó által özvetített erő nyomatéával: ( inϕ) ( coϕ) inϕ (-6) Az (-6) egyenletet átrendezve: -6-

7 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato in ϕ coϕ 0 (-7) Az (-7) nem triviáli megoldáa érdeében vegyü a ozinuz függvény Taylor orána elő ét tagát: ϕ coϕ (-8) Az (-8) ifeezét helyetteítü be az (-7) egyenletbe, é feezzü i a erőt: ϕ (-9) Az (-9) ifeezé alapán a övetező megállapítáoat tehetü: Amennyiben φ 0, aor a erő ritiu értéét apu: cr A nem lehet nagyobb, mint cr. (-0) Az elágazái útvonal mentén növevő φ elmozdulához cöenő erő tartozi, ezért az elágazá labili. Az egyenúlyi útvonal a φ értéére nézve zimmetriu, ezért az elágazá zimmetriu (-b. ábra)... Az azimmetriu egyenúly elágazá Az -a ábrán látható elvi zerezet egy culóan megtámaztott töéleteen merev rúdból, valamint a rúd teteétől 45 foban vezetett, é az alapzinthez rögzített lineárian rugalma erőrugóból áll. A modellt a erő terheli. cr ϕ -ϕ +ϕ -. ábra. Azimmetriu egyenúlyi elágazá: a) elvi zerezet; b) egyenúlyi útvonal. A modell egyenúlyi útvonala az előző elvi példá mintáára levezethető. A levezetét a zairodalomban megtalálu (KOÁR oldal). A hivatozott irodalom alapán az egyenúlyi útvonal éplete a övetező: cotϕ (-) + inϕ -7-

8 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato Alalmazzu a trigonometriu függvénye alábbi orbefetett alaait: ϕ cot ϕ é ϕ (-) ϕ + inϕ 4 Behelyetteítve az (-) ifeezéeet az (-) egyenletbe az egyenúlyi útvonal linearizált ifeezéére utun (-b ábrán zaggatott vonallal elölve): ϕ (-) 4 Az (-) ifeezé alapán a övetező megállapítáoat tehetü: Amennyiben φ 0, aor a erő ritiu értéét apu: cr (-4) Amennyiben a φ elmozdulá pozitív, aor egyenúlyi helyzet ca cöenő erő mellett lehetége. Amennyiben a φ elmozdulá negatív, aor egyenúlyi helyzet ca növevő erő mellett lehetége. Az elágazái útvonal attól függően tabili vagy labili, hogy az elmozdulá melyi irányban övetezi be. Az ilyen vieledét azimmetriu (vagy ferde) elágazána nevezzü...4 Az indifferen egyenúly elágazá Az -4a ábrán látható elvi zerezet egy culóan megtámaztott töéleteen merev rúdból, valamint a rúd teteén egy vízzinteen é egy függőlegeen elhelyezett, azono arateriztiáú lineárian rugalma erőrugóból áll. A modellt a erő terheli. cr ϕ -ϕ -π +π +ϕ -4. ábra. Indifferen egyenúlyi elágazá: a) elvi zerezet; b) egyenúlyi útvonal. A modell egyenúlyi útvonala az előző elvi példá mintáára levezethető. A levezetét az irodalomban megtalálu (GÁSÁR ZS. 984.). A hivatozott irodalom alapán az egyenúlyi útvonalra a övetező ifeezét apu: (-5) -8-

9 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato Az (-5) ifeezé alapán a övetező megállapítáoat tehetü: A erő ritiu értée: cr (-6) A erő a -π φ π tartományban nem függ az elmozdulá értéétől. Az elágazái útvonal mindét elmozdulái irányban indifferen (a ritiuon túli teherbírá zabadoan ontan)...5 A határponto egyenúly elágazá Az -5a ábrán látható elvi zerezet culó özeapcolt ét töéleteen merev rúdból áll, ahol a ruda végeit mozgó arú é egy-egy lineárian rugalma vízzinte erőrugó támazta meg. A zerezet vizonylag lapo (f<<). A modellt a erő terheli. max f w -5. ábra. Határponto egyenúlyi elágazá: a) elvi zerezet; b) egyenúlyi útvonal. A modell egyenúlyi útvonalána levezetéét a zairodalomban megtalálu (KOÁR oldal). A hivatozott irodalom alapán az egyenúlyi útvonal éplete a övetező: f f w w + w (-7) Az (-7) ifeezé elemzée a övetező megállapítáora vezet: A erő legnagyobb értée: max f 0,85 (-8) A max erőnél az egyenúlyi útvonalna határponta van, ahol a zerezet átpattan egy mái egyenúlyi állapotba. Növevő elmozdulához a határpontig növevő erő, a határponton túl cöenő erő tartozi. Ez a vieledé eltér a töélete modelle vieledéétől. A vieledéi formát határponto elágazána nevezzü. A fent leírt zerezeti vieledé átmenetet épez az eddig tárgyalt töélete modelle vieledée é a övetező zaazban tárgyalt töéletlen modelle vieledée özött, ahol a töéletlen modelle már a terhelé ezdetén imozdult állapotban vanna. -9-

10 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato. Töéletlen zerezete vieledée.. A ezdeti geometriai töéletlenég hatáa Vizgálu meg az előző zaazban zereplő elméleti modelleet azzal a ülönbéggel, hogy a modellebe ezdeti geometriai töéletlenéget (adott eetben ezdeti ferdeéget) vizün! Előzör az.. zaazban zereplő é az -a ábrán látható modellt vizgálu úgy, hogy a rendzerbe egy ezdeti φ 0 ferdeéget vizün (-6a ábra). ϕ 0 ϕ cr - φ + φ - φ 0 + φ 0-6. ábra. Geometriai töéletlenég hatáa az - ábra zerinti zimmetriu tabili egyenúly elágazára: a) elvi modell; b) egyenúlyi útvonal. A feladat matematiai megoldáát megtalálu a zairodalomban (KOÁR. 006, 7. oldal): ϕ0 cr ϕ0 ϕ + ϕ (-9) ϕ 6 6 Az (-9) ifeezében cr az (-5) zerinti ritiu erő. Az (-9) zerinti egyenúlyi útvonalat az -6b ábra zemlélteti, ahol zaggatott vonallal feltüntettü a töélete (φ 0 0) modellhez tartozó egyenúlyi útvonalat i. Az (-9) ifeezé elemzée a övetező megállapítáora vezet: Az egyenúlyi útvonalna ninc elágazái ponta, a erő a φ abzolút értééne növeedéével monoton növezi. A modell nem érzéeny a ezdeti geometriai pontatlanágra (töéletlenégre). ot az.. zaazban zereplő é az -a ábrán látható modellt vizgálu úgy, hogy a rendzerbe egy ezdeti φ 0 ferdeéget vizün (-7a ábra). A feladat matematiai megoldáát megtalálu a zairodalomban (KOÁR. 006, 8. oldal): ϕ0 cr + ϕ0 ϕ ϕ (-0) ϕ -0-

11 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato a) b) c) ϕ 0 cr max max cr ϕ -φ +φ - φ 0 +φ 0 -φ 0 +φ 0-7. ábra. Geometriai töéletlenég hatáa az - ábra zerinti zimmetriu é labili egyenúlyi elágazára: a) elvi modell; b) egyenúlyi útvonal; c) töéletlenégérzéenyég Az (-0) ifeezében cr az (-0) zerinti ritiu erő. A modell egyenúlyi útvonalát az -7b ábra zemlélteti, ahol zaggatott vonallal tüntettü fel a töélete (φ 0 0) modellhez tartozó egyenúlyi útvonalat. Az -7c ábra a modellne a ezdeti töéletlenégre való érzéenyégét zemlélteti. Az (-0) ifeezé elemzée alapán a övetező megállapítáoat tehetü: Az egyenúlyi útvonalna max erőnél tetőponta van, é max < cr. A zerezet érzéeny a ezdeti geometriai töéletlenégre. Kéőbbieben még rézleteen tárgyalu a lineári tabilitáelmélet imert tételét, ami zerint, ha a ezdeti töéletlenég onform a tabilitáveztéhez tartozó elő aátalaal, aor az elmozdulá ifeezhető a ezdeti töéletlenég nagyítáával: ϕ ϕ0 (-) cr ivel a fenti feltétele az előzőeben vizgált töéletlen modellenél fennállna, ezért az (- 9) é (-0) ifeezéeet úgy i megaphatu, hogy az (-) éplet átrendezééből apott cr ϕ 0 (-) ϕ ifeezé obb oldalával megzorozzu a töélete modellere vonatozó, haonló alara hozott ifeezée obb oldalait... Anyagi töéletlenég hatáa Az anyagi töéletlenég hatáát az -8a ábrán látható elvi zerezeten vizgáu. A modell egy töéleteen merev rúdból é egy vizonylag i hozúágú rugalma-épléeny elemből áll. Az elem vieledéét az un. Van der Neut-féle I ereztmetzettel íru le --

12 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato (KOÁR. 006,. oldal), ahol a ét övlemezt özeötő gerinclemez hatáát elhanyagolu, valamint feltételezzü, hogy az övelemeze σ y folyáhatárig töéleteen rugalmaan, mad a folyá pillanatától töéleteen épléenyen vieledne (-8b ábra). a) b) c) σ σ y N pl ϕ 0 ϕ A A max h ε ϕ -8. ábra. Anyagi töéletlenég hatáa a zerezeti vieledére: a) elvi zerezet; b) Van der Neut-féle ereztmetzet; c) egyenúlyi útvonal. Előzör tételezzü fel, hogy a modell geometriailag töélete (ϕ 0 0), é íru fel a nyomatéi egyenúlyi egyenletet a bal oldali övre: h + inϕ N pl h (-) Az (-) egyenletben a ereztmetzet épléeny nyomái ellenálláa: N pl Aσ Alalmazzu a zinuz függvény orána elő tagát, in ϕ ϕ é feezzü i az (-)-ból a nyomóerőt: N pl ϕ + h /( ) y (-4) A tele egyenúlyi útvonal ét zaazból áll: a 0-ból iinduló függőlege egyeneből, é az (-4) által meghatározott, az N pl erőnél elágazó é cöenő erőt mutató görbéből (-8c ábrán zaggatott vonallal elölve). ot tételezzü fel, hogy φ 0 0, azaz a modell geometriailag töéletlen. Ebben az eetben az egyenúlyi útvonal elő zaaza nem a tengelyen fezi, hanem az -8c ábrán vatag vonallal elzett görbét öveti. A görbe ól özelíthető az (.) ifeezéel, ha cr helyére N pl -t írun. A özelítő görbe é az (-4) által meghatározott görbe metzépontában, ( max erőnél) az útvonal elágazi, é az utóbbi görbét öveti cöenő erő mellett. Az (-4) ifeezé é az -8c ábra elemzée a övetező megállapítáora vezet: Az egyenúlyi útvonalna max erőnél elágazái ponta van, é max < N pl. ϕ 0 A modell érzéeny az anyagi töéletlenégre. Az anyagilag töéletlen modell egyenúlyi útvonalána vieledée lényegében független attól, hogy az anyagilag töélete modell melyi vieledéi formát mutata (az -6 ábra zerinti tabilit, vagy az -7 ábra zerinti labilit). --

13 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato. A nyomott rúd vizgálata A nyomott rúd vizgálata a mérnöi zerezettervezé egyi alapérdée. A töélete (rugalma) nyomott rúd vizgálata az elemi tabilitátan alapfeladata, míg a geometriailag é anyagilag töéletlen (való) nyomott rúd vizgálata a méretezéelmélet egyi alapérdée... A rugalma nyomott rúd ihaláa Vizgálu meg az -9a ábrán látható, végein culóan megtámaztott nyomott rudat! A rúd anyaga töéleteen rugalma, az A ereztmetzeti területe é az EI halító merevége állandó. a) b) x c) cr A ; EI x EIw w(x) z w -9. ábra. A rugalma nyomott rúd mint tabilitáelméleti alapfeladat: a) nyomott rúd modelle; b) ihalott állapot; c) egyenúlyi útvonal. Helyezzü a nyomóerő hatáára ihalott rudat az (x;z) oordináta rendzerbe. egyen ww(x) a ihalott rúd alaát leíró függvény. Íru fel a rúd egy tetzőlege pontára a ülő é belő nyomatéo egyenúlyát: EI w'' + w 0 (-5) Ozu el az (-5) egyenletet EI-vel, é vezeü be a κ paramétert: EI v'' +κ w 0 (-6) Imert, hogy a (-6) homogén é állandó együtthatóú differenciálegyenlet megoldáa a való zámörben a övetező: w A in( κ x ) + B co κ x (-7) A megoldához ét peremfeltétel tartozi: x0 w(0)0 x w()0 ( ) Az elő peremfeltételből B0 adódi, amit behelyetteítve az (-7)-be: A máodi peremfeltételből az alábbi ifeezére utun: w A in( κ x ) (-8) --

14 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato ( ) 0 Az (-9) egyenlet nem triviáli megoldáa: Az (-0)-ból κ ifeezhető: ( κ ) A in κ (-9) ( ) 0 in κ (-0) n π n π κ (-) n,,... ivel definíció zerint κ EI, ezért a ihalott alahoz tartozó erő é a ihalái ala az alábbia zerint írható: n π EI (-a) n π x w A in (-b) A ihalához tartozó ritiu erőt é alaot az (-) ifeezéeből n behelyetteítéével apu meg: EI cr π (-a) π x w A in (-b) Az (-) ifeezée elemzée alapán a övetező megállapítáoat tehetü: A rugalma nyomott rúd egyenúlyi útvonala cr ritiu erőnél elágazi. A ihalái ala tetzőlege amplitúdóú fél zinuz hullámmal írható le. Az elágazá zimmetriu (-9c ábrán zaggatott vonallal elölve). ontoabb vizgálattal imutatható (IVÁNYI. 995, 4-4. oldal), hogy a rugalma nyomott rúd elágazáa - vizonylag i elmozduláo tartományában - enyhén tabili: a ritiuon túli állapotban növevő amplitúdóhoz i mértében növevő nyomóerő tartozi (-9c ábrán vatag vonallal elölve)... A való nyomott rúd teherbíráa Tételezzü fel, hogy a töéletlen nyomott rúd ezdeti görbeége é rugalmaépléeny anyagi vieledée egyértelműen meghatározott. Az -0 ábrán vázolt való modell elméleti megoldáa régóta imert (CHEN W. - ATSUTA T. 977a). A modern zámítógépe ezözö világában a feladat numeriu megoldáa em elent ülönöen nehéz feladatot (SZAAI J. 007). A megoldáo imeretében a övetező megállapítáo tehető: A való nyomott rúd vizgálata minden eetben az -0c ábrán látható határponto elágazához vezet. Az egyenúlyi útvonalna max nyomóerőnél tetőponta van, é max < cr. A max nyomóerőt a való rúd teherbíráána (ellenálláána) nevezzü. -4-

15 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato a) b) c) cr w 0 σ max ε w -0. ábra. A való nyomott rúd mint méretezéelméleti alapfeladat: a) nyomott rúd modelle; b) ereztmetzet é anyagi vieledé; c) határponto egyenúlyi útvonal. A rugalma nyomott rúd (-9 ábra) é a való nyomott rúd (-0 ábra) tabilitáveztéi módát egyaránt rúdihalána nevezzü, anna ellenére, hogy a ét vieledéi forma merőben eltér egymától. Ugyanaor a ihalát oozó erőt az elő eetben ritiu erőne, a máodi eetben teherbírána (ellenállána) nevezzü... A nyomott rúd tervezéi ellenálláa A mérnöi gyaorlat zámára az -0 ábrán vázolt modell ca aor elent megoldát, ha a vizgált rúd minden paramétere pontoan imert. Az irodalomban ezt a modellt determiniztiu modellne nevezi. Ilyen eettel állun zemben például laboratóriumi íérlet, vagy meglévő zerezete zaértői vizgálata eetében, amior lehetőég van a paramétere megméréére. A mérnöi tervezé állapotában a madan megépülő zerezet paraméterei legfelebb ca becülhetőe, de emmiéppen em mondhatu, hogy pontoan imerte. Ezért a modern zabványo a nyomott rúd modellét valózínűégi alapon határozzá meg: a modell főbb paraméterei valózínűégi változó. Kezdetben magát a nyomott rúd teherbíráát teintetté valózínűégi változóna, é zámo laboratóriumi íérletet végezte étculó nyomott rudaon ülönböző zelvénytípuo é rúdarcúágo mellett. A íérlete céla zinte minden eetben a teherbírá ( max ) meghatározáa volt. Kéőbb a öltége laboratóriumi íérleteet felváltotta a modern zámítógépi ezözöel végrehatott numeriu analízi (virtuáli íérlete). A témában a mai napig irányadó módzertant publiált Strating é Vo, ai valózínűégelméleti modell egítégével numeriu módzerrel reproduáltá az előzőleg íérleti alapon meghatározott ECCS ihalái görbéet (STRATING J. - VOS H. 97). A utató a nyomott rúd teherbíráát az alábbi formában határoztá meg: ( σ, σ,e,a,a, λ) f (-4) max y r 0 0 Az (-4) ifeezéében a modellparamétere valózínűégi változó: σ y σ r e 0 - acélanyag folyái zilárdága - belő maradó fezültég paramétere - nyomóerő ezdeti ülpontoága -5-

16 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato a 0 A λ - ezdeti görbeég (geometriai töéletlenég) amplitúdóa - ereztmetzet területe - arcúág A valózínűégi változó elozláát rézben aát tatiztiai felmérée, rézben irodalmi adato alapán vetté fel. A virtuáli íérletorozatot a onte Carlo néven imert matematiai módzerrel hatottá végre. A módzer lényege, hogy a íérleti determiniztiu modelle paramétereit a valózínűégi elozláo alapán véletlenzerűen vetté fel, mad a modelleen numeriu analíziel határoztá meg a max teherbírát. Függetlenül attól, hogy a íérleteet laboratóriumi próbateteen vagy numeriu modelleen hatu végre, rendelezéünre állt n zámú mintához tartozó (λ - max ) i értépár. Adott λ arcúág eetén a teherbírá arateriztiu értéét az alábbia zerint határozhatu meg: m (-5) * max Az (-5) ifeezében m a teherbírá átlagértée, a zóráérté. A értéét a * max max (-6) feltétel.%-o valózínűégével alibrálva, valamint a teherbírá elozláát Gau típuú elozlána teintve,. max átlagérté (m) arateriztiu érté * max ihalái görbe λ λ i -. ábra. A nyomott rúd tervezéi ellenálláa: a ihalái görbé zármaztatáa. A nyomott rúd tervezéi ellenálláána meghatározáát zemlélteti a - ábra. A dizrét módon megválaztott λ arcúághoz tartozó max teherbírái elozlá * max arateriztiu értée egy dizrét pontot ad. ivel a ülönböző arcúághoz tartozó dizrét ponto halmaza nem alalma (ényelmetlen) a gyaorlati méretezére, ezért bevezetté a ihalái görbe fogalmát. A ihalái görbe parametriu ifeezéét az un. Ayrton-erry formulára alapoztá, é a görbe paraméterét a hibanégyzete minimumána elve alapán alibráltá az adott arateriztiu teherbírái pontora (AQUOI R. é RONDA J. 978). Az Ayrton-erry formula eredetét, é anna általánoított formáát egy éőbbi feezetben rézleteen tárgyalu. A fentieben bemutatott valózínűégi módzer gyaorlatban történő alalmazáána határt zab a nagyzámú íérlet züégeége, valamint az a tény, hogy a modellparamétere valózínűégi elozláa o eetben nem áll rendelezére megfelelő pontoággal. A nehézége elerülée érdeében a utató az utóbbi évtizedben a determiniztiu modelle alalmazáa felé fordulta. A ihalái (illetve a ifordulái é az -6-

17 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato interació) teherbírái görbéet numeriu analíziel határoztá meg, oly módon, hogy a determiniztiu modelle paramétereit a arateriztiu értéüel vetté fel (például ihalá vizgálat eetén az S5-ö acél folyáhatárát σ y 5N/mm -re, a ezdeti görbeég amplitúdóát a 0 /000-re vetté). Jelenleg az Eurocode zabvány zámo formuláána alibráláa ezzel a módzerrel nyert tudábázion alapzi (pl. BOISSONADE N. et al. 00; GREINER R. 00). Szaai Józef fiatal utató munáában a valózínűégelméleti módzer pontoágát ötvözte a determiniztiu módzer egyzerűégével (SZAAI J. 007)..4 A rugalma extrapoláció elve Az előzőeben láttu, hogy a nyomott acélanyagú rúdzerezeti eleme tabilitávizgálata elvben megoldottna teinthető. Gyaorlati zempontból azonban orántem ez a helyzet. Az eddigi utatáo általában olyan alapmodellere orlátozódta, amelyene ezelhető zámú változó paramétere volt (ereztmetzet, rúdhoz é anyagminőég). Amennyiben a vizgálatba bevonu a terhelő erő elozláát é/vagy a peremfeltételeet i, aor olyan modellhalmazhoz utun, amelyre nem áll rendelezére ellő zámú íérleti adat. Enne előorban gazdaági oa van, ugyani mint láttu, a módzertan rendelezére áll, de az iparág éptelen finanzírozni egy tele örű vizgálati programot. Ha iteintün a nyomott rúd feladata mögül, é vezü például a halított gerenda iforduláát, aor az előző megállapítá hatványozottan igaz (elég ca arra gondolni, hogy egy gerendát hányféle nyomatéi ábra terhelhet). É ha még azt i figyelembe vezü, hogy a zerezeti elem általában a globáli zerezet réze, é az elem vieledée interacióban van a globáli zerezet vieledéével, aor önnyen beláthatu, hogy a rendelezére álló elméleti módzere alapán a zerezete tabilitávizgálata gyaorlati zempontból ninc megoldva. A fent vázolt probléma áthidaláára a méretezé gyaorlatában a rugalma extrapoláció hipotéziét alalmazzu (a hipotézi egy olyan elv, amely megérzéen alapzi, ezért egzat elméleti háttere ninc, de a o évtizede tapaztalat vizaigazola az elv haználhatóágát é haznoágát). aradun az acélanyagú nyomott rúd feladatánál, ahol a tabilitávizgálat - ülönböző ereztmetzeti ialaítáora é anyagminőégere - íérleti alapon megoldott, feltéve, hogy a modell culóan megtámaztott, állandó özponto nyomóerővel terhelt, é állandó méretű ereztmetzettel rendelezi (EUROCODE, 005). Kérdé, hogyan méretezzü például a ét végén befogott rudat? Ugyani a méretezéi formula hátteréül zolgáló íérleti adatbázi nem, vagy ca alig tartalmaz erre az eetre vonatozó adatoat (hizen az említett gazdaági oo miatt a íérlete túlnyomó rézét culó rudaon végezté). A gyaorlati megoldát a rugalma extrapoláció elve ada: Tételezzü fel, hogy az A é B zerezet tabilitáveztéi móda haonló ellegű. egyen imert az A modell max,a teherbíráa a λ i,a ideáli arcúág függvényében, azaz ( λ ) ahol E A λi,a π cr,a Amennyiben imert a B modell λ i,b ideáli arcúága, aor a max,b teherbírá meghatározható az A modell teherbíráa alapán: ahol max, A λ max, B i,b π max,a max,a ( λ E A cr,b i, A i, B ) -7-

18 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato Az elv gyaorlati alalmazáát az - ábra egítégével mutatu be. Az ábrán a étculó nyomott rúd (A elű alapmodell) íérleti é matematiai-tatiztiai alapon meghatározott, zabványo teherbírái görbéét (ihalái görbe) látu, amelyről a λ i,a arcúág függvényében a max,a teherbírá leolvaható. Az ábra obb oldalán látu a B modellt, amely abban tér el az A modelltől, hogy végein befogott. A rugalma extrapoláció elve zerint, amennyiben rugalmaágtani alapon (töélete modellt feltételezve) meghatározzu a B modell arcúágát, aor a max,b teherbírá a λ i,b arcúág függvényében az A modellre érvénye teherbírái görbéről olvaható le. max A B λ i,a λ i,b max,b max,a λ i λ i,b λ i,a -. ábra. A Nnyomott rúd tervezéi ellenálláána általánoítáa a rugalma extrapoláció elve alapán. A rugalma extrapoláció elvét általánoíthatu, é imondhatu, hogy a méretezéi gyaorlatban az alapmodellere (nyomott rúd, halított gerenda, nyomott lemez) a íérleti é matematiai-tatiztiai alapon meghatározott teherbírái görbé alalmazhatóa az alapmodelletől eltérő ialaítáú modellere i (például eltérő teher, peremfeltétel vagy ereztmetzeti ialaítá eetén), amennyiben a arcúágot rugalmaágtani alapon határozzu meg. Különböző acélzerezeti feladato eetében a rugalmaágtani alapon zámított arcúágo reduált értéei az alábbia (EUROCODE, 005): Nyomott rúd ihaláa: λ A f Halított gerenda iforduláa: λ N cr T y W f Nyomott-halított elem térbeli tabilitáveztée: λ op ahol α ult, N Ed A f y + W Nyomott lemez horpadáa: y y.ed f y λ p α ult, σ cr cr y α ult, α cr -8-

19 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato ahol α ult, σ x,ed + σ z,ed f σ y x,ed σ x,ed + τ Ed áthatu, hogy a tabilitávizgálato gyaorlati végrehatáában a ritiu erőne (N cr ; cr ), a ritiu teherne (α cr ) é a ritiu fezültégne (σ cr ) fonto zerepe van..5 Özefoglalá A tabilitáelméleti alapfogalma bevezetée érdeében merev rudaból é lineárian rugalma támazrugóból özeállított elvi zerezeteet (modelleet) vizgáltun. A geometriailag é anyagilag töélete modelleen bemutattu az elemi egyenúly elágazái formáat (tabili, labili, azimmetriu é indifferen). egállapítottu, hogy az öze elágazái formánál egyértelműen létezi a cr ritiu erő. egvizgáltun azt az eetet i, ahol a ezdetben geometriailag töélete modellen a teher folyamatoan növevő elmozdulát ooz, mad max erőnél beövetezi az átpattaná. Az ilyen tabilitáveztéi formát határponto elágazána neveztü, é megállapítottu, hogy ez a vieledéi forma átmenetet épez a töélete modelle é a töéletlen modelle vieledée özött. Az elvi zerezeteen ezdeti geometriai töéletlenéget alalmaztun, é meghatároztu az egyenúlyi útvonalaat. A övetező megállapítáora utottun: a tabili elágazát mutató töélete modelle nem érzéenye a ezdeti geometriai töéletlenégre (az egyenúlyi útvonalna ninc tetőponta); a labili (é indifferen) elágazát mutató töélete modelle érzéenye a ezdeti geometriai töéletlenégre (az egyenúlyi útvonalna max -nál tetőponta van). egvizgáltu az anyagi töéletlenég hatáát i, é megállapítottu, hogy az egyenúlyi útvonalna tetőponta van: a modell érzéeny a épléenyég hatáára, függetlenül attól, hogy a megfelelő töélete modell melyi tabilitáveztéi formát mutata. egvizgáltu az acélanyagú nyomott rúd problémáát ülönböző feltevée alapán. A töéleteen rugalma rúd eetén levezettü a cr ritiu (vagy E Euler-féle) erő épletét, é zairodalmi imerete alapán megállapítottu, hogy az egyenúlyi elágazá enyhén tabili. Bevezettü a determiniztiu modell fogalmát, ahol az anyagi é geometriai töéletlenége pontoan imerte. egállapítottu, hogy a determiniztiu modell vieledée határponto elágazát mutat, ahol az egyenúlyi útvonal max tetőponta a modell teherbíráát ada meg. Azt i imondtu, hogy ez a vieledéi forma lényegében független attól, hogy a töélete modell tabili vagy labili vieledét mutat. egállapítottu, hogy a tervezéi gyaorlat zámára a determiniztiu modell nem elent ponto megoldát, mivel a tervezendő elem paraméterei valózínűégi változó. ontoabb eredmény érdeében bevezettü a valózínűégi modell fogalmát. Bemutattun egy elárát, amely alapán íérleti é matematiai-tatiztiai módzere egítégével meghatározható az acélanyagú nyomott rúd várható teherbíráa (ellenálláa). egállapítottu, hogy a gyaorlati problémá olyan orétűe, hogy a tabilitávizgálat tiztán elméleti alapon nem ezelhető. Bevezettü a rugalma extrapoláció elvét, amely gyaorlati megoldát ad a problémára. ot fel ell tennün a érdét, hogy hol húzzu meg a mérnöi tabilitáelmélet (é egyben egyzetün) témaöréne határát? Kézenfevő határvonalat elenthet az anyagi vieledé ellege: töéleteen rugalma anyagot feltételezve az elemi tabilitáelmélet egzat világában maradun, míg az anyagi töéletlenég (épléenyég) figyelembe vételével átlépün a méretezéelmélet gyaorlati világába. egmutattu, hogy az elemi tabilitáelmélet nem öncélú tudományág: a gyaorlati világ zabványo teherbírái -9-

20 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato formuláiban elen vanna a tabilitáelmélet elvont világána eredményei. Jegyzetün az elemi tabilitáelmélet azon laziu eredményeit ívána bemutatni, amelyere a méretezéelméleti formulá alapozna. Kiemelt figyelmet fordítun a geometriai töéletlenégre nem érzéeny zerezete (rúdzerezete, lemeze) ritiu terhéne é tabilitáveztéi módána meghatározáára, de elemezzü a geometriai töéletlenégre érzéeny zerezete (héa) ritiuon túli vieledéét i. -0-

21 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato. Rúdzerezete íbeli vieledée. A nyomott rúdelem merevége.. A mereven befogott rúdelem... Az elfordítái merevég Határozzu meg a -a ábrán látható mereven befogott nyomott-halított rugalma rúdelem elfordítái merevégét, ha a rúdelem ereztmetzete (A, EI) é a rúdelemre ható nyomóerő állandó. A rúdelem ét végét elölü é betűel. egyen a rúd végéne elfordítáa (befogáal együtt) θ. Az elfordítához az állandó nyomóerő mellett é rúdvégi nyomaté é V nyíróerő tartozi. Határozzu meg a θ rúdvégi elfordítához tartozó é nyomatéoat é a V nyíróerőt! a) z θ x V EI V b) z x w x V EIw -. ábra. A nyomott-halított rúdelem elfordítái merevégéne meghatározáa: a) modell; b) egyenúlyi feltétel. A feladat megoldáa érdeében helyezzü a rúdelemet az (x;z) oordináta rendzerbe. egyen ww(x) a meggörbült rúd z irányú elmozduláát (görbe alaát) leíró függvény. Íru fel a rúdelem egyenúlyi egyenletét az x oordináta által meghatározott pontra (-b ábra): EI w'' + w + V x 0 (-) A (-) egyenletben EIw a rúd görbületéből zármazó belő nyomaté. A V nyíróerő imert, mert ifeezhető a ülő nyomatéi egyenúlyi feltételből: V + (-) Ozu el EI-vel a (-) egyenletet, haználu fel a (-) ifeezét, é vezeü be a κ paramétert: EI + w'' +κ w x (-) EI EI --

22 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato A (-) hiányo inhomogén differenciálegyenlet megoldáa imert: AB + BA AB w A in( κ x) + B co( κ x) + x (-4) A (-4) egyenletben az A é B állandó, valamint az é rúdvégi nyomatéo az imeretlene. A négy imeretlen a övetező négy független peremfeltételből meghatározható: a) x0 w(0)0 Behelyetteíté é rendezé után: b) x w()0 Behelyetteíté é rendezé után: B (-5a) 0 A in A ( κ ) + co( κ ) co in c) x w ()0 (zéru rúdvégi lefordulá) + ( κ ) ( κ ) in( κ ) (-5b) Behelyetteíté é rendezé után: + w' ( ) Aκ co( κ) B κ in( κ) + 0 Az A é B állandó a (-5a) é (-5b) alapán imert. egyen c a rúdvégi nyomatéo aránya: α in( α ) c (-5c) in α α co α ahol E E κ π α ρ π EI ( ) ( ) d) x0 w (0)θ (imert rúdvégi lefordulá) ρ Behelyetteíté é rendezé után: + w' (0 ) A κ + θ Feezzü i az rúdvégi nyomatéot a rúdvégi elfordítá függvényében: ahol θ α θ EI ( α cot( α )) tanα α (-5d) --

23 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato A (-5a-d) éplete alapán a övetező megállapítáoat tehetü: A mereven befogott rúdelem végéne θ elfordítáához állandó nyomóerő mellett az alábbi rúdvégi nyomatéra van züég (-a ábra): θ A ifeezében az elfordítái tabilitái függvény: E ( α cot( α )) α tanα α Az α paraméter ifeezhető a ρ falago nyomóerővel: π α ρ ρ π EI E EI Továbbá: A rúd befogott végén az alábbi rúdvégi nyomaté eletezi: c θ A ifeezében c a nyomaté átviteli tabilitái függvény: c in α in( α ) ( α ) α co( α ) A fenti özefüggée megértéét az alábbi ézrevétele alapo átgondoláa nagymértében megönnyítheti: Ha 0, aor 4 é c0,5, ami az elemi tatia (előrendű elmélet) imert özefüggéeire vezet: EI 4 θ EI θ EI V 6 θ Ha ρ,04, aor 0 é c, azaz a rúdelem ritiu állapotban van, ahol a ritiu erő: π EI cr ρ E ρ A ρ falago nyomóerő é a υ ihalái hoz özött az alábbi apcolat áll fenn: υ ρ Ha ρ,04 (lád az előző pontot), aor υ0,7, ami az egyi végén mereven befogott, a mái végén zabadon elforduló rúdelem imert ihalái hoza. --

24 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato Amennyiben a erő húzóerő, a fenti gondolatmenethez haonlóan levezethetü az é c tabilitái függvénye megfelelő épleteit, amelyeben az α paraméter hiperboliu függvényei zerepelne (HORN.R. - ERCHANT W. 965). A mérnöi zemlélet oldaláról elemezve az eredményeet imondhatu, hogy a rúdelemre műödő nyomóerő cöenti, a húzóerő pedig növeli a rúdvégi elfordítái merevéget. - élda Határozzu meg az alábbi ábrán vázolt rúdzerezet cr ritiu terhét! A rúdeleme végei befogotta, a zerezet aropontában a rúdvége mereven apcolódna egymához (merev eretaro). cr? Kereztmetzet: HEA 00 Anyagminőég: S5 Rúdhoz: 6,0 m Haználu a mereven befogott rúdelem előzőeben meghatározott elfordítái merevégét! Tételezzü fel, hogy a ruda özenyomódáa elhanyagolható, é így a eretaro ca elfordulni tud. A ét rúd elfordítái merevége a eretaroban özegződi, így a eretaro elfordítáához züége ext ülő nyomaté az alábbi formában írható fel: + ( + ) θ ext,, Kritiu állapotban a eretaro elfordítáához ext 0 nyomatéra van züég, ezért ( + ) θ 0 ivel a modell ihalott állapotában θ 0, ezért + 0 Az elű rúdban a ihalá pillanatában nem ébred normálerő, ezért 4, é így a ritiu állapot feltétele: 4 A elű rúdban a ihalá pillanatában a nyomóerő egyenlő a ülő erővel, ezért ereü a erő azon értéét, amelynél a (-5d) zerinti tabilitáfüggvény -4 értéet vez fel: ρ cr,877-4 A elű rúd Euler-féle ritiu eree: 6m ; E A ritiu erő: π E I E, 0 8 5N cr ρ cr E N ; m 64N I, Az ábra a zerezet ihalott alaát mutata. 5 m 4-4-

25 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato... Eltolái merevég Határozzu meg a -a ábrán látható mereven befogott nyomott-halított rugalma rúdelem eltolái (ilengéi) merevégét. Jelöle δ a rúdvég z irányú elmozduláát, miözben a rúdvég nem fordul el. A feladat megoldáához nem züége felírni az egyenúlyi differenciálegyenletet, mert vizonylag i elmozduláoat feltételezve (inα α; coα ) a probléma vizavezethető a már imert elfordulái merevégre (ld. a... zaazt). A -b ábra zerint az eltolt végű rúdelem úgy teinthető, mint a ét végén ϕδ/ zöggel elfordított rúdelem, ahol a rúdvégi erő megváltozáát elhanyagolu. δ a) V z ϕ δ/ EI V x b) θ ϕ V V θ ϕ -. ábra. A nyomott-halított rúdelem ilengéi merevégéne meghatározáa: a) modell; b) özelítő feltevé. A megoldá érdeében íru fel a globáli nyomatéi egyenúlyi egyenletet a rúdvégre: + V δ 0 (-6) Íru fel a rúdvégi nyomatéoat a -b ábra é a... zaaz alapán: θ + c θ (-7) ivel θ θ δ/, ezért ( + c) δ (-8) A V nyíróerőt feezzü i a (-6) egyenúlyi egyenletből: + δ V (-9) Haználu fel, hogy π EI ρ E ρ (-0) é így a (-9) az alábbi alaban írható: [ ( + c) π ρ] δ V (-) -5-

26 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato Vezeü be az alábbi tabilitái függvényt: ( + c ) ( + c) π ρ Feezzü i a V nyíróerőt a (-) függvény egítégével: m (-) ( + c) V δ (-) m A (-8) é (-) éplete alapán a övetező megállapítáoat tehetü: A mereven befogott rúdelem végéne δ eltoláához állandó nyomóerő mellett az alábbi rúdvégi nyomatéo tartozna (-a ábra): ( + c) δ (-4) A ifeezében é c függvénye megfelelne a -a ábra zerinti feladatna. A rúdvég δ eltoláához az alábbi V nyíróerő tarozi: ( + c) V δ (-5) m A ifeezében m tabilitái függvény az alábbi alaban írható: ( + c) m (-6) + c π ( ) ρ A fenti özefüggée megértéét az alábbi ézrevétele alapo átgondoláa nagymértében megönnyítheti: Ha 0, aor 4, c0.5 é m, ami az elemi tatia (előrendű elmélet) imert özefüggéeire vezet: EI 6 δ EI V δ Ha ρ,0, aor,467, c, m é a falago eltolái merevég zéruá váli, ami a rúdelem ritiu állapotát elenti. A ritiu nyomóerő: ( + c) m 0 EI é cr π A ρ falago nyomóerő é a υ ihalái hoz özötti imert özefüggé alapán a mereven befogott ilengő rúdelem ihalái hoza: υ,0 ρ -6-

27 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato - élda Határozzu meg az alábbi ábrán vázolt rúdzerezet cr ritiu terhét! A függőlege ozlopo aló végei befogotta, a felő végeet végtelen merev gerenda öti öze. Az ozlopo mereven ötne be a gerendába. cr? / Kereztmetzet: HEA 00 Anyagminőég: S5 Rúdhoz: 6,0 m ivel a ét befogott ozlopot a gerenda mereven öti öze, a ét ozlop vízzinte irányban együtt tolódi el. Tételezzü fel, hogy az ozlopo özenyomódáa elhanyagolható. Haználu fel a rúdelem előzőeben meghatározott eltolái merevégét. A gerenda vízzinte δ eltoláához az alábbi H ext ülő erőre van züég: ( ) ( ) + c + c H + + δ ext V V m m Kritiu állapotban az eltolához H ext 0 erőre van züég, így ( + c ) ( + c ) m + m 8 0 A elű ozlopban a ihalá pillanatában nem ébred nyomóerő, ezért 4, c 0,5 é m, é így a ritiu állapot feltétele: ( + c ) m 0, 75 ivel a elű ozlopban a ihalá pillanatában a nyomóerő egyenlő a ülő erővel, ezért ereü a erő azon értéét, amelynél teleül a fenti egyenlet. A megoldá: ρ cr, A elű ozlop Euler-féle ritiu eree: m ; E A ritiu erő: π E I E, 0 8 N ; m 8.540N cr ρ cr E 9.590N I, Az ábra a zerezet ihalott alaát mutata. 5 m 4-7-

28 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato. Különlege ialaítáú rúdeleme merevége A. zaazban mereven befogott rúdeleme merevégét határoztu meg máodrendű elmélet alapán. Az irodalomból zámo olyan eredmény imert, amely a tabilitáfüggvényeet ülönlege peremfeltételere, terhere é rúdmentén változó ereztmetzetre terezti i. Ebben a zaazban ezeből a ülönlege eeteből mutatun be néhányat. Hangúlyozzu, hogy a modern zámítógépe é végeeleme analízi programo elteredéével ezen imerete gyaorlati elentőége nagyban cöent, de didatiai zempontból fontona tartu a rövid imertetéüet. Az itt megimert gondolato, módzertani meggondoláo elentően egítheti a mérnöi gondolodá é a tatiui ézég felődéét... A culó végű rúdelem merevége Előzör határozzu meg a - ábrán látható culó végű nyomott-halított rugalma rúdelem elfordítái merevégét, ha a rúdelem ereztmetzete (A, EI) é a rúdelemre ható nyomóerő állandó. Fordítu el a rúd végét (befogáal együtt) θ -vel. Az elfordítához állandó nyomóerő mellett rúdvégi nyomaté é V nyíróerő tartozi. Határozzu meg a θ rúdvégi elfordítához tatozó nyomatéot é V nyíróerőt! z EI x θ θ V V -. ábra. A culó végű nyomott-halított rúdelem elfordítái merevégéne meghatározáa. A feladat megoldáához nem züége a - ábrán vázolt modellre felírni az egyenúlyi differenciálegyenletet, ahogy azt a -a ábrán vázolt eetben tettü. Elegendő felhaználni az eddig levezetett tabilitái függvényeet. Íru fel a rúdvégi nyomatéoat az eddigi imeretein alapán: θ + c θ (-7) c θ + θ 0 (-8) A (-8) egyenletből az alábbi özefüggét apu: A (-9) ifeezét haználu fel a (-7) egyenletben: θ c θ (-9) ( c ) θ " θ θ c θ (-0) A (-0) alapán a culó végű rúdelem elfordítái merevégéne falago értéét megadó tabilitáfüggvényhez utun: " c (-) ( ) A V nyíróerő a globáli egyenúlyi feltételből adódi: -8-

29 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato V " θ (-) ot határozzu meg a culó végű rúdelem eltolái merevégét (-4 ábra). z ϕδ/ δ V EI x V -4. ábra. A culó végű nyomott-halított rúdelem eltolái merevégéne meghatározáa. Íru fel a rúdvégi nyomatéoat az eddigi imeretein alapán: 0 EI '' ϕ '' δ A V nyíróerő a rúdelem globáli nyomatéi egyenúlyából ifeezhető: V δ 0 (-) V ( δ ) (-4) π EI ivel ρ E ρ, ezért.. Egyéb ülönlege eete ( '' π ρ) δ EI π EI V " δ ρ δ (-5) Vizgálu a -5 ábrán látható rugalmaan befogott nyomott-halított rugalma rúdelem merevégét. A rúdelem végein épzelün el egy-egy lineárian rugalma nyomatéi culót. A culó a rúdelem rézei, a rúdelem comópontai a culóon túl helyezedne el. C V θ θ -5. ábra. A rugalmaan befogott nyomott-halított rúdelem merevégéne meghatározáa. θ θ V C -9-

30 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato -0- egyen θ é θ a é a rúdvége elfordítáa. A rugalma culóban létreövő relatív elfordulá miatt a culó mögötti rúdvége elforduláa θ é θ. A culó mögötti rúdvége nyomatéai felírhatóa az eddig megimert tabilitái függvényeel é merevégi ifeezéeel: ' ' c θ θ + (-6) ' ' c θ θ + (-7) A (-6) é (-7) rúdvégi nyomatéo felírhatóa a culó rugalma arateriztiáával i: ( ) ' c θ θ (-8) ( ) ' c θ θ (-9) A (-8) é (-9) ifeezéeben c C / é c C /, ahol C é C a [Nm/rad] dimenzióú rugóállandó. Az (-6)-(-9) egyenletrendzerből a rúdvégi nyomatéo ifeezhetőe: ' ' c ) ( θ θ + (-0) ' ' c ) ( θ θ + (-) A (-0) é (-) ifeezéeben a vezővel elzett módoított tabilitáfüggvénye a levezeté mellőzéével a övetező: ( ) + ' c c β (-) ( ) + ' c c β (-) ( ) ( ) c c ' β (-4) A fenti ifeezéeben a β paraméter a övetező: ( ) c c c c c β (-5) A zairodalomból további ülönlege eetere vonatozó megoldáo i imerte. Eredeti angol nyelvű zairodalomna teinthető Horn é erchant zerzőpáro híre önyve (HORN.R. ERCHANT W. 965). Több magyar nyelvű zairodalom i özefoglala az imert eeteet (pl. IVÁNYI. 995; HAÁSZ O. - IVÁNYI. 00). A legfontoabb ülönlege eete a övetező: erev végű rúdelem: a modell figyelembe vezi a rúdelem g é g hozú végeine töélete merevégét, ami például comólemez vagy iéelé modellezéét tezi lehetővé. Képléeny comópontú rúdelem: a modell figyelembe vezi a rúdelem végein eetlegeen ialauló merev-épléeny culót; a modellne a épléeny alapú tervezénél alalmazott eláráonál lehet elentőége (például ilyen a földrengévizgálatnál alalmazott puh-over elárá). g g

31 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato g g Kereztirányú megozló teherrel terhelt rúdelem: a modellre levezetett tabilitáfüggvénye alalmazáa eetén nem ell a rúdelemet rézere bontani, é így nem növezi az imeretlene (zabadágfoo) záma. Változó ereztmetzetű rúdelem: a halító nyomaté változáát övető változó gerincmagaágú rúdelem alalmazáával elerülhető a rézere (pl. állandó magaágú zegmenere) bontá, ami elentően cöenti a modell zabadágfoát. A ülönlege eetere levezetett megoldáo előorban a ézi zámítá pontoágána növeléét, illetve a ézi é gépi zámítá apacitá igényéne minimalizáláát zolgáltá. A ülönlege eete alalmazáával a zerezeti modelle zabadágfoa (imeretlen elmozduláo záma) elentően cöenthető volt. A mai orzerű zámítógépe é programo alalmazáával a zabadágfoo zámána ényzerű cöentée már nem mérvadó. Ugyanaor, a fenti modellene a ézi ellenőrző zámítáoban továbbra i elentő zerepe lehet. - élda Határozzu meg a - példában látható modell cr ritiu terhét, ha a rúdeleme végei rugalmaan befogotta! cr? C Kereztmetzet: HEA 00 Anyagminőég: S5 Rúdhoz: 6,0 m Rugalma befogá: C5000 Nm/rad C A ét rúd elfordítái merevége a eretaroban özegződi, így a eretaro elfordítáához züége ext ülő nyomaté az alábbi formában írható fel: ' ' + ( + ) θ ext,, Kritiu állapotban a eretaro elfordítáához ext 0 nyomatéra van züég, ezért ' ' ( + ) θ 0 --

32 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato A modell ihalott állapotában θ 0, ezért ' ' + 0 Az elű rúdban a ihalá pillanatában nem ébred normálerő, ezért 4 é c0,5. A eretaroba a rúdvég mereven öt be, ezért C. A (-9) zerint,49, így a ritiu állapot feltétele: ',49 A elű rúdban a ihalá pillanatában a nyomóerő egyenlő a ülő erővel, ezért ereü a erő azon értéét, amelynél a (-9) zerinti tabilitáfüggvény -,49 értéet vez fel: ρ cr,059 -,49 A elű rúd Euler-féle ritiu eree: 6m ; E A ritiu erő: π E I E, 0 8 5N cr ρ cr E N ; m 496N I, Az ábra a zerezet ihalott alaát mutata. A ihalái alaot érdeme özevetni a - élda eetén apott alaal, ahol a ruda mereven befogotta volta. 5 m 4. Az özetett zerezete tabilitávizgálata A tabilitáfüggvényeel özetett zerezete i vizgálhatóa. Ehhez célzerű az elmozdulá-módzerne nevezett mechaniai módzer é a mátrix-módzerne nevezett matematiai módzer ombinációából álló elárá alalmazáa. Az elárára a továbbiaban az elmozdulá-módzer megnevezét alalmazzu. Az elmozdulá-módzer alalmazáána lényege, hogy a zerezetet rúdelemere bontu, ahol az egye rúdeleme merevége imert. éldául íbeli zerezeti modelle eetében alalmazhatu a. é. zaazoban meghatározott tabilitáfüggvényeet, de alalmazhatun má elven alapuló íbeli vagy térbeli rúd végeelemeet i. A továbbiaban a tabilitáfüggvényeel leírt rúdeleme alalmazáára zorítozun... A zabadágfoo meghatározáa Amennyiben a rúdelemere oztott zerezet minden egye rúdelme megfelel egy olyan rúdelemne, amelyne merevége imert, aor meghatározhatu a modell zabadágfoát (azaz az imeretlen elmozduláoat). Az elmozduláo meghatározáánál alapvetően ét módzert övethetün: gépi módzer; ézi módzer. A továbbiaban ca a ézi módzerrel foglalozun, mert vizgálatainat ca egyzerű, ézzel i végrehatható zámítáora ívánu orlátozni. Indulun i abból, hogy a zerezeti modell i elű pontána a globáli (X;Z) íban beövetező elmozduláát a -6 ábra zerint három független elmozdulá omponen (zabadágfo; angolul: degree of freedom, a továbbiaban DOF) íra le. Eze rendre az u i é w i globáli irányú elmozduláo, é a θ i elfordulá (DOF). Amennyiben a modell comópontaina záma n, aor a modell --

33 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato zabadágfoaina záma DOFn. Ez azt elenti, hogy még a legegyzerűbb modelle eetén i elentő zámú zabadágfoal ellene dolgoznun. A zabadágfoo záma általában elentően cöenthető, ha élün az alábbi lehetőégeel: a rúdeleme özenyomódáána elhanyagoláából övetezően a megfelelő zabadágfoo özevonáa; zéru elmozduláú zabadágfoo izáráa; zimmetriából övetezően a megfelelő zabadágfoo özevonáa. Z w i θ i i u i X -6. ábra. Comópont zabadágfoai (DOF). A -7 ábra néhány zerezeti modell ézi zámítához felvehető zabadágfoait mutata. A zabadágfoo meghatározáánál éltün a fent felorolt egyzerűítéi lehetőégeel. θ θ θ u θ θ u DOF DOF DOF DOF θ u θ θ θ u 4 θ u 4 θ θ u θ θ DOF DOF6 DOF4-6. ábra. éldá a ézi zámítához felvehető zabadágfoo meghatározáára. --

34 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato.. A globáli egyenúlyi egyenletrendzer özeállítáa Az elmozdulá-módzer alalmazáa általánoágban az alábbi alaú globáli egyenúlyi mátrixegyenletre vezet: K U F (-6) A (-6) egyenletben U az imeretlen elmozduláo vetora, amelyne mérete megegyezi a modell zabadágfoaina zámával ( DOF), F a tehervetor, amelyne mérete azono az U vetor méretével, továbbá K a merevégi mátrix. A merevégi mátrix négyzete, é mérete zintén megegyezi a zabadágfoo zámával. A merevégi mátrix elemeit a megfelelő rúdeleme merevégeiből állítu öze. A (-) mátrixegyenlet minden ora egy egyenúlyi egyenletet elent, ahol az adott egyenlet mechaniai tartalmát az U elmozdulá vetor megfelelő eleméne mechaniai tartalma határozza meg. Amennyiben az elmozdulá eltolódá (u), aor az egyenlet erőegyenúlyi egyenlet, amennyiben az elmozdulá elfordulá, aor az egyenlet nyomatéi egyenúlyi egyenlet. A (-6) egyenúlyi mátrixegyenlet felíráát egy onrét példán ereztül mutatu be. Teintü a -7 ábrán látható zerezeti modellt, ahol feltüntettü a.. zaaz alapán felvett zabadágfooat. α H θ u θ DOF -7. ábra. A három zabadágfoú rúdzerezeti modell. Előzör állítu öze az U elmozdulá vetort. Ehhez rendezzü orba a három zabadágfoona megfelelő imeretlen elmozdulá omponent (a orrend tetzőlege): θ U θ (-7) u A (-7) elmozdulá vetorna megfelelő tehervetor: 0 F 0 F H u (-8) A (-8) tehervetorban é az é a elű comópontoban ható (elen eetben zéru értéű) ülő nyomatéo, F u az u elmozdulá omponen irányában ható ülő erő, elen eetben H. ivel a modell zabadágfoai özött nem zerepelne a comóponto függőlege elmozduláai (az ozlopo özenyomódá elhanyagolható), a é erő nem zerepelne a tehervetorban. -4-

35 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato A K merevégi mátrix felíráa már nagyobb rutint igényel. Az elárá megértée érdeében, elő lépében, íru fel a három egyenúlyi egyenletet:. egyenlet: nyomatéi egyenúlyi egyenlet az elű comóponton: K θ + K θ + K u 0 ahol a K merevégi eleme fiziai tartalma rendre a övetező: K K - a θ é θ u0 elmozduláo alapán apott deformált alaból zármazó rúdvégi belő nyomatéo özege a elű comóponton, az adott példa eetén (-8a ábra) : K,, +,, + - a θ é θ u0 elmozduláo alapán apott deformált alaból zármazó rúdvégi nyomaté az elű comóponton, az adott példa eetén (-8b ábra): K,, c K - az u é θ θ 0 elmozduláo alapán apott deformált alaból zármazó rúdvégi nyomatéo özege az elű comóponton, az adott példa eetén (-8c ábra): K,, ( + c ). egyenlet: nyomatéi egyenúlyi egyenlet a elű comóponton: θ + K θ + K u 0 K ahol a K merevégi eleme fiziai tartalma rendre a övetező: K K K K - a θ é θ u0 elmozduláo alapán apott deformált alaból zármazó rúdvégi belő nyomatéo özege a elű comóponton, az adott példa eetén (-8d ábra) : K ",, +,, + - az u é θ θ 0 elmozduláo alapán apott deformált alaból zármazó rúdvégi nyomaté a elű comóponton, az adott példa eetén (-8e ábra): " K,,. egyenlet: erőegyenúlyi egyenlet az özevont - elű comópontoon: θ + K θ + K u H K ahol a K merevégi eleme fiziai tartalma rendre a övetező: K K K K K - az u é θ θ 0 elmozduláo alapán apott deformált alaból zármazó rúdvégi nyíróerő özege az é elű comópontoon, az adott példa eetén (-8f ábra): ( + c ) " K V,, + V,, + ( π ρ) m -5-

36 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato -6- A fenti ifeezéeben é a -8 ábrán a belő é V erő indexelée a övetező zabályt öveti: elő index az igénybevétel helyét, máodi index az igénybevételt iváltó elmozdulát, harmadi index a rúdelemet elöli. A fentie alapán felírhatu a (-6) egyenúlyi egyenlet mátrix alaát: ( ) ( ) ( ) ( ) H 0 0 u m c c c c c " " " " θ θ ρ π (-9) A (-9) egyenúlyi egyenletrendzer megoldáával a övetező zaazban foglalozun. -8. ábra. A belő nyomatéo é nyíróerő egyégnyi elmozduláoból... Egyenúlyi egyenletrendzer megoldáa A (-9) egyenúlyi egyenletrendzer zimmetriu é nemlineári, ugyani a K merevégi mátrix elemei a rudaban ébredő normálerőtől függene. Amennyiben a obb,, θ,,,, c θ,, (+c ) / u,,,,,, / a) b) c) d) e) ( ),, m c V + ( ),, " V ρ π

37 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato oldalon az F tehervetor nem zéru, aor a teherparaméter növeléével a modell elmozduláa (deformációa) i növezi, ami a normálerő elozláána változáával ár. Ebben az eetben a modell vieledée a -5 ábrán vázolt határponto vieledéhez haonlít. ivel az egyenúlyi egyenletrendzert a i elmozduláo elve alapán írtu fel, az egyenúlyi útvonal végtelenhez tartó elmozdulánál tart az F max tehermaximumhoz (-9 ábra). A modelle ilyen típuú nemlineári vizgálatával a továbbiaban nem foglalozun. F F cr harmadrendű megoldá F max máodrendű megoldá ineári tabilitávizgálat eredménye u -9. ábra. A rúdzerezeti modell nemlineári vieledée é a ritiu terhe. Amennyiben a (-9) egyenúlyi egyenletrendzer obb oldalán a tehervetor zéru, azaz a példán eetében H 0, aor a mátrixegyenlet nem triviáli (U 0) megoldáa a K U 0 (-40) det( K ) 0 (-4) feltételre vezet. Amennyiben az egyparamétere teherrendzer teleíti a (-4) feltételt, aor a teher megfelel az - ábrán vázolt zimmetriu tabili elágazához tartózó ritiu teherne. A rugalma tabilitávizgálat (-4) zerint történő végrehatáa orán feltételezhetü, hogy ritiu állapotban a rudaban ébredő normálerő megegyezne a ezdeti (előrendű) normálerőel. A zámítá néhány (legfelebb három) zabadágfoig ézzel i önnyen végrehatható (-4 élda). -7-

38 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato -4 élda Határozzu meg az ábrán vázolt zerezeti modell ritiu terhét! cr? Kereztmetzet: HEA 00 Anyagminőég: S5 Rúdhoz: 6,0 m A modell vieledée (ihaláa) az alábbi ét független elmozduláal (zabadágfoal) írható le, ahol θ a arocomópont elforduláa é u a gerenda comópontaina özevont eltolódáa: θ u θ U u A modell merevégi mátrixa a.. zaaz alapán az alábbi ábra egítégével állatható öze: θ ; u0 K " " + " " ( π ρ ) " u ; θ 0 / ( -π ρ ) / Kezdetben az elű rúdban nem ébred normálerő, ezért " A ét rúd azono ereztmetzetű é hozú, ezért A merevégi mátrix a -e index elhagyáával az alábbi formában írható: -8-

39 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato " " ( + ) K " " ( π ρ ) A ritiu állapot feltétele, hogy a merevégi mátrix determinána zéru értéet vegyen fel: " " " det( K ) [( + ) ( π ρ ) ] cr 0 Tehát ereü a ρ cr értéét, ahol a apco záróelben lévő ifeezé zéru értéet vez fel. A zámítá például próbálgatáal (try & error) i elvégezhető: ρ c πρ det(k) 0,0,840 0,5,755,84,448 0,0,86 0,54,7,8 0,844 0,40,8 0,57,7,8 0,44 0,50,799 0,540,69,480-0,5 0,44,807 0,58,70,4 0,004 A zámítá zerint a ρ cr 0,44 érténél a merevégi mátrix determinána özelítőleg zéru értéet vez fel, azaz a modell ritiu állapotba erül. A ritiu erő: E cr υ π E I 5N ρ 07N cr ρ cr E,65 A ihalá alaát az ábra mutata..4 Özefoglalá A feezetben nyomóerővel terhelt é íban elmozduló rúdeleme merevégét határoztu meg egyenúlyi differenciálegyenlet egítégével, a máodrendű elmélet özelítő feltevéei alapán. A falago merevégeet a normálerőtől függő tabilitáfüggvényeel feeztü i. Az így meghatározott merevége a máodrendű elmélet eretein belül érvényee. Amennyiben a normálerőt zéruna válaztu, aor a tabilitáfüggvénye értéei az előrendű elmélet zerinti merevégi ontanoat adá meg. A máodrendű merevégeet befogott é culó végű rúdelemre i meghatároztu. Bemutattu, hogy a máodrendű merevége zámo ülönlege eetre i meghatározhatóa, é a megfelelő ifeezée a zairodalomban megtalálhatóa. egállapítottu, hogy az egyre özetettebb megoldáoat a zámítá apacitáigényéne minimalizáláa, azaz az imeretlene zámána cöentée ényzeríttette i. Kimondtu, hogy a mai zámítái apacitá mellett a tabilitáfüggvénye megoldáo gyaorlati elentőége elentően cöent. Ugyanaor azt i megállapítottu, hogy a mérnöépzében didatiai zempontból fontona tartu az alapeete imeretét é ézi zámítában történő alalmazáát. Bemutattu az özetett rúdzerezeti modelle vizgálatána általáno módzertanát ézi zámítá eetére. Az elárát a matematiából imert mátrix-módzer é a mechaniából imert elmozdulá-módzer ombinációára alapoztu. Bemutattu, hogy az elárá ét alapfeladatra vezet. Amennyiben a tehervetor nem zéru, aor határponto -9-

40 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato elágazái feladatra utun, amely nemlineári egyenletrendzer megoldáára vezet. Amennyiben a tehervetor zéru, aor a töélete modell ritiu elágazáána feladatára utun, ami a merevégi mátrix determinána elő gyöéne meghatározáát elenti. A módzer alalmazáát zámpéldával illuztráltu. -40-

41 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato. Térbeli tabilitáveztéi módo A rúdzerezete térbeli vieledééne van egy özö ellemzőe: a rúdeleme tengelyei örül elcavarodhatna. Ezért a térbeli tabilitáveztéi módo vizgálata előtt a rúdelem cavaráával ell foglaloznun. A cavará problémáána megoldáa után térhetün rá a térbeli tabilitáveztéi módo vizgálatára.. rizmatiu rúdelem cavaráa Az egyene tengelyű é állandó ereztmetzetű (prizmatiu) rúdelem cavarááról bezélün, ha a rúd tengelye örül műödő cavaró nyomaté hatáára a rúdelem ereztmetzetei a tengely örül elfordulna. A cavarána ét alapeetét ülönböztetü meg: egyzerű (vagy St.Venant-féle) cavará; gátolt cavará. A cavará rézlete mechaniai leíráa a zairodalomban megtalálható. Tetzőlege véonyfalú ereztmetzetere vonatozó átfogó megoldát eredendően Urban é Vlazov publiált (УРВАН И. В. 955; VASZOV V.Z. 96). unái nyomán zámo irodalom foglalozott a témával. Az angol nyelvű irodalomból a övetezőet emelnén i: (KOBRUNNER F.C. BASER K. 966); (CHEN, W. - ATSUTA, T. 977b); (KOBRUNNER F.C. - HAJDIN N. 99.). A magyar nyelvű irodalomból a övetezőet ell megemlítenün: (CSEÁR Ö. HAÁSZ O. RÉTI V. 965.); (IVÁNYI. 995.). Az alábbiaban a cavará problémáát a gyaorlat oldaláról özelítü meg. ellőzzü a zairodalomban zámo helyen megtalálhatóa levezetéeet, é ca a legfontoabb fogalmara é özefüggéere oncentrálun... Az egyzerű cavará Egyzerű, vagy St.Venant-féle cavaráról bezélün, amior a cavaró igénybevételből a rúdelem valamennyi ereztmetzetében ca nyírófezültég eletezi. Ez azt elenti, hogy a cavará hatáára a ereztmetzet egyetlen alotóa em zenved relatív nyúlát (vagy rövidülét), é így nem eletezne normálfezültége. Enne az eetne általában ét alapfeltétele van: állandó cavaró igénybevétel a rúd hoza mentén; ereztmetzet zabad öblöödée. A cavará orán zemben a halítáal, ahol a ereztmetzete ío maradna a ereztmetzeti ponto ilépne a íuból: a ereztmetzet öblöödi. Amennyiben állandó cavarónyomaté mellett az öblöödé zabadon létreöhet, aor az alotóban nem eletezne normálfezültége. Az egyzerű cavarát a - ábra egítégével mutatu be. Vizgálu az I ereztmetzetű rúdelemet, amior a végein ellentéte előelű, de azono nagyágú cavarónyomaté hat. A -b ábra a numeriu módzerrel végrehatott cavarái íérlet eredményét mutata. Az egyzerű cavarára vonatozó íérletből az alábbi általánoítá vonható le: a ereztmetzet minden alotóa egyene marad; a ereztmetzete öblöödne; a ereztmetzeteben ca nyírófezültég eletezi. -4-

42 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato a) x b) c) -. ábra. Az egyzerű (St.Venant-féle) cavarái modell: a) modell; b) cavarái deformáció; c) öblöödé. (övlemeze: 00-; gerinclemez:88-0; rúdhoz: 6000mm; anyagminőég: S5; cavarónyomaté: x 0 Nm) A ereztmetzete öblöödéét a -c ábra zemlélteti. I vagy H zelvénye eetén az öblöödé az övlemeze pontaina a ereztmetzetre merőlege irányú elmozduláában elentezi. Az elméleti rugalmaágtan özefüggéei alapán levezethető, hogy az egyzerű cavarána itett, vizonylag véony lemez ereztmetzetében a nyírófezültég a özépvonalban zéru, é a lemezoldala felé haladva lineárian változi (- ábra). b τ SV,max t -. ábra. Az egyzerű cavarából zármazó nyírófezültég elozláa a véony lemezeben. -4-

43 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato A - ábrán vázolt St.Venant-féle nyírófezültég legnagyobb értée: x τ SV,max t (-) I SV A (-) ifeezében x a ülő cavarónyomaté, I SV a ereztmetzet St.Venant-féle cavarái inercianyomatéa, é t a falvatagág. Véony lemeze eetén a cavarái inercianyomatéot özelítőleg az alábbi ifeezéel zámíthatu: I SV b t (-) Az egyzerű cavarána ninc itüntetett tengelye, ezért a véony lemezeből özetett ereztmetzete cavarái vieledée ól leírható az alotó lemeze cavaráána özegeént (- ábra). -. ábra. A véonyfalú özetett ereztmetzete egyzerű cavaráána modelle. ivel a - ábra zerinti fezültégelozlá a lemeze végein (illetve a lemeze catlaozáánál) zavart, ezért az özetett ereztmetzet cavarái inerciáa ézi zámítá eetén az alotó lemeze (-) zerinti inerciáa módoított özegével zámítható i: I SV c b t (-) A (-) ifeezében a c módoító tényező a -4 ábra alapán vehető fel (pl. CSEÁR Ö. HAÁSZ O. RÉTI V. 965.). ereztmetzet c t 0,6 b,, -4. ábra. A c módoító tényező értéei. -4-

44 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato A ereztmetzet öblöödée a lemeze özépvonalában fevő pontona az (y;z) ereztmetzeti íra merőlege u(y,z) elmozduláával írható le. Az egyégnyi elcavarodából eletező elmozduláoat öblöödéi mérténe nevezzü: [ m ] u( y,z ) ( y,z ) (-4) ϑ A (-4) ifeezében ϑ [/m] az egyégnyi rúdhozra utó falago elcavarodá. Az (y,z) öblöödéi mérté, egyégnyi falago elcavarodát feltételezve, megada az (y,z) oordinátá által meghatározott ereztmetzeti pont rúdtengely irányú elmozduláát. Az (y,z) öblöödéi mérté a ereztmetzeti pont harmadi oordinátáa, amely haonló zerepet tölt be a cavarái fezültége zámítáánál, mint a halítái tengelyetől mért y é z távolágo a halítái fezültége zámítáánál. egyen p az A ereztmetzeti pontot tartalmazó alotólemez távolága a D cavarái tengelytől (-5 ábra). Az A pontól d távolágra lévő pontba áttérve az öblöödéi mérté megváltozi: d p d (-5) A (-5) ifeezé zerint az alotólemez A é B ponta özött az öblöödéi mérté megváltozáa (-5b ábra): B B B A d A A p d F (-6) BA a) d b) A B A F BA p D D +c -5. ábra. Az öblöödéi mérté megváltozáa ét ereztmetzeti pont özött. Amennyiben adott a cavará tengelye é a ereztmetzet özépvonala egy pontában az öblöödé mértée, aor a (-6) alapán a tele ereztmetzetre izámítható az öblöödéi mérté. egyen adott a rúdelem cavarái tengelye, é legyen ϕ(x) a tengely elcavarodáát leíró függvény. Egyzerű cavará eetén a ülő cavaró nyomatéal a (-) zerinti nyírófezültége T SV eredőe (belő cavarónyomaté) tart egyenúlyt: dϕ( x ) TSV G ISV (-7) dx A (-7) ifeezében G az anyag nyírái rugalmaági modulua, I SV a ereztmetzet (-) zerint meghatározott cavarái inercianyomatéa. A térbeli tabilitáveztéi módo vizgálatában a (-7) ifeezéne fonto zerepe lez. -44-

45 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato.. A gátolt cavará Egyzerű cavará eetén a cavarónyomaté állandó é a rúdelem ereztmetzetei öblöödne (a ereztmetzeti ponto ilépne a íuból), de az alotó hoza nem változi meg, é ezért az öblöödé minden ereztmetzetben egyforma: u ϑ (-8) Amennyiben a - ábrában vázolt rúdelem x0 végénél az elcavarodá értéét ϕ(0)0 értére válaztu, aor az x távolágra lévő ereztmetzet elcavarodáa: ϕ ( x ) ϑ x (-9) A (-9) zerint az elcavarodái függvény lineári, ezért a cavarái tengelytől r távolágra lévő alotó egyene marad, de α zöggel elfordul: α r ϑ (-0) Amennyiben a ϑ falago elcavarodá a tengely mentén változi, aor a (-0) zerint az alotó α elfordulái zöge i változi, amine öveteztében az alotó meggörbül (ivéve a cavarái tengelyt, amelyi egyene marad). A cavarána ezt a módát gátolt cavarána nevezzü. A gátolt cavarára mutat példát a -6 ábra, ahol egy villá éttámazú tartót özépen x ülő cavarónyomaté terhel. A numeriuan végrehatott cavarái íérletből ól látzi, hogy az övlemeze alotói meggörbülne (-6b ábra). a) x b) -6. ábra. Az egyzerű cavarána itett gerenda: a) cavart rúdelem modelle; b) cavarái deformáció felülnézetben. (övlemeze: 00-; gerinclemez:88-0; rúdhoz: 6000mm; anyagminőég: S5; cavarónyomaté: x 0 Nm) A fentie alapán imondhatu, hogy gátolt cavará eetén a falago elcavarodá változi a rúdelem mentén: dϕ( x ) ϑ ( x ) (-) dx A ereztmetzeti ponto íból való ilépée (öblöödé) a (-) alapán ifeezhető: dϕ( x ) u( x ) ϑ( x ) (-) dx Az öblöödé megváltozáa a ereztmetzettől dx távolágban: d ϕ du dx (-) dx Az alotó falago nyúláa ifeezhető a (-) ifeezéel: -45-

46 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato du d ϕ ε (-4) dx dx A (-4) falago nyúlából öblöödéi normálfezültég eletezi: σ d ϕ E ε E (-5) dx Az öblöödéi normálfezültég az alotó mentén változi. A növeményt a τ öblöödéi nyírófezültég ellenúlyozza (-7 ábra): dσ d ϕ τ t d E S t (-6) dx dx t ahol S t d (-7) σ dx τ τ τ d + σ σ x dx ábra. Az öblöödéi normálfezültég változáát ellenúlyozó nyírófezültég ábrázoláa. A (-7) ereztmetzeti ellemzőt öblöödéi tatiai nyomaténa nevezzü A (-6) öblöödéi nyírófezültég a falvatagág mentén állandó, é párhuzamo a lemez özépfelületévtel. Kimutatható, hogy az öblöödéi nyírófezültége eredőe a T öblöödéi cavarónyomaté: T τ t p d (-8) d A (-8) ifeezében p a nyírófezültég ara a cavarái tengelyre vonatoztatva (-5a ábra). A (-5) é a (-6) felhaználáával a (-8) alábbi alaban írható: d ϕ( x ) T E t d (-9) dx Vezeü be az öblöödéi inercianyomatéot: I t d (-0) A (-0) felhaználáával az öblöödéi cavarónyomaté: T d ϕ( x ) E I (-) dx -46-

47 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato Vezeü be a bimoment ( ettő nyomaté) fogalmát: d ϕ B( m ) σ t d E I (-) dx A (- ) é (-) felhaználáával íru fel az öblöödéi fezültége gyaorlatban alalmazott alaait: B T S σ é τ (-) I I t Emellett vegyü ézre az öblöödéi cavarónyomaté é a bimoment apcolatát: db T (-4) dx A térbeli tabilitáveztéi módo vizgálatában a (-) ifeezéne fonto zerepe lez. áttu, hogy az öblöödéi mérté függ a cavarái tengely helyétől, amit eddig adottna feltételeztün. Azt i láttu, hogy a gátolt cavarából eletező σ öblöödéi normálfezültég elozláa azono az öblöödéi mérté elozláával. ivel a rúdelemre ca cavarónyomaté hat, ezért az öblöödéi normálfezültégene egyenúlyban lévő erőrendzert ell alotniu. Ebből övetezően züége, hogy az öblöödéi normálfezültége eredőe é célzerűen az y é z tengelyere vett nyomatéa zéru nagyágú legyen: σ t d 0 σ y t d 0 σ z t d 0 A (-5) ifeezéeet a ereztmetzeti állandó iemeléével egyzerűíthetü: t d 0 y t d 0 z t d 0 (-5) (-6) Kereü azt a itüntetett ereztmetzeti pontot (cavarái tengelyt), amelyhez tartozó elozlá ielégíti a (-6) feltételi egyenleteet. Ehhez vegyün fel a tetzőlege (y ;z ) ereztmetzeti ponthoz tartozó D cavarái tengelyt, é határozzu meg a hozzá tartozó elozlát. Imert, hogy ha az (y ;z ) pont által meghatározott tengelyről áttérün az (y ;z ) pont által meghatározott D tengelyre, aor az ahhoz tartozó öblöödéi mérté az alábbi ifeezéel határozható meg: ( y y ) z ( z z) 0 ( y,z ) (-7) + y + ivel a (-7) három imeretlent (y,z é 0 ) tartalmaz, ezért a (-6) zerinti három független feltétel elegendő az imeretlene meghatározáára. -47-

48 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato A fentie zerint meghatározott (y ;z ) pont a ereztmetzet cavarái (vagy máéppen nyírái) özépponta. A cavarái özéppont által meghatározott D tengely a rúdelem cavarái tengelye. A D tengely az egyetlen olyan alotó, amely a cavará folyamán egyene marad. A gátolt cavaráal özefüggő ereztmetzeti ellemzőet é fezültégeet a ereztmetzet cavarái özéppontához tartozó D cavarái tengelyre meghatározott öblöödéi elozlá alapán ell izámítani. A cavarái özéppont helye a gyaorlatban előforduló ereztmetzete többégénél előre imert, vagy rézben imert: étzereen zimmetriu ereztmetzete eetén a D cavarái özéppont egybeei a C úlyponttal (-8a ábra); egyzereen zimmetriu ereztmetzete eetén a D cavarái özéppont a zimmetriatengelyen helyezedi el; a ereztmetzeti alatól függően a D pont a ereztmetzeten belül (-8b ábra), vagy azon ívül található (-8c ábra). a) D C y b) c) D D C C D C -8. ábra. A cavarái özéppont helye a leggyaoribb ereztmetzete eetében. A tetzőlege ialaítáú véonyfalú zelvénye cavarái ereztmetzeti ellemzőine zámítáára a zairodalomból imert eláráo é éplete alapán történhet. Eze özül iemelü Kolbrunner é Baler önyvét, ahol zámítógépe programozára i alalma ézi agoritmut találun (KOBRUNNER F.C. BASER K. 966), illetve Cellár, Haláz é Réti magyar nyelvű önyvét, ahol táblázatoba gyűtött épleteet özölte a ereztmetzeti ellemző zámítáára... A gátolt cavará differenciálegyenlete Gátolt cavará eetén az x ülő cavaró nyomatéot az egyzerű cavarához tartozó T SV belő cavaró nyomaté é a gátolt cavarához tartozó T öblöödéi belő cavaró nyomaté együtteen ellenúlyozza: x TSV + T (-8) A (-7) é a (-) figyelembe vételével a ülő é a belő cavaró nyomatéo egyenúlyát ifeező differenciálegyenlet az alábbi alaban írható: x G I ϕ' E I ϕ''' (-9) SV A (-9) egyenletben φ φ(x) a cavarái tengely elcavarodáát leíró elmozdulái függvény, é ( ) az x zerinti deriváltat elzi. A (-9) harmadrendű lineári differenciálegyenlet megoldáával zámo zairodalom foglaozi. Eze özül i ell emelnün Kollbrunner é Hadin önyvét, ahol a megoldáoat megbízható formában találu meg (KOBRUNNER F.C. - HAJDIN N. 99). Ezeel a -48-

49 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato megoldáoal a továbbiaban nem foglalozun, mert nem tartozna a zerezeti eleme térbeli tabilitávizgálatána tárgyörébe. A továbbiaban zámunra a (-9) egyenletne lez iemelt zerepe.. A térbeli elcavarodó ihalá Vizgálu a -8a ábrán látható özpontoan nyomott rúdelemet, amelyne végei culóa é elcavarodá ellen villáan megtámaztotta. A rúdelem ereztmetzete legyen a -8b ábrán vázolt véonyfalú azimmetriu U zelvény. A rúdelem a cr 99,08N erőnél a -8c ábrána megfelelően ihali. a) b) c) U 80x60x00x6 D -8. ábra. A térbeli elcavarodó ihalá bemutatáa numeriu íérlettel. A -8 ábrán vázolt numeriu íérlet eredménye azt mutata, hogy az általáno alaú véonyfalú rúdelem özponto nyomára a cr erőnél ihali. Kihalá özben a villá támazo özötti ereztmetzete eltolódna é elcavarodna. A ihalána ezt a formáát térbeli elcavarodó ihalána nevezzü. A rúdelem térbeli alaa leírható a v(x) é w(x) elmozdulá függvényeel, valamint a φ(x) elcavarodái függvénnyel. A.. zaaz alapán tudu, hogy a rúdelem ereztmetzeteine elcavarodáa a D cavarái özéppont örül történi. A -9 ábra alapán felírhatu az C úlypont elmozduláát: v C w C v + ϕ z w ϕ y (-0) -49-

50 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato z (w) v C φ z z C v w D y -φ y φ w C y (v) -9. ábra. A C úlypont eltolódáa (v C,w C ) a független v, w é φ elmozduláoal ifeezve. A (-0) ifeezéeben v é w az y é z tengelye irányában értelmezett elmozduláo, φ az elcavarodá, y é z a D cavarái özéppont oordinátái a úlyponti oordináta rendzerben. A úlypont elmozduláa miatt a nyomóerő nyomatéot ooz a ét úlyponti főtengelyre: y vc ( v + ϕ z ) (-) w w ϕ y z C ( ) A rúdelem alotói a v(x) é w(x) elmozduláo öveteztében meggörbülne, amine öveteztében a erőne a ereztmetzeti íba eő v é w omponenei cavaró nyomatéot oozna a D cavarái özéppontra nézve (.0 ábra): x, vw ( z v' y w' ) (-) x (u) x (u) w N v C N w C w C y v D z v y (v) z (w) -0. ábra. A nyomóerő omponeneine cavaró nyomatéa.. A φ elcavarodá miatt a rúdelem alotói α zöggel elferdülne: α a ϕ' (-) A (-) ifeezében a az alotó é a cavarái özéppont özötti távolág. Az alotóban σ t d falago erő műödi, amelyne a ereztmetzeti íba eő σ t d α nagyágú omponene az a aron falago cavaró nyomatéot ooz: -50-

51 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato d x, ϕ a σ t d ϕ' (-4) A falago cavaró nyomatéot a tele ereztmetzetre özegezve: x, ϕ ϕ' σ a t d (-5) A (-5) ifeezéből általánoított ifeezére a zairodalom Wagner-tényezőént hivatozi: K σ a t d (-6) Vezeü be a cavarái özéppontra vonatoztatott polári inercianyomatéot é polári inerciaugarat: I a t d p (-7) I p i iy + iz + y + z A A (-5) cavarónyomaté a (-7) paramétere felhaználáával az alábbi alaban írható: x, ϕ i ϕ' (-8) A rúdelem tele deformációa öveteztében a erő által oozott cavarónyomaté a (-) é a (-8) özegzééből apható: x ( z v' y w' + i ϕ' ) + (-9) x,vw A térben ihalott rúdelem globáli egyenúlyát a ülő é belő halító nyomatéo, valamint a ülő é belő cavaró nyomatéo egyenúlya feezi i: y z x y z x x, ϕ (-40) A (-40) egyenleteben y, z é x a belő cavaró nyomatéo. Felhaználva a (-), (- ) é (-9) ifeezéeet a (-40) egyenúlyi egyenletrendzer az alábbi alaban írható: E I E I E I y z v" + w" + ϕ''' G I ( v + ϕ z ) ( w ϕ y ) SV 0 ϕ' + 0 ( z v' y w' + i ϕ' ) 0 (-4) A (-4) egyenlete a térbeli elcavarodó ihalát leíró differenciálegyenlet rendzert alotá. Trahair munáát övetve (TRAHAIR N.S. 99) a megoldát a étculó é villá megtámaztáú rúdelem peremfeltételeit ielégítő elmozdulá függvénye alaában ereü: π v C in x π w C in x (-4) π ϕ C in x A (-4) elmozdulá függvényene a (-4) egyenletebe történő behelyetteítée után ereü - a zérutól ülönböző C, C é C állandó mellett - a nem-triviáli megoldát. -5-

52 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato A feladat a (-4) egyenletrendzer együtthatóiból alotott mátrix determinánána zéru értééne meghatározáára vezet: det z cr,z cr,y y i z y ( ) A (-4) egyenletben a referencia erő: π E I x ( ) + G I SV i x 0 A (-4) az alábbi harmadfoú egyenletre vezet: f ( ) + i E I (.4) y ; y π E I z é z π (-44) ( i y z ) { i ( x + y + z ) z y y z} ( + + ) i 0 y z z x x y x y z + (-45) Bizonyítható, hogy a (-45) harmadfoú egyenletne három (, é ) való gyöe van, é a legiebb gyöe a cr min(,, ) ritiu erő, amelyi mindig iebb (legfelebb egyenlő) a (-44) zerinti referencia erő legiebbiénél. - élda Számítu i a -8 ábrán látható véonyfalú nyomott rúd ritiu ereét a térbeli elcavarodó ihalá eetére levezetett (-45) özefüggé alapán! Kereztmetzeti ellemzõ (ConSteel program) I y : mm 4 I z : mm 4 i y : 75.5 mm i z : 4.7 mm y : 88.9 mm z : 5.4 mm I SV : 78 mm 4 I : mm 6 i : i y + i z + y + z 4. mm Geometriaia é anyagi ellemzõ rúdhoz : 4000 mm rugalmaági moduluz E :. 0 5 N mm υ : 0. G : E ( + υ) N mm π E I y π E I z referencia erõ cr.y : 894 N cr.z : cr.x : i G I SV π E I + 8 N 607 N -5-

53 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato Kritiu erõ meghatározáa iterációval : 99.6 N β : 0 8 N mm f : i y z 04 β f ( cr.x + cr.y + cr.z ) i cr.z y cr.y z : 4795 β f : i ( ) cr.y cr.z + cr.x cr.z + cr.x cr.y 957 β f 4 : i cr.x cr.y cr.z 5876 β f : f f + f f 4 0 A ritiu erőt az f() függvény elő gyöénél apu meg: cr 99,6 N f() Amennyiben a ereztmetzet egyzereen zimmetriu, é a zimmetria tengely az y főtengely, aor z 0 é a (-45) harmadfoú egyenlet egyzerűödi: f ( ) ( ) { ( i + y ) ( ) ( ) y } 0 z p y x A (-46) harmadfoú egyenlet gyöei a övetező: ahol p, y z ( + ) ± ( + ) x i i + i. z y x (-46) i p y i + p y 4 i i + x p y p y Az egyzereen zimmetriu ereztmetzetere vonatozó (-47) megoldá elemzée a övetező megállapítáora vezet: a ihalá a z, é erő özül a legiebbinél övetezi be; a ihalá móda íbeli a z erő mellett, vagy térbeli a vagy erő mellett; a térbeli ihalá az y tengely örüli ihalá é az elcavarodá eredőe. Amennyiben a zimmetriatengely az y helyett a z tengely, aor a (-46) é (-47) ifeezéeben az y é z felcerélődi. (-47) -5-

54 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato - élda Határozzu meg az 4m hozú özpontoan nyomott, étculó é egyzereen zimmetriu véonyfalú U zelvényű rúdelem ritiu terhét! A rúdelem három ülönböző ereztmetzeti méretével zámolun. Ezeet az alábbi ábra mutata. Vegyü ézre, hogy az a) é a b) ereztmetzete eetén az y zimmetriatengely az erő tengely, de zemben az a) ereztmetzettel, a b) ereztmetzetnél az erő- é gyenge tengely inerciáa özel ei egymához, továbbá a c) ereztmetzetnél a főirányo 90 foal elfordulna, é a zimmetria tengely a z gyenge tengely. A zámítái eredményeet a rézlete mellőzéével táblázato formában adu meg. a) 60x80x6 b) 60x60x6 c) 60x40x6 y y z z z z y adato mértéegyég zelvény a) b) c) mm 4000 E N/mm 0000 G I y 0 6 mm 4 7,6,0, I z,46 7,699 8,7 i y 6,9 68, 78, i y mm 6,9 5,4 70,5 y 47,9 9,9 0 z , I SV 0 mm 4,60 5, 46,54 I 0 9 mm 6 4,768,80 0,7 i p mm i x y N z 48, , ,8 09, ihalái ala íbeli térbeli térbeli -54-

55 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato A ihalához tartozó ritiu erőet a táblázatban beereteztü. A ihalá alaát numeriu íérlettel határoztu meg. átható, hogy az a) zelvény eetén a ihalá íban történi, mivel van határozott gyenge tengely. A b) zelvény eetén az erő- é a gyenge inerciá özel ene egymához, ezért a ihalá már térben történi. A c) zelvény eetén a tengelye 90 foal elfordulna, a zimmetriatengely a z gyenge tengely, é a ihalá zintén térben történi.. A ifordulá Vizgálu a -a ábrán látható villá éttámazú gerendát. A gerenda zelvénye hegeztett I zelvény (övlemeze: 00-; gerinclemez: 88-8; anyagminőég: S5), a gerenda ét vége elmozdulá ellen culóan, elfordulá ellen villáan megtámaztott. A gerendát özépen, a függőlege zimmetriai íban - a felő öv mentén - oncentrált erő terheli. a) b) -9. ábra. A halított gerenda iforduláa: a) modell; b) ifordulái ala. Végezzün el a gerenda numeriu íérletét. A erő növeléével a gerenda lehaláa a függőlege zimmetria íban növezi, mad a cr 40,85N erőnél a gerenda hirtelen ifordul. A -9b ábra a ifordult tartó alaát mutata. A modell tabilitáveztéi vieledée megfelel az.. zaazban tárgyalt zimmetriu é tabili elágazái módna. Az elágazá pillanatában a ritiu erőből eletező legnagyobb halító nyomatéot ritiu nyomaténa nevezzü, amely a példán eetében a háromzög alaú nyomatéi ábra cúcána értée: cr cr (-48) 4 Célul tűzzü i, hogy a gerenda mentén tetzőlege elozláú nyomatéra határozzu meg az cr ritiu nyomaté értéét. A feladat megoldáát Clar é Hill eredeti munáa nyomán -55-

56 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato mutatu be (CARK J.W. HI H.N. 960). A megoldá az energiamódzeren alapul, ezért előzör a módzert mutatu be, mad utána rátérün a feladat ténylege megoldáára... Az energiamódzer... Az energiatétel Vizgálun egy izárólag onzervatív erőel terhelt homogén, izotróp é töéleteen rugalma rendzert. Jelöle Π b a rendzer belő potenciáli energiáát é Π a ülő potenciálát. A rugalma rendzer tele potenciáli energiáa: Π Π b + Π (-49) A (-49) potenciáli energia a rugalma rendzer egyenúlyi útvonala mentén - a fenti feltétele mellett - állandó értéű. A rugalma rendzer alaváltozáán a belő erő b munát végezne. Ezzel az alaváltozái munával azono az alaváltozái energia, ami a belő potenciáli energia megváltozáát elenti: Π b b (-50) A rendzer elmozduláán a ülő erő munát végezne, ami a rendzer ülő potenciálána megváltozáához vezet. Π (-5) Egyenúlyi állapot eetén a (-49) ifeezé állandó értéűégéből az alábbi tétel övetezi: Π b (-5) A (-5) özefüggét energiatételne nevezzü. A tétel azt elenti, hogy a rugalma rendzer belő potenciáli energiáána megváltozáa egyenlő a ülő erő munáána növeményével. - élda Határozzu meg az - ábrán vázolt töélete modell ritiu terhét a (-5) energiatétel alalmazáával. A rugalma rendzer elmozdult állapotában a belő potenciáli energia megváltozáa egyenlő a nyomatéi rugó alaváltozái energiáával, azaz a rugóerő alaváltozái munáával: Π b B ϕ A rugóban ébredő nyomaté, ϕ é ezért a rugalma rendzer belő potenciáli energiáána megváltozáa: Π B ϕ A ülő erőne az elmozduláon végzett munáa: v A v elmozdulá az alábbia zerint írható fel: v coϕ Vegyü a ozinuz függvény orána elő ét tagát, -56-

57 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato ϕ coϕ é íru fel az elmozdulát: ϕ ϕ v Végeredményben a ülő erő munáa: ϕ K A (-5) energiatétel értelmében a belő potenciáli energia megváltozáa egyenlő a ülő erő munáával: Π B ϕ ϕ A cr erőhöz tartozó elágazái pont örnyezetében a φ elmozdulá nem zéru, ezért az egyenlet mindét oldalát elozthatu φ -el, é ifeezhetü a cr ritiu erőt: cr átható, hogy a ritiu erő megegyezi az.. zaazban apott eredménnyel, ahol a tatiai módzert alalmaztu.... A virtuáli elmozduláo tétele A virtuáli (lehetége) elmozduláon a rugalma rendzer peremfeltételeivel özeférő tetzőlege é végtelen ici elmozdulát értü. Vegyü a (-49) tele potenciáli energia elő variációát: ( Π b + Π ) δπ b δπ δ Π δ + (-5) ivel a (4-5) é (4-5) özefüggé a virtuáli elmozdulára i érvénye, ezért: δ Π b δ é δπ δ (-54) A (-54)-ből övetezi, hogy a (.5) potenciáli energia elő variációa zéru: δ Π 0 (-55) A (-55) azt elenti, hogy az egyenúlyban lévő rugalma rendzer potenciáli energiáána elő variációa zéru, vagyi a virtuáli elmozdulá özben a tele potenciáli energia állandó marad. A П potenciáli energia a virtuáli elmozdulá öveteztében Π értéel megváltozi, amely változát felírhatu a orba fetett ala elő ét tagával: Π δπ + δ Π (-56)! ivel a (-55) zerint a potenciáli energia elő variációa zéru, ezért Π δ Π (-57)! ahol δ Π az elmozdulá (é deriváltána) máodi hatványát tartalmazza. -57-

58 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato A rugalma rendzer ritiu állapotána feltétele, hogy legalább egy virtuáli elmozdulára a potenciáli energia máodi variációa zéru (azaz minimum) értéet vegyen fel: δ Π δ Π + δ Π 0 (-58)... A rugalma rúdelem potenciáli energiáána máodi variációa b A rugalma rúdelem belő potenciáli energiáána máodi variációa a rúdelem elmozdulá függvényével ifeezhető. Tizta halítá eetén az alaváltozái energia alábbi alaban írható (halítá a z tengely örül δv virtuáli elmozdulából): '' δ Π b,v E I z ( δv ) dx (-59) 0 Bizonyítá A halítái normálfezültég ifeezhető a Hoo-törvénnyel, illetve a görbülettel i: '' σ E ε E z ( v ) A rúdelem elemi hozán az alaváltozái energia egyenlő a tele ereztmetzetben a normálfezültégne a falago nyúláon végzett munáával: db,v t d σ ε Felhaználva a normálfezültég ifeezéét az alaváltozái energia: σ '' d,v t d E z t d ( v ) E I z ( v E '' b ) A tele rúdelem potenciáli energiáána máodi variációa: δ Π b,v b,v 0 E I z ( v '' ) dx Cavará eetén az alaváltozái energia alábbi alaban írható (cavará az x tengely örül δφ virtuáli elcavarodából): '' ' [ E I ( δϕ ) + G I SV ( δϕ ) ] δ Π b, ϕ dx (-60) 0 Bizonyítá A St,Venant-féle cavarából zármazó belő cavarónyomaté a (-7) zerint: dϕ TSV G I SV dx A rúdelem elemi hozán az alaváltozái energia egyenlő a tele ereztmetzeten a cavaró nyomaténa az elfordulá differenciáli változáán végzett munáával: db,sv TSV dϕ Az elő ifeezéből az elfordulá differenciáli változáa: TSV dϕ dx G ISV A ifeezé felhaználáával: ' ( ) dx TSV db,sv dx G I SV ϕ G I SV Az alaváltozái energia a tele rúdelemre nézve: -58-

59 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato 0 ' ( ) b,sv G I SV ϕ dx A gátolt cavarából zármazó alaváltozái energia levezetée formailag analóg a halítái alaváltozái energia levezetéével. A rugalma rúdelem ülő potenciálána máodi variációa zintén ifeezhető a rúdelem elmozdulá függvényeivel. Nyomott rúd ihaláa eetén a erő munát végez a δvδv(x) lehalá függvénnyel ifeezhető tengelyirányú elmozduláon: ' δ Π ( δv ) dx (-6) 0 Bizonyítá Az özenyomhatatlan rúdelem felő vége a vv(x) ihaláa özben l-el elmozdul, amin a erő munát végez:, l A l elmozdulá ifeezhető az rúdhoz é a l vetületi hoz ülönbégeént: l ( l ) Az ábra alapán az rúdhoz ifeezhető az ívhozal: l 0 ' + v dx A négyzetgyöö ifeezét orána elő ét tagával özelítve: l ' l v + ' dx l + v dx 0 0 A fentie alapán a végpont elmozduláa: l ( l ) l 0 v ' dx A ülő pontenciál máodi variációa egyenlő a erő ülő munáával, de fordított előellel: δ Π, l l 0 ' ( δv ) dx ivel l, ezért az integrált az 0-tól -ig i végezhetü. l x dx v l dx ' + v dx v v -0. ábra. A nyomóerő munáa. -59-

60 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato A halított gerenda iforduláa eetén a zimmetria tengelyen fevő D cavarái tengelytől d p távolágra ható p megozló erő (illetve a p erőből zármazó belő nyomaté) munát végez a δvδv(x) lehalái é a δφδφ(x) elcavarodái függvény által meghatározott elmozduláon (iforduláon), amivel ifeezhető a potenciáli energia máodi variációa: '' ' [ d p δϕ + δϕ δv + β ( ) ] dx δ Π p y δϕ (-6) 0 Bizonyítá A (-6) ifeezé elő taga a erő potenciálána változáát feezi i, ami ifeezhető az elcavarodá orán a erő függőlege elmozduláána munáával. Ugyanerre az eredményre utun, ha vezü a δφ elcavarodá miatt eletező p δφ erőomponenne az elcavarodá oozta d p δφ eltolódáon végzett munáát (-a ábra): δ p δϕ d δϕ d p δϕ, ( ) ( ) p p A (-6) ifeezé máodi taga a δφ elcavarodá miatt eletező δφ nyomatéi omponenne a ihaláon végzett munáát elenti (-b ábra): '' δ δϕ δv, A (-6) ifeezé harmadi taga a δφ elcavarodá miatt az alotóal azono mértében elferdülő belő normálerő (-5) zerinti K δϕ' cavaró nyomatéána munáa: δ ' ' ' ( K δϕ ) δϕ K ( δϕ, ) ahol K σ a t d A zimmetria íban történő halítá eetén: σ z I y A ereztmetzeti pont é a cavarái tengely a távolágána négyzete: a y + z z ( ) a) p p φ p b) d D φ d φ v φ φ Vezeü be az alábbi ifeezéeet: β y z qy q y I y z -. ábra. A ülő erő munáa a iforduláon. ( y + z ) t d -60-

61 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato A fentie alapán a Wagner-tényező az alábbi alaban írható: K σ a t d β A fenti ifeezée felhaználáával a (-6) ifeezé harmadi taga: ' δ β ( δϕ, y ) y -4 élda Határozzu meg a özpontoan nyomott rugalma rúdelem ritiu terhét a virtuáli elmozduláo tétele alapán! A nyomott rúdelem belő potenciáli energiáa máodi variációát a (-59), a ülő potenciál máodi variációát a (-6) ada meg. A (-58) értelmében a rúdelem ritiu állapotában a potenciáli energia máodi variációa ötele minimumot, azaz zéru értéet felvenni: δ Π '' ' [ E I ( δv ) ( δv ) ] dx 0 0 A matematiai variáció probléma általáno megoldáa helyett megmutatu, hogy ha a feltételi egyenletet ielégítő δvδv(x) virtuáli ihalát a π δ v A in x alaban feltételezzü, aor az így apott cr ritiu erő megegyezi a aátérté feladat megoldáából apott (-a) ifeezéel. Deriválu a megoldá függvényt étzer a özvetett deriválá zabálya zerint: π π δ v ' A co x '' π π δ v A in x Helyetteítü be a deriváltaat a potenciáli energia máodi variációába, emelü i a ontanoat az integrálo elé, mad ozu el az egyenletet (A π / ) ifeezéel: π π π E I in x dx cr co x dx A fenti egyenletből a ritiu erő ifeezhető: π in x dx π E I 0 cr π co x dx 0 ivel a fenti ifeezében a obb oldali hányado nevezőe é zámlálóa azono értéű, ezért: E I cr π A fenti zámítáal indiret módon bizonyítottu, hogy a variáció probléma megoldáa aátérté feladatra vezet... A ifordulá problémáána általáno megoldáa A zimmetriaíában halított rúdelem (gerenda) ritiu terhét a nyomatéi elozlá referencia helyén (általában a nyomatéi maximumnál) értelmezett R,cr ritiu nyomatéal feezzü i. A ritiu nyomaté általáno formuláát eredendően Clar é Hill zerzőpáro -6-

62 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato özölte a ozor hivatozott ciüben (CARK J.W. HI H.N. 960). A ifordulá problémáána általáno megoldáát a hivatozott zerző munáára alapozva teintü át. A (-58) értelmében a halított rúdelem ifordulána (egyenúlyi elágazáána) az a feltétele, hogy a rúdelem potenciáli energiáána máodi variációa zéru (minimum) értéet vegyen fel: '' '' ' δ Π [ E I z ( v ) + E I ( ) + G ISV ( ) + ϕ ϕ (-6) 0 + ϕ v '' + β y ' ( ϕ ) + d p ϕ ] dx 0 A (-6) egyenlet elő orában a (-59) é (-60) zerinti alaváltozái energiá zerepelne. Az egyenlet máodi ora a (-6) zerinti ülő potenciál változáát elenti. A zimmetriai íra merőlege íban ca a φ nyomaté hat, ami az nyomaté omponene a φ elcavarodá öveteztében. A globáli egyenúly feltétele, hogy ebben a íban a ülő é belő nyomatéo egyenúlyban legyene: p '' E I v + ϕ 0 (-64) z A (-64) egyenúlyi egyenletből a v ifeezhető, '' v ϕ (-65) E I z A (-65) felhaználáával a (-6) egyenletben egyetlen imeretlene a φφ(x) elcavarodá függvény lez. A zimmetria íban ható p megozló erő zintén izárható az egyenletből, ha figyelembe vezü, hogy d '' p ( ) (-66) dx Vezeü be az alábbi ifeezéeet: Xx/ é m(x)(x)/ R, (-67) ahol R az (x) nyomatéfüggvény referencia értée, például a - ábra zerint. p x (x) x (x) R p R p /4 /8 -. ábra. Az R referencia nyomaté ét ellemző eetben. A (-65), (-66) é (-67) figyelembe vételével a (-6) egyenlet az alábbi alaba rendezhető: R R '' ' m ϕ dx d p m ϕ dx + β y m ϕ dx E I z (-68) G ISV ' E I '' ϕ dx ϕ dx

63 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato A (-68) egyenletben a deriváltaat az Xx/ zerint ell érteni, például: ' dϕ ϕ dx átható, hogy a (-68) egyenlet az R referencia nyomatéra nézve máodfoú. Vezeü be az alábbi ifeezét: '' I m ϕ dx ϕ dx (-69) 0 0 A (-69) alalmazáával vezeü be a övetező paramétereet: C Továbbá legyen ' ϕ dx 0 ; I C '' m dx ϕ 0 I ; C ' m ϕ dx 0 I (-70) 0 π (-7) '' ϕ dx 0 ' ϕ dx A (-69) é (-7) ifeezéeel, valamint a (-70) paramétereel a (-68) máodfoú egyenlet gyöe ada a referencia nyomaté ritiu értéét: R,cr ( ) G ISV + ( C d C β ) π E I z I C + p y C d p + C β y ( ) I z π E I z (-7) A (-7) ifeezében a d p távolág tágabb értelemben aor pozitív, ha a p erő a támadápontából nézve a D cavarái özéppont felé irányul. A tényező a rúdelem végeine a ifordulá íában beövetező elforduláána gátláára utaló tényező (ihalái hoztényező), amely tizta ihalá eetén 0,5-,0 özötti változhat (culó vége eetén,0; befogott vége eetén 0,5). Ugyanaor a (.7) arra utal, hogy a tényező függ a φ elcavarodái függvénytől. (Ebből vizont az övetezi, hogy a ihalá elleni befogái tényező ényzerapcolatban áll az öblöödé elleni befogái tényezővel.) A C, C é C tényezőet aor tudu meghatározni, ha imerü a φ elcavarodái függvényt é az (x) nyomatéi elozlát. Az utóbbi onrét feladat eetén imert, azonban a φ elcavarodái függvényt, amelyne meg ell fellelnie a peremfeltételene, általában ca özelítőleg tudu felvenni. A megoldáal oan, oféle megözelítében foglalozta, amine öveteztében a C, C é C paramétere zámo forrából állna rendelezéünre táblázato é özelítő ifeezée formáában (SZ ENV 99--:995;..). Sanálato, hogy az irodalomban o megbízhatatlan érté i napvilágot látott. Ugyanaor mára a táblázato é özelítő éplete elentőége nagymértében cöent, mert egyre több zoftver eleni meg, amelyi végeeleme analíziel épe tetzőlege zerezeti eleme é özetettebb zerezete ritiu terhéne gyor é megbízható zámítáára. A 4. feezetben egy ilyen általáno numeriu módzert mutatun be. -6-

64 Dr. app Ferenc: Stabilitáelmélet a mérnöi gyaorlatban - előadávázlato.4 A ihalá é a ifordulá interacióa Vizgálu a -a ábrán látható villá éttámazú rúdelemet, ahol a nyomóerő é ellentéte előelű rúdvégi nyomatéo egyzerre hatna (a modell geometriai adatai azonoa a -9a ábrán látható modellel). a) b) -. ábra. A nyomott é halított rúdelem térbeli tabilitáveztée: a) modell; b) térbeli ala. Végezzün el a rúdelem numeriu íérletét. egyen a nyomóerő 50N, é növelü az értéét addig, míg beövetezi az egyenúly elágazáa. A íérlet eredménye: cr cr 90Nm 50Nm (-7) A -b ábra a (-7) zerinti ritiu erőnél beövetező térbeli tabilitáveztéi alaot mutata, amely zemmel nem ülönböztethető meg a -9b ábrán látható ifordulái alatól. Célul tűzzü i az egyzerre nyomott é halított, étzereen zimmetriu rúdelem ritiu terhéne meghatározáát. A feladat megoldáát Haláz é Iványi zerzőpáro publiációa nyomán mutatu be (HAÁSZ O. - IVÁNYI. 00). Indulun i a nyomott rúdelem (-4) egyenúlyi differenciálegyenlet rendzeréből, de vegyü figyelembe, hogy étzereen zimmetriu ereztmetzet eetén y z 0 é az egyenleteben megeleni az nyomaté hatáa i (-4 ábra), valamint a függőlege íú halítá független problémaént ezelhető: E I E I z v" + ϕ''' ( v y ϕ) 0 ' ( G I i ) ϕ' + v 0 SV y (-74) A megoldá orán vegyü figyelembe, hogy a ereztmetzetben ható y nyomaté az (-) figyelembe vételével az alábbi alaban feezhető i: y (-75) cr,y -64-