tényezőt az 5. fejezetben tárgyaltuk részletesen. A jelen fejezetben a ψ ( E)

Átírás

1 94 6 Lláelmélet Az 53 lfejezetben láttk, hogy egy cpz homogén rektorbn érvénye rektorfizik lptétele, mely zerint netronpektrm lkj rektor minden pontjábn zono, má zóvl flx z (54 képlet zerint zorztr bonthtó A tértől é időtől függő Φ ( r,t tényezőt z 5 fejezetben tárgyltk rézleteen A jelen fejezetben ψ ( energipektrmot fogjk tnlmányozni ψ ( kielégíti z (5 integrálegyenletet, melyet itt rézleteen kiírnk: [ D( B + Σ ( ] ψ ( + Σ ( ψ ( t d + f k ( eff νσ f ( ψ ( d = (6 Mivel ez homogén lineári integrálegyenlet, itt bevezettük z 5 zkzbn definiált k eff zttik játértéket, hogy z egyenletnek dott B mellett mindig legyen nem-triviáli megoldá Megfordítv, h k eff dott (példál k eff =, kkor z egyenletnek ck B peciáli értéke(i mellett vn nem-triviáli megoldá, vgyi (6 B - re vontkozón i játérték-egyenlet A fentieket úgy i kifejezhetjük, hogy (6 egyenletnek ck B é k eff özetrtozó értékei mellett vn nem-triviáli megoldá Az egyenlet lineritáából következik, hogy ψ( megoldát tetzőlege módon normálhtjk A lláelméletben kényelme ( ψ ( = eff ν Σ f d k (6 normálá zzel normálál lláegyenlet átmegy [ D( B + ( ] ψ ( + Σ ( ψ ( d + f ( = t Σ (63 egyenletbe Itt f( hdái netronok pektrm, vgyi dott függvény mitt (63 már nem homogén integrálegyenlet, tehát ninc triviáli megoldá, de dott B mellett mindig vn nem-triviáli megoldá H ezt imerjük, kkor (6 egyenletbe helyetteítve megkpjk k eff -et Így keletkezik B é k eff közötti, fent említett özefüggé A jelen fejezet fő témáj (63 egyenlet megoldá é kpott megoldáok tnlmányozá lez Befejezéül néhány megjegyzét tezünk: Hck máképp nem állítjk, ( Σ mgfüggvény áltlábn rglm é rglmtln netronzóráok mgfüggvényeinek özege A (6 egyenletet triviálin kielégíti ψ( függvény Értelemzerűen z ettől különböző megoldáokt nem-triviáli megoldáoknk hívjk

2 95 A (6 (63 egyenletek minden energiár vontkoznk, beleértve termik netronokt i zeket 65 lfejezetben tárgyljk H vizgált rendzer végtelen, nyilván B = H (63 egyenletet ezzel helyetteítéel oldjk meg, kkor megoldát (6-be helyetteítve k -t kpjk eredményül mitt modern rektorfizikábn ninc zükégünk klzik négyfktor-formlár H (63-bn B -et úgy válztjk meg, hogy (6 keff = -et djon, kkor definíció zerint ez B nem má, mint B m nygi görbületi prméter Mivel (6 (63 egyenletekben zereplő htákereztmetzetek nem nlitik formábn imert függvények, hnem kíérletileg mért tábláztok formájábn állnk rendelkezére, llái egyenlet megoldáát rendzerint nmerik módzerekkel zoktk kizámítni A legjobbn elterjedt módzer okcoport-módzer, melynek rézletezée zonbn nem fér bele ennek jegyzetnek kereteibe 6 A hdái netronok pektrm A (63 llái egyenletben zerepel z f( pektrm, ezért előzör ezzel kell megimerkednünk A 3 fejezetből tdjk, hogy netronok többége hdá pillntábn keletkezik: ezek prompt netronok A hdát követően egye hdái termékek rdioktív bomlá orán i keletkezik még néhány netron: ezek kéő netronok A hdái netronok e két coportjánk jelentően különbözik pektrm A prompt netronok kíérletileg mért pektrmár jó közelítéel ( ( C 3 fp = C exp h (64 C lkú függvények illezthetők (Wtt-pektrm, hol C, C é C 3 lklmn megválztott állndók Az 35 U hdá eetében (64 pektrm,7 MeV-nél vezi fel mximmát, tehát ez legvlózínűbb energi, vizont hdábn keletkező netronok átlgo energiáj MeV A kontnok értéke ekkor C =,453, C =,965, C 3 =,9, h z energiát MeV-ben mérjük A kéő netronok pektrm ennél lényegeen lágybb (lád lább H z i-edik kéőnetron-coport pektrmát f i (-vel jelöljük, kkor hdá révén keletkező netronok átlgo pektrm ( = ( ( + ( f β f β f, (65 p 6 i= i i

3 96 melyet zttik hdái pektrmnk nevezünk Az elnevezé mgyrázt, hogy (63 egyenletben ezt kell f( helyébe írni Időben gyorn változó flxok eetében (tehát rektorkinetikábn zonbn tekintettel kell lenni z f p ( é z f i ( pektrmok különbözőégére A leggykrbbn ezt elegendő úgy figyelembe venni, hogy β i kéőnetron-hánydok helyett effektív értékeket hználnk (vö 67 lfejezet A kéő netronok pektrm függ hdó izotóptól A 6 ábr illztrációképpen z 35 U termik hdáir vontkozón mttj be legngyobb gykoriágú 4 kéőnetron-coport f 4 ( pektrmát Az ábráb özehonlítál berjzoltk prompt netronok f p ( pektrmát i Mindkét görbe ltti terület Az egye coportoknk z f i ( pektrmokkl zámolt átlgo energiáj 6 tábláztbn láthtó coport prompt pektrm 4 3 (kev 6 ábr A 4 kéőnetron-coport pektrm Özehonlítál láthtó prompt netronok pektrm i Mindkét pektrm ltti terület 6 táblázt A kéőnetron-coportok átlgo energiáj Coport nergi (kev Az egyéb netronforráok pektrm ettől lényegeen eltérhet Példál P- Be forrá áltl kibocátott netronok átlgo energiáj körülbelül 5 MeV A gyorító netrongenerátorokbn (d, t rekció útján termelt netronok energiáj 4 MeV A legtöbb tommg zórái htákereztmetzete néhány MeV energiájú netronokr vontkozón jelentően függ z energiától, ezért különböző netronfiziki megfontoláokbn fonto figyelembe venni netronforrá pektrmát Tekintve, hogy ebben A (65 képlet bbn z eetben érvénye, mikor vizgált közegben egyetlen hdó izotóp vn A több hdó izotóp eetében érvénye képlet felíráár ebben fejezetben ninc lehetőég Mindeneetre zttik pektrm mindig ngyon közel vn (64 Wtt-pektrmhoz

4 97 jegyzetben előorbn rektorokkl fogllkoznk, továbbikbn mindig (64 é (65 hdái pektrmból fognk kiindlni 6 Llá rglm zóródáok útján A hdáokbn keletkező netronok rektorbn tlálhtó tommgokkl ütközve zóródhtnk, vgy vlmilyen má mgrekciót válthtnk ki, melyek mérlegét (63 llái egyenlet fejezi ki Az, hogy milyen ψ( netronpektrm lkl ki, előorbn z lábbi dolgoktól függ: σ ( bzorpció htákereztmetzetek ngyág é energifüggée, rglmtln zórái htákereztmetzetek, σ rglm zórái htákereztmetzet ngyág, jelenlévő tommgok A tömegzám A rglmtln zórát leíró Σ in ( mgfüggvény lkj ngyon bonyollt, áltlábn nmerik lkbn tdjk megdni, így rglmtln zóródá figyelembevétele ck nmerik zámítáok útján lehetége rre vló tekintettel ebben z lfejezetben figyelmen kívül hgyjk Mindöze nnyit jegyzünk meg, hogy rglmtln zóródá kev ngyágrendű energiák ltt már elhnygolhtó 3 A termik rektorokbn legfontobb effektok éppen ilyen ki energiákon jelentkeznek A rektor tervezője zonbn nem engedheti meg mgánk ezt lxt Ngy energiákon romlik rglm zórá htékonyág (lád lább, itt tehát netronok előorbn rglmtln zóródáok révén llnk z különöen gyor rektorokbn fonto effekt V V ϑ netron zóró mg 6 ábr Szórá lbortórimi koordinát-rendzerben netron V' n V m * V n Θ -V t zóró mg 6b ábr Szórá tömegközépponti koordinát-rendzerben 6 Rglm zórái mgfüggvény kev ltti energiákr rglm zórá tömegközépponti rendzerben izotrop, továbbá σ független netron energiájától Az lábbikbn kizámítjk, milyen Σ ( rglm zórái mgfüggvény felel meg ennek z eetnek Ütközzön 3 Akkor történik rglmtln zóródá, mikor zóródó netron z tommgot vlmelyik energinívójár gerjezti H netron energiáj kiebb, mint leglconybb energinívó (plz mg vizlökéére fordított energi, nem lehetége rglmtln zórá

5 98 egy energiájú (v ebeégű netron egy A tömegzámú tommggl Tekintve, hogy z tommgok hőmozgáánk energiáj (zobhőmérékleten,5 ev, netronllá trtományábn z tommgot nygvónk é zbdnk tekintjük 4 A zóródá tán netron energiáj legyen (ebeége v, továbbá zóródá előtti é táni ebeégei zárjnk be egymál ϑ zöget (6 ábr H ezeket lbortórimi koordinátrendzerben mért mennyiégeket tömegközépponti rendzerbe krjk áttrnzformálni, kkor következőképpen okokodhtnk (6b ábr A tömegközéppont ebeégének ngyág v t = v /(A+, irány pedig megegyezik netron ebeégének irányávl bben rendzerben zóró mg ebeége z ütközé előtt netronévl ellentéte irányú é ngyág éppen v t A zóródá tán netron é mg ebeége legyen rendre v n é v m, netron eltérüléének zöge pedig Θ Az elmondottkból nyilvánvló, hogy netron é zóró mg özimplz tömegközépponti rendzerben z ütközé előtt nll, tehát ck úgy mrdht nll z ütközé tán i, h továbbr i egymál ellentéte iránybn repülnek, é ebeégük ngyág úgy ránylik egymához, mint z ütközé előtt, tehát mint A: zek tán nem nehéz belátni, hogy z energimegmrdá ck úgy teljeülhet, h zóródá orán tömegközépponti rendzerben em netron, em mg ebeégének nem változik meg ngyág, tehát v = v v = v n m = v = t t v A + Av, A + Számítk ki ezek tán netron ütközé táni, lbortórimi rendzerben mért v ebeégét, mely v n é v t ebeégek vektori özege, tehát 6b ábr lpján H bevezetjük z n t n t n t co v v = v + v = v + v + v v Θ = α = ( A ( A + ( A + AcoΘ + ( A + prmétert, kkor netron ütközé előtti é táni energiájánk rány Θ zóródái zöggel kifejezve z = v [( ( ] v = + + α α co Θ (66 4 A zóró mg áltlábn moleklábn vn kötve, mint példál hidrogén H O-bn Akkor bezélünk zbd tommgról, mikor kémii köté htáát elhnygoljk

6 99 lkbn írhtó Láthtó, hogy zóródábn netron energiáj cökken A különbég mg vizlökéére fordítódik A legngyobb energicökkené Θ = 8 -r dódik ( telitlált : ekkor = α, Θ = -r vizont =, áltlábn pedig α (67 Vezeük be µ c = coθ jelölét, é legyen µ c vlózínűégi űrűégfüggvénye χ(µ c Mint mondtk, kev ltti netronenergiáknál zórát izotropnk tekinthetjük tömegközépponti rendzerben, tehát nnk vlózínűégét, hogy µ c (µ c, µ c +dµ c intervllmb een, r dω πdµ c dµ c χµ ( c dµ c = = = (68 4π 4π képlet dj meg A kéőbbiek kedvéért megtrtjk z áltlánoágot, vgyi nem hználjk ki rögtön ezt képletet (66-ból látjk, hogy dott dµ c -hez meghtározott d trtozik, tehát nnk vlózínűégét, hogy netron energiáj ütközé tán z (, +d intervllmb fog eni, ( ( g, d = χµ dµ képlet fogj megdni (66-ból kpjk: c c tehát d µ c = d ( α, g (, (69 χ = ( µ c ( α α < α, vgy >, hol (66 lpján µ c = α ( α + Izotrop zögelozlá eetében χ(µ c /, tehát ekkor z energi egyenlete vlózínűéggel vez fel minden, (67 intervllmb eő értéket A további lfejezetekben ezt tételezzük fel Néhány mennyiégre vontkozón 64 zkzbn megdjk, milyen következményei vnnk tömegközépponti rendzerben nizotrop zóránk Amikor zórá izotrop, µ c = coθ átlg tömegközépponti rendzerben nll Má helyzet lbortórimi rendzerben A 6 ábrákról leolvhtó, hogy

7 coϑ = AcoΘ +, A + AcoΘ + minek z átlg (68 lpján könnyen kizámíthtó (vö 6 feldt: coϑ = AcoΘ + dco ( Θ = A + AcoΘ + 3A A lbortórimi rendzerben tehát zórá nizotrop, minek mértéke nnál ngyobb, minél kiebb zóró mg A tömegzám 6 Moderátorok jellemzői (66-ból láthtó, hogy netronenergiánk zóródá orán lehetége megváltozá nnál kiebb, minél kiebb zóródá előtti energi zzel zemben z energi logritmánk változá független -től: ln megváltozá é ln(/α közé eik -től gynígy független z átlgo logritmik energicökkené i: ln g(, d ξ =, (6 mit (69 lpján kizámítv zt kpjk, hogy izotrop zögelozlá eetében α ξ = + α α ln (6b A + 3 Minél ngyobb ξ, nnál gyorbbn ll netron, hizen nnál keveebb ütközé zükége hhoz, hogy netronok MeV hdái energiáról,5 ev körüli termik energiár lljnk le: ( MeV ev ln, 53 8, = ξ ξ A netronokt htékonyn lító nygokt moderátoroknk nevezzük (6b-ből következik, hogy tommgjiknk ki tömegzámúnk kell lenniük zen túlmenően zonbn még két dolgot zoktnk egy jó moderátortól megkövetelni: ngy zórái é ki termik bzorpció htákereztmetzetet A gykorltbn négy moderátor vn: könnyűvíz (H O, nehézvíz (D O, berillim ( 9 Be é grfit ( C A rájk vontkozó legfontobb mennyiégeket 6 tábláztbn foglljk öze Özehonlítál megdjk egy nehéz mg, z 38 U megfelelő dtit i A ξσ zorzt megdj netron áltl megtett cm útr eő átlgo logritmik energicökkenét A tábláztból láthtó, hogy ez könnyűvízre legngyobb Mégem könnyűvíz legjobb moderátor, mert lellt (termik netronokr túlágon ngy z bzorpció htákereztmetzete H legfontobb jellemzőket egyeítő ξσ /Σ hánydot tekintjük, kkor táblázt zerint nehézvíz dódik kimglón legjobb moderátornk

8 6 táblázt A legfontobb moderátorok özehonlító dti Moderátor A α ξ 8,/ξ ξσ (cm ξσ /Σ H O, 8,3 6 D O,,75 5, Be 9,64,9 87,5 5 C,76,58 5, U 38,983,84 7,4,6 63 Letrgi A lláelméletben z energiánál termézeteebb változó letrgi: = ln, = e, (6 hol vlmilyen lklmn válztott (egyébként tetzőlege felő htár (áltlábn MeV (69-et könnyen átírhtjk letrgiváltozór (6 lpján =, d e d e g, = d g, d =, ( ( g (, e = α ln > ln ( α ( α, (6 A ψ( flx z energi zerint űrűégdimenziójú, tehát flxt letrgi függvényeként következőképpen kell kifejezni: d ψ( = ψ( = ψ( (63 d A (69, illetve (6 ltt felírt mgfüggvények felhználáávl (63 llái egyenletet tömegközépponti rendzerben izotrop zórá eetében α ( D( B + Σ ( ψ ( + Σ ( ψ ( d t + f vgy ( α ( = e ( D( B + ( ψ ( + Σ ( ψ ( d + f ( = lkbn írhtjk fel, hol Σ t (64 α ε

9 ε = ln α Az f( é f( forrátgok (63-bn hdáokbn keletkező netronokt jelentik, de áltlánobbn jelenthetnek mát i, példál tekintett energitrtomány feletti energiákról lló netronokt i (vö 65 lfejezet Minden iránybn végtelen közeg tárgylákor B helyébe nllát írnk Az egyenletet előzör ilyen eetekben fogjk megoldni 64 A zórá nizotrópiáj Amikor zóródó netron energiáj elegendően ngy, zórá tömegközépponti rendzerben nizotrop z lól kivétel hidrogén, mert protonon vló zórá minden energián izotrop tömegközépponti rendzerben Az lábbikbn néhány eredményt idézünk ( χµ c µ cµ c = + 3 (65 lineárin nizotrop zórá eetére vontkozón, hol µ c zórái zög kozinzánk átlg tömegközépponti rendzerben Itt nem rézletezett zámítáok zerint ekkor hol α α ξ = g ( = ξ µ + ln ln d 3 c α α ξ = + ln α α ( α ( α + α, (66 z izotrop zórához (6b zerint kizámított logritmik energicökkené Mivel µ c függ netron energiájától, z áltláno eetben ξ i függ tőle H toló képletünket /A zerint orb fejtjük, z egyzerűbb ξ = ξ µ c + K 3 (67 A A képletet kpjk Honlón energiától függő mennyiéget kpnk lbortórimi rendzerben mért zórái zög kozinzánk z átlgár i: Aµ c + 3 coϑ = χ( µ c dµ c = + µ c A + Aµ + 3A 5A c

10 3 A (67 képlettel ellentétben ez forml nem orfejté, hnem (65 ltti közelíté keretein belül egzkt µ c áltlábn pozitív (66-ból következik, hogy zórái nizotrópi rontj netronlítát, hizen ξ < ξ Amikor zonbn ez z effekt érezteti htáát, zóródó netronok energiáj elég ngy hhoz, hogy rglmtln zórá i jelentő járlékot djon lítához, mi vizont jvítj lítát Ngy netronenergiákon tehát két ellentéte htá működik: z energi növekedéével romlik rglm zórá é jvl rglmtln zórá htékonyág Nmerik zámítáokbn mindkettőt figyelembe kell venni Az lábbikbn z egyzerűég kedvéért mindkét effektt el fogjk hnygolni nnk érdekében, hogy egyéb effektok lényegét meg tdjk mgyrázni, tehát: el fogjk hnygolni mind zórá nizotrópiáját, mind rglmtln zórát 63 Llá homogén közegben A (6 llái egyenlet megoldá két eetben imert nlitik formábn: bzorpciómente végtelen közegben é hidrogénen vló llá eetében Minden má eetben ck közelítő módzereket lklmzhtnk 63 Llái é zórái űrűég Mielőtt llái egyenlet megoldáához kezdenénk, be kell vezetnünk lláelmélet központi foglmát, llái űrűéget A képletek egyzerűítée érdekében következő jelölét lklmzzk: ( ( ψ ( F = Σ (68 zt mennyiéget zórái űrűégnek nevezzük A llái űrűég zoknk netronoknk zám, melyek llá közben térfogtegyégben időegyég ltt átlépnek egy dott letrgiértéket: q ( = F ( d ε + ε e d (69 α képlet mgyrázt következő Az letrgiát zok netronok léphetik át, melyek egy ε letrgián zóródtk Az körüli d intervllmbn zóródó netronok zám F ( d Szóródá táni letrgiájk legfeljebb +ε lehet A képletben zereplő máodik integrál nnk vlózínűégét dj meg, hogy zóródá vlmilyen +ε letrgiár vezet Az zerinti integrál özegzi z öze zób jövő zóródánk llái űrűéghez vló járlékát A llái űrűég egítégével llái egyenlet jelentően egyzerűíthető Deriváljk gyni q(-t zerint:

11 4 ( dq d ε e = F ( F ( α d (6 képlet levezetée nem triviáli (vö 63 feldt H z integrált innen kifejezzük é (64-be helyetteítjük, ( D( B + Σ ( ψ ( ( dq d + f ( = egyenletet kpjk Nem megyünk rézletekbe, ck megjegyezzük, hogy (69 definíció ck olyn energiákon érvénye, melyeken z f( forrá már elhnygolhtó zért z tóbbi egyenletünket ( D( B + ( ψ ( ( dq Σ = (6 d lkbn fogjk hználni nnek z lknk z z előnye, hogy (69 képlet helyett közelítő formlákt hználhtnk, melyek ngyon megkönnyítik llái egyenletek megoldáát A különböző közelítéeket llái modelleknek nevezzük (vö 635 zkz 63 Llá végtelen közegben bzorpció nélkül Abbn z eetben, mikor ninc bzorpció (em kifolyá, (64 így írhtó: e Σ ( ψ ( + Σ ( ψ ( d + f ( = α ε Olyn letrgiákon, melyekre f( nem hnygolhtó el, ennek z egyenletnek megoldá meglehetően bonyollt, mert külön-külön kell figyelembe venni é özegezni z egyzer em ütközött, vlmint z egyzer, kétzer tb ütközött netronok flxát A forránetronok letrgiájától távoli letrgiákr már ck olyn netronok jthtnk el, melyek elegendően okzor ütköztek, é ez lényegeen egyzerűíti tárgylát zért ck olyn letrgiákon vizgáljk ezt z egyenletet, melyeken forrát zérnk vehetjük: e Σ ( ψ ( + Σ ( ψ ( d = (6 α ε Azonnl láthtjk, hogy h ide F ( = ( ψ ( = c z egyenlet kielégül, hizen c + ε e c d = c + c α ε Σ e d = c + c = α -t helyetteítünk (c = állndó,

12 5 H gynezt (69-be helyetteítjük, némi zámolá tán (vö 64 feldt zt kpjk, hogy q( = cξ, minek éppen -gyel kell egyenlőnek lennie, hizen tekintve, hogy ninc bzorpció minden, forrá áltl termelt netronnk bármely letrgiát előbb-tóbb át kell lépnie [ξ értékét lád (6b képletben] Végeredményben tehát írhtjk: F ( = (63 ξ z mint már említettük forránetronok letrgiájától távol érvénye (63 é (68 lpján kpjk (64 egyenlet megoldáát: ψ ( =, ( ξσ ( ψ = (64 ξσ ( Azt kptk tehát, hogy forrá energiájától távol z energipektrm z energiávl fordítv rányoá válik, hizen zórái htákereztmetzet -től jó közelítéel független zt / pektrm néven zoktk emlegetni 633 Llá hidrogénen, bzorbeáló közegben Amikor nem hnygolhtó el z bzorpció, (64 llái egyenletnek ck közelítő megoldái imereteek z lól kivétel hidrogénen vló llá eete, melyet zért i érdeme külön tekinteni, mert z lább lklmzott módzer könnyen átvihető z áltláno eetre Az egyzerűég kedvéért tekintünk egy végtelen közeget, vgyi legyen B = 5 Hidrogén eetében llái egyenlet következő: ( ψ ( + Σ ( ψ ( e d + f ( Σ (65 t = α = mitt (69-ben definiált llái űrűég hidrogénre q ( = F ( d e d = F ( e d lkbn dódik, mit zerint deriválv kpjk (vö 65 feldt ( dq d ( = ( ψ ( + q (66 Σ 5 H jobbn tetzik, mondhtjk zt i, hogy (64-ben D(B tgot beolvztjk Σ (-b

13 6 özefüggét H ezt (6-be helyetteítjük, rögtön dódik q ( = ( ψ ( Σ t egyenlet Mivel hidrogénre ξ =, itt minden további nélkül odírhtjk: q ( Σ ( ψ ( = (67 ξ t ξ-t kéőbbiek kedvéért írtk od zt vizhelyetteítjük (6-be: ( dq d ( ( Σ = Σ ( ψ ( = q(, ξσ miből egyzerűen következik ( q = exp Σ ξσ ( ( t t d Itt kezdeti feltételként figyelembe vettük, hogy nyilván q(, mikor bből (67 lpján zámíthtó flx: é ( d ( ( = ( Σ ψ exp (68 ξσ t ξσ t ( d ( Σ ψ ( = exp ( (68b ξσ t ξσ t 634 Llá z áltláno eetben Az áltláno eetben nem ikerül olyn egyzerű, zárt képleteket levezetni, mint hidrogénen vló llá eetében (vgy kár z bzorpciómente eetben zért bizonyo közelítéekre vn zükégünk A tárgylndó egyenlet (64 lpján e Σ t ( ψ ( + Σ ( ψ ( d + f ( = α ε A hidrogénen vló llá eetében hidrogénre vontkozón egzkt (66 özzefüggé dt megoldá klcát H tehát tlálnk olyn é b (-tól eetleg függő együtthtókt, melyekkel z áltláno eetben jó közelítéel érvénye q ( ( dq + = bσ ( ψ ( (69 d

14 7 egyenlet, kkor z előző zkz mintájár már könnyen megkphtjk kereett megoldát Ilyen együtthtókt vlóbn lehet tlálni, de ennek rézleteit nem tdjk itt bemttni H q( deriváltját (6-ből behelyetteítjük, kkor következő egyzerű özefüggét kpjk: q ( ( Σ ( bσ ( ψ ( = + Végül ezt (6-be helyetteítve dódik miből ( dq d q ( ( ψ ( Σ ( ( Σ ( + bσ ( ( = Σ = q, = exp Σ Σ ( d ( ( + bσ, (63 továbbá könnyen levezethetjük (68 képletek megfelelőit i: é Σ ( d ( + bσ ( ψ ( = exp Σ ( + b ( Σ Σ (63b Σ ( d ( + bσ ( ψ ( = exp ( Σ ( + b ( Σ Σ (63c = b = ξ = helyetteítéel ez átmegy hidrogénre kpott (68 képletekbe réz befejezéeként megjegyezzük, hogy ezek z özefüggéek zzl közelítéel érvényeek, hogy forrá energiájához közeli energiákon z bzorpció htákereztmetzet zér zért lehetett z energi zerinti integrált végtelenig kiterjezteni, letrgiábn -tól integrálni Amikor ez feltételezé nem jogo, úgyi ck nmerik eljáráokt lehet lklmzni, melyekben erre ninc zükég A (63 képletek lpján egyzerűen megkphtjk nnk vlózínűégét, hogy egy forránetron llá közben eléri z letrgiát, vgyi nem bzorbeálódik: p ( = ( ψ ( Σ ( d ( ( + bσ Σ d = exp (63 Σ Tekintve, hogy z bzorpció többnyire nehéz izotópok rezonnciáin következik be, ezt mennyiéget rezonncikikerüléi vlózínűégnek nevezzük Vegyük ézre, hogy ez nem má, mint (63 ltti llái űrűég z z egyezé nem véletlen

15 8 635 Llái modellek Mint tltnk rá, llái modellek rr zolgálnk, hogy flx é llái űrűég között egyzerű kpcoltot léteítenek Három modellt fognk imertetni: Fermi-modell, Greling Goertzel-modell é Wigner-modell Mindegyik mtemtiki lkját (69 képlet jelenti Az előbbi kettő llái űrűég (69 képletéből zármzik, Wigner-modell fiziki értelme má közelítét: A llái űrűéget megdó (69 képletben lklmzzk z F ( F ( q + ε + ε e e d α α ε ε ( = F ( d d F ( d Meg lehet mttni (vö 64 feldt, hogy z itteni kettő integrál értéke ξ, tehát q ( Σ ( ψ ( = ξ z Fermi-modell, mely fenti áltláno eetnek z = é b = ξ helyetteítéel kpott peciáli eete A fenti közelíté kkor fogdhtó el, mikor ε kici, vgyi zóró mg A tömegzám ngy Már A = 7 eetén (lmínim elegendően ponto A modellen lehet jvítni A llái űrűéget megdó integrálbn zórái űrűéget orb fejtjük: F ( = F ( + F ( ( + K H ezt z integrálb helyetteítjük, q + ε = e α + ε e α ( F ( d d + F ( ( d d + K ε özefüggét kpjk Itt nem rézletezhető zámítáok lpján ez i (69 modell lkjár hozhtó z ε ε α =, b = ξ ξ α együtthtókkl zt nevezzük Greling-Goertzel-modellnek Minden zóró mgr érvénye, olyn letrgitrtománybn, melyben z bzorpció htákereztmetzet - tól gyengén függ, vgyi nincenek rezonnciák A rezonnciákon vló bzorpció zámítáár hználhtó legjobb közelíté Wigner-modell zt egy inteintől zármzó gondoltmenettel mttjk meg Képzeljük úgy, hogy z letrgi közelébe lló netronok fehérre vnnk fetve, továbbá z bzorpció htáár zínük feketére változik, de továbbr i rektorbn

16 9 mrdnk kkor p( [vö (63] nnk vlózínűége, hogy egy forránetron llá közben fehéren jt túl z letrgián (63 zerint fehér é fekete netronok együtte ütközéi űrűége /ξ, vgyi flxk ψ T ( = ξσ t ( A T indexzel zt kívánjk hngúlyozni, hogy itt együtte flxról vn zó Mivel ennek zempontjából z bzorpció i zóránk minőül, zért írhttnk (63- beli F ( eredeti, (68 zerinti definíciójábn Σ helyett Σ t -t Azoknk netronoknk zám, melyek ütközé révén egy d intervllmb eő letrgiár teznek zert, megegyezik z zt elhgyó netronok zámávl: ψ d Σ = ξ ( ( T t d Közülük vlmelyik Σ (/Σ t ( vlózínűéggel válik feketévé, tehát z dott intervllmbn bzorbeálódó netron zám d ξ Σ Σ t ( ( H ezt özegezzük (d eetén integráljk tekintett rezonnci ltti rézintervllmokr, megkpjk z bzorpció vlózínűégét zt zt jelenti, hogy rezonncikikerüléi vlózínűégnek erre rezonnciár vontkozó réze következőképpen állíthtó elő: ( ( ( ( Σ Σ p = d exp d ξ Σ t ξ Σ t H feltételezzük, hogy z egye rezonnciákbn bekövetkező bzorpciók egymától függetlenek, kereett vlózínűéget kpott kikerüléi vlózínűégeknek (, intervllmb eő rezonnciákr vontkozó zorztávl egyenlő: p = exp ( Σ Σ ( ( + Σ ( d ξ zt (63-gyel özevetve zt tláljk, hogy = b = ξ helyetteítéel ez i egy (69 lkú modell, h Az előző zkzbn mttott levezeté zerint ezt kkor kpjk, mikor llái űrűéget ( = ξ( ( ψ ( q Σ t képlet dj meg zt zoktk Wigner-modell néven emlegetni

17 636 Llá keverékben Az eddigiekben feltételeztük, hogy llá egyetlen moderátorizotópon történik A gykorltbn termézeteen izotópok keverékével vn dolgnk Az elmondottk könnyen áltlánoíthtók erre z eetre Amikor llá több különböző izotópon történik, telje q( llái űrűég prciáli llái űrűégek özegére bonthtjk: ( ( q = q, j j hol j özegzéi index végigft rektorbn előfordló vlmennyi izotópon, é mindegyik q j ( egy (69 lkú integrál egítégével zámítndó ki: q j ( = Σ ( ψ ( ε j + ε j e j d d α j Termézeteen mindegyik q j (-r vontkozón z A j tömegzámtól függően eltérő közelítét lklmzhtnk lképzelhető tehát, hogy könnyű izotópokr Greling Goertzel-modellt lklmzzk, nehezekre pedig Fermi-modellt Nmerik zámítáokbn ténylegeen ez i történik Láttk, hogy gyorn változó é ngy bzorpció htákereztmetzetek eetében z dekvát modell Wigner-modell zért lláelméletben rezonnciák figyelembevételét külön kell válztnnk z olyn energitrtományokbn vló llá tárgyláától, melyekben z bzorpció htákereztmetzet kici é ln változik 64 Rezonnciintegrál A (7 képletek é 4 ábr mttj, hogy bizonyo nehéz elemek htákereztmetzete z energi függvényében helyenként rezonncizerűen megnövekzik jelenégnek döntő htá vn rektorok működéére, zon belül i rektorok biztonágár A rezonnciák megfelelő kezelée lláelmélet egyik klckérdée A jegyzetünk má fejezeteiben i követett módzer zerint előzör homogén közegekben vló rezonncibzorpcióvl fogllkoznk Perze rektorok többége nem homogén, hnem ktív zónájk fűtőelemrácból épül fel, minek jelentő befolyá vn jelenégre zért meg fogjk vizgálni ráczerkezet htáát i A legfontobb dolog zonbn z körülmény, hogy rezonncibzorpció függ hőméréklettől zt nevezzük Doppler-effektnk Alfejezetünket ennek tárgylá zárj 64 Rezonncibzorpció homogén közegben A rezonncibzorpció tárgylákor rektort lkotó elemeket két rézre zoktk bontni gyrézt vnnk nehéz elemek, melyek netronok lítáához lig járlnk hozzá, vizont rezonnciáik révén z bzorpciók többége bennük törté-

18 nik Jelentően hozzájárlnk rglmtln zóráokhoz A rezonnciák energitrtományábn zonbn rglmtln zórái htákereztmetzet zér, tehát ebben z lfejezetben rglmtln zóráokt figyelmen kívül hgyhtjk Márézt vnnk könnyű elemek, melyek netronokt htékonyn lítják, vizont bennük bekövetkező bzorpció jelentéktelen zek előorbn moderátorok Rólk zólt 63 lfejezet Az lábbi elmélet ezen zétválztáon lpl lőzör rezonncibzorben é moderátormgok homogén keverékét tekintjük Az bzorpció jelenlétében kilkló pektrmot (63 képletek egítégével zámíthtjk ki Láttk, hogy rezonnciák tárgyláár Wigner-modell tekinthető legjobbnk, vgyi (63 képletekbe = b = ξ-t helyetteítünk kkor (63 ltt definiált rezonncikikerüléi vlózínűéget p = exp ( Σ ξσ ( ( t d (63 képlet dj meg Nem mttjk meg rézleteen, ck megjegyezzük, hogy ez kkor jelent jó közelítét, h zomzédo rezonnciák moderátorhoz trtozó ε egyégeiben mérve letrgitengelyen egymától távol vnnk, továbbá h z egye rezonnciák kekenyek, tehát h Γ << α r feltevéek érvényeégét feltételezve elegendő z egye rezonnciákt egymától függetlenül vizgálni Nyilvánvló, hogy okzorozái tényező zempontjából döntő jelentőége vn nnk, hogy MeV átlgo hdái energiáról termik energiákr vló llá közben hány netron vézeli át bzorbeálódá nélkül zt z energitrtományt, hol rezonnciák vnnk (63-ből láthtó, hogy erre vontkozón előorbn z exponenciáli kifejezé kitevőjében lévő integrál mérvdó zért mot ezt nézzük meg közelebbről Az integrál ltti kifejezé nevezőjében lévő Σ t ( telje htákereztmetzet két rézre bonthtó: z r rezonncienergiáktól különböző energiákon érvénye, -tól független Σ p potenciálzórái htákereztmetzet, továbbá nllától ck rezonncienergiák közelében különböző Σ ( bzorpció htákereztmetzet, vgyi t ( Σ + Σ ( = Nσ + Σ Σ ( Σ = +, p p m hol mint látjk Σ p potenciálzórái htákereztmetzetet tovább bontottk z bzorben mg é moderátor htákereztmetzetére (Az előbbi z tóbbihoz képet áltlábn kici N z bzorben mgűrűége (63-ból következik, hogy olyn energiákon, hol nincenek rezonnciák, flxt potenciálzórái htákereztmetzet htározz meg:

19 ( fiktív ψ = ξσ p gy rezonnci közelében flx ennél kiebb, ezért ezt ott fiktív flxnk nevezzük: z letrgián zt dj meg, mekkor lenne flx, h közelében nem lenne rezonnci Mivel fiktív flxt könnyű kizámítni, é -vl ln változik (hizen z bzorpciómente eetre érvénye, 63 zkzbn kifejtett egyzerű elmélet lklmzhtó rá, rezonncibzorpció jellemzéére célzerű bevezetni z effektív rezonnciintegrált (I, melyet úgy definiálnk, hogy fiktív flxl zorozv megdj rezonncikikerüléi vlózínűéget (63 zerint meghtározó integrál értékét Az előző képletekből könnyen levezethetők ( NI p = exp, ξσ p NI = Σ p Σ Σ t ( ( d (633 özefüggéek Mint láthtó, rezonnciintegrált brn egyégekben mérjük, hizen definíciój zerint mikrozkopik htákereztmetzet (63 zerint rezonncikikerüléi vlózínűég nő, h Σ p nő, vgyi h z bzorben mgokhoz képet zporítjk moderátor mgokt z z ok nnk, hogy egyáltlán érdeme moderátort lklmzni Tehát legjobb lenne z bzorben mgokt ( rektorok eetében z ránt moderátorbn minél jobbn hígítni 6 Az imént definiált rezonnciintegrál vizont máképp vielkedik: nnál ngyobb, minél ngyobb hígítá A Σ p htárátmenetkor kpott értéket végtelen hígítáú rezonnciintegrálnk nevezzük: = ( I σ d (634 σ ( értékét (7b-ből véve z integrált könnyen kizámíthtjk (vö 66 feldt, é egyetlen rezonnciár vontkozón kpjk: I π Γ = σ r A rezonnciintegrál vége Σ p -re i kizámíthtó nlitikn Bevezetjük Σ p σ p = N jelölét, továbbá z egyzerűég kedvéért feltezük, hogy σ p << σ p kkor (633-bn felírt integrált kiértékelve (vö 64 feldt dódik 6 A gykorltbn zonbn má zempontok i vnnk, melyek hígítánk htárt zbnk: h túlágon ok moderátor, kkor gyn ok netron kerüli el z bzorpciót, de ezek ngy rézét nem hdónyg, hnem moderátor fogj bzorbeálni zt kérdét 65 lfejezetben tárgyljk

20 3 σ pγ σ ( ( + x σ p σ p = d x = I r σ + σ ( + x σ ( σ + σ I, (635 p mi jól mttj, hogy I(σ p zigorún monoton növekvő függvény Az tóbbi é z lábbi képletekben zereplő integrálok mindig tekintett rezonnci környékére vontkoznk, de z integrált -től +-ig zámoljk, hizen rezonnciától távol z integrnd gyorn eltűnik A (63 nevezőjében levő Σ t -be belezámít zámlálóbn levő Σ mitt rezonnciintegrált nem ck moderátor jelenléte cökkenti, hnem mg z bzorpció htákereztmetzet zt jelenéget rezonnci önárnyékoláánk nevezzük: hiáb trt tehát σ htákereztmetzet végtelenbe, rezonnciintegrál mégi vége mrd p p 64 Rezonncibzorpció fűtőelemrácokbn A legtöbb rektorbn z rán nem homogénen vn moderátorrl elkeverve, hnem fűtőelemrdk formájábn merül moderátorb Nézzük meg mot, milyen befolyál vn ez rezonncibzorpciór Tekintünk tehát 63 ábr zerint egy moderátorrl körülvett rdt Itt nem rézletezhető gondoltmenettel beláthtó, hogy z ebben mgányo rúdbn bekövetkező rezonncibzorpció kizámítáát viz lehet vezetni egy homogén közegre vontkozó (635 képletre z következő ekvivlencitételen lpl: egy rúdr vontkozó rezonnciintegrál kizámítá vizvezethető homogén eetre, h rúd potenciálzórái htákereztmetzetéhez l -et hozzádnk Itt l z átlgo húrhoz rúdbn 7 : 4V l = (636 S S rúd felülete A rúdbn levő nygok (UO eetében z rán é oxigén együtte potenciálzórái htákereztmetzetét Σ p vel jelöljük kkor kimondott tétel é (633 lpján rezonnciintegrál Σ p + l NI = Σ d Σ + l t Végeredményben tehát moderátornk rúdtól vló különválztá megnöveli rezonnciintegrált, mivel (635 zerint z σ p -nek monoton növekvő függvénye nnél bonyolltbb kérdé, hogy heterogén elrendezé növeli-e vgy cökken- 7 A (636 képletnek zámo levezetée imert A legegyzerűbb következő Tekintünk egy végtelen közeget, melyben térben egyenlete Φ flx lkl ki Jelöljük ki V térrézt A lfejezetben megmtttk, hogy ΦV megdj V térrézben levő netronok áltl időegyég ltt megtett tk özzegét Ugynezt máképp i kifejezhetjük A ( képletek lpján V térréz felületének egyégnyi drbján ltt befelé hldó netronok zám: Φ/4 zek mindegyike (átlgon l hozúágú tt tez meg V térrézben Tehát SlΦ/4 felületen ltt belépő netronok áltl özeen megtett úthoz zt z előbbivel egyenlővé téve kpjk (636-ot

21 4 ti-e rezonncikikerüléi vlózínűéget Honlítk öze ebből zempontból zono mennyiégű rán é moderátor homogén é heterogén elrendezéét A heterogén elrendezé kkor kedvezőbb, h moderátor Σ m zórái htákereztmetzete ngyobb, mint l Tekintve, hogy fűtőelemrdk méretét előorbn nem rektorfiziki, hnem hőtechniki zempontok htározzák meg, egyáltlán nem bizto, hogy ez gykorltbn i így vn Példként vegyük pki tomerőmű eetét Ott rdk átmérője (kerekítve,5 cm, melyre vontkozón (636 zerint l =,67 cm A moderátor könnyűvíz, melyre Σ m =,3 cm, vgyi itt heterogén elrendezé egy kicit kedvezőbb, mint homogén keverék lenne rúd moderátor 63 ábr Moderátorbn levő mgányo fűtőelemrúd ddigi képleteink egy-egy rezonnciár vontkoztk A telje rezonnciintegrált úgy kpjk meg, hogy z egye rezonnciákr külön vett integrálokt özegezzük H z egye (felbontott rezonnciák dtit ( r, Γ, Γ γ tb mgfiziki ktlógokból kiolvk, ezen módon bármilyen konkrét eetben ki tdjk zámítni telje rezonnciintegrált Gykrn vlóbn így járnk el Vnnk zonbn közvetlen méréi eredmények i Helltrnd véd fizik 957-ben különböző nygú é átmérőjű rdkr végzett méréeket, é zt tlált, hogy rezonnciintegrál rúd nygán kívül vlóbn ck l -től, vgyi (636 zerint z S/V hánydotól függ Mivel rúdbn lévő rán M tömege V-vel rányo, z ekvivlencitétel értelmében Helltrnd elméletileg meglpozottn fejezte ki méréi eredményeit S/M függvényeként: fém ránr: UO -re: I =,8+ 4, 7 S M, h,7 < S M <, 53 ; (637 I = 4,5+ 6, 6 S M, h,8 < S M <, 7 (637b Itt I-t brn, S/M-et pedig cm /g egyégekben kell behelyetteíteni 643 Dncoff-fktor A (637 képletek egyetlen, moderátorbn mgányon álló fűtőelemrúdr vontkoznk Az előző zkzbn kimondott ekvivlencitétel zon feltételezéen lpl, hogy rúdból kilépő netron ck moderátorbn ütközhet gy ilyen ütközé netron energiáját nnyir megváltozttj, hogy tekintett rezonnciából kikerül A vlóágo rektorokbn zonbn fűtőelemrácok vnnk, tehát egy rúdból kilépő netron előzör nem zükégképpen moderátorbn fog ütközni, mert vége vlózínű-

22 5 ége vn nnk i, hogy ez z ütközé egy máik rúdbn történik nnek z effektnk figyelembevételére zolgál C Dncoff-fktor A Dncoff-fktor nnk vlózínűége, hogy fűtőelemrúdból kilépő netron moderátorbn zenvedi el elő ütközéét Itt nem rézletezhető megfontoláok lpján fűtőelemrác htáát ngyon egyzerűen vehetjük figyelembe: (636 képletben megdott l húrhoz helyett l C -t kell fenti képletekbe helyetteítenünk Úgy i mondhtjk, hogy rác htáát úgy kell figyelembe vennünk, hogy z egye rdk S felületét lecökkentjük, vgyi S helyett SC-t hználnk A Dncoff-korrekció egyetlen problémáj tehát Dncoff-fktor zámítá Legegyzerűbb módj Monte Crlo módzeren lpl z időigénye (bár zámítátechnik fejlődéével ez egyre kevébé zempont, ezért gykorltbn félempirik képletek terjedtek el Közülük Sr képletét idézzük: hol é τη e C =, + ( τ η η = ln σ m π V V τ = +,8 négyzöge rácr, V V π V V τ = +, htzöge rácr 3 V V Itt V é V rúd, illetve moderátor térfogt z elemi cellábn 644 Doppler-effekt Az eddigi levezetéekben zereplő képletek ck kkor érvényeek, h z bzorben mgok nyglombn vnnk A vlóágbn zonbn hőmozgát végeznek, é ennek bizonyo rezonnciák eetében zámottevő htá vn rezonnciintegrálr zt rektorok biztonág zempontjából döntő jelentőégű htát Dopplereffektnk nevezzük, mely mitt lép fel, hogy (7 formlák áltl megdott htákereztmetzet jelentően eltér (8 effektív htákereztmetzettől: ( θ ( x y 4 y Γ θ exp σ, eff ( = σ d Γ π, y hol x ( Γ =, továbbá r +

23 6 é Γ θ = 4kT = A r rezonnci Doppler-zéleége A z bzorben mg tömegzám, T z bzolút hőméréklet, k Boltzmnn-állndó zt (7 képletekkel özevetve látjk, hogy Doppler-effekt mitt Breit Wigner-féle /(+x zerinti vonllk helyett z ( θ ( x y 4 dy + θ exp η ( θ, x = (638 π y ún Doppler-kizéleedett vonllkot kell hználni zt helyetteítét (635-ben elvégezve kpjk T hőméréklethez trtozó rezonnciintegrált: σ + p (, x η( θ, x σ pγ σ η θ I ( σ p, T = dx σ r Végő oron tehát z η(θ,x vonllk játoági döntik el, milyen htál vn Doppler-effekt netronmérlegre Nézzük ezek közül legfontobbkt: T eetén, θ, mit (638-ben figyelembe véve kpjk: limη θ (, x = limη( θ, x = T θ + x z zt i jelenti, hogy h rezonnci mgfiziki zéleége (vgyi Γ Dopplerzéleéghez képet ngy, kkor Doppler-effekt lig befolyáolj rezonnciintegrált A kizéleedett vonllk ltti terület gynkkor, mint z eredeti terület: dx η ( θ, x dx = π =, x + mi zt jelenti, hogy (634 ltt definiált végtelen hígítáú rezonnciintegrál független T-től Tehát Doppler-effekt ck vége σ p eetén lehet jelentő 3 A rezonnciintegrálhoz trtozó htákereztmetzet σ -nál kiebb, mert hol η π θ 4 =, ( θ, θ exp erfc( θ <

24 7 erfc π ( x = erf ( x = x e t dt (639 A görbe ltti terület ck úgy mrdht változtln, hogy vonl kizéleedik (64 ábr σ t (brn 8 6 T = 9 K T = 8 K (ev 64 ábr Doppler-effekt z 38 U legngyobb rezonnciájár 4 A rezonnciintegrál hőméréklettel monoton nő, mivel ( T I σ p, T > Végeredményben (637 Helltrnd formlák áltl dott rezonnciintegrálokt korrigálni kell, h hőméréklet mgbb, mint zobhőméréklet A rézleteebb vizgáltok zt mttják, hogy korrekció z bzolút hőméréklet négyzetgyökével rányo: I ( T I( T ( + ( T = β T, hol β együtthtór Helltrnd következő formlákt jvolj: fém rán: UO : = β,5,5, + S M S M β =,58 +,5

25 8 Itt S/M-et pedig cm /g, T-t K egyégekben kell behelyetteíteni Legtóbbi következtetéünknek döntő jelentőége vn rektorok biztonág zempontjából: megzldákor (vö 83 lfejezet z rán hőmérékletének emelkedée gykorltilg zonnl elkezdi cökkenteni rektivitát H gyni z rán el vn különítve moderátortól, kezdetben moderátor nem melegzik, így moderátor htákereztmetzetei em változnk, tehát fiktív flx i gynz mrd A rezonnciintegrál növekedée ezért kezdetben bizton cökkenti rezonncikikerüléi vlózínűéget z pedig előbb-tóbb zbkritik állpotb vizi rektort, mi megállítj teljeítmény növekedéét Jól méretezett rektorbn ez még z előtt következik be, mielőtt túlágon ok hdái energi zbdln fel H ebből zempontból özevetjük heterogén é homogén rektorokt, z tóbbik biztonágobbnk látznk Ugyni homogén rektorokbn nemck Doppler-effekt ht zonnl, hnem 8 lfejezetben definiált vlmennyi rektivitátényező i prompt vizctolát eredményez 65 Termlizáció A llá befejező zkz termlizáció, rektorfizik egyik legbonyolltbb é mtemtikilg legnehezebben tárgylhtó jelenégcoportj A llától minőégileg különbözik következőkben: netronok energiáj özemérhetővé válik egyrézt moderátort lkotó tomok hőmozgáánk, márézt moderátort lkotó moleklák kémii kötéének energiájávl, ennélfogv nem áll fenn z lláelméletben lpon kihznált körülmény, hogy zóródákor netron energiáj ck cökkenhet; termik é termikhoz közeli energiákon htákereztmetzetek olyn ngyok, hogy zbd úthozk kiebbek, mint fűtőelemrdk átmérője; emitt nem lklmzhtjk homogén közegekben áltlábn elfogdhtó egyzerűítéeket Végeredményben tehát z előzőkben megengedett egyzerűítéek egyike em lehetége, őt ngy bzorpció htákereztmetzetek mitt még diffúzióelmélet em lklmzhtó mindig A trnzportegyenlet (4 integráli lkjából zoktnk kiindlni, mi zt i jelenti, hogy ck nmerik módzerekkel kphtnk hználhtó eredményeket Így z lábbikbn meg kell elégednünk zoknk z lpegyenleteknek felíráávl, melyeken termlizációt kezelő zámítógépi progrmok lplnk 65 Termlizáció mgfüggvények (69 é (6 helyett úgy kphtnk legegyzerűbben termlizációt i leíró σ ( mgfüggvényt, hogy elhnygoljk kémii kötéek htáát, vgyi netront zóró tommgokt zbdon mozgó gáztomok mgjánk tekintjük zt zoktk Wigner Wilkin-modellnek nevezni A 6 lfejezetben követett levezeté megfelelő áltlánoítáávl, de ngyon hozdlm levezetéekkel következő mgfüggvényt kpjk:

26 9 σ σ + kt kt kt kt ( = η erf η ρ ± erf η ρ + σ + η exp erf kt η kt ρ kt m erf η + ρ, (64 kt kt hol A + η = é A A ρ =, A továbbá z erf(x függvényt (639-ben definiáltk A felő előjel -re, z ló pedig -re érvénye zt képletet cpán illztrációnk zántk, hogy z Olvó lá, milyen úlyo mtemtiki bonyodlmkt okoz zóró tomok hőmozgá H még kémii kötéek htáát i figyelembe vezük, képletek tovább bonyolódnk termlizáció mgfüggvények kizámítáár zámo zámítógépi progrmot fejleztettek ki H (64 mgfüggvényt zerint integráljk, kkor zórái htákereztmetzetet kpjk: hol σ σ ( = exp( β + σ + erf ( β, β π β A β = kt Jóllehet zórái htákereztmetzetet eredetileg v r reltív ebeégtől függetlennek tételeztük fel, végeredményben z energiától függő zórái htákereztmetzetet kptnk (nnek mért értékei láthtók 3 ábrán Itt végő oron rról vn zó, hogy (8-bn definiált effektív htákereztmetzet jelentően eltér mgfiziki htákereztmetzettől Az eltéré olyn mértékű, z effektív htákereztmetzet végtelenbe trt, mikor 65 Termik pektrm homogén közegben A (6 llái egyenlet termik energiákr következő lkb megy át: [ D( B + ( ] ψ ( + Σ ( ψ ( d = t Σ, mivel eetünkben f( = A következőkben végtelen közegekben vló termlizációt vizgáljk, tehát B = :

27 t = ( ψ ( + Σ ( ψ ( d Σ (64 A netronokt zóró mgok ebeégelozláát Mxwell-pektrm dj meg Heriztikn zt várhtjk, hogy netronok pektrm em különbözik ettől lényegeen, hizen h moderátor tommgjivl elég okt ütközhetnek, felvezik zok ebeégelozláát Alább látni fogjk, hogy ez vlóbn így i vn, h ninc bzorpció A netronok ebeégére vontkozó Mxwell-elozlá 3 m mv P T ( v = exp 4πv (64 πkt kt ebeégelozlá mximm legvlózínűbb ebeégnél dódik: kt v T =, (643 m melynek megfelelő energi mvt = T = kt A T = 93,6 K zobhőméréklethez (643 zerint trtozó legvlózínűbb ebeég értéke v = m/ A Mxwell-elozlá átlgo ebeége v T -nél egy kicit ngyobb: v = vpt 8 π ( v dv = vt =, vt A (64 ltti elozlából úgy kpjk flx pektrmát, hogy P T (v-t v-vel bezorozzk H z így dódó elozlát energiváltozór írjk át, kkor z M T ( = exp T T (644 pektrmot kpjk Az elozlát úgy normáltk, hogy (, + intervllmr vett integrálj legyen Minden zórái mgfüggvény, így (64 ltt felírt mgfüggvény i kielégíti z lábbi nevezete zonoágot: M ( ( = M ( σ ( T T σ (645

28 zt z özefüggét rézlete egyenúlyi feltételnek nevezzük A Wigner Wilkinmodellre ez (64 képletből közvetlenül látzik, de áltlábn i következik ttiztik fizik legáltlánobb elveiből Fonto következménye, hogy M T = M ( Σ ( ( M ( = T d Σ ( Σ ( ( M ( = d Σ ( M ( Σ ( M ( = Σ T T = H (64-ben Σ t = Σ -t helyetteítünk, könnyű belátni, hogy ez zt jelenti, hogy bzorpciómente végtelen közegben termlizáció egyenlet megoldá vlóbn éppen M T (, hogy fent heriztik lpon állítottk Amikor bzorpció i vn, (64 egyenletből indlnk ki, de telje energitrtományt két rézre oztjk fel: (, m termik é z ( m, + epitermik trtomány Az m htárenergiát úgy kell megválztni, hogy z epitermik trtománybn már érvénye legyen lláelmélet Szokáo értéke: m =,65 ev Abbn z eetben, mikor rektorbn pltónim i vn, áltlábn m =,85 ev-ot válztnk, mert így pltónimizotópok termik energiák közelében levő ngy rezonnciáink termik pektrmr gykorolt htáát pontobbn tdjk figyelembe venni, mint lláelméletben zzel (64-ben levő integrál így írhtó: ψ m ( Σ ( d = ψ ( Σ ( d + ψ ( Σ ( T T m d A máodik integrálbn ψ( energipektrmot imerjük, hizen lláelméletből tdjk, hogy / -vel rányo, továbbá zórái mgfüggvényt (69-ből vehetjük zzel ez tg így írhtó: S = α ( ψ ( Σ ( d = q( m m m (646 Itt nllát kell venni olyn -re, melyre S( negtívvá váln q( m (69-ben bevezetett llái űrűég zzel termlizáció egyenlet így írhtó: m ( ψ ( + ψ ( Σ ( d + S( Σ (647 t = nnek z egyenletnek megoldá ck nmerik módzerekkel lehetége A tpztlt zt mttj, hogy hck z bzorpció nem zoktlnl ngy mértékű (647 egyenlet megoldái ngyon közel vnnk Mxwell-pektrmhoz A legmeglepőbb zonbn z, hogy z egyenlet megoldáár zórái mgfüggvény konkrét lkjánk okkl kiebb befolyá vn, mint z bzorpció htákereztmetzetnek nnek z ok (645 ltt felírt rézlete egyenúlyi feltétel, mely ngyon erő meg-

29 zorítá, mert nem engedi, hogy megoldá Mxwell-pektrmtól lényegeen eltérjen Az bzorpció jelenléte áltlábn keményíti pektrmot: nem enged meg elegendően ok ütközét hhoz, hogy termlizálódó netronok moderátor tomjivl egyenúlyb kerüljenek, é így kt átlgenergi kilklá előtt már bzorbeálódnk rre vló tekintettel zoktnk közelítőleg netron-hőmérékletről bezélni, mi zt jelenti, hogy netronpektrmot egy (644 zerinti Mxwell-pektrmnk vezük, de benne moderátor T hőmérékleténél vlmivel ngyobb T n hőméréklet zerepel Amíg nem álltk rendelkezére ngy teljeítményű zámítógépek, netronhőméréklet foglm ngyon hzno volt, mert egítégével termik netronpektrmot egyetlen, kíérletileg i meghtározhtó prméterrel lehetett jellemezni zzel zemben m már ninc rá zükég, hizen (647 egyenlet nmerik megoldáánk ninc kdály 653 Termlizáció zbályo fűtőelemrácokbn Mint jelen lfejezet bevezetőjében mondtk, termik energitrtománybn rezonnciák trtományához honlón tekintettel kell lenni rr, hogy rektorbn z rán nem homogénen, hnem fűtőelemrdk formájábn vn moderátorrl elkeverve A fűtőelemrdk áltlábn zbályo rácot lkotnk, melyet kritályrácokkl vló nlógi lpján úgy képzelhetjük el, mint egy elemi cell zbályo imétlődéét Htzögű fűtőelemrácnk példál 65 ábrán bemttott cellát feleltethetjük meg Az ilyen rácok jellemzéére Φ(r, flxt két tényező zorztár zoká bontni: ( r, Φ ( r ψ ( r, Φ =, hol z elő tényezőt mkroflxnk, máodikt pedig mikroflxnk nevezzük A mkroflx lényegében megfelel nnk, mit z egycoport diffúzióelmélet ír le (5 fejezet A mikroflx követi fűtőelemrác periodicitáát: úgy vielkedik, minth rác végtelen lenne A rektor végeégét termézeteen nem hnygoljk el: erre zolgál z bzorpció htákereztmetzetbe beolvzthtó D(B tg zimmetrik vizverődé brkolt vizverődé izotrop elozlál UO UO moderátor 65 ábr lemi cell (bl oldli rjz é Wigner Seitz-cell (jobb oldli rjz

30 3 Az lábbikbn mikroflxr vontkozón fognk egyenletet felírni A rác zimmetriájából következik, hogy ψ(r,-t elegendő z elemi cellár vontkozón meghtározni bben z eetben ψ(r, z elemi cell htárán trtozik kielégíteni z ún zimmetri-htárfeltételt Amikor gyni egy netronpály cell htárát átlépi, é zomzédo cellábn folyttódik, kkor mint egyzerűen beláthtó pályánk zomzédo cellához vizonyított helyzete gynolyn, mint pály tükörképének z eredeti cellához vizonyított helyzete mitt elég egyetlen cellát tekinteni, é netronpályákt cell htárán normálir vontkozón tükrözni (65 ábr, bl oldli rjz zt jelenti zimmetri-htárfeltétel A gykorltbn áltlábn megengedhető Wigner Seitz-cell közelíté: vlóágo cellát egy vele zono területű körrel közelítjük zzel elérjük, hogy ψ(r, ck hengere r koordinátától függjön gy ilyen cellábn zonbn zimmetri-htárfeltétel úlyo hibákhoz vezetne H gyni egy pály indlákor elkerüli fűtőelemet, kkor hengerfelületre vontkozó tükörképei i el fogják kerülni Az eredeti, htzöge (vgy négyzöge cellábn ilyen helyzet nem állht elő zért olyn htárfeltételt kell kereni, mely nem okoz ilyen problémát No, Wigner Seitz-cellábn zimmetri-htárfeltételnek z ún fehér htárfeltétel felel meg Itt gyni cell vlóágo htárfelületei elmoódnk, é vlóágot kkor közelítjük legjobbn, h zt mondjk, hogy minden, cellát elhgyó netronnk egy véletlenzerű iránybn viztérő netron felel meg (65 ábr, jobb oldli rjz A htárfelületeket é cellán belül vló netrontrnzportot trnzport mgfüggvénnyel jellemezzük Képzeljük el, hogy Wigner Seitz-cellábn z r é r +dr grk áltl htárolt hengergyűrűben időegyég ltt Q(r,dr zámú netron keletkezik Az ezek htáár z r é r+dr grk áltl htárolt hengergyűrűben megjelenő netronok térben átlgolt flxát írjk ( r, G(, r r drdr Q lkbn Az itt megjelenő Green-függvény jellegű kifejezét trnzport mgfüggvény Kizámítá nem egyzerű: (4 integrálegyenletben zereplő e Σ t ( ( r r mennyiéget kell z említett hengergyűrűkre átlgolni figyelembe véve fehér htárfeltételt i A Q(r, forrátgot termlizáció trtománybn két tg özegeként kell felírnnk: egyrézt z epitermik netronok lláánk megfelelő, (646-bn felírt S(, márézt termik energitrtományon belül vló energicerét leíró integrál: Q m ( r, = S( r, + ( r, Σ ( r, ψ d (648 bben kifejezében feltüntettük, hogy zórái mgfüggvény függ helytől, hizen nyilvánvlón egézen má moderátorbn, mint fűtőelemrúdbn zen túlmenően z S(r, llái forrá i függ helytől Az tóbbir vontkozón következő feltevéekkel zoká élni Az m energiát úgy célzerű megválztni, hogy ψ(r, m mikroflx r-től gykorltilg független legyen (vgyi z m energián zbd úthozk lényegeen ngyobbk legyenek, mint cell méretei bben z eetben

31 4 (646-bn zereplő q( m llái űrűéget Fermi-közelítében írhtjk fel (lád 635 zkzbn, vgyi S α ( r = ξσ ( r,, (648b m zeket figyelembe véve (4 integráli trnzportegyenlet zellemében következő egyenletet írhtjk fel: R c ( r, = G(, r r Q( r, ψ dr, (648c hol R c Wigner Seitz-cell gr A (648 ltt felírt egyenletet iterációvl lehet megoldni Az ezt megvlóító legelterjedtebb zámítógépi progrm THRMOS, mely trtlmzz nem ck z egyenlet megoldáát, hnem trnzport mgfüggvény é zórái mgfüggvény zámítáát i A tpztlt zerint e három zámítái feldt körülbelül gynnnyi gépidőt igényel A (65 egyenlet megoldáát előorbn 7 fejezetben tárgylt többcoportelmélet áltl igényelt termik coportállndók zámítáár hználjk zen túlmenően egyéb mennyiégeket i zármztthtnk belőle, melyek közül négyet említünk: Az előnytelenégi tényező termik flx átlgánk hánydo moderátorbn é fűtőelemben: m d ( r, mod δ = (649 m d ψ rdr V fe ψ ( r, rdr A termik hznoítái tényező: V m f f = m d fe m d Σ cell Σ ( r, ψ ( r, ( r, ψ ( r, rdr rdr, (649b mely zt fejezi ki, hogy z bzorbeálódó netronoknk mekkor hányd bzorbeálódik z ránbn A termik coportállndók: tetzőlege coportállndót (bzorpció, hdái tb átlgolhtnk termik energiákr é z elemi cellár, példál

32 5 m d Σ ( r, ψ ( r, th cell Σ = (65 m d ψ rdr cell ( r, rdr A 63 tábláztbn zereplő htákereztmetzeteket ezen módon zámítottk További integráli jellemző már említett T n netron-hőméréklet A Mxwellelozlá eetében z elozlá átlgo energiáj kt A netron-hőméréklet legtermézeteebb definíciój tehát tekintett régióbn (fűtőelem, moderátor, elemi cell tb kilkló átlgo termik netronpektrmr vontkozttott átlgo energi A THRMOS progrm végeredményén tlálhtó netron-hőméréklet ezen definíción lpl Nem ez z egyetlen é tlán nem i ez legcélzerűbb definíció Abbn z eetben gyni, mikor netronbzorpció htákereztmetzet nem túlágon ngy, z ev ltti energiákhoz trtozó netronpektrm jól közelíthető egy Mxwell-elozlá é egy / pektrm özegével H ez igz, kkor T n -et célzerű Mxwell-elozlához trtozó hőmérékletként definiálni A tpztlt zerint ez mindig mgbb, mint közeg T hőméréklete A különbég elő közelítében rányo Σ /ξσ hánydol 8 Tekintve, hogy netron-hőmérékletet em zámítáokbn, em kíérletekben nem hználjk már, további rézletekbe nem megyünk bele zeket mennyiégeket régebben beépítették rektorok elméletébe mint kíérletileg meghtározndó mennyiégeket Amiót zonbn rendelkezére áll THRMOS é hozá honló termlizáció progrmok, ezeknek é hozzájk honló mennyiégeknek jelentőége cökkent, de leglábbi átlklt: m előorbn rr hználjk őket, hogy zámítógépi progrmjinkt, de főleg bennük felhznált mgfiziki dtokt kíérletileg ellenőrizzük kkor zonbn nem δ, f vgy T n mért é zámított értékeit honlítjk öze, hnem közvetlenül mért rekciógykoriágokt 9 66 Fermi-kor, migráció terület Két fonto foglom mgyrázt érdekében viztérünk (63 ltti eredményünkre mlékeztetünk rr, hogy 63 lfejezetben jelöléek egyzerűítée kedvéért DB + Σ helyébe egyzerűen ck Σ -t írtnk zt mot vizcináljk, mivel (63 p ( = exp ( B + Σ ( d ( ( + bσ D Σ képletbe megy át H dolgot így írjk, kkor p( nem ck rezonnci elkerüléének vlózínűége, hnem nnk vlózínűégét i mgáb fogllj, hogy 8 Vegyük ézre, hogy ez éppen 6 táblázt toló ozlopábn zereplő mennyiég reciprok 9 gyébként δ-t nem i lehet megmérni, mert nem mérhető rekciógykoriágok, hnem flxátlgok hánydo A flxt pedig nem lehet mérni

33 6 netron llá közben nem zökik ki zért mennyiéget két tényező zorztár bontjk: p ( = exp Σ ξσ t ( ( d exp ( B d ( D ξσ t Itt áttértünk Wigner-modellre, mert megfontoláinkt p rezonncikikerüléi vlózínűég meghtározáár zeretnénk korlátozni Nyilvánvló, hogy z elő tényező négyfktor-formlábn zereplő p, máodik pedig nnk vlózínűége, hogy z letrgiáig vló llá ltt netron bennmrd rektorbn H termik energiák felő htáránk (áltlábn,65 ev megfelelő th letrgi, kkor vlóbn = th Σ p exp ξσ t ( d ( A máik tényező z (54 zerint definiált P NL zzl különbéggel, hogy mot nem termik, hnem lló netronokr vontkozik zért ellátjk z epi (= epitermik felő indexzel: P epi NL = th D exp ξσ t ( B d ( (65 z z 5 fejezetben definiált k -t cökkenti, vgyi (54 helyett mot k eff epi NL th NL = k P P (65 képletet kell lklmznnk, melyben z toló tényező z (54b képlettel definiált mennyiég, de megkülönböztetéül mot elláttk th (= termik felő indexzel A (65 képletet zoktk htfktor-formlánk nevezni, mivel k -ben már eleve vn négy tényező Az epitermik bennmrdái vlózínűéget megdó (65 képletet átírjk P epi NL = e B τ lkb, hol ( ( th D τ = d (653 ξσ t zt mennyiéget Fermi-kornk nevezzük Az elnevezé mgyrázt meze vezetne, de fiziki értelme vlóbn kpcoltb hozhtó netron llá közben eltelt idővel, jóllehet τ dimenziój cm Az L diffúzió területhez honlón Fermi-kor i jellemzi lló netronok térbeli elozláát: 6τ nnk távolágnk négyzete átlg, hov netron keletkezétől termik energiákr vló llá közben eljt